Reprezentacja liczb w komputerze.

1 / 5 REPREZENTOWANIE I PRZETWARZANIE INFORMACJI
2 / 5 REPREZENTOWANIE I PRZETWARZANIE INFORMACJI
Reprezentacja liczb w komputerze.
1. Systemy pozycyjne.
a) Systemy liczbowe człowieka i maszyny cyfrowej:
System dziesiętny (ang. decimal system):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → 10 cyfr
247 = 2*100 + 4*10 + 7*1 = 2*10 2 + 4*10 1 + 7*10 0
6C5 (16) = 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 (2)
6 C 5
2. Operacje arytmetyczne na liczbach dwójkowych
a) dodawanie
111 111011
+101 + 1010
---- -------
1100 1000101
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
System dwójkowy, binarny (ang. binary system):
0 1 → 2 cyfry
1001011 (2) = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 75 (10)
64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 1 0 1 1 = 64 + 8 + 2 + 1 = 75 (10)
System szesnastkowy (ang. hexadecimal system):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F → 16 cyfr
A7D (16) = A*16 2 + 7*16 1 + D*16 0 = 10*256 + 7*16 + 13*1 = 2685 (10)
256 16 1
A 7 D = 10*256 + 7*16 + 13*1 = 2685 (10)
b) odejmowanie
111 101001
-101 - 1101
---- -------
10 11100
c) mnoŜenie
101 101001
* 10 * 101
---- -------
000 101001
+101_ 000000_
----- +101001__
1010 ---------
11001101
* 0 1
0 0 0
1 0 1
b) Zamiana liczb dziesiętnych na dwójkowe i szesnastkowe:
37
18 1 37 (10) = 100101 (2)
9 0
4 1
2 0
1 0
0 1
123
7 11 123 (10) = 7B (16)
0 7
c) Wzajemna zamiana liczb dwójkowych i szesnastkowych:
2 1 8 4 2 1 8 4 2 1
1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 (2) = 25D (16)
2 5 D
32 16 8 4 2 1
37 (10) = 1 0 0 1 0 1 (2)
16 1
123 (10) = 7 B (16)
3. Długość rozwinięcia binarnego liczby:
Pytanie 1. Jaką największą liczbę naturalną a moŜna zapisać na n bitach?
n = 1 1 (2) = 1 (10)
n = 2 11 (2) = 1 + 2 = 3 (10)
n = 3 111 (2) = 1 + 2 + 4 = 7 (10)
n = 4 1111 (2) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 (10)
a = 2 n – 1
Pytanie 2. Na ilu bitach moŜna zapisać daną liczbę naturalną a?
a = 2 n – 1
a + 1 = 2 n
n = log 2(a+1)
4. Liczby ujemne w systemie dwójkowym:
log
10(
a + 1)
log
2(
a + 1)
=
log 2
a) Standardowy sposób zapisu:
Zapis z tzw. bitem znaku poprzedzającym całą liczbę dwójkową, np.:
5 = 00101 -5 = 10101
Przykładowa liczba (5) zapisana na pięciu bitach, z których pierwszy (od lewej) traktowany jest jako
znak i którego nie moŜna pominąć w zapisie liczby. Cyfra 1 na pozycji bitu znaku oznacza liczbę
ujemną.
10

3 / 5 REPREZENTOWANIE I PRZETWARZANIE INFORMACJI
4 / 5 REPREZENTOWANIE I PRZETWARZANIE INFORMACJI
Istotną wadą zapisu ujemnych liczb dwójkowych z bitem znaku jest – występująca w większości
przypadkach – róŜna od zera suma dwóch przeciwnych liczb, np.:
5 00101
(+)-5 + 10101
---- -------
0 11010
Wady tej nie posiada tzw. reprezentacja (kod) uzupełnieniowa.
b) Reprezentacja uzupełnieniowa (U2)
Zapis matematyczny dowolnej binarnej liczby całkowitej a, zapisanej na n bitach:
dla a ≥ 0 liczba w kodzie U2 = a
dla a < 0 liczba w kodzie U2 = a + 2 n
Np. (dla n = 5):
a = 5 liczba (U2) = 5 = 00101 (2)
a = -5 liczba (U2) = -5 + 2 5 = 27 = 11011 (2)
Sprawdzenie:
5 00101
(+)-5 - 11011
---- -------
0 100000
W praktyce przekształcenie liczby dwójkowej dodatniej na ujemną sprowadza się do wzajemnej
zamiany „0” i „1” w liczbie dodatniej i dodania do wyniku cyfry „1”. Przykład poniŜej.
a = 5, n = 5
5 → 00101
(zamiana) → 11010
+ 1
-5 → 11011
b) Reprezentacja zmiennopozycyjna
Zapis zmiennopozycyjny liczb stosujemy w przypadku bardzo duŜych lub bardzo małych wartości (np.:
9.4605⋅10 15 [m] – rok świetlny, 9.109558⋅10 -31 [kg] – masa elektronu, …). Zapis ten – nazywany
znormalizowaną reprezentacją zmiennopozycyjną – przedstawia się następująco:
a = m•10 C
gdzie:
m – mantysa, liczba ułamkowa spełniająca nierówność: 0.1 ≤ |m|

5 / 5 REPREZENTOWANIE I PRZETWARZANIE INFORMACJI
Szyfrowanie informacji.
1. Wprowadzenie.
a) Podstawowe pojęcia:
Steganografia – ukrywanie przekazywanych wiadomości;
(przykłady: „połykanie” wiadomości, specjalny „sympatyczny” atrament, miniaturyzacja).
Kryptografia – utajnianie (szyfrowanie) oraz odczytywanie (deszyfrowanie) znaczenia zaszyfrowanej
wiadomości, ale takŜe tworzenie róŜnych metod szyfrowania – szyfrów.
Tekst jawny
szyfrowanie
Tekst zaszyfrowany
(kryptogram,
szyfrogram)
deszyfrowanie
Tekst jawny
Rys. A. Podstawowe pojęcia i zadania kryptografii..
Dla zwiększenia bezpieczeństwa steganografię i kryptografię stosuje się jednocześnie.
Kryptoanaliza – odczytywanie tekstu zaszyfrowanego bez znajomości sposobu szyfrowania (łamanie
szyfru).
Kryptologia – nauka o utajnianiu komunikacji, której dwa główne działy to kryptografia
i kryptoanaliza.
b) Rodzaje szyfrowania:
Szyfrowanie przez przestawianie (szyfr przestawieniowy, transpozycja), w którym przestawiamy
jedynie znaki tekstu jawnego.
Szyfrowanie przez podstawianie (szyfr podstawieniowy), w którym moŜemy zastępować znaki tekstu
jawnego innymi znakami.
Do prostych odmian szyfrowania moŜemy zaliczyć kodowanie. Polega ono na zastępowaniu znaków
tekstu jawnego pewnym zbiorem znaków według jednoznacznego przyporządkowania. Zapis
wspomnianego przyporządkowania nazywany jest ksiąŜką kodową. Wśród bardziej znanych „ksiąŜek
kodowych” moŜemy wyróŜnić kod ASCII (zamiana znaków na postać liczbową) lub alfabet Morse’a
(zamiana znaków na ciąg kresek i kropek).