CERC. POLIGOANE REGULATE

CERC. POLIGOANE REGULATE
1. Definiţia cercului. Cercuri congruente 2. Interiorul şi exteriorul cercului. Discul
Definiţie. Fie O un punct fixat într-un plan α şi r ą 0.
Mulţimea punctelor P din planul α situate la distanţa r de
punctul O se numeşte cerc de centru O şi rază r şi se notează
cu CpO; rq. Două cercuri sunt congruente dacă au razele egale.
Observaţie. Prin rază înţelegem atât numărul r ą 0 din
definiţie cât şi orice segment rOP s care uneşte centrul cercului
cu un punct oarecare P situat pe cerc.
Definiţie. Mulţimea punctelor din planul unui cerc situate
la distanţă mai mică decât raza faţă de centrul cercului
se numeşte interiorul cercului, iar mulţimea punctelor situate
la distanţă mai mare decât raza faţă de centrul cercului
se numeşte exteriorul cercului. Punctele unui cerc CpO; rq
împreună cu punctele interioare cercului formează un disc de
centru O şi rază r, notat cu DpO; rq.
CpO; rq “ t P | OP “ r u
Int CpO; rq “ t P | OP ă r u; Ext CpO; rq “ t Q | OQ ą r u
DpO; rq “ t P | OP ď r u
3. Coarde în cerc. Diametru 4. Unghi la centru. Arc de cerc
Definiţie. Segmentul care uneşte două puncte ale unui cerc
se numeşte coardă a cercului. Coarda care trece prin centrul
cercului se numeşte diametru, iar capetele unui diametru se
numesc puncte diametral opuse.
Observaţie. Diametrul este coarda de lungime maximă.
Lungimea unui diametru este D “ 2r.
Definiţie. Fiind dat un cerc, numim unghi la centru un
unghi cu vârful în centrul acelui cerc. Porţiunea din cerc
situată în interiorul unui unghi propriu la centru se numeşte
arc mic, iar porţiunea din cerc situată în exteriorul aceluiaşi
unghi se numeşte arc mare. Dacă unghiul la centru este alungit,
el determină pe cerc două arce numite semicercuri.
5. Măsura arcelor 6. Arce congruente
Definiţie. Măsura unui arc mic Ŋ AB este egală cu măsura
unghiului la centru ?AOB corespunzător acelui arc, iar măsura
arcului mare Ŕ AMB este egală cu 360˝ ´ m p?AOBq.
Observaţie. Măsura unui semicerc este 180˝ şi măsura cercului
este 360˝.
Definiţie. Două sau mai multe arce ale aceluiaşi cerc (sau în
cercuri congruente) sunt congruente dacă au aceeaşi măsură.
m p Ŋ ABq def.
“ m p?AOBq
m p Ŕ AMBq def.
“ 360˝ ´ m p?AOBq
ŊAB ” Ŋ CD
def.
ðñ m p Ŋ ABq “ m p Ŋ CDq
Teme de recapitulare pentru Evaluarea Naţională
Geometrie: Cercul
´1´ Profesor Marius Damian, Brăila

7. Teoreme referitoare la coarde şi arce
Teoremă. Într-un cerc (sau în cercuri congruente) la coarde
congruente corespund arce congruente şi, reciproc, la arce
congruente corespund coarde congruente.
Teoremă. Într-un cerc diametrul perpendicular pe o coardă
trece prin mijlocul coardei şi prin mijlocul arcului subîntins
de acea coardă.
rABs ” rCDs ðñ Ŋ AB ” Ŋ CD
rABs diametru; rCDs coardă
AB K CD
*
ùñ
"
rCP s ” rDP s
ŊCB ” Ŋ DB
Teoremă. Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă
şi numai dacă sunt egal depărtate de centrul cercului.
Teoremă. Dacă două coarde ale unui cerc sunt paralele,
atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente.
rABs ” rCDs ðñ d pO; ABq “ d pO; CDq
AB ‖ CD ùñ Ŋ AC ” Ŋ BD
8. Poziţii relative ale unei drepte faţă de un cerc
Teoremă. O dreaptă nu poate avea mai mult de două puncte
distincte comune cu un cerc.
Teoremă. Există o dreaptă care are exact două puncte comune
cu un cerc. Acea dreaptă se numeşte secantă a cercului.
Observaţie. O dreaptă este secantă unui cerc dacă şi numai
dacă distanţa de la centrul cercului la acea dreaptă este mai
mică decât raza cercului.
Teoremă. Există o dreaptă care are exact un punct comun
cu un cerc dat. Acea dreaptă se numeşte tangentă la cerc.
Teoremă. Tangenta este perpendiculară pe raza dusă în
punctul de tangenţă.
Observaţie. O dreaptă este tangentă la un cerc dacă şi
numai dacă distanţa de la centrul cercului la acea dreaptă
este egală cu raza cercului.
Teoremă. Există o dreaptă care nu are niciun punct comun
cu un cerc dat. Acea dreaptă se numeşte exterioară cercului.
Observaţie. O dreaptă este exterioară unui cerc dacă şi
numai dacă distanţa de la centrul cercului la acea dreaptă
este mai mare decât raza cercului.
Teoremă. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot construi
exact două tangente la cercul dat. Segmentele care unesc
punctul din exteriorul cercului cu punctele de tangenţă sunt
congruente.
"
△P OT ” △P OT 1 rP T s ” rP T
pI.C.q ùñ
1 s
?OP T ” ?OP T 1
Teme de recapitulare pentru Evaluarea Naţională
Geometrie: Cercul
´2´ Profesor Marius Damian, Brăila

