unite09

Özdeğer ve ÖzvektörlerYazarÖğr.Grv.Dr.Nevin ORHUNÜNİTE9AmaçlarBu üniteyi çalıştıktan sonra;• bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarınıanlayacak,• bir dönüşüm matrisinin karakteristik polinom, özdeğer ve özvektörlerininnasıl bulunduğunu öğrenecek,• bir dönüşüm matrisinin ne zaman köşegen matris biçimindeyazılabileceğini öğrenecek,• simetrik matrisin daima bir köşegen matris biçiminde yazılabileceğiniöğreneceksiniz.İçindekiler• Giriş 191• Karakteristik Polinom 193• Bir Matrisin Köşegenleştirilmesi 199• Değerlendirme Soruları 212

Çalışma Önerileri• Bu üniteyi çalışmaya başlamadan önce 7. ve 8. Üniteleri tekrargözden geçiriniz.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 1911. GirişÜnite 8 de sonlu boyutlu V ve W vektör uzayları için bir T : V → W lineerdönüşümünün V ve W nin verilen tabanlarına göre matris temsilini gördük. Tabanlardeğiştiğinde dönüşüm matrisinin de değiştiğini biliyoruz. Dönüşüm matrisilineer dönüşümlerde yapılan ispatları, işlemleri kolaylaştırmak için kullanılabileceğinden,matrisin basit olması, yani matriste sıfır öğelerinin çok sayıda olması,özellikle bir köşegen matris olması önemlidir. Bu bölümde, V sonlu boyutlu birvektör uzayı olmak üzere T : V → V şeklindeki bir lineer dönüşümün matrisinin,köşegen matris olması için gerekli koşulları inceleyeceğiz.T : V → Vlineer dönüşümünün, V nin { x 1 , x 2 , ... , x n } tabanına göre dönüşüm matrisiköşegen matris olsun.A =λ 1 0 00 λ 2 00 0 λ nBu matrisin nasıl bulunduğunu biliyoruz: Matrisin sütunları T(x 1 ) , T(x 2 ) , ... ,T(x n ) vektörlerinin { x 1 , x 2 , ... , x n } tabanına göre koordinatları olduğundanT x 1 = λ 1 x 1 + 0 . x 2 + ... + 0 . x nT x 2 = 0 . x 1 + λ 2 x 2 + ... + 0 . x nveyaT x n = 0 . x 1 + 0 . x 2 + ... + λ n x nT x 1 = λ 1 x 1T x 2 = λ 2 x 2T x n = λ n x nolduğu görülür. Buna göre, dönüşüm matrisi bir köşegen matris ise taban vektörleriningörüntüleri, kendilerinin bir katıdır. Tersine olarak bir lineer dönüşümde,taban vektörlerinin görüntüleri kendilerinin bir katı oluyorsa dönüşüm matrisiköşegen matris olur. O halde bir lineer dönüşümün matrisinin köşegen matris olmasıiçin öğelerinin herbirini kendi katlarına gönderen bir taban bulmalıyız.AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

192ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER1.1. TanımT : V → V lineer dönüşümü verilsin.x ∈ V , olan sıfırdan farklı bir x vektörü için T (x) = λ x eşitliğini sağlayan bir λsayısı varsa, λ sayısına T dönüşümünün özdeğeri, x vektörüne de λ özdeğerinekarşılık gelen özvektörü denir.Bu tanımın ardından aşağıdaki önemli teoremi ifade edelim:1.2. TeoremV sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T : V → V bir lineer dönüşüm olsun. Tnin dönüşüm matrisinin bir köşegen matris olması için gerekli ve yeterli koşul Tnin özdeğerlerine karşı gelen özvektörlerin V için bir taban oluşturmasıdır.Kanıt{ x 1 , x 2 , ... , x n } tabanına göre T nin matrisinin nasıl bulunduğunu anımsayarakteoremin kanıtını yapınız.Bir kare matris bir lineer dönüşüm olarak düşünüldüğünde, bu lineer dönüşümünözdeğer ve özvektörlerine o matrisin özdeğerleri ve özvektörleri denir. Daha açıkolarak, A = (a ij ) nxn matrisinin R n in standart tabanına göre belirlediği T lineerdönüşümünü göz önüne alırsak, T nin özdeğer ve özvektörlerine A nın özdeğerve özvektörleri denir. Bir λ sayısının A matrisinin özdeğeri olmasıAx = λ xkoşulunu sağlayan x ≠ 0 olacak şekilde bir x vektörünün var olmasıdır. Bu x vektörüneA matrisinin λ özdeğerine karşı gelen özvektörü denir.