Metode_numerice

Pregtire lot naional 

Alba Iulia, 18-25 mai 2006 

METODE NUMERICE 

prof. Marinel erban 

Liceul de Informatic “Gr. C. Moisil” Iai 

I. ERORI 

1. Introducere 

Rezolvarea unei probleme presupune: 

1) elaborarea algoritmului 

2) transpunerea într-un limbaj de programare 

3) verificarea rezultatelor (intermediare, finale) 

4) precizia rezultatului 

Din 4) i din faptul c în memorie reprezentarea informaiilor NU este exact deducem faptul c 

rezultatele sufer aproximri. 

Definiie. Fie x ∈ R 

e x = x − x se numete eroare absolut, iar 

ex 

ε 

x 

= se numete eroare relativ. 

x 

Obs. Se obinuiete i e x = x − x 

. Notm x valoarea aproximativ a lui x. Atunci: 

ε = 

2. Clasificarea erorilor 

1 1 1 

S = 1 2 + 2 3 + K 

⋅ ⋅ + n⋅ ( n + 1) 

+ K 

x 

ex 

x 

Erorile se pot clasifica astfel: 

- erori inerente (ale problemei) – acestea rezult din simplificarea modelului fizic pentru a 

putea fi cuprins într-un model matematic 

- erori de metod (de trunchiere) – aceste erori provin din metoda matematic utilizat 

- erori de rotunjire – acestea provin din datele de intrare/ieire sau la calcule (erori de 

operaie) 

Exemple: 

S se calculeze suma: 

Evident 

1 1 1 

S n 

= + + K + suma primilor n termeni, 

1⋅ 2 2⋅3 n⋅ ( n + 1) 

i evident 

Sn 

→ S , adic S n este ir convergent cu limita S. 

Problema este c în programare nu putem determina limita, ca noiune matematic. 

Se poate descrie calculul sumei printr-o formul de recuren: 

 

1 

S1 

= 

 

2 

 

 

1 

Sn 

= Sn− 

1 

+ , n ≥ 2 

n( n + 1) 

Atunci: 

Pagina 1din 37 Data: 01.06.2009





1 

2 

3 

4 

S 

1 2 

= S + = 

6 3 

2 1 

1 3 

S3 = S2 

+ = 

12 4 

M 

1 9 

S9 = S8 

+ = 

90 10 

Atunci se poate lua S ≅ S 9 = 0.9 

Dar 

i 

S 

n 

n 

= 

n + 1 

lim S = 1= 

S 

n→∞ 

n 

deci eroarea este de 0.1. 

Cea mai utilizat metod de rotunjire este rotunjirea prin trunchiere (prin tiere). 

Exemplu: 

x = 12945.734 

Aceast valoare se poate trunchia la: 

x = 12940 

x = 12945 

x = 12945.7 

x = 12945.73 

dar evident i 

x 

5 

= 12900 

În ceea ce privete propagarea erorilor se poate demonstra c lucrând cu valori rotunjite (lucru 

obligatoriu când se lucreaz în virgul mobil) pot s apar erori semnificative la rezultate. 

Exemplu: 

S se calculeze 

x = sin(x 0 ) unde x 0 = 25.7 radiani cu eroare absolut de 10 -8 

Se poate calcula astfel: 

3 5 n 2n+ 1 2n+ 

3 

x0 x0 ( −1) 

x0 x0 

x − x = sin x0 − ( x0 

− + + L + ) ≤ < 10 

3! 5! (2n 

+ 1)! (2n 

+ 3)! 

Folosindu-se, în calculul în virgul mobil, 6 cifre pentru mantis i 2 pentru exponent se ajunge la: 

sin x 0 ≅ 891.789 !!! evident eronat 

Explicaiile acestei aberaii: 

- viteza de convergen a seriei folosite 

- acumularea erorilor de rotunjire 

−8 






II. REZOLVAREA ECUAIILOR ALGEBRICE 

1. Generaliti 

Fie ecuaia f(x) = 0, cu f continu pe intervalul ( a, b) 

⊂ R 

Un numr real α ∈R 

cu f() = 0 se numete rdcin a ecuaiei date. 

Definiie: 

O ecuaie de forma 

P(x) = 0, cu P(x) polinom se numete 

ECUAIE ALGEBRIC 

n 1 n−1 

P x = a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a x + a = 0 

( ) 

( x) 

n 0 1 n−1 

n 

P 

n 

= 0 

Dac ecuaia nu poate fi pus sub forma unui polinom se numete 

ECUAIE TRANSCENDENT 

Exemple de ecuaii transcendente: 

x −10 sin x = 0; 

x 

2 − 2cos x = 0; 

lg( x + 5) = cos x; 

x 

3 

+ cos x −1 

= 0; 

e x + 2 x − 5 = 0; 

Observaii: 

1. Este cunoscut faptul c pentru n=1 (ecuaie liniar) i n=2 (ecuaie ptratic) exist formule 

exacte de rezolvare. Pentru n=3 i n=4 exist formulele Cardano i Ferrari de determinare a 

soluiilor. Pentru n>4 nu exist formule de determinare a soluiilor (metode exacte), decât 

numai pentru anumite cazuri particulare. De obicei rezolvarea unei ecuaii algebrice pentru 

n>4 se face prin metode iterative de calcul. 

2. Mai este cunoscut faptul, c orice ecuaie algebric are cel puin o rdcin real sau 

complex. 

3. La scrierea unei ecuaii în form canonic vom avea aceleai rdcini ca i pentru ecuaia 

iniial, îns în acest caz pot s aprea i rdcini suplimentare. 

2 

2 

De exemplu, ecuaia algebric 2x 

−1 

+ x = 2x 

+ 1 −1, poate fi adus la forma canonic: 

4 3 2 

7x 

+ 12x 

+ 2x 

− 4x 

− 5 = 0. 

În general astfel de ecuaii nu au rdcini exacte. Din aceast cauz se determin o aproximaie a 

rdcinilor, procedând astfel: 

a) se separ rdcinile astfel încât un interval s 

conin o singur rdcin 

b) se îmbuntete aproximaia cât de mult se 

poate (sau cere problema) 

TEOREM 

Dac 

f :[ a, b] → R, 

continu pe [a, b], are semne 

contrare la capetele intervalului, adic 

f ( a) ⋅ f ( b) < 0 atunci 

∃α 

∈ ( a, b)cu f ( α) = 0 

adic ecuaia f(x) = 0 are soluie în acest interval. 






Obs. 

1. Dac funcia f este injectiv atunci ∃! α∈ ( a, b) cu f ( α) = 0 rdcin unic 

2. Separarea rdcinilor se face, de obicei, astfel: 

a. se împarte (a, b) în intervale 

a 1 < a 2 < ... < a n 

b. se calculeaz f(a 1 ), f(a 2 ), ..., f(a n ) 

c. în general se utilizeaz metoda înjumtirii intervalului 

Izolarea soluiilor. Diverse metode de separare (reper matematic) 

Prima etap de rezolvare numeric a ecuaiei f(x)=0 const în separarea rdcinilor, (izolarea 

soluiilor), adic în stabilirea intervalelor ce conin o rdcin unic. 

