Kwantowe kody korekcyjne

Wstęp Kwantowe kody korekcyjne Teoria kwantowej korekcji błędów Fault-tolerant quantum computation 

Kwantowe kody korekcyjne 

Patryk Obara 

24 maja 2007


Kody korekcyjne 

Po co to? 

Kody korekcyjne istnieją w celu umożliwienia przesyłu informacji 

poprzez medium (analogowe lub cyfrowe) podatne na zakłócenia. 

Aby zabezpieczyć wiadomość kodujemy ją, dodając redundantną 

informację, a następnie odkodowujemy.


Kody korekcyjne



Prosty kod korekcyjny 

Zakładamy, że chcemy przesłać 1 bit przez kanał podatny na 

zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p.





zakłócenia. Prawdopodobieństwa wystąpienia bit-flip wynosi p. 

0 → 000 

1 → 111






0 → 000 

1 → 111 

Jeśli założymy, że bit-flip wystąpi na co najwyżej jednym bicie to 

bez trudu możemy rozszyfrować wiadomość.






0 → 000 

1 → 111 

Jeśli założymy, że bit-flip wystąpi na co najwyżej jednym bicie to 

bez trudu możemy rozszyfrować wiadomość. 

Prawdopodobieństwo bit-flip na więcej niż jednym bicie wynosi 

3p 2 (1 − p) + p 3 czyli prawdopodobieństwo błędu w zaszyfrowanej 

wiadomości wynosi p c = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli p < 1 2 to p c < p.


Niestety nie możemy postąpić w ten sam sposób z informacją 

kwantową. 

No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych



kwantową. 

No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych 

continuum możliwych błędów na jednym qubicie



kwantową. 

No cloning, nie możemy porównać stanów kwantowych 

continuum możliwych błędów na jednym qubicie 

pomiar niszczy informację przechowywaną w stanie qubitu


The three qubit flip code 

bit-flip 

Chcemy przesłać qubit przez taki kanał, że z 

prawdopodobieństwem p nastąpi bit-flip czyli: 

|ψ〉 zmieni się w X |ψ〉, gdzie X - Pauli sigma operator.



bit-flip 



|ψ〉 zmieni się w X |ψ〉, gdzie X - Pauli sigma operator. 

a|0〉 + b|1〉 → a|000〉 + b|111〉



bit-flip 



|ψ〉 zmieni się w X |ψ〉, gdzie X - Pauli sigma operator. 

a|0〉 + b|1〉 → a|000〉 + b|111〉



Pomiar syndromu błędu 

Wykonujemy częściowy pomiar za pomocą projektora, w celu 

sprawdzenia, czy wystąpił błąd.





sprawdzenia, czy wystąpił błąd. 

P 0 = |000〉〈000| + |111〉〈111| 

P 1 = |100〉〈100| + |011〉〈011| 

P 2 = |010〉〈010| + |101〉〈101| 

P 3 = |001〉〈001| + |110〉〈110|






P 0 = |000〉〈000| + |111〉〈111| 

P 1 = |100〉〈100| + |011〉〈011| 

P 2 = |010〉〈010| + |101〉〈101| 

P 3 = |001〉〈001| + |110〉〈110| 

Przyjmijmy, że bit-flip wystąpił na pierwszym qubicie: 

X |ψ〉 = a|100〉 + b|011〉






P 0 = |000〉〈000| + |111〉〈111| 

P 1 = |100〉〈100| + |011〉〈011| 

P 2 = |010〉〈010| + |101〉〈101| 

P 3 = |001〉〈001| + |110〉〈110| 


X |ψ〉 = a|100〉 + b|011〉 

w tym przypadku: 〈ψ|P 1 |ψ〉 = 1 

zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił.






P 0 = |000〉〈000| + |111〉〈111| 

P 1 = |100〉〈100| + |011〉〈011| 

P 2 = |010〉〈010| + |101〉〈101| 

P 3 = |001〉〈001| + |110〉〈110| 


X |ψ〉 = a|100〉 + b|011〉 


zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił. 

P i - bit flip na i-tym qubicie zakodowanej informacji






P 0 = |000〉〈000| + |111〉〈111| 

P 1 = |100〉〈100| + |011〉〈011| 

P 2 = |010〉〈010| + |101〉〈101| 

P 3 = |001〉〈001| + |110〉〈110| 


X |ψ〉 = a|100〉 + b|011〉 


zatem pomiar wyznacza nam błąd, jaki wystąpił. 

