YFR0011loeng_2 - Hot.ee

Füüsika I
YFR0011
4 AP
Arvo Mere
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 1

8. Hetkkiirus, keskmine kiirus, kiirendus, liikumiste sõltumatuse
printsiip, liikumisvõrrand
Hetkkiirus on kohavektori muutumine ajaühikus ehk kohavektori tuletis aja järgi
ja on puutjasuunaline antud trajektoori punktis.
r
v
= lim
∆t→0 O
r
∆r
∆t
=
r
dr
dt
r r r ∆
1
Keskmine kiirus nihke järgi
r2 r
r
v
Sügis 2004 YFR0011 2. loeng 2
=
v r
∆s
1 2
r
∆r
∆t
v r

Vähendades t, lähenduvad r ja s
v
=
r
v
=
lim
r
∆r
∆t
=
lim
r
∆r
∆t
Sügis 2004 YFR0011 2. loeng 3
=
lim
∆s
∆t
∆t→0 ∆t→
∆t→00
=
ds
dt
Saime hetkkiiruse mooduli teepikkuse kaudu. Tähtis igapäevases
elus. See on see, mida näitab auto spidomeeter. Nüüd saame ka
keskmise kiiruse trajektoori pikkuse ehk läbikäidud tee järgi.
v
=
∆s
∆t
Üldjuhul teepikkus arvutatakse kui integraal.
∫ ⋅ = ⋅ =
= dt v s dt v ds
ds
v ,.........
. ,....
dt

[]
v SI
= 1
m
s
Ainepunkti asukoht on määratud kolme koordinaadiga ja punkti liikudes
kujutavad need endast kolme ajast sõltuvat võrrandit. Need on
liikumisvõrrandid. On üksteisest sõltumatud. Liikumiste sõltumatuse
printsiip.
x = x(
t)
y = y(
t)
z = z(
t)
Koos annavad need kohavektori muutumise võrrandi, mis
on kinemaatika põhivõrrand ehk liikumisvõrrand.
r
r =
r
r (t)
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 4

Keskmine kiirendus
Hetkkiirendus
Kiirendus
See on kiiruse muutumise kiirus ajas
r
a
r
r ∆v
a =
∆t
r
∆v
lim =
∆t 0 ∆t
= →
Kui meid huvitab ainult kiirendus piki trajektoori ja see on konstantne, siis:
a =
dv
dt
m
1
s
[] a SI =
2
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 5
r
dv
dt

Kuidas saada liikumisvõrrand kiireneval liikumisel?
Oletame lihtsuse mõttes, et kiirendus on konstantne.
r
a =
r
dv
dt
See on lihtne diferentsiaalvõrrand nihke suhtes,
mis on peidetud veel kiiruse sisse. Ilmutame selle.
r r r
a ⋅ dt = dv
a dt ∫
r
∫ = vd
r r r
v = v + a ⋅t
V0 on integreerimiskonstant, mille ilmutasime algtingimustest, võttes
aja hetke nulliks. Sellest indeks null.
r r
r ds
ds
r r
v = = v0
+ a ⋅t
dt dt
∫
r r r
ds
= v dt + a t ⋅ dt
0
∫
∫
r
r
s = s
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 6
0
r r r
ds = v ⋅ dt + a ⋅t
⋅dt
0
r
+ v
0
0
⋅t
+
r
a ⋅t
2
2

Mõnikord on vaja liikumisvõrrandit kujul, mis ei sisalda aega. Siis toimime
järgmiselt.
a =
dv
dt
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 7
v =
Ei kasuta vektorkujul, et vältida edasistes teisendustes lubamatut
vektoriga jagamist. Ellimineerime ülaltoodud võrranditest aja. Jagame
võrrandid omavahel. Loeme kiirenduse konstantseks.
a
v
=
dv ⋅ dt
dt ⋅ ds
=
dv
ds
Eraldame muutujad ja taastame vektorid
r r
a ⋅ ds
r r
= v ⋅ dv
Integreerime lõigul 0 -s ja v 1 -v 2
a
s
v
∫ ∫ ⋅ = ds
v
0
r
v
2
1
r
r
dv
ds
dt

2 v v 2
a s =⋅
2 v
r r
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 8
1
r r
2⋅ a ⋅ s −=
vv
2
2
2
1
Saime tuntud valemi juba gümnaasiumi ajast

x
z
9. Galilei teisendused
K
Meie
Valime telgedel ühikvektorid . Leiame vektori
projektsioonid telgedel.
y
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 9
x’
z’
K’
v0 r
P
y’

