Sto lat teorii ruchów Browna

Sto lat teorii ruchów 

Browna 

P. F. Góra 

Sto lat teorii ruchów Browna 

P. F. Góra 

Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego 

Uniwersytet Jagielloński 

XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich, Warszawa, 2005 

Odkrycie ruchów Browna 

Wyjaśnienie teoretyczne 

Opis matematyczny 

Procesy stochastyczne 

dzisiaj 

Zagadnienie Kramersa 

Rezonans stochastyczny 

Zębatki brownowskie i 

motory molekularne 

Zjawiska paradoksalne 

Fluktuacje 

nierównowagowe 

Zamiast podsumowania

1827: Odkrycie ruchów Browna 



P. F. Góra 


Robert Brown 

(1773–1858) 

botanik szkocki 

While examining the form of these 

particles immersed in water, I observed 

many of them very evidently in 

motion. . . These motions were such as 

to satisfy me, after frequently repeated 

observations, that they arose neither 

from currents in the fluid, nor from its 

gradual evaporation [konwekcja], but 

belonged to the particle itself. 

Brown nie był pierwszy — już przed nim obserwowano 

mikroskopowe ruchy czasteczek ˛ organicznych, ale 

przypisywano je jakiejś sile życiowej. 

Brown obserwował ruchy żywych pyłków, obumarłych 

pyłków i zawiesiny nieorganicznej. 




dzisiaj 






Fluktuacje 



1827: Odkrycie ruchów Browna 



P. F. Góra 


Robert Brown 

(1773–1858) 

botanik szkocki 

While examining the form of these 

particles immersed in water, I observed 

many of them very evidently in 

motion. . . These motions were such as 

to satisfy me, after frequently repeated 

observations, that they arose neither 

from currents in the fluid, nor from its 

gradual evaporation [konwekcja], but 

belonged to the particle itself. 

Brown nie był pierwszy — już przed nim obserwowano 

mikroskopowe ruchy czasteczek ˛ organicznych, ale 

przypisywano je jakiejś sile życiowej. 

Brown obserwował ruchy żywych pyłków, obumarłych 

pyłków i zawiesiny nieorganicznej. 




dzisiaj 






Fluktuacje 



Dziwny charakter ruchów Browna 

◮ Ruch bardzo nieregularny 

◮ Trajektoria w różnych skalach czasowych 

wyglada ˛ podobnie 



P. F. Góra 



Charakter ruchów Browna 

Dwie prace 

Annus mirabilis 

Mechanizm mikroskopowy 

Hipoteza atomistyczna 

Dwa tysiace ˛ lat wcześniej. . . 



dzisiaj 






◮ Trajektoria nie zależy od historii 

Próby opisu w języku prędkości zawiodły. 

Fluktuacje 









P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 








Fluktuacje 









P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 








Fluktuacje 









P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 








Fluktuacje 



Dwie prace, które wszystko wyjaśniły 



P. F. Góra 

Albert Einstein 

(1879–1955) 

Marian 

Smoluchowski 

(1872–1917) 

A. Einstein, Über die von der 

molekularkinetischen Theorie der 

Wärme geforderte Bewegung von in 

ruhenden Flüssigkeiten suspendierten 

Teilchen, Ann. Phys. 17, 549–560 

(1905). 

M. von Smoluchowski, Zur kinetischen 

Theorie der Brownschen 

Molekularbewegung und der 

Suspensionen, Ann. Phys. 21, 

756–780 (1906). 




Dwie prace 







dzisiaj 






Fluktuacje 




◮ Albert Einstein w roku 1905 opublikował cztery 

znaczace ˛ prace: 

◮ dwie prace dotyczace ˛ szczególnej teorii 

względności 

◮ wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego 

◮ wyjaśnienie ruchów Browna 

◮ Einstein wiedział, że ruchy Browna sa˛ 

obserwowane, ale nie znał szczegółowych 

danych doświadczalnych 

◮ Einstein samodzielnie wymyślił obserwacyjne 

własności ruchów Browna! 

