2t3sLYPHC

Yıl: 2 Sayı: 12 Mayıs-Haziran 2013 

Basım Tarihi: Mayıs-Haziran 2013 

Yayın Türü: Süreli Yayın 

M.A.G.T.E.G Ltd. Şti. adına 

İmtiyaz Sahibi ve Genel Yayın Yönetmeni 

Faruk Göker 

Şemsettin Günaltay Cad. 297. Sok. No:12/1 Kırkkonaklar, 

Çankaya-ANKARA 

Tel: 0312 468 03 73 Fax: 0312 468 02 32 

info@ndennyegezinti.com.tr 

Sorumlu Yazıişleri Müdürü 

Av. Deniz Yıldız 

Editör 

Hacer Yıldız 

Danışma Kurulu 

Prof. Dr. Fikri Akdeniz 

Prof. Dr. Ayşen Apaydın 

Prof. Dr. Öztaş Ayhan 

Prof. Dr. Akif Bakır 

Prof. Dr. Ali Hakan Büyüklü 

Prof. Dr. Nalan Cinemre 

Prof. Dr. Can Cengiz Çelikoğlu 

Prof. Dr. Hülya Çıngı 

Prof. Dr. Necla Çömlekçi 

Prof. Dr. İsmail Erdem 

Prof. Dr. Şenol Erdoğmuş 

Prof. Dr. Hamza Erol 

Prof. Dr. Aşır Genç 

Prof. Dr. Selahattin Kaçıranlar 

Prof. Dr. Fikri Öztürk 

Prof. Dr. Timur Karaçay 

Prof. Dr. Reşat Kasap 

Prof. Dr. Tahir Khaniyev 

Prof. Dr. Adnan Mazmanoğlu 

Prof. Dr. Memmedağa Memmedli 

Prof. Dr. Zehra Muluk 

Prof. Dr. Müjgan Tez 

Prof. Dr. Veysel Yılmaz 

Doç. Dr. Mehtap Akçil 

Doç. Dr. Esra Akdeniz Duran 

Doç. Dr. Süleyman Dündar 

Doç. Dr. Sevgi Öncel 

Doç. Dr. Fatih Tank 

"Zaman Serileri" Akademik Bölüm Danışmanı 

Prof. Dr. Reşat Kasap 

Görsel Yönetmen 

Bülent Doğuer 

Mayıs-Haziran 2013 Yıl: 2 Sayı: 12 

Dil Özeni 

Mehmet Taner 

Fotoğraflar 

Murat Pala 

ISSN: 2146-2976 

Gezgin Karakter Çizimleri 

Mustafa Yurt 

Tasarım ve Baskı 

On Ofset Ambalaj, Yayıncılık, Matbaacılık, Reklamcılık Tic. Ltd. Şti. 

Erciyes İşyerleri 201. Cadde No: 53, 

06370 İstanbul Yolu, Macunköy-YenimahalleANKARA 

Tel: (0.312) 397 87 87 

www.onofset.com > www.onmedya.web.tr 

Her hakkı saklıdır. n'den N'ye Gezinti istatistik dergisi, 

M.A.G.T.E.G'in lisansıyla yayınlanmaktadır. 

Dergide yer alan haber, makale, fotoğraf ve illustrasyonların elektronik ortamlar 

dahil olmak üzere çoğaltılma hakları n'den N'ye Gezinti istatistik dergisi ve 

M.A.G.T.E.G'e aittir. Dergide yayınlanan yazıların hukuki sorumlulukları 

yazarlarına aittir. Yazılı izin olmaksızın çoğaltılması yasaktır. 

n'den N'ye Gezinti istatistik dergisi basın meslek ilkelerine uymaktadır. 

İçindekiler 

01 Editörden 

04 

26 Akademik 

Geleneksel 

Ekonometri ve 

Vektör Otoregressif 

Modeller 

64 İstatistik 

Çeşitlemeleri 

Sinemasal Bir Anket Üzerine 

Düşünceler 

Haber 

Güncel 08 

30 Akademik 

Zaman Serilerinde 

Kaos ve Kaotik 

Yapının Tespiti 

Üzerine 



Hayvanlara 

Yapılan Zulümlerin 

İstatistiği 

Akademik 

Zaman Serileri 

Analizi: Genel 

Yaklaşım 

42 

Araştırma İnceleme 

İstatistik Bölümü 

Öğrencilerinin İstatistik 

Bölümlerinden Duyduğu 

Memnuniyet Üzerine Bir 

Araştırma 


74 Çeşitlemeleri 

Derin Ekoloji 

16 Akademik 

20 Bayesci Zaman Serisi 

Analizleri 

48 

Doğanın 

Büyük İstatistikçiler 

52 Ölçümöteyi Arayan Adam 

Prof. Dr. Necati İşçil 

Önemi ve 

İnsanın Doğa ile Olan 

Bağı Üzerine Alıntılar 

Akademik 

Olasılıklı ve 

Olasılıklı 

Olmayan Zaman 

Serileri Kestirim 

Yöntemleri 

İstatistik 


Soruları 86 Mantık 

Problemleri 88 Rogo 

Bulmaca 


Matematik ve İnsan


Hangi Ülkede Anne Olmak 

Daha İyi? 

165 ülke için oluşturulan yıllık Annelik endeksi 

bu yıl 13. kez kadınlar ve çocukları 

için sağlık, eğitim ve ekonomik durumu 

ortaya koyuyor. 

Bu yıl Norveç birinci sırada, Nijer ise sonuncu 

sırada. ABD, 43 gelişmiş ülke arasında 

25. Sırada. 

Dünya Çocuklarının Yarısından Fazlasının Hayat Kurtaran Altılıya Erişimi Yok 

Hamilelik boyunca demir ve 

folik asit desteği 

Anne sütü ile emzirme b 

Tamamlayıcı besleme 

A vitamini desteği 

İshal tedavisi için çinko desteği 

Temiz su1 , besin güvenliği2 ve 

sağlık bilgisi3 (Anne) 

(Çocuk) 

(Çocuk) 

(Çocuk) 

Lejant: Gelişmekte olan ülkelerde ortalama uygulama oranı, 

Tam uygulanması durumunda hayat kurtarma fırsatı, 

b İlk 6 ay diğerlerini dışlayan şekilde, 6-11 aylar arası her türlü emzirme 

+ Asya’da yenidoğanların desteklenmesi bu oranı yüzde 7’ye kadar çıkarır. 

Türk Jinekoloji ve Obstetrik O Derneği Yönetim Kurulu Üyesi 

Prof. Dr. Fazlı Demirtürk, Türkiye'de 1990 yıllarda anne ölüm 

hızının 100 binde 68 olduğunu söyledi. 

Çalışmalar sonucu 2006'da 100 binde 28,5 olan anne ölüm 

hızı 2011'de 100 binde 14,8'e kadar gerilediğine dikkati çeken 

Demirtürk, böylece Türkiye'nin, anne ölüm oranlarında 

dünyada en hızlı düşüş gösteren 10 ülke arasına girdiğini 

dile getirdi. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

HABER 

GÜNCEL 

2012 ANNELİK ENDEKSİ SIRALAMASI 

Norveç 

İzlanda 

İsveç 

Yeni Zelanda 

Danimarka 

Finlandiya 

Avustralya 

Belçika 

İrlanda 

Hollanda / Birleşik Krallık 

156 

156 

156 

159 

160 

161 

162 

163 

164 

165 

Kongo Dem. Cum. 

Güney Sudan 

Sudan 

Çad 

Eritre 

Mali 

Gine – Bissau 

Yemen 

Afganistan 

Nijer 

Türkiye’de 

Anne Ölümleri 

Anne ölüm nedenlerinde ilk sırayı “kanama”nın aldığını, bunu 

enfeksiyon, gebelik zehirlenmesi, emboli ve anesteziye ait 

komplikasyonların izlediğini belirten Demirtürk, diyabet, kalp 

hastalıkları, anemi ve kazaların da diğer nedenler arasında 

yer aldığını anlattı. 

İleri yaşta anne ölümlerinin daha yüksek olduğuna işaret 

eden Demirtürk, anne ölümlerinin eğitim düzeyiyle ters 

orantılı olduğu ifade etti. 

10. Uluslararası İstatistik 

Öğrenci Kolokyumu 

Türk İstatistik Derneği’nin 

katkılarıyla Muğla Sıtkı 

Koçman Üniversitesi’nde 

18-19 Mayıs 2013 tarihleri 

arasında gerçekleştirilecek. 

İstatistik Öğrenci Kolokyumu, 

istatistik bölümü 

öğrencilerini bir araya getirerek, 

bilgi akışına ve paylaşımına 

zemin hazırlamak, 

bilimsel bir tartışma ortamı 

yaratmak, istatistikçi kimliğinin 

oluşmasına katkı 

sağlayacak bir platform 

oluşturmayı amaçlamaktadır. 

1. Ulusal Sigorta ve 

Aktüerya Kongresi 

1. Ulusal Sigorta ve Aktüerya 

Kongresi, Başkent Üniversitesi, 

Ticari Bilimler Fakültesi’nin ev 

sahipliğinde Ankara'da 06-07 

Haziran 2013 tarihleri arasında 

gerçekleştirilecektir. Kongre, sigortacılık 

sektörünün tüm aktörleri 

ile sigortacılık ve aktüerya ile 

ilgili akademik çalışma sürdüren 

bilim insanlarını bir araya getirmeyi 

hedeflemektedir. 

8. Uluslararası 

İstatistik 

Kongresi 

Türkiye İstatistik Derneği ve Karadeniz 

Teknik Üniversitesi'nin organizasyonunda 

27-30 Ekim 2013 tarihleri arasında 

8. Uluslararası İstatistik Kongresi düzenlenecektir. 

Kongre ile istatistik biliminde çok geniş bir konu yelpazesinde, 

yapılmış olan bilimsel çalışmaların farklı meslek 

grubu mensupları ile paylaşılması ve her alanda yer alan 

istatistik biliminin ileriye yönelik olarak çok daha bilinçli bir 

şekilde kullanımının sağlanması hedeflenmektedir. 

XIV. Uluslararası 

Ekonometri, Yöneylem 

Araştırması ve İstatistik 

Sempozyumu 

Dumlupınar Üniversitesi Ekonometri Bölümü tarafından 

24-28 Mayıs 2013 tarihleri arasında ilk defa yurt dışında 

Bosna Hersek'in başkenti Saraybosna'da düzenlenecektir. 

Sempozyumun en önemli amacı Ekonometri, Yöneylem 

Araştırması ve İstatistik alanlarında teorik ve ampirik çalışmaları 

teşvik etmek ve bu alanlarda çalışma yapan bilim 

insanlarını bir araya getirerek bilgi paylaşımını arttırmaktır. 

I. Genç İstatistikçiler 

Sempozyumu 

I.Genç İstatistikçiler Sempozyumu 

(GİS 2013), Hacettepe Üniversitesi 

Fen Fakültesi İstatistik Bölümü 

ev sahipliğinde,10-11 Eylül 2013 tarihlerinde Hacettepe 

Üniversitesi Beytepe Yerleşkesi Tunçalp Özgen Kongre ve 

Kültür Merkezi’nde düzenlenecektir. 

Sempozyum, 40 yaşından gün almamış tüm akademisyen 

ve uygulamacıları birbirleri ile fikir alışverişinde bulunabilecekleri 

ve teorik ya da pratik düzeyde çalışmalarını 

birbirleri ile paylaşabilecekleri platform oluşturmayı amaçlamaktadır. 

I. Araştırmacılar ve 

İstatistikçiler Kongresi 

I. Araştırmacılar ve İstatistikçiler 

Kongresi (AİK2013) 12-13 Eylül 

2013 günlerinde Hacettepe 

Üniversitesi Beytepe Yerleşkesi 

Tunçalp Özgen Kongre ve Kültür 

Merkezi’nde düzenlenecektir. 

04 05


11. Uluslararası 

Veri Zarflama 

Analizi 

Konferansı 

(DEA 2013) 

Gazi Üniversitesi İstatistik Bölümü ve Samsun On 

Dokuz Mayıs Üniversitesi İstatistik Bölümü önemli bir 

organizasyona ev sahipliği için hazırlanıyor. 11. Uluslararası 

Veri Zarflama Konferansı bu yıl Gazi Üniversitesi 

ve Samsun On Dokuz Mayıs Üniversitesi ev 

sahipliğinde Samsun’da gerçekleştirilecek. Organizasyon 

komitesinde Gazi Üniversitesi İstatistik Bölümü 

öğretim üyelerinden Prof. Dr. Hasan BAL ve Prof. Dr. 

İhsan ALP, On Dokuz Mayıs Üniversitesi İstatistik Bölümü 

öğretim üyelerinden Doç. Dr. M. Ali CENGİZ ve 

Prof. Dr. Faruk ALPASLAN, Temple Üniversitesinden 

Rajiv BANKER ve İngiltere’den Ali EMROUZNEJAD 

yer almaktadır. 

Veri Zarflama Analizi Nedir? 

Veri Zarflama Analizi benzer çoklu girdiler kullanarak 

benzer çoklu çıktılar üreten birimlerin göreli etkinliklerini 

ölçmede kullanılan parametrik olmayan doğrusal programlama 

tabanlı bir tekniktir. Birimlerin performansını 

belirlemede kullanılarak en iyi performansa sahip birimi 

tespit ettikten sonra diğerlerinin en iyi durumdaki 

birime göre konumlarını belirlemeye yarayan bir yaklaşımdır. 

Girdileri ve çıktıları olan her organizasyon ile 

ilgili performansı belirlemede kullanıldığı için uygulama 

alanı çok geniştir. İstatistiksel tekniklerle birlikte uygulandığı 

birçok çalışma bulunmaktadır. 

Alican ÖZER 

Gazi Üniversitesi İstatistik Bölümü 

DEA Topluluğu 

HABER 

GÜNCEL 

DEA topluluğu, Veri Zarflama Analizinin hem teorik 

hem de uygulama bakımından gelişmesine öncülük 

eden bir topluluktur. Topluluk konu ile ilgili farklı ülkelerden 

saygın bilim adamlarından oluşmaktadır. Bunlar 

arasında bu konuyu ilk bulan ve geliştirenlerde yer 

almaktadır. Veri Zarflama Analizin konusunda düzeyli 

özgün bir dergi çıkmaktadırlar. Bu topluluk her yıl bir 

ülkede olmak üzere çeşitli konferanslar düzenlemekte 

ya da öncülük etmektedir. 

11. Uluslararası Veri Zarflama Analizi 

Konferansı’nda (DEA 2013) bizi neler 

bekliyor... 

DEA 2013, Veri Zarflama Analizi(VZA)’nin hem metodolojisi 

ve hem de kamu ve özel sektördeki uygulamalarıyla 

ilgilenen araştırmacıları ve uygulamacıları bir 

araya getirmeyi hedeflemektedir. Her yıl farklı bir ülkede 

yapılan konferans bu yıl ülkemizde gerçekleşecektir. 

Konferansa VZA ve etkinlik analizi ile ilgili teorik ve uygulamalı 

çalışmalar kabul edilmektedir. Ayrıntılı olarak, 

Gelişmekte Olan Ekonomiler ve Finans, Bankacılık, Eğitim, 

Enerji, Sağlık, Ulaşım, Turizm vb. sektörlerle ilgili 

uygulama çalışmaları da beklenmektedir. DEA 2013 

konferansının ilk gününde bu uygulama konularıyla ilgili 

davetli uzmanların da katılacağı bir çalıştay gerçekleş- 

tirilecektir. Daha ayrıntılı bilgiye internet sayfasından 

ulaşabilirsiniz. http://www.deasociety.org/dea2013/ 

Konferansın Türkiye’de Yapılması 

Süreci 

Son dönemde gelişen ekonomisi ile Türkiye yurt dışından 

çok iyi görülüyor. Bunun DEA topluluğuna yansıması 

da aynı şekilde olmuş. İki yıl önce Selanik-Yunanistan 

da DEA 2011 konferansında bu topluluğun önde gelenlerinin 

Türkiye’yi merakıyla başlayan süreç,Prof. Dr. 

Hasan BAL’ındiğer çalışma arkadaşlarıyla görüşmeleri 

ve topluluğa teklifleri sonucunda Türkiye’de yapılma 

kararı alınmış. 

Konferansın Hazırlık Süreci 

Konferansın hazırlıkları son hızıyla devam ediyor. Hazırlık 

komitesi sponsor arayışı içinde. Şu ana kadar da 

Gazi Üniversitesi, On dokuz mayıs Üniversitesi, Tübitak 

, iDEAs ve T.C. Ziraat Bankası ile Halk Bankası gibi 

kurumlar sponsorluk desteği veriyor fakat uluslar arası 

olması hem de istatistiği de yakından ilgilendirmesine 

rağmen Türkiye İstatistik Kurumu(TUİK) ile Bilim ve 

Teknoloji genel müdürlüğü gibi kurumlar sponsorluk 

sağlamamışlar bu da organizasyon komitesini bir hayli 

üzmüş. 

Gazi Üniversitesi, Samsun On dokuz Mayıs Üniversitesi 

ve Uluslararası iDEAs topluluğunun birlikte düzenleyeceği 

11. Uluslararası Veri Zarflama Analizi Konferansı 

(DEA 2013) 27-30 Haziran, 2013 tarihlerinde Samsun 

On dokuz Mayıs Üniversitesi Tepe Otelde yapılacaktır. 

Organizasyon komitesi sizleri uluslararası bir organizasyona 

ev sahipliği yapmanın verdiği mutlulukla, 

Samsun’a davet ediyor, maddi ve manevi desteğinizi 

bekliyorlar. 

06 07

08 


Reşat KASAP 

Gazi Üniversitesi,Fen Fakültesi, 


Zaman Serileri Analizi: 

Genel Yaklaşım 

Zaman Serileri/Dizileri 

Aynı zamanda bir stokastik süreç olarak, zamana 

indekslenen Z(w, t) rastgele değişkenler ailesi olarak 

adlandırılır, örnek uzaya ve t ise indeks setine 

aittir. t sabiti için Z(w, t), bir rastgele değişkendir. 

Verilen bir w için Z(w,t), t’nin fonksiyonu olarak, 

bir örnek veya gerçekleşme olarak adlandırılır. 

Bütün mümkün gerçekleşmelerden ibaret olan 

yığın, stokastik süreçlerde veya zaman dizilerinde 

topluluk ya da takım olarak adlandırılır. Buna göre, 

zaman dizileri, stokastik süreçlerden bir gerçekleşme 

veya örnek fonksiyondur. {Z(w,t): t = 0, 

±1, ±2, ... } 

Değişkenin zamana göre aldığı değerleri gösteren 

seriler, zaman serileri olarak adlandırılır. 

Bir zaman serisi, zaman içinde gözlenen ölçümlerin 

bir dizisidir. Günlük, Haftalık, Aylık, Üç aylık, 

Altı aylık, Yıllık veriler, zaman serilerine örnek olarak 

verilebilir. Zaman serilerinde hiç bir döneme 

ait veri, eksik olmamalıdır. 

Zaman Serilerinde Amaç 

Zaman serileri çeşitli amaçlar için analiz edilirler; 

Bunlar içinde en önemlisi serilerin geleceğe yönelik 

tahmin (kestirim) amacıyla incelenmesidir, 

Dizinin belli başlı özelliklerinin ortaya çıkarılması 

amaçlanabilir, 

Açıklama amaçlı olabilir. Birkaç değişken için zaman 

dizisi toplanmışsa, dizinin birinde meydana 

gelen değişmeler diğer dizilerdeki değişmeyi de 

açıklayabilir veya 

Sistem kontrol amaçlıdır. seriyi oluşturan olayın 

AKADEMİK 

işleyiş mekanizmasını ortaya koymak veya geçmiş 

olaylardan elde edilen bilgileri kullanarak sistemin 

planlanan yönde gelişmesini sağlamak ve 

sistemi kontrol etmek mümkündür. 

Zaman Serilerinde Değişim Sebepleri: Trend, 

Mevsim dalgalanmaları, Konjonktür dalgalanmaları, 

Rastgele/Tesadüfi hareketler. 

Trend: Uzun dönem hareketi. Serinin uzun dönemde 

belirli yöne doğru gösterdiği gelişme temayül, 

eğilim. 

Mevsimsel Dalgalanmalar: Seride iklim, sosyal 

vb. sebeplerle tekerrür eden devri hareketler 

Konjonktür Dalgalanmaları: Mevsim dalgalanmalarına 

benzer. Devreleri uzun ve belirsizdir. Konjonktür 

dalgalanmaları diğer faktörlerin seriden çıkarılmasıyla 

belirlenir. 

Rastgele/Tesadüfi hareketler: 

Tesadüfi 

Mevsimsel 

Zaman Serilerinin Sınıflandırılması 

Geçmişe ait verileri kullanarak gelecekle ilgili tahminler 

yapmak İstatistiğin amaçlarındandır. Bu tahmin 

yöntemlerinin basitten karmaşık veri analizine kadar 

birçok çeşidi vardır. Bu yöntemlerden biri de Zaman 

Serileri Analizidir. 

Tahmin-Estimation, Öngörü-Prediction, Kestirim- Forecasting 

Doğrusal - Durağan 

Doğrusal - Durağan Olmayan 

Doğrusal Olmayan 

Kaotik 

Zaman Ortamı-Frekans Ortamı/Spektral Analiz 

Mevsimsel-Mevsimsel olmayan 

Tek değişkenli-Çok değişkenli 

Buna göre, farklı ortamlarda grafikleri çizilmiş zaman 

serileri örnek olarak aşağıda verilmektedir. 

Durağan Zaman Serisi 

Ortalama Durağan Olmayan Seri 

Varyans Durağan Olmayan Seri 

Varyans ve Ortalama Durağan Olmayan 

Serisi 

Mevsimsel Durağan Olmayan Seri 

Doğrusal Olmayan Serisi 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

1 

33 65 97 129 161 193 225 257 289 

17 49 81 113 145 177 209 241 273 305 

Kaotik Seri


Zaman Serileri Analizinde Takip Edilen Aşamalar: 

Zaman Serilerinde Box-Jenkins 

Yaklaşımı 

Doğrusal durağan ve durağan olmayan zaman dizilerinde, 

modeller, Otoregressif (AR), Hareketli Ortalama 

(MA) ve Otoregressif tamamlanmış Hareketli 

Ortalama (ARIMA) modelleri olarak adlandırılır. Box 

ve Jenkins, 1970 yılında otoregresif modellerle hareketli 

ortalama modelinin birleşimi olan ARIMA 

yöntemini geliştirmişlerdir. Literatürde Box-Jenkins 

metodu adı altında geçen bu teknik; tanımlama, tahmin 

ve testlerden oluşan üç aşamalı bir yöntemdir. 

Otoregresif ve hareketli ortalama modellerinin bileşimi 

olduğu için bu modeller hakkındaki tüm bilgilerin 

bir arada kullanılmasına dayanmaktadır. 

Modeller 

Bu kısımda otoregresif modeller, hareketli ortalama 

modeli ve otoregresif hareketli ortalama modeli ile 

otoregresif tamamlanmış hareketli ortalama modellerinden 

kısaca bahsedilmektedir. Devam eden 

kısımlarda ise modelleme süreci ve kestirime yer 

verilmiştir. 

Otoregresif (AR) modeller 

AKADEMİK 

Otoregresif model, bir zaman dizisinin önceki dönemleri 

cinsinden ifade edilmesiyle oluşur. Buna göre AR 

modeli kapsadığı dönemler cinsinden tanımlıdır. Eğer 

AR modeli 1 geçmiş dönem içeriyorsa 1.dereceden, 

p geçmiş dönem içeriyorsa p.dereceden AR modeli 

olarak adlandırılır. AR(p) modelinin genel ifadesi aşağıdaki 

gibidir: 

Z =f Z +f Z + f Z +...+ f Z +A t 1 t-1 2 t-2 3 t-3 p t-p t 

veya B geriye doğru öteleme operatörü olmak üzere 

BZ = Z , B t t-1 2Z = Z ,... B t t-2 k Z =Z ve f (B)=1-f t t-k 1 

B - f B 2 2 -... -f B p p olmak üzere, f (B) Z =A t t 

biçimindedir. Burada Z , Z ,..., Z değerleri, her göz- 

t t-1 t-p 

lem değerinin μ‘den farkı alınarak (Burada Z orijinal 

t 

diziyi temsil etmek üzere Z =Z -μ) elde edilmekte- 

t t 

dir. f , f ,..., f modelin bilinmeyen fakat tahmin 

1 2 p 

edilecek parametreleridir. p, modelin derecesi ve At ise ortalaması 0 ve varyansı s2 olan beyaz gürültü 

süreci olarak tanımlanır. 

AR modelinin durağanlık koşulu, f(B)=0 polinomunun 

köklerinin birim çemberin dışında kalmasıyla 

sağlanır. AR modeli her zaman tersi alınabilirlik koşulunu 

sağlar. Tersi alınabilirlik koşulu ise MA modelinin 

AR modeli için aranan durağanlığa benzer bir 

özelliğidir. 

Hareketli ortalamalar (MA) modeli 

Eğer, aynı dönemdeki hata terimi ve daha önceki dönemdeki 

hata terimleri cinsinden ifade edilebiliyorsa, 

tanımlanan model MA modelidir. Yani MA modeli 

içerdiği geçmiş dönem hata terimi sayısına göre ifade 

edilir. Buna göre model 1.dereceden hata terimi 

içeriyor ise MA(1) modeli, q sayıda hata terimi içeriyorsa 

MA(q) olarak adlandırılır. 

Z =A -q A -q A -...-q A t t 1 t-1 2 t-2 q t-q 

B operatörü cinsinden model ; Z t -Q(B)A t şeklinde 

yazılır. Q(B)-1-q 1 B 1 -...q q B q sürecin bu formu, q.inci 

düzeyden MA süreci, MA(q) olarak tanımlanır. Burada 

q 1 , q 2 ,..., q q , modelin tahmin edilecek parametreleridir. 

q ise MA modelinin derecesini göstermektedir. 

MA modelleri her zaman durağanlık koşulunu 

sağlarlar. Ancak, modelin tersi alınabilirlik koşulu, 

Q(B)=0 polinomunun köklerinin birim çemberin dışında 

kalmasıyla sağlanır. 

Otoregresif hareketli ortalamalar 

(ARMA) modeli 

Söz konusu model AR ve MA modellerinin bir kar- 

ması olup, p.inci dereceden AR ve q.inci dereceden 

MA modellerinin karma modeli ARMA(p,q) şeklinde 

ifade edilir. 

Z =f Z +f Z +...+f Z +A -f A -f A -... 

t 1 t-1 2 t-2 p t-p t 1 t-1 2 t-2 

f A veya f(B)Z - Q(B)A olarak gösterilir. Burada; 

q t-q t t 

f(B) -1-f B-f B 1 2 2-...-f B p p ve Q(B)=1-f B 1 1-...-f B p q 

şeklindedir. 

ARMA modellerinin de durağanlık ve tersi alınabilirlik 

koşulu f(B)=0 Q(B)=0 köklerinin birim çember 

dışında kalmasıyla sağlanır. 

Otoregresif tamamlanmış hareketli 

ortalamalar (ARIMA) modeli 

Uygulamada karşılaşılan zaman dizileri çoğunlukla 

durağan olmayan bir yapıya sahiptir. Bu dizilerin durağanlığı 

trend, mevsimsel ve konjonktürel dalgalanmalar 

ve rastgele gibi etkenler tarafından bozulması 

mümkündür. Söz konusu durağan dışılık ortalamada 

ve varyansta olmak üzere iki farklı şekilde görülebilmektedir. 

Bir zaman dizisi ortalamada durağan dışı 

olup varyansta durağan veya varyansta durağan dışı 

olup, ortalamada durağan ya da her ikisinde de durağan 

dışı olabilir. Durağanlığın sağlanabilmesi için adı 

geçen etkenlerin önceden belirlenmesi ve yok edilmesi, 

kısaca durağan olmayan bir zaman dizisinin 

durağan hale dönüştürülmesi gerekmektedir. Box- 

Jenkins metodunda durağan dışılığın belirlenmesi, 

dizinin zamana göre grafiği, ACF ve PACF grafikleri 

incelenerek kabaca belirlenmeye çalışılmaktadır. 

Ancak, son yıllarda ortalamada durağan dışılığın belirlenmesinde 

birim kök (unit-root) testleri de önemli 

bir yöntem olarak kullanılmaktadır. Bununla birlikte, 

uygulamada yapay sinir ağlarında yapılan çalışmalarda 

durağan dışılığın belirlemesinde genel olarak Box- 

Jenkins yaklaşımı tercih edildiğinden, bu çalışmada 

da aynı bakış açısı benimsenmiştir. 

Varyansta durağan olmayan bir zaman dizisi için varyans 

düzgünleştirme terimi kullanılır. Fakat dizi ortalamada 

durağan değil ise dizinin uygun derecede 

farkları alınarak durağanlıkları sağlanabilir. 

ARIMA modeli gerekli sayıda farkı alınmış olan dizilere 

uygulanan AR ve MA modellerinden oluşan 

modellerdir. Otoregresif parametresinin derecesi p, 

10 11


hareketli ortalama parametresinin derecesi q ve d 

ise alınan fark sayısı olmak üzere, bu modele (p,d,q) 

dereceden otoregresif tamamlanmış hareketli ortalama 

modeli adı verilir ve ARIMA (p,d,q) olarak ifade 

edilir. Genel ARIMA (p,d,q) modeli, fark alma operatörü 

=Z – Z ve W = t t-1 t dZ olmak üzere 

t 

f(B) W =q(B)A t t 

şeklinde yazılabilir. Burada, W farkı alınmış diziyi 

t 

temsil etmektedir. ARIMA modellerinde durağanlık 

koşulları ARMA modellerinde olduğu gibidir. 

Bu aşamadan sonra, mevsimsel ve mevsimsel olmayan 

fark dönüşümleri de dikkate alınarak, en 

genel tek değişkenli model dereceleri kısaca (p,d,q) 

X(P,D,Q) şeklinde ifade edilir. Burada, (p,d,q) mevsimsel 

olmayan yapıyı, (P,D,Q) ise mevsimsel yapıyı 

göstermektedir. Buna göre mevsimsel modelin genel 

ifadesi; 

q (B)Q (B p p s )Dd D D Zt =q (B)Q (B s q Q s )At biçimindedir. Burada, F (B p s ) ve Q (B Q s ) sırasıyla P ve 

Q dereceden B’nin mevsimsel polinomlarını gösterir. 

D d D , mevsimsel fark alma operatörü, D ise d’inci 

S 

dereceden mevsimsel olmayan fark alma operatörüdür. 

Bu modellerde durağanlık şartları daha önce 

incelenen modellerde olduğu gibidir. Buna göre en 

genel haliyle durağan olan-olmayan ve mevsimsel 

olan-olmayan doğrusal zaman dizileri sembolik olarak 

SARIMA(p,d,q)X(P,D,Q)s şeklinde yazılabilir. 

Bilindiği gibi ortalamada durağan dışılık, fark alma 

işlemleriyle durağanlaştırılmaya çalışılırken, varyansta 

durağan dışılığın ortadan kaldırılabilmesi için güç 

fonksiyonu adı verilen bir teknik kullanılır. Söz konusu 

varyans düzgünleştirme işlemi için güç fonksiyonu 

aşağıdaki gibi tanımlanır: 

Box-Cox dönüşümü olarak da adlandırılan bu dönüşümde 

, dönüşüm parametresidir. 

Durağan olmayan bir zaman dizisini durağan hale 

getirmek için dikkatli olunmalıdır. Gereksiz ya da eksik 

yapılacak dönüşüm veya ihtiyaç olmadığı halde 

alınacak bir fark yanlış modelleme süreci oluştura- 

AKADEMİK 

bilir. Öncelikli olarak varyansta durağanlaştırma dönüşümleri 

uygulanır daha sonra ortalamada durağan 

dışılık ortadan kaldırılır. 

Model Belirleme ve Kestirim Süreci 

Bu düşüncenin temeli, Box-Jenkins yaklaşımı, model 

tespitinde genellikle zaman dizilerinin ACF ve PACF 

yapılarının incelenmesiyle uygun (p,q) düzeyinin 

seçilmesi yaklaşımı olarak görülebilir. Şekil 2.1’den 

görülebileceği gibi özetle ARMA modelinin belirlenmesinde, 

ACF ve PACF ’nin davranışları aşağıdaki 

gibi ifade edilebilir: 

a. ACF AR(p) modeli için üstel veya sinüsoidal olarak 

azalır, fakat MA(q) modeli için q gecikmeden sonra 

aniden kesilir. 

b. PACF, AR(p) modeli için p gecikmeden sonra aniden 

kesilirken, MA(q) modeli için üstel veya sinüsoidal 

olarak giderek azalır. 

c. ARMA(p,q) modeli için ACF ve PACF birlikte tamamen 

ortadan kalkar. (p-q) gecikmeden sonra 

azalırlar. 

Buradan hareketle Box-Jenkins metodu, model belirleme 

aşaması için 3 adım kuralını uygular. Bunlar: 

1. Durağanlığın incelenmesi ve durağan dizinin 

elde edilmesi: Bilindiği gibi Box-Jenkins yaklaşımıyla 

durağanlığın incelenmesi, dizinin grafiği, 

ACF ve PACF grafikleri çizilerek belirlenmeye çalışılır. 

Buna göre öncelikle durağan olmayan bir 

dizinin ACF grafiği, yavaş azalan ve alt ve üst sınırları 

genişleyerek artan bir yapıya sahiptir. PACF 

grafiği ise sınırlar bakımından benzer yapıya sahip 

olmakla beraber çoğunlukla ilk katsayının görüntüsü 

grafikte bire yakın bir yapıdadır. Yalnızca durağan 

diziler istatistiksel anlamlı ACF ve PACF‘ ye 

götürür. Durağan olmayan diziler bu yüzden uygun 

fark alma yöntemlerinin uygulanmasıyla durağan 

dizilere dönüştürülmek zorundadır. 

2. ACF ve PACF ‘nin grafiksel davranışlarının, hareketlerinin 

incelenmesi : ACF ya da PACF ‘nin salınımlı 

olarak azalması AR ya da MA süreçlerini 

içerir. Eğer her ikisinde de (ACF ve PACF) salınımlı 

düşüş varsa bu, karma bir ARMA sürecini belirtir. 

3. AR ve MA süreç düzeyinin belirlenmesi: Sıfırdan 

farklı anlamlı otokorelasyon ve/veya kısmi otokorelasyonların 

sayısıyla, AR düzeni için p, PACF yapısından 

ve MA düzeni için de q, ACF yapısından 

belirlenir. Gecikme değerleri için hesaplanan ACF 

ve PACF katsayıları, çizilen korelogramda 

±NT aralıkları dışında kalıyorsa, ACF ve PACF 

katsayı değerinin anlamlı olduğu söylenebilir. 

Zaman dizilerinde modelleme aşamasında modelin 

kabaca derecesinin belirlenmesinden sonra sıra 

parametrelerinin tahmin edilmesine gelir. Parametre 

tahmini genel olarak üç farklı başlık halinde 

düşünülebilir; momentler yöntemi, en çok olabilirlik 

yöntemi ve bilinen en küçük kareler yöntemi. Burada 

kullanılan tahmin yöntemi en çok olabilirlik yöntemi 

olacaktır. Buna göre koşullu en çok olabilirlik yöntemi 

durağan ARMA (p,q) modeli göz önüne alındığında 

ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu; 

Buradan en çok olabilirlik fonksiyonu; 

Burada S(f ,m ,q), koşullu kareler toplamı fonksiyonu 

olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi tanımlanabilir; 

Bu yazılış, genellikle istatistiksel paket programlarında 

kullanılan ifadedir. Burada f, m ve q ’nın parametre 

tahminlerini elde ettikten sonra, At’nin tahmin 

2 edilen varyansı, s bulunur. 

A 

olur. Burada serbestlik derecesi (s.d.)= n-(2p+q+1) 

olarak yazılır. 

Bu aşamada, elde edilen modelin uygun olup olmadığının 

incelemesi yapılır. Modelin uygunluğunun 

incelenmesi ise modelin tamamında yapılan bir 

incelemedir. Bu incelemeler artıklara dayalı bir in- 

celemedir. A sürecinin beyaz gürültü süreci olma 

t 

varsayımı, normal dağılıp dağılmadığı, hatalara ilişkin 

otokorelasyonların sıfır olup olmadığına cevap aranır. 

Uygun bir modelin ACF ve PACF’ lerinin grafiklerinin 

beyaz gürültü sürecinin ACF ve PACF’ lerinin yapısında 

görmek isteriz. 

Modelin uygunluğunun incelenmesi üzerinde bir 

başka yaklaşım ise artıkların örnek ACF’ leri için kullanılan 

test istatistiklerinin yapılmasıdır. Bunun için 

hipotez aşağıdaki gibi kurulur: 

H : P (A)=P (A)=.......................=P (A)=0 

0 1 2 k 

H : Bunların en az biri sıfır değildir. 

1 

Bu, aynı zamanda şuna karşılık gelir. 

H : Model uygundur. 

0 

H : Model uygun değildir. 