P i - bit flip na i-tym qubicie zakodowanej informacji 

Pomiar syndromu błędu nie nie powoduje zmiany stanu qubitu.



Korekcja błędu 

Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu.




Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu. 

Analogicznie jak do przykładu dla klasycznej informacji, 

prawdopodobieństwo błędu wynosi p c = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli 

p < 1 2 to p c < p.




Zależnie od błędu, który wykryliśmy naprawiamy stan qubitu. 

Analogicznie jak do przykładu dla klasycznej informacji, 

prawdopodobieństwo błędu wynosi p c = 3p 2 − 2p 3 , zatem jeśli 

p < 1 2 to p c < p. 

Niestety, są błędy których w ten sposób nie poprawimy . . .


The three qubit phase flip code 

phase-flip 


prawdopodobieństwem p nastąpi phase-flip czyli a|0〉 + b|1〉 

przejdzie w a|0〉 − b|1〉.



phase-flip 


prawdopodobieństwem p nastąpi phase-flip czyli a|0〉 + b|1〉 

przejdzie w a|0〉 − b|1〉.



Pomiar i korekcja phase-flip 

Pomiar oraz poprawienie błędu znów zachodzi analogicznie, z tym 

że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda.





że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda. 

P j → H ⊗3 P j H ⊗3





że teraz dodatkowo posługujemy się bramkami Hadamarda. 

P j → H ⊗3 P j H ⊗3 

prawdopodobieństwo wystąpienia błędu liczymy analogicznie. . .


kod Shora 

Złożenie bit-flip i phase-flip 

Skoro potrafimy zabezpieczyć się przed bit-flip i phase-flip to 

czemu nie przed oboma?


kod Shora 

Złożenie bit-flip i phase-flip 

Skoro potrafimy zabezpieczyć się przed bit-flip i phase-flip to 

czemu nie przed oboma? 

|0〉 → (|000〉+|111〉)(|000〉+|111〉)(|000〉+|111〉) 

2 √ 2 

|1〉 → (|000〉−|111〉)(|000〉−|111〉)(|000〉−|111〉) 

2 √ 2


kod Shora


kod Shora 

Podsumowanie kodu Shora 

Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip!


kod Shora 


Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip! 

Zatem kod Shora może naprawić dowolny z continuum różnych 

błędów, jakie mogą pojawić się na qubicie.


kod Shora 


Dowolny błąd możemy wyrazić jako bit-flip i phase-flip! 

Zatem kod Shora może naprawić dowolny z continuum różnych 

błędów, jakie mogą pojawić się na qubicie. 

Zakładaliśmy, że błąd może się pojawić na co najwyżej jednym 

qubicie zakodowanej informacji, oraz że bramki kodujące nie 

wprowadzają nowych błędów.


Założenia 

Kod Shora jest prostym przykładem na to, że kodowanie informacji 

kwantowej jest możliwe.


Założenia 


kwantowej jest możliwe. 

W takim razie spróbujmy to zgeneralizować, abyśmy mieli jakąś 

podstawę do konstruowania nowych kodów korekcyjnych. 

za pomocą operacji unitarnych kodujemy stan układu 

kwantowego (czyli przekształcamy przestrzeń Hilberta w 

podprzestrzeń większej przestrzeni Hilberta). 

po zakodowaniu informacja jest podatna na przekłamania


Założenia 


kwantowej jest możliwe. 

W takim razie spróbujmy to zgeneralizować, abyśmy mieli jakąś 

podstawę do konstruowania nowych kodów korekcyjnych. 

za pomocą operacji unitarnych kodujemy stan układu 

kwantowego (czyli przekształcamy przestrzeń Hilberta w 

podprzestrzeń większej przestrzeni Hilberta). 

po zakodowaniu informacja jest podatna na przekłamania 

rozpoznajemy błąd który wystąpił i zależnie od tego, co 

wykryliśmy – naprawiamy informację.


Założenia 

Aby móc rozpoznać błąd, każdy z możliwych syndromów błędów 

powinien być mapowany na osobną podprzestrzeń przestrzeni 

Hilberta.


Założenia 

Aby móc rozpoznać błąd, każdy z możliwych syndromów błędów 

powinien być mapowany na osobną podprzestrzeń przestrzeni 

Hilberta. 

Dodatkowo, te podprzestrzenie powinny być ortogonalne, abyśmy 

mogli dokładnie zaklasyfikować błąd


Założenia 

Przygotowując możliwie jak najbardziej ogólną teorię powinniśmy 

robić jak najmniej założeń dotyczących błędów, jakie mogą 

wystąpić oraz procedury jaka będzie wykorzystywana do poprawy 

tych błędów.


