Temistocle BÎRSAN

Câteva proprietăţi ale medianelor
Temistocle BÎRSAN 1
1. Ne propunem să indicăm un număr de proprietăţi ale medianelor la nivelul
de înţelegere al unui elev bun de gimnaziu. Instrumentele principale de lucru vor fi
teorema lui Thales şi teorema lui Menelaus.
Pentru o exprimare scurtă, vom folosi noţiunile de puncte izotomice şi puncte
conjugate armonic. Fie A, B, X, Y patru puncte coliniare. Punctele X şi Y sunt
izotomice în raport cu A şi B dacă sunt simetrice faţă de mijlocul segmentului [AB]
(evident, X şi Y sunt fie interioare, fie exterioare acestui segment); această condiţie
revine la egalitatea AX = BY . Punctele X şi Y sunt conjugate armonic în raport
XA
cu A şi B dacă împart segmentul [AB] în rapoarte egale:
XB = YA
YB (evident, X
este interior segmentului şi Y exterior sau invers).
Propoziţia 1. Fie ABC un triunghi oarecare, A 0 , B 0 , C 0 mijloacele laturilor
[BC], [CA], respectiv[AB] şi M,N ∈ BC două puncte izotomice în raport cu vârfurile
B şi C, cuM diferit de mijlocul segmentului [A 0 C]. Atunci, sunt adevărate
afirmaţiile:
1 ◦ dreptele B 0 M şi C 0 N se intersectează într-un punct X ∈ AA 0 ;
2 ◦ paralela prin M la AC şi paralela prin N la AB se intersectează într-un punct
X 0 ∈ AA 0 ;
3 ◦ punctele X şi X 0 sunt conjugate armonic în raport cu A şi A 0 .
Demonstraţie. Avem patru situaţii distincte ilustrate în figurile de mai jos;
demonstraţia este însă aceeaşi.
X´
A
A
A
A
N
C´ X B´ C´ B´ C´ B´ C´ B´
X
X´
X
M
N
B A´ C M B A´ C B M A´ N C B N A´ M C
X´
X´
X
Deoarece M nu-i mijlocul lui [A 0 C] rezultă că N nu-i mijlocul lui [A 0 B] şi,
ca urmare, dreptele B 0 M şi C 0 N intersectează AA 0 . Fie {X} = AA 0 ∩ B 0 M şi
{X 1 } = AA 0 ∩ C 0 N. Conform teoremei lui Menelaus, aplicată la4AA 0 C şi transversala
B 0 M şi la 4AA 0 B şi C 0 N,avem
XA
XA 0 · MA0
MC · B0 C
B 0 A =1 şi X 1 A
X 1 A 0 · NA0
NB · C0 B
C 0 A =1,
1 Prof. dr., Catedra de matematică, Univ. Tehnică "Gh.Asachi",Iaşi
99

