Universitatea Politehnica din Bucuresti 2011 Disciplina: Geometrie ...

Universitatea Politehnica din Bucureşti 2011Disciplina: Geometrie şi TrigonometrieVarianta M1G - Rezolvări1. Din teorema cosinusului aplicată pentru unghiul Â, avem BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB · AC · cos Â, decicos  = AB2 +AC 2 −BC 22AB·AC. Prin urmarecos  = 2 + (1 + √ 3) 2 − 42 √ 2(1 + √ = 2 + 2√ 33) 2 √ 2(1 + √ 3) = √ 1√2= 2 2 .2. Obţinem z + ¯z = (2 + i) + (2 − i) = 4.3. Avem ū ⊥ ¯v ⇔ ū · ¯v = 0 ⇔ 3λ + (λ − 4) · 1 = 0 ⇔ λ = 1.4. Din 2 sin x = 1 rezultă sin x = 1 2 . Deoarece x ∈ [0, π 2 ], obţinem x = π 6 .5. Prin calcul direct, rezultă ⃗w = 2⃗u+3⃗v = 2(2⃗i+3⃗j)+3(⃗i−2⃗j) = 7⃗i. Deci || ⃗w|| = ||7⃗i|| = |7| ||⃗i|| = 7·1 = 7.6. Înlocuind în expresie valorile funcţiilor trigonometrice, rezultă P = sin 30◦ tg 45 ◦ cos 60 ◦ = 1 2 · 1 · 12 = 1 4 .7. Deoarece sin 2 x = 1 − cos 2 x, obţinem sin 2 x = 1 − 9 25 = 1625 .8. Ecuaţia dreptei este dată de formula x − x A= y − y A, deci x − 1x B − x A y B − y A 2 − 1 = y − 2 . Rezultă −(x − 1) = y − 2,1 − 2deci x + y − 3 = 0.9. Din sin x − √ 3 cos x = 0, rezultă sin x = √ 3 cos x. Dar cos x este nenul, deoarece anularea lui ar conducela sin x ∈ {±1} iar prin înlocuire în ecuaţie la sin x = 0, contradicţie. Prin urmare putem împărţi ambiimembri ai ecuaţiei la cos x ≠ 0. Obţinem sin xcos x = √ 3, adică tg x = √ 3.10. Ridicând la pătrat binomul, folosind formula triginometrică fundamentală şi formula sinusului de arcdublu, rezultă(sin x + cos x) 2 − sin 2x = sin 2 x + cos 2 x + 2 sin x cos x − sin 2x = 1 + sin 2x − sin 2x = 1.11. Deoarece ˆB = 60 ◦ şi Ĉ = 30 ◦ , folosind egalitatea  + ˆB + Ĉ = 180◦ , rezultă  = 180◦ − ( ˆB + Ĉ) = 90◦ .Deci sin Â√22 = sin 45◦ =2 .12. Folosind regula de calcul a modulului unui număr complex scris în formă algebrică, obţinem√ √ 1 3√√√ ( ) 2(√ ) 2 √|z| =∣2 + i 1 3 1 2 ∣ = + =2 2 4 + 3 4 = √ 1 = 1.13. Fie d 1 : mx + 4y + 2 = 0 şi d 2 : 3x − 6y + 1 = 0 dreptele date şi m 1 , m 2 respectiv pantele acestora.Condiţia de paralelism se scrie:d 1 ||d 2 ⇔ m d1 = m d2 ⇔ −m 4 = −3−6 ⇔ −m 4 = 1 2 ⇔ m = −2.∣ ∣ ∣∣∣∣∣14. Folosim formula S = A ∆ABC = 1 x A y A 1∣∣∣∣∣2 |∆|, unde ∆ = −3 0 1x B y B 1x C y C 1 ∣ . Avem ∆ = 3 0 1= 12+12 = 24,0 4 1 ∣deci S = 1 2 · |24| = 12.∣ x A y A 1∣∣∣∣∣ 2 3 115. Punctele A, B, C sunt coliniare dacăx B y B 1∣ x C y C 1 ∣ = 0. Deci −1 4 1= 0 şi dezvoltândm m + 3 1 ∣determinantul, obţinem −4m + 2 = 0, de unde m = 1 2 .Soluţii U.P.B. 2011 * M1G - 1