PRINCIP VIRTUALNIH RADOVA

18.5.2011 

Preddiplomski studij Građevinarstva - I. godina studija 

II. (ljetni) semestar - akademska 2010./2011. godina 

PRINCIP VIRTUALNIH RADOVA 

ELEMENTI ANALITIČKE STATIKE 

Predmet: MEHANIKA I 



1. OBILJEŽJE METODE VIRTUALNIH POMAKA 

Dosad smo pri rješavanju statičkih zadataka koristili Poinsotovu 

metodu projekcija zasnovanu na principu paralelograma sila. 

Ta metoda kod složenijih sustava, na primjer od n tijela gdje u 

općem slučaju imamo 6 jednadžbi po svakom tijelu tj ukupno 6n 

jednadžbi, nije primjerena. 

Radi toga se koristi metoda virtualnih pomaka koja se temelji 

na principu virtualnih radova. 

Glavna joj je odlika da u slučaju idealnih veza daje jednadžbu 

koja ne sadrži reakcije veza, nego samo efektivne sile. 



1

18.5.2011 



2. POJAM VIRTUALNOG POMAKA 

I VIRTUALNOG RADA 

Virtualnim pomakom δs nazivamo zamišljeni, veoma mali i 

od vremena nezavisni, dakle, čisto geometrijski pomak sustava, 

koji njegove veze dopuštaju. 

Pomak mora biti malen, da sile ne bi mijenjale svoj pravac. 

Koliko stupnjeva slobode ima zadani sustav, toliko je virtualnih 

pomaka moguće i potrebno, da se izraze pomaci sviju točaka 

sustava. 

Virtualnim radom sile, koja djeluje na kruto tijelo naziva se rad 

te sile pri virtualnom pomaku tijela. 

Djeluje li na tijelo (ili na složeni sustav) više sila, onda je virtualni 

rad tog sustava sila jednak sumi virtualnih radova svih sila 

sustava. 





3. VIRTUALNI RAD SILA, KOJE DJELUJU 

NA MATERIJALNU TOČKU 

Slučaj slobodne materijalne točke 

Virtualni rad sila, koje djeluju 

na promatranu točku pri 

njezinom virtualnom pomaku 

δs, može se izraziti kao: 

→ → 

⎛ ⎞ 

R δs cos ⎜R, 

δs⎟ 

= Rxδx 

+ Ryδy 

+ Rzδz 

⎝ ⎠ 

Ako je zadani sustav sila u 

ravnoteži bit će: 

Rx = 0, Ry 

= 0, Rz 

= 0. 



2

18.5.2011 



Ako na točku djeluju sile tako, 

da je njihov rad pri svakom 

virtualnom pomaku jednak nuli, 

onda je taj sustav sila u 

ravnoteži. 

Analitički to možemo izraziti kao: 

→ → 

⎛ ⎞ 

R δs cos ⎜R, 

δs⎟ 

= 0 

⎝ ⎠ 

odnosno u obliku poznatog 

tročlanog izraza: 

Rx δx 

+ Ryδy 

+ Rzδz 

= 0 





Ako uzmemo, na primjer da je: 

δx 

= δy 

= 0, a δz 

≠ 0 

onda je očigledno da mora biti: 

R z 

= 0 


ZA SLOBODNU MATERIJALNU 

TOČKU 

Sustav sila, koje djeluju na 

slobodnu materijalnu točku, bit 

će u ravnoteži samo u slučaju 

ako je algebarska suma radova 

svih sila pri svakom virtualnom 

pomaku jednaka nuli. 



3

18.5.2011 



Slučaj neslobodne materijalne točke 

Materijalna točka A vezana je 

za plohu F(x, y, z) = 0 

uprostoru 

prostoru. 

