Linjär algebra och geometri 1 för - Matematiska institutionen ...

1. (a) Vektorerna ⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 , ⃗u 4 är linjärt beroende.(b) ⃗v ∈ span(⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 , ⃗u 4 ), ⃗v = (− 2 3 )⃗u 1 + 7 3 ⃗u 2 +0·⃗u 3 +3⃗u 4 , (t.ex.)⃗w /∈ span(⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 , ⃗u 4 ).2. a = 2.3. Vektorerna ⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 ärlinjärtberoende. Vidareärt.ex. span(⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 ) = span(⃗u 1 , ⃗u 2 )och ⃗u 1 , ⃗u 2 är linjärt oberoende.4. T.ex. ⃗v 3 = −⃗v 1 +2⃗v 2 . span(⃗v 1 , ⃗v 2 , ⃗v 4 ) = span(⃗v 1 , ⃗v 2 , ⃗v 3 , ⃗v 4 ).5. Ekvationen är x 1 − x 2 + x 3 = 0. Geometrisk tolkning: vektorerna ⃗u 1 , ⃗u 2 spännerupp ett plan π genom origo i R 3 . Planet π har ekvationen x 1 − x 2 + x 3 = 0. Vektorn⃗v = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) tillhör det linjära höljet span(⃗u 1 , ⃗u 2 ) omm ⃗v ligger (= är parallell) i dettaplan.Om ⃗v = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) med x 1 − x 2 + x 3 = 0 blir ⃗v = c 1 ⃗u 1 + c 2 ⃗u 2 med c 1 = 1 2 x 2, c 2 =−x 1 + 1 2 x 2.6. (a) Ja, v = (⃗v 1 , ⃗v 2 ) utgör en bas i R 2 .⃗F = ( 3 5 , 15 ) v.⃗w = (x 1 ,x 2 ) = ( 1 5 x 1 + 2 5 x 2,25 x 1 − 1 5 x 2) v .(b) ⃗ F 1 = 3 5 ⃗v 1 = 3 5 (1,2) och ⃗ F 2 = 1 5 ⃗v 2 = 1 5 (2,−1).7. (a) Ja, u = (⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 ) utgör en bas i R 3 .⃗F = (−2, 1, 1) u .⃗w = ( 1 2 x 1 − 3 2 x 2 −x 3 ,12 x 1 + 1 2 x 2, − 1 2 x 1 + 1 2 x 2 +x 3 ) u .(b) ⃗ F 1 = −2⃗u 1 = (−2,2,−2) och ⃗ F 2 = ⃗u 2 +⃗u 3 = (3,−1,3).8. Ja, u = (⃗u 1 , ⃗u 2 , ⃗u 3 , ⃗u 4 ) utgör en bas i R 4 ,⃗F = (5, −1, −1, −1) u ,⃗w = (2x 1 +x 2 +3x 3 −4x 4 , −x 3 +x 4 , x 1 −x 2 −x 4 , −x 1 −x 3 +2x 4 ) u .8