Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice - Loredana ...

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Loredana STRUGARIU, Ciprian STRUGARIU 1
Deoarece şirul lui Fibonacci este cunoscut elevilor încădincl.aIX-a,iarrădăcinile
de ordinul n ale unităţii şi polinoamele ciclotomice sunt în materia prevăzută la
cl. a X-a pentru olimpiada de matematică, considerăm că abordarea unui asemenea
subiect este utilă atât elevilor cât şi profesorilor. Vom prezenta câteva rezultate
privind polinoamele Fibonacci şi cele ciclotomice şi legătura dintre ele.
1. Polinoame Fibonacci - definire, legătura cu triunghiul lui Pascal.
Polinoamele Fibonacci sunt definite prin relaţia de recurenţă
F n+1 (x) =xF n (x)+F n−1 (x) , cu F 1 (x) =1 şi F 2 (x) =x (1)
sauprinurmătoarea formulă explicită
[(n−1)/2]
X
µ n − j − 1
F n (x) =
j
j=0
µ n − j − 1
unde [x] este partea întreagă aluix, iar
≡ C j n−j−1
j
.
F 0 =0.
Observaţie. Polinoamele Fibonacci pot fi definite prin relaţia de recurenţă
x n−2j−1 , (2)
Se convine ca
F n (x) =xF n−1 (x)+F n−2 (x) , cu F 0 (x) =0 şi F 1 (x) =1. (1 0 )
Exemple: F 1 (x) =1, F 2 (x) =x, F 3 (x) =x 2 +1, F 4 (x) =x 3 +2x, F 5 (x) =x 4 +3x 2 +1
etc. Luând x =1în (2), obţinem F n (1) = F n , unde F n este şirul lui Fibonacci.
Lema 1 (proprietatea de divizibilitate). Dacă m este divizor al lui n, atunci
F m este divizor al lui F n . Dacă p este un număr prim, atunci F p (x) este polinom
ireductibil.
Teorema 1. Fie F 0 , F 1 , F 2 , . . . polinoamele Fibonacci peste câmpul Galois de
dimensiune 2. Atunci, avem:
1) F 2n+1 sunt singurii termeni de grad par şi nu sunt divizibili cu x; F 2n sunt
singurii termeni de grad impar, n ≥ 0;
2) F n−t + F n+t = xF n F t , pentru 0 ≤ t ≤ n;
3) F 2n = xFn, 2 pentru n ≥ 0;
4) F 2n+1 = Fn 2 + Fn+1, 2 pentru n ≥ 0;
5) F mn (x) =F m (x) F n (xF m (x)), pentru pentru m, n ≥ 0;
6) F 2mn−p = xF mn F mn−p + F p , pentru 0 ≤ p ≤ mn;
7) F 2mn+p = xF mn F mn+p + F p .
µ kπ
Rădăcinile polinomului F n (x) sunt de forma x k = 2i cos , pentru k =
n
1,...,n − 1. Pentru p număr prim, aceste rădăcini sunt de 2i ori partea reală a
1 Profesori, Colegiul Naţional "Eudoxiu Hurmuzachi", Rădăuţi (Suceava)
8

ădăcinilor polinomului ciclotomic de ordinul p. Analizândcoeficienţii primelor polinoame
Fibonacci se observă legătura dintre triunghiul lui Pascal şi aceste polinoame:
F 1 (x) =1x 0
F 2 (x) =1x 1
F 3 (x) =1x 2 + 1x 0
F 4 (x) =1x 3 + 2x
F 5 (x) =1x 4 + 3x 2 + 1x 0
F 6 (x) =1x 5 + 4x 3 + 3x 1
F 7 (x) =1x 6 + 5x 4 + 6x 2 + 1x 0
F 8 (x) =1x 7 + 6x 5 + 10x 3 + 4x 1
F 9 (x) =1x 8 + 7x 6 + 15x 4 + 10x 2 + 1x 0
F 10 (x) =1x 9 + 8x 7 + 21x 5 + 20x 2 + 5x 1 .
A. N. Philippou şi asociaţii săi [4] au studiat polinoamele Fibonacci de ordinul
k, k ≥ 2, pecarele-audefinite astfel:
F (k)
0 (x) =0,F (k)
1 (x) =1
F n
(k) P
(x) = n x k−j F (k)
n−j (x) ,
j=1
n =2, 3,...,k;
F n
(k) P
(x) = k x k−j F (k)
n−j (x) , n = k +1,k+2,... (3)
j=1
Observaţie. Pentru k =2acestea se reduc la F n (x), iarpentruk =1se reduc
la şirul lui Fibonacci F n (k) de ordinul k.
2. Polinoame ciclotomice - definire, proprietăţi. Pentru fiecare număr
natural n ≥ 1 rădăcinile complexe ale ecuaţiei x n =1se numesc rădăcinile de ordin
n ale unităţii. Acestea sunt numere complexe de forma
x k =cos 2kπ 2kπ
+ i sin ,
n n
k =1, 2,...,n− 1. (4)
Mulţimea acestor rădăcini se notează cu
U n = {x ∈ C | x n =1} .
Teorema 2. Mulţimea U n este un grup ciclic faţă deînmulţirea numerelor complexe,
numit grupul rădăcinilor de ordinul n ale unităţii.
Propoziţie. Fie U n = © x k =cos 2kπ 2kπ
n
+ i sin
n
; k =1, 2,...,n− 1.ª .Atunci
hx k i = U n ⇔ (k, n) =1. (5)
Grupul ciclic U n are ϕ (n) generatori, unde ϕ (n) este numărul numerelor naturale
maimicican, relativ prime cu n (indicatorul lui Euler). Cele ϕ (n) rădăcini de
ordinul n ale unităţii care generează grupul U n ,adică numerele complexe de forma
x k =cos 2kπ 2kπ
+ i sin ,k=1, 2,...,n− 1, (k, n) =1.
n n
(6)
se numesc rădăcinile primitive de ordinul n ale unităţii. Notăm cu P n mulţimea
rădăcinilor primitive de ordinul n ale unităţii şi cu ζ orădăcină primitivă (oarecare)
de ordinul n a unităţii.
9

