一种新的原子结构模型及其演示

2012 年 全 国 高 等 学 校 近 代 物 理 实 验 教 学 研 讨 会
一 种 新 的 原 子 结 构 模 型 及 其 演 示
吴 国 玢
1 ,F. Herrmann 2 , 章 琢 之
( 1 上 海 理 工 大 学 200092, 2 德 国 Karlsruhe Institute of Technology, 3 上 海 教 育 出 版 社 )
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摘
要
本 文 介 绍 一 种 新 的 原 子 结 构 模 型 —— 电 子 素 模 型 . 新 模 型 不 仅 更 加 贴 近
人 们 的 日 常 经 验 , 可 以 克 服 目 前 普 遍 使 用 的 模 型 中 的 某 些 不 足 之 处 , 而 且 具 有 较
好 的 可 操 作 性 , 能 够 直 接 从 中 得 出 若 干 已 为 实 践 所 证 实 的 重 要 结 论 . 根 据 电 子 素
模 型 , 原 子 结 构 及 其 状 态 可 以 实 现 形 象 化 的 直 观 演 示 . 实 践 表 明 , 新 模 型 有 助 于
改 进 物 理 教 学 和 科 研 .
关 键 词 : 原 子 结 构 ; 模 型 ; 薛 定 谔 方 程 ; 波 函 数 ; 电 子 素 (electronium)
1 引 言
模 型 是 描 述 、 研 究 和 解 释 物 理 现 象 或 物 理 过 程 的 基 本 方 法 之 一 . 模 型 可 以 帮
助 人 们 了 解 并 掌 握 那 些 他 们 难 以 直 接 体 验 或 者 无 法 通 过 直 觉 认 知 的 物 理 现 象 或
过 程 . 显 然 , 模 型 应 该 是 一 种 人 们 已 经 熟 悉 ( 最 好 直 接 来 自 日 常 经 验 ) 的 因 而
加 以 信 赖 的 系 统 . 模 型 一 般 不 可 能 也 不 必 要 与 实 际 的 物 理 系 统 完 全 相 似 . 通 常 ,
一 个 模 型 只 要 能 够 部 分 地 , 在 或 多 或 少 的 程 度 上 为 人 们 描 述 物 理 系 统 提 供 某 种 方
便 , 那 么 它 就 是 有 用 的 模 型 . 本 文 作 者 认 为 , 一 个 模 型 是 否 有 效 还 应 看 它 是 否 具
有 某 种 可 操 作 性 (operability), 能 否 用 来 解 决 一 些 实 际 问 题 ; 换 言 之 , 一 个 好 的
模 型 不 仅 应 该 具 有 描 述 或 展 示 的 功 能 , 还 应 该 能 够 以 人 们 所 熟 悉 的 方 式 对 它 进 行
操 作 , 以 得 出 一 些 与 事 实 相 符 的 有 用 结 果 或 结 论 .
目 前 国 内 外 各 种 物 理 教 科 书 和 科 技 文 献 中 常 用 的 原 子 模 型 基 本 雷 同 : 原 子 由
带 正 电 的 小 而 重 的 原 子 核 和 带 负 电 的 大 而 轻 的 原 子 壳 层 所 组 成 . 原 子 壳 层 则 由
围 绕 原 子 核 运 动 的 电 子 云 或 点 状 的 粒 子 电 子 组 成 , 但 电 子 的 位 置 是 不 确 定 的 , 人
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们 只 能 给 出 电 子 在 某 一 时 刻 某 一 空 间 点 附 近 单 位 体 积 内 出 现 的 概 率 . 电 子 虽 然
绕 原 子 核 运 动 , 但 并 无 确 定 的 运 行 轨 道 . 这 种 经 典 或 传 统 的 模 型 与 人 们 的 日 常 经
验 相 去 甚 远 , 因 为 人 们 从 未 见 过 这 种 既 没 有 确 定 位 置 又 没 有 运 行 轨 道 的 奇 特 运
动 物 体 . 不 过 主 要 问 题 还 不 在 于 此 , 而 是 在 于 它 的 可 操 作 性 不 强 , 或 者 说 人 们 不
知 道 应 当 如 何 去 有 效 地 操 作 或 运 用 这 个 模 型 . 本 文 提 出 一 种 基 于 波 函 数 的 新 模
型 , 以 试 图 改 善 上 述 情 况 .