◮ Smoluchowski dobrze znał dane doświadczalne 

◮ Smoluchowski otrzymał swoje wyniki przed 

Einsteinem, ale opublikował je dopiero pod 

wrażeniem pracy Einsteina 



P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 






Fluktuacje 




◮ Albert Einstein w roku 1905 opublikował cztery 

znaczace ˛ prace: 

◮ dwie prace dotyczace ˛ szczególnej teorii 

względności 

◮ wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego 

◮ wyjaśnienie ruchów Browna 

◮ Einstein wiedział, że ruchy Browna sa˛ 

obserwowane, ale nie znał szczegółowych 

danych doświadczalnych 

◮ Einstein samodzielnie wymyślił obserwacyjne 

własności ruchów Browna! 

◮ Smoluchowski dobrze znał dane doświadczalne 

◮ Smoluchowski otrzymał swoje wyniki przed 

Einsteinem, ale opublikował je dopiero pod 

wrażeniem pracy Einsteina 



P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 






Fluktuacje 




◮ Ruch wywołany jest zderzeniami z czasteczkami 

˛ 

rozpuszczalnika — ruchy Browna sa˛ 

obserwowalna˛ 

manifestacja˛ 

ruchów cieplnych 

◮ Pomiędzy każdymi kolejnymi zarejstrowanymi 

położeniami nastapiło bardzo wiele zderzeń 

elementarnych 

◮ Proces zderzeń można (w dobrym przybliżeniu) 

opisywac jako ciagły ˛ w czasie 

◮ Trajektorie sa˛ 

nigdzie nieróżniczkowalne 

◮ Ruchu nie da się scharakteryzować poprzez 

prędkość! 

◮ Heurystyczne wyprowadzenie równania dyfuzji 

◮ 〈x〉 = 0, 〈 x 2〉 = 2Dt 

◮ 

D = kB T /(Mγ) — twierdzenie 

fluktuacyjno-dysypacyjne 



P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 






Fluktuacje 




◮ Sto lat temu niechętnie — i nie przez wszystkich 

— przyjmowana hipoteza. . . 

◮ Ruchy Browna dowodem na ruch cieplny 

częsteczek mikroskopowych — bardzo ważny 

argument na rzecz atomizmu. 

◮ Pomiary odległości przebytej przez czastki 

˛ 

brownowskie — nie zaś nie prędkości tych 

czasteczek! ˛ — pozwalały wyznaczyć liczbę 

Avogadra. 

◮ 

Pomiarów dokonał Jean–Baptiste Perrin 

(nagroda Nobla 1926). 



P. F. Góra 




Dwie prace 







dzisiaj 






Fluktuacje 






P. F. Góra 


Titus Lucretius Carus (ok. 97 pne – ok. 55 pne), 

De Rerum Natura, Liber Secundus 

(Lukrecjusz, O naturze wszechrzeczy, księga II) 

pisał, że 

Ruch drobinek kurzu widocznych w strudze światła 

w ciemnym pomieszczeniu wywołany jest ruchami 

atomów. 

To nie sa˛ 

ruchy Browna — sa˛ 

to ruchy 

makroskopowe, wywołane konwekcja˛ 

i turbulencja ˛ — 

ale starożytni atomiści byli blisko. . . 



Dwie prace 







dzisiaj 






Fluktuacje 






P. F. Góra 



◮ Ruch cieplny można modelować poprzez biały 

szum Gaussowski — proces stochastyczny ξ(t) 

taki, że 〈ξ(t)ξ(t ′ )〉 = 2Dδ(t − t ′ ). 

◮ Smoluchowski: Biały szum Gaussowski 

znakomitym modelem fluktuacji układów 

makroskopowych w stanie równowagi 

termodynamicznej. 


Równanie Langevina 

Równanie Fokkera–Plancka 

Całka stochastyczna 

Ito czy Stratonowicz? 


dzisiaj 






Fluktuacje 






P. F. Góra 




Paul Langevin 

(1872–1946) 

dv 

dt 

lub bardziej ogólnie 

dx 

dt 

P. Langevin, Comptes Rendus de 

l’Academie des Sciences (Paris), 146, 

530 (1908). 