λ , T : V → V lineer dönüşümünün bir özdeğeri ise, her c ∈ R içinT ( cx ) = c T ( x ) = c ( λ x ) = λ ( cx )yazabiliriz. Buna göre, x vektörünün her c skaleriyle çarpımı λ özdeğerine karşılıkgelen bir özvektördür. Bu vektörlerin kümesi V nin bir alt uzayını oluştururlar.Bu alt uzaya λ özdeğerine karşı gelen T nin özuzayı denir.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 1931.3. ÖrnekI : V → V birim dönüşüm olsun. Her x ∈ V içinI (x) = x = 1 . xBöylece λ = 1 , I nın bir özdeğeri ve V içindeki her vektörde 1 özdeğerinekarşılık gelen özvektördür.1.4. ÖrnekV türevlenebilen fonksiyonların vektör uzayı ve D türev dönüşümü olsun.D : V → VD ( e 3t ) = 3 e 3tyazılabilir.Burada λ = 3 özdeğer, x = e 3t , bu özdeğere karşılık gelen özvektördür.Özdeğer ve özvektör yerine karakteristik değer ve karakteristik vektör deyimleride kullanılır.2. Karakteristik Polinom2.1. TanımT : V → Vlineer dönüşümünün, V nin { x 1 , x 2 , ... , x n } tabanına göre matrisia 11 a 12 a 1nA =a 21 a 22 a 2na n1 a n2 a nnolsun. I n , birim matris ve λ bilinmeyen bir sayı olmak üzere, A - λ I n matrisinekarakteristik matrisi denir. Bu matrisin determinantıa 11 - λ a 12 a 1nA - λ I n =a 21 a 22 - λ a 2nAÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİa n1 a n2 a nn - λ

194ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLERλ nın bir polinomu olup, bu polinoma T nin karakteristik polinomu denir.T ( λ ) = | A - λ I n | = 0denklemine de karakteristik denklem denir.Şimdi karakteristik polinomun, T nin matris gösteriminin bulunmasında seçilentabana bağlı olmadığını gösterelim:T : V → V lineer dönüşümü verilsin.V nin { x 1 , x 2 , ... , x n } tabanına göre T nin matrisi A , V nin { y 1 , y 2 , ... , y n } tabanınagöre T nin matrisi B ise A ve B matrislerinin karakteristik polinomları aynıdır:A ve B aynı bir lineer dönüşümü temsil ettiklerine göre bu iki matris arasındaA = P B P - 1ilişkisi vardır (Ünite 8, 2.3 Teorem). Buradan,A - λI = P B P -1 - λI= P B P -1 - λ P I P - 1= P (B - λI ) P - 1= P B - λI P - 1= B - λI P P - 1A - λI = B - λIbulunur. Buna göre bir lineer dönüşümün karakteristik polinomu dönüşüm matrisininhesaplandığı tabana bağlı değildir. Bir başka ifadeyle, benzer matrislerinkarakteristik polinomları aynıdır.2.2. TeoremA = ( a ij ) nxn matrisinin özdeğerleri karakteristik polinomun gerçel kökleridir.Kanıtλ , A nın bir özdeğeri ve bu özdeğere karşı gelen bir vektörde x olsun.A x = λ xA x = ( λ I n ) x( A - λ I n ) x = 0ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 195Bu sistem n bilinmeyenli n denklemden oluşan homojen lineer denklem sistemidir.Sistemin sıfır çözümden başka çözümlerinin olması için gerekli ve yeterli koşul| A - λ I n | = 0olmasıdır. Böylece A nın özdeğerleriT ( λ ) = | A - λ I n |karakteristik polinomunun kökleridir.O halde bir lineer dönüşüm verildiğinde özdeğerlerini bulmak için, herhangi birtabana göre yazılan dönüşüm matrisinin karakteristik polinomunun kökleri bulunur.2.3. ÖrnekA =1 -1 -11 3 1-3 1 -1matrisinin özdeğerlerini ve bunlara karşı gelen özvektörleri bulunuz.