Wykład 6 (2on1) - Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ...

Automaty (nie)deterministyczne – część I 

Notatki 


Osoba prowadząca wykład i ćwiczenia: dr inż. Marek Sawerwain 

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych 

Uniwersytet Zielonogórski 

e-mail : M.Sawerwain@issi.uz.zgora.pl 

tel. (praca) : 68 328 2321, 

pok. 328a A-2, 

ul. prof. Z.Szafrana 2, 

65-246 Zielona Góra 

Ostatnia zmiana: 03.12.2012 

V1.1 – 1/ 55 


Spis treści 

Notatki 

Wprowadzenie 

Plan wykładu 

Słowa, języki, relacje 

Słowa 

Język 

Relacje 

Automaty 

Zastosowanie automatów 

Funkcja przejścia 

Własności automatów 

Minimalizacja automatów 

Ragel 

Możliwości pakietu Ragel 

Przykłady zastosowań 

A za tydzień na wykładzie 

V1.1 – 2/ 55


Wprowadzenie 

Plan wykładu 

Plan wykładu – spotkania tydzień po tygodniu 

Notatki 

(1) Informacje o wykładzie, poprawność algorytmów 

(2) Poprawność algorytmów – logika Hoarego 

(3) Analiza złożoności kodu wysokiego i niskiego poziomu 

(4) Modele algorytmiczne – maszyny proste, obwody logiczne 

(5) Modele algorytmiczne – maszyna Turinga oraz rachunek-λ 

(6) ⇒Automaty (nie)deterministyczne – część I ⇐ 

(7) Automaty (nie)deterministyczne – część II 

(8) Gramatyki – regularne i bezkontekstowe 

V1.1 – 3/ 55 


Wprowadzenie 

Plan wykładu 

Plan wykładu – spotkania tydzień po tygodniu 

Notatki 

(9) Gramatyki i automaty ze stosem 

(10) Algorytmy równoległe 

(11) Klasy złożoności obliczeniowej 

(12) Pamięć logarytmiczna i wielomianowa 

(13) Problemy NP-zupełne 

(14) Wstęp do obliczeń kwantowych 

(15) Wybrane algorytmy kwantowe 

V1.1 – 4/ 55


Wprowadzenie 

Plan wykładu 

Plan wykładu 

Notatki 

1. Słowa, Języki, Relacje 

1.1 podstawowe definicje 

1.2 własności relacji 

2. Automaty deterministyczne 

2.1 budowa automatu deterministycznego 

2.2 funkcja przejścia 

2.3 automat skończony dla dowolnego języka skończonego 

2.4 suma, product i dopełnienie automatu 

2.5 minimalizacja automatu 

3. Automaty w praktyce 

3.1 projekt Ragel 

3.2 przykład implementacji automatu 

3.3 funkcja atoi 

3.4 linia z parametrami 

V1.1 – 5/ 55 


Wprowadzenie 

Plan wykładu 

Notatki 

Materiały wykorzystane podczas tworzenia tego wykładu, a także przydatne 

do dalszych studiów: 

1. John E.Hopcroft, Jeffrey D.Ullman: Wprowadzenie do teorii 

automatów, języków i obliczeń, Wydawnictwo Naukowe PWN 

2003 Wydanie 1 oraz Wydanie 2 z roku 2006, 

2. przedmiot Języki automaty i obliczenia z Ważniaka, 

3. wykład M.Kubicy, Języki formalne i automaty, 

http://www.mimuw.edu.pl/~kubica/aug/index-frames.html, 

4. Podręcznik użytkownika pakietu Ragel: 

http://www.complang.org/ragel/ragel-guide-6.7.pdf. 

V1.1 – 6/ 55



Notatki 

Słowa, Języki, Relacje 

V1.1 – 7/ 55 



Słowa 

Notatki 

Podstawowe definicja związane z pojęciem słowa oraz języka: 

Definicja 

Alfabet oznaczony przez Σ, to dowolny niepusty, skończony zbiór. Elementy 

alfabetu nazywamy znakami albo symbolami. 

Elementy alfabetu to zazwyczaj cyfry i litery, ale mogą to być dowolne inne 

symbole. 

Definicja 

Słowo (lub napis) nad alfabetem Σ, to dowolny skończony ciąg symboli z Σ. 

Słowem jest też ciąg/słowo puste oznaczone przez λ bądź ε. 

Definicja 

Długość słowa oznaczamy przez | · | i jest to liczba symbol słowie. 

Przykłady: |abc| = 3 oraz |λ| = 0. 

V1.1 – 8/ 55



Słowa 

Notatki 

Definicja 

Sklejenie (inne określenie to konkatenacja) słów to słowo z powstałe z 

połączenia z dwóch słów x,y: z = x + y, co oznacza że sklejane słowa są 

zapisane jedno po drugim. 

