Cálculo diferencial con Maxima José Antonio Vallejo - Facultad de ...

5 × 5
10 × 10 25 × 25
3×3

1000 × 1000
1, 5 · 10 6
3, 5 · 10 6
500
○
1979
4
1984

1500

1500

( %o1) 4
( %o2) 10
( %o3) log (10)
( %o4) 2,302585092994046
( %o5) 2 2 73
15
5,0 5
( %o6) π
( %o7) 3,141592653589793

( %o8) e
( %o9) 2,718281828459045
log(ab) =
log(a) + log(b)
( %o10) log (10)
( %o11) log (5) + log (2)
a + bi
Incorrectsyntax : Syntaxerrorz1 : 2 + 3(
3 (
( %o12) 3 i + 2

( %o13) −5 i − 1
z1 z2
( %o14) 1 − 2 i
( %o15) (−5 i − 1) (3 i + 2)
1
( %o16) 13 − 13 i
( %o17)
3 i + 2
−5 i − 1
3 i + 2
( %o18) −
5 i + 1
n m
n m

( %o19)
7 i 17
−
26 26
( %o20)
7
i
e (π−atan( 17))
√
2
( %o21) 1/ √ 2
( %o22)
( %o23)
√ 2 i + 2
2 3
2 − 2 i
√ +
2
2 3
2 + 2
√ 2
( %o24) i b + a
( %o25) i d + c

( %o26) i d + c + i b + a
( %o27) (i b + a) 2
( %o28) −b 2 + 2 i a b + a 2
z
z = a + bi z
( %o29) [z]
( %o30) z + i d + c
( %o31) −1
( %o32) 1

1
( %o33) atan √2
( %o34) ,6154797086703875
( %o35)
π
4
( %o36) (b + a) 7
( %o37) b 7 + 7 a b 6 + 21 a 2 b 5 + 35 a 3 b 4 + 35 a 4 b 3 + 21 a 5 b 2 + 7 a 6 b + a 7
( %o38) (x + 1) (x + 2)
( %o39)
x + 2
(x − 4) 2

( %o40)
x + 2
x 2 − 8 x + 16
Z Z
( %o41) x 2 − 2
( %o42) −sin (x) 3 − sin (x) 2 + 3 cos (x) 2 sin (x) + cos (x) 2
( %o43) −4 sin (x) 3 − 2 sin (x) 2 + 3 sin (x) + 1
(3 + 5)7
(3 + 5)/7
(3 + 5) 2 8
3 + 5 2 8
8 2 7 4
log(1 + 2 2 )
cos(π)e 2 − 1
3√ 67 15
3/(1 − √ 7)

1/(4 − 20x 2 ) + x 2
x 5 + 2x 3 + x 2 + 2
x 5 + 15x 4 + 85x 3 + 225x 2 + 274x + 120
cos 2 a−sin 2 a = 2 cos 2 a−1
z = 2 − i w = −1 + i
zw 2
2z−w
z+w
x x!
=
y y!(x − y)! .
10
,
3
6
.
4

( %o1) [x = − 5
, x = 1]
4
( %o2) [x = − √ 3, x = √ 3, x = − √ 6, x = √ 6]
( %o3) x + √ x − 4 = 6
( %o4) [x = 6 − √ x − 4]
( %o5) [x = 5, x = 8]

( %o6) x 3 − x 2 − x + 1 = 0
( %o7) [x = −1, x = 1]
( %o8) 0 = 0
( %o9) 4 x 2 + x = 5
( %o10) [[x = 1]]
( %o11) [[x = 12, y = −6]]
( %o12) f (x) := cos (exp (x))

( %o13) cos e 2
( %o14) g (x, y) := sin (x y)
( %o15) sin (π x)
( %o16) 0
( %o17) 1
( %o18) 17
( %o19) H (x) := if x < 0 then x 4 − 1 else 1 − x 5
( %o20) 15

