Sadrzaj 1 Linearne jednacine - Alas

Sadržaj 

1 Linearne jednačine 1 

2 Matematička indukcija 3 

3 Polinomi 3 

4 Grupe 4 

5 Simetrična grupa 6 

6 Matrice 7 

7 Determinante 11 

8 Vektorski prostori 14 

9 Skalarni prizvod 25 

1 Linearne jednačine 

1. 1 Rješiti sistem linearnih jednačina: 

R: (x, y) = (2, 3) 

2. Rješiti sistem linearnih jednačina: 

R: (x, y, z) = (1, −1, −1) 


R: (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (1, 1, −1, −1) 

1 1. sedmica 

x + 3y = 11 

7x − 11y = −19 

−x + 3y − 2z = −2 

−3x + 5y − 4z = −4 

y − z = 0 

2x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 4 

4x 1 + 3x 2 − x 3 + 2x 4 = 6 

8x 1 + 5x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 12 

3x 1 + 3x 2 − 2x 3 + 2x 4 = 6 

1


R: Nema rješenja. 


R: 


R: 

(x, y, z, t) = ( −a + b + c + d 

4 


R: (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = (5, 4, 3, 2, 1) 


R: (x, y, z) = (−α − 2, 2α + 4, α) 


2x − y + 3z = 9 

3x − 5y + z = −4 

4x − 7y + z = 5 

2x + y + 4z + 8t = −1 

x + 3y − 6z + 2t = 3 

3x − 2y + 2z − 2t = 8 

2x − y + 2z = 4 

(x, y, z, t) = (2, −3, −3 

2 , 1 2 ) 

−x + y + z + t = a 

x − y + z + t = b 

x + y − z + t = c 

x + y + z − t = d 

, a − b + c + d 

4 

, a + b − c + d 

4 

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 15 

x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 35 

x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 10x 4 + 15x 5 = 70 

x 1 + 4x 2 + 10x 3 + 20x 4 + 35x 5 = 126 

x 1 + 5x 2 + 15x 3 + 35x 4 + 70x 5 = 210 

2x + 4y − 6z = 12 

6x + 13y − 20z = 40 

2x 1 + 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 6 

3x 1 + 5x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 

9x 1 + 4x 2 + x 3 + 7x 4 = 2 

R: (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (8 − 9α − 4β, α, β, 16 + 11α + 5β) 

2 

, a + b + c − d ) 

4


3x 1 − 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 2 

6x 1 − 4x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 3 

9x 1 − 6x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 4 

R: 

(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( 1 − 6α 

5 

, β, α, 6 − α + 10β ) 

15 

2 Matematička indukcija 

11. Dokazati: 

12. Dokazati: 

1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 

19|7 · 5 2n + 12 · 6 n 

13. Dokazati matematičkom indukcijom: 

14. Dokazati: 

4 n 

n + 1 < (2n)! 

(n!) , n > 1 

2 

(1 + a 1 )(1 + a 2 ) · · · (1 + a n ) ≥ 1 + a 1 + · · · + a n , −1 < a i ≤ 0, 1 ≤ i ≤ n 

15. Dokazati: 

x 1 · x 2 · · · x n = 1 i x i ≥ 0 ⇒ x 1 + x 2 + · · · + x n ≥ n 

16. Dokazati matematičkom indukcijom: 

(a + b) n = 

n∑ 

k=0 

( n 

k) 

a n−k b k 

3 Polinomi 

17. 2 Izračunati: 

a) (X 2 − 3X + 4) · (X 3 + 2X 2 + 3X + 7) =? 

b) (X 4 + 3X 3 + 4X 2 + 5X + 6) · (X 2 − 1) =? 

c) ρ(X 7 + X 6 , X − 2) =? 

d) ρ(X n , X − 3) =? 

e) ρ(X n , X 2 − 8X + 15) =? 

f) ρ(X n , X 2 − 4X + 4 =? 

2 2. sedmica 

3

18. Ako je p = (X +1)(X 2 +1)(X 4 +1) · · · (X 2n +1) polinom iz R[X] prvo odrediti koeficijente 

polinoma (X − 1)p, a zatim i samoga polinoma p. 

19. Uporedjujući odgovarajuće koeficijente polinoma na levoj i desnoj strani relacije (X + 

1) m (X + 1) n = (X + 1) m+n dokazati da za svako k važi: 

k∑ 

( m 

r 

r=0 

)( ) n 

= 

k − r 

( ) m + n 

20. Ako je q = X 4 − 2X 3 − X 2 + 2X + 3 polinom iz R[X], ispitait da li postoji α ∈ R i polinom 

p tako da važi p(X 2 + αX) = q. 

21. Ako je p θ = (cos θ + X sin θ) n iz C[X] i α = √ 3+i 

2 

, odrediti realne brojeve θ za koje je 

p θ (i) = α. 

22. Neka je n prirodan broj , dokazati da postoji tačno jedan polinom p ∈ C[X] za koji je 

p − p ′ = X n i odrediti njegove koeficijente. 

p = α 0 + α 1 X + · · · α n X n 

p ′ = α 1 + 2α 2 X + · · · + nα n X n−1 

′ : C[X] → C[X] 

(p + q) ′ = p ′ + q ′ , (αp) ′ = αp ′ , (p · q) ′ = p ′ · q + p · q ′ 

23. Neka su α, β ∈ C. Dokazati da za q = (X − α)(X − β) i svaki polinom p ∈ C[X] važi 

ρ(p, q) = aX + b gde je: 

k 

a = 

p(α) − p(β) 

, b = 

α − β 

αp(β) − βp(α) 

, α ≠ β 

α − β 

a = p ′ (α), b = p(α) − αp ′ (α), α = β 

24. Odrediti ostatak pri euklidskom djeljenju polinoma p θ = (cos θ + X sin θ) n polinomom 

q = X 2 + 1 u prstenu C[X], a samim time i u R[X]. 

25. Dokazati da polinom p k = X k − 1 deli polinom p n = X n − 1 u prstenu C[X], ako i samo 

ako k|n. 

26. Dokazati da je (1 − α 1 )(1 − α 2 ) · · · (1 − α n ) = n + 1, gde je α l = cos( 2πl 

2πl 

) + i sin( ). 

n+1 n+1 

4 Grupe 

a) G × G → G, (g, h) ↦→ g · h 

b) (f · g) · h = f · (g · h), ∀f, g, h ∈ G 

c) ∃e ∈ G e · g = g · e = g, ∀g ∈ G 

d) ∀g ∈ G, ∃g −1 ∈ G g · g −1 = g −1 · g = e 

4

Primeri: (Z, +), (R, +), (C, +), (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·) 

27. Neka je X = {f a,b (x) = ax + b | a ≠ 0, a, b ∈ R(C)} tada je (X, ◦) grupa. 

28. Neka je X = [0, 1). Operacija ⋆ je zadna sa a ⋆ b = {a + b} = a + b − [a + b], [x]-prvi ceo 

broj manji ili jednak x. Dokazati da je (X, ⋆) grupa. 

29. Neka je u ravni zadana tačka O. Dokazati da skup rotacija oko tačke O čini grupu. 

30. Pokazati da je skup svih bijekcija skupa A u samoga sebe grupa u odnosu na slaganje 

preslikavanja. Da li je ta grupa komutativna? 

31. 3 Podgrupe Neka je (G, ·) grupa, potskup H ⊆ G je podgrupa ako i samo ako ∀x, y ∈ 

H, x · y ∈ H i x −1 ∈ H. Oznaka H < G. 

Primeri: 

(Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +) 

(Q \ {0}, ·) < (R \ {0}, ·) < (C \ {0}, ·) 

32. Neka je C n = {R k 

n 2π | k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}}. Dokazati da je C n podgrupa drupe rotacija 

oko tačeke O. 

33. Dokazati da je skup translacija podgrupa grupe izometrija ravni. Da li je skup centralnih 

simetrija podgrupa grupe izometrija ravni? Da li je skup refleksija podgrupa grupe 

izometrija? 

34. Dokazati da je S = {z ∈ C | |z| = 1} < (C \ {0}, ·) 

35. Neka je (G, ·) Abelova grupa i H < G, S(H) = {x ∈ G | x 2 ∈ H}. Dokazati S(H) < G. 

36. Neka je (G, ·) proizvoljna grupa i Z(G) = {g ∈ G | ga = ag, ∀a ∈ G}. Dokazati Z(G) < G. 

37. Neka je (G, ·) grupa i H < G, tada je aHa −1 < G. aHa −1 = {aha −1 | h ∈ H} 

38. Homomorfizam grupa: 

Neka su (G, ·) i (H, ◦) dve grupe f : G → H je homomorfizam ako važi: 

f(a · b) = f(a) ◦ f(b), 

∀a, b ∈ G 

epimorfizam ⇔ f je NA 

monomorfizam ⇔ f je 1-1 

izomorfizam ⇔ f je 1-1 i NA 

39. Dokazati da ako je f : G → H homomorfizam grupa onda: 

a) f(e G ) = e H 

b) f(x −1 ) = f(x) −1 , ∀x ∈ G 

c) K < H ⇒ f −1 (K) < G 

d) L < G ⇒ f(L) < H 

3 3. sedmica 

5

e) Kerf = {x ∈ G | f(x) = e H } < G, Imf = {f(x) | x ∈ G} < H 

f) f je monomorfizam ⇔ Kerf = {e G } 

40. Neka je f(x) = e x i g(x) = ln x, dokazti da su f i g uzajamno inverzni homomorfizmi tj. 

izomorfizmi grupa (R, +), (R + , ·) 

41. Dokazati da je sa f(z) = e z zadan homeomorfizam (C, +) u (C\{0}, ·) i odrediti mu jezgro 

i sliku. 