Przykład: jeśli x = Ala, y = Ma, z = Kota, to zyx = KotaMaAla. Sklejanie 

słów jest łączne: x(yz) = (xy)z, oraz λ jest elementem neutralnym operacji 

sklejania, tzn. xλ = λx = x. 

Definicja 

Wyrażenie a n oznacza n-krotne powtórzenie symbolu a. 

Jeśli x jest słowem, to x n oznacza n-krotne powtórzenie słowa. Dodatkowo 

x 0 = λ, x n+1 = x n x. Przykłady: a 4 = aaaa, a 0 = λ, b n+1 = b n a, x 0 = λ, 

x n+1 = x n x, gdzie a,b to symbole natomiast x jest słowem, oraz jeśli 

x = kolor, to x 3 = kolorkolorkolor. 

V1.1 – 9/ 55 



Słowa 

Notatki 

Definicja 

Liczbę wystąpień symbolu a w słowie x oznaczamy przez # a (x). 

Podsłowem danego słowa x nazywamy dowolny spójny fragment słowa x, 

tzn. y jest podsłowem x jeśli, gdy istnieją takie v i w, że x = vyw. 

Definicja 

Prefiksem słowa nazywamy dowolny jego początkowy fragment, tzn. x jest 

prefiksem y, gdy istnieje takie z, że xz = y. Dodatkowo, jeśli x ≠ λ i x ≠ y, 

to x jest właściwym prefiksem y. 

Sufiksem słowa x nazywamy dowolny końcowy fragment x, tzn. x jest 

sufiksem y, gdy istnieje takie z, że zx = y. I podobnie, gdy x ≠ λ oraz 

x ≠ y, to x jest właściwym sufiksem y 

Definicja 

Przez rev(x) lub ←− x oznaczamy słowo x czytane wspak. 

V1.1 – 10/ 55



Język 

Notatki 

Definicja 

Język L, to dowolny zbiór słów nad alfabetem Σ. 

Język złożony ze wszystkich możliwych słów nad alfabetem łączenie ze 

słowem pustym, będziemy oznaczać przez Σ ⋆ . Podstawowe operacje na 

językach są następujące: 

◮ ∅ to pusty język, który nie zawiera żadnego słowa, 

◮ A ∪ B to suma języków A i B, 

◮ A ∩ B to część wspólna (przecięcie) języków A i B, 

◮ A \ B to różnica języków A i B. 

Przez A oznaczymy dopełnienie języka A, czyli A = Σ ⋆ \ A. Natomiast 

AB oznacza konkatenację języków A i B, czyli jest to język zawierający 

wszystkie możliwe sklejenia słów z A i słów B, AB = {xy : x ∈ A, y ∈ B}. 

V1.1 – 11/ 55 



Język 

Notatki 

Język A n jest określony rekurencyjnie: 

◮ A 0 = {λ}, 

◮ A n+1 = A n A. 

Można powiedzieć, że język A n to język zawierający wszystkie możliwe sklejenia 

n słów wziętych z A, i dodatkowo słowa to niekoniecznie muszą się 

różnić. 

Domknięcie Kleene’ego 

Domknięcie Kleene’ego języka A, oznaczane jako A ⋆ , to A ⋆ = ⋃ n≥0 An . 

Inaczej mówiąc, A ⋆ to język zawierający wszystkie możliwe sklejenia 

dowolnej liczby słów należących do A, także ze słowem pustym. 

Natomiast przez A + oznaczamy język zawierający wszystkie możliwe sklejenia 

dowolnej dodatniej liczby słów należących do A, czyli A + = AA ⋆ , co 

oznacza brak słowa pustego. 

V1.1 – 12/ 55



Relacje 

Notatki 

Niech X reprezentuje dowolnym zbiór, a ρ ∈ X × X relację binarną, która 

jest określona na tym zbiorze, wtedy: 

◮ relacja ρ jest zwrotna, gdy dla każdego x ∈ X zachodzi xρx, 

◮ relacja ρ jest symetryczna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X , jeśli xρy, to 

również yρx, 

◮ relacja ρ jest przechodnia, gdy dla dowolnych x, y, z ∈ X , jeżeli 

xρy ∧ yρz, to również xρz, 

◮ relacja ρ jest antysymetryczna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X , jeżeli 

xρy ∧ yρx, to również x = y. 

Dwie istotne własności: 

◮ jeśli ρ jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, to ρ jest relacją 

równoważności, 

◮ jeśli ρ jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, to ρ jest relacją 

częściowego porządku. 