Punkti P asend K-s: P(x,y,z)
P asend K’-s: P(x’,y’,z’)
Leame seose nende koordinaatide vahel.
Eeldus: aeg kulgeb ühteviisi mõlemas taustsüsteemis: t=t’
Aega loeme hetkest, mil taustsüsteemid langesid kokku.
Saame Galilei teisendused.
x
y
z
t
=
=
=
x'
y'+
v
z'
= t'
0
⋅t
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 10

Kiiruste leidmiseks diferentseerime aja järgi
r
v
Ehk vektorkujul.
Punkti kiirus vaatlejaga
seotud taustsüsteemis
=
dx dx'
=
dt dt
dy dy'
= + v
dt dt
dz dz'
=
dt dz
r r
v'+
v0
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 11
0
Punkti kiirus liikuva
taustsüsteemi suhtes
Liikuva
taustsüsteemi kiirus
vaatlejaga seotud
taustsüsteemis

Kõverjoonelise liikumise kinemaatika
10. Pöördenurk, nurkkiirus ja nurkkiirendus.
Liikumisvõrrand.
Vaatame puhast pöördliikumist. Ainepunkti tiirlemine ümber liikumatu telje.
Defineerime uue vektori nurga iseloomustamiseks pöördliikumisel. Olgu
kiirus konstantne.
ω v
R r
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 12
ϕ r
d
Seame nurgale d vastavusse vektori parema käe kruvireeglit
arvestades, nii nagu joonisel kujutatud.
d
v r

Saadud vektor on aksiaalvektor ehk pseudovektor. Pööretel erinevate telgede
suhtes ei kehti liitmisreegel. Sellest siis pseud ehk nagu vektor. Pöörelgu keha
90 0 ühes tasapinnas ja edasi 90 0 esimese tasandiga risti olevas tasandis, siis:
r +
ϕ
1
r
ϕ
2
ϕ1 r
ϕ2 r
Oodatav tulemus oleks kahekordne lähtevektori pikkus, aga on vaid
kordne lähtevektorist. Väikeste pöörete korral kui kaar ja nihe on
samastatav võib neid pöördeid vaadelda täisvereliste vektoritena.
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 13
2

nurkkiirus
ϕ & ω ϕ
r
r
r d
= ≡
dt
ω & r
r
r d
= ≡
dt
nurkkiirendus ε ω
[ ω]
[ ϕ]
= 1rad
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 14
SI
SI
=
rad
s
rad
s
≡
1
s
[] ε SI = ≡ 2 2
Analoogiliselt kulgliikumisega saame liikumisvõrrandi:
r 2
r r r ε ⋅t
ϕ = ϕ0
+ ω ⋅t
+
2
Kiirenev pöörlemine Aeglustuv pöörlemine
r r
r r
ε ↑↑ ω
ε ↓↑
ω
1
s

11. Joonkiiruse ja nurkkiiruse vektorite vaheline
seos
Näitame, et oodatav seos on vektorkorrutis.
α
ω r
O
ϕ r
d
r1 r
R r
dr r
Kiiruse def.
r
v =
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 15
r2 r
v r
r
dr
dt
ϕ r r r
dr R ⋅= d

sinα
=
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 16
r
R
r
v r
R = r ⋅sinα
r r r
dr
= ϕ ⋅ rd
⋅sinα
Saadud tulemus on kahe vektori vektorkorrutis. Vektorite järjestuse korrutises
vaatame jooniselt.
r
dr
r r
= dϕ
× r
See on kasulik seos järgnevateks tegevusteks

Seose saamiseks kiiruste vahel , võtame saadud vektorkorrutisest
tuletise. See on korrutise tuletis. Paneme tähele, et vektorite järjekorda
ei tohi muuta. Nii õpetati gümnaasiumis. Kasutame seda tarkust.
r
dϕ
r
= ω
dt
r
dr
dt
( a ⋅b)'=
a'⋅b
+ ⋅ba
'
r r
r dϕ
r r dr
= v = × r + dϕ
×
dt dt
r
v
r
= ω
×
r
dr r
= v
dt
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 17
0
r
r

Tavaliselt valitakse koordinaadistiku alguspunkt pöörlemistasandisse ja siis:
r r
r = R
90 sin 1
0
α = ⇒ α =
r
v
r r
= ω ⋅ R ⋅sin
v = ω ⋅
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 18
R
α
Nii oli gümnaasiumis.
Ühtlase ringliikumise korral saame rääkida perioodist.
Teame, et:
ω = 2πυ
υ
=
1
T