5 Simetrična grupa 

42. 4 Neka je S n simetrična grupa reda n. Tada za svakaki niz i 1 , i 2 , . . . , i r različitih brojeva 

iz skupa {1, 2, . . . , n} imamo permutaciju (i 1 , i 2 , . . . , i r ) koja i 1 prevodi u i 2 , i 2 u i 3 , . . ., 

i r−1 u i r , a i r u i 1 , dok ostale elemente skupa {1, 2, . . . , n} ostavlja na miru. Takva 

permutacija zove se r-člani ciklus. Jasno je da za svako k, 1 ≤ k < r vrijedi (i 1 , i 2 , . . . , i r ) = 

(i k+1 , . . . , i r , i 1 , . . . , i k ). Dokazati: 

a) Svaka dva ciklusa bez zajedničkih elemenata medjusobno komutiraju; 

b) Ako je π ∈ S n tada za svako i ∈ {1, 2, . . . , n} postoji najmanji prirodan broj r za 

koji vrijedi π r (i) = i. U tom slučaju elementi i, π(i), π 2 (i), . . . , π r−1 (i) su medjusobno 

različiti. 

c) Ako je r odnosno s najmanji prirodan broj za koji je π r (i) = i, odnosno π s (j) = j, 

tada prema b) imamo cikluse (i, π(i), π 2 (i), . . . , π r−1 (i)) i (j, π(j), π 2 (j), . . . , π s−1 (j)). 

Ovakva dva ciklusa ili su jednaka ili nemaju zajedničkih elemenata. To su ciklusi 

permutacije π. 

d) Svaka permutacija π ∈ S n je proizvod svih svojih ciklusa (bez zajedničkih elemenata). 

Ako je neka permutacija π ∈ S n proizvod ciklusa bez zajedničkih elemenata, onda su ti 

ciklusi do poretka odredjeni permutacijom π. 

43. Neka je S n simetrična grupa reda n > 1. Tada za svaki ciklus (i 1 , i 2 , . . . , i r ), r > 1 vrijedi 

(i 1 , i 2 , . . . , i r ) = (i 1 , i 2 )◦(i 2 , i 3 )◦· · ·◦(i r−1 , i r ), pa se svaka permutacija π ∈ S n može prikazati 

u obliku (za π = id praznog) proizvoda transpozicija, tj. dvočlanih ciklusa. Dokazati: 

a) Svaka permutacija iz S n može se prikazati u obliku proizvoda transpozicija oblika 

(i, j)(j = 1, 2, . . . , n; j ≠ i), pri čemu je i bilo kojiod brojeva 1, 2, . . . , n, recimo i = 1. 

b) Prikaz permutacije π ∈ S n u obliku transpoziicija nije jedinstven, ali je za datu permutaciju 

broj faktora u svakom takvom prikazu iste parnosti,tj ili je za sve prikaze 

paran ili je za sve prikaze neparan. 

c) Neka je N(π) broj transpozicija u jednom takvom prikazu. Tada je sa sgn(π) = 

(−1) N(π) zadan epimorfizam grupe (S n , ◦) na grupu ({−1, 1}, ·). 

44. Dokazati da je grupa izometrija tetraedra izomorfna grupi S 4 , simetrična grupa reda 4. 

4 4. sedmica 

6

6 Matrice 

45. Neka su data linearna preslikavanja ravni R 2 u samu sebe: 

P : 

u = 2x + 3y 

v = 5x + 7y 

Q : 

u = ax + by 

v = cx + dy 

R : 

u = ex + fy 

v = gx + hy 

Izaračunati P 2 , P ◦ Q, Q ◦ P, Q ◦ R, P −1 , P −1 ◦ P, Q −1 . 

Ako je: 

[ ] [ ] [ ] 

u a b x 

= 

v c d y 

matrični zapis preslikavanja, zapisati prethodno izračunata preslikavanja u tom zapisu. 

Ako je: 

[ ] [ ] 

1 0 

e 1 = i e 

0 2 = 

1 

izračunati P (e 1 ), P (e 2 ), Q(e 1 ), Q(e 2 ), (P ◦ Q)(e 1 ), (P ◦ Q)(e 2 ). 

46. 5 Neka su data linearna preslikavanja prostora R 3 u samog sebe: 

A : 

y 1 = 2x 1 + 3x 2 − 2x 3 

y 2 = x 1 − 6x 2 + 3x 3 

y 3 = 4x 1 − 7x 2 + 2x 3 

B : 

y 1 = b 11 x 1 + b 12 x 2 + b 13 x 3 

y 2 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + b 23 x 3 C : 

y 3 = b 31 x 1 + b 32 x 2 + b 33 x 3 

Izračunati: A 2 , A ◦ B, B ◦ A, B ◦ C. 

Ako je: 

⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ 

y 1 b 11 b 12 b 13 

⎣ y 2 

⎦ = ⎣ b 21 b 22 b 23 

⎦ ⎣ 

y 3 b 31 b 32 b 33 

matrični zapis preslikavanja B. 

zapisu. 

Ako je: 

⎡ ⎤ 

1 

e 1 = ⎣ 0 ⎦ , e 2 = 

0 

y 1 = c 11 x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 

y 2 = c 21 x 1 + c 22 x 2 + c 23 x 3 

y 3 = c 31 x 1 + c 32 x 2 + c 33 x 3 

⎤ 

x 1 

x 2 

⎦ 

x 3 

Zapisati i ostala izračunata preslikavanja u matričnom 

⎡ 

⎣ 

0 

1 

0 

⎤ 

⎡ 

⎦ , e 3 = ⎣ 

izračunati A(e 1 ), A(e 2 ), A(e 3 ), B(e 1 ), B(e 2 ), B(e 3 ), (A◦B)(e 1 ), (A◦B)(e 2 ), (A◦B)(e 3 ). 

47. Neka su data preslikavanja: 

0 

0 

1 

⎤ 

⎦ 

5 5. sedmica 

A : 

y 1 = 3x 1 + 2x 2 − 5x 3 

y 2 = 2x 1 + x 2 − 4x 3 

B : 

y 1 = x 1 + 2x 2 − 2x 3 

y 2 = 6x 1 + x 2 + 4x 3 

y 3 = 3x 1 + 3x 2 − x 3 

7

C : 

y 1 = c 11 x 1 + c 12 x 2 + c 13 x 3 

y 2 = c 21 x 1 + c 22 x 2 + c 23 x 3 

D : 

y 1 = d 11 x 1 + d 12 x 2 + d 13 x 3 

y 2 = d 21 x 1 + d 22 x 2 + d 23 x 3 

y 3 = d 31 x 1 + d 32 x 2 + d 33 x 3 

Izračunati A ◦ B, C ◦ D. To sve zapisati u matričnom zapisu, takodje izračunati (A ◦ 

B)(e 1 ), (A ◦ B)(e 2 ), (A ◦ B)(e 3 ), (C ◦ D)(e 1 ), (C ◦ D)(e 2 ), (C ◦ D)(e 3 ). 

48. Izračunati proizvode matrica: 

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 

3 −2 3 4 2 −3 9 −6 a b e f 

· 

· 

· 

5 −4 2 5 4 −6 6 −4 c d g h 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

1 −3 2 2 5 6 5 8 −4 3 2 5 

⎣ 3 −4 1 ⎦ · ⎣ 1 2 5 ⎦ ⎣ 6 9 −5 ⎦ · ⎣ 4 −1 3 ⎦ 

2 −5 3 1 3 2 4 7 −3 9 6 5 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 −1 3 −4 

3 −2 4 −3 

5 −3 −2 1 

3 −3 −1 2 

⎤ 

⎥ 

⎦ · 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

7 8 6 9 

5 7 4 5 

3 4 5 6 

2 1 1 2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

5 7 −3 −4 

7 6 −4 −5 

6 4 −3 −2 

8 5 −6 −1 

⎤ 

⎥ 

⎦ · 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 2 3 4 

2 3 4 5 

1 3 5 7 

2 4 6 8 

49. 6 Svesti matricu A na kanonski oblik A 0 i odrediti matrice P, Q za koje važi P AQ = A 0 . 

[ ] 2 0 −3 

A = 

1 1 1 

Napomena: Matrice P, Q nisu jedinstvene. 