V1.1 – 13/ 55 



Relacje 

Notatki 

Relacja równoważności dzieli zbiór X na rozłączne klasy abstrakcji: 

Definicja 

Jeśli ρ jest relacją równoważności, x ∈ X , to przez [x] ρ oznaczono klasę 

abstrakcji x: 

[x] ρ = {y ∈ X : xρy} 

Przez X /ρ oznaczono zbiór klas abstrakcji elementów zbioru X : 

X /ρ = {[x] ρ : x ∈ X } 

V1.1 – 14/ 55



Relacje 

Notatki 

(a) 

(b) 

Relacja zwrotna (a) oraz relacja symetryczna (b). 

V1.1 – 15/ 55 



Relacje 

Notatki 

(a) 

(b) 

Relacja antysymetryczna (a) oraz relacja przechodnia (b). 

V1.1 – 16/ 55



Relacje 

Notatki 

Relacja równoważności. 

V1.1 – 17/ 55 



Relacje 

Notatki 

Relacja częściowego porządku. 

V1.1 – 18/ 55



Relacje 

Domknięcie relacji 

Niech ρ ⊆ X ×X będzie dowolną relacją binarną. Domknięciem przechodniozwrotnym 

relacji ρ nazywamy najmniejszą taką relację ρ ′ 

⊂ X × X , że: 

◮ zawiera relację ρ, ρ ⊆ ρ ′ , 

◮ jest zwrotna i przechodnia. 

Notatki 

Domknięcie przechodnio-zwrotne. 

V1.1 – 19/ 55 



Relacje 

Domknięcie relacji 

Notatki 

Definicja domknięcia przechodniego relacji ρ oznaczonego przez ρ p : 

◮ jeśli a ρ b to a ρ p b, 

◮ jeśli a ρ b i b ρ c, to a ρ p c. 

Domknięcie przechodnio zwrotne relacji ρ oznaczono jako ρ ′ , to 

ρ p ∪ {xρx | x ∈ X }. 

Przykład 

Niech ρ = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} oraz X = {1, 2, 3}, to otrzymuje się: 

◮ ρ p = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)}, 

◮ ρ ′ = {(1, 1)(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. 

V1.1 – 20/ 55


Automaty 



Notatki 

Automat skończony jest modelem matematycznym systemu o dyskretnych 

wejściach i wyjściach. System taki może znajdować się w jednym ze skończonej 

liczby stanów (dopuszczalne są także systemy, gdzie automat może 

się znajdować w wielu stanach na raz). Stan systemu stanowi podsumowanie 

informacji dotyczących poprzednich wejść. Informacja ta jest niezbędna 

do określenia zachowania systemu przy następnych wejściach. 

Istnieje wiele przykładów zastosowań automatów. Prostym przykładem jest 

mechanizm windy. Mechanizm ten nie pamięta wszystkich poprzednich żądań. 

Pamiętane jest tylko bieżące piętro, kierunek ruchu (w górę lub w dół) 

oraz zbiór żądań do obsłużenia. 

V1.1 – 21/ 55 


Automaty 



Notatki 

Inne przykładowe zastosowania automatów: 

◮ oprogramowanie do projektowania obwodów cyfrowych oraz testy 

poprawności obwodu, 

◮ zastosowanie w kompilatorach jako analizator leksykograficzny, którego 

zadaniem jest rozbicie tekstu kodu źródłowego na pojedyncze jednostki 

logiczne takie jak identyfikatory, słowa kluczowe czy znaki przestankowe, 

◮ skanowanie większych ilości tekstu np.: zbiór stron WWW, celem 

odnalezienia wystąpień określonych słów czy całych zwrotów, 

◮ weryfikacja systemów o skończonej liczbie stanów jak min. protokoły 

komunikacyjne, protokoły bezpieczeństwa związane z wymianą 

informacji. 

V1.1 – 22/ 55


Automaty 


Wilk, człowiek, kapusta, rzeka ... 

Notatki 

start 

CWKS-# 

K 

WS-CK 

C 

CWS-K 

W 

S 

S-CWK 

W-CKS 

K 

K 

CKS-W 

CWK-S 

S 

W 

#-CWKS 

K 

CK-WS 

C 

K-CWS 

V1.1 – 23/ 55 


Automaty 


Odtwarzacz DVD, Bluray, mp3 ... 

eject 

Notatki 

start 

empty 

insert 

eject 

stop 

play 

stop 

play 

ffwd 

rev 

rev 

stop play ffwd 

play 

stop 

eject 

rev 

ffwd 

rev 

ffwd 

eject 

V1.1 – 24/ 55


Automaty 


Deterministyczny automat skończony – definicja 

Notatki 

Deterministyczny automat skończony (w skrócie DAS lub ang. FDA – finite 

deterministic automata) jest zbudowany z następujących elementów: 

1. skończonego zbioru stanów, oznaczonych symbolem Q, 

2. skończonego zbioru symboli wejściowych (nazywanego także alfabetem), 

oznaczonych symbolem Σ, 

3. funkcji przejścia, przyjmującej za argument stan oraz symbol wejściowy 

a jej wynikiem jest stan, funkcja przejścia będzie oznaczana przez 

symbol δ, 

4. stanu początkowego, jest to jeden wyróżniony stan z Q np.: q 0 , 

5. zbioru stanów końcowych, gdzie wyróżnia się zbiór stanów 

akceptujących F , gdzie F ⊂ Q. 