1 

r (A) artıklara ilişkin k. gecikme için tahmin edilen 

k 

otokorelasyon katsayısı olsun. Box-Pierce (1970) 

tarafından geliştirilen ve yaygın olarak kullanılan Q 

istatistiği, modelin uygunluğunun test edilmesinde 

kullanılmaktadır. Bu test istatistiği ; 

dır. Burada; n, birim sayısını, L artıklara ilişkin elde 

edilen otokorelasyon sayısını ve M modeldeki toplam 

parametre (M=p+q) sayısını göstermektedir. 

Hesaplanan Q değeri ki-kare tablo değerinden küçükse, 

bulunan modelin uygun model olduğuna karar 

verilir. Aksi durumda yani tablo değerinden büyük ise 

modelin uygun bir model olmadığına karar verilir. 

Bir modelleme süreci içerisinde elde birden fazla uygun 

model varsa eğer amaç tek bir model seçimi 

yapılarak sistemin kontrolü ise bu durumda model 

seçim ölçütleri kullanılır. Bu ölçütlerden biri Akaike 

(1977) tarafından öne sürülen AIC (Akaike Information 

Criteria); 

biçimindedir. Uygun modeller içerisinden en iyi model 

AIC değeri sayısal anlamda en küçük değere 

sahip olan modeldir. 

12 13


Eğer amaç geleceğe yönelik tahmin ya da kestirim 

değerlerini elde etmekse modelleme sürecinden 

sonra en önemli amaç dizinin gelecekle ilgili değerlerin 

tahmin edilmesi veya kestirimidir. Kestirim, 

modeli incelenen zaman dizisinin t+l döneminde 

gerçekleşeceği Z t+1 değerinin tahmini olan Z t+l ’yi 

t+1 döneminden önceki belirli sayıda dönemin tahmin 

değerlerine, gözlem değerlerine ve hata terimlerine 

bağlı olarak tahmin eden bir modeldir. Herhangi 

bir genel ARIMA modeli için kestirim yöntemlerinden 

biri en küçük ortalama hata kareler kestirimleri 

yöntemidir. Bu yönteme göre kestirim değeri Z n (l) 

olmak üzere; 

ile ifade edilir. Burada Z n (l) l adım yani Z n+1 ’nin l adım 

kestirim değeri olarak adlandırılır. 

Zaman Serilerinin Uygulama Alanları: 

Zaman eksenli tüm konular: Örneğin Ekonomi, Finans, 

Sigorta/Aktüerya, Fizik/Elektrik/Elektronik, Bilişim/Veri 

Madenciliği, Deprem, Meteoroloji, Sağlık, 

Eğitim, Ziraat vb. 

Zaman Serileri Analizinde Metodolojik 

Açılımlar: 

- Box-Jenkins yaklaşımı SARIMA(p,d,q)X(P,D,Q) 

- Geleceği tahmin/kestirim yöntemleri 

- Mevsimsel düzeltme yöntemleri 

- Eşbütünleşme 

- Panel Eşbütünleşme 

- Çok Değişkenli Zaman ve Spektral analiz 

yöntemleri 

- Doğrusal olmayan zaman serileri ve SETAR 

modeli 

- ARCH-GARCH modelleri 

- Granger Nedensellik 

- Bayesgil vektör otoregressif (BVAR) kestirim 

modeli 

- Zaman serileri kestiriminde aykırı değerler 

- Robust zaman serileri 

- Yapay sinir ağları ve zaman serilerinin kestirimi 

- Fuzzy(Bulanık) zaman serileri 

- Zaman serilerinde Veri Madenciliği 

- Kaos-Lyapunov üstellerinin tahmini 

- EEG ve EKG sinyallerinin zaman serileri ile 

modellenmesi vd. 

Sonuç olarak, bu çalışmada zaman serileri analizi 

için genel yapıyı tanıtan bir giriş yapılmıştır. Zaman 

serilerinin daha özel durumlarına ilişkin çalışmalar 

daha sonraki makalelerde sunulacaktır. 

Kaynaklar 

Akdi, Y., ''Zaman Serileri Analizi, Birim Kökler ve Kointegrasyon'', Bıçaklar Kitabevi, 

Ankara, 225-245 (2003). 

Box, G. P., Jenkins, G. M., “Time Series Analysis Forecasting and Control”, 

Holden-Day, San Francisco, 1-170 (1976). 

Box, G.E.P., Jenkins, G.M. and Reinsel, G.C. “Time Series Analysis: Forecasting 

and a Control”, Prentice Hall, New Jersey, 10-100, 200-202 (1994). 

Kasap, R., "İstanbul Menkul Kıymetler Borsası'nın incelenmesi: İstatistiksel bir yaklaşım", 

İMKB Dergisi, (6): 27-33 (1998). 

Kasap, R., Basılmamış Zaman Dizileri Analizi Ders Notları, Gazi Üniversitesi, Fen 

Fakültesi, İstatistik Bölümü, Ankara (2010). 

Orhunbilge, N., ”Zaman serileri analizi tahmin ve fiyat indeksleri”, İ.Ü.İşletme Fakültesi, 

İstanbul, 1-15 (1999). 

Özmen, Dr. A., 1986, Zaman dizisi analizinde Box-Jenkins yöntemi ve banka mevduat 

tahmininde uygulama denemesi, Anadolu Üniversitesi Yayınları, 207, 1-110. 

Wei, W.W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. Second 

edition. Pearson Addison Wesley, ISBN 0-321-32216-9, Boston, USA (2006). 

14 15


Prof. Dr. Gül ERGÜN 

Hacettepe Üniversitesi 

Fen Fakültesi İstatistik Bölümü 

AKADEMİK 

Bayesci Zaman Serisi 

Analizleri 

İstatistikte koşullu olasılık tanımı ilk olarak Bayes ve 

Laplace’ın çalışmalarında yer almıştır. Toplam olasılık 

formülü ve Bayes teoreminin 18. yüzyılın son 

yarısında ortaya konulmasına karşın, hem 19. yüzyıl 

hem de 20. yüzyılın ilk yarısı Bayesci fikirler açısından 

oldukça karanlık bir döneme sahip olmuştur. Bayesci 

düşüncenin önem kazanması DeFinette, Savage, 

Jeffreys gibi İstatistikçiler tarafından sağlanmıştır. 

Bayesci yaklaşım, aşağıda belirtilen iki kaynağı verimli 

bir şekilde birleştirmeye çalışır. Bunlardan ilki, 

olabilirlik formunda verilerin içerdiği nesnel bilgi olup; 

ikinci kaynak ise, bir teoriden veya gerçekliği kabul 

görmüş bir savdan gelen bilgi ya da araştırmanın başında 

bir önsel olarak biçimlenen öznel düşüncedir. 

Klasik istatistikçilerin Bayesci yaklaşıma yönelik itirazlarından 

biri, önsel dağılımlarla ortaya konulan öznelliktir. 

Klasik istatistikçiler bu bilgiyi, gözlenmediği 

ve kişiden kişiye değişebileceği için kabul etmezler. 

Bayesci yaklaşımda bilinmeyen parametreler raslantı 

değişkenidir. Burada parametreler hakkındaki 

tüm bilgiler, olasılık yoğunluk fonksiyonları aracılığıyla 

özetlenir. Bayes teoremi, öznel bilgi ile örneklem 

bilgisini harmanlayan, parametreler hakkında güncellenmiş 

bilgiye ulaşmamıza olanak sağlayan bir 

önemli bir teoremdir. Bu nedenle Bayesci yaklaşımda 

önsel bilgiden önsel dağılıma, sonsal dağılımdan 

da sonsal bilgiye bir geçiş söz konusudur. 

Günümüzde bilimsel öğrenme ve karar vermede, Bayesci 

yaklaşım önemli bir ilgi odağıdır ve özellikle son 

20 yılda, bilgisayar teknolojisindeki gelişime paralel 

olarak Bayesci görüşlere dayalı bilimsel çalışmaların 

sayısında önemli bir artış gözlenmektedir. Bayesci 

yaklaşımda herhangibir veri toplamadan önce, parametreler 

hakkındaki mevcut bilgilerin önsel bir dağılım 

aracılığıyla tahmin sürecine dahil edilmesi önemli 

bir avantajdır. Ancak, birçok model için analitik çözüme 

ulaşmak, integral güçlükleri nedeniyle mümkün 

değildir ve bu durum, avantajlarına rağmen Bayesci 

yaklaşımın uygulanmasında bir kısıt yaratmıştır. 

Örnekleme temelli iteratif yöntemlerin kullanılması 

mevcut uygulama güçlüklerinin aşılmasına olanak 

sağlamıştır. Son yıllarda, Bayesci yaklaşıma dayalı 

bilimsel çalışmaların çoğunda Markov Zinciri Monte 

Carlo (MCMC) gibi stokastik simülasyon tekniklerinin 

yoğun olarak kullanıldığı gözlenmektedir. Zaman 

serilerinin analizinde Bayesci metodoloji, birçok farklı 

bakış açısı ile uygulanmaktadır. Zaman serilerinin 

durum-uzay (state-space) yapıda tanımlaması veya 

klasik ARIMA modellerindeki parametrelere önsel 

dağılımlar tanımlanarak, bu parametrelerin tahmininde 

Bayesci yaklaşımın adapte edilmesi örnek yollar 

olarak verilebilir. Genel olarak, zaman serileri için 

Bayesci yaklaşıma dayalı birçok farklı model yapısı 

ve tahmin yöntemi mevcuttur. Ancak, bu metinde 

sadece Dinamik Doğrusal Modeller ele alınacaktır. 

16 17


Dinamik Doğrusal Modeller 

Harrison ve Stevens’ın Kalman filtrelerine dayalı Bayesci 

zaman serisi modeli, dörtlüsü ile aşağıdaki 

biçimde tanımlanır (West ve Harrison, 1997): 

Gözlem Denklemi: y =F_ q_ +v , v ~N(0, V ) (1) 

t t t t t t 

Sistem Denklemi:q_ =G q_ _ +w_ ,w_ ~ N 

t t t 1 t t 

(0,W ) (2) t 

Burada, q_ ,süreç parametre vektörü, F , t zamanın- 

t t 

da bilinen bağımsız değişkenler vektörü, G , bilinen 

t 

geçiş matrisi, v ve w_ ise, normal dağılıma sahip 

t 1 

rasgele değişkenlerdir. Yukarıda tanıtılan modelin 

ilk denkleminde gözlemlerin süreç parametrelerine 

olan stokastik bağımlılığı izlenebilirken, sistem denkleminde 

parametrelerin zaman içerisindeki gelişimi 

yalın bir Markov süreci ile ortaya konulmaktadır. Bu 

model yapısında, zaman serilerinin dinamik bir sistemin 

çıktısı olduğu kabul edilir. Burada trent, mevsimsellik 

ya da regresyon bileşenleri içeren serilere 

olasılıksal yapılar tanımlanmakta ve hesaplamalar 

için ardışık algoritmalar kullanılmaktadır. Doğrusal 

model yapısı ve normallik varsayımı altında tanımlanan 

Dinamik doğrusal modellerde tahmin ve öngörüler 

Kalman filtresi sonuçlarına eşittir. Dinamik 

modeller tek değişkenli ya da çok değişkenli zaman 

serileri için kullanılabilir. Genel olarak dinamik doğrusal 

bir model, 

1. Parametrik bir model yapısı, 

2. Her t zaman noktasında parametreler ve gözlemlere 

ilişkin olasılıksal bilgilerin varlığı, 

3. Parametrelerin zaman boyunca gelişimini açıklayan 

ardışık bir model yapısı ve 

4. Öngörüler olasılık dağılımları biçiminde elde edilmesiyle 

karakterize edilebilir. 

Dinamik doğrusal modellerin klasik zaman serisi 

modellerine göre bazı üstünlükleri vardır. Bunlardan 

en belirgin olanları, model parametrelerinin doğal bir 

yorumunun olması, model parametreleri için önsel 

bilgiler kullanıldığından, klasik yönteme göre çok 

az sayıda veri ile tahmin yapılabilmesi, tahminlerin 

karesel kayıp fonksiyonları altında elde edilmesi, 

parametrelere ilişkin bilgilerin her t noktasında gün- 

AKADEMİK 

cellenmesi nedeniyle geçmiş gözlemlerin saklanmasına 

ihtiyaç duyulmaması, nokta kestirimleri yerine 

dağılımlar (önsel, sonsal ve öngörü) elde edildiğinden 

daha çok bilgi elde edilmesi ve modelin, normal 

dağılımlı olmayan seriler ve doğrusal olmayan yapılar 

için genelleştirilmesidir. 

Dinamik doğrusal modellerde gözlemlerin olabilirlik 

fonksiyonu ile parametrelerin önsel dağılımları elde 

edildikten sonra, koşullu olasılık tanımından hem 

y |y t t-1 ’nin dağılımı hem de q_ |y t t ’ nin sonsal dağılımı 

akışlı olarak elde edilebilir. Burada yt =y ,y ,…,y ’ dir. 

1 2 t 

Model parametreleri üzerindeki bilgilerin her t noktasında 

güncellenmesinde kullanılan Bayes formülü 

aşağıdaki şekilde tanımlanır: 

f(q_ |y t t )¥f(q_ |y t t-1 )f(y |q_ ). 

t t 

Burada q_ ’nin önsel dağılımının q_ |y t t t-1 * * ~N(m_ ,Ct ) t 

olduğu kabul edilir ve (1)’deki gözlem denkleminden 

y |q ~N(F_ q_ ,V ) elde edilir. 

t t t t t 

Gözlem değişkenine ilişkin bir adım ileri öngörü dağılımı 

ise, aşağıda verilen integral yardımıyla elde 

edilir: 

f(y |y t t-1 )=òf(q_ |y t t-1 )f(y |q_ )dq_ . 

t t t 

(1) ve (2) de tanımlanan dinamik doğrusal modelden 

elde edilen sonuçlar aşağıda gibi topluca özetlenebilir: 

m_ =G m_ +A_ e , 

t t t-1 t t 

C =C t * 

t-A_tQtA_t , 

e =y ,-ö , 

t t t 

A_ =C t * 

tF_tQ -1 , t 

* m_ =Gtm_ , 

t 

t-1 

* C =GtC G +W , 

t 

t-1 t t 

ö =F'_ G m_ , 

t t t t-1 

* Q =F'_ C F_t +V . 

t t t 

t 

Yukarıda verilen eşitlikler, Kalman filtresi sonuçlarını 

ortaya koymaktadır. Kalman filtrelerine dayalı dinamik 

doğrusal modellerin işletiminde BATS paket 

programı uygun bir araçtır. Bu modellerde G sistem 

t 

matrisinin zaman boyunca sabit olduğu ve V ile W t t 

varyanslarının bilindiği kabul edilir. (1) ve (2) eşitlikle- 

rinden görüldüğü gibi, dinamik doğrusal modellerde 

normallik ve doğrusallık koşulları mevcuttur. Ancak 

bu modellerin normal dağılıma sahip olmayan, doğrusal 

yapıda olmayan zaman serileri için uygulamaları 

mevcuttur. Dinamik modeller doğrusallık varsayımı 

kaldırılarak genelleştirilebilir. Genelleştirilmiş dinamik 

doğrusal modellerde f áy |q ñkoşullu dağılımının 

t t 

h =F q doğal parametresi ile üstel aileye mensup 

t t t 

olduğu varsayılır. Burada sistem denklemi yine Eşitlik 

(2) ile tanımlanır. Ancak bu model, normal modele 

kıyasla daha karmaşık bir yapıdadır ve burada analitik 

çözümlemeler yerine sayısal çözümlemeler tercih 

edilmelidir. Dinamik modellerde q durumu kesikli 

t 

olduğu durumlarda ise, Saklı Markov modelleri tanımlanmalıdır. 

Günümüzde ele alınan problemlerin çoğunda yüksek 

boyutlu, matematiksel olarak daha karmaşık modeller 

kullanılmaktadır. Bu modellerde bilinmeyen parametre 

sayısının fazla olması ve/veya eşlenik olmayan 

önsel dağılımların tercih edilmesi, bileşik dağılımlardan 

çıkarsama yapılmasını zorlaştırmaktadır. Burada 

marjinal sonsal dağılımlara ulaşmak yüksek boyutlu 

integral hesaplamaları gerektirmekte ya da elde edilen 

sonsal dağılımlardan örnekler çekilmesi mümkün 

olamamaktadır. Gelfand ve Smith’in 1990 yılında istatistik 

camiasına kazandırdığı Markov Zinciri Monte 

Carlo yöntemleri, stokastik simülasyona dayalı çözümlemelerle 

araştırmacıların işini kolaylaştırmıştır. 

Bileşik sonsal dağılımın çarpımsal olarak ayrıştırılması 

hesaplamalarda önemli bir kolaylık sağlamaktadır. 

Markov zinciri simülasyonu karmaşık bir teknik 

görünmesine rağmen, dinamik modeller, hiyerarşik 

modeller dahil olmak üzere birçok modelin tahmininde 

kolay ve güvenilir sonuçlar vermektedir. Markov 

zinciri simülasyonunda ana fikir, parametre uzayında 

durağan bir dağılıma yakınsayan bir rasgele yürüyüş 

benzetimi oluşturmaktır. Markov Zinciri Monte Carlo 

yöntemleri denince temel olarak Metropolis-Hasting 

algoritması ve Gibbs örneklemesi akla gelmektedir. 

Ancak, bu iki yöntem dışında birçok farklı ve melez 

algoritma da bulunmaktadır. Bu yöntemler ile 

karmaşık sonsal dağılımlardan örneklem çekme ve 

sonsal momentleri hesaplamak mümkün olmaktadır. 

Metropolis-Hasting algoritmasının özel bir hali 

olan Gibbs örneklemesi uygulamalarda en çok ter- 

cih edilen yöntemdir. Ticari bir program olmayan ve 

erişimi internet ortamında mümkün olan WinBUGS 

(Bayesian Inference Using Gibbs Sampling) paket 

programı Gibbs örneklemesine dayalı stokastik simülasyon 

tekniği ile model tahminlerinde pratik bir 

çözüm sunar. WinBUGS paket programının yanısıra 

R programı da Bayesci çözümlemelerin yapılmasına 

olanak veren bir programdır. Farklı yapıda birçok dinamik 

modelin R ortamında çözümü Petris, Petrone 

ve Campagnoli (2007) ve Petris (2010) çalışmalarında 

detaylı olarak verilmiştir. Bu çalışmalarda gözlem 

ve sistem varyanslarının bilinmediği durumda, 

varyansların tahmininde ve diğer model parametrelerinin 

tahmininde Gibbs örneklemesi kullanılmıştır. 

Bu çalışmalarda, dinamik modellerde filtreleme, 

düzleştirme ve öngörülerin R ortamında nasıl uygulandığı 

gösterilmektedir. 

Sonuç olarak, zaman serilerinin analizinde Bayesci 

yaklaşımın uygulanması, parametrelere ilişkin mevcut 

bilgilerin modelleme sürecine dahil edilmesine 

olanak sağladığından, akılcı bir yoldur. Stokastik 

simülasyon tekniklerinin Bayesci zaman serilerinin 

analizinde kullanılması da önemli bir kolaylıktır. 

Kaynaklar 

Gelfand, A.E., Smith, A.F.M., 1990, Sampling Based Approaches to Calculating 

Marjinal Densities, Journal of the American Statistical Association, 85, 398-409. 

Petris, G., 2010, “An R Package for Dynamic Linear Models”Journal of Statistical 

Software, Volume 36, Issue 12, http://www.jstatsoft.org. 

Petris, G., Petrone, S., ve Campagnoli, P., 2007, Dynamic Linear Models with 

R, Springer. 

West, M. ve Harrison, J., 1997, Bayesian forecasting and Dynamic models. (Second 

edition. First edition: 1989), Springer, N.Y. 

18 19


Zaman, hayatta göz ardı edilemeyen bir gerçekliktir. 

Günlük hayatta gerçekleşen olayların üzerinde zamanın 

etkisi açıkça görülebilmektedir. Buna rağmen, istatistiksel 

analizlerin büyük bir kısmında yatay kesit 

veri kullanılarak, zamanın etkisi sabit olarak düşünülmektedir. 

Verilerin zaman içindeki değişimi ve zaman 

içindeki ilişkileri incelenmek istendiğinde ise zaman 

serisi kavramına ihtiyaç duyulmaktadır. Zaman serisi, 

belli bir özelliğin zaman içinde gözlemlenmesi ile 

elde edilen veri olarak tanımlanabilir. Bir zaman serisini, 

diğer istatistiksel verilerden ayıran en önemli 

özellik; her bir gözlem, zamanın farklı bir anında elde 

edildiğinden, bu gözlemlerin farklı rastlantı değişkenlerinin 

gözlem değerleri olmasıdır. Yani zaman serisi 

bir olasılıksal sürecin gerçekleşmesidir. Zaman serilerinin 

modellenmesi, gelecekteki değerlerinin tahmin 

edilmesi ve farklı zaman serilerinin birbirleri ile 

ilişkilerinin incelenmesi için yapılan analizlere verilen 

Doç. Dr. Erol EĞRİOĞLU 

Ondokuz Mayıs Üniversitesi, İstatistik Bölümü 

Doç.Dr. Çağdaş Hakan ALADAĞ 

Hacettepe Üniversitesi, İstatistik Bölümü 

Yrd. Doç. Dr. Ufuk YOLCU 

Giresun Üniversitesi, İstatistik Bölümü 

AKADEMİK 

Olasılıklı 

ve Olasılıklı 

Olmayan 

Zaman 

Serileri 

Kestirim 

Yöntemleri 

genel isimdir. Zaman serileri analizi ekonomi, mühendislik, 

nüfus bilim, turizm ve hidroloji gibi bir çok 

bilim alanında uygulanmaktadır. Bu nedenle, zaman 

serileri analizi konusunda farklı bilim alanlarından bilim 

insanlarının katkıları bulunmaktadır. 

Literatürde farklı zaman serisi analizi yöntemleri bulunmaktadır. 

Bu yöntemlerin sınıflandırılması oldukça 

zordur ve sınıflandırmayı yapan bilim insanına ve bilim 

dalına göre değişiklikler gösterebilir. Zaman serileri 

analizi, analiz yöntemindeki belirsizlik yaklaşımına 

göre olasılıklı ve olasılıklı olmayan zaman serisi yöntemleri 

olarak ikiye ayrılabilir. Zaman serisi kestirim 

yöntemleri geçmişte sadece olasılık teorisine dayalı 

modeller ile gerçekleştirilmekteydi. Son yıllarda ise 

olasılıklı olmayan zaman serisi kestirim yöntemlerinin 

farklı bilim dallarında yaygın uygulanması, zaman 

serileri analizi yöntemlerinde olasılıklı ve olasılıklı olmayan 

ayrımına neden olmuştur. 

Zaman serilerinin analiz edilmesinde kullanılan olasılıklı 

modellerde bağımlı değişken zaman serisinin 

t anındaki değerini temsil eden rastlantı değişkeni 

(X ) iken, açıklayıcı değişkenler zamanın bir fonksi- 

t 

yonu f(t), zaman serisinin gecikmeli değişkenleri 

f(X ,X ,…) veya diğer zaman serilerinin gecikmeli 

t-1 t-2 

değişkenleri f(Y ,Y ,…) olabilmektedir. f fonksiyo- 

t-1 t-2 

nunun doğrusal olup olmamasına göre zaman serisi 

analizi yöntemleri doğrusal ya da doğrusal olmayan 

zaman serileri analizi yöntemleri olmak üzere ikiye 

ayrılabilir. Doğrusal olma, beraberinde normalliği 

de getirebildiğinden olasılıklı modellerde işleri kolaylaştırmaktadır. 

Doğrusal bir modelde açıklayıcı 

değişkenlerin kestirim üzerindeki etkisinin ölçülmesi 

ve çeşitli hipotez testlerinin uygulanması oldukça 

kolaydır. Ancak gerçek hayatta karşılaşılan zaman 

serilerinin salt doğrusal olmasının mümkün olmadığı 

bilinmektedir. Doğrusal model varsayımı iki değişken 

arasındaki ilişkiyi kabataslak belirlemede oldukça 

başarılıdır. Buna karşın, daha fazla ayrıntı veya daha 

iyi kestirim sonuçları istenirse doğrusal olmayan yaklaşımlara 

ihtiyaç duyulur. Doğrusal olmayan olasılıklı 

zaman serisi modelleri de vardır ancak bu modellerin 

çok büyük çoğunluğu ya parçalı doğrusal ya da 

değişkenlere göre doğrusal olmayan fakat parametrelere 

göre doğrusal modellerdir. Olasılıklı modellerde 

doğrusal olmayan yapının belirlenmesi birçok 

problem içermektedir. Olasılıklı doğrusal olmayan 

zaman serisi kestirim yöntemlerinde modelin yapısının 

belirlenmesi bir takım hipotez testleri ve grafiksel 

yöntemlere dayanmaktadır. Hipotez testlerinin uygulanmasında 

zaman serisinin veri üretim sürecinin 

bir doğrusal olmayan modele uygun varsayılması 

gerekmektedir. Bu nedenle farklı doğrusal olmayan 

zaman serisi kestirim yöntemlerinden hangilerinin 

kullanılacağı problemi de ortaya çıkmaktadır. 

Buraya kadar anlatılanlara ek olarak, olasılıklı doğrusal 

olmayan zaman serisi kestirim yöntemleri doğrusal 

modellere göre daha zor anlaşılır ve uygulanabilir 

yöntemlerdir. Zaman serileri analizi yöntemlerinde 

modelde yer alacak değişkenlerin belirlenmesi, modelin 

geçerliliğinin test edilmesi en önemli aşamalardır. 

Zaman serileri, geçmişte olasılıklı modeller 

yardımıyla analiz edildiğinden, zaman serisi olasılıklı 

sürecin bir gerçekleşmesi olarak görülmektedir. 

Olasılıklı bir model ile gerçekleştirilen analizlerde hipotez 

testlerinden yararlanma olanağı olduğundan, 

değişken seçimi, modelin geçerliliğinin test edilmesi 

gibi problemlere çözümler bulunabilmektedir. Değişken 

seçimi problemi 0 ya da 1 değerini alabilecek 

karar değişkenlerinin en uygun değerlerini belirleme 

problemi olarak düşünülebilir. Herhangi bir karar değişkeni 

1 değerini aldığında, karşılık gelen değişken 

modelde yer alır aksi halde ise modelde yer almaz. 

Bu problemin çözümü modelde yer alması gereken 

değişkenlerin belirlenmesini sağlayabilir. Bir zaman 

serisi analizi yönteminde aday değişken sayısı 36 olduğunda, 

mümkün model sayısı 2 36 -1=6.8719x10 10 

olmaktadır. Periyodu 12 olan bir mevsimsel serisinin 

modellenmesinde 36 adım gecikmeli değişk e n i n 

(X t-36 ) modelde aday değişken olabileceği düşünülürse, 

aslında değişken seçimi problemi 6.8719x10 10 

mümkün modelden birinin seçimidir. Bahsedilen 

problem büyük boyutlu bir optimizasyon problemidir. 

Olasılıklı bir modelde hipotez testlerinin değişken 

seçim problemininoptimal çözümünü, aday birkaç 

modelin incelenmesi ile bulması oldukça zordur. 

Dolayısıyla değişken seçimi probleminin olasılıksal 

bir modelde bile hipotez testleri yerine bir optimizasyon 

problemi olarak çözümlenmesi daha akılcı 

bir yaklaşım olacaktır. Olasılıklı zaman serisi kestirim 

yöntemlerinde modelin geçerliliği eldeki tüm veriye 

dayalı hipotez testleri yardımıyla elde edilmektedir. 

Ancak olasılıklı modellerde çapraz geçerlilik yöntemlerin 

kullanılması yararlı olacaktır. Çapraz geçerlilik 

yöntemi, verinin parçalara ayrılarak, modelin parametre 

tahmin sürecinde kullanmadığı veriler üzerindeki 

performansının ölçülmesi işlemidir. Örneğin bir 

olasılıklı zaman serisi kestirim yöntemi olarak, eldeki 

tüm veriler için elde edilen bir ardışık bağlanım (otoregresif) 

sürecinin gelecek değerler için minimum 

varyanslı bir tahmin ediciden tahminler verdiği varsayılmaktadır. 

Bu durum teorik olarak kanıtlansa da, 

tanıt modelin tüm varsayımlarının tam olarak doğru 

olduğu durumda geçerlidir. Gerçek hayatta bir otoregresif 

sürecin yada bir olasılıklı zaman serisi kestirim 

yönteminin tüm varsayımları sadece belli bir 

olasılıkla sağladığı kabul edilir. Yani varsayımların 

tam olarak doğru olması gerçek hayatta mümkün 

değildir, ancak belli olasılıklarla reddedilemez olur- 

20 21


lar. Sonuç olarak, bir olasılıklı modelde de modelin 

geçerliliğinin tespiti için çapraz geçerlilik yöntemlerinin 

uygulanması akılcı bir yaklaşım olacaktır. Zaman 

serileri analizi yöntemleri ile gelecek değerlerin 

kestirimi kadar, gelecek değerler için uygun bir aralık 

kestirimi deönemlidir. Olasılıklı bir model ile gelecek 

değerler için aralık tahmini olarak,güven aralıkları 

elde edilebilmektedir. 

Olasılıklı modellerde belirsizliğe olasılıksal bir yaklaşım 

varken, olasılıklı olmayan zaman serileri kestirim 

yöntemlerinde belirsizliğe, bulanıklık gibi farklı 

yaklaşımlar söz konusu olabilmektedir. Belirsizliğe 

herhangi bir yaklaşımı içermeyen yapay sinir ağları 

gibi teknikler ise hesaplamalı teknikler (Computational 

Methods) olarak isimlendirilebilir ve bu teknikler 

de olasılıklı olmayan zaman serisi kestirim yöntemleri 

sınıfında yer alırlar. Son zamanlarda literatürde 

yapılan çalışmalara bakıldığında, olasılıklı olmayan 

zaman serisi kestirim yöntemleri, 

a) Bulanık küme teorisine dayalı teknikler 

b) Yapay sinir ağlarına dayalı teknikler 

Olmak üzere iki gruba ayrılabilir. Olasılıklı olmayan 

yaklaşımlar normallik, doğrusallık gibi varsayım kısıtlamalarını 

içermediğinden esnek hesaplama yöntemleri 

(Soft Computing Methods) sınıfında da yer 

alırlar. 

Zaman serisi kestiriminde bulanık küme teorisine 

dayalı yaklaşımlar bulanık çıkarım sistemleri ve bulanık 

zaman serisi çözüm yöntemleri olarak iki ana 

başlıkta toplanabilir. Bulanık çıkarım sistemleri insan 

beyninin çıkarım yapma sürecini taklit eder. İnsan 

karar verme sürecinde, zihinde dilsel değerleri değerlendirir 

ve bu dilsel değerler sayesinde çıkarım 

yapar. Günlük hayattaki basit çıkarımlar için insanlar 

karmaşık hesaplar yerine dilsel değerlere dayalı 

daha kolay karar vermeyi tercih ederler. Örneğin bir 

kişi futbol oynarken kaleye çok yaklaştım, şut için oldukça 

müsait bir pozisyondayım, topu auta atarsam 

arkadaşlarım fazla kızmaz diye zihninden geçirerek 

şut çekme ya da çekmeme kararı alabilir. Bu kararı 

alırken futbol oynayan kişinin kullandığı “çok yaklaştım”, 

“oldukça müsait”, “fazla kızmaz” dilselleri çıkarım 

sürecinin sonucu için oldukça önemlidir. İnsanlar 

AKADEMİK 

bu tür dilseller yardımıyla oldukça kolay ve hızlı bir 

biçimde karar alabilmektedirler. Bulanık çıkarım sistemlerinde 

dilsel değerler bulanık kümeler ile temsil 

edilmektedir. Bulanıklık durumu gerçek hayattaki birçok 

durumdaki belirsizliği açıklamada oldukça başarılıdır. 

Bir rasgele olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceği 

önceden bilinemez, bu belirsizliğe bir yaklaşım 

olarak olay gerçekleşmeden önce bu olayın rastgele 

olduğu varsayılarak olasılığın kullanılması mümkündür. 

Buna karşın, olay gerçekleştikten sonra olayın 

ne kadar gerçekleştiği konusunda da bir belirsizlik 

vardır. Örneğin hava ısısının %90 olasılıkla 15 ile 25 

ºC arasında olacağı öngörülebilir. Hava ısısının 20 ºC 

derece olarak gerçekleştiğinde, bu ısının ne kadar 

sıcak ya da ne kadar soğuk olduğu bölgeye göre, 

kişiye göre ya da farklı durumlara göre değişebileceğinden, 

hala bir belirsizlik vardır. Bu tür belirsizliklerin 

modellenmesinde bulanık küme teorisi kullanılabilir. 

Bulanık zaman serileri kestirim yöntemleri, gözlemleri 

bulanık kümeler ya da dilseller olan zaman serilerinin 

çözümlenmesi için geliştirilen yöntemlerdir. 

Genel olarak bir bulanık zaman serisi yaklaşımı bulanık 

çıkarım sistemlerine benzer olarak üç aşamadan 

oluşmaktadır. Bunlar bulanıklaştırma, bulanık ilişki 

belirleme ve berraklaştırma aşamalarıdır. Bulanık 

zaman serileri kestirim yöntemlerinin bu aşamalarının 

her birinde farklı esnek hesaplama yöntemleri 

kullanılabilmektedir. Bulanık zaman serisi kestirim 

yöntemlerinde genetik algoritma, parçacık sürü optimizasyonu, 

bulanık kümeleme yöntemleri ve yapay 

sinir ağları gibi teknikler birer araç olarak kullanılabilmektedir. 

Bulanık zaman serileri kestirim yöntemleri 

içerdikleri zaman serisi sayısına göre tek değişkenli, 

iki değişkenli ve çok değişkenli yöntemler olarak üç 

sınıfa, içerdikleri gecikmeli değişken sayısına göre 

birinci dereceden ve yüksek dereceden olmak üzere 

iki sınıfa, içerdikleri bileşenlere göre mevsimsel ya 

da mevsimsel olmayan modeller olarak da iki sınıfa 

ayrılabilir. Bulanık zaman serileri analizi konusunda 

son yıllarda literatürde oldukça fazla çalışma yayınlanmıştır. 

Bulanık zaman serisi analizi yöntemlerinden 

ayrı olarak zaman serisi öngörüsü için ANFIS 

(Adaptive Network Fuzzy Inference System) gibi bulanık 

çıkarım sistemleri, zaman serilerine uyarlanmış 

bulanık regresyon yöntemleri ve bulanık fonksiyon 

yaklaşımları yaklaşım ım ı ları da a ku kkullanılabilmektedir. llanılabilmektedir. 

Olasılıklı olmayan zaman serisi kestirim yöntemlerinin 

en önemlilerinden biri de yapay sinir ağlarıdır. 

İnsan sinir sisteminin çok basit bir taklidi olan yapay 

sinir ağları genel bir fonksiyon yaklaştırıcı olarak da 

bilinmektedir. Yapay sinir ağları, bir zaman serisi ile 

gecikmeli değişkenleri arasındaki ilişkiyi gösteren 

doğrusal olmayan fonksiyonu, tahmin edebilmektedir. 

Yapay sinir ağları ile zaman serisi kestiriminde 

normallik, doğrusal model, model yapısının belirlenmesi 

gibi problemler bulunmamaktadır. Zaman serisi 

kestirimi için çok katmanlı algılayıcı, radyal tabanlı 

yapay sinir ağları ve Elman tipi geri beslemeli sinir 

ağları en sık kullanılan yapay sinir ağları türleridir. 

Yakın geçmişte önerilen çarpımsal nöron modele 

dayalı yapay sinir ağları da uygulama alnını günden 

güne artırmaktadır. 

Bulanık zaman serileri analizi yöntemleri ve yapay 

sinir ağları ile zaman serisi kestiriminde hipotez testlerinden 

yararlanma imkanı olmadığından değişken 

seçimi için genetik algoritma, parçacık sürü optimi- 

zasyonuzasy syonu gibi gi g bi yapay ay zeka optimizasyon optimiza z syon yöntemleri 

kullanılmaktadır. Olasılıklı olmayan yöntemlerde modelind 

li geçerliliğinin lili i i testinde i d çapraz geçerlilik lilikyöntem 

leri kullanılmaktadır. Bulanık zaman serisi analizi yöntemleri 

ile de nokta tahminleri ve aralık tahminleri 

elde edilebilmektedir. Ancak bu aralık tahminleri güven 

aralıklarındanfarklıdır. Olasılıklı modellerden elde 

edilen güven aralıkları, bulanık zaman serisi yöntemlerinden 

elde edilen aralık tahminlerine göre daha 

geniş aralıklar olabilmekte, ancak yine de bazı zaman 

serileri için gerçek değerleri kapsamayabilmektedir. 

Yapay sinir ağları ile zaman serilerinin gelecek değerleri 

için nokta tahminleri elde edilebilmektedir. Yapay 

sinir ağları aralık tahminleri vermese de, son yıllarda 

aralık değerli zaman serilerinin yapay sinir ağları ile 

çözümlendiği yaklaşımlar ortaya koyulmuştur. Aralık 

değerli zaman serisi, bir zaman noktası için en düşük 

ve en yüksek olmak üzere iki değeri olan gözlemlerden 

oluşmuş zaman serileridir. Bu tür zaman serilerinin 

tahmin edilmesi durumunda zaman serisinin en 

düşük ve en yüksek değeri tahmin edildiğinden, bir 

tür aralık tahmininin elde edilmesi mümkündür. 

