460174959_matrisler_taskin-cetin-abdullayeva_31_syf

MATEMATİK
BÖLÜM 5
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
MATRİS ve DETERMİNANTLAR
5.1. MATRİSLER
Tanım : mni , , , j
+
∈¢ olmak üzere tüm a
ij
reel sayılardan oluşan
⎡a11
⎢
⎢
a21
A = ⎢ .
⎢
⎢ .
⎢
⎣am1
a
a
a
12
22
.
.
m2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1
n ⎤
a
⎥
2n
⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
a ⎥
mn ⎦
tablosuna m x n tipinde bir A matrisi denir ve kısaca
A= ⎡ ⎣ a ⎤ ⎦ şeklinde gösterilir.
ij
m×
n
Burada aij
, A matrisinin i -inci satır j -inci sütunundaki elemanıdır.
Tablodaki yatay sıralara matrisin satırları, düşey sıralara da matrisin sütunları
( kolonları) adı verilir. A matrisi m tane satırdan ve n tane sütundan oluşmuş, m×
n
tipindedir.
Örnek:
⎡1
2⎤
A = ⎢
0 3
⎥
⎣ ⎦
,
birer matristir.
2 X 2
⎡1 −1 2⎤
B = ⎢
3 5 2 ⎥
⎣ ⎦ X
2 3
,
⎡−1
⎢
0
C = ⎢
⎢−
2
⎢
⎣ 4
2 ⎤
1
⎥
⎥
−1⎥
⎥
3 ⎦
4 X 2
171

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5.1.1. MATRİS ÇEŞİTLERİ
1) Kare ve Dikdörtgen Matris
m× n boyutlu A matrisinde m≠ n ise dikdörtgen matris , m= n ise kare matris
olarak adlandırılır.
Örnek:
⎡1
2⎤
A = ⎢
0 3
⎥ kare matris,
⎣ ⎦ 2 X 2
⎡−1
2 ⎤
⎡1
−1
2
⎢
⎤
0 1
⎥
B = ⎢
3 5 2
⎥ ve C = ⎢ ⎥ ise dikdörtgen matrislerdir.
⎣ ⎦ ⎢−
2 −1⎥
2 X 3
⎢ ⎥
⎣ 4 3 ⎦
4 X 2
2) Birim (Etkisiz) Matris
a) Toplama işlemine göre
Bütün terimleri sıfır olan matrise 0 matrisi denir ve 0 ile gösterilir.
⎡0
0 = ⎢
⎣0
0
0
0⎤
0
⎥
⎦
2x3
0 matrisi toplama işlemine göre birim matristir.
Tanım: Bir karesel matrisde tüm a
ii
elemanlarının oluşturduğu köşegene esas
köşegen denir.
⎡ 1 0 2 ⎤
Örnek: A =
⎢
7 4 1
⎥
⎢
− − −
⎥
matrisinde esas köşegen üzerindeki elemanları 1, − 4,3 tür.
⎢⎣
9 −5 3 ⎥⎦
172

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
b) Çarpma işlemine göre
Esas köşegen üzerindeki elemanları 1, diğer elemanları 0 olan karesel matrislere
çarpma işlemine göre birim matris denir.
3) Köşegen Matris
Esas köşegen üzerindeki elemanları 0 farklı, diğer tüm elemanları 0 olan kare
matrislere köşegen matris denir.
Ι
n
(birim matris) aynı zamanda köşegen matristir.
4) Üçgensel Matris
a) Üst üçgensel matris
Bir kare matrisin elemanları i > j için a = 0 ise bu matrise üst üçgensel matris
denir.
ij
b) Alt üçgensel matris
Elemanları i<
j için a = 0 olan matrise alt üçgensel matris denir.
ij
173

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5) Simetrik Matris
Bir kare matrisin elemanları esas köşegene göre simetrik ise bu tür matrislere
simetrik matris denir. Yani aij
= a dir.
ji
Örnek:
⎡ 2 −1 5⎤
A =
⎢
1 7 3
⎥
⎢
− ⎥
⎢⎣
5 3 9⎥⎦
6) Devrik Matris
Boyutu m× n olan bir A matrisinin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesi ile
elde edilen ve boyutu n× m olan matrise A matrisinin devriği (transpozesi) denir ve
T
A ile gösterilir.
⎡a
⎢
⎢
a
A =
⎢ .
⎢
⎣am
11
21
1
a
12
.
.
.
.
.
.
.
a
a
a
1n
2n
.
mn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ise
A
T
⎡a ⎢
⎢
a
a
a
.
.
a
a
. . . .
⎢⎣
a1
n
. . a
11 21 m1
12 22 m2
= ⎢ ⎥
mn
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Örnek:
⎡ 1 3 8 ⎤
A =
⎢
7 5 2
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣−2 4 −3⎥⎦
T
ise A = ?
Çözüm:
T
A
⎡1 7 −2⎤
=
⎢
3 5 4
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣8 2 −3⎥⎦
174

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5.2. MATRİSLERDE İŞLEMLER
5.2.1.MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Tanım: Aynı tipteki iki matrisin karşılıklı tüm elemanları birbirine eşit ise
bu iki matris eşittir denir.
A= ⎡ ⎣ a ij
⎤ ⎦ , B = ⎡ ⎣ bij
⎤ ⎦ ve aij = bij
⇔ A= B dir.
Örnek:
⎡3x
−1 −3 ⎤ ⎡2 −3⎤
⎢ =
1 y + 1
⎥ ⎢
1 3
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ise x+
y = ?
Çözüm: 3x -1= 2⇒ 3x= 3⇒ x=
1
y+ 1= 3⇒ y = 2 olup
x+ y = 1+ 2= 3 bulunur.
5.2.2. MATRİSLERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA
Tanım: Aynı tipteki iki matrisin karşılıklı elemanları toplanarak bulunan yeni matrise
toplam matrisi denir.
A
⎡
⎤
= ⎣ aij
⎦ , B b
m×
n
ij
= ⎡ ⎣
⎤ ⎦ olmak üzere A+ B = ⎣
⎡aij + bij
⎦
⎤ = C dir.
m×
n
m×
n
İki matrisin çıkarma işlemi de aynı yöntemle yapılır.
Yani, A− B= ⎡
⎣aij −bij
⎤
⎦ şeklindedir.
m×
n
175

