Programowanie funkcyjne - Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda

Programowanie funkcyjne 

Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda 

Zdzisław Spławski 

Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda 1

Wstęp 

Wartości logiczne 

Liczby naturalne jako liczebniki Churcha 

Kombinatory punktu stałego 

Reguły delta 

Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych w λ-rachunku 

Kombinator punktu stałego w OCamlu 

Semantyka prostego języka imperatywnego 

Zadania kontrolne 


Wstęp 

Język funkcyjny można potraktować jak rachunek lambda (beztypowy 

lub z typami) z wybraną semantyką redukcyjną, dodanymi stałymi (z 

odpowiednimi regułami redukcji) i dużą ilością „lukru syntaktyczego”. 

Te rozszerzenia rachunku lambda stosuje się w celu ułatwienia pisania 

programów, polepszenia ich czytelności i zwiększenia efektywności. 

Logicznie nie są one koniecznie. 

Jako przykłady zostaną zdefiniowane wartości logiczne i liczby 

naturalne z odpowiednimi funkcjami jako termy rachunku lambda. 

Zostaną też podane najważniejsze twierdzenia świadczące o sile 

wyrazu rachunku lambda. 


Wartości logiczne 

Specyfikacja algebraiczna: 

if true M N = M 

if false M N = N 

Odpowiednie termy można zdefiniować na przykład tak 

(Church): 

true ≡ λxy.x false ≡ λxy.y if ≡ λbuv.buv (↠ η λb.b) 

Udowodnimy, że spełnione jest pierwsze równanie specyfikacji. 

if true M N ≡ (λbuv.b u v) true M N → β (λuv.true u v)M N 

→ β (λv.true M v) N → β true M N 

≡ (λxy.x) M N → β (λy.M)N 

→ β M 

Analogicznie wygląda dowód drugiego równania. 

W celu zwiększenia czytelności czasem zamiast if B M N 

będziemy pisali if BthenMelseN. 


Liczby naturalne jako liczebniki Churcha 

Specyfikacja algebraiczna: 

{ 

Iter 0 M N = N 

Iter (suc n) M N = M(Iter n M N) 

Odpowiednie termy można zdefiniować na różne sposoby, np. 

liczebniki Churcha są zdefiniowane następująco: 

0 ≡ λfx.x 1 ≡ λfx.fx 2 ≡ λfx.f(fx) itd. 

Możemy to uogólnić i zauważyć, że liczebnik reprezentujący 

liczbę n będzie miał postać λfx.f n x, czyli jest iteratorem. 

Wobec tego definiujemy: 

suc ≡ λnfx.f(nfx) Iter ≡ λnfa.nfa (↠ η λn.n) 

lub suc ≡ λnfx.nf(fx) 



Równania stałopunktowe w matematyce. 

Rozważmy równania algebraiczne, np. 

x = 5/x czy x = 6 − x 

Problem rozwiązania tych równań można też sformułować jako 

problem znalezienia punktów stałych funkcji: 

f 1 ≡ λx.5/x i f 2 ≡ λx.6 − x 

Punktem stałym funkcji jest wartość należąca do dziedziny 

funkcji , odwzorowywana przez funkcję na siebie. Poszukujemy 

więc takich wartości w 1 i w 2 , że 

f 1 w 1 = w 1 i f 2 w 2 = w 2 

Oczywiście w 1 = √ 5 i w 2 = 3. 

Punkt stały może być jeden, może ich być wiele (nawet 

nieskończenie wiele), może też nie być żadnego. Istnienie i liczba 

punktów stałych funkcji istotnie zależy od jej dziedziny. 



Równania stałopunktowe w programowaniu. 

Podobny problem pojawia się przy definicjach funkcji 

rekurencyjnych, np. 

lub inaczej: 

s(n) = if n = 0 then 1 else n ∗ s(n − 1) 

s = λn.if n = 0 then 1 else n ∗ s(n − 1) 

Z matematycznego punktu widzenia jest to równanie (wyższego 

rzędu) z jedną niewiadomą s. Symbol = oznacza tu β (lub βη) 

konwersję. Problem rozwiązania tego równania, tj. znalezienia 

lambda termu, spełniającego równanie, sprowadza się do 

znalezienia punktu stałego funkcjonału: 

F ≡ λfn.if n = 0 then 1 else n ∗ f(n − 1) 



Kombinator punktu stałego 

Definicja. Kombinatorem punktu stałego nazywamy każdy term M 

taki, że ∀F.MF = F (MF ). 

Twierdzenie o punkcie stałym. 

Dowód. 

(i) ∀F.∃X.X = F X 

(ii) Istnieje kombinator punktu stałego 

Y ≡ λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) taki, że YF = F (YF ). 

