Laboratorul de fizică 55 TRUSA DE MECANICĂ ASISTATĂ DE ...

Laboratorul de fizică 55
TRUSA DE MECANICĂ ASISTATĂ DE CALCULATOR.
IV. VERIFICAREA EXPERIMENTALĂ A FORMULEI
DISTANŢEI PARCURSE ÎN MIŞCAREA RECTILINIE
UNIFORM VARIATĂ
Alexandru RUSU
Universitatea Tehnică a Moldovei
preuniversitas@gmail.com
Distanţa S parcursă de un
mobil ce efectuează o mişcare
uniform accelerată fără viteză
iniţială ( v 0 � 0 ) se exprimă prin
relaţia:
2
S � at 2
, (1)
unde a este acceleraţia
mobilului, iar
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
t este intervalul de
timp în care este parcursă distanţa
S . Această relaţie este echivalentă
cu relaţia
S � a 2 t
, (2)
care poate fi verificată cu
ajutorul montajului din fig. 1.
Distanţa parcursă de cărucior pe
planul înclinat S este distanţa dintre senzori şi de
aceea se măsoară ca diferenţa coordonatelor lor, adică
S � xB � xA
(fig. 2). Coordonatele, la rândul lor, se
măsoară folosind indicatorul căruciorului de pe rigla
planului la momentul când obturatorul acestuia începe
acoperirea fasciculului senzorului respectiv, adică
atunci când cronometrul începe măsurarea primului
interval de timp. Distanţa S � xB � xA
este parcursă de
mobil în intervalul de timp t1� t2,
unde t 1 este
intervalul de timp în care obturatorul căruciorului în mişcare acoperă
fasciculul de radiaţie infraroşie a senzorului A , iar t 2 este intervalul
de timp de la descoperirea fasciculului senzorului A până la
începutul acoperirii de către obturatorul căruciorului a fasciculului
senzorului B (fig. 2). De aceea formula (2) exprimată prin mărimi
măsurate în mod direct capătă forma
xB � xA � a 2 �t1�t2�. (3)
Relaţia (3) reprezintă o funcţie liniară de tipul
Y pX b � � , (4)
unde Y � xB� xA,
X �t1 � t2,
p � a 2 , iar b � 0,
întrucât în această experienţă,
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

56 Laboratorul de fizică
ca şi la verificarea formulei vitezei [1,2], va fi prezentă o eroare sistematică � t0
, eroare ce
influenţează valoarea acceleraţiei mobilului determinată din (3). Una din cauzele apariţiei
acestei erori este faptul că între obturatorul mobilului de grosimea d aflat în repaus şi
fasciculul senzorului întotdeauna rămâne o mică distanţă � S (fig. 3). Din această cauză
obturatorul nu declanşează măsurarea timpului la pornirea mobilului, ci numai după ce acesta
parcurge distanţa � S . Acestei mici distanţe îi corespunde un mic interval de timp � t0
,
prezent la fiecare repetare [2]. Trasând graficul dreptei (3) după punctele experimentale (fig.
4), observăm că eroarea sistematică � t0
este egală numeric cu lungimea segmentului tăiat de
prelungirea dreptei pe axa absciselor. Din relaţia (3) şi din fig. 4 se observă că
a 2 � p�tg � � BC AC,
iar de aici pentru acceleraţia mobilului se obţine
� � 2
2 2
a �2p�2tg � �2
BC AC
. (5)
Aici panta dreptei p poate fi calculată atât
folosind metoda celor mai mici pătrate [1], cât şi
direct din grafic ca raportul BC AC (fig. 4).
Valoarea determinată prin această metodă a
acceleraţiei nu mai este influenţată de eroarea
sistematică � t0
. Pentru diminuarea valorii erorii
sistematice senzorul A (fig. 1, 2) se plasează astfel
încât atunci când căruciorul se află în poziţia
superioară pe plan fasciculul lui să fie cât mai
aproape de tangenta la suprafaţa obturatorului fixat
pe cărucior. În poziţia superioară căruciorul se
Fig. 4
sprijină pe suportul barei directoare prin
intermediul bulonului de ajustare fină a poziţiei iniţiale (fig. 1). Deşurubând încet acest bulon
se poate face ca distanţa parcursă de cărucior înainte ca obturatorul lui să declanşeze
măsurarea timpului să fie cât mai mică.
La verificarea relaţiei (3) poate fi folosit un obturator de orice diametru, întrucât la
deducerea ei nu a fost folosită vreo aproximaţie privind grosimea obturatorului. Astfel,
experienţa poate fi efectuată în mai multe variante folosind obturatoare de diferite diametre.
Amintim că trusa dispune de 5 obturatoare de diferite grosimi.
În cazul în care experienţa se efectuează folosind softul pentru achiziţia şi procesarea
datelor la calculator, la începutul măsurărilor se va cere introducerea numărului de serii n ce
vor fi efectuate, a numărului de măsurări N din cadrul fiecărei serii, a coordonatei x A a
senzorului A şi a coordonatei x B a senzorului B . Se pot efectua n � 5 serii a câte N � 10
măsurări a intervalelor de timp t 1 şi t 2 , care se vor transfera de la cronometrul electronic la
calculator prin accesarea butonului Citirea datelor. Totodată se va calcula suma t1� t2
şi
valorile medii ale acesteia la sfârşitul fiecărei serii de măsurări. Trecerea de la o serie de
măsurări la alta se realizează prin modificarea poziţiei senzorului B . Din această cauză la
terminarea fiecărei serii de măsurări, în afară de ultima, se va cere atât modificarea poziţiei
senzorului B , cât şi valoarea nouă a coordonatei acestui senzor. Panta dreptei p , acceleraţia
mobilului a , valoarea termenului liber b , erorile absolută � p şi relativă � �� p p se
calculează prin metoda celor mai mici pătrate [1]. Cum rezultă din (5), în acest caz eroarea
absolută comisă la determinarea acceleraţiei este
�a � 4 p� p,
(6)
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