9. Unghi înscris în cerc 10. Triunghi înscris în cerc
Definiţie. Un unghi cu vârful situat pe un cerc şi ale
cărui laturi conţin două coarde ale cercului se numeşte unghi
înscris în cerc.
Teoremă. Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu
jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.
Consecinţă. Un unghi înscris într-un semicerc este unghi
drept.
Definiţie. Un triunghi cu vârfurile situate pe un cerc se
numeşte triunghi înscris în cerc. Mai spunem că cercul este
circumscris triunghiului.
Teoremă. Centrul cercului circumscris unui triunghi se
află la intersecţia mediatoarelor triunghiului. Centrul cercului
circumscis unui triunghi dreptunghic se află în mijlocul
ipotenuzei.
?AP B înscris în cerc ùñ m p?AP Bq “ 1 2 m pŊ ABq
rABs diametru ùñ m p?AP Bq “ 90˝
11. Patrulater înscris în cerc 12. Patrulater inscriptibil
Definiţie. Un patrulater cu vârfurile situate pe un cerc se
numeşte patrulater înscris în cerc. În acest caz, spunem că
cercul este circumscris patrulaterului.
Teoremă. Într-un patrulater înscris într-un cerc:
‚ oricare două unghiuri opuse sunt suplementare;
‚ oricare două unghiuri formate de diagonale cu două laturi
opuse sunt congruente.
Definiţie. Un patrulater este inscriptibil dacă vârfurile sale
sunt puncte conciclice (există un cerc care să le conţină).
Observaţie. Dacă un patrulater este inscriptibil, atunci el
are toate proprietăţile patrulaterului înscris.
Teoremă. Dacă un patrulater are două unghiuri opuse suplementare,
atunci patrulaterul este inscriptibil.
Teoremă. Dacă într-un patrulater unghiurile formate de
diagonale cu două laturi opuse sunt congruente, atunci patrulaterul
este inscriptibil.
13. Triunghi circumscris unui cerc 14. Patrulater circumscris unui cerc
Definiţie. Spunem că un triunghi este circumscris unui cerc
dacă laturile sale sunt tangente cercului.
Teoremă. Centrul cercului înscris într-un triunghi este
punctul de intersecţie a bisectoarelor triunghiului.
Definiţie. Spunem că un patrulater este circumscris unui
cerc dacă laturile sale sunt tangente cercului.
Teoremă. Dacă un patrulater este circumscris unui cerc,
atunci suma lungimilor a două laturi opuse este egală cu suma
lungimilor celorlalte două laturi opuse.
ABCD patrulater înscris ùñ AB ` CD “ AD ` BC
Teme de recapitulare pentru Evaluarea Naţională
Geometrie: Cercul
´3´ Profesor Marius Damian, Brăila

15. Lungimea (perimetrul) cercului. Aria discului 16. Lungimea arcului şi aria sectorului de cerc
L cerc “ 2πR
A disc “ πR 2
u
L arc mic AB Ŋ “ 2πR ¨
360˝
A sector AOB “ πR 2 u ¨
360˝
17. Poligon regulat
Definiţie. Poligonul convex cu toate unghiurile congruente şi toate laturile
congruente se numeşte poligon regulat.
Teoremă. Orice poligon regulat poate fi înscris într-un cerc şi poate fi circumscris
unui cerc.
Definiţie. Distanţa de la centrul cercului circumscris unui poligon regulat la
una din laturile poligonului se numeşte apotemă.
l “ 2R sin 180˝
180˝
n , a p “ R cos
n
18. Triunghiul echilateral 19. Pătratul
a p “ l? 3
6 ; R “ l? 3
3 ; A “ l2? 3
4 ; P “ 3l; h “ l? 3
2
a p “ l 2 ; R “ l? 2
2 ; A “ l2 ; P “ 4l; d “ l ? 2
20. Hexagonul regulat
a p “ l? 3
2 ; R “ l; A “ 6 ¨ l2? 3
4 ; P “ 6l
Teme de recapitulare pentru Evaluarea Naţională
Geometrie: Cercul
´4´ Profesor Marius Damian, Brăila