50. Naći matrice inverzne sledećim matricama: 

⎡ 

⎤ ⎡ 

2 5 7 3 −4 5 

⎣ 6 3 4 ⎦ , ⎣ 2 −3 1 

5 −2 −3 3 −5 −1 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 1 1 1 

1 1 −1 −1 

1 −1 1 −1 

1 −1 −1 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ , 

51. Naći inverze slidećih matrica reda n: 

⎡ 

⎤ ⎡ 

1 1 1 · · · 1 

1 1 0 · · · 0 

0 1 1 · · · 1 

⎢ 0 0 1 · · · 1 

⎥ 

⎣ · · · · · · · · · · · · · · · ⎦ , 

0 1 1 · · · 0 

⎢ 0 0 1 · · · 0 

⎣ · · · · · · · · · · · · · · · 

0 0 0 · · · 1 

0 0 0 · · · 1 

6 6. sedmica 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 0 0 · · · 0 

a 1 0 · · · 0 

0 a 1 · · · 0 

· · · · · · · · · · · · · · · 

0 0 0 · · · 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ , 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎦ , 

⎡ 

⎣ 

1 2 3 4 

2 3 1 2 

1 1 1 −1 

1 0 −2 −6 

⎤ 

⎥ 

⎦ , 

2 7 3 

3 9 4 

1 5 3 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎦ 

1 2 3 · · · n 

0 1 2 · · · n − 1 

0 0 1 · · · n − 2 

· · · · · · · · · · · · · · · 

0 0 0 · · · 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1 a a 2 · · · a n−1 

0 1 a · · · a n−2 

0 0 1 · · · a n−3 

· · · · · · · · · · · · · · · 

0 0 0 · · · 1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

8

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 −1 0 · · · 0 

−1 2 −1 · · · 0 

0 −1 2 · · · 0 

· · · · · · · · · · · · · · · 

0 0 0 · · · 2 

1 + a 1 1 · · · 1 

1 1 + a 1 · · · 1 

1 1 1 + a · · · 1 

· · · · · · · · · · · · · · · 

1 1 1 · · · 1 + a 

⎤ 

⎥ 

⎦ , 

⎤ 

⎥ 

⎦ , 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

0 1 1 · · · 1 

1 0 1 · · · 1 

1 1 0 · · · 1 

· · · · · · · · · · · · · · · 

1 1 1 · · · 0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

1 1 1 · · · 1 

1 ω ω 2 · · · ω n−1 

1 ω 2 ω 4 · · · ω 2(n−1) 

⎥ 

· · · · · · · · · · · · · · · ⎦ 

1 ω n−1 ω 2(n−1) · · · ω (n−1)2 

Gde je ω = cos 2π + i sin 2π n n 

52. Kako se manja proizvod AB matrica A i B ako se: 

a) permutuje i-ta i j-ta vrsta matrice A? 

b) i-toj vrsti matrice A doda j-ta vrsta pomnožena sa λ? 

c) permutuje i-ta i j-ta kololona matrice B? 

d) i-toj koloni matrice B doda j-ta kolona pomnožena sa λ? 

53. Dokazati da je tr(AB) = tr(BA), pa pomoću toga tr(B) = tr(ABA −1 ). 

54. Dokazati da ako je AB = BA, tada: 

(A + B) n = 

n∑ 

k=0 

( n 

k) 

A n−k B k 

55. Dokazati da se svaka kvadratna matrica A može na jedinstven način napisati u obliku 

A = B + C, gde je B simetrična, a C antisimetrična matrica. 

56. 7 Izračunati A n za sledeće matriceA: 

[ ] [ ] 

7 0 λ1 0 

, 

, 

0 11 0 λ 2 

[ λ 1 

0 λ 

] 

, 

[ cos θ − sin θ 

sin θ cos θ 

] 

57. Izračunati A n koristeći relaciju: 

[ ] 17 −6 

A = 

= 

35 −12 

[ 2 3 

5 7 

] 

· 

[ 2 0 

0 3 

] 

· 

[ −7 3 

5 −2 

58. Dokazati da matrica A zadovoljava jednačinu: det(A − λE) = λ 2 − (a + d)λ + ad − bc = 0 

[ ] a b 

A = 

c d 

7 7. sedmica 

] 

9

59. Izračunati A n za sledeće matrice A: 

[ ] [ 

1 2 6a − 15 −10a + 30 

, 

−4 7 3a − 9 −5a + 18 

] 

, 

[ 3a − 2b 2b − 2a 

3a − 3b 3b − 2a 

] 

, 

[ a + 2 −1 

4 a − 2 

] 

60. Odrediti a n ako je: 

a) a n+2 = a n+1 + a n i a 0 = 1, a 1 = 1 

b) a n+2 = 2a n+1 − a n i a 0 = p, a 1 = q 

c) 6a n+2 = 5a n+1 − a n i a 0 = p, a 1 = q 

61. Znajući da polinom det(A − λE) anulira matricu A, izračunati A n za sledeće matrice: 

⎡ 

4 3 

⎤ 

−3 

⎡ 

1 1 

⎤ 

1 

⎣ 2 3 −2 ⎦ , ⎣ 0 2 1 ⎦ 

4 4 −3 1 3 2 

62. Neka su a, b ∈ K proizvoljni i neka je: 

⎡ 

a b 

⎤ 

b 

⎡ 

A = ⎣ b a b ⎦ , F = ⎣ 

a a b 

1 1 1 

1 1 1 

1 1 1 

Prvo dokazati da su matrice A i F 2 linearna kombinacija matrica E i F , a zatim odrediti 

matricu A n . 

63. 8 Dokazati da matrica komutira sa fiksiranom dijagonalnom matricom D reda n koja ima 

medjusobno različite vrednosti na dijagonali ako i samo ako je i sama dijagonalna. 

64. Ako za matricu A i bar jedan prirodan broj n važi A n = 0 (A je nilpotentna matrica) 

dokazati da je matrica E − A inverzibilna i odrediti njen inverz. 

65. Dokazati da je za svaku matricu B matrica A = B · B T simetrična. 

66. Dokazati da je proizvod dve simetrične matrice simetrična matrica ako i samo ako te 

matrice komutiraju. 

67. Dokazati da je proizavod dve antisimetrične matrice A, B antisimetrična matrica ako i 

samo ako AB = −BA. 

68. Dokazati da matrična jednačina AX−XA = E nema rešenje ni za jednu kvadratnu matricu 

A ∈ M n (R). 

69. Naći sve kvadratne matrice reda dva čiji je kvadrat nula-matrica. 

70. Dokazati da je X = {e tA |t ∈ R} i A proizvoljna matrica iz M 2 (R), jedna podgrupa od 

GL 2 (R). 

8 8. sedmica 

⎤ 

⎦ 

10

71. Neka je 

A = {F α = 

[ 2 − α α − 1 

2 − 2α 2α − 1 

] 

|α ∈ R} 

Prvo odrediti proizvod F α · F β , a zatim Fα n . Takodje dokazati da je B = {F α |α ≠ 0} jedna 

podgrupa linearne grupe GL 2 (R). 

[ ] 0 −1 

72. Neka je L = {aE + bF |a, b ∈ R}, F = . Dokazati da L jedno potpolje prstena 

1 0 

M 2 (R) i da je sa f(a + bi) = aE + bF definisan jedan izomorfizam polja C na polje L. 

73. Dokazati da za matricu A ∈ M 2 (R) važi A T · A = E ako i samo ako je oblika A = R θ ili 

A = S θ , θ ∈ R, [ ] [ 

] 

cos θ − sin θ 

cos θ sin θ 

R θ = 

, 

sin θ cos θ − sin θ − cos θ 

i da je sa f(ρ(cos θ + i sin θ)) = ρR θ definisan jedan monomorfizam polja C na potpolje 

prstena M 2 (R). 

7 Determinante 

74. 9 Izračunati determinante: 

1 1 1 1 

1 −1 1 1 

1 1 −1 1 

1 1 1 −1 

, 

0 1 1 1 

1 0 1 1 

1 1 0 1 

1 1 1 0 

, 

2 −5 1 2 

−3 7 −1 4 

5 −9 2 7 

4 −6 1 2 

, 

7 6 3 7 

3 5 7 2 

5 4 3 5 

5 6 5 4 

R: −8, −3, −9, −10 

75. Bez razvijanja izračunati sledeću determinantu: 

R: 0 

a b c 1 

b c a 1 

c a b 1 

b+c 

2 

c+a 

2 

a+b 

2 

1 

76. Razvijajući po trećoj vrsti, izračunati determinantu: 

R: 8a + 15b + 12c − 19d 

9 9. sedmica 

2 −3 4 1 

4 −2 3 2 

a b c d 

3 −1 4 3 

11

77. Razvijanjem po drugoj koloni izračunati determinantu: 

R: 2a − 8b + c + 5d 

78. Izračunati determinante: 

5 a 2 −1 

4 b 4 −3 

2 c 3 −2 

4 d 5 −4 

a 3 0 5 

0 b 0 2 

1 2 c 3 

0 0 0 d 

, 

1 0 2 a 

2 0 b 0 

3 c 4 5 

d 0 0 0 

, 

x a b 0 c 

0 y 0 0 d 

0 e z 0 f 

g h k u l 

0 0 0 0 v 

R: abcd, abcd, xyzuv 

79. Naći članove determinante 

koji sadrže x 4 , x 3 . 