Aceast etap poate fi realizat în câteva moduri: separarea grafic, separarea analitic sau 

separarea prin metoda încercrilor. 

Separarea grafic a rdcinilor 

S analizm mai întâi modalitatea grafic de separare a soluiilor. 

Luând în consideraie faptul c rdcinile reale ale ecuaiei f(x)=0, nu reprezint altceva decât 

abscisele punctelor de intersecie ale graficului funciei y=f(x) cu axa Ox, este destul s construim 

graficul funciei f(x) i apoi s separm intervalele care conin exact câte o rdcin. Dac ecuaia 

nu are soluii foarte apropiate una de alta, atunci prin aceast metod rdcinile se izoleaz foarte 

uor. În practic îns, de cele mai multe ori, întâlnim cazuri când funcia este de o form destul de 

complicat pentru a construi graficul ei. În astfel de cazuri, pentru simplificarea construirii 

graficului, ecuaia f(x)=0 se înlocuiete cu ecuaia echivalent ei 

f 1 (x)=f 2 (x), 

unde f 1 (x) i f 2 (x) sunt mai simple decât ecuaia iniial. 

Atunci construind graficele funciilor y=f 1 (x) i y=f 2 (x), putem foarte uor izola segmentele sau 

intervalele care conin rdcinile, deoarece ele reprezint abscisele punctelor de intersecie ale 

acestor grafice ( vezi fig.1). 

π/2 

ξ 

Fig. 1 

Exemplu: S se separe grafic rdcinile ecuaiei sin 2x 

− ln x = 0 . Construim separat graficele 

funciilor y=sin(2x) i y=ln(x). Din grafic rezult c ecuaia are o singur soluie, care aparine 

intervalului [1; 1.5]. 






Separarea analitic 

În alte cazuri este bine ca separarea grafic s fie însoit de separarea analitic a rdcinilor, care 

poate fi realizat prin calcul direct sau aplicând una dintre metodele cunoscute. 

Una dintre metodele de separare analitic a rdcinilor se bazeaz pe urmtoarea consecin a 

teoremei lui Rolle: între dou rdcini reale consecutive ale ecuaiei f′(x)=0 exist cel mult o 

rdcin real a ecuaiei f(x)=0. 

Fie x 1





Separarea prin metoda numeric aproximativ. Algoritmul metodei separrii rdcinilor 

S discutm în continuare despre modalitatea de separare a intervalelor ce conin rdcini, 

aplicabil atât pentru rezolvarea ecuaiilor algebrice cât i pentru cele transcendente. 

Problem: Fie este dat funcia f(x)=0 – o funcie continu, monoton cresctoare sau descresctoare 

pe un segment oarecare [a, b] i care are semne diferite la capete, adic f(a)⋅f(b)



2. Rezultate generale privind ecuaiile algebrice 



Fie 

P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0 cu ai 

∈R, a0 

≠ 0 

Un numr real α se numete rdcin simpl dac P( α ) = 0 i P '( α) ≠ 0 

Un numr real α se numete rdcin multip de ordin k dac 

( k −1) 

( k 

P( α) = P '( α) = L = P ( α) = 0 i P ) ( α) ≠ 0 

TEOREMA fundamental a algebrei. 

Orice ecuaie algebric de grad n are exact n rdcini. 

TEOREM 

Dac 

α = α1 + i ⋅ α2 cu P( α) = 0atunci 

P( α ) = 0 undeα = α1 −i 

⋅ α2 

Concluzii: 

1. rdcinile complexe sunt în numr par 

2. o ecuaie algebric de grad impar are cel puin o rdcin real 

TEOREM 

Toate rdcinile x 1 , x 2 , ..., x n ale unei ecuaii algebrice se afl în interiorul cercului cu centrul în 

origine i de raz 

α 

R = 1+ 

unde 

a 

α = max a1 , a2 

, L , an 

Demonstraie 

a 0 x n = P(x) - (a 1 x n-1 + ... + a n ), de unde rezult 

|a 0 x n | |P(x)| + | a 1 x n-1 |+ ... + |a n |, deci 

n 

x −1 

n 

|P(x)| |a 0 x n | - (| a 1 |•|x n-1 |+ ... + |a n |) |a 0 |•|x n | - • (|x n-1 |+ ... + 1) = a0 

x −α 

> 

x −1 

> 

α 

( a0 

− ) ⋅ x 

x −1 

Dac alegem x astfel ca 

0 

{ } 

n 

a 

0 

α 

≥ 

x −1 

astfel încât paranteza s devin pozitiv, deducem 

0 

1 β 

= 1 + 

r an 

α 

x > 1+ 

a 

va rezulta c P(x)>0 deci x NU mai poate fi rdcin. De aici rezult c toate posibilele rdcini 

îndeplinesc condiia: 

α 

x 

j 

≤ 1 + , ∀ j = 1, n 

a 

În mod similar se obine i urmtorul rezultat: 

Dac a n 0 i = max {|a 0 |, |a 1 |, ..., ||a n-1 }, toate rdcinile ecuaiei se afl în exteriorul cercului cu 

centrul în origine i de raz r dat de: 

0 




Demonstraie 

Notm 

1 

x = i prin înlocuire se obine: 

y 



n−1 

n 

1 1 1 a0 + a1 y + L + an− 

1y + an 

y Q( y) 

P( x) 

= a0 + a 

n 1 

+ L + a 

n 1 

n−1 

+ an 

= = 

− 

n n 

y y y y y 

Rdacinile ecuaiei 

1 β 

Q(y) = 0 sunt y y 

j 

< 1 + , ∀ j = 1, n 

j 

= , j = 1, n iar din teorema anterioar tim c 

x 

an 

adic: 

1 1 , de unde x 

j 

r 

x < r 

< 

j 

j 

(-R, 0) (-r, 0) (0, r) (0, R) 

Exemplu 

Fie ecuaia algebric 

x 5 -5x 4 +15x 3 -25x 2 +26x-12 = 0 

Se calculeaz 

= max(5, 15, 25, 26, 12) = 26 

α 26 

R = 1+ = 1+ = 27 

a 1 

0 

= max(1, 5, 15, 25, 26) = 26 

1 β 26 19 6 

= 1+ = 1 + = ,deci r = 

r a 12 6 19 

n 

Rezolvând ecuaia cu metodele clasice rezult: 

x1 = 1, x2 = 1+ i 2, x3 = 1− i 2, x4 = 1+ i 3, x5 

= 1− 

i 3 

vom observa c toate rdcinile sunt în intervalul calculat. 

