Przykładowe zadania na konkurs „Euklides”
Przykładowe zadania na konkurs „Euklides”
Przykładowe zadania na konkurs „Euklides”
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Przykładowe</strong> <strong>zadania</strong> <strong>na</strong> <strong>konkurs</strong> <strong>„Euklides”</strong><br />
1. Wyz<strong>na</strong>cz wszystkie liczby całkowite, które spełniają każdą z dwóch nierówności:<br />
2 x - 17 ,<br />
4 -<br />
> x<br />
0, 75 - ( -1,<br />
75)<br />
i x + 2 - 0,8(3x + 6) < 0 .<br />
2. Proste o rów<strong>na</strong>niach y = ax + b i y = bx + a + 1 przeci<strong>na</strong>ją się w punkcie<br />
A = (2;3). Wyz<strong>na</strong>cz punkty przecięcia tych prostych z osią OX.<br />
3. Jeśli pewną liczbę podzielimy przez 3 i do ilorazu dodamy dzielną i dzielnik, to otrzymamy 163. Jaka to liczba ?<br />
4. Punkty A = (1;2), B = (-1;-1), C = (5;2) są wierzchołkami trójkąta.<br />
a) Napisz rów<strong>na</strong>nie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A.<br />
b) Wyz<strong>na</strong>cz współrzędne punktu D tak , aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.<br />
5. Na statku pewnego kapita<strong>na</strong> było 31 mary<strong>na</strong>rzy o średniej wieku 23 lata. Jeśli doliczy się wiek kapita<strong>na</strong>, to średnia wieku<br />
załogi wzrośnie do 24 lat. Ile lat miał kapitan?<br />
6. Sprawdź równość:<br />
2 + 3× 2 + 2 + 3 × 2 + 2 + 2+ 3 × 2- 2 + 2 + 3 = 1.<br />
7. Jedno z rozwiązań rów<strong>na</strong>nia: acx 2 + (a - bc)x -b =0 z niewiadomą x jest równe 4. Liczby: a, b, c tworzą ciąg<br />
arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Z<strong>na</strong>jdź drugie rozwiązanie rów<strong>na</strong>nia.<br />
8. Cięciwą okręgu o rów<strong>na</strong>niu x 2 + y 2 + 4x - 2y - 20 = 0 jest odcinek AB zawarty w prostej o rów<strong>na</strong>niu<br />
x + y - 6 = 0. Oblicz pole trójkąta ABO, gdzie O jest środkiem okręgu.<br />
9. Z<strong>na</strong>jdź wszystkie liczby dwucyfrowe takie, że po wpisaniu liczby 5 między cyfry każdej z nich otrzymujemy liczbę 11 razy<br />
większą.<br />
10. Wykaż, że jeżeli a > 0, to a +<br />
1<br />
a<br />
³ 2 .<br />
11. Dla jakich liczb całkowitych a i b funkcje y = 2x + b i y = ax + 3 mają to samo miejsce zerowe.<br />
12. Oblicz wartość wyrażenia:( 3 5 3 5 )<br />
2<br />
- + + .<br />
13. Pan Bak jest właścicielem 200 akcji Rako i Lizy. Pewnego dnia zysk <strong>na</strong> jednej akcji Rako wynosił 1 zł., a <strong>na</strong><br />
jednej akcji Lizy - 2 zł. Pan Bak obliczył, że w tym dniu miałby o 40 zł. Większy zysk, gdyby był właścicielem<br />
tylu akcji Rako, ile miał Lizy, a Lizy tyle, ile - Rako. Ile akcji każdej firmy posiadał pan Bak ?<br />
3<br />
5<br />
2<br />
14. Sprawdź, prawdziwość wyrażenia:<br />
+<br />
=<br />
5 - 2 7 + 2 7 - 5<br />
15. Na egzaminie z matematyki 15% liczby osób egzaminowanych nie rozwiązało ani jednego <strong>zadania</strong>,<br />
144 rozwiązały <strong>zadania</strong> ale popełniły przy tym różnego rodzaju błędy. Liczba osób, które rozwiązały <strong>zadania</strong><br />
bezbłędnie jest1 2<br />
razy większa od liczby osób, które nie rozwiązały ani jednego <strong>zadania</strong>.<br />
3<br />
Ile osób brało udział w tym egzaminie?<br />
16. Jeżeli kwadrat pewnej liczby <strong>na</strong>turalnej dwucyfrowej podzielimy przez połowę tej liczby i dodamy 36, a<br />
otrzymaną sumę podzielimy przez 2, to otrzymamy liczbę utworzoną z tych samych cyfr, lecz ustawionych w<br />
