Analogna sita - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

Analogna sita 

Predgovor 

Zapis je gradivo za enajsto poglavje – opisuje analogna sita – 

knjige z delovnim naslovom Signali. Zaenkrat je dostopna le 

na domači strani laboratorija za obdelavo signalov in daljinska 

vodenja 

http://sparc.feri.uni-mb.si/Digknj/index.htm 

kot datoteka ch20008_11.pdf. 

Datoteka bo do izdaje knjige verjetno doživela popravke še 

neodkritih tipkarskih napak ter dopolnitve in razširitve razlag. 

Zato so strani zapiskov označene tudi z verzijo dokumenta, ki 

je označena z imenom datoteke in združenim zapisom datuma 

skladno s standardom ISO. 

V dokumentu je veliko sklicevanja na ostala poglavja knjige. 

Dokler ta poglavja ne bodo na vključena v sistem križnih referenc, 

bodo povezave na njih označene s ??. Elektronski dokument 

vsebuje tudi animacije. Teh bo s časom več, žal pa bo z 

njimi narastla tudi obsežnost elektronskega dokumenta. 

Vse, ki bodo pri branju ali študij zapiskov odkrili kakršnekoli 

napake ali imate predloge po dodatnih animacijah ali drugih 

dopolnitvah, prosim, da mi to sporočijo na naslov: 

zarko.cucej@uni-mb.si 

Pri študiju te zanimive, vendar zahtevne snovi vsem študentom 

želim obilo uspeha. 