Założenia 




tych błędów. 

Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E.


Założenia 





Przekłamanie informacji będziemy oznaczać jako operację E. 

Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R.


Założenia 






Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R. 

R musi się udać z prawdopodobieństwem 1, zatem musi być 

[trace-preserving].


Założenia 






Operację korekcji błędu będziemy oznaczać jako R. 

R musi się udać z prawdopodobieństwem 1, zatem musi być 

[trace-preserving]. 

(R ◦ E)(ρ) ∝ ρ


quantum error-correction conditions 

Warunek 1 

Niech C będzie kodem kwantowym, i niech P będzie projektorem 

na C. E jest operacją kwantową o elementach {E i }. Operator R 

naprawiający E na C istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy: 

PE † 

i E jP = α ij P 

dla jakiejś macierzy Hermitowskiej α liczb zespolonych.


quantum error-correction conditions 

Warunek 2 (Discretization of errors) 

Załóżmy, że C jest kodem kwantowym i R jest operacją 

naprawiającą błąd E o elementach {E i }. Przyjmijmy, że F jest 

operacją kwantową o elementach {F i } które są kokombinacją 

liniową elementów z {E i }, czyli F j = ∑ im ji E i dla pewnej macierzy 

liczb zespolonych m i j. Wówczas R poprawia również wszelkie 

błędy wywołane przez błąd F na kodzie C.


fault-tolerance 

Obliczenia odporne na błędy 

Podstawą do obliczeń kwantowych odpornych na błędy jest 

przeprowadzanie obliczeń bezpośrednio na zakodowanych stanach 

tak, aby ich dekodowanie między kolejnymi bramkami nie było 

potrzebne.







potrzebne. 

Rozwiązujemy to zastępując każdy element układu kwantowego 

wersjami odpornymi na błędy oraz dodatkowo dokonując korekt 

między bramkami.







potrzebne. 

Rozwiązujemy to zastępując każdy element układu kwantowego 

wersjami odpornymi na błędy oraz dodatkowo dokonując korekt 

między bramkami. 

Wymaga to jednak nadal bardzo ostrożnego projektowania 

procedur odpornych na błędy w ten sposób, aby błąd wewnątrz 

takiego układu powodował błędy na małej ilości qubitów wyjścia.



Odporność na błędy 

Definiujemy odporność (fault-tolerance) procedury jako 

następującą własność: jeśli jeden z komponentów procedury 

zawodzi, to powoduje to co najwyżej jeden błąd w każdym z 

zakodowanych bloków qubitów wyjściowych.







zakodowanych bloków qubitów wyjściowych. 

Przez komponent rozumiemy każdy element z jakiego budujemy 

układ kwantowy czyli: podatne na zakłócenia bramki, urządzenia 

pomiarowe, połączenia między bramkami oraz urządzenia 

przygotowujące stan.







zakodowanych bloków qubitów wyjściowych. 

Przez komponent rozumiemy każdy element z jakiego budujemy 

układ kwantowy czyli: podatne na zakłócenia bramki, urządzenia 

pomiarowe, połączenia między bramkami oraz urządzenia 

przygotowujące stan. 

Podczas analizy prawdopodobieństwa z jakim błędy propagują się 

poprzez bramki możemy założyć, że korzystamy z idealnych 

bramek (nie rozróżniamy błędów ze względu na miejsce w którym 

się pojawiły).



Odporne układy kwantowe 

Stworzenie odpornych układów kwantowych implementujących 

operacje unitarne na zakodowanych stanach jest możliwe.



Odporne układy kwantowe 

Stworzenie odpornych układów kwantowych implementujących 

operacje unitarne na zakodowanych stanach jest możliwe. 

Takie odporne układy realizowane są przez symulowane bramki co 

do których mamy pewność, że z prawdopodobieństwem O(p 2 ) 

wprowadzają błąd w jednym bloku zakodowanej informacji (gdzie p 

oznacza prawdopodobieństwo, z jaką zawodzą pojedyńcze elementy 

układu.



Analizujemy, z jakim prawdopodobieństwem C-NOT wprowadzi 2 

lub więcej błędów na bloku wyjściowym. 

błąd może dotrzeć spoza układu. Zakładając, że błąd może 

pojawić się z prawdopodobieństwem c o p (dla stałej c o zależnej 

od poprzedniego bezpiecznego układu, z którego pochodzi 

sygnał) niezależnie na każdym bloku, to prawdopodobieństwo, 

że dostaniemy błędy w obu blokach wynosi c 2 o p 2 .