2 电 子 素 模 型 的 建 立
设 ψ(r, t) 为 波 函 数 ( 即 薛 定 谔 方 程 的 解 ), 则 定 义 以 下 两 个 量 ρ 和 j :
*
ρ = ψ ψ
(1)
*
*
j = ( ψ ∇ψ
− ψ∇ψ
)
2 mi
(2)
[1]
根 据 上 述 定 义 和 薛 定 谔 方 程 , 经 过 简 单 运 算 后 得 到
∂ρ/∂t + div j = 0 (3)
将 上 述 两 个 量 ρ 和 j 分 别 乘 以 电 子 电 荷 e 和 电 子 质 量 m, 我 们 得 到
ρ e = e·ρ, j e = e·j 以 及 ρ m = m·ρ, j m = m·j
根 据 (3) 式 , 可 以 写 出
∂ρ e /∂t + div j e = 0 (4)
∂ρ m /∂t + div j m = 0 (5)
方 程 (4) 和 (5) 均 具 有 连 续 性 方 程 的 形 式 . 连 续 性 方 程 是 流 体 力 学 基 本 方 程 式
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之 一 , 其 物 理 意 义 是 质 量 守 恒 . 不 过 在 这 里 , 我 们 还 多 了 一 个 电 荷 守 恒 . 所 以 这
两 个 方 程 的 含 义 是 , 若 在 给 定 空 间 内 的 电 荷 或 质 量 减 少 , 那 么 必 然 有 电 荷 或 质 量
从 该 空 间 中 流 出 ; 反 之 , 若 该 空 间 内 的 电 荷 或 质 量 增 加 , 则 必 然 有 电 荷 或 质 量 从
外 界 流 入 该 空 间 . 由 此 得 到 的 一 个 重 要 启 示 是 我 们 可 以 把 原 子 壳 层 想 象 成 是 由
一 种 连 续 地 分 布 在 原 子 核 周 围 的 流 动 物 质 所 组 成 的 . 由 于 在 随 后 的 讨 论 中 我 们 经
常 会 涉 及 到 这 种 “ 物 质 ”, 因 此 不 妨 为 它 起 一 个 名 字 : 电 子 素 (electronium). 这
样 ,ρ 就 是 电 子 素 的 密 度 ; 而 j 则 是 相 应 的 流 密 度 . 从 (1) 式 知 , 电 子 素 密 度 的
数 值 取 决 于 波 函 数 , 因 而 是 变 化 的 . 在 原 子 核 附 近 , 电 子 素 密 度 最 大 , 离 核 越 远 ,
密 度 越 小 , 并 无 明 显 边 界 , 其 分 布 有 点 类 似 于 大 气 层 ( 见 图 1). 为 了 表 示 原 子
的 大 小 , 通 常 取 覆 盖 90% 电 子 素 的 半 径 为 原 子 半 径 . 根 据 这 个 模 型 , 电 子 是 电 子
素 这 种 物 质 ( 或 流 体 ) 的 一 个 基 本 单 元 , 其 质 量 为 电 子 质 量 , 电 荷 为 电 子 电 荷 或
基 本 电 荷 . 换 句 话 说 , 电 子 素 是 一 种 量 子 化 的 物 质 .
图 1
原 子 中 的 电 子 素 分 布
3 用 电 子 素 模 型 表 示 各 种 原 子 状 态
下 面 我 们 来 考 察 一 下 与 各 种 不 同 的 薛 定 谔 方 程 的 解 所 对 应 的 电 子 素 密 度 ρ 的
分 布 状 况 , 即 原 子 所 处 的 状 态 . 如 所 周 知 , 薛 定 谔 方 程 具 有 如 下 形 式 的 特 解 :
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−iE
t /
k
ψ ( r,
t)
= u ( r)
e
(6)
k
k
与 各 种 不 同 的 解 所 对 应 的 各 种 粒 子 状 态 称 为 能 量 本 征 态 . 它 们 用 下 标 k 进 行 编 号 .