ÇözümA nın karakteristik polinomu,A - λ I 3 =1 - λ -1 -11 3 - λ 1-3 1 -1 - λ= - λ 3 + 3λ 2 + 4λ - 12 = 0olup λ 3 - 3 λ 2 - 4 λ + 12 = 0 denkleminin kökleri özdeğerlerdir. Bu denkleminkökleri 12 nin çarpanlarını denklemde deneyerek λ = 2 , λ = 3 , λ = -2bulunur. Şimdi bu özdeğerlere karşı gelen özvektörleri bulalım:λ özdeğerine karşı gelen x özvektörüx = ( x 1 , x 2 , x 3 )ise( A - λ I 3 ) x = 0AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

196ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER1 - λ -1 -11 3 - λ 1x 1x 2=00(1)-3 1 -1 - λx 30olur.λ = 2 için-1 -1 -11 1 1x 1x 2=00-3 1 -3x 30-x 1 - x 2 - x 3 = 0x 1 + x 2 + x 3 = 0-3x 1 + x 2 - 3x 3 = 0homojen denklem sistemi elde edilir. Burada 1. denklem, 2. denklemin -1 katıdır,bu durumdax 1 + x 2 + x 3 = 0-3x 1 + x 2 - 3x 3 = 0üç bilinmeyenli iki denklemden oluşan sistemin çözümü için x 1 bilinmeyeninibilinen kabul edersek, sistemin çözümüx 3 = -x 1 ve x 2 = 0bulunur.x 1 = k için x 3 = -k , x 2 = 0x =k0-kbulunur. Böylece, λ = 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörler k ≠ 0 olmak üzerek0 biçimindedir. Buna göre λ = 2 özdeğerinin özuzayık0 k ≠ 0 , k ∈ R =-k-k1= k 0 k ≠ 0 , k ∈ R kümesidir. Böylece λ = 2 özdeğerine karşılık gelen-1özuzay 1 boyutludur. Bu özuzay için v = 1 , 0 , -1 kümesi bir taban oluşturur.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 197Şimdi de λ 2 = 3 özdeğerine karşılık gelen x özvektörlerini bulalım:(1) denkleminde λ = 3 yazılarak işlem yapılırsa;-2 x 1 - x 2 - x 3 = 0x 1 + x 3 = 0-3x 1 + x 2 - 4 x 3 = 0denklem sistemi bulunur. Sistemin katsayılar matrisinin rankı 2 olduğundan x 1bilinmeyenini bilinen kabul edersek, sistemin çözümüx 2 = - x 1 ve x 3 = - x 1bulunur.x 1 = k , x 2 = - k , x 3 = - kolur.Böylece λ = 3 özdeğerine karşılık gelen özvektörler, k ≠ 0 olmak üzerex=k-k,-kbiçimindedir. Buna göre λ = 3 özdeğerinin özuzayı kλ = - 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörleri bulalım:1-1-1k ∈ R kümesidir.Benzer şekilde (1) denkleminde λ = - 2 yazılarak işlem yapılırsa;3 x 1 - x 2 - x 3 = 0x 1 + 5 x 2 + x 3 = 0-3x 1 + x 2 + x 3 = 0sistemin çözümünden x 2 = - x 1 , x 3 = 4 x 1bulunur.x 1 = k için x 2 = - k , x 3 = 4 kolur.λ = - 2 özdeğerine karşılık gelen özvektörler x =k-kbiçimindedir.Böylece λ = 2 ; 3 ; - 2 özdeğerlerine karşılık gelen özvektörler sırasıyla4 kkkk0,-k,-kk ≠ 0 , k ∈ R dir. ( Neden k ≠ 0 )-k-k4 kAÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

198ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLERk = 1 için bu vektörler10-1,1-1-1,1-14matrisi yazarak basamak biçime indirgeyelim:olur. Bu vektörlerin oluşturduğu1 1 10 -1 -1-1 -1 41 1 10 1 10 0 1olur. Bu üç vektör basamak matrisin sıfır olmayan satırları olup lineer bağımsızdırlar.