192d30661474f49d85ef0eaaa94c449f71627

Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri • Educational Sciences: Theory & Practice • 14(4) • 1607-1627 

© 

2014 Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. 

www.edam.com.tr/kuyeb 

DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039 

Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel 

Kavramlar ve Farklı Yaklaşımlar * 

Ayhan Kürşat ERBAŞ a 

Orta Doğu Teknik Üniversitesi 

Bülent ÇETİNKAYA c 


Cengiz ALACACI e 

İstanbul Medeniyet Üniversitesi 

Mahmut KERTİL b 

Marmara Üniversitesi 

Erdinç ÇAKIROĞLU d 


Sinem BAŞ f 

İstanbul Aydın Üniversitesi 

Öz 

Bütün dünyada olduğu gibi son yıllarda ülkemizde de akademik çalışmalara konu olan matematiksel modellemeyle 

ilgili geniş bir alan yazın bulunmaktadır. Fakat matematiksel modelleme ve ilgili kavramlar üzerine ortak 

bir anlayıştan bahsetmek mümkün değildir. Alan yazında öğrenme ve öğretme sürecinde matematiksel modellemenin 

kullanımı, model ve modellemenin tanımı, kuramsal altyapısı ve kullanılan modelleme sorularının niteliği 

gibi konularda farklı bakış açıları görülmektedir. Bu çalışmada iki konu üzerine odaklanılmıştır. İlk bölümde 

matematik eğitiminde matematiksel modellemeyle ilgili temel konu ve kavramlar incelenmiştir. İkinci bölümde 

ise modellemenin matematik eğitiminde kullanımıyla ilgili “matematiği öğretmek için bir araç” ve “matematik 

öğretiminin amacı” şeklinde özetlenebilecek iki farklı yaklaşım tartışılmıştır. 

Anahtar Kelimeler 

Matematik Eğitimi, Matematiksel Model, Matematiksel Modelleme, Problem Çözme. 

* Bu makaleye konu olan çalışma Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) tarafından 110K250 

nolu araştırma projesi kapsamında desteklenmiştir. Bu makalede öne sürülen görüşler yazarlara ait olup 

TÜBİTAK’ın görüşlerini yansıtmamaktadır. Ayhan Kürşat ERBAŞ, Türkiye Bilimler Akademisi Genç Bilim İnsanlarını 

Ödüllendirme Programı (TÜBA-GEBİP) tarafından desteklenmektedir (A.K.E./TÜBA-GEBİP/2012-11). 

a 

Sorumlu Yazar: Dr. Ayhan Kürşat ERBAŞ Matematik eğitimi alanında doçenttir. Çalışma alanları arasında cebir 

öğretimi ve öğrenimi, matematik öğretmen eğitimi ve öğretmen yeterlilikleri, matematik eğitiminde teknoloji 

entegrasyonu, problem çözme ve modelleme yer almaktadır. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, 

Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: 

erbas@metu.edu.tr 

b Dr. Mahmut KERTİL Matematik Eğitimi alanında araştırma görevlisidir. İletişim: Marmara Üniversitesi, 

Atatürk Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 34722 Kadıköy, İstanbul. 

Elektronik posta: mkertil@marmara.edu.tr 

c 

d 

e 

f 

Dr. Bülent ÇETİNKAYA Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim 

Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: 

bcetinka@metu.edu.tr 

Dr. Erdinç ÇAKIROĞLU Matematik Eğitimi alanında doçenttir. İletişim: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim 

Fakültesi, İlköğretim Bölümü, 06800 Ankara. Elektronik posta: erdinc@metu.edu.tr 

Dr. Cengiz ALACACI Matematik Eğitimi alanında profesördür. İletişim: İstanbul Medeniyet Üniversitesi, Eğitim 

Bilimleri Fakültesi, 34700 İstanbul. Elektronik posta: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr 

Dr. Sinem BAŞ Matematik Eğitimi alanında yardımcı doçenttir. İletişim: İstanbul Aydın Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, 

İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü, 34295 İstanbul. Elektronik posta: sinembas@aydin.edu.tr

KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ 

Matematiksel modelleme en genel anlamda gerçek 

hayattan veya gerçekçi bir durumun matematiksel 

yöntemler kullanılarak analiz edilmesi sürecidir. 

Matematiksel modellemenin ilköğretimden yükseköğretime 

kadar bütün kademelerde matematik 

derslerinde kullanılması gerektiği fikri son yıllarda 

önem kazanmıştır. Öğrencilerin matematiği daha 

anlamlı ve gerçek hayatla ilişkili öğrenmelerine yardımcı 

olacağı düşüncesi ve mevcut problem türlerinin 

bu hedefi gerçekleştirmede yetersiz kalması, 

modellemenin matematik eğitiminde kullanılması 

fikrinin temel dayanağıdır. Günümüzde teknolojinin 

de hızla gelişmesiyle farklı alanlarda çalışacak 

olan bireylerden farklı becerilere sahip olmaları 

beklenmektedir. Bu bağlamda, bireylere gerçek 

hayatta problem çözme becerilerinin kazandırılmasının 

matematik eğitiminin asıl hedefi olması 

gerektiği; matematiksel modellemenin öğretim 

sürecinde kullanımının da bu hedefe ulaşmanın bir 

yolu olabileceği düşünülmektedir (Gravemeijer ve 

Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). Son yıllarda 

matematik eğitiminin her seviyesinde matematiksel 

modelleme uygulamaları üzerine çalışmalar yapılmakta 

(ör. Çiltaş ve Işık, 2013; Delice ve Kertil, 

2014; Kertil, 2008) ve okul matematiğinde modelleme 

uygulamalarına daha fazla yer verilmesi gerekliliği 

vurgulanmaktadır (Department for Education 

[DFE], 1997; National Council of Teachers of Mathematics 

[NCTM], 1989; 2000; Talim ve Terbiye 

Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013). 

Eğitim ortamlarında matematiksel modellemenin 

anlamı, amacı, öğrencilere sunuluş biçimi, öğretim 

programına entegre edilme biçimleri ve öğretmenlerin 

sahip olması gereken mesleki donanımlar 

gibi konularda kabul görmüş ortak bir anlayıştan 

söz etmek mümkün değildir (Kaiser, Blomhoj ve 

Sriraman, 2006; Niss, Blum ve Galbraith, 2007). 

Modelleme farklı alanlarda kullanılan yaygın bir 

terim olup matematik eğitimi alan yazını içinde 

bile oldukça farklı anlam, amaç ve yaklaşımlarla ele 

alınabilmektedir. Bu alanda çalışma yapmak isteyen 

araştırmacıların alan yazındaki farklı yaklaşımların 

farkında olması önemlidir. Bu çalışmanın amacı 

öncelikle matematik eğitiminde matematiksel modellemeye 

ilişkin temel konuların ve kavramların 

tartışılmasıdır. Ayrıca, öğretim sürecinde kullanılan 

yöntemler ve hedefler çerçevesinde modellemenin 

nasıl tanımlandığı, kuramsal altyapısı ve 

kullanılan soruların niteliği bakımından “matematik 

öğretiminde araç” veya “matematik öğretiminin 

amacı” olarak matematiksel modelleme yaklaşımları 

ele alınmaktadır. 

Matematiksel Modelleme ve İlgili Temel Kavramlar 

Modelleme, birçok alanda gerçek hayattan bir objenin 

veya bir durumun prototipini oluşturma anlamında 

kullanılan yaygın bir terimdir. Matematiksel 

modelleme ise gerçek hayat durumlarının işleyişi 

ve yapısını anlamlandırmak için matematiğin sembolik 

diline aktarılarak ifade edilmesi sürecidir 

(Gravemeijer, 2002). Matematiksel modelleme ve 

ilgili bazı temel kavramlar ilerleyen bölümlerde ele 

alınmıştır. 

Model ve Matematiksel Model: Lesh ve Doerr’a 

(2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları 

yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan 

kavramsal yapılar ile bunların dış gösterimlerinin 

bütünüdür. Bir başka ifadeyle insanların doğayı 

anlayabilmek için keşfedip geliştirdikleri ve kullandıkları 

fikirler, gösterimler, kanunlar ve birtakım 

araç ve gereçler “model” kavramı ile ilişkilidir. Lehrer 

ve Schauble (2003) ise modeli, basit anlamda hiç 

aşina olmadığımız bir sistem ile önceden bildiğimiz 

sistemler arasında bağ kuran bir tür analoji olarak 

tarif etmektedirler. Bir analoji ve onunla ifade edilmeye 

çalışılan gerçek durum arasında mutlak bir 

uygunluktan söz edilemez. Aynı durum modeller 

için de geçerlidir. İnsanlar gerçek hayat durumlarının 

yorumlayıp anlamlandırmak için modeller ile 

düşünürler. Lehrer ve Schauble (2007) bu durumu 

model tabanlı düşünme olarak ifade etmekte ve bunun 

sürekli geliştiğini ve değiştiğini vurgulamaktadırlar. 

Model tabanlı düşünmenin ilk seviyesi fiziksel modellerdir. 

Örneğin, bir dönme dolabın küçük bir 

maketinin yapılması fiziksel bir modeldir. İkinci 

seviye ise gerçek hayat durumunun farklı gösterim 

sistemleri kullanılarak ifade edilmesidir. Örneğin, 

bir dönme dolabın genişletilmiş birim çember gibi 

düşünülerek koordinat düzlemine yerleştirilmesi, 

yarıçap ve merkez açı gibi semboller de kullanılarak 

matematiksel gösterim sisteminde ifade edilmesi bu 

seviyede bir modeldir. Kullanılan gösterimler basit 

olabileceği gibi daha üst düzey de olabilir. Üçüncü 

seviye ise sentaktik model olup, gerçek hayat durumunun 

yapısal özelliklerinin ve işleyişinin daha 

soyut ve bilimsel sembollerle ifade edilmesidir. Bu 

seviyede gerçek hayat durumu ile modeli arasında 

fiziksel bir benzerlik söz konusu değildir. Sabit hızda 

dönen bir dönme dolap üzerinde bulunan herhangi 

bir kapsülün zamana bağlı yerden yüksekliğini 

gösteren matematiksel formülün trigonometrik 

fonksiyonlar kullanılarak ifade edilmesi sentaktik 

modele örnek olarak verilebilir. Son seviye ise gelişmekte 

olan (emergent) modellerdir. Bu seviyede ise 

incelenen gerçek hayat durumunun yapısal özellik- 

1608

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme: Temel Kavramlar... 

leri sentaktik modellerle matematiksel olarak ifade 

edilmesinden sonra başlangıçta hedeflenmeyen 

yeni ilişkilerin ve modellerin ortaya çıkarılması söz 

konusudur. Netice itibariyle, gerçek hayat durumu 

ile modeli arasında birebir aynılıktan bahsetmek 

mümkün olmayacağı için, her zaman daha iyi bir 

modele ulaşabilme söz konusudur. Bu ise insanların 

kendi modellerini geliştirme veya yeni modeller 

ortaya çıkarma uğraşının sürekli devam etmekte 

olduğu anlamına gelmektedir. 

Matematiksel modeller gerçek hayattan bir nesnenin 

veya durumun fiziksel özelliklerinin ötesinde 

daha çok yapısal özelliklerini ve çalışma prensiplerini 

açıklamakla ilgilenir (Lehrer ve Schauble, 

2003, 2007; Lesh ve Doerr, 2003a). Örneğin, 

E = mc 2 formülü kütle, ışık hızı ve enerji arasındaki 

ilişkiyi açıklayan bir matematiksel modeldir. Fakat 

bir kişinin bu modele sahip olması yalnızca formülü 

kullanarak işlemler yapabilmesini değil, bu formülün 

temsil ettiği fiziksel yapıları anlayarak farklı 

bağlamlarda yorumlayabilmesini gerektirir. Dolayısıyla 

Lehrer ve Schauble’ın (2007) farklı model seviyelerinin 

ikinci seviyesinden sonra matematiksel 

modeller söz konusu olur. Ancak, herhangi bir matematiksel 

gösterimi tek başına bir matematiksel 

model olarak kabul etmek doğru değildir. Lehrer 

ve Schauble’a (2003) göre, gerçek hayattan bir durumun 

matematiksel bir modelinin oluşturulması 

sürecinde birden fazla matematiksel temsilin kullanılması 

ve birlikte yorumlanması söz konusudur. 

Bu nedenle, oluşturulan matematiksel bir modele 

gerçek hayat durumunun içerdiği bütün özellikleri 

aktarmak mümkün olmadığı gibi, tek bir matematiksel 

gösterimin de bir model olarak kabul edilmesi 

beklenmemelidir. Bir gerçek hayat durumunun 

yapısını anlamak için kullanılan farklı matematiksel 

gösterimler, işlemler ve fonksiyonel ilişkiler bir 

bütün olarak matematiksel modeli oluşturmaktadır. 

Örneğin, deprem ve gün uzunlukları gibi periyodik 

yapıya sahip durumları açıklamak için trigonometrik 

fonksiyonlar ve bu fonksiyonların farklı 

gösterimleri, maliyet hesaplarında değişim oranını 

açıklamak için türevin farklı gösterim ve yorumları 

birer matematiksel model olarak düşünülebilir. 

Matematiksel Model ve Somut Materyaller: Matematiksel 

model ve modelleme özellikle ilköğretim 

düzeyinde yaygın olarak somut materyal kullanımı 

olarak anlaşılmaktadır (Lesh, Cramer, Doerr, Post 

ve Zawojewski, 2003). Dienes’e göre öğrencilerde 

önemli matematiksel düşünme becerilerinin gelişmesi 

için somut materyallerin etkili bir şekilde kullanımı 

somutlaştırma (embodiment) açısından oldukça 

önemlidir (1960’dan akt., Lesh ve ark., 2003). 