V1.1 – 25/ 55 


Automaty 


DAS – definicja formalna 

Notatki 

Definicja deterministycznego automatu skończonego 

Deterministyczny automat skończony A, to krotka albo prościej następująca 

piątka: A = (Q, Σ, δ, q 0 , F ): 

◮ Q to skończony zbiór stanów, 

◮ Σ to skończony alfabet wejściowy, 

◮ δ : Q × Σ → Q, to funkcja przejścia δ(q, a) 

◮ s to stan początkowy, 

◮ F ⊆ Q to zbiór stanów akceptujących. 

Automat i funkcja przejścia określona jako tabela: 

δ 0 1 

1 

0 

→ q 0 q 1 q 0 

q 0 0 q 1 

q 

1 q 1 q 1 q 2 

2 0, 1 

⋆q 2 q 2 q 2 

V1.1 – 26/ 55


Automaty 


Projektowanie automatu 

Notatki 

Określenie języka C, zawierającego podciąg 01: 

C = {x01y | x, y są dowolnymi łańcuchami zer i jedynek} 

Przykładami łańcuchów należących do języka C są ciągi: 01, 11010 oraz 

100011. Przykładami ciągów nienależących do języka C są ciągi λ (czyli 

ciąg pusty), 0 oraz 111000. 

Łatwo stwierdzić iż alfabet to tylko dwa znaki Σ = {0, 1}. Istnieje pewien 

zbiór stanów Q którego na razie nie precyzujemy, ale już można wyróżnić 

stan początkowy q 0 . Automat musi zostać skonstruowany w taki sposób, 

aby niejako pamiętał ważne fakty odnośnie tego, co pojawiło się na wejściu. 

W przypadku postawionego zadania możemy wyróżnić trzy następujące zdarzenia: 

V1.1 – 27/ 55 


Automaty 


Trzy obserwacje 

Notatki 

1. Czy na wejściu pojawił się podciąg 01? Jeśli tak, to można 

zaakceptować dowolny ciąg zer i jedynek, ponieważ ciąg jest zbudowany 

zgodnie z językiem L. Oznacza to także że następne stany mogą być 

stanami akceptującymi. 

2. Jak dotąd podciąg 01 nie pojawił się jeszcze, ale ostatnim widzianym 

symbolem było 0, jeśli teraz pojawi się 1, oznaczać to będzie, że pojawił 

się podciąg 01 i następne symbole mogą być dowolnym ciągiem zer i 

jedynek. 

3. Jak dotąd podciąg 01 nie pojawił się jeszcze, co więcej poprzedni 

symbol nie został jeszcze podany, bo automat właśnie rozpoczął swoją 

pracę bądź ostatnim symbolem była jedynka. W takim przypadku 

automat A nie może zaakceptować słowa, dopóki nie pojawi się zero, a 

bezpośrednio po zerze jedynka. 

V1.1 – 28/ 55


Automaty 


Notatki 


Wymienione warunki należy przedstawić za pomocą stanów. Warunek (3) 

będzie reprezentowany przez stan q 0 . Jest to uzasadnione tym, że jeśli zaczynamy, 

to musimy wykryć zero, a następnie jedynkę. Jeśli będąc w stanie 

q 0 zobaczymy w pierwszej kolejności jedynkę, to naturalnie nadal musimy 

pozostać w stanie q 0 . Zapiszemy to w następujący sposób δ(q 0 , 1) = q 0 . 

Będąc w stanie q 0 , gdy napotkamy zero to zaczyna obowiązywać warunek 

(2), czyli δ(q 0 , 0) = q 2 . Przybliża nas to do wykrycia, obecności podciągu 

01. Pierwsza istotna sytuacja dla stanu q 2 , to wykrycie następującego 

symbolu którym jest zero. Jeśli tak jest to, δ(q 2 , 0) = q 2 , co oznacza iż 

naturalnie pozostajemy w stanie q 2 . Jednakże jeśli będąc w stanie q 2 , wykryjemy 

zero to wiedząc iż pojawiło się już zero to uzyskaliśmy informację o 

tym, że wystąpił pod ciąg 01. Przechodzimy do stanu q 1 , oznaczający stan 

akceptujący, δ(q 2 , 1) = q 1 . 