(i) Niech W ≡ λx.F (xx) i X ≡ W W . Wówczas 

X ≡ W W ≡ (λx.F (xx))W → F (W W ) ≡ F X 

(ii) YF ≡ (λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)))F 

→ β (λx.F (xx))(λx.F (xx)) 

→ β F ((λx.F (xx))(λx.F (xx))) 

= β F ((λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)))F ) ≡ F (YF ) 



Kombinator Turinga 

Czasem potrzebujemy kombinatora punktu stałego M z nieco 

mocniejszą własnością: 

∀F.MF ↠ β F (MF ). 

Turing zaproponował następujący kombinator: 

Θ ≡ AA 

gdzie A ≡ λxy.y(xxy). 

ΘF ≡ (λxy.y(xxy))AF 

→ β (λy.y(AAy))F 

→ β F (AAF ) 

≡ F (ΘF ) 

Zauważ, że dla kombinatora Y można udowodnić tylko 

YF = β F (YF ). 

Istnieje nieskończenie wiele kombinatorów punktu stałego. 



Przykład użycia kombinatora punktu stałego: silnia. 

Teraz możemy zdefiniować lambda term dla silni jako: 

s ≡ YF (lub ΘF ) gdzie F ≡ λfn.if n = 0 then 1 else n ∗ f(n − 1) 

Uwaga. Przy ewaluacji tego termu należy stosować redukcję 

normalną. 

s n ≡ (Y F ) n 

= β F (Y F ) n 

≡ 

(λfn.if n = 0 then 1 else n ∗ f(n − 1))(Y F ) n 

↠ β if n = 0 then 1 else n ∗ (Y F )(n − 1) 

≡ if n = 0 then 1 else n ∗ s(n − 1) 

Oczywiście, możliwa jest inna definicja silni za pomocą 

iteratora, co odpowiadałoby rekursji ogonowej. 



Powyższy przykład możemy uogólnić. 

Twierdzenie. Niech C ≡ C[f, ⃗x] będzie termem ze zmiennymi 

wolnymi f i ⃗x. Wówczas: 

(i) ∃F.∀ ⃗ N.F ⃗ N = C[F, ⃗ N] 

(ii) ∃F.∀ ⃗ N.F ⃗ N ↠ β C[F, ⃗ N] 

Dowód. W obu przypadkach możemy wziąć 

F ≡ Θ(λf⃗x.C[f, ⃗x]). Zauważ, że dla przypadku (i) wystarczy 

wziąć Y. 


Reguły delta 

Reguły delta 

Definicja. 

(i) Niech δ będzie pewną stałą. Wówczas Λδ jest zbiorem λ-termów 

zbudowanych ze zmiennych i stałej δ za pomocą aplikacji i 

abstrakcji w zwykły sposób. 

(ii) Analogicznie definiuje się Λ ⃗ δ, gdzie ⃗ δ oznacza ciąg stałych. 

(iii) Niech ⃗ M oznacza ciąg zamkniętych λ-termów w postaci 

normalnej. δ-redukcja ma postać δ ⃗ M → δ f( ⃗ M). 

Dla zadanej funkcji f δ-redukcja nie jest pojedynczą regułą, lecz 

schematem reguł. Tak wzbogacony system nazywamy rachunkiem λδ. 

Relacje kontrakcji i redukcji są oznaczane odpowiednio przez → βδ 

i ↠ βδ . 


Reguły delta 

Reguły delta 

Twierdzenie. Niech f będzie funkcją na zamkniętych λ-termach w 

postaci normalnej. Wówczas relacja redukcji ↠ βδ spełnia twierdzenie 

Churcha-Rossera. 

Pojęcie redeksu, postaci normalnej i strategii redukcji w sposób 

naturalny uogólnia się na rachunek λδ. Prawdziwe jest też twierdzenie 

o standardyzacji. 


Reguły delta 

Przykład: test na zero 

W wielu funkcjach konieczne jest sprawdzenie, czy liczba jest 

równa zeru. Specyfikacja takiego predykatu wygląda 

następujaco: { 

isZero 0 = true 

isZero (suc n) = false 

Spełnia ona wymagania twierdzenia z poprzedniej strony ( przy 

założeniu, że n oznacza term zamknięty), więc moglibyśmy 

dodać do λ-termów stałą isZero oraz dwie reguły redukcji, nie 

troszcząc się o znalezienie termu, spełniającego powyższą 

specyfikację. 

My jednak podamy ten term. 

isZero ≡ λn.Iter n (λb.false) true 

Łatwo pokazać, że spełnia on powyższą specyfikację. 

Analogicznie należy rozumieć następny przykład. 


Reguły delta 

Przykład: poprzednik 

{ 

pred 0 = 0 

pred (suc n) = n 

Ideę obliczania poprzednika wyjaśnia poniższy program. 