Öğrencilerdeki gelişim somuttan soyuta olduğu 

için somut materyal kullanımı, soyut matematiksel 

düşünme becerilerinin gelişimi için ilk adım olarak 

görülür. Bu sebeple, onluk taban blokları, birim 

küpler, örüntü blokları, simetri aynası, kesir takımı, 

şeffaf kesir kartları ve geometri şeritleri gibi materyallerin 

matematik eğitiminde kullanımı sıklıkla 

vurgulanmaktadır. Öğretim aracı olarak kullanılan 

somut materyallerin model olarak adlandırılması, 

matematiksel modellemenin somut materyal 

tasarlama ve kullanımı ile sınırlı olduğu algısına 

sebep olmaktadır. Oysa matematik eğitiminde 

matematiksel modelleme daha geniş bir anlamda 

kullanılmaktadır. Somut materyal kullanımı, model 

terimi ile modelleme alan yazınında ele alınmakla 

birlikte, bu çalışmada açıklanan dinamik bir süreç 

ifade eden matematiksel modelleme genel teriminin 

kapsamını yansıtmamaktadır. Hatta bu somut 

materyaller bazı matematiksel kavramların birileri 

tarafından oluşturulmuş, hazır ve statik modelleri 

olarak görülmekte ve bu nedenle yapılandırmacı 

ve sosyo-kültürel öğrenme teorilerini temel alan 

modelleme yaklaşımlarınca bireyin kendi zihinsel 

yapılandırma sürecinden geçmediği noktasında 

eleştirilmektedir (Gravemeijer, 2002). 

Matematiksel Modelleme 

Matematiksel modelleme matematik dışında birçok 

disiplinin de ilgi alanına giren, eğitimin her seviyesinde 

gerçek hayatla ilişkili, açık-uçlu ve uygulamalı 

problem çözme uygulamalarını kapsayan genel bir 

terimdir. Haines ve Crouch (2007) matematiksel 

modellemeyi, gerçek hayat problem durumlarının 

soyutlanarak matematik diline aktarıldığı, çözümlendiği 

ve sonra çözümün test edildiği döngüsel bir 

süreç olarak tarif etmektedirler. Öte yandan Verschaffel, 

Greer ve De Corte’ye (2002) göre ise matematiksel 

modelleme, bir gerçek hayat durumundaki 

olayları ve bunlar arasındaki ilişkileri matematiksel 

olarak ifade etmeye çalışma ve matematiksel örüntüleri 

ortaya çıkarma sürecidir. Her iki tanımda da 

bir gerçek hayat durumunun fiziksel modelinin 

ötesine geçilerek yapısal özelliklerinin matematik 

yardımıyla incelenmesine işaret edilmektedir. 

Lesh ve Doerr (2003a) matematiksel modellemeyi 

mevcut kavramsal sistemlerin ve modellerin kullanıldığı, 

farklı bağlamlarda anlamlandırılarak geliştirildiği 

ve yeni modellerin ortaya çıkarıldığı bir 

süreç olarak ifade etmektedirler. Bu tanıma göre 

matematiksel modelleme, hem önceden bilinen 

kavramsal sistemleri ve modelleri kullanma hem 

de yenilerini oluşturma ve geliştirme anlamlarını 

içermesi bakımından statik ve dinamik yapıları içe- 

1609


ren bir terimdir. Başka bir deyişle, model bir süreç 

sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken modelleme 

ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut 

modelini oluşturma sürecini ifade etmektedir (Sriraman, 

2006). Benzer şekilde Gravemeijer ve Stephan 

(2002) da matematiksel modellemenin sadece 

gerçek hayat durumlarının hazır modeller kullanılarak 

matematik diline aktarmakla sınırlı olmadığını, 

gerçek hayat durumu içerisindeki olguların 

yeniden yorumlanıp düzenlenerek matematiksel 

kavramlarla ve gösterimlerle ilişkilendirilmesini de 

kapsadığını ifade etmektedirler. Matematiksel modellemede, 

gerçek hayat durumunun matematiğin 

sembolik diline başarılı bir şekilde aktarılabilmesi 

için öğrencilerin işlemsel ve aritmetik bilgilerin 

ötesinde uzamsal düşünme, yorumlama, tahmin 

etme gibi daha üst düzey matematiksel donanımlara 

sahip olmaları gerekmektedir (Lehrer ve Schauble, 

2003). Bu anlamda, matematiksel modelleme 

bilimsel düşünmenin gereklilikleri olan oluşturma, 

keşfetme, uygulama, yorumlama ve değerlendirme 

gibi becerileri içerdiği için iki ayrı alan gibi görülen 

matematik ile fen bilimleri arasındaki yakın ilişkiyi 

de ön plana çıkarmaktadır. 

Matematiksel modellemenin öğretim sürecinde 

kullanımı bakımından temel iki yaklaşımdan bahsedilebilir 

(Gravemeijer, 2002; Niss ve ark., 2007). 

Birincisi, matematik derslerinde hazır bir şekilde 

verilen matematiksel bilgilerin gerçek hayat durumlarını 

analiz ederken uygulanabilmesi, dönüştürülebilmesi 

ve uyarlanabilmesidir. Bu yaklaşımda 

matematiksel modeller ve bu modellerin hangi 

gerçek hayat durumlarını yorumlamada kullanılabileceği 

bilgileri hazır verilmekte, öğrencilerden 

bir gerçek hayat durumuna uygun matematiksel 

modeli aramaları veya uyarlamaları beklenmektedir. 

İkinci yaklaşım ise bir gerçek hayat durumunu 

yorumlama sürecinde öğrencilerin kendi sembolik 

araçlarını ve modellerini geliştirmesidir (Gravemeijer 

ve Stephan, 2002; Lesh ve Doerr, 2003a). 

Bu yaklaşım öğrencilere kendi matematiksel modellerini 

oluşturma ve geliştirme fırsatını vermeyi 

önemsemektedir. 

Matematiksel Modelleme Süreci: Matematiksel 

modellemede, verilenleri kullanarak hedefe ulaşma 

sürecinde katı bir prosedür uygulaması söz konusu 

değildir (Blum ve Niss, 1991; Crouch ve Haines, 

2004; Lesh ve Doerr, 2003a). Gerçek hayattan bir 

olgunun matematiksel modelini oluşturma sürecinde; 

matematiksel model ile modellenen gerçek 

durumu ayırt edebilme, hata payı ve uyumluluk 

bakımından değerlendirme, farklı ve daha iyi bir 

model ile ifade edebilme ihtimali göz önünde bulundurulması 

gereken unsurlardır. Matematiksel 

modelleme sürecinde verilenleri kullanarak bir 

çözüme ulaşma, çözümü gerçek hayat durumuyla 

karşılaştırma, eğer yeterli değilse çözümü geliştirme 

veya daha farklı bir çözüm geliştirme gibi çok 

basamaklı bir döngü vardır (Haines ve Crouch, 

2007; Lehrer ve Schauble, 2003). Matematiksel modellemenin 

döngüsel bir süreç olduğu, alan yazında 

ortak bir fikir olarak vurgulanmaktadır (Zbiek ve 

Conner, 2006). 

Alan yazında matematiksel modelleme sürecindeki 

aşamaları açıklayan farklı model ve gösterimler 

mevcuttur. Örneğin, Lingefjärd’a (2002a) göre döngüsel 

modelleme süreci; verilenleri belirleme ve sadeleştirme, 

problemi formülleştirme, değişkenleri 

belirleme, matematiksel ifadeleri formülleştirme, 

Şekil 1 

Matematiksel Modelleme Süreci (NCTM, 1989, s. 138) 

1610


bir matematiksel model seçme, grafik gösterimleri 

kullanma ve gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak 

kontrol etme gibi yedi aşamadan oluşmaktadır. 

Modelleme süreci lineer olmayan, tekrarlı döngüler 

içeren ve beş temel aşmadan oluşan bir süreçtir 

(bkz. Şekil 1). Bu süreçler şunlardır: (i) Gerçek 

hayat problemini tanımlama ve sadeleştirme, (ii) 

bir matematiksel model oluşturma, (iii) modeli dönüştürme, 

geliştirme ve çözme, (iv) modeli yorumlama, 

(v) modeli doğrulama ve kullanma. Birinci 

aşamada, öğrenciler problem durumunu inceleyip 

verilen bilgileri belirleyerek problem durumunu 

anlayabilecekleri en sade hâle getirirler. İkinci aşamada, 

problem durumunu ifade edebilecek matematiksel 

gösterimlerden (grafik, denklem vs.) yararlanarak 

problemi matematiksel ifadeye aktarılar. 

Üçüncü aşama, probleme matematiksel bir çözüm 

bulabilmek için geliştirilen matematiksel gösterimleri 

dönüştürme ve analiz etmeyi içerir. Dördüncü 

aşamada, öğrenciler buldukları çözümün analiz 

ettikleri gerçek hayat durumu ile ne kadar tutarlı 

olduğunu incelerler. En son aşamada ise öğrenciler 

geliştirdikleri matematiksel modelin, üzerinde 

çalıştıkları gerçek problem durumunu ve benzer 

durumları açıklamada ne kadar geçerli ve kullanışlı 

olduğuna karar verirler. Oluşturulan matematiksel 

modelin asıl problem durumunu ne kadar açıkladığı 

değerlendirilerek aynı aşamaları tekrarlama ve 

alternatifler üretme söz konusu olduğu için modelleme 

sürecinde tekrarlı bir döngü vardır. 

Yukarıda örnek olarak sunulanlar haricinde modelleme 

sürecinin döngüsel yapısını daha detaylı açıklayan 

çok sayıda model ve gösterimler mevcuttur 

(bkz. Borromeo Ferri, 2006; Hıdıroğlu ve Bukova 

Güzel, 2013). Bu tür gösterimler öğrencilerin modelleme 

sürecinde geçtiği aşamaların idealleştirilmiş 

tanımlamalarından ibarettir. Fakat yine de, bu 

tür gösterim ve modeller, öğretmenler ve araştırmacılar 

için yol gösterici olabilir. Örneğin, modelleme 

etkinliklerini sınıfında uygulamak isteyen bir 

öğretmen, öğrencilerin hangi aşamalardan geçebileceği 

ve bu süreçte ne tür problemlerle karşılaşabileceği 

ile ilgili öngörülerde bulunabilir. 

Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme 

Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme 

ile problem çözme arasında bir fark olup 

olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel 

modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle 

(word problems) karıştırılabilmektedir. 

Reusser ve Stebler’e (1997) göre geleneksel sözel 

problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen 

tarafından sorulan her problemin çözülebilir 

ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; 

problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel 

işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha 

önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı 

didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. 

Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu 

gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat 

durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde 

bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve 

gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur. 

Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla 

gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz 

önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar 

(ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann 

ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi 

durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel 

modelleme bağlamında inceleyen birçok 

çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Corte, 

1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; 

Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin 

sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını 

da göz önünde bulundurma becerilerini 

geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri 

aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel 

problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde 

bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu 

söz konusudur. 

“228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın 

tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada 

kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. 

Asansör bütün kafileyi binanın tepesine 

çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır?” (Verschaffel 

ve De Corte, 1997, s. 584) 

Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden faklı 

olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun 

öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. 

Burada öğrencilerin sözel problemlere 

verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da 

test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır. 

Yani 228’in 24’e bölümü sonucu kalan 12 kişi için 

asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğrencilere 

kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece 

bu tür sözel problemler matematiksel modelleme 

için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve 

De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde 

idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun 

bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak 

için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun 

içerisinde gizlenmiştir. 

Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin 

yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme 

olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem 

1611


Tablo 1 

Problem Çözme ve Matematiksel Modellemenin bir Karşılaştırması (Lesh ve Doerr [2003a] Lesh ve Zawojewski’den [2007] derlenmiştir.) 

Geleneksel Problem Çözme Yaklaşımları 

Matematiksel Modelleme 

Verilenleri kullanarak belirli bir sonuca ulaşma süreci 

Çoklu döngü, farklı yorumlar 

Problem bağlamı idealleştirilmiş gerçek veya gerçekçi hayat 

Otantik gerçek hayat bağlamı 

durumları 

Öğrencilerden hazır öğretilmiş formül, algoritma, strateji, 

matematiksel fikir vb. yapıları kullanmaları beklenmektedir. 

Bireysel çalışma ön planda 

Öğrenciler modelleme sürecinde önemli matematiksel fikir ve 

yapıları geliştirme, gözden geçirme ve düzeltme aşamalarını 

yaşarlar. 

Grup çalışması vurgulanıyor (sosyal iletişim, matematiksel 

fikirlerin paylaşımı vs.) 

Gerçek hayatla ilişkili ve disiplinler arası bir doğaya sahip 

Modelleme sürecinde ise öğrenciler anlamlı gerçek hayat 

durumların matematiksel tarifini yapmaya çalışıyor. 

Gerçek hayattan soyutlanmış 

Öğrencilerden matematiksel sembol ve yapıları 

anlamlandırmaları bekleniyor. 

Belirli problem çözme stratejilerinin (farklı bir yaklaşım 

Birden fazla ve öğrenciler tarafından bilinçli olarak duruma 

geliştirme, bir şekil üzerine aktarma vb.) öğretilmesi ve benzer 

özel geliştirilen, belirgin olmayan çözüm stratejileri 

problemlerde kullanılması 

Tek doğru bir çözüm 

Birden fazla çözüm yaklaşımı ve çözüm (model) 

çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı 

olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel 

modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki 

farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı 

tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a; 

Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman 

ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu 

çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında 

matematiksel modelleme problemlerinin 

daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları 

sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen 

özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir. 

Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam 

ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde 

kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta 

problem çözme becerilerini geliştirme sorununa 

bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu 

araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında 

bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme, 

uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların 

çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan 

sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte, 

yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri 

tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin 

ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem 

durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr 

(2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar 

tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda 

hazırlanan matematiksel modelleme ve problem 

çözmenin bir karşılaştırması Tablo 1’de verilmiştir. 

Matematiksel Modelleme Yaklaşımları 

Matematik ile gerçek hayat arasında bağ kurmaya 

çalışan her tür uygulama matematiksel modellemeyle 

ilişkilendirilebilir. Fakat farklı teorik altyapılar 

çerçevesinde matematik eğitiminde modelleme 

kullanımına yönelik farklı yaklaşımlar söz konusu 

olup uluslararası çalışmalarda da henüz ortak bir 

anlayış oluşmamıştır (Kaiser, Blum, Borromeo Ferri 

ve Stillman, 2011; Kaiser ve Sriraman, 2006). Bazı 

araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde 

yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma, 

eğitim ve öğretimi yorumlamada yeni bir yaklaşım 

olarak benimserken (Lesh ve Doerr, 2003a, 2003b) 

bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi 

gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade 

edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların, 

modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları 

olarak görmektedir (Haines ve Crouch, 

2007). Matematiksel modelleme alanında yapılan 

çalışmalarda tartışılan konuların anlaşılması için 

bu farklı yaklaşımların benzer ve farklı yönleri irdelenmelidir. 

Ancak ne yazık ki, birçok araştırmacı 

tarafından dile getirilmekle birlikte henüz matematiksel 

modellemenin anlaşılmasındaki farklılıklara 

yönelik ayrıntılı ve sistematik bir şekilde analiz 

eden bilimsel çalışmalar yeterli düzeyde değildir 

(Kaiser, 2006; Kaiser ve Sriraman, 2006; Sriraman, 

Kaiser ve Blomhoj, 2006). Bu nedenle, matematiksel 

modellemenin öğrenimi ve öğretimi ile ilgili 

tüm dünyada kabul gören bir teoriden bahsetmek 

de henüz mümkün değildir (Kaiser ve ark., 2006). 

Aşağıda alan yazında karşımıza çıkan farklı matematiksel 

modelleme yaklaşımları ele alınmaktadır. 

International Commission on Mathematical Instruction 

(ICMI) ve the International Community of 

Teachers of Mathematical Modelling and Applications 

(ICTMA) tarafından düzenlenen kongrelerde 

modellemeyle ilgili sunulan çalışmaların genel hedefleri 

ve teorik çerçeveleri göz önünde bulundurularak 

Kaiser (2006) ile Kaiser ve Sriraman (2006) 

tarafından yapılan sınıflandırma bu konuda faydalı 

bir bakış açısı sağlamaktadır. Araştırmacılar sınırlı 

sayıdaki çalışmaları inceleyerek bunlara yön veren 

1612


modelleme yaklaşımlarını 6 başlık altında sınıflandırmaktadırlar: 

(i) gerçekçi veya uygulamalı modelleme, 

(ii) bağlamsal modelleme, (iii) eğitimsel 

modelleme, (iv) sosyo-kritik modelleme, (v) epistemolojik 

veya teorik modelleme ve (vi) bilişsel modelleme. 

Bu sınıflandırmada her bir yaklaşım matematiksel 

modellemenin farklı bir yönünü ön plana 

çıkarmaktadır. Gerçekçi veya uygulamalı modelleme 

yaklaşımı, öğrencilerde problem çözme ve modelleme 

becerilerini geliştirmeyi hedeflemektedir. Bu 

yaklaşımda öğrencilere mühendislik ve diğer bilim 

dallarından problem durumları verilerek öğrendikleri 

matematiksel bilgileri farklı bağlamlarda 

uygulamaları önemsenmektedir. Bağlamsal modelleme 

yaklaşımında öğrencilere yapaylıktan uzak 

anlamlı gerçek hayat durumları verilmektedir. Böylece 

öğrencilerin matematiksel kavramları uygun 

bağlamlar içerisinde tecrübe ederek daha anlamlı 

öğrenebilecekleri varsayılır. Eğitimsel modelleme ise 

gerçekçi modelleme yaklaşımı ile bağlamsal modelleme 

yaklaşımının bir çeşit karması olarak düşünülebilir. 

Bu yaklaşımda matematiksel modelleme ile 

uygun öğrenme ortamlarının ve süreçlerinin oluşturularak 

öğrencilere kavramların öğretilmesini 

amaçlamaktadır. Sosyo-kritik modelleme yaklaşımı 

ise matematiğin sosyo-kültürel ve etno-matematik 

boyutlarına odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre 

matematik öğretimi ile öğrencilere kendi yaşadığı 

topluma ve kültürel yapıya özgü kullanabileceği 

eleştirel düşünme becerileri kazandırılmalıdır. 

Bunu gerçekleştirmede matematiksel modelleme 

etkinliklerinin önemli olduğu düşünülmektedir. 

Bu çerçevede modelleme sürecinde öğrencilerin 

basitten karmaşığa doğru matematiği kullanarak 

tartışmaları onların eleştirel düşünme becerilerinin 

gelişmesine katkı sunacağı varsayılır. Epistemolojik 

veya teorik modelleme yaklaşımı ise matematiksel 

modellemede, matematiksel kavramlar arasındaki 

ilişkileri ve öğrencilerin bunlar üzerinde konuşmalarını 

ön planda tutmaktadır. Bu yaklaşıma 

göre modelleme etkinliklerindeki gerçekçi bağlam 

ikinci planda olup, içerisinde matematik olan her 

uğraş bir modelleme etkinliği olarak kabul edilir. 

Son olarak, bilişsel modelleme yaklaşımı ise modelleme 

sürecinde öğrencilerin yaşadıkları bilişsel ve 

üst bilişsel düşünme süreçlerinin analiz edilmesine 

odaklanmaktadır. Bu yaklaşıma göre modelleme etkinlikleri 

öğrencilerin düşünme süreçlerini anlama 

ve destekleme amacıyla öğretmenlere yol gösterici 

bir ortam sunmaktadır. Kaiser (2006) ile Kaiser 

ve Sriraman (2006) tarafından öne sürülen sınıflandırma, 

sistematik bilimsel bir analizden ziyade 

araştırmacıların öznel yorumlarını içermektedir. 

Bu sınıflandırmadaki modelleme yaklaşımlarını 

birbirinden kesin sınırlarla ayırmak pek de mümkün 

değildir. Nitekim bunun yüzeysel bir sınıflandırma 

olduğunu bu araştırmacıların kendileri de 

belirterek matematiksel modelleme ve ilgili kavramları 

üzerine ortak anlayışı artırmak ve derinleştirmek 

için bu konuda daha ayrıntılı çalışmaların 

yapılması gerektiğini önermektedirler. 

Kaiser ve Sriraman (2006) tarafından yapılan sınıflandırma 

farklı matematiksel modelleme yaklaşımlarını 

ve anlayışlarını ifade etmekle birlikte aralarındaki 

farkı net bir şekilde ortaya koymamaktadır. 

Matematiksel modellemenin matematik öğretiminde 

kullanım amacı bakımından daha basit bir 

sınıflandırma yapmak mümkündür. Genel olarak 

bakıldığında matematiksel modellemenin matematik 

eğitiminde kullanım amacına yönelik iki farklı 

yaklaşımdan söz etmek mümkündür: (i) matematik 

öğretiminin amacı, (ii) matematiği öğretmek için 

kullanılan bir yöntem (araç) (Galbraith, 2012; Gravemeijer, 

2002; Julie ve Mudaly, 2007; Niss ve ark., 

2007). Birinci yaklaşımda matematik öğretimi ile 

hedeflenen öğrencilerin modellerinin ve bu modelleri 

kullanarak matematiksel modelleme yapabilme 

becerilerinin geliştirilmesi hedeflenir. Matematiksel 

kavram ve modeller verildikten sonra gerçek 

hayat uygulamaları ile desteklenir. Bu yaklaşımda 

matematikten gerçek hayata (matematik → gerçek 

hayat) doğru bir yönelim vardır. İkinci yaklaşımda 

ise matematiksel modelleme matematiksel kavram 

ve modellerin öğretilmesinde bir yöntem ve bağlam 

olarak kullanılır. Bu yaklaşımda ise gerçek hayattan 

matematiğe (gerçek hayat → matematik) doğru bir 

yönelim söz konusudur. Birincisinde matematiksel 

yapılar, kavramlar ve modeller idealleştirilmiş gerçek 

hayat durumlarında uygulanacak birer hazır 

“obje” olarak ele alınırken ikincisinde ilgili matematiksel 

yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve 

genelleştirilmesini ifade eden “sürece” daha çok 

vurgu yapılmaktadır. İlerleyen kısımlarda bu iki 

modelleme yaklaşımı kuramsal altyapıları, matematiksel 

modelleme tanımları ve kullanılan soruların 

doğası bakımından incelenecektir. 

Matematik Öğretiminin Amacı Olarak Matematiksel 

Modelleme 

Bu yaklaşımda matematiksel modellemeye matematik 

ve matematik dışındaki disiplinler için 

öğrencilerde geliştirilmesi gereken temel beceriler 

açısından bakılmaktadır (ör. Blomhøj ve Jensen, 

2007; Blum, 2002; Crouch ve Haines, 2004; Haines 

ve Crouch, 2001; Izard, Haines, Crouch, Houston 

ve Neill, 2003; Lingefjard, 2002a; Lingefjard ve 

Holmquist, 2005). Diğer bir deyişle, matematik öğ- 

1613


İçecek Kutusu 

İçi dolu bir metal içecek kutusu düşünün. Dolu kutuda 0,33 litre içecek bulunmaktadır. Kutunun altından 

küçük bir delik açıp üst kısmındaki kapağını açtığımızda kutudaki içecek 0,5 cm 3 /sn. hızla boşalmaya başlamaktadır. 

Kutu ve altındaki küçük delik içerisindeki bütün sıvının dökülebileceği şekilde konumlandırılmıştır. 

Başlangıçta kutunun kütle merkezinde bulunan sistemin ağırlık merkezi (Kutu ve içindeki içecek), yavaşça 

aşağıya doğru kaymakta ve sonra kutu boşalınca da başlangıç konumuna geri dönmektedir. 

a) Bu ağırlık merkezinin zamana bağlı hareketini açıklayan bir matematiksel model geliştiriniz. Modeli bir 

diyagram ile gösteriniz ve içecek kutusunun boşalma süresince sahip olabileceği en düşük ağırlık merkezi 

seviyesinin değerini en yaklaşık değeri ile hesaplayınız. 

b) Belli bir miktar içecek için kutu yandaki şekilde görüldüğü gibi konumlandırılabilmektedir. Kutudaki içecek miktarı ne kadar 

olduğunda bu işlem mümkündür? 

Varsayımlarınızı ve hesaplamalarınızı çözüm sürecinizde detaylandırarak açık bir şekilde gösteriniz. 

Şekil 2 

İçecek Kutusu Problemi (Lingefjard’dan [2002a] uyarlanmıştır.) 

retiminin amacı, öğrencilerin gerçek hayat durumları 

ile ilgili problemleri çözmek için ihtiyacı olan 

modelleme becerileri elde etmesini ve bu becerileri 

kullanabilmesini sağlamaktır. 

Lingefjard (2002a; 2002b) matematiksel modellemeyi 

soyut ve uygulamalı matematiğin bir parçası 

olarak görmektedir. Diğer bir deyişle sınıf ortamında 

öğretilen soyut matematik kavram ve konuları 

gerçek hayatta kullanılabileceği bağlamlarla birlikte 

öğretilmelidir. Lingefjard (2004), matematiksel modellemeyi 

bir otantik durumu gözlemleme, ilişkileri 

tahmin etme (saptama), matematiksel analizleri 

uygulama (denklemler, sembolik yapılar vs.), matematiksel 

sonuçları elde etme ve modeli tekrar yorumlamayı 

içeren bir süreç olarak tanımlamaktadır. 

Dolayısıyla Niss ve arkadaşlarının (2007) bahsettiği 

gibi önce matematiksel kavramların verildiği daha 

sonra bu kavramların uygulanabileceği gerçek hayat 

durumları üzerine çalışılan (matematik→ gerçek 

hayat) bir yaklaşım bulunmaktadır. Gravemeijer 

(2002) ise bunu başkaları tarafından oluşturulmuş 

ve öğrenci için statik yapıda hazır modeller olarak 

ifade etmektedir. Kullanılan modelleme problemlerine 

bakıldığında genel olarak ağır ve üst düzey matematik 

uygulamaları söz konusudur (bkz. Şekil 2). 

Ayrıca bu yaklaşımı kullanan araştırmacılara göre, 

matematiksel modelleme sadece matematik içinde 

değil disiplinlerarası düşünülmesi ve ele alınması 

gereken bir konudur (ör. Haines ve Crouch, 2001, 

2007). Dolayısı ile diğer disiplinlerde de kullanılacak 

olan matematiksel modelleme becerileri iyi belirlenmeli 

ve bu becerileri geliştirmenin yöntemleri 

aranmalıdır. Bu araştırmacılar çalışmalarında matematik 

eğitiminin önemli amaçlarından biri olarak 

gördükleri matematiksel modelleme becerilerinin 

tanımlanması, geliştirilmesi ve ölçülmesi ile ilgili 

konulara odaklanmışlardır. 