Şimdi bununla ilgili teoremi ifade edelim:2.4. TeoremT : V n → V n lineer dönüşümünün farklı λ 1 , λ 2 , ... , λ n özdeğerlerine karşılıkgelen v 1 , v 2 , ... , v n özvektörleri lineer bağımsızdır.Kanıtn üzerinde tüme varımla yapalım:n = 1 için v 1 ≠ 0 olduğundan v 1 lineer bağımsızdır.n = 2 için v 1 , v 2 özvektörleri lineer bağımsız mı?c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0olsun. T ( c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = T (0) veya c 1 T( v 1 ) + c 2 T( v 2 ) = 0T ( v 1 ) = λ 1 v 1 , T ( v 2 ) = λ 2 v 2olduğundanc 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 = 0olur. Şimdi c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 denklemini λ 2 ile çarpıp bu denklemden çıkartalım,ikinci terimler aynı olacağındanc 1 ( λ 1 - λ 2 ) v 1 = 0olur. λ 1 ≠ λ 2 ve v 1 ≠ 0 olduğundan c 1 = 0 olur. c 1 ın bu değeri c 1 v 1 + c 2v 2 = 0 denkleminde yazılınca, v 2 ≠ 0 olduğundan c 2 = 0 elde edilir.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 199Şimdi iddianın n - 1 vektör için doğruluğunu kabul edip n vektör için kanıtlayalım.v 1 , v 2 , ... , v n özvektörlerinden ilk (n - 1) tanesinin lineer bağımsız vec 1 v 1 + c 2 v 2 + ... + c n-1 v n-1 + c n v n = 0(1)olsun.c 1 T ( v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + ... + c n-1 T ( v n-1 ) + c n T ( v n ) = 0(2)ve i = 1 , 2 , ... , n için T ( v i ) = λ i v i olduğundanc 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + ... + c n-1 λ n-1 v n-1 + c n λ n v n = 0olur. Şimdi (1) denklemini λ n ile çarpıp (2) denkleminden çıkartalım, son terimleraynı olacağından,c 1 ( λ 1 - λ n ) v 1 + c 2 ( λ 2 - λ n ) v 2 + ... + c n-1 ( λ n-1 - λ n ) v n-1 = 0elde edilir. v 1 , v 2 , ... , v n-1 vektörleri lineer bağımsız olduğundan bütün katsayılarsıfır, yanic 1 ( λ 1 - λ n ) = c 2 ( λ 2 - λ n ) = ... = c n-1 ( λ n-1 - λ n ) = 0olur. Diğer taraftan λ i (i = 1 ... n) ler farklı olduklarındanc 1 = c 2 = ... = c n-1 = 0çıkar. c i (i = 1 , 2 , ... , n-1) ler (1) de yerine yazılıncac n v n = 0elde edilir. v n ≠ 0 olduğundan c n = 0 bulunur ve tüme varım tamamlanır.Sonuç olarak, farklı λ 1 , λ 2 , ... λ n özdeğerlerine karşılık gelen v 1 , v 2 , ... , v nözvektörleri lineer bağımsız olurlar.3. Bir Matrisin Köşegenleştirilmesi3.1. TanımV sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve T : V → V bir lineer dönüşüm olsun. Vnin öyle bir tabanı olsun ki, T nin bu tabana göre A matrisi köşegen matris olsun.Bu durumda T ye köşegenleştirilebilir denir.AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

200ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLERT nin köşegenleştirilebilmesi demek, özvektörlerden oluşan V nin bir tabanınıbulmak ve bu tabana göre dönüşüm matrisini oluşturmaktır. Bu köşegen matris,B = P -1 A Pile verilir. Buradaki P matrisi, standart tabandan özvektörlerin oluşturduğu tabanageçiş matrisidir. Bu durumda P matrisi kısaca, sütunları lineer bağımsız özvektörlerolan matristir. P nin sütunları lineer bağımsız olduğu için P matrisi bir regülermatristir. Böylece V n-boyutlu bir vektör uzayı olmak üzereT : V → Vlineer dönüşümünün (A matrisinin) köşegenleştirilebilmesi için aşağıda işlemleruygulanır:(i)T lineer dönüşümün matris gösterimi A nın karakteristik polinomu yazılır.T( λ ) = |A - λ I n |(ii) T (λ) = | A - λ I n | = 0karakteristik polinomun kökleri bulunur. Bu kökler A nın özdeğerleridir.Bulunan özdeğerler gerçel değilse, A matrisi köşegenleştirilemez.(iii) A nın her bir λ özdeğerine karşı gelen özvektörleri bulunur.