Januar 2009 

Žarko Čučej 

i

Kazalo 


Kazalo 

i 

iii 

11 Analogna sita 1 


11.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

11.2 Idealno vseprepustno sito . . . . . . . . . . . . . . 2 

11.3 Idealna frekvenčno selektivna sita . . . . . . . . . 3 

11.4 Lastnosti idealnega nizkoprepustnega sita . . . . . 4 

11.4.1 Impulzni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

11.4.2 Stopnični odziv . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

11.4.3 Pulzna ločljivost idealnega nizkoprepustnega 

sita . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

Širina pulza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

Čas naraščanja . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

11.4.4 Odziv na pravokotni pulz . . . . . . . . . . 8 

11.5 Izvedljiva sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

11.6 Načrtovanje sit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

11.6.1 Sistemske funkcije nizkoprepustnih sit . . 12 

11.6.2 Normiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

11.6.3 Denormiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

11.6.4 Fizična izvedljivost polinoma C(S) . . . . . 14 

11.6.5 Kaskadni gradniki analognih sit . . . . . . 15 

11.6.6 Koeficienti a k in b k . . . . . . . . . . . . . . 16 

11.6.7 Preslikava nizkoprepustnih sit 

v ostala sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

Aproksimacija pasovnih sit . . . . . . . . . 17 

11.6.8 Specifikacije analognih sit . . . . . . . . . . 19 

Značilne točke amplitudne karakteristike . 19 

Specifikacija sita z mejama δ p in δ z . . . . . 21 

iii

iv 

KAZALO 

Specifikacije sita v logaritemskem merilu . 22 

Faktor diskriminacije in selektivnost . . . . 22 

11.7 Butterworthovo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

11.7.1 Amplitudna karakteristika . . . . . . . . . 25 

11.7.2 Red Butterworthovega sita . . . . . . . . . 26 

Približni obrazec . . . . . . . . . . . . . . . 27 

Natančen obrazec . . . . . . . . . . . . . . . 27 

Izračun reda sita s selektivnostjo in 

faktorjem diskriminacije . . . . . 28 

Izračun v logaritemskem merilu . . . . . . 29 

11.7.3 Mejne frekvence . . . . . . . . . . . . . . . 29 

11.8 Čebiševa sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

11.8.1 Čebiševa sita tip I . . . . . . . . . . . . . . . 31 

11.8.2 Sistemska funkcija Čebiševih sit tip I . . . . 33 

11.8.3 Načrtovanje Čebiševih sit tip I . . . . . . . 34 

11.8.4 Čebiševa sita tip II . . . . . . . . . . . . . . 35 

11.8.5 Načrtovanje Čebiševih sit tip II . . . . . . . 35 

11.9 Eliptično sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

11.10Načrtovanje analognih sit 

s programom MATLAB 1 . . . . . . . . . . . . . . . 37 

11.10.1 Red sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

11.10.2 Poli in ničle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

11.10.3 Koeficienti sita . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

1 Vsi primeri programov, ki so označeni z MATLAB #.#, so na voljo na domači 

strani MATLAB

11 



ANALOGNA ALI ZVEZNA LINEARNA SITA so sistemi, ki 

jih izdelamo s pasivnimi ali linearnimi aktivnimi električnimi 

vezji z lastnostmi, ki jih lahko opišemo z linearnimi 

diferencialnimi enačbami s konstantnimi koeficienti. 

Namen sit je obdelava signalov. S siti iz signala izsejemo komponente 

oziroma dele signala, ki nas zanimajo ali ki nas motijo v 

nadaljnji obdelavi. Ta proces imenujemo tudi filtriranje. Zato se 

za sita pogosto uporablja ime filtri. V tem poglavju se pri opisu 

analognih sit omejujemo na linearna, frekvenčno selektivna sita. 

Z njimi iz signala izločimo ali obdržimo del njegovega spektra. 

11.1 Osnovni pojmi 

Analogno sito je v splošnem sistem z vhodom v(t), izhodom 

y(t) in impulznim odzivom h(t) (Slika 11.1-1). Laplaceova transv(t) 

V(s), V(ω) 

h(t) 

H(s), H(ω) 

y(t) 

Y(s), Y(ω) 

Slika 11.1-1 

Predstavitev sita z vhodno - 

izhodnim opisom sistema. 

V(s) = L{v(t)}, 

V(ω) = F{v(t)} itd. 

formacija impulznega odziva določa sistemsko funkcijo H(s), Fourierova 

transformacija pa prenosno funkcijo H(ω). V splošnem 

sistemsko funkcijo H(s) določa racionalna funkcija: 

H(s) = Y(s) 

V(s) 

, s = σ + jω . (11.1-1) 

1

2 Analogna sita 

Pri σ = 0 lahko iz sistemske funkcije H(s) dobimo prenosno 

funkcijo H(ω), vendar to le v primeru, ko konvergenčno območje 

H(s) zajema imaginarno, to je frekvenčno os jω v s-ravnini. 

Simbolično prehod iz sistemske v prenosno funkcijo zapišemo 

z: 

H(ω) = H(s) 

∣ = Y(ω) 

s→jω 

V(ω) = |H(ω)| ejφ(ω) , (11.1-2) 

kjer sta |H(ω)| amplitudna karakteristika sita in φ(ω) fazna karakteristika. 

Amplitudno in fazno karakteristiko imenujemo tudi 

amplitudni in fazni odziv. 

Podobno lahko simbolično zapišemo prehod prenosne funkcije 

v sistemsko: 

H(s) = H(ω) 

∣ . (11.1-3) 

jω→s 

Zato bomo v nadaljnjem opisu sistemov vedno izhajali iz sistemske 

funkcijo. K pa bomo želeli videti potek faze ali prenosno 

funkcijo sita, pa bomo le-ti pridobili s pomočjo (11.1-2). 

11.2 Idealno vseprepustno sito 

S pojmom idealno vseprepustno sito opišemo sistem z lastnostjo 

y(t) = h 0 v(t − τ p ) , (11.2-1) 

kjer sta h 0 konstanta, ki določa ojačenje oziroma slabljenje sistema, 

ter τ p čas širjenja oziroma propagacije signala skozi sistem. 