Teorema 3.
P n =
n
o
ζ k | 0 ≤ k ≤ n − 1, (k, n) =1 . (7)
Observaţie. Dacă n = p = număr prim, atunci P p = U p \{1}.
Teorema 4. 1) S d|n
P d = U n ,
2) P d1
T
Pd2 = ∅, d 1 , d 2 divizori naturali ai lui n, d 1 6= d 2 .
Polinomul monic ale cărui rădăcini sunt rădăcinile primitive de ordinul n ale
unităţii, se numeste al n-lea polinom ciclotomic şi are forma
Φ n (X) = Y
(X − ζ) , n ∈ N ∗ . (8)
ζ∈P n
Gradul polinomului ciclotomic Φ n (X) este egal cu cardinalul mulţimii P n , adică
ϕ (n).
Teorema 5 (relaţia lui Dedekind).
X n − 1= Y d|n
Φ d (X) (9)
unde produsul se face după toţi divizorii naturali ai lui n.
Demonstraţie. Folosind descompunerea în factori a polinomului X n − 1 şi Teorema
4, avem
⎛
⎞
X n − 1= Y
(X − ζ) =
Y
(X − ζ) = Y ⎝ Y
(X − ζ) ⎠ = Y Φ d (X) .
ζ∈U n ζ∈ S P d d|n ζ∈P d d|n
d|n
Teorema 6. Pentru p>0, număr prim, avem:
Φ p (X) =X p−1 + X p−2 + ···+ X +1. (10)
³
Observaţie. Φ p k (X) =Φ p X pk−1´, ∀k ∈ N ∗ , p număr prim, p>0.
Exemple. Primele 10 polinoame ciclotomice:
Φ 1 (X) =X − 1
Φ 2 (X) =X +1
Φ 3 (X) =X 2 + X +1
Φ 4 (X) =X 2 +1
Φ 5 (X) =X 4 + X 3 + X 2 + X +1
Φ 6 (X) =X 2 − X +1
Φ 7 (X) =X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X +1
Φ 8 (X) =X 4 +1
Φ 9 (X) =X 6 + X 3 +1
Φ 10 (X) =X 4 − X 3 + X 2 − X +1.
Teorema 7 (relaţia lui Möbius-Dedekind). Pentru orice n ∈ N ∗ există relaţia:
Φ n (X) = Y d|n
¡
X d − 1 ¢ µ( n d ) , (11)
10