22 23


Zaman serileri analizinde kullanılan yöntemler ilk yıllarda 

olasılıklı modeller olsa da son yıllarda bulanık 

zaman serileri yaklaşımları, yapay sinir ağları gibi 

alternatif zaman serileri analiz yöntemleri sıklıkla 

kullanılmaktadır. Ayrıca olasılıklı ve olasılıklı olmayan 

yöntemlerin bir arada kullanıldığı birçok melez yaklaşım 

literatürde önerilmiştir. Bulanık zaman serileri 

ve yapay sinir ağları zaman serileri analiz yöntemlerinin 

uygulama alanı günden güne artmaktadır. 

Olasılıklı olmayan zaman serileri analiz yöntemleri, 

olasılıklı modellerdeki gözlem sayısı, doğrusal olma, 

normallik gibi varsayım kısıtlarını içermemesi nedeniyle 

daha çok tercih edilmektedir. Genel olarak, 

olasılıklı olmayan modeller istatistik ve ekonometriciler 

tarafından göz ardı edilse de gerçek hayat 

uygulamalarında,farklı disiplinlerde üzerinde oldukça 

yoğun çalışılan konulardır. Olasılıklı modellerin, olasılıklı 

olmayan modellere göre geçmişinin daha eski 

yıllara dayanması nedeniyle metodolojik problemleri 

kısmen giderilmiştir. Ancak olasılıklı olmayan zaman 

serileri analizi yöntemleri literatürde çok yenidir ve 

içerdikleri bazı problemler çözüm beklemektedir. 

Olasılıklı modeller için kullanılan metodolojik çözümler, 

olasılıklı olmayan modeller için de çözümün bir 

parçası olabilir. Bu nedenle olasılıklı modeller konusunda 

tecrübe sahibi istatistikçilerin çözümde aktif 

rol alabileceği de bir gerçektir. Zaman serileri analizi 

konusunda çalışan genç araştırmacılar bu fikirden 

yola çıkarak olasılıklı olmayan zaman serileri analiz 

yöntemlerine katkı sağlayabilir. Olasılıklı olmayan zaman 

serisi kestirim yöntemlerinin göz ardı edilmesi, 

AKADEMİK 

istatistikçiler için önemli bir kayıp olacaktır. Gerçek 

hayatta belirsizliğe tek yaklaşımın olasılıksal olmadığı, 

birçok durumda belirsizliğe bulanık yaklaşımın 

daha doğru çözümler ürettiği göz ardı edilmemelidir. 

Normal dağılım ve normallik gibi varsayımların gerçek 

hayatta tam olarak sağlanmasının zor olduğu, bu 

nedenle olasılıksal olmayan yöntemlerin kullanımının 

daha yararlıolabileceği dikkate alınmalıdır. Olasılıklı 

ve olasılıklı olmayan modellerin farklı üstünlükleri 

vardır. Bu yaklaşımların bir arada kullanıldığı melez 

modeller her iki tür kestirim yöntemlerinin üstünlüklerini 

kullanabilmektedir. Melez yaklaşımların geliştirilmesinde 

istatistikçiler olasılıklı modeller konusunda 

bilgi sahibi olduğundan,bu tür yaklaşımların gerçekleştirilmesinde 

başarılı sonuçlar üretebilirler. Tüm 

bunların yanında,belirsizliğe olasılıksal yaklaşımla 

bulanık yaklaşımı birlikte içeren bir zaman serisi kestirim 

yöntemi,kuşkusuz birçok zaman serisi için daha 

gerçekçi çözümler sunacaktır.Literatürdeki zaman 

serileri analizi yöntemleri zaman serisinin tarihsel 

bilgisinin modellenmesi ile gelecek değerlerinin elde 

edilmesine olanak vermektedir. Zaman serilerinin 

olağan geleceğinin tahmin edilmesi mümkündür ve 

zaman serileri analizinin önemli bir amacı da budur. 

Ancak zaman serilerinin gelecek değerlerinin tarihsel 

seyrinin tamamen dışında olduğu durumlarda tahmin 

edilmesi oldukça güçtür, hatta bazı araştırmacılara 

göre mümkün değildir. Hayattaki en önemli belirsizliklerden 

birinin gelecek olduğu açıktır. Geleceğin 

tahmininde ise insanoğlunun elinde geçmiş bilgiden 

başka bir şey mevcut değildir. 

Olasılıklı zaman serileri kestirim yöntemleri ile ilgili 

oldukça geniş bir literatür mevcuttur ve bu litearatür 

istatistikçiler tarafından oldukça iyi bilinmektedir. 

Buna karşın olasılıklı olmayan zaman serileri kestirim 

yöntemleri için literatür daha yenidir. Bu konuda 

araştırma yapmak isteyen istatistikçiler için olasılıklı 

olmayan zaman serileri kestirim yöntemleri ile ilgililiteratürdeki 

bazı güncel çalışmalar bulanık zaman serisi 

yaklaşımları, yapay sinir ağı yaklaşımları ve melez 

yaklaşımlar olmak üzere üç grupta özetlenmiştir. 

Olasılıklı Olmayan Zaman Serisi Kestirim Yöntemi Grubu 

Aladag, C.H., Basaran, M.A., Egrioglu, E., Yolcu, U., Uslu, V.R., Forecasting in High 

Order Fuzzy Times Series by Using Neural Networks to Define Fuzzy Relations, 

Expert Systems with Applications, 36, 4228-4231, 2009. 

Aladag, C. H., Yolcu, U., Egrioglu, E., Dalar A.Z., A new time invariant fuzzy time 

series fore casting method based on particles warm optimization, AppliedSoft 

Computing, 12,3291-3299, 2012. 

Chen, S. M. (1996). Forecasting enrollments based on fuzzy time-series. Fuzzy 

Sets and Systems, 81, 311-319. 

Chen (2002). Forecasting enrollments based on high order fuzzy time series, 

Cybernetics and Systems, 33:1-16. 

Cheng C.-H., Cheng G.-W. and Wang J.-W.: Multi-attribute fuzzy time series method 

based on fuzzy clustering, Expert Systems with Applications, 34, 1235-1242, 

(2008b). 

Egrioglu E ,Aladağ C.H., Yolcu U., A Hybrid Fuzzy Time Series Forecasting Model 

Based on Fuzzy C-Means and Artificial Neural Networks, Expert Systems with 

Applications, 40, 854-857, 2013. 

Hsu, L-Y., Horng, S-J., Kao, T-W., Chen, Y-H., Run, R-S, Chen, R-J., Lai, J-L., 

Kuo, I-H., 2010. Temperature prediction and TAIFEX forecasting based on fuzzy 

relationships and MTPSO techniques. Expert Systems with application, 37,2756- 

2770. 

Huarng, Kunhuang (2001). Effective length of intervals to improve forecasting in 

Aladag C.H., Yolcu U., Egrioglu E., A new multiplicatives easonal neural network 

model based on particles warm optimization, Neural Processing Letters, DOI 10. 

1007/S11063-012-9244-y, 2013. 

Aladag C.H., Yolcu U., Egrioglu E., Robust multilayer neural network based on Median 

Neuron Model, Neural Computing and Application. (Accepted Manuscript). 

DOI 10.1007/s00521-012-1315-5, 2013. 

Aladag, C.H., A new architecture selection method based on tabu search for artificial 

neural networks, Expert Systems with Applications, 38, 3287–3293, 2011. 

Egrioglu E., Aladag C.H. and Gunay S., A New Model Selection Strategy In Artificial 

Neural Network, Applied Mathematics and Computation, 195, 591-597, 2008. 

Egrioglu E., AladagC.H. and Gunay S., A New Architecture Selection Strategy in 

Solving Seasonal Autoregressive Time Series by Artificial Neural Networks, Hacettepe 

Journal of Mathematics and Statistics, Volume 37, Issue 2, 2008. 

Günay S., Eğrioğlu E., Aladağ Ç.H., Tek Değişkenli Zaman Serileri Analizine Giriş, 

Hacettepe Üniversitesi yayınları, 2007. 

Katijani, Y., Hipel, W.K. and Mcleod, A.I., Forecasting Nonlinear Time Series with 

Feedforward Neural Networks: A Case Study of Canadian Lynx Data, Journal of 

Forecasting, 24 (2005) 105-117. 

Aladag, C.H., Using multiplicative neuron model to establish fuzzy logic relation 

ships, Expert Systems with Applications, 40 (3), 850-853, 2013. 

Aladag, C.H., Egrioglu, E.,Editors, Advances in time series forecasting, Bentham 

Science Publishers Ltd., eISBN: 978-1-60805-373-5, 2012. 

Aladag C.H., Egrioglu E., Yolcu U., Forecast Combination Using Artificial Neural 

Networks, Neural Processing Letters, 32, 269-276, 2010. 

Aladag C.H., Egrioglu E. and Kadilar C. Forecasting nonlinear time series with a 

hybrid methodology, Applied Mathematic Letters, 22, 1467-1470, 2009. 

Aladag, C. H., Egrioglu, E., Kadılar C., Improvement in fore casting accuracy usingthe 

hybrid model of ARFIMA and Feed For ward neural network, American Journal 

of Intelligence Systems, Volume:2, Number:2, March, pp. 12-17, DOI: 10.5923/j. 

ajis.20120202.02. 

BuHamra S., Smaoui N., Gabr M., (2003) The Box-Jenkins analysis and neural 

networks: prediction and time series modeling, Applied Mathematical modelling, 

27, 805-815. 

fuzzy time-series. Fuzzy Sets and Systems, 123, 387-394. 

Huarng, Kunhuang and Yu, Hui-Kuang (2006). The application of neural networks 

to forecast fuzzy time series. Physica A, 363, 481-491. 

Li S.-T., Cheng Y.-C., Lin S.-Y.: A FCM-based deterministic forecasting model for 

fuzzy time series, Computers and Mathematics with Applications, 56, 3052-3063, 

(2008). 

Song, Q. and Chissom, B.S. (1993a). Fuzzy time series and its models. Fuzzy Sets 

and Systems, 54, 269-277. 

Song, Q. and Chissom, B.S. (1993b). Forecasting enrollments with fuzzy time series 

- Part I. Fuzzy Sets and Systems, 54, 1-10. 

Song, Q.,and B. S. Chissom. (1994). Fore casting enrollment swithf uzzy time 

series - Part II. Fuzzy Sets and Systems 62(l) :1-8. 

Song, Q., 1999. Seasonal forecasting in fuzzy time series. Fuzzy Sets and 

Systems, 107(2), 235. 

Yolcu, U., Aladag, C. H., Egrioglu, E., Uslu, V. R., Time series fore casting with a 

novel fuzzy time series approach: an example for Istanbul stock market, Journal 

of Statistical Computation and Simulation, Doi:10.1080/00949655. 2011.630000, 

2013. 

Yu, T.H.-K., Huarng, K.-H., 2010. A neural network- based fuzzy time series model 

to improve forecasting. Expert Systems with application, 37, 3366-3372. 

Khashei M., Bijari M. (2010). An artificial network (p, d, q) model for time series 

forecasting, Expert Systems with Applications, 37, 479-489. 

Smith, K.A. Neural networks in business: techniques and applications (Imprint 

Info Hershey: Idea Group, 2002. 

Qi, M. andZhang, G. An investigation of model selection criteria for neural network 

time series fore casting, European Journal of Operational Research132, 666-680, 

2001. 

Yadav R.N., Kalra P.K. and John J. (2007). Time series prediction with single 

multiplicative neuron model, Applied Soft Computing, 7, 1157-1163. 

Yolcu U., Aladag C.H., Egrioglu E., A New Linear&Nonlinear Artificial Neural Network 

Model for Time Series Forecasting, Decision support System Journals, 54, 

1340-1347, 2013. 

Zhang, G..Patuwo. B.E. and Hu. Y.M. Fore casting with artificial neural networks: 

thestate of the art, International Journal of Forecasting 14, 35-62, 1998. 

Zhao L., Yang Y., (2009). PSO-based single multiplicative neuron model for time 

series prediction, Expert Systems with Applications, 36, 2805-2812. 

Chen K.Y., Wang C.H. (2007), A Hybrid SARIMA and support vector machines 

in forecasting the production values of the macihinary industry in Taiwan, Expert 

Systems with Applications, 32(1), 254-264. 

Ince H., Traffalis T.B. (2005), A hybrid model for exchange rate prediction, Decisions 

Support Systems,42, 1054-1062. 

Jain A. and Kumar A.M. (2007), Hybrid neural network models for hydrolgical time 

series forecasting, Applied Soft Computing, 7, 585-592. 

Lee Y-S., Tong L-I. (2011), Forecasting time series using a methodology based 

on autoregressive integreated moving average and genetic programming, 

Knowledge-Based Systems, 24, 66-72. 

Wang W., Van Gelder P.H.A.J.M., Vrijling J.K., Ma J., (2006) Forecasting daily 

stream flow using hybrid ANN models, Journal of Hydrology, 324, 383-399. 

Zhang G., Time series forecasting using a hybrid ARIMA and neural network model, 

Neurocomputing 50 (2003) 159-175. 

24 25 

Kaynaklar 

Bulanık Zaman Serisi Yaklaşımları 

Yapay Sinir Ağları Yaklaşımları 

Melez Yaklaşımlar


Cowles Komisyonu, Alfred Cowles tarafından 

1932’de Chicago’da kurulmuştur. 1940’lar ve 

1950’lerde çoğu Cowles Komisyonu ile bağlantılı 

olan ekonomi teorisyenleri ve ekonometristler, makroekonomide 

neden-sonuç ilişkilerini tartışmış ve 

makroekonometrik modellerin tahmini için analitik 

araçlar geliştirmişlerdir. 1940’larda ilk uygulamalı 

çalışmaların çoğu talep esnekliklerinin ölçümü ve 

konjonktürel hareketlerle ilgili olmuştur. Bu durum, 

ekonomistlerin faaliyetlerini büyük ölçüde bu alanda 

geliştirilen teorilere yöneltmiş ve özellikle tarımsal 

mallar, dış ticaret ve değişik endüstriler için zaman 

serisi verilerin uzun dönemli olarak hazırlanmasına 

aksetmiştir. Keynezyen ekonomi teorisiyle bağlantılı 

olarak milli gelir hesaplarının geliştirilmesi, makroekonomik 

serilerin ekonometrik analizleri için yeni 

fırsatlar yaratmıştır. Tahmin edilen makroekonomik 

modellerle gerçekleştirilen öngörü veya simülasyonlar, 

ekonometrik modellerin politika amaçlı olarak 

kullanılmalarını sağlamıştır. 

Cowles ekonomistleri, parametreler ve değişkenler 

arasında bir ayırımı benimsemişlerdir. Parametreler, 

yapısal ve yapısal-olmayan şeklinde sınıflandırılmış 

olup yapısal parametrelerin zaman içinde değişmeyeceği 

kabul edilmiştir. Model kurucu bir parametreyi 

modeldeki diğer parametrelerden fonksiyonel olarak 

bağımsız varsayarak modeli kuruyorsa, o parametre 

Prof. Dr. Nezir KÖSE 

Gazi Üniversitesi, 

İ.İ.B.F. Ekonometri Bölümü 

AKADEMİK 

yapısal olarak adlandırılır. Diğer her şey sabitken, bir 

parametre yapısal ise, bu parametrenin farklı değerleri 

için içsel değişkenlerin eğilimlerini karşılaştırmak 

anlamlı bir analiz olacaktır. Örneğin, kamu ve özel 

sektör için herhangi bir mala ilişkin Cobb-Douglas 

üretim fonksiyonları aynı dönemleri içerecek veriler 

kullanılarak tahmin edildiğinde, iki model için tahmin 

edilen parametrelerin farklı olacağı açıktır. Bu örnekte, 

kamu ve özel sektör için üretimin sermaye ve 

emeğe göre esneklikleri veya ölçeğe göre getirileri 

karşılaştırılabilir. Diğer bir ifadeyle, yapısal parametreler 

ile karşılaştırmalı statik analizler gerçekleştirilebilir. 

Diğer taraftan, Cowles ekonomistleri değişkenleri 

de içsel ve dışsal olmak üzere iki gruba ayırmışlardır. 

Adlandırmadan da anlaşılacağı gibi, dışsal değişken 

model dışından belirlenirken, içsel değişken model 

tarafından belirlenmektedir. Dışsal değişken model 

dışından belirlendiği için, diğer tüm dışsal değişkenlerin 

değişmediği anlamında, diğer her şey sabitken, 

dışsal değişkenlerin herhangi birindeki bir değişimi 

içeren kuramsal analizleri yapmak ve bu müdahalenin 

içsel değişkenler üzerindeki etkisini belirlemek 

anlamlı bir analizdir. 

Geleneksel ekonometrik modellerin bir diğer kullanımı 

da öngörüdür. Bu modeller ile öngörüde dışsal 

değişkenlerin öngörü periyodundaki değerlerinin 

biliniyor olması gerekmektedir. Diğer bir ifadeyle 

geleneksel ekonometrik modellerle gerçekleştirilen 

öngörüler koşulludur ve model gerçekten çok 

iyi tanımlanmış olsa bile modeli kullananların dışsal 

değişkenlerin öngörüsündeki başarısızlıkları içsel 

değişkenlerin öngörüsünde de başarısız olunmasına 

neden olabilmektedir. Bu nedenle, yapısal ekonometrik 

modeller için öngörü başarısı modelin doğru 

tanımlanmasının yanı sıra model kullanıcısının dışsal 

değişkenler hakkındaki öngörü başarısına da bağlıdır 

(McNees, 1986). Yapısal ekonometrik modellerde 

dışsal değişkenlerin gelecekteki değerleri geçmişteki 

eğilimlerinden tahmin edilebilir. Ancak dışsal 

değişkenlerin gelecekteki eğilimleri, model dışındaki 

güçler tarafından etkilenebilir. Bu tür ilave bilgiler yapısal 

modellerle öngörü yapanlar için içsel değişkenlerin 

öngörüsünde kullanılabilir. 

Ekonometri bilimi, çoğu Cowles 

Komisyonu ile bağlantılı ekonomist 

ve ekonometristlerin katkısıyla 

1950 ve 1960’lı yıllarda 

“altın çağını” yaşamıştır. Tinbergen 

ve Frisch ekonomideki 

ilk Nobel ödülünü alan ekonometristler 

olmuş ve birkaç yıl 

sonrada yine Cowles Komisyonu 

üyesi olan Klein ve Haavelmo 

bu ödülü almışlardır. Bu 

durum, ekonometrinin geleceğine 

olan güvenin varlığı olarak 

algılanmıştır.1970’li yıllara kadar öngörü performansı 

oldukça başarılı olan büyük ölçekli makro ekonometrik 

modeller, özellikle dünya ekonomisinin petrol 

şoklarından etkilenmesiyle birlikte başarısız sonuçlar 

vermeye başlamıştır. Ayrıca basit tek değişkenli 

zaman serisi modeli çerçevesinde gerçekleştirilen 

öngörülerin daha başarılı sonuçlar verdiğinin ortaya 

konması ekonometrik modellere olan güvenin sarsılmasına 

neden olmuştur. Örneğin, Cooper (1972) 

çalışmasında, Amerika Birleşik Devletleri (ABD) 

ekonomisi için yedi yapısal ekonometrik model kullanarak 

gerçekleştirdiği bir adım sonraki öngörüleri, 

otoregressif model çerçevesinde gerçekleştirdiği 

öngörülerle karşılaştırmış ve çoğu durumda basit tek 

değişkenli otoregressif modellerle bulunan öngörülerin 

daha başarılı olduğunu göstermiştir. Ekonomi 

teorisi üzerine tesis edilen ekonometrik modeller ve 

verilere uygunluk gösteren tek değişkenli modellerin 

öngörülerini karşılaştıran çalışmalarda, ekonometrik 

modellerin öngörü başarısı daha yüksek bulunsa da, 

çok daha basit ve dolayısıyla çok daha az maliyetli 

tek değişkenli zaman serisi modellerinin en az büyük 

ölçekli ekonometrik modeller kadar başarılı olduğu 

şeklinde bir inanç oluşmuştur (Charemza ve Deadman, 

1992:12). Bu tarihten sonra, neoklasik makroekonominin 

de Keynezyen görüşün önüne geçmesiyle, 

Cowles Komisyonuna yöneltilen eleştiriler 

artmıştır. Eleştiriler, eşanlı denklemler sistemi için 

belirlenmenin sağlanması amacıyla katsayılara sıfır 

kısıtlamalarının getirilmesi ve değişkenlerin içseldışsal 

ayırımı üzerinde yoğunlaşmıştır. 

Yapısal eşanlı ekonometrik modellerin parametre- 

lerine getirilen sıfır kısıtlamaları, 

vektör otoregressif (VAR) 

modellerine dayanan yeni 

metodolojiyi ilk formüle eden 

Sims(1980) tarafından “kabul 

edilemez” olarak nitelendirilmiştir. 

VAR modelleme yaklaşımını 

benimseyenler, ekonomik 

teorilerden türetilen bu kısıtlamaların 

zoraki (istemeyerek) 

yapıldığını belirterek Cowles 

yaklaşımını eleştirmişlerdir. 

VAR modelleme ile geleneksel 

yapısal ekonometrik modeller arasındaki farklılaşma 

modelin kurulması ve kullanılması aşamalarında 

ortaya çıkmaktadır. Yapısal ekonometrik modellerin 

kurulmasında ekonomi teorisinden yararlanılır. Modele 

dahil edilecek değişkenlerin belirlenmesinden 

sonra değişkenlerin içsel-dışsal olarak ayrılması gerekir. 

VAR modellemede değişkenlerin tamamı içsel 

kabul edilmektedir. Bu durum bir avantaj gibi gözükse 

de uygulamada VAR modeller için bazı önsel kısıtlamalardan 

kaçınmak mümkün olmamaktadır. Örneğin, 

altı değişkenli bir sistemde her değişkenin beş 

gecikmeye sahip olması durumunda modeldeki her 

denklemde tahmin edilecek parametre sayısı otuz 

olacaktır. Veri sayısının yeterli olmadığı durumlarda 

böyle bir modellemeyi yapmak mümkün değildir. Bu 

durumda modelden bazı değişkenlerin çıkarılması 

gerekir. VAR modelinde değişkenlerin tamamının içsel 

kabul edilmesi veparametrelere sıfır kısıtlamalarının 

getirilmemesinin doğal bir sonucu olarak güçlü 

bir ekonomi teorisini de gerek kalmamaktadır. VAR 

modellemede “herşey her şeyin nedenidir” ve başlangıç 

noktası olarak çok genel ekonometrik prensiplerden 

daha fazlasına gerek yoktur. Bu nedenle Sims 

Metodolojisi sık sık bir kritik olarak “teorisi olmayan 

makro ekonometri” olarak adlandırılır (Cooley ve Le- 

Roy, 1985) 

VAR modelin en iyi kullanımının öngörü olduğu şeklindeki 

görüşler oldukça yaygındır. Bunun nedeni 

VAR modelde dışsal değişken olmadığından öngörü 

periyodu için dışsal değişkenler hakkında herhangi 

bir varsayıma gerek olmamasıdır. VAR model ön- 

26 27


görüleri, tüm değişkenlerin gelecekteki davranışının 

örnek periyodundaki ile aynı kalacağı örtülü varsayımı 

üzerine tesis edilmektedir. Sims (1980) makalesinde, 

VAR modelleme yaklaşımındaki esas amacını 

öngörü değil, değişkenler arasındaki dinamik ilişkileri 

ortaya çıkarmak olarak tanımlamıştır. VAR modelinde 

hata terimleri arasındaki eş zamanlı çapraz 

kovaryanslar sıfırdan farklıdır ve bu özellik, ekonomi 

teorisiyle tutarlı ve ekonomik politika analizi için uygulanabilir 

olan ve dolayısıyla Cowles Komisyonuna 

alternatif bir yapısal formülasyonu sağlamaktadır. 

İki değişkenli ve gecikme uzunluğu bir olan VAR modeli 

aşağıdaki gibi tanımlanır: 

2 2 Burada; E(e )=E(e )=0, E(e )=s11,E(e2t )=s22 

1t 2t 1t 

ve E(e e )=s12. Bu model ile değişkenler arasın- 

1t 2t 

daki dinamik ilişkilerin analizi için hata terimleri e1t ve e arasındaki çapraz kovaryansın sıfır olması 

2t 

gerekmektedir. Bu kovaryansı sıfır yapacak iki farklı 

dönüşümü uygulamak mümkündür. 

Örneğin; d=s /s olmak üzere birinci denklem 

12 11 

d ile çarpılıp ikinci denklemden çıkarılırsa aşağıdaki 

eşitliklere ulaşılır: 

* * * c =c1-da , d =d1-db iken e =e2t-de dir. 

1 

1 1 

1 2t 

1t 

* Böylece e1t ve e arasındaki çapraz kovaryans 

2t 

* E(e e )=E(e ( e -de ))==E(e e - 

1t 2t 

1t 2t 1t 1t 2t 

2 2 de )=E(e1te )-dE(e )=s12-(s /s )s =0 

1t 

2t 1t 

12 11 11 

olmaktadır. Bu dönüşümde x değişkeni y değişkenini 

eş zamanlı olarak etkilemekte iken kendisi y’nin eş 

zamanlı değişkeni tarafından etkilenmemektedir. Bu 

durumun bir sonucu olarak x değişkeni y değişkeninden 

önce gelmektedir. Buna karşın hata terimleri 

arasındaki eş zamanlı çapraz kovaryans, d=s12/ 

s22 olmak, ikinci denklem d ile çarpılıp birinci denklemden 

çıkartılarak da sıfır yapılabilir. 

AKADEMİK 

* * Burada; a *=a -dc , b =b1-dd iken e =e1t- 1 1 1 1 

1 1t 

* de olmaktadır. Böylece e ve e2t arasındaki çapraz 

2t 1t 

kovaryans 

* 2 E(e e2t )=E((e -d e )e )==E(e e -de )=E(e1t 

1t 

1t 2t 2t 1t 2t 2t 

2 e )-dE(e )=s12-(s /s )s =0 

2t 2t 

12 22 22 

olmaktadır. Bu dönüşümde y değişkeni x değişkenini 

eş zamanlı olarak etkilemekte iken kendisi x’in eş 

zamanlı değişkeni tarafından etkilenmemektedir. Bu 

durumun bir sonucu olarak y değişkeni x değişkeninden 

önce gelmektedir. VAR modelleri ile yapılan 

analizler öncesinde hata terimlerine ilişkin çapraz kovaryansların 

sıfır olması için yapılan dönüşümlerden 

hangisinin seçileceğine ilişkin kararın verilmesi gerekmektedir.Yukarıda 

yapılan birinci dönüşümde e1t ve e hata terimleri y 'yi eşzamanlı olarak etkilemek- 

2t t 

te ancakx değişkenini sadece e eş zamanlı olarak 

t 1t 

etkilemektedir. İkinci dönüşümde ise e ve e hata 

1t 2t 

terimleri x 'yi eşzamanlı olarak etkilemekte ancak y t t 

değişkenini sadece e eş zamanlı olarak etkilemek- 

2t 

tedir. Hata terimlerinin bu şekilde üçgensel biçimde 

ayrıştırılması “Choleski ayrıştırması” olarak adlandırılır. 

M değişken sayısı olmak üzere M faktöriyel (M!) 

sayıda “Choleski ayrıştırması” yapmak mümkündür. 

Sims (1980) çalışmasında altı değişken kullanmıştır. 

Bu durumda, hata terimleri arasındaki çapraz kovaryansları 

sıfır yapan ve birbirinden farklı olan 720 

dönüşüm yapılabilmektedir. Şayet hata terimleri 

arasındaki kovaryanslar sıfır değilse,bu dönüşümlerin 

her biri araştırmacıyı farklı sonuçlara götürebilir. 

Yukarıda bahsedilen iki farklı dönüşüm hangi değişkenin 

daha önce geleceği bir bakıma hangi değişkeninin 

diğerine göre dışsal olduğunun belirlenmesini 

gerektirmektedir. Bu nedenle VAR modeli çerçevesinde 

yapılan analizlerde araştırma kapsamına alınan 

değişkenlerin dışsaldan içsele doğru sıralanması yaklaşımı 

ile dönüşüm matrisi oluşturulmaktadır. Sims 

(1980) çalışmasında bu sıralamayı önsel bilgi (iktisat 

teorisi)kullanarak yapmıştır. Bu durum VAR modeli 

için değişkenlerin seçilmesi ve sıralanmasında iktisat 

teorisine ihtiyaç olduğu anlamına gelmektedir. 

Diğer bir ifadeyle, geleneksel ekonometrik modeller 

için hangi değişkenlerin içsel hangilerinin dışsal 

olduğuna ilişkin karar vermede yaşanan sorunlar 

(belirlenme sorunu) VAR modelinde değişkenlerin 

dışsaldan içsele doğru sıralanmasışeklinde devam 

etmektedir. 

VAR modelin vektör hareketli ortalama (VMA) gösterimi 

değişkenler arasındaki karşılıklı dinamik ilişkilerin 

analizinde kullanılan bir araçtır. Değişken sıralamasının 

x ve y şeklinde olduğu durum için yukarıda 

verilen VAR(1) modelinin VMA gösterimi aşağıdaki 

gibi ifade edilebilir: 

Araştırma kapsamına alınan değişkenlerin tamamı 

VAR modelinde içsel statüsünde olduğuna göre, 

VMA gösteriminde dışsal değişken olarak sadece 

hata terimleri kalmaktadır. Hata terimleri vasıtasıyla 

değişkenler arasındaki dinamik ilişkilerinin analizine 

ekonomik bir anlam verebilmek için hata terimlerini 

“şok” olarak adlandırmak gerekmektedir. VAR modellerle 

politika analizi, etki-tepki fonksiyonları ara- 

0 cılığıyla yapılmaktadır.Örneğin f katsayısı e1t deki 

21 

bir birimlik değişimin y üzerinde beklenen eş zamanlı 

t 

tepkisini göstermekte iken f 21 

1 katsayısı e1t deki bir 

birimlik değişime y 'nin bir dönem sonraki beklenen 

t 

tepkisini gösterecektir. e ve/veya e deki 1 birim- 

1t 2t 

lik uyarımların birikimli etkileri etki-tepki fonksiyonu 

katsayılarının uygun toplamı ile bulunabilir. Örneğin, 

n n-dönem sonra e 'nin y değerine etkisi f dir. 

1t t+n 21 

Böylece, e 1t 'nin{y t }serisine n-dönem sonraki toplam 

etkisi Sn f i=1 t 

21 olacaktır. 

VAR modeller ile politika analizi öngörü hatasının varyans 

ayrıştırması vasıtasıyla da yapılmaktadır. Öngörü 

dönemi 1’den n’e kadar alınarak hesaplananx de- t 

ğişkeni öngörü hata varyans ayrıştırması değerleri,xt değişkeninin öngörü hata varyansına kendi ve diğer 

değişken y 'nin şoklarının etkisini gelecek dönem- 

t 

ler itibariyle gösteren bir araç olarak kullanılabilir. 

Ayrıca,e şokları, tüm öngörü dönemleri için y 'nin 

1t t 

öngörü hata varyansının hiçbirini açıklamıyor ise, yt değişkeninin dışsal olduğunu söyleyebiliriz. Diğer bir 

uç durum ise, e şoklarının tüm öngörü dönemlerin- 

1t 

de y ' deki öngörü hata varyansının tamamını açık- 

t 

lamasıdır. Böyle bir durumda, y değişkeni içseldir 

t 

kararına varılabilir. O halde, varyans ayrıştırması, 

sistemdeki bir değişken üzerinde hangi değişkenin 

daha etkili olduğunun belirlenmesinde kullanabileceğimiz 

bir araçtır. Ayrıca, VAR modelleme yaklaşımında 

herhangi bir davranışsal ekonomik teori yoktur ve 

dolasıyla elde edilen sonuçların doğruluğu veya yanlışlığını 

ortaya çıkarmak mümkün değildir. Bu nedenlerle, 

VAR modeller çerçevesinde yapılan etki tepki 

analizleri ile öngörü hatasının varyans ayrıştırması 

sonuçları bilgi verici olarak değerlendirilmelidir. 

Dışsallık düşüncesinin ekonomiye müdahale edilebileceği 

fikrini içerdiği açıktır. Bu nedenle geleneksel 

yapısal ekonometrik modellerin, en azından prensipte, 

Keynezyen makro ekonomi temelinde bir metodoloji 

üzerine kurulu olduğu söylenebilir. VAR modeller 

üzerine geliştirilen etki-tepki fonksiyonları ve varyans 

ayrıştırması vasıtasıyla yapılan analizlerde ise ekonomik 

şoklara karşı içsel değişkenlerin tepkisi ölçülerek 

analizler yapılmaktadır. Ekonomide şoklar ekonomiye 

pozitif ya da negatif yönde etki eden beklenmedik 

olaylar olarak tanımlanabilir. Diğer bir ifadeyle, şoklar 

dışsal faktörlerde beklenmeyen bir değişimi ifade 

ederve ekonomistler tarafından açıklanamayan bu 

faktörler içsel değişkenler üzerinde etkiye sahiptir. 

Dolayısıyla ekonomistler tarafından açıklanamayan 

diğer bir ifadeyle kontrol edilemeyen beklenmedik 

şokların içsel ekonomik değişkenler üzerindeki etkisi 

üzerine kurulan VAR modellerinin ekonomiye müdahale 

edilmemesi fikrine dayalıbir metodoloji üzerine 

tesis edildiği söylenebilir. 

Kaynaklar 

Charemza, W.W. and D.F. Deadman (1992), New Direction in Econometric Practice, 

Edward Elgar Pub. Lim., Aldershot 

Cooley, F.T. and S.F. LeRoy (1985), “Atheoretical Macroeconometrics”, Journal of 

Monetary Economics, Vol.16, 283-308. 

Köse, Nezir (1996), Vektör Otoregressif Modeller Üzerine Bir İnceleme, Basılmamış 

Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi, SosyalBilimler Enstitüsü. 

McNees, Stephen K. (1986), “Forecasting Accuracy of Alternative Techniques: A 

Comparison of US Macroeconomic Forecasts”, Journal of Business and Economic 

Statistics, Vol.4, 5-15. 

Sims, Christopher (1980), “Macroeconomics and Reality”, Econometrica, 

Vol.48, 1-48. 

28 29

1.Giriş 


Günlük yaşamda kaos sıkça duyulan ve kullanılan 

bir kelimedir. Yaşamımız boyunca tanık olduğumuz 

birçok olay hatta doğa bile bize düzensiz, karmaşık, 

kuraldışı, rastgele gözükmektedir. Düzensiz gibi gördüğümüz 

aslında bizim düzen algımızla algılayamadığımız 

bir düzen paradigması olan bu tipteki olgulara 

‘kaos’ adı verilmektedir. Bunun yanında kaos kavramı 

aslında bilimsel terminolojiden günlük konuşmaya 

geçmiş ve dünyadaki farklı dillerden gelen hemen 

hemen herkesin aşağı yukarı benzer anlamlarda algıladığı 

nadir kelimelerden biridir. 

Şahika GÖKMEN 

Ekonometri Bölümü, Gazi Üniversitesi 

Reşat KASAP 

İstatistik Bölümü, Gazi Üniversitesi 

AKADEMİK 

Kaos kelimesi, Yunan mitolojisine kadar dayanmaktadır 

ve “madde var olmadan önceki boşluk, yeraltı 

dünyasındaki dipsiz çukur” anlamlarına gelmektedir. 

Bütz (1995) ise makalesinde kaos kelimesini, ilk 

çağlardaki mitolojilerde görmenin mümkün olduğunu 

belirtip, Çin İmparatorluğu (İ.Ö. (2598-2698 Sarı 

imparator Dönemi), Mısır Uygarlığı (İ.Ö. 2500), Babil 

Krallığı (İ.Ö. 1300), Amerika'nın yerlileri ve Eski Yunan 

(İ.Ö. 700) uygarlığı gibi uygarlıkları örnek vererek 

bu görüşünü desteklemiştir. 19.yy’ın ikinci yarısında 

ise modern bilimin oluşması ile ilk çağlardan gelen 

ve dilimize Fransızcadan geçen kaos kelimesi daha 

çok “karmaşa” ve “düzensizlik” anlamlarında kullanılmaya 

başlanmıştır [Serin, 2003]. 

Buna karşılık kaos kavramını literatürde ilk olarak 

York ve Li isimli bilim adamlarının kavramın özellikleri 

ile birlikte tanımladığı bilinmektedir. York ve Li 

bu kavramın, ele alınan bir sistemdeki neden–sonuç 

ilişkisinin orantılı olmaması, sistemin doğrusal olmaması 

ve başlangıç koşullarına hassas bağlılık göstermesi 

gibi üç ana özellik üzerine kurulu olduğunu 

ortaya koymuşlardır. Aynı zamanda bu sistemlerin 

periyotsuz ve açık biçimde rastgele bir davranış gösterdiğini 

de belirtmişlerdir[Bozdağ, 1998]. 

