Ak%C4%B1%C5%9Fkanlar-Mekani%C4%9Fi-1.pdf

Şimdi, içerisinde kütlenin homojen olarak
dağılmadığı, hacmi V ve kütlesi m olan bir akışkan
elemanı gözönüne alalım. Bu elemanın özgül kütlesi:
ρ = m/V
Herhangi bir t anında bu eleman üzerinde bir nokta
alalım ve bu noktadaki özgül kütleyi hesaplamak
isteyelim.
Bu noktayı kuşatan ve içiçe küçülen kontrol bölgeleri düşünelim. Bunlar; V 1> V 2 > V 3
> ... olsun. Gözönüne alınan nokta etrafında kontrol hacimleri küçülürken kütle
dağılımında da üniform değere doğru bir yaklaşım görülecektir. Bir limit hacme
varıldıktan sonra, hacmin daha da küçülmesi sistemin özgül kütlesinde herhangi bir
değişiklik meydana getirmeyecektir.

Böylece, o nokta etrafında özgül kütlenin artık sabit kaldığı en küçük hacim V*
olsun. Buna göre akışkan ortamın O noktasındaki özgül kütlesi:
olarak tanımlanır. V* Limit hacmi atmosferik basınçta bütün sıvı ve gazlar için 10 -9
mm 3 civarındadır.
Meselâ; normal şartlarda 10 -9 mm 3 hacmindeki hava yaklaşık olarak 3.10 7 molekül
ihtiva eder ki bu rakam (III.1) denklemine göre hemen hemen sabit bir özgül kütle
tanımlanmasına yeterlidir.
Mühendislik problemlerinin çoğu bu limit hacimden daha büyük geometrik
boyutlarla ilgilenir. Sürekli ortam kavramı; sabit kalan bu ρ ile, ρ'nun V* deki
istatistiki değerinden V = 0’daki değerine ekstapolasyonunu içerir.
Böylece, bir t anında herhangi bir noktada özgül kütle yukarıdaki gibi tanımlanmış
olur. Böylece ele alınan elemanda ρ'nun fonksiyonel bir değişimi elde edilmiş olur. Bu
şekilde ele alınan bir bölge Akışkan sürekli ortamı veya daha basit olarak “Sürekli
ortam” şeklinde tanımlanır.
Sürekli ortam kavramı matematik bir noktayı kuşatan V* hacminin fiziksel bir
bölgeyi içermesi için ortaya çıkmıştır ve bu, V* den V = 0 'a kadar ekstrapolasyon
yapılması suretiyle gerçekleştirilmiş olur. Bütün bunlara rağmen şurası akıldan uzak
tutulmamalıdır ki; ele alınan tüm modeller ve idealleştirilen tüm kavramlar teoriyi
nihai hedefinden saptırmamalıdır.

Atmosferik Basınçta Havanın Özgül Kütlesinin Sıcaklıkla Değişimi

Atmosferik Basınçta Suyun Özgül Kütlesinin Sıcaklıkla Değişimi

σ xx τ yx τ zx
τ xy σ yy τ zy
τ xz τ yz σ zz
e xx e yx e zx
e xy e yy e zy
e xz e yz e zz
Gerilme Tensörü
δt zaman›ndaki flekil de€ifltirmeyi temsil eden deformasyon tensörü
Konunun Kapsamı
Genel olarak maddesel cisimler
doğada; katı, sıvı ve gaz halinde
bulunurlar.
Bunlardan sadece katı
cisimlerin zorlama etkisinde
davranışını inceleyen bilime “Katı
Cisimler Mekaniği” veya kısa bir
şekilde “Mekanik” denir.
du
τ = µ (I.1)
dy

F
A
= µ V
e
şeklinde ifade edilir. Mutlak
viskozitenin özgül kütleye
oranına da Kinematik
viskozite” denir ve Nü(ν) ile
gösterilir.
ν = µ/ρ
Bu sayede viskozite
kavramında kütle birimi yok
edilerek, m 2 /s biriminde yeni
bir viskozite ifadesi
tanımlanmış olur.

