You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
GS. Nguyễn Tiến Dũng<br />
<strong>Các</strong> <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> <strong>về</strong> <strong>toán</strong><br />
<strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong><br />
<br />
Quyển I<br />
i
Ảnh bìa: Tranh do <strong>Mirella</strong> vẽ, 06/2012<br />
Về tác giả: GS. Nguyễn Tiến Dũng tốt nghiệp Đại học Quốc gia Moskva<br />
mang tên Lomonosov (Liên Bang Nga) năm 1991, bảo vệ luận án tiến sĩ <strong>về</strong><br />
<strong>toán</strong> năm 1994 ở Đại học Strasbourg (Cộng hòa Pháp), trở thành nghiên<br />
cứu viên của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) vào<br />
năm 1995, và được bổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Toulouse (Cộng hòa<br />
Pháp) vào năm 2002. Ông là một chuyên gia trong các lĩnh vực hình học<br />
vi phân, hệ động lực, và <strong>toán</strong> tài chính.<br />
Tác giả cảm ơn và thân tặng<br />
Nguyễn Sương Thu<br />
bản e-book này<br />
Toulouse<br />
Ngày 28 tháng 10 năm 2012<br />
ii
Mục lục<br />
1 Bài <strong>toán</strong> của công chúa Dido . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2 Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông . . . . . . . . 16<br />
3 Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
4 <strong>Các</strong> hình đa giác và các nhóm đối xứng . . . . . . . . 35<br />
5 Vấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
6 Bài <strong>toán</strong> <strong>về</strong> các con kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
7 Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều . . . . . . . 59<br />
8 Bài <strong>toán</strong> bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
9 <strong>Các</strong> số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
10 Tổng bình phương của cấp số cộng . . . . . . . . . . . 82<br />
11 Tích phân là gì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
12 Bánh xe hình vuông! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
iii
c Prof. Dr. Nguyen Tien Zung. Bản quyền của quyển sách thuộc <strong>về</strong> tác<br />
giả. Người sở hữu bản e-book có quyền lưu trữ nó ở một số máy khác nhau<br />
và in nó ra để dùng trong phạm vi gia đình.<br />
Thông tin thêm liên quan đến quyển sách có thể xem tại:<br />
http://zung.zetamu.com/books/mirella-1/<br />
iv
Lời giới thiệu<br />
<strong>Mirella</strong> là một cô bé đang học lớp 9 (1) ở thành phố Toulouse miền nam<br />
nước Pháp. Cô chưa bao giờ phải đi học thêm các môn đã học ở trường<br />
như là ở Việt Nam. Có đi học ngoại khóa chỉ là học đánh đàn và học vẽ<br />
theo sở thích thôi. Đi học ở trường <strong>về</strong> là <strong>Mirella</strong> có rất nhiều thời gian rảnh<br />
rỗi để làm việc mình thích, như là đọc sách, chơi bời, vẽ vời.<br />
Gần đây, <strong>Mirella</strong> đặc biệt tò mò <strong>về</strong> <strong>toán</strong>. Một trong các lý do có lẽ<br />
là, anh ruột Tito của <strong>Mirella</strong> nhờ giỏi <strong>toán</strong> nên năm vừa rồi đã thi đỗ vào<br />
trường ENS Paris (Ecole Normale Supérieure de Paris) và được nhận lương<br />
công chức tập sự ngay từ lúc còn là sinh viên. <strong>Mirella</strong> vì “không chịu thua<br />
anh” điểm gì, nên cũng muốn biết tất cả mọi thứ mà anh Tito biết <strong>về</strong> <strong>toán</strong>.<br />
Bởi vậy, <strong>Mirella</strong> liên tục yêu cầu tác giả của quyển sách này, mà <strong>Mirella</strong><br />