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek:
A 1 0 2
= ⎡ ⎤
⎢
−1 −4 8 ⎥
⎣ ⎦ ve 2 3 0
B = ⎡ ⎤
⎢
0 5 4 ⎥
⎣ ⎦
ise A− B = ? ve A+ B = ?
Çözüm:
⎡ 1 0 2⎤ ⎡2 3 0⎤ ⎡ 1−2 0−3 2−0⎤ ⎡−1 −3 2⎤
A− B= ⎢ − = =
−1 −4 8
⎥ ⎢
0 5 4
⎥ ⎢
−1−0 −4−5 8−4 ⎥ ⎢
−1 −9 4
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 1 0 2⎤ ⎡2 3 0⎤ ⎡ 1+ 2 0+ 3 2+
0⎤ ⎡ 3 3 2⎤
A+ B= ⎢ + = =
−1 −4 8
⎥ ⎢
0 5 4
⎥ ⎢
− 1+ 0 − 4+ 5 8+ 4
⎥ ⎢
−1 1 12
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5.2.3. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI
Bir matrisin tüm elemanları k ∈ ¡ ile çarpılırsa matris de k ile çarpılmış olur.
Yani, k⋅ A= ⎡
⎣k⋅
aij
⎤
⎦ dir.
m×
n
Özellikler
ABveC , aynı boyutlarda matrisler ve kk ,
1,
k∈
2
¡ olsun .
1) k⋅ ( A+ B)
= k⋅ A+ k⋅B
2)( k + k ) ⋅ A= k ⋅ A+ k ⋅A
1 2 1 2
3)( k ⋅k ) ⋅ A= k ⋅( k ⋅ A) = k ⋅( k ⋅A)
1 2 1 2 2 1
4)1⋅ A= A ve −1⋅ A=−A
5) k⋅ 0 = 0 ve 0⋅ A=
0
Örnek:
Çözüm:
⎡2 −1⎤
A = ⎢
3 4 ⎥
⎣ ⎦ ise − 5 ⋅ A matrisini bulunuz.
⎡2 −1⎤ ⎡−10 5 ⎤
−5⋅ A =−5⋅ ⎢ 3 4
⎥ = ⎢
− 15 − 20
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
176

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek:
⎡2 −6⎤
A = ⎢
8 −4
⎥
⎣ ⎦ ise − A + 3 ⋅Ι
2 = ?
2
−1 1 ⎡2 −6⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 3⎤ ⎡3 0⎤ ⎡ 2 3⎤
Çözüm: ⋅ A + 3 ⋅Ι
2 =− ⋅ 3
2 2
⎢ + ⋅ = + =
8 −4 ⎥ ⎢
0 1
⎥ ⎢
−4 2
⎥ ⎢
0 3
⎥ ⎢
−4 5
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5.2.4.İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
İki matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır
sayısına eşit olması gerekir.Çarpma işleminde birinci matrisin tüm satır elemanları
ikinci matrisin tüm sütun elemanları ile karşılıklı olarak çarpılıp toplanır.
Çözüm:
⎡1 2⎤ ⎡1+ 6 2+ 2 4+
4⎤ ⎡7 4 8 ⎤
⎡1 2 4⎤
A⋅ B= ⎢
3 1
⎥ ⎢
3 3 6 1 12 2
⎥ ⎢
6 7 14
⎥
⎢ ⎥
⋅ ⎢
3 1 2
⎥ =
⎢
+ + +
⎥
=
⎢ ⎥
⎢
⎣ ⎦
⎣4 2⎥⎦ ⎢⎣4+ 6 8+ 2 16+
4⎥⎦ ⎢⎣10 10 20⎥⎦
33 ×
⎡1 2⎤
⎡1 2 4⎤ ⎡1 + 6 + 16 2 + 2 + 8⎤ ⎡23 12⎤
B⋅ A= ⎢
3 1
⎥
⎢
3 1 2
⎥⋅ ⎢ ⎥
= ⎢ =
3 3 8 6 1 4
⎥ ⎢
14 11
⎥
⎣ ⎦ + + + +
⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣4 2⎥⎦
2×
2
Örnek:
⎡ 3 5 4 ⎤
A =
⎢
2 1 2
⎥
⎢
−
⎥
⎢⎣−3 −1 1 ⎥⎦
33 ×
ve
⎡1 5 ⎤
B =
⎢
2 1
⎥
⎢
−
⎥
⎢⎣
4 −3⎥⎦
3×
2
ise A⋅ B= ? ve B⋅ A=
?
Çözüm:
⎡ 3 5 4 ⎤ ⎡1 5 ⎤ ⎡3+ 10 + 16 15 −5 −12⎤ ⎡29 −2
⎤
AB ⋅ =
⎢
2 1 2
⎥ ⎢
2 1
⎥ ⎢
2 2 8 10 1 6
⎥ ⎢
4 15
⎥
⎢
−
⎥
⋅
⎢
−
⎥
=
⎢
+ − − +
⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣−3 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣4 −3⎥⎦ ⎢⎣−3− 2+ 4 − 15+ 1−3⎥⎦ ⎢⎣−1 −17⎥⎦
3×
2
B A ⋅ işlemi yapılamaz, çünkü B matrisinin sütun sayısı A matrisinin satır sayısına
eşit değildir.
177

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5.2.5. KARE MATRİSLERİN KUVVETLERİ
A karesel bir matris olmak üzere, her kare matris kendisi ile çarpılabilir.
A
A
A
A
A
0
1
2
n
3 2
n
=Ι
= A
= A⋅A
= A⋅A
= A⋅A −
n 1
⎡−1 0⎤
Örnek: A = ⎢
1 3 ⎥
⎣ ⎦ matrisi ve 3 2
f( x) = x −2x
− 1 fonksiyonu veriliyor. f ( A ) matrisini
bulunuz.
Çözüm:
3 2
= − −Ι
2
olup sırası ile
f( A) A 2A
2
A ve
3
A matrislerini bulup f ( A)
da
yerine yazalım.
2 ⎡−1 0⎤ ⎡−1 0⎤ ⎡1 0⎤
A = ⎢
1 3
⎥⋅ ⎢ =
1 3
⎥ ⎢
2 9
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 ⎡−1 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0 ⎤
A = ⎢
1 3
⎥⋅ ⎢ =
2 9
⎥ ⎢
7 27
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡−1 0 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−1 0 ⎤ ⎡2 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡−4 0⎤
f( A) = ⎢ 2
7 27
⎥− ⋅⎢ 2 9
⎥− ⎢
0 1
⎥ = ⎢ − − =
7 27
⎥ ⎢
4 18
⎥ ⎢
0 1
⎥ ⎢
3 8
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
bulunur.
5.3. DETERMİNANT
Tanım: Determinant karesel bir matrisi reel sayıya dönüştüren bir fonksiyondur.
n× n boyutlu bir A kare matrisinin determinantı det( A)
= A ile gösterilir.
178