odwrotnej kolejności. Z<strong>na</strong>jdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że cyfra dziesiątek jest dwa razy większa od różnicy obu<br />
cyfr.<br />
17. Dane są okręgi o( O 1, 4) , o( O 2 , 1)<br />
styczne wewnętrznie. Narysuj okręg styczny wewnętrznie<br />
do okręgu o promieniu 4 zaś zewnętrznie do okręgu o promieniu 1. Jaką liczbą może być promień poszukiwanego<br />
okręgu?<br />
18. Sporządź wykres funkcji: y = x - 2 - 3 .<br />
Dla jakich wartości parametru m rów<strong>na</strong>nie x m<br />
- - =<br />
2 3 posiada trzy różne rozwiązania.<br />
19. Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb <strong>na</strong>turalnych, które przy dzieleniu przez 11 dają resztę 7.<br />
20. Leś<strong>na</strong> szkółka doświadczal<strong>na</strong> ma kształt prostokąta, którego przekąt<strong>na</strong> jest o 1 m dłuższa od dłuższego boku<br />
prostokąta. Gdyby powiększyć o 3m każdy wymiar tego prostokąta, to przekąt<strong>na</strong> zwiększyłaby się o 4m. Oblicz<br />
wymiary szkółki.<br />
21. Oto rozkład jazdy autobusu szkolnego z miejscowości A do D:
7<br />
Wyjazd autobusu z miejscowości A<br />
20 - 7 30 Postój w miejscowości B<br />
7 30 - 7 45 Przejazd z B do C<br />
7 45 - 7 50 Postój w miejscowości C<br />
8 00<br />
Dotarcie autobusu do miejscowości D<br />
a) przedstaw <strong>na</strong> układzie współrzędnych zależność drogi od czasu jazdy autobusu wiedząc, że z A<br />
do B jest 15 km, z B do C 12 km, a z C do D autobus jedzie z prędkością 60 km/h<br />
b) oblicz prędkość autobusu <strong>na</strong> trasie z A do B<br />
c) jaką odległość poko<strong>na</strong>ł autobus <strong>na</strong> całej trasie?<br />
22. Ce<strong>na</strong> towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest rów<strong>na</strong> 85,60 zł. Podatek VAT <strong>na</strong> ten towar podniesiono do 22%.<br />
Oblicz o ile procent wzrosła ce<strong>na</strong> tego towaru?<br />
23. Dane są dwa okręgi. Środkiem pierwszego okręgu jest punkt O = (-2,4) a promień ma długość 5. Drugi okrąg<br />
dany jest rów<strong>na</strong>niem x 2 + y 2 - 2x - 8y + 16 = 0. Zbadaj rachunkowo wzajemne położenie tych okręgów.<br />
Sporządź odpowiedni rysunek.<br />
24. Wykaż, że liczby 3<br />
1<br />
2 są liczbami przeciwnymi.<br />
7 00<br />
+<br />
5 - 2<br />
i<br />
3 + 2 5 - 3<br />
25. Oblicz pole trapezu równoramiennego opisanego <strong>na</strong> okręgu o promieniu r = 2 cm wiedząc, że ramię tego trapezu<br />
ma 6cm.<br />
26. Pod budowę domu <strong>na</strong>leżało wykopać 8000 m 3 ziemi. Praca została wyko<strong>na</strong><strong>na</strong> <strong>na</strong> 8 dni przed terminem, gdyż<br />
robotnicy przekraczali każdego dnia plan wydobycia ziemi o 50 m 3 ziemi. Ile dni zaplanowano <strong>na</strong> wyko<strong>na</strong>nie tej<br />
pracy?<br />
27. Po dwukrotnej obniżce ceny, za każdym razem o ten sam procent, telewizor kosztuje 810 zł. Przed obniżką<br />
kosztował 1000zł. O jaki procent dokonywano każdorazowo obniżki ceny telewizora?<br />
2 1 5 + 2<br />
28. Wykaż, że liczby - i są liczbami odwrotnymi.<br />
5 - 3 3 - 2 3<br />
29. Dane są dwa okręgi. Środkiem pierwszego okręgu jest punkt O = (1,-3) a promień ma długość 4. Drugi okrąg<br />
dany jest rów<strong>na</strong>niem x 2 + y 2 - 6x - 4y + 4 = 0. Zbadaj rachunkowo wzajemne położenie tych okręgów. Sporządź<br />
odpowiedni rysunek.<br />
