Krivulje in ploskve v računalniško podprtem geometrijskem ...

Krivulje in ploskve v računalniˇsko podprtem
geometrijskem oblikovanju
Gaˇsper Jaklič
28. februar 2011

Kazalo
1 Uvod 7
2 Oznake in osnovna orodja 9
2.1 Točke in vektorji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Afine preslikave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Linearna interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Odsekoma linearna interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Menelajev izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Bézierove krivulje 17
3.1 Bernsteinovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 De Casteljauov algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Lastnosti Bézierovih krivulj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Odvod Bézierove krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 De Casteljauov algoritem in odvajanje . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Razcvet Bézierove krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Delitev (subdivizija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Razcvet in polara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.9 Matrična oblika Bézierove krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10 Viˇsanje stopnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.11 Manjˇsanje variacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.12 Niˇzanje stopnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.13 Ravninske Bézierove krivulje v neparametrični obliki . . . . . 38
3.14 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.15 Baricentrična oblika Bézierove krivulje . . . . . . . . . . . . . 39
3.16 Racionalne Bézierove krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.17 De Casteljauov algoritem za racionalne Bézierove krivulje . . . 43
3.17.1 Odvodi racionalne Bézierove krivulje . . . . . . . . . . 44
3.18 Sestavljene Bézierove krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.18.1 Lokalni in globalni parametri . . . . . . . . . . . . . . 45
3.18.2 Pogoji gladkosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3

4 KAZALO
4 Bézierove ploskve 49
4.1 Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Bilinearna interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 De Casteljauov algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.3 Tenzorski produkt Bézierovih krivulj . . . . . . . . . . 51
4.1.4 Lastnosti tenzorskih Bézierovih ploskev . . . . . . . . . 53
4.1.5 Viˇsanje stopnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.6 Odvajanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.7 Pogoji gladkosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.8 Delitev (subdivizija) tenzorskih ploskev . . . . . . . . . 57
5 Trikotne Bézierove krpe 59
5.1 Baricentrične koordinate in linearna interpolacija . . . . . . . 59
5.2 De Casteljauov algoritem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Trikotniˇski razcvet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Bernsteinovi polinomi in trikotne Bézierove krpe . . . . . . . . 63
5.5 Odvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6 ˇ Siritev in delitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Odvedljivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.8 Viˇsanje stopnje trikotne Bézierove krpe . . . . . . . . . . . . . 70
5.9 Neparametrične krpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.10 Racionalne Bézierove trikotne krpe . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem 75
6.1 Zapis polinoma v razcvetni obliki . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Pogoji gladkosti v razcvetni obliki . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Literatura 89

Skripta, ki je pred vami, je pripomoček pri predavanjih iz osnov računalniˇsko
podprtega geometrijskega oblikovanja. Zajema predvsem Bézierove krivulje,
ploskve iz tenzorskega produkta in trikotne Bézierove ploskve.
Hvala Seleni, Tadeju in ˇ Zigi za pripombe na predavanjih, ki so izboljˇsale
izpeljave, in odpravile nekaj napak.
Rad bi se zahvalil Jolandi za zelo pozorno branje rokopisa inˇstevilne dobre
pripombe. ˇ Se posebej pa za model letala, ki je postal slika na naslovnici.
Ljubljana, 28. februar 2011
5

6 KAZALO

Poglavje 1
Uvod
V poznih 50. letih se je z razvojem tehnologije in računalnikov pojavila
potreba po čimbolj natančnem prenosu oblik in idej oblikovalcev v proizvodnjo.
Začetne korake so naredili v avtomobilski industriji, inˇzenirja P. de
Casteljau pri Citroënu in P. Bézier pri Renaultu sta neodvisno razvila tip
parametričnih polinomskih krivulj in ploskev, baziranih na Bernsteinovih
polinomih. Ker so bile raziskave de Casteljaua tretirane kot poslovna skrivnost,
Bézierove paobjavljene, sedanesza tarazredkrivulj inploskev uporablja
Bézierovo ime. Raziskovanje parametričnih krivulj in ploskev v povezavi
z diferencialno geometrijo in CAD (oblikovanje s pomočjo računalnika) sta
vodili v novo smer - CAGD (Computer Aided Geometric Design - geometrijsko
oblikovanje s pomočjo računalnika). Na podlagi raziskav Coxa, de Boora
in Mansfielda o krivuljah B-zlepkov, se le-te vedno bolj uporablja v CAGD;
Coons in Gordon pa sta razvila metode interpolacije podanih točk za oblikovanje
ploskev.
Bézierove krivulje prinaˇsajo enostaven opis krivulje z malo podatki (kontrolne
točke), enostavno spreminjanje oblike ter uporabne lastnosti za računalniˇskopredstavitev,
racionalneBézierovekrivuljepazdodatnimiparametri
omogočajo ˇse boljˇse interaktivno oblikovanje. Zahtevnejˇse oblike opiˇsemo s
sestavljenimi Bézierovimi krivuljami, ki z lokalno niˇzjimi stopnjami omogočajo
večjo numerično stabilnost. Ta je poleg enostavne geometrijske interpretacije
tudi ena od bistvenih prednosti Bézierovega zapisa krivulje pred
monomsko obliko.
Krivulje B-zlepkov so nadgradnja Bézierovih krivulj, ki ponujajo boljˇsi
lokalni nadzor nad krivuljo in enostavnejˇse pogoje zvezne odvedljivosti, prinaˇsajo
pa tudi zahtevnejˇso implementacijo in večjo računsko zahtevnost.
Danes se kot standard poleg Bézierovih krivulj uporabljajo neekvidistantni
racionalni B-zlepki (NURBS). NURBS temeljijo na ideji racionalnih krivulj
(kot bomo videli v primeru racionalnih Bézierovih krivulj), le da imajo za
7

8 Uvod
bazo B-zlepke namesto Bernsteinovih polinomov pri Bézierovih krivuljah.
NURBS kot posebne primere vsebujejo krivulje B-zlepkov, racionalne ter neracionalne
Bézierove krivulje.
Iz intuitivne definicije ploskve kot sled krivulje, ki se giblje po drugi
krivulji, so nastale ploskve kot tenzorski produkt krivulj. Tako sta ˇze de
Casteljau in Bézier razvila tenzorske Bézierove ploskve, kjer sta obe prej
omenjeni krivulji Bézierovi. Tenzorske krivulje aproksimirajo ˇstirikotno kontrolno
mreˇzo, in so ˇse posebno primerne za oblikovanje ploskev z velikimi
ˇstirikotnimi povrˇsinami, zato so jih precej uporabljali v avtomobilski industriji.
S ˇstirikotnimi krpami (izraz za manjˇsi del ploskve) je teˇzko oblikovati
zahtevnejˇse ploskve, za kar so bolj pripravne trikotniˇske krpe, ki omogočajo
bolj natančno interpolacijo, in opiˇsejo precej ˇsirˇsi razred ploskev kot tenzorske
ploskve. ˇ Ze de Casteljau je razvil trikotne Bézierove krpe kot naravno
posploˇsitev teorije Bézierovih krivulj na ploskve. S pomočjo baricentričnih
koordinat lahko osnovno teorijo Bézierovih krivulj prenesemo na Bézierove
ploskve v n razseˇznem prostoru z definicijskim območjem v n−1 razseˇznem
simpleksu.
Danes se Bézierove krivulje in ploskve uporabljajo kot osnovna implementacija
krivulj in ploskev na računalnikih na področju geometrijskega in
industrijskega oblikovanja, znanstvenih raziskovanj in modeliranj ter v industriji
zabave (film, 3D računalniˇske igre).

Poglavje 2
Oznake in osnovna orodja
2.1 Točke in vektorji
Objekti, ki jih bomo obravnavali, bodo leˇzali v afinem prostoru.
Definicija: Afini prostor nad vektorskim prostorom P je mnoˇzica X z
zunanjima operacijama:
X ×X → P (x,y) → y −x
X ×P → X (x,a) → x+a.
Elementom x ∈ X rečemo točke, elementom a ∈ P pa vektorji.
Večinoma bomo uporabljali vektorski prostor R3 , saj si objektov v prostorih
viˇsjih dimenzij ne znamo predstavljati. Obravnavane metode in objekti
se dajo posploˇsiti na n-dimenzionalni primer (C. de Boor: B-form basics; [5],
str. 131-148), mi pa se bomo ukvarjali s praktično uporabnimi krivuljami in
ploskvami.
Metode na objektih bodo neodvisne od izbire koordinatnega sistema. Pri
tem moramo strogo ločiti točke in vektorje. Točke določajo lokacijo, pogosto
relativno glede na nek objekt; označevali jih bomo s krepkimi črkami, npr.
a,b. Isto notacijo bomo uporabljali tudi za vektorje.
Če bomo točke in
vektorje zapisali s koordinatami, relativno na nek koordinatni sistem, jih
bomo zapisali v obliki koordinatnih stolpcev.
Čeprav točke in vektorje zapiˇsemo enako (kot trojico realnih ˇstevil), je
med njimi pomembna razlika: za poljubni točki a in b obstaja enolično
določen vektor med njima v = b − a. Po drugi strani, za dani vektor v
obstaja neskončno parov točk a, b, tako, da je v = b − a. Na primer,
če je a,b tak par, in w poljuben vektor, je a + w, b + w nov par, saj je
v = (b+w)−(a+w). Torej so vektorji invariantni za translacije, točke pa
ne.
9

10 Oznake in osnovna orodja
Elemente prostoratočklahko samo odˇstevamo (dobimovektor), operacija
seˇstevanja pa zanje ni definirana. Kjub temu so za točke definirane operacije,
podobne seˇstevanju, imenujemo jih baricentrične (afine) kombinacije.
Definirane so kot uteˇzena vsota točk, kjer se uteˇzi seˇstejejo v 1:
b =
n
αjbj,
j=0
n
αj = 1, bj ∈ R 3 . (2.1)
j=0
Na prvi pogled je to nedefinirano seˇstevanje točk, vendar lahko zapiˇsemo
(2.1) kot:
n
b = b0 + αj(bj −b0),
j=1
kar je vsota točke in vektorja.
Primer baricentrične kombinacije jeteˇziˇsčna točka g trikotnika s točkami a,b
in c:
g = 1
3
1 1
a+ b+
3 3 c.
Izraz “baricentrična kombinacija” izhaja iz angleˇskega izraza “barycenter”,
kar pomeni “center gravitacije”. To izvira iz fizike: če so bj teˇziˇsča objektov
z masami mj, je njihovo teˇziˇsče v točki b = mjbj/ mj. Pri tem lahko
normaliziramo mase s pomočjo mj = 1.
Pomembenposebniprimerbaricentričnihkombinacijsokonveksne kombinacije.
To so baricentrične kombinacije, kjer so koeficienti αj nenegativni.
Konveksna kombinacija točk vedno leˇzi “znotraj” le-teh točk, kar pripelje
do definicije konveksne ovojnice. Konveksna ovojnica mnoˇzice točk je
mnoˇzica točk, ki jih tvorijo vse konveksne kombinacije teh točk. Konveksna
ovojnica je konveksna mnoˇzica.
Slika 2.1: Poligon in njegova konveksna ovojnica.
Vrnimo se k baricentričnim kombinacijam, ki iz točk generirajo točke. Če

2.2 Afine preslikave 11
je vsota koeficientov n j=0αj = 0, baricentrična kombinacija generira vektor:
n
v = αjbj.
Dokaz: Zapiˇsemo lahko α0 = −α1 −α2 −···−αn. Potem je
n
αjbj = (−α1 −α2 −···−αn)b0 +α1b1 +···+αnbn
j=0
j=0
= α1(b1 −b0)+α2(b2 −b0)+···+αn(bn −b0)
To pa je vsota vektorjev in zato vektor.
Povezava med točkami in vektorji z baricentričnimi kombinacijami je teoretično
in praktično zelo pomembna. Omogoča na primer hitro preverjanje
tipa rezultata pri izpeljavi formul na osnovi vsote koeficientov-uteˇzi.
2.2 Afine preslikave
Večina transformacij za premikanje ter spreminjanje velikosti objektov v
računalniˇski grafiki ter CAD okolju je afinih preslikav. Izraz afina preslikava
je vpeljal L. Euler, prvi pa jih je sistematično preučeval F. Moebius.
Osnovna operacija na točkah je baricentrična kombinacija, zato bomo
uporabili definicijo afine preslikave za baricentrične kombinacije.
Definicija: Preslikavo Φ : R 3 → R 3 imenujemo afina, če ohranja baricentrične
kombinacije invariantne.
Torej, če je
in je Φ afina preslikava, velja
x = αjaj; x,aj ∈ R 3 ,
αj = 1,
Φx = αjΦaj; Φx,Φaj ∈ R 3 .
Definicijajeprecejabstraktna, vendar imaenostavno interpretacijo. Izraz
x = αjaj določa, kakˇsne uteˇzi moramo določiti točkam aj, da bo x njihovo
uteˇzeno povprečje. Če x ter vse točke aj preslikamo z afino preslikavo Φ,
relacijamedtočkamiostanenespremenjena. Takosenaprimersredinadaljice
preslika v sredino afine slike daljice, teˇziˇsče točk pa se preslika v teˇziˇsče
preslikanih točk.
V danem koordinatnem sistemu točko x predstavlja trojica koordinat, ki
jo prav tako označimo z x. Afina preslikava dobi znano obliko:
j
Φx = Ax+v, (2.2)

12 Oznake in osnovna orodja
kjer je A ∈ R 3,3 matrika, v pa je vektor v R 3 .
Pokaˇzimo, da preslikave oblike (2.2) ohranjajo baricentrične kombinacije.
Dokaz: Upoˇstevamo, da je αj = 1, in izrazimo:
Φ αjaj
= A αjaj +v
= αjAaj + αjv
= αj(Aaj +v)
= αjΦaj
Primeri afinih preslikav so identiteta (v = 0,A = I), translacija (A = I,
v je translacijski vektor), razteg (v = 0, A-diagonalna matrika faktorjev
raztega), rotacija (v = 0, A-rotacijska matrika), strig (v = 0, A je zgornje
trikotna matrika z enicami na diagonali), paralelna projekcija,...Pomemben
posebni primer afinih preslikav so enačbe gibanja togega telesa.
Afine preslikave lahko zdruˇzujemo ter razbijamo na enostavnejˇse preslikave;
vsakoafinopreslikavo lahkozapiˇsemokotzaporedjetranslacij, rotacij, strigov
ter raztegov.
2.3 Linearna interpolacija
Naj bosta a in b različni točki v R 3 . Mnoˇzica točk x, oblike
x = x(t) = (1−t)a+tb, t ∈ R (2.3)
tvori premico skozi točki a in b. Torej je x baricentrična kombinacija dveh
točk iz R 3 . Ista baricentrična kombinacija velja tudi za točke 0,t,1 v R:
t = (1−t)·0+t·1. Po definiciji afine preslikave so točke a,x,b ∈ R 3 afine
slike točk 0,t,1 ∈ R.
Izrek 1. Linearna interpolacija je afina preslikava intervala [0,1] na premico
v R 3 .
Enostavno je preveriti, da so linearne interpolacije afino invariantne. Naj
bo Φ : R 3 → R 3 afina preslikava in naj velja enačba (2.3). Potem je
Φx = Φ((1−t)a+tb) = (1−t)Φa+tΦb.

2.4 Odsekoma linearna interpolacija 13
Z linearno interpolacijo je tesno povezan pojem baricentričnih koordinat.
Naj bodo a,x,b kolinearne točke v R 3 in a = b. Tedaj je
x = αa+βb, α+β = 1, (2.4)
kjer α in β imenujemo baricentrični koordinati točke x glede na točki a
in b. Po drugi strani je x baricentrična kombinacija točk a in b.
Povezava med linearno interpolacijo in baricentričnimi koordinatami je
očitna: α = 1−t, β = t. Baricentrične koordinate točke x glede na a in b
so izraˇzene z:
α = dist(x,b)
dist(a,b) ,
β = dist(a,x)
dist(a,b) ,
kjerdistoznačujepredznačenoevklidsko razdaljomedtočkama(baricentrične
koordinate so lahko negativne - če točke a,x,b niso urejene).
Pomemben jetudi principrazmerij (ratio). Razmerje trehkolinearnih
točk a,x,b, kjer je a = b, definiramo z
ratio(a,x,b) = dist(a,x)
. (2.5)
dist(x,b)
Za x = b je ratio(a,x,b) = ∞.
Če sta α in β baricentrični koordinati x glede na a ter b, velja:
ratio(a,x,b) = β
. (2.6)
α
Baricentrične koordinate točke se po preslikavi z afino preslikavo ne spremenijo,
zato je tudi razmerje (ratio) treh kolinearnih točk invariantno za
afine preslikave:
ratio(Φa,Φx,Φb) = β
. (2.7)
α
To lastnost lahko uporabimo za definicijo afinih preslikav. Preslikava, ki slika
premice v premice, in ohranja razmerja (ratio), je afina preslikava.
2.4 Odsekoma linearna interpolacija
Točkeb0,b1,...,bn najtvorijopoligon B.Poligonsestavljazaporedjedaljic,
ki interpolirajo ustrezne pare točk bi,bi+1, zato ga imenujemo odsekoma

14 Oznake in osnovna orodja
linearna interpolacija PL točk bi. Če točke bi leˇzijo na krivulji c, je B
odsekoma linearna interpolacija za krivuljo c:
B = PLc. (2.8)
Pomembna lastnost odsekoma linearne interpolacije je invariantnost za
afine transformacije. Če krivuljo c z afino preslikavo Φ preslikamo v krivuljo
Φc, je odsekoma linearna interpolacija za preslikane točke Φbi afina slika
originalnega interpolacijskega poligona:
PLΦc = ΦPLc. (2.9)
Druga pomembna lastnost je lastnost manjˇsanja variacije. Oglejmo
si primer zvezne krivulje c, odsekoma linearne interpolacije PLc in
poljubneravnine E. Naj crossc označujeˇstevilo presečiˇsč krivulje czravnino
E, crossPLc pa ˇstevilo presečiˇsč interpolacijskega poligona z isto ravnino.
Velja:
crossPLc ≤ crossc. (2.10)
Dokaz je preprost: vzemimo točki bi,bi+1. Daljica med njima seka dano
ravnino kvečjemu v eni točki (razen v primeru, ko daljica leˇzi na ravnini),
odsek krivulje med točkama bi ter bi+1 pa lahko ravnino seka v poljubno
mnogotočkah(zaradipogojazveznosti pavsajenkrat). Vprimeru, kodaljica
med točkama leˇzi na dani ravnini, za presečiˇsči z ravnino ˇstejemo le robni
točki daljice.
b0
b1
b2
ravnina
Slika 2.2: Lastnost manjˇsanja variacije
c
b3

2.5 Menelajev izrek 15
2.5 Menelajev izrek
Principodsekomalinearneinterpolacijeuporabimozadokazeneganajpomembnejˇsih
geometrijskih izrekov v CAGD, Menelajevega izreka.
p1
at
as
p2
c
bt
0 t s 1
Slika 2.3: Menelajev izrek
Izrek 2 (Menelajev izrek). Naj bodo p1,p2,p3 ∈ E 3 nekolinearne točke, in:
at = (1−t)p1 +tp2,
as = (1−s)p1 +sp2,
bt = (1−t)p2 +tp3,
bs = (1−s)p2 +sp3.
Točka c naj bo presečiˇsče daljic atbt in asbs.
Potem velja:
s
ratio(at,c,bt) = , (2.11)
1−s
t
ratio(as,c,bs) = . (2.12)
1−t
Opomba 1. Menelajev izrek trdi, da lahko točko c dobimo z linearno interpolacijo
najprej pri s, potem pa pri t, ali pa v obratnem vrstnem redu. To bo
pomembno pri konstrukciji Bézierovih krivulj.
Dokaz: Enostavno je preveriti, da velja c = (1 − s)at + sbt ter c =
(1 − t)as + tbs. Opazimo ˇse, da so kolinearne točke p1,at,as,p2 ter tudi
p2,bt,bs,p3 afine slike točk 0,t,s,1 ∈ R.
bs
p3

16 Oznake in osnovna orodja
Opomba: Enačbi (2.11) ter (2.12) sta CAGD različici originalnega Menelajevega
izreka:
ratio(bs,bt,p2)·ratio(p2,at,as)·ratio(as,c,bs) = −1. (2.13)

Poglavje 3
Bézierove krivulje
3.1 Bernsteinovi polinomi
i-ti Bernsteinov bazni polinom stopnje n je definiran z
B n
n
i (t) = t
i
i (1−t) n−i , t ∈ [0,1]. (3.1)
Izrek 3. Bernsteinovi bazni polinomi zadoˇsčajo naslednji rekurzivni zvezi:
kjer je
in
B n i (t) = (1−t)B n−1
i (t)+tB n−1
i−1
B n j
(t), (3.2)
B 0 0 (t) = 1 (3.3)
(t) = 0, za j /∈ {0,1,...,n}. (3.4)
Dokaz: Uporabimo razcep binomskega simbola:
B n
n
i (t) = t
i
i (1−t) n−i
n−1
= t
i
i (1−t) n−i
n−1
+ t
i−1
i (1−t) n−i
= (1−t)B n−1
i (t)+tB n−1
i−1 (t).
Izrek 4. Bernsteinovi bazni polinomi tvorijo particijo enote:
n
(t) ≥ 0. (3.5)
j=0
B n j (t) ≡ 1, Bn j
17

18 Bézierove krivulje
Dokaz: Uporabimo binomski izrek
1 = (t+(1−t)) n =
n
j=0
n
t
j
j (1−t) n−j =
Nenegativnost Bernsteinovih polinomov je očitna.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
B 0 4
B 1 4
B 2 4 B 3 4
n
j=0
B n j (t).
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Slika 3.1: Bernsteinovi bazni polinomi pri n = 4.
Bernsteinovi polinomisobiliprvičuporabljeniprikonstruktivnem dokazu
Weierstrassovega aproksimacijskega izreka.
Definicija: Naj bodo podane točke bi ∈ R 3 , i = 0,1,...,n. Krivulji
b n (t) =
n
j=0
bjB n j
B 4 4
(t) (3.6)
rečemo Bézierova krivulja. Točke bj imenujemo Bézierove kontrolne
točke, poligon, ki jih povezuje, pa Bézierov kontrolni poligon. Krivulja
b n je Bernstein-Bézierova aproksimacija kontrolnega polinoma.
Do geometrijske konstrukcije Bézierovih krivulj pridemo s pomočjo de
Casteljauovega algoritma. Ta algoritem je verjetno eden najosnovnejˇsih
napodročjuoblikovanja krivulj inploskev; intuitivno jasna geometrijska konstrukcija
vodi k močni teoriji.