= −γv + ξ(t) (1) 

d U(x, t) 

= − + ξ(t) (2) 

dt 






dzisiaj 






Fluktuacje 




Równaniu Langevina 

ẋ = A(x) + ξ(t) (3) 

(ξ(t) jest GWN) odpowiada następujace ˛ równanie na 

zależna˛ 

od czasu gęstość prawdopodobieństwa: 

∂P(x, t) 

∂t 

= − ∂ 

∂x 

∂2 

(A(x) P(x, t)) + D P(x, t) (4) 

∂x 2 

Równanie to, wprowadzane przez Einsteina, 

Smoluchowskiego, Fokkera i Plancka, w pełni ściśle 

wyprowadził dopiero Kołmogorow (1931). Jest ono 

dziś najważniejszym narzędziem służacym ˛ do opisu 

dynamiki z siłami stochastycznymi. 

Po prawej stronie równania (3) szum jest dodawany 

do funkcji zmiennej x. 



P. F. Góra 









dzisiaj 






Fluktuacje 






P. F. Góra 

Rozważmy równanie Langevina, w którym szum jest 

sprzężony multiplikatywnie (parametrycznie) ze 

zmienna˛ 

dynamiczna: 

˛ 

ẋ = A(x) + C(x) ξ(t) (5) 

Okazuje się, że powyższe równanie nie ma sensu, 

jeżeli jakoś nie dointerpretujemy szumu, 

a w szczególności całki stochastycznej: 

∫ 

t+∆t 

t 

C(x(t ′ )) ξ(t ′ ) dt ′ =? (6) 









dzisiaj 






Fluktuacje 






P. F. Góra 

Rozważmy równanie Langevina, w którym szum jest 

sprzężony multiplikatywnie (parametrycznie) ze 

zmienna˛ 

dynamiczna: 

˛ 

ẋ = A(x) + C(x) ξ(t) (5) 

Okazuje się, że powyższe równanie nie ma sensu, 

jeżeli jakoś nie dointerpretujemy szumu, 

a w szczególności całki stochastycznej: 

∫ 

t+∆t 

t 

C(x(t ′ )) ξ(t ′ ) dt ′ =? (6) 









dzisiaj 






Fluktuacje 




◮ K. Ito, Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519 (1944): 

Z 

t+∆t 

t 

C(x(t ′ )) ξ(t ′ ) dt ′ = C(x(t)) 

t+∆t 

◮ R. L. Stratonovich, SIAM J. Control 4, 362 (1966): 

Z 

t+∆t 

t 

C(x(t ′ )) ξ(t ′ ) dt ′ = C x(t) + x(t + ∆t) 

2 

Z 

t 

ξ(t ′ ) dt ′ (7) 

t+∆t 

Z 

t 

ξ(t ′ ) dt ′ 

◮ Te interpretacje prowadza˛ 

niekiedy do różnych wyników. 

◮ 

◮ 

Matematycy używaja˛ 

niemalże wyłacznie ˛ interpretacji 

Ito. 

Fizyk potrzebuje fizycznych argumentów 

przemawiajacych ˛ za jedna˛ 

badź ˛ druga˛ 

interpretacja. 

˛ 

(8) 



P. F. Góra 









dzisiaj 






Fluktuacje 





Z 

t+∆t 

t 

C(x(t ′ )) ξ(t ′ ) dt ′ = C(x(t)) 

t+∆t 


Z 

t+∆t 

t 


2 

Z 

t 

ξ(t ′ ) dt ′ (7) 

t+∆t 

Z 

t 

ξ(t ′ ) dt ′ 



◮ 

◮ 



Ito. 





˛ 

(8) 



P. F. Góra 









dzisiaj 






Fluktuacje 





Z 

t+∆t 

t 

C(x(t ′ )) ξ(t ′ ) dt ′ = C(x(t)) 

t+∆t 


Z 

t+∆t 

t 


2 

Z 

t 

ξ(t ′ ) dt ′ (7) 

t+∆t 

Z 

t 

ξ(t ′ ) dt ′ 



◮ 

◮ 



Ito. 





˛ 

(8) 



P. F. Góra 









dzisiaj 






Fluktuacje 



Zmiana zmiennych w interpretacji Ito 



P. F. Góra 

Po przyjęciu którejś interpretacji, równaniu (5) 

odpowiada równanie Fokkera-Plancka postaci 

∂P(x, t) 

∂t 

= − ∂ 

∂x A(x)P + 1 2 ∂x 2 [C(x)]2 P (9) 

Przypuśćmy, że w równaniu (5) dokonamy zmiany 

zmiennych y = φ(x) Jak zmieni się równanie 

Fokkera-Plancka? 