III. METODE DE APROXIMARE A RDCINILOR UNEI ECUAII ALGEBRICE SAU 

TRANSCENDENTE 

1. Generaliti 

Fie 

f(x) = 0, f:(a, b) R, continu pe intervalul (a, b) 

Vom presupune c pe intervalul respectiv exist o unic rdcin α ∈ ( a, b) 

În ceea ce privete aprecierea erorii de determinare a rdcinii se poate demonstra urmtoarea 

TEOREM 

Fie α ∈ ( a, b)cu f ( α) = 0 i fie α0 ∈ ( a, b) 

Dac f este derivabil pe (a, b) i ∃ µ > 0cu f '( x) > µ , ∀x ∈( a, b) 

rezult 

f ( α0) 

α −α0 

≤ 

µ 

Demonstraie 

Fie α < α0 

. Din teorema lui Lagrange rezult 




∃c ∈( α, α0)cu f ( α0) − f ( α) = ( α0 

−α) ⋅ f '( c) 

Dar f() = 0, deci 

f ( α ) = α −α 

⋅ f '( c) 

de unde 

0 0 



f ( α0) f ( α0) α − α 

0 

= ≤ ,deoarece µ ≤ f '( x ) , ∀x ∈ ( a , b ) ceea ce arat c eroarea de 

f '( c) 

µ 

apreciere a soluiei poate fi oricât de mic. 

2. Metoda înjumtirii intervalului (metoda biseciei) 

Fie f:[a, b] R, continu pe intervalul (a, b), cu f(a)f(b)



Pseudocod 

citeste a, b, , f 

cât_timp (f((a+b)/2)0 i b-a>) execut 

{ 

dac f(a)•f((a+b)/2)





APLICAREA METODEI BISECIEI LA AFLAREA TUTUROR SOLUIILOR UNEI ECUAII NELINIARE 

Rezolvarea ecuaiilor neliniare cu ajutorul calculatorului prevede urmtorii pai: 

• Selectarea intervalelor ce conin soluii separate. 

• Aplicarea metodei respective de gsire a soluiei în fiecare interval, ce conine o soluie seperat 

Algoritmul separrii soluiilor poate fi urmtorul: 

Fie dat ecuaia f(x) = 0. Presupunem c funcia f(x) este continu i graficul ei este reprezentat în 

figura urmtoare: 

Vom începe cu un interval destul de mare [a,b]. Alegem un pas suficient de mic h i începând din 

captul a vom calcula valorile funciei la capetele tuturor segmentelor de lungime h. Dac funcia 

f(x) capt valori de semn opus la capetele segmentului, atunci înseamn c acest interval conine 

cel puin o soluie a ecuaiei f(x)=0. Din grafic observm c soluiile x 1 , x 2 , x 3 i x 4 aparin unor 

astfel de intervale de lungime h, iar la capetele fiecrui interval, funcia f(x) are valori de semn 

opus. Capetele acestor intervale le vom memora într-un tablou. 

În continuare vom aplica metoda biseciei pe fiecare interval ce conine o soluie separat a ecuaiei 

f(x) = 0. 

Exerciii: aplicai metoda biseciei pentru ecuaiile 

e -x + x 2 –2 = 0 

ln x – x +1.8 =0 

x cos(x) – sin(x) = 0 

3. Metoda coardei 

Fie f:[a, b] R, continu pe intervalul (a, b), cu f(a)f(b)0 i f(b)0 

0 

a 

ξ 

b 

f ''( x) > 0, ∀x ∈ ( a, b) 

"adun apa" 

f(b) 

B 






Ducem coarda AB. 

tiind c ecuaia dreptei care trece prin dou puncte A(x 1 , y 1 ) i B(x 2 , y 2 ) este 

y2 − y1 

y − y1 = ( x − x1 

) i c, în cazul nostru punctele sunt A(a, f(a)) i B(b, f(b)), obinem 

x2 − x1 

x − a y − f ( a) 

= 

b − a f ( b) − f ( a) 

Intersectând aceast dreapt cu dreapta y=0 vom obine 

f ( a) 

f ( a) 

x1 

= a − ( b − a) 

sau, notând h1 

= − ( b − a) 

f ( b) − f ( a) 

f ( b) − f ( a) 

x 1 =a+h 1 

Pseudocod 

citeste a, b, , f //expresia funciei f o dm explicit 

f(a) 

x1 execut 

{ 

dac f(a)f(x1)





writeln(' 

METODA COARDEI'); 

writeln(' a ':12,' b'); 

writeln('======================================================'); 

nr_pasi:=0; 

x1:=a-f1(a)/(f1(b)-f1(a))*(b-a); 

while f1(x1)>eps do 

begin 

nr_pasi:=nr_pasi+1; 

if f1(a)*f1(x1)0 i f ''( ) > 0 a fix 

2 

a + b 

dac f ( a) ⋅ f ''( ) < 0 bfix 

2 

Exemplu: 

S se determine soluia ecuaiei 

2x 3 -6x 2 -x+3 = 0 din intervalul [0, 1] 

Se observ, din calcul, faptul c 

f(0) = 3 i f(1) = -2, deci funcia are semne diferite la capetele intervalului. 

Pseudocod 

citeste a, b, , f 

dac f(a)f''((a+b)/2)>0 atunci 

{ fix



Program coarda2; 

var a,b,eps,y,x0,x1,fix:real; 

nr_pasi:integer; 

function f5(x:real):real; 

begin 

f5:=x*x*x*x-x*x*x+x*x+2*x-6 

end; 

function f5secund(x:real):real; 

begin 

f5secund:=12*x*x-6*x+2 

end; 


begin 

f2:=x*ln(x)-1 

end; 


begin 

f2secund:=1/x 

end; 


begin 

f3:=x*x+ln(x)-4 

end; 




begin 

f3secund:=2-1/(x*x) 

end; 


begin 

f4:=2/3*sqrt(x*x+9)-x 

end; 


begin 

f4secund:=6/((x*x+9)*sqrt(x*x+9)) 

end; 


begin 

f1:=2*x*x*x-6*x*x-x+3 

end; 


begin 

f1secund:=12*x-12 

end; 

begin 

write('limita inferioara a=');readln(a); 

write('limita superioara b=');readln(b); 

write('precizia E=');readln(eps); 

write('f(x)=');readln(functia); 

clrscr; 

writeln('[a,b]=[',a:5:1,',',b:5:1,'] E=',eps:10:8); 

writeln(' 

METODA COARDEI'); 

writeln(' x0 ':12,' x1 fix'); 

writeln('======================================================'); 

nr_pasi:=0; 

if f1(a)*f1secund((a+b)/2)>0 

then 

begin 

fix:=a; x0:=b 

end 

else 

begin 

fix:=b; x0:=a 

end; 

x1:=x0-f1(x0)/(f1(x0)-f1(fix))*(x0-fix); 

while abs(x1-x0)>eps do 

begin 


x0:=x1; 

x1:=x0-f1(x0)/(f1(x0)-f1(fix))*(x0-fix); 

writeln(x0:12:8,x1:12:8,'x0-x1=':8,abs(x0-x1):12:8,' ',fix:4:2) 

end; 

y:=x1; 

writeln('------------------------------------------------------'); 

writeln('SOLUTIA APROXIMATIVA DUPA ',nr_pasi,' PASI ESTE y=',y:12:8); 

repeat until keypressed 

end. 