gọi là papa, dạy <strong>toán</strong> ở nhà <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong>. Gần như ngày nào <strong>Mirella</strong> cũng<br />
hỏi papa “hôm nay có học <strong>toán</strong> không?”. Mỗi tuần papa đều phải nát óc<br />
nghĩ ra, hay đi sưu tập <strong>về</strong>, một vài đề tài thú vị <strong>về</strong> <strong>toán</strong> và hợp trình độ<br />
học sinh phổ thông để dạy <strong>cho</strong> cô con gái của mình.<br />
Tất nhiên là <strong>Mirella</strong> tín nhiệm papa lắm, vì papa không những chỉ là<br />
giáo sư <strong>toán</strong> ở trường đại học, mà còn là người trực tiếp “luyện” <strong>cho</strong> anh<br />
Tito thi đỗ ENS. Nhưng cách “luyện” của papa không giống cách của nhiều<br />
“lò luyện thi”. Papa không bắt Tito làm đi làm lại các dạng <strong>bài</strong> tập quen<br />
(1) Ở Pháp gọi là lớp “3ème”, lớp cuối của “collège”, tức là lớp cuối của phổ thông cơ sở.<br />
1
thuộc đến nhàm chán để giải nhanh như cái máy. Papa <strong>cho</strong> rằng, kiểu học<br />
chỉ để thi là lãng phí thời gian mà không tiến bộ nhiều. Trái lại, papa<br />
<strong>giảng</strong> <strong>cho</strong> Tito các kiến thức rộng hơn, kể cả các kiến thức không nằm<br />
trong chương trình kỳ thi, để có cái nhìn rộng hơn, hiểu biểu tốt hơn <strong>về</strong><br />
<strong>toán</strong>, thấy được cái hay cái đẹp của các kiến thức <strong>toán</strong> học, dùng được<br />
chúng, khi gặp các vấn đề lạ là có thể tìm cách liên hệ các vấn đề đó với<br />
các kiến thức đã có. Papa không chỉ dạy <strong>cho</strong> Tito kiến thức <strong>toán</strong> học, mà<br />
còn dạy phương pháp <strong>toán</strong> học: các cách suy luận, đặt vấn đề, tiếp cận và<br />
giải quyết vấn đề.<br />
Ngoài học ở trường, tự học ở nhà, và thảo luận với papa, Tito cũng<br />
không hề phải đi học thêm ở nơi nào khác. Theo cách học với tầm nhìn xa,<br />
thời gian đầu ở lớp chuẩn bị (2) , Tito khi làm <strong>bài</strong> kiểm tra đạt điểm thấp<br />
hơn so với nhiều bạn, khiến mẹ của Tito lo lắm, bảo papa dạy kiểu gì mà<br />
để Tito như vậy sẽ thi trượt mất thôi. Papa phải trấn an rằng, những điểm<br />
kiểm tra ban đầu đó không quan trọng lắm, Tito đạt điểm thấp hơn các<br />
bạn không phải là vì kém hơn, mà là vì đề <strong>bài</strong> quá dài, có những bạn đã<br />
được luyện giải các <strong>bài</strong> cùng dạng từ trước nên làm nhanh được còn Tito<br />
cũng làm được nhưng không nhanh bằng thôi. Quả nhiên, càng <strong>về</strong> sau, khi<br />
các vấn đề càng khó lên, càng đòi hỏi kiến thức sâu rộng và suy luận tốt,<br />
thì Tito càng tỏ ra xuất sắc, trở thành đứng đầu lớp.<br />
Đối với <strong>Mirella</strong> cũng vậy, các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> <strong>về</strong> <strong>toán</strong> của papa <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong><br />
không nhằm giúp <strong>Mirella</strong> đạt điểm cao ở lớp <strong>về</strong> môn <strong>toán</strong> (điều này tự<br />
<strong>Mirella</strong> cũng làm được, không cần papa giúp), mà nhằm giúp <strong>Mirella</strong> hiểu<br />
sâu rộng hơn <strong>về</strong> <strong>toán</strong>, thấy được sự liên quan chặt chẽ giữa <strong>toán</strong> học và thế<br />
giới xung quanh, phát triển khả năng suy luận logic, và học các phương<br />
pháp để tiếp cận và tìm cách giải quyết bất cứ vấn đề nào.<br />
(2) Theo hệ thống giáo dục của Pháp hiện tại, có những lớp chuẩn bị học 2 năm sau phổ thông trước<br />
khi thi vào những trường lớn như ENS, khi vào các trường đó là vào năm thứ 3 đại học.<br />
2