R: 10x 4 − 5x 3 

80. Rešiti jednačinu: 

5x 1 2 3 

x x 1 2 

1 2 x 3 

x 1 2 2x 

1 1 1 · · · 1 

1 1 − x 1 · · · 1 

1 1 2 − x · · · 1 

. 

1 1 1 · · · n − x 

= 0 

81. Dokazati da je determinanta antisimetrične matrice neparnog reda jenaka nuli. 

82. Kako se menja determinanta ako se svaki njen element zameni simetričnim u odnosu na 

“centar” determinante. 

83. Dokazati da determinanta kojoj su elementi, simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu, 

konjugovano-kompleksni, ima realnu vrednost. 

84. Bez razvijanja detrminante dokazati sledeće jednakosti: 

0 x y z 

x 0 z y 

y z 0 x 

z y x 0 

= 

0 1 1 1 

1 0 z 2 y 2 

1 z 2 0 x 2 

1 y 2 x 2 0 

12

1 a 1 a 2 1 · · · a n−2 

1 a n 1 

1 a 2 a 2 2 · · · a n−2 

2 a n 2 

. 

1 a n a 2 n · · · a n−2 

n 

a n n 

= (a 1 + a 2 + · · · + a n ) 

1 a 1 a 2 1 · · · a n−2 

1 a n−1 

1 

1 a 2 a 2 2 · · · a n−2 

2 a n−1 

2 

. 

1 a n a 2 n · · · a n−2 

n 

a n−1 

n 

85. 10 Izračunati sledeće determinante: 

3 2 0 · · · 0 0 

1 3 2 · · · 0 0 

0 1 3 · · · 0 0 

. 

0 0 0 · · · 3 2 

0 0 0 · · · 1 3 

, 

0 1 1 · · · 1 

1 0 1 · · · 1 

1 1 0 · · · 1 

. 

1 1 1 · · · 0 

, 

1 2 3 · · · n − 1 n 

2 3 4 · · · n n 

3 4 5 · · · n n 

. 

n n n · · · n n 

, 

1 x 1 x 2 1 · · · x n−1 

1 

1 x 2 x 2 2 · · · x n−1 

2 

1 x 3 x 2 3 · · · x n−1 

3 

. 

1 x n x 2 n · · · x n−1 

n 

1 + x 1 y 1 1 + x 1 y 2 · · · 1 + x 1 y n 

1 + x 2 y 1 

. 

1 + x 2 y 2 · · · 1 + x 2 y n 

, 

1 + x n y 1 1 + x n y 2 · · · 1 + x n y n 

, 

a n (a − 1) n · · · (a − n) n 

a n−1 (a − 1) n−1 · · · (a − n) n−1 

. 

1 1 · · · 1 

cos(α 1 − β 1 ) cos(α 1 − β 2 ) · · · cos(α 1 − β n ) 

cos(α 2 − β 1 ) cos(α 2 − β 2 ) · · · cos(α 2 − β n ) 

. 

cos(α n − β 1 ) cos(α n − β 2 ) · · · cos(α n − β n ) 

, 

A = 

86. Odrediti adjungovanu matricu matrice A i u slučaju da postoji naći inverz nad poljem 

R, Z 13 ⎡ ⎤ 

1 3 2 

⎣ 4 2 2 ⎦ 

0 2 −4 

87. Odrediti za koje λ postoji inverz matrice A ∈ M 3 (R) i naravno inverz matrice. 

⎡ 

2 1 

⎤ 

−3 

A = ⎣ 1 0 4 ⎦ 

3λ λ 1 

88. Primenom Kramerovog pravila rešiti sistem jednačina: 

ax + y + z = 1 

x + ay + z = 1 

x + y + az = 1 

89. Dokazati da ako je detA = 0 da je tada detÃ = 0. (Ã adjungovana matrica matrice A) 

90. Izraziti ˜(λA) preko Ã. 

10 10. sedmica 

13

91. Ako je matrica A invertibilna dokazati da je A = detA · ˜(A −1 ). 

92. Neka je A ∈ M 3 (R), ako je B = ˜(2A) naći B −1 

8 Vektorski prostori 

93. 11 Primeri: 

⎡ 

A = ⎣ 

2 1 −3 

1 −2 1 

3 0 2 

a) R n = {(x 1 , x 2 , . . . , x n )| x i ∈ R, 1 ≤ i ≤ n} 

x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ), y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) 

x + y = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) + (y 1 , y 2 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n ) 

a · x = a · (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (ax 1 , ax 2 , . . . , ax n ), a ∈ R 

⎤ 

⎦ 

b) R S = {u : S → R}, R n ∼ = R 

{1,2,...,n} 

(u + v)(x) = u(x) + v(x), (a · u)(x) = a · u(x) 

c) R[X] je vektorski prostor nad R; 

(R[x], +) je Abelova grupa; 

a · p = a(a 0 + a 1 X + · · · + a n X n ) = aa 0 + aa 1 X + · · · + aa n X n 

Opštije: neka je L prsten i K njegovo potpolje tada je L vektorski prostor nad K. 

94. Koji os sledećih potskupova realnih brojeva su vektorski prostori nad Q: 

a) pozitivni realni brojevi; 

b) nenegativni realni brojevi; 

c) celi brojevi; 

d) racionalni brojevi sa broiocem manjm od fiksiranog prirodnog broja n; 

e) brojevi vida a + bπ, a, b ∈ Q; 

95. Pokazati da je skup rešenja linearne jednačine 2x + y − z = 0 nad poljem R potprostor 

vektorskog porstora R 3 . 

Uopšte neka je U skup rešenja homogenog sistema: 

tada je U vektroski potprostor od F n . 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = 0 

a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = 0 

. 

a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = 0 

96. Neka je F n [X] = {p ∈ F[X]| deg p ≤ n}, pokazati da je to vektorski potprostor od F[X]. 


14

97. Neka je F (S) = {u ∈ F S | u(s) ≠ 0 za samo konačno mnogo s-ova iz S}, tada je F (S) 

vektorski potprostor od F S . Na primer F (N 0) ∼ = F[X], (a0 , a 1 , . . . , a n , 0, 0, . . .) ←→ a 0 + 

a 1 X + · · · + a n X n . 

98. Neka je U = {u ∈ F S | u(s 0 ) = 0, s 0 fiksirani element iz S}, tada je U vektorski potprostor 

od F S . 

99. Neka je p zadani polinom iz F[X], dokazati da je skup polinoma iz F[X] koji su deljivi sa 

p potprostor od F[X]. 

100. Dokazati da je skup polinoma oblika a 0 +a 2 X 2 +a 4 X 4 +· · ·+a 2n X 2n , vektorski potprostor 

od F[X] i da je izomorfan sa F[X]. 

101. Dat je skup vektorski prostor svih nizova R N 0 

nad poljem R onda svi nizovi koji zadovoljavaju 

rekurentnu vezu a n+2 = 3a n+1 − 2a n , ∀n ∈ N 0 čine vektorski potprostor od 

R N 0 

. 

102. Neka je U skup svih parnih funkcija (f(−x) = f(x)) iz R R , a W skup svih neparnih funkcija 

(f(−x) = −f(x)) iz R R = V . Onda je: 

a) U < V, W < V ; 

b) U ⊕ W = V . 

103. Neka je U skup svih simetričnih, a W skup svih antisimetričnih matrica iz M n (R) = V , 

onda je: 

a) U < V, W < V ; 

b) U ⊕ W = V . 

104. Neka je U ⊂ R[X] tako da je: 

a) U = {p| p(1) = p ′ (1) = 0}; 

b) U = {p| p = Xp ′ − p ′′ }; 

onda je U < R[X]. 

105. 12 Neka su U i W potprostori vektorskog prostora V , njihova unija je potprostor ako i 

samo ako je U < W ili W < U. 

106. Ako su S, U, W potprostori vektorskog prostora V onda je S ⊂ U ∪ W ako i samo ako 

S 

107. Ako su U, W, H potprostori vektorskog prostora V i U < H, dokazati da je H ∩ (U + W ) = 

U + (H ∩ W ). 

108. Neka je U = F n [X] skup svih polinoma iz V = F[X] stepena manjeg ili jednakog n i W 

skup svih polinoma koji su deljivi fiksiranim polinomom p stepena n + 1. Dokazati da je 

V = U ⊕ W . 


15

109. Ako su a = (2, 1, 5) T , b = (1, 2, 1) T , c = (1, 3, 0) T vektori iz F 3 ispitati dali su linearno 

nezavisni. 