Jednadžba ravnoteže u 

vektorskom obliku glasi: 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

Pi N = 

+ → 

Ako zamislimo da je točka A 

dobila beskonačno mali pomak 

δs na površini zadane plohe, i 

ako gornju jednadžbu 

pomnožimo skalarno s δs: 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

→ 

→ 

→ 

0 

Pi ⋅ δs 

+ N ⋅ δs 

= 

0 





Budući da je: 

→ 

→ 

N ⊥ δs 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

→ 

Pi ⋅ δs 

= 

0 


ZA NESLOBODNU 

MATERIJALNU TOČKU 

Da bi materijalna točka, koja je 

podvrgnuta vanjskim vezama 

bez trenja, bila u ravnoteži, 

nužno je i dovoljno, da za svaki 

virtualni pomak koji veze 

dopuštaju, suma virtualnih 

radova zadanih sila bude 

jednaka nuli. 



4

18.5.2011 




NA KRUTO TIJELO 

Na materijalnu točku m i djeluju tri sile: 

a) zadana sila P i , 

b) vanjska reakcija veza N i i 

c) unutarnja reakcija N i *. 





Jednadžba ravnoteže točke m i : 

→ 

→ 

→ 

* 

Pi + Ni 

+ Ni 

= 

Ako zamislimo da smo tijelu dali virtualni pomak koji vanjske 

veze dopuštaju: 

→ → → → → → 

* 

P ⋅ δs 

+ N ⋅ δs 

+ N ⋅ δs 

0 

0 

i i i i i i 

= 



5

18.5.2011 



Sumiranjem za sve točke krutog tijela dobivamo: 

n 

∑ 

i= 

1 

* 

Pi ⋅ δsi 

+ N ⋅ δs 

+ N ⋅ δs 

= 0 

S obzirom da su drugi i treći član jednaki nuli: 


→ 

→ 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

i 

→ 

i 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

i 

→ 

i 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

→ 

Pi ⋅ δsi 

= 0 




PRINCIP VIRTUALNIH RADOVA ZA KRUTO TIJELO 

Da bi kruto tijelo, koje je podvrgnuto vanjskim vezama bez 

trenja, bilo u ravnoteži, nužno je i dovoljno, da za svaki virtualni 

pomak tijela, koji veze dopuštaju, suma virtualnih radova zadanih 

sila bude jednaka nuli. 



6

18.5.2011 




NA SUSTAV KRUTIH TIJELA 

Sumiranjem jednadžbi za sva tri tijela dobivamo: 

n 

∑ 

i= 

1 

Pi ⋅ δsi 

+ Ni 

⋅ δsi 

= 0 

S obzirom da je drugi član jednaki nuli: 


→ 

→ 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

→ 

n 

∑ 

i= 

1 

→ 

→ 

Pi ⋅ δsi 

= 0 




PRINCIP VIRTUALNIH RADOVA ZA SUSTAV KRUTIH TIJELA 

Da bi sustav krutih tijela, koji je podvrgnut vanjskim vezama bez 

trenja, bio u ravnoteži, nužno je i dovoljno, da za svaki virtualni 

pomak sustava, koji postojeće veze dopuštaju, suma virtualnih 

radova zadanih sila bude jednaka nuli. 



7

18.5.2011 



6. JEDNOSTRANE I DVOSTRANE VEZE 

Za veze sustava pretpostavljamo, da su takve da sustav nije 

nepomičan. 

Iz položaja, koji sustav zauzima u stanju ravnoteže, može se 

zbog djelovanja efektivnih sila beskonačno malo pomaknuti, 

a da se pri tom postojeće veze ne poremete. 

Dvostrana veza - ona veza koja osim proizvoljnog malog 

pomaka sustava dopušta i suprotan pomak. 

Jednostrana veza - ona veza koja za svaki virtualni pomak 

sustava ne dopušta beskonačno mali 

suprotno usmjereni pomak. 





7. VIRTUALNI RAD UNUTARNJIH SILA 

→ 

Sik Ski 

= 

+ → 

0 

Zamislimo, da svake dvije materijalne točke sustava djeluju 

uzajamno jednakim i suprotnim silama. 

Pretpostavimo da su točke m i i m k spojene fiktivnim štapom 

u kojem djeluje aksijalna sila S ik = S ki . 



8

18.5.2011 



Pri virtualnom pomaku prirodnog čvrstog tijela točke m i i m k 

zauzele bi položaj m i ’ i m k ’. 