Laboratorul de fizică 57
unde � p este eroarea standard a pantei dreptei, eroarea sistematică fiind � t0�� b p.
Rezultatele testărilor arată că eroarea aleatorie � a depinde de diametrul obturatorului utilizat.
Pentru obturatoare subţiri aceasta este mai mare, iar pentru obturatoare mai groase este mai
mică. Creşterea erorii aleatorii în cazul obturatoarelor subţiri este legată de valoarea mică a
intervalului de timp t 1 care în acest caz se măsoară cu o eroare mai mare.
În fig. 5 este reprezentat graficul dependenţei (3)
obţinut la calculator cu ajutorul softului elaborat pentru
această experienţă. Graficul a fost trasat ca rezultat al
efectuării a n � 7 serii a câte N � 15 măsurări a intervalelor
de timp t 1 şi t 2 folosind un obturator cu diametrul
d � 15 mm . La trecerea de la o serie de măsurări la alta
senzorul A a fost menţinut fix, iar senzorul B a fost
apropiat treptat de senzorul A . Se observă că graficul
dependentei Y � xB � xA
în funcţie de X � t1� t2
(3)
reprezintă o dreaptă, fapt care confirmă justeţea formulei
distanţei parcurse de mobil în mişcarea uniform accelerată
2 2
Fig.5
fără viteză iniţială S � at 2 . Valoarea determinată a � 2 p
2
a acceleraţiei mobilului a ��1,97 � 0,02�msnu este influenţată de
eroarea sistematică � t 0 � 0,007 s care constituie 1,3 % în prima
serie de măsurări şi 2,1% în ultima serie. În ambele serii, dar şi în
seriile intermediare, eroarea sistematică este mai mare decât cea
aleatorie şi ea trebuie luată în seamă dacă acceleraţia se determină
direct din formula (3).
La fel se poate verifica şi formula distanţei h parcurse la
căderea liberă fără viteză iniţială:
2
h � gt 2 , (7)
unde g este acceleraţia gravitaţională, iar t � t1 � t2
este timpul de
zbor. În acest caz schema experienţei este reprezentată în fig. 6. Aici
obturatorul corpului cilindric cu vârf conic este reprezentat
ca fiind tangent la fasciculul senzorului A în poziţia iniţială
(superioară). În realitate, între obturator şi fasciculul
senzorului există întotdeauna o mică distanţă � h care, ca şi
în experienţa precedentă, conduce la apariţia unei erori
Fig. 6
sistematice � t0
. În fig. 7 este reprezentat graficul
dependenţei Y � xB � xA
în funcţie de X � t1� t2
în cazul
căderii libere fără viteză iniţială, obţinut în urma efectuării a
n � 5 serii a câte N � 10 măsurări fiecare. Se observă că
acest grafic reprezintă un segment de dreaptă ceea ce
confirmă justeţea formulei (7). Pentru acceleraţia
Fig. 7
2
gravitaţională a fost obţinută valoarea g � �9,7±0,1 � m s
2
cu o eroare relativă de 0,7 %. Valoarea aşteptată a acceleraţiei gravitaţionale g � 9,81 m s
se află la marginea intervalului de încredere din experiment. Trebuie, însă, de remarcat faptul
că nivelul de încredere este de numai 68,3%. Aceasta înseamnă că mai rămâne probabilitatea
de 31,7% ca valoarea adevărată a acceleraţiei gravitaţionale să se afle în afara intervalului
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