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
a
11
a21
a22
. a2n
det( A ) = A =
. dır.
. . . .
a
n1
a
12
.
. .
a
a
1n
nn
5.3.1. DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ
1) Bir determinantın bir satırdaki veya bir sütundaki elemanları 0 ise, o
determinantın değeri 0 dır.
2) Bir determinantta aynı numaralı satırlar ve sütunlar yer değiştirirse,
determinantın değeri değişmez.
3) Bir determinantın iki satırı veya sütunu yer değiştirirse, determinantın işareti
değişir.
4) Bir determinantın bir sayı ile çarpılması demek, her hangi bir satırın veya
sütunun o sayı ile çarpılması demektir.
5) Bir determinantın iki satır veya sütunu aynı elemanlardan oluşuyorsa veya
orantılı ise, o determinantın değeri 0 dır.
6) Bir determinantta bir satırın veya sütunun elemanlarını bir sayı ile çarpıp bir
başka satırın ya da sütunun karşılıklı elemanlarına eklemek determinantın değerini
değiştirmez.
5.3.2. İKİNCİ MERTEBEDEN DETERMİNANT ACILIMI
yedek köşegen
esas köşegen
Örnek :
−1 2
5 4
= ( −1) ⋅4−2⋅ 5= − 14
Örnek : 2 4 22 14 0
1 2 = ⋅ − ⋅ =
Örnek :
x − 2 1
3 x
= 0 ise x = ?
179

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm : ( x−2) x− 3= 0 olup
x
2
−2x− 3= 0 ise ( x− 3)( x+ 1) = 0
buradan x = 3 ve x =− 1 bulunur.
5.3.3. ÜÇÜNCÜ MERTEBEDEN DETERMİNANT AÇILIMI
a) SARRUS kuralı
Bu kurala göre ilk iki satır alt tarafa veya ilk iki sütun sağ tarafa yazılıp esas köşegen
çarpımlarından yedek köşegen çarpımları çıkarılır.
A = 122 ⋅ ⋅ + 014 ⋅ ⋅ + 331 ⋅ ⋅ −423 ⋅ ⋅ −111 ⋅ ⋅ −230 ⋅ ⋅ =− 12bulunur.
b)LAPRACE kuralı
Bu kuralla herhangi bir satır veya sütuna göre açılım yapılır. Ancak sıfır elemanının
yoğun olduğu satır veya sütunlar kolaylık sağlar. Bu açılım her boyuttaki determinant
için geçerlidir.
⎡a a a
A
⎢
a a a
11 12 13
= ⎢
21 22 23 ⎥
⎢⎣a a a
31 32 33
⎤
⎥
⎥⎦
matrisinin determinantını 1. satıra göre açalım.
180

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
a a a a a a
A = ( −1) ⋅a ⋅ + ( −1) ⋅a ⋅ + ( −1)
⋅a
⋅ dir.
11 + 22 23 12 + 21 23 13 +
21 22
11 12 13
a32 a33 a31 a33 a31 a32
Örnek:
⎡2 3 0⎤
A =
⎢
5 1 2
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣4 3 0⎥⎦
ise A = ?
Çözüm: Bu matrisin determinantını üçüncü sütuna göre açmakta kolaylık vardır.
Çünkü
bu sütundaki sıfır elemanları yoğunluktadır.
Örnek:
2+
3
2 3
A = 0 + ( −1) ⋅2⋅ + 0 =−2 ⋅(6 − 12) =−2 ⋅( − 6) = 12 bulunur.
4 3
⎡1 2 3 4⎤
⎢
2 1 5 3
⎥
A = ⎢ ⎥
⎢ 0 3 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣0 7 0 2⎦
ise A = ?
Çözüm: Bu matrisin determinantını üçüncü satıra göre açmakta kolaylık vardır.
A
1 3 4
⎡
3+ 2 3+
3
1 3
= 0 + ( −1) ⋅3⋅ 2 5 3 + 0+ 0=−3⋅ ⎢0+ 0 + ( −1) ⋅2⋅
⎢
2 5
0 0 2
⎣
⎤
⎥
⎥⎦
=−3⋅2 ⋅(5 − 6) =−6 ⋅( − 1) = 6 bulunur.
5.4. BİR DETERMİNANTIN MİNÖRLERİ VE KOFAKTÖRLERİ
+
Tanım: i,
j∈ ¢ ve A= ⎡ ⎣ aij
⎤ ⎦ kare matrisinin i nci satır ve j nci sütunu
nxn
silindikten sonra elde edilen yeni matrisin determinantına a
ij
elemanının alt
determinantı veya minörü denir ve
M
ij
ile gösterilir.
A
ij
( )
1 i + j
= − ⋅ M ifadesine de a
ij
elemanın kofaktörü denir:
ij
181

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡1
2 3⎤
Örnek : A =
⎢ ⎥
⎢
3 1 4
⎥
matrisinin 1.satır elemanlarının minör ve kofaktörünü bulunuz.
⎢⎣
2 3 1⎥⎦
1 4
Çözüm : a
11
in minörü M
11
= = 1− 12=− 11 ve
3 1
kofaktörü ise
A = ( −1) ⋅ M = M =− 11.
11 +
11 11 11
a12
in minörü
12
3 4
M = = 3− 8=− 5 ve
2 1
kofaktörü ise
A = ( −1) ⋅ M =− M = 5
1+
2
12 12 12
a13
ün minörü
13
3 1
M = = 9− 2= 7 ve
2 3
kofaktörü ise
A = ( −1) ⋅ M = M = 7.
3+
1
13 13 13
5.5. EK MATRİS
Tanım: A karesel matris olmak üzere a
ij
elemanının yerine o elemanın kofaktörleri
konularak bulunan matrisin transpozuna A nın ek matrisi denir ve Ek( A ) ile
gösterilir.
⎡2 1⎤
Örnek: A = ⎢
3 4 ⎥
⎣ ⎦
Çözüm:
2×
2
ise Ek( A ) = ?
A
11
A
A
A
12
21
22
= − ⋅ =
11 +
( 1) 4 4
1+
2
= ( −1) ⋅ 3=−3
= − ⋅ =−
2+
1
( 1) 1 1
2+
2
= ( −1) ⋅ 2=
2
⎡ 4 −3⎤ ⎡ 4 −1⎤
Ek( A)
= ⎢ =
−1 2
⎥ ⎢
−3 2
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dir.
T
182

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2× 2boyuttaki bir matrisin ek matrisini bulmak için, esas köşegen üzerindeki
elemanlar yer, yedek köşegen üzerindeki elemanlarda işaret değiştirir.
Örnek :
Çözüm:
⎡1 −1 0⎤
A =
⎢
3 2 1
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣2 −2 1⎥⎦
A
A
A
A
A
A
A
A
A
11
12
13
21
22
23
31
32
33
33 ×
ise Ek( A ) = ?
11 +
2 1
= ( −1) ⋅ = 2+ 2=
4
−2 1
3 1
= − ⋅ =− ⋅ − =−
2 1
1+
3
3 2
= ( −1) ⋅ =−6− 4=−10
2 −2
2+
1
−1 0
= ( −1) ⋅ =−1 ⋅( − 1) = 1
−2 1
2+
2
1 0
= ( −1) ⋅ = 1
2 1
1 −1
= − ⋅ =− − + =
2 −2
3+
1
−1 0
= ( −1) ⋅ =−1
2 1
3+
2
1 0
= ( −1) ⋅ =−1⋅ 1=−1
3 1
3+ 3
1 −1
= ( −1) ⋅ = 2 + 3 = 5
3 2
1+
2
( 1) 1 (3 2) 1
2+
3
( 1) ( 2 2) 0
⎡ 4 −1 −10⎤ ⎡ 4 1 −1⎤
Ek( A) =
⎢
1 1 0
⎥ ⎢
1 1 1
⎥
⎢ ⎥
=
⎢
− −
⎥
⎢⎣−1 −1 5 ⎥⎦ ⎢⎣−10 0 5 ⎥⎦
T
bulunur.
183