Označimo s m i ’’ i m k ’’ projekcije tih točaka m i ’ i m k ’ na 

spojnicu m i m k . 





Virtualni rad sila S ik i S ki pri tom pomaku bit će: 

δA 

= S 

ik 

⋅ 

m m 

i 

'' 

i 

− 

S 

ki 

⋅ 

m 

k 

m 

'' 

k 



9

18.5.2011 



Označimo li: 

m m = s 

za nekruta tijela općenito vrijedi: 

odnosno: 

i 

' 

i 

k 

m m 

' 

k 

'' 

m m 

i 

'' 

k 

ik 

= s 

ik 

+ δs 

ik 

' ' 

= m m ⋅ cos δα 

i 

k 

δα − beskonacno mali kut, 

koji zat var aju spojnice 

' ' 

m m i m m . 

i 

k 

i 

k 





Ako zanemarimo beskonačno male veličine višeg reda: 

m 

'' 

i 

m 

'' 

k 

= m m 

' 

i 

' 

k 

= s 

ik 

+ δs 

ik 



10

18.5.2011 



'' 

'' 

Budući da je: δA 

= Sik 

⋅ ( mi 

mi 

− mk 

mk 

) 

pri čemu je: 

m m − m m 

i 

'' 

i 

k 

'' 

k 

= m m 

i 

k 

− m 

za virtualni rad sila S ik i S ki dobivamo izraz: 

δA 

= − S ik 

⋅ δs ik 


'' 

i 

m 

'' 

k 

= −δs 

ik 




PRINCIP VIRTUALNIH RADOVA ZA NEKRUTA TIJELA 

Tijelo ili sustav tijela je u ravnoteži, ako je pri svakom virtualnom 

pomaku suma virtualnih radova vanjskih i unutarnji sila 

jednaka nuli. 



11

18.5.2011 



8. PRIMJENA PRINCIPA VIRTUALNIH RADOVA 

Poluga 

Jednadžba virtualnih radova glasi: 

∑ δA = Qa ⋅ δϕ − Pb ⋅ δϕ = 0 

odakle dobivamo Arhimedov zakon poluge: 

P b = 

Qa 





Kosina 

Horizontalna komponenta pomaka hvatišta sile P: 

δp 

= δs 

⋅ cosα 

A pomak hvatišta sile Q u pravcu te sile je: 

δq 

= − δs 

⋅ sinα 



12

18.5.2011 



Jednadžba virtualnih radova u tom slučaju je: 

∑ δ 

A = 

P ⋅ 

δp 

+ 

Q ⋅ 

δq 

= 

0 

odnosno, 

P ⋅ δs 

⋅ cosα − Q ⋅ δs 

⋅ sinα 

= 0 

i odatle, 

P = Q ⋅ tgα 





Kolo na vretenu 



13

18.5.2011 



9. PROŠIRENJE PRINCIPA VIRTUALNIH RADOVA 

Princip virtualnih radova može se primijeniti u njegovom 

općem obliku 

ΣδA = 0 

na proizvoljan sustav materijalnih točaka pod uvjetom, da 

suma radova reakcija veza bude jednaka nuli za svaki virtualni 

pomak sustava, koji postojeće veze dopuštaju. 

Princip virtualnih radova može se primijeniti i na tekućine ako 

ako se izaberu takvi pomaci, da volumen tekućine ostane 

konstantan. 

Princip virtualnih radova može se primijeniti i kad postojeće veze 

proizvode sile trenja, pod uvjetom, da te sile trenja ubrojimo u 

zadane sile. 





Određivanje reakcija pomoću principa virtualnih radova 

Primjer: Horizontalna greda vezana je u A i poduprta u B, a 

opterećena silom P. 

Pomoću principa virtualnih radova odrediti veličinu 

reakcije u B, za proizvoljni položaj sile P, koji je određen 

njezinom udaljenošću x od A. 