Bunun için modelleme becerilerinin ve yeterliliklerinin 

neler olduğuna, nasıl geliştirileceğine ve nasıl ölçülebileceğine 

yönelik farklı görüşler ortaya çıkmaktadır 

(Henning ve Keune, 2007). Bu konuya bütüncül 

bir yaklaşımla bakılabilirken (Blomhøj ve Jensen, 

2007), Crouch ve Haines (2004) gibi bazı araştırmacılar 

ise mikro-düzeyde bakmaktadır. Matematiksel 

modelleme becerilerine mikro düzeyde bakan Ross 

Crouch, John Davis, Andrew Fitzharris, Chris Haines, 

John Izard, Ken Houston ve Neville Neill gibi araştırmacılar, 

1991-2005 yılları arasındaki çalışmaları sonucunda 

matematiksel modelleme becerilerini aşağıdaki 

gibi tanımlamışlardır (Lingefjard, 2004): 

1. Aşağıdaki seçeneklerden hangisi sabit durumdayken hızlanan bir otomobilin zamana (t) bağlı olarak hızını veren en yakın 

matematiksel ifadedir? 

2. Aşağıda verilen durum üzerine düşününüz. 

Araçların arka arkaya düz bir sıra halinde park edildiği bir caddeye arabanızı geri geri park etmek durumundasınız. Park 

edeceğiniz boşluk arabanızın yaklaşık 1,5 katıdır. 

Buna göre, manevranın başarılı bir şekilde gerçekleştirilebilmesi için aşağıdaki değişkenlerden hangisi en önemlidir? 

A) Arabanın dönme yarıçapı 

B) Geri gitmeye başlamadan önce arabanın park boşluğuna olan mesafesi 

C) Mevcut hava koşulları 

D) Kaldırıma çıkıp çıkmayacağınız 

E) Geri gitmeye başlamadan önce arabanızla paralelinizde park edilmiş arabalar arasındaki mesafe 

Şekil 3 

Modelleme Becerilerini Ölçmeye Yönelik Soru Örnekleri 

1614


• Verilenleri belirleme ve sadeleştirme 

• Hedefi belirginleştirme 

• Problemi formülleştirme 

• Değişkenleri, parametreleri ve sabitleri belirleme 

• Matematiksel ifadeleri formülleştirme 

• Bir matematiksel model seçme 

• Grafik gösterimleri kullanma 

• Gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol 

etme 

Aynı grup tarafından mikro-düzeydeki bu modelleme 

becerilerini ölçmek için geliştirilen bir test, 

modelleme sürecinin her bir aşamasında öğrencilerden 

beklenen becerileri ayrı ayrı, mikro düzeyde 

ölçmeyi hedeflemektedir (Haines, Crouch ve Davis, 

2000). Şekil 3’teki ilk soru, matematiksel bir model 

seçme becerisini ölçmeye yönelik iken ikinci soru, 

hedefi belirginleştirme becerisini ölçmeye yöneliktir. 

Matematiksel modellemeyi öğretmeyi amaçlayan 

yaklaşımlarda modellemenin öğretimi üzerine çalışmalar 

da ön plana çıkmaktadır (bk. Ärlebäck ve 

Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Bu bağlamda, 

Fermi problemleri matematiksel modellemenin öğretimi 

sürecinde kullanılabilecek problem türlerine 

örnek olarak verilmiştir (Ärlebäck, 2009; Ärlebäck 

ve Bergsten, 2010; Sriraman ve Lesh, 2006). Fermi 

problemleri; varsayımlarda bulunarak, sistematik 

bir düşünme biçimi ve sınırlı bilgi ile hesaplanması 

pek mümkün olmayan büyüklüklerle ilgili 

tahmin yürütmeyi içermektedir (Ärlebäck, 2009) 

(bkz. Şekil 4). Ünlü fizikçi Enrico Fermi’ye atfedilen 

“Şikago’da kaç tane piyano akortçusu var?” sorusu 

Fermi problemleri olarak isimlendirilen problem 

türünün klasik bir örneğidir (Sriraman ve Lesh, 

2006). Ärlebäck’a (2009) göre Fermi problemleri, 

öğrencilerin basit hesaplamalarla çözüme başlamadan 

önce varsayımlarda bulunarak sistematik 

tahminlerde bulunmalarını gerektiren açık uçlu, 

rutin olmayan problemlerdir ve matematiksel modellemenin 

öğretilmesi için mükemmel araçlardır. 

Sriraman ve Lesh’e (2006) göre bu tür problemler bir 

matematiksel modelleme problemi olmaktan ziyade, 

modelleme problemleri için iyi birer başlangıç problemidir. 

Fermi problemleri diğer klasik problemlerle 

kıyaslandığında yaşadığımız çevre ile daha yakından 

ilişkili olup pedagojik olarak daha geniş ve anlamlı 

olanaklar sunmaktadır (Ärlebäck ve Bergsten, 2010). 

Özet olarak, matematik öğretiminin amacı olarak 

matematiksel modelleme yaklaşımında matematiksel 

modelleme hazır öğretilen soyut matematiksel 

kavram ve modellerin gerçek hayat uygulamalarını 

yapabilme olarak görülmekte ve matematik öğretiminden 

bağımsız olarak ayrıca modelleme beceri ve 

stratejilerinin öğretilmesi savunulmaktadır. Burada 

modelleme becerilerinin geliştirilmesi çok önemsenmekte 

ve bunun için de matematiksel kavramlar 

öğretildikten sonra çok sayıda gerçek hayat bağlamlı 

uygulama problemleri çözülmesinin ve hatta matematik 

dersinden ayrı olarak matematiksel modelleme 

dersi olmasının gerekliliği vurgulanmaktadır (Haines 

ve Crouch, 2001). Yine de, bu yaklaşım temelinde 

uygulanan modelleme problemleri, öğrencilere hem 

kendi yaşamları ile ilgili gerçek problemleri çözme deneyimi 

kazandırmakta hem de modelleme becerilerini 

geliştirerek öğrencilerde modelleme süreci ile ilgili 

zihinsel bir altyapı oluşturmaya yardımcı olmaktadır 

(Galbraith, 2012). 

Matematiği Öğretmek İçin Bir Araç (Yöntem) 

Olarak Matematiksel Modelleme 

Matematiksel modellemenin matematik eğitiminde 

kullanımına yönelik ikinci bir yaklaşım ise 

matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek 

için bir araç olarak ele almaktadır. Bu bakış açısına 

göre matematiksel modelleme süreci, öğrencilerin 

kendi matematiksel bilgi ve modellerini oluşturup 

geliştirmek için kullanılabilecek öğretim aracıdır. 

Bunun için önemli matematiksel kavramlar ve fikirler, 

tarihsel gelişimine de uygun bir şekilde ve 

sezgiselden formele doğru, uygun problemler ve 

gerçek hayat durumları aracılığıyla öğretilmelidir 

(Lesh ve Doerr, 2003a). Geleneksel yöntemlerde 

öğrencilere hazır sunulan matematiksel bilgi ve 

modeller öğrencilerin zihninde bir süreçten geçmediği 

için anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesi zordur. 

Bunun için, öğrencilere kendi matematiksel bilgi ve 

modellerini geliştirebilecekleri ortamlar sunmak 

gerekir. Matematik eğitiminde Model ve Modelleme 

Perspektifi (MMP) (Lesh ve Doerr, 2003a) ve Gerçekçi 

Matematik Eğitiminin ortaya koyduğu modelleme 

yaklaşımı (emergent modeling) (Gravemeijer, 

1) Bir yüzme havuzunu doldurmak için kaç bardak suya ihtiyaç vardır? 

2) İstanbul’da bulunan ve Türkiye’nin en yüksek binası olan Sapphire Towers’ın girişindeki danışma görevlilerine en sık sorulan 

sorular şunlardır: 

• Binanın en üst katında bulunan gözlem odasına asansör ne kadar zamanda çıkmaktadır? 

• Eğer yürüyerek çıkmak istersek kaç dakika sürer? 

Şekil 4 

Örnek Fermi Problemleri (Ärlebäck’dan [2009] uyarlanmıştır.) 

1615


2002; Gravemeijer ve Stephan, 2002) bu bakış açısına 

sahip yaklaşımlara örnektir. 

Model ve Modelleme Perspektifi (MMP): Lesh ve 

Doerr (2003a) tarafından öne sürülen Matematiksel 

Model ve Modelleme Perspektifi (MMP) matematikte 

öğrenmeyi, öğretmeyi ve problem çözmeyi açıklayan 

kapsamlı bir teorik yaklaşımdır. MMP kuramsal altyapı 

olarak yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorileri 

temel alır. Bu yaklaşıma göre kişiler olayları, deneyimleri 

ve/veya problem durumlarını zihinlerinde var olan 

bilişsel sistemlerini (zihinsel modellerini) kullanarak 

yorumlamaya ve böylece anlamlandırmaya çalışmaktadırlar. 

Bu yorumlama sürecinde zihinsel modeller, 

söz konusu olay veya problem durumu ile ilgili bilgiyi 

düzenlemek, organize etmek ve anlamlı örüntüler bulmak 

için kullanılır. Modelleme sürecinde öğrencinin 

çözüm bulma, çözümü test etme ve alternatif çözüm 

üretme döngüsünde aktif rol alması ve sürecin sonunda 

bir matematiksel model geliştirmesi yapılandırmacılığın 

bireyin zihinsel gelişim sürecini merkeze alan 

yaklaşımını yansıtmaktadır (Lesh ve Lehrer, 2003). 

Ancak bu zihinsel modellerin kullanılabilmesi ve gelişimi 

bir takım gösterimlerle (dil, semboller, şekiller, 

teknolojik araçlar vs.) ifade edilebilmesi ile mümkündür. 

Modelleme sürecinde grup çalışması yapılması, 

grup tartışmaları neticesinde birçok döngüden geçerek 

çözüme ulaşılması sosyal bir öğrenme ortamını gerektirir. 

Bu yönüyle teori, bilişsel gelişimin sosyo-kültürel 

boyutunu da içermektedir (Lesh ve Doerr, 2003b; Lesh 

ve Lehrer, 2003). 

Zawojewski, Lesh ve English’e (2003) göre geleneksel 

matematik problem çözme etkinliklerinde, elde 

edilmesi beklenen bir matematiksel (sayısal) sonuç 

olduğu için paylaşılmaya ihtiyaç yoktur ve bu nedenle 

sosyal yönü zayıftır. Ancak matematiksel modelleme 

etkinliklerinde model oluşturma ve modeli genelleme 

ilkeleri, geliştirilen bir modelin paylaşılabilir ve tekrar 

kullanılabilir olmasını öngörür. Modelleme etkinliklerinde 

grup çalışma sürecinde her bir öğrenci kendi 

gösterim yöntemleri ile problemi yorumlamakta ve 

bu yorumlar grupça tartışılmaktadır. Her bir model 

tartışılıp değerlendirildikten sonra da en uygun model 

oluşturulmaktadır. Oluşturulan model başkaları 

tarafından kullanılacağından, öğrenciler her bir süreci, 

yöntemi ve stratejiyi açıklamak durumundadır (Zawojewski 

ve ark., 2003). Burada yine grup çalışmasında 

grup üyelerinin birbirlerini değerlendirmesiyle öğretmen 

tek değerlendirme kaynağı olmaktan da çıkmaktadır. 

Ayrıca grup tartışması sürecinde grup üyelerinin 

iletişim becerilerini geliştirme fırsatı da ortaya çıkmaktadır. 

MMP’ye göre matematik eğitiminin en önemli 

amacı öğrencilerin karşılaştıkları gerçek problem 

durumlarını yorumlayıp çözüm üretebilecekleri zihinsel 

modeller geliştirmelerine yardımcı olmaktır. 

MMP yaklaşımı “model” ve “modelleme” terimleri 

için kapsamlı bir tanım sunmaktadır. Lesh ve 

Doerr’a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri 

ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde 

var olan kavramsal yapılar ile bu yapıların dış 

temsillerinin bütünüdür. Modelleme ise olayları ve 

problemleri yorumlama (tanımlama, açıklama veya 

oluşturma) sürecinde problem durumlarını zihinde 

düzenleme, koordine etme, sistemleştirme ve organize 

edip bir örüntü bulma, zihinde farklı şemalar 

ve modeller kullanma ve oluşturma sürecidir (s. 

11). Bu bağlamda “model” bir süreç sonunda oluşturulmuş 

ürünü ifade ederken “modelleme” ise bir 

durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini 

oluşturma sürecini anlatmaktadır. 

MMP yaklaşımı modelleme problemleri için “model-oluşturma” 

(model-eliciting) etkinlikleri ifadesini 

kullanmakta ve bu etkinliklerin eğitim-öğretim 

sürecinde kullanılmasına önem vermektedir. Model-oluşturma 

etkinlikleriyle genel anlamda öğrencilere 

kısa bir zaman diliminde belirli matematiksel 

kavramların ve modellerin tarihsel gelişimindeki 

doğal süreci yaşatarak onlarda bu kavramları ihtiyaç 

olarak hissettirme ve sezgisel olarak ortaya çıkarma 

amaçlanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003a). 

MMP’ye göre model-oluşturma etkinlikleri çok 

farklı bağlamlarda, farklı gruplara farklı amaçlar 

için kullanılabilir (Doerr ve Lesh, 2011). Sorunun 

içerdiği gerçek hayat bağlamının otantik ve amaca 

uygun olabilmesi için, etkinlikler oluşturulurken 

modelleme tasarım prensiplerinin sağlanmasına 

dikkat edilmelidir. Lesh, Hoover, Hole, Kelly ve 

Post (2000) tarafından belirlenen ve modelleme 

etkinliklerinde bulunması gereken özellikler Tablo 

2’de gösterilmektedir. 

Tablo 2’deki prensipler göz önünde bulundurularak 

geliştirilen bir modelleme etkinliği Şekil 5’te gösterilmektedir. 

Şekil 2’deki “İçecek Kutusu” problemi 

ile kıyaslandığında bazı farklılıklar görülmektedir. 