Stratonowicz: 

∂ 2 

Ā(y) = A(x(y)) 

dφ 

dx , ¯C(y) = C(x(y)) dφ 

dx . 

dφ 

Ito: Ā(y) = A(x(y)) 

dx + 1 2 [C(x(y))]2 d 2 φ 

¯C(y) = C(x(y)) dφ 

dx . 

dx 2 , 









dzisiaj 






Fluktuacje 



Procesy stochastyczne dzisiaj 

◮ Teoria procesów stochastycznych ważnym działem 

matematyki. 

◮ Metoda Monte Carlo: Procesy stochastyczne jako 

narzędzie modelowania zjawisk 

◮ 

◮ 

◮ 

◮ 

fizycznych i chemicznych, 

technicznych, 

biologicznych i ekologicznych, 

społecznych i ekonomicznych. 

◮ Na poziomie fundamentalnym wciaż ˛ dyskutuje się 

pochodzenie szumów, zwłaszcza w obszarze 

kwantowym. 

◮ Nie w pełni poznana jest rola, charakter i 

pochodzenie fluktuacji nierównowagowych. 

◮ W wielu zastosowaniach praktycznych szum 

przeszkadza — jak pozbyć się szkodliwego wpływu 

szumów? 

◮ Szumy moga˛ 

dawać także efekty konstruktywne! 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Fluktuacje 




H. A. Kramers, Physica 7, 284 (1940). 

Teoria reakcji chemicznych aktywowanych 

termicznie. 



P. F. Góra 





dzisiaj 

k f = Mω b 

γ 

ω w 

2π e−βEa 

k f — stała szybkości reakcji 

“do przodu” 

−→ Teoria szybkości reakcji 


Przejścia wywoływane szumem 





Fluktuacje 


Zamiast podsumowania 

P. Hänggi, P. Talkner, and M. Borkovec, Rev. Mod. Phys. 62, 251 (1990) 

E. Pollak and P. Talkner, Chaos 15, 026116 (2005)


W. Horsthemke and R. Lefever Noise-Induced Transitions. 

Theory and Applications in Physics, Chemistry, and 

Biology, Springer, 1984. 



P. F. Góra 





dzisiaj 

Energia (swobodna) 






parametr 

◮ Przejścia do obszarów niedostępnych w inny sposób, 

◮ Destabilizacja jednych punktów stałych, stabilizacja innych, 

◮ Stabilizacja niestabilnych orbit, 

◮ Podtrzymywanie sygnałów przez szum, 

◮ Synchronizacja wywołana szumem 

◮ i wiele innych. 


Fluktuacje 






P. F. Góra 





dzisiaj 



Przykład kanoniczny 

Rezonans stochastyczny — jak to 

działa 

Rezonans stochastyczny dzisiaj 




Rezonans stochastyczny — szum może wzmacniać 

sygnał! 

Fluktuacje 



L. Gammaitoni, P. Hänggi, P. Jung, and F. Marchesoni, Rev. Mod. Phys. 

70, 223 (1998)




P. F. Góra 


Rezonans stochastyczny — wzrost stosunku wyjściowego 

sygnału do szumu przy zwiększeniu poziomu szumu. 

ẋ = −U ′ (x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10) 




dzisiaj 





działa 






Fluktuacje 


parametr 


Pierwsze pełne opracowanie teoretyczne: B. McNamara 

and K. Wiesenfeld, Phys. Rev. A 39, 4854 (1989).




P. F. Góra 




ẋ = −U ′ (x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10) 




dzisiaj 





działa 






Fluktuacje 


parametr 







P. F. Góra 




ẋ = −U ′ (x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10) 




dzisiaj 





działa 






Fluktuacje 


parametr 







P. F. Góra 




ẋ = −U ′ (x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10) 




dzisiaj 





działa 






Fluktuacje 


parametr 







P. F. Góra 




ẋ = −U ′ (x) + A sin(ωt + φ) + ξ(t) (10) 




dzisiaj 





działa 






Fluktuacje 


parametr 




Rezonans stochastyczny — jak to działa 



P. F. Góra 

P(ω) = P back (ω) + P Ω δ(ω − Ω) (11) 





dzisiaj 





działa 

D/2 = 0.5 D/2 = 1.0 D/2 = 4.0 





Fluktuacje 


SNR = 10log 10 

P Ω 

P back (ω = Ω) 