每 一 种 解 对 应 于 一 个 特 定 的 能 量 值 E k , 称 为 能 量 本 征 值 . 容 易 看 出 ,(6) 式 中 的
第 一 个 因 子 u k (r) 只 与 位 置 r 有 关 , 而 第 二 部 分 则 仅 与 时 间 t 有 关 , 也 就 是 说 ,
它 们 是 相 互 分 离 的 . 将 它 们 代 入 (1) 式 , 立 即 得 到 处 于 本 征 态 下 的 电 子 素 密 度
表 达 式 :
*
ρ ( r,
t)
= u ( r)
u ( r)
(7)
k
k
此 式 告 诉 我 们 , 由 于 指 数 项 的 乘 积 为 1, 电 子 素 密 度 在 本 征 态 下 只 与 位 置 有
关 而 与 时 间 无 关 . 类 似 地 , 电 子 素 流 密 度 在 本 征 态 下 也 与 时 间 无 关 ( 但 不 必 为 零 ).
这 就 是 为 什 么 本 征 态 也 可 以 称 作 定 态 的 缘 故 . 图 2 所 示 为 氢 原 子 在 各 种 定 态 ( 基
态 和 激 发 态 ) 下 的 电 子 素 密 度 . 其 中 (a) 部 分 表 示 的 是 电 子 素 密 度 分 布 的 二 维
剖 面 ;(b) 部 分 是 其 中 一 个 定 态 下 电 子 素 密 度 分 布 的 三 维 示 意 图 . 红 色 区 域 为
图 2
各 种 定 态 下 氢 原 子 内 电 子 素 密 度 分 布 (a) 二 维 视 图 ;(b) 三 维 视 图
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电 子 素 密 度 最 大 之 处 , 蓝 色 则 表 示 密 度 最 小 , 而 黄 色 所 表 示 的 是 电 子 素 密 度 为 零
的 各 种 表 面 ( 称 为 节 面 ).
下 面 我 们 再 来 讨 论 一 下 所 谓 的 叠 加 态 . 由 于 薛 定 谔 方 程 是 一 个 线 性 微 分 方
程 , 因 此 作 为 它 的 解 的 波 函 数 满 足 叠 加 原 理 . 这 就 是 说 , 该 方 程 各 本 征 态 解 的 任
何 线 性 组 合
∑
−iE
t /
k
ψ ( r,
t)
= a u ( r)
e
(8)
k
k
都 满 足 薛 定 谔 方 程 . 与 之 对 应 的 粒 子 状 态 所 以 称 为 叠 加 态 . 下 面 讨 论 一 种 最 简 单
的 叠 加 态 , 即 由 两 个 本 征 函 数 之 和 所 组 成 的 波 函 数 :
ψ(r, t)= c A ψ A (r, t)+ c B ψ B (r, t)
将 此 式 代 入 电 子 素 密 度 的 定 义 式 (1), 由 于 此 时 各 波 函 数 中 含 有 时 间 变 量 的
指 数 部 分 不 能 相 互 抵 消 为 零 , 最 后 得 到 的 电 子 素 密 度 具 有 如 下 形 式 :
ρ(r, t)= C 0 (r) + C 1 (r)cos(ωt ) + C 2 (r)sin(ωt ) (9)
式 中 ω =(E A -E B )/ħ,E A 和 E B 分 别 为 两 种 本 征 态 下 的 能 量 本 征 值 .