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5.6. BİR MATRİSİN TERSİ (İNVERSİ)
Tanım: A n× n tipinde bir matris olmak üzere, AB ⋅ = BA ⋅ = I
n × n
eşitliğini
sağlayan B matrisi varsa, B matrisine A matrisinin tersi(İnversi) denir ve
B = A −1
ile gösterilir. Buna göre
−1 −1
A A A A I n × n
⋅ = ⋅ = dir.
Tanım: A n× n tipinde bir matris olmak üzere, A matrisinin tersi
1
A −
şeklinde
gösterilir ve
A
− = Ek( A)
A
⋅ formülünden bulunur.
1 1
Not: Bir matrisin tersinin olabilmesi için matrisin karesel ve determinantı sıfırdan farklı
olmalıdır.
⎡1
2⎤
Örnek : A = ⎢ ⎥ ise
⎣5
3 ⎦
1
A − =
?
Çözüm:
1.yol :
− ⎡a
b⎤
⋅ =Ι olduğundan, A 1 = ⎢ ⎥
⎣c
d ⎦
⎡1 2⎤ ⎡a
b⎤ ⎡1 0⎤
⎢
5 3
⎥⋅ ⎢ =
c d
⎥ ⎢
0 1
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
A A − 2×
2
olsun
⎡ a + 2c
⎢
⎣5a
+ 3c
b + 2d
⎤ ⎡1
⎥ =
5b
+ 3d
⎢
⎦ ⎣0
0⎤
1
⎥
⎦
a+ 2c=
1
b+ 2d
= 0
5a+ 3c=
0
5b+ 3d
= 1
denklem sistemini çözersek,
3
a =− ,
7
2 5 1
b= , c= , d =− bulunur o halde
7 7 7
184

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
A
−1
⎡ 3 2 ⎤
−
⎡a
b⎤
⎢ 7 7 ⎥
= ⎢
c d
⎥ =⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ 5 1
− ⎥
⎢⎣
7 7⎥⎦
dir.
2.yol :
A
− = Ek( A)
A
⋅ olduğundan, önce A bulalım.
1 1
1 2
⎡ 3 −2⎤
A = = 3− 10=− 7 ve Ek( A)
=
5 3
⎢
−5 1 ⎥
⎣ ⎦
⎡ 3 2 ⎤
−
−1
1 1 ⎡ 3 −2⎤
⎢ 7 7 ⎥
A =− ⋅ Ek( A)
=− ⋅
7 7
⎢
5 1
⎥ =⎢ ⎥
⎣−
⎦ ⎢ 5 1
− ⎥
⎢⎣
7 7⎥⎦
⎡2 4⎤
Örnek: A ⎢
1
⎥
1
= ise A − = ?
⎢ 1 ⎥
⎣2
⎦
Çözüm: A = 0 olduğundan A matrisinin tersi yoktur.
dir.
Örnek:
⎡1 2 1⎤
A =
⎢
3 7 4
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣2 −1 3⎥⎦
ise
1
A − =
?
Çözüm:
1 2 1
A = 3 7 4 = (21− 3+ 16) −(14 − 4 + 18) = 34 − 28 = 6
2 −1 3
1 2 1
3 7 4
Şimdide tüm kofaktörleri bulalım.
185

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
A
A
A
A
A
A
A
A
A
11
12
13
21
22
23
31
32
33
7 4
= − ⋅ = + =
−1 3
11 +
( 1) 21 4 25
3 4
= − ⋅ =− − =−
2 3
1+
2
( 1) (9 8) 1
3 7
= − ⋅ =− − =−
2 −1
1+
3
( 1) 3 14 17
2 1
= − ⋅ =− + =−
−1 3
2+
1
( 1) (6 1) 7
1 1
= − ⋅ = − =
2 3
2+
2
( 1) 3 2 1
1 2
= − ⋅ =− − − =
2 −1
2+
3
( 1) ( 1 4) 5
2 1
= − ⋅ = − =
7 4
3+
1
( 1) 8 7 1
3+
2
1 1
= ( −1) ⋅ =−(4− 3) = −1
3 4
1 2
= − ⋅ = − =
3 7
3+
3
( 1) 7 6 1
⎡25 −1 −17⎤ ⎡ 25 −7 1 ⎤
Ek( A) =
⎢
7 1 5
⎥ ⎢
1 1 1
⎥
⎢
−
⎥
=
⎢
− −
⎥
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣−17 5 1 ⎥⎦
T
25 7 1
⎡ ⎤
⎢
−
25 7 1
6 6 6 ⎥
1 ⎡ − ⎤ ⎢ 1 1 1 ⎥
1
A − = ⋅
⎢
−1 1 − 1
⎥
= ⎢ − − ⎥
6 ⎢ ⎥ ⎢ 6 6 6⎥
⎢⎣− 17 5 1 ⎥⎦
⎢ ⎥
⎢
17 5 1
−
⎥
⎢⎣
6 6 6 ⎥⎦
bulunur.
186

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5.7. BİR MATRİSİN RANKI
Tanım: Bir A= ⎡
⎣aij
⎤
⎦ ≠0
matrisinin karesel alt matrisleri arasında, determinantı
m×
n
sıfırdan farklı olanların mertebesi en büyük olana A matrisinin rankı denir ve rank(A)
ile gösterilir.
Örnek :
Çözüm:
⎡1 2 0 ⎤
A =
⎢
3 1 2
⎥
⎢
−
⎥
⎢⎣5 1 0 ⎥⎦
ise rank ( A ) = ?
A
1 2 0
1 2
= − = + − ⋅ − ⋅ + = ⋅ − = ⋅ − =− ≠
5 1
5 1 0
2+
3
3 1 2 0 ( 1) ( 2) 0 2 (1 10) 2 ( 9) 18 0
olduğundan rank ( A ) = 3 dir.
Örnek :
Çözüm:
⎡ 2 3 1⎤
A =
⎢
1 5 0
⎥
⎢
− ⎥
⎢⎣
4 6 2⎥⎦
ise rank ( A ) = ?
A
2 3 1
1+ 3
−1 5
3+
3
2 3
=− 1 5 0 = ( −1) ⋅1⋅ + 0 + ( −1) ⋅2⋅ =
4 6 −1 5
4 6 2
olduğundan rank ( A )< 3 olduğundan
=−6− 20+ 2 ⋅ (10+ 3) =− 26+ 26=
0
⎡ 2 3⎤
A1
= ⎢
−1 5 ⎥
⎣ ⎦ alalım.
2 3
A
1
= = 10+ 3= 13≠0.
−1 5
Yani rank ( A ) = 2 dir.
187