14

18.5.2011 



Jednadžba virtualnih radova glasi: 

i odatle dobivamo 

R B 

⋅ 

b 

δϕ − 

P ⋅ x 

δϕ = 

0 

R B 

= P ⋅ 

x 

b 





ODREĐIVANJE TEŽIŠTA 

PROSTORNI SUSTAVI SILA 


15

18.5.2011 



1. OPĆENITO O TEŽIŠTU 

Kod prostornog sustava paralelnih sila, hvatište rezultante takvog 

sustava sila ne mijenja svoj položaj u odnosu na tijelo kad se sve 

promatrane paralelne sile zaokrenu u svojim hvatištima za isti kut. 

Ako takve sile nastaju djelovanjem sile teže, to jest privlačne sile, 

kojom Zemlja privlači sva tijela prema središtu, onda se središte 

takvog sustava paralelnih sila istog smjera naziva TEŽIŠTEM. 

Sila teža ima pravac niti, koje je jedan kraj nepomično učvršćen, č a na drugom je privezano teško tijelo. 

Taj se pravac naziva vertikalnim, a ravnina okomita na taj pravac 

zove se horizontalna ravnina. 





Za svako tijelo možemo smatrati, da je sastavljeno od materijalnih 

točaka ili čestica mase m 1 , …, m i , … m n i da na svaku česticu 

djeluje elementarna težina ΔG i , tako da je ukupna težina tijela: 

G 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

Δ 

G i 

Zamislimo da smo materijalno tijelo volumena 

V rastavili na veoma mnogo elementarnih 

čestica u obliku malih paralelepipeda volumena 

ΔV. Ako je ΔG težina svake takve 

čestice onda je: 

ΔG 

dG 

γ = lim = 

ΔV→0 

ΔV 

dV 

specifična težina ili težina jedinice 

volumena tijela u promatranoj točki tijela. 



16

18.5.2011 



U općem slučaju, specifična težina zavisi od položaja promatrane 

točke, to jest: γ = γ ( x,y,z ) 

Veličina ρ = γ/g naziva se gustoćom, specifičnom masom ili 

masom jedinice volumena tijela u promatranoj točki. 

Prema tome je i ρ funkcija (neprekidna ili prekidna) koordinata 

točaka tijela. 





Kod homogenog tijela (ako materija tijela ima u svakoj njegovoj 

točki ista mehanička svojstva, bit će γ i ρ konstantne veličine. 

2 

[ γ 

] = N [ ] = Ns 

3 ρ 

4 

m 

m 

Iz definicija γ i ρ dobivamo: 

dG = γ dV = gρdV 

Smatramo li te elementarne težine za sustav paralelnih sila istog 

smjera, njihova rezultanta bit će jednjaka njihovoj sumi, to jest 

težini cijelog tijela. 

Koordinate hvatišta te rezultante određujemo kao koordinate 

središta paralelnih sila prema izrazima: 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

ΔG x 

ΔG y 

x0 

= , y0 

= , z0 

= 

ΔG 

ΔG 

∑ 

∑ 

ΔGz 

. 

ΔG 



17

18.5.2011 



Ako su ΔV i ΔG veoma male veličine, bit će ΔG = γ ΔV, odnosno 

ako ih smatramo za beskonačno male slijedi da je dG = γ dV, 

pa dobivamo: 

∑ 

∑ 

γdV 

⋅ x 

, 

γdV 

y 

∑ 

∑ 

γdV 

⋅ y 

, 

γdV 

x0 

= 

0 

= 

0 

z 

= 

∑ 

∑ 

γdV 

⋅ z 

. 

γdV 

Te relacije izražavaju tražene koordinate težišta tijela. 

(I) 

Ako sve težine jedinice volumena tijela γ zamijenimo veličinom 

gρ, dobit ćemo izraze težišta tijela u obliku: 

∑ρ 

∑ 

∑ρ 

∑ 

gdV ⋅ x 

gdV ⋅ y 

x0 

= , y0 

= , z0 

= 

ρgdV 

ρgdV 

gdje je ΣρdV masa cijelog tijela. 

∑ρ 

∑ 

gdV ⋅ z 

ρgdV 





Pretpostavimo li, da je tijelo veoma malo, možemo te izraze 

kratiti s g, jer je ubrzanje sile teže za sve točke tijela u tom 

slučaju jednako, pa dobivamo: 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

ρdV 

⋅ x 

ρdV 

⋅ y 

x0 

= , y0 

= , z0 

= 

ρdV 

ρdV 

∑ 

∑ 

ρdV 

⋅ z 

ρdV 

(II) 

Ovi izrazi određuju koordinate težišta masa (ili središta inercije) 

tijela. 