de unde XA
XA 0 = MC
MA 0 şi X 1 A
X 1 A 0 = NB .PuncteleM, N fiind izotomice în raport cu
NA0 B şi C, avemMA 0 = NA 0 şi MC = NB. Rezultă că XA
XA 0 = X 1A
, deci punctul
X 1 A0 X 1 coincide cu X. Afirmaţia 1 ◦ este dovedită.
Fie X 0 , X1 0 intersecţiile dreptei AA 0 cu paralela prin M la AC, respectiv paralela
X 0 A
prin N la AB. Conform teoremei lui Thales, au loc relaţiile:
X 0 A 0 = MC
MA 0 şi
X1A
0
X1 0 = NB . Din acestea şi din izotomia punctelor M şi N faţă deB şi C,
A0 NA0 deducem egalitatea rapoartelor din membrii din stânga. Ca urmare, X1 0 coincide cu
X 0 , deci 2 ◦ este demonstrată.
Mai sus s-a arătat că XA
XA 0 = MC
MA 0 şi X 0 A
X 0 A 0 = MC
MA 0 ,deciX şi X0 împart [AA 0 ]
în acelaşi raport, adică X, X 0 sunt conjugate armonic faţă deA, A 0 . Afirmaţia 3 ◦ ,
deci şi propoziţia, este demonstrată.
Observaţie. Să urmărim deplasarea punctului X pe AA 0 ,atuncicândM parcurge
BC. Notăm cu G centrul de greutate al triunghiului ABC şi cu A ∗ mijlocul
medianei [AA 0 ].Dacă M este în C, atunci X coincide cu A. Dacă M se îndepărtează
de C, la "dreapta" acestuia, atunci X ∈ (AA ∗ ). Dacă M se apropie de B, din
"stânga" acestuia, atunci X ∈ (A ∗ G). PentruM situat în B, X coincide cu G. Dacă
M ∈ (BA 0 ], atunci X ∈ (GA 0 ]; punctul M în poziţia A 0 coincide cu X. Pentru M
între A 0 şi mijlocul segmentului [A 0 C], X parcurge semidreapta de origine A 0 ce nu
conţine A. În sfârşit, dacă M este între mijlocul lui [A 0 C] şi C, atunci punctul X
este situat pe semidreapta de origine A ce nu conţine A 0 şiseapropiedevârfulA.
Opoziţie particulară interesantă a punctului M este semnalată înurmătorul
Corolar. Dacă sunt îndeplinite condiţiile din Propoziţia 1 şi în plus MC =
= NB = a 2 ,atunciX este izotomicul punctului G în raport cu A şi A0 ,iarX 0 este
simetricul lui A 0 faţă deA.
Demonstraţie. Avem X ∈ [AA 0 ] şi
XA
XA 0
= MC
MA 0 =
a/2
a/2+a/2 = 1 2 ,adică
XA 0 =2XA sau XA = 1 3 AA0 . Cum avem şi GA 0 = 1 3 AA0 , rezultă XA = GA 0 şi
prima afirmaţieestedovedită. Pe de altă parte,X 0 ∈ [AA 0 X 0 A
] şi
X 0 A 0 = XA
XA 0 = 1 2 ,
deci 2X 0 A = X 0 A 0 , de unde X 0 A = AA 0 .Aşadar X 0 şi A 0 sunt simetrice faţă deA.
2. Aplicaţii. Fie D, D a , D b , D c punctele de tangenţă a cercurilor înscris, A-
exînscris, B-exînscris respectiv C-exînscris triunghiului ABC cu dreapta BC. Amintim
că au loc egalităţile [1], p.30:
DB = D a C = p − b şi D b C = D c B = p − a (2p = a + b + c);
primele spun că punctele D şi D a sunt izotomice faţă deB şi C, iarultimelecă
această proprietateoauşi punctele D b şi D c . Putem presupune că AB 6= AC
pentru a evita cazul trivial în care 4ABC ar fi isoscel cu vârful A.
100

Propoziţia 2. Relativ la punctele D b , D c , sunt adevărate afirmaţiile:
1 ◦ B 0 D b şi C 0 D c se intersectează într-un punct X ∈ (AA ∗ );
2 ◦ B 0 D c şi C 0 D b se intersectează într-un punct Y ∈ (A ∗ G);
3 ◦ XA
XA 0 + YA
YA 0 =2;
4 ◦ X este izotomicul lui G în raport cu A şi A 0 dacă şi numai dacă 2a = b + c.
Demonstraţie. 1 ◦ şi 2 ◦ decurg direct din Propoziţia 1 şi observaţia de mai sus.
De asemenea, avem
XA
XA 0 + YA
YA 0 = D bC
D b A 0 + D cC
D c A 0 = p − a
(p − a)+a/2 + p
p − a/2 = 2p − a
p − a/2 =2,
adică areloc3 ◦ .Însfârşit, având în vedere Corolarul, X este izotomicul lui G dacă
şi numai dacă D b C = a 2 ,adică p − a = a 2 sau 2a = b + c.
Observaţie. Triunghiurile ce satisfac condiţia
2a = b+c (o latură este media aritmetică a celorlaltor
A
două) sunt speciale, cu multe proprietăţi cunoscute
(în [2], p. 242, sunt date opt proprietăţi). Afirmaţia
X
C´ B´
4 ◦ indică onouă proprietate caracteristică lor.
Y
U
Un rezultat similar se obţine dacă luăm punctele
izotomice D, D a în locul punctelor D b , D c .
D c B D A´ Da
C
Propoziţia 3. Dacă 4ABC satisface condiţia
|b − c| 6= a 2 ,atuncirelativlapuncteleD, D a avem:
1 ◦ B 0 D şi C 0 D a se intersectează înU ∈ AA 0 ;
2 ◦ B 0 D a şi C 0 D se intersectează înV ∈ AA 0 ;
V
3 ◦ UA
UA 0 − VA = ±2 (+ în cazul b>cşi − în cazul b