V1.1 – 29/ 55 


Automaty 



Stan q 1 może przyjmować, zero bądź jedynkę w dowolnej kolejności ponieważ 

już wcześniej udało nam się stwierdzić obecność 01. Funkcja przejścia 

posiada postać δ(q 1 , 0) = q 1 oraz δ(q 1 , 1) = q 1 . 

Zbierając uzyskane informacje, formalnie automat A zdefiniujemy w 

następujący sposób: 

Notatki 

A DAS = {q 0 , q 1 , q 2 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 1 } 

A funkcja przejścia jest następująca: 

0 1 

→ q 0 q 2 q 0 

⋆q 1 q 1 q 1 

V1.1 – 30/ 55


Automaty 



Przydatne jest aby funkcję δ określoną na stanie i pojedynczym symbolu, 

rozszerzyć tak aby określa działanie automatu dla słów. 

Rozszerzona funkcja przejścia – oznaczona jako ˆδ albo δ ⋆ 

Rozszerzona funkcja przejścia δ ⋆ : Q × Σ ⋆ → Q jest zdefiniowana w 

następujący sposób: 

◮ δ ⋆ (q, λ) = q, 

◮ δ ⋆ (q, xa) = δ(δ ⋆ (q, x), a). 

gdzie a to symbol, natomiast x słowo. 

Automat akceptuje słowo x ⇔ δ ⋆ (q, x) ∈ F , co pozwala określić język 

akceptowalny przez automat A. 

Akceptowany język 

Język L akceptowany przez automat A, to: 

Notatki 

L(A) = {x ∈ Σ ⋆ : δ ⋆ (q, x) ∈ F }. 

V1.1 – 31/ 55 


Automaty 


O możliwości budowy automatu 

Notatki 

Własność 

Każdy język skończony jest akceptowany przez pewien deterministyczny 

automat skończony. 

Szkic dowodu, z użyciem prefiksów. Niech L będzie skończonym językiem. Wszystkie 

słowa z L mają skończoną liczbę prefiksów. Stanami automatu akceptującego L będą 

wspomniane prefiksy, oraz jeden dodatkowy stan, który będziemy nazywać „śmietnikiem” 

i będziet ostan nieakceptujący. Po wczytaniu dowolnego słowa, jeżeli jest ono prefiksem 

pewnego słowa z L, nasz automat A będzie dokładnie w takim stanie jak to słowo. 

Natomiast po wczytaniu słowa, które nie jest prefiksem żadnego słowa z A automat 

przejdzie do śmietnika. 

Stan początkowy to λ. Jeśli x i xa są prefiksami pewnego słowa z L, to δ(q, a) = xa, 

w przeciwnym przypadku: δ(q, a) = śmietnik. Stany akceptujące to te prefiksy, które 

należą do L. 

W oczywisty sposób, język akceptowany przez automat A to L. Natomiast dzięki temu, 

że słowa z L mają skończoną liczbę prefiksów, jest to poprawny automat skończony. 

Za wykładem: M.Kubicy, Języki formalne i automaty. 

V1.1 – 32/ 55


Automaty 


Przykład 

Notatki 

Dla języka L 1 = {ab, aba, abb, baa}, zbiór prefiksów jest następujący: 

{λ, a, b, ab, ba, aba, abb, baa} 

aba 

aba 

a 

ab 

b 

b 

a 

a a 

a,b 

a,b 

abb 

λ 

b 

b 

b 

a 

b 

a,b 

ba 

a 

baa 

a b 

→ λ a b 

a ∅ ab 

b ba ∅ 

⋆ ab aba abb 

ba baa ∅ 

⋆ aba ∅ ∅ 

⋆ abb ∅ ∅ 

⋆ baa ∅ ∅ 

∅ ∅ ∅ 

a,b 

V1.1 – 33/ 55 


Automaty 


Dopełnienie, produkt i suma automatów 

Twierdzenie 

Niech L 1 i L 2 będą językami (alfabet Σ wspólny dla obu języków) 

akceptowanymi odpowiednio przez automaty deterministyczne 

A 1 = (Q 1 , Σ, δ 1 , q 1 , F 1 ) i A 2 = (Q 2 , Σ, δ 2 , q 2 , F 2 ), oraz L(A 1 ) = L 1 , 

L(A 2 ) = L 2 . Następujące języki są również akceptowane przez pewne 

deterministyczne automaty skończone: 

◮ L 1 , 

◮ L 1 ∩ L 2 , 

◮ L 1 ∪ L 2 . 