Analizujemy, z jakim prawdopodobieństwem C-NOT wprowadzi 2 

lub więcej błędów na bloku wyjściowym. 

błąd może dotrzeć spoza układu. Zakładając, że błąd może 

pojawić się z prawdopodobieństwem c o p (dla stałej c o zależnej 

od poprzedniego bezpiecznego układu, z którego pochodzi 

sygnał) niezależnie na każdym bloku, to prawdopodobieństwo, 

że dostaniemy błędy w obu blokach wynosi c 2 o p 2 . 

jeden błąd dociera do bezpiecznej bramki C-NOT 

(zakodowanej Steanem) i jeden błąd jest wprowadzony przez 

C-NOT. Prawdopodobieństwo wynosi c 1 p 2 , c 1 to stała 

zależna od liczby par qubitów z różnych bloków na których 

mogą pojawić się błędy i użytego kodu.



dwa błędy wprowadzone są przez C-NOT, 

prawdopodobieństwo wynosi c 2 p 2 , c 2 to stała zależna tylko od 

liczby par qubitów z różnych bloków.





liczby par qubitów z różnych bloków. 

błąd pojawia się w C-NOT i podczas pomiaru syndromu 

błędu, prawdopodobieństwo wynosi c 3 p 2 .







błędu, prawdopodobieństwo wynosi c 3 p 2 . 

dwa błędy pojawiają się podczas pomiaru, 

prawdopodobieństwo: c 4 p 2 .









prawdopodobieństwo: c 4 p 2 . 

jeden błąd podczas pomiaru i jeden podczas korekcji błędu, 











jeden błąd podczas pomiaru i jeden podczas korekcji błędu, 


dwa błędy pojawiają się podczas korekcji, 




Taki C-NOT już jest fajny! 

Dla odpornego układu C-NOT prawdopodobieństwo wywołania 

błędu na dwóch lub więcej qubitach wyjściowych wynosi cp 2 dla 

pewnej (dużej) stałej c = c 2 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 + c 6 .



Taki C-NOT już jest fajny! 

Dla odpornego układu C-NOT prawdopodobieństwo wywołania 

błędu na dwóch lub więcej qubitach wyjściowych wynosi cp 2 dla 

pewnej (dużej) stałej c = c 2 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 + c 6 . 

Dla kodów Steana: c ≈ 10 4 .



Składanie kodów 

Kluczem do zbudowania rzeczywiście działających odpornych 

układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji.





układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji. 

Najpierw rekursywnie kodujemy qubity wejściowe, następnie 

wszystkie bramki z oryginalnego układu zastępujemy ich 

bezpieczymi wersjami.





układów jest rekursywne kodowanie już zakodowanej informacji. 

Najpierw rekursywnie kodujemy qubity wejściowe, następnie 

wszystkie bramki z oryginalnego układu zastępujemy ich 

bezpieczymi wersjami. 

Głębokość rekursji zależy od dokładności z jaką chcemy dokonywać 

obliczeń kwantowych.



Składanie kodów c.d. 

Przyjmijmy, że symulujemy układ posiadający p(n) bramek (n - 

wielkość wejścia). Jeśli chcemy uzyskać dokładność ɛ 

symulowanego algorytmu, musimy symulować każdą z bramek z 

dokładnością 

razy: 

ɛ 

p(n) 

, więc musimy dokonać konkatenacji kodów k








razy: 

ɛ 

p(n) 

, więc musimy dokonać konkatenacji kodów k 

(cp) 2k 

c 

ɛ 

p(n)








razy: 

ɛ 

p(n) 

Jeśli p < 1 c 

to istnieje takie k. 


(cp) 2k 

c 

ɛ 

p(n)








razy: 

ɛ 

p(n) 


(cp) 2k 

c 

ɛ 

p(n) 

Jeśli p < 1 c 

to istnieje takie k. 

Układ symulujący obliczenie ma wówczas określoną wielkość. . .


Treshold theorem 

Twierdzenie o progu 

Układ kwantowy zbudowany z p(n) bramek może być symulowany 

wykorzystując 

O(poly(log( p(n) 

ɛ 

)p(n)) 

bramek z prawdopodobieństwem wystąpienia błędu co najwyżej ɛ, 

zakładając że sprzęt zawodzi z prawdopodobieństwem co najwyżej 

p, gdzie p jest mniejsze od pewnego ustalonego progu, p < p th .

Kwantowe kody korekcyjne

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?