Kako v šoli udomačiti logaritme? - Science Math

KAKO V ŠOLI
“UDOMAČITI”
LOGARITME?
Predstavljeno na
5th International Colloquium
on the Didactics of Mathematics
Na Univerzi na Kreti v Grčiji
April 2008
Dr. Marina Rugelj, SLOVENIJA

Zavod sv. Stanislava
Ljubljana,
Slovenija
Zasebna srednja šola
Starost dijakov od 15 do 19 let

Medpredmetno sodelovanje
Dr. Marina Rugelj -
Mag. Tine Golež -
profesor matematike
profesor fizike
Mednarodni projekt: ScienceMath
Primer: Logaritmična funkcija

Logaritmično funkcijo ponavadi v
šoli vpeljemo kot inverzno
eksponentni funkciji:
log a x = y
x = a y
a > 0 in x > 0

Graf funkije f(x) ) = log a x

Pravila računanja z logaritmi
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x x y) = log a x + log a y
log a (x/y)) = log a x - log a y
log a x r = r log a x

Dijaki znajo:
Ponoviti definicijo
Napisati pravila za računanje z logaritmi
Narisati grafe logaritemskih funkcij kot
npr.:
f(x) ) = log 3 (x +3) - 1
Reševati evati logaritemske enačbe:
log 3 (x – 2) – log 3 (x + 1) = 3

Dijaki imajo:
Ponoviti definicijo
ZNANJE
Napisati pravila za računanje z logaritmi
Narisati grafe logaritemskih funkcij kot
npr.:
f(x) ) = log 3 (x +3) - 1
VEŠČINE
Reševati evati logaritemske enačbe:
log 3 (x – 2) – log 3 (x + 1) = 3

Znanje in veščine same po sebi ne zagotavljajo
razumevanja.
Na pamet naučeno znanje in rutinske veščine nam
kaj dosti ne pomagajo pri vsakdanji uporabi
znanja, ker učenci u
enostavno e vedo, kje bi to
znanje in veščine uporabili.
Teaching for understanding (Perkins, 1993)

Mreža aktivacijskega modela
Potresi, Rihtarjeva lestvica…
Eksponentna funkcija
Zvok, deciBeli…
Logaritmična funkcija
pH, kislost, bazičnost…
Razdalje v vesolju…
Spreading Activation Model of Semantic Memory (Collins & Loftus, 1975)

Uporaba logaritmov
Učitelj fizike:
jakost zvoka, glasnost
Učitelj kemije:
definicija pH
Učitelj geografije:
potresi

Prvi primer:
Jakost zvoka

Človek ima izredno občutljivo uho:
prag slišnosti (TOH): 10 -12
W/m 2
prag bolečine:
10 W/m 2
10 -12 W/m 2 …
1 W/m 2
1.8 mm/year… 200 km/h

Pogovor je 1 000 000 krat bolj
intenziven oz praga slišnosti
…
10 -12 10 -11 10 -10 10
1km
-6 W/m 2
T
P
O
o
H
g
o
v
o
r
Š
e
l
e
s
t
e
n
j
e
l
i
s
t
j
a
Š
e
p
e
t
a
n
j
e

Glasnost:
log
I
Io
I ….. Jakost zvoka
I … o . Jakost slišnosti
Alexander Graham Bell
1847 - 1922
Jakost zvoka
Prag bolečine
ine 10 W/m 2
Glasnost
Prag slišnosti
I o 10 -12
W/m 2 0Bel = 0 dB
Šeetanje
10 -10
W/m 2 2Bel = 20 dB
Pogovor 10 -6 W/m 2 6Bel = 60 dB
130dB

Merilec jakosti zvoka
La, la
La, la
La, la
La, la
La, la
La, la
La, la
50
La, la
La, la
La, la
La, la
Če želimo glasnost 70 dB
mora govoriti
100 dijakov (seveda v idealnih pogojih).
60

Primer 2
Zemljevid vesolja

Razdalja od Zemlje do
LUNE
pribl. 1 svetlobna sek.
286 000 km
SONCA
8,278 svetlobna min.
149 000 000 km

Sonce je
520 krat bolj oddaljeno
od Zemlje
kot od lune.

Luna
1 cm
Sonce
5 m
Saturn
19 m
Proxima Centauri
1422 km
Središče Mlečne ceste
8 600 727 km
Adromeda
727 753 846 km

Logaritmična skala
Luna 1.0
cm
Sonce
2.7 cm,
Saturn
3.3 cm,
Proxima Centauri
8.2 cm,
središče
Mlečne ceste
11.9 cm,
Andromeda
13.9 cm.

Primer 3
pH meritve

pH = -log[ log[0H 3+ ]
Soren Peter Lauritz Sorensen
1868 - 1939

HCl
10 ml dodamo vodo 100 ml 1000
ml
pH: 1 2 3

1 liter kisle raztopine s pH 4
koliko čiste vode moramo dodati, da
bomo dobili razstopine s pH 9?

Primer 4
Potresi

Richterjeva skala je
logaritmična sklala:
Charles F. Richter
1900 - 1985
Potres magnitude 6
je 100 krat močnejši kot
Potres magnitude 4.

Richterjeva
Magnituda
Število
potresov na
leto
Posledice potresa
< 3.5 800 000 V splošnem ga ne čutimo
3.5 – 4.2 30 000 Ga občutijo samo v zaprtem prostoru
4.3 – 4.8 4 800 Večina ljudi ga zazna, žvenketajo šipe v oknih
4.9 – 5.4 1 400 Ljudje ga občutijo tudi na prostem, vendar ne povzroči škode
5.5 – 6.1 500 Manjše poškodbe na stavbah
6.2 – 6.9 100 Večje poškodbe, padajo dimniki, uničuje 100 km naokrog
7.0 – 7.3 15 Zelo resne poškodbe, rušije so mostovi in zradbe
7.4 – 7.9 4 Večina hiš je porušenih
> 8.0 One every 5
to 10
years
Popol no uničenje, predmeti letijo po zraku, vidi se valovanje
na površini zemlje

Poiščite ite najmočnej
nejše
potrese v Sloveniji!
Koliko potresov je bilo v
zadnjih treh dneh?
Poiščite porese, v katerih
je umrlo veliko ljudi!
Koliko močnejši je bil
potres v Sloveniji leta
1998 (5.6) kot leta 2004
(4.2)?

Opažanja
anja

V začetku dijaki niso bili navdušeni nad
novim pristopom poučevanja.
Zanje je težko prenašati ati znanje iz
matematike v vsakdanje življenje.
Pri takem načinu poučevanja dijaki
potrebujejo znanje tudi drugih predmetov
kot je fizika, kemija, biologija...
Aktivna udeležba jim da občutek
uspešnosti
Postanejo motivirani.
Bolje razumejo pojem logaritma.

Kateri primer
vam je bil najbolj všeč? v
Earthquake
25%
Loudness
8%
pH
25%
Map of the
Universe
42%
N=30

Kolikokrat bi si želeli
tako učno u
uro?
Some lessons
per year
7%
Every lesson
7%
Once per
months
45%
Once per
week
41%
N=30

So vam te ure pomagale, da bolje
razumete pojem logaritma?
I do not know
22%
No
15%
Yes
63%
N=30

Si želite takih primerov tudi v testu?
I do not know
30%
Yes
15%
No
55%
N=30

Prihodnje leto bomo ponavljali to
snov za maturo. Takrat bomo lahko
preverili, ali so učenci u
tekom teh ur
zgradili mrežo o znanja in bolje
razumejo pojem logaritma.

Hvala!