很 明 显 , 电 子 素 密 度 ρ 在 叠 加 态 下 与 时 间 有 关 , 即 随 时 间 而 变 化 . 它 由 一 个
只 与 位 置 有 关 的 项 以 及 其 它 随 时 间 作 简 谐 振 荡 的 项 所 组 成 . 流 密 度 j 的 情 况 与 此
类 似 . 由 于 叠 加 态 与 时 间 有 关 , 因 而 也 称 为 非 定 态 . 具 备 了 关 于 电 子 素 的 基 本 知
识 , 下 面 通 过 几 个 具 体 例 子 来 说 明 如 何 运 用 或 操 作 电 子 素 模 型 .
4 电 子 素 模 型 的 实 际 应 用
4.1 原 子 的 形 状
能 量 本 征 态 通 常 用 三 个 量 子 数 n、l、m 加 以 表 征 . 利 用 关 系 式 ρ = ψ * ψ 通 过
计 算 , 便 可 绘 制 出 在 不 同 能 量 本 征 态 下 电 子 素 密 度 分 布 的 二 维 或 三 维 图 形 , 如 图
2 所 示 . 图 3 所 示 为 氢 原 子 在 n = 4, l = 3 以 及 m = 1 状 态 下 的 电 子 素 密 度 分 布 . 根
据 新 模 型 , 我 们 可 以 具 体 地 把 ρ = ψ * ψ 当 成 是 一 种 分 布 在 原 子 壳 层 内 的 物 质 的 密
度 , 而 不 必 抽 象 地 将 之 解 释 为 电 子 在 空 间 内 出 现 的 概 率 密 度 . 这 样 , 上 述 图 形 就
可 以 顺 理 成 章 地 理 解 为 原 子 形 状 的 形 象 化 表 述 , 即 直 接 地 反 映 出 原 子 的 形 状 .
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图 3 量 子 数 为 n = 4, l = 3 和 m = 1 状 态 下 的 氢 原 子 形 状
4.2 原 子 的 角 动 量 和 磁 矩
在 那 些 m ≠ 0 的 状 态 下 , 电 子 素 呈 圆 环 状 流 动 . 这 意 味 着 , 在 原 子 壳 层 内 同
时 出 现 两 种 闭 合 回 路 流 动 : 质 量 流 和 电 荷 流 . 换 言 之 , 这 里 既 存 在 角 动 量 或 动 量
矩 (angular momentum) 也 存 在 着 磁 矩 (magnetic moment). 这 就 是 说 , 用 经 典
力 学 和 电 磁 学 的 概 念 就 能 对 轨 道 角 动 量 和 磁 矩 给 出 令 人 信 服 的 解 释 . 不 仅 如 此 ,
在 定 量 上 运 用 电 子 素 模 型 计 算 得 到 的 结 果 也 与 根 据 量 子 力 学 本 征 值 方 程 的 计 算
结 果 相 吻 合 . 图 4 中 的 箭 头 指 示 出 原 子 中 电 子 素 的 流 动 方 向 .
图 4 定 态 (431) 氢 原 子 的 电 子 素 密 度 及 其 流 动 示 意 图
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4.4 定 态 下 的 原 子 不 发 生 辐 射
事 实 上 , 根 据 (7) 式 和 前 面 关 于 原 子 定 态 的 讨 论 , 我 们 知 道 电 子 素 密 度 分
布 和 流 密 度 分 布 均 不 随 时 间 而 变 , 也 就 是 说 , 电 荷 的 分 布 状 况 和 电 流 不 随 时 间 而
变 , 属 于 稳 恒 流 动 , 其 结 果 是 : 原 子 不 会 发 生 任 何 电 磁 辐 射 . 这 是 因 为 不 随 时 间
而 变 的 电 荷 分 布 所 产 生 的 是 一 个 静 电 场 ; 不 随 时 间 而 变 的 电 流 所 产 生 的 磁 场 是 一
个 恒 定 的 磁 场 . 实 际 上 , 从 图 4 可 以 直 接 得 出 同 样 的 结 论 .