Quyển sách này chính là xuất phát từ các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> mà tác giả, tức là<br />
papa của <strong>Mirella</strong>, đã <strong>giảng</strong> miệng <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong>, rồi sau đó viết lại, bổ sung<br />
và chỉnh lý. Tác giả làm vậy với hy vọng rằng, các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> này sẽ có ích<br />
không chỉ <strong>cho</strong> riêng <strong>Mirella</strong>, mà còn <strong>cho</strong> rất nhiều các bạn học sinh khác,<br />
và <strong>cho</strong> cả những người lớn muốn tìm hiểu thêm <strong>về</strong> <strong>toán</strong>.<br />
Phần lớn các đề tài của các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong> là những vấn đề gần<br />
gũi với thực tế, cần dùng đến <strong>toán</strong> để mô hình hóa vấn đề và giải quyết<br />
vấn đề. Qua các đề tài đó, ta thấy được các khái niệm, lý thuyết và công<br />
cụ <strong>toán</strong> học nảy sinh một cách tự nhiên thế nào, chứ <strong>toán</strong> học không hề khô<br />
khan vô dụng. Cũng bởi vậy mà các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> này là các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> “không<br />
có độ tuổi”: học sinh cấp hai cũng có thể hiểu được các vấn đề đặt ra, và<br />
hiểu được một phần lớn các công cụ <strong>toán</strong> học được đưa vào để giải quyết<br />
vấn đề, nhưng những người đã có bằng đại học <strong>về</strong> <strong>toán</strong> cũng sẽ tìm thấy<br />
nhiều điều mới mẻ trong đó.<br />
Một số khái niệm mà papa đưa vào các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong> có thể coi<br />
là những khái niệm <strong>toán</strong> học hiện đại và không có trong chương trình phổ<br />
thông hiện tại, ví dụ như khái niệm <strong>về</strong> nhóm, hay khái niệm <strong>về</strong> biến phân.<br />
Trong các sách <strong>toán</strong> cao cấp, chúng thường được trình bày một cách hình<br />
thức, với nhiều ký hiệu và tiên đề rắm rối, khó hiểu. Nhưng papa giải thích<br />
chúng trong các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> một cách trực giác, nhẹ nhàng, gắn liền với các<br />
thứ gần gũi quen thuộc chứ không quá trừu tượng, để <strong>Mirella</strong> và các bạn<br />
đọc thấy được bản chất của chúng.<br />
Do số <strong>bài</strong> đã <strong>giảng</strong> khá nhiều và sẽ còn có thêm nhiều <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> khác<br />
nữa, nên tác giả chia loạt <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> thành nhiều quyển sách nhỏ <strong>cho</strong> dễ<br />
đọc. Mỗi quyển sẽ gồm khoảng hơn 10 <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> (mỗi <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> ứng với<br />
một hay vài buổi thảo luận), mỗi <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> là <strong>về</strong> một đề tài, trong đó có<br />
một vấn đề cụ thể, các suy luận <strong>toán</strong> học để giải quyết vấn đề và có thể<br />
phát triển lên thành một lý thuyết để giải quyết các vấn đề tương tự, và<br />
3
các <strong>bài</strong> tập dành <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong> và các bạn đọc tự làm để đào sâu suy nghĩ<br />
thêm. Sau Quyển 1 này, tác giả sẽ viết thêm các quyển <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> tiếp theo.<br />
Quyển 1 này gồm có 12 <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong>, viết thành 12 chương, và có thể chia<br />
thành mấy nhóm chủ đề chính. Nhóm thứ nhất, gồm 3 <strong>bài</strong> đầu tiên, là <strong>về</strong><br />
