Zadania przygotowawcze na konkurs matematyczny „EUKLIDES”

Zadania przygotowawcze na konkurs matematyczny „EUKLIDES”
Zad.1. Punkty A = (1;2), B = (-1;-1), C = (5;2) są wierzchołkami trójkąta.
a) Napisz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.
b) Wyznacz współrzędne punktu D tak , aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.
Zad.2. Cięciwą okręgu o równaniu x 2 + y 2 + 4x - 2y - 20 = 0 jest odcinek AB zawarty w prostej
o równaniu x + y - 6 = 0. Oblicz pole trójkąta ABO, gdzie O jest środkiem okręgu.
Zad.3. Leśna szkółka doświadczalna ma kształt prostokąta, którego przekątna jest o 1 m dłuŜsza od
dłuŜszego boku prostokąta. Gdyby powiększyć o 3m kaŜdy wymiar tego prostokąta, to przekątna
zwiększyłaby się o 4m. Oblicz wymiary szkółki.
Zad.4. Cena towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest równa 85,60 zł. Podatek VAT na ten towar
podniesiono do 22%. Oblicz o ile procent wzrosła cena tego towaru?
Zad.5. Sadownik miał posadzić 200 drzewek owocowych w określonym terminie. Sadząc kaŜdego dnia
o 5 drzewek więcej niŜ było przewidziane w planie, sadzenie zakończył na dwa dni przed terminem. Ile
dni trwało sadzenie drzew?
Zad.6. Jednokierunkowa droga o szerokości 8 m prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu ma
3 2
kształt zbliŜony do łuku paraboli o równaniu y = − x + 6 . Sprawdź, wykonując odpowiednie
8
obliczenia, czy cięŜarówka wioząca prostopadłościenny kontener o szerokości 4,8 metra, moŜe
przejechać tym tunelem, jeŜeli najwyŜszy punkt kontenera znajduje się znajduję się 4 metry nad drogą.
Zad.7. Samolot, którego prędkość własna jest równa 900km/h, leci 5500km z wiatrem i 4500km pod
wiatr, wiejący z taką samą prędkością. Czasy obu przelotów są jednakowe. Jaka jest prędkość wiatru?
Zad.8. Pole rombu jest równe 60 cm 2 . DłuŜsza przekątna rombu podzieliła kąt ostry na takie dwa kąty o
8
mierze α , Ŝe tg α = . Oblicz długość boku rombu.
15
Zad.9. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (1, 4).
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale wynosi −5.
Przedstaw wzór funkcji f w postaci iloczynowej. RozwiąŜ nierówność f ( x)
< 0 .
Zad.10. W trójkącie równoramiennym podstawa AB ma długość 8cm. Promień okręgu, stycznego w
punktach A i B do prostych zawierających ramiona AC i BC trójkąta, ma długość 5cm. Oblicz pole
trójkąta ABC.
Zad.11. Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Trzecia liczba jest większa od pierwszej o 9, a druga
jest większa od czwartej o 18. Wyznacz ten ciąg.
Zad.12. Cenę pewnego towaru podwyŜszono o 20%, a następnie obniŜono do początkowej wartości.
O jaki procent obniŜono cenę?
164 2 166
2 ⋅ 6 − 2
Zad.13. WyraŜenie przedstaw w postaci potęgi liczby 2.
− 23 48
2 ⋅ 2

Przyjmując, Ŝe 2 1000
10 ≈ zapisz przybliŜenie otrzymanej liczby w postaci
k ∈ C .
k
a 10
⋅ , gdzie a ∈< 1,
10)
,
Zad.14. Punkty A = (0, 3) i B = (4, 5) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym
BC
AB = . Wysokość BD trójkąta zawiera się w prostej o równaniu 3x − y − 7 = 0. Oblicz:
Współrzędne wierzchołka C.
Pole trójkąta ABC.
Zad.15. W wycinek koła o promieniu 3 dm wpisano okrąg o promieniu 1 dm. Oblicz pole wycinka koła.
Wynik podaj z dokładnością do 10 cm 2 .
Zad.16. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby −6 oraz 1. Oblicz wartość wyraŜenia
3⋅
f ( 94)
.
f ( −24)
Zad.17. Z kwadratu odcięto ćwiartkę koła o promieniu równym długości boku kwadratu. Następnie
w pozostałą figurę wpisano koło, którego pole jest równe π . Oblicz długość boku kwadratu. Wynik
przedstaw w postaci a + b c , gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi.
Zad.18. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (−2, −3), i B = (10, 3).
Zad.19. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Najkrótszy bok ma długość
6 cm. Oblicz:
a) Pole tego trójkąta.
b) Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie.
c) Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Zad.20. Oblicz:
a) 6 − 4 2 + 6 + 4 2 =
b) 9 − 4 5 − 9 + 4 5 =
3
3
c) 20 −14
2 + 20 + 14 2 =
Zad.21. Właściciel drukarni zaopatruje się w papier w odległych o 250 km zakładach papierniczych lub
w oddalonej o 20 km hurtowni. U producenta cena jednej ryzy papieru wynosi 20 zł, a w hurtowni jest
o 30% wyŜsza. Zakupiony papier przywozi do drukarni firma transportowa, która pobiera opłatę
w wysokości 1 zł 60 gr. za kilometr ( niezaleŜnie od wielkości ładunku). Niech KP(n), KH(n) oznaczają
całkowite koszty zakupu n ryz.
a) Podaj wzory funkcji KP(n) oraz KH(n).
b) Przy jakiej liczbie ryz korzystniej dla właściciela drukarni jest zaopatrywać siew papier u
producenta?
Zad.22. Punkty A = (1, 2), B = (_1, 0), C = (2, –2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Napisz równanie
prostej zawierającą wysokość poprowadzoną z wierzchołka C.
Zad.23. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC = BC dane są: A = (−3, 2), E = (1, 0),
gdzie punkt E jest środkiem boku AB, oraz równanie prostej, w której zawarty jest bok BC: y = −x + 7.
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta oraz jego pole.