Notatki 

Dowód dla dopełnienia: Niech A ′ 1 = (Q 1, Σ, δ 1 , q 1 , Q \ F 1 ), toteż 

L(A ′ 1 ) = {x ∈ Σ⋆ : δ ⋆ (q 1 , x) ∈ Q \ F 1 } 

= {x ∈ Σ ⋆ : δ ⋆ (q 1 , x) /∈ F 1 } 

= Σ ⋆ \ {x ∈ Σ ⋆ : δ ⋆ (q 1 , x) /∈ F 1 } 

= Σ ⋆ \ L(L 1 ) = Σ ⋆ \ L 1 = L 1 . 

V1.1 – 34/ 55


Automaty 


Dopełnienie, produkt i suma automatów 

Notatki 

Dowód dla produktu automatów: 

Niech A 3 = (Q 1 × Q 2 , Σ, δ 3 , (q 1 , q 2 ), F 1 × F 2 ), co pociąga za sobą 

konieczność iż zachodzi δ 3 ((q 1 , q 2 ), a) = (δ 3 (q 1 , a), δ 3 (q 2 , a)), gdzie a to 

symbol. Wykorzystując indukcję po długości słowa x, należy wykazać że 

zachodzi δ3 ⋆((p, q), x) = (δ⋆ 3 (p, x), δ⋆ 3 (q, x)), gdzie x to słowo. Co pozwala 

uzyskać że 

L(A 3 ) = {x ∈ Σ ⋆ : δ3 ⋆((q 1, q 2 ), x) ∈ F 1 × F 2 } 

= {x ∈ Σ ⋆ : (δ1 ⋆(q 1, x), δ2 ⋆(q 2, x)) ∈ F 1 × F 2 } 

= {x ∈ Σ ⋆ : δ1 ⋆(q 1, x) ∈ F 1 ∧ δ2 ⋆(q 2, x) ∈ F 2 } 

= {x ∈ Σ ⋆ : δ1 ⋆(q 1, x) ∈ F 1 } ∩ {x ∈ Σ ⋆ : δ2 ⋆(q 2, x) ∈ F 2 } 

= L(A 1 ) ∩ L(A 2 ) = L 1 ∩ L 2 

Dowód dla sumy automatów, sprowadza się do wykorzystania praw de 

Morgana: L 1 ∪ L 2 = L 1 ∩ L 2 

V1.1 – 36/ 55 

V1.1 – 35/ 55 


Automaty 


Przykład 

Notatki 

Produkt automatów akceptujących parzystą liczbę symboli b oraz parzystę 

liczbę symboli a: 

a 

p 

b 

b 

a 

q 

pr 

b 

b 

qr 

a 

a 

a 

a 

b 

a 

b 

b 

r 

a 

s 

ps 

b 

qs 

a b 

→ ⋆ p p q 

q q p 

a b 

→ r s r 

⋆ s r s 

a b 

→ pr ps qr 

qr qs pr 

⋆ ps pr qs 

qs qr ps


Automaty 



Notatki 

Dlaczego warto minimalizować automaty, podczas projektowania automatu 

dla konkretnego rozwiązania można otrzymać kilka projektów. Najczęściej 

wybiera się projekt najmniejszy, który działa na najmniejszej możliwej liczbie 

stanów. 

Działanie „na oko”, celem wyboru najmniejszego automatu, jest raczej 

możliwe tylko dla małych przypadków. Minimalizacja automatu pozwala też 

na łatwą ocenę jaki język jest akceptowany przez automat. 

Ważny fakt 

Do każdego deterministycznego automatu skończonego zawsze istnieje 

jednoznaczny automat minimalny, który akceptuje ten sam język. 

V1.1 – 37/ 55 


Automaty 


Minimalizacja automatów – „przykład na oko” 

Notatki 

Minimalizacja następującego automatu deterministycznego? 

p 

a 

a,b 

a 

r 

b 

a,b 

s 

b 

a 

b 

t 

q 

Jaki język akceptuje ten automat? 

V1.1 – 38/ 55


Automaty 


Minimalizacja automatów – „przykład na oko” 

Notatki 

Usunięcie stanów nieosiągalnych, daje następujący automat: 

a 

a 

r 

b 

a,b 

s 

b 

a 

b 

t 

q 

V1.1 – 39/ 55 


Automaty 


Minimalizacja automatów – „przykład na oko” i wnioski 

Notatki 

Analiza stanów q oraz r pozwala je połączyć w jeden stan: 

a,b 

a 

b 

a,b 

s 

r 

t 

W algorytm minimalizacji można wyróżnić dwie fazy: 

1. usunięcia stanów nieosiągalnych, 

2. wyznaczenia relacji równoważności ≈ i połączenia ze sobą stanów 

równoważnych. 