các vấn đề cực đại, cực tiểu và phương pháp biến phân. Nhóm thứ hai,<br />
gồm 4 <strong>bài</strong> tiếp theo, là <strong>về</strong> các <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> hình học và các nhóm đối xứng.<br />
Nhóm thứ ba, gồm 3 <strong>bài</strong> tiếp theo, là <strong>về</strong> đại số, với các đa thức và đại số<br />
tuyến tính. Hai <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> cuối cùng chứa các kiến thức <strong>về</strong> giải tích, nhưng<br />
cũng liên quan đến hình học, đại số, và các vấn đề thực tế, vì dụ như là<br />
việc vận chuyển đá để xây kim tự tháp. Thông tin thêm <strong>về</strong> các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong>,<br />
cũng như lời giải của các <strong>bài</strong> tập trong sách, có thể xem và thảo luận tại<br />
trang web của tác giả:<br />
http://zung.zetamu.com/books/mirella-1/<br />
Những bản thảo đầu tiên của các <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> này, khi đưa lên trang web<br />
cá nhân của tác giả (http://zung.zetamu.net), đã được rất nhiều bạn bè<br />
gần xa hưởng ứng, góp ý, khích lệ tác giả viết lại thành sách. Trong đó có<br />
nhiều người là các nhà khoa học hay là giáo viên. Tác giả xin chân thành<br />
cảm ơn tất cả những người bạn đã chia sẻ, góp ý <strong>cho</strong> những <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> này.<br />
Đặc biệt vinh dự có giáo sư vật lý Đàm Thanh Sơn (Đại học Chicago), là<br />
một nhà khoa học cũng rất quan tâm đến việc giáo dục <strong>cho</strong> các thế hệ trẻ,<br />
đã góp <strong>cho</strong> loạt <strong>bài</strong> <strong>giảng</strong> này một số ý tưởng và <strong>bài</strong> tập có được đưa vào<br />
trong quyển sách này.<br />
4
Chương 1<br />
Bài <strong>toán</strong> của công chúa<br />
Dido<br />
Công chúa Dido (còn gọi là nữ hoàng Dido, và còn có tên là công chúa<br />
Elissar hay Alyssa) là người sáng lập ra thành phố Carthage (một thành<br />
phố ven biển Địa Trung Hải, ngày nay là một vùng ngoại ô của thành phố<br />
Tunis ở nước Tunisia) từ thời 1000 năm trước công nguyên, tức là cách<br />
chúng ta khoảng 3000 năm. Theo lịch sử, công chúa Dido là công chúa ở xứ<br />
Tyre (ngày nay là Liban), thuộc một vương quốc rộng lớn ở Địa Trung Hải<br />
ngày xưa gọi là Phoenicia. Vua Pygmalion xứ Tyre là anh trai của Dido,<br />
nhưng đã giết chồng của Dido để nhằm chiếm tài sản. Dido mới cùng với<br />
một đoàn người chạy tỵ nạn khỏi xứ Tyre sang vùng Carthage và lập nên<br />
một thành phố mới ở đó.<br />
Theo truyền thuyết, khi chạy tỵ nạn đến Carthage, Dido xin vua xứ<br />
đó (gọi là vua của dân tộc Berber, là một dân tộc ở Bắc Phi) một mảnh<br />
đất nhỏ để ở tạm. Ông vua đồng ý <strong>cho</strong> Dido một mảnh đất có thể khoanh<br />
vùng lại được bằng một tấm da trâu. Dido và những người của mình cắt<br />
một tấm da trâu ra thành một dải dây da rất dài. Sau khi đã có dải dây<br />
5
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO<br />
Hình 1.1: Một bức tranh vẽ thành phố Carthage thời xưa<br />
da trâu, <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> của Dido là:<br />
Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất to nhất ở<br />
cạnh biển?<br />
Chú ý là nếu vùng đất chạm biển thì không cần phải khoanh dây biên<br />
giới cả ở ngoài biển, chỉ cần khoanh biên giới <strong>cho</strong> đến những chỗ giáp biển<br />
thôi. Bài <strong>toán</strong> này có thêm giả thiết là, bờ biển thẳng và rất dài, dài hơn<br />
nhiều so với dải dây da trâu của Dido.<br />