Vidimo, da idealno sito prenaša vse frekvenčne komponente 

vhodnega signala z istim ojačenjem h 0 . Izhodni signal pa je 

eventualno zakasnjen za vhodnim za čas potovanja signala skozi 

sito. Ti lastnosti idealnega sita v frekvenčnem prostoru opišemo 

z: 

F{y(t)} = F{h 0 v(t − τ p )} (11.2-2) 

= 

∫ ∞ 

−∞ 

h 0 v(t − τ p ) e −jωt dt = h 0 e −jωτ p 

·V(ω) 

} {{ } 

H 0 (ω) 

= H 0 (ω)V(ω) = Y(ω) . (11.2-3) 

Zapišimo prenosno funkcijo v polarni obliki: 

H 0 (ω) = h 0 e −jωτ p 

= |H 0 (ω)| e jφ(ω) = h 0 ∠−ωτ p (11.2-4) 

Signali: ch2008_11 20090114

11.3 Idealna frekvenčno selektivna sita 3 

vidimo, da ima idealno sito konstantno amplitudno karakteristiko 

|H(ω)| = h 0 (Slika 11.2-1a) in linearno fazno karakteristiko 

φ(ω) = −ωτ p (Slika 11.2-1b). 

|H(ω)| 

φ(ω) 

h 0 

ω 

1 

2π 

τp 

ω 

Slika 11.2-1 

Frekvenčna karakteristika 

idealnega sita. 

(a) 

amplitudna karakteristika 

(b) 

fazna karakteristika 

11.3 Idealna frekvenčno selektivna sita 

Idealna frekvenčno selektivna sita se od idealnih (vse prepustnih) 

sit razlikujejo v tem, da ne prepuščajo vseh signalov oziroma 

vseh njihovih frekvenčnih komponent ampak le te, katerih 

frekvenčna vsebine je znotraj prepustnega pasu sita. Glede 

na lego prepustnega pasu v frekvenčnem prostoru ločimo štiri 

vrste frekvenčno selektivnih sit 11.3-1: 

|H(ω)| 

1 

|H(ω)| 

1 

ω 

0 

ω m 

(a) idealno nizkoprepustno sito 

|H(ω)| 

1 

ω 

0 

ω m 

(b) idealno visokoprepustno sito 

|H(ω)| 

1 

Slika 11.3-1 

Amplitudne karakteristike 

idealnih frekvenčno selektivnih 

sit. Izrisane so samo za 

pozitivne frekvence. 

0 

ω ms 

ω mz 

ω 

0 

ω ms 

ω mz 

ω 

(c) 

idealno pasovno prepustno sito 

(d) 

idealno pasovno zaporno sito 

1. nizkoprepustna (NPS), 

2. visokoprepustna (VPS),


3. pasovno prepustna (PPS) in 

4. pasovno zaporna (PZS) sita 

Vidimo, da so si frekvenčno selektivna sita paroma komplementarna. 

Visokoprepustno sito ima nasprotno funkcijo od nizkoprepustnega, 

pasovno zaporno sito ima funkcijo nasprotno pasovno 

prepustnemu situ. Pasovno prepustno sito pa lahko dobimo 

z zaporedjem nizkoprepustnega in visoko prepustnega sita. 

Iz tega sledi, da zadostuje poznavanje nizkoprepustnega sita. 

Iz njega lahko z ustrezno transformacijo sistemske funkcije dobimo 

opis ostalih vrst frekvenčno selektivnih sit. 

11.4 Lastnosti idealnega nizkoprepustnega sita 

Idealno frekvenčno selektivno nizkoprepustno sito ima naslednje 

lastnosti: 

amplitudna karakteristika 

{ 

H 

A(ω) = |H(ω)| = 0 , ω |ω m | 

0 , ω > |ω m | , (11.4-1) 

kjer konstanta H 0 določa ojačenje sita. Običajno je H 0 = 1. 

fazna karakteristika 

φ(ω) = −ωτ p , (11.4-2) 

kjer časovna konstanta τ p določa naklon fazne karakteristike 

(Slika 11.2-1b na prejšnji strani). 