大 家 知 道 , 根 据 玻 尔 的 理 论 , 处 于 定 态 的 原 子 不 发 生 电 磁 辐 射 是 与 经 典 电 磁
理 论 相 抵 触 的 , 因 此 他 不 得 不 假 定 在 这 种 情 况 下 后 者 不 适 用 , 却 未 能 给 出 为 什 么
不 适 用 的 任 何 理 由 . 然 而 , 利 用 电 子 素 模 型 进 行 解 释 , 简 单 清 晰 、 理 由 充 分 . 这
等 于 告 诉 我 们 , 玻 尔 当 时 的 这 个 假 设 其 实 并 不 必 要 .
4.5 原 子 的 非 定 态 — 电 子 跃 迁
电 子 素 模 型 的 最 精 彩 之 处 在 于 它 对 电 子 跃 迁 的 描 述 . 要 描 述 电 子 从 一 个 定 态
向 另 一 个 定 态 的 跃 迁 只 需 利 用 我 们 前 面 关 于 叠 加 态 的 知 识 , 将 相 应 的 初 态 和 终 态
波 函 数 进 行 叠 加 就 可 以 了 . 电 子 素 密 度 在 电 子 跃 迁 过 程 中 随 时 间 的 变 化 可 以 用
前 面 的 公 式 (9) 进 行 计 算 , 其 振 荡 频 率 ω =(E A -E B )/ħ, 其 中 E A 和 E B 分 别
为 初 态 和 终 态 下 的 能 量 本 征 值 . 这 样 , 我 们 就 可 以 制 作 从 一 个 定 态 跃 迁 到 另 一 定
态 的 动 画 视 频 , 对 电 子 素 密 度 的 振 荡 进 行 动 态 演 示 . 一 个 典 型 的 跃 迁 大 约 持 续
10 -8 秒 . 在 此 期 间 , 电 子 素 密 度 的 振 荡 次 数 在 10 7 左 右 . 为 了 使 整 个 跃 迁 过 程 能 够
用 肉 眼 观 察 , 作 者 采 用 了 一 种 “ 频 闪 (stroboscopic)” 方 法 : 跃 迁 过 程 的 动 画 由 时
间 间 隔 比 实 际 间 隔 长 得 多 的 一 系 列 画 面 所 组 成 . 这 样 , 振 荡 频 率 可 减 低 到 似 乎 整
个 跃 迁 过 程 只 发 生 十 几 次 或 几 十 次 的 程 度 . 图 5 所 示 为 氢 原 子 从 (210) 跃 迁 至
(100) 过 程 中 三 个 阶 段 ( 开 始 、 中 间 和 结 束 阶 段 ) 的 示 意 图 .
网 站 www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de 为 广 大 读 者 提 供 一 批 氢 原 子 跃 迁 过
程 的 视 频 , 欢 迎 观 看 或 下 载 .
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图 5 原 子 从 一 个 状 态 跃 迁 至 另 一 状 态 : 电 子 素 的 振 荡
(a) 跃 迁 过 程 开 始 阶 段 (b) 跃 迁 过 程 中 间 阶 段 (c) 跃 迁 过 程 结 束 阶 段
5 几 点 历 史 回 顾
众 所 周 知 , 爱 因 斯 坦 对 波 函 数 的 概 率 或 统 计 解 释 始 终 不 予 认 同 , 而 且 实 际 上
一 直 持 批 评 态 度 . 他 的 名 言 是 :“ 上 帝 不 玩 掷 骰 子 的 游 戏 ”. 电 子 素 模 型 将 波 函 数 的
统 计 解 释 即 概 率 密 度 解 释 为 一 种 可 流 动 的 量 子 化 物 质 密 度 , 因 而 能 够 在 相 当 大 的
程 度 上 解 决 或 缓 解 爱 因 斯 坦 的 质 疑 , 即 他 与 哥 本 哈 根 学 派 之 间 的 争 论 .