P. F. Góra 




◮ Reakcje biochemiczne (np. ATP–aza) 

◮ Modele klimatu (epoki lodowcowe, El Niño,. . . ) 

◮ Detektory — naturalne i sztuczne 

◮ Zastosowania biomedyczne (korektory postawy, 

otoskleroza,. . . ) 

◮ Modele populacyjne i społeczne 

◮ itd 


dzisiaj 





działa 





Fluktuacje 



Zębatka brownowska (Brownian ratchet) 

◮ Wariant demona 

Maxwella, wymyślony 

przez Smoluchowskiego 

i spopularyzowany przez 

Feynmanna: 

◮ Przypadkowy ruch cieplny 

zostaje zamieniony na 

ukierunkowany ruch 

zębatki 

◮ Sprężyna także fluktuuje, zwalniajac ˛ zębatkę! 

◮ Urzadzenie ˛ takie może wykonać dowolnie wielka˛ 

pracę, 

ale. . . 

◮ . . . ponieważ czas oczekiwania na odpowiednio wielka˛ 

fluktuację gwałtownie rośnie, moc takiego urzadzenia ˛ daży 

˛ 

do zera. 



P. F. Góra 





dzisiaj 





Zębatka brownowska 

Zębatka brownowska — wydanie 

współczesne 

Flashing ratchet 

Jeszcze o zębatkach 

Motory molekularne 


Fluktuacje 



Zębatka brownowska (Brownian ratchet) 

◮ Wariant demona 

Maxwella, wymyślony 

przez Smoluchowskiego 

i spopularyzowany przez 

Feynmanna: 

◮ Przypadkowy ruch cieplny 

zostaje zamieniony na 

ukierunkowany ruch 

zębatki 

◮ Sprężyna także fluktuuje, zwalniajac ˛ zębatkę! 

◮ Urzadzenie ˛ takie może wykonać dowolnie wielka˛ 

pracę, 

ale. . . 

◮ . . . ponieważ czas oczekiwania na odpowiednio wielka˛ 

fluktuację gwałtownie rośnie, moc takiego urzadzenia ˛ daży 

˛ 

do zera. 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 





Fluktuacje 




współczesne 

Jeśli “rozprostujemy” zębatkę, dostaniemy potencjał 

okresowy, ale o złamanej symetrii zwierciadlanej. 

Dodajmy zewnętrzna˛ 

siłę okresowa, ˛ kołyszac ˛ a˛ 

zebatka: 

˛ 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 





Dodajmy biały szum gaussowski i otrzymamy 

transport, mimo iż średnia siła działajaca ˛ na czastkę 

˛ 

znika! 

M. O. Magnasco, Phys. Rev. Lett. 71, 1477 (1993). 

Fluktuacje 




współczesne 





zebatka: 

˛ 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 







˛ 

znika! 


Fluktuacje 




współczesne 





zebatka: 

˛ 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 







˛ 

znika! 


Fluktuacje 




współczesne 





zebatka: 

˛ 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 







˛ 

znika! 


Fluktuacje 




współczesne 





zebatka: 

˛ 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 







˛ 

znika! 


Fluktuacje 




Zamiast “kołysać” potencjałem, możemy właczać 

˛ 

i wyłaczać ˛ potencjał. 



P. F. Góra 





dzisiaj 







współczesne 




◮ Swobodna dyfuzja przy wyłaczonym ˛ potencjale 

◮ Dzięki asymetrii potencjału, więcej czastek ˛ zostaje 

przerzuconych “do przodu” niż “do tyłu” 

◮ Działa nawet przy pewnym nachyleniu w “zła” ˛ stronę 


Fluktuacje 






P. F. Góra 




◮ Obecność szumu jest konieczna do tego, aby 

zębatka działała 

◮ Zębatka nie łamie II zasady termodynamiki — 

energia jest dostarczana z zewnatrz, ˛ większość 

jest rozpraszana 

◮ Największy transport odpowiada rezonansowi 

stochastycznemu 


dzisiaj 







współczesne 





Fluktuacje 




◮ Nanotechnologia i biotechnologia opieraja˛ 

się na 

możliwości kontrolowania i wytwarzania niezwykle małych 

mechanizmów. 