Definicja 

Dwa stany p i q są sobie równoważne, gdy: 

∀ x∈Σ ⋆δ ⋆ (p, x) ∈ F ⇔ δ ⋆ (q, x) ∈ F . 

V1.1 – 40/ 55


Automaty 


Notatki 

Algorytm minimalizacji znajduje wszystkie pary nierównoważnych sobie 

stanów. Co oznacza, że pozostałe pary stanów są sobie równoważne i można 

je ze sobą połączyć. 

Definicja 

Jeśli stany p i q nie są sobie równoważne, to istnieje rozróżniające je słowo x, 

takie iż: 

δ ⋆ (p, x) ∈ F δ ⋆ (q, x) ∈ F . 

Ogólna zasada polega na tym, iż zakłada się, że wszystkie stany można 

skleić ze sobą. Następnie sukcesywnie wyznaczane są pary stanów nie 

równoważnych, w kolejności uwzględniającej rosnącą długości najkrótszych 

rozróżniających je słów. 

V1.1 – 41/ 55 


Automaty 


Algorytm minimalizacji automatu 

Notatki 

Poszczególne kroki algorytmu minimalizacji: 

(I) tworzona jest tablica wartości logicznych T p,q indeksowaną 

nieuporządkowanymi parami {p, q} stanów p, q ∈ Q. Na początku 

zakłada się, że T p,q = true dla wszystkich p, q ∈ Q, 

(II) dla wszystkich par stanów {p, q}, takich że p ∈ F i q /∈ F zaznaczamy 

T p,q = false (jeśli p jest akceptujący, a q nie jest, to te stany są 

rozróżniane przez słowo puste λ), 

(III) dla wszystkich par stanów {p, q} oraz znaków a ∈ Σ takich, że 

T δ(p,a),δ(q,a) = false, zaznaczamy również T p, q = false. 

(IV) jeśli w kroku (III) zmieniona została choćby jedną wartość tablicy T z 

true na false, to krok (III) należy powtarzać tak długo, aż nie będzie on 

powodował żadnych nowym zmian w tablicy T . 

V1.1 – 42/ 55


Automaty 


Minimalizacja – przykład 

Notatki 

Minimalizacja następującego automatu: 

s 

a 

p 

a 

b 

b 

b 

b 

a 

p 

F 

T 

F 

q 

F 

T 

r 

F 

s 

r 

a 

q 

Wartości z tabeli T wskazują że należy połączyć stany s i q oraz p oraz r, co 

pozwala na podanie poniższego automatu: 

s,q 

a,b 

a,b 

p,r 

V1.1 – 43/ 55 


Automaty 


Minimalizacja – przykład 

Minimalizacja następującego automatu: 

q 1 

0 

1 

q 2 q 

0 1 3 

0 

q 4 

1 

0 

0 

1 1 0 

q 5 q 6 q 7 q 8 

1 

0 

0 

1 

1 

q2 F 

q 3 F F 

q 4 F F F 

q 5 T F F F 

q 6 F F F T F 

q 7 F F F F F F 

q 8 F T F F F F F 

q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 

Notatki 

Wartości z tabeli T wskazują że należy 

połączyć stany q 1 i q 5 , q 2 i q 8 oraz q 4 i q 6 , co 

pozwala na podanie poniższego automatu: 

1 

q 1, q 5 

1 

0 

0 1 

0 

1 q 2, q 8 

0 q 7 

1 

q 3 0 

q 4, q 6 

V1.1 – 44/ 55


Ragel 

Notatki 

Automaty i pakiet 

Ragel State Machine Compiler 

V1.1 – 45/ 55 


Ragel 

Możliwości pakietu Ragel 

Czas na trochę praktyki: Ragel State Machine Compiler 

Ragel to pakiet do kompilacji tzw. maszyn stanu, czyli również automatów. 

Pakiet jest dostępny pod adresem: http://www.complang.org/ragel/. 

Współpracuje z wieloma językami programowania: C, C++, Objective-C, D, 

Java, Ruby, co ważne nie są wymagane żadne dodatkowe pakiety. 

Zastosowania to min.: 

◮ implementacja protokołów, 

◮ analiza danych, 

◮ analiza leksykalna języków programowania, 

◮ weryfikacja danych wprowadzanych przez użytkownika. 

Notatki 

Maszyna stanu jest opisana przez: 

◮ operatory języka regularnego, 

◮ diagramy przejścia, 

◮ skanery, 

◮ oraz metody łączące powyższe podejścia. 

V1.1 – 46/ 55


Ragel 


Automat dla języka L = (a|b) ⋆ bb 

Implementacja funkcji do rozpoznawania języka L = (a|b) ⋆ bb, w notacji 

Ragel zapiszemy to jako [ab]*[b][b]. 