( A - λ I n ) x = 0(iv) Bu özvektörler n-boyutlu bir vektör uzayı için taban oluşturuyorsa A matrisiköşegenleştirilebilir.(v) Köşegen matris aşağıdaki şekillerden biri ile bulunur.a) Lineer dönüşüm A matrisi ile verilmişse, standart tabana göre dönüşümmatrisi A olan lineer dönüşüm yazılır. Bu dönüşümün, özvektörlerin oluşturduğutabana göre matrisi aranan köşegen matristir.b) Sütunları özvektörler olan matris P olmak üzereB = P - 1A Pmatrisi köşegen matristir. B nin köşegen elemanlarına özdeğerler karşılıkgelir.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 201Şimdi 2.3 Örneğe tekrar dönelim:A =1 -1 -11 3 1-3 1 -1matrisinin bir köşegen matrise benzer olup olmadığını veya köşegenleştirilip köşegenleştirilemeyeceğiniaraştıralım.Bu matrisin köşegenleştirilebilmesi için e 1 , e 2 , e 3 standart tabanına göre temsilettiği T lineer dönüşümünün özvektörlerinden oluşan bir tabanının bulunmasıdır.2.3 Örnekte bu matrisin özdeğerleri λ 1 = 2 , λ 2 = 3 , λ 3 = - 2 bulunmuştu.Bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler de k ≠ 0 için x 1 = (k, 0, -k) , x 2 =(k, -k, -k) , x 3 = (k, -k, 4k) biçimindeydi.Burada k = 1 için,λ = 2 özdeğerine karşılık x 1 = (1, 0, -1) özvektörüλ = 3 özdeğerine karşılık x 2 = (1, -1, -1) özvektörüλ = -2 özdeğerine karşılık x 3 = (1, -1, 4) özvektörübulunur. E = { x 1 = (1, 0, -1) , x 2 = (1, -1, -1) , x 3 = (1, -1, 4) } kümesi R 3için bir taban teşkil eder. Kontrol ediniz!... Şimdi, standart tabana göre matris gösterimiA olan T lineer dönüşümünün E = { (1, 0, -1) , (1, -1, -1) , (1, -1, 4) } tabanına görematrisini bulalım:T : R 3 → R 3T (x , y , z) = (x - y - z , x + 3y + z , - 3x + y - z)olur (Bu dönüşümün nasıl elde edildiğini hatırlayınız).T (1, 0, -1) = (1 - 0 + 1 , 1 + 3.0 + (-1) , -3.1 + 0 - (-1) ) = (2, 0, -2)(2, 0, -2) = a (1, 0, -1) + b (1, -1, -1) + c (1, -1, 4)(2, 0, -2) = (a + b + c , - b - c , - a - b + 4c)a = 2 , b = 0 , c = 0Bu değerler aranan matrisin 1. sütunudur.AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

202ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLERBenzer şekilde;T (1, -1, -1) = (3, -3, -3) = a (1, 0, -1) + b(1, -1, -1) + c(1, -1, 4)(3, -3, -3) = (a + b + c , - b - c , - a - b + 4)a = 0 , b = 3 , c = 0bulunur. Bu değerler matrisin 2. sütunudur. Benzer şekilde;T (1, -1, 4) = (1 + 1 - 4 , 1 - 3 + 4 , - 3 - 1 - 4) = (-2, 2, -8)(-2, 2, -8) = a (1, 0, -1) + b(1, -1, -1) + c(1, -1, 4)a = 0 , b = 0 , c = -2bulunur. Bu değerler de matrisin 3. sütunudur. Bulunan değerlerle matrisi oluşturursak,2 0 00 3 00 0 -2köşegen matrisi elde edilir. Sonuç olarak, verilen A matrisi köşegenleştirilebilir birmatristir.Köşegenleştirilebilmenin diğer bir yolu da, özvektörleri sütun vektörü olarak alanmatris P olmak üzere,B = P -1 A Pmatrislerinin çarpımıdır.P =1 1 10 -1 -1-1 -1 4olur. P -1 ters matrisi iseP -1 = - 1 5-5 -5 01 5 1-1 0 -1şeklinde bulunur. Kontrol ediniz.