3.2 De Casteljauov algoritem 19
-5
7.5
5
2.5
0
-2.5
5
2.5
0
-2.5
-5
0
5
10
Slika 3.2: Kubična Bézierova krivulja s kontrolnim poligonom.
3.2 De Casteljauov algoritem
De Casteljauov algoritem
Podane so točke b0,b1,...,bn ∈ E 3 in t ∈ R,
izračunaj:
b r i (t) = (1−t)br−1 i (t)+tb r−1
i+1 (t),
r = 1,2,...,n ;
i = 0,1,...,n−r
, (3.7)
kjer je b0 i (t) = bi.
Potem je bn 0(t) točka na Bézierovi krivulji bn pri vrednosti parametra t.
Geometrijski potek algoritma si lahko ogledamo na sliki 3.3.
Vmesne koeficiente br i(t)običajnozapiˇsemo vtrikotnoshemo, kijirečemo
de Casteljauova shema. De Casteljauova shema v kubičnem primeru:
b0
b1 b 1 0
b2 b 1 1 b 2 0
b3 b 1 2 b2 1 b3 0

20 Bézierove krivulje
Pri programiranju de Casteljauovega algoritma zadostuje uporaba ene same
tabele velikosti n+1, če le ustrezno prepisujemo elemente. Geometrijsko je
de Casteljauov algoritem ponavljanje linearnih interpolacij.
b0
b 0 1
b1
b 0 2
b 1 1
b2
0 t 1
Slika 3.3: DeCasteljauov algoritemza kubično krivuljo n = 3,t = 0.7. Točko
b 3 0(t) na krivulji dobimo s ponavljanjem linearnih interpolacij.
Izrek 5. Vmesne de Casteljauove točke b r i(t) lahko izrazimo s pomočjoBernsteinovih
polinomov stopnje r:
b r i (t) =
r
j=0
bi+jB r j (t),
b 0 3
b 1 2
b 2 1
r = 0,1,...,n ;
i = 0,1,...,n−r
b3
. (3.8)
Glavni pomen gornje enačbe je v primeru r = n. Ustrezna de Casteljauova
točka leˇzi na krivulji:
b n (t) = b n n
0(t) = bjB n j(t). (3.9)
Dokaz: Uporabimo indukcijo. Za r = 0 enačba (3.8) velja po definiciji.
Predpostavimo, da velja tudi za r − 1, ter uporabimo rekurzivno definicijo
(3.7) za b r i in rekurzivno zvezo za Bernsteinove polinome (3.2):
b r i
j=0
(t) = (1−t)br−1 i (t)+tb r−1
i+1 (t)
i+r−1
= (1−t)
j=i
bjB r−1
j−i (t)+t
i+r
j=i+1
bjB r−1
j−i−1 (t).

3.3 Lastnosti Bézierovih krivulj 21
Po (3.3) lahko indekse v obeh vrstah ˇstejemo od i do i+r:
obliki:
b r i
i+r
(t) = (1−t)
=
=
=
i+r
j=i
j=i
bjB r−1
j−i (t)+t
i+r
j=i
bjB r−1
j−i−1 (t)
bj[(1−t)B r−1
j−i (t)+tBr−1
j−i−1 (t)]
i+r
bjB r j−i(t)
j=i
r
j=0
bi+jB r j (t).
Opomba: Z vmesnimi točkami b r i
b n (t) =
r
i=0
lahko zapiˇsemo Bézierovo krivuljo v
b n−r
i (t)B r i(t). (3.10)
To lahko interpretiramo takole: najprej izračunamo n−r korakov de Castel-
jauovega algoritma glede na t in vzamemo izračunane točke b n−r
i (t) za kontrolne
točke Bézierove krivulje r-te stopnje ter izračunamo točko s parametrom
t.
3.3 Lastnosti Bézierovih krivulj
Afina invarianca
Bézierove krivulje so invariantne za afine preslikave, v smislu, da naslednja
postopka privedeta do istega rezultata:
(1) izračunamo točko bn (t), nato na njej izvedemo afino preslikavo,
(2) uporabimo afino preslikavo na kontrolnem poligonu, nato pa izračunamo
točko na Bézierovi krivulji glede na preslikani kontrolni poligon.
V določenih primerih je drugi postopek računsko precej manj zahteven kot
prvi.
Čemoramonaprimerafinotransformirativelikoˇstevilo točk, zuporabo
drugega postopka uporabimo afino transformacijo samo na malem ˇstevilu
kontrolnih točk, namesto na vseh ˇzeljenih točkah (ˇstevilo izvajanj de Casteljauovega
algoritma ostaja enako).
Afina invarianca Bézierovih krivulj sledi iz invariance baricentričnih kombinacij
za afine preslikave in uporabe lastnosti particije enote (3.5).

22 Bézierove krivulje
Bézierove krivulje pa niso projektivno invariantne, kar pomeni, da pri
projiciranjukrivuljenesmemoprojiciratisamokontrolnihtočkinnatogenerirati
krivulje, temveč moramo projicirati točke ˇze generirane krivulje. Postopek
projiciranja tridimenzionalnih objektov na ravnino je eden najpogosteje
uporabljanih postopkov, saj se uporablja pri vsakem izrisu tridimenzionalnih
objektov na računalniˇski monitor in papir.
Lastnost konveksne ovojnice
Bézierova krivulja bn (t) leˇzi v konveksni ovojnici svojega kontrolnega polinoma.
Dokaz je preprost. Za t ∈ [0,1] so Bernsteinovi polinomi nenegativni, in po
enačbi (3.5) se seˇstejejo v 1. Torej je n i=0biB n i (t) konveksna kombinacija
kontrolnih točk za vsak t z intervala [0,1]. Če t /∈ [0,1], lastnost konveksne
ovojnice ne velja.
Posledica: Planarni kontrolni poligon generira planarno krivuljo.
Interpolacija v robnih točkah
Bézierova krivulja poteka skozi točki b0 = b n (0) in bn = b n (1). To je
posledica enačb:
B n i (0) = δi,0
B n i (1) = δi,n.
Invarianca za afine transformacije parametra
Pogosto se za definicijsko območje parametra Bézierove krivulje vzame interval
[0,1]. Za Bézierovo krivuljo nad poljubnim intervalom a ≤ u ≤ b
vpeljemo lokalno parametrizacijo t = (u − a)/(b − a) in nadaljujemo z de
Casteljauovim algoritmom. Ustrezni korak algoritma (3.7) je oblike:
b r b−u
i (u) =
b−a br−1 i (u)+ u−a
b−a br−1 i+1
(u). (3.11)
Ker je preslikava t afina, pravimo, da so Bézierove krivulje invariantne za
afine transformacije parametra.
Omenjeno lokalno parametrizacijo imenujemo linearna reparametrizacija,
in jo pogosto uporabljamo v algoritmih za delo z Bézierovimi krivuljami, ker
se lastnosti krivulje ohranijo.
Simetrija
Bézierovi krivulji glede na zaporedji kontrolnih točk b0,b1,...,bn ter bn,
bn−1,...,b0 sta enaki, razlikujeta se samo v smeri parametrizacije:
n n
(t) = (1−t) . (3.12)
j=0
bjB n j
j=0
bn−jB n j

3.3 Lastnosti Bézierovih krivulj 23
To sledi iz lastnosti Bernsteinovih baznih polinomov
Invariantnost za baricentrične kombinacije
Za α+β = 1 velja:
n
n
(t) = α
j=0
(αbj +βcj)B n j
B n j (t) = Bn n−j (1−t) . (3.13)
j=0
bjB n j (t)+β
n
j=0
cjB n j
(t) . (3.14)
Uteˇzeno povprečje dveh Bézierovih krivulj lahko izračunamo kot uteˇzeno
povprečje ustreznih točk na krivulji (desni izraz), ali pa vzamemo uteˇzeno
povprečje ustreznih kontrolnih točk (levo), ter nato izračunamo krivuljo.
Ohranjanje premic
Če imamo kontrolne točke j
, j = 0,1,...,n, je Bézierova krivulja premica.
n
Velja enakost:
n j
n Bn j(t) = t . (3.15)
j=0
Dokaz: Bernsteinov polinom B n j izrazimo s pomočjo polinomov B n−1
k ter
uporabimo enačbo (3.5):
n j
n Bn j =
n
j n
t
n j
j (1−t) n−j = t
j=0
j=0
n
j=0
n−1
t
j −1
j−1 (1−t) n−1−(j−1) = t.
Posledica: Če so kontrolne točke kolinearne in enakomerno porazdeljene,
potem je pripadajoča Bézierova krivulja daljica [b0,bn], ki poteka skozi kontrolne
točke. Če pa so kontrolne točke porazdeljene neenakomerno, spet
dobimo daljico, ki pa ni linearno parametrizirana (interval [0,1] lahko parametriziramo
na več načinov, npr. z f1(t) = t,f2(t) = t2 ,t ∈ [0,1]).
Psevdo-lokalni nadzor
Poiˇsčimo ekstreme Bernsteinovega baznega polinoma B n i . Odvajamo:
d
dt Bn i (t) =
=
n
it
i
i−1 (1−t) n−i
n
+ t
i
i (n−i)(1−t) n−i−1 (−1)
n
t
i
i−1 (1−t) n−i−1 (i−nt).
Reˇsitve enačbe d dt Bn i (t) = 0 so t1 = 0,t2 = 1,t3 = i
. Ker so Bernsteinovi
n
polinomi nenegativni, doseˇze Bn i
i (t) maksimum na [0,1] pri t = . To ima
n

24 Bézierove krivulje
praktičenpomenpriuporabiBézierovih krivulj voblikovanju. Prispremembi
ene od kontrolnih točk bi je sprememba krivulje največja v okolici točke z
, čeprav sprememba vpliva na celotno krivuljo.
vrednostjo parametra i
n
3.4 Odvod Bézierove krivulje
Najprej izračunajmo odvod Bernsteinovega baznega polinoma B n i :
d
dt Bn d
i (t) =
dt
=
n
t
i
i (1−t) n−i
in!
i!(n−i)! ti−1 (1−t) n−i − (n−i)n!
i!(n−i)! ti (1−t) n−i−1
n(n−1)!
=
(i−1)!(n−i)! ti−1 (1−t) n−i − n(n−1)!
i!(n−i−1)! ti (1−t) n−i−1
= n[B n−1
i−1 (t)−Bn−1 i (t)].
Odvod Bézierove krivulje b n je:
d
dt bn (t) = n
= n
n
j=0
n
j=1
[B n−1
j−1 (t)−Bn−1
j (t)]bj
B n−1
j−1 (t)bj
n−1
−n
V prvi vsoti premaknemo indeks in zdruˇzimo:
d
dt bn n−1
(t) = n
j=0
n−1
= n
j=0
j=0
B n−1
n−1
j (t)bj+1 −n
j=0
(bj+1 −bj)B n−1
j (t).
B n−1
j (t)bj.
B n−1
j (t)bj
Z uporabo premih končnih diferenc △bj = bj+1 −bj lahko zapiˇsemo gornjo
formulo v obliki:
d
dt bn n−1
(t) = n
j=0
△bjB n−1
j (t), △bj ∈ R 3 . (3.16)
Odvod Bézierove krivulje je spet Bézierova krivulja, dobljena s kontrolnim
poligonom iz diferenc točk prvotnega kontrolnega poligona. Opazimo, da v

3.4 Odvod Bézierove krivulje 25
b0
15
10
5
-5
-10
b1
∆b0+ 0
∆b1+ 0
b2
5 10 15 20 25
∆b2+ 0
Slika 3.4: Kubična Bézierova krivulja in njen odvod (pomnoˇzen s faktorjem
1
3 ).
formuli odvedene krivulje namesto kontrolnih točk nastopajo vektorji. Za
predstavitev odvedene krivulje konstruiramo poligon iz točk a + △b0,a +
△b1,...,a+△bn−1. Tu je a poljubna točka, običajno vzamemo a = 0.
Z večkratno uporabo zgornjega postopka pridemo do viˇsjih odvodov Bézierove
krivulje,
d r
dt rbn (t) =
Tu je △ r prema končna diferenca,
n! n−r
(n−r)!
j=0
△ r bj = △ r−1 bj+1 −△ r−1 bj =
b3
△ r bjB n−r
j (t). (3.17)
r
i=0
Oglejmo si dva posebna primera: t = 0 in t = 1:
d r
dtrbn (0) =
d r
dt rbn (1) =
r
(−1)
i
r−i bj+i. (3.18)
n!
(n−r)! △rb0, (3.19)
n!
(n−r)! △rbn−r. (3.20)
Torejjer-tiodvodBézierovekrivuljevrobnitočkiodvisenleodb0,b1,...,br
oziroma kontrolnih točk bn,bn−1,...,bn−r. To je pomembno pri pogojih
gladkosti za konstrukcijo zlepkov Bézierovih krivulj. Pri r = 0 dobimo lastnost
interpolacije v robnih točkah. V primeru r = 1 sledi, da je za b0 = b1

26 Bézierove krivulje
vektor b1−b0 tangentni vektor na Bézierovo krivuljo v točki b0, oziroma pri
parametru t = 0. Podobno, bn−1 in bn določata tangento v točki na krivulji
z vrednostjo parametra t = 1.
3.5 De Casteljauov algoritem in odvajanje
Izrek 6. Odvode Bézierove krivulje lahko izrazimo z vmesnimi točkami, dobljenimi
pri de Casteljauovem algoritmu,
d r
dt rbn (t) =
i=0
n!
(n−r)! △r b n−r
0 (t). (3.21)
Dokaz: Dovolj je dokazati n−r j=0 △rbjB n−r
j (t) = △rb n−r
0 (t). Spomnimo
se enačbe (3.18), in rezultat uporabimo za vmesne kontrolne točke,
△ r b k r
r
j (t) = (−1)
i
r−i b k i+j (t).
Torej velja:
△ r b n−r
0 (t) =
r
r
(−1)
i
i=0
r−i b n−r
i (t)
r
r
= (−1)
i
i=0
r−i
n−r
j=0
n−r
r
r
= (−1)
i
r−i bi+jB n−r
j (t)
j=0
n−r
=
j=0
i=0
△ r bjB n−r
j (t).
bi+jB n−r
j (t)
V izpeljavi smo uporabili (3.18) in (3.8).
Gornji rezultat nudi dva načina izračuna r-tega odvoda Bézierove krivulje:
(1) izračunaj vse r-te preme končne diference kontrolnih točk in jih uporabi
kot nov Bézierov kontrolni poligon stopnje n−r, ter izračunaj vrednost pri
parametru t.
(2) izračunaj r-ti odvod Bézierove krivulje kot vmesni rezultat de Castel-
jauovega algoritma. Točke b n−r
i tvorijo stolpec v ustrezni de Casteljauovi
shemi. Izračunamo r-te preme diference teh točk in jih pomnoˇzimo s konstanto
n!
(n−r)! .

3.6 Razcvet Bézierove krivulje 27
V primeru r = 1 je
d
dt bn (t) = n[b n−1
1 (t)−b n−1
0 (t)].
Vmesni točki b n−1
0 (t) in b n−1
1 (t) torej določata tangentni vektor v točki
b n (t).
3.6 Razcvet Bézierove krivulje
Posploˇsimo de Casteljauov algoritem in izračunajmo n stolpcev de Casteljauove
sheme tako, da v r-tem stolpcu v nasprotju z originalnim algoritmom
ne računamo vrednosti pri začetni vrednosti parametra t, temveč pri neki
novi vrednosti tr. V kubičnem primeru tako dobimo shemo:
b0
b1 b 1 0[t1]
b2 b 1 1 [t1] b 2 0 [t1,t2]
b3 b 1 2[t1] b 2 1[t1,t2] b 3 0[t1,t2,t3]
Rezultat je točka b 3 0 [t1,t2,t3], ki je po drugi strani funkcija treh neodvisnih
spremenljivk z definicijskim območjem D ∈ R 3 .
Definicija: Funkcijo b[·,·,·] imenujemo razcvet Bézierove krivulje b 3 (t)
(ang. blossom).
VsploˇsnemjerazcvetzaBézierovokrivuljostopnjenpolinomnspremenljivk,
ki slika R n → E 3 . Definirajmo oznako t za r-kratno pojavitev t kot argument.
Na primer: b[0 ,t ,1 ] = b[0,t,t].
Izrek 7. Bézierove kontrolne točke lahko izrazimo kot vrednosti razcveta:
br = b[0 ,1 ]. (3.22)
Dokaz: Najprej izračunamo n−r korakov de Casteljauovega algoritma s
parametrom 0, nato vzamemo trenutne vmesne točke b n−r
i (0) za kontrolne
točke Bézierove krivulje r-te stopnje, ter izračunamo točko na krivulji pri
vrednosti parametra 1. Dobimo enačbo:
r
i=0
b n−r
i (0)B r i (1) = b[0 ,1 ] = br.