Bizim bilimsel anlamda incelediğimiz ve kullandığımız 

kaos kavramının tanımı ise bilim adamlarının 

araştırmaları sayesinde, zaman içinde yavaş yavaş 

ortaya çıkmıştır. Bu tanımların bir kısmı kronolojik 

olarak aşağıdaki şekilde karşımıza çıkmaktadır [Gökmen, 

2012]: 

Rastlantısal davranan, düzgün geometrik yapıya 

sahip bir düzen – Lorenz (1963) 

Kurallar tarafından belirlenen kuralsız davranış 

– Stewart (1989) 

Periyodu olmayan davranış – Kosko (1993) 

Çok fazla karmaşık olan bir davranışa ulaştıran 

denge dışı durum – Rasmussen ve Mosekilde 

(1988) 

Kararsızlık yaratan mekanizmalar ile doğrusal olmayan 

kısıtlar sonucunda ortaya çıkan bir davranış 

şekli – Mosekilde ve ark. (1988) 

Genelde doğada ve insan topluluklarında görülen, 

iyi tanımlanmış, doğrusal olmayan geri beslemelerin 

yarattığı düzgün olmayan davranış – Stacey 

(1993) 

Basit ve iyi tanımlanmış bazı sistemlerin açıkça 

gösterdikleri karmaşık davranıştır. Bu sistemler 

periyotsuz ve açık biçimde rastgele bir davranış 

gösterirler – Hilborn (1994) 

Bütün bu bilgiler ışığında, her ne kadar kaos teoremi 

başlangıçta determinizmi çürütmüş gibi görünmekteyse 

de aslında temelinde deterministik bir yapıbulunmaktadır. 

Hatta kaotik sistemler tam olarak 

deterministik sistemler ile tamamen düzensiz ve 

rastgele sistemlerin arasında yer almaktadır. Ancak, 

kaos teoremindeki determinizmin sanıldığı kadar basit 

olmadığına dikkat çekmek gerekmektedir. Çünkü 

burada basit neden-sonuçilişkilerinden ziyade, küçük 

olayların tahmin edilemeyecek kadar çok büyük sonuçlar 

doğurabilmesi durumu söz konusu olmaktadır. 

Kaotik sistemler, tüm girdileri değerlendirip, ona 

göre nihai bir davranış ortaya koymaktadırlar. Değişkenlerin 

çok sayıda olması ortamı kaotik yapan 

temel etken olmakla birlikte; kaotik bir yapının öngörülebilmesi 

için sisteme ilişkin en basit hareketlerin 

dahi yapıya dahil edilmesi gerekmektedir. Buradan 

hareketle “kaotik” terimi, insanın hesaplayamadığı, 

son derece karmaşık, ama kendi iç düzenine sahip 

30 31


bir süreç olarak düşünülmektedir. Bu açıdan kaosun 

düzen içindeki düzensizlik mi yoksa düzensizlik 

içindeki düzen mi olduğu hala tartışılmakla birlikte, 

günümüzde genel olarak kaotik çalışmalar yapan 

araştırmacıların “düzen içinde düzensizlik” aradıkları 

görüşü hakimdir. Buna göre kaosun, aslında oldukça 

karmaşık bir düzen sergilemesi durumu "deterministik 

(belirlenici) kaos" olarak adlandırılmaktadır 

ve “deterministik bir dinamik sistemde düzensiz 

hareketlerin ortaya çıkması” olarak tanımlanmaktadır 

[Gökmen, 2012]. Aynı zamanda nedeni ve seyri 

bilinemeyen, hesaplanamaz olan "stokastik (rastlantısal) 

kaos" kavramı da mevcuttur.Lovejoy ve 

Schetzer (1999) stokastik kaosa, doğrusal olmayan 

sabit ölçüdeki dinamik sistemlerin sebep olduğunu 

söylemişlerdir. Bu tanım, evrensel çoklu fraktallara 

karşılık gelmektedir. Fakat günümüzde bilimin ilgilendiği 

daha ziyade deterministik kaostur. 

Ele aldığı olgu nedeniyle ve teknolojinin de ilerlemesiyle 

birlikte kaotik yapı kimyadan ekonomiye, 

fizikten biyolojiye hatta tarihten sosyolojiye kadar 

baktığımız birçok alanda görülebilmektedir. Bu yapı 

ile birlikte kullanılan diğer kavramlar ve ilişkilerden 

bazıları iseşunlardır [Eren, 2009] 

• Doğrusal- Doğrusal olmama- bilgisayar simülasyonları, 

• Süreklilik- süreksizlik, 

• Denge- dengesizlik- çoklu denge, 

• Kararlılık- sürekli kararsızlık (karasızlık), 

• Düzen - düzensizlik - düzensizliğin düzeni, 

• Basitlik - karmaşıklık, 

• Periyodik- aperiyodik. 

Kaos kavramının ve kaotik sistem özelliklerinin ortaya 

konmasıyla literatürde kaos olayıyla ilgili çalışmalar 

genel olarak iki ana bölümde odaklanmıştır. 

Bunlardan ilki, kaosun ve kaotik davranışın olumsuz 

olarak algılandığı ve bu tür davranışların görülmemesi 

arzulanan sistem yapılarında kaotik kontrol çalışmalarıdır 

[Pehlivan ve ark., 2007]. Kaotik sistemler 

ile ilgili ikinci ana çalışma alanı ise, ilginç özelliklere 

sahip kaotik işaretler ve sistemlerden olumlu yönde 

yararlanma fikri doğrultusunda yapılan çalışmalar 

olmuştur. Günümüzde yapılan çalışmalar çoğunluklu 

olarak kaotik yapıları anlama ve faydalanma amaçları 

etrafında toplanmaktadır. 

1.1. Kaos’un tarihsel oluşumu 

Poincare 19.yy sonlarında basit dinamik sistemlerin 

oluşturdukları tahmin edilemeyen değişimler ve başlangıç 

durumuna olan bağlılık ile matematiğe yeni bir 

bakış açısı getirmiştir [Tosun, 2006]. Poincare gök 

cisimlerinin hareketleri ile ilgilenirken 3 cisim problemini 

ortaya koyar ve bu çalışma ile kaos sözcüğünü 

bilimsel literatüre sokarak “3 ve daha fazla cismin 

bulunduğu her sistem kaotiktir” demiştir. 

Şekil 1. HenriPoincare (1854-1912) 

AKADEMİK 

Bunu takiben Edward Lorenz, kurduğu basit bir meteoroloji 

modeli ile kaos teorisinin oluşumundakiilerlemeyi 

hızlandırmıştır. 1961 yılında meteoroloji profesörü 

Edward Lorenz, hava tahmin modelinin verdiği 

ardışık dizilerden birini uzun uzadıya incelemek istediğinde 

bir kestirme yola başvurmuştur. Bunun için 

programı tekrar başa döndürüp çalıştırmak yerine 

ortalardan bir yerden başlattığı anlatılmaktadır. Makineye 

başlangıç durumundaki koşulları vermek için 

daha önce yazıcıdan çıkarmış olduğu dizilere bakıp 

aynı sayıları klavyeden programa girmiştir ve bir süreliğine 

oradan uzaklaşmıştır. Ancak bir saat kadar 

sonra döndüğünde elde ettiği sonuçlar karşısında 

çok şaşırmıştır. Lorenz yazıcıdan yeni çıkan döküme 

baktığında, hava durumu bir önceki şekilde yer alan 

dökümden öyle hızla uzaklaşmıştır ki, bir kaç aylık 

süre içinde aradaki bütün benzerlik ortadan kalkmıştır. 

İlk olarak bilgisayarın bozulduğu düşünülmüş olsa 

da daha sonraları Lorenz gerçeğin farkına varmıştır. 

Böylece sorunun bilgisayardan değil, bilgisayara girdiği 

sayılardan kaynaklandığını fark etmiştir. Çünkü 

bilgisayar belleğine kaydedilen sayılar virgülden sonra 

altı basamağa sahipken, Lorenz virgülden sonra 

üç basamak girmiştir ve binde birlik farkın önemli olmayacağını 

düşünmüştür [Tosun, 2006].Lorenz ilerleyen 

çalışmalarında bunun kaotik bir yapı olduğunu 

göstermiş ve günümüzde de çok bilinen “Kelebek 

Etkisi” düşüncesini literatüre katmıştır. 

Şekil 2. Edward Lorenz (1917-2008)(solda), Kelebek Etkisi’nin 

Faz Uzayı Görünümü (sağda) 

Tüm bunlardan da anlaşılabileceği gibi kaos kavramı, 

herhangi bir bilim dalının tekelinde olmadığından 

birçok bilim dalıyla yakın ilişkiye sahiptir. Özellikle 

20.yy sonlarında ve 21.yy başlarında kaosun ortaya 

koyduğu yaklaşımlarla bugün mühendislikten tıbba, 

ekonomiden bilişime, istatistikten astronomiye kadar 

pek çok bilim dalında karşılaşılan güçlükler incelenmeye 

çalışılmaktadır. Tüm bu bilim dallarının yanında, 

hem anlayamayacağımız kadar karmaşıklığa 

sahip olduğundan, hem de çok küçük değişimlerle 

büyük farklılıklar elde edilebildiğinden meteoroloji, 

kaosun ilk çıkış noktası olmakla birlikte aynı zamanda 

da hala en önemli uygulama alanlarından biri olarak 

görülmektedir [Kasap ve Kurt, 2011]. Bu yöndeki en 

büyük delil, bu bilim alanlarının tümünün doğrusal olmayan 

dinamik yapıları barındırmalarıdır. Bu sayede 

kaos konusu daha da popüler hale gelmektedir. 

1.2.Kaotik Süreçlerin Teknik Özellikleri 

Kaos teorisi, başlangıç koşullarına hassas bağlılık 

(sensitivedependence on initialconditions),fraktal 

geometri ve garip çekiciler (strangeattractor) kavramlarına 

dayanmaktadır. Dolayısıyla bu bölümde, 

bu kavramlar hakkında bilgi verilecektir. 

1.2.1.Başlangıç koşullarına hassas bağlılık 

Yukarıda da bahsedildiği gibi Lorenz bütünüyle deterministik 

bir model kullanmıştır. Dolayısıyla belirli 

bir çıkış noktasından hareket edildiğinde hava durumunun 

tıpatıp aynı gelişmeyi göstermesi beklenmektedir. 

Buna göre biraz farklı bir çıkıştan hareket 

edildiğinde de, hava durumunun biraz daha farklı bir 

gelişme göstermesi beklenecektir. Çünkü buradaki 

gibi küçük bir sayı hatasının rüzgarın küçücük bir 

esintisinden bir farkı yoktur. Doğal olarak hafif esintiler 

hava durumunda önemli, büyük ölçekli değişimler 

oluşturmadan ya zayıflayıp ortadan yok olmaktadırlar 

ya da birbirlerini dengelemektedirler. Oysa 

Lorenz’in kullandığı denklemler sisteminde küçücük 

hatalardan felaketler doğmaktadır. Burada başlangıç 

değerlerindeki binde birlik değişmeler sonuçta çok 

büyük ölçüde değişimler ortaya çıkarmıştır. Lorenz 

araştırmalarının devamında şaşırtıcı biçimde aynı 

sonuca varmıştır ve bu durumu “Mesela bir kelebek 

Pekin’de uçuyor olsun. Bu kelebeğin uçuşundaki bir 

kanat çırpışından dolayı bir bulutun hareket etmesi 

ve New York ’da bir fırtınanın baş göstermesi mümkündür” 

yorumu ile tanımlamıştır. “Başlangıç koşullarına 

hassas bağlılık”olarak tanımlanan bu durum 

kelebek etkisi (butterflyeffect) olarak da literatürde 

yer almaktadır. 

Burada dikkat edilmesi gereken, bahsedilen fırtınaların 

tahmin edilebilmesi için kelebeklerin kanat 

çırpmasının yeterli olduğu değil, kelebeklerin kanat 

çırpışından meydana gelebilecek çok küçük hava 

hareketlerinin dahi modele katılması gerektiğidir. 

Yani başlangıç koşullarında yapılan çok küçük bir değişiklik, 

sistem çıktılarında uçsuz bucaksız ve önceden 

kestirilemeyen sonuçlara neden olabilmektedir. 

Çünkü kaos teorisine göre tüm birimler içinde küçük 

değişiklikler barındırmaktadır. Dolayısıyla da bu kavram 

kaotik hareketin temel özelliklerinden biridir. Bu 

gelişme ile birlikte, birimler içinde küçük değişikliklerin 

var olduğu değerler analiz edilebilmekte ve kaos 

ile ilgili olduğu bilinen konular daha iyi organize edilebilmektedir. 

32 33


1.2.2. Fraktal geometri 

Mandelbrot “fraktal” kavramını, “Parçalar ile bütünün 

benzer yapısal özellikler gösterdiği geometrik 

şekiller” olarak ifade etmektedir[Tosun, 2006]. Bu 

açıdan, fraktal geometri en basit haliyle“Kaos’un 

geometrisi” olarak tanımlanmaktadır. Kesirli boyutlara 

sahip şekiller, her ölçekte aynı görüntüyü veren 

kendine-benzer (self-similiar) yapılar, sonsuza kadar 

süren dallanmalar ve bu dallanmaların ana yapı ile 

yapısal benzerlik göstermeleri fraktal geometrinin 

temelini oluşturmaktadır. Fraktal yapılarla gerçel 

doğanın yapıları kurallarla açıklanmaya çalışılmaktadır. 

Kendini tekrarlayan bu yapılar, Öklid geometrisi 

ile anlaşılamamaktadır. Ancak fraktal geometri, bu 

şekillerin gizemini çözebilmektedir. Bu yapıların basitleştirilmeye 

çalışılması ve ulaşılmaya çalışılan bu 

basitlikle kompleks sistemlerin açıklanmaya çalışılması, 

fraktal yapıların araştırılma sebebini oluşturmaktadır. 

Şekil 3. Benoit Mandelbrot (1924-2010) (ortada) ve Çeşitli Fraktal 

Şekiller 

Fraktal Şekilleri oluşturmanın temel ve basit kuralı, 

alınacak bir kuralın sürekli olarak tekrar edilmesidir. 

Yani bir kural sabit olarak alınır ve sürekli olarak uygulanırsa 

fraktal bir şekil elde edilebilmektedir. 

Birçok veri grubunun analizinde başrol oynayan zaman 

serilerinde fraktal yapılar ise serinin zaman 

içinde kendine benzer yapılar göstermesiyle ortaya 

çıkmaktadır. Fraktal zaman serileri esasen tesadüfi 

olarak dağılmış zaman serileridir ve deterministik 

olduklarından bütün özelliklerini kesin periyotlar halinde 

göstermemektedirler. Dolayısıyla ana yapıya 

AKADEMİK 

benzeyen yapı şekilleri zaman serisi içinde tesadüfen 

oluşmaktadır ve günümüzde borsa verileri gibi 

birçok zaman serisi grafiğinde fraktal yapının varlığı 

gösterilmiştir. Bu yapının varlığı ise, yatırım ve tahmin 

ile ilgilenen araştırmacılar için oldukça önemli bir 

yer tutmaktadır [Gökmen, 2012]. 

Şekil 4. Zaman Serilerinde Fraktal Yapıya Örnek 

Bir seri doğrusal oldukça fraktal boyutu da 1’e yaklaşmaktadır. 

Dolayısıyla yüksek sivrilikler içeren, yükseliş 

ve düşüşlerin fazla olduğu yapılardabu boyut 

hem 2’ye yaklaşmaktadır hem de kesirli bir sayı olmaktadır. 

Bu durumda Tonis Vaga’nın kaos teorisini 

finansal piyasalara uygulamasının nedeni açıklanabilmektedir. 

Vaga’ya göre piyasalarda risk ve getiri 

doğrusal olmayan oynak bir yapıya sahiptir [Vaga, 

1991]. Bu nedenle iyi bir analiz yapabilmek için sistemin 

fraktal boyutu ve yapısı önemlidir. Çünkü bu 

sayede piyasanın bazı şartlarına göre düşük risklerde 

yüksek getiriler elde edebilmek mümkündür. Benzer 

olarak Warren Buffet ve George Soros gibi yatırımcılar 

da, uzun vadede ortalamaya göre yüksek kar elde 

etmelerini benzer bir şekilde açıklamışlardır [Tosun, 

2006]. 

1.2.3.Garip çekiciler 

Çekiciler kısaca dinamik sistemlerin resimleridirler. 

Buna göre bir dinamik hareket incelendiğinde fraktal 

geometri, çalışmaları büyük ölçüde kolaylaştırmaktadır. 

Örneğin, nokta çekici sistemin zamana göre 

değişmeden durduğunu ifade ederken garip çekiciler 

karmaşık (ve kaotik) olup çoğunlukla ilginç yapılarda 

şekillenmektedir. 

Burada kavramsal açıdan bakıldığında çekiciler 

iki önemli noktayı içermektedirler. Bunlar, çekicinin 

bizzat kendisi ve onun formudur. Buna göre bir 

sistemin davranışı bütünüyle o sistemin çekicisiyle 

anlaşılmaktadır. Dolayısıyla bir çekici ancak fraktal 

geometri tarafından tanımlanabiliyorsa o çekiciye 

garip çekici denmektedir. Kaos çalışmalarının vazgeçilmez 

kavramı olan garip çekiciler her farklı kaotik 

zaman serisi için farklı faz uzayı portresine sahiptirler. 

Kaotik çekicilerde, sistemin faz uzayında ziyaret 

ettiği noktalardan oluşan bu kümeler düzensiz geometrik 

yapılar meydana getirmektedirler. Burada 

oluşan fraktal geometri, sınırlı bir faz uzayı içindeki 

uzama, katlanma ve hacim küçülmesi sonucu küçük 

boyutlarda istatistiksel olarak kendine benzer yapılar 

şeklinde ortaya çıkmaktadır [Öztürk, 2008]. Buna 

göre, sistem kendine benzer bir tarzda sürekli olarak 

örülürken, başlangıç koşullarına hassas bağlılık 

özelliği gereği, sistemin her hali tek olmaktadır. Bu 

da çekerleri oluşturan eğrilere fraktal bir görünüm 

kazandırmaktadır. Böylece şekle yaklaşıldıkça bütününü 

oluşturan kurallara uygun yeni ayrıntılarla yüz 

yüze gelinmektedir ve bu durum sonsuza kadar devam 

etmektedir. Böyle yapılardan oluşan çekerler de 

kesirli boyuta sahip olmaktadır. 

Tablo 1. Çekici Davranışlarının Eşleşmesi 

Kaotik yapıya sahip olan bir zaman serisini oluşturan 

fonksiyon da tahmin edilemez bir yapıya sahip 

olmaktadır. Bu durum, rastgele artıp azalarak değişim 

gösteren fonksiyonla eşdeğerdir. Sistemdeki 

her bir farklı kaotik dalgalanma için faz uzayında birbirinden 

farklı şekiller,diğer bir ifade ile farklı çekiciler 

oluşmaktadır. Kaos çalışmalarının tarihsel gelişimi 

çerçevesinde ortaya çıkan önemli çekiciler aşağıdaki 

gibi sıralanabilmektedir [Kasap ve Kurt, 2011]. 

-Lorenz çekicisi 

-Rössler çekicisi 

-Henon çekicisi 

Şekil 5. Lorenz Çekeri (solda), Rössler Çekeri (ortada, Hennon 

Çekeri (sağda) 

Fraktalların özellikleri ile garip çekicilerin özelliklerinin 

paralellik göstermektedir. Çünkü her ikisinde de 

sonsuza gitme ve kesirli boyuta sahip olma özellikleri 

mevcuttur. Ayrıca, fraktalar,garip çekicilerde de 

olduğu gibi, sabit bir alanda sonsuz uzunluğa veya 

sonlu bir hacimde sonsuz alana sahip olabilmektedirler. 

Bu özelliklerinden dolayı kaotik çekiciler, fraktal 

boyut ile yakından ilişkili olan korelasyon boyutu 

ile karakterize edilebilmektedirler. 

1.3.Ekonometrik Hareketler ve Kaos 

Kaos, bir asırdan daha uzun bir süre boyunca sadece 

birkaç araştırmacı tarafından çalışılmış ve bu 

bilim adamları tüm uygulamaların temelini oluşturan 

bazı kuramları ortaya koymuşlardır. Ancak özellikle 

son 20 yılda kaos ve doğrusal olmayan sistemler 

konusunda pek çok akademik dergi yayın hayatında 

başlamış ve farklı disiplinlerden birçok bilim adamı 

tarafından çalışılır hale gelmiştir. Bu durum, lazerlerin 

gücünün arttırılmasında, hisse senedi getirilerinin 

yapısının belirlenmesinde, kimyasal reaksiyonlardaki 

salınımların denetlenmesinde, düzensiz kalp atışlarının 

düzenli hale getirilmesinde, güvenli bir iletişim 

için elektronik mesajların şifrelenmesinde ve daha 

pek çok alanda kaos konusunun uygulanmasına olanak 

sağlamıştır. 

Böyle geniş bir bilim yelpazesine hitap eden kaos 

konusu ele alınırken, zaman serilerinin es geçilmesi 

de elbette mümkün değildir. Özellikle ekonomik ve 

iktisadi yapılardaki veriler ve kişinin kalp/beyin sinyalleri 

bu alanda incelenen temel konular arasında 

yer almıştır.1987 yılında ortaya çıkan sermaye piyasası 

bunalımına bağlı olarak zaman serileri ile birlikte 

özellikle ekonomi alanındaki kullanımı da hız kazanmıştır. 

Son zamanlarda makroekonomik zaman serileri 

34 35


üzerinde yapılan birçok çalışmada ise, genel olarak 

doğrusal olmama, daha özel olarak da kaos konusu 

odak noktası olmuştur. Bunun başlıca sebebi kaotik 

yapıların, konjonktür dalgalanmalardaki radikal değişiklikleri 

çok iyi temsil etmesidir. Kaos, aynı zamanda 

farklı makroekonomik yapısal yaklaşımların birleşmesine 

de yardımcı olmuştur. Bu konuda Grandmont 

(1985), en klasik ekonomik modellerin bile farklı 

parametre değerleri için durağan sonuçlar (klasik 

ekonomi tanımlaması) ya da dalgalanmalar veya 

kaos gibi çok daha karmaşık sonuçlar (çoğunlukla 

Keynezyen ekonominin tanımlaması) üretebildiğini 

göstermiştir [Barnett, 1998]. 

Makroekonomik verilerin oluşturduğu sürecin doğrusal 

olmayan bağımlılık içerdiğinde genel bir fikir birliği 

mevcuttur.Ancak buna rağmen bütün makroekonomik 

verilerde kaos olduğu konusunda bir fikir birliği 

henüz mevcut değildir.Bunun sebebi tüm makroekonomik 

zaman serileri üzerinde yapılan çalışmaların 

fikir ayrılıklarına sebep olmasıdır. Örneğin, Frank ve 

Stengos (1989) 1975-1986 yılları arasındaki gümüş 

fiyatlarını kullandıkları çalışmada düşük seviyede 

kaos olduğunu ispat etmişlerdir. Diğer yandan, Barnett 

ve Chen (1988) Amerika Divisia parasal topla- 

AKADEMİK 

mına ilişkin (talep-yanlı) veride kaosun varlığını başarılı 

bir şekilde ispatlamışlardır. Bu sonuç, DeCoster 

ve Mitchell (1991,1994) tarafından doğrulanmıştır. 

Wang ve ark. (2004) ise, yaptıkları çalışmada hisse 

senetlerinin günlük değişimlerindeki karmaşık dinamik 

davranışları incelemişlerdir[Öztürk, 2008]. 

Finansal ekonomideki döviz kurları ve hisse senedi 

getirileri gibi finansal değişkenlerin stokastik süreçler 

tarafından tanımlanabildiği ve bu ekonomik 

sistemlerin doğrusal olduğu yaygın varsayımlardandır. 

Ancak önceden de bahsedildiği gibi, çeşitli 

çalışmalar finansal zaman serilerinde farklı doğrusal 

olmayan bağımlılıkların olabileceğini göstermiştir 

[Amilon ve Byström, 1998].Borsa gibi ekonometrik 

zaman serilerinde gözlenebilen kırılma ve patlamaların 

oluşturduğu yüksek frekans, normal dağılımlı 

bir doğrusal modelde tutarsız davranışın bir örneği 

olarak ele alınmaktadır. Bu konuda Campbell, Lo ve 

Mac Kinlay çalışmalarında yatırımcıların davranışlarını 

riske göre belirlediğini, bundan dolayı beklenen 

getirinin doğrusal olmadığını, dolayısıyla da opsiyon, 

tahvil gibi ekonomik yapıların doğrusal olmadığını 

belirtmişlerdir[Barnett, 1998]. 

Bunun nedeni doğrusal olmayan modellerin, hem 

stokastik, hemde deterministik olabilen bu tür davranışları 

açıklayabilmesidir.Diğer yandan, kaotik bir 

süreç, deterministik ve aynı zamanda tamamen 

rastgele olduğundan davranışının ayırt edilmesi olanaksızdır. 

Dolayısıyla kaotik sistemler henüz doğrusal 

olmayan modellerle açıklanmaya çalışılmaktadır. 

Sistemdekideterministliğin ve rastgeleliğin model 

içinde üretilebilmesi, ekonomideki genel durumlardan 

farklı olan kaotik modeller açısından oldukça 

önemli olmaktadır. 

Ekonomik yapılara ait zaman serilerinde çok büyük 

oynaklığa sahip yapılarda sabit varyans varsayımı 

açık olarak sağlanmamaktadır. Zaman değişimli varyansı 

tespit etmek için, koşullu varyans eski hata karelerinin 

doğrusal bir fonksiyonu olarak modellendirilebilmektedir.Bu 

açıdan Engle (1982)’ınotoregresif 

koşullu değişen varyans (ARCH) modeli veya genelleştirilmiş 

ARCH (GARCH) modeli doğrusal olmayan 

stokastik modellere örnek olabilmektedir. Bu modeller 

günümüzde kaotik yapıların modellenebilmesinde 

de kullanılmaktadır. Ancak, kaotik yapılar öngörülemez 

olduğundan, yalnızca kısa dönem tahminleri 

için bu modellere başvurulabilmektedir [Gökmen, 

2012]. 

2. Kaosun Varlığını Tespit Etmek İçin 

Yapılan Analizler 

Kaotik sistemler matematiksel olarak genellikle iki 

şekilde ifade edilebilmektedirler [Yalamova ve ark., 

2006]. Bunlar; sürekli sistemler için diferansiyel veya 

kesikli sistemler için fark denklemleriyle ya da denklemlerin 

bilinmediği durumlarda deneysel veriyle 

mümkündür. 

İlk durumda sistemin bir veya birden fazla değişkeni 

olabilmektedir. Bu değişkenlerden herhangi biri ya 

da birkaçının zaman serisi denklemlerindeki başlangıç 

koşulları biliniyorsa, ihmal edilebilir bir hata 

payıyla ölçülen başlangıç koşulları sistemin gerçek 

çıkışından çok farklı sonuçlar verene kadar bu denklemler 

kestirilebilmektedir. Ancak doğadaki doğrusal 

olmayan dinamik sistemlerin genellikle denklemleri 

bilinmemektedir. Bunun yerine elimizde genelde 

bir değişkene ait kaydettiğimiz belirli bir dönemin 

verileri olmaktadır. Dolayısıyla ikinci durum ile daha 

sık karşılaşılmaktadır. Böyle zaman serilerinin kaotik 

olup olmadığını anlamak için de çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. 

2.1. Karşılıklı Bilgi Yöntemi 

Fraser ve Swinney (1986) ve Abarbanel (1996)’in 

önerdiği karşılıklı bilgi yöntemi (mutualinformation), 

iki zaman serisinin birbirleri hakkında içerdiği bilgiyi 

ölçen bir yöntemdir. Burada bir zaman serisi ve 

onun gecikmiş hali kullanılmaktadır. Eğer bu iki seri 

birbirinden bağımsız ise, karşılıklı bilgi değeri de sıfır 

olmaktadır. 

Karşılıklı bilgi kavramı esasenoptimum bir gecikme 

değeri belirlemek için ortaya atılmış bir yöntemdir. 

Zaman serilerindeki gecikmeyi belirlemek için sıklıkla 

kullanılan otokorelasyon fonksiyonunun aksine doğrusal 

olmayan ilişkileri de hesaba katmaktadır. 

Karşılıklı bilgi çekici üzerindeki noktalar arasında 

genel bir bağımlılık ölçütü vermektedir. Doğrusal 

olmayan sistemlerde artık veriden (redundance) ilgi- 

siz veriye (irrelevance) doğru kayma hakkında iyi bir 

ölçüt sağlamaktadır. Buna göre karşılıklı bilgi değeri 

ne kadar küçükse, ardışık gecikme koordinatlarınındagöreceli 

olarak o kadar bağımsız olduğu şeklinde 

yorumlanmaktadır. Aynı zamanda buradaki veri artıklığı 

da yine göreceli olarak o kadar az olmaktadır. 

Bu da çekicinin en iyi şekilde oluşturulduğu anlamına 

gelmektedir. 

2.2. Gömülü Boyut 

Bir zaman serisi analiz edilmeye başlandığında bu 

serinin geometrik olarak kaç boyutla temsil edilebileceği 

ve gecikme zamanının nasıl seçileceği bilinmemektedir. 

Takens’ın Gömülü Teoremi (Embedding 

Theorem) sayesinde bir zaman serisinin ham verisi 

ve gecikmeli verisi, o dinamik sistemin topolojik 

yapısını belirleyebilmektedir. Gömülü teoremi bize 

sistemin s vektörüne karşılık gelenevre uzayındakim 

n 

boyutunu garanti etmektedir [Kantz ve Schreiber, 

2004]. Böylece m boyutunda birbirine çok yakın olan 

iki nokta, m’nin daha büyük değerlerine sahip bir 

uzay içinde görünür hale gelmektedir. 

Bir sistemin gömülü boyutunu bulmak için birkaç 

yöntem mevcuttur. Ancak bunların arasında en sık 

kullanılan yöntem yanlış en yakın komşular (false 

nearest neighbours) yöntemidir. Bu yöntem Kennel, 

Brown ve Abarbanel(1992) tarafından geliştirilmiştir 

[Kantz ve Schreiber, 2004]. Yöntemdeki temel 

görüş, verinin gömülü uzayındaki zamana ilişkin yapıları 

çok farklı olmayan komşuları arasındaki noktaları 

araştırmaktır. Abarbanel ve Lall (1996)’a göre, 

doğrusal olmayan sistemler için genellikle koordinat 

boyutu yaklaşık 15 olmaktadır. 

2.3. Korelasyon İntegrali 

Dinamik sistemlerin karmaşıklığını göstermek için 

değişik boyut tanımları mevcuttur. Bunların içinde 

pratikte en yaygın kullanılanı korelasyon boyutudur 

(correlation dimension). Korelasyon boyutunun tercih 

edilmesinde genel olarak iki sebep gösterilmektedir. 

Birincisi, benzerlik boyutu, karşılıklı bilgi boyutu 

gibi diğer boyutlara göre çekiciyi daha ince ayrıntıda 

ölçeklerle araştırmasıdır. İkinci sebep ise, korelasyon 

integralinin diğer boyutlara göre daha kolay ve hızlı 

biçimde hesaplanabilmesidir [Öztürk, 2008]. 

36 37


Bir çekici kaotik ise, başlangıçta birbirine yakın olan 

komşu yörüngeler zaman içinde üssel olarak birbirinden 

uzaklaşmakta ve bu yörüngeler üzerindeki 

noktalar dinamik olarak ilişkisiz hale gelmektedirler. 

Bu noktalar rasgele görünseler bile, hepsi aynı çekici 

üzerinde yer aldığı için faz uzayında birbirleri ile ilişkili 

olarak konumlanmaktadırlar. Korelasyon boyutu hesabında, 

çekici üzerindeki noktaların zaman bilgisinin 

aksine uzaysal ilişkisi göz önüne alınmaktadır [Williams, 

1997]. Buna göre faz uzayında birbirine yakın 

olan noktalar için, yüksek seviyede korelasyon söz 

konusu olmaktadır. 

Kaotik çekicilerde periyodik olmayan hareketin 

gerekliliği olan yörüngelerin kesişmemesi şartının 

sağlanması için, hem faz uzayının hem de çekicinin 

boyutunu 2’den büyük olması gerekmektedir. Öklid 

geometrisine ait nesnelerin boyutları tam sayılarla 

gösterilirken, tüm ölçüm seviyelerinde aynı kendine 

benzer yapıyı gösteren geometrik nesnelerin (fraktal 

yapılar) boyutları kesirli olmaktadır. Buna göre, 

korelasyon boyutu periyodik bir sistem için bire eşit 

çıkmaktadır. Bunun aksine kaotik bir sistem için korelasyon 

boyutu ise kesirli bir sayı olabilmektedir. 

Ayrıca teoride rastgele bir sistemin korelasyon boyutunun 

sonsuz olduğu belirtilmektedir [Öztürk, 2008]. 

Bu özelliğinden dolayı korelasyon boyutu rastgele 

sistemlerle kaotik sitemleri birbirinden ayırmak için 

kullanmak mümkündür. 

2.4. BDS Testi 

Varson ve Doran (1995) kaosu rastgele ve doğrusal 

olmama durumundan Grassberger ve Procaccia’nın 

korelasyonintegrali boyutu ile ayırt etmeyi denemişlerdir. 

Ancak bu metodun dezavantajları, çok uzun 

veri setine ihtiyaç duyması ve bir istatistik testi kurmamasıdır. 

Bundan dolayı Brock, Dechert ve Scheinkman 

(1987) uzamsal korelasyonun ölçüsü ile ilgili 

olan bir test istatistiğini yani, BDS testini önermişlerdir. 

Bu test, “bağımsız benzer dağılımlı (i.i.d.)” hipotezlerinden 

sapmaları belirlemede kullanılabilmektedir 

ve Grassberger ve Procaccia (1983)’nınkorelayon 

integraline dayanmaktadır [Amilon ve Byström, 

1998]. BDS testi, yokluk hipotezinin doğruluğu altında 

test istatistiğinin dağılımı bilinmediğinden 

doğrusal olmama veya kaos için doğrudan bir test 

AKADEMİK 

istatistiği sağlamamaktadır. Ancak bu testi,kaotik 

hareketin varlığı hakkında dolaylı bir kanıt olarak kullanmak 

mümkündür [Barnett, 1998]. 

Kaotik bir süreçte, koşullu ortalama doğrusal olmamaktadır. 

BDS testinde yokluk hipotezini test etmek 

için veriye uygun doğrusal modellere karşı doğrusal 

olmayan modellerin öngörülebilirliği araştırılmaktadır. 

Bu durumda hipotezlerinin reddi; kaos, değişen 

koşullu varyans, durağansızlık, basit doğrusal otokorelasyon 

gibi farklı sebepleri olabilmektedir [Amilon 

ve Byström, 1998]. Kısacası, boşluk hipotezinin 

bağımsız aynı dağılıma sahip olduğu belirtilmesine 

rağmen alternatif hipotezin doğrusal olmayan bir 

süreç mi yoksa kaotik bir süreç mi olduğu tam olarak 

belli değildir.Buna göre bir zaman serisinin kaotik 

bir süreç olup olmadığı hakkında yorum yapabilmek 

için, seride yapılabilecek tüm düzgünleştirmeler 

adımsal olarak yapılmakta ve her adımda BDS testi 

yinelenmektedir. Tüm düzgünleştirmelere rağmen 

reddedilen yokluk hipotezi ile elde edilen bu doğrusal 

olmayan yapının “kaotik olabileceği” yorumu yapılmaktadır. 

Çünkü tüm düzgünleştirmelere rağmen 

hala doğrusal olmayan yapıda olan bir sistemin bu 

davranışının ancak ve ancak kaotik yapıya sahip olmasından 

kaynaklanabileceği savunulmaktadır. 

2.5. Güç Spektrumu 

Herhangi bir f(t) zaman serisi fonksiyonu, periyodik 

bileşenlerin üst üste gelmesi ile oluşturulabilmektedir. 

Bu bileşenlerin oransal büyüklüklerinin belirlenmesi 

spektral analiz olarak adlandırılmaktadır 

[Yavaş, 1985]. Burada f(t) periyodik ise, spektrum 

frekansları, tam frekansların tam katları olan hareketlerin 

doğrusal bileşimi olarak ifade edilmektedir. 

Böyle diziler Fourier dizisi olarak adlandırılmaktadır. 

Ancak f(t) periyodik değilse, sürekli frekanslı hareketlerin 

bir bileşimi ile ifade edilebilmektedir. Bu bileşime 

de Fourier dönüşümü denmektedir. 

Geniş güç spektrumu kaosun bir işareti olarak düşünülebilmektedir. 

Fakat tek başına kaosu tanımlamakta 

yetersiz olmaktadır. Bu nedenle doğrusal analizler 

yapmak geniş güç spektrumuna (power spectrum) 

sahip sinyaller için iyi bir analiz olarak görülmemektedir. 