( %o21) −31
( %o22) h (x, y) :=
x + 3
x 2 − 4 x + 3
( %o23) k (x, y) := x2 − 1
(x − 2) 2
( %o24) q (x, y) := h (x, y) + k (x, y)
( %o25)
x + 3
x2 − 4 x + 3 + x2 − 1
(x − 2) 2
( %o26)
( %o27)
x 4 − 3 x 3 + x 2 − 4 x + 9
x 4 − 8 x 3 + 23 x 2 − 28 x + 12
x 4 − 3 x 3 + x 2 − 4 x + 9
(x − 3) (x − 2) 2 (x − 1)
Z

( %o28) x 4 − 3 x 3 + x 2 − 4 x + 9
( %o30) [x = 51146187 91519551
, x =
33554432 33554432 ]
x
( %o31)

( %o32)
3
( %o33)

( %o34)
( %t35)

( %o36)
3
( %t37)
XY

( %t38)
s
3
XY b
( %t39)

( %t40)
( %t41)
√ 5 − x − 2x = 3
x 3 − 3x + 1 = 0.

x 5 − 2x 3 + x 2 − 1
−3x + 2y = 3
x − 4y = −1
3x 2 + 2y = 0
x + 2y 2 − y = −1
f(x, y) = arctan(x 2 + 1) log(1 + exp(y 2 x − 3)).
f(0, 0) f(−1, 2) f(π, 0)
0 t < 0
H(t) =
1 t > 0 .
f(t)
ft0 (t) =
0
1
t < t0
.
t > t0
f−1(−2) f3(2)
k [a, b]
P a,b
k (t) =
k a < t < b
0 t < a t > b
n n + 1 n
n
bu,n(t) = t
u
u (1 − t) n−u , u = 0, 1, ..., n.

n
n
bn(t) = bu,n(t) = 1
u=0
b4
b4(0) b4(1) b4(−1) b4(10) b4(100)
4
3 b0,3(t) b1,3(t) b2,3(t) b3,3(t)
f(x, y) = x 2 − y 2

( %o1) [0 = x 5 − 6 x 2 + 8 x + 3]
[x = −,3049325494373391,
x = 1,683783821201688 i − 1,199074650512488,
x = −1,683783821201688 i − 1,199074650512488,
x = ,6897875494592222 i + 1,351540925231157,
x = 1,351540925231157 − ,6897875494592222 i]
( %o3) [x = − 10231839
33554432 ]

( %o4)
√ √ √ √ √ √ √ √
255 + 9 3 5 17 + 27 255 − 9 3 5 17 − 27
[[x = − , y = −
], [x = , y =
]]
2
2
2
2
( %o5) [[x = 0, y = 0, z = 0], [x = a2 + 2 a + 1 a + 1
, y =
16
4 , z = −a2 − 2 a − 3
]]
16
( %o6) [[x = 0, y = 0, z = 0], [x =
9
, y =
28 i + 45 3 33 i + 36
, z =
2 i + 7 27 i + 545 ]]
X
( %o7)
−1 1

( %o8) −,6417143708728826
e x = x + 2
e x − x − 2 = 0
( %o9)
( %o10) 1,146193220620582
limx→x0f(x)
( %o11) f (x) := (x + a) x 2 + b x + c
( %o12) (a + 1) c + (a + 1) b + a + 1

( %o13) k 3 + (b + a) k 2 + (c + a b) k + a c
( %o14) −∞
( %o15) ∞
( %o16) und
limx→∞ limx→−∞ −∞
( %o26) 0
( %o27) −1

( %o28) g (x, y) := sin (x y)
( %o29) −sin (2 y)
( %o31) y cos (x y)
( %o32) x cos (x y)
( %o33) −y 2 sin (x y)
( %o34) x 2 y 2 sin (x y) − 2 sin (x y) − 4 x y cos (x y)
( %o35) x 2 y 2 sin (x y) − 2 sin (x y) − 4 x y cos (x y)

( %o36)
d2 d x2 cos x 2 + 1 = −2 sin x 2 + 1 − 4 x 2 cos x 2 + 1
( %o37)
∂ 3
∂ x ∂ y 2 cos y 2 + x 2 = 8 x y 2 sin y 2 + x 2 − 4 x cos y 2 + x 2
333
A(r, h)
r h
( %o38) A (r, h) := 2 π r 2 + 2 π r h
r h