čas propagacije oziroma čas razširjanja 

τ p (ω) = − φ(ω) 

ω = τ p , (11.4-3) 

je čas, v katerem se harmonski signal prenese iz vhoda na 

izhod sita. 

skupinska zakasnitev 

τ g (ω) = − d 

dω φ(ω) = τ p (11.4-4) 

Signali: ch2008_11 20090114

☞ 

11.4 Lastnosti idealnega nizkoprepustnega sita 5 

je mera linearnosti fazne karakteristike. Pove, za koliko je 

zakasnjena skupina harmonskih signalov s frekvencami v 

okolici točke odvajanja fazne karakteristike. Pri idealnih 

selektivnih sitih sta čas razširjanja in skupinski čas enaka. 

11.4.1 Impulzni odziv 

Impulzni odziv sita izračunamo z inverzno Fourierovo transformacijo 

njegove frekvenčne karakteristike: 

h(t) = F −1 {H(ω)} = 1 ∫ ∞ 

H(ω) e jωt dω (11.4-5) 

2π −∞ 

∫ ∞ 

∫ ωm 

= 1 H 

2π 0 e −jωτ p 

e jωt dω = H 0 

e jω(t−τp) dω 

−∞ 

2π −ω m 

= H 0 e jω(t−τ p) 

ω m 

= H 0 e jω m(t−τ ) p 

− e −jω m(t−τ p ) 

= H sin ω 

0 m (t − τ p ) 

2π j(t − τ p ) ∣ π j2 · (t − τ 

−ω p ) π (t − τ p ) 

m 

ω 

⎧ ⎫ 

= H m 

0 

π sinc ⎩ (ω m (t − τ p ) ⎭ . (11.4-6) 

Funkcija sinc(·) nima začetka in ne konca torej je neprehodna 

oziroma časovno neomejena funkcija. To pomeni, da mora biti 

pri idealnih sitih impulzni odziv sita prisoten že pred pojavom 

vhodnega Diracovega impulza. Zato so idealna selektivna sita 

nekavzalna in zato neizvedljiva. 

11.4.2 Stopnični odziv 

Stopnični odziv je enak integralu impulznega odziva: 

h u (t) = 

∫ t 

−∞ 

h(τ) dτ , (11.4-7) 

Za impulzni odziv upoštevamo (11.4-6) kjer – ne da bi izgubili 

na splošnost izpeljave stopničnega odziva – zaradi enostavnejšega 

računanja upoštevamo τ p = 0 in ω m = 1 (normiramo 

mejno frekvenco). Dobimo: 

∫ 

1 t 

h u (t) = H 0 sinc(τ) dτ . (11.4-8) 

π −∞


Integral v (11.4-8) razdelimo na dva intervala ter računamo: 

∫ 0 

h u (t) = 1 sin(τ) 

dτ + 1 π −∞ τ π 

} {{ } 

=π/2 

∫ t 

sin(τ) 

dτ 

0 τ 

} {{ } 

=Si(t) 

= 1 2 + 1 Si(t) . (11.4-9) 

π 

Funkcija Si(t) je tako imenovani integralni sinus. Njegove glavne 

lastnosti so: 

Si(t) je liha funkcija: Si(t) = −Si(−t) 

Si(0) = 0 

Si(∞) = π/2 

S stopničnim odzivom lahko ocenimo dva pomembna parametra: 

prenihaj in strmina naraščanja izhoda sita. 

ZGLED 1 (impulzni in stopnični odziv idealnega nizkopasovnega sita) 

S pomočjo programa MATLAB narišimo impulzni in stopnični odziv nizkoprepustnega 

sita z mejno krožno frekvenco ω m = 1. 