30. Pole trapezu równoramiennego opisanego <strong>na</strong> okręgu jest równe 96 cm 2 . Ramię trapezu ma długość<br />
12 cm. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trapez.<br />
31. Ce<strong>na</strong> towaru wraz z 7% podatkiem VAT jest rów<strong>na</strong> 53,50 zł. Podatek VAT <strong>na</strong> ten towar podniesiono do 22%.<br />
Oblicz o ile procent wzrosła ce<strong>na</strong> tego towaru?<br />
32. Górnośląski węgiel kamienny pozostawia po spaleniu 12% popiołu, a węgiel dąbrowiecki 22%. Oblicz, ile<br />
procent popiołu pozostanie po spaleniu mieszanki, w której stosunek wagowy węgla górnośląskiego do<br />
dąbrowieckiego jest równy 1 : 3.<br />
33. Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 8cm i 10 cm wiedząc, że przekątne tego trapezu<br />
przeci<strong>na</strong>ją się pod kątem prostym.<br />
2 2<br />
34. Rozwiąż nierówność: x - 6x+ 9 + x £ 10 .<br />
35. Dla jakiej wartości parametru m punkt przecięcia się prostych: x - 2y = m + 4 i x + y = 2m - 3 <strong>na</strong>leży do prostej<br />
x - y + 4 = 0<br />
36. Wykaż, że trójkąty ABC i A’B’C’ są przystające jeżeli środkowa CD w trójkącie ABC jest rów<strong>na</strong> środkowej<br />
C’D’ w trójkącie A’B’C’, a kąty DCB i D’C’B’ oraz CDA i C’D’A’ są odpowiednio przystające.<br />
37. Kasia i Wojtek, świeżo poślubieni mieszkańcy Trójmiasta, postanowili mieć czwórkę dzieci. Kasi marzą się trzej<br />
chłopcy i jed<strong>na</strong> dziewczynka zaś Wojtkowi dwie dziewczynki i dwóch chłopców. Wiedząc, że w Trójmieście <strong>na</strong><br />
1000 niemowląt rodzi się średnio 520 chłopców, oceń czyje marzenie ma większą szansę <strong>na</strong> spełnienie.<br />
38. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji 2x - 3y = 2 i 3x + 2y = -10<br />
oraz osią OX.<br />
39. W klasie jest 48 uczniów. Z nich: 31,25% uprawiało tylko koszykówkę, 56 1<br />
% tylko siatkówkę, reszta nie<br />
uprawiała żadnej gry w piłkę. Ilu uczniów było w każdej grupie, jeżeli 5 uczniów uprawiało oba sporty?<br />
40. Z<strong>na</strong>jdź m, jeżeli prosta przechodząca przez punkty: (4;1) i (m;2) ma współczynnik kierunkowy 1<br />
3 .<br />
41. Oblicz miary kątów AOB i BOC wiedząc, że ich suma ma wartość 210 o , a przedłużenie półprostej OA dzieli kąt<br />
BOC <strong>na</strong> połowy.<br />
42. Wyko<strong>na</strong>j działania: AÈB, AÇB, A-B, B-A gdy: A = {x: xÎR Ù x - 2<br />
4 3 2 1 }<br />
i B = {x: xÎR Ù 4x - (1 - x)(x + 1)< (x+3) 2 }<br />
4<br />
x - £ x + -<br />
4
43. Sadownik miał posadzić 200 drzewek owocowych w określonym terminie. Sadząc każdego dnia o 5 drzewek<br />
więcej niż było przewidziane w planie, sadzenie zakończył <strong>na</strong> dwa dni przed terminem. Ile dni trwało sadzenie<br />
drzew?<br />
44. Z <strong>na</strong>pełnionego cieczą <strong>na</strong>czynia o pojemności 102 dm 3 wypływa w pierwszej minucie 5 dm 3 cieczy,<br />
a w każdej <strong>na</strong>stępnej o 250 cm 3 mniej niż w poprzedniej. Po ilu minutach <strong>na</strong>czynie będzie opróżnione do połowy?<br />
45. Rozwiąż rów<strong>na</strong>nia: a ) 22 - x - 10 - x = 2<br />
b)<br />
x - 4 + 4<br />
x - 8 -<br />
x - 7 + 2<br />
x - 8 = 1<br />
46. Sprawdź , czy liczba 6 + 2 5 - 9 - 4 5 jest wymier<strong>na</strong>?<br />
47. Ojciec postanowił podzielić swój majątek między synów. Najstarszy syn dostał 1 tysiąc<br />
1 1<br />
i pozostałej części majątku. Drugi dostał 2 tysiące i pozostałego majątku, i tak dalej,<br />
10<br />