58 Laboratorul de fizică
menţionat. Dacă cerem un nivel de confidenţă de 99,7%,
atunci
2
g � �9,7±0,3 �msşi valoarea adevărată a
acceleraţiei gravitaţionale
2
g � 9,81 m s se află în
interiorul intervalului de încredere. Valoarea erorii
sistematice este � t0
� 0,01 s şi ea nu se răsfrânge în
niciun fel asupra valorii determinate a acceleraţiei
gravitaţionale. Dacă, de exemplu, g ar fi determinat
direct din formula (7) folosind valoarea medie a timpului
de zbor obţinut în ultima serie de măsurări, dar neluându-
Fig. 8
se în seamă � t0
, atunci s-ar obţine � �
Fig. 9
2
2
g � 2h t � 2 �0,323 0,24653
2
� 10,63 m s . Dacă se
ia în seamă eroarea sistematică, atunci din (7) se obţine
� � 2
g � 2�0,323 0,25653
2
� = 9,82 m s .
Se poate verifica experimental şi formula
distanţei S parcurse de un mobil în mişcarea uniform
accelerată cu viteza iniţială v 0 şi acceleraţia a :
2
S �v0t�at (8)
2
.
Relaţia (8) se verifică utilizând montajul
experimental reprezentat în fig. 8. Din această figură se
observă că distanţa S � xB � xA
este parcursă de
cărucior, la fel ca şi în prima experienţă, în timpul
t �t � t . De aceea relaţia (8) ia forma:
1 2
� � � � 2
xB �xA �v0 t1�t2 �a t1�t2 2
. (9)
Viteza medie pe distanţa egală cu diametrul d al obturatorului
coincide cu viteza momentană la mijlocul intervalului de timp t 1,
adică
1 0 1 2
dt� �at
v
. (10)
Determinând viteza iniţială v 0 din (10) şi substituind-o în (9),
după unele transformări obţinem următoarea relaţie echivalentă cu (8) şi
exprimată prin mărimi direct măsurabile:
Fig. 10
xB �xA�d�t1�t2� t1
� a 2 t2�t1�t2� (11)
Această relaţie reprezintă, de asemenea, o funcţie liniară de tipul (4), unde
� � � � � � , X t �t t �
Y xB xA d t1 t2 t1
� 2 1� 2 şi p � a 2 . Vom considera b � 0 pentru ca,
în cazul existenţei unei erori sistematice, să păstrăm posibilitatea eliminării influenţei ei
asupra valorii determinate a pantei dreptei şi, prin urmare, asupra valorii determinate a
acceleraţiei mobilului. Valoarea acceleraţiei mobilului se va determina cu ajutorul relaţiei (5)
şi, la fel ca în prima experienţă, ea nu va fi influenţată de eroarea sistematică � t �� b p.
Pentru eroarea absolută rămâne valabilă formula (6). Trecerea de la o serie de măsurări la alta
pe parcursul experienţei se poate efectua menţinând fixă poziţia unuia din senzori şi variind
poziţia celuilalt sau variind poziţiile ambilor senzori. Aceste posibilităţi sunt prevăzute în
softul elaborat pentru această experienţă. Evident, în afară de aceste variante pot fi realizate şi
altele variind, în limite rezonabile, unghiul de înclinare a planului faţă de orizontală.
Experienţa poate fi efectuată cu oricare obturator din setul propus. Trebuie, însă, să
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

Laboratorul de fizică 59
menţionăm că la schimbarea obturatorului se poate modifica şi acceleraţia căruciorului. Acest
fenomen se explică prin modificarea forţei de rezistenţă în rulmenţii roţilor căruciorului în
urma descărcării sau încărcării acestuia cu o masă suplimentară. Variaţia acceleraţiei nu este
mare, dar în unele cazuri poate depăşi eroarea aleatorie în experiment.
În fig. 9 este reprezentat graficul dependenţei (11)
obţinut cu ajutorul softului elaborat după procesarea
datelor înregistrate cu cronometrul electronic la efectuarea
a n � 5 serii a câte N � 10 măsurări ale intervalelor de
timp t1, t 2.
A fost utilizat un obturator cu diametrul
d � 10 mm , iar la trecerea de la o serie de măsurări la alta
senzorii au fost îndepărtaţi treptat unul de altul. Se observă
că graficul dependenţei (11) reprezintă un segment de
dreaptă, fapt care confirmă veridicitatea formulei distanţei
parcurse de mobil în mişcarea uniform accelerată cu viteză
iniţială (8). Valoarea determinată a acceleraţiei mobilului
2
a ��1,94 � 0,03�msnu este influenţată de eroarea
sistematică � t � 0,004 s comisă în experiment. Această
Fig. 11
valoare practic coincide cu valoarea obţinută în prima experienţă pentru acelaşi unghi de
înclinare a planului, dar şi pentru acelaşi nivel de confidenţă.
Formula (8) poate fi verificată şi în cazul căderii libere când în calitate de mobil se
foloseşte un corp cilindric cu vârf conic pe care este fixat un obturator plan cu lăţimea
d � 10 mm (fig. 10). În fig. 11 este reprezentat graficul dependenţei (11) în cazul căderii
libere, trasat după n � 5 puncte experimentale obţinute în urma procesării la calculator a
datelor obţinute la efectuarea a n � 5 serii a câte N � 10 măsurări ale intervalelor de timp t 1
şi t 2 . La trecerea de la o serie de măsurări la alta senzorii au fost apropiaţi treptat unul de
altul. Se observă că graficul reprezintă un segment de dreaptă ceea ce confirmă veridicitatea
2 formulei distanţei parcurse în căderea liberă cu viteză iniţială: h�v t�gt 2 . Valoarea
2
acceleraţiei gravitaţionale g � �9,9±0,2 �msa fost determinată în experienţă cu o eroare
2
relativă de 1,6 %. Valoarea aşteptată g � 9,8 m s se află la marginea intervalului de
încredere obţinut în experiment. Şi aici este vorba de un nivel de confidenţă de 68,3%.
2
Considerând un nivel de încredere de 99,7%, obţinem: g � �9,9±0,6 � m s . În acest interval
2
de încredere deja se înscrie cu certitudine valoarea adevărată g � 9,8 m s . Pentru eroarea
sistematică s-a obţinut valoarea � t0
� 0,00018 s . Ea constituie 0,14 % în prima serie de
măsurări şi 0,44 % în ultima serie. Deci eroarea sistematică poate fi neglijată în comparaţie cu
cea aleatorie, iar acceleraţia gravitaţională în acest caz poate fi determinată şi direct din
formula (11).
Distanţa S parcursă de un mobil ce efectuează o mişcare rectilinie uniform încetinită
cu viteza iniţială v 0 şi acceleraţia a este determinată de formula:
2
S �v0t� a t 2
, (12)
unde t este intervalul de timp în care are loc mişcarea.
Pentru a verifica experimental formula (12) efectuând n � 5 serii a câte N � 10
măsurări trebuie să avem posibilitatea de a repeta de mai multe ori, în aceleaşi condiţii, fiecare
măsurare a fiecărei serii. În cazul mişcării uniform accelerate, această condiţie se asigură
eliberând căruciorul din poziţia superioară pe planul înclinat ori de câte ori dorim. În cazul
mişcării uniform încetinite, trebuie să se asigure, ori de câte ori dorim, aceeaşi viteză iniţială
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
0