1913 年 , 玻 尔 在 他 提 出 的 关 于 原 子 能 量 的 量 子 化 假 设 ( 第 一 假 设 ) 中 提 到 ,
原 子 处 于 稳 定 状 态 ( 定 态 ) 时 , 电 子 虽 然 围 绕 着 原 子 核 做 加 速 运 动 , 但 并 不 向 外
辐 射 能 量 . 然 而 , 他 认 为 这 是 与 经 典 电 磁 理 论 相 矛 盾 的 , 所 以 当 时 只 好 假 设 经 典
电 磁 理 论 在 这 种 情 况 下 失 效 . 但 是 如 果 用 电 子 素 模 型 来 进 行 解 释 , 显 然 就 没 有 必
要 做 这 个 假 设 了 .
另 外 值 得 一 提 的 是 , 在 物 理 学 发 展 史 上 , 其 实 早 就 有 人 提 出 过 类 似 于 电 子 素
的 概 念 , 而 且 这 个 概 念 的 历 史 看 来 几 乎 与 量 子 力 学 本 身 一 样 长 . 比 如 , 薛 定 谔
(Schrödinger) [2] 、 马 德 伦 (Madelung) [3] 和 多 林 (Döring) [4] 等 人 曾 分 别 于 1926,
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1927 和 1976 年 对 此 进 行 过 探 讨 , 并 且 称 之 为 马 德 伦 流 体 (Madelung fluid) 或 电
子 物 质 (electron matter). 只 不 过 他 们 当 时 未 能 深 入 研 究 下 去 而 已 . 之 前 , 国 内
【5】【 6】
一 些 出 版 物 中 曾 将 electronium 一 词 译 为 “ 电 素 ”. 本 文 作 者 认 为 , 应 当 将 之
更 改 为 “ 电 子 素 ”, 因 为 不 仅 从 这 个 术 语 的 构 词 , 而 且 从 那 些 物 理 学 大 师 或 前 辈 们
的 原 意 ( 他 们 明 确 指 出 , 电 子 是 由 一 种 分 布 在 原 子 壳 层 中 的 物 质 所 组 成 的 , 这 种
物 质 可 称 为 “ 电 子 物 质 ” 或 “ 电 子 素 ”) 来 看 , 它 都 是 一 个 直 接 与 电 子 相 关 , 而 与 原
子 核 无 关 的 概 念 。 此 外 , 电 有 正 负 之 分 , 而 电 子 素 实 际 上 只 分 布 在 原 子 壳 层 内 ,
只 带 负 电 , 因 而 电 子 素 这 个 名 称 显 然 更 加 准 确 、 贴 切 .
6 结 束 语
本 文 所 介 绍 的 电 子 素 模 型 具 有 显 著 的 创 新 特 色 . 由 于 将 抽 象 的 概 率 密 度 处 理
为 具 体 的 “ 物 质 ” 密 度 , 它 不 仅 易 于 为 广 大 师 生 和 研 究 人 员 所 接 受 和 理 解 , 而 且 还
大 大 增 强 了 模 型 自 身 的 可 操 作 性 . 运 用 或 操 作 这 个 模 型 , 可 以 澄 清 历 史 上 的 某 些
误 解 , 缓 解 历 史 上 的 某 些 争 议 , 并 且 得 出 许 多 经 得 起 实 践 检 验 , 或 者 说 与 事 实 符
合 得 很 好 的 结 果 或 结 论 . 因 此 , 新 模 型 具 有 继 续 深 入 研 究 和 推 广 的 价 值 .
参 考 文 献
[1] Schiff, L. I., Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1968, p. 26
[2] Schrödinger, E., Quantisierung als Eigenwertproblem, Erste Mitteilung, Ann. Phys. 79, 361
(1926)
[3] Madelung, E., Quantentheorie in hydrodynamischer Form, Zeitschrift fur Physik 40,
322(1927)
[4] Döring, W., Atomphysik und Quantenmechanik, II. Die allgemeinen Gesetze, Walter de
Gruyter, Berlin, 1976, p. 20
[5] Herrmann F. 原 著 . KPK 中 学 物 理 ( 初 中 版 ). 上 海 : 上 海 教 育 出 版 社 ,2007
[6] Herrmann F. 原 著 . KPK 新 物 理 教 程 ( 高 中 版 ). 上 海 : 上 海 教 育 出 版 社 ,2010
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