Crtanje amplitudno-fazne karakteristike iz prenosnih funkcija ...

II
Crtanje amplitudno-fazne karakteristike iz prenosnih funkcija sistema 1
Uvod
Linearni sistemi imaju osobinu da harmonijski signali koji djeluju na ovakve sisteme
mijenjaju amplitudu i fazu, dok frekvenciju zadržavaju. Pokazalo se da preslikavanjem
s→jω dobijamo iz prenosne funkcije otvorenog sistema 2 G(s) funkciju G(jω) koja nosi
informacije promjena amplituda i faza za sve frekvencije ulaznih signala. Crtajući G(jω)
karakteristiku, odnosno ovisnost G(jω) od ω, u stanju smo pročitati promjenu
amplitude i faze izlaznog signala za svaku ulaznu frekvenciju. Ovakva ovisnost se zove
amplitidno-fazna karakteristika.
Značaj crtanja amplitudno-fazne karakteristike je u mogućnosti analize stabilnosti
sistema sa jediničnom zatvorenom spregom po Nyquist-u 3 . Naime, ova teorema tvrdi da
je sistem sa jediničnom zatvorenom povratnom spregom stabilan ako amplitudno-fazna
karakteristika ne obuhvata tačku (-1, j0) u slučaju da su svi polovi prenosne funkcije
otvorenog sistema G(s) u lijevoj poluravni kompleksne ravni {s} ili obuhvata onoliko
puta koliko ova prenosna funkcija ima polova u desnoj poluravni kompleksne ravni {s}.
Prije crtanja G(jω) potrebno je objasniti način unošenja prenosne funkcije u MATLAB.
Najlakši način unošenja prenosne funkcije je definiranje brojnika (numeratora) i
nazivnika (denumeratora). Npr. ako želimo da unesemo funkciju datu u binomnom
obliku:
G(
s)
=
2
s
s + 4
,
+ 5s
+ 6
ukucavamo sekvence kao što slijedi.
1 Nyquistova kriva
2 Sistem posmatran bez povratne sprege
3 Ova oblast se izučava na kraju 1. semestra

Crtanje amplitudno-fazne karakteristike iz prenosnih funkcija sistema
» num=[1 4];
» den=[1 5 6];
» G=tf(num,den) //transfer function
Transfer function:
s + 4
-------------
s^2 + 5 s + 6
Skraćenica naredbe tf dolazi od transfer function.
Mogli smo koristiti i brži način unošenja:
» G=tf([1 4],[1 5 6])
Transfer function:
s + 4
-------------
s^2 + 5 s + 6
Da smo imali funkciju datu u faktoriziranom obliku:
koristili bi razbijanje te funkcije na umnožak funkcija na slijedeći način:
» G1=tf([1,4],1);
» G2=tf(1,[1,2]);
» G3=tf(1,[1,3]);
» G=G1*G2*G3
Transfer function:
s + 4
-------------
s^2 + 5 s + 6
s + 4
G(
s)
=
,
( s + 2)( s + 3)
Sintaksa naredbe za crtanje amplitudno-fazne karakteristike je nyquist(num,den) ili
nyquist(G).
10

MATLAB u teoriji automatskog upravljanja
Primjer
Nacrtajmo sada amplitudno-faznu karakteristiku prenosne fukcije:
U komandnom prozoru MATLAB-a unosimo naredbu:
» G=tf(1,[1 3 2])
Transfer function:
1
-------------
s^2 + 3 s + 2
» nyquist(G)
Dobijamo odziv kao na slici 2.1.
G(
s)
=
2
s
1
+ 3s
+ 2
Nyquist Diagram
0.3
0.2
0.1
Imaginary Axis
0
-0 .1
-0 .2
-0 .3
-1 -0.5 0 0.5
Real Axis
Slika 2.1
11

Crtanje amplitudno-fazne karakteristike iz prenosnih funkcija sistema
Zadatak 1
Nacrtati amplitudno-faznu karakteristiku sistema sa prenosnom funkcijom:
U koliko kvadranata zalazi karakteristika i zašto?
…
Zadatak 2
( s + 2)( s + 7) 1
G( s)
=
+
2
( s + 1) ( s + 4) s + 3
Naći amplitudno-fazne karakteristike ovih elementarnih funkcija:
G(
s)
= 5
2
G(
s)
=
s
G(
s)
= 2s
2s
G(
s)
=
0.0001s
+ 1
s + 1
G(
s)
=
2s
+ 1
2s
+ 1
G(
s)
=
s + 1
...
blok pojacanja
integrator
diferencijator
realni diferencijator
integro - diferencijalni blok
integro - diferencijalni blok
Zadatak 3
Naći amplitudno-faznu karakteristiku prenosne funkcije sistema čija je dinamika
opisana diferencijalnom jednačinom:
x + 0.5x
= u(
t),
∀t
≥ 0
...
12

MATLAB u teoriji automatskog upravljanja
Zadatak 4
Dinamika sistema je opisana jednačinom:
2
d x dx
+ 2 + 2x
= u(
t),
∀t
≥ 0
2
dt dt
Nacrtati amplitudno-faznu karakteristiku prenosne funkcije ovog sistema sa jediničnom
negativnom povratnom spregom.
...
Zadatak 5
Dinamika sistema je opisana jednačinom:
2
d x dx
+ 2 + 2x
= u(
t),
∀t
≥ 0
2
dt dt
Nacrtati amplitudno-faznu karakteristiku prenosne funkcije datog sistema u sprezi sa
sistemom čija je prenosna funkcija:
G ( s)
=
2
2
s + 2s
+ 2
3
( s + 1)
a zatim uporediti dobijeni grafik sa grafikom amplitudno-fazne karakteristike sistema sa
prenosnom funkcijom:
1
G
3
( s)
=
3
( s + 1)
...
13