Bunun başlıca sebebi, kararsız dinamik 

sistemlere ait sinyallerin bir özelliğinin periyodik bir 

durumunun olmamasıdır. Ancak yine de sinyaldeki 

kararsızlığın veya değişimin kaynağını açıklayabilecek 

gizli bir periyodik durumu araştırmak için, spektral 

analiz ilk olarak uygulanabilecek yöntemlerden 

biri olmaktadır [Yılmaz ve Güler, 2006]. 

2.6. Otokorelasyon Fonksiyonu 

Bir zaman serisi bazen tekrar eden şekiller içerebilmekte 

ya da önceki değerleri ile sonraki değerleri 

arasında bazı ilişkiler olabilmektedir. Bu ilişkiyi ölçen 

istatistiksel bir araç olarak otokorelasyon (öz ilişki) 

fonksiyonu ele alınmaktadır [Williams, 1997]. Oto 

korelasyon, kısaca, kovaryansın varyansa bölünmesiyle 

elde edilebilmektedir. Sistemin otokorelasyon 

değerinin yüksek olması, serinin geçmiş ve gelecek 

değerleri arasında yüksek ilişki olduğu anlamına gelmektedir. 

Kaotik yapıya sahip serilerin başlangıç koşullarına 

hassas bağlılık göstermesi özelliğinden dolayı, böyle 

yapılarda geçmiş ile gelecek değerleri arasındaki 

ilişki çok zayıf olmaktadır. Buna göre seride gecikme 

arttıkça sıfıra yakınsayan otokorelasyon değerlerine 

sahip seriler geçmiş ile gelecek değerleri arasındaki 

ilişkinin çok zayıf olduğu serilerdir. Dolayısıyla da 

böyle serilerin kaotik yapıya sahip oldukları söylenebilmektedir. 

2.7. Lyapunov Üstelleri 

Şimdiye kadar kaotik yapıyı tespit etmek için kullanılan 

araçlar, çekicinin kaotik olup olmaması hakkında 

yorum yapmışlardır. Ancak hiçbir yöntem bir çekicinin 

kaotik olduğunu kanıtlamak için tam anlamıyla 

yeterli olmamaktadır. Buna karşılık çekicinin en az 

bir pozitif Lyapunov üsteline sahip olması sistemin 

kaotik olduğunun en büyük ve kesin kanıtı olarak kabul 

edilmektedir [Fırat, 2006]. 

Bir sistemden elde edilen Lyapunov üstelleri, dinamik 

bir sistemin davranışını belirlemekte ve çekicinin faz 

uzayında oluşturduğunoktaların gerilme (ıraksama) 

ve katlanmalarının (yakınsama), diğer bir ifade ile 

birbirlerinden uzaklaşmalarının ve birbirlerine yakınlaşmalarının, 

etkilerini ölçmeye imkan vermektedir. 

Elde edilen üsteller “öngörülemezlik” gibi kavramlara 

denk düşen topolojik nitelikler için bir ölçü oluşturmaktadır 

[Kasap ve Kurt, 2011]. Bu tanımlamalar 

altında Lyapunov üstellerinin, diğer yöntemlerden 

daha kesin bir biçimde kaosun varlığını ortaya koyduğu 

görülmektedir. 

38 39


Dinamik sistemler üzerinde Lyapunov üstellerini hesaplamayı 

öncelikle Wolf, Swift, Swinney ve Vastano 

önermiştir [Barnett, 1998]. Bunun ardından 

Brock ve Sayers regresyondan direk bir hesaplama 

yöntemini bulmuşlardır. Ancak bu yöntem uzun veri 

gerektirdiğinden ve gürültüye aşırı duyarlı olduğundan 

Nychka, Ellner, Gallant ve McCaffrey sinir ağları 

modellerini içeren regresyon yöntemini önermişlerdir 

[Barnett, 1998]. Burada, önerilen bütün yöntemlerde, 

sistemde baskın olan Lyapunov üstelinin pozitif 

olup olmadığı test edilmiştir. Çünkü herhangi bir 

sistemden elde edilen Lyapunov üstellerinden en az 

birinin pozitif bulunması, sistemin başlangıç koşullarından 

çok küçük bir farkla yola çıkıldığında, sistemin 

asıl yörüngesinden ıraksama gösterdiği yani, yapının 

kaotik olduğu anlamına gelmektedir. 

Bir sistemden hesaplanan Lyapunov üstelleri farklı 

şekillerde yorumlanabilmektedir. Burada her bir 

boyuttaki uzaklaşma ve yakınlaşma l ile ifade edil- 

i 

diğinden, sistemdeki her bir birim için hesaplanan 

herhangi bir pozitif üstel değeri sistemin kaotik olduğunun 

bir göstergesi olmaktadır. Çünkü bu, sistemin, 

başlangıç koşullarında çok küçük bir değişme 

yapıldığında, referans sistem ile aralarında ıraksama 

olduğu anlamına gelmektedir. Buna göre bir garip 

çekicide en azından bir pozitif Lyapunov üstelinin bulunması 

gerekmektedir. Eğer sistemdeki l değerleri 

negatif ise başlangıç koşullarına hassas bağlılık söz 

konusu değil demektir yani, sistemler birbirine yakınsamaktadır. 

Dolayısıyla sistem düzenli periyodik ha- 

reketlere sahip olmaktadır ve öngörülebilir yapıdadır 

[Kantz ve Schreiber, 2004]. 

Burada hesaplanan Lyapunov üstelleri tüm birimlerin 

yanı sıra faz uzayının boyutu kadar da hesaplanabilmektedir.Faz 

uzayında her bir boyuttaki ıraksama ve 

yakınsamayı bir l temsil ettiğinden, m boyutlu dinamik 

bir sisteme ait Lyapunov üstelleri, l en büyük 

1 

Lyapunov üsteli olmak üzere, l ≥l ≥...≥l şek- 

1 2 m 

linde sıralı olarak elde edilmektedir. Bu durumda herhangi 

bir sistemde en büyük Lyapunov üsteli l >0 1 

ise davranış kaotik, l


Yard. Doç. Dr. Atıf EVREN 

Yard. Doç. Dr. Doğan YILDIZ 

Yıldız Teknik Üniversitesi 

Fen-Edebiyat Fakültesi 


ARAŞTIRMA 

İNCELEME 

İstatistik Bölümü Öğrencilerinin 

İstatistik Bölümlerinden Duyduğu 

Memnuniyet Üzerine Bir Araştırma 

GİRİŞ 

Bu yazı, 2007-2008 yıllarında TÜBİTAK’ın değerli katkıları ile yürüttüğümüz “Türkiye’deki 

İstatistik Bölümleri Bazında İstatistik Eğitiminin Öğrenci ve Öğretim Üyesi Gözüyle 

Değerlendirilmesi” adlı projede elde ettiğimiz birincil ve ikincil verilere dayanmaktadır. 

Bu sonuçlara 1800 civarında istatistik lisans öğrencisi ile gerçekleştirilen anketten hareketle 

ulaşılmıştır. Burada özetlenmeye çalışılan sonuçları daha önceden bazı sunumlarla İstatistik 

ve eğitim camiası ile paylaşmıştık. Konuyla ilgili daha ayrıntılı sunumlarla ilgili olarak 

3,4,5,,9,10,11,12 ve 13 no’lu kaynaklara bakılabilir. Bu çalışma bu kaynakların özetlenmiş 

bir versiyonudur. Projenin tamamlanmasından bugüne geçen süre göz önüne alındığında, 

şüphesiz bazı verilerin güncellenmesi gerektiği ortadadır. Yine de çalışmamızın benzeri yeni 

çalışmalara yararlı olacağını düşünmekteyiz. 

1. İSTATİSTİK VE İSTATİSTİK 

EĞİTİMİNİN GELİŞİMİ 

Toprak sayımı, nüfus sayımı biçiminde ilk istatistik 

bilgi toplayışı İ.Ö. 2000 yılına dek uzanır. Uygulamanın 

görüldüğü yerler de başta Çin olmak üzere Mısır, 

İsrail, Yunanistan ve Roma’dır. Güçlü devletlerin kurulmasına 

koşut olarak istatistiklere başvuru yöntemi 

de geliştiğinden, Ortaçağda biraz aksama olmuş, 

büyük nüfus sayımları yapılmamıştır. Bu çağda yalnızca 

Charlemagne’nin düzenlettiği bazı sayımlar ile 

İngiltere’nin fethinden sonra Guillaume’nin yaptırdığı 

“Domesdaybook” adlı kütükte kayıtlı bulunan toprak 

sayımları dikkat çeker. Yeniçağda merkeziyetçi 

devletlerin gelişimi ile birlikte sayım işleri de önem 

kazanır: 17. yüzyılda Colbert’in düzenlettiği dış ticaret 

istatistikleri, 1790’da A.B.D’de başlatılan düzenli 

nüfus sayımları, 1801’de Napolyon’un Fransa’da 

yaptırdığı genel nüfus sayımını bu bağlamda ele almak 

gerekir. 

17. yüzyıl ortalarında Alman üniversitelerinde okutulan 

“Devlet Bilgisi” dersi ile “Status” sözcüğünden 

türeyen “istatistik” kavramı ortaya çıkmıştır. Bunu 

İngiltere’de ve kısmen Almanya’da ortaya çıkan 

“Sigorta Matematikçileri”okulu izlemiştir. Bu okul, 

doğum, ölüm gibi nüfus olaylarını sayısal verilere dayanarak 

çözümlemekteydi. 

Daha sonra, kökeni Pascal’da, Galileo’da aransa 

da “Büyük Sayılar Yasası” ile gerçek öncülüğünü 

Bernoulli’nin yaptığı olasılık okulu gelmiştir. 

Bernoulli’yi, DeMoivre, Laplace, Legendre, Gauss, 

Poisson, Bienaymé ve diğerleri izlemiştir. Yine bu 

okulların düşüncelerini birleştirerek, tümdengelimci 

istatistiğe tümevarımcı istatistiği katarak, çözümlemeye 

ağırlık veren Quetelet’yi de vurgulamak gerekir. 

Ardından Galton, Pearson, Spearman, Fisher 

gibi ustaları ve bu arada İstatistiğe aksiyomatik bir 

temel kazandıran Kolmogorov’u da saygı ile anmak 

gerekir. Bu okullara, başta Benzécri olmak üzere, 

çok değişkenli çözümlemeden betimsel istatistiğe 

yeni boyutlar kazandıran Fransız okulu da eklenebilir. 

Yine 20. Yüzyılda Bayesçi İstatistiğin gelişimi ve 

katkıları, sadece İstatistik bilimi içerisinde değil aynı 

zamanda, bilim felsefesi ve metodoloji açısından da 

önemsenmelidir. 

Dünyadaki ilk İstatistik bölümü Profesör Karl Pearson 

(1866-73) tarafından Londra Üniversite Koleji’nde 

42 43


kurulmuştur. Türkiye’de ise istatistik bilimi göreli 

olarak gençtir. İlk istatistik bölümlerinin kuruluşları 

1960’lı yıllara gitmektedir. 2006 yılında Türkiye’de 

yaklaşık 4300 öğrencinin okuduğu 25 civarında istatistik 

bölümü bulunmaktaydı. Bu sayının günümüzde 

yaklaşık 55 civarında olduğu ve bunların 25 tanesinde 

eğitimin sürdürülmekte olduğu bilinmektedir. 

İstatistik Eğitimi Tartışmaları 

1999’da A.B.D.'de akademi dünyasından, sanayi ve 

hükümet temsilcilerinden oluşan bir komite, istatistikte 

lisans eğitiminin iyileştirilmesi için alınması gereken 

önlemleri bir dizi toplantı düzenleyerek masaya 

yatırdı. Bu toplantılardan bir tanesinde “İstatistik 

Lisans Eğitimi İnisiyatifi” (Undergraduate Statistics 

Education Initiative) adlı önemli bir belge ortaya kondu. 

Bu çerçevede, 

a) İstatistik öğrencilerinin iş yaşamlarındaki kariyer 

beklentileri ile istatistik müfredat programları arasındaki 

bağlantı, 

b) Matematiksel ve istatistiksel düşünce yöntemleri 

arasındaki benzerlikler ve farklılıklar, 

c) İstatistik müfredat programlarının işlemesi gereken 

konular, 

d) İstatistik öğrencilerinin sahip olması gereken teknik 

temelli olmayan beceriler. 

e) İstatistik öğrencilerinin sahip olmaları gereken bilgisayar 

becerileri, 

g) İstatistik öğrencilerinin sahip olmaları gereken 

matematiksel beceriler, 

h) Seçimlik derslerin sınıflandırılması, 

i) Öğrencilerin yüksek lisans perspektifine sahip 

olup olmamalarına bağlı olarak seçimlik ders tercihlerinde 

yönlendirilmeleri, 

j) İstatistik eğitiminde verinin doğasının ve veri analizinin 

önemi , 

k) Matematiksel istatistik dersinin istatistik eğitimindeki 

rolü, 

ARAŞTIRMA 

İNCELEME 

l) İstatistik bölümlerinde ya da diğer bölümlerde verilen 

giriş niteliğindeki istatistik derslerinin verimliliklerinin 

değerlendirilmesi gibi konular irdelendi. 

Butler (1998) “İstatistiğin Yaygın Kullanımının Başarısızlığı 

Üzerine” adlı çalışmasında, gittikçe daha 

fazla sayıda insanın giriş düzeyinde istatistik dersi almasına 

karşılık, istatistiksel yöntemleri kendi işlerinde 

kullanma becerisinde olmadıklarını belirtir. Bunun 

nedeni istatistiğin geleneksel öğretme yöntemlerinde 

yatmaktadır. Garfield (2000) bütün bu yenilenme 

çabalarına yönelik önerilerin pozitif sonuçları olduğunu 

belirtmektedir. 

2. ARAŞTIRMANIN YÖNTEMİ VE 

KAPSAMI 

Bu çalışma biraz da yukarıda özetlenmeye çalışılan 

gelişme ve tartışmalardan esinlenmiştir. Çalışmada, 

1794 istatistik öğrencisi ile yüz yüze yapılan 

anketten elde edilen verilerin değerlendirilmesi hedeflenmiştir. 

Araştırma kapsamında çok büyük bir 

çoğunluğu devlete ait 19 üniversiteden elde edilen 

anket formları değerlendirilmiştir. Her üniversiteden 

ortalama olarak 94 öğrenci araştırmaya katılmıştır. 

Araştırmaya katılan öğrencilerin üçte biri son sınıfta, 

dörtte biri ise üçüncü sınıfta öğrenim görmektedir. 

Anket kapsamındaki öğrencilerin %52’si kız, %48’i 

erkektir. Örnekteki öğrencilerin büyük çoğunluğu birinci 

öğrenimden (%84,1), kalanı ise ikinci öğrenimden 

gelmektedir. Öğrencilerin örneğe dahil edilmesinde 

bazı kotalar uygulanmıştır. Bunlar cinsiyet ve 

öğrencilerin okudukları sınıflardır. 

Öğrencilerin mezun oldukları lise türleri incelendiğinde 

ankete katılan öğrencilerin yarıdan fazlasının 

o dönem için geçerli olan bir deyim ile “süper lise” 

ya da “Anadolu lisesi” gibi nitelikli okullardan geldiği 

anlaşılmaktadır. 

Öğrencilerin Sosyo-ekonomik Durumlarına 

İlişkin Bazı Gözlemler 

Ankette öğrencilere ailelerinin geçimini sağlayan 

kişinin eğitim durumu sorulmuştur. Buna göre hane 

halkı gelirini kazanan kişilerin %15,8’i ilkokul mezunu, 

%11,6’sı ortaokul mezunu, %32,6’sı lise mezunudur. 

Buna ek olarak öğrencilerden ailelerinin geçimini 

sağlayan kişinin şu anki iktisadi konumunu belirtmeleri 

istenmiştir. Verilen cevaplar arasında en sık olanı 

%32,9 ile “emeklilik” durumudur. 

Öğrencilerin SES (sosyo ekonomik statü) puanları anketteki 

verilerden hareketle hesaplanmış ve %9’lık 

kesiminin A grubuna (en üst gelir grubu) , %30’luk 

kesiminin B grubuna (üst gelir grubu) , %50’ye yakın 

kısmının da C1 ve C2 gruplarına (orta ve alt-orta 

gelir grupları) düştüğü sonucuna varılmıştır. Üniversitede 

okuyan ve örneğimize dahil olan istatistik 

öğrencilerinin SES puanları dağılımı, Türkiye geneli 

ile kıyaslama yapabilmek için aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. 

Şekil 1: SES gruplarının ülke genelinde ve örneğimizde yer alan istatistik 

öğrencileri temelinde yüzde dağılımları 

Yukarıdaki şekilden hareketle üniversiteye girişte 

yüksek gelir gruplarından gelen öğrencilerin şanslı 

olduğunu belirtmek gerekmektedir. Sözgelimi Türkiye 

genelinin çok az bir kısmına karşılık gelen A 

grubu, istatistik öğrencilerinin yaklaşık %9-10’luk 

bir kısmını oluşturmaktadır. Bunun yanı sıra Türkiye 

nüfusunun yaklaşık %37-38’lik kısmını oluşturan 

en yoksul D ve E sosyoekonomik grupları üniversite 

istatistik öğrencilerinin yalnızca % 11-12’lik kesimini 

oluşturabilmektedir! 

Benzer eşitsizlikler, farklı üniversitelerin istatistik 

bölümlerinde okuyan öğrencilerin ortalama SES 

puanları karşılaştırıldığında da gözlenmiştir.. Sözgelimi 

Fırat Üniversitesi, Çukurova Üniversitesi, Selçuk 

Üniversitesi gibi üniversitelerimizin istatistik bölümlerinden 

gelen öğrencilerimiz, genel bir eğilim olarak, 

daha düşük SES gruplarına dahil olmaktadırlar. Benzer 

eşitsizliklerin metropolitan üniversite (İstanbul, 

Ankara ve İzmir gibi merkezlerde kurulmuş bulunan 

üniversite) ve diğer üniversiteler farklılığı temelinde 

de gözlendiğini vurgulamak gerekir. 

İstatistik Bölümlerinin Tercih Edilirliği 

Öğrencilere, halen okumakta oldukları istatistik bölümlerini, 

üniversiteye giriş tercih formlarında kaçıncı 

sıraya yerleştirdikleri sorusu yöneltilmiştir. Bu soruya 

verilen yanıtların ortalaması 9 olarak bulunmuştur. . 

Bu da hiç şüphesiz istatistik bölümlerinin tercih edilirliği 

lehine değerlendirilmesi gereken bir olgudur. 

Bilgisayar Becerileri, Olanakları ve Kullanımı 

Öğrenciler SPSS paket programının kullanımı ile diğer 

istatistik paket programlarından daha fazla ilgilidir. 

Öğrenciler SAS paket programının kullanımını 

büyük bir çoğunluk ile (%85,28’lik kesim) hiç bilmemektedir. 

Bölüme Yönelik Tutumlarda Değişiklikler 

Öğrencilere kazandıkları istatistik bölümlerine girmeden 

önce, bölüm hakkında, mesleki özellikler veya 

iş olanakları açısından yeterli bilgiye sahip olup olmadıkları 

sorulmuştur. Bu soruya olumlu yanıt verenlerin 

oranı %54,3’tür. Genel olarak, öğrencilerin 

bölüme yönelik tavırlarının öğrenim süreci boyunca 

olumlu yönde değiştiği sonucunu çıkarmak olasıdır. 

Öğrencilerin Gelecek Planları 

Öğrencilerin yaklaşık yarısı (%47,8’i) doğrudan çalışma 

hayatına atılmayı düşünmektedir. Öğrencilerin 

%40,7 si yüksek lisans yapmak istemektedir. Ancak 

bütün bu genel değerlendirmelerle birlikte erkek öğrenciler 

ve kız öğrenciler arasında gelecek perspektiflerine 

yönelik anlamlı bir farklılık olduğu söylenebilir. 

Kız öğrenciler, daha büyük bir olasılıkla, mezuniyet 

sonrasında kendi kişisel ve mesleki gelişimlerine yönelik 

olarak, yüksek lisans yapma, yabancı dil öğrenme 

gibi etkinliklerde bulunmak istemektedir. Erkek 

öğrenciler de kolaylıkla tahmin edilebileceği üzere 

askere gitme, iş bulma gibi etkinliklere öncelik tanımaktadır. 

Öğrencilerin Dersleri Değerlendirmeleri 

Öğrencilerin %14’ü bilgisayar programlama dilleri 

kapsamında geçen kavramları anlamakta güçlük 

44 45


çektiklerini söylemektedir. Yine öğrencilerin %5’i limit, 

türev ve integral kavramlarını anlamakta zorlandıklarını 

belirtmektedirler. 

İstatistik dersleri bazında öğrencilere en yararlı buldukları 

dersler sorulmuş ve aşağıdaki dağılım elde 

edilmiştir: 

Şekil 2: İstatistik dersleri bazında öğrencilerin en yararlı buldukları bölüm 

derslerin dağılımları 

Öğretim elemanlarının öğrencilere 

yaklaşımlarının değerlendirilmesi 

Ankete katılan öğrenciler genel anlamda öğretim 

elemanlarıyla yeterli iletişim sağladıklarına ve öğretim 

elemanlarının, öğrencilerin başarılarını değerlendirirken 

adil olduklarına inanmaktadırlar. 

Derslerin İşlenişine, Önerilen Materyalin 

Yeterliliğine ve Ders Programına Yönelik 

Genel Değerlendirmeler 

• İstatistik bölümlerindeki öğrencilerin çoğunun 

(%65,3) okudukları istatistik bölümlerini zor bölümler 

olarak değerlendirdikleri söylenebilir. Yine 

öğrencilerin çoğu, teorik derslerin sayıca fazla 

olduğunu buna karşılık uygulamalı derslerin sayıca 

az olduğunu düşünmektedir. 

• Ankete katılan öğrencilerin %33’ü derslerde 

kendilerine önerilen kitapların ve ilgili materyalin 

yetersiz olduğunu düşünmektedir. Bu konuda 

olumlu yanıt verenlerin %34 civarında olması da 

ortada ciddi bir sorun olduğunu düşündürmektedir. 

• Ankete katılan öğrencilerin %71,5’i bazı derslerin 

daha iyi anlaşılabilmesi için daha kuvvetli 

bir matematik bilgisine ve becerisine gereksinim 

duymaktadır. Bununla birlikte öğrencilerin çoğunluğu 

ders programlarında daha fazla matematik 

dersi istememektedir. 

Öğrencilerin sıklıkla algılamada güçlük 

çektiklerini belirttikleri kavramlar 

• Bazı temel kavramlar: Varyans, kovaryans, standart 

sapma, birinci tür hata, ikinci tür hata, 

hipotez testleri, nokta ve aralık tahminleri. 

• Olasılık ve Matematiksel İstatistik dersleri ile 

ilgili bazı kavramlar: Merkezi Limit Teoremi, moment 

türeten fonksiyonlar, olayların sigma cebri, 

Ki-Kare ve F-dağılımları 

• Örnekleme ve Regresyon derslerinin bazı kavramları: 

Örnekleme dağılımları, standart hata, 

p-değeri. 

3. ÖNERİLER 

ARAŞTIRMA 

İNCELEME 

Yaşanan bazı sorunlara çözüm olacağını düşündüğümüz 

önerilerimiz ise şu şekildedir: 

• Zorunlu staj uygulamaları öğrencilerin “istatistiksel 

veri”yi tanımaları, veri analizi ile ilgili problemlerle 

karşılaşabilmeleri açısından önemlidir. 

• Bölümlerde genel olarak lisans programlarında 

özellikle uzmanlaşmayı arttıracak nitelikte 

istatistik dersleri daha fazla sayılarda açılmalıdır. 

• Daha fazla sayıda ve nitelikli bilgisayar 

dersleri ile istatistik ders programlarının takviye 

edilmesi uygun olacaktır. İyi bir istatistik programı, 

öğrencilerin programlama konusundaki beceri 

ve yeteneklerini geliştirmelidir. 

• İstatistiksel çalışmalar özünde takım çalışmasına 

dayanır. Bu yüzden uygun bir istatistik eğitimi, öğrencilerinin 

takım çalışmasına olan yatkınlıklarını 

geliştirmelidir. 

• İstatistikçilerin yaptıkları işi diğer disiplin ya da 

bilim dalları nezdinde açık (okunabilir, değeri takdir 

edilebilir) kılabilmeleri ve de bu dallarla ortak 

çalışma yapma olanaklarını arttırabilmeleri için 

gelişkin bir iletişim becerisi çok önemlidir. Seçimlik 

derslerin sözel, yazılı ya da görsel iletişim 

becerilerini geliştirme amacına göre yeniden ele 

alınması uygun olacaktır. 

• Öğrenciler veri tabanları ve teknolojileri ile içli dışlı 

olmayı bilebilmeli ve istatistik dersleri de bu konuda 

öğrencilerin gelişimini teşvik etmeli, onları 

zorlamalıdır. 

• Öğrencilere istatistik eğitimi süresince önerilen 

kitapların, materyalin pedagojik değerleri üzerine 

araştırmalar yapılmalıdır. 

• Endüstri ya da iş yaşantısında grafik gösterimler 

çok önemlidir. Öğrenciler; grafikler yardımı ile 

düşünmeyi ve istatistik altyapısı olmayan kişilere 

grafikler aracılığı ile açıklama yapmayı mutlaka 

öğrenmelidirler (Hogg, 2000) . 

• “Öğretim elemanları bilgisayar ile hesaplamayı 

sadece istatistiksel araştırma yapmak için değil, 

aynı zamanda istatistiği öğrenmek için gerçekleştirmelidirler. 

Çünkü grafikler ve veri manipülasyonu 

öğrenmeyi kolaylaştırmaktadır ” (Moore, 

1997) . 

• Özellikle matematik bölümleri ile her konuda daha 

yakın bir işbirliği ortamı oluşturulmalıdır. Her iki bilim 

dalı da birbirine muhtaçtır. 

• İstatistik bölümleri halen kendi iç gelişimlerini 

tamamlamamışken daha fazla bölüm açılmamalı 

ve gereksiz bir enflasyon yaratılmamalıdır. Bu konuda 

özellikle mezun olacak öğrencilerin ciddi bir 

duyarlılığa sahip oldukları anlaşılmaktadır. 

• İstatistik mezunlarının çalışma koşulları üzerine 

araştırmalar yapılmalıdır. 

• İstatistik mezunlarına liselerde öğretmenlik yapabilmeleri 

için gerekli kamuoyunun yaratılması ve 

Milli Eğitim Bakanlığı çerçevesinde gerekli girişimlerde 

bulunulması gerekmektedir. 

• İstatistik mezunlarına “veri uzmanı” ya da “veri 

analisti” gibi ünvanların verilmesi / verilebilmesi 

olanakları da tartışılmalıdır. 

• İstatistiğin disiplinlerarası niteliği nedeni ile mutlaka 

diğer dallardaki (mühendislik, sosyal bilimler 

vb.) uygulanabilirlik olanakları arttırılmalıdır. 

46 47 

KAYNAKLAR 

1) Butler, R.S. (1998), “On the failure of the widespread use of statistics”, Amstat 

News, March,84. 

2) ESOMAR (Standard Demographic Classification), 1997 ,http://www.esomar. 

com. 

3) Evren A.. Yıldız D.(2008), “Some Results from the Survey on Turkish Statistics 

Education” , The 6th International Conference on Sustainable Development, 

Culture Education, Eskisehir ; Haziran 4-7, 2008, Conference Proceeding CD; 

s816-830 

4) Evren A., Yıldız D.(2010), ) “Some Results from the Survey on Turkish Statistics 

Education II”, 10th International Educational Technology Conference (IETC 2010) 

Proceedings Book, 26-28 April 2010; s1348-1351 

5) Evren A., Yıldız D.(2009), “İstatistik Bölümü Öğrencileri Anketi ve Öğrencilerin 

İstatistik Bölümlerinden Duyduğu Memnuniyet Üzerine Bir Faktör-Regresyon 

Modeli” , 18. İstatistik Araştırma Sempozyumu Bildiriler Kitabı, TÜİK , 7-8 Mayıs 

2009.s185-201 

6) Garfield, J. (2000), “An Evaluation of the Impact of Statistics Reform”. Final 

Report for NSF Project REC-9732404 

7) Hogg ,R.V., Ritter, M.A.;Starbuck, R.(2000), “Advice from Prospective Employers 

on Training BS Statisticians” , A paper prepared as part of the Undergraduate 

Statistics Education Initiative of the American Statistical Association, June 30 

2000. 

8) Moore, D.S. (1997), “New Pedagogy and new content: the case of statistics”, 

International Statistical Review, 65, 123-137 

9)Yıldız D. vd. (2007), Türkiye’deki İstatistik Bölümleri Bazında İstatistik Eğitiminin 

Öğrenci ve Öğretim Üyesi Gözüyle Değerlendirilmesi. TUBİTAK proje no: 

105K171 

10)Yıldız D.; Evren A.(2009), “On Some Reform Initiatives on Statistics Education 

throughout the World”; “Selcuk Journal of Applied Mathematics” , Volume 10 

Number 1, Winter-Spring, s95-106, ISSN 1302-7980 

11) Yıldız D.; Evren A.(2010), “Socioeconomic Status (SES) Scores of Turkish 

Statistics Students”, İstatistik Araştırma Dergisi, Cilt: 07 Sayı:02, Aralık 2010; 

s87-100, ISSN 1303-6319 

12)Yıldız D., Evren A.(2008), “Yurt Dışında İstatistik Programlarının Reforma Tabi 

Tutulma Çabaları”, 6.İstatistik Günleri Sempozyumu Sempozyumu ,Bildiri Tam Metinleri 

Kitabı, Samsun, Ağustos 2008; s52-58 

13)Yıldız Nuran.Ç., Yıldız D., Evren A. (2008), “Türkiye’deki İstatistik Bölümlerinin 

Belirli Etkenler Açısından Karşılaştırılması”, I. Ulusal Konya Selçuk Üniversitesi, 

Ereğli Kemal Akman Yüksek Okulu Tebliğ Günleri, Tebliğler Kitabı, S 1 2009 no 

1, s363-377


Gazi Üniversitesi İstatistik 

Bölümü'nün koridorlarında yıllardır 

birinin hayaleti dolanıyor. 

Dersliklerde, akademisyenlerin 

odalarında, koridorlarda 

hep aynı adam, onu gördüğümü 

söylüyorum, arkadaşlarım 

inanmıyorlar bana. Tam 

onlara gösterecekken kayboluyor. 

Hep bir şeyler anlatmak 

istiyor gibi. Yolda nereye 

gideceğini bilemeden avare 

düşünürken yolu gösteriyor. 

Derste tahtada hocaların kulaklarına 

bir şeyler fısıldıyor. 

Bir gün, kütüphanede bir kitap 

ararken, kütüphanenin alt 

katlarında kalmış, unutulmuş 

bir kitaplıkta bir kitap gülümsedi 

bana “Ticaret Aritmetiği 

ve Mali Cebir”. Açtım sayfalarını 

karıştırdım. Kitabın yeşil kapağı üzerinde Prof. Dr. 

Necati İşçil yazıyor. Kim bu Necati İşçil? İnternetten 

arayıp fotoğrafına ulaştığımda şaşkınlığımdan küçük 

dilimi yutacaktım. Bu oydu yıllardır gördüğüm o adam, 

fotoğrafta öylece karşımda duruyordu… 

Sonradan Gazi Üniversitesi İstatistik Bölümü'nün kurucusu 

olduğunu öğrendiğim Prof. Dr. Necati İşçil’i yakın 

çalışma arkadaşlarından dinleme fırsatım oldu. Prof. 

Dr. Necati İşçil’in asistanlığını yapan Prof. Dr. Özkan 

Ünver, Prof. Dr. Alptekin Esin ve Doç. Dr. Mustafa Y. 

Ata’dan hocanın hayatı hakkında ayrıntılı bilgi sahibi 

oldum. İşte o konuşmalardan arta kalanları da sizlerle 

paylaşıyorum. 

Akademisyenliğe ilk adım 

Prof. Dr. Necati İşçil, İstanbul İktisadi ve Ticari İlimler 

Akademisi’nde okuduktan sonra bir dönem İtalya’da 

BÜYÜK 

İSTATİSTİKÇİLER 

Ölçümöteyi * Arayan Adam 

Prof. Dr. Necati İşçil 

* ölçümöte: parametre 

Alican ÖZER 

Gazi Üniversitesi İstatistik Bölümü 

bulunuyor. O dönemde kalite 

yönetimiyle adından oldukça 

söz ettiren bilim insanı 

William Edwards Deming ile 

bir süre çalışıyor. İkinci dünya 

savaşının patlak vermesi 

üzerine Türkiye’ye dönüyor. 

Devlet İstatistik Enstitüsü'nün 

kuruluşunda yer alıyor, bir dönem 

DİE Başkanlığı görevini 

yürütüyor. 1945 yerel seçimlerinde 

Burdur Belediye Başkanlığı 

için aday oluyor. 1945 

-1947 yılları arasında Burdur 

Belediye Başkanlığı görevini 

yürütüyor. Ardından 1956 

yılında Ankara İktisadi ve Ticari 

İlimler Akademisi bünyesindeki 

"İstatistik ve Tatbiki 

Matematik Kürsüsü"de akademisyenlik 

hayatına başlıyor. 

"İstatistik ve Tatbiki Matematik Kürsüsü" 1978 yılında 

"İstatistik ve Temel Bilimler Fakültesi"ne dönüştürülüyor. 

Hoca bu süreçte akademisyenliğe devam ediyor. 

Ta ki Gazi Üniversitesi kurulana kadar… 

Alptekin Esin o yılları şöyle anlatıyor: Necati Hoca, 

Türkiye İstatistik Enstitüsü'nün kuruluşunda yer almıştır. 

O dönemde örnekleme alanında en yetkin kişilerden 

biriydi, hatta tekti diyebilirim. Akademiye başlamadan 

önce DİE (Devlet İstatistik Enstitüsü)’de çalışmasının 

yanı sıra, bir dönem İtalya’da bulunmuş ve o süreçte 

kalite yönetimiyle adından oldukça söz ettiren bilim insanı 

William Edwards Deming ile birlikte çalışmıştır. 

İlk defa 1962 yılında DİE’de bir sertifika eğitimi sırasında 

tanıştım Necati İşçil hocayla. Daha sonra 1968 

yılında akademide A.İ.T.İ.A. (Ankara İktisadi ve Ticari 

İlimler Akademisi) asistanlığa başlamamla birlikte 

daha yakından tanıma fırsatı buldum.Necati İşçil Hoca, 

A.İ.T.İ.A., İstatistik Enstitüsü’nün ilk kurucusudur. Benim 

tanıştığım dönemde de bölüm başkanlığı görevini 

yürütüyordu. O dönemde asistan arkadaşım Özkan 

Ünver’le birlikte, Necati İşçil hocayla aynı odada çalışırdık. 

Necati Hocam bizi devamlı çalışmaya yönlendirir, 

bilemediklerimizi, anlayamadıklarımızı büyük bir sabırla 

anlatmaya çalışırdı… 

Akademide Temel İstatistik ve 

Örnekleme Dersleri 

Prof. Dr. Necati İşçil akademisyenlik hayatına adım 

attıktan sonra canla başla öğrencilerine istatistiği öğretmek 

için uğraştı. Asistanlarına her gün iki, üç saat 

ayırarak onların iyi yetişmelerine yardımcı oluyordu. 

Alptekin Esin: Akademide Örnekleme ve İstatistik 

derslerini anlatırdı. Ben bugüne dek o kadar güzel ders 

anlatan, o kadar güzel tahtayı kullanan, öğrencileri derse 

bağlayan bir hoca daha görmedim. Kendime hep 

onu örnek aldım. Sınavları tek tek kendisi okurdu. Asistanı 

olarak Özkan ile ben sadece sınav notlarını çizelgeye 

geçirirdik. Bir de uygulama derslerine Özkan ile 

birlikte katılırdık. Otoriter bir insandı. Herkesi etkileyen 

bir saygınlığı vardı. Fakat öyle yapay bir saygınlık değil, 

gerçekten saygı duyardık ona. 

Mustafa Y. Ata: ODTÜ’de Yalçın TUNCER, Zeki AV- 

RALIOĞLU gibi değerli hocalardan lisans eğitimi aldım. 

Daha sonra askerden döndükten sonra A.İ.T.İ.A., tatbiki 

matematik kürsüsüne yüksek lisans için başvuruda 

bulundum. O dönemde çalışıyordum fakat dinlemekten 

zevk duyduğum istatistikten ayrı kalmamak için 

yüksek lisansa başvurmuştum. Bu vasıtayla Necati 

İŞÇİL hocayı ilk defa enstitüde gördüm. İlk dersine girdikten 

sonra istatistik yolculuğumda yeni bir pencere 

açılmıştı. 

Necati Hoca’nın ilk dersi temel istatistik dersiydi fakat 

çok farklıydı herkesten. Ortalamayı bile üç saat anlatırdı. 

Önceden izlediğim derslerde beş dakikada es geçilen 

noktalar Necati Hocanın ışığıyla aydınlanıyordu. Derste 

tahtayı kullanımı, felsefesi, anlatımı muhteşemdi. Daha 

sonra asistanlığa başladıktan sonra Necati Hocadan diz 

dize eğitim aldım diyebilirim. Her gün öğleden sonra iki 

- üç saat beni çalıştırır, anlamadığım yerleri sabırla cevaplandırırdı. 