( %o39) V (r, h) := π r 2 h
V (r, h) = 333 h
r
h
( %o40) [h = 333
]
π r2 a(r)
h r A(r, h)
( %o41) a (r) := A r, 333
π r2
( %o42) [r =
√ 1
3 333 3 i − 333 1
3
2 2 1
3 π 1
3
, r = −
√ 1
3 333 3 i + 333 1
3
2 2 1
3 π 1
3
, r =
333 1
3
2 1
3 π 1
3
( %o43) r = 3,75625258638806
3,75
h V (r, h) =
333
]

( %o44) h = 23,60123106084875
π
( %o45) h = 7,512505172776113
r 3,75 h 7,51
f(x+at)+g(x−at) f g
a 2 uxx(x, t) = utt(x, t)
h+ h−
\
( %o46) h+ (x, y) := x + a t
( %o47) h− (x, t) := x − a t
( %o48) u (x, t) := f (h+ (x, t)) + g (h− (x, t))
f g
f f ′ g g ′
f ′′ g ′′

( %o49) f (y)
( %o50) f ′ (y)
( %o51) g (z)
( %o52) g ′ (z)
( %o53) a 2 f ′′ (x + a t) + a 2 g ′′ (x − a t)
u(x, t)
a 2 uxx(x, t) − utt(x, t)
( %o54) 0
3x − 2y + x − t = 2
y + z + 2t = 1
x + y − 3z + t = 0

2x + y − t − 4u = 4
3x − y + 2z − 5u = 13
x + 3y + z − t − 6u = 7
x + 2y − 3z − 2t − 2u = −7
2x − 3y = z
ax + y 2 = z
x + ay = 3z
a
y
2x 3 + 6x 2 − 18x = −10
3√ 70
log(2−x 2 ) = x 2
0,0002
f(x) = e ex
− 5 = 0
lím
x→−1
sin x
lím
x→0 x
x 2 − 1
x 2 + 3x + 2
x
lím
x→2
2 + 3
x − 7

lím x2 + 2x + 7 − x
x→+∞
f(x, y) = x2 − y2 x2 ,
+ y3 (0, 0)
y = kx
x → 0
f(x, kx) = x2 − k2x2 x2 + k3 1 − k2
=
x3 1 + k3x .
lím f(x, kx) = 1 − k2
x→0
k
g(x, y) = 9x2 − y2 x2 ,
+ y2
y = x.
y = 3x
x = y 2
(0, 0)
f(x, y) =
x + y
x − y
.
g(x, y) = x cos 1
. .
y
f(x, y, z) = (1 + x 2 − 3yz)e (y2 +z−sin(x)) .
∂ 3 f
∂x 2 ∂z

∂ 3 f
∂x∂y∂z
(−1, 0, 1)
V

(0, 0) g(0, 0) = 0
( %o1) g (x, y) :=
x y2
x 2 + y 4
x (0, 0)
( %o2) 0
( %o3) 0
(u, v) (0, 0)
v
( %o4)
2
u
(0, 0)
(0, 0)
x = ay2
( %o5)
a
a 2 + 1

( %o6)
h(x, y) = x + xy 2 − y x (1, 2)
(3/34, 5/34)
( %o7) h (x, y) := x + x y 2 − y x
6936 log (2) − 34680
( %o8) −
39304

3 log (2) − 15
( %o9) −
17
(u, v) (x, y)
(x, y)
(u, v) dh (x,y)(u, v) = uD1h(x, y)+vD2h(x, y)
( %o10) Dh1 (x, y) := −y x log (y) + y 2 + 1
( %o11) Dh2 (x, y) := 2 x y − x y x−1
( %o12) dh (x, y, u, v) := u −y x log (y) + y 2 + 1 + v 2 x y − x y x−1
(1, 2) (3/34, 5/34)
( %o13)
3 (5 − 2 log (2))
34
3 log (2) − 15
( %o14) −
17
+ 15
34

f df p f dfp
R n R
gradfp = (D1f(p), ..., Dnf(p))
dfp(v)
3
2
( %o16) [[x, y], x, y]
2
(u, v)
( %o17) done
( %o18) −y x + x y 2 + x
(u, v)

