Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) - Alas

Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Srdjan Vukmirović
August 19, 2003
Aksiome projektivne geometrije
P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
P2 Svaka prava sadrži bar 3 tačke.
P3 Za ma koje 3 nekolinearne tačke A, B, C postoji tačno jedna ravan α koja ih sadrži.
P4 Ako dve tačke A i B prave a pripadaju ravni α tada i svaka tačka prave AB pripada ravni α.
P5 Ako dve ravni imaju jednu zajedničku tačku A tada one imaju bar još jednu zajedničku tačku.
P6 Ma koje dve prave a i b jedne ravni imaju bar jednu zajedničku tačku.
R1 Za ma koje tri različite tačke A, B i C neke prave postoji tačka D te prave takva da je A, B ÷ C, D.
R2 Ako je A, B ÷ C, D tada je C, D ÷ A, B.
R3 Za ma koje četiri različite tačke A, B, C, D neke prave važi tačno jedan od iskaza A, B ÷ C, D, A, C ÷ B, D,
A, D ÷ B, C.
R4 Ma koje dve različite tačke A, B neke prave dele skup svih ostalih tačaka te prave na dve disjunktne klase, tako
da su dve razne tačke u istoj klasi ako i samo ako ne razdvajaju par A, B.
R5 Neka su a, b, c, d četiri prave nekog pramena i neka su p i p ′ dve prave koje ne pripadaju tom pramenu. Ako su
A, B, C, D redom presečne tačke prave p sa pravama a, b, c, d i A ′ , B ′ , C ′ , D ′ redom presečne tačke prave p ′ sa
pravama a, b, c, d tada A, B ÷ C, D povlači A ′ , B ′ ÷ C ′ , D ′ .
D Neke je skup svih tačaka prave p podeljen na dva disjunktna podskupa M i N, od kojih svaki sadrži bar dve tačke
tako da ma koji par tačaka podskupa M ne razdvaja ni jedan par tačaka podskupa N. Tada na pravoj p postoje
tačno dve tačke A i B takve da za svaki par tačaka P , Q različitih od A, B važi da ako P ∈ M, Q ∈ N tada
A, B ÷ P, Q.
Zadatak 0.1 Skup od n(n ≥ 2) raznih tačaka jedne prave razlaže tu pravu na n projektivnih duži.
Zadatak 0.2 Jedna prava projektivne ravni ne razlaže tu ravan, dve prave razlažu ravan na dve oblasti, tri prave koje
se ne seku u jednoj tački razlažu tu ravan na četiri oblasti. Dokazati.

1 Dezargova teorema i harmonijska konjugovanost
Teorema 1.1 (Dezargova direktna i obratna) Neka su ABC i A ′ B ′ C ′ dva trotemenika. Prave AA ′ , BB ′ i CC ′
sadrže jednu tačku (centar perspektive) ako i samo ako presčne tačke odgovarajućih stranica AB × A 1 B 1 , BC × B 1 C 1
i CA × C 1 A 1 pripadaju jednoj pravoj (osa perspektive).
Definicija 1.1 (Harmonijska konjugovanost) Par tačaka P, Q je harmonijski konjugovan paru tačaka R, S (pišemo
H(P, Q; R, S)) ako postoji četvorotemnik A, B, C, D takav da je AB × CD = Q, AD × BC = P , DB × P Q = R,
AC × P Q = S.
Zadatak 1.1 Dat je četvorotemenik ABCD. Prave AB i CD se seku u tački U prave AC i BD u tački V , prava UV
seče prave AD i BC redom u tačkama F i G, a prava BF seče pravu AC u tački L. Dokazati da se prave LG, CF AU
seku u jednoj tački.
Zadatak 1.2 Parovi pravih BC, AD; CA, BD; AB, CD odredjeni temenima četvorotemenika ABCD seku se redom u
tačkama X, Y, Z. Prava XZ seče pravu AC u tački R i pravu BD u tački S. Dokazati da prave DR, AS i Y Z prolaze
kroz jednu tačku.
Zadatak 1.3 Svaka dva od tri trotemenika su u perspektivnom položaju u odnosu na isti centar. Dokazati da se njihove
ose perspektive seku u jednoj tački.