Sözcükler üzerine düşünmeyi ilk olarak o 

bana öğretti. Çok iyi Osmanlıca bilirdi. İngilizce ve eski 

Türkçe bilgisiyle istatistik kavramlarını inceler üzerine 

felsefe yapardı. 

Özkan Ünver: O zamanlar pek çok öğrenci dersinden 

kalmasına rağmen sınav kâğıtlarına hiç itiraz olmazdı. 

Çünkü hoca kâğıtları büyük titizlikle iki, üç kez okur, tek 

tek incelerdi. Adalet onun için çok önemliydi, her zaman 

adil olmaya çalışırdı. Bizde asistanları olarak onun 

bu erdemli davranışlarını kendimize örnek aldık. 

Tesadüfî Değişken Üzerine 

Necati İşçil Hoca asistanlarının en iyi şekilde yetişmesi 

için oldukça çaba gösterir ve tüm soruları bildiği kadarıyla, 

sabırla cevaplandırmaya çalışırmış. Günlerden bir 

gün konu “tesadüfî değişken” kavramına gelmiş. 

Mustafa Y. Ata: Bir gün “tesadüfî değişken” kavramı 

üzerine konuşurken “Hocam, ben hayatta tesadüflere 

inanmıyorum” demiştim. Hiçbir şey demeden uzun 

uzun dalmıştı. Hiçbir şey demedi ama ben muhtemelen 

benim gibi düşündüğünü, fakat bir bilim insanı olarak 

bu konu üzerine konuşmak istemediğini anladım. 

Sonradan bilim felsefesi üzerine okumalarım sırasında, 

bu konu üzerine daha fazla düşünmeye ve kanaat 

oluşturmaya, hocamın o derin susuşuna hak vermeye 

başladım. 

“Oğlum biz anlayabildiğimiz kadarını 

aktardık.” 

O dönemde çok iyi istatistik bilgisine sahip Prof. Dr. Necati 

İşçil meraklı istatistik bölümü asistanları ve öğrencilerinin 

sorularını yanıtlarken “Bilmiyorum” demekten 

çekinmezmiş. M. Yavuz Ata onu “Sadece anladıklarını 

anlatan” adam olarak tanımlıyor. 

Mustafa Y. Ata: Bir gün bana bir soru yöneltti “Varyansın 

birimi var mıdır?”. Bu soru üzerine afallamıştım. 

Kem küm “evet” cevabını verdim. Daha sonra gülümseyerek 

varyansın birimi olmadığını ve nedenlerini sabırla 

anlatmıştır bana. Hemen hemen bilimsel her konuda 

tartışırdık. Birçoğunda doyurucu cevaplar alırdım 

ondan. Her zaman, gerçekten anladığı şeyleri anlatırdı. 

Anlayamadığı noktalarda bilmediğini söylerdi. Bir gün 

sorduğum bir soruya cevap verememesi üzerine “Oğlum 

biz anlayabildiğimiz kadarını aktardık.” demişti. O 

dönemde Türkiye koşullarında son derece iyi istatistik 

bilgisine sahip ve öğrencilerine bu bilgileri sonuna kadar 

aktarmaya çalışan çalışkan bir insandı. 

Nevi Şahsına Münhasır Kişilik, İlkeli 

Bir Yönetici 

Prof. Dr. Necati İşçil bölüm başkanlığı sırasında kuralcı 

ve adaletli yönetimiyle hatırlanıyor. Karakterinden ve 

davranışlarından kaynaklı bir saygınlıktan söz ediyor 

tanıyanlar. Herkesin ortak görüşü Necati Hoca “akil bir 

insandı” yönünde. 

48 49


Alptekin Esin: Necati Hocayı kelimelerle tarif etmek 

çok zor, her yönüyle adam gibi adamdı. Disiplinli, ilkeli, 

çalışkan, verdiği sözü tutan bir insandı. Ben ve benim 

gibi pek çok insanın yaşamını etkilemiştir. Kişisel olarak 

beni ve çevresindekileri etkileyen en önemli özelliği; 

kesinlikle hak yemezdi. Liyakate çok önem verirdi. Bu 

özelliği, akademide üst düzey makamlarda yer almasa 

bile önemli konularda “danışılan insan” özelliğini katmıştır. 

Bir dönem ABD’den burs kazanmıştım. Kendisine 

bu durumu anlatıp ABD’ye gideceğimi söylediğimde, 

bana karşı çıkıp, benden daha önce asistan olan 

Özkan Ünver’in bursla ABD’ye gitmesi gerektiğini, eğer 

buna rağmen gideceksem önce akademiden istifa edip 

gitmemi söylemişti. Başka bir olay daha geldi aklıma. 

Doçentlik sınavı için Bursa’da bulunuyoruz. Benimle 

birlikte Erkan Öngel arkadaşım da doçent olacak. Sınav 

yapılacak binaya gittiğimizde Erkan’ın doçentlik jurisi 

hazırdı fakat benim sınavımı yapacak juriden bir kişi 

geç kalmıştı. Normalde Erkan’ın sınavını hemen yapabileceklerken, 

O Erkan’ın jurisini bekleterek Erkan’dan 

daha kıdemli olduğum için önce benim sınavım bittikten 

sonra onun sınavını başlatmıştı. Bu konularda öylesine 

hassas bir insandı rahmetli. Kıdeme ve usule çok 

dikkat ederdi. Hiç hak yemezdi, bölümdeki, akademide 

ki herkese eşit davranırdı. Hiçbir zaman arkadan konuşmaz 

hataları bir bir insanların yüzüne söylerdi. 

Mustafa Y. Ata: Aydın bir insandı, ilkeliydi, kuralcıydı. 

Herkes onun yönetiminde ne olacağını iyi bilirdi. Örneğin 

o dönemde her yıl bir asistan yurtdışına giderdi. 

Orada kıdemlilere öncelik tanırdı, kıdem sırasına göre 

her yıl bölümden bir kişiyi yurtdışına göndermiştir. Verdiği 

işlerin layıkıyla yapılmasını isterdi. Ben de Necati 

Hoca’nın asistanlığını yaptığım dönemlerde hiçbir işi 

aksatmamaya çalışırdım. Bazen gece yarılarına kadar 

akademide kaldığım olurdu. Yine çok çalıştığım bir günün 

sabahında yanıma geldi. Sözüne uymayacağımı 

bildiği halde “Mustafa, yapılacak işlerden birini boz da 

rahat edesin” dedi. 

Çok güvenilir bir insandı. Öyle ki akademiler arası kurul, 

doçentlik jurilerinin belirlenmesi işini ona verirdi. O dönemde 

bende jurilerin belirlenmesi için hocaya yardım 

etmiştim. Belirlediğimiz jurilere hiç itiraz gelmedi. Hep 

adaletli davranırdı. Yaptığımız bu çalışma sonrası, akademiler 

arası kurulun yemeğine hoca beni de çağırdı. 

Şaşırdım, çünkü o dönem kurulda Türkiye’nin en önemli 

bilim insanları yer alıyordu. Korkuyla hazırlanarak hocayla 

birlikte yemeğe gittim. Utana sıkıla masanın bir 

köşesine sığınmaya çalışırken. Necati Hoca kolumdan 

tutarak yanına oturttu ve ayağa kalkarak beni kurula 

BÜYÜK 

İSTATİSTİKÇİLER 

tanıttı. Bu benim için akademik hayatımda yaşadığım 

onurların en büyüğüdür. 

Özkan Ünver: Necati İşçil, anlatması zor, ilginç bir 

insandı. Fakat hayatı boyunca hiç vazgeçmediği üç temel 

esası vardır ki, onlar “adalet, objektif olmak, kararlılık” 

bu üç özelliğinden ölene dek vazgeçmedi. Dürüst, 

güvenilir bir insandı. 

Her sabah saat sekizde akademiye gelir akşam beşe 

kadar çalışırdı. O dönemde asistanlar az maaş alıyordu. 

O sebeple ek iş yapar, bölüme bazen uğrarlardı. Biz 

hocanın asistanları olarak her sabah dokuzda bölümde 

olurduk. Dokuzu bir dakika dahi geçse hoca çok kızardı. 

O konularda çok titizdi. Tatlı sert bir mizacı vardı. 

Herkes ona duyduğu saygıdan dolayı çekinirdi. Fakat 

bunun yanı sıra insani yönleri çok gelişmişti. 

Mesai Saatleri 

Prof. Dr. Necati İşçil bölüm başkanlığı sırasında mesai 

saatlerine verdiği önemle hatırlanıyor. 

Mustafa Y. Ata: Asistanlığını yaptığım süreçte kesinlikle 

çantasını taşıtmaz, paltosunu tutturmazdı. Çok 

mütevazı bir insandır. Necati İşçil her zaman benim 

için örnek bir insan olmuştur. O gittikten sonra profesör 

olmak için şevkimi arttıracak başka biri çıkmadı. O 

dönemde mesai saatlerine çok önem verirdi. Ben gece 

yarısına kadar çalıştığım için geç gelirdim. Bana bir şey 

demezdi ama bölümde diğer arkadaşlarımı mesai saatlerine 

uymaları konusunda uyarırdı. Yine geç geldiğim 

günlerin birinde asansörle yukarı çıkarken Necati 

Hoca'nın sesi binada yankılanıyordu. Asansörün kapısı 

açıldığında tüm bölüm asistanları tek sıra halinde dizilmiş 

vaziyette mesai saatlerine uymadıkları için fırça yiyorlardı. 

Hoca benim de içlerinde olduğumu düşünmüş 

olacak ki beni asansörden inerken görünce lafını bitirip 

odasına girdi. Herkes o dönemde çok katı olarak bilirdi 

hocayı, fakat o kadar katı bir insan değildi. Sadece verilen 

işlerin hakkıyla yapılmasını isterdi. 

Bilimsel Kitapları 

Prof. Dr. Necati İşçil’in akademik hayatı boyunca yayınladığı 

üç kitap vardır. “Örnekleme Yöntemleri”, “Temel 

İstatistik”, “Ticaret Aritmetiği ve Mali Cebir” 

Mustafa Y. Ata: Necati İşçil hocanın halen kitaplığımda 

en önde duran “Temel İstatistik” kitabı vardır. 

Kavramları muhteşem anlatır, şiirsel bir dili vardır. Fakat 

vefat ettikten sonra öğrencileri o kitabı okutmadı 

ve kitap atıl vaziyette kaldı. Bu durum beni çokça üzmüştür. 

Ayrıca bir de Örnekleme kitabı yazmıştı. Bu 

eserler gerçek telif esere örnek teşkil eden çok değerli 

kitaplardır gerçekten. Üstünden yıllar geçmesine rağmen 

halen eskimediğini düşünüyorum. Örneğin “Ticaret 

Aritmetiği ve Mali Cebir” kitabında “Aritmetik ve 

Geometrik dizi” anlatımını hiç unutmam. Tekrar tekrar 

açıp okumuşumdur. 

YÖK kurulur, Prof. Dr. Necati İşçil 

emekli olur 

1981 yılında YÖK’ün kurulmasıyla Prof. Dr. Necati İşçil 

yaş haddine gelmeden emekli olmuştur. 

Alptekin Esin: Akademi dağılıp, YÖK kurulduktan sonra 

yeni düzene pek alışamadı ve üniversiteden ayrıldı. 

Biz de o dönemde Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi'ne 

geçtik bölüm olarak. Yeni bir bölüm başkanı atandı. Bir 

kısım arkadaşım Gazi İİBF Ekonometri bölümünde kaldılar. 

Günlük Hayatta Necati İşçil 

Mustafa Y. Ata: Okul dışında evinde de zaman zaman 

ağırlamıştır. Dışarıda arkadaş gibidir. Sofrada ölçüyü 

kaçırmadan bir, iki duble rakı içerdi. Özenle yaktığı 

piposunu da hiç unutmam… 

Özkan Ünver: Asistanı olduğum yılları mutlulukla 

anımsıyorum. Çok güzel zamanlar geçirdik. Sosyal 

yönü çok gelişmiş birisiydi. Onunla her konuda konuşabilirdiniz. 

Bizlerle uzun uzun konuşur, tecrübelerini aktarırdı. 

O zamanlar gençtik onu pek fazla anlayamıyorduk 

ama sonradan o konuşmalar daha da anlamlandı. Hiç 

kompleksi yoktu. Çalışmak ve ilerlemek tek düşündüğü 

şeydi. Her zaman “Benden sonra gelenler beni geçmeli” 

derdi. Aile hayatı da tıpkı iş hayatı gibi düzenliydi. 

Hanımı ve çocuklarını mutlu etmek, başarılı kılmak için 

çok emek harcamıştır. Hanımefendi çok kıymetli birisiydi, 

çocukları da çok değerlidir. Necati İşçil bir semboldür. 

En zor zamanlarda onun görüşleri ilaç gibi gelir, 

her soruna bir çözüm önerisi mutlaka getirirdi. Çok iyi 

hukuk bilgisine sahipti. O sebeple verdiği kararlarda genelde 

adaletli olurdu. 

Anılar 

Alptekin Esin: Akademik çalışmaların yanı sıra bize 

hayatı da öğretti. Bir olay anlatayım size, her zaman 

hocanın daktilo işlerini ben yapardım. Her hafta makaleyi 

yazıp hocaya kontrol ettirirdim. Bir gün, bir şekilde 

yazdığım kâğıt kaybolmuş. Hoca kâğıdı bulamayınca 

sordu “Bu haftaki yazılar nerede?”. Bende yazıp verdiğimi 

söyledim. Fakat kâğıtlar bir şekilde kaybolmuştu. 

“O zaman kopyasını getir” dediğinde şaşırarak kopyası 

yok demiştim. Hoca da bana bu tip makaleleri yazarken 

araya karbon kâğıdı koyarak bir kopyasını daha 

almam gerektiğini anlatmıştı. Bunun gibi bize hayatı da 

öğrettiği çokça örnek vardır. Otoriterdi fakat kesinlikle 

asistanı olarak bizlere çantasını taşıtmaz, paltosunu 

bile tutturmazdı. Çok mütevazı bir insandı. 

Özkan Ünver: Hayatımın en güzel on, on iki gününü 

onunla birlikte İngiltere’de geçirdim. Akademik bir toplantı 

için İngiltere’de bulunmuştuk. İngiltere’ye gittiğimde 

hep orta gelirli Kıbrıslı Türk bir ailenin evinde kalırdım. 

Hocayla da aynı evde kaldık. Hiç unutmam hoca oda 

kirasından daha fazlasını ödemiş, fiyata dâhil olmasına 

rağmen biz fazlaca tüketiriz diye yanında viski, rakı ve 

neskafe’de götürmüştü. Bonkör bir insandı. Ev sahipleri 

de bu jestimize karşılık bize Londra’yı gezdirmişlerdi. 

Son Dönemleri 

Mustafa Y. Ata: Üzüntüyle anımsadığım son zamanlarında, 

beyin kanaması geçirerek uzun süre komada 

kalmıştı. Necati Hoca’nın kızı da o dönemde evlilik arifesindeydi. 

Hoca, umutların tükendiği bir anda komadan 

çıktı. Normal hayata döndü. Hatta bir gün onu, o 

dönemde konteynerda eğitim verdiğimiz istatistik bölümüne 

getirmiştim. Daha sonra hoca kızını evlendirdi 

ve vefat etti. Bu olayda geriye dönüp bakınca çok ilginç 

gelir bana… 

Gökyüzüne Mesajlar... 

Alptekin Esin: Necati İşçil hocam hayatımda çok 

önemli bir yere sahip çok saygıdeğer bir hocamdı. 

Her zaman saygı ve sevgiyle yâd ederim kendisini. 

Okul dışında dert dinleyen, bir arkadaş gibiydi. 

İstatistik bölümünün bugünlere gelmesi, istatistik 

biliminin Türkiye’de ilerlemesinde önemli pay 

sahibidir. Onu tanımaktan, onun asistanı olmaktan 

ömür boyu mutluluk duyacağım… 

Özkan Ünver: O dönemde Akademi’de ders veren 

hocaların birçoğu Türkiye’de üniversite sisteminin 

gelişmesinde çok büyük katkılar sağlamışlardı. Necati 

İşçil Hoca’da çok değerli, saygın bir bilim insanıydı. 

Kendisini her zaman saygı ve sevgiyle anıyorum… 

Mustafa Y. Ata: Her yönüyle örnek, deneyimli, adaletli 

bir bilim insanıydı. Keşke daha genç yaşta asistanı 

olabilseydim, keşke onu daha erken tanıyabilseydim… 

50 51


Prof. Dr. Fikri AKDENİZ 

İSTATİSTİK 

ÇEŞİTLEMELERİ 

Matematik ve İnsan 

İnsanoğlunun binlerce yıl boyunca süregelen doğayı anlama ve egemen olabilme 

çabalarının bir sonucu olarak “ne, neden, nasıl, ne zaman, kim, nerede?” sorularının 

yanıtı aranmıştır. Bu çabaların sonunda elde edilen bilgiler, biçim, sayı ve çoklukların 

yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri mantık yolu ile inceleyen ve sayı bilgisi, 

cebir ve geometri gibi dallara ayrılan bir bilimi yaratmıştır. Bu bilim dalı insanlığın 

ortak kültürünün çok önemli bir parçası olan matematiktir. O halde kendimize 

aşağıdaki soruyu sorabiliriz: 

1. MATEMATİK NEDİR? 

Eğitilmiş iyi niyetli, akıllı insanların bile büyük bir bölümü 

“matematik nedir?” sorusunun yanıtını vermekte 

zorlandıkları gibi, bu konuyla neden bazılarının uğraştıklarını 

da kavrayamazlar. 

Emekli matematik profesörü Eric De Corte (2004) 

tarafından “Yaşamın Soyutlanmış Bir Biçimidir." şeklinde 

yapılan tanım herhalde en gerçekçi ve geniş 

haliyle matematiği ifade eder. Matematik, zihinsel 

fonksiyonların gelişmesini sağlayan, yaşamı kolaylaştıran 

simgelerle ifade edilebilen kendine özgü bir 

dili olan bir bilim dalıdır. 

O halde matematik yaşam kadar eski, yaşamla 

birlikte gelişen, insanlık tarihi ile paralel bir gelişim 

gösteren bir bilim dalıdır. Matematiğin gelişimi ile 

bilimin ve uygarlıkların gelişimi arasında sıkı bir ilişki 

olduğunu biliyoruz. 

Matematiğin nerede, nasıl ve ne şekilde başladığını 

hiç kimse bilmemektedir. Fakat kuşkusuz saymak, 

ölçmek, paylaşmak ve değişmek gibi günlük aktiviteler 

sırasındaki fiziksel gözlemlerden başladığı söylenebilir. 

Bu insan yaşamına bağlı temel orijinlerden 

yola çıkarak gelişmeye başlayan matematik, aynı 

zamanda kendi dünyasını da yarattı. Hakkında konuştuğunuz 

şeyi ölçebiliyor ve bunu sayılarla ifade 

edebiliyorsanız, o zaman o konu hakkında bir şeyler 

biliyorsunuz demektir. İnsanoğlu doğayı gözlemlediğinde 

vardığı sonucu ifade edebilmek için kendine 

göre isimlendirdiği sayılar ve simgeler icat etmiştir. 

Matematiğin bir aracı olan sayıların insanın kişiliğinin 

gizli yanlarını gösterdiği düşünüldü. Pek çok insan 

sayıların uğuruna ya da uğursuzluğuna inandı. 

(Pythagoras felsefesini inceleyiniz) 

Kuramsal ilgilerin henüz uyanmadığı başlangıç döneminde 

aritmetik ve geometri, tarım, ticaret ve 

mühendislik işlerinin yarattığı ihtiyaçları karşılamaya 

yönelik beceriler olarak ortaya çıkmıştır. 

Tüm canlı varlıkların en zekisi olan insanın ilkel devirlerde 

aritmetiğe ilk olarak sayma ile başladığı 

sanılmaktadır. Bu düşünceyi doğrulayan mağara 

resimlerine rastlandığı bilinmektedir. Yine kalıntılara 

göre M.Ö. 25000 yıllarında mağara duvarlarında geometrik 

şekiller yapıldığı anlaşılmaktadır. İnsanoğlu 

böylece soyut düşünmenin ilk adımlarını atmış oldu; 

çizdiği ile gerçeği arasında kurduğu ilişkide eşitlik, 

benzerlik, yakınlık, uzaklık gibi kavramlarla, gördüğü 

3 boyutlu nesne ve çizdiği 2 boyutlu resim arasında 

eşleşmeler yaptı. 

M.Ö. 10000 yıllarında tarımla uğraşıldığına göre, en 

azından ürünü için insanların kullandığı bir aritmetik 

vardı. Özellikle Mezopotamya, Mısır’ın Nil vadisi, Ege 

kıyılarımız ve Hindistan’daki ovalık bölgelerde tarihi 

gelişim içinde aritmetik de gelişmiştir. 

Matematiğin ya da herhangi bir bilimin gelişmesini 

izlerken unutulmaması gereken bir nokta vardır: Tarihin 

karanlığında gömülü kalmış bir çalışmanın pekalâ 

canlı olabileceğidir. Her dönemden, şimdi bizde antika 

ilgisi uyandıran bir yığın ayrıntılı çalışma kaldığı 

52 53


gösterilebilir. İlkel sayma becerisini aşan matematiğin 

M.Ö. 4000 yıllarına uzanan bir tarihi olduğu görülmektedir. 

Tarihin her döneminde tüm uygar insanlar matematiği 

öğrenme çabası içinde olmuştur. Matematiğin 

en önemli özelliği, onun, insanların ortak düşünme 

aracı olmasıdır. Sanat ve dil gibi matematiğin de 

tarih öncesine uzanan kökeni belirsizlik içinde kalmıştır. 

İlk uygarlık dönemlerindeki durumu ancak 

günümüz ilkel topluluklarının davranışlarına bakarak 

belirleyebiliriz. Kaynağı ne olursa olsun, gelişimini 

bugüne değin sürdüren matematiğin “SAYI” ve 

“ŞEKİL” diyebileceğimiz iki ana uğraş konusu vardır. 

Bunlardan ilkini aritmetik ve cebir, ikincisini geometri 

temsil etmektedir. Matematik sözcüğü, ilk kez, M.Ö. 

550’lerde, Pisagor okulu üyeleri tarafından kullanılmıştır. 

Yazılı kaynaklara girmesi, M.Ö. 380’lerde 

Platon’la olmuştur. Sözcük anlamı “öğrenilmesi gereken 

şey”, yani, bilgidir. 

Matematikçilerin atikçilerin günlük hayatla bir ilişkisi olm 

olması 

gerekmeyen sayılar ve şekiller üzerinde düşünmemeleri 

mümkün değildi. Bu geometrik özelliklerin 

birçoğu bir araya getirildi ve tümdengelimci bir sistemle 

güzel bir şekilde organize edildi. Sayılar, şekiller, 

hareket ve düzen, düşünceler ve bunların sırası 

matematiğin hammaddeleridir. 

Doğa modellerle ve bu modeller de yaşam bilmecesine 

ilişkin ipuçlarıyla doludur. Matematiksel kav- 

İSTATİSTİK 


ramlar başlangıçta doğal nesnelerden esinlenmişlerdir. 

Çünkü matematik, daha önce ifade ettiğimiz 

gibi doğayı anlama çabası olarak gelişmiştir. İnsanın 

insanlaşma sürecinde matematiğin gelişim seyri de 

izlenebilir. Bu boyutu ile belki de en eski bilim dalı 

olup diğer bilimlerin de anasıdır. Matematik bilimi 

ciddi bir iştir. Aslında asık yüzlü ve korku duyulan bir 

disiplin olmayıp, tersine yaşam gibi eğlenceli, neşeli 

ve insanı dinlendiren uğraş alanıdır da. 

Matematik hakkında çok sayıda kitabın yazarı olan 

Theoni Pappas’ın “Yaşayan Matematik” adlı kitabının 

önsözünde şunlar yazılıdır: “Matematikten duyulan 

zevk bir şeyi ilk kez keşfetme deneyimine benzer. 

Çocuksu bir hayranlık ve şaşkınlık insanı sarar. Bu 

deneyimi bir kez yaşadıktan sonra bu duyguyu unutamazsınız. 

Bu duygu, ilk kez mikroskopa bakıp da 

daha önce çevrenizde her zaman var olan ama, göremediğiniz 

şeyleri gördüğünüz anki kadar heyecan 

vericidir”. 

2. MATEMATİK NASIL GELİŞTİ? 

2.1 SAYILARI KULLANARAK ARİTMETİKTEKİ 

İLK TEMEL İŞLEMLER 

9. yüzyılda yalnız 8 işleme yer verildiği görülmektedir. 

Bunlar: kare alma, karekök, küp, küp kök, toplama, 

çıkarma, çarpma bölmedir. 9. yüzyılın sonlarında 

Araplar günlük işlerinde ölçme, para değişimi ve ticari 

amaçlı aritmetiği kullanmaya başladılar. 

2.2 İLK ARİTMETİK DERS KİTAPLARI 

Eski Mısır ders kitabı: Matematik üzerine yazılmış 

ilk bilimsel inceleme Ahmes papirüsüdür. Hemen 

hemen 4000 yıl öncesi Mısır’ında bir alıştırma problemidir. 

Antik Yunan matematiği: Öklid’in “elementler” adlı 

geometri kitabı MÖ 320 de yazıldı. 13 ciltlik ilk büyük 

matematik kitabıdır. 

Hindu matematiği: 7. yüzyıldan başlayarak 11. yüzyıla 

kadar aritmetik ve cebirsel bilgi içeren ders kitapları 

vardır. 

Arap matematiği: MS.750-1450 arasında aritmetik, 

cebir, trigonometri ve diğer konularda yazılmış kitaplar 

vardır. Bazıları döneminde Latinceye çevrilmiştir. 

Avrupa ders kitapları (1200 den sonra): 1202 de 

Pisa’lı Leonardo’nun “Liber Abaci” adlı kitabıdır. 12. 

asırda Arapların özellikle cebir ile ilgili bilimsel çalışmaları 

Latin ve Hebrew dillerine çevrildi. 

Amerika Kıtası: İlk aritmetik ve cebir üzerine kitap 

25 sayfa olarak 1556 da Meksika’da yayınlandı. 

Amerika’da ise ilk aritmetik kitabı 1705 te yayınlandı. 

3. ÖĞRENCİ GÖZÜYLE MATEMATİK 

NEDİR? 

Çukurova Üniversitesi matematik bölümünde okuyan 

öğrencilere ve Adana’daki çeşitli liselerde okuyan 

11. sınıf öğrencilerinden toplam 400 öğrenciye 

“matematik nedir?” sorusunu yazılı olarak yanıtlamaları 

istendi. Bu soruya verilen yanıtlardan çıkan 

sonuçlar: 

Oyuncuları sayılar olan ve belli kurallara göre oynanan 

bir oyundur. 

Sayılarla düşünmektir. 

Sayı ve işlem bilimidir. 

Beyin jimnastiğini en iyi geliştiren bilim dalıdır. 

Sayıların ve işlemlerin oluşturduğu karmaşık bir 

bütündür. 

Sayıların ve çeşitli kümelerin ilişkilerinin sistematik 

bir biçimde incelenmesidir. 

İnsan yaratıcılığının sınırlarını aşmasına katkısı 

olan bilim dalıdır. 

54 55


İnsanı düşündüren kavramlar bütünüdür. 

Kavramlar ve sayılar arasında mantıksal bağlantılar 

kurma sanatıdır. 

Değişik meslek dallarından üniversite eğitimi almış 

23 kişiye aynı soru sorulduğunda alınan yanıtlar aşağıdadır: 

RT Sayılarla yaşamın ifadesi. 

MT Doğa düzeninin şifresini çözmek için bir 

araçtır. 

TB Sayılarla yapılan işlemlerin toplamıdır. 

MK Yaşadığımız evrenin sayısal ifadesidir. 

BA Hayatın düzenidir. 

AS Matematik hayattır. Matematik bilmeyen 

hayatı çözemez. 

CT Hayatım boyunca zorlandığım bir ders. 

OTÖ Hayatın kendisi. Yaşamın sırrı. 

MB Yaşamın rakamlarla anlatım biçimidir. 

OD Bence hayatın ta kendisi olmazsa olmazıdır. 

AİŞ Matematik hayattır. Bilimselliğin temel 

taşıdır. Kişiyi doğruya götüren en temel 

kavram ve yöntemdir. 

MÇ Evrenin en güzel işleyişini anlatan güzel 

bir müziktir. 

AHY Hayatın kendisidir. 

SY Hesap bilimidir. Problemleri farklı metodlar 

ile çözmemize yardımcı olur. 

EA Düşünce şekli/yöntemi. 

YEU Gerçeklerin ispatlanmasına yarayan rakamlar 

dünyasıdır. Yapılan ispatların sağlamasının 

da yapılmasına yarar. 

ST Mantık. 

YSÜ Nesneleri, şekilleri nicelikleri ve bazen 

nitelikleri tanımlamaya, ifade etmeye ve 

İSTATİSTİK 


analiz etmeye yarayan bir dildir. 

HA Sayılar, kümeler ve fonksiyonlar gibi niceliksel 

nesneler ve bunlar arasındaki ilişkileri 

inceler. 

SA İnsana bilimsel düşünme ve o düşünceyi 

karşılaştırma imkanı veren bir bilim dalıdır. 

İnsana kıyaslama yoluyla zenginleşme imkanı 

verir. 

AÇ Diğer doğa bilimlerinden farklı olarak tamamıyla 

insan bulgusu olan, bir bilim dalı 

olup, diğer bilimlerin yasalarının, kurallarının 

daha iyi ifade edilebilmesinde kolaylıklar 

sunan bilim dalı. 

OT Tüm öğrencilik hayatımda başıma bela 

olan 4 işlemden ileri gidemediğim, sevenlerinin 

kendini anlatırken ki neşe ve coşkusunu 

hayretle izlediğim bir bilim dalı. 

ÖC Sayısal ifade, mantık yürütmek suretiyle 

varlıkları ve olayları incelemek yorumlamak. 

Yanıtlardaki benzerlikler dikkat çekicidir. 

4. MATEMATİKÇİLERİN 

MATEMATİKLE İLGİLİ DÜŞÜNCELERİ 

Matematik sözcüğü ile en az iki disiplin teorik (pür, 

saf) matematik, ve uygulamalı matematik akla gelir. 

Lehigh Üniversitesi (Penysilvania, ysilvania, USA) 

emekli Matematik Profesörü 

MATEMATİK 

SANATI (The Art of 

Mathematics) adlı kitabın 

yazarı JERRY P.KING: 

“Pür matematik bir oyun- 

dur; zihinde oynanan bir ir 

oyun. Oyunun hareketleririnin gelişimini, kağıt üzerine ne 

yazdığınız sembollerle izlerlersiniz. Oyun ilerleyip soyutlaşlaşmalar birbiri üzerine eklenince ince 

semboller artık başka sembol mbol 

kümelerini ifade etmeye başlar. aşlar. 

Ortaya çıkan çeşitli kavramlar yeni matematik üretmeye 

yarayacaktır”. 

“Matematik düşünenlerin sayısı arttıkça yeni kavramların 

açıklanması beklenmekte, yeni mantık 

ilişkileri beni keşfedin der gibi seslenmektedir. Matematikçinin 

buldukları pratikte kullanılır. Çünkü matematik 

bir sanattır.” 

Doğayı anlamak ve somut olgular üzerinde çalışmak 

için matematik kullanımıyla belirlenen entelektüel 

alana uygulamalı matematik denir. 

Ünlü düşünür, filozof ve matematikçi Bertrand Russel 

(1872-1970) a göre “Matematik, aynı şeyi değişik 

sözcüklerle söyleme sanatıdır. 

Matematik evrensel bir dildir. Bunun anlamı eksilme 

ve bozulma olmaksızın daima var olacaktır. Matematikte 

duygu yoktur. Düşünce vardır. Matematiği 

dünyanın neresine götürürsek götürelim matematiğe 

bakan kişi yanlışsa yanlış, doğruysa doğrudur 

der. Matematikte iki tane cevap vardır bu cevaplar 

ya yanlıştır ya doğru. Matematikte kişisel düşüncelere 

yer yoktur. O bakımdandır ki matematik gerçek 

anlamda bir evrensel etkiye sahip doğanın dilidir. 

Uğraştığı konuların yaygınlığına ve derinliğine sınır 

koyulamaz. Dil, din, ırk ve ülke tanımadan tüm uygarlıklarda 

zenginleşerek gelişmesine devam etmektedir. 

Macar matematikçi PAUL 

HALMOS (1916-2006): 

“Matematik bazı fikirleri 

daha kısa, daha yalın anlatabilmek 

için bulunmuş, 

her gün kullandığımız 

dilden daha kesin, daha 

ince bir dildir.” demiştir. 

5. MATEMATİĞİN 

İŞLEVİ NEDİR? 

Onu bilim içindeki konumu 

ile açıklayabiliriz. Bilimin 

konusu nedir, amacı nedir, yöntemi nedir? biçiminde 

bir soru sorduğumuzda “Matematiğin işlevi nedir?” 

sorusuna gelip dayanırız. Bu soru ile karşılaşılınca da 

hiç kuşkusuz, matematiğin, konusu içeriği ve yöntemi 

devreye girer. Matematik, sürekli sorgulama ve 

arayış prensibine dayalı çalışma yöntemi içerisinde 

gene kendinin geliştirmiş olduğu ispatlama yöntemleri 

ile doğruyu arar. 

Matematik zevkini tatmak için matematiğin çevremizdeki 

nesnelerle ilişkisinin az olmadığını kavramak 

gerekir. Matematik, gelir-gider dengesini bulmak 

için kullanılan ya da karmaşık hesaplamalarıyla bizi 

sıkan bir konu değildir. 

Matematiğin uygulama alanı, bilimsel araştırma ve 

geliştirmeler ile sınırlı değildir; insanın çevresi ile olan 

tüm ilişkilerinde matematik bir şekilde vardır. Görsel 

ve plastik sanatlar, moda ve tasarım, müzik, kamuoyu 

araştırmaları, planlama, fizibilite, lojistik hizmetler, 

ticaret, muhasebe ve mali işler ve aklınıza gelebilen 

daha pek çok sektör ve iş alanında, ya doğrudan 

uygulamalı olarak veya dolaylı olarak matematiğin 

sağladığı olanaklardan yararlanmaktayız. 

Matematik, fizik, kimya, biyoloji gibi doğa bilimlerinde 

ve mühendisliğin her dalında matematiği yaygın 

olarak kullanıyoruz. İnsan geninin şifresini çözmek 

için matematikten yararlanıyoruz. 20. yüzyılda ve 21. 

yüzyılda matematik bizlere fark ettirmeden sessizce 

günlük hayatımızı etkileyen birçok alana yayılıverdi. 

Matematiksel kavramlar, canlı hücrelerin yapısında 

bile bulunur.” 

56 57


Bir mimar matematiği kullanmadan çizim yapamaz, 

bir mühendis yaptığı binanın ya da aracın dayanıklılığı 

konusunda fikir beyan edemez, bir kimyacı bir bileşiği 

oluşturan elementleri analiz edemez, bir şehirdeki 

trafik kontrolü sağlanamaz. Matematik kullanılarak 

böbrek, kalp, pankreas ve kulak hastalıklarının tanı 

ve tedavisinde önemli rol oynayan modeller geliştirilmiştir. 

Kısaca matematik fiziksel dünyamızda yadsınamaz 

bir etkiye sahip olduğu gibi sosyal dünyamızda 

da olumlu etkilere sahiptir. 

Ekonomide ve dilbilimde araştırıcıların matematiği 

kullanarak çığır açan yeni kuramlar elde ettiklerini 

çoğumuz bilmeyiz. Tomografi kullananların çoğu, bu 

önemli tanı gerecinin temelinde 1910 yılında kanıtlanmış 

bir matematik teoremi yattığının farkında değildir. 

(John L. Casti, Beş altın kural:20. yüzyıl matematiğinin 

önemli teorileri (Çev. Nermin Arık), 2000, 

Sabancı Üniv. Yayını) 

Matematik, bilimin geliştirdiği teknolojileri kullanmak 

için de gereklidir. Bilişimde, veri işleme ve iletişimde, 

etkin algoritmalar ve modellemelerde, 

Kriptolojide (şifrelemede), 

Robotlarda da matematik gereklidir. 

Temel yapısı matematiğe 

(matematiksel modellemeye) dayanan 

elektrik ve mağnetizma teorisi 

olmadan radyolarımız çalmaz, 

televizyon göstermez, evler aydınlanmaz, 

röntgen cihazı çalışmaz, 

haberleşme ağı kurulmazdı. 

Matematik, insanlığın yaratıcı gücünü 

ortaya koyabilmesi için elindeki 

en güçlü silahlardan biridir. 

Yaratıcılığını kullanamayan toplumlar 

başka toplumların fikirlerini 

benimsemek zorunda kalırlar. 

“Tıpkı bir ressam veya şair gibi, 

bir matematikçi de kalıplar üretir. 

Matematikçinin kullandığı kalıplar 

diğerlerinin kullandığı kalplardan 

daha kalıcı ise bunun nedeni düşüncelerden 

oluşmuş olmalarıdır. 