12. Tangentsiaalkiirendus, normaalkiirendus ja
kogukiirendus.
r r r
v = ω × r
Kiirenduste saamiseks võtame aja järgi tuletise.
Jälle on tegemist korrutise tuletisega ja vektorite pärast peame
säilitama esialgset vektorite järjekorda.
r
dω
r
= ε
dt
r
dv
dt
r r
r dω
r r dr
= a = × r + ω ×
dt dt
r
dr r
=
v
dt
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 19

a
r r r r
= ε × r + ω × v
Liidetavate interpreteerimine joonise abil.
ω r
r
a
=
r
a
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 20
ε r
t
r r
+
r
a
n
ω r
an rar
at r
v r

a n
Seega on tegemist kolme kiirendusega, millest tangentsiaalkiirendus
on sama, mis kulgliikumisel. Seda sab ainult arvutada kasutades
nurkkiirendust.
r
a t
r
a n
r r
= ε × r
r r
= ω × v
Kuna α=90 0 ja r=R
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 21
a t
a n
Kasutades aga seost: v = ω ⋅ R
= ω
2
⋅
R
=
v
2
R
⋅
= ε
R
= ω ⋅
v
Nendest seostest saab arvutada ka
ringjoone hetkelise raadiuse.

Ainepunkti dünaamika
13. Newtoni I seadus, mass, jõud.
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 22

Dünaamika vaatab kehade liikumist koos liikumise põhjusega-jõuga.
Mehaanika põhiülesanne- liikumisseaduse ilmutamine käib dünaamikas läbi
jõudude. Peab olema mingi ülim seadus, mis kehtib alati jakõikjal. See
seadus on siis klassikalise füüsika alus ja ka maailmapildi alus. Esimesena
üldistas Newton kehade omavahelied käiyumisreeglid, võttes nad kokku
kolme seadusega.
Newtoni I seadus
Iga keha liikumisolek on muutumatu seni kuni teiste kehade mõju ei sunni
seda muutuma. 1) Teisi kehasid pole. Üsna ebatõenäoline. 2) Teiste
kehade mõju on kompenseeritud. Väga levinud juhtum.
r
v =
a = 0
r
n
∑ = 0
const
i
i=
1
Seda nimetatakse ka inertsiseaduseks. Inerts on keha
võime sä ilitada oma liikumisolek.
F r
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 23

Teiste kehade mõju on jõud.
Jõud on ühe keha mõju teisele, mille tulemusena muutub kehade liikumisolek
või nad deformeeruvad. Seejuures pole oluline millist vastastikmõju liiki igal
konkreetsel juhul arvestda tuleb. Newtoni seadused on selles mõttes tõeliselt
universaalsed.
Igasugune liikumine on suhteline. Newtoni I seaduse mõte seisnebselles, et
kui kehale ei mõju jõud, siis eksisteerib taustsüsteem kus ta on paigal. Kui
ühes taustsüsteemis on keha paigal, siis leidub lõpmatu hulk taustsüsteeme,
mille suhtes ta liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Neid nimetatakse
inertsiaalseteks.
Keha inertsust põhjustab keha mass. Mass on kehade fundamentaalne
omadus. Pole massita kehi. Mass on kehade inertsimõõt ja gravitatsioonivälja
allikas. Inertsiaalne ja gravitatsiooniline mass on tänapäeva mõistes identsed.
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 24

14. Newtoni II seadus. Vaba keha diagramm.
See on eksperimentaalne fakt ja klassikalise mehaanika alus.
Inertsiaalsetes taustsüsteemides, muutumatu massi korral on:
a
r
a
m 1
n
∑ Fi
i=
=
m
1
r
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 25
m 2
m 1

[ ] 1kg
m SI
= [ ] 1kg 1 1N
2 = ⋅ =
F SI
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 26
m
s
Kõik see kehtib v

Eksperimentaalne.
15. Newtoni III seadus
Igasugune mõju on samal ajal ka vastumõju.
Vastastikmõjus olevad kaks keha mõjutavad teineteist moodulilt
võrdsete ja suunalt vastupidiste jõududega, mis on rakendatud
kummalegi kehale. See tähendab, et jõu järgi saab keha otsida. Kui
on keha siis on ka jõud.
F1 r
r
F
1
=
r
−F
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 27
2
F r
2

Newtoni III seadus on aluseks jõudude otsimisel ja
selle järel keha otsimisel. Tähtis asjaolu, sest
inimene otsib vähemalt pool ärkveloleku ajast kehi,
mida ta arvab endal vaja minevat.
Näited: 1. Inseneri praktikas kehade purunemise
põhjuste otsimine. 2. Miini otsimine. 3. Kehade
otsimine kosmoses.
sügis 2004 YFR0011 2.loeng 28