110. Funkcija x ↦→ β sin(x + α) je linearna kombinacija funkcija sin x i cos x. 

111. Ako su u = α + X + X 2 , v = 1 + αX + X 2 , w = 1 + X + αX 2 polinomi iz vektorskog 

prostora F[X] odrediti sve skalare α ∈ F za koje su ti polinomi linearno nezavisni. 

112. Neka su u = (1, a, a 2 ) T , v = (1, b, b 2 ) T , w = (1, c, c 2 ) T vektori iz R 3 , oni su linearno 

nezavisni ako i samo ako su a, b, c medjusobno različiti. 

113. Neka su e 1 = (2, 1, 1) T , e 2 = (1, 0, 1) T , e 3 = (0, 0, 1) T vektori iz R 3 proveriti da je sistem 

e = [e 1 , e 2 , e 3 ] jedna baza i odrediti koridinate vektora u = (1, 2, −2) u toj bazi. 

114. 13 Odrediti bar jednu bazu potprostora koji se sastoji od rešenja sistema jednačina: 

R:(271, −146, −110, 1) T 

2x + 3y + z + 6t = 0 

3x + 4y + 2z − 9t = 0 

x + 5y − 4z + 19t = 0 

115. Neka su 

a 1 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 

0 

0 

−1 

⎤ 

⎥ 

⎦ , a 2 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

2 

1 

1 

0 

⎤ 

⎥ 

⎦ , a 3 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 

1 

1 

1 

⎤ 

⎥ 

⎦ , a 4 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 

2 

3 

4 

⎤ 

⎥ 

⎦ , a 5 = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

0 

1 

2 

3 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

vektori iz R 4 . 

R:[a 2 , a 4 , a 5 ] 

Naći bar jednu bazu linearnog omotača Ω(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ) ovih vektora. 

116. Ako su a 1 , a 2 , a 3 različiti elementi polja F i e i = (X − a i ) 2 , dokazati da je sistem e = 

[e 1 , e 2 , e 3 ] linearno nezavisan, a time i jedna baza vektorskog prostora F 2 [X]. 

117. Za svako a ∈ F familija e = [(X − a) r | r ∈ N 0 ] je jedna baza prostora F[X]. Uz to ako je 

polje karakteristike 0, r-ta kordinata proizvoljnog polinoma p ∈ F[X] u odnosu na tu bazu 

je upravo p(r) (a) 

r! 

. 

118. Skup U svih aritmetičkih nizova nad poljem R je potprostor od R N .On sadrži nizove e 1 = 

(1, 1, . . .), e 2 = (0, 1, 2, 3, . . .) i jedna od njegovih baza je i sistem e = [e 1 , e 2 ]. 

119. Ako je U linearni omotač familije [1, X 2 , X 4 , . . . , X 2n , . . .] u vektorskom prostoru F[X]. 

Odrediti bar jedan njegov potprostor W za koji je F[X] = U ⊕ W . 

120. Ako za A, B ⊂ V važi A ⊂ Ω(B) ⊂ Ω(A), dokazati da tada mora biti Ω(A) = Ω(B). 

121. Ako je G bilo koja generatrisa vektorskog prostora V (Ω(G) = V ), onda je to svaki od 

skupova F ⊂ V za koji važi G ⊂ Ω(F ). 


16

122. Ako je U < V i F = V \ U. Dokazati da je U ∪ Ω(F ) = V i da je tada ili U = V ili 

Ω(F ) = V . 

123. Ako su e 1 = (1, 1, 1, 1) T , e 2 = (2, 1, 1, 0) T vektori iz R 4 , dokazati da je sistem e = [e 1 , e 2 ] 

linearno nezavisan i nadopuniti ga do baze e = [e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ] samog vektorskog prostora 

R 4 . 

124. Dopuniti do baze vektorskog prostora R 4 sistem v = [v 1 , v 2 ]. v 1 = (−2, 1, 3, 4) T , v 2 = 

(1, 0, −3, −4) T 

125. Neka su U, W linearni omotači sistema vektora [u 1 , u 2 , u 3 ], [w 1 , w 2 , w 3 ] u vektorskom prostoru 

R 4 , pri čemu je: 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

5 

1 

4 

5 

2 

1 

u 1 = ⎢ 4 

⎥ 

⎣ −2 ⎦ , u 2 = ⎢ −1 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ , u 3 = ⎢ −1 

⎥ 

⎣ 4 ⎦ , w 1 = ⎢ 1 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ , w 2 = ⎢ 1 

⎥ 

⎣ 0 ⎦ , w 3 = ⎢ 0 

⎥ 

⎣ 2 ⎦ 

0 

0 

4 

5 

2 

2 

Odrediti dimenzije svakog od potprostora U, W kao i neku bazu njihovih preseka i suma 

U ∩ W, U + W . 

126. Ako su U, W skupovi svih gornje-trougaonih matrica i donje-trougaonih matrica nad poljem 

F, reda n. Dokazati da su ti skupovi potprostori vektorskog prostora M n (F) i odrediti 

njihove dimenzije. Dokazati da je U ∩ W upravo skup dijagonalnih matrica iz M n (F), a 

zatim da je izomorfan sa F n . 

127. 14 Ako su A, B fiksirane matrice reda n nad poljem F i U skupu svih rešenja matrične 

jednačine AX = XB, tada je U jedan potprostor od M n (F). Posebno za n = 3, F = R, 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

1 1 1 

2 1 3 

A = ⎣ 0 2 1 ⎦ , B = ⎣ 0 1 1 ⎦ 

1 3 2 

1 3 4 

odrediti neku bazu f tog potprostora. Takodje razmatrati slučaj rešenja jednačine AX = 

XA koja čine podalgebru od M n (F). 

⎡ 

1 1 

⎤ 

0 

128. Neka je S ⊂ M 3 (R) skup svih matrica koje komutiraju sa matricom: M = ⎣ 0 1 1 ⎦ 

0 0 1 

a) Dokazati da je S jedna podalgebra algebre M 3 (R) i odrediti joj dimenziju i bar jednu 

bazu. 

b) Da li se podalgebra S podudara sa podalgebrom R[M] = {p(M)| p ∈ R[X]}. 

129. Neka je V vektorski prostor i L : V → V linearnai operator za koji vazi L 2 = L (takvi operatori 

se zaovu projektori), tada je M = 1 − L takodje projektor i Ker L = Im M, Im L = 

Ker M, V = Im L ⊕ Ker L. 


17

130. Neka je L : R 2 [X] → R 2 [X] preslikavanje dato sa L(p) = p(−1) + Xp(0) + X 2 p(1) − 2p, 

p ∈ R 2 [X]. 

a) Dokazati da je L linearni operator vektorskog prostora R 2 [X]. 

b) Naći matricu operatora L u kanonskoj bazi prostora R 2 [X] kao i jezgro, sliku, rang, 

defekt, sopstvene vrednosti i sopstvene vektore operatora L. 

131. Naći bar po jednu bazu i dimenzije vektorskih potprostora U, V vektorskog prostora R 3 [X], 

gde je U skup svih polinoma p ∈ R 3 [X] za koje važi p(X + 1) − 2p(X) + p(X − 1) = 0, 

a V je linearni omotač polinoma u = X 3 + X 2 + X + 1, v = X 3 + 2X 2 + 3X + 4, w = 

X 3 + 2X 2 + 5x + 7. Takodje odrediti po jednu bazu potprostora U ∩ V, U + V . 

132. Za koje skalare λ ∈ R je vektor b = (7, −2, λ) linearna kombinacija vektora a 1 = (2, 3, 5), a 2 = 

(3, 7, 8), a 3 = (1, −6, 1). 

133. Ako su A, B, C linearni operatori vektroskog prostora V i ABC = 1 V tada je B inveribilan 

operator i B −1 = CA. 

134. Odrediti sve skalare λ ∈ F za koje je (α, β) ↦→ α + λX + βX 2 jedno linearno preslikavanje 

F 2 → F 2 [X]. 

135. Neka je R n < R n+m prirodna inkluzija, dokazati da je R n+m /R n ∼ = R m . 

136. Neka je V = M n (R), U skup svih gornje trougaonih matrica, W skup svih donje trougaonih 

matrica i D skup svih dijagonalnih matrica. Dokazati da je V/U ∼ = W/D. 

137. 15 Neka je V bilo koji vektorski prostor dimenzije n. Ako su U i W njegovi potprostori 

dimenzije n − 1 i n − 2, dokazati da tada dimenzija njihovog preseka mora biti n − 2 ili 

n − 3. 

138. Ako su e i f bilo koje baze potprostora U i W istog vektorskog prostora V , tada je njihova 

unija baza od V ako i samo ako je V = U ⊕ W . 

139. Ako su e = [e 1 , e 2 , . . . , e m ] i f = [f 1 , f 2 , . . . , f n ] baze vektorskih prostora U i W nad istim 

poljem F, tada je i familija svih parova (e r , 0), (0, f s ) jedna baza prostora U × W . Posebno 

je dim(U × W ) = dimU + dimW . 

140. Ako su A i B skupovi vektora iz istog konačno dimenzionog prostora V i A ⊂ Ω(B) tada 

je i Ω(A) = Ω(B) ako i samo ako je rang(A) = rang(B). 