Zadatak 1.4 Tačka O priada ravni trotemenika ABC, a ne pripada ni jednoj njegovoj stranici. Prave AO, BO,
CO seku prave BC, CA, AB redom u tačkama P, Q, R. Prave QR, RP, P Q seku prave BC, CA, AB redom u tačkama
L, M, N. Dokazati da su tačke L, M, N kolinearne.
Zadatak 1.5 Ako se pet parova odgovarajućih stranica dva četvorotemenika seku u tačkama jedne prave onda se i sešti
par stranica seče u tački iste prave.
Zadatak 1.6 U proizvoljan četvorougao Euklidske ravni upisan je trapez čije su osnovice paralelen jednoj dijagonali
četvorougla. Dokazati da se bočne strane trapeza seku na drugoj dijagonali četvorougla.
Zadatak 1.7 Primenom Dezargove teoreme rešiti seldeće konstruktivne zadatke Euklidske ravni:
(i) Date su prave a i a ′ koje se seku u tački S van crteža i tačka P van pravih a i a ′ . Konstruisati pravu P S.
(ii) Date su paralelne prave a i b i tačka P koja im ne pripada. Koristeći samo lenjir, kroz tačaku P konstruisati
pravu s paralelnu pravama a i b.
(iii) Data je prava c i tačke A i B koje joj ne pripadaju. Konstruisati presečnu tačku pravih c i AB bez konstrukcije
prave AB.
Zadatak 1.8 Neka prave a, b, c, d jednog pramena seku pravu p u tačkama A, B, C, D, a pravu p ′ u tačkama A ′ , B ′ , C ′ , D ′ ,
redom. Dokazati da H(A, B; C, D) povlači H(A ′ , B ′ ; C ′ , D ′ ).
Uputstvo: Dokazati prvo slučaj A = A ′ .
Zadatak 1.9 Definisati harmonijsku konjugovanost pravih H(a, b; c, d) dualno definiciji 1.1.
Zadatak 1.10 Dokazati da važi H(a, b; c, d) u smislu Zadatka 1.9 ako i samo ako neka (a zato i svaka) prava x seče
prave a, b, c, d u tačkama redom A, B, C, D takvim da važi H(A, B; C, D)
Zadatak 1.11 Neka je O proizvoljna tačka u ravni trotemenika ABC koja ne pripada nijednoj njegovoj stranici. Konstruisati
pravu koja prolazi kroz tačku O i seče prave BC, CA i AB redom u tačkama X, Y, Z tako da važi H(O, X; Y, Z).
Zadatak 1.12 U ravni su date tavķe M i N i tačka O van njih. Proizvoljna prava a ∋ O seče prave M i N redom u
tačkama A i B, a proizvoljna prava b ∋ O u tačkama C i D, redom. Odrediti geometrijsko mesto preseka AD × BC.

2 Projektivna preslikavanja jednodimenzionih mnogostrukosti
Jednodimenzione projektivne mnogostrukosti su:
• pramen tačaka (tačke jedne prave)
• pramen pravih (prave kroz jednu tačku ravni)
• pramen ravni (ravni kroz jednu pravu)
Prva dva tipa su dualna u ravni, a prvi i treći su dualni u prostoru tako da je dovoljno razmatrati svojstva pramena
tačaka p .
Definicija 2.1 Bijekcija f : ω → ω ′ jednodimenzionih mnogostrukosti je projektivno reslikavanje ako čuva harmonijsku
konjugovanost.
Teorema 2.1 (Štautova teorema) Projektivno preslikavanje jednodimenzione mnogostrukosti na sebe jedinstveno je
odredjeno slikama tri elementa.
Zadatak 2.1 Projektivno preslikavanje f : ω ∧ ω ′ jednodimenzionih mnogostrukosti je perspektivno ako i samo ako je
zajednički element tih mnogostrukosti fiksan.
Zadatak 2.2 Neka su A, B, C tri razne tačke prave p i A ′ , B ′ , C ′ tri razne tačke prave p ′ ≠ p Projektivno preslikavanje
f : p ∧ p ′ slika tačke A, B, C redom u tačke A ′ , B ′ , C ′ . Konstruisati sliku D ′ proizvoljne tačke D pri preslikavanju f.
Zadatak 2.3 Uraditi prethodni zadatak kada je p = p ′ .