( %o19) [u, v].grad −y x + x y 2 + x
( %o20) v
d
d y
x 2
−y + x y + x
d
+ u
d x
( %o21) u −y x log (y) + y 2 + 1 + v 2 x y − x y x−1
−y x + x y 2 + x
h (x, y)
(u, v)
( %o22) dh (x, y, u, v) := u −y x log (y) + y 2 + 1 + v 2 x y − x y x−1
f1(x, y) = x 2 − 3yx + y 3 (0, 1) v = (1, 1)
f2(x, y) = x cos(xy)+2y 2 (1, 1) v = (−1, 0)
f3(x, y) = log(1+x 2 +y 2 ) (−2, 0) v = (2, 3)
f4(x, y) = e (xy+2) tan(x 2 + y 2 ) (0, 0) v =
(1, 3)

f(x, y) p =
(−1, 2) p
(3/5, −4/5) 8 p
p (11, 7) 1
p (3, −5)
p
f(x, y) = (x 2 − y 2 )(x 2 + y 2 )
(1, 1) (x0, y0)

( %o1) 1 + x + x2
2
+ 7 x3
6
+ 13 x4
24
+ ...
sin(a)(x − a)2
sin(a) + cos(a)(x − a) − −
2
cos(a)(x − a) 3
+
6
sin(a)(x − a)4
+
24
cos(a)(x − a)5
+ ...
120
d
( %o3) f (a) +
d x
f (x)
x=a
(x − a) +
d x2
f (x)
d 2
x=a
2
(x − a) 2
+ ...
i, j, ...
( %o4) atan (x) =
∞
i=0
(−1) i 2 i+1 x
2 i + 1

k
n
x k k 1 5
[1, 2, 3, 4, 5]
i i
2∗i+1 i
2n
i=1 3 ∗ ni
1
( %o5) [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19]
1 5
= i
i 1 5
( %o6) [1, 2, 3, 4, 5]
x k k 1 5

x
y
y = −10 y = 10
k
x k

x = 0
x
n n = 3
3
( %o10) x − x3
6
x
x − 1
6 x3
n (1, 3, 5, 7, 9, 11)
(x, x − 1
6x3 , x − 1
6x3 + 1
120x5 , ...)
sin(x)
n > 1 n = 2

( %o11) f (x, y) := log 1 + exp x 2 y
f(x, y) (x, y) =
(a, b) 2 x 1 y
x y
(x, y) = (1, −1)
log (e + 1) e −1 y + 1
+ + ... +
e + 1
− 2 2 (y + 1)
+
e + 1 e2
+ ... (x − 1) +
+ 2 e + 1
e − 1
e2 + 2 e + 1 −
2 2 e + 5 e − 1 (y + 1)
e3 + 3 e2
+ ... (x − 1)
+ 3 e + 1 2 + ...
g(x, y) = exp(x 2 sin(xy))
2 x y (x, y) = (2, 0)
( %o14) g (x, y) := exp x 2 sin (x y)
( %o15)
1+8 y+32 y 2 +...+ 12 y + 96 y 2 + ... (x − 2)+ 6 y + 120 y 2 + ... (x − 2) 2 +...
x i y j
( %o16) 120 x 2 y 2 − 384 x y 2 + 320 y 2 + 6 x 2 y − 12 x y + 8 y + 1

d ∂
dx ∂x
f (i1,i2,...,in)(x1, x2, ..., xn) i1
x1 i2 x2
( %o18) f (1,2) (x, y)
∂3f ∂x∂ 2y
z
( %o19) g (0,0,4) (x, y, z)
( %o20) f e 2 + 2 + 2 2 2
f (1) e + 2 e + f(1) e + 2 (x − 2) + ...
x