141. Za proizvoljne potskupove A i B konačno dimenzionog prostora V i njihove omotače (U = 

Ω(A), W = Ω(B) važi: 

rang(A) + rang(B) = rang(A ∪ B) + rang(U ∩ W ) 

142. Ako su A i B bilo koji potskupovi vektora iz konačno dimenzionog vektorskog prostora V 

tada: 

rang(A) + rang(B) = rang(A ∪ B) ⇐⇒ Ω(A) ∩ Ω(B) = {0} 


18

143. Slične matrice imaju iste minimalne polinome. 

144. Ako je matrica A slična dijagonalnoj matrici D, tada je njen minimalni polinom µ A = 

(λ − λ 1 )(λ − λ 2 ) · · · (λ − λ k ) gde su λ 1 , λ 2 , . . . λ k različite dijagonalne komponenete matrice 

D. 

145. Neka je A ∈ M n (F) striktno gornje trougaona matirca (A = [a ij ], a ij = 0, i ≥ j), tada je A 

nilpotentna. (A m = 0 za neko m ∈ N) 

146. Neka je M ∈ M n (F). Ako je tr(MX) = 0, ∀X ∈ M n (F) tada je i M = 0. 

147. Odrediti minimalni polinom matrice A ∈ M 3 (R) ako je: 

⎡ 

0 2 

⎤ 

−2 

A = ⎣ 2 3 −4 ⎦ 

−2 −4 3 

(µ A = (λ + 1)(λ − 8)) 

148. Odredit minimalni polinom matrice B ∈ M n (R) ako je: 

⎡ 

⎤ 

b 1 0 · · · 0 

0 b 1 · · · 0 

B = 

0 0 b · · · 0 

⎢ 

⎥ 

⎣ . 

⎦ 

0 0 0 · · · b 

149. 16 Dokazati da je A n = E. 

⎡ 

A = 

⎢ 

⎣ 

0 1 0 · · · 0 

0 0 1 · · · 0 

. 

0 0 0 · · · 1 

1 0 0 · · · 0 

⎤ 

∈ M n (F). 

⎥ 

⎦ 

Ako je F = C odrediti minimalni i karakteristični polinom matrice A. 

150. Naći minimalni polinom matrice A: 

⎡ 

3 −2 

⎤ 

1 

a = ⎣ −1 8 −5 ⎦ ∈ M 3 (R). 

−1 4 −1 

(µ A = −ϕ A = (λ − 2)(λ − 4) 2 ) 

151. Neka je zbir elemenata svake vrste matrice A jednak a ≠ 0 i neka postoji A −1 , tada je zbir 

elemenata svake vrste matrice A −1 jednak 1 a . 

152. Neka je A blok dijagonalna matrica sa blokovima A 1 , A 2 , . . . , A n . 


19

a) p ∈ F[X], p(A) je tada takodje blok dijagonalna matrica sa blokovima p(A 1 ), p(A 2 ), . . . , 

p(A n ) 

b) minimlni polinom matrice A je µ A = NZS(µ A1 , µ A2 , . . . , µ An ). 

153. Naći minimalni polinom matrice: 

⎡ 

A = ⎢ 

⎣ 

x a · · · a 

a x · · · a 

. 

a a · · · x 

⎤ 

⎥ 

⎦ ∈ M n(F). 

154. Odrediti minimalni polinom matrice: 

⎡ 

⎤ 

a 0 · · · · · · 0 b 

0 a · · · · · · b 0 

. 

0 · · · a b · · · 0 

A = 

∈ M 0 · · · b a · · · 0 2m (F) 

⎢ . 

⎥ 

⎣ 0 b · · · · · · a 0 ⎦ 

b 0 · · · · · · 0 a 

i naći A n , n ∈ N. 

155. 17 Za datu matricu F ∈ M 3 (R) odrediti inveribilnu matricu P i dijagonalnu matricu D 

tako da je D = P −1 F P i naći matricu X ∈ M 3 (R) takvu da je X 2 = F . 

⎡ 

⎤ ⎛ ⎡ ⎤ 

⎞ 

0 0 −3 

3 0 0 

F = ⎣ −1 3 −1 ⎦ ⎝D = ⎣ 0 3 0 ⎦ , ϕ F = −λ 3 + 8λ 2 − 21λ + 18⎠ 

2 0 5 

0 0 2 

156. Neka je V = R 2 [X] i f = 1 + X + X 2 , tada je sa L(p) = −3p + p(1)f definisan jedan 

lienarni operator L : V → V . Odrediti mu matricu u kanonskoj bazi, jezgro, sliku, rang, 

defekt, karakteristični i minimalni polinom. 

157. Odrediti defekt i rang kao i neku bazu jezgra i slike linearnog preslikavanja L A : R 4 → R 3 , 

gde je: 

⎡ 

⎤ 

2 1 3 6 

A = ⎣ 3 4 2 9 ⎦ ∈ M 34 (R) 

1 6 −4 3 

158. Neka je [e 1 , e 2 , e 3 ] baza trodimenzionog vektorskog prostora V nad poljem R i neka linearni 

operator L : V → V zadovoljava: 

L(e 1 ) = e 1 + e 2 − e 3 

L(e 2 ) = e 1 − e 2 + e 3 

L(e 3 ) = e 1 − 3e 2 + 3e 3 

Odrediti rang i defekt linearnog operatora, kao i neku bazu njegovog jezgra i slike. 


20

159. Dokazari da je sa L(a, b, c) = (a − b + 2c) + (a + b + 2c)X + cX 2 definisano linearno 

presliavane L : R 3 → R 2 [X] i odrediti njegovu matricu u odnosu na par kanonskih baza, 

rang, defekt, bazu jezgra, bazu slike, karakteristicni i minimalni polinom matrice. Da li je 

matrica slična dijagonalnoj? 

160. Sa L(p) = (1 − 4X)p + (X + X 2 )p ′ + (X 3 − X 2 )p ′′ definisan je jedan linearan operator 

L = R 2 [X] → R 2 [X] i odrediti njegovu matricu u odnosu na kanonsku bazu prostora 

R 2 [X]. Odreti rang, defekt, naku bazu jezgra i neku bazu slike, kao i karakteristični i 

minimalni polinom. Da li je operator invertibilan? 

161. Neka su a, b ≠ 0 zadani realni brojevi, a W skup svih relanih funkcija relane promjenjive 

oblika x ↦→ e ax (α cos bx + β sin bx) α, β ∈ R 

a) Dokazati da je W < R R i naći mu bar jednu bazu. 

b) Sa L(u) = u ′ , u ∈ W definisan je jedan linearni operator, naći mu matricu u toj bazi. 

c) Da li je oprerator inveritbilan na W i ako jeste naći L −1 = ∫ u(x)dx, u ∈ W . 

162. Linearni operator L u bazi e = [e 1 , e 2 , e 3 ] ima matricu A naći mu matricu u bazi f = 

[f 1 , f 2 , f 3 ]. 

⎡ 

15 −11 

⎤ 

5 f 1 = 2e 1 + 3e 2 + e 3 

⎛ ⎡ 

1 0 

⎤ 

0 

⎡ 

−6 5 

⎤⎞ 

−2 

A = ⎣ 20 −15 8 ⎦ , f 2 = 3e 1 + 4e 2 + e 3 

⎝[L] f = ⎣ 0 2 0 ⎦ , P −1 = ⎣ 4 −3 1 ⎦⎠ 

8 −7 9 f 3 = e 1 + 2e 2 + 2e 3 

0 0 3 

1 −1 1 

Odrediti rang, defekt, bazu jezgra i slike operatora L, kao i karakteristični i minimalni 

polinom. 

163. Neka je L linearno preslikavanje koje svakoj koloni x ∈ R 4 pridružuje kolonu y ∈ R 3 

odredjenu sa: 

⎡ ⎤ 

x 1 

⎡ ⎤ 

x = ⎢ x 2 

y 1 y 1 = 2x 1 − 3x 2 + 4x 3 + 3x 4 

⎥ 

⎣ x 3 

⎦ , y = ⎣ y 2 

⎦ , y 2 = 3x 1 + 4x 2 − 2x 3 − 2x 4 

y 

x 3 y 3 = 7x 1 − 2x 2 + 6x 3 + 4x 4 

4 

Odrediti njegovu matricu A u odnosu na par kanonskih baza vektorskih prostora R 4 , R 3 , 

kao i par baza u odnosu na koje to preslikavanje ima kanonsku matricu A 0 . 

164. Neka je V skup realnih funkcija oblika x(t) = a + b cos t + c sin t, a, b, c ∈ R 

a) Dokazati da je V < R R i naći mu bar jednu bazu. 

b) Preslikavanje A : V → V, A(x)(t) = x(t + π ) za x ∈ V je linearni operator i odrediti mu 

4 

matricu u odnosu na datu bazu. 

c) Odrediti sopstvene vektore i sopstvene vrednosti operatora A. 