REŠITEV: Impulznega odziv izračunamo s funkcijo sinc iz orodnega kovčka 

SPT: Signal Processing Toolbox, stopnični odziv pa s funkcijo sinint iz orodnega 

kovčka SMT: Symbolic Math Toolbox. 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

impulzni odziv 

stopnicni odziv 

%%%%%%%% as_4-1.m 

% impulzni in stopnični odziv 

% 2008.12.27 

clear all; clf 

%%%% podatki 

w=-15:0.05:15; % rad 

h_i = sinc(w); 

% iz SPT 

h_u = 1/2+sinint(w)/pi; % iz SMT 

plot(w,h_i,’-r’,w,h_u,’-.b’), grid on 

h = legend(’impulzni odziv’,... 

’stopnicni odziv’,2); 

set(h,’Interpreter’,’none’) 

xlabel(’t’); 

−0.4 

−15 −10 −5 0 5 10 15 

t 

Slika 11.4-1 

Impulzni in stopnični odziv normiranega idealnega nizkoprepustnega sita. 

♦ 

Signali: ch2008_11 20090114


11.4.3 Pulzna ločljivost 

idealnega nizkoprepustnega sita 

V telekomunikacijah je pomemben podatek pulzna ločljivost sita. 

Z njo povemo, kolikšen mora biti najmanjša širina in razdalja 

med dvema zaporednima pulzoma na vhodu sita, da ju lahko 

na izhodu sita še medsebojno ločimo, oziroma prepoznamo. 

Širina pulza 

Širina (in višina) vhodnega pulza, katerega odziv ima enako jakost 

kot impulzni odziv, izračunamo z ekvivalentno širino impulznega 

odziva. Ta je definirana s trajanjem pulza z višino 

h max , katerega površina je enaka površini impulznega odziva 

idealnega frekvenčno selektivnega nizkoprepustnega sita. Površina 

impulznega odziva je: 

∫ 

ω ∞ m 

S 

π a (ω m t) dt = ω ( 

m π 

π 2 + π ) 

= ω 

2 m , (11.4-10) 

−∞ 

površina pulza pa: 

T p · h max = T p 

ω m 

π 

= T 2π f m 

p 

π = 2T p f m , (11.4-11) 

kjer je T p čas trajanja – to je širina – ekvivalentnega pulza. Izenačimo 

(11.4-10) in (11.4-11). Pri normirani mejni krožni frekvenci 

sita (Ω m = ω m /ω m = 1) dobimo: 

2T p f m = 1 (11.4-12) 

oziroma je ekvivalentna širina pulza enaka polovici periode mejne 

frekvence: 

T p = 1 2 T m , T m = 1/ f m . (11.4-13) 

Vidimo, da je produkt ekvivalentne širine pulza s širino prepustnega 

pasu idealnega frekvenčno selektivnega sita konstanten: 

T p f m = 1 2 . (11.4-14) 

Slednje pomeni, da za ozek izhodni pulz potrebujemo širok 

prepustni pas. In obratno, majhna prepustna širina da dolg izhodni 

pulz. Ločimo pa zaporedna pulza, če sta medsebojno razmaknjena 

vsaj za ekvivalentno širino impulznega odziva. To 

potrdimo še z izračunom časa naraščanja stopničnega odziva.


Čas naraščanja 

Čas naraščanja je čas, v katerem najbolj strma tangenta stopničnega 

odziva naraste iz nivoja h u (−∞) = 0 v nivo h u (∞) = 1 

(Slika 11.4-2). Največjo strmino določa največji odvod funkcije 

Slika 11.4-2 

Stopnični odziv h u (t) in 

tangenta (leži v osenčenem delu 

diagrama), ki določa čas 

naraščanja t u . 

stopničnega odziva h u (t): 

[ d 

dt 

u(t)] 

h 

max 

t 

čas naraščanja pa izračunamo iz razmerja: 

t r = 

max 

t 

= max[h(t)] = h(0) = ω m 

π , (11.4-15) 

h u (∞) 

[ 

d 

dt h u(t) 

] = 1 ω m 

π 

= T m 

2 . (11.4-16) 

Primerjava (11.4-16) s (11.4-13) pokaže, da sta si T m in t r enaka. 