“İçecek Kutusu” probleminde modellenmesi istenen 

durumun gerçekçiliği ve neden modellenmesi 

gerektiği açık değildir. Soru kalıpları “bu durumu 

modelleyiniz” şeklinde olup öğrenciden hazır bazı 

modelleri kullanması beklenmektedir. Şekil 5’te 

gösterilen “Su Deposu” probleminde ise daha gerçekçi 

bir senaryo vardır. Soru, hiçbir teknik ve matematiksel 

ifade kullanılmadan öğrenciyi bir çözüm 

bulmaya ve çözümü yazarak ayrıntılı olarak anlatmaya 

yönlendirmektedir. 

MMP’ye göre modelleme etkinlikleri dersin herhangi 

bir anında bir uygulama problemi gibi tek başına, 

1616


plansız bir şekilde uygulanmamalıdır. Matematikte 

belli bir konu ile ilgili temel matematiksel fikirlerin 

kazandırılması asıl hedef olmalıdır. Belli bir konu ile 

ilgili temel matematiksel fikirler belirlendikten sonra 

öğrencileri bu fikirlere yönlendirecek, onlarda bu 

fikirleri sezgisel olarak ortaya çıkarabilecek uygun 

model-oluşturma etkinlikleri tasarlanmalıdır. Bir 

modelleme etkinliğinin uygulanması öncesinde, sürecinde 

ve sonrasında planlanması gereken unsurlar 

şunlardır: (i) Etkinlikle hedeflenen kavramlar, matematiksel 

fikirler önceden belirlenmeli; (ii) Öğrenciler 

problemin bağlamına yabancı iseler bağlamın gerçekliğini 

ve öğrenci için anlamlılığını artırmak için 

bir ısındırma etkinliği yapılmalı; (iii) Uygulamanın 

hemen sonrasında modelleme esnasında öğrencilerin 

geliştirdikleri modelleri kullanabilecekleri devam 

etkinlikleri (model-keşfetme etkinlikleri) uygulanmalıdır 

(Lesh ve Doerr, 2003b). MMP’ye göre modelleme 

etkinlikleri öncesiyle ve sonrasıyla düşünülerek iyi 

planlanmış, matematiksel bir veya birkaç kavramla ilgili 

model geliştirmeyi sağlayacak şekilde belli bir sıra 

ve düzende uygulanmalıdır. MMP, model-oluşturma 

ve devam etkinlikleri ile matematiksel konuların içerdiği 

ana fikirleri bir bağlam içerisinde geliştirmeyi ve 

öğretmeyi hedeflemektedir (Lesh ve ark., 2003). 

Tablo 2 

Model-Oluşturma Etkinliklerine Yön Vermesi Beklenen Prensipler 

(Lesh ve arkadaşlarından [2000] uyarlanmıştır.) 

Prensipler 

Açıklama 

Model oluşturma 

prensibi 

Gerçeklik prensibi 

Öz değerlendirme 

prensibi 

Model açığa 

çıkarma (belgeleme) 

prensibi 

Model genelleştirme 

prensibi 

Etkili örnek 

model (prototip) 

prensibi 

Bu prensibe uygun düzenlenmiş etkinlik 

öğrenciye, sorulan durum için bir çözüm 

olacak model (yapı) oluşturmaya, geliştirmeye 

ya da düzenlemeye ihtiyaç olduğunu 

hissettirebilmeli ve etkinlik sonunda 

da öğrenci bir model oluşturabilmelidir. 

Modelleme etkinliği öğrencinin sahip 

olduğu bilgi ve deneyimleriyle anlamlı bir 

gerçek hayat problemini çözebilmesine 

olanak sağlamalıdır. 

Öğrenci, etkinlikte kendi yorumlarının 

ve vardığı sonuçların doğruluğunu kendi 

kontrol edebileceği gibi, oluşturduğu 

modelin geliştirilmesine veya düzeltilmesine 

ihtiyacın olup olmadığı hükmüne de 

kendisi karar verebilmelidir. 

Bu prensibe uygun şekilde hazırlanmış 

modelleme etkinlikleri, öğrencilerin, 

etkinlik boyunca problem durumuyla 

ilgili kendi düşünceleri ve çözüm yollarını 

açıkça ortaya çıkaracak yazılı bir doküman 

oluşturmalarını gerektirmelidir. 

Modelleme etkinlikleri, öğrencinin genel 

bir model oluşturmasına, dolayısıyla oluşturduğu 

modeli benzer başka durumlarda 

da kullanabilmesine olanak sağlamalıdır. 

Modelleme etkinlikleri, öğrencilerin 

yapısal olarak benzer başka durumları da 

yorumlamakta kullanabileceği, açıklama 

gücü yüksek bir örnek model oluşturabilmesine 

olanak sağlamalıdır. Bu özelliklere 

sahip olmasının yanında problem durumu 

mümkün olduğunca karmaşıklıktan 

uzak olmalı, öğrencinin mantıklı bir 

cevap üretebilmesine olanak sağlamalıdır. 

Gerçekçi Matematik Eğitiminde Modelleme Yaklaşımı 

(Ortaya Çıkan Modelleme Yaklaşımı): 

Alanda karşımıza çıkan ve ikinci yaklaşım altında 

değerlendirdiğimiz bir diğer önemli modelleme 

yaklaşımı Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic 

Mathematics Education) (Freudental, 1991) teorisinin 

sunduğu modelleme yaklaşımıdır. Bir önceki 

bölümde bahsedilen MMP yaklaşımında olduğu 

gibi bu modelleme yaklaşımının kuramsal altyapısı 

da yapılandırmacılık ve sosyo-kültürel teorilere 

dayanmaktadır (Freudental, 1991; Gravemeijer, 

2002). 

Bu yaklaşımda matematiksel kavramları ve matematiksel 

fikirleri hazır vermek yerine uygun bağlamlarda 

ve iyi planlanmış yönlendirmeler yaparak 

öğrencilerin kendilerinin keşfetmeleri sağlanır. 

Bunun amacı, öğrencilerde sezgisel olarak bazı matematiksel 

fikirleri geliştirmektir. Bu fikirler formel 

matematiksel araçlarla desteklendiğinde de daha 

anlamlı bir öğrenme olacağı düşünülmektedir. Yani 

duruma özel somut düşünme tarzından daha soyut 

ve genele (matematiksele) doğru bir gidiş söz konusudur. 

Bu yaklaşımda matematiksel modelleme 

sadece otantik problem durumlarının matematik 

diline aktarılması değil, aynı zamanda bu otantik 

durumun içerdiği olguları düzenleyerek yeni ilişkiler 

ortaya çıkarma olarak görülmektedir (Gravemeijer 

ve Stephan, 2002). Bu esasında öğrenciler 

için bir tür keşfetme sürecidir. Öğrencilerin her şeyi 

kendi kendine keşfetmesi beklenemeyeceği için de 

rehberlik yaparak keşfettirme (guided discovery/ 

reinvention) yöntemi kullanılır (Doorman ve Gravemeijer, 

2009). Keşfettirme sürecinde öğrencilerin 

kendi formel olmayan, bağlama özel modeller geliştirmelerine 

imkân verdiğinden problem durumları 

kilit role sahiptir. Buradaki model sadece gerçek 

hayat durumunun fiziksel veya matematik diline 

aktarılarak gösterimi değil, onunla birlikte gelen 

ve modelin içeriğini oluşturan amaç, düşünme biçimi 

vb. her şeydir (Cobb, 2002). Bu bakış açısıyla 

modelleme, gerçek hayat durumlarını ve bunları 

anlamak, analiz etmek için kullanılan matematiksel 

bilgiyi ve düşünme biçimini düzenleme ve yeniden 

organize etme sürecidir. 

Soyut matematiksel düşünmeye geçerken modelleme 

ve modellerin anlamı değişebilir. İlk aşamada 

öğrencilere bağlama özel stratejiler ve kişisel 

modeller geliştirebilecekleri gerçek hayat problem 

durumları inceletilir. Öğrenci önce kendi gösterimlerini 

kullanarak formel olmayan modeller oluşturacaktır 

(model of). Devam eden süreçte öğrenciler 

bu kişisel modelleri ve model ile ilişkili matematiksel 

bilgilerini geliştirmeleri için desteklenir. Ki- 

1617


Su Deposu 

Bir bilgisayar şirketi eğitim kurumlarına bilgisayar destekli eğitim amaçlı yazılım hazırlamaktadır. Şirkete 

bağlı bir ekip öğrencilerin grafik çizme ve yorumlama becerilerini geliştirmeye yardımcı olacak 

bir su deposu doldurma animasyonu üzerinde çalışmaktadır. Ekibin bu animasyonu oluşturabilmesi 

için su deposu doldurulurken depoda biriken suyun hacmine bağlı olarak su yüksekliğini gösteren bir 

grafiğe ihtiyacı bulunmaktadır. 

Ekibin matematikçi üyesi olarak sizden, yanda verilen depolar için bu grafikleri yaklaşık olarak çizmeniz 

ve herhangi bir şekle sahip bir su deposu için su miktarına bağlı olarak suyun yüksekliğini gösteren 

grafiğin nasıl çizileceğini anlatan bir açıklama hazırlamanız istenmektedir. 

Şekil 5 

MMP Prensiplerine Göre Oluşturulmuş Bir Model-oluşturma Etkinliği (Carlson, Larsen ve Lesh’ten [2003] uyarlanmıştır.) 

şisel gösterimleri ve bu gösterimlerin ifade ettiği 

matematiksel anlamın değişmesiyle model gelişir. 

Nihai olarak hedeflenen model gerçekte öğrenciler 

tarafından oluşturulmasa bile, onların modellerine 

en yakın formel modeller seçilmelidir. Böylece, 

öğrencilere formel model ile onların kişisel modelleri 

arasındaki yakın ilişki hissettirilmiş olur. En 

sonda geliştirilen modeller, bağlamdan bağımsız 

olarak matematiksel düşünme için birer formel ve 

soyut modellere dönüşmelidir. Bu sürecin sonunda 

üzerinde çalışılan gerçek hayat bağlamı içerdiği 

matematiksel kavramlar ve ilişkiler açısından daha 

formel ve anlaşılır bir yapıya kavuşmuş olur. Zihindeki 

bu iki model (model of ve model for) arasındaki 

süreç somuttan soyuta doğru bir gelişimi ifade 

etmektedir. Daha gelişmiş matematiksel düşünme 

becerisi için modelleme sürecinde soyut matematiksel 

modele (model for) ulaşmak asıl hedeftir. Bu 

bakış açısı ortaya çıkan modelleme yaklaşımıdır 

(Doorman ve Gravemeijer, 2009). 

Gravemeijer ve Doorman (1999, s. 123) kişisel modelden 

formel modele geçişi Galileo’nun serbest 

düşme hareketini açıklama modelini ve yıllar içinde 

bunun nasıl geliştiği örneğini vererek şöyle açıklamaktadır: 

Galileo, serbest düşme yapan bir cismin 

her bir birimlik zaman aralığında düşerken kat ettiği 

mesafenin 1:3:5:7 gibi tek sayılar dizisi ile orantılı 

olduğunu belirlemiştir. Bu şekilde, düşen bir cismin 

her bir birimlik zaman aralığında aldığı mesafelerin 

lineer olarak arttığını tespit ederek zaman ile toplam 

mesafe arasında ikinci dereceden bir ilişki olduğunu 

belirleyen Galileo bunu Şekil 6’daki birinci 

çizimde olduğu gibi kare alanlarının farklarını alarak 

göstermiştir. Gravemeijer ve Doorman’a (1999) 

göre Şekil 6 üzerindeki kare bölgelerin alanlarının 

farkı şeklindeki gösterim formel olmayan modeli 

temsil etmektedir. Zaman içinde bu model gelişerek 

ikinci şekilde grafik üzerinde görülen ve grafiğin 

altında kalan alanın zamana bağlı toplam mesafeyi 

verdiği fikrini gösteren formel model ortaya çıkmıştır. 

Burada model olarak gelişip değişen grafiğin 

kendisi değil, her bir aralıkta kat edilen mesafelerin 

ayrı ayrı toplanması işleminin, matematikteki “integral” 

fikrine dönüşmesidir. 

Ortaya çıkan modelleme yaklaşımına göre bir modelleme 

etkinliğinin ne gibi özelliklere sahip olması 

gerektiği MMP’de olduğu kadar önem verilen bir 

konu değildir. Öğrenciler için anlamlı ve matema- 

Şekil 6 

Serbest Düşme Hareketinin Matematiksel Modelleri (Gravemeijer ve Doorman, 1999, s. 123) 

1618


tiksel olarak zengin gerçek hayattan bir durumun 

olması yeterlidir. Gerçek hayat problem durumu 

üzerine öğrencilerin nasıl çalıştırıldığı ve süreçte 

nasıl yönlendirildiği daha ön plandadır (Doorman 

ve Gravemeijer, 2002). Ortaya çıkan modelleme 

yaklaşımı öğrencilerin öğrenme sürecinin yanında, 

bu yaklaşıma uygun bir öğrenme ortamının 

nasıl olması gerektiğini ve tasarlanma sürecini de 

açıklamaktadır. Öğretim ortamı tasarlayıcısına 

düşen görev soyut ve formel matematiksel kavramları 

keşfettirmeye hizmet edebilecek problem durumları 

oluşturmaktır. Modelleme etkinliklerinin 

tek başına dersin faklı kısımlarında bir uygulama 

problemi gibi kullanılmasından ziyade, bu yaklaşımda, 

gerçek hayat durumlarından seçilen uygun 

öğrenme ortamlarının tasarlanarak öğrencilerin 

deneyimlerine sunulması vurgulanmaktadır. MMP 

yaklaşımı matematikte bir kavrama özel model 

geliştirme dizisi tasarlama (model development sequence) 

gerekliliğini vurgularken, ortaya çıkan modelleme 

yaklaşımı daha geniş bir bakış açısıyla, seçilen 

problem durumları üzerinden bütün konuyu 

kapsayacak şekilde bir öğretim ortamı tasarlamayı 

vurgulamaktadır. 