10<br />
aż rozdzielił majątek pomiędzy wszystkich synów. Po takim podziale okazało się,<br />
że każdy z synów otrzymał taką samą kwotę. Ilu było synów i jaką kwotę rozdzielił ojciec?<br />
48. Wyz<strong>na</strong>cz liczbę jaką moż<strong>na</strong> wstawić w miejsce a, aby liczba x była wymier<strong>na</strong>, jeśli:<br />
3 1<br />
.<br />
x = -<br />
+ 2 a - 1<br />
2 3 - 8 4 + 2 3<br />
49. Dany jest wierzchołek A = (0,-3) trójkąta ABC oraz środki D = (2, 3) i E = (-1,2) odpowiednio boków AB oraz<br />
AC. Sprawdź rachunkowo, czy kąt <strong>na</strong>chylenia boku BC do osi OX jest ostry, czy rozwarty?<br />
2 ìy<br />
= x - 4 x - 5<br />
50. Rozwiąż graficznie układ rów<strong>na</strong>ń í<br />
.<br />
îy<br />
= x - 5<br />
51. Statek wycieczkowy, płynąc z prądem rzeki, pokonuje trasę z miasta A do miasta B w ciągu dwóch godzin,<br />
<strong>na</strong>tomiast z powrotem płynie o pół godziny dłużej. Ile czasu będzie płynąć tratwa z miasta A do miasta B?<br />
52. Dla jakich wartości m wykres funkcji f(x) = (0,25m-3)x + 2m - 1<br />
a) przeci<strong>na</strong> oś rzędnych powyżej osi OX<br />
b) ma miejsce zerowe równe (-3)<br />
æ 2 ö<br />
c) jest równoległy do wykresu funkcji y = ç m -1÷<br />
x + 7<br />
è 3 ø<br />
53. Zapisz funkcję kwadratową w postaci ogólnej wiedząc, że jej miejscem zerowym jest 3 oraz przyjmuje wartość<br />
<strong>na</strong>jwiększą równą 12 dla argumentu 1.<br />
3 2<br />
1<br />
54. Wyz<strong>na</strong>cz dziedzinę funkcji: f ( x)<br />
= x - 8x<br />
- 2x<br />
+ 16 - .<br />
2<br />
16 - x<br />
55. Podstawy trapezu równoramiennego są równe 6cm i 10 cm. Przekąt<strong>na</strong> trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie<br />
<strong>na</strong> połowy. Oblicz długość przekątnej tego trapezu.<br />
56. W sklepie są cukierki czekoladowe w cenie 8 zł, 12 zł i 16 zł za kilogram. Kupiec chce sprzedać mieszankę tych<br />
cukierków w cenie 11 zł za kilogram. Ile kilogramów cukierków w cenie 12 zł i 16 zł musi dołożyć do 10 kg<br />
cukierków po 8 zł, aby otrzymać 30 kg mieszanki?<br />
57. Do dwóch okręgów o promieniach długości 3 cm i 10 cm poprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi z<strong>na</strong>jdują<br />
się po różnych stro<strong>na</strong>ch tej stycznej. Odległość między środkami okręgów jest rów<strong>na</strong> 39 cm. Oblicz długość<br />
odcinka między punktami styczności.<br />
2<br />
x - 4<br />
58. Da<strong>na</strong> jest funkcja f ( x)<br />
= .<br />
x - 2<br />
a) Sporządź wykres funkcji f.<br />
b) Określ ilość rozwiązań rów<strong>na</strong>nia f(x)=m ze względu <strong>na</strong> wartość m Î R.<br />
c) Rozwiąż nierówność f(x) > 2.<br />
59. Prosta o rów<strong>na</strong>niu y = 0,5x + 3 przeci<strong>na</strong> parabolę y = x 2 - 4x + 3 w punktach A i B.<br />
a) Wykaż, że trójkąt ABC, gdzie C jest wierzchołkiem danej paraboli jest prostokątny.<br />
b) Oblicz pole trójkąta ABC.<br />
m + 1<br />
60. Sprawdź, dla jakich wartości m istnieje kąt a taki, że cosa<br />
= .<br />
2m<br />
- 3<br />
61. Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy <strong>na</strong>jwyższej potędze x. Wielomian ma trzy<br />
pierwiastki takie, że drugi jest 2 razy większy od pierwszego, a trzeci jest 4 razy większy od pierwszego.<br />
Wiadomo, że wartość wielomianu w punkcie 0 jest rów<strong>na</strong> (-64).<br />
Oblicz pierwiastki tego wielomianu oraz podaj współczynnik przy x 2 .