60 Laboratorul de fizică
v 0 orientată de-a lungul planului înclinat în sus. Această viteză se asigură la fel ca la
verificarea formulei vitezei în mişcarea rectilinie uniform încetinită [2]. La fel ca în [2],
pentru verificarea formulei (12) se utilizează primele 6 intervale consecutive de timp, adică
cronometrul se stabileşte în regimul n � � 6 . Distanţa S parcursă de cărucior pe planul
înclinat în mişcarea lui uniform încetinită se măsoară ca diferenţa coordonatelor senzorilor B
şi A : S �xB� xA.
Fiecare coordonată se determină apropiind obturatorul căruciorului (de jos
în sus pe plan) de fasciculul senzorului respectiv şi observând (cu ajutorul indicatorului
căruciorului) pe riglă poziţia la care cronometrul începe măsurarea primului interval de timp.
În acest caz se va stabili manual regimul dorit de măsurare al cronometrului. Observăm că
distanţa S este parcursă de către cărucior în timpul t � t5 � t6.
De aceea relaţia (12) capătă
forma:
x �x �v t �t � a t �t
. (13)
B A
� � � � 2
0 5 6 5 6 2
Viteza medie pe distanţa egală cu diametrul d al obturatorului coincide cu viteza
momentană la mijlocul intervalului de timp t 5 , adică
5 0 5 2
dt � � at v
. (14)
Determinând din (14) valoarea v0 şi substituind-o în (13) se obţine, după unele transformări,
următoarea relaţie echivalentă cu (12):
d�t5�t6� t5��xB �xA� � a 2 t6�t5 �t6�
. (15)
Relaţia (15) poate fi considerată drept o funcţie liniară de tipul (5), în care
Y � d�t5�t6� t5 ��xB � xA�,
X � t6�t5 � t6�,
p � a 2 , considerându-se b � 0 pentru a
avea posibilitatea de a
descoperi şi elimina o
eventuală eroare
sistematică în
experiment. Măsurând
intervalele de timp t 5 şi
t 6 pentru diferite valori
ale coordonatelor
senzorilor şi trasând
graficul dependenţei
(15), vom considera că
această dependenţă se
verifică dacă graficul ei
va reprezenta un
segment de dreaptă.
Panta acestei drepte
este p � a 2 . Prin
urmare, acceleraţia
mobilului
2
a � 2 p
.(16)
Graficul va tăia
Fig. 12
pe axa absciselor un
mic segment ce corespunde intervalului de timp � t � �b
p care în acest caz este eroarea
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