Tartışma 

Matematiksel modellemenin eğitim-öğretim sürecinde 

kullanılması son yıllarda daha fazla ön plana 

çıkmıştır. Aynı zamanda modellemenin algılanışı 

ve kullanımına yönelik farklı bakış açıları ortaya 

çıkmıştır (Kaiser ve Sriraman, 2006). Modelleme 

matematik öğretiminde “amaç” veya “araç” olmak 

üzere iki ana yaklaşım olarak görülmektedir (Blum 

ve Niss, 1991; Gabraith, 2012). Matematiksel modellemeyi 

“amaç” olarak gören birinci yaklaşımda, 

matematik eğitimi sürecinde öğrencilere hazır 

soyut modellerin sunulması ve bunların gerçek 

hayat durumlarında uygulamalarının yapılması 

ön plandadır. Bunun için matematik derslerinin 

dışında modelleme teknik ve becerilerini geliştirmeyi 

amaçlayan derslerin olması gerektiği vurgulanmakta 

ve modelleme daha çok lise ve üniversite 

düzeyinde ele alınmaktadır. Bu yaklaşımda, soyut 

matematiksel kavramları ve onların uygulanabileceği 

gerçek hayat durumları ile modelleme tekniklerinin 

ve becerilerinin öğretilmesi söz konusu 

olup daha çok sonuç ve beceri odaklıdır (Haines 

ve Crouch, 2001, 2007; Izard ve ark., 2003; Lingefjard, 

2002b). Öte yandan, modellemeyi matematiği 

öğretmek için bir “araç” olarak gören ikinci yaklaşımda 

ise modelleme öğrencilerin kendi bilgilerini 

geliştirmelerini destekleyecek nitelikte bir bağlam 

olarak ele alınmakta ve bu çerçevede sürecin önemi 

vurgulanmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003b; Gravemeijer, 

2002). Bireylerin süreç içerisinde kendi modellerini 

sezgisel olarak açığa çıkarıp geliştirmesi 

hedeflenmektedir. Bu çerçevede modelleme kullanımının 

matematiksel iletişim ve sosyal becerilerin 

gelişmesi, kavramlar arası ilişkilerin kurulması, 

yeni kavramların da öğrenilmesi gibi ürünler söz 

konusudur. Bu yaklaşıma göre matematiksel modelleme 

lise ve üniversite düzeyinden önce ve erken 

dönemlerden itibaren eğitimin her kademesinde 

matematik derslerinin içinde yer almalıdır (Lehrer 

ve Schauble, 2003). 

Her iki yaklaşım matematik eğitimi açısından karşılaştırıldığında, 

vurgulanması gereken bazı noktalar 

şunlardır. Öncelikle birinci yaklaşımda teknik 

anlamda öğrencilerin matematiksel modelleme 

yapabilme beceri ve yeterlilikleri önemsenir. Üst 

düzey matematiksel bilgisi ve modelleme yöntem 

ve tekniklerinin kullanılması söz konusudur. Bu 

anlamda başlangıçta güçlü bir matematik bilgisi 

ve beraberinde belirli matematiksel modelleme 

teknikleri bilgisi de gereklidir. İkinci yaklaşımda 

ise öğrencilerin formel olmayan düşünme şekilleri 

ve çözüm yöntemleri daha çok önemsenmektedir. 

Formel olmayan düşünme süreçleri öğretilmesi hedeflenen 

matematiksel kavramı öğrencilere ihtiyaç 

olarak hissettirmek veya açığa çıkarmak suretiyle 

daha anlamlı bir öğrenme sağlamayı amaçlar. Bu 

çerçevede öğrencileri yeni bir kavram veya modeli 

öğrenmede daha aktif kılan modellemeyi matematiği 

öğretmek için bir “araç” olarak gören ikinci 

yaklaşımın pedagojik açıdan daha güçlü olduğu 

savunulabilir. Diğer taraftan modellemeyi “amaç” 

olarak gören birinci yaklaşıma uygun matematik 

öğretimi, üst düzey matematik bilgisi ve uygulamalarını 

gerektirdiğinden matematiksel yönden daha 

güçlü görünmektedir. Fakat bu yaklaşıma bağlı yapılan 

bir matematik öğretiminin öğrencilerde başarısızlık 

hissi oluşturması da mümkündür. Kullanılan 

modelleme soru türlerinde böyle bir ayrışmayı 

görmek mümkün olsa da bu iki yaklaşımı birbirinden 

kesin çizgilerle ayırmak mümkün değildir. 

Matematiksel modelleme uygulamalarının matematik 

öğretimi sürecinde kullanımı önemli olmakla 

beraber geleneksel öğretim metotlarının yerini 

alması söz konusu değildir. Burada özellikle Lesh 

ve Doerr (2003a) tarafından sunulan MMP ve ortaya 

çıkan modelleme (Gravemeijer, 2002) yaklaşımları 

matematiğin anlamlı öğretimi için uygun 

öğrenme ortamlarının tasarlanmasında matematiksel 

modelleme etkinliklerinin bir araç olarak 

nasıl kullanılabileceği konusunda eğitimcilere yol 

göstermektedir. MMP yaklaşımına göre öğretim 

1619


sürecinde kullanılacak olan modelleme etkinlikleri 

gerçekçilik ve etkili örnek olma gibi belirli özellikleri 

taşımalıdır (Lesh ve ark., 2000). Ortaya çıkan 

modelleme yaklaşımında ise kullanılacak bir etkinliğin 

öğrencilerde hedeflenen kavramları ortaya 

çıkartabilecek içeriğe sahip olması ve öğretmenin 

rehberliği önemlidir (Gravemeijer ve Stephan, 

2002). Matematiksel modellemeyi matematiği öğretmek 

için “araç” olarak gören bu yaklaşımların 

temel argümanı matematiksel kavramların tarihsel 

gelişimine benzer sürecin kısa bir süre de olsa 

öğrencilere yaşatılmasıdır. Bu sayede öğrencilerin 

öğretilmek istenen kavramlara ihtiyaç hissetmeleri 

veya kendilerinin ortaya çıkarmaları sağlanabilir. 

Sonuç olarak matematiksel modellemeyi “araç” olarak 

gören yaklaşımlara göre modelleme uygulamaları 

öğrencileri öğrenme sürecine aktif olarak dâhil 

eden öğrenme ortamları sağlamaktadır. 

Hangi yaklaşımla olursa olsun matematik eğitim 

ve öğretim sürecinde modelleme uygulamalarının 

yer alması öğrencilerin gerçek hayat durumlarında 

problem çözme ve analitik düşünme becerilerini 

geliştirmesi açısından önemlidir. Bu nedenle 

matematiksel modellemenin öğretim sürecinde 

kullanılması bir çok ülkede önemsenmektedir (ör., 

DfE, 1997; NCTM, 1989, 2000; TTKB, 2011, 2013). 

Ülkemizde yenilenen matematik müfredatlarında 

da öğrencilere matematiksel modelleme yapabilme 

becerisi kazandırmak en önemli hedeflerden birisi 

olarak ifade edilmektedir (TTKB, 2013). Fakat 

ülkemizde matematiksel modellemenin öğretim 

sürecinde kullanımına yönelik çalışmaların yeterli 

olmadığı görülmektedir. Ayrıca matematiksel modellemeyi 

öğretim sürecinde kullanmak isteyen 

öğretmenler için de kaynak eksikliği söz konusudur. 

Bu konuda yapılacak çalışmaların sonucunda 

ortaya çıkacak olan birikimler ve tecrübeler 

hizmet öncesi ve hizmet içi öğretmen eğitiminde 

kaynak olarak kullanılabileceği gibi öğretmenlerin 

derslerde kullanabileceği daha somut kaynakların 

ortaya çıkmasına da öncülük edecektir. Fakat bu 

konuda çalışma yapmak isteyen araştırmacıların 

öncelikle matematiksel modelleme ile ilgili temel 

kavramların ve farklı yaklaşımların farkında olmaları 

gerekmektedir. Bu çalışmada matematiksel modellemenin 

ne olduğu, modelleme etkinliklerinin 

özellikleri, geleneksel problemlerden farklılıkları ve 

öğretim sürecinde kullanım amacı bakımından ortaya 

çıkan yaklaşımlar analiz edilerek tartışılmıştır. 

1620

Educational Sciences: Theory & Practice • 14(4) • 1621-1627 

© 

2014 Educational Consultancy and Research Center 

www.edam.com.tr/estp 

DOI: 10.12738/estp.2014.4.2039 

Mathematical Modeling in Mathematics Education: 

Basic Concepts and Approaches * 

Ayhan Kürşat ERBAŞ a 

Middle East Technical University 

Bülent ÇETİNKAYA c 


Cengiz ALACACI e 

İstanbul Medeniyet University 

Mahmut KERTİL b 

Marmara University 

Erdinç ÇAKIROĞLU d 


Sinem BAŞ f 

İstanbul Aydın University 

Abstract 

Mathematical modeling and its role in mathematics education have been receiving increasing attention in 

Turkey, as in many other countries. The growing body of literature on this topic reveals a variety of approaches 

to mathematical modeling and related concepts, along with differing perspectives on the use of mathematical 

modeling in teaching and learning mathematics in terms of definitions of models and modeling, the theoretical 

backgrounds of modeling, and the nature of questions used in teaching modeling. This study focuses on two 

issues. The first section attempts to develop a unified perspective about mathematical modeling. The second 

section analyzes and discusses two approaches to the use of modeling in mathematics education, namely 

modeling as a means of teaching mathematics and modeling as an aim of teaching mathematics. 

Keywords 

Mathematics Education, Mathematical Model, Mathematical Modeling, Problem Solving. 

* Work reported here is based on a research project supported by the Scientific and Technological Research 

Council of Turkey (TUBITAK) under grant number 110K250. Opinions expressed are those of the authors and 

do not necessarily represent those of TUBITAK. Ayhan Kursat Erbas is supported by the Turkish Academy of 

Sciences through the Young Scientist Award Program (A.K.E./TÜBA-GEBİP/2012-11). 

a Ayhan Kürşat ERBAŞ, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. His research 

interests include teaching and learning of algebra, mathematics teacher education, teacher competencies, 

technology integration in mathematics education, and problem solving and modeling. Correspondence: 

Middle East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics 

Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: erbas@metu.edu.tr 

b Mahmut KERTİL, Ph.D., is currently a research assistant of mathematics education. Contact: Marmara 

University, Atatürk Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics Education, 

34722 İstanbul, Turkey. Email: mkertil@marmara.edu.tr 

c Bülent ÇETİNKAYA, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. Contact: Middle 

East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics 

Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: bcetinka@metu.edu.tr 

d Erdinç ÇAKIROĞLU, Ph.D., is currently an associate professor of mathematics education. Contact: Middle 

East Technical University, Faculty of Education, Department of Secondary Science and Mathematics 

Education, 06800 Ankara, Turkey. Email: erdinc@metu.edu.tr 

e Cengiz ALACACI, Ph.D., is currently a professor of mathematics education. Contact: İstanbul Medeniyet 

University, Faculty of Educational Sciences, 34700 İstanbul, Turkey. Email: cengiz.alacaci@medeniyet.edu.tr 

f Sinem BAŞ, Ph.D., is currently an assistant professor of mathematics education. Contact: İstanbul Aydın 

University, Faculty of Education, Department of Elementary Education, 34295 İstanbul, Turkey. Email: 

sinembas@aydin.edu.tr

EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE 

In the last two decades, mathematical modeling has 

been increasingly viewed as an educational approach 

to mathematics education from elementary levels 

to higher education. In educational settings, 

mathematical modeling has been considered a way 

of improving students’ ability to solve problems in 

real life (Gravemeijer & Stephan, 2002; Lesh & Doerr, 

2003a). In recent years, many studies have been 

conducted on modeling at various educational levels 

(e.g., Delice & Kertil, 2014; Kertil, 2008), and more 

emphasis has been given to mathematical modeling 

in school curricula (Department for Education 

[DFE], 1997; National Council of Teachers of 

Mathematics [NCTM], 1989, 2000; Talim ve Terbiye 

Kurulu Başkanlığı [TTKB], 2011, 2013). 

The term “modeling” takes a variety of meanings 

(Kaiser, Blomhoj, & Sriraman, 2006; Niss, Blum, 

& Galbraith, 2007). It is important for readers who 

want to study modeling to be cognizant of these 

differences. Therefore, the purpose of this study is 

twofold: (i) Presenting basic concepts and issues 

related to mathematical modeling in mathematics 

education and (ii) discussing the two main approaches 

in modeling, namely “modeling for the learning 

of mathematics” and “learning mathematics for 

modeling.” The following background information 

is crucial for understanding the characterization of 

modeling, its theoretical background, and the nature 

of modeling problems. 

Mathematical Modeling and Basic Concepts 

Model and Mathematical Model: According to 

Lesh and Doerr (2003a), a model consists of both 

conceptual systems in learners’ minds and the 

external notation systems of these systems (e.g., 

ideas, representations, rules, and materials). A 

model is used to understand and interpret complex 

systems in nature. Lehrer and Schauble (2003) 

describe a model as an attempt to construct an 

analogy between an unfamiliar system and a 

previously known or familiar system. Accordingly, 

people make sense of real-life situations and 

interpret them by using models. Lehrer and 

Schauble (2007) describe this process as modelbased 

thinking and emphasize its developmental 

nature. They also characterize the levels of modelbased 

thinking as hierarchical. 