62. Dla jakiej <strong>na</strong>jmniejszej wartości m punkt A = (m 2 , 2m) <strong>na</strong>leży do prostej l prostopadłej do prostej k<br />
o rów<strong>na</strong>niu x + 3y + 30 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1, -2). Oblicz odległość punktu A od prostej k.<br />
63. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest rów<strong>na</strong> 26, a suma ich kwadratów jest rów<strong>na</strong> 364. Wyz<strong>na</strong>cz<br />
te liczby.<br />
64. Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 30 o . Oblicz miarę kąta między wysokością<br />
a środkową, poprowadzonymi z wierzchołka kąta prostego.<br />
65. W dwóch zbiornikach A i B z<strong>na</strong>jduje się woda. Ze zbiornika A przepompowano do zbiornika B tyle wody, że<br />
ilość wody w B podwoiła się. Następnie ze zbiornika B przepompowano do zbiornika A tyle wody, że ilość wody<br />
w A potroiła się. Okazało się wówczas, że w obu zbiornikach jest po 450 litrów wody. Oblicz, ile wody było <strong>na</strong><br />
początku w każdym zbiorniku.<br />
66. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A = (-2, 2), B = (4, 4).<br />
a) Wyz<strong>na</strong>cz punkt przecięcia prostej AB z prostą 3x + 4y = 5.<br />
b) Wyz<strong>na</strong>cz rów<strong>na</strong>nie symetralnej odcinka AB.<br />
67. Liczbę <strong>na</strong>turalną tn <strong>na</strong>zywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest o<strong>na</strong> sumą n kolejnych początkowych liczb<br />
<strong>na</strong>turalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: t1 = 1, t2 = 1 +2 = 3,<br />
t3 = 1 + 2 + 3 = 6, t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 itd. Stosując tę definicję:<br />
a) Wyz<strong>na</strong>cz liczbę t27,<br />
b) Ułóż odpowiednie rów<strong>na</strong>nie i zbadaj czy liczba 7626 jest liczbą trójkątną<br />
c) Wyz<strong>na</strong>cz <strong>na</strong>jwiększą czterocyfrową liczbę trójkątną.<br />
2<br />
68. Da<strong>na</strong> jest funkcja określo<strong>na</strong> za pomocą zbioru par uporządkowanych { ( x,<br />
x + 1)<br />
; x Î N Ù x £ 7}<br />
a) Określ zbiór wartości funkcji,<br />
b) Sporządź wykres funkcji,<br />
c) Wyz<strong>na</strong>cz wszystkie argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość 37.<br />
69. Pewien kierowca kupuje regularnie benzynę za 700 zł. Po podwyżce ceny benzyny o 3 grosze<br />
za litr stwierdził, że otrzymał o 3 litry mniej. Jaka jest ce<strong>na</strong> benzyny po podwyżce?<br />
70. Jacek podjął pracę chałupniczą polegającą <strong>na</strong> składaniu długopisów. Pierwszego dnia złożył<br />
20 długopisów, ale każdego <strong>na</strong>stępnego dnia będzie składać o dwa więcej niż poprzedniego.<br />