Yüzey Gerilimi
Yüzey gerilimi sıvı damlalarının küresel
kalmalarını sağlar ve özellikle de tüpü ıslatan bir
sıvıda, bir ucu daldırıldığında kılcallık etkisi
dolayısıyla pürüzsüz bir boruda sıvıda yükselme,
tüpü ıslatmayan bir sıvı da ise, (Şekil a ve b'de
görüldüğü gibi) tüp içersinde bir alçalma meydana
getirir.
Sıvı yüzeyi ile katı arasındaki temas açısı θ ise,
yüzey gerilimi dolayısıyla, tüp çapı d olduğunda
yukarı doğru çekme kuvveti = σπdcosθ olur. Sıvının
tüpte yükselmesi h, özgül ağırlığı γ ile
gösterildiğinde,
Yükselen Sıvının ağırlığı
2
πd
= γ
4 h
olur. Buna göre yüzel gerilimi ile yükselen
sıvının ağırlığını birbinine eşitlersek:
€
2
πd
σπd cosθ = γ
4
h →h = 4σcosθ
γd

Bir Su Damlasının Gerilim
Kuvveti:
F = σ.l = σ.2πR
F = (p iç – p dış )A
F = (p iç – p dış )πR 2
Buhar Basıncı
Buhar basıncı; esas itibariyle sıvı buharının parsiyel basıncı olarak tarif edilir.
Doymuş buhar basıncı; serbest sıvı yüzeyindekine eşdeğer buhar basıncıdır. Bundan
dolayı, o basınç sıvının verilen sıcaklıktaki buharlaşma basıncıdır. Sıvıların o
sıcaklıktaki doymuş buhar basıncı kaynama noktasıdır. Yani su 1 atm. (760 mm
cıva) mutlak basınçta 100 0 C’da kaynayacaktır.
Başka bir ifadeyle; “buhar fazına geçen taneciklerin sıvı yüzeyine çıkmadan
önce sıvı fazdaki taneciklere yaptığı basınca buhar basıncı” denir. Sıcaklık
değişmediği sürece buhar basıncı da değişmez. Herhangi bir sıvının sıcaklığı
arttırılırsa, gaz fazına geçen moleküllerin sayısı artacağından, sıcaklığa bağlı olarak
buhar basıncı da artar.

Buna göre ısıtılan bir sıvının buhar basıncı sürekli olarak artar. Sıvının buhar basıncının dış
basınca eşitlendiği anda bu artış durur. Bir sıvının buhar basıncının dış buhar basıncına eşit
olduğu anda kaynama olayı başlar.
Suyun sıcaklığın Fonksiyonu olarak Buhar Basıncı

HİDROMETRELER
Hidrometreler; yüzme (kaldırma
kuvveti) prensibiyle çalışan,
sıvıların yoğunluklarını ölçen
cihazlardır.
Soru: Yandaki şekilde birinde saf
su diğerinde tuzlu su bulunan
skalalı iki hidrometre
görülmektedir. Her iki cuhazda da
aynı ağırlık bulunduğuna göre
Aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
1. Saf su 1. Tuzlu Su
2. Tuzlu su 2. Saf su

ÖRNEK I.1. SAE 30 yağı, 20 o C sıcaklıkta biri sabit, diğeri
V hızı ile hareket eden iki levha arasında daimi bir kaymaya
maruz bırakılmıştır. Levhalar arası mesafe h olduğuna göre;
a. Her bir levhada kayma olmadığına göre, levhalar arasında
linier bir hız alanı meydana geleceğini gösteriniz.
b. V = 3 m/s ve h = 2 cm olması halinde yağın kayma
gerilmesini Paskal cinsinden hesaplayınız.
Çözüm a. Bu şekilde harekette akışkan içersinde dahi τ kayma gerilmesi sabittir ve u = u(y)
olduğundan Newton bağıntısından:
du τ
= = sabit
dy µ
u = a + by
olur. Buradaki a ve b sabitleri, cidarlarda kayma olmadığı önşartlarından:
y = 0 dan u = V = 0 için, 0 = a + b.0 dan a =0
V
y = h dan u = V = a + b.h dan b = V/h olur.
u = y
h
a = 0 ve b = V/h yerlerine konursa:
olur. Böylece hız alanının doğrusal (linier) olduğu görülür.
b. Kayma gerilmesine gelince:
du V
τ = µ = µ
dy h
Tablo I.1'den SAE 30 yağı için µ = 0,26 kg/ms alınır ve yerlerine
konursa:
3 2
τ = 0, 26 = 39 kg/ms = 39 N/m (Pascal)
0, 02

ν =µ/ρ= (kg/ms)/(kg/m 3 ) = m 2 /s
Mesela Suyun:
Özgül kütlesi ρ = 1000 kg/m 3 SI sisteminde
ρ =1000/9,81 = 102 kpm -4 s 2 Teknik Ölçü Sisteminde
Özgül ağırlığı γ =1000x9,81 = 9810 N/m 3 (kgm -2 s -2 ) SI Sisteminde
γ =1000 kp/m 3 Teknik Ölçü Sisteminde
Not: Bu değerler yaklaşık olarak verilmiş olup, sıcaklıkla değiştiği yukarıda ifade
edildiği gibi bilinmektedir.