28 Bézierove krivulje
Pri izračunu smo upoˇstevali, da se pri t = 0 kontrolne točke v de Casteljauovem
algoritmu ohranjajo, le da je v vsakem koraku ena manj.
De Casteljauov algoritem (3.7) lahko izrazimo v obliki razcveta:
b[0 ,t ,1 ] = (1−t)b[0 ,t ,1 ]+
+ tb[0 ,t ,1 ]. (3.23)
Točko na Bézierovi krivulji dobimo pri b[t ], čemur pravimo tudi diagonalna
lastnost. Razcvet je simetrična funkcija svojih argumentov, kar sledi iz
Menelajevega izreka ((2.11),(2.12)). Razcvet je afina funkcija glede na prvi
argument. Za α+β = 1 je
b[αr +βs,t2,...,tn] = αb[r,t2,...,tn]+βb[s,t2,...,tn]. (3.24)
Ker je razcvet simetrična funkcija svojih argumentov, in z upoˇstevanjem
dejstva, da so koraki de Casteljauovega algoritma ponavljanje linearnih interpolacij,
je razcvet afina preslikava v vseh svojih argumentih.
Za razcvet Bézierove krivulje, definirane nad intervalom [a,b] dobimo preko
posploˇsenega de Casteljauovega algoritma Bézierove točke bi kot vrednosti
razcveta:
bi = b[a ,b ]. (3.25)
3.7 Delitev (subdivizija)
Bézierovo krivuljo običajno definiramo na intervalu [0,1]. ˇ Zelimo najti Bézierov
kontrolni poligon, ki bo določal prvotno krivuljo na intervalu [0,c], c ≤
1.
Neznane Bézierove kontrolne točke ci dobimo s pomočjo principa razcveta.
Zanima nas interval [0,c], torej dobimo:
ci = b[0 ,c ].
Tako dobimo vsak cj z izvajanjem j korakov de Casteljauovega algoritma
glede na c:
To je formula delitve za Bézierove krivulje.
cj = b j
0 (c). (3.26)
Zaradi simetrije so kontrolne točke glede na interval [c,1] podane z b n−j
j (c).
Če izvedemo delitev pri vrednosti parametra t = 1/2, dobimo dva kontrolna
poligona, ki opisujeta vsak en del originalne Bézierove krivulje. Nato
izvedemo enakpostopeknaobehdelih, intakonadaljujemo. Pokkorakihdobimo
2 k Bézierovih poligonov, ki odsekoma opisujejo prvotno krivuljo. Lane

3.8 Razcvet in polara 29
b0
c0
c1
b1
c2
c3=d0
b2
0 c 1
Slika3.5: DelitevBézierovekrivulje: kontrolnapoligona{ci}in{di}določata
odseka krivulje na intervalih [0,c] ter [c,1].
in Riesenfeld sta v [9] dokazala, da ti poligoni z naraˇsčanjem k konvergirajo
po točkah proti originalni Bézierovi krivulji.
Idejo delitve pa lahko uporabimo tudi za ekstrapolacijo Bézierove krivulje
na interval [1,d]. Naj bodo nove kontrolne točke glede na interval [1,d]
označene z dj. Potem je
3.8 Razcvet in polara
d1
d2
dj = b[1 ,d ] = b j
n−j (d).
Izvedimo en korak de Casteljauovega algoritma pri t = t1. Dobljene točke
b 1 0 (t1),b 1 1 (t1), ...,b 1 n−1 (t1) lahko vzamemo za kontrolne točke krivulje p1(t),
stopnje n−1. To lahko zapiˇsemo z razcvetom kot
p1(t) = b[t1,t ].
To lahko izrazimo tudi s pomočjo odvoda Bezierove krivulje b n (t):
p1(t) =
=
n−1
[(1−t1)bi +t1bi+1]B
i=0
n−1
i (t)
n−1
[(1−t1)bi +t1bi+1 −b
i=0
1 i (t)]Bn−1
n−1
i (t)+ b
i=0
1 i (t)Bn−1 i (t)
d3
b3

30 Bézierove krivulje
Dobimo:
n−1
= (t1 −t)
i=0
[bi+1 −bi]B n−1
i (t)+
p1(t) = b n (t)+ t1 −t
n
n−1
i=0
b 1 i(t)B n−1
i (t).
d
dt bn (t). (3.27)
Polinomp1 imenujemo prva polara Bezierove krivuljeb n (t)gledenat1. Geometrijsko
to pomeni naslednje: tangenta na Bezierovo krivuljo b n v točki
b n (t) seka polaro p1 v točki p1(t). To velja v prostoru, ne le na ravnini.
V posebnem primeru, za kubično neravninsko Bezierovo krivuljo to pomeni,
da polara p1 leˇzi v pritisnjeni ravnini na krivuljo v točki bn (t1). Če sekamo
vse tangente na krivuljo s to pritisnjeno ravnino, dobimo polaro. Torej je za
tri različne parametre t1,t2,t3, vrednost razcveta b[t1,t2,t3] enaka preseku
ustreznih pritisnjenih ravnin.
V primeru t1 = 0 dobimo: b[0,t ] je Bezierova krivulja s kontrolnim
poligonom b0,b1,...,bn−1. Podobno je b[1,t ] Bezierova krivulja,
določena s kontrolnimi točkami b1,b2,...,bn.
b n
Slika 3.6: Polara p1 Bézierove krivulje b n pri t1 = 0.4, skupaj s tangentami
na krivuljo.
Čeponovimoprocestvorjenjapolare,pridemododruge polare: p1,2(t) =
b[t1,t2,t ]. Z nadaljevanjem postopka pridemo do viˇsjih polar; n-ta polara
Bezierove krivulje b n (t) je njen razcvet b[t1,t2,...,tn]. Za razcvet se
uporablja tudi izraz polarna forma.
p1

3.9 Matrična oblika Bézierove krivulje 31
V razdelku 3.6 je prikazana rekurzivna tvorba razcveta. Za razcvet pa
lahko poiˇsčemo tudi eksplicitne formule. Oglejmo si kubični primer:
b[t1,t2,t3] = (1−t1)b[0,t2,t3]+t1b[1,t2,t3]
= (1−t1)[(1−t2)b[0,0,t3]+t2b[0,1,t3]]+t1[(1−t2)b[0,1,t3]
+t2b[1,1,t3]]
= b[0,0,0](1−t1)(1−t2)(1−t3)+b[0,0,1][(1−t1)(1−t2)t3
+(1−t1)t2(1−t3)+t1(1−t2)(1−t3)]+b[0,1,1]·
·[t1t2(1−t3)+t1(1−t2)t3 +(1−t1)t2t3]+b[1,1,1]t1t2t3.
Opazimo, da za t1 = t2 = t3 dobimo za koeficiente pri kontrolnih točkah
kubične Bernsteinove bazne polinome. Vsake polinomske funkcije več spremenljivk
se ne da predstaviti kot razcvet neke Bezierove krivulje, saj mora
biti simetrična ter multiafina funkcija svojih parametrov.
3.9 Matrična oblika Bézierove krivulje
Bézierove in druge polinomske krivulje se da zapisati tudi v matrični obliki.
Krivuljo oblike
n
x(t) = ciCi(t)
lahko gledamo kot “skalarni produkt”:
i=0
x(t) = [c0 ... cn]
Podobno lahko zapiˇsemo tudi:
⎡ ⎤ ⎡
C0(t)
⎢ ⎥ ⎢
⎣ . ⎦ = ⎣ .
Cn(t)
⎡ ⎤
C0(t)
⎢ ⎥
⎣ . ⎦.
Cn(t)
m00 ... m0n
mn0 ... mnn
.
⎤⎡
t
⎥⎢
⎦⎣
0
.
tn ⎤
⎥
⎦. (3.28)
Matrika M = {mij} je transformacija med baznimi polinomi Ci(t) ter standardno
bazo prostora polinomov t i .
Izrek 8. Če so Ci Bernsteinovi polinomi Bn i , potem ima matrika M elemente
mij = (−1) j−i
n j
. (3.29)
j i

32 Bézierove krivulje
Dokaz: Razvijmo Bernsteinov bazni polinom B n i po monomih tj ,
B n i (t) =
n
t
i
i (1−t) n−i
n
= t
i
i
n−i
n−i
(−1)
k
k=0
n−i−k t n−i−k
n−i
n n−i
= (−1)
i k
k=0
n−i−k t n−k
n
n n−i
= (−1)
i n−j
j=i
j−i t j
n
n j
= (−1)
j i
j=i
j−i t j
n
n j
= (−1)
j i
j−i t j .
j=0
Koeficienti v vsoti pri t j so koeficienti i-te vrstice matrike M.
MatričnaoblikaBézierovekrivuljejematematičnoekvivalentnaBernstein-
Bézierovi, pomembne razlike nastopijo pri implementaciji Bézierove krivulje
na računalniku. Matrična oblika je primerna na sistemih, optimiziranih za
hitro matrično multiplikacijo. Glavna prednost monomske oblike Bézierove
krivulje pred Bernstein-Bézierovo je hitrost, saj je izračun krivulje s Hornerjevim
algoritmomhitrejˇsi odde Casteljauovega algoritma. Po drugi strani pa
je oblika Bézierove krivulje, zapisane v Bernsteinovi bazi, bolj geometrična
ter numerično bolj stabilna od monomske oblike. Z vidika stabilnosti tako
ni priporočljivo uporabljati pretvorbe med oblikama, monomska oblika pa
zaradi numerične nestabilnosti ni posebno primerna za reprezentacijo krivulj
in ploskev viˇsjih stopenj.
3.10 Viˇsanje stopnje
Pri oblikovanju s pomočjo Bézierovih krivulj se lahko zgodi, da s spreminjanjem
kontrolnega poligona ne moremo dobiti ˇzeljene oblike. Ena od moˇznosti,
ki je na voljo, je viˇsanje stopnje Bézierove krivulje. To pomeni dodajanje
nove kontrolne točke tako, da ostane oblika krivulje nespremenjena, in da pri
temohranimo parametrizacijo. Pri tem postopkubomo dobili nove kontrolne
točke, ki opisujejo prvotno krivuljo, vendar pa se z večjim ˇstevilom kontrolnih
točk ponuja tudi več svobode pri spreminjanju njene oblike. Postopek

3.10 Viˇsanje stopnje 33
lahko nato nadaljujemo in tako postopoma povečujemo ˇstevilo kontrolnih
točk krivulje.
Poviˇsajmo stopnjooriginalneBézierovekrivuljeb n za1. Označimooriginalne
kontrolne točke z bj, nove pa z b (1)
j . Veljati mora:
n
j=0
bj
n
t
j
j (1−t) n−j n+1
=
j=0
b (1)
j
n+1
Levo stran enačbe pomnoˇzimo z 1 = (1−t)+t,
n
j=0
bj
n
[t
j
j (1−t) n−j+1 +t j+1 (1−t) n−j n+1
] =
in primerjamo koeficiente pri t j (1−t) n−j+1 :
b (1)
j
Izraz poenostavimo in dobimo:
n+1 n
= bj
j j
j
j=0
+bj−1
t j (1−t) n+1−j . (3.30)
b (1)
j
n+1
j
n
.
j −1
t j (1−t) n+1−j ,
b (1)
j = 1− j
bj +
n+1
j
n+1 bj−1, j = 0,1,...,n+1 . (3.31)
( 1)
b0=b 0
( 1)
b1 ( ) b3=b4 1
b1
Slika 3.7: Viˇsanje stopnje Bézierove krivulje.
Nove kontrolne točke dobimo z odsekoma linearno interpolacijo pri vred-
. Torej leˇzi novi kontrolni poligon v konveksni ovojnici
nostih parametrov j
n+1
( 1)
b2 ( 1)
b3 b2

34 Bézierove krivulje
originalnega kontrolnega poligona. Viˇsanje stopnje ima pomembno vlogo
pri oblikovanju krivulj in prenosu podatkov med različnimi CAD sistemi.
Pogosto algoritmi zahtevajo vnos več krivulj enakih stopenj, ali pa so optimizirani
za točno določeno stopnjo. To lahko doseˇzemo z viˇsanjem stopnje.
Naj P označuje kontrolni poligon Bézierove krivulje bn , EP pa kontrolni
poligon po viˇsanju stopnje. Če izvedemo r korakov viˇsanja stopnje, dobimo
zaporedje poligonov P,EP,...,E rP. Izrek 9. Kontrolni poligon E r P ima kontrolne točke
b (r)
i =
n
j=0
bj
n
j
r
i−j
n+r i
, i = 0,1,...,n+r . (3.32)
Opomba: Koeficient v vsoti (3.32) pri bj ima obliko hipergeometrijske
porazdelitve s parametri (n,r,i).
Dokaz: Dokazujemo z indukcijo na r:
za r = 1:
b (1)
i =
n
j=0
bj
Ostaneta le člena pri j = i in j = i−1:
b (1)
i = bi
n 1
i
n+1
i
n
j
1
+bi−1
i−j
n+1 i
n 1
i−1
= (1− i
n+1 )bi + i
n+1 bi−1,
in za r = 1 izrek velja. Za r = k naj velja:
b (r)
i =
n
j=0
bj
n
j
r
i−j
.
n+r
i
n+1
i

3.10 Viˇsanje stopnje 35
Pri r = k +1 z uporabo enačbe (3.31) za b (k+1)
i viˇsamo stopnjo krivulje
b (k+1)
i
i
=
n+k +1 b(k) i−1 + i (k)
1− b i
n+k +1
n
i n
= bj
n+k +1 j
j=0
k
i−1−j i
+(1− n+k n+k +1
i−1
)
n
n
bj
j
j=0
k
i−j
n+k
i
n
n
i k!(i−1)!(n+k −i+1)!
= bj
j n+k +1 (i−j −1)!(k −i+j +1)!(n+k)!
j=0
+
+ n+k +1−i k!i!(n+k −i)!
n+k +1 (i−j)!(k−i+j)!(n+k)!
n
n
= bj
j
k+1
i−j
.
j=0
n+k+1
i
Naj BP označuje Bézierovo krivuljo, ki jo določa kontrolni poligon P.
Izrek 10. Poligoni ErP z naraˇsčajočimr konvergirajo po točkah proti krivulji
BP, ki jo določajo:
lim
r→∞ ErP = BP. (3.33)
Dokaz: Fiksirajmo vrednost parametra t. Za vsak r poiˇsčemo tak indeks
i i, da je n+r najbliˇzje t. i glejmo kot parameter kontrolnega polinoma
n+r
ErP. Ker s postopkom viˇsanja stopnje Bezierove krivulje naraˇsča tudiˇstevilo
kontrolnih točk poligona Er i
P, z naraˇsčajočim r izraz konvergira proti t.
n+r
Dokaˇzimo, da velja
lim
i
n+r →t
r
i−j
r+n i
= t j (1−t) n−j . (3.34)
Z uporabo Stirlingove formule n! ≈
n n√
2πn aproksimiramo izraz
e
r
i−j
r+n i
≈
ri(r +n−i)
(i−j)(r−i+j)(r+n)
Dobljeni izraz preoblikujemo v:
ri(1− i
r+n )
(i−j)(1− i−j
r )r
r r i i (r +n−i) r+n−i
(i−j) i−j (r −i+j) r−i+j (r +n) r+n.
(1− i
r+n )r+n−i ( i
r+n )i
( i−j
r )r ( r .
−1)r−i+j
i−j

36 Bézierove krivulje
Upoˇstevamo, da j in n v izrazu v limiti nastopata kot konstanti, ter poˇsljemo
i
n+r → t. Izraz pod korenom konvergira proti 1, ostanek pa proti tj (1−t) n−j .
Sedaj izračunajmo limito:
lim
i
n+r→t b (r)
i
= lim
i
n+r →t
n
j=0
bj
n
j
r
i−j
n+r i
Zamenjamo vrstni red sumacije in limitiranja, ter upoˇstevamo enačbo (3.34):
lim
i
n+r→t b (r)
i =
.
n
bjB n j(t) = [BP](t).
j=0
Slika 3.8: S ponavljanjem postopka viˇsanja stopnje kontrolni poligoni po
točkah konvergirajo k Bézierovi krivulji, ki jo določajo.
Poligoni E r P konvergirajo proti krivulji zelo počasi, zato konvergenca ni
praktično uporabna, vendar pa pomaga pri teoretični raziskavi lastnosti Bezierovih
krivulj.
3.11 Manjˇsanje variacije
Izrek 11. Naj bo R ravnina v R 3 . Bézierova krivulja BP seka ravnino R v
kvečjemu toliko točkah, kot jo seka kontrolni poligon P.

3.12 Niˇzanje stopnje 37
Dokaz: NajboRpoljubnaravnina. Postopekviˇsanjastopnjejesestavljen
iz odsekoma linearnih interpolacij. Odsekoma linearne interpolacije imajo
lastnost manjˇsanja variacije (enačba (2.10)). Zato ima kontrolni poligon
E r P po r korakih viˇsanja stopnje kvečjemu toliko presečiˇsč z ravnino R kot
kontrolnipoligonE r−1 P. Zaradikonvergence(3.33)kontrolnihpoligonovE r P
k krivulji BP ima lastnost manjˇsanja variacije tudi Bézierova krivulja.
Planarni poligon imenujemo konveksen, če ima kvečjemu dve presečiˇsči
s poljubno premico.
Posledica: Konveksni kontrolnipoligondoločakonveksno Bézierovokrivuljo.
Trditev v obratni smeri ne drˇzi - obstajajo konveksne Bézierove krivulje z
nekonveksnimi kontrolnimi poligoni.
3.12 Niˇzanje stopnje
Niˇzanje stopnje je aproksimacija dane Bézierove krivulje b n stopnje n z
Bézierovo krivuljo niˇzje stopnje. Naj bodo kontrolne točke dane Bézierove
krivulje b n označene z bi,i = 0,1,...,n, kontrolne točke iskane krivulje
stopnje n−1, c n−1 , pa z ci,i = 0,1,...,n−1. Predpostavimo, da smo dobili
krivuljo b n iz c n−1 s postopkom viˇsanja stopnje. Potem po (3.31) velja:
bi = i
n ci−1 + n−i
n ci, i = 0,1,...,n. (3.35)
Iz te enačbe lahko izrazimo dve rekurzivni formuli za izračun ci:
ci = nbi −ici−1
, i = 0,1,...,n−1, (3.36)
n−i
ci−1 = nbi −(n−i)ci
, i = n,n−1,...,1. (3.37)
i
Obe enačbi sta ekstrapolacijski in numerično nestabilni. Enačba (3.36) jedobra
aproksimacija vokolici točke b0, (3.37) pa vokolici bn. Zato seuporablja
tudi postopek zdruˇzevanja: prvi del novega kontrolnega poligona izračunamo
iz enačbe (3.36), drugi del pa iz (3.37).