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
5.8. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ
a x + a x + ...... + a x = b denklemine 1. dereceden n bilinmeyenli
Tanım:
11 1 12 2 1n
n 1
lineer denklem denir. Bu tip lineer denklemlerden oluşan sistemine lineer denklem
sistemi(takımı) denir.
⎧ a11x1 + a12x2 + ...... + a1 nxn
= b1
⎪
a21x1 + a22x2 + ...... + a2nxn
= b2
⎪
⎨
.
⎪
.
⎪
⎪⎩ a x + a x + ...... + a x = b
m1 1 m2 2
mn n m
Sisteminin katsayılar matrisi:
olup
sabit vektörü
⎡b1
⎤
⎢
b
⎥
⎢
2
⎥
⎢ . ⎥
B = ⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣b
m ⎥⎦
mx1
ve
⎡a11
a12
. . a1
n ⎤
⎢
a a a
⎥
⎢
21 22
. .
2n
⎥
A = ⎢ . . . . . . ⎥
⎢
⎥
⎢ . . . . . ⎥
⎢
⎣am
am
. . a ⎥
1 2
mn ⎦
bilinmeyenler vektörü
mxn
X
⎡ x1
⎤
⎢
x
⎥
⎢
2
⎥
⎢ . ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ . ⎥
⎢ . ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
xn
⎥⎦
dir.
O halde lineer denklem sistemi
⎡a11 a12 . . . a1 n ⎤ ⎡x1 ⎤ ⎡b1
⎤
⎢
a a . . . a
⎥ ⎢
x
⎥ ⎢
b
⎥
⎢
21 22 2n
⎥ ⎢
2
⎥ ⎢
2
⎥
⎢ . . . . . . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥
⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎢ . . . . . . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥
⎢ . . . . . . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢a a . . . a ⎥ ⎢x ⎥ ⎢b
⎥
⎣ m1 m2
mn⎦ ⎣ n⎦ ⎣ m⎦
A⋅ X = B şeklinde yazılabilir.
188

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örneğin,
⎧2 x − 3 y + z = 1
⎪
⎨ x + 2 z =−1
⎪
⎩ x − 2 y + 3 z = 0
denklem sistemini
⎡2 −3 1⎤ ⎡x⎤ ⎡ 1 ⎤
⎢
1 0 2
⎥ ⎢
y
⎥ ⎢
1
⎥
⎢ ⎥
⋅
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥
⎢⎣1 −2 3⎥⎦ ⎢⎣z
⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
şeklinde yazabiliriz.
5.8.1. LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN CRAMER METODU İLE ÇÖZÜMÜ
Katsayılar matrisi kare matris olan bir lineer denklem sisteminin çözümü bu kurala
göre yapılır. Örneğin 3 n = için uygulanırsa ;
⎧ a11x1 + a12x2 + a13 x3 = b1
⎪
⎨a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
⎪
⎩a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
⎡a
A =
⎢
⎢
a
⎢⎣
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎡b1
⎤
B =
⎢ ⎥
⎢
b2
⎥
,
⎢⎣
b ⎥
3 ⎦
X
⎡ x
=
⎢
⎢
x
⎢⎣
x
1
2
3
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
olmak üzere lineer denklem sistemini A⋅ X = B şeklinde ifade edebiliriz.
Burada
A = ∆ =
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
∆
1
=
b
b
b
1
2
3
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
∆
2
=
a
a
a
11
21
31
b
b
b
1
2
3
a
a
a
13
23
33
189

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3
a
a
11
21
31
a
a
12
∆ = a a b dir.
22
32
b
b
1
2
3
Eğer,
1) ∆ = A ≠ 0 ise lineer denklem sisteminin bir tek çözümü olup
∆
1
2
x 1
= , x 2
∆
∆ ∆3
= , = dir.
∆ ∆
x 3
2) ∆ = A = 0 ise ;
a) ∆
1
, ∆
2
, ∆
3
sayılarından en az biri sıfırdan farklı ise sistemin çözümü yoktur.
b) ∆ = ∆ = ∆ 0 sistemin sonsuz çözümü vardır.
1 2 3
=
Örnek :
⎧x− 6y+ 2z
= 5
⎪
⎨2x− 3y+ z = 4
⎪
⎩3x+ 4y− z =−2
denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz.
Çözüm: Verilen lineer denklem sistemini
⎡1 −6 2 ⎤ ⎡x⎤ ⎡ 5 ⎤
⎢
2 3 1
⎥ ⎢
y
⎥ ⎢
4
⎥
⎢
−
⎥
⋅
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢⎣3 4 −1⎥⎦ ⎢⎣z
⎥⎦ ⎢⎣−2⎥⎦
yazarız.
1 − 6 2
∆ = 2 − 3 1 = 3
3 4 −1
5 −6 2
∆ = 4 − 3 1 = 3
x
−2 4 −1
1
∆ y
= 2
3
5
4
− 2
2
1 = −9
−1
190

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
∆ z
=
1
2
3
− 6
− 3
4
5
4
− 2
= −21
∆
x
3
x = = = 1 ,
∆ 3
∆
y − 9
y = = = −3
,
∆ 3
∆
z − 21
z = = = −7
olup
∆ 3
{( )}
ÇK . . = 1, −3, − 7 bulunur.
Örnek :
⎧2x− 3y
= 8
⎨
⎩x
+ 5y
=− 9
denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz.
2 − 3
Çözüm: ∆ = = 10 + 3 = 13
1 5
8 − 3
∆ x
= = 40 − 27 = 13
− 9 5
2 8
∆
y
= = −18 − 8 = −26
1 −9
∆
x
13
x = = = 1
∆ 13
∆
y 26
y = =− =−2
∆ 13
ÇK . . = {(1, − 2) } bulunur.
Örnek :
⎧x− 2y
=−3
⎨
⎩3x− 6y
=−9
denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz.
1 − 2
Çözüm: ∆ = = 0
3 − 6
∆ x
− 3 − 2
= = 0
− 9 − 6
191