Papa đố <strong>Mirella</strong> giải <strong>bài</strong> <strong>toán</strong> của công chúa Dido. <strong>Mirella</strong> liền đưa ra<br />
câu trả lời: “Khoanh dây lại thành hình tròn, vì hình tròn là hình to nhất<br />
trong các hình có cùng chu vi”.<br />
Nếu là trong đất liền thì đây là lời giải đúng. Nhưng vì ở sát biển, có<br />
thể tận dụng bờ biển mà không cần khoanh dây chỗ đó, nên lời giải không<br />
đúng nữa. Chẳng hạn, ta có thể dịch đường tròn ra sao <strong>cho</strong> tiếp xúc với<br />
biển. Sau đó, ta kéo cái cung 1/4 vòng tròn có 1 đầu giáp biển, từ đầu kia<br />
của cung ra thành một đường thẳng vuông góc với biển, thì vừa có được<br />
6 cProf. Nguyen Tien Zung
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO<br />
thêm đất mà vừa tiết kiệm được dây. Xem Hình 1.2 a).<br />
Hình 1.2: Hình tròn và hình vuông không tối ưu<br />
<strong>Mirella</strong> đưa ra ý tưởng khác: “Làm một hình vuông một cạnh giáp<br />
biển”. Nhưng ngay sau đó, <strong>Mirella</strong> tự nhận ra rằng đây chưa phải là cách<br />
tốt nhất, bằng một phương pháp mà có lần papa đã chỉ <strong>cho</strong>: Cắt 1 góc<br />
hình vuông đó (góc mà không chạm biển) theo 1 tam giác không cân, xoay<br />
ngược tam giác đó lại sao <strong>cho</strong> cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có 2 cạnh góc<br />
vuông là chuyển chỗ thôi. Khi đó được 1 hình khác cùng diện tích và chu<br />
vi với hình vuông, nhưng mà là hình lõm. Mà hình lõm thì không thể là có<br />
diện tích to nhất được, vì chỉ cần “kéo căng dây ra” lấp đầy chỗ lõm <strong>cho</strong><br />
thành lồi thì là vừa tăng được diện tích vừa đỡ tốn dây. Xem Hình 1.2 b).<br />
Cũng theo lý luận tương tự như trên, các hình “có góc cạnh” (trừ góc<br />
tại điểm tiếp xúc với biển) đều không phải là hình tốt nhất, mà nó phải là<br />
một đường cong không gẫy khúc may ra mới tốt nhất được.<br />
<strong>Mirella</strong> liền đưa ra giải pháp: “Thế thì lấy một cung tròn”.<br />
Nhưng cung tròn nào? Có nhiều cung tròn khác nhau cùng độ dài: cung<br />
tròn “bẹt”, cung tròn “hơi bẹt” (nhỏ hơn 1/2 đường tròn, tức là góc tạo bởi<br />
cung tròn tính từ tâm hình tròn nhỏ hơn 180 độ), 1/2 đường tròn, và cung<br />
tròn lớn hơn 1/2 đường tròn.<br />
Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 7
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO<br />
<strong>Mirella</strong> đoán: “Lấy 1/2 đường tròn là tốt nhất”.<br />
Papa hỏi “thế tại sao hơn 1/2 đường tròn thì không tốt?”. <strong>Mirella</strong> trả<br />
lời là, nếu hơn 1/2 đường tròn, thì tình huống cũng tương tự như là cả<br />
đường tròn vậy: chỗ giáp với biển bị “hụt vào”, chỉ cần kéo dây vuông góc<br />
ra với biển ở gần chỗ đó là vừa thêm được đất vừa tiết kiệm được dây.<br />
“Thế tại sao cung tròn bẹt thì không tốt?”. <strong>Mirella</strong> cười phá lên “bẹt<br />
thì lấy đâu ra đất!”. Papa hỏi “nhưng chỉ hơi bẹt một tý thôi, vẫn có nhiều<br />
đất, có thể nhiều hơn so với 1/2 vòng tròn thì sao?”. Đến đây thì <strong>Mirella</strong><br />
không nghĩ ra câu trả lời. Câu chuyện tạm dừng lúc đó, đến buổi tối mới<br />
tiếp tục.<br />
Vì sao nửa đường tròn là tốt nhất?<br />
Hình 1.3: Nửa hình tròn là tốt nhất<br />
Buổi tối, papa giải thích <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong> vì sao nửa đường tròn là tốt nhất:<br />
So sánh một phương án bất kỳ nào khác với phương án nửa đường tròn<br />
có cùng độ dài. Lấy đối xứng qua đường biển thì được 1 hình có diện tích<br />