( %o21)
2 2 2 2 2
e + 1 f(1) e + 2 x + −2 e − 2 f(1) e + 2 + f e + 2
u(x, t) = f(x + at) + g(x − at)
utt(x, t) − a 2 uxx
( %o22) f (x + a t) + g (x − a t)
( %o23) 0
f(x, y, z) = exp(x2 +y 2 +z 2 )
cos(x+y/(1+z2 )) (x, y, z) = (0, 0, 2)
x y z
x 0
9 e
2 e (z − 1) + e + ... +
+
+
+ 2 e (z − 1) + ...
y
8 2
e e (z − 1)
+ + ... y + ... x
2 2
3 e
31 e
+ 3 e (z − 1) + ... + + 3 e (z − 1) + ...
2 16
y 2
+ ... x 2 + ...
x, y, z
( %o25)
48 e x 2 + 32 e y 2 + 8 e x y + 48 e x 2 + 32 e z + −17 e x 2 − 14 e y 2 − 24 e x 2 − 16 e
( %o26)
3 e x 2 y 2 z + 2 e y 2 z +
16
e x y z
2 + 3 e x2 z + 2 e z − 17 e x2 y2 7 e y2 3 e x2
− − − e
16 8 2

6 sin x
x = 0 cos x
5
4 t 0 1
f(x) = e x2 +1 5
x = 0
(0, 0)
f(x, y) = exp(x + y) + cos(x + y)
g(x, y) = sin(x + y)
(0, 0) x + y
2
f(x, y) = 4√ x 5√ y.
4√ 1, 01 5√ 31, 98
3
(x − 1) (y − 2)
f(x, y) = x 3 + y 2 + xy 2

f : Ω ⊂ R 2 → R
p ∈ Ω
f p h f
p p
h > 0 fxx(p) > 0 p
h > 0 fxx(p) < 0 p
h < 0 p
h = 0
( %o1) f (x, y) := log x 2 + y 2 + 1
= 0
∂f
∂x
= 0 ∂f
∂y
( %o2) [[x = 0, y = 0]]
( %o3)
2
y2 +x2 +1 −
−
0errors, 0warnings
4 x 2
(y2 +x2 +1) 2 4 x y
− (y2 +x2 +1) 2
4 x y
(y2 +x2 +1) 2
2
y2 +x2 +1 −
4 y 2
(y2 +x2 +1) 2
(x, y) = (0, 0)

( %o4)
( %o5)
2 0
0 2
2 0
0 2
( %o6) 4
h = 4 > 0 fxx(0, 0) = 2 > 0
( %t7)
( %o8) g (x, y) := x 4 − 2 x 2 y + y − y 3

[[x = 0, y = − 1
√ ], [x = 0, y =
3 1
√ ], [x = −
3 1
√ , y =
3 1 1
], [x = √ , y =
3 3 1
3 ]
[x = −i, y = −1], [x = i, y = −1]]
p1 p2 p3 p4
( %o10)
2 12 x − 4 y
−4 x
−4 x −6 y
( %o11)
4√3
0
0
( %o12)
− 4 √3
6 √3
0
0 − 6 √ 3
( %o13)
8
3
4√
3
4√ 3
−2
( %o14)
8
3
− 4 √
3
− 4 √ 3
−2

( %o15) 8
( %o16) 8
( %o17) − 32
3
( %o18) − 32
3
(0, 1/ √ 3)
(0, −1/ √ 3)
( %t19)
f(x, y) = (x 2 +y 2 )exp(−x 2 −y 2 )
(0, 0) x 2 +y 2

( %t20)
( %o21) f (x, y) := x 2 + y 4
( %o22) [[x = 0, y = 0]]

( %o23)
0errors, 0warnings
2 0
0 0
0
( %o24) 0
(0, 0)
f(x, y) x 2 y 4
f(x, y) ≥ 0 f(x, y) = 0 (0, 0)
( %t25)
X Y

( %t26)
( %o27) g (x, y) := x 3 − y 2
(0, 0)
( %o28) [[x = 0, y = 0]]
( %o29)
0 0
0 −2
( %o30) 0
30 × 30
45 × 45 Z