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1 − 3
∆ y
= = 0 olup, sisteminin sonsuz çözümü vardır.
3 − 9
x − 2y =−3⇒ x= 2y− 3 y = t dersek x = 2t
− 3
Ç . K = {( 2t
− 3,
t)}
bulunur.
Örnek :
⎧x− 2y
=−3
⎨
⎩3x− 6y
= 9
denklem sistemini Cramer kuralı ile çözünüz.
1 − 2
Çözüm ∆ = = 0
3 − 6
∆ x
∆ y
− 3 − 2
= = 18 + 18 = 36 ≠ 0
9 − 6
1 − 3
= = 9 + 9 = 18 ≠ 0
3 9
sistemin çözüm kümesi boş kümedir.
BÖLÜM ALIŞTIRMALARI
⎡2
1⎤
1) A = ⎢ ⎥ ise A+ A
T = ?
⎣0
3 ⎦
⎡ 3x
+ y 1⎤
⎡2
1 ⎤
2) A = ⎢ ⎥ B =
⎣ 4 5
⎢ ⎥ ⎦ ⎣4
2x
− 3y
⎦
matrisleri veriliyor.
A= B ise x+ y = ?
3)
⎡ 1
A =
⎢
⎢
−1
⎢⎣
a
−1
a
1
1⎤
1
⎥
⎥
a⎥⎦
matrisine göre A = 6 ise a = ?
⎡2
0 ⎤
4) A = ⎢ ⎥ ve f ( x) = 2x
2 − 3x
ise f( A ) = ?
⎣1
−1
⎦
⎡2
2⎤
⎡3
3⎤
5) A = ⎢ ⎥ ve =
⎣3
3
⎢ ⎥ A − B ⋅ A + B
⎦ ⎣2
2 ⎦
B ise ( ) ( ) = ?
192

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡ 2 − a⎤
6) A = ⎢ ⎥ matrisi için A = 4 ise a = ?
⎣a
+ 4 2 ⎦
x 5 0
7) 0 x 3 = 0
1 2 3
denklemini çözünüz.
8)
⎧x+ y+ z = 6
⎪
⎨x − y − z =− 4
⎪
⎩ − x − y + z = 0
sistemini çözünüz.
9)
⎧x1+ x2 + x3
= 8
⎪
⎨ − 2x1 + x2 − x3
=− 9
⎪
⎩ − x1 + 2x2 + x3
= 3
sistemini çözünüz.
⎧y− z = 3
⎪
10) ⎨x
− 2z
= − 2 sistemini çözünüz.
⎪
⎩2x− y+ z = −3
⎧2x− 4y
= 0
⎪
11) ⎨3x− 6y
= 0 denklem sistemini çözünüz.
⎪
⎩4x− 8y
= 0
⎧
12) 2 x -4 y+ 5 z =
⎨
0
⎩3x-6y+ 4z
= 0
⎧− x+ 2y+ z =−1
⎪
13) ⎨2x−3y− 2z
= 1
⎪
⎩ − 2x − y + 3z
= 6
denklem sistemini çözünüz.
denklem sistemini çözünüz.
14)
−1
3
4
2
1
1
3
4
3
determinantının 3.satırının minör ve kofaktörlerini bulunuz.
⎡cos
x − sin x⎤
15) A = ⎢
⎥
⎣sin
x cos x ⎦
ise A = ?
193

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡1
3⎤
⎡x
y⎤
16) A = ⎢ ⎥ matrisinin tersi
⎣2
5
⎢ ⎥ ⎦ ⎣z
t ⎦
ise x + y + z + t = ?
⎧x+ y = 1
17) ⎨
⎩2x− y = 2
lineer denklem sistemini çözünüz.
⎡ 4 2⎤
18) ⎢ ⎥
⎣−1
3 ⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦
⎡0⎤
= ⎢ ⎥
⎣4
⎦
ise x⋅ y = ?
⎡−1
3⎤
19) ⎢ ⎥
⎣ 2 1 ⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣4
⎦
5 sisteminin çözümü olan ( y)
x, bulunuz.
⎡a
1 ⎤ ⎡3
x ⎤
20) ⎢ ⎥ =
⎣2
b
⎢ ⎥ ⎦ ⎣y
4 ⎦
olduğuna göre,
a + b + x + y toplamı kaçtır.
⎡1
2 ⎤ ⎡7
3⎤
21) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣3
4
⎢ ⎥ olduğuna göre, A + B matrisini bulunuz.
⎦ ⎣2
5 ⎦
⎡ 0 8⎤
22) M = ⎢ ⎥ ise 3 M matrisi nedir?
⎣−1
2 ⎦
⎡0
−1⎤
⎡1
1⎤
23) A = ⎢ ⎥ , =
⎣0
1
⎢ ⎥ ⎦ ⎣2
1 ⎦
B matrisleri verildiğine göre ( A + 2B)
toplamı nedir?
⎡2
1⎤
⎡− 4 0⎤
24) C = ⎢ ⎥ ve D =
⎣4
3
⎢ ⎥ ise C − D fark matrisi nedir?
⎦ ⎣ 5 2 ⎦
⎡1
2 ⎤ ⎡6⎤
25) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣3
4
⎢ ⎥ olduğuna göre, A⋅ B matrisini bulunuz.
⎦ ⎣ 5⎦ ⎡ 2 0 1⎤
26) A =
⎢ ⎥
⎢
1 3 1
⎥
ve
⎢⎣
−1
2 0⎥⎦
⎡0⎤
B =
⎢ ⎥
⎢
1
⎥
ise A⋅ B çarpım matrisi nedir ?
⎢⎣
1⎥⎦
⎡1
3 ⎤ ⎡5⎤
27) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣2
4
⎢ ⎥ olduğuna göre, A⋅ B matrisi nedir ?
⎦ ⎣ 6⎦ 194

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡2
− 4 2⎤
28) A = ⎢ ⎥ ve
⎣0
1 − 3 ⎦
⎡2
1⎤
B =
⎢ ⎥
⎢
0 4
⎥
matrisleri verildiğine göre, A⋅ B = ?
⎢⎣
2 2⎥⎦
⎡1
3 ⎤ ⎡0
1⎤
⎡3
1 ⎤
29) A = ⎢ ⎥ , B =
⎣2
4
⎢ ⎥ ve C =
⎦ ⎣1
3
⎢ ⎥ olduğuna göre, A ⋅ B + C =?
⎦ ⎣4
5 ⎦
⎡ 7 − 2⎤
30) ⎢ ⎥
⎣−
3 1 ⎦
matrisinin tersi nedir?
⎡ 4 7 ⎤
31) A = ⎢ ⎥ matrisinin determinantı kaçtır?
⎣10
20 ⎦
k 4
32) = 12
5 8
olduğuna göre k kaçtır?
4
33) 0
2
2
1
0
1
5
3
determinantının değeri kaçtır?
⎡1 −4 −3⎤
34) A =
⎢
2 0 2
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣3 4 3 ⎥⎦
ise Ek( A ) = ?
⎡1 4 0 ⎤
35)
⎢
2 5 2
⎥
⎢
−
⎥
⎢⎣3 0 −1⎥⎦
matrisinin rankı nedir?
⎡1 1 −1⎤
36) A =
⎢
2 3 1
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣3 4 2 ⎥⎦
ise
1
A − =
?
195

