Gaussova eliminace, LU rozklad

Gaussova eliminace
ˇReˇsíme soustavu Ax = b, kde
⎡
2
⎢
A = ⎢ −4
⎣ 8
−4
5
−22
0
1
7
⎤
6
−8 ⎥
30 ⎦
6 −3 22 2
b =
⎡
⎢
⎣
Gaussova eliminace, LU rozklad
−14
16
−73
23
1. Pˇrím´y chod
Napíˇseme rozˇsíˇrenou matici soustavy (A|b), kterou pomocí ekvivalentních
úprav pˇrevedeme do horního trojúhelníkového tvaru. Nejdˇrív postupně pˇričítáme
první ˇrádek, vynásoben´y vˇzdycky vhodn´ym číslem, k ostatním ˇrádk˚um tak, abychom
v prvním sloupci dostali pod hlavní diagonálou samé nuly. Číslo, kter´ym
jsme museli první ˇrádek vynásobit, abychom dostali nulu v k-tém ˇrádku, si
napíˇseme vlevo vedle k-tého ˇrádku (pro pozdějˇsí vyuˇzití):
2
−4
−3
⎡
⎢
⎣
2 −4 0 6 −14
−4 5 1 −8 16
8 −22 7 30 −73
6 −3 22 2 23
⎤
⎥
⎦ ∼
−2
3
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
x =
⎡
⎢
⎣
x1
x2
x3
x4
⎤
⎥
⎦
2 −4 0 6 −14
0 −3 1 4 −12
0 −6 7 6 −17
0 9 22 −16 65
Postup opakujeme pro druh´y ˇrádek a druh´y sloupec a pak pro tˇretí ˇrádek a
sloupec:
∼
−5
⎡
⎢
⎣
2 −4 0 6 −14
0 −3 1 4 −12
0 0 5 −2 7
0 0 25 −4 29
⎤
⎥
⎦ ∼
⎡
⎢
⎣
2 −4 0 6 −14
0 −3 1 4 −12
0 0 5 −2 7
0 0 0 6 −6
2. Zpětn´y chod
Označme si v´yslednou rozˇsíˇrenou matici z (2) jako (U|g):
⎡
⎢
⎣
2 −4 0 6 −14
−4 5 1 −8 16
8 −22 7 30 −73
6 −3 22 2 23
⎤
⎥
⎦
∼ . . . ∼
⎡
⎢
⎣
2 −4 0 6 −14
0 −3 1 4 −12
0 0 5 −2 7
0 0 0 6 −6
A b U g
⎤
⎥
⎦
⎤
(1)
⎤
⎥
⎦
(2)
⎥
⎦ (3)
Místo p˚uvodní soustavy Ax = b budeme nyní ˇreˇsit soustavu Ux = g, která
má stejn´y vektor ˇreˇsení x, protoˇze jsme ji získali z p˚uvodní soustavy pomocí
ekvivalentních úprav. ˇ Reˇsí se snadněji, protoˇze má horní trojúhelníkovou matici
(značení U je z anglického Upper triangular).
1 c○ Certik

Gaussova eliminace, LU rozklad
Neznám´y vektor x nyní počítáme postupně od posledního ˇrádku směrem
nahoru. Poslední ˇrádek reprezentuje rovnici 6x4 = −6, tedy
x4 = −1 .
Tento v´ysledek dosadíme do pˇredposledního ˇrádku 5x3 − 2x4 = 7, tedy
x3 = (7 + 2x4)/5 = (7 + 2 · (−1))/5) = 1 .
Analogicky dopočítáme
x2 = (−12 − x3 − 4x4)/(−3) = (−12 − 1 − 4 · (−1))/(−3) = 3 ,
x1 = (−14 + 4x2 − 6x4)/2 = (−14 + 4 · 3 − 6 · (−1))/2 = 2 .
V´ysledn´y vektor ˇreˇsení je tedy
x =
⎡
⎢
⎣
2
3
1
−1
⎤
⎥
⎦ .
Poznámka 1
V uvedeném pˇríkladě jsme pouˇzívali pouze jeden ze vˇsech moˇzn´ych typ˚u
ekvivalentních úprav, lze vˇsak pouˇzít obecnějˇsí ekvivalentní úpravy na ˇrádky
rozˇsíˇrené matice:
• pˇričíst k některému ˇrádku libovolnou lineární kombinaci ostatních ˇrádk˚u
• vynásobit ˇrádek nenulov´ym číslem
• pˇrehodit ˇrádky
• vyˇskrtnout nulov´y ˇrádek
LU rozklad
Motivace
Pˇredstavme si nyní, ˇze chceme soustavu (1) ˇreˇsit opakovaně pro více r˚uzn´ych
stran, napˇríklad pro
b =
⎡
⎢
⎣
−26
34
−149
−87
⎤
⎥
⎦ ,
b =
⎡
⎢
⎣
16
−28
63
3
⎤
⎥
⎦
, ...atd.
M˚uˇzeme samozˇrejmě pro kaˇzdou pravou stranu znovu spočítat pˇrím´y chod
Gaussovy eliminace tak, jak bylo popsáno v´yˇse. Jistě si vˇsak brzo vˇsimneme,
ˇze pˇrevedení matice A na horní trojúhelníkovou matici (tj. to, co nám dá
nejvíc práce), z˚ustává poˇrád stejné bez ohledu na pravou stranu, se kterou
zrovna počítáme. Jediné, co se vˇzdycky mění, jsou poslední sloupce ekvivalentních
úprav (2). Rádi bychom si tedy uˇsetˇrili práci a získali poslední sloupec
g v´ysledné matice (3 vpravo) rychleji. K tomu m˚uˇzeme pouˇzít koeficienty, které
2 c○ Certik