U slučaju homogenih tijela imamo: 

x 

1 

1 

1 

= ∫ x dV, y0 

= ∫ y dV, z0 

= 

V 

V 

V 

∫ 

0 V 

V 

V 

zdV 

(III) 

Ovi izrazi određuju koordinate težišta volumena promatranog 

tijela. 



18

18.5.2011 

∫ 



∫ 

∫ 

x dV, y dV, z dV - statički momenti s obzirom na 

ravnine yz, xz, xy. 

Materijalna ploha 

∑ γ 

∑ 

' ΔF 

⋅ x 

x0 

= , y0 

= 

γ' 

ΔF 

∑ γ 

∑ 

γ’ - težina jedinice površine plohe 

Za homogenu plohu: 

' ΔF 

⋅ y 

γ' 

ΔF 

1 

1 

x = ∫ x dF, y0 

= ∫ y dF 

0 

F 

F 

(F) 

(F) 





U općem (prostornom) slučaju: 

1 

1 

1 

x = ∫ x dF, y0 

= ∫ y dF, z0 

= ∫ z dF 

0 

F 

F 

F 

(F) 

(F) 

(F) 



19

18.5.2011 



Materijalna linija 

∑ γ 

∑ 

∑ γ 

∑ 

'' Δl 

⋅ x 

'' Δl 

⋅ y 

x0 

= , y0 

= , z0 

= 

γ'' 

Δl 

γ'' 

Δl 

γ’’ - težina jedinice duljine materijalne linije 

Za homogenu liniju: 

∑ γ 

∑ 

1 

1 

1 

= ∫ dl ⋅ x, y0 

= ∫ dl ⋅ y, z = ∫ dl ⋅ z 

l 

l 

l 

x0 

0 

'' Δl 

⋅ z 

γ'' 

Δl 

Određivanje težišta homogenih tijela, ploha i materijalnih linija ima 

čisto geometrijski karakter. 





2. TEŽIŠTE SIMETRIČNIH LIKOVA 

Za ravne figure što imaju jednu os simetrije, dovoljno je odrediti 

jednu koordinatu x 0 ili y 0 težišta S. 



20

18.5.2011 



Težište ravne figure s dvije ili više osi simetrije leži u sjecištu 

tih osi. 





3. TEŽIŠTE MATERIJALNIH LINIJA 

Težište izlomljenje linije 



21

18.5.2011 



Težište kružnog luka 

l = r · 2α - ukupna duljina luka 

dl = rdϕ - duljina luka lučnog elementa 

U slučaju kružnog luka 

polumjera r i središnjeg kuta 

2α težište S leži na 

raspolovnici kuta, koja je 

ujedno os simetrije. 

Njegov položaj na toj 

simetrali dobivamo pomoću: 

x l 

x 

∑ Δ 

0 

= 

l 

x = r cosϕ - da bismo pod integralom dobili jednu promjenjivu 





x 

0 

1 

= 

l 

∫ 

AB 

r 

= 

2α 

1 

y dl = 

2αr 

r 

r cosϕ ⋅rdϕ = 

2α 

r 

2α 

cosϕdϕ = 

r 

2α 

+α 

[ sinϕ] = [ sinα − sin( − α) 

] = ⋅ 2sinα 

−α 

+α 

∫ 

−α 

+α 

∫ 

−α 



22

18.5.2011 



x 0 

sin 

α 

= r ⋅ 

α 

U posebnom slučaju, č kad je α = 90 o = π/2 (polukružni l k ž i luk): 

2 

x 0 

= r ⋅ = 0,637 r 

π 

Za α = π imamo x 0 = 0 (kružnica). 





