Kareköklü Sayılar

KAREKÖKLÜ SAYILAR
Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı
doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.
a 2 = 2 ise a sayısını a = 2 şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu 2
sayısı hangi sayılar arasındadırBunu inceleyelim:
1 2 =1× 1=1
(1,5) 2 = 1,5× 1,5=2.25 tir
O halde 2 sayısı;1< 2

KAREKÖK ĐÇĐNDEKĐ ĐFADENĐN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler 2 veya 2 nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök
dışına çıkarılabilirler.
a∈R + ,m ∈ Z ise a 2m = a 2m/2 = a m
a,b ∈ R + ve b ≠ 0 ise a 2 .b 2 = a.b a 2 /b 2 = a/b dir.
a,b ∈ R + ve n∈Z olmak üzere ; a 2n .b = a n . b
Örnekler:
4 = 2 2 = 2 2/2 = 2
3 10 = 3 10/2 =3 5 =243
7 4 /5 8 = 7 2.2 /5 2.4 =7 2 /5 4
a∈R için,
a 2 = a
(−3)
2 = 9 = 3 2 = 3
KAREKÖKLÜ BĐR SAYIYI a b ŞEKLĐNDE YAZMAK :
48 işleminin sonucu kaçtır
48 2
24 2 48 = 2 2 .2 2 .3
12 2 = 2.2 3
6 2 = 4 3
3 3
1
3 504 işleminin sonucu kaçtır
504 2
252 2 3 504 =3 2 2 .2.3 2 .7
126 2 = 3.2.3. 2 . 7
63 3 = 18 14
21 3
7 7
1
UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır.
KAREKÖK DIŞINDAKĐ ÇARPANIN KÖK ĐÇĐNE ALINMASI
Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız.
Örnek:
a b = a 2 .b
2 3 = 2 2 .3 = 4 . 3 = 12
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ
a,b ∈ R + olmak üzere ,

a / b = a / b
Örnekler:
9 /16 = 9 / 16 = 3 2 / 4 2 3
=
4
5
50 / 72 = 25 / 36 = 5 2 / 6 2 =
6
9
1 =
16
25 = 5
2 / 16
4 2 5 1
= = 1 4 4
UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.
ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ
Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir:
Örnek:
0 .09 =
9
100
=
10
3
0 .00000016 =
16
100000000
4
=
10000
2 .5 =
25 = 5 / 10
10
NOT: 0 . 04 sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırız.Virgül yokmuş gibi kabul edersek, 4 =2 dir.Oaha sonra
virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız.
0 .04 =0.2
Örnek:
0 .000009 = . 000009
0 =0,003
1 2 3
KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT ĐŞLEM
1)Toplama-Çıkarma
Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi
gerekir.Sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır.
a x + b x - c x = x (a+b-c)
a + b ≠ a + b
Örnekler:
- 2 3 - 5 3 + 3 işleminin sonucu nedir
2 3 - 5 3 + 3 = ( 2 − 5 + 1) 3
= − 2 3
- 2 28 - 3 6 + 63 - 24 işleminin sonucu nedir
Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız.

2 4.7 - 3 6 + 9.
7 - 4 . 6 = 2.2
7 - 3 6 + 3 7 - 2 6
= 4 7 + 3 7 - 3 6 - 2 6
= 7 7 - 5 6
2)Çarpma
Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılır.Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.
a,b∈R + ise , a . b = a. b ; a . a = a 2 =a ve a x . b y = ab xy
Örnekler:
- 5 . 3 = 5 . 3 = 15
- 3 . 15 = 45 = 3 .3. 5 = 3 5
- 2 5 . 3 8 = ( 2.3) 5. 8
= 6 40
= 6. 2 .2. 10
= 12 10
Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir.
( a ) 2 = a 2 ( a x ) n = a n x n (x >0)
Örnek:
( 5 ) 4 = 5 4 = 5 .5.5. 5 = 5.5 = 25
NOT: ( a + b ). ( a - b ) = ( a ) 2 – ( b ) 2 = a – b
Örnek:
( 7 + 3 ). ( 7 - 3 ) = ( 7 ) 2 – ( 3 ) 2 = 7-3 = 4
3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
a
a,b ∈ R + ve b ≠ 0 ise a / b = a / b ve a x / b y =
b
Örnekler:
- 32 / 4 = 32 / 4
- / 5
2 : 8 / 25 = 2 / 5: 8/ 25 = / 4
3
-3 10 / 2 5 =
2
3
10 / 5 =
2
2
5 = 5 /2
x / y dır.
PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı
kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.
a nın eşleniği a ve a . a =a dır.
( a + b ) nin eşleniği ( a - b ) ve ( a + b ). ( a - b ) = a – b dir.
( a - b ) nin eşleniği ( a + b ) dir.
( a - b) nin eşleniği ( a + b) dir.

3
a - 3 b nin eşleniği 3
a 2 + 3 ab + 3 b 2 dir.
3
a + 3 b nin eşleniği 3
a 2 - 3 ab + 3 b 2 dir.
n
a nin eşleniği n a...... dir.
n
a m nin eşleniği n a n-m
1)Paydada
Pay ve paydayı
Örnekler:
a varsa:
a ile çarparız.
- 1/ 2 = 1. 2 / 2 . 2 = 2 /2
- 5/ 2 5 = 5. 5 / 2 5 . 5 = 5 5 /10 = 5 / 2
2)Paydada a + b varsa :
Pay ve paydayı a - b ile çarparız.
Örnek:
5 5. (2 - 3 )
=
2 + 3 ( 2 + 3 ). (2 - 3 )
= 5. (2 - 3 )
2 2 – ( 3 ) 2
= 10 - 5 3
4 - 3
=10 - 5 3 = 5(2 - 3 )
BAZI KURALLAR:
1) m a n = a n/m
2) m
a = x , x m =a
3) m a . m b = m a. b
4) m a : m b = m a : b
5)
a n
x -
b n
x +
c n
x = (a – b + c) n x
6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır.
m
a 2 . b = a n
b

7) n m a = nm a
8) n a m b
k c = mkn a 2 . b k .c
9) n x n x
n x... =
n−1
x
10) n x : n x :
n x...
=
n+1
x
11)( n a ) n = a
12) ( n a ) m = n a m
13) a ∈ R + ise
a. n
b = n a n . b
14) n a....
r a
p =
. a..... x .. a =
n r
.
a.........
n r
15) a + a + a + ..... =x ise x= 1+ 1+ 4a
2
16) a ( a + 1) + a(
a + 1) ...... =a+1
17) p a ...
q a....
r
a
k =
pqr
a.........
x.
r + k