165. Neka je L linearni operator vektorskog prostora R 2 [X] zadato na sledeći način L(a + bx + 

cX 2 ) = 2a + (3a − b − 3c)X + (3a − 3b − c)X 2 . Odrediti sopstvene vektore i sopstvene 

vrednosti operatora L, a zatim dokazati da je L dijagonalnog tipa i naći bar jednu bazu e 

prostora R 2 [X] u odnosu na koju L ima dijagonalnu matricu. 

(ϕ L = −(λ − 2) 2 (λ + 4)) 

21

166. Ako je e = [e 1 , e 2 , e 3 ] bilo koja baza vektorskog prostora V i U skup svih linearnih operatora 

na V sa unapred zadatim sopstvenim vektorima u 1 , u 2 , u 3 . Dokazati da je U podalgebra 

L(V ) i odrediti joj dimenziju i bazu. 

u 1 = e 1 + e 2 + e 3 

u 2 = e 1 − e 2 

u 3 = e 1 − e 2 + e 3 

167. Ako su n, p < n fiksirani prirodni brojevi [ i E jedinična ] matrica reda n − p nad bilo kojim 

P 0 

poljem F, dokazati da je sa L(P ) = 

definisan jedan monomorfizam linearne 

O E 

grupe GL p (F) u linearnu grupu GL n (F). Takodje da je L(P ) −1 = L(P −1 ). 

168. Ako je polje F konačno sa p elemenata, dokazati da je tada i linearna grupa GL n (F) konačna 

i reda (p n − 1)(p n − p) · · · (p n − p n−1 ). 

169. Odrediti rang sledećih matrica: 

⎡ 

A = ⎣ 

2 −1 3 −2 4 

4 −2 5 1 7 

2 −1 1 8 2 

(rang(A) = 2, rang(C) = 3) 

⎤ 

⎦ , B = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

25 31 17 43 

75 94 53 132 

75 94 54 134 

25 32 20 48 

⎤ ⎡ 

⎥ 

⎦ , C = ⎢ 

⎣ 

170. 18 U zavisnosti o realnom parametru λ odrediti rang sledećih matrica: 

⎡ 

⎤ 

⎡ 

⎤ 

A = ⎢ 

⎦ 

⎣ 

, C = ⎢ 

⎣ 

3 1 1 4 

λ 4 10 1 

1 7 17 3 

2 2 4 3 

⎡ 

⎥ 

⎦ , B = ⎣ 

1 λ −1 2 

2 −1 λ 5 

1 10 −6 1 

1 3 5 −1 

2 −1 −3 4 

5 1 −1 7 

7 7 9 1 

5 −3 2 4 3 

4 −2 3 7 1 

8 −6 −1 −5 9 

7 −3 7 17 λ 

(λ ≠ 0, rang(A) = 3, λ = 0, rang(A) = 2 ; λ = 3, rang(B) = 2, λ ≠ 0, rang(B) = 3) 

171. Neka je data matrica A ∈ M mn (F) tada je: 

a) A levo regularna akko je rang(A) = n 

b) A desno regularna akko je rang(A) = m. 

172. Neka je A ∈ M mn (F) levo regularan tada postoji B ∈ M nm (F) tako da je BA = E n i slično 

ako je desno regularna. 

173. Ako je A ∈ M mn (F) onda posotji B ∈ M nm (F) tako da je ABA = A. 

174. Za matrice A, B ∈ M mn (F) i matricu C ∈ M m,2n (F) koja se dobija kada se matrica B 

dopiše sa desna matrici A važi: 


rang(A + B) ≤ rang(C) ≤ rang(A) + rang(B) 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

22

175. Za matrice A ∈ M mn (F) i B ∈ M np (F) važi rang(AB) ≤ min{rang(A), rang(B)} 

176. Svaka matrica ranga r može se pretstaviti u obliku zbira r matrica ranga 1 ali ne u obliku 

zbira manje od r matrica ranga 1. 

177. Neka je L : V → W linearno preslikavanje i ako je A, B < V tada su L(A), L(B) < V i 

važi: 

a) L(A + B) = L(A) + L(B) 

b) L(A ∩ B) < L(A) ∩ L(B) 

178. Ako su L, G : V → W linearna prelikavanja i α ∈ F × tada je: 

a) Im(L + G) < Im(L) + Im(G) 

b) Im(αL) = Im(L) 

179. Neka su F : U → V i G : V → W linearna preslikavanja, tada važi: 

a) Im(G ◦ F ) < Im(G) 

b) Ker(F ) < Ker(G ◦ F ) 

180. Linearni operator ima L : V → V, dimV = n ima n različitih sopstvenih vrednosti, tada su 

njegovi sopstveni vektori takodje sopstveni vektori svakog linearnog operatora F : V → V 

za koji važi F ◦ L = L ◦ F . 

181. 19 Neka je dimV = n i L ∈ L(V ), ako [L] e ne zavisi od izbora baze onda je L = λ1 V za 

neko λ ∈ F. 

182. Neka su U, V, W vektorski prostori nad poljem F koji imaju redom dimenzije m, n, p i 

L : U → V, G : V → W su linearna preslikavanja. Tada je: 

a) δ(G ◦ L) ≥ δ(L) 

b) rang(G ◦ L) ≤ rang(G), rang(L) 

c) δ(G ◦ L) ≤ δ(L) + δ(G) 

183. Ako L : V → V , a vektorski prostor V je konačne [ dimenzije ] n i ImL ∩ KerL = {0} tada 

T 0 

postoji baza e prostora V takva da je [L] e = gde je T invertibilna matrica reda 

0 0 

h za neko 0 ≤ h ≤ n. 

184. Ako su F, G, H preslikavanja konačno dimnzionih prostora tako da postoji kompozicija 

F ◦ G ◦ H, tada je: 

rang(F ◦ G) + rang(G ◦ H) ≤ rang(G) + rang(F ◦ G ◦ H) 

185. Neka je L : V → V linearni operator i rang(L) = 1 onda postoji skalar α tako da je 

L 2 = αL. (V je konačne dimenzije) 


23

186. Ako je dimV = n i L : V → V linearni operator, tada važi ekvivalencija: 

KerL = ImL ⇐⇒ L 2 = 0 i n = 2rang(L) 

187. Za linearni operator L : V → V gde je V proizvojne dimenzije, važi: 

a) ImL 2 = ImL ⇔ V = KerL + ImL 

b) KerL 2 = KerL ⇔ KerL ∩ ImL = 0 

c) a) ⇔ b) ako je V konačne dimenzije 

188. Neka 1 + X + X 2 + · · · + X m ∈ F m [X] tada je sa L(p) = 2p + p(1)a definisan jedan linearni 

operator L : V → V V = F m [X] koji poništava neki polinom stepena manjeg ili jednakog 

2, pa odrediti L n (n ∈ N) ispitati da li je L ivertibilan i ako jeste odredit L n (n ∈ Z). 

189. Data je baza f = [f 1 , f 2 , f 3 ] vektorskog prostora R 3 . Odrediti njoj dualnu bazu f ∗ (tj. 

izraziti je preko e ∗ ) 

f 1 = (1, −1, 3) 

f 2 = (0, 1, −1) 

f 3 = (0, 3, −2) 

190. Pakazati da je tr : M n (F) → F jedna linearna forms vektorskog prostora M n (F). Dokazati 

da za svaku linearnu formu F : M n (F) → F za koju važi F (AB) = F (BA), ∀A, B ∈ M n (F) 

je F = λtr, za neko λ ∈ F. 

191. Sa L a (f) = f(a), a ∈ R zadan je linearna forma vektorakog prostora R R . Pakazati da je 

skup D = {L a | a ∈ R} linearno nezavisan. 

192. 20 Svesti matrice na Žordanov oblik i odrediti matricu prelaska. 

⎡ 

⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 

1 −3 3 13 16 16 0 1 0 α 0 0 

⎣ −2 −6 13 ⎦ , ⎣ −5 −7 −6 ⎦ , ⎣ −4 4 0 ⎦ , ⎣ 0 α 0 

−1 −4 8 −6 −8 −7 −2 1 2 α 0 α 

⎤ 

⎦ , 

⎡ 

⎣ 

3 −1 0 

6 −3 2 

8 −6 5 

⎤ 

⎦ 

µ = (λ − 1) 3 , µ = (λ + 3)(λ − 1) 2 , µ = (λ − 2) 2 , µ = (λ − α) 2 , µ = (λ − 1)(λ 2 + 4λ + 5) 

193. Svesti matricu na Žordanov oblik i odrediti matricu prelaska: 

⎡ 

⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ 

3 1 0 0 1 −3 0 3 

⎢ −4 −1 0 0 

⎥ 

⎣ 7 1 2 1 ⎦ , ⎢ −2 −6 0 13 

⎥ 

⎣ 0 −3 1 3 ⎦ , ⎢ 

⎣ 

−17 −6 −1 0 −1 −4 0 8 

µ = (λ − 1) 2 , µ = (λ − 1) 3 , µ = (λ − 1) 4 

1 2 3 4 

0 1 2 3 

0 0 1 2 

0 0 0 1 

194. Neka je V = {(x 1 , x v , x 3 , x 4 , . . .) ∈ R N | (∀n ∈ N) x n+3 = 2x n+2 − x n+1 } i L : V → V 

L(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , . . .) = (x 1 + x 2 , x 2 + x 3 , x 3 + x 4 , x 4 + x 5 , . . .) 

a) Odrediti bar jednu bazu e vektorskog prostora V . 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

24

) Naći matricu operatora L u toj bazi. 

c) Odrediti bar jednu bazu f prostora V tako da je matrica operatora L u bazi f Žordanova. 