4. TEŽIŠTE MATERIJALNIH PLOHA 

Trokutna ploha 


y= 

h 2 

bh by 

F ⋅ y0 = ⋅ y0 

= ∫ ⋅ dy 

2 h 

y= 

0 

y 0 

2 

= ⋅h 

3 


23

18.5.2011 



Trapezna ploha 

F ⋅ z 

0 

= F1 

⋅ z1 

+ F2 

⋅ z2 

F1 

⋅ z1 

+ F2 

= 

F 


⋅ z 

2 

z0 

1 h 1 2 h 

b h ⋅ + a h ⋅ 

= 2 3 2 3 

1 

h ( a + b) 

2 

( 2a b) 

( a b) 

h + 

z 0 

= 

3 + 




5. TEŽIŠTE SASTAVLJENIH LIKOVA 

Sastavljene likove rastavljamo u što manji broj jednostavnih 

sastavnih dijelova, , kojih veličinu i položaj težišta možemo lako 

naći. 

Pri tom, najprije treba ustanoviti, da li zadano tijelo ima ravnine 

simetrije ili osi simetrije, jer u tom slučaju svaka simetričnost 

smanjuje broj potrebnih koordinata težišta za jedan. 

Važan je odabir pogodnog koordinatnog sustava koji se obvezno 

ucrtava u skicu zadanog lika. 

U slučaju simetričnih likova izabrat ćemo ravninu simetrije ili os 

simetrije za jednu koordinatnu ravninu, odnosno koordinatnu os. 

Time se postiže da je koordinata težišta, mjerena od takve ravnine 

ili osi jednaka nuli. 



24

18.5.2011 







Zadanu plohu rastavljamo na sastavne dijelove: 

- polukružni prsten (razlika polukružnih ploha polumjera r 1 i r 2 ) 

- tri pravokutne plohe i 

- jedna trokutna ploha. 



25

18.5.2011 



1 2 1 

2 

2 ⎫ 

F1 

= ⋅ π ⋅r1 

= ⋅ π ⋅3,5 

= 19,24 cm 

2 2 

⎪ 

⎬ 

1 

2 

1 

2 

2 

F r 

2,0 

6,28 cm 

2 

= ⋅ π ⋅ 

2 

= ⋅ π ⋅ = 

2 2 

⎪ ⎭ 

2 

F3 

= 1,5 ⋅5,5 

= 8,25 cm ⎫ 

⎪ 

2 

F4 

= 2,0 ⋅3,0 

= 6,00 cm ⎬ 

2 ⎪ 

F5 

= 1,5 ⋅ 4,5 = 6,75 cm 

⎭ 


(površine polukružnih ploha) 

(površine pravokutnika 3, 4 i 5) 




1 

F = ⋅1,5 

⋅3,0 

2 

6 

= 

2,25 cm 

2 

(površina trokuta) 

Ukupna površina zadane plohe iznosi: 

F = F 

= 

2 

1 

− F2 

+ F3 

+ F4 

+ F5 

+ F6 

36,21cm 



26

18.5.2011 



Koordinatni sustav biramo tako, da se pojavljuju samo pozitivne 

apscise x. Pretpostavimo, da se težište zadane figure nalazi u 

točki S(x 0 ,y 0 ). 





Pomoću poznatih izraza za koordinate težišta ravne homogene 

polukružne plohe dobivamo: 

4 

x = r1 

− r1 

= 0,576 ⋅r1 

= 0,576 ⋅ 3,5 = 2,02 cm; y1 

3 ⋅ π 

1 

= 

4 

2 

= r1 

− r2 

= 3,5 − 0,424 ⋅ 2,0 = 2,65 cm; y = 0. 

3 ⋅ π 

x 

2 

0; 



27

18.5.2011 



S (5,33; 0,54) 

Uvrštavanjem zadanih vrijednosti, koje određuju težišta ostalih 

sastavnih dijelova, dobivamo: 

F1 

x1 

− F2 

x2 

+ F3 

x3 

+ F4 

x4 

+ F5 

x5 

+ F6 

x 

= 

F 

6 

x0 = 

F1 

y1 

− F2 

y2 

− F3 

y3 

− F4 

y4 

+ F5 

y5 

+ F6 

y 

= 

F 

6 

y0 = 

5,326 cm 

0,5385 cm 



28

PRINCIP VIRTUALNIH RADOVA

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?