Mathematical models focus on structural features 

and functional principles of objects or situations 

in real life (Lehrer & Schauble, 2003, 2007; 

Lesh & Doerr, 2003a). In Lehrer and Schauble’s 

hierarchy, mathematical models do not include 

all features of real-life situations to be modeled. 

Also, mathematical models comprise a range of 

representations, operations, and relations, rather 

than just one, to help make sense of real-life 

situations (Lehrer & Schauble, 2003). 

Mathematical Models and Concrete Materials: 

In elementary education, the terms mathematical 

model and modeling are usually reserved for 

concrete materials (Lesh, Cramer, Doerr, Post, & 

Zawojewski, 2003). Although the use of concrete 

materials is useful for helping children develop 

abstract mathematical thinking, according to 

Dienes (1960) (as cited in Lesh et al., 2003), in this 

study, mathematical modeling is used to refer to 

a more comprehensive and dynamic process than 

just the use of concrete materials. 

Mathematical Modeling: Haines and Crouch 

(2007) characterize mathematical modeling as a 

cyclical process in which real-life problems are 

translated into mathematical language, solved 

within a symbolic system, and the solutions 

tested back within the real-life system. According 

to Verschaffel, Greer, and De Corte (2002), 

mathematical modeling is a process in which reallife 

situations and relations in these situations are 

expressed by using mathematics. Both perspectives 

emphasize going beyond the physical characteristics 

of a real-life situation to examine its structural 

features through mathematics. 

Lesh and Doerr (2003a) describe mathematical 

modeling as a process in which existing conceptual 

systems and models are used to create and develop 

new models in new contexts. Accordingly, a model 

is a product and modeling is a process of creating a 

physical, symbolic, or abstract model of a situation 

(Sriraman, 2006). Similarly, Gravemeijer and Stephan 

(2002) state that mathematical modeling is not limited 

to expressing real-life situations in mathematical 

language by using predetermined models. It 

involves associating phenomena in the situation 

with mathematical concepts and representations 

by reinterpreting them. To be able to express a reallife 

situation in mathematical language effectively, 

students must have higher-level mathematical 

abilities beyond just computational and arithmetical 

skills, such as spatial reasoning, interpretation, and 

estimation (Lehrer & Schauble, 2003). 

The Mathematical Modeling Process: No strict 

procedure exists in mathematical modeling for 

reaching a solution by using the given information 

(Blum & Niss, 1991; Crouch & Haines, 2004; Lesh & 

Doerr; 2003a). Researchers agree that modeling is a 

cyclical process that includes multiple cycles (Haines 

1622

ERBAŞ, KERTİL, ÇETİNKAYA, ÇAKIROĞLU, ALACACI, BAŞ / Mathematical Modeling in Mathematics Education: Basic... 

& Crouch, 2007; Lehrer & Schauble, 2003; Zbiek & 

Conner, 2006). In the literature, a variety of visual 

references describe the stages of the cyclic nature 

of the modeling process (Borromeo Ferri, 2006; 

Hıdıroğlu & Bukova Güzel, 2013; Lingefjard, 2002b, 

NCTM, 1989). For instance, the modeling process 

described in the earlier Standards document by 

NCTM (1989, p. 138) emphasizes that mathematical 

modeling is a non-linear process that includes five 

interrelated steps: (i) Identify and simplify the realworld 

problem situation, (ii) build a mathematical 

model, (iii) transform and solve the model, (iv) 

interpret the model, and (v) validate and use the 

model. Such types of diagrams can help readers and 

teachers understand the probable stages that students 

may experience during the modeling processes. 

Mathematical Modeling and Problem Solving: 

Mathematical modeling is often confused with 

traditional word problems. From the view of Reusser 

and Stebler (1997), traditional word problems cause 

students to develop some didactic assumptions 

about problem solving. Moreover, the real-life 

contexts in these problems are often not sufficiently 

realistic and thus fail to support students’ abilities 

to use mathematics in the real world (English, 

2003; Lesh & Doerr, 2003; Niss et al., 2007). While 

working on such problems, students often simply 

focus on figuring out the required operations (e.g., 

Greer, 1997; Nunes, Schliemann & Carraher, 1993). 

Some studies focus on reorganizing word problems 

to enable students to gain competence in thinking 

about real-life contexts while solving them (Greer 

1997; Verschaffel & De Corte, 1997; Verschaffel, De 

Corte, & Borghart, 1997; Verschaffel et al., 2002). 

Such versions of word problems can be used as 

warm-up exercises in preparation for modeling 

(Verschaffel & De Corte, 1997). 

While Lingefjard (2002b) argues that it is 

unreasonable to compare problem solving and 

modeling, the similarities and differences between 

them can be useful (Lesh & Doerr, 2003a; Lesh 

& Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman, 

& Christou, 2007; Zawojewski & Lesh, 2003). 

The following table briefly describes a few of the 

important differences between the two concepts. 

Mathematical Modeling Approaches 

Different approaches have been proposed with 

different theoretical perspectives for using 

modeling in mathematics education, and no 

single view is agreed upon among educators 

(Kaiser, Blum, Borromeo Ferri, & Stillman, 2011; 

Kaiser & Sriraman, 2006). To clarify the different 

perspectives on this issue and reach a consensus, 

these similarities and differences should be 

elaborated (Kaiser, 2006; Kaiser & Sriraman, 2006; 

Sriraman, Kaiser, & Blomhoj, 2006). Kaiser’s (2006) 

and Kaiser and Sriraman’s (2006) classification 

systems for presenting modeling approaches can 

be considered the leading perspective. According 

to this scheme, the perspectives are classified as 

(i) realistic or applied modeling, (ii) contextual 

modeling, (iii) educational modeling, (iv) sociocritical 

modeling, (v) epistemological or theoretical 

modeling, and (vi) cognitive modeling. Generally, 

modeling is also classified by its purpose in 

mathematics education, such as (i) modeling as the 

purpose of teaching mathematics or (ii) modeling 

as a means to teach mathematics (Galbraith, 2012; 

Gravemeijer, 2002; Julie & Mudaly, 2007; Niss et al., 

2007). 

Table 1 

A Comparison between Problem Solving and Mathematical Modeling (Adapted from Lesh & Doerr [2003a] and Lesh & Zawojewski [2007]) 

Traditional Problem Solving 

Mathematical Modeling 

Process of reaching a conclusion using data 

Multiple cycles, different interpretations 

Context of the problem is an idealized real-life situation or a 

Authentic real-life context 

realistic life situation 

Students are expected to use taught structures such as 

formulas, algorithms, strategies, and mathematical ideas 

Individual work emphasized 

Abstracted from real life 

Students are expected to make sense of mathematical symbols 

and structures 

Teaching of specific problem-solving strategies (e.g., 

developing a unique approach, transferring onto a figure) 

transferable to similar problems 

A single correct answer 

Students experience the stages of developing, reviewing, and 

revising important mathematical ideas and structures during 

the modeling process 

Group work emphasized (social interaction, exchange of 

mathematical ideas, etc.) 

Interdisciplinary in nature 

In modeling processes, students try to make mathematical 

descriptions of meaningful real-life situations 

Open-ended and numerous solution strategies, developed 

consciously by students according to the specifications of the 

problem. 

More than one solution approach and solution (model) 

possible 

1623


Modeling as the Purpose of Teaching Mathematics 

In this perspective, mathematical modeling is seen 

as a basic competency, and the aim of teaching 

mathematics is to equip students with this competency 

to solve real-life problems in mathematics and in 

other disciplines (Blomhøj & Jensen, 2007; Blum, 

2002; Crouch & Haines, 2004; Haines & Crouch, 

2001; Izard, Haines, Crouch, Houston, & Neill, 2003; 

Lingefjard, 2002a; Lingefjard & Holmquist, 2005). 

In this approach, initially, mathematical concepts 

and mathematical models are provided and later 

these ready-made concepts or models are applied to 

real-world situations (i.e., mathematics " reality) 

(Lingefjard, 2002a, 2002b, 2006; Niss et al., 2007). 

Mathematical models and concepts are considered 

as already existing objects (Gravemeijer, 2002). 

Researchers adopting this perspective focus on the 

issue of conceptualizing, developing, and measuring 

the modeling competencies (e.g., Haines & Crouch, 

2001, 2007). In the literature, different viewpoints 

exist on this issue (Henning & Keune, 2007). While 

Blomhøj and Jensen (2007) adopt a holistic approach, 

other studies address this issue at the micro level 

(Crouch & Haines, 2004; Haines, Crouch, & Davis, 

2000; Lingefjard, 2004). Furthermore, some studies 

focus on teaching mathematical modeling (Ärlebäck 

& Bergsten, 2010; Lingefjard, 2002a). Fermi problems, 

for example, are regarded as appropriate kinds of 

problems for teaching of modeling (Ärlebäck, 2009; 

Ärlebäck & Bergsten, 2010). Sriraman and Lesh 

(2006) contend that Fermi problems can be used as 

warm-up and starting exercises in preparation for 

modeling. 

Modeling as a Means for Teaching Mathematics 

In this approach, modeling is considered a vehicle 

for supporting students’ endeavors to create and 

develop their primitive mathematical knowledge 

and models. The Models and Modeling Perspective 

(Lesh & Doerr, 2003a) and Realistic Mathematics 

Education (Gravemeijer, 2002; Gravemeijer & 

Stephan, 2002) are two examples of this approach. 

Models and Modeling Perspective (MMP) 

The models and modeling perspective is a new 

and comprehensive theoretical approach to 

characterizing mathematical problem-solving, 

learning, and teaching (Lesh & Doerr, 2003a; 2003b) 

that takes constructivist and socio-cultural theories 

as its theoretical foundation. In this perspective, 

individuals organize, interpret, and make sense 

of events, experiences, or problems by using their 

mental models (internal conceptual systems). They 

actively create their own models, consistent with 

the basic ideas of constructivism (Lesh & Lehrer, 

2003). Moreover, for productive use of models for 

addressing complex problem-solving situations, 

they should be externalized with representational 

media (e.g., symbols, figures). 

Model-eliciting activities (MEAs) are specially 

designed for use within the MMP. In MEAs, students 

are challenged to intuitively realize mathematical 

ideas embedded in a real-world problem and to 

create relevant models in a relatively short period 

of time (Carlson, Larsen, & Lesh, 2003; Doerr & 

Lesh, 2011). Lesh, Hoover, Hole, Kelly, and Post 

(2000) offered six principles to guide the design of 

MEAs: (i) the model construction principle, (ii) the 

reality principle, (iii) the self-assessment principle, 

(iv) the construct-documentation principle, (v) the 

construct shareability and reusability principle, 

and (vi) the effective prototype principle. In the 

implementation of MEAs, students work in teams 

of three to four. They are expected to work on 

creating shareable and reusable models, which 

encourage interaction among students. Therefore, 

the social aspect of learning is another component 

of the MMP (Zawojewski, Lesh, & English, 2003). 

According to Lesh et al. (2003), MEAs should not 

be used as isolated problem- solving activities. 

They should be used within model development 

sequences, where warm-up and follow up activities 

are also important. 

The Modeling Approach in Realistic Mathematics 

Education 

Similar to the MMP, the modeling approach 

assumed by RME is based on constructivist 

and socio-cultural theories (Freudental, 1991; 

Gravemeijer, 2002). In this approach, modeling goes 

beyond translating real-life problem situations into 

mathematics. It involves revealing new relations 

among phenomena embedded in the situations by 

organizing them (Gravemeijer & Stephan, 2002). 

In modeling, students initially work on real-life 

situations and create their primitive models, which 

are called model of. The term “model” describes not 

only the physical or mathematical representations 

of the phenomena, but also the components 

of students’ conceptual systems, such as their 

purpose and ways of thinking about the situation 

(Cobb, 2002). With the help of carefully designed 

real-life problems and learning environments 

that encourage students to discover sophisticated 

1624


mathematical models, students proceed to create 

more abstract and formal models, which are 

called model for (Doorman & Gravemeijer, 2009). 

Accordingly, modeling is characterized as a process 

of moving from “model of ” to “model for,” which 

is called as emergent modeling (Doorman & 

Gravemeijer, 2009; Gravemeijer & Doorman, 1999). 

Besides describing students’ learning process, this 

perspective also assumes principles about how 

a learning environment should be designed to 

support students’ emergent modeling processes. 

Discussion and Conclusion 

In recent years, using modeling in mathematics 

education has been increasingly emphasized 

(NCTM, 1989, 2000; TTKB, 2011, 2013). A variety 

of different perspectives have been proposed for the 

conceptualization and usage of modeling (Kaiser 

& Sriraman, 2006). These perspectives can be 

grouped into two main categories: (i) modeling as a 

means for teaching mathematics and (ii) modeling 

as the aim of teaching mathematics (Blum & Niss, 

1991; Galbraith, 2012). In the first perspective, 

students are provided with predetermined models 

and are expected to apply these models to real-life 

situations. The ultimate goal is to improve students’ 

modeling competencies (Haines & Crouch, 2001, 

2007; Izard et al., 2003; Lingefjard, 2002b). In the 

second perspective, the underlying assumption is 

that students can learn fundamental mathematical 

concepts meaningfully through a modeling 

process in which they need and intuitively discover 

mathematical concepts while addressing a real-life 

problem-solving situation (Lesh & Doerr, 2003a). 

In summary, the second approach (i.e., modeling 

as a means for teaching mathematics) seems more 

developed for pedagogical purposes. However, 

whatever approach is preferred and used, 

integrating modeling into mathematics education 

is important for improving students’ problemsolving 

and analytical thinking abilities. However, 

few studies have been conducted in Turkey 

on using modeling in mathematics education. 

Furthermore, there are insufficient resources (e.g., 

modeling tasks) for teachers who want to integrate 

modeling into their teaching. Thus, there is a need 

for more research on using modeling for different 

levels of education. This can enable the production 

of resources that can be used in pre-service and 

in-service teacher education programs. Sources 

including good examples of modeling tasks are 

needed for teachers. 