Torej mora biti vhodni pulz v sistem res dolg T m , da odziv na 

izhodu naraste od nič na ena, ter mora biti enako dolga “pavza”, 

da izhod lahko upade spet na nič. 

11.4.4 Odziv na pravokotni pulz 

Opazujmo odziv idealnega nizkoprepustnega sita na pravokotni 

pulz z višino 1 in trajanjem T : 

{ 

1 , −T /2 < t < T /2 

p T (t) = 

. 

0 , sicer 

Signali: ch2008_11 20090114


Odziv sita izračunamo s konvolucijo 

y(t) = 

∫ ∞ 

= ω m 

π 

p T (τ)h(t − τ) dt 

−∞ 

∫ T /2 

−T /2 

S a (ω m (t − τ)) dτ , (11.4-17) 

kjer smo pri impulznem odzivu upoštevali isti razmislek, kot 

pri stopničnem. Vpeljimo novo spremenljivko λ: 

katere odvod po τ je 

λ = ω m (t − τ) , (11.4-18) 

dλ 

dτ = −ω m (11.4-19) 

in ima vrednosti pri spodnji in zgornji meji (11.4-17) enaki: 

ω m (t − (−T /2)) = ω m (t + T /2) 

ω m (t − T /2) 

(spodnja meja) 

(zgornja meja) 

Dobimo: 

y(t) = ω ∫ ωm (t−T /2) 

m 

S 

π 

a (λ) − dλ = 1 ∫ ωm (t+T /2) 

S 

ω m (t+T /2) ω m π 

a (λ) dλ 

ω m (t−T /2) 

= 1 [ ∫ 0 

∫ ωm 

] 

(t+T /2) 

S 

π 

a (λ) dλ + 

S a (λ) dλ 

ω m (t−T /2) 

0 

= 1 [ ∫ ωm (t+T /2) 

∫ ωm 

] 

(t−T /2) 

S 

π 

a (λ) dλ − 

S a (λ) dλ , (11.4-20) 

0 

kjer smo v izpeljavi upoštevali pravilo pri zamenjavi integracijskih 

mej. Vidimo, da integrala določata že znano funkcijo integralni 

sinus, zato lahko zapišemo: 

y(t) = 1 π [Si(ω m(t + T /2)) − Si(ω m (t − T /2))] . (11.4-21) 

Dobili smo dva za T zamaknjena stopnična odziva. Njuna razlika 

določa odziv sita na pulz. Ker je integralni sinus valovita 

funkcija, je odziv na pulz tudi valovit. Valovanje se pojavi z 

mejno frekvenco sita ω m . Maksimum ima v trenutku: 

( T 

t max = ± 

2 − π ) 

(11.4-22) 

ω m 

in pri T ≫ t r znaša približno 9% višine pulza. To valovanje 

seveda ni nič drugega kot znani Gibbsov pojav. 

0


11.5 Izvedljiva sita 

Izvedljiva sita so kavzalni sistemi. Zvezni kavzalni sistemi imajo 

zvezno, frekvenčno neomejeno amplitudno karakteristiko. Sistemska 

funkcija takih sistemov je racionalna funkcija, ki jo določa 

kvocient dveh polinomov: 

H(s) = P(s) 

Q(s) . (11.5-1) 

Izmed vseh možnih racionalnih funkcij tipa (11.5-1) za sistemske 

funkcije izberemo tiste, ki najbolje aproksimirajo katero od 

značilnosti idealnih sit. Na primer, gladek potek v prepustnem 

in zapornem pasu, strm prehod med prepustnim in zapornim 

pasom, linearno fazno karakteristiko itd. 

Izvedljiva sita imajo imena po polinomu v imenovalcu. Najbolj 

znana izvedljiva sita, ki najbolje aproksimirajo posamezne 

značilnosti amplitudnih karakteristik idealnih selektivnih sit so 

Butterworthovo, Čebiševo, Inverzno Čebiševo in eliptično sito. 