} 

y := 0; 

〈0, 0〉 

z := 0; 

⎫ 

while y ≠ n do (∗ z = pred y ∗) 

begin 

} 

⎪⎬ 

z := y; 

n-krotna iteracja operacji q 

q〈y, z〉 → 〈suc y, y〉 

y := suc y; 

⎪⎭ 

end 

(∗ z = pred n ∗) 

Teraz ten algorytm możemy zapisać w postaci lambda-termu. 

pred ≡ λn.snd (Iter n (λp.pair(suc(fst p))(fst p)) (pair 0 0)) 



Definicja. Funkcja częściowo rekurencyjna f : N k → N jest 

definiowalna w beztypowym rachunku lambda, jeśli istnieje 

zamknięty term F , spełniający dla dowolnych n 1 . . . n k ∈ N 

następujące warunki: 

(i) Jeśli f(n 1 . . . n k ) = m, to F n 1 . . . n k = β m; 

(ii) Jeśli wartość f(n 1 . . . n k ) jest nieokreślona, to F n 1 . . . n k 

nie ma postaci normalnej. 



Lemat. Funkcje bazowe (początkowe) Z, S, U i n są 

λ-definiowalne. 

Dowód. Weźmy następujące kombinatory jako termy 

definiujące. 

Z ≡ λn.0 

suc ≡ λnfx.f(nfx) 

U i n ≡ λx 1 . . . x n .x i 

Lemat. Funkcje λ-definiowalne są zamknięte ze względu na 

operację składania funkcji. 

Dowód. Niech funkcje g, h 1 , . . . , h r będą λ-definiowalne 

odpowiednio za pomocą termów G, H 1 , . . . , H r . Wówczas 

funkcja 

f(⃗x) = g(h 1 (⃗x), . . . , h r (⃗x)) 

jest λ-definiowalna za pomocą termu 

F ≡ λ⃗x.G(H 1 ⃗x) . . . (H r ⃗x) 




rekursję { prostą. 

{ 

Rec g h 0 ⃗x = g ⃗x 

f(0, ⃗x) = g(⃗x), 

Rec g h (suc n) ⃗x = h n (Rec g h n ⃗x) ⃗x 

f(S(n), ⃗x) = h(n, f(n, ⃗x), ⃗x), 

Ideę obliczania rekursora wyjaśnia poniższy program (porównaj 

z programem dla poprzednika). 

} 

y := 0; 

〈0, g(⃗x)〉 

z := g(⃗x); 

⎫ 

while y ≠ n do (∗ z = f(y, ⃗x) ∗) 

begin } 

⎪⎬ 

n-krotna iteracja 

z := h(y, z, ⃗x); 

q〈y, z〉 → 〈suc y, h(y, z, ⃗x)〉 operacji q 

y := suc y; 

⎪⎭ 

end 

(∗ z = f(n, ⃗x) ∗) 

Teraz ten algorytm możemy zapisać w postaci λ-termu. 

Rec ≡ 

λghn⃗x.snd (Iter n (λp.pair (suc (fst p)) (h (fst p) (snd p) ⃗x)) (pair 0 (g⃗x)) 




operację minimum. 

Dowód. Niech funkcja g będzie λ-definiowalna za pomocą 

termu G. Wówczas funkcja f(⃗x) = (µm.g(⃗x, m) = 0) jest 

λ-definiowalna za pomocą termu 

mi ≡ λ⃗x.szukaj 0 ⃗x (↠ η szukaj 0) 

gdzie 

szukaj ≡ Θ λfm⃗x.if isZero (G ⃗x m) then m else f (suc m) ⃗x. 

Ponieważ Θ F ↠ F (Θ F ), to 

szukaj m ⃗x ↠ if isZero (G ⃗x m) then m else szukaj (suc m) ⃗x 

Wobec tego szukaj 0 ⃗x zaczynając od zera poszukuje 

najmniejszej liczby m takiej, że (G ⃗x m) = 0, co jest zgodne z 

definicją operacji minimum. 



Twierdzenie. Wszystkie funkcje częściowo rekurencyjne są 

λ-definiowalne. 

Teza Churcha [Churcha-Turinga]. Każda funkcja obliczalna 

w nieformalnym sensie jest λ-definiowalna (rekurencyjna). 



Kombinator punktu stałego w OCamlu. I 

Bezpośrednia definicja kombinatora Y ≡ λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)) 

w języku OCaml spowoduje błąd typu. Możemy jednak zdefiniować 

typ danych: 

type ’a self = Fold of (’a self -> ’a);; 

let unfold (Fold t) = t;; 

a następnie funkcjonał fixl : (’a -> ’a) -> ’a 

let fixl f = 

let w = fun x -> f ( unfold x x) in w (Fold w);; 

który działa poprawnie dla dla języków z wartościowaniem leniwym. 