Początek: 

Notatki 

#include 

#include 

%%{ 

}%% 

machine lang; 

main := 

( [ab]*[b][b] ) 

0 @{ val = 1; }; 

%% write data; 

Wyrażenia objęte ciągiem %%{ oraz }%% są przetwarzane przez pakiet 

Ragel. 

V1.1 – 47/ 55 


Ragel 


Automat dla języka L = (a|b) ⋆ bb 

Notatki 

Postać funkcji main: 

int main( int argc, char **argv ) 

{ 

int cs, val = 0; 

if ( argc > 1 ) 

{ 

char *p = argv[1]; 

char *pe = p + strlen(p) + 1; 

%% write init; 

%% write exec; 

} 

printf("result = %i\n", val ); 

} 

return 0; 

V1.1 – 48/ 55


Ragel 


Funkcja typu atoi 

Implementacja funkcji atoi, czyli funkcji która zamienia liczbę zapisaną jako 

tekst na wartość np.: int (w przykładzie będzie to long long). 

Początek: 

Notatki 

#include 

#include 

#include 

%%{ 

}%% 

machine atoi; 

write data; 

Wyrażenia objęte za %%{ oraz }%% są przetwarzane przez pakiet Ragel. 

Przykład pochodzi ze strony projektu Ragel. 

V1.1 – 49/ 55 


Ragel 


Funkcja atoi 

long long atoi( char *str ) { 

char *p = str, *pe = str + strlen( str ); 

int cs; 

long long val = 0; 

bool neg = false; 

Notatki 

%%{ 

action see_neg { 

neg = true; 

} 

action add_digit { 

val = val * 10 + (fc - ’0’); 

} 


V1.1 – 50/ 55


Ragel 


Funkcja atoi 

Notatki 

main := 

( ’-’@see_neg | ’+’ )? ( digit @add_digit )+ 

’\n’; 

write init; 

write exec; 

}%% 

if ( neg ) 

val = -1 * val; 

if ( cs < atoi_first_final ) 

fprintf( stderr, "atoi: there was an error\n" ); 

}; 

return val; 


V1.1 – 51/ 55 


Ragel 


Funkcja atoi – funkcja main 

Notatki 

#define BUFSIZE 1024 

int main() 

{ 

char buf[BUFSIZE]; 

while ( fgets( buf, sizeof(buf), stdin ) != 0 ) { 

long long value = atoi( buf ); 

printf( "%lld\n", value ); 

} 

return 0; 

} 


V1.1 – 52/ 55


Ragel 


Obsługa parametrów z linii komend 

Analiza parametrów przekazanych przez linię poleceń: 

Notatki 

./prog -M 0 --output /dev/xVideo0. 

Definicja poszczególnych parametrów obsługiwanych w programie: 

string = [^\0]+ >clear $append %term; 

help = ( ’-h’ | ’-H’ | ’-?’ | ’--help’ ) 0 @help; 

version = ( ’-v’ | ’--version’ ) 0 @version; 

output = ’-o’ 0? string 0 @output; 

spec = ’-S’ 0? string 0 @spec; 

mach = ’-M’ 0? string 0 @mach; 

main := ( 

help | 

version | 

output | 

spec | 

mach 

)*; 

V1.1 – 53/ 55 



Ragel 


Obsługa parametrów z linii komend 

Podjęcie akcji po wykryciu polecenia: 

action clear { fsm->buflen = 0; } 

action help { printf("help\n"); } 

action version { printf("version\n"); } 

action output { printf("output: \"%s\"\n", fsm->buffer); } 

action spec { printf("spec: \"%s\"\n", fsm->buffer); } 

action mach { printf("machine: \"%s\"\n", fsm->buffer); } 

Postać funkcji main: 

int main( int argc, char **argv ) { 

int a; struct params params; 

Notatki 

params_init( &params ); 

for ( a = 1; a < argc; a++ ) 

params_execute( &params, argv[a], strlen(argv[a])+1 ); 

if ( params_finish( &params ) != 1 ) 

fprintf( stderr, "params: error processing arguments\n" ); 

} 

return 0; 

V1.1 – 54/ 55


A za tydzień na wykładzie 

W następnym tygodniu między innymi 

Notatki 

1. Automaty niedeterministyczne 

2. Automaty z przejściami ε 

3. Automat potęgowy (konwersja automatu niedeterministycznego na deterministyczny) 

4. Języki regularne 

5. Regexy w praktyce 

6. Więcej przykładów dla Ragel 

Dziękuje za uwagę!!! 

V1.1 – 55/ 55 

Notatki

Wykład 6 (2on1) - Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?