P. F. Góra 





dzisiaj 



◮ Marzenie: Zbudujmy nanoroboty, które będa˛ 

naprawiać 

mikrouszkodzenia w ludzkim ciele “od wewnatrz”. 

˛ 

◮ Wielu marzycieli i projektantów 

zapomina, iż na poziomie 

molekularnym fluktuacje termiczne 

odgrywaja˛ 

ogromna˛ 

rolę. 

◮ Na poziomie molekularnym siłę 

fluktuacji można porównać do siły 

huraganu na poziomie makro. 





współczesne 





Fluktuacje 



Motory molekularne (c.d.) 



P. F. Góra 


A jednak natura jakoś sobie z tym radzi. . . 

Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorów 

molekularnych sa˛ 

zębratki brownowskie! 

Np. kinezyny, pompy molekularne itp. 

R. Dean Astumian, Making Molecules Into Motors, Sci. Am., July 

2001, 51 

Pracę motoru molekularnego można porównać do wpychania 

samochodu pod górę w czasie huraganu, bez użycia silnika 

1. Samochód ma koła zablokowane cegła, ˛ która˛ 

mocno 

dociskamy do podłoża 

2. Czekamy aż wiatr popchnie samochód pod górę 

3. Szybko przesuwamy cegłę 

4. GOTO 1 




dzisiaj 







współczesne 





Fluktuacje 



Motory molekularne (c.d.) 



P. F. Góra 


A jednak natura jakoś sobie z tym radzi. . . 

Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorów 

molekularnych sa˛ 

zębratki brownowskie! 

Np. kinezyny, pompy molekularne itp. 

R. Dean Astumian, Making Molecules Into Motors, Sci. Am., July 

2001, 51 

Pracę motoru molekularnego można porównać do wpychania 

samochodu pod górę w czasie huraganu, bez użycia silnika 

1. Samochód ma koła zablokowane cegła, ˛ która˛ 

mocno 

dociskamy do podłoża 

2. Czekamy aż wiatr popchnie samochód pod górę 

3. Szybko przesuwamy cegłę 

4. GOTO 1 




dzisiaj 







współczesne 





Fluktuacje 



Zjawiska paradoksalne wywołane 

szumem 



P. F. Góra 




Statystyka matematyczna i teoria procesów 

stochastycznych prowadza˛ 

do wielu zjawisk 

“paradoksalnych” — wyników ścisłych 

matematycznie, ale sprzecznych z intuicja. 

˛ 

Nie inaczej jest z procesami fizycznymi, w których 

szumy odgrywaja˛ 

istotna˛ 

rolę. 


dzisiaj 






Gry Parrondo 

Paradoks orzechów brazylijskich 

Ujemna ruchliwość 

Fluktuacje 



Paradoksalne gry Parrondo 

Rozważmy dwie “gry” nierzetelnymi monetami. Podane 

liczby oznaczaja˛ 

prawdopodobieństwa zwycięstwa i 

przegranej; kto zwycięża, dostaje złotówkę, kto przegrywa, 

płaci złotówkę. 

Gra A 

Zwycięstwo Przegrana 

1/2 − ε 1/2 + ε 

Gra B 

(używamy dwu rodzajów monet) 

Czy bieżacy ˛ kapitał jest wielokrotnościa˛ 

3? 

Nie 

Tak 

Zwycięstwo Przegrana Zwycięstwo Przegrana 

3/4 − ε 1/4 + ε 1/10 − ε 9/10 + ε 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Gry Parrondo 



Fluktuacje 



Paradoksalne gry Parrondo 

Każda z tych gier prowadzi na dłuższa˛ 

metę do 

przegranej. 

Jeśli jednak będziemy losowo — lub w pewnym 

regularnym cyklu — zmieniać gry, na dłuższa˛ 

metę 

wygramy! 

◮ Potencjał stale wyłaczony 

˛ 

— czastka ˛ się stacza 

◮ Potencjał stale właczony 

˛ 

— czastka ˛ się stacza 

◮ Potencjał naprzemiennie 

włacza ˛ się i wyłacza ˛ — 

czastka ˛ wspina się do góry 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Gry Parrondo 



Fluktuacje 



Juan Parrondo wymyślił swoje “gry” jako ilustrację efektu 

zębatkowego!