Pentru exemplul de mai sus se obin 

y 0.70710678 27 pai înjumtire 

y 0.70710678 6 pai coarda1 

y 0.70710678 7 pai coarda2 

y 0.70710678 4 pai tangenta 






4. Metoda tangentei (NEWTON - RAPHSON) 

Fie f:[a, b] R, continu pe intervalul (a, b), cu f', f'' semn constant pe [a, b] 

y 

A(a, f(a)) 

f(a) 

f(a)>0 

f''(x)>0, x din [a, b] 

0 

a=x 0 x 1 x 2 ξ 

f(b) 

x 

B(b, f(b)) 

i fie x 0 = a astfel încât 

f(x 0 )•f"(x 0 )>0 

atunci, scriind ecuaia tangentei la curba în punctul x 0 , vom obine 

y - y 0 = f'(x 0 )(x - x 0 ) 

i intersectând aceast dreapta cu dreapta 

y = 0 

vom avea 

f ( x0) 

x1 = x0 

− 

f '( x0) 

i procedând analog pentru punctul x 1 obinut, apoi în continuare: 

f ( x1 

) 

x2 = x1 

− 

f '( x1 

) 

f ( x2) 

x3 = x2 

− 

f '( x2) 

... 

f ( xn− 

1) 

xn 

= xn− 

1 

− (**) 

f '( x ) 

n−1 

În mod analog se deduce modul de calcul i dac 

graficul funciei este 

y 

f(a) 

0 

B(b,f(b)) 

f(b) 

a ξ x 2 x 1 b=x 0 

A(a, f(a)) 

caz în care x 0 = b. 

Exemplu: 

S se determine soluia ecuaiei 

x 3 +x 2 -2x-2 = 0 din intervalul (1, 2) 

Se observ, din calcul, faptul c 

f(1) = -2 i f(2) = 6, deci funcia are semne diferite la capetele intervalului. 




Pseudocod 



citeste a, b, , f //expresia funciei f o dm explicit 

a+b 

dac f(a)f(---)>0 atunci 

2 

x0



begin 

write('limita inferioara a=');readln(a); 

write('limita superioara b=');readln(b); 

write('precizia E=');readln(eps); 

writeln('[a,b]=[',a:5:1,',',b:5:1,'] E=',eps:10:8); 

writeln(' 

METODA TANGENTEI'); 



writeln(' x0 ':12,' y'); 

writeln('======================================================'); 

nr_pasi:=0; 

if f1(a)*f1secund((a+b)/2)>0 

then x0:=a else x0:=b; 

repeat 


y:=f1(x0)/f1prim(x0); 

x0:=x0-y; 

writeln(x0:12:8,abs(y):12:8) 

until abs(y) 0 => k a este rdcina ecuaiei x k − a = 0 

Conform metodei Newton-Raphson avem 

f '( x) 

= k ⋅ x 

k− 1 > 

0 

f ''( x) 

= k ⋅( 

k −1) 

⋅ x 

k−2 

> 0, ∀x 

∈(0, 

∞) 

Graficul funciei 

f ( x) 

= x 

k − a este 

y 

0 

Y( k a ,0) 

x 

deci ecuaia are soluie unic 

α ∈ R, α > 0 

A(0,-a) 




Aplicând formula tangentelor (**) se obine 

k 

xn− 

1 

− a 

xn 

= x 

n−1 − , n = 1,2,Κ 

k−1 

k ⋅ xn− 

1 

sau transformând 

1 

a 

xn 

= ( 

k −1) 

xn− 

1 

+ , = 1,2,Κ 

1 n 

k − 

k 

xn− 

1 

Pentru k=2 se obine rdcina de ordinul 2 

x 

n 

iar pentru k=3 

x 

n 

= 

1 

2 

 

x 

n− 

1 

= 2x 

3 

a 

1 

+ , 

n = 1,2,Κ 

xn− 

1 

n− 

a 

1 

+ , = 1,2,Κ 

2 n 

xn− 

1 



numit i formula lui HERO 

Obs. Se poate demonstra c doar pentru x 0 > 0 procesul este convergent. 

Metoda mixt (aplicarea simultan a metodei coardelor i tangentelor). Reper matematic. 

Metoda corzilor i metoda tangentelor ne dau valorile aproximative ale rdcinii ξ din ambele pri 

(prin adaos i prin lips). De aceea ar fi mai raional s le folosim simultan, caz în care precizarea 

rdcinii are loc mai rapid. 

Fie dat ecuaia f(x)=0, rdcina ξ care este deja separat i se afl în segmentul [a,b]. În plus mai 

sunt îndeplinite condiiile urmtoare: f(a)⋅f(b)0; f''(x)>0 (fig.4) 

2) f'(x)0; f''(x)





y 

B 

y 

A 

f(b) 

f(a) 

a=x 0 x 1 

⎺x 1 ⎺x 0=b 

0 

f(a) 

ξ ⎺x 1 ⎺x 0=b x 

0 

a=x 0 x 1 x 2 ξ 

x 

f(b) 

A 

B 

Fig. 6 Fig. 7 

Îns în toate cazurile, rdcina real ξ a funciei f(x) este cuprins între valorile aproximative ale 

rdcinilor aflate în urma aplicrii simultane a ambelor metode. Mai precis, se respect inegalitatea: 

a < x < ξ < x b , 

i i 

< 

unde x i 

– aproximaia prin lips, iar x i 

– aproximaia prin adaos. 

Calculele pot fi efectuate în urmtoarea ordine. 

Cazul I: 

Dac f'(x)⋅f''(x)>0 i x∈[a, b], atunci la extremitatea stâng a se aplic metoda coardelor, iar la 

extremitatea dreapt b – metoda tangentelor i atunci vom avea: 

f ( a) ⋅( b − a) 

f ( b) 

a1 = a − 

, b1 

= b − (1) 

f ( b) − f ( a) 

f ′ ( b) 

Acum rdcina adevrat se gsete pe intervalul [a 1 , b 1 ]. Aplicând pe acest interval metoda mixt 

vom cpta aproximaiile urmtoare: 

f ( a1) ⋅ ( b1 − a1) 

f ( b1 

) 

a2 = a1 

− 

, b2 = b1 

− 

f ( b ) − f ( a ) 

f ′ ( b ) 

1 1 

iar în caz general: 

f ( ai ) ⋅ ( bi − ai 

) 

f ( bi 

) 

ai+ 1 

= ai 

− 

, bi 

+ 1 

= bi 

− . (2) 

f ( bi 

) − f ( ai 

) 

f ′ ( bi 

) 

Cazul II: 

Dac f'(x)⋅f''(x)





Metoda mixt este foarte comod pentru estimarea erorii de calcul. Procesul de calcul se încheie 

atunci când se îndeplinete inegalitatea: x − x 

1 

aproximativ a rdcinii se poate lua valoarea: ξ = ( − ) 

aproximaiile prin lips i corespunztor prin adaos. 