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM TESTİ
1)
⎧x+ y = 1
⎨
⎩2x− y = 2
lineer denklem sistemi, aşağıdaki matris gösterimlerinden
hangisi ile ifade edilir?
⎡1
1⎤
A) ⎢ ⎥
⎣2 −1 ⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦
⎡1
⎤
= ⎢ ⎥
⎣2
⎦
⎡1
2⎤
B) ⎢ ⎥
⎣1−1
⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦
⎡1
⎤
= ⎢ ⎥
⎣2
⎦
⎡1
1⎤
C) ⎢ ⎥
⎣2 −1 ⎦
[ xy ] =[ ]
⎡x⎤
21 D) ⎢ ⎥
⎣y
⎦
⎡1
1⎤
⎢ ⎥
⎣2 −1⎦
⎡1
⎤
= ⎢ ⎥
⎣2
⎦
E) [ xy ]
⎡1
1⎤
⎢ ⎥
⎣2 −1 ⎦
⎡1
⎤
= ⎢ ⎥
⎣2
⎦
⎡4
3⎤
⎡x⎤
⎡5⎤
2) ⎢ ⎥
⎣2
1
⎢ ⎥ =
⎦ ⎣y
⎢ ⎥ ifadesi aşağıdaki denklem sistemlerinden hangisinin
⎦ ⎣6
⎦
matrislerle yazılmış biçimidir?
A)
⎧4x+ 2y
= 5
⎨
⎩3x+ y = 6
B)
⎧4x− 5y
= 3
⎨
⎩2x− y = 6
C)
⎧2x+ 4y
= 5
⎨
⎩x
+ 3y
= 6
D)
⎧x− 2y
= 6
⎨
⎩3x+ 4y
= 6
E)
⎧4x+ 3y
= 5
⎨
⎩2x+ y = 6
⎡−1
3⎤
3) ⎢ ⎥
⎣ 2 1 ⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦
⎡5⎤
= ⎢ ⎥
⎣4
⎦
sisteminin çözümü olan ( x, y)
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1,1) B) (0,1) C) (1, 2) D) ( − 1,1) E) ( −1, − 2)
⎡1
2⎤
4) ⎢ ⎥
⎣3
1 ⎦
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎣y⎦
⎡3⎤
= ⎢ ⎥ sisteminin çözümü olan ( x, y ) aşağıdakilerden hangisidir?
⎣4
⎦
A) (0,3) B) (0,1) C) (1,1) D) (1, 2) E) (2,2)
196

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡x
y 1 ⎤ ⎡1
1 1 ⎤
5) ⎢ ⎥ =
⎣2
3 z
⎢ ⎥ ⎦ ⎣2
3 5 ⎦
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) 13 B) 12 C) 10 D) 9 E) 7
⎡1
3 ⎤ ⎡4
2⎤
6) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣2
4
⎢ ⎥ olduğuna göre A + B matrisi aşağıdakilerden
⎦ ⎣3
1 ⎦
hangisidir?
A) [ 20 ] B) []
⎡5
5⎤
5 C) ⎢ ⎥
⎣5
5 ⎦
⎡13
5⎤
D) ⎢ ⎥
⎣20
8 ⎦
⎡1
0⎤
E) ⎢ ⎥
⎣0
1 ⎦
⎡1
2 ⎤ ⎡7
3⎤
7) A = ⎢ ⎥ , B =
⎣3
4
⎢ ⎥ olduğuna göre, A + B matrisi aşağıdakilerden
⎦ ⎣2
5 ⎦
hangisidir?
⎡8
5⎤
A) ⎢ ⎥
⎣5
9 ⎦
⎡1
2 ⎤
B) ⎢ ⎥
⎣2
5 ⎦
⎡8
5⎤
C) ⎢ ⎥
⎣3
4 ⎦
⎡6
1⎤
D) ⎢ ⎥
⎣1
1 ⎦
⎡0
0⎤
E) ⎢ ⎥
⎣0
0 ⎦
⎡1
2 ⎤ ⎡−
4 2⎤
8) A = ⎢ ⎥ , B =
⎣3
4
⎢ ⎥ olduğuna göre A − 2B
matrisi
⎦ ⎣−
3 1 ⎦
aşağıdakilerden hangisidir?
⎡− 3 4⎤
A) ⎢ ⎥
⎣ 0 5 ⎦
⎡1
0⎤
D) ⎢ ⎥
⎣0
1 ⎦
⎡5
0⎤
B) ⎢ ⎥
⎣6
3 ⎦
⎡9⎤
E) ⎢ ⎥
⎣2
⎦
⎡9
− 2⎤
C) ⎢ ⎥
⎣9
2 ⎦
⎡2
1⎤
⎡1
3 ⎤
9) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣0
5
⎢ ⎥ olduğuna göre A⋅ B çarpım matrisi nedir?
⎦ ⎣4
0 ⎦
⎡0
20⎤
A) ⎢ ⎥
⎣6
6 ⎦
⎡ 6 6⎤
D) ⎢ ⎥
⎣20
0 ⎦
⎡0
6 5⎤
B) ⎢ ⎥
⎣3
6 4 ⎦
⎡3
1 2 ⎤
E) ⎢ ⎥
⎣5
4 0 ⎦
⎡20
6⎤
C) ⎢ ⎥
⎣ 5 4 ⎦
197

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡5
0⎤
10) A = [ 1 2]
ve B = ⎢ ⎥ olduğuna göre A⋅ B matrisi
⎣4
2 ⎦
aşağıdakilerden hangisidir?
⎡1
1 ⎤
A) ⎢ ⎥
⎣0
0 ⎦
⎡0
4⎤
B) ⎢ ⎥
⎣2
5 ⎦
⎡10
0 ⎤
C) ⎢ ⎥
⎣ 8 4 ⎦
⎡5⎤
13 E) ⎢ ⎥
⎣8
⎦
D) [ 4]
11)
⎡2
1⎤
⎢ ⎥ ⎡1
4 0⎤
A =
⎢
1 0
⎥
ve B = ⎢ ⎥ olduğuna göre, A⋅ B çarpımı nedir?
⎢⎣
4 3⎥
⎣2
3 5 ⎦
⎦
A)
⎡ 4
⎢
⎢
1
⎢⎣
10
11
4
25
5 ⎤
0
⎥
⎥
15⎥⎦
B)
⎡ 4
⎢
⎢
11
⎢⎣
5
1
4
0
15 ⎤
25
⎥
⎥
10⎥⎦
C)
⎡4
⎢
⎢
7
⎢⎣
3
5
5
2
12⎤
6
⎥
⎥
4 ⎥⎦
⎡ 4 5 ⎤
D) ⎢ ⎥
⎣10
15 ⎦
⎡4
11 5⎤
E) ⎢ ⎥
⎣1
4 2 ⎦
1 2
3 4 ⋅ ⎢ çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
⎣0
3
⎡ ⎤
12) [ ] ⎥ ⎦
⎡3
0⎤
A) ⎢ ⎥
⎣6
12 ⎦
⎡3
6⎤
B) ⎢ ⎥
⎣0
12 ⎦
⎡3
8⎤
C) ⎢ ⎥
⎣0
12 ⎦
⎡3
⎤
D) ⎢ ⎥
⎣18
⎦
E) [ 3 18]
⎡1
−1⎤
⎡3
4⎤
13) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣0
3
⎢ ⎥ olduğuna göre A⋅ B matrisi
⎦ ⎣2
0 ⎦
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [ 1 4 6 0]
B) [ 0]
⎡3
− 4⎤
6 C) ⎢ ⎥
⎣6
2 ⎦
⎡1
⎤
D) ⎢ ⎥
⎣4
⎦
⎡1
4 ⎤
E) ⎢ ⎥
⎣6
0 ⎦
198