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 203-5 -5 01 -1 -11 1 1B = - 1 51 5 11 3 10 -1 -1-1 0 -1-3 1 -1-1 -1 4-10 -10 01 1 1B = - 1 53 15 30 -1 -12 0 2-1 -1 4B = - 1 5-10 0 00 -15 0=2 0 00 3 00 0 100 0 -2köşegen matris elde edilir; yani B = P -1 A P dir.Sonuç olarak, T nin dönüşüm matrisinin köşegenleştirilebilmesi için özdeğerlerekarşılık bulunan özvektörlerin bir taban oluşturmasıdır. Buradan aşağıdaki teoremiifade edebiliriz.3.2. TeoremBir A = ( a ij ) n x n kare matrisinin karakteristik polinomunun n tane kökü farklı vegerçel ise A matrisi köşegenleştirilebilir.Teoremin kanıtı verilmeyecek bir örnekle açıklanacaktır.A =1 50 1matrisinin köşegenleştirilemeyeceğini gösterelim:A matrisinin karakteristik polinomu,1 - λ 50 1 - λ= 0olup, (1 - λ) 2 = 0 , λ 1 = λ 2 = 1 özdeğeri bulunur. Bu özdeğere karşılıkgelen özvektörü bulalım:( A - λ I 2 ) x = 0buradan,AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

204ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER0 50 05 x 2 = 0 , x 2 = 0x 1x 2= 0λ = 1 özdeğerine karşı gelen özvektör x 1 ≠ 0 , x 2 = 0 olmak üzere (x 1 , 0)şeklindedir. Buna göre, R 2 nin özvektörlerden oluşan bir tabanı bulunamaz. Ohalde verilen A matrisi köşegenleştirilemez.3.3. ÖrnekA =1 2 30 1 02 1 2matrisinin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz mümkünse köşegenleştiriniz.A - λI 3 =1 - λ 2 30 1 - λ 02 1 2 - λ= 1 - λ 1 - λ 2 - λ - 0 + 2 0 - 3 1 - λ = 0Parantezler açılıp işlem yapılırsa(1 - λ) (λ + 1) (λ - 4) = 0bulunur. Buradan;λ 1 = 1 , λ 2 = -1 , λ 3 = 4özdeğerleri bulunur. Bu özdeğerlere karşı gelen özvektörleri bulalım:λ 1 = 1 için A - λI 3 x = 0A - λI 3 x =0 2 30 0 0x 1x 2=002 1 1x 302x 2 + 3x 3 = 02x 1 + x 2 + x 3 = 0sistemini x 1 e göre çözersek ; x 2 = - 6x 1 , x 3 = 4x 1 bulunur. Buna görex = ( x 1 , - 6 x 1 , 4 x 1 ) ; x 1 = 1 için x = (1, - 6, 4) olur. λ = - 1 için özdeğerinekarşı gelen özvektör:ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 205A - λI 3 x =2 2 30 2 0x 1x 2=002 1 3x 302x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 02x 2 = 02x 1 + x 2 + 3x 3 = 0sisteminin x 1 'e göre çözümü, x 2 = 0 , x 3 = - 2 3 x 1 olur.x 1 = 3 için x = (3, 0, -2) bulunur.λ = 4 özdeğerine karşı gelen özvektör;-3 2 30 -3 0x 1x 2=002 1 -2x 30- 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0- 3x 2 = 02x 1 + x 2 - 2x 3 = 0sisteminin x 3 'e göre çözümü x 1 = x 3 , x 2 = 0 olur.x 1 = 1 için x = (1, 0, 1) bulunur. Böylece özvektörler(1, - 6, 4) , (3, 0, - 2) , (1, 0, 1)olarak bulunur. Bu vektörler lineer bağımsızdır ve R 3 için bir taban teşkilederler. 1.2. teorem gereğince A matrisi köşegenleştirilebilir. A matrisinin standarttabana göre temsil ettiği lineer dönüşümT: R 3 → R 3T (x, y, z) = (x + 2y + 3z , y , 2x + y + 2z)dir.T nin { (1, -6, 4) , (3, 0, -2) , (1, 0, 1) } tabanına göre dönüşüm matrisini bulalım: Bununiçin tabandaki her vektörün T altındaki görüntüsünün yine tabana göre koordinatlarınıbulmalıyız.T (1, -6, 4) = (1 + 2 . (-6) + 3 . 4 , -6 , 2 . 1 -6 + 2 . 4) = (1, -6, 4)(1, -6, 4) = a (1, -6, 4) + b (3, 0, -2) + c (1, 0, 1)AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

206ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLERburadan açık olarak a=1 , b=0 , c=0 bulunur. Bu değerler matrisin 1. sütunudur.T (3, 0, -2) = (3 + 2 . 0 + 3 (-2) , 0 , 2 . 3 + 0 + 2 . (-2) ) = (-3, 0, 2)(-3, 0, 2) = a (1, -6, 4) + b (3, 0, -2) + c (1, 0, 1)burada a=0 , b=-1 , c=0 olduğu hemen görülür. Bu değerler matrisin 2. sütunudur.T (1, 0, 1) = (1 + 2 . 0 + 3 . 1 , 0 , 2 . 1 + 0 + 2 . 1) = (4, 0, 4)(4, 0, 4) = a (1, -6, 4) + b (3, 0, 2) + c (1, 0, 1)burada a=0 , b=0 , c=4 olduğu açıktır. Bu değerlerde matrisin 3. sütunudur. Bunagöre,A =1 0 00 -1 00 0 4bulunur. Bu köşegen matrisin köşegen üzerindeki öğelerinin özdeğerler olduğunadikkat edelim.Şimdi ikinci bir yol olarak,T nin özvektörlerinden oluşan { (1, -6, 4) , (-3, 0, 2) , (1, 0, 1) } tabanına göre köşegenmatrisini daha kısa yoldan bulalım:P =1 3 1-6 0 04 -2 1(Özvektörler sütunları oluşturuyor)olmak üzereB = P -1 A Pköşegen matristir. P -1 ters matrisi bulunarak çarpma işlemi yapılırsaB = 1300 -5 06 -3 -612 14 181 2 30 1 02 1 21 3 1-6 0 04 -2 1= 13030 0 00 -30 00 0 120=1 0 00 -1 00 0 4elde edilir.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 2073.4. ÖrnekT : R 3 → R 3T (x, y, z) = (x + 2y + 3z , -y + 2z , 2z)lineer dönüşümünün özdeğer ve özvektörlerini bulunuz. Mümkünse dönüşümmatrisini köşegenleştiriniz.ÇözümT (x, y, z) = λ (x, y, z)(x + 2y + 3z , -y + 2z , 2z) = (λx , λy , λz)[ (1 - λ) x + 2y + 3z , (-1 - λ) y + 2z , (2 - λ) z] = (0, 0, 0)(1 - λ) x + 2y + 3z = 0(-1 - λ) y + 2z = 0 (1)(2 - λ) z = 0T nin karakteristik polinomu,1 - λ 2 30 -1 - λ 20 0 2 - 7= (1 - λ) (-1 - λ) (2 - λ) = 0olup, λ = 1 , λ = -1 , λ = 2 özdeğerleri bulunur.Şimdi bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri bulalım:λ = 1 için (1) den,2y + 3z = 0-2y + 2z = 0buradan,2z = 0z = 0 , y = 0 , x ≠ 0 , x ∈ R olur. Buna göre x = 1 için (1, 0, 0) özvektörü eldeedilir.λ = -1 için (1) den,2x + 2y + 3z = 02z = 03z = 0AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

208ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLERburadan,z = 0 , x , y ∈ R olmak üzere, x = y = 1 için (1, 1, 0) özvektörü elde edilir.λ = 2 için (1) den,-x + 2y + 3z = 0-3y + 2z = 00 . z = 0sistemin z ye göre çözümübiri (13, 2, 3) özvektörüdür.x = 13 3 z , y = 2 3 z olurz = 3 için çözümlerindenBuradan, (1, 0, 0) (1, 1, 0) (13, 2, 3) özvektörleri lineer bağımsız olduğu için R 3 içinbir taban teşkil eder. Bu nedenle dönüşüm matrisi köşegenleştirilebilir. Bu köşegenmatrisB = P -1 A Pdir.P =1 1 130 1 2, A =1 2 30 -1 20 0 30 0 2olmak üzere P -1 i bularakB = P -1 A PçarpımındanB =1 0 00 -1 00 0 2olduğunu görünüz.3.5. ÖrnekT : R 2 → R 2T (x, y) = (x, -2x + y)lineer dönüşüm matrisini mümkünse köşegenleştiriniz.ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 209ÇözümT (x, y) = λ (x, y)(x , -2x + y) = (λx , λy)[ (1 - λ) x , -2x + (1 - λ) y ] = (0, 0)(1 - λ) x = 0-2x + (1 - λ) y = 0 (1)Karakteristik polinom,1 - λ 0-2 1 - λ= (1 - λ) 2 = 0 ,(1 - λ) 2 = 0 ⇒ λ 1 = λ 2 = 1.λ = 1 değerine karşılık gelen özvektör (1) den0 . x = 0-2x + 0 . y = 0sistemin çözümünden x = 0 bulunur. Özvektörler (0, y) , y ≠ 0 şeklindedir. Buradan,R 2 nin bir tabanı oluşturulamaz. Dolayısıyla dönüşüm matrisi köşegenleştirilemez.Simetrik matrislerin (A = A T ) köşegenleştirilmede özelliği vardır. Bununla ilgiliteoremi kanıtsız vererek uygulamasını yapalım.3.6. TeoremA = (a ij ) nxn bir simetrik matris ise köşegenleştirilebilir.Teoremin kanıtını vermeyeceğiz. Lineer Cebir kitaplarında bulabilirsiniz. Aşağıdakiifadeler bu teoremin sonuçlarıdır.• Simetrik bir matrisin karakteristik polinomunun bütün kökleri gerçeldir.• Simetrik matrisin farklı özdeğerlerine karşılık gelen özvektörleri ortogonaldir(diktir).• Bir P matrisi vardır kiP -1 A Pmatrisi köşegen matristir. A matrisinin özdeğerleri köşegen matrisin esasköşegeninin öğeleridir.AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

210ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER3.7. ÖrnekA =3 0 30 6 03 0 3matrisini köşegenleştiriniz.ÇözümA nın karakteristik polinomu,A - λI 3 =3 - λ 0 30 6 - λ 03 0 3 - λ= - λ (6 - λ) 2 = 0λ 1 = 0 ve λ 2 = λ 3 = 6 özdeğerleri bulunur.Şimdi bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri belirleyelim;(A - λI) (x) = 0λ = 0 için;3 0 30 6 0xy=003 0 3z03x + 3z = 06y = 03x + 3z = 0buradan,y = 0 , x = -z bulunur. Buna göre z = -1 için λ = 0 özdeğerine karşılık gelenözvektör (1, 0, -1) olur.λ 2 = 6 için( A - λI 3 ) ( x ) = 03x + 3z = 03x + 3z = 0ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 211buradan x = z bulunur. Buna göre, z = 1 ve z = 3 için sırasıyla (1, 0, 1) ve (3, 1, 3)vektörleri λ = 6 özdeğerine karşılık gelen özvektörler olarak alınabilir.Uyarıλ = 6 özdeğeri karakteristik polinomun iki katlı köküdür. Bu nedenle iki tanelineer bağımsız özvektör elde edilir. Genel olarak λ , k katlı kök ise k tane lineer bağımsızözvektör bulunur. ŞimdiP -1 A Pköşegen matrisini bulalım.P =1 1 30 0 1-1 1 3olmak üzere-1 0 1P -1 = -1 2-1 6 -10 -2 0-1 0 13 0 31 1 3P -1 A P = -1 2-1 6 -10 6 00 0 10 -2 03 0 3-1 1 30 0 0=0 6 00 0 6bulunur.Özdeğer ve özvektörlerin birçok önemli özellikleri kanıtsız olarak verilebilir:• A bir üst üçgen (alt üçgen) matris ise A nın özdeğerleri esas köşegen üzerindekielemanlardır.• A ve A T matrisleri aynı özdeğerlere sahiptir.• Bir A kare matris için A q = 0 olacak şekilde bir q tamsayısı bulunabiliyorsaA ya nilpotent matris denir. A nilpotent matris ise bu durumda bir tek özdeğerivardır bu da 0 dır.• A nın determinantının değeri, karakteristik polinonunun bütün köklerininçarpımına eşittir.AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

212ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER• A matrisinin regüler olmaması için gerekli ve yeterli koşul λ = 0 ın A nınbir özdeğeri olmasıdır.• A bir köşegenleştirilebilen matris ise A T ve A n matrisleri de köşegenleştirilebilir(n ∈ N).Değerlendirme Soruları1.4 -21 1matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?A. λ 1 = 2 B. λ 1 = λ 2 = 2λ 2 = 3C. λ 1 = 3 D. λ 1 = -2λ 2 = -2 λ 2 = -3E. λ 1 = 0λ 2 = 32.4 -32 -1matrisinin özvektörleri aşağıdakilerden hangisidir?A. (2, 3) B. (0, 1)(3, 2) (1, 1)C. (1, 1) D. (5, 1)(3, 2) (0, 0)E. (1, 1)(5, 5)3.5 -42 -1matrisinin köşegenleştirilmiş matrisi aşağıdakilerden hangisidir?A. 5 0B.0 -1C. 1 0D.0 10 -42 -11 10 0E.1 00 3ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÖZDEĞ ER VE ÖZVEKTÖRLER 2134.3 6 -20 1 00 0 1matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?A. λ 1 = 1 B. λ 1 = 1λ 2 = 2 λ 2 = 1λ 3 = 3 λ 3 = 3C. λ 1 = 3 D. λ 1 = 0λ 2 = 3 λ 2 = 1λ 3 = 1 λ 3 = 2E. λ 1 = 1λ 2 = 0λ 3 = 25.2 2 -11 3 -11 4 -2matrisinin özdeğerleri aşağıdakilerden hangisidir?A. λ 1 = 1 B. λ 1 = 2λ 2 = 2 λ 2 = -2λ 3 = 3 λ 3 = 1C. λ 1 = 0 D. λ 1 = -1λ 2 = 1 λ 2 = 1λ 3 = 3 λ 3 = 3E. λ 1 = -1λ 2 = 2λ 3 = 5Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. A 2. C 3. E 4. B 5. DAÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