Algoritmul realizrii metodei mixte 

i 

i 

< ε . În acest caz în calitate de valoarea 

2 x x i i 

, unde valorile x i 

i x i 

– 

1. Definirea funciei f(x), a intervalului de lucru [a, b], a preciziei ε i a 

numrului maxim de iteraii nmax. 

2. Proces de calcul: 

a) iniializarea procesului de calcul: 

fa:=f(a); fb:=f(b); niter:=0; 

x:=a-(b-a)*fa/(fb-fa); { calcul soluie iniial } 

fx:=f(x); 

b) Verificare semnelor la capetele intervalului cercetat cu alegerea 

aproximaiei iniiale: 

dac f(a)*f(x)





if f(a)*f(x)



end; 

end. 



writeln('pe intervalul [',x1:0:prec(eps),'; ',x2:0:prec(eps),']'); 

fa:=f(x1); fb:=f(x2); nit:=0; 

x:=x1-(x2-x1)*fa/(fb-fa); { calcul solutie initiala } 

fx:=f(x); 

if f(a)*f(x)



Dac irul (x k ) este convergent, adic 

y=x 

k→∞ 

α = g(α) adic este rdcina cutat. 

Geometric se poate reprezenta astfel: 



∃α 

= lim x , atunci, trecând la limit în (***) vom obine 

k 

y=g(x) 

y=x 

y 

y=g(x) 

y 

0 

x 2 

x 1 

x 0 

x 

0 

x 1 x 3 ... x 4 x 2 

x 0 

x 

Pseudocod 

citeste x0, nr_it, , f //expresia funciei f o dm explicit 

x(1)





Exemple: 

cox(x)-x = 0 (0, PI/2) =10 -8 y=0.73908514 47 pai 

2sin(x)-x = 0 (PI/2, PI) =10 -8 y=1.89549427 44 pai 

x 2 +ln(x)-4 = 0 (0.5, 2) =10 -8 y=1.84109706 12 pai 

Obs. Aceast ultim ecuaie pus sub forma 

x = 4 − ln x 

este convergent ctre soluie, dar pus sub forma 

2 

− 

4 x 

x = e , ceea ce se poate scrie (în Pascal) x=exp(4-x 2 ) 

NU este convergent. 

Apare deci întrebarea: „cum alegem funcia g astfel încât s fie convergent”? 

TEOREM 

Fie ecuaia f(x) = 0 (funcia f(x) este continu pe intervalul (a, b) i f(a)f(b)





Nu trebuie uitat c la reprezentarea numerelor în calculator nu putem reine decât un numr finit de 

cifre, iar erorile de rotunjire se propag. Se poate ajunge în situaia ca din cauza acestor erori, 

determinantul s devin egal cu zero sau s aib o valoare foarte mic în modul. Complexitatea 

implementrilor prezente în bibliotecile matematice se datoreaz în mare parte tehnicilor de evitare 

a acestei situaii, dar totodat i eforturilor de minimizare a memoriei utilizate i a timpului de 

calcul. 

Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare sunt de dou tipuri: 

• metode directe (sau metode de eliminare sau metode exacte), în care soluia este obinut în 

urma unui numr de operaii dinainte cunoscut; 

• metode iterative, care se bazeaz pe folosirea unei aproximaii iniiale ce se îmbuntete de 

la o etap la alta. 

1. Metode exacte 

a) Metoda lui CRAMER 

Metoda este indicat pentru n ≤ 4. 

Sistemul este 

A⋅X = B cu det(A) ≠ 0, caz în care soluia este unic – sistemul este compatibil 

determinat. 

Dac det(A) ≠ 0, exist A -1 (inversa matricii), care are proprietatea 

A -1 ⋅A = A⋅A -1 = I (matricea unitate) 

Atunci, înmulind ecuaia la stânga cu A -1 se obine, pe rând 

A -1 |A⋅X = B 

A -1 ⋅A⋅X = A -1 ⋅B 

I⋅X = A -1 ⋅B 

Adic 

X = A -1 ⋅B soluia sistemului 

Dar 

A -1 = 1/∆⋅A * unde A * matricea cu complemeni algebrici 

rezult 

X = 1/∆⋅A * ⋅B 

adic 

x ∆ 

x 

M 

x 

1 1 

1 ∆ 

= ⋅ 

∆ M 

2 2 

n 

∆ 

n 

unde ∆ i sunt determinanii obinui prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi. 

Deci 

∆i 

xi 

= , ∀ i = 1, n 

∆ 

Exemplu: 

2x 1 +x 2 - x 3 = 3 ∆ = –4 ≠ 0 

x 1 +x 2 + x 3 = 6 (1, 3, 2) - soluia 

-2x 1 +x 2 +3x 3 = 7 

uses crt; 

const n=3; 

type matrice=array[1..n,1..n] of real; 

var a, asav:array[1..n,1..n] of real; 

b, x:array[1..n] of real; 




perm:array[1..n] of integer; 

i,j:integer; 

det,deta:real; 



procedure change(var a,b:integer); 

var aux:integer; 

begin 

aux:=a; a:=b; b:=aux; 

end; 

procedure suma; 

var p:real; 

sign,i,j:integer; 

begin 

p:=1; 

sign:=0; 

for i:=1 to n do 

for j:=i to n do 

if perm[i]>perm[j] then 

sign:=sign+1; 


p:=p*a[i,perm[i]]; 

if sign mod 2=0 then 

det:=det+p 

else 

det:=det-p; 

end; 

procedure permuta(n:integer); 

var i:integer; 

begin 

if n=1 then 

suma 

else 


begin 

change(perm[i],perm[n]); 

permuta(n-1); 

change(perm[i],perm[n]); 

end; 

end; 

procedure refacere; 

var i,j:integer; 

begin 


for j:=1 to n do 

a[i,j]:=asav[i,j]; 

end; 

begin 

clrscr; 

writeln('Intoduceti matricea A'); 


begin 

gotoxy(3,i+3); write(#186); 

gotoxy(6*n+4,i+3); write(#186); 

end; 



begin 

gotoxy(6*j-1,i+3); readln(a[i,j]); 

asav[i,j]:=a[i,j]; 

end; 

gotoxy(6*n+10,1); writeln('Introduceti matricea B'); 


begin 



end; 





end. 

begin 

gotoxy(6*n+11,i+3); readln(b[i]); 

end; 


perm[i]:=i; 

gotoxy(10,n+5); writeln('Rezultat:'); 

det:=0; 

permuta(n); 

deta:=det; 

if deta=0 then 

writeln('Eroare-det(A)=0') 

else 


begin 

refacere; 


a[j,i]:=b[j]; 

det:=0; 

permuta(n); 

x[i]:=det/deta; 

writeln(' 

end; 

b) Metoda (de eliminare) lui GAUSS 

x[',i,']=',x[i]:5:2); 



Considerm sistemul: 

A⋅X = B cu det(A) ≠ 0 

Pentru a descrie mai uor metoda vom considera cazul n = 4. Deci sistemul nostru este: 

a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +a 14 x 4 = b 1 

a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +a 24 x 4 = b 2 

a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 +a 34 x 4 = b 3 

a 41 x 1 +a 42 x 2 +a 43 x 3 +a 44 x 4 = b 4 

Presupunem a 11 ≠ 0, în caz contrar se schimb între ele ecuaiile – soluiile nu se schimb. 