W OCamlu, który stosuje wartościowanie gorliwie, wartościowanie 

fixl nie kończy się i nie uda się nam zdefiniować np. nieskończonej 

listy jedynek (sprawdź to!): 

let ones = fixl (function x -> 1::x);; 



Kombinator punktu stałego w OCamlu. II 

Można jednak nieco zmodyfikować powyższy funkcjonał i otrzymać 

funkcjonał: 

let fix f = let w = fun x y-> f (unfold x x) y 

in w (Fold w);; 

val fix : ((’a -> ’b) -> ’a -> ’b) -> ’a -> ’b = 

który znajduje punkty stałe funkcji (ale już nie list!). Przekonaj się o 

tym, definiując funkcję obliczającą silnię zadanej liczby bez jawnego 

użycia rekursji. 

Funkcjonał fix : ((’a -> ’b) -> ’a -> ’b) -> ’a -> ’b 

można też zdefiniować bez użycia typu ’a self, np. 

let fix f = let rec fixf x = f fixf x in fixf;; 

Można go teraz użyć do zdefiniowania silni bez użycia rekursji: 

let fact = fix (fun f n -> if n=0 then 1 else n*f(n-1));; 

Przekonaj się, że jest to rzeczywiście funkcja silni. 



Składnia i semantyka prostego języka imperatywnego. I 

Składnia abstrakcyjna 

V ∈ Zmienna 

N ∈ Liczba 

B ::= true | false | B&&B | B||B | not B | E < E | E = E 

E ::= N | V | E + E | E ∗ E | E − E | −E 

C ::= skip | C; C | V := E | if B then C else C fi | while B do C od 

Semantykę denotacyjną języka zadaje się definiując funkcje 

semantyczne, które opisują, jak semantyka wyrażenia może być 

otrzymana z semantyki składowych tego wyrażenia (semantyka 

kompozycyjna). 



Składnia i semantyka prostego języka imperatywnego. II 

Funkcja semantyczna dla instrukcji C jest funkcją częściową S C [C ] , 

zmieniającą wektor stanu programu S (pamięć operacyjną). Dziedzinę 

S reprezentujemy za pomocą zbioru funkcji σ : Zmienna → Z. 

Załóżmy dla uproszczenia, że funkcje semantyczne dla wyrażeń 

logicznych B i arytmetycznych E są znane. Tutaj zdefiniujemy w 

rachunku lambda funkcję semantyczną S C [C ] : S S dla instrukcji. 

Na wykładzie 3 zaprogramowaliśmy ją w OCamlu. 

Semantyka denotacyjna 

S B [B ] : S → {true, false} 

S E [E ] : S → Z 

S C [skip]σ = σ 

S C [C 1 ; C 2 ]σ ≃ S C [C 2 ](S C [C 1 ]σ) 

S C [V := E ]σ ≃ σ[V ↦→ S E [E ]σ] 

{ 

SC [C 

S C [if B then C 1 else C 2 fi]σ ≃ 

1 ]σ gdy S E [B ]σ = true 

S C [C 2 ]σ gdy S E [B ]σ = false 



Składnia i semantyka prostego języka imperatywnego. III 

Wykonując jednokrotnie pętlę while otrzymujemy poniższe równanie 

dla funkcji semantycznej S C [while B do C od]: 

{ SC[[while B do C od]](S C[[C]]σ) gdy S B[[B]]σ = true 

S C[[while B do C od]]σ ≃ 

σ 

gdy S B[[B]]σ = false 

Z analogicznym problemem mieliśmy do czynienia w przypadku 

funkcji silnia. Należy znaleźć najmniejszy punkt stały funkcjonału: 

{ 

f(SC [C ]σ) gdy S 

F ≡ λf.λσ. 

B [B ]σ = true 

σ 

gdy S B [B ]σ = false 

czyli, używając kombinatora punktu stałego Θ (lub Y): 

S C [while B do C od] ≃ ΘF 

Istnienie najmniejszego punktu stałego gwarantuje teoria dziedzin. 


Zadania kontrolne 

1. Wykorzystując term if zdefiniuj pozostałe spójniki logiczne. 

2. Udowodnij, że termy 0, suc, Iter spełniają specyfikację 

algebraiczną ze strony 5. 

3. Zdefiniuj lambda wyrażenia pair, fst i snd z następującymi 

regułami redukcji: 

fst (pair M N) ↠ M 

snd (pair M N) ↠ N 

4. Niech Y ≡ λf.(λx.f(xx))(λx.f(xx)), S ≡ λxyz.xz(yz), 

I ≡ λx.x. Udowodnij, że wszystkie kombinatory 

zdefiniowane następująco: 

{ 

Y 0 ≡ Y 

Y n+1 ≡ Y n (SI) 

są kombinatorami punktu stałego. 

5. Pokaż, że Y 1 ↠ β Θ. 

6. Zdefiniuj kombinator Θ w OCamlu.

Programowanie funkcyjne - Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?