38 Bézierove krivulje
3.13 Ravninske Bézierove krivulje v neparametrični
obliki
Zanimajonaskrivulje veksplicitni obliki y = f(x), kjer jef polinom, zapisan
v bazi Bernsteinovih polinomov:
f(t) = b0B n 0(t)+b1B n 1(t)+···+bnB n n(t).
Tu so bi realna ˇstevila.
To lahko zapiˇsemo v parametrični obliki:
x(t)
b(t) = =
y(t)
t
.
f(t)
Kersofunkcijskekrivuljepodmnoˇzicaparametričnih, imajokontrolnipoligon.
Uporabimo lastnost ohranjanja premic (3.15) in dobimo:
n
j/n
b(t) = B n j (t). (3.38)
j=0
Funkcijo f(t) =
jbjB n j (t) imenujemo Bézierova funkcija. Kontrolni
poligon je določen s točkami ( j
n ,bj); j = 0,1,...,n. Ker so Bézierove
krivulje invariantne za afine reparametrizacije, lahko namesto intervala [0,1]
uporabljamo poljuben interval [a,b]. Potem so abscise kontrolnih točk enake
a + i
(b − a); i = 0,1,...,n. Vse komponente Bézierove krivulje v
n
parametrični obliki so Bézierove funkcije.
3.14 Integrali
Kontrolni poligon P Bézierove funkcije določajo točke (j/n,bj). Poligonu P
priredimo “ploˇsčino” AP:
bj
AP = 1
n+1
n
bj. (3.39)
To je ena od delnih Riemannovih vsot za ploˇsčino pod poligonom P.
Izrek 12. Aproksimaciji za ploˇsčini pod poligonoma P in EP, dobljenim pri
viˇsanju stopnje, sta enaki:
AP = AEP.
j=0

3.15 Baricentrična oblika Bézierove krivulje 39
Dokaz:
AEP =
=
1 n+1
j
n+2 n+1 bj−1
+ 1− j
bj
n+1
1
n+2
= AP.
Torej velja za vsak r ∈ N
j=0
n
j=0
n+2
n+1 bj
AE r P = AEP.
Vemo, da poligoni E r P konvergirajo proti Bézierovi funkciji BP. Zato je
lim
r→∞ AEr 1
P =
0
n
j=0
V posebnem primeru bi = δi,j velja
1
0
bjB n j
(x)dx = 1
n+1
n
bj. (3.40)
j=0
B n i (x)dx = 1
. (3.41)
n+1
3.15 Baricentrična oblika Bézierove krivulje
Za laˇzjo posploˇsitev na ploskve, si oglejmoˇse malce drugačen zapis Bézierove
krivulje.
Naj bosta p1 in p2 različni točki na realni osi. Potem lahko vsako točko
p na premici, ki jo določata, zapiˇsemo v obliki baricentričnih koordinat:
p = up1 +vp2. Točko p identificiramo z u = (u,v), u+v = 1, točki p1 in
p2 pa z p1 = (1,0), p2 = (0,1). Realno os preslikamo v R 3 , kjer definira
polinom
b(u) := b n (u) :=
i+j=n
i,j≥0
n!
i!j! uiv j bi,j =
i+j=n
B n i,j(u)bi,j. (3.42)
Če vstavimo t = v in bj = bi,j, i + j = n, dobimo Bézierovo krivuljo v
klasični obliki. Iz baricentrične oblike se takoj vidita dve pomembni lastnosti
Bézierovih krivulj: invariantnost za afine transformacije parametra in
simetrija (vlogi u in v). Poloˇzaj točke p opiˇsemo s parametroma u in v,

40 Bézierove krivulje
relativno glede na točki p1 in p2.
De Casteljauov algoritem v baricentrični notaciji postane
b r i,j (u) = ubr−1 i+1,j (u)+vbr−1 i,j+1 (u),
r = 1,2,...,n ,
i+j = n−r
. (3.43)
Iskana točka na krivulji je določena z b n 0,0(u).
Tudi odvode lahko izrazimo s pomočjo baricentrične oblike.
Vpeljimo standardno parametrizacijo u = u(t) = (u(t),v(t)) = (1 − t,t).
Odvajamo na parameter t:
Ker je du
dt
= −1 in dv
dt
d ∂ du ∂ dv
b(u(t)) = b· + b·
dt ∂u dt ∂v dt .
= 1, dobimo:
d ∂ ∂
b(u(t)) = b− b. (3.44)
dt ∂v ∂u
Definirajmo vektor d = p2 − p1 = (−1,1). Enačbo lahko zapiˇsemo kot
smerni odvod glede na d:
d
dt b(u(t)) = Ddb(u). (3.45)
Oglejmo si, kako je de Casteljauov algoritem povezan s smernimi odvodi.
Namesto računanja vrednosti v točki u z u+v = 1, formalno izračunajmo
vrednost v vektorju d = (−1,1). De Casteljauov algoritem (3.43) za ta
primer postane:
b r i,j (d) = −br−1 i+1,j (d)+br−1 i,j+1 (d).
Vektorski argumenti v de Casteljauovem algoritmu torej prinesejo preme
diference:
b r i,j(d) = △ r bj.
Tako za prvi odvod velja:
n−1
Ddb(u(t)) = n
j=0
△bjB n−1
j (t) = n
i+j=n−1
b 1 i,j (d)Bn−1 i,j (u). (3.46)
Zadnji del enačbe pove, da smerni odvod dobimo z izvajanjem enega koraka
de Casteljauovega algoritma glede na d in n−1 korakov glede na u. To se
preprosto izrazi s pomočjo razcveta.
Bézierove kontrolne točke lahko izrazimo kot vrednosti razcveta argumentov

3.16 Racionalne Bézierove krivulje 41
p1 = (1,0) in p2 = (0,1). Kontrolne točke izrazimo v standardni, baricentrični
in razcvetni notaciji:
bj = bi,j = b[p
1 ,p
2 ], i+j = n.
Tako zapiˇsemo vmesne točke de Casteljauovega algoritma:
b r i,j (u) = b[p 1 ,p
2 ,u ], i+j +r = n,
točka na krivulji pa je dana z b[u ]. Vstavimo v enačbo (3.46), in dobimo:
Z nadaljnim odvajanjem dobimo:
Ddb(u) = Ddb[u ] = nb[u ,d].
D r d b(u) = Dr d b[u ] =
n!
(n−r)! b[u ,d ]. (3.47)
r-ti smerni odvod krivulje glede na d dobimo z r koraki de Casteljauovega
algoritma za vektor ter n−r koraki algoritma za izračun točke. Vrstni red
izvajanja korakov ni pomemben zaradi lastnosti simetričnosti argumentov
razcveta.
Če v enačbo (3.47) formalno vstavimo d = u, dobimo Eulerjevo enačbo:
D r ub(u) =
n!
(n−r)! b[u ].
Iz Eulerjeve enačbe se vidi povezanost odvajanja in izračuna točke, ko uporabimo
baricentrično notacijo in razcvete.
3.16 Racionalne Bézierove krivulje
Racionalna Bézierova krivulja stopnje n v R 3 je projekcija Bézierove
krivulje stopnje n iz R 4 na hiperravnino w = 1.
Izrek 13. Racionalna Bézierova krivulja stopnje n je podana z izrazom:
n i=0 x(t) =
wibiBn i (t)
n j=0wjB n j (t) ; x(t),bi ∈ E 3 . (3.48)

42 Bézierove krivulje
Dokaz: Projekcija preslika točko (x,y,z,w) → (x/w,y/w,z/w,1). Označimo
(wx,wy,wz,w) z (wx,w). Fiksirajmo t. Točko na krivulji x(t) ∈ E 3
lahko gledamo kot [x(t), 1] T ∈ E 4 . To je projekcija točke [w(t)x(t), w(t)] T ,
ki leˇzi na Bézierovi krivulji v R 4 . Zadnjo komponento lahko izrazimo z:
w(t) =
Zato lahko zapiˇsemo:
x(t)
w(t) =
1
i=0
n
i=0
wiB n i (t).
x(t) n
i=0 wiB n i (t)
n
i=0 wiB n i (t)
Leva stran enačbe določa točko na Bézierovi krivulji stopnje n v R4 , zato
velja:
n
pi
B
wi
n n x(t) i=0
i (t) =
wiBn i (t)
n i=0wiB n i (t)
,
kjer so pi točke v R3 . Iz prve komponente dobimo enačbo
n
n
(t) = x(t) (t), (3.49)
in izrazimo x(t):
i=0
piB n i
i=0
wiB n i
x(t) = p0B n 0 (t)+p1B n 1 (t)+···+pnB n n (t)
w0B n 0(t)+w1B n 1(t)+···+wnB n n (t); x(t),pi ∈ E 3 .
Za pi vzemimo pi = wibi in izrek je dokazan.
Koeficientom wi pravimo uteˇzi, točkam bi pa Bézierove kontrolne točke.
Kontrolne točke tvorijo kontrolni poligon, ki je projekcija kontrolnega poligona
[wibi, wi] T neracionalne Bézierove krivulje iz R4 . Če vzamemo vse uteˇzi
enake1, jeimenovalecizraza(3.48)enak1, indobimonavadno(neracionalno)
Bézierovo krivuljo v R3 .
Racionalne Bézierove krivulje s pozitivnimi uteˇzmi imajo podobne lastnosti
kot ”neracionalne”: so afino invariantne, invariantne za afine transformacije
parametra, imajo lastnosti simetrije, konveksne ovojnice, interpolacije v robnih
točkah ter manjˇsanja variacije.
Uteˇzi wi običajno uporabljamo kot parametre oblike: s povečanjem enega
od wi se krivulja pribliˇza ustreznemu bi. Pri tem je potrebno opozoriti, da
z enako rastočimi wi krivulja ne konvergira proti kontrolnemu poligonu, ker
skupni faktor povečanja uteˇzi nima vpliva na krivuljo.
.

3.17 De Casteljauov algoritem za racionalne Bézierove krivulje 43
b0
b1
Slika 3.9: Vpliv uteˇzi na obliko krivulje: Racionalni Bézierovi krivulji stopnje
3 z istim kontrolnim poligonom in z enakimi uteˇzmi, razen uteˇzi w2.
3.17 De Casteljauov algoritem za racionalne
Bézierove krivulje
Za izračun točke na racionalni Bézierovi krivulji lahko uporabimo de Casteljauov
algoritemposebej zaˇstevec in za imenovalec, ter delimo dobljena rezultata.
Ta metoda je enostavna in učinkovita, vendar numerično nestabilna.
Pri uteˇzeh zelo različnih velikosti, lahko za velike wi izračunane vmesne točke
de Casteljauovega algoritma padejo izven konveksne ovojnice kontrolnega
poligona {bi}, kar prinese izgubo natančnosti.
Natančnejˇsa metoda projicira vmesne točke de Casteljauovega algoritma
[wibi, wi] T v hiperravnino w = 1. Tako pridemo do racionalnega de
Casteljauovega algoritma:
b2
b r i
i (t) = (1−t)wr−1
wr b
i
r−1
i +twr−1
i+1
wr b
i
r−1
i+1 , (3.50)
w r i (t) = (1−t)wr−1 i (t)+tw r−1
i+1 (t). (3.51)
Racionalni de Casteljauov algoritem ima lepo geometrijsko interpretacijo.
Standardni de Casteljauov algoritem uporablja razmerja treh točk (ratio),
racionalni pa kriˇzno razmerje ˇstirih točk.
Kriˇzno razmerje ˇstirih kolinearnih točk a,b,c,d je definirano z:
cr(a,b,c,d) := ratio(a,b,d)
. (3.52)
ratio(a,c,d)
b3

44 Bézierove krivulje
Vzemimo točko qr i (t) na premici med bri in bri+1 , tako da velja:
ratio(b r i,q r i,b r i+1) = wr i+1
wr . (3.53)
i
Potem iz (3.52) z uporabo (3.53) in (3.50) dobimo
Pri r = 0 iz (3.53) sledi
cr(b r i ,qr i ,br+1
i ,b r i+1
1−t
) = , za vse r,i.
t
qi = q 0 i = wibi +wi+1bi+1
,
wi +wi+1
kar omogoča uporabo točk qi kot parametrov oblike. S pomikanjem točk qi
po ustreznih delih kontrolnega poligona se spreminjajo tudi uteˇzi wi, kar ima
neposreden vpliv na obliko krivulje.
Tudi racionalni de Casteljauov algoritem lahko uporabimo za delitev
krivulje. De Casteljauov algoritem deluje na prasliki racionalne Bézierove
krivulje. Vmesne točke projiciramo na hiperravnino w = 1 in dobimo kontrolna
poligona za oba dela krivulje.
Kontrolne točke in uteˇzi glede na interval [0,t] so:
glede na [t,1] pa:
bi = b i 0 (t), wi = w i 0 , (3.54)
bi = b i n−i (t), wi = w i n−i . (3.55)
3.17.1 Odvodi racionalne Bézierove krivulje
Zapiˇsimo enačbo (3.49) v preprostejˇsi obliki:
Potem je
Izrazimo ˙x(t):
p(t) = w(t)x(t), p(t),x(t) ∈ R 3 .
˙p(t) = d
p(t) = ˙w(t)x(t)+w(t)˙x(t).
dt
˙x(t) = 1
[˙p(t)− ˙w(t)x(t)]. (3.56)
w(t)

3.18 Sestavljene Bézierove krivulje 45
Za viˇsje odvode uporabimo Leibnitzovo pravilo, in dobimo
p (r) r
r
(t) = w
j
(j) (t)x (r−j) (t),
j=0
in dobimo rekurzivno formulo za r-ti odvod racionalne Bézierove krivulje:
r
r
w
j
(j) (t)x (r−j) (t)]. (3.57)
x (r) (t) = 1
w(t) [p(r) (t)−
3.18 Sestavljene Bézierove krivulje
Bézierove krivulje so močno orodje pri oblikovanju krivulj, vendar pa imajo
nekaj omejitev. Za aproksimacijo kompleksnih oblik so potrebne Bézierove
krivulje visokih stopenj, pri tempa interpolirajo dane podatke samo vrobnih
točkah. Reˇsitev je v uporabi sestavljenih Bézierovih krivulj; odsekoma
polinomskih krivulj (zlepkov) niˇzjih stopenj, ki v stičnih točkah interpolirajo
dane podatke.
j=1
3.18.1 Lokalni in globalni parametri
Pri enostavnih Bézierovih krivuljah smo za definicijsko območje vzeli interval
[0,1], kar nam je omogočala invariantnost Bézierovih krivulj za afine transformacije
parametra. Pri sestavljenih polinomskih krivuljah so stvari bolj
zapletene: za posamezne odseke lahko predpostavimo, da so preslikave intervala
[0,1], vendar pa je celotna krivulja preslikava druˇzine intervalov, katerih
relativne dolˇzine igrajo pomembno vlogo.
Definicija: Zlepek s je zvezna preslikava [u0,uL] → R 3 , ki podintervale
u0 < u1 < ··· < uL slika tako, da se vsak podinterval [ui,ui+1] preslika v
polinomsko krivuljo. Robnim točkam podintervalov ui pravimo vozli.
Za vsako vrednost parametra u leˇzi ustrezna točka s(u) na krivulji s. Naj
leˇzi vrednost u na intervalu [ui,ui+1]. Za interval [ui,ui+1] lahko vpeljemo
lokalno parametrizacijo:
t = u−ui
ui+1 −ui
= u−ui
.
△ui
Pri obravnavanju celotne krivulje s uporabljamo globalni parameter u, posamezne
odseke pa je pogosto preprosteje zapisati v obliki Bézierovih krivulj s

46 Bézierove krivulje
pomočjo lokalne parametrizacije. Naj si označuje i-ti odsek krivulje s, točko
na njem pa označimo z s(u) = si(t). Uvedba lokalnih koordinat vpliva tudi
na odvajanje. Za u ∈ [ui,ui+1] s pomočjo veriˇznega pravila dobimo:
ds(u)
du
= dsi(t) dt
dt du
1 dsi(t)
= . (3.58)
△ui dt
Kontrolni poligoni posameznih odsekov sestavljene Bézierove krivulje s sestavljajo
odsekoma Bézierov poligon za s.
3.18.2 Pogoji gladkosti
Posamezni odsekisestavljene Bézierovekrivuljessopolinomskekrivulje, zato
so poljubnokrat zvezno odvedljive, problemi z odvedljivostjo lahko nastopajo
kvečjemu na njihovih stičiˇsčih. Naj bosta s0 in s1 Bézierovi krivulji s kontrolnima
poligonoma b0,b1,..., bn ter bn,bn+1,...,b2n. Ker sta robni točki
enaki, ˇze imamo zveznost. Krivulji lahko gledamo posamezno, ali pa kot
odseka sestavljene krivulje, definirane kot preslikava intervala [u0,u2] v R 3 .
Odsek s0 je definiran nad intervalom [u0,u1], s1 pa nad [u1,u2]. Za trenutek
predpostavimo, da sta obe krivulji loka globalne polinomske krivulje b n (u),
definirane nad intervalom [u0,u2]. V razdelku (3.7) smo videli, da morata biti
poligona b0,b1,...,bn ter bn,bn+1,...,b2n rezultat postopka delitve, torej
morajo biti njune kontrolne točke povezane z
bn+i = b i n−i(t), i = 0,1,...,n; (3.59)
kjer je t = (u2−u0)/(u1−u0) lokalna koordinata u2 glede na interval [u0,u1].
Če premaknemo točko b2n, podani krivulji ne opisujeta več istega globalnega
polinoma, vendar se globalna polinoma ujemata v vseh odvodih redov
0,1,...,n−1 pri u = u1. Razlog jevtem, da kontrolna točka b2n nima vpliva
naodvode, redovmanjˇsihodn, priu = u1. Podobnolahkospremenimob2n−r
in ˇse vedno ohranimo zveznost vseh odvodov, redov 0,1,...,n−r−1.
Izrek 14 (C r pogoj). Bézierovi krivulji, definirani nad u0 ≤ u ≤ u1 ter
u1 ≤ u ≤ u2, s kontrolnima poligonoma b0,b1,...,bn ter bn,bn+1,...,b2n,
sta r-krat zvezno odvedljivi pri u = u1 natanko takrat, ko velja:
bn+i = b i n−i(t), i = 0,1,...,r, (3.60)
kjer je t = (u2−u0)/(u1−u0) lokalna koordinata u2 glede na interval [u0,u1].

3.18 Sestavljene Bézierove krivulje 47
b0
b1 b2
u0 u1 u2 u3
b3 b4
b5
Slika 3.10: Zvezno odvedljiva krivulja, sestavljena iztrehkubičnih Bézierovih
krivulj.
Torej de Casteljauov algoritem priskrbi tudi pogoje zveznosti med sosednjimi
Bézierovimi krivuljami. Opozoriti je potrebno, da je enačba (3.60)
le teoretično orodje in je ne smemo direktno uporabljati za konstrukcijo C r
krivulj, saj bi lahko zaradi uporabeekstrapolacije priˇslo do numeričnih teˇzav.
Izpeljimo ˇse bolj uporaben pogoj za r-kratno zvezno odvedljivost sestavljene
Bézierove krivulje v točki u = u1. Za i = 0,1,...,r se morata i-ta
odvoda na krivulji s0 ter s1 ujemati v točki u = u1. Upoˇstevamo ˇse veriˇzno
pravilo (3.58), in dobimo:
i i i i
1 d s0(1) 1 d s1(0)
=
△u0 dti △u1 dti .
Uporabimo enačbo (3.17), poenostavimo, in dobimo rezultat:
1
△u0
i
△ i
1
bn−i =
△u1
i
b8
b6
b7
b9
△ i bn, i = 0,1,...,r. (3.61)
Oglejmo si nekaj najbolj zanimivih primerov. Zveznost (C 0 zveznost)
zagotovimo s tem, da imata obe Bézierovi krivulji skupno zadnjo/prvo kontrolno
točko. Pri C 1 gladkosti dodatno zahtevamo, da velja
1
(bn −bn−1) =
△u0
1
(bn+1 −bn). (3.62)
△u1

48 Bézierove krivulje
To pomeni, da morajo biti kontrolne točke bn−1,bn,bn+1 kolinearne, urejene,
in v razmerju △u0 : △u1. Samo kolinearnost ˇse ni dovolj za zvezno
odvedljivost, ker je le-ta odvisna od globalne parametrizacije.
Poleg C-zveznosti nasvCAGDzanima tudi geometrijska zveznost (Gzveznost).
TunezahtevamoC-gladkosti, ampakdakrivulja“izgledagladko”.
Bolj natančno nas zanima zveznost geometrijskih lastnosti, ki niso odvisne
od parametrizacije. G 0 zveznost je običajna C 0 zveznost. Pri G 1 zveznosti
(poleg G 0 ) zahtevamo, da se smer tangente na krivuljo spreminja zvezno (ne
pa nujno tudi njena velikost!). To pomeni, da namesto pogoja (3.62) dobimo
pogoj za G 1 zveznost
bn+1 −bn = α (bn −bn−1),
kjer je α > 0 poljubno ˇstevilo. Ob tem zahtevamo ˇse urejenost (kolinearnih)kontrolnihtočkbn−1,bn,bn+1.
Pogojjeneodvisenodparametrizacije
krivulje. V sploˇsnem lahko zapiˇsemo: krivulja je geometrijsko zvezna G r
natanko tedaj, ko je v neki parametrizaciji
C r zvezna.
Pri G 2 zveznosti zahtevamo zvezno spreminjanje ukrivljenosti.