(a) Împrim prima ecuaie cu a 11 i se obine: 

a12 a13 

a14 b1 

x1 + x2 + x3 + x4 

= adic 

a a a a 

11 11 11 11 

x + a x + a x + a x = b (*) unde 

(1) (1) (1) (1) 

1 12 2 13 3 14 4 1 

a b 

a = , b = , j > 1 

(1) 1 j (1) 1 

1 j 

1 

a11 a11 

(b) Se elimin x 1 din ecuaiile 2, 3, 4 înmulind pe rând ecuaia (*) cu a 21 , a 31 , a 41 i sczând-o din 

ecuaiile 2, 3, 4. 

Vom obine sistemul: 

a x + a x + a x = b 

Presupunem 

(1) (1) (1) (1) 

22 2 23 3 24 4 2 

a x + a x + a x = b 

(1) (1) (1) (1) 

32 2 33 3 34 4 3 

a x + a x + a x = b 

(1) (1) (1) (1) 

42 2 43 3 44 4 4 

unde 

a = a − a ⋅ a , b = b − a ⋅b i, j ≥ 2 

(1) (1) (1) (1) 

ij ij i1 1 j i i i1 1 

(1) 

a22 ≠ 0. Se repet etapele (a) i (b) pentru sistemul obinut. Se obine: 

x + a x + a x = b unde 

(2) (2) (2) 

2 23 3 24 4 2 

dup pasul (b) se obine sistemul 

(2) (2) (2) 

a33 x3 + a34 x4 = b3 

unde 

(2) (2) (2) 

a x + a x = b 

43 3 44 4 4 

a 

a = , b = , j > 2 

(1) (1) 

(2) 2 j (2) b2 

2 j (1) 2 (1) 

a22 a22 

a = a − a ⋅ a , b = b − a ⋅b i, j ≥ 3 

(2) (1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) 

ij ij i2 2 j i i i2 2 




Analog se va obine: 

x + a x = b unde 

(3) (3) 

3 34 4 3 

apoi, eliminând x 3 

(3) (3) 

a x = b unde 

Acum: 

x 

44 4 4 

(3) 

4 (4) 

4 

b 

(3) 4 

a44 

a 

a = , b = , j > 3 

(2) (2) 

(3) 3 j (3) b3 

3 j (2) 3 (2) 

a33 a33 

a = a − a 

3 

⋅a3 i, j ≥ 4 

(3) (2) (2) (3) 

ij ij i j 

b 

= = apoi se calculeaz pe rând: 

x = b − a ⋅ x 

(3) (2) 

3 3 34 4 

x = b − a ⋅ x − a ⋅ x 

(2) (2) (2) 

2 2 24 4 23 3 

x = b − a ⋅ x − a ⋅ x − a ⋅ x 

(1) (1) (1) (1) 

1 1 14 4 13 3 12 2 

În general, pentru un sistem 

A⋅X = B cu det(A) ≠ 0 

dup k transformrise obine un sistem echivalent: 

A (k) ⋅X = B (k) , cu A (1) =A, B (1) =B 

iar pentru k ≥ 2 elementele se calculeaz astfel: 

 

 

( k −1) 

aij 

i ≤ k −1 

( k ) 

aij 

= 0 i ≥ k, j ≤ k −1 

 

( k −1) 

 

a 

( k −1) i, k −1 

( k −1) 

aij − ⋅ a 

( 1) k 1, j 

i, 

j k 

k − − 

≥ 

 

ak 

−1, k −1 

( k −1) 

bi 

i ≤ k −1 

( k ) 

( k −1) 

bi 

= ( k −1) ai, k −1 

( k −1) 

bi 

− ⋅b ( k 1) k −1 

i ≥ k 

− 

ak 

−1, k −1 



Exemplu: 

x 1 +2x 2 -x 3 +2x 4 =2 

2x 1 -x 2 +3x 3 -x 4 =-1 

x 1 +3x 2 +x 3 +x 4 =4 care are soluia (1, 2, -1, -2) 

-x 1 +2x 2 +4x 3 +x 4 =-3 

Metoda eliminrii a lui Gauss const în a obine zerouri succesiv, întâi pe prima coloan (sub 

coeficientul a 11 ), apoi pe a doua coloan (sub coeficientul a 22 )¸ s.a.m.d., pe ultima linie a matricei A 

rmânând doar coeficientul a nn (evident modificat de operaiile de eliminare anterioare). Aceasta 

revine la a reduce matricea A la o matrice superior triunghiular, iar sistemul la forma 

a 11 a 12 . . . a 1n x 1 b 1 

0 a (1) 22 . . . a (1) 2n x 2 b (1) 2 

0 0 . . . 

0 0 0 . . .a (i-1) ij . . . a (i-1) in ⋅ x i = b (i-1) i 

0 0 0 0 

. . . 

0 0 0 0 0 . . . a (n-1) nn x n b (n-1) n 

Indicii superiori indic etapa în care a fost obinut elementul. Pentru a obine zerourile de sub 

diagonala principal, se folosesc operaii simple de înmulire a unei linii cu un multiplicator i de 






scdere din alt linie. Spre exemplu, pentru a obine zerouri pe prima coloana, din linia i se scade 

prima linie înmulit cu multiplicatorul m i1 , obinându-se 

a i1 (1) = a i1 - m i1 a 11 = 0 de unde se deduce m i1 = a i1 /a 11 

Repetând procedeul pentru i = 2, n, se obin elemente nule pe coloana întâi în aceast prim etap. 

Evident, pentru a putea opera, trebuie ca a 11 ≠ 0. Mai mult, se recomand ca a 11 s fie în modul cât 

mai mare posibil, deoarece în acest mod, erorile de rotunjire sunt reduse. Elementul a ii plasat pe 

diagonala principal se numete pivot. Obinerea unui pivot cu modul cât mai mare este posibil 

prin schimbri de linii i coloane care nu afecteaz zerourile deja produse, adic pivotul se poate 

alege dintre elementele de sub i/sau la dreapta poziiei de pe diagonala principal a pivotului. În 

funcie de numrul de elemente dintre care este selectat, pivotul poate fi parial, când se alege cel 

mai mare în modul dintre elementele de pe coloana pivotului, sub diagonala principal, sau total, 

când se alege cel mai mare în modul dintre toate elementele coninute în linii i coloane care, 

interschimbate, nu modific zerourile deja obinute. 