Laboratorul de fizică 61
sistematică a instalaţiei de măsurare. Totodată valoarea acceleraţiei determinată prin metoda
propusă nu depinde de această eroare sistematică. Pentru eroarea absolută la determinarea
acceleraţiei rămâne valabilă formula (6).
În fig. 12 este repre-zentată fereastra Efectua-rea măsurărilor din softul elaborat pentru
verificarea relaţiei (15). La început aici se cere introducerea numărului de serii n , a
numărului de măsurări din cadrul fiecărei serii N , a diametrului obturatorului d fixat pe
cărucior, precum şi a coordonatelor iniţială A x şi finală x B ale căruciorului. La trecerea de la
o serie de măsurări la alta poate fi menţinută fixă poziţia unuia din senzori şi variată poziţia
celuilalt sau pot fi variate poziţiile ambilor senzori. Aceste
trei posibilităţi se realizează prin bifarea poziţiei respective.
De exemplu, bifarea poziţiei „Variabile” (fig. 12) înseamnă
că la trecerea de la o serie de măsurări la alta valorile
introduse ale coordonatelor x A şi x B vor dispărea şi se vor
cere altele noi, obţinute în urma măsurării poziţiilor
modificate ale ambilor senzori. Valorile intervalelor de timp
t 5 şi t 6 citite la cronometrul electronic vor fi trecute în tabel
(fig. 12) şi se vor calcula valorile mărimilor X şi Y pentru
fiecare măsurare. La sfârşitul fiecărei serii se vor calcula şi
valorile medii ale acestor mărimi.
Relaţia (15) poate fi verificată folosind un obturator
de orice diametru şi variind în limite rezonabile unghiul de
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
Fig. 13
înclinare a planului faţă de orizontală de la o experienţă la alta. Astfel se pot realiza mai multe
variante ale acestei experienţe.
În fig. 13 este reprezentat graficul dependenţei (15) obţinut la calculator cu utilizarea
softului elaborat. Pentru aceasta au fost utilizate rezultatele a n � 5 serii a câte N � 10
măsurări ale intervalelor de timp t5, t 6,
folosind un obturator cu diametrul d � 15 mm şi
îndepărtând treptat senzorii A şi B unul de altul la trecerea de la o serie de măsurări la alta.
Se observă că graficul dependenţei (15) reprezintă o linie dreaptă ceea ce confirmă
veridicitatea formulei distanţei parcurse de mobil în mişcarea uniform încetinită (12).
Acceleraţia căruciorului în mişcarea uniform încetinită în sus pe planul înclinat este
2
a � ( 2,34±0,04 ) m s cu un nivel de confidenţă de 68,3% şi a fost determinată cu o eroare
relativă ce nu întrece 1,7 %. Se observă o micşorare de aproximativ 2 ori a erorii de măsurare
indirectă a acceleraţiei în comparaţie cu cazul utilizării
obturatorului cu diametrul d � 5 mm când s-a obţinut
a � 2, 23 � 0,07 m s . Valoarea acceleraţiei obţinută în
� � 2
această experienţă se află în interiorul intervalului de
încredere obţinut în varianta efectuată cu un obturator având
diametrul d � 5mm.
Eroarea sistematică este
� t � 0,002 s , fiind necesară luarea în seamă a acesteia
dacă acceleraţia se determină direct din formula (15). În caz
contrar, la determinarea acceleraţiei se va comite o eroare
relativă suplimentară de 3,8 % în prima serie de măsurări şi
de 9,6 % în ultima serie. Se observă o micşorare de 8,5 ori a
erorii sistematice în comparaţie cu cazul d � 5 mm când
� t � 0,0176 s (fig. 14). Însă şi în acest caz metoda folosita
Fig. 14
în experienţă permite excluderea influenţei erorii
sistematice a instalaţiei de măsurare asupra valorii determinate a acceleraţiei mobilului.

62 Laboratorul de fizică
REFERINŢE
1. A. Rusu, C. Pîrţac, S. Rusu. Trusa de mecanică asistată de calculator. Procesarea
datelor. Fizica şi tehnologiile moderne. Vol. 6, Nr. 3-4 (23-24), 2008, p. 10-21.
2. A. Rusu. Trusa de mecanică asistată de calculator. Verificarea formulei vitezei la
mişcarea rectilinie uniform variată. Fizica şi tehnologiile moderne. Vol.7, Nr. 3-4 (24-
25), 2009.
Primit la redacţie: 21 martie 2010
DETERMINAREA EXPERIMENTALĂ A COEFICIENTULUI DE
FRECARE LA ROSTOGOLIRE
(LUCRARE PRACTICĂ)
M. COTOROS
Profesor de fizică, Grad didactic superior
„Cursul teoretic este lipsit de valoare, dacă el nu este plasat într-un context practic”
Faraday
Categorii taxonomice Obiective educaţionale
Elevul va fi capabil:
Cunoaştere - să definească noţiunile de forţă de frecare la alunecare şi la
rostogolire;
- să identifice utilajul necesar pentru efectuarea experimentului;
Înţelegere
Aplicare
Analiză
Sinteză
- să cunoască etapele succesive de efectuare a experimentului.
- să efectueze cu suficientă precizie măsurările respective, trecând
în tabel datele obţinute;
- să exprime rezultatele măsurărilor în unităţi SI;
- să calculeze corect valoarea coeficientului de frecare la
rostogolire.
- să analizeze rezultatele măsurărilor şi calculelor efectuate;
- să generalizeze datele experimentale obţinute ţinând seama de
tema de cercetate;
- să estimeze erorile absolute si relative;
- să formuleze concluzii referitor la precizia efectuării
experimentului.
Vom studia mişcarea unui cilindru ce se află pe o suprafaţă orizontală cu asperităţi.
Dacă acţionăm asupra cilindrului cu o forţă orizontală F , al cărei suport trece prin centrul de
greutate al lui, observăm că cilindrul începe să se rostogolească atunci când această forţă
atinge o anumită valoare. Aici se presupune că cilindrul nu alunecă, deci coeficientul de
frecare nu este foarte mic.
Dacă contactul dintre cilindru ar fi un segment de dreaptă (în secţiune, un punct), atunci
suporturile forţelor mg , N şi F (forţa de frecare statică) s-ar intersecta într-un singur punct,
O (fig. 1).
Momentele forţelor mg şi N în raport cu punctul O vor fi egale cu zero şi doar
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