Njihove glavne lastnosti so povzete v tabeli 11.1, kjer sta še omenjeni 

Besselovo in Gaussovo sito. Amplitudne in fazne karakteristike 

izvedljivih sit bomo predstavili v razdelkih posvečenim 

izbranim sitom. Izmed sit, naštetih v tabeli 11.1, je v nadalje- 

Tabela 11.1 

Glavne lastnosti najbolj znanih sit. 

ime sita 

Butterworthovo sito 

glavne lastnosti 

• gladek potek v prepustnem in zapornem pasu 

• počasen prehod med prepustnim in zapornem pasu 

Čebiševo sito 

Inverzno Čebiševo sito 

Eliptično sito 

Besselovo sito 

Gaussovo sito 

• valovit potek v prepustnem pasu 

• gladek potek v zapornem pasu 

• strm prehod med prepustnim in zapornim pasom 

• gladek potem v prepustnem pasu 

• valoviti potek v zapornem pasu 

• strm prehod med prepustnim in zapornim pasom 

• valovit potek v prepustnem in zapornem pasu 

• zelo strm prehod med prepustnim in zapornim pasom 

• gladka amplitudna karakteristika 

• gladka, skoraj linearna fazna karakteristika 

• zelo počasen prehod med prepustnim in zapornim pasom 

• stopnični odziv nima prenihaja 

Signali: ch2008_11 20090114

11.6 Načrtovanje sit 11 

vanju podrobneje opisano le Butterworthovo sito. Za Čebiševo, 

inverzno Čebiševo ter eliptično sito pa so povzeti le recepti za 

njihovo načrtovanje. 

11.6 Načrtovanje sit 

Sita danes načrtujemo s različnimi namenskimi paketi, ki so sestavni 

del programskih okolij, kot je na primer MATLAB, Mathematica 

in drugi. Če teh nimamo na razpolago, ali pa načrtujemo 

sita, za katera v teh programskih okoljih ni pripravljenih funkcij, 

si jih ob poznavanju klasičnih metod načrtovanja, zlahka naredimo 

v računalniškem jeziku, ki ga znamo. Torej je še vedno 

zelo aktualno znanje “klasičnih” metod načrtovanja sit. 

Pri načrtovanju sit se soočamo z dvema problemoma: 

1. določiti koeficiente polinoma, ki določa sito 

2. izdelati električno vezje ali elektromehanski element, ki 

ima lastnosti izračunanega sita 

V nadaljevanju opisa sit se bomo omejili le na prvi problem. 

Drugi problem je tehnološki in se z razvojem tehnologije izdelave 

sit spreminja. Zato te probleme prepuščamo učenju specifičnih 

znanj v podjetjih. 

Kot smo že omenili pri predstavitvi vrst idealnih selektivnih 

sit, zadostuje, če znamo izračunati nizkopasovno sito. Iz njega 

lahko z ustrezno zamenjavo neodvisnih spremenljivk polinoma, 

ki določa sito, le-to pretvorimo v izbrano vrsto sita. Ugodno 

je tudi, da vsa sita načrtujemo za normirano mejno krožno frekvenco 

ω m = 1. V tem primeru je primerjava različnih izvedb 

sit bolj pregledna. Iz normiranih frekvenc v dejanske, pa pridemo 

z denormiranjem. Na kratko, smiselno je: 

v prvem koraku načrtati prototipno nizkoprepustno frekvenčno 

(S = s/ω m ) in amplitudno (H 0 = 1) normirano sito 

v drugem koraku pa s transformacijo in denormiranjem 

prototipno sito pretvoriti v ciljno sito. 

Tak postopek načrtovanja imenujemo tudi poenoteno načrtovanje 

sit. Omenimo še, da je ta metodologija načrtovanja uporabna


ne samo za analogna sita, ampak tudi za digitalna sita, ki jih 

opisujemo v naslednjih poglavjih ?? in ??. 