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡1
0⎤
⎡3
2⎤
14) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣1
2
⎢ ⎥ matrisleri verildiğine göre, C = A⋅
B
⎦ ⎣1
0 ⎦
eşitliğini sağlayan C matrisi nedir?
⎡3
5⎤
A) ⎢ ⎥
⎣2
2 ⎦
⎡−
5 2⎤
D) ⎢ ⎥
⎣ 3 − 2 ⎦
⎡3
2⎤
B) ⎢ ⎥
⎣5
2 ⎦
⎡− 5 2⎤
E) ⎢ ⎥
⎣ 3 2 ⎦
⎡5
2⎤
C) ⎢ ⎥
⎣3
2 ⎦
⎡1
0 ⎤ ⎡3
0⎤
15) A = ⎢ ⎥ ve B =
⎣3
2
⎢ ⎥ matrisleri için aşağıdaki ifadelerden
⎦ ⎣1
2 ⎦
hangisi doğrudur?
⎡− 2 0⎤
⎡4
4⎤
⎡3
0⎤
A) A − B = ⎢ ⎥ B) A + B =
⎣ 2 4
⎢ ⎥ C) 3A =
⎦ ⎣4
4
⎢ ⎥ ⎦ ⎣9
2 ⎦
⎡0
0⎤
⎡12
4 ⎤
D) 3A − B = ⎢ ⎥ E) 4B =
⎣8
4
⎢ ⎥ ⎦ ⎣ 4 8 ⎦
T ⎡1
3 ⎤
16) A = ⎢ ⎥ ise A matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
⎣2
4 ⎦
A) [ − 2]
B) [ ]
⎡1
2 ⎤
10 C) ⎢ ⎥
⎣3
4 ⎦
⎡4⎤
D) ⎢ ⎥
⎣6
⎦
⎡2⎤
E) ⎢ ⎥
⎣2
⎦
17) Aşağıdaki matrislerden hangisinin ters matrisi yoktur?
⎡1
2 ⎤
A) ⎢ ⎥
⎣3
4 ⎦
⎡3
5⎤
B) ⎢ ⎥
⎣7
9 ⎦
⎡1
0⎤
C) ⎢ ⎥
⎣0
1 ⎦
⎡1
2 ⎤
D) ⎢ ⎥
⎣2
4 ⎦
⎡0
1⎤
E) ⎢ ⎥
⎣4
0 ⎦
18) Aşağıdaki matrislerden hangisinin tersi vardır?
⎡0
0⎤
A) ⎢ ⎥
⎣0
0 ⎦
⎡0
0⎤
B) ⎢ ⎥
⎣0
1 ⎦
⎡0
5⎤
C) ⎢ ⎥
⎣0
2 ⎦
⎡10
11⎤
D) ⎢ ⎥
⎣ 1 2 ⎦
⎡1
4⎤
E) ⎢ ⎥
⎣3
12 ⎦
199

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎡4
3⎤
19) ⎢ ⎥
⎣5
4 ⎦
matrisinin tersi aşağıdakilerden hangisidir?
⎡ 4 − 3⎤
⎡−
4 3⎤
A) ⎢ ⎥ B)
⎣−
5 4
⎢ ⎥ ⎦ ⎣ 5 − 4 ⎦
⎡−
4 3⎤
C) ⎢ ⎥
⎣−
5 4 ⎦
⎡1
2 ⎤
D) ⎢ ⎥
⎣3
4 ⎦
⎡5
2⎤
E) ⎢ ⎥
⎣1
0 ⎦
20)
1 −1
2 0
5 4
2
3
6
determinantının değeri kaçtır?
A) –1 B) 0 C)1 D) 10 E) 21
1 0 2
21) −1
3 k = 4 olduğuna göre, k kaçtır?
0 1 1
A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0
22)
⎧x− y+ 7=
0
⎨
⎩x
+ y − 1 = 0
denklem sisteminin ( x, y)
çözüm kümesi nedir?
A) {( 3 ,4)}
B) {( − 3,4)
} C) {( − 3,
−4)
} D) {( 2 ,1)
} E) {( 1 ,2)}
⎧3x+ y = 2
23) ⎨
⎩2x+ 3y
=−1
aşağıdakilerden hangisidir?
lineer denklem sisteminin çözümü olan ( x, y)
A) ( 1, − 1)
B) ( − 1,3)
C) ( 2 ,0)
D) ( 0 ,4)
E) ( 1 ,2)
⎧x+ y+ z = 2
⎪
24) ⎨x + y + z = 1
⎪
⎩x + y − z = 1
aşağıdakilerden hangisidir?
lineer denklem sisteminin çözümü ( x, yz , )
A) ( 1 ,0,0)
B) ( ,0,1)
⎛ 1 1 ⎞
0 C) ⎜ , ,1⎟ ⎝ 2 2 ⎠
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
D) ⎜1 , , ⎟ E) ⎜1
,0, ⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
200

MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
⎧x+ y+ z = 5
⎪
25) ⎨x + y + 2z
= 0
⎪
⎩x + 2y − 2z
= 0
aşağıdakilerden hangisidir?
lineer denklem sisteminin çözümü ( x, yz , )
A) ( 2 ,1,2 ) B) ( 1 ,1,3 ) C) ( − 2,4,3)
D) ( 1 ,3,1 ) E) ( 4,2,
− 1)
⎧x+ 2y+ 2z
= 5
⎪
26) ⎨x − y + z = 1
⎪
⎩2x+ 3y− z = 4
aşağıdakilerden hangisidir?
lineer denklem sisteminin çözümü olan ( x, yz , )
A) ( 1,
− 1, −2)
B) ( 1 ,2,3)
C) ( 2 ,0,3)
D) ( 2 ,5,1 ) E) ( 1 ,1,1 )
⎧2x+ 3y
= 12
⎪
27) ⎨z
− x = 4
⎪
⎩y
+ z = 9
aşağıdakilerden hangisidir?
denklem sisteminin çözümü olan ( x, yz , )
A) ( 3 ,2,7)
B) ( − 3,2,
−7)
C) ( 4 ,2,5)
D) ( − 4,2,
−5)
E) ( − 1,3,5 )
⎧x+ y+ z = 3
⎪
28) ⎨x + y − z = 1
⎪
⎩x − y + z = 1
aşağıdakilerden hangisidir?
lineer denklem sisteminin çözümü ( x , y,
z)
A) ( 1 ,2,0)
B) ( 1 ,1,2 ) C) ( 1 ,1,1 ) D) ( 2 ,1,0 ) E) ( 1 ,2,3)
201