Poglavje 4
Bézierove ploskve
4.1 Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta
Tenzorski produkt funkcij g in h je definiran z f(u,v) := g(u)h(v). Tako
dobljeno ploskev f imenujemo ploskev iz tenzorskega produkta.
4.1.1 Bilinearna interpolacija
Podobno, kot smo razvili teorijo Bézierovih krivulj na osnovi linearne interpolacije,
lahko osnujemo Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta na bilinearni
interpolaciji. Naj bodo b0,0,b0,1,b1,0,b1,1 različne točke v E3 . Mnoˇzico
točk x, oblike:
1 1
x(u,v) = bi,jB 1 i(u)B 1 j(v), (4.1)
i=0
j=0
imenujemo hiperbolični paraboloid skozi podane točke bi,j. To lahko
zapiˇsemo v matrični obliki:
x(u,v) = 1−u u
b0,0 b0,1 1−v
. (4.2)
b1,0 b1,1 v
Ker je ploskev x(u,v) v (4.1) linearna v u in v ter interpolira podane točke,
ploskev x imenujemo bilinearni interpolant.
Bilinearni interpolant lahko gledamo kot preslikavo enotskega kvadrata
0 ≤ u,v ≤ 1 v ploskev x(u,v). Premica vdomeni, vzporedna koordinatni osi,
se preslika v krivuljo na ploskvi, ki ji pravimo izoparametrična krivulja.
49

50 Bézierove ploskve
b01
b00
Slika 4.1: Bilinearna interpolacija: hiperbolični paraboloid, definiran s
točkami bi,j.
Vseizoparametričnekrivuljehiperboličnegaparaboloidasoravnečrte(odseki
premic).
Zaizračuntočkenabilinearneminterpolantulahkopolegdirektnemetode
uporabimo dvo-stopenjski proces, ki je osnova za interpolacijo s pomočjo
tenzorskega produkta. Najprej izračunamo vmesni točki:
nato pa zdruˇzimo
b 0,1
0,0 = (1−v)b0,0 +vb0,1,
b 0,1
1,0 = (1−v)b1,0 +vb1,1, (4.3)
x(u,v) = b 1,1
0,0(u,v) = (1−u)b 0,1
0,0 +ub 0,1
1,0.
Ideja je v tem, da najprej izračunamo koeficiente izoparametrične krivulje
v = konst, nato pa ˇse vrednost točke na izoparametrični krivulji pri u. Do
istega rezultata pridemo tudi z uporabo postopka v drugi smeri (z začetkom
na u = konst).
Ker je linearna interpolacija afina preslikava, in ker smo uporabili linearno
interpolacijo v u in v smeri, se za bilinearno interpolacijo uporablja
tudi izraz biafina preslikava.
b11
b10

4.1 Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta 51
4.1.2 De Casteljauov algoritem
Bézierove krivulje smo s pomočjo de Casteljauovega algoritma dobili s ponavljanjem
linearnih interpolacij; do ploskev pa bomo priˇsli s ponavljanjem
bilinearnih interpolacij. Naj bo podan pravokoten seznam točk bi,j; 0 ≤
i,j ≤ n ter vrednosti parametrov (u,v). Točke bi,j so osnova za kontrolno
mreˇzo, odsekoma bilinearno ploskev, posploˇsitev kontrolnega poligona pri
Bézierovih krivuljah. Algoritem generira točko na ploskvi, ki jo določa kontrolna
mreˇza (oz. kontrolne točke bi,j).
Za r = 1,2,...,n ter i,j = 0,1,...,n−r izračunaj:
b r,r
i,j = 1−u u b r−1,r−1
i,j b r−1,r−1
i,j+1
b r−1,r−1
1−v
, (4.4)
v
i+1,j b r−1,r−1
i+1,j+1
kjer je b 0,0
i,j = bi,j. b n,n
0,0 je točka pri vrednosti parametrov (u,v) na Bézierovi
ploskvi bn,n .
Tako zapisani algoritem deluje za (n+1)×(n+1) mreˇzo točk. S konstruktivnim
algoritmom generiramo ploskev; podobno kot smo priˇsli do Bézierove
krivulje. V naslednjem razdelku bomo do enakega rezultata priˇsli s pomočjo
pristopa preko tenzorskega produkta. To nam bo olajˇsalo tudi obravnavo
ploskev, ki so različnih stopenj v u in v. Direktni de Casteljauov algoritem
se da prirediti tudi za tak primer, tako, da se najprej izvede algoritem na
“kvadratni kontrolni podmreˇzi”, nato pa se uporabi ˇse de Casteljauov algoritem
za Bézierove krivulje.
4.1.3 Tenzorski produkt Bézierovih krivulj
Osnovna intuitivna definicija ploskve je naslednja: ploskev je sled krivulje,
ki se giblje po prostoru, in pri tem spreminja svojo obliko. Na podlagi te
ideje pridemo do ploskev, nastalih iz tenzorskega produkta.
Naj bo krivulja, ki se giblje po prostoru, Bézierova krivulja konstantne
stopnje m (to je velika zoˇzitev razreda ploskev, ki izhajajo iz tenzorskega
produkta). V vsakem trenutku premikajočo se krivuljo določa mnoˇzica kontrolnih
točk, od katerih se vsaka giblje skozi prostor po krivulji. Naˇsa naslednja
predpostavka je, da so vse krivulje, po katerih se gibljejo kontrolne točke,
Bézierove krivulje iste stopnje n.
Formalno lahko zapiˇsemo to takole: osnovna krivulja naj bo
b m m
(u) = (u), (4.5)
i=0
biB m i

52 Bézierove ploskve
kontrolne točke pa naj potujejo po Bézierovi krivulji
bi = bi(v) =
n
j=0
bi,jB n j
Enačbi zdruˇzimo, in dobimo točko b m,n (u,v) na ploskvi b m,n :
b m,n (u,v) =
m
i=0
n
j=0
bi,jB m i (u)Bn j
(v). (4.6)
(v). (4.7)
VtejnotacijiimaoriginalnaBézierovakrivuljab m (u)kontrolnetočkebi,0; i =
0,1,...,m.
0
4
3
2
1
0
0
1
2
1
3
2
4
3
Slika 4.2: Tenzorska Bézierova ploskev stopnje (2,2). Kontrolne točke so
označene z večjimi pikami.
Definicija Bézierove ploskve (4.7) ter definicija preko de Casteljauovega
algoritma sta ekvivalentni. Pri izpeljavi smo za začetno krivuljo uporabili
izoparametrično krivuljo v = 0; na podoben način bi lahko uporabili tudi
preostale tri robne krivulje.
4

4.1 Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta 53
Poljubna izoparametrična krivulja ˆv = konst Bézierove ploskve bm,n je
Bézierova krivulja stopnje m s parametrom u. Njene kontrolne točke dobimo
z izračunom točk kontrolne mreˇze pri ˆv:
b 0n
i,0 (ˆv) =
n
j=0
bi,jB n j
(ˆv); i = 0,1,...,m.
Koeficiente izoparametrične krivulje (kontrolne točke) dobimo z izvajanjem
m + 1 de Casteljauovih algoritmov (za krivuljo). Točko na ploskvi lahko
izračunamo z izvajanjem ˇse enega de Casteljauovega algoritma.
Na enak način lahko obravnavamo tudi izoparametrične krivulje u =
konst.
Tu omenimo ˇse racionalne Bézierove tenzorske ploskve:
x(u,v) =
i
i
j wi,jbi,jB m i (u)Bn j (v)
j wi,jB m i (u)Bn j (v)
, (4.8)
kjer so wi,j uteˇzi kontrolnih točk bi,j. Dobimo jih kot projekcijo tenzorskih
Bézierovih ploskev iz R 4 . Racionalne tenzorske ploskve za razliko od krivuljnega
primera večinoma nimajo lastnosti ploskev, nastalih iz tenzorskega
produkta.
4.1.4 Lastnosti tenzorskih Bézierovih ploskev
Zaradi narave tenzorskega produkta večina lastnosti tenzorskih Bézierovih
ploskev sledi iz lastnosti Bézierovih krivulj.
Invariantnost za afine preslikave: Direktni de Casteljauov algoritem sestavlja
ponavljanje bilinearnih (in mordaˇse linearnih) interpolacij, ki so afino
invariantne; zato je afino invariantno tudi njihovo komponiranje. Tenzorske
Bézierove ploskve pa niso projektivno invariantne. Tako ne moremo s projekcijo
preslikati kontrolnih točk in nato generirati ploskve; temveč moramo
najprej generirati ˇzeljene točke, in jih nato preslikati s projekcijo, kar je v
primeru, da je potrebno izračunati veliko ˇstevilo točk, lahko računsko precej
zahteven postopek.
Lastnost konveksne ovojnice: Za 0 ≤ u,v ≤ 1 so členi Bm i (u)Bn j(v)
nenegativni, velja pa tudi
n m
(v) ≡ 1. (4.9)
j=0
i=0
B m i (u)Bn j

54 Bézierove ploskve
Robne krivulje: Robne krivulje ploskve b m,n so Bézierove krivulje, ki jih
določajo robni poligoni kontrolne mreˇze. Tako tenzorska ploskev interpolira
“kotne” točke kontrolne mreˇze.
Lastnost manjˇsanja variacije: Te lastnosti tenzorske Bézierove ploskve
ne prevzamejo od Bézierovih krivulj, saj ni dobro definirana za ploskovni
primer.
4.1.5 Viˇsanje stopnje
TenzorskoBézierovoploskevstopenj(m,n)ˇzelimozapisatikotploskevstopenj
(m+1,n). Torej moramo najti kontrolne točke b (1,0)
i,j , tako, da velja
b m,n (u,v) =
n
j=0
m+1
i=0
b (1,0)
i,j Bm+1
i (u)
B n j
(v). (4.10)
Členi v oklepaju predstavljajo natanko n + 1 primerov viˇsanja stopnje v
krivuljnem primeru. Enačbe reˇsimo z uporabo (3.31):
b (1,0)
i,j = 1− i
bi,j+
m+1
i
m+1 bi−1,j; i = 0,1,...,m+1; j = 0,1,...,n.
(4.11)
Tenzorski ploskvi torej zviˇsamo stopnjo v u-smeri z obravnavanjem stolpcev
kontrolne mreˇze kot Bézierovih poligonov krivulj stopnje m, ter viˇsanja stopnje
vsake od njih.
Viˇsanje stopnje v v-smeri teče povsem analogno, viˇsanje stopenj v obeh
smereh pa lahko izvajamo postopoma, recimo najprej v u, nato pa ˇse v vsmeri,
ali pa obratno. Novo kontrolno mreˇzo lahko najdemo tudi v enem
koraku:
b (1,1)
i,j = i
m+1
1− i
m+1
bi−1,j−1 bi−1,j
bi,j−1 bi,j
j
n+1
1− j
n+1
, (4.12)
za i = 0,1,...,m+1 ter j = 0,1,...,n+1. Novo kontrolno mreˇzo dobimo
iz stare z odsekoma bilinearno interpolacijo.
4.1.6 Odvajanje
V primeru Bézierovih krivulj se je odvajanje preneslo na diferenciranje kontrolnih
točk, podobno pa velja tudi za tenzorske ploskve. Obravnavali bomo

4.1 Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta 55
b0,0
H1,0L
b1,0 b1,0
H1,0L
b2,0 b2,0
Slika 4.3: Viˇsanje stopnje tenzorske Bézierove ploskve.
parcialne odvode na u in v. Parcialni odvod je tangentni vektor na izoparametrično
krivuljo na ploskvi:
∂
∂u bm,n n
m ∂
(u,v) = bi,jB
∂u
m i (u)
B n j (v).
j=0
Izrazvoklepajujeodvisensamoodu, zatolahkouporabimoenačbozaodvod
Bézierove krivulje (3.16):
∂
∂u bm,n (u,v) = m
n m−1
j=0
i=0
i=0
△ 1,0 bi,jB m−1
i (u)B n j (v).
Oznaka △ 1,0 bi,j = bi+1,j − bi,j pomeni, da izvajamo diferenco v smeri u.
Podobno dobimo tudi parcialni odvod tenzorske ploskve na v:
∂
∂v bm,n (u,v) = n
m n−1
i=0
j=0
△ 0,1 bi,jB n−1
j (v)B m i (u).

56 Bézierove ploskve
Spet smo problem za tenzorsko ploskev prevedli na več podproblemov za
Bézierove krivulje: za izračun parcialnega odvoda na u vzamemo vse stolpce
kontrolne mreˇze kot generatorje Bézierovih krivulj, izračunamo njihove odvode
pri parametru u, nato pa izračunane odvode vzamemo za koeficiente
Bézierove krivulje stopnje n, ter izračunamo njeno vrednost pri v.
Z nadaljevanjem postopka pridemo do parcialnih odvodov viˇsjih redov:
kjer velja
∂ r
∂u rbm,n (u,v) =
∂ s
∂v sbm,n (u,v) =
m!
(m−r)!
n!
(n−s)!
n m−r
i=0
j=0
△ r,0 bi,jB m−r
i (u)B n j(v),
j=0 i=0
m n−s
△ 0,s bi,jB n−s
j (v)B m i (u), (4.13)
△ r,0 bi,j = △ r−1,0 bi+1,j −△ r−1,0 bi,j,
△ 0,s bi,j = △ 0,s−1 bi,j+1 −△ 0,s−1 bi,j.
Enostavno izračunamo tudi meˇsane odvode
∂ r+s
∂u r ∂v sbm,n (u,v) =
m!n!
(m−r)!(n−s)!
m−r n−s
i=0
j=0
△ r,s bi,jB m−r
i (u)B n−s
j (v).
(4.14)
Opozoriti je potrebno, da so koeficienti △ r,s bi,j vektorji. Oglejmo si ˇse parcialni
odvod tenzorske Bézierove ploskve preko roba u = 0. Zapiˇsimo enačbo
(4.13) pri u = 0:
∂ r
∂u rbm,n (0,v) = m!
(m−r)!
n
j=0
△ r,0 b0,jB n j
(v). (4.15)
Torej je r-ti parcialni odvod preko roba tenzorske ploskve odvisen samo od
r + 1 stolpcev Bézierovih kontrolnih točk poleg tega roba. Podobno velja
tudi za odvode preko preostalih robov tenzorske ploskve. To bomo uporabili
za izpeljavo pogojev zvezne odvedljivosti med zlepljenimi tenzorskimi
ploskvami.
4.1.7 Pogoji gladkosti
Naj bosta x(u,v) in y(u,v) tenzorski ploskvi, definirani na [uI−1,uI]×
[vJ,vJ+1] ter [uI,uI+1] × [vJ,vJ+1] s kontrolnima mreˇzama {bi,j; 0 ≤ i ≤

4.1 Bézierove ploskve iz tenzorskega produkta 57
m, 0 ≤ j ≤ n} ter {bi,j; m ≤ i ≤ 2m, 0 ≤ j ≤ n}. Na skupnem robu
imata ploskvi iste kontrolne točke, ki določajo skupni rob, ki je polinomska
Bézierova krivulja. Ploskvi sta r-krat zvezno odvedljivi preko skupnega roba
x(uI,v) = y(uI,v), če se na robu ujemajo vsi parcialni odvodi na u do reda
r:
∂r ∂urx(u,v) = u=uI
∂r
∂ury(u,v) . (4.16)
u=uI
Uporabimo enačbo (4.15) za odvode preko roba tenzorske Bézierove ploskve.
Enačbo moramo s pomočjo veriˇznega pravila prevesti iz lokalnih v globalne
koordinate, podobno kot pri sestavljenih krivuljah (enačba (3.61)):
1
△uI−1
r n
△ r,0 bm−r,jB n r n
1
j(v) = △
△uI
r,0 bm,jB n j(v), (4.17)
j=0
kjer je △uI = uI+1−uI. Ker so B n j
koeficiente:
1
△uI−1
r
△ r,0
1
bm−r,j =
△uI
j=0
(v) linearno neodvisni, lahko primerjamo
r
△ r,0 bm,j; j = 0,1,...,n.
To pa so točno C r pogoji (3.61) za Bézierove krivulje, uporabljeni na vseh
n+1 vrsticah kontrolnih točk sestavljene kontrolne mreˇze. Tako smo priˇsli
do pogoja r-kratne zvezne odvedljivosti:
Izrek 15. Sosednji tenzorski Bézierovi ploskvi sta r-krat zvezno odvedljivi
preko skupnega roba natanko takrat, ko so vse vrstice kontrolnih točk njunih
kontrolnih mreˇz kontrolni poligoni odsekoma Bézierovih krivulj tipa C r .
V primeru r = 1 tako dobimo pogoj, da morajo biti za vse j poligoni iz
točk b0,j,b1,j,..., b2m,j kontrolni poligoni odsekoma Bézierove krivulje tipa
C 1 . Zato morajo biti točke bm−1,j,bm,j in bm+1,j kolinearne in v razmerju
(ratio) △uI : △uI+1. Ratio mora biti enak za vse j.
4.1.8 Delitev (subdivizija) tenzorskih ploskev
V primeru krivulj je de Casteljauov algoritem generiral točke, poleg tega
pa je bil uporaben tudi pri delitvi krivulje. Podobno velja tudi v primeru
tenzorskih ploskev. Naj bo definicijsko območje (pravokotnik) tenzorske
Bézierove ploskve z daljico u = û razdeljen v dva pravokotnika. Ta daljica
se preslika v izoparametrično krivuljo na ploskvi, ki tako razdeli ploskev na
dva dela. Radi bi dobili kontrolni mreˇzi podploskev. Ker sta podploskvi del

58 Bézierove ploskve
Slika 4.4: Zvezno odvedljiva sestavljena tenzorska Bézierova ploskev.
globalne Bézierove tenzorske ploskve, sta C n na skupnem robu, torej morajo
vse vrstice kontrolnih točk tvoriti kontrolne poligone odsekoma Bézierovih
krivulj n-te stopnje razreda C n . Te krivulje so med seboj povezane s pogoji
postopka delitve iz krivuljnega primera (razdelek (3.7)).
Torej je algoritem delitve naslednji: vse vrstice kontrolne mreˇze vzamemo
za kontrolne poligone Bézierovih krivulj. Vsako od krivulj razdelimo pri
u = û. Dobljene kontrolne točke tvorijo kontrolni mreˇzi razdeljene ploskve.
Delitevvzdolˇz izoparametrične krivulje v = ˆv potekapodobno; zzaporednim
postopkom delitve vzdolˇz u = û ter v = ˆv pa lahko ploskev razdelimo v
ˇstiri podploskve.