Zadatak 2.4 (Paposova teorema) Ako su tačke A, B, C kolinearne i tačke A ′ , B ′ , C ′
X = BC ′ × B ′ C, Y = AC ′ × A ′ C, Z = AB ′ × A ′ B kolinearne.
kolinearne tada su i tačke
3 Projektivna preslikavanja dvodimenzionih mnogostrukosti
Dvodimenzione projektivne mnogostrukosti su:
• polje tačaka (tačke jedne ravni)
• polje pravih pravih (prave jedne ravni)
• snop ravni (ravni kroz jednu tačku)
• snop pravih (prave kroz jednu tačku prostora)
Prva dva tipa mnogostrukosti su medjusobno dualne u ravni, a druge dve u prostoru. Mi ćemo posebnu pažnju posvetiti
prvim dvema.
Definicija 3.1 Bijekcija f : π → π ′ dvodimenzionih mnogostrukosti je projektivno reslikavanje ako čuva harmonijsku
konjugovanost. Ako su i π i π ′ polja tačaka preslikavanje f se naziva kolineacija.
Zadatak 3.1 Neka su ABCD i A ′ B ′ C ′ D ′ četvorotemnici i f kolineacija projektivne ravni koja preslikava tačke A, B, C, D
redom u tačke A ′ , B ′ , C ′ , D ′ . Konstruisati sliku M ′ date tačke M.
Zadatak 3.2 Formulisati i uraditi zadatak dualan Zadatku 3.1.
Zadatak 3.3 Neka su ABC i A ′ B ′ C ′ dva trougla proširene afine ravni. Konstruisati sliku M ′ proizvoljne tačke M u
afinom preslikavanju koje tačke A, B, C preslikava redom u tačke A ′ , B ′ , C ′ .

Zadatak 3.15 Data su prava s, tačka X 1 i trougao ABC. Odrediti prespektivno afino prelsikavanje čija je osa prava
3.1 Homologije (perspektivna preslikavanja))
Zadaci se odnose na proširenu Euklidsku ravan.
• Centar S - tačka kroz koju je svaka prava fiksna.
• Osa s - prava čija je svaka tačka fiksna.
• Protivosa u - prava koja se slika u beskonačno daleku pravu
• Protivosa inverznog preslikavanja v ′ - prava koja je slika beskonačno daleke prave
Zadatak 3.4 Dokazati: s ‖ u ‖ v ′ .
Zadatak 3.5 Dokazati da je homologija odredjena:
1. Centrom S, osom S i slikom A ′ tačke A (A ≠ A ′ ).
2. Centrom S, osom s i protivosom u.
3. Centrom S, osom s i protivosom v ′ inverzne homologije.
Zadatak 3.6 Konstruisati sliku trougla ABC pri prespektivnom preslikavanju kome su dati osa s, centar S i slika M ′
tačke M.
Zadatak 3.7 Dati su centar S, osa s i protivosa u perspektivnog preslikavanja f. Konstruisati sliku
• duži CD, C ∈ u.
• duži EF , EF × u = P .
• pravih m i n takvih da m × n ∈ u.
• kvadrata ABCD ako D ∈ u.
• kvadrata ABCD ako u seče kvadrat u tačno dvema tav ckama.
Zadatak 3.8 Konstruisati perspektivnu sliku pravilnog šestougla ABCDEF ako je centar perspektive presek dijagonala
AB i BE, osa prava AB, a protivosa prava DE.
Zadatak 3.9 Data je tačka S, prava s i četvorougao ABCD.Odrediti perspektivno preslikavanje čiji je centar tačka S,
osa prava s i koji preslikava četvorougao ABCD u četvorougao čije su dijagonale normalne.
3.2 Perspektivno afina preslikavanja
Perspektivno preslikavanje sa centrom S i osom s je afino u sledećim slučajevima:
1. S konačna, s = ∞. Preslikavanje je homotetija.
2. s = ∞, S ∈ s. Preslikavanje je translacija.
3. S ∈ ∞, s je konačna.
Zadatak 3.10 Data je osa afinosti s i par odgovarajućih taǎka A i A ′ . Konstruisati lik prespektivno afin datom trouglu
ABC.
Zadatak 3.11 Konstruisati sliku datog kvadrata ABCD pri homotetiji kojoj je dat centar S i slika M ′ tačke M.
Zadatak 3.12 Data su prava s, prava p i trougao ABC. Odrediti prespektivno afino preslikavanje čija je osa afinosti
s, zraci afinosti paralelni pravoj p, a slika trougla ABC jednakokraki trougao A ′ B ′ C ′ .