W czasie długich transportów morskich z Ameryki 

Południowej do Europy, skrzynie, w których 

transportowano orzechy, były bardzo mocno wstrzasane. 

˛ 

Intuicja podpowiada, iż w rezultacie różne rodzaje 

orzechów powinny być równo wymieszane, jednak w 

rzeczywistości po otwarciu skrzyni na wierzchu 

znajdowano największe i najcięższe orzechy brazylijskie. 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Gry Parrondo 



Fluktuacje 




Szczegółowe wytłumaczenie tego paradoksu jest bardzo 

złożone: 

A. Kudrolli, Rep. Prog. Phys. 67, 57 (2004) 

Niewielkie różnice pomiędzy różnymi rodzajami 

“orzechów” powoduja, ˛ iż jedne tona, ˛ inne wydobywaja˛ 

się 

na powierzchnię. 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Gry Parrondo 



Fluktuacje 



→ Fizyka układów ziarnistych


Zwykła odpowiedź — układ w równowadze 

Ujemna ruchliwość — układ nierównowagowy 



P. F. Góra 





dzisiaj 





Efekt zębatkowy 

Siła oznaczać może średnia˛ 

siłę 


Gry Parrondo 



Fluktuacje 



R. Eichhorn, P. Reimann, P. Hänggi, Physica A 325, 101 (2003) 

A. Ros, R. Eichhorn, J. Regtmeier, T. T. Duong, P. Reimann and D. 

Anselmetti, Nature 436, 928 (2005) 

R. Eichhorn, P. Reimann, B. Cleuren and C. Van den Broeck, Chaos 15, 

026113 (2005)


Co jest potrzebne do zrealizowania ujemnej ruchliwości? 

◮ “Pułapki” na czastki ˛ (→ asymetria) 

◮ Dyfuzja (→ ruchy Browna) 

Duża siła działa w prawo — większość 

czasteczek ˛ nie zdaży ˛ dyfuzyjnie 

uciec do wyjścia — zostaja˛ 

uwięzione 

Przełaczamy ˛ siłę — słabsza siła 

działa w lewo — większość czaste- 

czek zdoła uciec na 

˛ 

lewo 

Niewielkie zmiany w parametrach czasteczek ˛ (masa, 

lepkość) moga˛ 

spowodować, iż niektóre będa˛ 

wykazywać 

ruchliwość dodatnia, ˛ inne ujemna ˛ — orzechy brazylijskie! 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Gry Parrondo 



Fluktuacje 



Fluktuacje nierównowagowe 



P. F. Góra 



Co się dzieje, gdy szum nie jest generowany przez 

układ w stanie równowagi termodynamicznej, a 

zatem gdy nie da się go modelować przez biały szum 

gaussowski? 

A Gaussowskie szumy kolorowe 

B Anomalna dyfuzja 

C Jeszcze inne rodzaje szumów, o których tu nie 

wspominamy 



dzisiaj 






Fluktuacje 


A. Gaussowskie szumy kolorowe 

B. Anomalna dyfuzja 

Subdyfuzja — najprostszy model 

Subordynacja 

CTRW 




Niech fluktuacje zadane będa˛ 

przez gaussowski szum 

kolorowy: 

na przykład 

〈ξ(t)ξ(t ′ )〉 = f (|t − t ′ |), (12) 

〈ξ(t)ξ(t ′ )〉 = 2D τ exp (−|t − t ′ |/τ) . 

Tego typu szumy służa˛ 

do modelowania układów 

“z pamięcia”. 

˛ 

◮ Ważne w modelowaniu układów biologicznych 

◮ Niesłychanie ważne w analizie szeregów czasowych, 

w cyfrowej obróbce sygnałów itp 

◮ W rezonansie stochastycznym wywołuja˛ 

efekty 

rezonansowe nie tylko przy zmianie natężenia 

szumu, ale także przy zmianie parametru 

(parametrów) charakteryzujacych ˛ “pamięć” 



P. F. Góra 





dzisiaj 






Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 




W (uogólnionym) 

〈 

bładzeniu ˛ przypadkowym 

x 

2 〉 ∼ t α 

0 < α < 1 α = 1 α > 1 

subdyfuzja dyfuzja superdyfuzja 



P. F. Góra 





dzisiaj 



◮ półprzewodniki 

amorficzne 

◮ transport w 

układach 

porowatych i 

perkolujacych 

˛ 

◮ transport w 

geometriach 

fraktalnych 

◮ transport 

turbulentny 

◮ kolektywny 

transport na 

powierzchniach 

◮ ruch bakterii 

◮ zjawiska 

ekonomiczne 




Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 






P. F. Góra 



W (uogólnionym) 