( %t31)
(0, 0)
g(x, y)
y = 0 g(x, 0) = x 3
y = 0
z = f(x, y)
3
u
v

( %t33)
( %t34)
x = 0

( %t35)
f(x, y) = x + y xy = 4
g(x, y) = 0 g(x, y) = xy − 4
( %o36) L (x, y, a) := x + y + (−a) (x y − 4)
( %o37) [[x = −2, y = −2, a = − 1
1
], [x = 2, y = 2, a =
2 2 ]]
(x0, y0, a0)
L(x, y, a)
(x, y)

(x0, y0, a0)
(x0, y0)
g
Hess(L(x0, y0, a0)) ( ∂g
= 0, ∂g
= 0)
∂x
(x0,y0)
∂x
(x0,y0)
(x0, y0)
(x0, y0)
(x0, y0)
( %o38)
( %o39)
0errors, 0warnings
0
−a
−a 0
0
−a
−a 0
p1 = (−2, −2, − 1
2 ) p2 =
(2, 2, 1
2 )
( %o40)
( %o41)
1 0
1
2
2
0
1 0 −
− 1
2
p1 p2
[u, v]
0
2

( %o42) [u, v]
( %o43)
u
v
( %o44) uv
( %o45) −uv
QLp1 QLp2
p1 p2
(x0, y0)
g (−2, −2) (2, 2)
( %o46) [y, x]
( %o47) [−2, −2]

( %o48) [2, 2]
(u, v)
( %o49) −2v − 2u
( %o50) [u = −v]
(x, y) = (−2, −2)
v = −u
( %o51) 2v + 2u
( %o52) [u = −v]
v = −u QLp1
( %o53) −u 2
(−2, −2)
(2, 2)

( %o54) v 2
(2, 2)
f(−2, −2) = −4 f(2, 2) = 4
( %t55)
f1(x, y) = x 2 + y 4
f2(x, y) = x 4 + y 4 − 2(x − y) 2
f3(x, y) = x 3 + y 3 + 2x 2 + 4y 2
f4(x, y) = e x2 +y 2 +1

f5(x, y) = x 2 y + y 2 x
g(x, y) = y 3 + x 3
x 2 + y2
2
f(x, y) = 60x + 90y − 2x 2 − 3y 2
2x + 4y = 68.
f(x, y) = x 2 + y 2
x 2 + y = 4.
= 1

y = f(x)
y = 5
x + 1.
3
x
y x = g(y) x
( %o1) [x =
( %o2)
3 y − 3
]
5
d 3
x =
d y 5
y = f(x)
y = f(x) = atan(1 + esin(x) )
3 − log(1 + x 4 ) ,
x y
( %o3) f (x) :=
atan (1 + exp (sin (x)))
3 − log (1 + x 4 )
( %o4) [atan e sin(x)
+ 1 = 3 y − log x 4 + 1 y]

f : R → R f
x0 f −1 y0 = f(x0)
f ′ (x0) = 0
(f −1 ) ′ (y0) = 1
f ′ (x0) .
f −1 ◦ f = id
1 f −1 (y0) · f(x0) = 1
π
12 = f(0)
g ′ π
=
12
1
f ′ (0)
( %o5) g (y)
( %o6) g ′ π
= 15
12
f −1
X Y
90
f ′ (x0) = 0
f ′ (x0) = 0

90
f : R n → R n x0 ∈ int(dom(f)) y0 = f(x0) f
x0
det(Jx0(f) = 0,
f f −1 V y0
U x0 f −1 : V → U V
dy0 f −1 = (dx0f) −1 .
f U V
f : R 2 → R 2
u, v f(x, y) = (u, v) u = 2x + y v =
x − y f
f
0errors, 0warnings