Zadatak 3.13 Data je osa afinosti s, par odgovarajućih pravih M i m ′ i prava paralelna zracima afinosti. Kostruisati
prespektivno afinu sliku kvadrata ABCD takvog da A ∈ s, BD ⊂ m i duže BD je podudarna datoj duži d.
Zadatak 3.14 Data je osa afinosti s i paralelogram ABCD Odrediti perspektivno afino preslikavanje u kom datom
paralelogramu odgobara kvadrat.

4 Krive drugog reda i krive druge klase
Zadatak 4.1 Kroz tačku D stranice BC trotemenika ABC prolazi prava p koja seče stranice AB i CA redom u tačkama
B ′ i C ′ . Prave BC ′ i CB ′ se seku u tački M. Šta je geometrijsko mesto tačaka M kada prava p opisuje pramen sa
središtem D?
Zadatak 4.2 Na pravoj d koja sadrži teme A trotemenika ABC nalazi se tačka P koja sa temenima C i B odredjuje
redom prave c i b. Presečne tačke b × AC i c × AB odredjuju pravu m. Šta je geometrijsko mesto pravih m kada P ∈ d.
Zadatak 4.3 U ravni su date četiri prave a, b, c, d koje se seku u tački S i tačke P , Q i R van tih pravih. Tačke A,
B, C i D su tačke redom pravih a, b, c i d takve da su trojke A, P, B; B, Q, C; C, R, D kolinearne. Dokazati da postoji
tačka T takva da AD ∈ T za proizvoljan izbor tačaka A, B, C, D.
Zadatak 4.4 Date su prave b i c i tačke X, Y i Z. Šta je geometrijsko mesto tačaka A takvih da stranice BC, CA i
AB trotemenika ABC sadrže redom tačke X, Y i Z i da važi B ∈ b, C ∈ c.
Zadatak 4.5 Date su tri nekolinearne tačke A, S, T i prava p koja ih ne sadrži. Odrediti šta je geometrijsko mesto
pravih MN, M = AS × BT , N = AT × SB, za proizvoljnu tačku B ∈ p.
Rešiti sledeće konstruktivne zadatke na dva načina: primenom projektivnih preslikavanja i Paskalove ili Brianšonove
teoreme. Formulisati dualne zadatke i rešiti ih.
Zadatak 4.6 Dato je pet tačaka A, B, C, D, E nedegenerisane krive drugog reda i prava p kroz tačku E. a) Konstruisati
drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu e u tački E.
Zadatak 4.7 Dato je pet tangenata a, b, c, d, e nedegenerisane krive drugog reda i tačka P na tangenti e. a) Konstruisati
drugu tangentu krive kroz tačku P. b) Naći dodirnu tačku tangente e.
Zadatak 4.8 Date su četiri tačke A, B, C, D nedenerisane krive drugog reda, tangenta a u tački A i prava p koja sadrži
tačku B. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu krive u tački C.
Zadatak 4.9 Date su četiri tačke A, B, C, D i tangenta a u tački A nedegenerisane krive drugog reda i tačka P na
tangenti a. Odrediti drugu tangentu krive kroz tačku P.
Zadatak 4.10 Date su tri tačke A, B, C i tangente a, b u tačkama redom A, B nedegenerisane krive drugog reda i prava
p kroz tačku A. a) Konstruisati drugu presečnu tačku prave p i krive. b) Konstruisati tangentu c u tački C.
Zadatak 4.11 Date su tangente a, b i c i dodirne tačke A i B tangenata a i b krive drugog reda i prava p kroz tačku
A. Odrediti drugu presečnu tačku prave p i krive drugog reda.
Rešiti konstruktivne zadatke euklidske ravni.
Zadatak 4.12 Date su dve tačke M i N, tangenta m u tački M parabole i pravac o ose parabole. Odrediti tangentu
parabole u tački N.
Zadatak 4.13 Date su četiri tangente p, q, r, s parabole i tačka T na tangenti s. Odrediti drugu tangentu parabole
kroz tačku T.
Zadatak 4.14 Date su četiri tačke A, B, C, D i PRAVAC q jedne asimptote hiperbole. Odrediti a) Tangentu u tački
A. b) Asimptotu čiji je pravac dat.
Zadatak 4.15 Date su asimptota q hiperbole, pravac asimptote p, tangenta t, njena dodirna tačka T i tačka X na
asimptoti q. Odrediti drugu tangentu hiperbole kroz tačku X.

