og Hagfræðideild Tölfræði II, fyrirlestur 4 Háskóli Íslands Helgi ...

• Þetta má sanna með því að nota Taylor útvíkkun á characteristicfalli
fyrir S n . Gangurinn er nokkurn veginn:
φ Sn (t) = φ X1 +···+X n
(t) = E(exp(it(X 1 + · · · + X n )) =
E(exp(itX 1 )) . . . E(exp(itX n )) = φ X1 (t) · · · φ Xn (t) = [φ X (t)] n
nú er [φ X (t)] n Taylor útvíkkað í 0
Taylor útvíkkun á falli f í punkti a er
f(a)(x − 0) 0 + f ′ (a)(x − a) + 1 2 f ′′ (a)(x − a) 2 + · · ·
það er jafngott og e.t.v. einfaldara að Taylor útvíkka log(φ Sn (t))
(
log(φ Sn (0)) + φ′ S n
(0)t φ
′′
φ Sn (0) + S n
(0)
2φ Sn (0) − φ′ S n
(0) 2 )
t 2 + · · ·
2φ Sn (0) 2
Nú þarf að nota að:
φ Sn (0) = 1 φ ′ S n
(0) = inµ φ ′′ S n
(0) = −nσ 2 − n 2 µ 2
þ.e.(ath. i 2 = −1.
log(φ Sn (t) = inµt − nσ 2 t/2 + rest-liður
Characterisic-fall fyrir normaldreifingu er:
Þar sem:
exp(iµ ∗ t − σ ∗ t 2 /2)
φ Sn (t) ≃ exp(inµt − nσ 2 t/2)
er drefing S n nokkurn veginn normal, skv. theorem bls. 113.