Laboratorul de fizică 63
momentul forţei F va rămâne diferit de zero. Deci, orice forţă F , oricât de mică ar fi, ar
provoca rostogolirea cilindrului. În realitate însă corpurile ce vin în contact se deformează şi
suportul forţei N se deplasează în sensul forţei F la o distanţă h, care poate fi determinată
din condiţia de echilibru (ecuaţia momentelor):
RF � hN .
În cazul când suprafaţa şi forţa F sunt orizontale, avem:
RF � hmg
(1)
Ff
Forţa F , în principiu, poate să crească nelimitat, în timp ce h (evident, pentru rigide)
este mult mai mic decât raza cilindrului. Atunci când h atinge valoarea sa maximă ( h max � � ),
cilindrul începe să se rostogolească, în cazul dat în sens orar. � se numeşte coeficient de
frecare la rostogolire şi are dimensiunea de lungime, deci se exprimă în metri (în SI), spre
deosebire de coeficientul de frecare la alunecare care este o mărime adimensională.
Pe cale experimentală s-a stabilit că coeficientul de frecare la rostogolire depinde nu
numai de proprietăţile fizice ale corpurilor în contact, ci şi de raza corpului care se
rostogoleşte.
Spre exemplu, pentru o roată care se rostogoleşte pe un plan, acest coeficient este
proporţional cu rădăcina pătrată din raza ei:
� � k R
(2)
Coeficientul k depinde de materialul roţii şi cel al suprafeţei. La rostogolirea unei roţi de
oţel pe şina de cale ferată putem considera că, aproximativ, k = 0,00063, şi pentru o roată de
rază R = 0,6 m obţinem δ � 0,
0005m
.
EXPERIMENT PENTRU DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE
FRECARE LA ROSTOGOLIRE
În continuare, propunem următorul experiment pentru determinarea coeficientului de
frecare la rostogolire, � .
O placă plană (de oţel, sticlă, lemn sau plastic) se fixează sub un unghi α faţă de orizont
(fig. 2). O bilă de oţel se leagă de un fir lung, subţire, inextensibil. Se prinde firul de un cui O
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
C
O
Fig. 1
h
mg
N
F

64 Laboratorul de fizică
astfel ca el să fie paralel cu planul înclinat. Pe acest plan se lipeşte o scală circulară gradată în
grade sau în milimetri. Punctul 0 de pe scală corespunde poziţiei de echilibru a acestui pendul
gravitaţional.
Deviem pendulul cu un unghi mic, φ0 = 5 o , de la poziţia de echilibru până la poziţia A0,
şi notăm acest unghi pe scală. Pentru a exclude efectul de paralaxă, pe planul înclinat se poate
fixa o oglindă, la fel ca la aparatele electrice de măsură de înaltă precizie.
Eliberăm apoi cu grijă pendulul fără a-i
imprima viteză iniţială. Notăm numărul n de
oscilaţii complete efectuate de pendul până la
oprire şi citim amplitudinea unghiulară φn.
Aplicăm teorema energiei cinetice pentru bilă,
luând drept poziţie iniţială punctul A0 (v0 = 0) şi
drept poziţie finală
An (v = 0) mg �h � L f � 0 (3)
unde Lf este lucrul momentului de frecare:
� S
L f � M f .
R
Fig. 2
Aici R este raza bilei, S – drumul parcurs de centrul de masă al bilei, deci de centrul ei
geometric, iar M f � N�
� �mg
cos�
este momentul forţei de frecare. Deoarece unghiul de
abatere φ al pendulului este mic, avem sin � � � şi putem scrie:
Lsin�
2 2
� h � ��L�1�cos�
�sin�
����0��n� (4)
2
Aici am aplicat formula
1�
cos�
� 2sin
,
2
unde l este lungimea firului. Distanţa parcursă S poate fi calculată cu ajutorul
�0
��
n
amplitudinii medii, �m
� , obţinându-se
2
S � 2 nl��0��n�.
Substituind mărimile respective în formula (3), obţinem formula pentru determinarea
coeficientului de frecare la rostogolire:
R
� � ��0��n�tg� (5)
4n
De menţionat că mărimile � 0 şi � n se vor exprima în radiani. Această formulă se aplică
pentru n = 5, 6, 7, 8, 9, 10 şi se calculează media aritmetică a coeficientului de frecare la
rostogolire, δ.
Pentru a ne convinge că acest coeficient depinde de raza bilei, efectuăm experimentul cu
bile de raze diferite. Vom constata că valoarea acestui coeficient creşte odată cu creşterea
razei bilei. Coeficientul determinat în acest experiment poate fi numit coeficient cinetic.
Se poate determina şi coeficientul static de frecare la rostogolire. Aşezăm bila pe un
plan orizontal. La înclinarea planului sub unghiul α, bila începe să se rostogolească (fig. 3).
Dat fiind faptul că asupra corpului acţionează doar trei forţe ( mg , N şi F ), suporturile lor în
poziţia de echilibru (şi în cazul când � � � S ) se intersectează într-un singur punct, O.
2 �
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
α
A0
O
An
φ0
φn
0