Poglavje 5
Trikotne Bézierove krpe
5.1 Baricentrične koordinate in linearna interpolacija
Baricentrične koordinate je vpeljal F. Moebius leta 1827. Poljubne tri nekolinearnetočkea,b,c
∈ E 2 definirajobaričentričnikoordinatnisistemvravnini.
Vsako točkop ∈ E 2 lahkozapiˇsemo kotbaricentrično kombinacijo točka,b,c
z:
p = ua+vb+wc, u+v +w = 1. (5.1)
Definicija: Koeficiente u := (u,v,w) imenujemo baricentrične koordinate
točke p glede na a,b,c. Pogosto enačimo koordinate točke kar s točko
u. Točke znotraj trikotnika a,b,c imajo pozitivne baricentrične koordinate,
ostale točke pa imajo kakˇsno koordinato negativno.
a
c
p
Slika 5.1: Baricentrične koordinate: trikotnik a,b,c določa koordinatni sistem
v ravnini. Točka p ima baricentrične koordinate (0.3,0.2,0.5), točka r
pa (−0.3,0.5,0.8).
Pri podanih (nekolinearnih) točkah a,b,c in p, lahko s pomočjo Cramer-
59
r
b

60 Trikotne Bézierove krpe
jevega pravila dobimo baricentrične koordinate točke p:
u = pl(p,b,c)
pl(a,b,c)
, v = pl(a,p,c)
pl(a,b,c)
pl(a,b,p)
, w = , (5.2)
pl(a,b,c)
kjer pl(a,b,c) označuje ploˇsčino trikotnika, določenega s točkami a,b,c.
Baricentrične koordinate so afino invariantne. Naj ima točka p baricentrične
koordinate (u,v,w) glede na točke a,b,c. Na točkah a,b,c,p uporabimo
afino preslikavo Φ(x) = Ax + z,A ∈ R 3,3 ,z ∈ R 3 . Upoˇstevamo, da velja
u+v +w = 1 in zapiˇsemo
Φ(p) = Ap+z
= A(ua+vb+wc)+(u+v +w)z
= uAa+vAb+wAc+uz+vz+wz
= uΦa+vΦb+wΦc.
Baricentrične koordinate lahko uporabimo za definicijo linearne interpolacije.
Naj bodo p1,p2,p3 točke v E 3 . Potem vsaka točka oblike:
p = p(u) = p(u,v,w) = up1 +vp2 +wp3, u+v +w = 1 (5.3)
leˇzi v ravnini, ki jo določajo točke p1,p2,p3. To preslikavo E 2 → E 3 imenujemo
linearna interpolacija. Ker je u+v+w = 1, lahko gledamo na u,v,w
kotbaricentričnekoordinatetočkepgledenatočkep1,p2,p3. Podobnolahko
gledamo u,v,w kot baricentrične koordinate točke v E 2 glede na nek trikotnik,
definiran z nekimi točkami a,b,c. Tako na enačbo (5.3) gledamo kot
na preslikavo trikotnika a,b,c ∈ E 2 na trikotnik p1,p2,p3 ∈ E 3 . Trikotnik
a,b,c imenujemo nosilni trikotnik. Ker poloˇzaj in oblika trikotnika (razen
pogoja nekolinearnosti) nista pomembna, je linearna interpolacija afina preslikava.
5.2 De Casteljauov algoritem
De Casteljauov algoritem za trikotne Bézierove krpe (Bézierove trikotnike) je
posploˇsitev standardnega de Casteljauovega algoritma za Bézierove krivulje.
Tako kot algoritem za krivulje, tudi posploˇseni algoritem uporablja ponavljanje
linearnih interpolacij. Namesto kontrolnega poligona imamo kontrolno
mreˇzo, ki je v obliki strukture iz trikotnikov. Kontrolne točke označimo z
bijk, kjer je i+j +k = n in i,j,k ≥ 0; n je stopnja Bézierove krpe. Točke

5.2 De Casteljauov algoritem 61
mreˇze zapiˇsemo v obliki trikotnika in jih označimo na naslednji način: točka
v i-ti vrstici ( i = 0,1,...,n) ima srednji indeks enak i; nato pa z leve proti
desni po vrsti postavljamo prvi indeks od 0 do n−i, preostali indeks pa je
določen z k = n−i−j.
Slika 5.2: Trikotna Bézierova krpa stopnje 3 s kontrolno mreˇzo.
V primeru n = 4 imamo strukturo:
b040
b031 b130
b022 b121 b220
b013 b112 b211 b310
b004 b103 b202 b301 b400
Kontrolno mreˇzo določa dimPn = n+2 1
= (n+1)(n+2) kontrolnih točk.
2 2
Uporabimo multiindeks i := (i,j,k) in točke bijk označimo krajˇse z bi,
velikost multiindeksa pa naj označuje |i| := i + j + k. Standardno bazo
kartezičnega koordinatnega sistema označimo z e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0),
e3 = (0,0,1).
S pomočjo uvedenih oznak zapiˇsimo de Casteljauov algoritem za trikotne
krpe:
de Casteljauov algoritem:
Podana je trikotna struktura kontrolnih točk bi ∈ E 3 , |i| = n, ter točka
(x,y) ∈ E 2 z baricentričnimi koordinatami u = (u,v,w).

62 Trikotne Bézierove krpe
Izračunajmo:
b r i (u) = ubr−1
i+e1 (u)+vbr−1 i+e2 (u)+wbr−1 (u), r = 1,2,...,n; |i| = n−r,
i+e3
kjer je b 0 i (u) = bi. Potem je b n 0
Bézierovi krpi b n .
(5.4)
(u) točkazvrednostjoparametra u na trikotni
Slika 5.3: De Casteljauov algoritem za trikotne Bézierove krpe. Točko na
ploskvi dobimo s ponavljanjem linearnih interpolacij.
Z uporabo lastnosti de Casteljauovega algoritma lahko dokaˇzemo nekaj
lastnosti trikotnih Bézierovih krp.
Afina invariantnost: Trikotne Bézierove krpe so invariantne za afine transformacije.
De Casteljauov algoritem uporablja samo linearne interpolacije;
le-te pa so afine preslikave.
Invariantnost za afine transformacije parametra: V algoritmu nismo
predpostavili kakˇsnega določenega nosilnega trikotnika, glede na katerega so
določene baricentrične koordinate u. Po afini transformaciji nosilnega trikotnika
ostanejo baricentrične koordinate nespremenjene, in dobimo invariantnost
za afino transformacijo parametra.
Lastnost konveksne ovojnice:
Casteljauovem algoritmu izračunani b r i
Če velja 0 ≤ u,v,w ≤ 1, so vsi po de
konveksne kombinacije br−1
i .
Robne krivulje: Robne krivulje za trikotno krpo so določene z robnimi
točkami kontrolne mreˇze (vsaj en indeks je enak 0). Robne krivulje so
Bézierove krivulje, dobljene s standardnim de Casteljauovim algoritmom za
krivulje (za primer v = 0):
b r i (u,0,w) = ubr−1
i+e1 +wbr−1 ; u+w = 1.
i+e3

5.3 Trikotniˇski razcvet 63
5.3 Trikotniˇski razcvet
Podobno kot v primeru Bézierovih krivulj lahko definiramo tudi razcvet
trikotne krpe.
Definicija: Polinom b[u1,u2,...,un], dobljen tako, da na r-tem koraku de
Casteljauovega algoritma(5.4)uporabimoparameterur, imenujemo razcvet
trikotne Bézierove krpe.
Opomba: Argumenti ui so trojice ˇstevil, ki predstavljajo baricentrične koordinate
točk nosilnega trikotnika.
Trikotniˇski razcvet ima enake lastnosti kot razcvet, definiran v razdelku (3.6)
na strani 27, torej je simetrična funkcija svojih parametrov, afina glede na
vse parametre, in velja: b(u) = b[u ].
Izrek 16. Bézierove kontrolne točke lahko izrazimo kot vrednosti razcveta
bi = b[e
1 ,e
2 ,e
3 ], i = (i,j,k), |i| = n. (5.5)
Dokaz: Oglejmo si primer razcveta b[e1,u ]. Torej izvedemo en korakdeCasteljauovegaalgoritmagledenae1,natopanadaljujemozobičajnim
algoritmom glede na u. Po prvem koraku dobimo:
b 1 i(e1) = bi+1,j,k, |i| = n−1.
Dobimo trikotno krpo stopnjo n−1 brez točk oblike: b0,j,k. Podobno lahko
z uporabo e2 in e3 odstranimo tudi druge točke. Tako z i-kratno uporabo
e1, j-kratno uporabo e2 ter k-kratno e3, pridemo do točke bi,j,k.
Tudi vmesne točke, dobljene z de Casteljauovim algoritmom, lahko izrazimo
kot vrednosti razcveta
b r i(u) = b[u ,e
1 ,e
2 ,e
3 ], i+j +k = n−r. (5.6)
S pomočjo razcveta lahko enostavno izrazimo kontrolne točke glede na drugačen
nosilni trikotnik. Naj novi nosilni trikotnik določajo točke f1,f2,f3.
Potem kontrolne točke v spremenjenih baricentričnih koordinatah dobimo z
izračunom vrednosti razcveta
ci = b[f
1 ,f
2 ,f
3 ]. (5.7)
5.4 Bernsteinovi polinomi in trikotne Bézierove
krpe
Bernsteinovi bazni polinomi stopnje n dveh spremenljivk so definirani z
B n i
(u) := n!
i!j!k! ui v j w k ; |i| = n, u = (u,v,w), |u| = 1, (5.8)

64 Trikotne Bézierove krpe
in B n i,j,k
:= 0, če je kakˇsen indeks i,j,k negativen.
Izrek 17. Bernsteinovi polinomi zadoˇsčajo enačbi
B n i
(u) = uBn−1
i−e1 (u)+vBn−1
Dokaz: Izračunajmo enega od členov:
i−e2 (u)+wBn−1 (u), |i| = n. (5.9)
i−e3
uB n−1 (n−1)!
(u) = i−e1 (i−1)!j!k! uiv j w k .
Vsi členi imajo enake stopnje, torej je dovolj videti, da je:
(n−1)! (n−1)! (n−1)!
+ +
(i−1)!j!k! i!(j −1)!k! i!j!(k −1)!
= n!
i!j!k! .
Pomnoˇzimo enačbo z ijk, upoˇstevamo ˇse i+j+k = n, in izrek je dokazan.
Slika 5.4: Nekaj Bernsteinovih baznih polinomov pri n = 4.
Izrek 18. Vmesne točke de Casteljauovega algoritma lahko izrazimo z Bernsteinovimi
polinomi:
b r i(u) =
bi+jB r j(u); |u| = n−r. (5.10)
|j|=r

5.5 Odvodi 65
Opomba: Za r = n dobimo izraz trikotne Bézierove krpe z Bernsteinovimi
polinomi:
b n (u) = b n 0(u) =
bjB n j (u). (5.11)
Dokaz: Uporabimo indukcijo
b r+1
i (u) = ub r i+e1 +vbr i+e2 +wbr i+e3
|j|=n
= u
bi+j+e1B r j(u)+v
bi+j+e2B r j(u)+w
|j|=r
=
|j|=r+1
=
|j|=r+1
|j|=r
|j|=r
(ubi+jB r j−e1 (u)+vbi+jB r j−e2 (u)+wbi+jB r j−e3 (u))
bi+jB r+1
j (u)
bi+j+e3B r j(u)
in izrek je dokazan. V dokazu smo uporabili zapis B r j(u) z Bernsteinovimi
polinomi niˇzje stopnje (5.9).
Opomba: Trikotno Bézierovo krpo lahko izrazimo tudi s pomočjo vmesnih
točk de Casteljauovega algoritma
5.5 Odvodi
b n (u) =
|j|=n−r
b r j (u)Bn−r
j (u), 0 ≤ r ≤ n. (5.12)
Zaradiuporabebaricentričnihkoordinatparcialniodvodinisoprimernoorodje
za ˇstudij gladkosti trikotnih krp. Uporabiti je potrebno smerne odvode.
Definirajmo smerni odvod za trikotne krpe. Naj bosta u1 in u2 točki v
definicijskem območjukrpe. Njunarazlika d = u2−u1 jevektor d = (d,e,f),
kjer za komponente v baricentričnih koordinatah velja d+e+f = 0.
Definicija: Smerni odvod ploskve x(u) v smeri vektorja d je definiran z:
Ddx(u) = dxu(u)+exv(u)+fxw(u). (5.13)
Geometrijska interpretacija smernega odvoda: V definicijskem območju krpe
potegnimo vzporednico vektorju d skozi točko u. Vzporednica se preslika v
krivuljo na krpi, tangentni vektor nanjo v točki x(u) pa je smerni odvod.

66 Trikotne Bézierove krpe
Izračunajmo parcialni odvod Bézierove krpe glede na u:
∂
∂u bn (u) = ∂ n!
∂u i!j!k! uiv j w k bi
= n
|i|=n
|i|=n
= n
|i|=n−1
= n
|i|=n−1
(n−1)!
(i−1)!j!k! ui−1 v j w k bi
(n−1)!
i!j!k! ui v j w k bi+1,j,k
bi+e1B n−1
i (u).
V izpeljavi smo uporabili premik indeksa i − 1 → i. Podobno dobimo ˇse
parcialna odvoda glede na v ter w. Tako dobimo smerni odvod na Bézierovo
krpo
Ddb n (u) = n
[dbi+e1 +ebi+e2 +fbi+e3]B
|i|=n−1
n−1
i (u). (5.14)
Izraz v oglatih oklepajih lahko s pomočjo de Casteljauovega algoritma (5.4)
izrazimo z b1 i , in dobimo:
Ddb n (u) = n
|i|=n−1
b 1 i (d)Bn−1
i (u). (5.15)
Smerni odvod torej dobimo z izvajanjem enega koraka de Casteljauovega
algoritma glede na smerni vektor d, ter n−1 korakov glede na točko u. To
lahko krajˇse zapiˇsemo s pomočjo razcveta:
Ddb n (u) = nb[d,u ]. (5.16)
Z nadaljevanjem opisanega postopka dobimo r-ti odvod Bézierove krpe v
smeri vektorja d
D r d bn (u) =
n!
(n−r)! b[d ,u ]. (5.17)
Tako r-ti odvod Bézierove krpe v smeri vektorja d dobimo z izvajanjem r
korakov de Casteljauovega algoritma glede na d, ter n−r korakov glede na u.
Podobnodobimotudimeˇsanesmerneodvode. Najbostad1 ind2 vektorja
v definicijskem območju Bézierove ploskve b(u). Za r-kratni odvod v smeri
d1, in s-kratni v smeri d2 izračunamo
D r,s
d1,d2 bn (u) =
n!
(n−r −s)! b[d
1 ,d
2 ,u ]. (5.18)

5.5 Odvodi 67
Sedaj r-ti smerni odvod, zapisan v notaciji razcvetov (5.17), zapiˇsimo z
Bernsteinovimi polinomi
D r db n (u) =
n!
(n−r)!
|j|=n−r
b r j(d)B n−r
j (u). (5.19)
Z izvajanjem de Casteljauovega algoritma v drugem vrstnem redu pa dobimo
D r d bn (u) =
n!
b
(n−r)!
|j|=r
n−r
j (u)B r j (d). (5.20)
Enačba (5.20) je analogija enačbe (3.21) za r-ti odvod Bézierove krivulje. Pri
tem so členi b n−r
j (u) v vlogi posploˇsenih diferenc. Podobno je enačba (5.19)
posploˇsitev enačbe (3.17).
V enačbo (5.20) postavimo r = 1. Dobimo
Ddb n (u) = n
b n−1
j (u)B 1 j(d)
|j|=1
= n(db n−1
e1 (u)+ebn−1 (u)+f bn−1 e3 (u)).
Pri tem je lahko vektor d ∈ R2 poljuben. Torej določajo točke bn−1 e1 (u),
bn−1 e2 (u),bn−1(u)
tangentno ravnino na trikotno Bézierovo krpo v točki
e3
bn (u). To je posploˇsitev izraza za določitev tangente na Bézierovo krivuljo.
V posebnem primeru - “robni” Bézierovi kontrolni točki b0,n,0, je tangentna
ravnina določena s kontrolnimi točkami b0,n,0,b0,n−1,1, ter b1,n−1,0. Analogno
velja tudi za ostali “krajiˇsči” kontrolne mreˇze, bn,0,0 ter b0,0,n. Spet vidimo,
da de Casteljauov algoritem računanja točk na krpi z vmesnimi izračuni
prinaˇsa tudi informacije o odvodih.
Oglejmo si ˇse smerne odvode na robu trikotne Bézierove krpe. Vzemimo
robu = 0invektord,kimunivzporeden. Smerniodvodvsmerid,izračunan
v robnih točkah u = 0, je:
D r db n (u) u=0 =
n!
(n−r)!
|i0|=n−r
e2
b r i0 (d)Bn−r
i0 (u) u=0 , (5.21)
kjer je i0 = (0,j,k). Ker je u na robu krpe oblike u = (0,v,w) = (0,v,1−v),
dobimo Bézierovo krivuljo, zapisano v baricentrični obliki. Smerni odvod na
robu krpe je odvisen le od r+1 “vrstic” Bézierovih kontrolnih točk najbliˇzje
robu. Analogno velja tudi za ostala robova. Te rezultate bomo uporabili za
konstrukcijo sestavljenih ploskev.

68 Trikotne Bézierove krpe
5.6 ˇSiritev in delitev
Vzemimo ploskev, sestavljeno iz dveh trikotnih krp. Njuna nosilna trikotnika
naj bosta določena s točkami a,b,c ter b,â,c (glej sliko 5.5). Točko â lahko
izrazimo z baricentričnimi koordinatami glede na točke a,b,c:
â = v1a+v2b+v3c.
Označimo v := (v1,v2,v3), v1 +v2 +v3 = 1.
Slika 5.5: Nosilna trikotnika za ˇsiritev in delitev (v tem primeru bi točka â
leˇzala znotraj trikotnika a,b,c) trikotne Bézierove krpe.
Naj ima Bézierov trikotnik b n nosilni trikotnik a,b,c (v baricentričnih
koordinatah: a = e1,b = e2,c = e3). Bézierova krpa je definirana na
celi ravnini. Zanimajo nas kontrolne točke ci Bézierovega trikotnika b n ,
definiranega nad trikotnikom b,â,c. Uporabimo enačbo (5.7), in dobimo:
ci = b[v ,e
2 ,e
3 ], i+j +k = n. (5.22)
Kontrolne točke ci dobimo kot vmesne točke de Casteljauovega algoritma za
izračun b(v).
Kontrolne točke obeh krp na skupnem robu (u = 0) so enake:
c0,j,k = b[e2 ,e3 ] = b0,j,k; j +k = n.
Dobili smo algoritem za izračun Bézierovih kontrolnih točk razˇsiritve b n
na sosednjo krpo. V tem primeru algoritem ne uporablja konveksnih kombinacij,
temveč odsekoma linearne ekstrapolacije, zato ni stabilen.
Čepajeâznotraj trikotnika a,b,c, dobimo algoritem delitve, ki uporablja

5.7 Odvedljivost 69
Slika 5.6: Delitev: vmesne točke de Casteljauovega algoritma tvorijo kontrolne
mreˇze podkrp trikotne Bézierove krpe. Zaradi boljˇse preglednosti je
označena le ena od kontrolnih podmreˇz.
konveksne kombinacije. Točka b n (v1,v2,v3) razdeli trikotno krpo v tri podkrpe,
katerihkontrolne točke dobimo s pomočjo deCasteljauovega algoritma.
Če v nosilni trikotnik vstavljamo dovolj razprˇseno zaporedje točk, zaporedje
ustreznih kontrolnih mreˇz konvergira proti ploskvi.
5.7 Odvedljivost
Pri krpah, nastalih iz tenzorskega produkta, je preprosto preverjati odvedljivost
na skupnem robu sestavljene krpe: primerjamo parcialne odvode krp na
skupnem robu. Pri trikotnih krpah parcialni odvodi niso primerno orodje,
zato uporabljamo naslednjo posploˇsitev.
Vzemimo dve trikotni krpi, ki sta preslikavi sosednjih nosilnih trikotnikov.
Vsaka premica v domeni, ki seka skupni rob nosilnih trikotnikov, se preslika
v sestavljeno krivuljo v R 3 , ki ima po en del na vsaki krpi.
Če so vse sestavl-
jene krivulje, ki jih dobimo na ta način, r-krat zvezno odvedljive, pravimo,
da je sestavljena krpa r-krat zvezno odvedljiva. Kot smo videli v prejˇsnjem
razdelku, enačba (5.22) podaja pogoj, pri katerem sta sosednji krpi del glob-
alne polinomske ploskve. Uporabimo oznake iz prejˇsnjega razdelka.
Če r
teče med 0 in s ≤ n, dobimo pogoj za s-kratno zvezno odvedljivost med
sosednjima krpama:
ˆb(r,j,k) = b r 0,j,k (v); r = 0,1,...,s. (5.23)

70 Trikotne Bézierove krpe
Enačba (5.23) je potreben in zadosten pogoj za C s - zveznost dveh sosednjih
krp, saj so po (5.21) smerni odvodi krpe preko roba do reda s, odvisni le od
s+1 kontrolnih točk, “vzporednih” le-temu robu.
Pris = 0zenačbo(5.23)dobimo pogojzveznosti -sestavljeni krpi morata
imeti na skupnem robu tudi skupni kontrolni poligon. Bolj zanimiv je primer
s = 1; dobimo pogoj:
ˆb(1,j,k) = v1b1,j,k +v2b0,j+1,k +v3b0,j,k+1.
Vsako kontrolno točko ˆ b(1,j,k) dobimo kot baricentrično kombinacijo točk na
robnih podtrikotnikih kontrolne mreˇze b n , in za vse j+k = n−1 so te baricentrične
kombinacije enake. Torej mora biti vsak par podtrikotnikov kontrolnemreˇze
sskupnim robomna skupnem kontrolnem poligonu, koplanaren,
ter afina preslikava para nosilnih trikotnikov podanih ploskev. Samo koplanarnost
ustreznih podtrikotnikov ni zadosti za C 1 odvedljivost.
5.8 Viˇsanje stopnje trikotne Bézierove krpe
Bézierovo krpo bn lahko zapiˇsemo kot krpo stopnje n+1. Naj bi označujejo
pa nove kontrolne točke. Veljati mora enačba:
začetne, b (1)
i
|i|=n
biB n i
(u) =
|i|=n+1
Izrek 19. Kontrolne točke b (1)
i so podane z
b (1)
i
b (1)
i Bn+1
i (u). (5.24)
= 1
n+1 [ibi−e1 +jbi−e2 +kbi−e3]. (5.25)
Dokaz: Pomnoˇzimo levo stran enačbe (5.24) z u + v + w = 1 in izrazimo
posamezne člene s pomočjo Bernsteinovih polinomov stopnje n + 1. S
primerjavo koeficientov dobimo gornjo enačbo.
Algoritemviˇsanjastopnjesestavljajoodsekomalinearneinterpolacijeoriginalne
kontrolne mreˇze, zato tudi nova kontrolna mreˇza leˇzi v konveksni ovojnici
originalne.
S ponavljanjem postopka viˇsanja stopnje dobimo zaporedje kontrolnih mreˇz,
ki konvergira proti Bézierovi ploskvi.