to gấp đôi, và chu vi cũng bằng 2 lần chiều dài của dây. So sánh phương<br />
án đã nhân gấp đôi đó với phương án nửa hình tròn nhân đôi, tức là hình<br />
tròn. Vì cùng chu vi, nên phương án khác nửa đường tròn khi nhân đôi có<br />
8 cProf. Nguyen Tien Zung
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO<br />
diện tích nhỏ hơn là nửa hình tròn nhân đôi, nếu ta chấp nhận rằng hình<br />
tròn là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi, do đó phương<br />
án khác nửa đường tròn thì có diện tích nhỏ hơn là phương án nửa đường<br />
tròn. Xem hình 1.3.<br />
“Hóa ra dễ quá!”, <strong>Mirella</strong> nhận xét, “thế nhưng chứng minh hình tròn<br />
là hình có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi như thế nào?”.<br />
<strong>Mirella</strong> có từng được nghe nói đến điều đó, nhưng chưa biết chứng minh<br />
nó như thế nào.<br />
Vì sao lại tròn?<br />
Lần này, papa chỉ <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong> một cách chứng minh hình tròn là hình<br />
có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi.<br />
Ta sẽ chấp nhận mà không chứng minh, rằng tồn tại hình có diện tích<br />
lớn nhất trong các hình có cùng chu vi. Ở đây ta sẽ chỉ chứng minh rằng,<br />
một hình lớn nhất như vậy bắt buộc phải là hình tròn. Để chứng minh<br />
điều này, ta xem hình có diện tích lớn nhất thì phải có các tính chất gì?<br />
1) Tính chất lồi là hiển nhiên rồi: Nếu không lồi, thì “lấp <strong>cho</strong> nó thành<br />
lồi”, hay nói theo ngôn ngữ <strong>toán</strong> học là lấy bao lồi của nó, thì chu vi giảm<br />
đi mà diện tích tăng lên.<br />
2) Tính chất không gẫy khúc nữa: Nếu bị gẫy khúc ở bất cứ điểm nào,<br />
thì làm tương tự như với hình vuông phía trên, sẽ làm tăng được diện tích<br />
của hình lên. Tính chất không gãy khúc này có nghĩa là, tại mỗi điểm có<br />
đúng một đường thẳng đi qua điểm đó mà tiếp xúc với hình. Do là hình<br />
lồi, nên đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành hai phần trong đó có<br />
một phần chứa toàn bộ hình.<br />
3) Tính chất thứ 3 là tính chất góc cắt đều: Lấy hai điểm khác nhau<br />
Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 9
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO<br />
Hình 1.4: Tính chất góc cắt đều<br />
bất kỳ trên hình. Khi đó hai góc của đường đó với hai đường tiếp xúc tại<br />
hai điểm tương ứng là bằng nhau. Xem Hình 1.4. Chứng minh cũng hệt<br />
như là chứng minh phía trên <strong>cho</strong> chuyện hình vuông không phải hình tốt<br />
nhất vậy: nếu hai góc đó khác nhau, thì bằng cách lật ngược một trong<br />
hai mảnh của hình lại (mà vẫn giữ nguyên đáy) thì được một hình cùng<br />
chu vi, cùng diện tích nhưng có chỗ bị lõm, do đó nó không phải là hình<br />
có diện tích to nhất.<br />
Tất nhiên, hình tròn thỏa mãn cả 3 tính chất trên. Hơn nữa, ngoài hình<br />
tròn ra, thì không còn hình nào khác thỏa mãn cả 3 tính chất này, tức là<br />
ta có khẳng định sau:<br />
Một hình trên mặt phẳng thỏa mãn cả 3 tính chất trên thì là hình tròn.<br />
Papa giải thích tỷ mỉ <strong>cho</strong> <strong>Mirella</strong> tại sao như vậy. Nhưng bạn đọc hãy<br />
thử tự nghĩ cách chứng minh khẳng định trên, trước khi xem một cách<br />
chứng minh tóm tắt dưới đây:<br />
Giả sử ta có một hình thỏa mãn cả 3 tính chất trên. Lấy 3 điểm A, B, C<br />
khác nhau tùy ý trên hình. Kẻ các đường tiếp xúc đi qua A, B, C, cắt nhau<br />
thành một tam giác P QR (P đối diện với A, Q đối diện với B, R đối diện<br />
10 cProf. Nguyen Tien Zung
Change language