a) Ile długopisów złoży Jacek w szes<strong>na</strong>stym dniu pracy?<br />
b) Oblicz, ile zarobi Jacek, w ciągu miesiąca (miesiąc ma 30 dni), jeżeli za jeden długopis otrzyma 30 groszy.<br />
71. W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku AB, punkt K jest środkiem boku AD. Pole trójkąta CKM jest<br />
równe 3 cm 2 . Jakie pole ma ten kwadrat?<br />
72. Między przystaniami A i B odległymi o 6 km płynie rzeka z prędkością 5km/h. Wioślarz przepłynął tą rzeką od<br />
przystani A do przystani B i z powrotem w czasie 3 godz. i 30 minut. Z jaką prędkością płynie ten wioślarz w<br />
wodzie stojącej?<br />
73. Ze 100 kg mleka o zawartości 3,8% tłuszczu odciągnięto 10 kg śmietanki zawierającej 20% tłuszczu. Ile procent<br />
tłuszczu zawiera odtłuszczone mleko?<br />
74. Funkcja kwadratowa osiąga <strong>na</strong>jmniejszą wartość równą -8 dla argumentu równego 3. Jednym z miejsc<br />
zerowych tej funkcji jest liczba 5. Zapisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej i sporządź jej wykres.<br />
75. Jeżeli jeden z boku kwadratu zwiększymy dwukrotnie, a drugi zmniejszymy o 1 cm, to otrzymamy prostokąt o<br />
polu większym od pola tego kwadratu o 8 cm 2 .Oblicz długość boku kwadratu.<br />
76. Wyz<strong>na</strong>cz <strong>na</strong>jwiększą liczbę całkowitą niespełniającą nierówności: x + 2 3 £ 3 + x 3 .<br />
77. Dwaj bracia mają razem 31 lat. Ich ojciec jest trzy razy starszy od młodszego sy<strong>na</strong>. Za 10 lat wszyscy razem<br />
będą mieli 103 lata. Ile lat ma każdy z nich?<br />
78. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz kącie ostrym a <strong>na</strong>przeciw<br />
boku a. Wiedząc, że<br />
cos a =<br />
4 17<br />
17<br />
:<br />
2<br />
a) oblicz tga, b) oblicz wartość wyrażenia a b<br />
+ .<br />
2 2<br />
a + b a - b<br />
79. Hotel dysponuje 70 pokojami. Opłata za wy<strong>na</strong>jęcie jednego pokoju w tym hotelu jest rów<strong>na</strong> 460 zł za dobę.<br />
Hotel udziela specjalnej zniżki firmom rezerwującym więcej niż 40 pokoi. Wówczas opłata za dobę, za każdy<br />
wy<strong>na</strong>jęty przez firmę pokój, jest niższa o 5 zł pomnożone przez liczbę zarezerwowanych pokoi powyżej 40. Ile<br />
pokoi powin<strong>na</strong> wy<strong>na</strong>jąć firma, żeby hotel osiągnął maksymalny możliwy przychód za dobę?<br />
80. Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny z<strong>na</strong>jduje się w odległości 6 i 8 od końców dłuższego ramienia<br />
trapezu. Oblicz obwód trapezu.<br />
81. Linia tramwajowa ma długość 15 km. Po zwiększeniu prędkości o 3km/h każdy kurs tramwaju jest o pół godziny<br />
krótszy niż poprzednio (kursem <strong>na</strong>zywa się przebieg tramwaju od przystanku początkowego do końcowego i z<br />
powrotem). Oblicz prędkość tramwaju przed zmianą.