Büyüklükler Tanım Boyutlar Birimler
MLT FLT CGS SI Tek.Öl. Sis.
Kütle (M) Asal Boyut M FL -1 T 2 g kg kp.s 2 /m
Uzunluk (L) Asal Boyut L L cm m m
Zaman (T) Asal Boyutk T T s s s
Kuvvet (F) Türetilmiş Boyut (F=Mg) MLT -2 F g.cm/s 2 kg.m/s 2 kp
(dyn) (Newton)
Alan (S,A) Uzunluğun karesi L 2 L 2 cm 2 m 2 m 2
Hacim (V) Uzunluğun küpü L 3 L 3 cm 3 m 3 m 3
Hız (v,V) Uzunluk(yol)/zaman LT -1 LT -1 cm/s m/s m/s
İvme (a) Hız/zaman LT -2 LT -2 cm/s 2 m/s 2 m/s 2
Öz. Kütle (ρ) Birim Hacmin Kütlesi ML -3 FL -4 T 2 g/cm 3 kg/m 3 kp.s 2 /m 4
Öz. Ağırlık (γ) Birim Hacmin ağırlığı ML -2 T -2 FL -3 g/cm 2 .s 2 kg/m 2 .s 2 kp/m 3
dyn/cm 3 N/m 3
Basınç (p) Kuvvet/Alan ML -1 T -2 FL -2 g/cm.s 2 kg/m.s 2 kp/m 2
İş ve Enerji (E) KuvvetxUzunluk ML 2 T -2 FL g.cm 2 /s 2 kg.m 2 /s 2 kp.m
N.m=J
Güç (N, P) Birim zamanda yapılan iş ML 2 T -3 FLT -1 g.cm 2 /s 3 kg.m 2 /s 3 kp.ms -1
J/s=W
D.Viskozite (µ) Teğetsel G./Hız gradyenti ML -1 T -1 FL -2 T g/cm.s kg/m.s kp.s/m 2
(poise) N.s/m 2
K.Viskozite Din.Viskozite/Öz Kütle L 2 T -1 L 2 T -1 cm 2 /s m 2 /s m 2 /s
(stokes)
.............. .............. ...... ........ ........... ......... ........

ÖRNEK:I.2. Sabit bir levhadan h = 0,5 mm uzakta, kare
şeklinde ve kenar uzunluğu 50 cm olan hareketli bir levhayı V =
0,25 m/s hızla hareket ettirebilmek için F = 0,5 N'luk bir kuvvet
gerektiğine göre levhalar arasına konan yağlama yağının mutlak
viskozitesini,
a. SI Birim sisteminde
b. MKS Birim sisteminde
c. CGS Birim sisteminde ayrı ayrı ifade ediniz.
Çözüm a. Newton bağıntısından:
F du V
τ = = µ = µ
A dy h
idi. Burada:
A = 0,50 2 = 0,25 m 2
V = 0,25 m/s
h = 0,5.10 -3 m olduğundan, bunlar
yukarıdaki bağıntıda yerlerine konursa:
b. MKS Birim sisteminde viskozitenin
birimi kpm -2 s 'dir. Buna göre:
c. CGS Birim sisteminde poise (dyncm -2 s)
biriminde;
bulunur. Bu da santi-poise biriminde: µ = 4 cp olur.
F.h 0, 5.0, 5.10
µ = =
A.V 0, 25.0, 25
-3
= 0, 004 kg/ms bulunur.
1 -4 -2
µ = 0,004 = 4, 077.10 kpm s
9.81
0, 004 5 -4 -2
µ = .9, 81.10 .10 = 0, 04 dyn cm s (poise)
9, 81

ÖRNEK I.3. D m = 75 mm ø çapında bir mil, D y = 75,150 mm ø
çapında ve L = 200 mm genişliğinde bir yatak içerisinde
eksenel doğrultuda, F = 9 kp'luk bir kuvvetle ancak V= 0,12
m/s’ lik bir hızla hareket ettirilebiliyor. Bu durumda: Mil ile
yatak arasındaki yağlama yağının viskozitesini hesaplayınız.
Çözüm :
e =
D - D
y m
=
2
75, 150 - 75
= 0, 075 mm
2
A = π.D m .L = 3, 14.75.200 = 47123, 89 mm 2
F V e.F 75.10
= µ → µ = =
A e A.V 0, 047.0, 12
-6 .9 -2
= 0, 11936 kpm s
µ = 11, 7 dyncm -2 s (poise) bulunur.