Matematikçinin bütün malzemesi 

fikirlerden ibarettir.” 

“Matematiğin uygulamadaki sonuçlarını bir yana bırakıyorum; 

Matematiğin çok küçük bir bölümü pratik 

yarar sağlar; o küçük bölümde oldukça sıkıcıdır. Kabaca 

diyebiliriz ki, bir matematiksel düşünce, eğer 

öteki matematiksel düşüncelerin büyük bir bölümü 

ile doğal ve aydınlatıcı bir bağlantı kurabiliyorsa 

önemlidir”. 

Matematiğin Faydası Nedir? 

1. Doğru hüküm vermeyi sağlar. 

İSTATİSTİK 


2. Bilimsel düşünme yollarını öğrenip uygulamayı 

gerçekleştirir. 

3. Pozitif düşünce (müspet düşünce) ilkesini benimsetir. 

6. NASIL MATEMATİKÇİ OLUNUR? 

Doğrular, kareler ve sayılar gibi en basit matematiksel 

kavramları herkes bilir. Bir matematikçi olmak 

için yapmanız gereken tek şey bunlara 

düş gücü ve anlayışla bakmak 

ve anlamlı sonuçlara varabilmektir. 

(David Wells) 

İngiliz matematikçi AUGUSTUS 

de MORGAN (1806-1871)’e göre 

“ Matematiksel buluşun itici gücü 

mantık değil, hayal gücüdür. Bir 

matematikçi için ilk iş, düşünmeye 

başladığı kavramı tanımlamaktır. 

7. MATEMATİK VE 

ESTETİK 

Matematikçilerce matematiksel 

düşüncenin estetik niteliğinin ölçülebileceği 

standartlar olarak iki ilke 

vardır: Bunlar minimal tamlık ve 

maksimal uygulanabilirliktir (King, 

1997 sayfa 158).Her yaratıcı matematikçi 

matematiğin estetik 

deneyimini sezgisel olarak bilir. G. 

H.Hardy (1877-1947)’e göre “Gerçekten 

de matematiğin estetik 

çekiciliğine tamamen duyarsız, aydın bir insan bulmak 

biraz zordur. Matematiğin estetiğini çevreleyen 

gizem, biraz da matematikçilerin matematik hakkında 

konuşmaktan hoşlanmamalarının bir sonucudur. 

Matematikçiler matematiksel araştırma yapmaktan 

yeni matematik yaratmaktan hoşlanırlar. Tıpkı bir şairin 

şiir yaratması gibidir. 

Yalnız düşüncede var olan olayların nerelerde uygulama 

alanı bulacağı hiçbir zaman önceden tahmin 

edilemez. Bu nedenle matematikçiler yapılan çalışmaları 

estetik yönden değerlendirmekte, eserlerde 

bir sanatçı titizliği ile güzellik ve zerafet aramaktadırlar. 

8. MATEMATİK VE MÜZİK 

Çok sayıda kişi sezgisel olarak matematik ve müzik 

arasında bir ilişki olduğunu söyler. Müzik teorisyenleri, 

müziği anlamak için çoğu kez matematik kullanırlar 

(David Wright, Mathematics and Music, 2009, 

AMS). En azından her ikisi de sayma içerir. Her iki 

disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimi 

olmalıdır. Her iki disiplin antik devirlerden başlayarak 

karşılaştırılmş ve ilişkileri araştırılmıştır (Karşal, 2005). 

Her ikisinde de estetik ve evrensel bir dil vardır. Müziğin 

armonik yapısı matematiksel kurallara bağlı 

olarak biçimlendirilir. Pythagoras (M.Ö.569?-475?) 

bir telin farklı boyları ile değişik sesler elde edildiğini 

incelemiş ve bazı oranlar vermiştir. Pythagoras’ın 

kendisi iyi bir müzisyendi ve harp (lyre) çalıyordu. 

Müziği, hastaların iyileştirilmesine yardımcı olmak 

amacıyla araç olarak kullandı. Pythagoras’ın önemli 

buluşlarından biri müzikle matematik arasındaki ilişkidir. 

Telin kısaltılmasıyla çıkardığı sesin inceldiğini 

keşfetmiştir. Böylece müzikte armoni ile tam sayılar 

arasındaki ilişki bulundu. Uzunlukları tam sayı oranlarında 

olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği 

görüldü. Pythagorasçılık’ta doğadaki uyum ve güzellik“ 

sayılar arasındaki bir oranlama ve dengeleme” 

olarak nitelenir. 

Alman matematikçi ve filozofu Leibnitz'e (1646- 

1716) göre “ Müzik gizli bir aritmetik alıştırmasıdır.” 

Müziği, belli kurallara uygun olarak oluşturulmuş 

basit birtakım seslerin birbirini izlemesinden oluşan 

kümeler topluluğu olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar 

matematikte mantık kurallarına karşılık gelirler. Matematiğin 

müzik üzerindeki etkisini müzik parçalarının 

yazılışında görebiliriz. 

58 59


9. MATEMATİĞİN ŞİİR YÖNÜ 

Matematikçiler, matematiğin, şiirde olduğu kadar 

kesinlikle belirlenmiş bir estetik değeri olduğunu 

bilirler. Bu bilgi matematikçi aristokrasisinin kapalı 

dünyasının derinliklerinde saklı kalır. 

Alman matematikçi WEIRSTRASS (1815-1897)’ a 

göre “ Bir nevi şair olmayan bir matematikçi, hiçbir 

zaman mükemmel bir matematikçi olamaz” 

Şair ve yazar Melih Cevdet Anday (1915-2002)’a 

göre: Nasıl ki, şiirde bile güzellik, bir ölçüde içerdiği 

fikrin önemli olmasına bağlı ise, bir matematik probleminin 

güzelliği de büyük ölçüde, onun ciddi oluşuna 

bağlıdır. 

İSTATİSTİK 


10. MATEMATİK VE GÜZELLİK 

Ünlü düşünür, filozof ve matematikçi Bertrand Russel 

(1872-1970)’ e göre “ Matematik doğru algılandığında 

yalnız gerçeği değil, bir heykeldeki türden 

yüceltilmiş, donuk ve süssüz bir güzelliği de içerir. 

Matematik bu güzelliklere bürünmek için insan doğasındaki 

zayıflıklara başvurmaz, resim ve müziğin 

göz kamaştırıcı tuzaklarını da kullanmaz, ona karşı en 

katışıksız bir arılığa ve ancak en yüce sanat eserlerinde 

görülebilecek ağırbaşlı bir mükemmelliğe erişebilme 

gücüne sahiptir.” (B. Russel The Study of 

Mathematics in Mysticism and Logic, 1960 Sayfa: 

55-69). 

“Matematik gerçekten güzeldir. Bu güzellik çoğu zaman 

kanıtların yalınlığından kaynaklanır. Yalınlık ise 

doğallıktandır. Rahmetli hocamız Cahit Arf (1910- 

1997)’ın deyişiyle “Güzellik insanda sonsuzluk duygusu 

uyandırandır” “Matematik de resim, heykel, 

müzik gibi bir güzel sanattır.” 

“Matematiksel güzelliği tanımlamak çok güç olabilir 

fakat bu güçlük her tür güzellik konusunda geçerlidir”. 

Matematik hakkında konuşurken önce matematik 

için itici güdü olan güzellik; sonra, matematiğin 

amacı olan doğruluk ele alınmalıdır. Matematiğe hak 

ettiği önemi kazandıran şey ise, matematiksel doğruların 

bize gerçeklik hakkında verdiği bilgilerdir. 

11. MATEMATİK KORKUSU NASIL 

YENİLİR? 

Matematik söz konusu olduğunda çoğumuz kolaylıkla, 

'Haa matematik mi, çok başarısızdım!' demekten 

kaçınmayız. Peki bu cümlemizin matematikte başarısızlığından 

yakındığımız çocuğumuzu ciddi anlamda 

etkilediğinin farkında mıyız?, 

İnsanların matematikten korkması, matematik eğitiminde 

yaşanan sıkıntılar evrenseldir. Dünyanın 

her yerinde bu sorun yaşanıyor. Matematik, yaparak 

öğrenilen bir şeydir, ama okullarda matematik 

araç olarak kullanılmaya çalışılıyor. Matematiksel 

düşünme yeteneği gelişmediğinde öğrencilerin ezberleyen, 

bilgiyi kullanamayan, yorum yapamayan, 

matematiksel ve mantıksal düşünmeyi beceremeyen 

insanlar olarak yetiştirildiğini, bu yüzden bireyleri 

matematik korkusunun sardığını, kendilerine olan 

güvenlerini kaybettiğini söyleyebiliriz. Korku kadar 

bir insanı yönlendiren, zamanına göre güç veren ya 

da zayıflatan bir duygu yoktur sanıyorum. Korkudan; 

nefret, saygı, alay, yüreklilik, hatta bu duyguların 

tümü birden doğabilir. Matematikten ve genel olarak 

bilimden, korkulduğu yadsınamaz bir gerçektir. 

Karanlıkta duyulan korkuya benzer bir duygu kaplar 

içimizi matematik karşısında; bu duygu yalnız sokaktaki 

adama özgü değildir, bir matematikçi de aynı 

duyguya kapılır. Bu durum okul öncesi eğitimden 

itibaren üzerinde durulması gereken bir konudur. 

Başarı için Öğretmenin matematiği sevdirmesi en 

önemli faktördür. Matematiği herkesin yapabileceği 

bir dal olarak görmeliyiz. İyi yetişmiş bir Öğretmen 

uygun öğretim yöntemi ile bunu başarabilir. 

12. SONUÇLAR 

Unutulmaması gereken en önemli noktalardan biri 

şudur: Eski uygarlıklar yok oldular fakat bu uygarlıkların 

matematiği hala ilgi çekicidir. Konuşma dilleri 

ölür ama matematiksel düşünceler kalıcıdır. Bilimde 

ilerlememiş gelişen bir toplum düşünülemeyeceği 

gibi, matematiksiz ilerleyen bir toplumda düşünülemez. 

Yarının gözlemleriyle değişmeyecek bir gerçek 

istiyorsanız onu bilimde bulmaya çalışmaz, matematikte 

ararsınız. 

60 61


Filozofların ifadesiyle matematik dünyayı anlamanın 

evrensel anahtarıdır. Sevmenin yolu anlamaktan geçer. 

Değişen dünyamızda, matematikten anlayan ve 

matematik ile ilgilenenler geleceği şekillendirmede 

daha fazla seçeneğe sahip olmaktadır. Bilişsel araçlar, 

çağımızda matematiği öğrenme ve öğretmesini 

büyük ölçüde kolaylaştırmaktadır. Yeni bilgiler ve 

teknolojiler, matematiğin kendi içindeki gelişmeleri 

kendi doğasındaki mantıksal düzenin estetiğini hissedebilmek, 

görebilmek, kavrayabilmek ve hayata 

taşıyabilmek için bilgisayar teknolojisi ile entegre 

edilmiş yeni araştırma ve öğretim alanlarının geliş- 

mesini hızlandıracaktır. Matematiği, elementer düzeylerde, 

matematikçilerin en üst düzeyde gördükleri 

şekilde -bütün sanatların doruk noktası olarak, 

Florence Colgate kadar güzel ve Kleopatra kadar 

baştan çıkarıcı bir şey olarak- sunma yolunda ciddi 

ve sistematik bir çaba gösterilinceye kadar, matematiğin 

sıradan insanlar tarafından anlaşılabilir hale 

getirilip getirilemeyeceğini asla öğrenemeyeceğiz. 

Polonya kökenli Fransa'da yaşamış ve ilk Nobel ödülü 

alan bayan olan Madame Maria Curie (1867-1934)' 

nin bir cümlesiyle yazımızı tamamlıyorum: “Yaşamda 

korkulacak bir şey yoktur. Yeter ki anlaşılsın”. 

Ünlü İngiliz matematikçi G.H.Hardy (1877-1947) 

“Bir Matematikçinin Savunması” adlı eserinde şöyle 

diyor: Bir matematikçi için en güzel işlerden birisi 

kendi konusunu, deneyimlerini ve matematikle uğraşmaktan 

aldığı hazzı matematikçi olmayanlara aktarmaya 

çabalamaktır.“Bir gün matematik yapamaz 

duruma düşerseniz matematik hakkında yazmaya ya 

da konuşmaya başlarsınız” 

Bilim ve aklın simgesi diyebileceğimiz matematikle 

ilgili bütün korku ve yanlış inanışlar bir yana matematik 

yaşamımızda vazgeçemeyeceğimiz bir alandır. 

Matematiğin İnsan Üzerindeki Etkileri Matematik Fıkraları 

Matematik Dersinin Finali Hayal Gücü 

4 tane üniversite öğrencisi, uyanamadıkları için temel 

matematik dersinin finaline geç kalırlar ve okula 

gidince hocaya arabalarının lastiğinin patladığını 

söylerler. Hoca ilk başta inanmaz ama öğrencilerinin 

yalvarmalarına dayanamayarak, onları 3 gün sonra 

sınav yapacağını söyler. Sınav günü gelince hoca, 4 

öğrencinin hepsini boş bir salonun ayrı ayrı köşelerine 

oturtur. Sınav geçme sistemi şöyledir: 100 üzerinden 

50 puan alan herkes sınavı geçebilir. Hocanın 

hazırladığı sınavda ise ön sayfada 10'ar puanlık 4 

tane basit matematik sorusu vardır… Bunları kolayca 

çözerler. Arka sayfada ise 60 puanlık 1 soru vardır: 

“Hangi lastik patladı”? 

İSTATİSTİK 


Bir matematikçi ve bir mühendis, ünlü bir fizikçinin 

seminerine katılırlar. Seminer 9 boyutlu uzayda 

cereyan eden bir takım işlemler içermektedir. 

Matematikçinin seminerden oldukça keyif alır 

görünmesine karşın, mühendis çok zorlanmaktadır. 

Başı çatlayacak derecede ağrımaya başlayınca 

dayanamayıp sorar: 

- Bu garip ve zor şeyleri nasıl anlayabiliyorsun? 

- Matematikçi gayet sakin cevap verir; 

- Sadece olayı tasavvur ediyorum. 

- 9 boyutlu bir uzayı nasıl tasavvur edebilirsin ki? 

- Aslında çok kolay. Sadece n boyutlu bir uzay 

tasavvur ediyorum. Daha sonra n’i 9’a götürüyorum. 

Matematikçi 

Balonla seyahat etmekte olan bir grup yolunu 

kaybeder ve biraz alçalarak aşağıdaki kişiye yaklaşırlar. 

İçlerinden biri aşağıya bağırır: 

- Heyyy!.. Biz şu anda nerdeyiz?. 

Aşağıdaki şahıs onlara şöyle bir bakar ve biraz 

düşünüp dalgın dalgın cevap verir: 

- Bir balonun içinde ve oldukça alçaktasınız. 

Balondaki adam doğrulur ve arkadaşlarına: 

- Biliyor musunuz bu adam matematikçi der. Bunun 

üzerine balondaki diğer şahıslar bunu nerden 

anladığını sorduklarında şöyle yanıtlar: 

- Birincisi, çok düşündü, ikincisi söylediği şey kesin 

olarak doğru. Üçüncüsü, bir işe yaramıyor… 

YORUM: Matematik bağımsız ve özgün 

düşünme alışkanlığı geliştirir. Yeni 

düşüncelere hazır hale getirir. Özel kavramları 

genelleyebilme yeteneği sağlar. Açık ve kesin 

anlama gücü kazandırır. 

Sonuç olarak sizlerle üç karikatürü paylaşacağım. 

Matematik eğitiminin içinin boş olduğunu göreceksiniz. 

Bir test sorusu: 9'un karekökü 3'tür. 

Yanıtlar: a) Doğru b)Yanlış c) Kimin umurunda. 

Öğretmenin Sorusu : 2x2=? 

Öğrencinin yanıtı: Hayırlısı Neyse O Olsun 

Soru: x’ i bulunuz. Yanıt: Burada 

KAYNAKLAR 

Ali Nesin (1989) Matematik ve Korku Amaç Yayıncılık Ltd.Şti., İstanbul. 

Ali Nesin (1994) Matematik ve Oyun Düşün Yayınclık, İstanbul. 

B. Russel (1960) The Study of Mathematics in Mysticism and Logic, Sayfa: 

55- 69). 

David Wells (1995) Matematiğin Gizli Dünyası(Çeviri: Selçuk Alsan (2008) Doruk 

Yayınları, İstanbul. 

David Wright (2009) Mathematics and Music, AMS. 

De Corte, E. (2004) Mainstreams and perspectives in research on learning 

(mathematics) and instruction, Applied Physchology: An International Review, 

53, 279-310. 

Ece Karşal (2005) Matematik ve Müzik, Müzik ve Bilim Dergisi, Sayı:4, 1-11. 

G.H.Hardy (1995) Bir Matematikçinin savunması (Çeviri: Nermin Arık) TUBİTAK 

Yayını 

Hamza Bulut (1988) İnsan ve Matematik, Delta Bilim Yayınları, İzmir. 

Ian Stewart (2000) Doğanın sayıları (Çev. Selgin Zırhlı) İzdüşüm yayıları 

Jerry P.King (1992) Matematik Sanatı( Çeviri: Nermin Arık (1997)) TUBİTAK 

Popüler Bilim Kitapları 49. 

John Allen Paulos (1998) Herkes için Matematik (Çev. Başak Yüksel) Beyaz 

Yayınları 

Karpinski, L.C. (1925) . The History of Arithmetics, Rand N and Co. , Chicago. 

Malcom E. Lines (1997) Bir Sayı Tut (Çev. Nermin Arık) TUBİTAK Yayını 

Marcel Boll (1991) Matematik Tarihi (Çev. Bülent Gözkan) İletişim Yayınları 

Nazif Tepedelenlioğlu (1990) Kim Korkar Matematikten Amaç Yayıncılık, 

İstanbul. 

Sinan Sertöz (1996) Matematiğin Aydınlık Dünyası , TUBİTAK Yayını 

62 63


Tutku Mavi ERKILIÇ 

İSTATİSTİK 


Sinemasal Bir Anket 

Üzerine Düşünceler 

Sonuçları üzerine kişisel düşüncelerimi aktaracağım 

anket çalışması, Sekans Dergisi tarafından 2007- 

2012 yılları arasında, sinema eğitimi alan, farklı yaş 

ve meslekten sinemaseverlere uygulandı. Çalışmanın 

son iki yılına anketör olarak katıldım ve sonuçların 

değerlendirilme aşamasında, istatistik analistlerine 

yardım ettim. Benim için eğlenceli olduğu kadar öğreticiydi 

de. 

Anketin sonuçlarına ve değerlendirilmesine geçmeden 

önce, katılımcılarla ilgili birkaç bilgiyi paylaşmak 

isterim. Toplam katılımcı sayısı 217. Kadınların sayısı 

132, erkeklerinki ise 85. Üniversite mezunu olanların 

oranı ise yüzde 75 gibi yüksek bir orana sahip. Yaşlara 

göre dağılımları ise aşağıdaki gibi: 

15-25: % 27 

26-35: % 35 

36-45: %23 

46 ve üstü: % 15. 

Anketin en ilginç sonuçlarından biri sinema ile en 

fazla ilgilenen meslek grubunun mühendislik olması. 

Onu da sağlık alanı izliyor. (grafik 1) Kendimce, başta 

gelen alanların eğitim bilimleri, sosyal bilimler veya 

iletişim olacağını düşünmüştüm. Ancak yanılmışım. 

Dil bölümleri ve güzel sanatlar sinemaya en ilgisiz 

alanlar olarak şaşırtıyor. 

Katılımcılara sorulan sorular arasında beni ilgilendirenlerden 

bir tanesi şuydu: Sinema ile ilgili bilgilere 

hangi kaynaklardan ulaşıyorsunuz? Verilen cevaplara 

göre internet açık ara önde. Onu, sinema kitaplarını 

kıl payı farkla geride bırakan sinema dergileri takip 

etmekte. Elde edilen sonuçların en çarpıcı olanı, ilgili 

bölümlerde onca öğrenci okumasına rağmen, 

okulların bir bilgi kaynağı olarak görülmüyor olması. 

(grafik2) Aslına bakarsanız, sinema okuryazarlığı açısından 

da vahim bir tablo var ki, sinemaseverlerin 

aşağı yukarı yarısı hiç dergi okumuyor. Yayınları izlememe 

gerekçeleri çok daha vahim. Popüler olmala- 

64 65


rından yakınan da var, entelektüel olmalarından da. 

En büyük kesimin yanıtsızlar olması, uzun söze gerek 

bırakmıyor. (grafik 3) 

Film seçerken tercihlerinizi neye veya nelere dayanarak 

yapmış olduğunuzu düşündüğünüz oldu mu 

hiç? Size yol gösterir mi bilmem ama ankete göre 

en önemli seçim kriteri filmin yönetmeniymiş. Yönetmenin 

ardından birbirine çok yakın değerlerle 

filmin türü ve konusu geliyor. Yapım yılı, tüm kriterler 

arasında en önemsiz görüneni. (grafik4) Peki, hangi 

sıklıkla film seyrediyoruz? Cevaplar ezici çoğunlukla 

bir şıkta toplanıyor: Haftada iki. İlginç olan, günde bir 

film seyredenlerin oranı ayda bir film seyredenlerin 

oranının neredeyse iki katı. (grafik 5) 

Televizyon kanallarını konu alan iki soruya (En çok 

izlediğiniz tv kanalları hangisi? ve En kaliteli filmlerin 

yayınlandığı kanallar hangileri?) verilen yanıtların 

fazlasıyla ortak yan taşıması, sinemaseverlerin televizyonları 

film seyretmek için tercih ettiğini açığa 

çıkarıyor.(grafik 6 ve 7) 

Bir sinemasever ileride ne olmayı arzular, uzak hedefinde 

ne olmak vardır? Senarist ve yönetmen olmayı 

İSTATİSTİK 


hedefleyenler başı çekiyor ama sinemasal üretimin 

kalbi olan görüntü yönetmenliğini amaçlayanlar neredeyse 

yok düzeyinde. (grafik 8) 

Sıra geldi anketin film ve yönetmenlerle ilgili olan en 

keyifli bölümüne. Sinemaseverler tarafından hazırlanan 

en iyi filmler listesinde toplam 687 film ve 385 

yönetmen yer aldı. Filmlerin yirmişer yıllık dönemlere 

göre dağılımı şu şekilde gerçekleşti: 

1910-1929: 22 

1930-1949: 36 

1950-1969: 104 

1970-1989: 170 

1990-2009: 345 

2010 ve sonrası: 10. 

Meraklısı için önemli bilgilere geldi sıra. Farklı eğilimleri 

bir arada görme şansımızın olduğu en iyi filmler 

listesinin öne çıkan filmleri Baba (The Godfather), 

Mavi (Trois Couleurs: Bleu), Dövüş Kulübü (Fight 

Club) ve Otomatik Portakal (A Clockwork Orange) 

oldu. Ulusal yapımların en beğenilen filmleri Uzak 

ve Yol, takipçileri ise Masumiyet ve Sevmek Zamanı. 

Dünyanın en iyi yönetmeni Krzysztof Kieslowski 

seçilirken, Francis Ford Coppola, Stanley Kubrick, 

AndreyTarkovski ve Ingmar Bergman lideri yakından 

izliyorlar. Bizim yönetmenlerimiz arasında farklı bir 

şekilde öne çıkan isim, dünya sıralamasına girmeyi 

de başaran Nuri Bilge Ceylan oldu. 

66 67


Hayvanlar,insanoğlunun 

yararına seferber edilmektedir 

ve bu, bazen onların 

hayatları pahasına olmaktadır. 

Hayvanlara yapılan 

zulüm meselesi, onları ölüme 

sürükleyecek derece,, 

yükselmektedir. Hayvanların 

karşılaştığı işkenceler 

hakkında küçük bir fikir 

vermesi için, aşağıda bazı 

istatistikler verilmiştir. 

Hayvanlar, nasıl olsa seslerini çıkaramadıklarından, hep 

insanoğlunun yararına ve rahatına hizmet etmiştir. Hayatı 

daha iyi kılmak için hayvanlara yapılan işkencenin 

sınırı yoktur. Yıllar boyunca sirklerin, izinsiz avlanmanın, 

avlanmanın, tıbbî deneylerin ve modanın pençeleri 

hayvanların üzerindedir. Eğlence sektörü, araştırmalar, 

izinli ve izinsiz avlanma vs. gibi alanlarda kullanılan hayvanlara 

karşı kötü muamelede bulunulması, onları tehlikeye 

sokmuş ve türlerinin tükenmesine yol açmıştır. 

Hayat bütün canlılar için önemlidir ve bir canlının hayatına 

son vermek hakkı, insanlar dahil, kimsenin elinde 

değildir. İnsanoğlu en vahşi hayvanları terbiye ederken, 

ekosisteme bir dengesizlik getirdiği de açıktır. 

Hayvanlara yapılan zulüm bütün dünyada ve toplumun 

her kesiminde görülmektedir. Hayvan istismarı hakkındaki 

olgular ve istatistikler yardımıyla hayvanlara 

yapılan zulüm daha iyi anlaşılabilir. Hayvanların göz alıcı 

renkleri ve örüntüleri moda endüstrisinin gözünden 

kaçmazken, vahşi hayvanları terbiye etme güdüsü eğlence 

alanında hayvanları kurbanlaştırmıştır. İnsanoğlu 

ne zaman hayvanları bu amaçlarla kullansa, onlara 

büyük bir travma yaşatmış ve zarar vermiştir. Hayvanlara 

eğlence için işkence yapıldığında ya da hayvanlar 

beslenme için katledildiklerinde, bu hayvanlara yapılan 

zulmün parçası olur. Hayvanlara verilen bilinçli zararlar 

ya da onların ihmal edilmesi, kötü muamele örnekleridir. 

Zulmün bu aktif ve pasif biçimleri birçok hayvanda 

travma yaratmaktadır. Kötü muamelenin birçok örneği 

kayıtlara geçmemekte ve bu da, meseleye karşı önlem 

alma konusunda engeller oluşturmaktadır. Hayvan- 

Amruta GAIKWAD 

Çeviren: Kerem YÜKSEL 

Hayvanlara Yapılan 

Zulümlerin İstatistiği 

İSTATİSTİK 


ların ekosistemimizin çok önemli unsurları olduğunu 

anlamak lazımdır. Onları yokoluşa sürüklemek, dünya 

üzerindeki hayatı yok olmaya davet etmektir.Yine de, 

meselenin yoğunluğunu ve ciddiyetini istatistikler anlatabilir. 

Hayvanlara Yapılan Zulüm 

Hayvanlar birçok amaçla kullanılmaktadır ama onların 

sömürülmesinde önde gelen alanlar eğlence sektörü, 

araştırma ve modadır. ABD istatistikleri bize şunları 

göstermektedir: 

Hayvanların yüzde 32.4’ü ihmal edilmekte, 

yüzde 11.6’sı ateşli silahlarla öldürülmekte, 

yüzde 11.5’i boğularak ölmekte, 

yüzde 9.3’ü zehirlenme ve kavga sonucu ölmekte, 

yüzde 7’si dövülmekte ve kaçırılmakta, 

yüzde 5.6’sına işkence yapılmakta, 

yüzde 2.4’ü avlanılmakta ve çöpe atılmakta, 

yüzde 2.3’ü bıçaklanmakta, 

yüzde 2.2’si yanma veya boğulma tehlikesi geçirmekte, 

yüzde 1.9’u yakıcı maddeye maruz kalmakta, 

yüzde 1.8’i dövüştürülürken ölmekte, 

yüzde 1.4’ü yasadışı ticarete konu olmaktadır. 

Hayvanlara yapılanları gösteren bu istatistikler, zulme 

yenilen hayvanların sayısını miktarını göstermektedir. 

Eğlence Sektöründeki Hayvanlar 

Filler, kaplanlar, ayılar, maymunlar vs. yıllarca esir edilmekte 

ve acımasız terbiye seanslarına maruz kalmaktadır. 

Hayvanların bu performansları gönüllü yapmadığı 

ama kendilerini işkenceden korumak için yaptıkları bilinir. 

Hayvanların komutlara uyması ve bazı numaralar 

yapması için en ağır eğitim koşulları hazırlanmakta ve 

sonucunda hayvanlar teslim olup efendilerinin dediklerini 

yapmak zorunda kalmaktadır. Hayvanlar kırbaçlanmakta, 

ağızları bağlanmakta, elektrik çubukları ile 

dürtülmekte ve onlara acı çektirilmektedir. Hayvanlara 

Ahlaki Davranılması için Gönüllüler (PETA), sirk hayvan- 

larının sefil hayatını ortaya koymuştur. Fillerin kancalarla 

ve elektrik çubukları ile dövüldüğünü, vahşi kedilerin 

boyunlarına ağır zincirler asıldığını göstermişlerdir. Ayı 

ve kaplanların dövülüp sopalarla tartaklandığı gösterilmiştir. 

Sürekli yapılan yolculuklar hayvanların römork ya da 

kamyon kasalarında çok uzun süreler kalmalarını gerektirir. 

Kendilerine büyük miktarlarda para kazandıran 

bu hayvanların daha iyi koşullarda yaşamaları ise insanların 

umurunda değildir. Bu hayvanlar acı çekmeye 

mahkumdur ve hayatlarını kemiren en berbat koşullarda 

hayatta kalmaya gayret ederler. PETA tarafından 

bildirildiğine göre Barnum ve Bailey Sirki ve Ringling 

Kardeşler yılda 11 tur yapmaktadır ve bu süreçte filleri 

26 saat ile 100 saat arası züncirli tutmaktadır. Vahşi 

kedileri için yapılan kafeslerin bile hareket alanı oldukça 

azdır. Bazı durumlarda birden fazla kaplan veya aslan 

aynı kafeste tutulmaktadır ki bu hareket alanını iyice 

azaltmaktadır. PETA tarafından kayda geçirilmiş vakalardan 

biri Cylde adlı genç bir aslanın Temmuz 2004’te 

yapılan bir yolculukta aşırı sıcaktan ve sıvı kaybından 

dolayı ölmesidir. Bu korku ve tehdit ortamından kaçmaya 

çalışan çok sayıda hayvanın bu teşebbüsleri 

ölümle sonuçlanmıştır. Bu ortamdan kaçan hayvanlar 

toplum için bir tehlike oluşturmakta ve bu nedenle de 

ya bu hayvanlar vurulmakta ya da onlara yüksek dozda 

uyuşturucu verilmektedir. 

Kozmetik ürünler ve daha başka kişiye özel ürün ilk olarak 

fare, sıçan, kedi, köpek, kurbağa, maymun vd. üzerinde 

denenmektedir. PETA, ABD laboratuvarlarında 

kimyasal, tıbbi ve kozmetik testler sonucu hayvanlarda 

dayanılmaz ağrıların oluştuğunu ortaya koymuştur. 

Bu hayvanlar daha acılı bir ölüme sebep olan testlere 

hazırlıklı kılınsın diye uyuşturulur, tecrit edilir; hayvanların 

yüzlerinde yanıklar oluşur, omurilikleri zedelenir ve 

kemiklerine delikler açılır. Birçok durumda hayvanlar 

üzerinde gerçekleştirilen deneyin sonuçları insanlar 

için geçerli dahi değildir. Bir Britanya gazetesi olan 

The Independent’in yazdığı gibi, maymunlar üzerinden 

denenmiş HIV aşıları insanlarda doğru çalışmamıştır. 

Hayvanlarda denenen ilaçlar insanlar için geçersiz olsa 

da, onları araştırmaların yarattığı acı ve travmaya maruz 

bırakmaya devam ediyoruz. 

Moda ve Hayvanlar 

Moda sektörü hayvanların güzel kürklerine ve gözalıcı 

desenlerine ihtiyaç duyar. Bu sektörün en gözde kurbanları 

kedi ailesi, köpekler ve tavşanlardır. Bu hayvanlar 

çok pahalıya satılan kürkleri için katledilir. Tasarımcıların 

koleksiyonlarına biraz alım katmak için birçok 

hayvan ölmekte ya da büyük işkenceler çekmektedir. 

Kürk ve hatta deri satışları büyük ölçeği bulan önde 

gelen metalardandır. Deri endüstrisinin kârı ineklerin, 

domuzların, koyunların, timsahların, kedi ve köpeklerin 

katliamı üzerine bina edilmiştir. Moda sektöründe derinin 

kendine bir yer bulması eskiye dayanır. Bu zaman 

içinde tasarımcılar eldeki malzeme ile çeşitli deneylere 

girişmişler ve hayvanlara büyük zarar vermişlerdir. 

PETA yaptığı araştırmalar sonucunda, ineklerin mezbaaya 

götürülebilmesi için kuyruklarının kesildiğini ve 

gözlerine biber serpildiğini bulgulamıştır. Yine ABD’de 

derilerinden ve diğer lüks tüketim malzemesi olabilecek 

parçalarından yararlanmak için hayvanların vahşice 

katledildiği bilinmektedir. Derinin elde edilmesi hayvan 

için acılı bir ölüm demektir. Bu işte çıkarı olanlar ise bu 

metanın tecimini gerçekleştirenlerdir. Buna karşın, bu 

aynı kişiler sadece hayvanlara zarar vermekle kalmazlar, 

çevremize de zararlı ürünler üretirler. 

Hayvan Dövüşleri 

Hayvanlara yapılan zulümlerin en meşhurlarından biri 

boğa güreşleridir. Bu spor ne kadar eğlenceli görünse 

de, boğalar acı çekmekte ve 

kan kaybından ölmektedir. Bu, 

insanların hayvanlara gösterdiği 

saygısızlığın açık bir örneğidir. 

Bu ölümcül spor çirkin bir gerçeği 

saklar. Bu gerçek sadece 

hayvanları için değil, buna şahit 

olan insanlar için de travmatiktir. 

Boğaları zayıflatmak için onlara 

ilaç verilir. Bazı durumlarda arenaya 

salınmadan önce havyanlar 

bıçaklanır. Hayvan hareket ettikçe 

bu bıçak daha derine saplanır ve hayvanı daha da güçsüz 

kılar. Dokulara verilen zarar hayvande sürekli kanamaya 

sebep olur. Çoğu durumda bir zafer nişanesi 

olarak hayvanın kulakları, hayvan daha canlı iken, kesilir.Boğa 

güreşleri, hayvanlar için ölümcül olan sporlar 

için tek örnek değildir. Köpek dövüşü ve horoz dövüşü 

insan eğlencesine meze yapılan diğer “sporlar”dır. 

Hayvanlara yapılan zulümler geniş bir konudur ve yakıcı 

bir meseledir. Bu zulümler birçok hayvanın canına malolmuş 

ve birçok türü yokolma tehlikesi ile karşı karşıya 

bırakmıştır. Uyanmanın ve masum hayvanların hayatlarının 

korunması konusunda yukarıda sıralanan etkiler 

üzerine düşünmenin vakti gelmiştir. 

68 69


Derin Ekoloji 

Derin Ekoloji hareketi daha derinleri sorgulayan 

ekoloji hareketidir. “Derin” sıfatı, 

diğerlerinin sormadıkları “neden” ve “nasıl” 

sorularını, bizim sorduğumuzu imler. 

(Arne Naess, 1972’de terimi ilk kez 

kullanan kişidir) 

Derin Ekoloji bilimsel çerçevenin ötesinde, 

farklı tezahürlerinden ve değişim 

ve dönüşüm döngülerinden bağımsız 

olarak, bütün hayatın bir olduğunun sezgisel 

farkındalığına varan gerçek algısında 

köklerini bulur. İnsanın özünün ve bir bütün 

olarak evrenle olan bağını hissetmesinin bilince 

yansımasının bu şekilde kavranması, ekolojik 

farkındalığın gerçekten de ruhani olduğunu açıkça 

ortaya koyar. Aslında, bireyin evrene bağlı olduğu 

şeklindeki düşünce, Latince din (religion) kelimesinin 

kökünde ve Sanskrit Yoga kelimesinde kendini 

ortaya koyar: ilkindeki religare kuvvetle bağlanmak, 

ikincisindeki yoga ise birlik demektir. (Fritjof Capra) 

(Fox, 1995) 

Derin Ekoloji, Doğa’nın Metafiziği ve Ben’in Doğayla 

ilişkisi ile ilgilidir. Ekolojiyi dünyanın basit bir metafizikî 

Kerem YÜKSEL 

İSTATİSTİK 


yapısı olarak modeller ve gerek temel parçacıklar, 

gerek organizmalar ve gerekse 

galaksiler düzeyinde, bütün şeylerin özdeşliğinin 

mantıksal olarak birbirine bağlı 

olduğunu öngörür... 

Bu ilkeyi insanların birbirleriyle olan bağlılıklarına 

uyguladığımızda, “Ben” diye nitelenen 

bireyin bir beden, bir kişisel ego 

ya da bilinçlilikten oluşmadığı ortaya çıkar. 

Şüphesiz ki “ben” kısmen bu dolaysız 

fiziki ve akli yapılardan oluşmaktayım ama 

beni oluşturan şeylerin arasında çevremin 

unsurları ile girdğim ekolojik ilişki de – benim 

bedenimin ve bilinçliliğimin yapılarının görüntüsü 

altındaki ilişki - vardır. Ben, benim doğal ekosistemimin, 

sonra da bu ekosistemi içeren daha büyük 

bütünlüklerin, bütünsel bir unsuruyum. 