2<br />
82. Da<strong>na</strong> jest funkcja ïì<br />
- 2 x + 4 x + 6,<br />
dla x £ 2<br />
f ( x)<br />
= í<br />
ïî 4 x - 2,<br />
dla x > 2<br />
a) Narysuj wykres funkcji f i podaj jej maksymalne przedziały monotoniczności.<br />
b) Wyz<strong>na</strong>cz rachunkowo miejsca zerowe funkcji f.<br />
83. Dane są dwa wierzchołki trójkąta ABC A = (1; -1), C = (-7; 11) oraz punkt przecięcia się jego wysokości<br />
æ 17 61 ö<br />
P = ç ; ÷ . Oblicz: a) współrzędne wierzchołka B, b) pole trójkąta ABC,<br />
è 3 9 ø<br />
c) długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A.<br />
84. Liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, którego iloraz jest równy -2.<br />
Wartość wielomianu W(x) = x 3 + ax 2 + bx + c dla argumentu 2 jest rów<strong>na</strong> 4. Oblicz resztę<br />
z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (2x +1).<br />
85. W trójkąt równoramienny ABC, w którym AB = 24,<br />
BC = AC = 20 wpisujemy prostokąty tak, że jeden<br />
bok prostokąta zawiera się w boku AB, a dwa pozostałe wierzchołki <strong>na</strong>leżą do ramion trójkąta. Podaj wymiary<br />
prostokąta o <strong>na</strong>jwiększym polu.<br />
86. . Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny dzieli przeciwprostokątną <strong>na</strong> odcinki o<br />
długościach 3 cm i 10 cm. Z<strong>na</strong>jdź:<br />
a) obwód tego trójkąta,<br />
b) pole koła opisanego <strong>na</strong> tym trójkącie.<br />
3 2<br />
x + 2x<br />
- 2x<br />
- 4<br />
87. Wyz<strong>na</strong>cz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji: f ( x)<br />
=<br />
2<br />
x - 3 2x<br />
- 8<br />
88. Pole rombu jest równe 60 cm 2 . Dłuższa przekąt<strong>na</strong> rombu podzieliła kąt ostry rombu <strong>na</strong> takie dwa<br />
kąty o mierze a, że 8 . Oblicz:<br />
tg a =<br />
15<br />
a) długość boku rombu,<br />
b) pole koła wpisanego w ten romb.<br />
89. Miejscem zerowym wielomianu W(x) = 2x 3 + ax 2 - 6x jest liczba (-1).<br />
a) Oblicz a.<br />
b) Wyz<strong>na</strong>cz pozostałe pierwiastki wielomianu.<br />
c) Rozwiąż nierówność W(x) £ x 2 + x.<br />
90. Właściciel sklepu kupuje aparaty fotograficzne płacąc producentowi za sztukę 100 zł<br />
i sprzedaje 40 sztuk aparatów po 160 zł. Właściciel oszacował, że każda obniżka aparatu o 1 zł zwiększa liczbę<br />
sprzedawanych aparatów o jedną sztukę. Jaką powinien ustalić cenę, aby jego zysk był <strong>na</strong>jwiększy? Oblicz ten<br />
zysk.<br />
91. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30 o , wysokość i środkowa poprowadzone<br />
z wierzchołka kąta prostego dzielą go <strong>na</strong> trzy kąty równe.<br />
92. Rozwiąż układ rów<strong>na</strong>ń:<br />
ì 14 1<br />
ï + = 1<br />
ï 2x - y x + y<br />
í<br />
ï 3 5<br />
-<br />
=<br />
ïî<br />
y - 2x 2x + 2y<br />
29<br />
14<br />
93. Wyz<strong>na</strong>cz x, dla którego liczby (x - 1)(x + 1); 2(x - 2) 2 ; 2x 2 - 11(x - 1) w podanej kolejności tworzą ciąg<br />
arytmetyczny. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę oraz wyz<strong>na</strong>cz ogólny wyraz ciągu.<br />
94. Rozwiąż rów<strong>na</strong>nie: 2 3 + 2x<br />
= .<br />
3 4 - x<br />
2x<br />
8<br />
95. Dla jakich wartości xÎR wartości funkcji f ( x)<br />
= są nie większe od wartości funkcji g(<br />
x)<br />
=<br />
x + 1<br />
3 + 3x<br />
96. Dla jakich wartości x ciąg liczb: x, 2x, 2x + 2 w podanej kolejności jest:<br />
a) ciągiem arytmetycznym, b) ciągiem geometrycznym.<br />
97. Współczynniki a, b, c rów<strong>na</strong>nia ax 2 + bx +c = 0 tworzą ciąg arytmetyczny, którego suma jest rów<strong>na</strong> -7,5.<br />
Jednym z pierwiastków tego rów<strong>na</strong>nia jest liczba 4. Z<strong>na</strong>jdź drugi pierwiastek rów<strong>na</strong>nia.<br />
98. Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (an), w którym: a5 = - 5, a3 + a8 = - 12.<br />
99. Z danych GUS wynika, że średnia powierzchnia mieszkania w mieście w 1999 roku wynosiła 56m 2 , <strong>na</strong>tomiast<br />
<strong>na</strong> wsi 72 m 2 . Wiedząc, że w 1999 roku mieszkania <strong>na</strong> wsi stanowiły 33% wszystkich mieszkań, oblicz średnią<br />
powierzchnię ogółu mieszkań w Polsce.<br />
100. Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5 : 3. Oblicz pole rombu.