5.9 Neparametrične krpe 71
Slika 5.7: Zvezno odvedljiva sestavljena Bézierova krpa. Ustrezni pari trikotnikov,
ki jih sestavljajo kontrolne točke ob skupnem robu, morajo biti koplanarni,
ter afine slike nosilnih trikotnikov.
5.9 Neparametrične krpe
Zapiˇsimo funkcijo
v obliki ploskve:
z =
|i|=n
biB n i
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
u i/n
⎢
⎢v⎥
⎢
⎥
⎣w⎦
= ⎢j/n
⎥
⎣k/n⎦
|i|=n
z
Bn i (u).
bi
(u) (5.26)
Abscisne vrednosti točk kontrolne mreˇze so podane kot trojice i.
Gornjo n
enačbo dobimo s pomočjo lastnosti ohranjanja premic za Bernsteinove poli-

72 Trikotne Bézierove krpe
nome (v primeru koordinate u):
u =
|i|=n
i
n Bn i (u).
5.10 Racionalne Bézierove trikotne krpe
Podobno kot v primeru Bézierovih krivulj (razdelek (3.16)), definiramo racionalno
Bézierovo trikotno krpo kot projekcijo Bézierove trikotne krpe
iz E 4 v hiperravnino w = 1. Z idejo dokaza enačbe (3.48) dobimo enačbo za
racionalno Bézierovo krpo stopnje n:
b n (u) =
|i|=n wibiB n i (u)
|i|=n wiB n i
(u) , (5.27)
kjer so wi uteˇzi, povezane s kontrolnimi točkami bi. Če so vse uteˇzi pozitivne,
ima racionalna Bézierova trikotna krpa lastnost konveksne ovojnice
ter invariantnosti za afine preslikave.
Točke na racionalni Bézierovi trikotni krpi lahko izračunamo s pomočjo racionalnega
de Casteljauovega algoritma:
Podani naj bodo trikotniˇska shema kontrolnih točk bi ∈ E3 ,|i| = n, z uteˇzmi
wi, ter točka v nosilnem trikotniku, z baricentričnimi koordinatami u.
Izračunamo
kjer je:
b r uwr−1
i+e1
i (u) = br−1
i+e1 +vwr−1
i+e2br−1 i+e2 +wwr−1
i+e3br−1 i+e3
wr i
w r i = w r i(u) = uw r−1
i+e1 (u)+vwr−1
i+e2 (u)+wwr−1
i+e3 (u),
za r = 1,2,...,n ter |i| = n−r. Začetne vrednosti so b 0 i (u) = bi, w 0 i
Izračunani bn 0 (u) je točka na racionalni Bézierovi trikotni krpi.
, (5.28)
= wi.
Algoritem izpeljemo s pomočjo projekcij vmesnih točk de Casteljauovega
algoritma b r i iz ˇstiri dimenzionalnega prostora, podobno kot v primeru racionalnih
Bézierovih krivulj (razdelek (3.17)). Tudi za racionalne Bézierove
trikotne krpe lahko definiramo uteˇzne točke qi,
qi = wi+e1bi+e1 +wi+e2bi+e2 +wi+e3bi+e3
wi+e1 +wi+e2 +wi+e3
, |i| = n−1.

5.10 Racionalne Bézierove trikotne krpe 73
VprimeruracionalnihBézierovihkrivuljimajouteˇznetočkepomembnovlogo
pri oblikovanju: z določitvijo uteˇznih točk qi so določene tudi uteˇzi wi. V
posploˇsenem primeru racionalnih trikotnih krp pa to presenetljivo ne velja -
ni znan postopek za generiranje uteˇzi na geometrijski način.
q001
q100
b110
q010
b101
b200
Slika 5.8: Pri poljubno izbranih točkah q001,q010,q100 ne moremo najti ustrezne
mnoˇzice uteˇzi {wi}.
Poglejmo si to v primeru n = 2. S pomočjo uteˇzi wi lahko izračunamo
uteˇzne točke ter točko
b020
b011
b002
p = w011b011 +w101b101 +w110b110
,
w011 +w101 +w110
ki leˇzi na presečiˇsču daljic q001,b110, q010,b101 ter q100,b011.
Če pa izberemo uteˇzi qi poljubno, se daljice ne sekajo v isti točki, torej točka
p ne obstaja. Ker iz eksistence uteˇzi sledi obstoj točke p, iz implikacije v
obratno smer sledi, da s poljubno določenimi uteˇznimi točkami ne moremo
najti ustrezne mnoˇzice uteˇzi.
Zapiˇsimo ˇse formulo za smerni odvod Dd racionalne Bézierove trikotne
krpe b n (u). Naj d označuje smerni vektor v nosilnem trikotniku, zapisan v
baricentričnih koordinatah. Definirajmo ˇse
p(u) = w(u)b n (u) =
|i|=n
wibiB n i (u).
S pomočjo postopka iz razdelka (3.17.1) dobimo enačbo
Ddb n (u) = 1
w(u) [Ddp(u)−Ddw(u)·b n (u)]. (5.29)

74 Trikotne Bézierove krpe
S ponavljanjem postopka pridemo do formule za viˇsje smerne odvode
D r d bn (u) = 1
w(u) [Dr d p(u)−
r
j=1
D j
d w(u)Dr−j
d bn (u)]. (5.30)

Poglavje 6
Posploˇsitev Bézierovih krivulj
in razcvet v sploˇsnem
V tem razdelku si bomo ogledali baricentrične koordinate v Rd , definirali
naravno posploˇsitev Bézierovih krivulj (oziroma trikotnih Bézierovih krp) v
poljubno dimenzionalni prostor, ter si ogledali razcvet v sploˇsnem. Razcvet
lahko uporabimo pri ˇstudiju zlepkov, zato si bomo ogledali pogoje gladkosti
med dvema krpama v razcvetni obliki. Ideja je nekoliko nenavadna. Polinomske
izraze posploˇsimo z vpeljavo novih spremenljivk na poseben način in
uporabimo simetrijo v dobljenih izrazih. S tem se kompleksnost problema
poveča, vendar pa nam to lahko poda povsem nov pogled na problem.
Preden definiramo razcvet v sploˇsnem, se spomnimo nekaj pojmov. Naj
bo W vektorski prostor. Funkcija f : W → R je afina, če velja
f =
uif(xi)
i
uixi
za vse xi ∈ W in vse ui ∈ R, za katere velja
i ui = 1 (baricentrične
oz. afine kombinacije). Funkciji pravimo multiafina, če je afina v vseh
svojih argumentih. Funkcija je simetrična, če se pri poljubni permutaciji
argumentov njena vrednost ne spremeni. Naj bo Πn(R m ) prostor polinomov
m-spremenljivk totalne stopnje ≤ n. Za vsak p ∈ Πn(R m ) obstaja enoličen
simetričen n-afini polinom
Bn(p)
x (1) ,x (2) ,...,x (n)
i
, x (i) ∈ R m ,
ki ima diagonalno lastnost
Bn(p) x,...,x = p(x), x ∈ R
n
m .
75

76 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
S tem je definiran Bn(p), razcvet polinoma p.
Primer: Razcvet polinoma
je podan z
B(p2) (u1,v1),(u2,v2) =
p2(x,y) = a0 +a1x+a2y +a3x 2 +a4xy +a5y 2
u1 +u2 v1 +v2 u1v2 +u2v1
a0 +a1 +a2 +a3u1u2 +a4 +a5v1v2.
2 2 2
Razcvetni pristop je nova metoda v teoriji zlepkov, na nekaterih drugih
področjih matematike pa ga ˇze dolgo uporabljamo. Tak primer so kvadratne
in bilinearne forme v linearni algebri. Znano je, da za vsako kvadratno formo
F : W → R na vektorskem prostoru W obstaja enolična simetrična bilinearna
forma f : W × W → R, ki ima lastnost: F(v) = f(v,v), v ∈ W. V
drugih vejah matematike se za razcvet uporablja tudi izraz polarna forma.
Ramshaw ([12]) izraza ni poznal, in je uporabil poimenovanje, kjer je f imenoval
razcvet (blossom) polinoma F. Ideja za to izhaja iz tega, da izraz
razcvet namigujenarazkritjeskritestrukture, kardobroopisuje, kajsezgodi,
ko F pretvorimo v f.
Razcvetni zapis je posebej uporaben v teoriji Bézierovih krivulj, saj omogoča
eleganten zapis in preprosto izpeljavo lastnosti ter uporabo krivulj, kar
smo videli v razdelku 3.6.
Paul de Faget de Casteljau je razcvetni pristop v teoriji zlepkov imenoval
oblikeskozi pole(shapesthroughpoles), Carl deBoorgajeimenoval B-zlepki
brez deljenih diferenc, Lyle Ramshaw pa razcvet.
6.1 Zapis polinoma v razcvetni obliki
Oglejmo si razcvetni pristop bolj natančno. Naj Z+ označuje mnoˇzico nenegativnih
celih ˇstevil, male grˇske črke pa naj označujejo vektorje s komponentami
iz Z+. Uporabljali bomo multiindeksni zapis. Vzemimo vektorja
α = (α1,α2,...,αm) ∈ Z m +, β = (β1,β2,...,βm) ∈ Z m +
ter vektor x = (x1,x2,...,xm) ∈ R m , ter definirajmo
|α| := α1 +α2 +···+αm, α! := α1!·α2! ···αm!, x α := x α1
1 x α2
2 ···x αm
m ,
n
α
:=
n! , 0 ≤ α,|α| ≤ n
α!(n−|α|)!
0, sicer
.

6.1 Zapis polinoma v razcvetni obliki 77
Tu α ≤ β označuje relacijo ≤ po komponentah (αi ≤ βi, ∀i), α < β pa
naj označuje α ≤ β, kjer za vsaj en i velja αi < βi. Posploˇseni binomski
koeficient je definiran z
α
β
:=
m
j=1
αj
βj
, 0 ≤ β ≤ α
0, sicer
Sedaj lahko zapiˇsemo osnovni izrek o razvetu.
Izrek 20. Za vsak polinom več spremenljivk pn ∈ Πn(R m ) totalne stopnje n
obstaja enolična simetrična n-afina funkcija
B(pn) : R m ×R m ×···×R m
→ R,
n
ki ima diagonalno lastnost
B(pn) x,x,...,x = pn(x), x ∈ R
n
m .
Funkcijo B(pn) imenujemo razcvet polinoma pn, polinomu pn pa rečemo
polara polinoma B(pn).
Preden dokaˇzemo izrek, opiˇsimo povezavo med razcvetom polinoma pn in
njegovim zapisom v B-obliki (Bernsteinova, Bézierova, de Boor-ova oblika).
Vpeljimo ˇse nekaj oznak. Naj bodo v (1) ,v (2) ,...,v (m+1) ∈ R m . Konveksna
ovojnica danih točk
T := 〈v (1) ,v (2) ,...,v (m+1) 〉 :=
m+1
i=1
λiv (i) ;
je m-simpleks, če je njen volumen neničeln,
vol〈v (1) ,v (2) ,...,v (m+1) 〉 = 1
1
v
m!
(1)
1 v (2)
. .
1 v (m+1)
1
.
m+1
λi = 1, λi ≥ 0
i=1
1 ... v (1)
m
1 ... v (2)
m
. ..
.
... v (m+1)
m
= 0.
Naj bo T = 〈v (1) ,v (2) ,...,v (m+1) 〉 m-simpleks. Vsakemu x ∈ R m pripadajo
baricentrične koordinate (λ1,λ2,...,λm+1) glede na T,
λi = vol〈v(1) ,v (2) ,...,v (i−1) ,x,v (i+1) ,...,v (m+1) 〉
vol〈v (1) ,v (2) ,...,v (m+1) .
〉

78 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
Vsak polinom pn ∈ Πn(Rm ) totalne stopnje n se da zapisati v B-obliki
pn(x) =
cαBα(λ).
|α|=n
Točke cα so kontrolne točke polinoma pn, polinomi Bα ∈ Πn(Rm ) pa so
Bernsteinovi (Bézierovi, de Boorovi) polinomi,
Bα(λ) = n
α! λα ,
kjer je λ = (λ1,λ2,...,λm+1) baricentrična koordinata točke x. Dobili smo
naravno posploˇsitev Bézierovih krivulj.
Lema 1. Naj bo pn(x) =
|α|=ncαBα(λ) polinom totalne stopnje ≤ n, definiran
glede na m-simpleks〈v (1) ,v (2) ,...,v (m+1) 〉, in naj bo B(pn) njegovrazcvet.
Potem je
cα = B(pn) v (1) ,v (1) ,...,v (1)
,...,v
(m+1) ,...,v (m+1)
, ∀|α| = n,
α1
αm+1
kjer je
Bα(λ) = n
α! λα ,
in je λ = (λ1,λ2,...,λm+1) baricentrična koordinata točke x,
x =
m+1
i=1
λiv (i) ,
m+1
i=1
λi = 1. (6.1)
Lema1pravi, dasoB-koeficienticα polinomapn vrednostinjegovegarazcveta
B(pn) v določenih točkah. Ko je enkrat razcvet polinoma znan, je enostavno
najti B-obliko polinoma pn glede na poljuben m-simpleks.
Dokaz. Najprej bomo uporabili diagonalno lastnost razcveta, nato pa ˇse
lastnosti baricentričnih koordinat (6.1). Tako dobimo
pn(x) = B(pn) x,x,...,x
n
m+1
= λiB(pn) v
i=1
(i)
,x,x,...,x
n−1
m+1 m+1
= λiλjB(pn) v
i=1 j=1
(i) ,v (j)
,x,x,...,x
n−2
= ...
=
B(pn) v (1) ,v (1) ,...,v (1)
,...,v
(m+1) ,...,v (m+1)
Bα(λ).
|α|=n
α1
αm+1

6.1 Zapis polinoma v razcvetni obliki 79
V računu smo uporabili multiafinost in simetričnost razcveta B(pn).
Dokaˇzimo osnovni izrek razcvetnega pristopa, izrek 20.
Dokaz. Najprej si oglejmo primer m = 1. Za elementarne simetrične funkcije
σk(u1,u2,...,un) velja
σk(x,x,...,x ) =
n
n
x
k
k .
Poljuben polinom pn stopnje n lahko izrazimo v obliki
pn(x) =
n
j=0
1
j! Dj pn(0)x j .
Spomočjo elementarnih simetričnih funkcij lahko tako zapiˇsemo razcvet polinoma
pn kot
B(pn) u1,u2,...,un =
n
j=0
D j pn(0)
j!
−1 n
σj(u1,u2,...,un).
j
Definirajmo elementarne simetrične funkcije v več spremenljivkah z
σγ(x (1) ,x (2) ,...,x (n) ) :=
e i 1+e i 2+···+e in=γ
i1,...,in∈{0,1,...,m}
(x (1) ) ei 1 (x (2) ) e i 2 ···(x (n) ) e in
, (6.2)
za γ ∈ Z m + in |γ| ≤ n. Tu je x(i) ∈ R m , e 0 := (0,...,0) ∈ R m , e i , 1 ≤ i ≤ m
pa so standardni enotski vektorji v R m .
Naj bo
∂
D := ,
∂x1
∂
,...,
∂x2
∂
.
∂xm
Vsak polinom pn ∈ Πn(R m ) lahko zapiˇsemo v Taylorjevo vrsto
Razcvet monoma x γ je enak
pn(x) =
|γ|≤n
γ∈Z m +
B(x γ
) x (1) ,x (2) ,...,x (n)
=
1
γ! Dγ pn(0)x γ . (6.3)
−1 n
σγ(x
γ
(1) ,x (2) ,...,x (n) ). (6.4)

80 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
Tako iz (6.3) in (6.4) dobimo razcvet polinoma pn,
B(pn) x (1) ,x (2) ,...,x (n)
=
|γ|≤n
1
γ! Dγ pn(0)
−1 n
γ
S tem je osnovni izrek razcvetnega pristopa dokazan.
Za elementarne simetrične funkcije več spremenljivk (6.2) velja
n
σα(x,...,x) = x
α
α ,
σγ
x (1) ,x (2) ,...,x (n) .
σα(tx (1) ,tx (2) ,...,tx (n) ) = t |α| σα(x (1) ,x (2) ,...,x (n) ), t ∈ R,
σα(x (1) ,x (2) ,...,x (r) ,x (r+1) ,x (r+2) ,...,x (n) )
=
β≤α
σβ(x (1) ,x (2) ,...,x (r) )σα−β(x (r+1) ,x (r+2) ,...,x (n) ).
Za izračun vrednosti razcveta B(pn) v točki x (1) ,x (2) ,...,x (n) lahko
uporabimo modificirani de Casteljauov algoritem. Naj bodo λ k baricentrične
koordinate točke x (k) glede na m-simpleks S. Predpostavimo ˇse, da so znani
B-koeficienti cα, |α| = n, polinoma pn glede na m-simpleks S. Potem je
modificirani de Casteljauov algoritem:
for k = 1,2,...,n
end
for |α| = n−k
end
cα =
m+1
i=1
λ k ic α+e i
print “vrednost B(pn) v točki x (1) ,x (2) ,...,x (n) je enaka c0”.
V posebnem primeru, če so vse točke enake, x (1) = x (2) = ··· = x (n) , modificirani
deCasteljauov algoritempostanestandardni deCasteljauov algoritem.
6.2 Pogoji gladkosti v razcvetni obliki
Za ˇstudij pogojev gladkosti potrebujemo smerne odvode. Smerni odvod
funkcije f v smeri vektorja med točkama A in B, izračunan v x, je definiran

6.2 Pogoji gladkosti v razcvetni obliki 81
z
(DB−Af)(x) := d
f (x+t(B −A))|t=0
dt
∂
= (B −A)· f(x),
∂x1
∂
f(x),...,
∂x2
∂
f(x)
∂xm
Če je y = (y1,y2,...,ym) = B −A, lahko krajˇse zapiˇsemo
Dy := DB−A =
m
i=1
yi
∂
.
∂xi
Za y = v (i) −v (j) ,i = j, bomo uporabljali krajˇso oznako
Vpeljimo notacijo
Dij := D v (i) −v (j), i = j.
Ei(aα) := a(α1,...,αi−1,αi+1,αi+1,...,αm+1),
za priˇstevanje 1 k i-ti komponenti indeksa α = (α1,...,αm+1). Definirajmo
ˇse diferenčni operator
∆ijaα := Eiaα −Ejaα. (6.5)
Lema 2. Naj bo pn(x) =
|α|=n cαBα(λ) polinom v B-obliki glede na msimpleks
〈v (1) ,...,v (m+1) 〉. Za i = j velja
(Dijpn)(x) = n·
|α|=n−1
∆ijcαBα(λ). (6.6)
Dokaz. Ker je x = (x1,x2,...,xm) in v (i) := (vi 1 ,vi 2 ,...,vi m ), velja
Sledi
xk =
m+1
ℓ=1
m+1
(Dijpn)(x) =
λℓx k ℓ, k = 1,2,...,m+1.
k=1
∂
=
∂λi
(v i k −vj
k
− ∂
∂λj
∂
) pn(x)
∂xk
pn(x).
.