Derin ekolojinin bakış açısına göre, bizim kültürümüzde 

yanlış olan, onun bize doğru olmayan bir ben 

kavramı sunmasıdır. Buna göre ben, doğayla rekabet 

içindedir ve ona karşı varolur. Çevremizi yok edersek, 

aslında bizim büyük ben’imizi de yok ettiğimizi 

anlamakta zorlanıyoruz. ( ) (Fox, 1995) 

İnsanlığın şu an yürümekte olduğu yolda temel 

umudu ...kısmen ekolojik ilkelerden elde edeceği 

bir dünya görüşü geliştirmesidir – şu derin ekoloji 

hareketi denen hareket içinde. “Derin Ekoloji” terimi 

1972 yılında Arne Noess tarafından, kendisinin “sığ 

ekonomi” adını verdiği gelişmiş ülkelerde kirlenme 

ve kaynakların tükenmesine karşı mücadele etmek 

için ortaya atıldı. Derin ekoloji hareketine göre, bugünün 

insanının sahip olduğu düşünce örüntüleri ve 

toplumsal örgütlenmesi, nüfûs-kaynak-çevre krizine 

karşı bir çözüm geliştirmekte yetersizdir ki bu benim 

de kabul etme eğiliminde olduğum bir görüştür. Bunun 

gibi kısmen-dini karakterli ve insan faaliyetlerinin 

çoğunu etkisine almış değerlerin değiştirilmesi gerektiğini 

düşünen bir hareket, uygarlığımızın devamlılığı 

için gereklidir. (Paul Ehrlich, p41) 

... deniz kaplumbağalarının, kaplanların ve jibonların 

kaderi benim de kaderimdir dediğimde, bunu 

boşuna söylemiyorum. Söylemek istediğim, benim 

evrenimin sadece bana ait olmadığı, o benim ta kendimdir. 

Kendimi sadece açık tehditlere karşı değil, 

haksız hor görmelere karşı da korumak hakkımdır... 

(John Livingston) 

Yaşayan her canlı birbiriyle yakından bağlantılıdır ve 

bu yakınlıktan dolayı özdeşleşme yeteneği kazanır 

ve bunun doğal sonucu şiddet-karşıtı pratiktir. Şimdi 

bu horlanmış dünyadaki bütün hayatı derinleşmiş 

özdeşleşme ile, diğer yaşam biçimleriyle, ve daha 

büyük birimlerle, ekosistemlerle, Toprak Ana ile, o 

muhteşem ve yaşlı gezegenimizle paylaşmanın zamanıdır. 

(Arne Naess) 

.. Bertrand Russell, Spinoza’nın conatus kavramı için 

şunları söylemişti: “bizde gerçek ve olumlu olanın 

bizi bütüne bağladığını ama ayrılık görünüşünü korumadığını 

farkettiğimizde, kendini-muhafaza karakterini 

değiştirir” ve şüphesiz, Spinoza metafiziğinde 

bunun anlamı, nihayetinde bir tane öz olduğundan, 

hepimizin bütüne bağlı olduğudur; gerçeklik birliktir; 

buna Tanrı ya da Doğa ismini verebiliriz. Bütüne bağlı 

olduğumuzu farkettiğimizde yabancılaşma kaybolur 

ve ayrı düştüğümüz dünya ile özdeşleşme imkanı 

kazanırız. Bunu ifade etmenin bir başka yolu, kendi 

ben’imizi daha iyi kavradığımız ve gelişmemizin diğerlerinin 

gelişmelerine daha çok bağlı olduğudur 

(Spinoza’nın terminoloji ile söyleyecek olursak, bizim 

de onlardan biri olduğumuz tekil özün diğer modlarının 

gelişmesi ile.) (Fox, 1995) 

Spinoza’ya göre insanların peşinde oldukları en yüksek 

nokta “akıl ve doğanın tamamı arasında varolan 

birliğin bilgisi”ndedir. Böylece(belirli bir mod olarak) 

insanlar, bütün varlık modlarını oluşturan ve tek bir 

öz (ya da enerji) olan “doğanın tümü” ile bir olduklarını 

ve ondan neşet ettiklerini farkettiklerinde, varlıklarının 

da farkına varırlar, kendini-gerçekleştirmeye 

ulaşırlar. (Fox, 1995) 

Ekolojik ben’imizi keşfettiğimizde, özdeşleştiğimizle 

keyfimizce etkileşime girer ve ona karşı kendimizi de 

keyfimizce savunuruz. Böylece de insanlara çevresel 

70 71


ahlak dayatmaktansa, kendimiz olanı doğal olarak 

sever, onurlandırır ve korur, kendimiz olana doğal 

olarak saygı duyarız... 

Diğer hayvanlarla, dağlarla ve nehirlerle alışveriş ve 

farkındalığı genişletmek özdeşleşmeyi teşvik eder, 

özdeşleşme imkanına saygı ve onunla dayanışma 

doğurur. Bu farklı insanların hayati maddi ihtiyaçları 

arasında, belirli durumlarda çeşitli insanlar ve çeşitli 

hayvanlar arasında hiç bir çelişki kalmaz anlamına 

gelmemektedir. Bunun anlamı “iyi faaliyet” ve “doğru 

yaşama”nın temelinin sadece soyut ahlakçılık, 

kendini-inkar ya da fedakârlıkta bulunmadığıdır... 

Zaman zaman ahlaki görevlerimizi kendimize hatırlatmamız 

gerekir, ama ancak teşvik ile davranışlarımızı 

basit bir şekilde daha zengin noktalara doğru 

taşırız. (Bill Devall)(Fox, 1995) 

Belirli kültürel örüntülerle özdeşleşmemiz herbirimizin 

taşıdığı daha zengin olanakları tüketmez. Toplumsal 

insanlar olarak kendimiz hakkındaki kavrayışımız 

bir ego-ben, ben-görüntüsü oluşturur. Bu imge dar 

kalıplı ve kısıtlı tanımlıdır ve nihai olarak kesin bir ikilikler 

(dualism) silsilesi üzerine inşa edilmiştir: nesne 

/ özne bölünmüşlüğü (dichotomy), insan / doğa karşıtlığı 

(antagonism)... 

Derin ekolojinin bizi yönlendirdiği doğrultu ne bir çevresel 

değer sistemi (axiology) ya da çevresel ahlak 

kuramı, ne de varolan pratikler üzerinde küçük bir reformdur. 

O bizim kendi benliğimizi, Ben’liğin kendisi 

olana kadar geliştirmemizi salık verir; bir başka deyişle, 

derinleşmiş ekolojik duyarlılıklar sayesinde her 

birimizin doğal dünya ile bir bütün oluşturduğunu ve 

doğal dünyayı korumanın kendimizi korumak olduğunu 

anlamaya yönlendirir bizleri. (Alan Drengson) 

(Fox, 1995) 

Daha önce sürmekte olan çözümlemenin ışığında 

şunu söyleyebiliriz: Ne çeşit davranışların ahlaken 

uygun olduğunu, kendimizin ve başkalarının ne olduğunu 

bilerek bilebiliriz. Diğer bir deyişle, varlıkbilim 

(ontoloji) ahlakbilimi (ethics) önceler... Derin 

ekolojistler, ne yapmamız gerektiğini bilmemiz için 

kim olduğumuzu kavramamız gerektiğini söylüyorlar. 

(Michael Zimmerman)(Fox, 1995) 

Aslında, [“bütün varlıkların büyük kolektifliği ile özdeşleşme 

yeteneğine” yapılacak bir vurguya] kaymak, 

tam da tarihin bu anında, varkalmamız için 

gereklidir, çünkü ahlakçılığın yerini bu düşünce alabilir 

ve ahlakçılık hiç de etkili değildir. Vaazlar kendi 

çıkarlarımız peşinde koşmayı engelleyemez, bu nedenle 

kendi çıkarlarımızın ne olduğu ile ilgili daha da 

fazla aydınlanmamız gerekmektedir. Örneğin, size 

bacaklarınızı kesmemeniz yolunda telkinde bulunmak 

aklıma bile gelmez, çünkü bacaklarınız sizin bir 

parçanızdır. Amazon Havzası’ndaki ağaçlar da öyle. 

Onlar sizin dışarıdaki akciğerleriniz. Buna yeni yeni 

uyanmaya başladık. (JoannaMacy)(Fox, 1995) 

Ekosofik görünüş o kadar derin bir özdeşleşme ile 

gelişir ki “biri”nin kendi ben’i artık kişisel egosuyla 

ya da organizmasıyla sınırlı değildir. Kişi biri olmayı 

hayatın özgün bir parçası olarak deneyimler… 

Doğanın bizim dışımızdaki parçasını dıştalamaz ve 

böylece kendimizi değiştirmeden ona istediğimizi 

yapamayız… 

Paleontoloji dünyada hayatın gelişiminin, sürekli artan 

çeşitlilik ve karmaşıklığa rağmen, tümleşik bir 

süreç olduğunu ortaya koyuyor. Doğa ve bu birliğin 

kısıtları tartışılabilir. Ama, çok basit olan bir şey var: 

“Yaşam özünde birdir.” (Arne Naess)(Fox, 1995) 

Derin ekolojistlerin ben çözümlemesi şu şekildedir: 

eğer biri şeylerin ne olduğuna dair derin bir kavrayış 

gerçekleştirirse (yani, biz ve diğer bütün varlıkların 

tek bir gelişen gerçekliğin görüntüleri olduğunu kesin 

olarak içselleştirirse), bu durumda, dünyanın bütün 

veçheleriyle gelişmesi için elinden gelen çabayı (zorunlu 

olarak değil) doğal olarak ortaya koyar. Benötesi 

(transpersonal) ekolojistlere göre ise, dünya ile 

karşılıklı bağlılığımız olgusuna bu çeşit bir cevap insan 

potansiyelinin doğal (yani içten) gelişimini temsil 

eder. Aslında, bu gerçeğin yeterince derin kavrandığını 

varsaysak, bu şekilde cevap vermekten imtina 

etmezdik. İşte bu nedenledir ki ben-ötesi ekolojistler, 

ahlaktan ziyade, varlıkbilim (ontology) ve evrenbilim 

(cosmology, dünyanın ne olduğu ile ilgili sorular) 

hakkında sorularla meşgul olurlar. (Fox, 1995) 

Kişisel bazlı özdeşleşmenin olumlu yönleri takdire 

şayan ve insan gelişimi için gerekli olsa da, bu özdeşleşme 

biçimi üzerinde (kendim, ailem, arkadaşlarım 

ilh.) dışlayıcı ve esaslı güvenle el ele giden 

olumsuz yönler dünyamıza pahalıya mal olmaktadır. 

Bu, ifadesini sahip olma isteği, hırs, sömürme, savaş 

ve çevre kırımında bulan; kişisel, kurumsal, ulusal 

ve uluslararası bencillik, bağlanma ve dıştalamanın 

altını çizmektedir. Ben-ötesi ekolojistler, bunun panzehri 

olarak, kişisel tabanlı özdeşleşmenin, ontolojik 

ve kozmik bazlı özdeşleşme bağlamında, sağlam bir 

şekilde tesis edilmesini vurgularlar – bütün varlıklarla 

tarafsız bir özdeşleşmeye götüren özdeşleşme 

biçimleri. Siyasi ve hayat tarzı konusundaki terimlerle 

ifade etmek gerekirse, ben-ötesi özdeşleşme 

biçimleri ortakyaşamı teşvik eden eylemlerde ifadesini 

bulur. Bu çeşit eylemler sadece dünya üzerine 

“dervişâne” eylemleri (gönüllü basitlik hayat tarzları) 

değil, kendini gerçekleştirmenin dünyaya ve onu 

paylaştığımız sayısız varlığa hakimiyetle mümkün 

olduğu yanılgısında ısrarcı olanların görüşlerini ve 

davranışlarını değiştirmek için yapılacak saygılı ama 

kararlı eylemleri içerir. Ben’in gelişip sayısız varlığı 

onaylaması bir yanılgı ama sayısız varlığın gelişip 

ben’ionaylaması aydınlanmadır. (Fox, 1995) 

72 73


Doğanın Önemi ve İnsanın 

Doğa ile Olan Bağı Üzerine 

Alıntılar 

Doğanız nisbetinde sonuna kadar gelişin... Dünyanın 

tadını çıkarın, ama ona sahiplik taslamayın . . 

(Henry David Thoreau, 1854) 

Birdenbire, evimin çepeçevre saran damlalar, her 

türlü ses ve görüntünün tatlı muhabbeti ile, Doğa’daki 

şirin ve lütufkar toplumun farkına vardım. Sonsuz ve 

esrarlı arkadaşlık, beni ayakta tutan atmosfer gibi, insanların 

komşuluğunun muhayyel faydalarını önemsiz 

kıldı ve o zamandan beri aklıma bile gelmiyorlar. 

(Henry David Thoreau, 1854) 

Önce kendimiz Doğa kadar basit ve doğru olalım ve 

başımızın üzerindeki kara bulutları dağıtalım ve gözeneklerimize 

hayat dolduralım. Fakirlerin kralı değil de, 

dünyanın zenginliklerinden bizi olmaya çabalayalım. 

(Henry David Thoreau, Walden, 1854) 

Bütüne bakıldığında, düzeninin takipçisi olduğumuz 

Doğa’nın bir parçasıyız. (Spinoza) 

Her şey Bir’den türemiştir ve Bir de her şeyden. 

(Herakleitos, MÖ. 500) 

İnsan, evren adını verdiği bütünün, zamanda ve mekanda 

sınırlı bir parçasıdır. Kendimizi, düşüncelerimizi 

ve duygularımızı, sanki bizim dışımızdakilerden 

ayrı bir şeymiş gibi yaşıyoruz. Bilinçte sanki optik bir 

yanılsama varmış gibi. Bu yanılsama bizi, kendi kişisel 

arzularımıza ve yakınımızdaki çok az kişiye duyabildiğimiz 

sevgiye mahkum ediyor. Bizim görevimiz, 

sevgi çemberini bütün yaşayan canlıları ve doğanın 

tamamının güzelliğini kapsayacak şekilde genişletip, 

kendimizi bu hapishaneden kurtarmaktır. İnsan olmanın 

gerçek değeri, kişinin kendisinden kurtulması 

ve özgürleşmesi yolunda ne kadar ileri gittiği ile 

belirlenir. İnsanlık varkalmaya devam etmek istiyorsa 

tamamen yeni bir düşünce biçimine ihtiyacı vardır. 

(Albert Einstein, 1954) 

Her şey, tek bir sistemin parçasıdır ve bu sisteme 

Doğa adını veririz. Tekil yaşamlar Doğa ile armoni 

içinde iseler iyidirler. Bir bakımdan, her yaşam Doğa 

ile armoni içindedir, zira Doğa’nın yasaları onun varlığını 

mümkün kılmıştır; ama başka bir bakımdan, insan 

yaşamı, bireysel iradesi Doğa’nın amaçları doğrultusuna 

yönelmişse, ancak o zaman, bu armoni tesis 

edilebilir. Erdem, Doğa ile uyum içindeki bir iradede 

bulur kendini. (Kıbrıslı Zenon, ~ 300B.C.) 

Ah, bu ne yıkım, bu aşkın nasıl da sakat bırakılmasıdır 

böyle;bu, güneşin yükselmesinden ve sıcağından ayrı 

düşürülmüş, basit bir kişisel duyguya indirgenmiş, 

gündönümü ve gün-tün eşitliğinin büyülü ilişkiden 

bihaber bu aşk! İşte bizim sorunumuz bu. Köklerimiz 

kanıyor çünkü Dünya’dan, güneşten ve yıldızlardançekip 

koparmışlar bizi –ve aşk, ah zavallı çiçeğimiz, 

yaşam ağacından yoluverdiğimiz ve masalarda, medeni 

vazolar içinde açmasını bekleyip durduğumuz 

aşk. (D.H. Lawrence) 

Bilim insanı doğayı, doğa faydalı olduğu için çalışmaz; 

doğayı çalışır çünkü onun içinde mutluluk bulur; onun 

içinde mutluluk bulur çünkü güzeldir doğa. Doğa güzel 

olmasaydı, onda bilmeye değer birşey de olmazdı 

ve onda bilmeye değer birşeyler yoksa, hayat hiç de 

yaşamaya değmez. (Jules Henri Poincare) 

Modern insan artık Doğaya yüce bir şeymiş gibi davranmıyor, 

ona, ele geçirmiş kahhar bir hükümdar ya 

da tiran gibi davranmakta bir çekince duymuyor. (Aldous 

Huxley, The Perennial Philosophy) 

..doğayı hayatımızın ve ekonomimizin temelindeki 

gerçek sermaye olarak görmeye ihtiyacımız var. Gerçek 

hazinemiz olan doğaya önem verirsek, ona daha 

dikkatli bakarız. Ekonomik sistemimiz tepedeki yüzde 

birlik dilim dışındakilere bir şey vaat etmiyor. Düzenimiz 

doğayı kirletiyor. İnsanları kirletiyor. Ve oldukça 

da pahalı. Kaynakları, insanları ve doğayı nasıl birbirine 

bağladığımız ile ilgili kökten bir değişime ihtiyacımız 

var. (Hawken, The Ecology of Commerce) 

Diğerlerine, kendileri ile sürekli rekabet içinde olduğumuz 

“onlar” diye değil de, bizim bir parçamızmış 

gibi davranmalıyız. (Robert Bellah) 

İnsanın doğadan ayrılığının kuvvetle hissedildiği 

kültürlerde, özellikle doğal olan aşağı ve şeytani 

addediliyorsa, cinsel aşk sorunlu ve sıkıntılıdır . 

(Alan Watts, Nature, Man, and Woman) 

Bizim Doğa dediğimiz bütün evreni koruyan ve ona 

nüfuz eden bir güçtür ve bu güç duygu ve akıldan 

yoksun değildir. Türdeş ve basit olmayan, karmaşık 

ve alaşım halinde olan her varlık için bir düzenleyici 

ilke vardır. İnsanlarda bu ilke akıldır, hayvanlarda ise 

akla yakın bir güçtür. Bütün bunların sonucu azim ve 

arzudur. (Cicero) 

Bakıyor ve dünyanın bazı kısımlarının (ki dünyanın 

hiçbir parçası yoktur ki bir bütün olarak evrenin parçası 

olmasın) duygu ve akla sahip olduğunu görüyoruz. 

O halde bu parçalardan daha büyük ve yüce 

bir şeyin, bütün dünya için düzenleyici ilkeyi ortaya 

koyan bir şeylerin varolması gerekir. Bu da, evrenin 

akıllı bir varlık olduğunu ve bütün şeyleri kapsayan 

ve bütün şeylerin içine nüfuz eden Doğa’nın da en 

yüksek formda bir akılla mücehhez bulunduğunu 

gösterir. Demek ki, Tanrı ve Doğa birdir, ve dünyadaki 

bütün yaşamlar, Tanrı varlığında bir yer bulur 

kendine. (Cicero) 

74 75

gezgin


1 Y değişkeni aralığında düzgün dağılıma 

sahip bir değişkendir. 

a) Bu dağılımın parametresi için Metotlar 

yöntemi ile (MM) bir tahmin edici bulunuz. 

b) a) ’da bulduğunuz tahmin edici yansız 

mıdır? Değilse, MM ile bulduğunuz tahmin 

edicinin bir fonksiyonu olarak, yansız 

bir tahmin edici öneriniz. 

c) Yansız tahmin edicinin varyansını hesaplayınız. 

Satrançta ilk 10 hamle için 169,518,829,100 

,544,000,000,000,000,000 seçenek vardır. 

istatistik soruları istatistik soruları 

Prof. Dr. İsmail ERDEM 

Başkent Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi 

İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölüm Başkanı 

3 X değişkeni (0,q) aralığında düzgün dağılıma 

sahip bir değişkendir. Yani 

’dır. Bu dağılımın q parametresini 

tahmin amacıyla n=2’ lik, (X , 1 

X ) bir örneklem alınacaktır. Y -X ve 

2 1 Min 

Y -X olarak tanımlanmış sıralı istatistik- 

2 Max 

ler olmak üzere: 

a) olarak tanımlanan bu tahmin 

edicinin q’nın bir yansız tahmin edicisi 

olduğunu gösteriniz ve ’i 

hesaplayınız. 

5 X~N(m,s2 =9) olsun. n büyüklüğünde bir 

rastsal örnekten hesaplanacak örneklem 

ortalaması m için bir nokta tahmin 

değeri olarak alınacaktır. m için %95’lik bir 

güven aralığı 

olarak bulunmuş ise örneklem büyüklüğü 

n ne olmalıdır? (Tablo değerini 1.96 olarak 

alınız.) 

6 X kesikli değişkeninin dağılımı Geometrik 

(p) olsun. Yani, P(X=x)=(1-p) (x-1) p, 

x=1,2,3,....olsun. 

a) Bu dağılımı karakterize eden parametre 

p için bir yeterli tahmin edici bulunuz. 

Dünyanın ağırlığı 66,588,000,000,000,000,0 

00,000,000,000 ton. 

Ortalama insan yılda 1460 rüya görür. 

7 Y sürekli değişkeninin olasılık yoğunluk 

fonksiyonu: 

olarak verilmiştir. 

b) olarak tanımlanan bu tahmin edicinin 

de q’nın bir yansız tahmin edicisi olduğunu 

gösteriniz ve ’yi 


a) Bu dağılımın q parametresi için 

Momentler Metodu(MM) ile bir tahmin 

c) Yukarıda tanımlanan iki yansız 

b) Bulunan bu yeterli tahmin edici 

edici bulunuz. 

78 2 X sürekli değişkeninin olasılık yoğunluk 

fonksiyonu 

tahminediciden hangisini tercih edersiniz? 

Neden? 

dağılımın ortalaması 

için yansız bir tahmin edici midir? 

Değilse için bir yansız tahmin 

edici öneriniz. Eldeki (veya önerdiğiniz) 

b) Bulduğunuz MM tahmin edicisi yansız 

mıdır? 

c) Bulduğunuz MM tahmin edicisi en 

küçük varyanslı mıdır? 

79 


Bu dağılımın parametreleri olan q ve q 1 2 

için en çok olabilirlik(MLE) tahmin edicile- 

yansız tahmin edicinin varyansını 


d) Bulduğunuz MM tahmin edicisi etkin 

midir? 

rini bulunuz. 

4 X sürekli değişkeni Normal dağılıma sahip 

bir değişken olup ortalaması sıfır, m =0, ve 

x 

varyansı s2 =q’dır. Yani, X~N(m =0,s x 2 =q) 

’dir. 

a) parametresi için en çok olabilirlik (MLE) 

tahmin edicisinin olduğunu 

gösteriniz. 

b) tahmin edicisi q parametresinin 

yansız bir tahmin edicisi midir? Değilse, 

yansız bir tahmin edici öneriniz. 

8 parametresinin 

bağımsız ve yansız üç tahmin edicisidir. 

[ Yani, 

Ayrıca, 

olduğu da bilinmektedir. Bu üç bağımsız 

ve yansız tahmin edicinin bir doğrusal 

kombinasyonu olarak: 

tahmin edicisini kullanmaya karar 

verdiğimiz varsayınız. ’nin de q’nın bir 

yansız tahmin edicisi olabilmesi ve Var( ) 

olabilecek en küçük değere sahip olması 

için k 1 ve k 2 ne olmalıdır?


9 Ortalaması m ve varyansı s2 olan normal 

dağılımlı bir kitleden alınan 

n ve n büyüklüğündeki rastsal iki 

1 

örneklemin ortalamaları ve olsun. 

olarak tanımlanan 

bu tahmin edicinin, m parametresi için, 

(n +n ) büyüklüğünde bir örnekleme 

1 2 

dayalı, minimum varyanslı bir tahmin edici 

olduğunu gösteriniz. 

10 a) Bir etkinlik uzmanı, bir montaj 

elemanının bir parçayı monte etme 

süresinin ortalamasını gözlem sürelerinin 

ortalaması ile tahmin etmek istemektedir. 

%99 güvenilirlikle tahminde hatanın üst 

sınırının 2 saniyeden fazla olmamasını 

sağlamak için bu montaj işlemi ile ilgili 

en az kaç gözlem yapıp montaj sürelerini 

kaydetmelidir? (Önceki araştırmalardan 

s=7.74 saniye olduğu bilinmektedir. 

(Tablo değerini 2.58 olarak alınız) 

b) n=144 farklı, rastsal ve bağımsız 

gözlem sonucunda kayıtlara geçirilen 

montaj süreleri kullanılarak =15.5sn ve 

S =7.9sn olarak hesaplanmıştır. Montaj 

süresinin ortalaması m için %95 lik bir 

güven aralığı bulunuz. (Tablo değerini 

1.96 olarak alınız) 

c) H :m=15sn hipotezini H :m>15 sn 

0 1 

hipotezine karşı =0.025 anlamlılık 

düzeyinde test ediniz. 


11 a) Rastgele seçilen 320 seçmenden ‘yarın 

seçim olsa oyunuzu hangi partiye verirsiniz 

sorusuna’ ‘Yumuşak G Partisine (YGP)’ diyenlerin 

sayısı 112 kişi olarak saptanmıştır. 

Bir istatistikçi bu bilgilere dayanarak 

YGP’ye oy verecek seçmenlerin oranına 

ilişkin güven aralığını (0.288,0.412) olarak 

hesaplamıştır. Buna göre bu aralığın 

güven düzeyi nedir? 

b) Aynı seçmen kitlesinden alınan aynı 

büyüklükteki (n=320) 4 farklı ve bağımsız 

rassal örnek bilgilerinden yararlanarak 

oluşturulacak aynı güvenilirlik düzeyine 

sahip 4 farklı güven aralığından, en az 

üçünün bilinmeyen YGP’li seçmenler oranı 

olan p’yi içermesi olasılığını hesaplayınız. 

2 trilyon kişiden 1 kişi 116 yaşını 

görecektir. 

13 H :p=0.5 Hipotezini H :p>0.5 karşıtına 

0 1 

göre test etmek için binom dağılımlı bir kitleden 

6 büyüklüğünde rastgele örneklem 

alınıyor. Eğer “ X³5ise H hipotezi red- 

0 

dedilir ” biçiminde bir karar kuralı söz 

konusu ise, 

a) I. tür hata olasılığını bulunuz. 

b) p=0.7 İken testin gücünü bulunuz. 

İnsan günde en az 15 kez güler. 

14 a) f (x,q)=qx x 

80 Her H birey bi başına b eşit it ölçüde öl üd ttoprak k 

vermeye kalkarsak kişi başına en fazla 50 

metre kare düşer. 

12 Bir yer sarsıntısı ölçme istasyonunda 

kaydedilen sarsıntılar arasındaki bekleme 

süresinin dağılımı, üstel dağılıma 

uymaktadır. Sarsıntılar arasındaki bekleme 

81 

süresinin ortalaması “m saattir” diyen yokluk 

hipotezi, “ m+5 saattir” diyen karşıtına 

göre tek bir gözlem kullanılarak test edilecektir. 

Eğer gözlenen değer 2’den küçük 

ya da 4’den büyük ise yokluk hipotezi red 

edilecektir. Buna göre, 

a) I.Tür (tip) hata olasılığını bulunuz. 

b) m iken testin gücünü hesaplayınız. 

0-1 , 0


18 Y sürekli değişkeninin oyf’u 


a) q parametresi için En Çok Olabilirlik 

(MLE) tahmin edicisini bulunuz. 

b) Alınan n=3 lük rassal bir örneklem 

gözlem değerleri: (2.30), (1.90) ve (4.54) 

ise MLE tahmin değerini hesaplayınız. 

Cam kırılınca, kırıklar saate 4.827 km hızla 

saçılır. 


20 Sürekli bir X değişkeninin 

olasılık yoğunluk fonksiyonu: 

21 X~N(m, s 2 =9) dağılımından alınan n’lik 

bir örneklemden hesaplanan % 95,4’lik bir 

güven aralığı olarak belirlenmiş ise 

alınan örnek büyüklüğü n kaçtır? 

23 X~N(m ,s x 2 ) ve Y~N(m , s y 2 ) bağımsız 

iki değişken olsun. (Varyansların eşit 

olduğunu, ortalamaların ve ortak 

varyansın bilinmediğini dikkate alınız.) 

H :m =m hipotezi H :m


Sağlıklı S ğl kl bir bi insanda i d bağırsak b ğ kb boyu yaklaşık kl k 

6-6.5, kalın bağırsak boyuysa yaklaşık 1.5-2 

metredir. 

1885’te İskoçya’da Arbroath takımı futbol 

maçında Bon Accord’u 36-0 yenmiştir. 


100 gr. saf alkolün vücutta yanması 

yaklaşık 10 saat sürer. 

Bir insanın doğum günü aynı zamanda 

dünya üzerindeki en az 9 milyon insanın da 

doğum günüdür. 

28 X~Poisson (l) olsun. 

a) Bu değişkenin l parametresi için bir 

yeterli tahmin edicinin olduğunu 

gösteriniz. Burada X ,X ,....,X anılan 

1 2 n 

Poisson dağılımından alınan bir rastsal 

örnektir. 

b) a)’da önerilen yeterli tahmin ediciye 

dayalı bir yansız tahmin edici önerip, 

önerilen tahmin edicinin yansız olduğunu 

gösterip, bu yansız tahmin edicinin 

varyansını hesaplayınız. 

Prof. Dr. İsmail Erdem’in hazırladığı 

istatistik sorularının cevaplarını www. 

ndennyegezinti.com.tr adresinde 

bulabilirsiniz. 

30 X , X ,...;X Ortalaması m ve Varyansı 100 

1 2 n 

olan normal dağılımdan alınmış bir rastsal 

örneklem olsun. 

H :m=75 Hipotezini H :m>75 hipotezine 

0 

karşı test etmek istiyoruz. 

a) =0.05 Anlamlılık düzeyinde bu test 

için kritik bölgeyi (Ret Bölgesini) ve 

örneklem büyüklüğü n cinsinden ifade 

ediniz. 

b) Gerçekte m-78 olması halinde 

H0:m-75 hipotezinin ret edilmesi 

olasılığının 0.90 olması istenirse alınması 

gereken örneklem büyüklüğü n kaç 

olmalıdır? 

84 

26 X~Poisson (l) olsun. Bu değişkenin 

l parametresi ile ilgili olarak 

hipotezi hipotezine karşı test 

edilecektir. 

Bu hipotezin testinde kullanacağımız Karar 

kuralı: 

27 Y~N(m, s 

85 

hipotezinin doğruluğu varsayımı 

altında n=12 iken “ olursa H ret 0 

edilecektir” şeklinde ifade edilmiştir. 

a) Birinci Tip Hata yapma olasılığını, , 


b) iken testin gücünü, (1-b), 


2-1)olsun. Bu değişkenin 

parametresi ile ilgili olarak: 

a) H :m=0 hipotezi H :m=1 hipotezine 

0 1 

karşı test edilecektir. Bu hipotezin testinde 

kullanacağımız en iyi karar kuralının 

“ olursa H :m=0 hipotezi ret edilir” 

0 

biçiminde olması gerektiğini gösteriniz. 

29 Y sürekli değişkeninin olasılık yoğunluk 

fonksiyonu: 

olarak verilmiş olsun. 

a) Bu dağılımın q parametresi için yeterli 

c) m-76, 77, 79 ve 80 için testin gücünü 

(1-b) değerlerini hesaplayıp (1-b)’nın 

grafiğini çiziniz. 

b) n=25’lik bir örneklem gözlem 

ve yansız bir tahmin edici bulunuz. 

değerlerine dayalı olarak yukarıdaki 

hipotezin =0.05 anlamlılık düzeyinde 

testinde “ olursa H :m=0 hipotezi ret 

0 

edilir” karar kuralı gereğince kullanılacak c 

değerini hesaplayınız. 

b) Bulduğunuz yansız ve yeterli tahmin 

edici Minimum varyanslı mıdır? Neden? 

c) m=1 olması halinde testin gücünü, 

(1-b), hesaplayınız.


Kaç Ceviz? 

Beş işçi bir gün ceviz toplamaya gitmiş. Akşama kadar 

topladıkları cevizleri bir yığın yapıp orta yere koymuşlar; 

sabah olunca eşit paylaşmak üzere yatmışlar. 

Biraz sonra, birinci işçi uyanmış ve sabahı beklemeden 

kendi payını ayırmaya karar vermiş. Ceviz yığınını 5 eşit 

yığına bölmüş, kendi payına düşen bir yığını güvenli 

bir yere sakladıktan sonra, geri kalan dört yığını tekrar 

karıştırıp tek yığın haline getirmiş ve uykuya yatmış. Bu 

arada bir sincap gelip ortak yığından bir ceviz aşırmış. 

Biraz sonra ikinci işçi uyanmış. O da sabahı beklemeden 

kendi payına düşeni ayırmaya karar vermiş. Orta 

yerdeki ceviz yığınını 5 eşit yığına bölmüş ve kendi 

payına düşen yığını güvenli bir yere koyduktan sonra 

geri kalan dört yığını tekrar karıştırıp orta yerde tek 

Mantık Problemleri Mantık Problemleri 

Prof. Dr. Timur KARAÇAY 

tkaracay@baskent.edu.tr 

Problemin çözümüne geçmeden 10. sayıdaki soruyu hatırlayalım: Kral ve İsyancı Problemi 

bir yığın yapmış ve uykuya yatmış. Bu arada bir sincap 

gelip orta yerdeki yığından bir ceviz aşırmış. 

Sonra üçüncü, dördüncü ve beşinci işçiler de aynı işi 

yapmışlar. Her seferinde, sincap orta yere konulan yığından 

bir ceviz aşırmayı unutmamış. 

İşçileri geldikleri köye taşıyacak arabacı sabah erken 

gelmiş. Bakmış, herkes yorgunluktan derin uykuya dalmış 

durumda. Onları uyandırmaya kıyamamış. Hele şu 

işçilerin cevizlerini 5 paya ayırayım; sonra uyandırırım 

demiş. Kalan ortak yığını 5 eşit yığına ayırmış. Geriye 

bir ceviz kalmış. Bakmış ki sincap onu izliyor. Artan 

cevizi sincaba atmış. 

Soru: İşçiler kaç ceviz topladı? Herbirisi 

ne kadar ceviz aldı? 

Probleminin Çözümü 

a (Arabacı cevizi 5’e böldüğünde her bir kişiye düşen ceviz sayısı ) 

Çok eski zamanlarda çok uzak ülkedeki bir 

kralın koyduğu ağır vergilere, cesur ve akıllı 

bir genç başkaldırmış. Kralın askerleri genç 

isyancıyı yakalamışlar. Kralın mahkemesi yakalanan 

genci idam cezasına çarptırmış. İnfazı 

görmeye gelen halkın önünde kral şöyle 

demiş: 

- Ey halkım, bu isyankârı bir koşulla affedeceğim. 

Şu gördüğünüz kutuda renkleri, 

biçimleri, kokuları birbirinin aynısı olan 12 

Soru1: Kral, zehirsiz hapın ötekilerden 

daha ağır ya da daha hafif olduğunu söyleseydi, 

isyancı genç problemi nasıl çözerdi? 

Prof. Dr. Timur KARAÇAY 

tkaracay@baskent.edu.tr 

hap var. 11 tanesi zehirli, 1 tanesi zehirsizdir. 

Zehirli olanların ağırlıkları aynıdır. Ama 

zehirsiz olanın ağırlığı ötekilerden farklıdır. 

Şimdi bu isyankar kula, bir hassas terazi ile 

12 hapı veriyorum. Üç kez tartı yapma hakkı 

var. Üç tartı sonunda haplardan birisini seçip 

yutacaktır. Eğer dedikleri gibi akıllı biriyse 

zehirsiz hapı bulup kurtulacaktır. Bulamazsa 

kendi aklı onun sonunu getirmiş olacaktır. 

Soru2: Zehirsiz hapın ötekilerden daha 

ağır ya da daha hafif olduğu kendisine söylenmeyince, 

akıllı genç problemi nasıl çözdü? 

86 5a+1................................................ (Arabacının bulduğu ceviz sayısı) 

87 

.......................................... (5.adamın bölme işleminden önceki ceviz sayısı) 

................................... (4.adamın bölme işleminden önceki ceviz sayısı) 

........................... (3.adamın bölme işleminden önceki ceviz sayısı) 

....................... (2.adamın bölme işleminden önceki ceviz sayısı) 

................ (1. Adamın bölme işleminden önceki ceviz 

sayısı=toplanan ceviz sayısı) 

..................... (ceviz sayısı) 

............................. (X’i tamsayı yapan en küçük a tamsayısı 818 dir.) 

a=818 X=12495 

Problemin çözümü tek değildir. Sonsuz çözüm arasında, 1-100.000 aralığında koşulu sağlayan 

6 sayı vardır: 

12495, 28120, 43745, 59370, 74995, 90620 

Buna göre, ceviz toplayıcılarının arasında 12495 cevizin dağılımı: 

Prof. Dr. Timur KARAÇAY’IN hazırladığı Mantık Problemlerinin cevabını 

www.ndennyegezinti.com.tr adresinde bulabilirsiniz.

2t3sLYPHC

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?