Din fig.3 obţinem:
� � Rsin� S
(6)
În acest experiment eroarea relativă
poate fi inadmisibil de mare din cauza
valorilor mici ale unghiului α. Dacă, de
exemplu, planul are lungimea L=1 m, iar raza
bilei este de 1 cm, atunci luând în considerare
formula (2) se poate demonstra prin calcule
estimative că e necesar ca acest plan să fie
ridicat cu doar câţiva milimetri mai sus.
Laboratorul de fizică 65
Propunem un experiment cu măsurători mai exacte folosind un cilindru. Cilindrul se
aşează pe un plan strict orizontal (fig. 4).
Pe axa cilindrului se fixează o ramă de sârmă de forma П, de care se leagă un fir trecut
peste scripetele S. La capătul firului este atârnat un taler. Notăm cu δ distanţa dintre forţa
normală N şi forţa de greutate m1g, cu m1 - masa cilindrului, iar cu m2 - masa talerului
împreună cu masele marcate de pe el. Pe taler se pun succesiv mase etalonate. Să se
demonstreze că în acest caz coeficientul de frecare la rostogolire este:
m2
� � R
(7)
m
1
unde R este raza cilindrului.
Această metodă poate fi aplicată şi
pentru bile. Două bile identice se unesc printro
o tijă rigidă ce trece prin centrele lor.
Experimentul se desfăşoară ca şi în cazul
cilindrului (fig. 4).
Mai propunem o metodă valabilă pentru
bile şi pentru cilindri (fig. 5). Eliberăm corpul
din punctul A fără viteză iniţială. El se va opri
pe planul orizontal în punctul D. Dacă ambele
plane sunt din acelaşi material, atunci aplicând
teorema energiei cinetice obţinem:
mg AE � Mf
� � Mf
�2
1
1 2
mg AE
AB
� �mg
cos � � �mg
R
AE
EB BD
� � � �
R R
AE
� � R
ED
unde R este raza bilei sau a cilindrului.
BD
R
(8)
g
m 1
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
F
N
O
δ
α
A
E
C
mg
N
α
α
N
Fig. 3
Fig. 4
B
Fig. 5
Fx
S
g
m 2
D

66 Laboratorul de fizică
REFERINŢE:
1. M. Marinciuc, S. Rusu. Fizica-10. Chişinău, Ştiinţa, 2006.
2. D. Turcitu, D. Oniciuc. Fizica-10. Radical, 2005.
3. M. Colpajiu, V. Caraganciu, M. Ţopa. Mecanica teoretică. Chişinău, Ştiinţa, 1994.
Primit la redacţie: 7 aprilie 2010
PRINCIPIUL FUNDAMENTAL AL DINAMICII ÎN MIŞCAREA
CIRCULARĂ. VERIFICARE EXPERIMENTALĂ
Dinamica mişcării circulare poate fi studiată cu
ajutorul pendulului conic (fig.1), care reprezintă un fir
inextensibil ce poartă la capătul liber un corp mic şi
greu. Firul este trecut prin orificiul O şi este legat de
dinamometrul D. Făcînd corpul A să se mişte pe o
traiectorie circulară de rază R, în plan orizontal,
măsurăm aceasta rază şi înălţimea h.
uru r ur
Din ecuaţia
�
mac � mg � T , proiectată pe axele
Ax şi Ay, obţinem o relaţie între mărimile ce pot fi
măsurate: T � mg R2 � h 2
, (1)
h
Mircea COLPAJIU, Tudor ŞTUBEI
Liceul Academiei de Ştiinţe a Moldovei
unde T este tensiunea din fir, indicată de
dinamometru. Această relaţie este satisfăcută, în
limitele erorilor, de mărimile măsurate în experiment.
Acest experiment însă necesită o anumită
Fig. 1
iscusinţă a experimentatorului pentru a face ca corpul
A să descrie o traiectorie cît mai aproape de cea
circulară. În afară de aceasta, există şi unele dificultăţi la măsurarea mărimilor R si h, precum
şi la reducerea forţei de frecare în orificiul O.
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010

Laboratorul de fizică 67
Propunem aici o metodă şi un dispozitiv mecanic, pentru câteva experimente,
repartizate pe 5 niveluri. Instalaţia respectivă este reprezentată în fig. 2 şi poate fi uşor
confecţionată în orice instituţie preuniversitară.
Firul inextensibil este trecut peste scripeţii O1 şi O2 (fig. 3) şi poartă la capete corpurile
A şi B cu masele m1 şi, respectiv, m2, unde m1