82 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
S premikom indeksov v
α1+α2+···+αm+1=n
n!
α1!α2!···αm+1! cα
∂
∂λi
− ∂
λ
∂λj
α1
1 λ α2
2 ···λ αm+1
m+1
dobimo (6.6).
Poglejmo, kako se odvod polinoma pn izraˇza z njegovim razcvetom B(pn).
Lema 3. Naj bo pn ∈ Πn(R m ), in naj bo
B(pn) : R m ×R m ×···×R m
→ R
n
njegov razcvet. Potem je za vsak γ ∈ Z m + , γ-ti odvod pn v točki x podan z
D γ n!
γ
pn(x) = (−1)
(n−|γ|)! η
η≤γ
|γ−η|
·B(pn) x,...,x ,x+e
n−|η|
1 ,...,x+e 1
η1
Dokaz. Naj bo T standardni m-simpleks,
m
T := λie i , λi ≥ 0 ∀i,
i=1
Potem lahko za u ∈ x+T zapiˇsemo
u = x+λ1e 1 +λ2e 2 +···+λme m
.
,...,x+e m ,...,x+e m
ηm
m
λi ≤ 1 . (6.7)
i=1
= λ0x+λ1(x+e 1 )+λ2(x+e 2 )+···+λm(x+e m ),
kjer je λ0 = 1−λ1 −λ2 −···−λm. Polinom pn lahko izrazimo kot
pn(u) =
|α|=n
B(pn) x,...,x
α1
,x+e 1 ,...,x+e 1
,...,x+e m ,...,x+e m
α2
Bα(λ),
αm+1
kjer je λ := (λ0,λ1,...,λm) baricentrična koordinata točke u glede na m-

6.2 Pogoji gladkosti v razcvetni obliki 83
simpleks x+T. Za vsak γ ∈ Z m + velja
n!
(n−|γ|)! ∆γ1
21 ∆γ2
31 ...∆γm
m+1,1 c(n−|γ|,0,...,0)
D γ pn(x) =
n!
γ
= (−1)
(n−|γ|)! η
η≤γ
|γ−η| c(n−|η|,η1,...,ηm)
n!
γ
= (−1)
(n−|γ|)! η
η≤γ
|γ−η|
·B(pn) x,...,x ,x+e
n−|η|
1 ,...,x+e 1
,...,x+e
η1
m ,...,x+e m
,
ηm
kjer smo uporabili lemo 2 in notacijo (6.5).
Zdaj lahko zapiˇsemo pogoje gladkosti za zlepke v več spremenljivkah
v razcvetni obliki. Recimo, da imamo polinoma pn in qn totalne stop-
nje n, ki sta definirana na sosednjih m-simpleksih T1 in T2.
Če je zlepek,
sestavljen iz pn in qn r-krat zvezno odvedljiv, morajo biti določeni pogoji
gladkosti izpolnjeni tudi za razcveta polinomov pn in qn. Naj bo T1 :=
〈v (1) ,v (2) ,...,v (k+1) ,v (k+2) ,...,v (m+1) 〉 in T2 := 〈v (1) ,v (2) ,...,v (k+1) ,u (k+2) ,
u (k+3) ,...,u (m+1) 〉, in naj imata simpleksa T1 in T2 skupni k-simpleks K :=
〈v (1) ,v (2) ,...,v (k+1) 〉. Za r-kratno zvezno odvedljivost mora veljati
D β pn(x) = D β qn(x), ∀|β| ≤ r in ∀x ∈ 〈v (1) ,v (2) ,...,v (k+1) 〉.
Po lemi 3 je ta pogoj izpolnjen natanko tedaj, ko velja
B(pn) x,...,x
n−|β|
,x+e 1 ,...,x+e 1
,...,x+e m ,...,x+e m
β1
= B(qn) x,...,x
n−|β|
βm
,x+e 1 ,...,x+e 1
,...,x+e m ,...,x+e m
β1
βm
(6.8)
za |β| ≤ r in x ∈ 〈v (1) ,v (2) ,...,v (k+1) 〉.
Na m-simpleksu x+T definirajmo polinoma p r in q r preko njunih razcve-
tov
B(pr) w 1 ,w 2 ,...,w r
:= B(pn)
B(qr) w 1 ,w 2 ,...,w r
:= B(qn)
x,...,x
n−r
x,...,x
n−r
,w 1 ,w 2 ,...,w r
,w 1 ,w 2 ,...,w r
,
.

84 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
Izpogoja(6.8)sledi, daimata polinoma p r inq r enake B-koeficiente na x+T,
kjer je T standardni m-simpleks (6.7). To pa pomeni, da sta enaka, zato sledi
B(pn) x,...,x ,w
n−r
1 ,...,w r
= B(qn) x,...,x ,w
n−r
1 ,...,w r
.
ˇSe več, ker lahko vsak x ∈ K zapiˇsemo kot konveksno kombinacijo v (1) ,v (2) ,
...,v (k+1) , dobimo naslednji izrek. Trditev je tudi zadostna.
Izrek 21. Naj bosta pn in qn polinoma, definirana nad m-simpleksoma T1
in T2. Naj velja ˇse F(x) := pn(x) za x ∈ T1 in F(x) := qn(x) za x ∈ T2.
Naj imata T1 in T2 skupni k-simpleks K. Potem je F ∈ C r (T1∪T2) natanko
takrat, ko velja
B(pn) v i1
i2 in−r 1 r
,v ,...,v ,w ,...,w
= B(qn) v i1
i2 in−r 1 r
,v ,...,v ,w ,...,w
za vse w 1 ,w 2 ,...,w r ∈ R m in i1,i2,...,in−r ∈ {1,2,...,k +1}.
Oglejmo si nekaj zanimivih posebnih primerov.
Če je k = 0, torej, če imata T1 in T2 skupno točko v (1) , je F ∈ C r (T1∪T2)
natanko tedaj, ko velja
B(pn) v (1) ,v (1) ,...,v (1)
,w
n−r
1 ,...,w r
= B(qn) v (1) ,v (1) ,...,v (1)
,w
n−r
1 ,...,w r
za vse w 1 ,w 2 ,...,w r ∈ R m .
Če je k = m − 1, imata T1 in T2 skupno (m − 1)-lice K. Vemo, da je
F ∈ Cr (T1 ∪T2) natanko tedaj, ko je
B(pn) x,...,x ,w
n−r
1 ,...,w r
= B(qn) x,...,x
n−r
,w 1 ,...,w r
za vse w 1 ,w 2 ,...,w r ∈ R m in x ∈ 〈v (1) ,v (2) ,...,v (m) 〉. Vemo, da je T2 =
〈u (m+1) ,K〉. Naj bo
Potem je
u (m+1) =
m+1
i=1
λ 0 i v(i) ,
B(qn) x,...,x ,u
n−1
(m+1)
=
m+1
i=1
m+1
i=1
λ 0 i
λ 0 iB(qn)
= 1.
x,...,x ,v
n−1
(i)
.

6.2 Pogoji gladkosti v razcvetni obliki 85
Podobno lahko zapiˇsemo
B(qn) x,...,x
n−r
=
|α|=r
α∈Z m+1
+
=
|α|=r
α∈Z m+1
+
,u (m+1) ,u (m+1) ,...,u (m+1)
r
B(qn) x,...,x ,v
n−r
(1) ,...,v (1)
B(pn)
x,...,x
n−r
α1
Bα(λ
0 )
,...,v (m+1) ,...,v (m+1)
αm+1
,v (1) ,...,v (1)
,...,v (m+1) ,...,v (m+1)
α1
Bα(λ
0 )
αm+1
za vsak x ∈ 〈v (1) ,v (2) ,...,v (m) 〉. Vsak x lahko zapiˇsemo kot konveksno kombinacijo
točk v (1) ,v (2) ,...,v (m) . Tako dobimo
B(qn)
|α|=r
α∈Z m+1
+
=
(6.9)
r
,...,v
(m+1) ,...,v (m+1)
Bα(λ
0 ).
v (i1) ,...,v (in−r) ,u (m+1) ,u (m+1) ,...,u (m+1)
B(pn)
v (i1) ,...,v (in−r) ,v (1) ,...,v (1)
α1
αm+1
Enačba (6.9) je posploˇsitev znanega pogoja za r-kratno zvezno odvedljivost
med dvema polinomoma (5.23), če upoˇstevamo, da so vrednosti razcvetov
B(pn)inB(qn)vtočkahsimpleksovT1 inT2 natančnoB-koeficientipolinomov
pn in qn (lema 1).
Oglejmo si ˇse sploˇsni primer, 0 ≤ k ≤ m−1. Naj bo
u (j) =
m+1
i=1
λ j
i v(i) ,
m+1
i=1
zaj = k+2,k+3,...,m+1. Označimo λ j := (λ j
λ j
i
= 1,
1,λ j
2,...,λ j
m+1). Zaizpeljavo
pogojev gladkosti v razcvetni obliki uporabimo enako idejo kot v prejˇsnjih
primerih.
Izrek 22. Naj bo K := T1 ∩T2 k-simpleks za nek 0 ≤ k ≤ m−1. Potem je

86 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
F ∈ Cr (T1 ∪T2) natanko takrat, ko za vse γ ∈ Z m+1
+ , kjer je |γ| ≤ r, velja
B(qn) v (i1) (in−r) (1) (1)
,...,v ,v ,...,v ,...,v
(k+1) ,...,v (k+1)
,
=
γ1
γk+1
u (k+2) ,...,u (k+2)
,...,u (m+1) ,...,u (m+1)
γk+2
|α(i)|=γi,i=k+2,...,m+1
α(i)∈Z m+1
+
γm+1
Bα(k+2)(λ k+2 )Bα(k+3)(λ k+3 )···Bα(m+1)(λ m+1 )
·B(pn) v (i1) (in−r) (1) (1)
,...,v , v ,...,v
α k+2
1 +αk+3
1 +···+αm+1 1
,..., v (m+1) ,...,v (m+1)
α k+2
m+1 +αk+3
m+1 +···+αm+1 m+1
za i1,i2,...,in−r ∈ {1,2,...,k + 1}, kjer je α(j) = (α j
1 ,αj 2 ,...,αj m+1 ) za
j = k +2,k +3,...,m+1.
Pogojegladkostilahkozapiˇsemoˇseboljsploˇsno, zapoljubenparrazcvetov
BT,BT ′ nad simpleksoma T,T′ ∈ △. Čeprav simpleksa nista sosednja, mora
med razcvetoma veljati določena zveza.
Potrebujemo dodatne oznake. Naj bo ¯ V mnoˇzica točk dane simpleksne
particije △. Fiksirajmo m-simpleks T0, definirajmo L0(T0) := {T0} in naj
bo L1(T0) mnoˇzica vseh m-simpleksov particije △, različnih od T0, ki imajo
neprazen presek s T0,
L1(T0) := {T ∈ △, T ∩T0 = ∅}\L0(T0).
Podobno za 1 ≤ k ≤ r0 induktivno definirajmo
Lk(T0) := {T ∈ △, T ∩T0 = ∅ za nek T ′ ∈ Lk−1(T0)}\Lk−1(T0),
kjer je r0 := ⌊n/(n − r)⌋. Potem za vsak Tk ∈ Lk(T0) obstaja veriga msimpleksov
T1,...,Tk−1, tako, da velja Ti ∈ Li(T0), i = 1,2,...,k in Ti ∩
Ti+1 = ∅, i = 1,2,...,k − 1. Očitno je T0 ∩ T1 = ∅, zato ta veriga msimpleksov
povezuje T0 in Tk.
Zdaj lahko zapiˇsemo karakterizacijski izrek za zlepke v S r n(△).
Izrek 23. Naj bo s ∈ Sr n (△) in naj bo BT razcvet za s|T,∀T ∈ △. Potem za
vsak Tk ∈ Lk(T),1 ≤ k ≤ r0, razcveta BT in BTk zadoˇsčata pogojem gladkosti
na k-tem kolobarju
1,1 1,n−r k,1 k,n−r 1 n−k(n−r)
v ,...,v ,...,v ,...,v ,x ,...,x
BT
= BTk
v 1,1 ,...,v 1,n−r ,...,v k,1 ,...,v k,n−r ,x 1 ,...,x n−k(n−r)

6.2 Pogoji gladkosti v razcvetni obliki 87
za vse v i,1 ,v i,2 ,...,v i,n−r ∈ Ti−1 ∩ Ti ∩ ¯ V, i = 1,2,...,k, za vse x 1 ,x 2 ,...,
x n−k(n−r) ∈ R m , in za poljubno izbiro verig {T0,T1,...,Tk}, ki povezujejo
T0 := T in Tk.
Velja tudi obrat, če odsekoma polinomska funkcija s, s|Ti ∈ Πn(R m ),
zadoˇsča pogojem gladkosti na k-tem kolobarju za 1 ≤ k ≤ r0, je s ∈ S r n(△).
Dokaz. Vzemimo T1 ∈ L1(T0). Po izreku 21 morajo biti izpolnjeni pogoji
gladkosti
1,1 1,n−r 1 r
v ,...,v ,w ,...,w
1,1 1,n−r 1 r
= BT1 v ,...,v ,w ,...,w
BT0
za vse v 1,1 ,v 1,2 ,...,v 1,n−r ∈ T0 ∩T1 ∩ ¯ V inw 1 ,w 2 ,...,w r ∈ R m . Zasimpleks
T2 ∈ L2(T0), za katerega velja T1 ∩ T2 = ∅, velja
BT1
1,1 1,n−r 2,1 2,n−r 1 r−(n−r)
v ,...,v ,v ,...,v ,w ,...,w =
1,1 1,n−r 2,1 2,n−r 1 r−(n−r)
v ,...,v ,v ,...,v ,w ,...,w
BT2
za vse v 2,1 ,v 2,2 ,...,v 2,n−r ∈ T1 ∩T2 ∩ ¯ V in w 1 ,w 2 ,...,w r−(n−r) ∈ R m . Tako
dobimo pogoj
1,1 1,n−r 2,1 2,n−r 1 r−(n−r)
BT0 v ,...,v ,v ,...,v ,w ,...,w =
1,1 1,n−r 2,1 2,n−r 1 r−(n−r)
v ,...,v ,v ,...,v ,w ,...,w .
BT2
Za sploˇsni primer nadaljujemo gornji razmislek s pomočjo indukcije.
Dokaˇzimo ˇse obrat. Naj bo s, s|Ti ∈ Πn(R m ), odsekoma polinomska
funkcija nad △, ki zadoˇsča pogojem gladkosti na vseh k-kolobarjih, k =
1,2,...,r0. Potem s zadoˇsča tudi pogojem gladkosti na prvem kolobarju, to
pa so natanko pogoji gladkosti v razcvetni obliki iz izreka 21. Torej velja
s ∈ S r n (△).
Primer: Oglejmo si primer m = 1. Naj bo △ = {v (i) : v (i) < v (i+1) ∀i}. Za
zlepek s ∈ S n−1
n (△) naj bo Bi razcvet za s| [v (i) ,v (i+1) ] za vsak i. Potem velja
Bi
(i+1) (i+2) (i+k)
v ,v ,...,v ,w1,w2,...,wn−k =
(i+1) (i+2) (i+k)
Bi+k v ,v ,...,v ,w1,w2,...,wn−k
za vse w1,w2,...,wn−k ∈ R in 1 ≤ k ≤ n. Ta pristop ima pomembno vlogo
pri konstrukciji zlepkov in se precej razlikuje od klasičnega, ki uporablja za
bazo B-zlepke.
Primer: Naj bo m = 2 in naj bo △ triangulacija tipa 1 (glej sliko 6.1). Za
zlepek s ∈ S 2 4 (△) naj bodo BT1,BT2,BT3 razcveti za s|T1,s|T2,s|T3, kjer so
T1,T2,T3 označeni na sliki 6.1. Potem velja
BT1(x,y,u,v) = BT2(x,y,u,v), in BT1(y,y,v,v)= BT3(y,y,v,v).
Pri tem niti trikotnika T1 in T2, niti T1 in T3 nista sosednja.

88 Posploˇsitev Bézierovih krivulj in razcvet v sploˇsnem
Slika 6.1: Pogoji gladkosti nad triangulacijo tipa 1.

Literatura
[1] C.deBoor,B-formbasics, inG.Farin(ed.), GeometricModeling, SIAM,
Philadelphia, 1997, 131–148.
[2] C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Revised Edition, Springer-
Verlag, New York, 2001.
[3] C. de Boor, K. Höllig, B-splines without divided differences, in: G. E.
Farin, ed., Geometric Modeling: Algorithms and New Trends, SIAM,
Philadelphia, PA, 21–27.
[4] T. DeRose, R. Goldman, A tutorial introduction to blossoming, In H.
Hagen and D. Roller (eds.), Geometric Modeling, Springer, 1991.
[5] G. Farin, editor, Geometric Modeling - algorithms and new trends,
SIAM, Philadelphia, 1987.
[6] G. Farin, Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design,
Academic Press, Inc., 2002.
[7] G. Farin, J. Hoschek & M.-S. Kim, editors, Handbook of Computer
Aided Geometric Design, Elsevier Science (North Holland), 2002.
[8] F. Kriˇzanič, Linearna algebra in linearna analiza, DZS d.d., 1993.
[9] J. Lane, R. Riesenfeld, A theoretical development for the computer generation
and display of piecewise polynomial surfaces. IEEE Trans. Pattern
Analysis Machine Intell., 2(1): 35-46, 1980.
[10] E. Lee, A note on blossoming, CAGD, 6(4), 1989, pp. 359–362.
[11] L. Piegl, W. Tiller, The NURBS book, Springer, Berlin, 1995.
[12] L. Ramshaw, Blossoms arepolar forms, CAGD, 6(4), 1989, pp. 323–359.
[13] T. W. Sederberg, Computer aided geometric design, course notes, 2009.
89

90 LITERATURA
[14] L. L. Schumaker, M-J. Lai, Spline functions on triangulations, Encyclopedia
of mathematics and its applications, Cambridge University Press,
2007.