Gaussova eliminace, LU rozklad
jsme si v pˇrímém chodu Gaussovy eliminace zaznamenávali vˇzdycky vlevo vedle
pˇrísluˇsného ˇrádku a které nám ˇríkají, jaké ekvivalentní úpravy jsme pouˇzili na
matici A: stejné úpravy totiˇz musíme provést i na kaˇzdou pravou stranu b, pro
kterou chceme soustavu ˇreˇsit.
LU rozklad
Označme sloˇzky vektoru b jako bi, sloˇzky vektoru g jako gi a podívejme se
znovu na pˇrím´y chod Gaussovy eliminace. Co jsme s čísly bi udělali, abychom
získali gi?
První sloˇzka z˚ustala beze změny (první ˇrádek jsme stále jen opisovali):
g1 = −14 = b1
Druhou sloˇzku jsme změnili jen pˇri nulování prvního sloupce:
g2 = b2 + 2 · (−14) = b2 + 2g1
Tˇretí sloˇzku jsme změnili nejdˇrív pˇri nulování prvního sloupce a pak jeˇstě pˇri
nulování druhého sloupce:
g3 = b3 − 4 · (−14) − 2 · (−12) = b3 − 4g1 − 2g2
Poslední sloˇzku jsme měnili pˇri úpravě kaˇzdého sloupce:
g4 = b4 − 3 · (−14) + 3 · (−12) − 5 · 7 = b4 − 3g1 + 3g2 − 5g3
Kdyˇz te ˇ d pˇrevedeme vˇsechny neznámé gi doleva, dostaneme soustavu rovnic
g1 = b1
−2g1 + g2 = b2
4g1 + 2g2 + g3 = b3
3g1 − 3g2 + 5g3 + g4 = b4
tj. vektor g získáme ˇreˇsením soustavy Lg = b s dolní trojúhelníkovou maticí L
(z angl. Lower triangular)
⎡
1
⎢
L = ⎢ −2
⎣ 4
0
1
2
0
0
1
⎤
0
0 ⎥
0 ⎦
(5)
3 −3 5 1
která má na diagonále jedničky a pod diagonálou pˇrísluˇsné koeficienty z úprav
(2) s opačn´ym znaménkem.
Matice L určuje vztah nejen mezi posledními dvěma sloupci b a g rozˇsíˇren´ych
matic (A|b) a (U|g) z (3), ale mezi kaˇzd´ymi dvěma odpovídajícími sloupci. Platí
tedy nejen Lg = b, ale i LU = A.
Rozklad matice A = LU na součin dolní trojúhelníkové matice L, která má
na diagonále jedničky, a horní trojúhelníkové matice U naz´yváme LU rozklad.
P˚uvodní soustavu
Ax = b lze pomocí LU rozkladu napsat jako
LUx = b a porotoˇze platí g = Ux, dostaneme
Lg = b .
(4)
3 c○ Certik

Gaussova eliminace, LU rozklad
ˇReˇsení soustavy rovnic pomocí LU rozkladu
Pˇredpokládejme, ˇze jsme rozloˇzili matici A na součin A = LU postupem
popsan´ym v´yˇse, a chceme ˇreˇsit soustavu Ax = b pro vektor b dan´y v (1). Postup:
1. Vyˇreˇsíme Lg = b
Upravenou pravou stranu g z (3) vypočítáme ˇreˇsením soustavy Lg = b, tj.
konkrétně
⎡
⎢
⎣
1 0 0 0
−2 1 0 0
4 2 1 0
3 −3 5 1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
g1
g2
g3
g4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
−14
16
−73
23
Z první rovnice okamˇzitě dostaneme g1 = −14, dosazením do druhé rovnice
získáme g2 = 16 + 2g1 = 16 + 2 · (−14) = −12, a tak dál. V´ysledek je
⎡ ⎤
−14
⎢
g = ⎢ −12 ⎥
⎣ 7 ⎦
−6
.
ˇReˇsením soustavy Lg = b jsme tedy nahradili pˇrím´y chod Gaussovy eliminace.
2. Vyˇreˇsíme Ux = g
Toto uˇz je standardní zpětn´y chod Gaussovy eliminace popsan´y v´yˇse.
***
Chceme-li najít ˇreˇsení pro dalˇsí pravé strany b a b, zopakujeme pro ně kroky
1 a 2. ˇ Reˇsením Lg = b, resp. Lg = b, dostaneme
⎡ ⎤
−26
⎢
g = ⎢ −18 ⎥
⎣ −9 ⎦ ,
⎡
16
⎢
g = ⎢ 4
⎣ −9
⎤
⎥
⎦
−18
12
a zpětn´ym chodem Gaussovy eliminace U x = g, resp.
ˇreˇsení
U x = g, získáme
⎡
−2
⎢
x = ⎢ 1
⎣ −3
⎤
⎥
⎦ ,
⎡
4
⎢
x = ⎢ 1
⎣ −1
⎤
⎥
⎦
−3
2
.
Poznámka 2
V´yˇse popsan´y postup pro nalezení matice L funguje pouze v pˇrípadě, ˇze
pouˇzíváme pouze jeden ze vˇsech moˇzn´ych typ˚u ekvivalentních úprav uveden´ych
v Poznámce 1, konkrétně: vˇzdy jen vynásobíme pˇrísluˇsn´y ˇrádek vhodn´ym koeficientem
a pˇričteme k jinému ˇrádku. Tedy musíme postupovat pˇresně tak, jak
jsme postupovali v úpravách (2).
⎤
⎥
⎦
4 c○ Certik