68 Laboratorul de fizică
NIVELUL II
Formula (4) este valabilă în lipsa forţelor de frecare în scripeţi. Dacă rezultanta acestor
�
m1 Ff )) (5)
2m1g Există mai multe metode de determinare a forţei Ff. Propunem următoarea metodă:
înlocuim corpul A cu unul având masa egală cu m2 (masa corpului B). Sistemul se află în
echilibru. Punem treptat deasupra corpului A corpuri cu masă mică, până când corpul B se
desprinde. Evident Ff=m0g, unde m0 este suma maselor acestor corpuri mici.
forţe de frecare este Ff, formula (4) devine: cos� m � 1
2 (3� (m 2
NIVELUL III
Ca şi în experimentele precedente, deviem corpul A şi îl eliberăm fără viteză iniţială.
În punctul E pe verticala AB fixăm un cui la distanţa OE = x (fig.3).
Să se demonstreze, neglijând forţele de frecare, că valoarea minimă a unghiului φmin,
la care corpul B se desprinde, se calculează cu formula: cos� min � 1 � x � m � 2
� 1
2l �
� m1 �
� (6)
În cazul particular, când x � 1
OE , demonstraţi că formula (6) ia forma:
2
cos� min � 1
4 5 � m � � 2
�
�
�
� (7)
NIVELUL IV
m 1
Firul este trecut prin orificiul suportului şi este
legat de un corp foarte uşor (un chibrit). Să se
determine unghiul minim φmin, pentru care corpul Q va
cădea. În cazul echilibrului tensiunea din fir este egală
cu m1g şi corpul Q este menţinut de această forţă
dintre chibrit şi partea de jos a suportului. Corpul va
cădea când tensiunea din fir va deveni egală cu zero,
adică atunci când corpul A va abandona traiectoria
circulară.
Deviem firul sub unghiul � 0 (poziţia 1) şi
determinăm tensiunea din fir în poziţia arbitrară 2, în
care firul face unghiul α cu verticala. Proiectînd
uru r ur
ecuaţia
�
mac � mg � T pe axa Ax, obţinem:
T � mg cos� � mv2
R (8),
unde R � 1
. Aplicăm legea conservării energiei la mişcarea corpului din poziţia 1 în
2
poziţia 2: mg(h1 � h2 ) � mv2
2 (9)
unde h1 � h2 � l
2 � l cos� 0 � l
cos� .
2
Rezolvînd sistemul de ecuaţii (8) si (9), obţinem
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
Fig. 4

Laboratorul de fizică 69
T � mg(2 � 4cos� 0 � 3cos�) (10)
Conform formulei (8) tensiunea din fir T nu poate fi egală cu zero, pentru valori
pozitive ale cos� . Valoarea minimă a unghiului � 0 va fi pentru cos φ =0 şi v � 0 . Aceasta va
avea loc atunci când porţiunea EA a firului va fi orizontală, adică α = 90 0 . În acest caz, din
formula (10) rezultă că desprinderea va avea loc, deci căderea corpului va avea loc pentru
cos� 0 � 1
2 , adică � 0 = 60 0 . Acest rezultat poate fi obţinut şi prin raţionamente mai simple,
pornind de la faptul că tensiunea din fir poate deveni egală cu 0 în poziţia � 0 = 90 0 şi v 2 � 0.
Din legea conservării energiei avem: mv2
2
rezultă că h 1 � h 2
(fig. 5).
Din triunghiul OEA rezultă cos� 0 �
NIVELUL V
2
� mv2
1
2 � mg(h 2 � h 1 ) � 0 . Întrucât v 1 � 0, v 2 � 0,
l /2
l
Fig. 5
� 1
2 , adică � 0 = 60 0 .
Considerăm nivelul IV, luând masa corpului m2

70 Laboratorul de fizică
această ecuaţie pe axa Ax şi aplicând legea conservării energiei (E1=E2) şi relaţia a c � v2
obţinem:
T � m1g(2 � 4cos�� 3cos�) (11)
Corpul m2 se va desprinde de suport, adică corpul Q va cădea atunci când
T � m2g (12)
Din formula (11) şi (12) rezultă relaţia dintre unghiurile � şi � :
m2 � 2 � 4cos�� 3cos�
(13)
m1 care poate fi verificată experimental. De exemplu, daca m 2
m 1
FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 8, nr. 1-2, 2010
R
� 1
2 , iar � = 900 , atunci
� =120 0 . Adică corpul m2 se va desprinde de suport atunci când firul va face un unghi de 30 0
cu orizontala. Din triunghiul OEA rezultă cos� 0 �
REFERINŢE
l /2
l
� 1
2 , adica � 0 � 60 0 .
1. A. Hristev. Probleme de fizică. Editura Prometeu, 1991.
2. M. Colpajiu, Gh. Ţurcanu, V. Păgînu. Manual de fizică, clasa X. Chişinău, Univers
Pedagogic, 2008.
3. M. Colpajiu. De la pendul la laser. Chişinău, Lumina, 1984.
4. A. Detlaf, B. H. Iavorski. Curs de fizică. Chişinău, Lumina, 1991.
Primit la redacţie: 7 iunie 2010