unde µ : N ∗ → {−1, 0, 1} este funcţia lui Möbius, dată prin
⎧
⎨ 1, dacă n =1,
µ (n) = (−1) k ,dacă n = p
⎩
1 p 2 ···p k (p 1 ,p 2 ,...,p k prime distincte),
0, dacă n se divide prin patratul unui numar prim.
Alte proprietăţi ale polinoamelor ciclotomice:
1) Φ n (X) ∈ Z [X], ∀n ∈ N ∗ ,
2) Φ n (X) este ireductibil în inelul Z [X], ∀n ∈ N ∗ ,
3) Φ n (X) este un polinom reciproc, ∀n ≥ 2,
4) Pentru n ∈ N ∗ şi p>0 un număr prim avem:
i) dacă p divide n, Φ np (X) =Φ n (X p ),
ii) dacă p nu divide n, Φ np (X) = Φ n (X p )
Φ n (X) ,
5) Φ 2n (X) =Φ n (−X), pentrun>1, număr natural impar.
3. Legătura dintre polinoamele Fibonacci şi polinoamele ciclotomice.
Această legătură afostexpusădeK. Kuwano în The Design of Mathematic Workshop
(în japoneză), Scientist, 2004 şi apoi preluată deK. Motose în [3].
Considerând două variabile x şi y şi notând cu X = x + y şi Y = xy, vomdefini
polinoamele simetrice F n (X, Y ) prin
F n (X, Y )= xn − y n
x − y , (12)
numite polinoame Fibonacci de două variabile.
Exemple. F 0 =0, F 1 =1, F 2 = x + y = X, F 3 = x 2 + y 2 + xy = X 2 − Y etc.
Lema 2. i) F m+n = F m F n+1 −YF m−1 F n , pentru n ≥ 0 şi m ≥ 1; în particular,
F n+2 = XF n+1 − YF n . (13)
ii) Dacă m este divizor al lui n, atunciF m este divizor al lui F n .
Demonstraţie. i) direct prin înlocuire în formula (12).
ii) Deoarece x m − y m este divizor al lui x n − y n ,rezultăafirmaţia.
Observaţie. Dacă considerăm în formula (13) X = 1 şi Y = −1, obţinem
şirul lui Fibonacci, fapt pentru care polinoamele F n (X, Y ) au fost numite polinoame
Fibonacci. O altă formă a polinoamelor Fibonacci de două variabile este:
F n (x, y) =
[(n−1)/2]
X
j=0
µ n − j − 1
j
x n−2j−1 y j , n ≥ 1. (14)
În mod inductiv, vom defini polinoamele ciclotomice de două variabile
Φ 1 (x, y) =x − y, x n − y n = Y d|n
Φ d (x, y) . (15)
Lema 3. i) Φ n (x, y) = Q d|n
¡
x d − y d¢ µ( n d ) .
ii) Φ n (x) =Φ n (x, 1).
iii) Φ n (x, y) =Φ n (y,x), pentru n ≥ 2.
11

Demonstraţie. i) rezultă din formula de inversiune a lui Möbius, iar ii) din i) şi
definiţia lui Φ n (x). iii) decurge din punctul i) şi formula P µ ¡ ¢
n
d =0pentru n ≥ 2.
d|n
Deoarece polinoamele Φ n (x, y) sunt simetrice pentru n ≥ 2, putem defini polinoamele
P n (X, Y ) unde X = x + y, Y = xy astfel încât Φ n (x, y) =P n (X, Y ). De
exemplu, P 6 = x 2 + y 2 − xy = X 2 − 3Y .
Teorema 8. Vom conveni ca P 1 =1.Atunci,avem:
1) P n este ireductibil în Z [X, Y ];
2) F n = Q P d ;
d|n
3) P n = Q F µ( n d )
d
;
d|n
4) (F m ,F n )=F (m,n) ,unde( , ) reprezintă c.m.m.d.c.; în particular (F n ,F n+1 )= 1.
Demonstraţie. 1) P n ∈ Z [X, Y ] din definiţie. Dacă P n = ST, cuS, T ∈ Q[X, Y ]
polinoame neconstante, atunci Φ (x)= Φ (x, 1)= P (x+1,x)= S (x+1,x) T (x+1,x)
pentru polinoamele neconstante S (x +1,x) ,T (x +1,x) ∈ Q [x], contrar ireductibilităţii
peste Q.
2) Rezultă dinurmătoarea ecuaţie:
F n (X, Y )= xn − y n
x − y
= Y
Φ d (x, y) = Y P d (x, y) .
1≺d|n d|n
3) Rezultă din formula de inversiune a lui Möbius.
4) Dacă mai întâi considerăm P d = P d 0 atunci avem:
Φ d (x) =Φ d (x, 1) = P d (x +1,x)=P d 0 (x +1,x)=Φ d 0 (x)
şi astfel d = d 0 .DinLema2,ii), ştim că F (m,n) este divizor comun al lui F m şi F n .
Dacă P d este divizor comun al lui F m şi F n , atunci d este divizor comun al lui m
şi n şi deci d este divizor al lui (m, n). AstfelP d este divizor al lui F (m,n) . Deci, dacă
D este divizor comun al lui F m şi F n ,atunciD este divizor al lui F (m,n) , deoarece D
este un produs al polinoamelor ireductibile distincte P d , ceea ce implică afirmaţia.
Bibliografie
1. T. M. Apostol - Resultants of Cyclotomic Polynomials. Proc. Amer. Math. Soc.
24(1970), 457-462.
2. T. Koshy - Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. New York: Wiley,
2001.
3. K. Motose - On values of cyclotomic polynomials. VII, Math J. Okayama Univ.,
2004.
4. A. N. Philippou, C. Georghiou, G. N. Philippou - Fibonacci polynomials of
order k, multinomial expansions and probability, Internat. J. Math. Math. Sci.,
6(1983), 545-550.
5. M. Ţena - Rădăcinile unităţii, Soc.Şt. Mat., Bucureşti, 2005.
6. W. A. Webb, E. A. Parberry - Divizibility Properties of Fibonacci Polynomials,
Fibonacci Quarterly 7.5 (1969), 457-463.
7. http://mathworld.wolfram.com
12