1625


References/Kaynakça 

Ärlebäck, J. B. (2009). On the use of realistic Fermi 

problems for introducing mathematical modelling in 

school. The Montana Mathematics Enthusiast, 6(3), 331- 

364. 

Ärlebäck, J. B., & Bergsten, C. (2010). On the use of 

realistic Fermi problems in introducing mathematical 

modelling in upper secondary mathematics. In R. Lesh, 

P. L. Galbraith, W. Blum, & A. Hurford (Eds.), Modeling 

students’ mathematical modeling competencies, ICTMA 13 

(pp. 597-609). New York, NY: Springer. 

Blomhøj, M., & Jensen, T. H. (2007). What’s all the fuss 

about competencies? In W. Blum, P. L. Galbraith, H. 

Henn, & M. Niss (Eds.), Modelling and applications in 

mathematics education. The 14th ICMI study (pp. 45-56). 

New York, NY: Springer. 

Blum, W. (2002). ICMI Study 14: Applications and 

modelling in mathematics education-Discussion 

document. Educational Studies in Mathematics, 51(1-2), 

49-171. 

Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical 

problem solving, modelling, application, and links to 

other subjects-state, trends, and issues in mathematics 

instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 

37-68. 

Borromeo Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical 

differentiations of phases in the modelling process. ZDM – 

The International Journal on Mathematics Education, 38(2), 

86-95. 

Carlson, M., Larsen, S., & Lesh, R. (2003). Integrating 

models and modeling perspective with existing research 

and practice. In R. Lesh & H. Doerr (Eds.), Beyond 

constructivism: A models and modeling perspective (pp. 465- 

478). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 

Cobb, P. (2002). Modeling, symbolizing, and tool use 

in statistical data analysis. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, 

B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling 

and tool use in mathematics education (pp. 171-196). 

Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 

Crouch, R., & Haines, C. (2004). Mathematical modelling: 

transitions between the real world and mathematical 

model. International Journal of Mathematical Education in 

Science and Technology, 35(2), 197-206. 

Delice, A., & Kertil, M. (2014). Investigating the 

representational fluency of pre-service mathematics 

teachers in a modeling process. International Journal of 

Science and Mathematics Education. doi: 10.1007/s10763- 

013-9466-0. 

Department for Education. (1997). Mathematics in the 

national curriculum. London, UK: DFE Welch Office. 

Doerr, H., & Lesh, R. (2011). Models and modelling 

perspectives on teaching and learning mathematics 

in the twenty-first century. In G. Kaiser, W. Blum, R. 

BorromeoFerri, & G. Stillman (Eds.), Trends in teaching 

and learning of mathematical modeling: ICTMA 14 (pp. 

247–268). Dordrecht, The Netherlands: Springer. 

Doorman, L. M., & Gravemeijer, K. (2009). Emerging 

modeling: Discrete graphs to support the understanding of 

change and velocity. ZDM – The International Journal on 

Mathematics Education, 38(3), 302-310. 

Freudental, H. (1991). Revisiting mathematics education. 

Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 

Galbraith, P. (2012). Models of modelling: genres, purposes 

or perspectives. Journal of Mathematical Modeling and 

Application, 1(5), 3-16. 

Gravemeijer, K. (2002). Preamble: From models to 

modeling. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, B. Oers, & L. 

Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use 

in mathematics education (pp. 7-22). Dordrecht, The 

Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 

Gravemeijer, K., & Doorman, M. (1999). Context problems 

in realistic mathematics education: A calculus course as an 

example. Educational Studies in Mathematics, 39, 111-129. 

Greer, B. (1997). Modelling reality in mathematics 

classrooms: The case of word problems. Learning and 

Instruction, 7(4), 293-307. 

Gravemeijer, K., & Stephan, M. (2002). Emergent models as 

an instructional design heuristic. In K. Gravemeijer, R. Lehrer, 

B. Oers, & L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and 

tool use in mathematics education (pp. 145-169). Dordrecht, 

The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 

Haines, C., & Crouch, R. (2001). Recognizing constructs 

within mathematical modelling. Teaching Mathematics and 

its Applications, 20(3), 129-138. 

Haines, C., & Crouch, R. (2007). Mathematical modeling 

and applications: Ability and competence frameworks. 

In W. Blum, P. L. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.), 

Modelling and applications in mathematics education: The 

14th ICMI study (pp. 417-424). New York, NY: Springer. 

Haines, C., Crouch, R., & Davis, J. (2000). Mathematical 

modelling skills: A research instrument (Technical Report 

No. 55). Hatfield, UK: University of Hertfordshire, 

Department of Mathematics. 

Henning, H., & Keune, M. (2007). Levels of modeling 

competencies. In W. Blum, P. L. Galbraith, H-W. Henn, & 

M. Niss (Eds.), Modelling and applications in mathematics 

education: The 14 th ICMI Study (pp. 225-232). New York: 

Springer. 

Hıdıroğlu, Ç. N. ve Bukova Güzel, E. (2013). Matematiksel 

modelleme sürecini açıklayan farklı yaklaşımlar. Bartın 

Eğitim Fakültesi Dergisi, 2(1), 127-145. 

Izard, J., Haines, C., Crouch, R., Houston, K., & Neill, N. 

(2003). Assessing the impact of teachings mathematical 

modeling: Some implications. In S. J. Lamon, W. A. Parker, 

& S. K. Houston (Eds.), Mathematical modelling: A way of 

life ICTMA 11 (pp. 165-177). Chichester, UK: Horwood 

Publishing. 

Julie, C., & Mudaly, V. (2007). Mathematical modelling 

of social issues in school mathematics in South Africa. 

In W. Blum, P. Galbraith, M. Niss, & H.-W. Henn (Eds.), 


14th ICMI study (pp. 503-510). New York, NY: Springer. 

Kaiser, G. (2006). Introduction to the working group 

“Applications and Modelling”. In M. Bosch (Ed.), 

Proceedings of the Fourth Congress of the European Society 

for Research in Mathematics Education (CERME 4) (pp. 

1613-1622). Sant Feliu de Guíxols, Spain: FUNDEMI IQS, 

Universitat Ramon Llull. 

Kaiser, G., & Sriraman, B. (2006). A global survey of 

international perspectives on modelling in mathematics 

education. ZDM – The International Journal on 


Kaiser, G., Blomhøj, M., & Sriraman, B. (2006). Towards a 

didactical theory for mathematical modelling. ZDM– The 

International Journal on Mathematics Education, 38(2), 82- 

85. 

Kaiser, G., Blum, W., Borromeo Ferri, R., & Stillman, G. 

(2011). Preface. In G. Kaiser, W. Blum, R. BorromeoFerri, 

& G. Stillman (Eds.), Trends in teaching and learning of 

mathematical modelling: ICTMA14 (pp. 1-5). Dordrecht, 

The Nedherlands: Springer. 

1626


Kertil, M. (2008). Matematik öğretmen adaylarının problem 

çözme becerilerinin modelleme sürecinde incelenmesi (Yüksek 

lisans tezi, Marmara Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Bölümü, 

Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim 

Dalı, İstanbul). http://tez.yok.gov.tr adresinden edinilmiştir. 

Lehrer, R., & Schauble, L. (2003). Origins and evaluation of 

model-based reasoning in mathematics and science. In R. 

Lesh, & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models 

and modeling perspectives on mathematics problem solving, 

learning, and teaching (pp. 59-70). Mahwah, NJ: Lawrence 

Erlbaum. 

Lehrer, R., & Schauble, L. (2007). A developmental 

approach for supporting the epistemology of modeling. In 

W. Blum, P. L. Galbraith, H-W. Henn, & M. Niss (Eds.), 

Modeling and applications in mathematics education (pp. 

153-160). New York, NY: Springer. 

Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H. M., Post, T., & Zawojewski, 

J. S. (2003). Model development sequences. In R. Lesh, & H. 

M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling 

perspectives on mathematics problem solving, learning, and 

teaching (pp. 3-33). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. 

Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003a). Foundations of a models 

and modeling perspective on mathematics teaching, 

learning, and problem solving. In R. Lesh, & H. M. Doerr 

(Eds.), Beyond constructivism: Models and modeling 

perspectives on mathematics problem solving, learning, and 

teaching (pp. 3-33). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. 

Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003b). In what ways does 

a models and modeling perspective move beyond 

constructivism. In R. Lesh, & H. M. Doerr (Eds.), Beyond 

constructivism: Models and modeling perspectives on 

mathematics problem solving, learning and teaching (pp. 

519-556). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. 

Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A., & Post, T. (2000). 

Principles for developing thought-revealing activities 

for students and teachers. In R. Lesh, & A. Kelly (Eds.), 

Handbook of research design in mathematics and science 

education (pp. 591-645). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. 

Lesh, R., & Lehrer, R. (2003). Models and modeling 

perspectives on the development of students and teachers. 

Mathematical Thinking and Learning, 5(2&3), 109-129. 

Lesh, R., & Zawojewski, J. S. (2007). Problem solving and 

modeling. In F. Lester (Ed.), The handbook of research on 

mathematics teaching and learning (2nd ed., pp. 763-804). 

Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics; 

Charlotte, NC: Information Age Publishing.Lingefjärd, T. 

(2002a). Teaching and assessing mathematical modelling. 

Teaching Mathematics and its Applications, 21(2), 75-83. 

Lingefjärd, T. (2002b). Mathematical modeling for 

preservice teachers: A problem from anesthesiology. 

International Journal of Computers for Mathematical 

Learning, 7, 117-143. 

Lingefjard, T. (2004). Assessing engineering student’s 

modeling skills. Retrieved from http://www.cdio.org/files/ 

assess_model_skls.pdf 

Lingefjard, T. (2006). Faces of mathematical modeling. 

ZDM – The International Journal on Mathematics 

Education, 38(2), 96-112. 

Lingefjärd, T., & Holmquist, M. (2005). To assess students’ 

attitudes, skills and competencies in mathematical 

modeling. Teaching Mathematics and Its Applications, 24(2- 

3), 123-133. 

Mousoulides, N., Sriraman, B., & Christou, C. (2007). 

From problem solving to modeling– the emergence of 

models and modelling perspectives. Nordic Studies in 


National Council of Teachers of Mathematics. (1989). 

Curriculum and evaluation standards for school 

mathematics. Reston, VA: Author. 

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). 

Principles and standards for school mathematics. Reston, 

VA: Author. 

Niss, M., Blum, W., & Galbraith, P. L. (2007). Introduction. 

In W. Blum, P. Galbraith, H. Henn, & M. Niss (Eds.), 


14th ICMI study (pp. 3-32). New York: Springer. 

Nunes, T., Schliemann, A. D., & Carraher, D. W. (1993). 

Mathematics in the streets and in schools. Cambridge, UK: 

Cambridge University Press. 

Reusser K., & Stebler, R. (1997). Every word problem has a 

solution-the social rationality of mathematical modeling in 

schools. Learning and Instruction, 7(4), 309-327. 

Sriraman, B. (2006). Conceptualizing the model-eliciting 

perspective of mathematical problem solving. In M. Bosch 

(Ed.), Proceedings of the Fourth Congress of the European 

Society for Research in Mathematics Education (CERME 4) 

(pp. 1686-1695). Sant Feliu de Guíxols, Spain: FUNDEMI 

IQS, Universitat Ramon Llull.. 

Sriraman, B., Kaiser, G., & Blomhøj, M. (2006). A brief 

survey of the state of mathematical modeling around the 

world. ZDM – The International Journal on Mathematics 

Education, 38, 212-213. 

Sriraman, B., & Lesh, R. (2006). Modeling conceptions 

revisited. ZDM – The International Journal on Mathematics 

Education, 38, 247-253. 

Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı. (2011). Ortaöğretim 

matematik (9, 10, 11 ve 12. sınıflar) dersi öğretim programı. 

Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü. 

Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı. (2013). Ortaöğretim 

matematik dersi (9, 10, 11 ve 12. sınıflar) öğretim programı. 

Ankara: T.C. Milli Eğitim Bakanlığı. 

Verschaffel, L., & De Corte, E. (1997). Teaching realistic 

mathematical modeling and problem solving in the 

elementary school. A teaching experiment with fifth 

graders. Journal for Research in Mathematics Education, 

28(5), 577-601. 

Verschaffel, L., De Corte, E., & Borghart, I. (1997). Preservice 

teachers’ conceptions and beliefs about the role of 

real-world knowledge in mathematical modeling of school 

word problems. Learning and Instruction, 7(4), 339-359. 

Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2002). Everyday 

knowledge and mathematical modeling of school word 

problems. In K. P. Gravemeijer, R. Lehrer,H. J. van Oers, 

& L. Verschaffel (Eds.), Symbolizing, modeling and tool use 

in mathematics education (pp. 171-195). Dordrecht, The 

Netherlands: Kluwer Academic Publishers. 

Zawojewski, J. S., & Lesh, R. (2003). A models and 

modelling perspective on problem solving. In R. A. Lesh, 

& H. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and 

modeling perspectives on mathematics problem solving, 

learning, and teaching (pp. 317-336). Mahwah, NJ: 

Lawrence Erlbaum. 

Zawojewski, J. S., Lesh, R., & English, L. (2003). A models 

and modeling perspective on the role of small group 

learning activities. In R. A. Lesh, & H. Doerr (Eds.), 

Beyond constructivism: Models and modeling perspectives 

on mathematics problem solving, learning, and teaching (pp. 

337-358). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. 

Zbiek, R., M., & Conner, A. (2006). Beyond motivation: 

Exploring mathematical modeling as a context for deepening 

students’ understandings of curricular mathematics. 

Educational Studies in Mathematics, 69, 89-112. 

1627

192d30661474f49d85ef0eaaa94c449f71627

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?