( %o7)
2 1
1 −1
( %o8) −3
f(x, y) = (2x+y, x−y)
R 2
f −1 f −1 (u, v) = (x(u, v), y(u, v))
u = 2x + y v = x − y
( %o9) [[x =
v + u 2 v − u
, y = − ]]
3
3
f : R 2 → R 2 u = xy v =
x + y (x, y)
( %o10)
y x
1 1
( %o11) y − x
f −1
x, y u, v

√ √
v2 − 4u − v v2 − 4u + v
[[x = −
, y =
]
√
2
√
2
v2 − 4u + v v2 − 4u − v
[x =
, y = −
]]
2
2
f −1
x = y u = v2
4
A R2
(u, v) 4u > v2 V
(u, v) 4u < v2 f −1 V
V
(x, y)
f −1
1
f −1
1 (u, v) = (−1
2 ( (v 2 − 4u) − v), 1
2 ( (v 2 − 4u) + v)),
V U1 y > x y − x = (v 2 − 4u) > 0
f −1
1 (u, v) = (1
2 ( (v 2 − 4u) + v), − 1
2 ( (v 2 − 4u) − v))
V U2 y < x
F (x, y) = 0 y
y = ψ(x)
y ′ = dψ
F : Ω ⊂ R2 → R D1F = ∂F
∂x D2F = ∂F
∂y
dx

Ω (x0, y0) ∈ Ω F (x0, y0) = 0
∂F
∂y (x0, y0) = 0 U x0 V y0
ψ : U → V
y0 = ψ(x0)
F (x, ψ(x)) = 0 ∀x ∈ U
ψ
ψ ′ (x) = − D1F
(x, ψ(x))
D2F
R 3 F (x, y) = −27x 2 +4y 3
z = 0
( %o14) [gr3d (parametricsurface, parametricsurface)]
R 3
(x, y, 0) F (x, y) = −27x 2 + 4y 3 = 0

xy
( %o15) [gr2d (implicit)]
F (x, y) = 0
y x
(0, 0) y = ψ(x)
F (x, ψ(x)) = 0
(x0, y0)) (0, 0)
ψ x0
( %o16) F (x, y) := (−27) x 2 + 4 y 3
( %o17) [ψ (x)]

( %o18)
d 9 x
ψ =
d x 2 y2
(x0, y0)
(x0, y0)
F (x0, y0) = 0 ∂F
∂y (x0, y0) = 0 y
x y = ψ(x) x0
dψ
dx (x0) = 9x0
2y 2 0
y 2 + 5x = xe x(y−2)
(−1, 2)
(x0, y0) = (−1, 2)
( %o19) −1 = −1
y x y = g(x)
( %o20) G (x, y) := y 2 + 5 x + (−x) exp (x (y − 2))
( %o21)
d
G = 3
d y
g

( %o22) [g (x)]
( %o23)
d
d x g = x (y − 2) ex (y−2) + ex (y−2) − 5
2 y − x2 ex (y−2)
(x0, y0) = (−1, 2)
( %o24) g ′ (−1) = − 4
3
(−1, 2)
−4/3
( %o25) [gr2d (implicit, implicit)]

y = f(x) = 1 − x2
x 4 + 1 .
R 2 F : R 2 → R 2
u = x
v = x 2 + y
y =
ψ(x)
xy = 1
x − y + 3xy = 2
y 6 − x 5 = 0.
2x 2 + xy + y 2 = 8,
(2, 0)
(x + 2y + xy)e x2 −y = 4
x y (1, 1)
e xy − 1 = 0
(0, 0) y x (1, 0)
2xe y + x 2 + y 3 = −1,
y x (−1, 0)
x = −1 y = f(x)
y = xy 2 .
(1, 1)
y = g(x) x g(1)
g ′ (x)
y = g(x) 2
x = 1

( %o1) −cos(x)
¢ 3x − 4a
x2 − 6x + 3 x
( %o2)
(9 − 4a) log( 2x−2√ 6−6
2x+2 √ 6−6 )
2 √ 6
+ 3 log(x2 − 6x + 3)
2
( %o3)
3 x − 4 a
x 2 − 6 x + 3
¢ x a x.
Is a + 1 zero or nonzero?