Pseudocod 

citete n, a(i,j), i=1,n, j=1,n+1 

pentru i=1, n execut 

{ 

schimb(i, cod) 

dac cod0 atunci scrie „sistem incompatibil sau nedetrminat”; exit 

redus(i) 

} 

rezolv 

scrie x(i), i=1,n 

procedura maxim(i, k0) 

//k0 – furnizeaz rangul ecuaiei cu coeficientul lui x i cel mai mare în 

// valoare absolut 

{ 

m



} 

a(i, i)



{ ecuatiile de Rang i+1,i+2,...,n } 

Var t:Real; 

Rang,j:Integer; 

Begin 

Maxim(i,Rang); 

If a[Rang,i]=0 

Then Cod:=1 

{ daca coeficientul Maxim este 0=>toti sint =0 deci } 

{ sistemul nu se poate rezolva (pivotul = 0) } 

else 

{ se face schimbarea ecuatiilor i cu Rang } 

Begin 

Cod:=0; 

For j:=i To n+1 Do 

Begin 

t:=a[Rang,j]; 

a[Rang,j]:=a[i,j]; 

a[i,j]:=t 

End 

End; 

End; 

Procedure Redus(i:Integer); 

Var j,k:Integer; 

Begin 

{ imparte ecuatia i cu a[i,i] } 

For j:=i+1 To n+1 Do a[i,j]:=a[i,j]/a[i,i]; 

a[i,i]:=1; 

{ transforma toti coeficientii de deasupra diagonalei } 

For k:=i+1 To n Do 

Begin 

For j:=i+1 To n+1 Do a[k,j]:=a[k,j]-a[i,j]*a[k,i]; 

{ si ii anuleaza pe cei de sub diagonala } 

a[k,i]:=0 

End 

End; 

Procedure Rezolv; 

{ calculeaza solutiile prin eliminare inversa } 

Var i,j:Integer; 

s:Real; 

Begin 

x[n]:=a[n,n+1]; 

For i:=n-1 DownTo 1 Do 

Begin 

s:=0; 

For j:=i+1 To n Do s:=s+a[i,j]*x[j]; 

x[i]:=a[i,n+1]-s 

End 

End; 

Begin 

ClrScr; 

Write('dimensiune sistem:');ReadLn(n); 

For i:=1 To n Do 

Begin 

For j:=1 To n Do 

Begin 

Write('a[',i,',',j,']='); ReadLn(a[i,j]) 

End; 

Write('b[',i,']=');ReadLn(a[i,n+1]) 

End; 

ClrScr; 

WriteLn('Sistemul initial'); 

ScrieMat; 

Ch:=ReadKey; 

DetA:=1; 


Begin 

Schimb(i,Cod); 

If Cod0 






Then 

Begin 

WriteLn('!!!!!'); 

WriteLn('sistem INCOMPATIBIL sau NEDERMINAT'); 

Halt(1) 

End 

Else Redus(i); 

WriteLn('!!! PASUL:',i); 

ScrieMat; 

Ch:=ReadKey 

End; 

WriteLn; 

ClrScr; 

WriteLn('*** SOLUTIA ***');WriteLn; 

Rezolv; 

For i:=1 To n Do WriteLn('x[',i:1,']=',x[i]:8:3); WriteLn; 

End. 



Pentru a observa influena alegerii pivotului asupra preciziei rezultatelor, refacem calculele de mai 

sus fr a mai schimba liniile 2 cu 3 pentru a aduce valoarea 1.75 pe poziia pivotului în etapa a 

doua. Se va obine : 

i soluiile 






Se observ apariia unor valori diferite, comparativ cu valorile obinute în cazul anterior. 

Numrul de operaii necesare pentru obinerea soluiei prin procedeul de eliminare gaussian se 

calculeaz uor. Evident, nu lum în considerare i operaiile legate de permutarea elementelor în 

vederea gsirii pivotului parial sau total, deoarece acestea depind de fiecare matrice în parte. De 

regul, se consider c împrirea reprezint o singur “operaie”, în timp ce o adunare i o 

înmulire formeaz împreun tot o “operaie” (aproximativ acelai timp de calcul pe calculator). 

Amintindu-ne c operaiile se efectueaz cu elementele matricei extinse A0, de dimensiuni n · (n + 

1), vom avea de efectuat într-o etap s, n-s împriri pentru a obine multiplicatorii m i,s . Numrul de 

adunri i înmuliri este egal cu produsul numrului de valori luate de indicii i, j, adic (n-s)(n+1-s). 

Rezult numrul de operaii la eliminarea Gauss 

Acest numr este foarte mic (începând cu n >= 3) fa de n·n! operaii cerute de regula lui Cramer 

(cu determinanii calculai dup minori). La aceste operaii se adaug înc aproximativ 

1+(n-1)+n(n-1)/2 = n 2 /2+n/2 

operaii pentru retrosubstituire. Rezult numrul total de operaii pentru eliminarea gaussian 

2. Metode iterative 

Principiul general al metodelor iterative poate fi prezentat prin analogie cu metoda iteraiei simple 

de rezolvare a ecuaiei 

F(x) = 0 

în care ecuaia original este transcris ca 

x = f(x) 

ce conduce la procedeul iterativ 

x k+1 = f(x k ) 

În cazul sistemelor liniare 

A⋅X = B 

vom fora o descompunere a matricei A 

a) Metoda lui JACOBI (metoda iteraiilor simultane) 

Vom considera, ca i pân acum, un sistem de forma 

n 

 

j= 

1 

a ⋅ x = b , i = 1, n 

ij j j 

adic A⋅X = B, cu det(A) ≠ 0 – matrice nesingular 

Vom presupune c 

a ii ≠ 0, i=1, n 

Form descompunerea matricei A sub forma 

A = D + (-T) + (-S) 

adic 

a11 a12 L a1 

n a 11 

0 L 0 0 0 L 0 0 

a12 L a1 

n 

 

a21 a22 a 

 

2n 

0 a22 

0 

 

a21 0 0 

 

0 0 a2n 

A 

L 

 

L 

 

L 

 

L 

= = + + 

 

M M M M 

 

 

an 

1 

an2 

L an 

n 0 0 L ann 

a n1 an2 

L 0 

0 0 L 0 




adic, sub form matricial 

(D-T-S)⋅X = B 

deci 

D⋅X=(T+S) ⋅X + B 



În acest fel, pentru orice element a ii ≠ 0, i=1, n avem o metod iterativ 

n 

( k + 1) ( k ) 

ii i ij j i 

j= 

1 

j≠i 

a ⋅ x = − a ⋅ x + b , i = 1, 2, L , n k ≥ 0 

cu x (0) i 

, i = 1, n aproximaiile iniiale 

Se obine metoda iterativ JACOBI 

a b 

x = − ( ) ⋅ x + , i = 1, 2, L , n k ≥ 0 

n 

( k + 1) ij ( k ) i 

i 

j 

j= 

1 aii aii 

j≠i 

Pseudocod 


citete x(i), i=1,n 

pentru k=1, 7 execut //pentru 7 iteraii 

{ 

pentru i=1,n execut 

{ 

y(i)