5 Razni zadaci
Zadatak 5.1 Dokazati Paskalovu i Brianšonovu teoremu primenom Štajnerovih definicija za krive drugog reda i druge
klase.
Zadatak 5.2 U afinoj ravni date su prave s i p i trapez ABCD. Konstruisati perspektivno afino preslikavanje kome je
prava s osa, zraci afinosti paralelni pravoj p, a trapezu ABCD odgovara jednakokraki trapez.
Zadatak 5.3 Na ovalnoj krivoj drugog reda Γ date su tačke A, B, C i D. Ako proizvoljna prava l koja sadrži tačku A,
seče prave CD, BD, CB u tačkama B ′ , C ′ , D ′ , a krivu Γ u tački A ′ , dokazati da dvorazmera (A ′ , B ′ , C ′ , D ′ ) ne zavisi
od prave l ∋ A.
Zadatak 5.4 Date su tri tangente l, m, i n i prava o paralelna osi parabole. Odrediti drugu presečnu tav cku prave o i
parabole.
Zadatak 5.5 (AK-objasniti i nacrtati) Dat je kvadrat ABCD i tačka S takva da je SA ∼ = 1 2AC i B(S, A, C). Kolinearno
perspektivno preslikavanje f ima centar S, protivosu BD i tačku A preslikava u C. Odrediti sliku kvadrata ABCD pri
ovom preslikavanju, osu s i sliku v ′ beskonačno daleke prave.
Zadatak 5.6 U projektivnoj ravni date su dve prave a i b i tačke P, Q i R van tih pravih. Ako je q proizvoljna prava
koja sadrži tačku R i ako ona seče prave a i b redom u tačkama M i N, šta je skup presečnih tačaka pravih P M i QN?
Zadatak 5.7 Date su asimptote a 1 i a 2 i tačka M hiperbole. Konstruisati tangentu na hiperbolu u tački M.
Zadatak 5.8 Data je elipsa parom konjugovanih dijametara AB i CD. Odrediti bar jedno perspektivno afino preslikavanje
koje elipsu preslikava u krug.
Zadatak 5.9 Trotemenici ABC i A ′ B ′ C ′ su u perspektivnom položaju, a P , Q i R su redom prešečne tačke parova
pravih BC ′ i B ′ C, CA ′ i C ′ A, AB ′ i A ′ B. Ako tačke P, Q i R nisu kolinearne dokazati da je trotemenik LMN u
perspektivnom položaju sa svakim od trotemenika ABC i A ′ B ′ C ′ . Šta ako su P, Q i R kolinearne?
Zadatak 5.10 Dokazati da je svaka involucija f projektivne ravni homologija. Dokazati da postoji kriva drugog reda
invarijantna pri involuciji f.
Zadatak 5.11 Data je kriva drugog reda Γ, prava x i tačka A. Šta je geometrijsko mesto preseka pravih P A i polara
p tačke P u odnosu na krivu Γ, ako je P proizvoljna tačka prave x.
Zadatak 5.12 Data je fiksna prava x i tri para odgovarajućih tačaka A, B, C i A ′ , B ′ , C ′ , projektivnog preslikavanja.
Konstruisati sliku date prave m pri tom preslikavanju.
Zadatak 5.13 Projektivno preslikavanje je zadato fiksnom pravom x i slikama A ′ , B ′ , C ′ datih tačaka A, B, C, redom.
Konstrusati fisnu tačku tog preslikavanja.
Zadatak 5.14 Ako je šestotemenik ABCDEF upisan u nedegenerisanu krivu drugog reda Γ dokazati da postoji nedegenerisana
kriva drugog reda Γ ′ oko koje je on opisan.
Zadatak 5.15 Data je osa afinosti i odgovarajući par tačaka S i S ′ . Tim preslikavanjem se krug k sa centrom u S
preslikava u elipsu. Odrediti prečnike kruga k koji se preslikavaju u glavne ose elipse.
Zadatak 5.16 Konstruisati malu osu elipse ako je data velika poluosa OA i jedna tačka M elipse.
Zadatak 5.17 Data je elipsa parom konjugovanih dijametara. Konstruisati:
a) Tangente na elipsu iz date tačke M.
b) Presečne tačke elipse i date prave p.
c) Veliku i malu osu elipse.