Petru ASAFTEI

Intuirea proprietăţilor operaţiilor aritmetice
utilizând metodele figurative
Petru ASAFTEI 1
Este cunoscut faptul că în clasele primare se evidenţiază, fără utilizarea terminologiei,
unele proprietăţi ale operaţiilor lor. Cunoştinţele clare despre aceste proprietăţi
se obţin dacă seporneşte de la un suport material intuitiv. În cazul de faţă, materialul
intuitiv va fi format din reţele de puncte în plan, structurate în aşa fel încât
elevii să sesizeze proprietăţile operaţiilor, bineînţeles, cu ajutorul explicaţiilor date
de învăţător. Vom construi modele figurative pentru următoarele proprietăţi: comutativitatea
înmulţirii, asociativitatea înmulţirii, distributivitatea înmulţirii faţă de
adunare şi distributivitatea înmulţirii faţă descădere.
1. Comutativitatea înmulţirii
Această configuraţiedepunctepoatefiprivităîndouă moduri:
— primul, de jos în sus, care pune în evidenţă căserepetă 3
linii cu câte 4 puncte în fiecare linie, ceea ce înseamnă 3 × 4;
— al doilea de la stânga la dreapta, care pune în evidenţă că 4x3
se repetă 4 coloane cu câte 3 puncte în fiecare coloană, ceea ce înseamnă 4 × 3.
Generalizarea se face în mod natural, tot pe baza unei reţele de puncte, care este
formată dina linii şi b coloane. Prin analogie cu raţionamentul precedent, obţinem
a × b = b × a.
2. Asociativitatea înmulţirii
Raţionamentul matematic are la
bază împărţirea reţelei în două submulţimi
de puncte, fiecare formată din3
linii şi 4 coloane. Prin analogie cu cazul
precedent, constatăm că 2 × (3 × 4) şi
2x3 2x3 2x3 2x3
(2 × 3) × 4 reprezintă tot atât şi scriem
4x(2x3) sau (2x3)x4
2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4.
Generalizarea acestei proprietăţi nu este evidentă. Produsul 2 × 3 trece în a × b,
ceea ce înseamnăuntabloucua coloane şi b puncte în fiecare coloană. Repetăm acest
tablou de c ori şi obţinem c × (a × b) =(a × b) × c. Pedealtăparte,săconsiderăm
din fiecare tablou o singură coloană; formăm în acest fel a tablouri cu b linii şi c
puncte în fiecare linie. Ca urmare, obţinem a × (b × c). Numărul total de puncte
nu s-a schimbat, ceea ce înseamnă că (a × b) × c şi a × (b × c) reprezintă tot atât şi
scriem (a × b) × c =(a × b) × c.
3. Distributivitatea înmulţirii faţă de
adunare
3+4
Se constată că 2×(3 + 4) şi (2 × 3)+
(2 × 4) reprezintă tot atât şi scriem 2 ×
3+4
(3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4).
(2x3)+(2x4)
1 Profesor, Şcoala Normală "Vasile Lupu", Iaşi
2x(3x4)
2x3
107
3x4
2x4
3x4
3x4
2x(3x4)

Pentru generalizare trebuie să trecem 2×3 în a×b,iar2×4 în a×c şi vom observa că
(a × b)+(a × c) şi a×(b + c) reprezintă tot atât. Scriema×(b + c) =(a × b)+(a × c).
4. Distributivitatea înmulţirii faţă descădere
Expresiile 2 × (4 − 3) şi (2 × 4) − (2 × 3) reprezintă
tot atât şi scriem 2×(4 − 3) = (2 × 4)−(2 × 3).
4-3
Pentru generalizare trecem 2 × 4 în a × b şi 2 × 3 în
4-3
a × c, cub ≥ c. În continuare, raţionamentul este
analog. Obţinem 2 × (4 − 3) = (2 × 4) − (2 × 3). (2x4)-(2x3)
Observaţie. Utilizarea modelelor figurative, de exemplu cazurile 3 şi 4, contribuie
la înţelegerea algoritmului de rezolvare a exerciţiilor care conţin paranteze.
2x(4-3)
ASOCIAŢIA “RECREAŢII MATEMATICE”
La data de 14.02.2005 a luat fiinţă ASOCIAŢIA “RECREAŢII MATE-
MATICE”, cusediulînIaşi (str. Aurora, nr. 3, sc. D, ap. 6), având ca scop sprijinirea
activităţilor de matematică specifice învăţământului preuniversitar, organizarea
şi desfăşurarea de activităţi care să contribuie la dezvoltarea gustului pentru
matematică în rândurile elevilor, profesorilor şi iubitorilor de matematică şi stimularea
preocupărilor şi cercetărilor originale.
Obiectivele majore pentru atingerea scopului propus sunt:
1. editarea unei reviste destinată elevilor şi profesorilor — revista "Recreaţii
Matematice";
2. fondarea unei biblioteci de matematică elementară—biblioteca "Recreaţii
Matematice";
3. alcătuirea unei colecţii de cărţi de matematică elementară, cărţi de referinţă
şi aflate la prima apariţie — Colecţia "Recreaţii Matematice".
Poate deveni membru al Asociaţiei, printr-o simplă completare a unei cerei tip,
orice perosană care aderă laobiectiveleacesteiaşi sprijină realizarealor.
Membri de onoare ai Asociaţiei, academicienii:
Constantin Corduneanu
Radu Miron
Vizitaţi pe Internet revista "Recreaţii Matematice" la adresa
http://www.recreatiimatematice.uv.ro
108