ÖRNEK I.4. Özgül kütlesi ρ = 7850 kg/m 3 olan, 3 cm çapında ve 40 cm uzunluğundaki
çelik bir şaft, 3,02 cm çaplı düşey konumdaki dairesel kesitli sonsuz bir yatak içerisinde
kendi ağırlığı ile hareket etmektedir. Şaft ile silindir arasındaki boşluk üniform olup, 20 o C
ortam sıcaklığında gliserin ile doldurulmuştur. Hareket hızını hesaplayınız.
Çözüm: Tablo I.1' den 20 o C sıcaklıkta Gliserin için mutlak viskozite değeri µ =1,5 kg/ms
alınır. Mil ağırlığı:
πd
G =
4
2
ρ.L.g =
3, 14.0, 03
4
2
.0.40.9, 81.7850 = 21, 77 N
olarak hesaplanır. Yüzey alanı ise:
A = π.d.L = 3, 14.0, 03.0, 40 = 0, 0377 m 2
olur. Mil ile silindir arasındaki aralık ise: h = 0,01 cm = 0,0001 m olduğuna göre tüm
değerler, hız çekilerek elde edilen ifadede yerlerine konursa:
F h 21, 77 0, 0001
V = . = . = 0, 0385 m/s
A µ 0, 0377 1, 5

ÖRNEK.I.5. Su içersinde dönen 200 mm çapında ince bir
diskten ibaret olan bir hidrolik dinamometrede, disk yüzeyi
üzerindeki herhangi bir noktada hız m/s biriminde v
oluğunda birim alanda sürtünmenin doğurduğu kuvvet
3,12v2 N/m2 olmaktadır. Disk 5000 dev/dak açısal hızla
döndüğünde, şaft kesitini ve disk kenarının etkisini ihmal
ederek, yutulan gücü hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Şekilde gösterildiği gibi, yarıçapı R olan disk
üzerinde, disk merkezinden r kadar uzakta dr kalınlığında
bir eleman alalım. Disk açısal hızı ω olduğuna göre, v = ω.r
ve τ = 3,12 v2 = 3.12.ω2r2 den, diskin bir yüzeyindeki
sürtünme kuvvetinin doğurduğu moment:
R
∫
M = 2πr.dr.τ.r = 2π r 2 dr.3,12ω 2 r 2 = 6,24πω 2
0
R
∫
0
M = 6,24
5 πω 2 R 5
olur. İki yüzey tarafından yutulan gücün P = 2.M.ω olduğundan ve problemde açısal hız, ω =
2πn/60 = 2π.5000/60 = 523.6 rd/s olarak verildiğinden, R = 100 mm = 0.1 m için:
R
∫
0
r 4 dr
p = 2Mω = 2 6,24
5 πω 3 R 5 = 2,496.3,14.523,6 3 .0,1 5
p =11256Nm /s(W ) =11,256kW

ÖRNEK: Şekildeki gibi, aralarında çok küçük
h mesafesi bulunan sonsuz genişlikteki iki sabit
levha arasında sabit V hızıyla haket eden ince
bir levhanın alt ve üst yüzeylerine farklı (µ ve
kµ) viskoziteli akışkanlar etkidiğine göre;
hareketli levha üzerinde sürükleme kuvvetinin
minimum olduğu yeri (h 1 mesafesini) ifade
ediniz.
ÇÖZÜM: İnce levhanın alt ve üst yüzeylerindeki teğetsel gerilmeler:
τtot = (µ V
τ = µ
h1 dV
dy
dτ
dh 1
= 0
k = h
h 1
€
+ kµ V
)
h − h1 −1
€
Olarak bulunmuş olur.
− µV
2
h1 h
h 1
τ 1 = µ V
h 1
€
τ 2 = V
h − h 1
Olur. Minimum sürükleme için:
kµV
− 2 (−1) = 0
(h − h1) =1+ k h 1 =
€
h
1+ k
− 1
2
h1 +
k
2 = 0
(h − h1 )