〈 

bładzeniu ˛ przypadkowym 

x 

2 〉 ∼ t α 

0 < α < 1 α = 1 α > 1 

subdyfuzja dyfuzja superdyfuzja 

Ruch z przeszkodami 

Układy silnie nierównowagowe 

Loty Lévy’ego 



dzisiaj 






Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 






P. F. Góra 





dzisiaj 






Zwykła dyfuzja: Układ skacze w lewo lub w prawo z 

ustalonym krokiem czasowym (co każde cyknięcie 

zegara) 

Subdyfuzja: Układ oczekuje na wykonanie kroku. 

Czasy oczekiwania losowane sa˛ 

z pewnego rozkładu 

prawdopodobieństwa ψ(t). 

Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 






P. F. Góra 





dzisiaj 






Zwykła dyfuzja: Układ skacze w lewo lub w prawo z 

ustalonym krokiem czasowym (co każde cyknięcie 

zegara) 

Subdyfuzja: Układ oczekuje na wykonanie kroku. 

Czasy oczekiwania losowane sa˛ 

z pewnego rozkładu 

prawdopodobieństwa ψ(t). 

Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 






P. F. Góra 




E. W. Montroll, H. Scher, J. Stat. Phys. 9, 101 (1973): 

ψ(t) ∼ t −1−α , 0 < α < 1. 

Średni czas oczekiwania na przeskok jest rozbieżny. 

Średni kwadrat przemieszczenia 〈 x 2〉 ∼ t α . 


dzisiaj 






Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 



Subordynacja 



P. F. Góra 

Ilość kroków wykonanych od zera do czasu t 

fluktuuje. 

P(x, t) = 

∞∑ 

W (x, n) χ n (t) 

n=0 

◮ P(x, t) — prawdopodobieństwo, że czastka ˛ po 

czasie t znajdzie się w punkcie x 

◮ W (x, n) — prawdopodobieństwo, że czastka 

˛ 

znajdzie się w punkcie x po wykonaniu n kroków 

◮ χ n (t) — prawdopodobieństwo, że cz ˛ astka w 

czasie t wykona n kroków 





dzisiaj 






Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 



Continuous Time Random Walk (CTRW) 



P. F. Góra 

◮ Normalna dyfuzja: w każdej chwili czastka 

˛ 

wykonuje krok, którego długość losowana jest z 

rozkładu Gaussa 

◮ Subdyfuzja: czastka ˛ wykonuje kroki o 

długościach losowanych z rozkładu Gaussa, ale 

czeka na wykonanie kroku; czas oczekiwania 

losowany z rozkładu typu ψ(t) ∼ t −1−α 

◮ Superdyfuzja: w każdej chwili czasu czastka 

˛ 

wykonuje krok, którego długość losowana jest z 

rozkładu Lévy’ego (rozkładu α-stabilnego) 

◮ Możliwe sa˛ 

bardzo długie kroki 

◮ Dyfuzja paradoksalna: Robimy długie kroki, ale 

też długo czekamy 





dzisiaj 






Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 






P. F. Góra 




Opis matematyczny sub- i superdyfuzji: 

Ułamkowe równanie Fokkera-Plancka 

→ pochodne ułamkowe! 

Ralf Metzler, Joseph Klafter, Phys. Rep. 339, 1 

(2000) 


dzisiaj 






Fluktuacje 





Subordynacja 

CTRW 



Zamiast podsumowania: 

Teoria ruchów Browna dzisiaj 



P. F. Góra 



◮ Rezonans stochastyczny, zębatki brownowskie, 

motory molekularne, synchronizacja wywołana 

szumem — dwa lata temu. . . 

◮ Fluktuacje nierównowagowe 

◮ Anomalny transport 

◮ Fizyka układów ziarnistych 

◮ Teoria prędkości reakcji 

◮ Procesy stochastyczne a mechanika kwantowa 

◮ Modelowanie (prawie) wszystkiego 



dzisiaj 






Fluktuacje

Sto lat teorii ruchów Browna

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?