( %o4) log (x)
( %o5)
Is a + 1 zero or nonzero?
x a+1
a + 1
a > 1
( %o6) [a > 1]
( %o7)
x a+1
a + 1
a > 0
¢ log(1 + (1 + x 2 ) 1
2 ) x :
( %o8)
¢ x 2
(x 2 + 1) 3
2 + x 2 + 1 dx + x log
x2 + 1 + 1 + atan (x) − x

( %o9) x log x2 + 1 + 1 +
¢ √
x2 + 1 − 1
x2 dx + atan (x) − x
+ 1
( %o10) x log x2 + 1 + 1 + asinh (x) − x
( %o11) log x2 + 1 + 1
( %o12)
x 2
(x 2 + 1) 3
2 + x 2 + 1
( %o13)
√ x 2 + 1 − 1
x 2 + 1
a + b √ c

( %o14) true
√
x2 + 1 − 1
( %o15)
x2 + 1
%
d(u · v) = du · v + u · dv
¢ ¢
u · dv = uv − du · v.
¡ log(x)x
( %o16) x log (x) − x
( %o17)
intpartes (expr, x, u, dv) :=
¢ ¢
dv : dvdx, u dv − dv diff (u, x, 1) dx
¡ x 2 sin(x)x u = x 2 dv = sin(x)
dv = sin(x)x x

( %o18) 2 (x sin (x) + cos (x)) − x 2 cos (x)
( %o19) x 2 sin (x)
¢ cos(x) sin 3 (x)x,
u = sin(x)
f(u, variable) = 0
¢ 3
( %o20)
cos (x) sin (x) dx
¢
3
( %o21)
u du
u = sin(x) f f(u, x) =
u − sin(x) = 0
u − sin(x) u − sin(x) = 0

( %o22)
¢ u 3 du
u = sin(x)
( %o23)
sin (x) 4
4
( %o24)
( %o25)
u 4
4
sin (x) 4
4
( %o26)
π 4 − 6 π 2 + 4 π
4
e−x2

( %o27)
√ π erf (x)
2
( %o28)
√ √
π erf (3) π erf (2)
+
2
2
( %o29) 1.768288739021943
[a, b] m
¢ b
a
f(x)x
b − a
6
f(a) + 4f
a + b
2
+ f(b)
n n
x0 = a < · · · < xn = b
¢ b
a
f(x)x ∆x
3 (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + · · ·
+2f(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)) .

¢ π
0
x 2 + 1x
( %o31) g (x) := x 2 + 1
( %o32) 6.10992039999907
( %o33) .2473707830602824
±∞
¢ ∞
1
1
x.
x2

¢ b
límb→∞
1
1
x.
x2
( %o34) 1 − 1
b
( %o35) 1
¢ 2
¢ 2
lím c→0 +
0
c
1
,
x2 1
,
x2
( %o36)
1 1
−
c 2
( %o37) ∞
x a, b

( %o38) 1
( %o39) 2
¡ 1
0
√ 1 x
x2 +x
x ∈]0, 1[
Is 2 x 2 + 3 x + 2 + 2 x + 3 positive or negative?
( %o40) log 2 √
2 + 3
¢ 1
√ 7 + 8x x
¢ x 2
x
1 + x6 ¢ x 2 log(x) x
¢ x
sin 2 (x) x.

¢ 1
x
x3 ¢ sin(10x) sin(15x) x
¡ 1
0
a b
x
a+bx
x
a > b
¢ 1 1
+
(x − 3) 4 2 x.
y = x − 3
¢ 4
¢ ∞
¢ 2
0
1
−2
1
x x
1
x
1 + x3 x + 1
√ x − 1 x.
¢ ∞
e −x2
x
¢ π
cos(3 cos(x)) x
0
0

¢ 1
sin(xe x ) x
¢ 1
0
1
2
1
x.
x3 ¢ 1
tan(x 2 ) x
0
f(x) = 2x 2 + 3x g(x) = x 3
f(x) − g(x)
g(x) − f(x)
(x 2 + xy 2 ) xy

○

○

○

○

○

○

○