Begin 

Write('a[',i,',',j,']=');ReadLn(a[i,j]); 

End; 


End; 

WriteLn('aproximatia initiala'); 


Begin 

Write('x[',i,']=');ReadLn(x[i]); 

y[i]:=0 

End; 

WriteLn('SISTEMUL INITIAL SI APROXIMATIA INITIALA'); 

ScrieMat; 

{ vom face 7 iteratii - se poate modifica } 

For k:=1 To Nr_Iteratii Do 

Begin 

{ pentru fiecare ecuatie se face calculul aproximatiei } 


Begin 

y[i]:=a[i,n+1]/a[i,i]; 


If ji Then y[i]:=y[i]-a[i,j]/a[i,i]*x[j]; 

End; 

WriteLn('!!! ITERATIA:',k);ScrieMat; 

{ noua aproximatie devine cea curenta } 

For i:=1 To n Do x[i]:=y[i]; 

End; 

For i:=1 To n Do Write(x[i]:9:5); 

WriteLn; 

End. 

b) Metoda lui GAUSS-SEIDEL (metoda aproximaiilor succesive) 



Metoda reprezint o îmbuntire a metodei JACOBI în sensul c utilizeaz nu doar aproximaiile 

( k ) 

( k 1) 

x pentru calculul lui x + 

( k 1) 

, ci i componentele x + cu i>j, adic acele componente care au fost 

i 

deja calculate în aproximaia curent. 

În aceste condiii se poate scrie 

i 

i−1 

n 

( k + 1) ( k + 1) ( k ) 

ii i ij j ij j i 

j= 1 j= i+ 

1 

L 

a ⋅ x = − a ⋅ x − a ⋅ x + b , i = 1, 2, , n k = 1, 2,..., n 

deci metoda iterativ GAUSS-SEIDEL se poate descrie prin 

a a b 

x = − ( ) ⋅ x − ( ) ⋅ x + , i = 1, 2, , n k = 1, 2,..., n 

i−1 

n 

( k + 1) ij ( k + 1) ij ( k ) i 

i j j 

j= 1 aii j= i+ 

1 aii aii 

L 

Pseudocod 


citete x(i), i=1,n 

pentru k=1, 7 execut //pentru 7 iteraii 

{ 

pentru i=1,n execut 

{ 

y(i)



Program GAUSS_SEIDEL; 

Const NMax=10; 

Nr_Iteratii=10; 

Type Matrice=Array[1..NMax,1..NMax+1] Of Real; 

Sir=Array[1..NMax] Of Real; 

Var a:Matrice; 

{ x[i] - aproximatia veche } 

{ y[i] - aproximatia noua care se calculeaza } 

x,y:Sir; 

i,j,k,n:Integer; 

Procedure ScrieMat; 

Var i,j:0..NMax+1; 

Begin 


Begin 

WriteLn; 

For j:=1 To n Do Write(a[i,j]:8:3); 

Write(a[i,n+1]:10:3); 

Write(x[i]:13:5,y[i]:10:5) 

End; 

WriteLn;WriteLn 

End; 

Begin 

Write('dimensiune sistem:');ReadLn(n); 


Begin 


Begin 

Write('a[',i,',',j,']=');ReadLn(a[i,j]); 

End; 


End; 

WriteLn('aproximatia initiala'); 


Begin 

Write('x[',i,']=');ReadLn(x[i]); 

y[i]:=0 

End; 

WriteLn('SISTEMUL INITIAL SI APROXIMATIA INITIALA'); 

ScrieMat; 

{ vom face 7 iteratii - se poate modifica } 

For k:=1 To Nr_Iteratii Do 

Begin 

{ pentru fiecare ecuatie se face calculul aproximatiei } 


Begin 

y[i]:=a[i,n+1]/a[i,i]; 

For j:=1 To i-1 Do 

y[i]:=y[i]-a[i,j]/a[i,i]*y[j]; 

For j:=i+1 To n Do 

y[i]:=y[i]-a[i,j]/a[i,i]*x[j]; 

End; 

WriteLn('!!! ITERATIA:',k);ScrieMat; 

{ noua aproximatie devine cea curenta } 

For j:=1 To n Do x[j]:=y[j]; 

End; 

For i:=1 To n Do Write(x[i]:9:5); WriteLn; 

End. 



Obs. Cele dou metode iterative dau rezultate (sunt convergente) doar pentru sisteme în care 

matricea coeficienilor (a ij ) este de un tip special i anume coeficienii diagonali sunt dominani. 

Exemplu: 

10x 1 + x 2 +2x 3 = 13 

5x 2 +3x 3 = 8 

-x 1 + x 2 +7x 3 = 7 






(0) 

cu aproximaia iniial x 

(0) (0) 

= 2, x = 3, x = 5 furnizeaz 

1 2 3 

SISTEMUL INITIAL SI APROXIMATIA INITIALA 

10.000 1.000 2.000 13.000 2.00000 0.00000 

0.000 5.000 3.000 8.000 3.00000 0.00000 

-1.000 1.000 7.000 7.000 5.00000 0.00000 

!!! ITERATIA:1 

10.000 1.000 2.000 13.000 2.00000 -0.00000 

0.000 5.000 3.000 8.000 3.00000 -1.40000 

-1.000 1.000 7.000 7.000 5.00000 1.20000 


10.000 1.000 2.000 13.000 -0.00000 1.20000 

0.000 5.000 3.000 8.000 -1.40000 0.88000 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.20000 1.04571 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.20000 1.00286 

0.000 5.000 3.000 8.000 0.88000 0.97257 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.04571 1.00433 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00286 1.00188 

0.000 5.000 3.000 8.000 0.97257 0.99740 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00433 1.00064 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00188 1.00013 

0.000 5.000 3.000 8.000 0.99740 0.99962 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00064 1.00007 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00013 1.00002 

0.000 5.000 3.000 8.000 0.99962 0.99996 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00007 1.00001 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00002 1.00000 

0.000 5.000 3.000 8.000 0.99996 0.99999 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00001 1.00000 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00000 1.00000 

0.000 5.000 3.000 8.000 0.99999 1.00000 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00000 1.00000 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00000 1.00000 

0.000 5.000 3.000 8.000 1.00000 1.00000 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00000 1.00000 


10.000 1.000 2.000 13.000 1.00000 1.00000 

0.000 5.000 3.000 8.000 1.00000 1.00000 

-1.000 1.000 7.000 7.000 1.00000 1.00000 

1.00000 1.00000 1.00000 

Bibliografie 

1. MATEESCU G-D, MATEESCU I-C, Analiz numeric, Editura Petrion, 1995 

2. COMAN, FRENTIU – Analiz numeric, 1992 

3. BERBENTE C, MITRAN S, ZANCU S – Metode numerice, Editura Tehnic, 1997 

4. *** - Materiale preluate de pe Internet

Metode_numerice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?