195. Dokazati da matrice AB i BA imaju isti spektar. Gde A, B ∈ M n (F). 

196. Dokazati da je ϕ AB = ϕ BA , gde A, B ∈ M n (F). 

197. Ako operatori A 1 , A 2 , . . . , A m na vektorskom prostoru V nad poljem C komutiraju po 

parovima, tada postoji zajednički sopstveni vektor za sve operatore. 

9 Skalarni prizvod 

(S1) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) 

(S2) (αu, v) = α(u, v) 

(S3) (u, v) = (v, u) 

(S4) u ≠ 0 ⇒ (u, u) > 0 

Primeri: 21 

1) V = R n , (x, y) = x T y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · x n y n 

x = [x 1 , . . . , x n ] T , y = [y 1 , . . . , y n ] T 

2) M n (R), (A, B) = tr(A T B), M n (R) ∼ = R n2 

3) C[a, b], (f, g) = ∫ b 

a f(x)g(x)dx 

4) R n [X], (p, q) = p(a 0 )q(a 0 ) + p(a 1 )q(a 1 ) + · · · p(a n )q(a n ), a i ≠ a j , i ≠ j 

198. Dokazati da je za tačno jednu vrednost realnog parametra α sa 

(p, q) = p(−1)q(−1) + p(0)q(α) + p(1)q(1) 

definisan skalarni proizvod na R 2 [X], za tako odredjeno α polazeći od kanonske baze od 

R 2 [X] Gram-Šmitovim 

√ 

postupkom odrediti bar jednu ortonormiranu bazu. 

( ) 

R: [ √ 1 

2 

, √ X 3 

2 

, 

2 X 2 − 2 3 ] 

199. Pokazti da je sa (x, y) = x T Ay, A ∈ M 3 (R) definisan sklalarni porizvod na R 3 akko je 

1) A = A T 

2) a 11 > 0, detA > 0, 

a 11 a 12 

a 21 a 22 

> 0 

200. Ako je U, W < V , dokazati da je: 

a) (U ⊥ ) ⊥ = U 


25

) (U + W ) ⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ 

c) (U ∩ W ) ⊥ = U ⊥ + W ⊥ 

201. Ako je U, W < V, V = U ⊕ W tada je V = U ⊥ ⊕ W ⊥ 

202. Ako je e = [e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ] ortonormirana baza i v = 3e 1 + e 2 + 2e 3 − 4e 4 , a = 2e 1 + 7e 2 − 

e 3 + e 4 , b = e 1 + 5e 2 Naći ¯v (ortogonalnu projekciju) na U generisan vektorima a i b. 

R: ¯v = − 114a 

+ 181b 

61 61 

203. Naći ¯v vektora v = 4e 1 +3e 2 +e 3 −3e 4 na U = {x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +x 4 e 4 | 7x 1 +2x 2 −x 3 +x 4 = 

0, 2x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 0}. 

204. Naći rastojanje izmdju afinih potprostora d(a + U, Γ), a = (5, 2, 0, 3), U = Ω(u), u = 

(1, 2, −4, 1) 

2x 1 +5x 2 +2x 3 −6x 4 = 1 

Γ : 3x 1 +8x 2 +3x 3 −7x 4 = 3 

2x 1 +6x 2 +2x 3 −5x 4 = 1 

205. Odrediti ugao θ = ∡(a, U) vektora a = 2e 1 + 6e 2 − 2e 3 + 6e 4 i potprostora 

U : 

4x 1 +2x 2 −4x 4 +2x 4 = 0 

5x 1 +x 2 −3x 4 +3x 4 = 0 

206. Ako je e = [e 1 , . . . , e n ] ortonormirana baza EVP V odrediti kosinus ugla izmedju vektora 

a = e 1 + · · · + e n i potprostora U generisanog sa prvih k vektora baze e. 

207. U odnosu na ortonormiranu vazu e = [e 1 , e 2 , e 3 ] EVP V kvadratna forma q zadata je 

formulom q(v) = x 2 − 5y 2 + z 2 + 4xy + 2xz + 4yz. Odrediti bar jednu ortonormiranu bazu 

u odnosu na koju ta forma ima kanonski oblik i napisati formule transformacija. 

R: 

P = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

√−1 

1 

2 3 √ 2 

−4 

0 

3 √ 2 

√1 

1 

2 3 √ 2 

208. q(v) = x 2 + y 2 + z 2 + 4xy + 4xz + 4yz 

R: 

⎡ 

P = 

⎢ 

⎣ 

2 

3 

1 

3 

2 

3 

√1 

3 

√−1 

2 

√6 1 

√1 

3 

√2 1 √6 1 

√1 

3 

0 √ −2 

6 

209. a) q(v) = 17x 2 + 14y 2 + 14z 2 − 4xy − 4xz − 8yz 

b) q(v) = xy + yz 

c) q(v) = 11x 2 + 5y 2 + 2z 2 + 16xy + 4xz − 20yz 

d) q(v) = 8x 2 − 7y 2 + 8z 2 x − 2xz + 8yz 

e) q(v) = 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 + 2xy + 2xz + 2yz 

⎤ 

⎥ 

⎦ , q(v) = −6ỹ 2 + 3˜z 2 

⎤ 

⎥ 

⎦ , q(v) = 5˜x 2 − ỹ 2 − ˜z 2 

26

f) q(v) = 3x 2 + 4y 2 + 3z 2 + 2xz 

R: a) ϕ A = −(λ − 9)(λ − 18) 2 P = 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

1 √−2 

3 5 

2 √1 

3 5 

2 

0 

3 

210. Neka je e = [e 1 , . . . , e n ] ortonormirana baza EVP V i a ∈ V, a = α 1 e 1 + · · · + α n e n ≠ 

0, L(v) = (a, v)a. Da li je L dijagonalni operator. 

211. Neka su a, b ≠ 0, a ⊥ b iz EVP V i L(v) = (a, v)b+(b, v)a. Odrediti jezgro i sliku operatora 

L. 

212. Dokazati da minimalni polinom simetrične matrice nema višestrukih nula. 

213. Neka L : R 3 → R 3 , L(x, y, z) = (2x − y + 3z, −x + 2y − 3z, 3x − 3y + 10z). Pokazati: 

a) L je simetričan operator. 

b) Naći bar jednu ortonormiranu bazu f = [f 1 , f 2 , f 3 ] prostora R 3 u kojoj operator L ima 

dijagonalnu matricu i odrediti je. 

−2 

3 √ 5 

−4 

3 √ √5 

5 

3 

c) Da li postoji linearni operator G : R 3 → R 3 , G 2 = L. 

214. Jezgro i slika simetričnog operatora EVP V su ortogonalni i pri tome važi V = KerL⊕ImL. 

215. Ako su operatori L i G EVP V simetrični onda je i njihova kompozicija akko je LG = GL. 

216. Neka A ∈ M n (R) i A T = A, A k = E za neko k > 2, tada je A 2 = E. 

217. Pokazati da su zadavanje linearnog potprostora L EVP R n i njegove ortogonalne dopune 

L ⊥ u ortonormiranom bazisu odredjeni ovako: koefidijenti linearno nezavisnog homogenog 

sistema linearnih jednačina, koje zadaja jedan od tih potprostora su kordinate vektora 

baze drugog potprostora. 

218. Dokazati da ortogonalna projekcija temena n–dimenzione kocke na bilo koju dijagonalu te 

kocke, dele dijagonalu na n jednakih delova. 

219. Gramovom determinantom vektora a 1 , . . . , a n ∈ V gde je V EVP, naziva se determinanta: 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

g(a 1 , . . . , a n ) = 

(a 1 , a 1 ) (a 1 , a 2 ) · · · (a 1 , a n ) 

(a 2 , a 1 ) (a 2 , a 2 ) · · · (a 2 , a n ) 

. 

(a n , a 1 ) (a n , a 2 ) · · · (a n , a n ) 

Dokazati da se Gramova determinanata ne menja procesom ortogonalizacije. 

220. Dokazati da je linearnu zavisnost vektora a 1 , . . . a n EVP neophodno i dovoljno da je 

Gramova matrica tih vektora jedanaka nuli. 

221. Dokazati da se svaka matrica A ∈ GL n (R) može pretstaviti A = T S gde je S simetrična i 

pozitivno definitna, a T ortogonalna matrica. 

27

Sadrzaj 1 Linearne jednacine - Alas

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?