11.6.1 Sistemske funkcije nizkoprepustnih sit 

Pri načrtovanju nizkoprepustnih sit zapis sistemske funkcije H(s) 

v (11.5-1) preoblikujemo glede na potek amplitudne karakteristike 

v zapornem pasu v 

H NPS (s) = 

1 

1 + αT(s) , (11.6-1) 

ko je upadanje amplitudne karakteristike v zapornem pasu monotono 

in doseže vrednost nič pri neskončni frekvenci, ali 

H NPS (s) = 

1 

1 + α 

T(s) 

, (11.6-2) 

ko je amplitudna karakteristika v zapornem pasu valovita in 

ima vrednosti nič pri frekvencah, kjer so ničle polinoma T(s) 

(Slika 11.6-1). 

H NPS (ω) 

H NPS (ω) 

Slika 11.6-1 

Amplitudne karakteristike 

nekaterih izvedljivih frekvenčno 

selektivnih sit. 

10 −1 10 0 10 1 

rad/s 

(a) Butterworthovo NPS 

H NPS (ω) 

10 −1 10 0 10 1 

rad/s 

(b) Inverzno Čebiševo NPS 

H NPS (ω) 

10 −1 10 0 10 1 

rad/s 

(c) Čebiševo NPS 

10 −1 10 0 10 1 

rad/s 

(d) Eliptično NPS 

V (11.6-1) in (11.6-2) je α načrtovalski parameter, s katerim 

vplivamo na potek amplitudne karakteristike. Lahko je določen 

s produktom večih parametrov. Polinom T(s) je značilen za 

Signali: ch2008_11 20090114

☞ 


sito, zato ga imenujemo karakteristični polinom. Po njih imenujemo 

tudi sita, na primer Butterworthovo sito, Čebiševo sito itd. 

11.6.2 Normiranje 

Frekvenčno normiranje naredimo tako, da števec in imenovalec 

sistemske funkcije H NPS (s) delimo z ω n m, kjer sta ω m mejna 

frekvenca sita in n red karakterističnega polinoma sita: 

H NPS 

( 

s 

ω m 

) 

= 

H 0 

ω n m 

a 0 

ω n m + a 1 s 

ω m 

+ · · · + a n 

( 

s 

ω m 

) n . (11.6-3) 

Normirano kompleksno krožno frekvenco s/ω m označimo s S: 

S = 

s 

ω m 

= 

σ 

ω m 

+ j ω ω m 

= Σ + jΩ , (11.6-4) 

izpostavimo faktor a 0 /ω n m, vpeljimo novo oznako c k = a k /a 0 in 

dobimo: 

H NPS (S) = 

a 0 

ω n m 

H 0 

ωm 

n 

[ 

1 + c1 S + c 2 S 2 + · · · + c n S n 

} {{ } 

=T(S) 

] . (11.6-5) 

Izberemo ojačenje sita H 0 tako, da velja H NPS (0)/a 0 = 1 in dobimo 

izhodiščno obliko sistemske funkcije za normirana Butterworthova 

nizkoprepustna sita: 

H(S) = 1 

C(S) = 1 

1 + c 1 S + c 2 S 2 + · · · + c n S n . (11.6-6) 

Zgornja izpeljava velja tudi za ostale vrste izvedljivih sit. Pri 

njih v koeficientih c k ustrezno upoštevamo njihove načrtovalske 

parametre. 

11.6.3 Denormiranje 

Iz normiranega sita dobimo sito pri želeni mejni frekvenci z denormiranjem. 

V njem števec in imenovalec sistemske funkcije


pomnožimo z n-to potenco želene mejne frekvence: 

H NPS (S) 

1 

∣ = ( ) ( ) n 

S→s/ωm c 0 + c s 

1 ω 

+ · · · + c s 

m n ω m 

= 

H 0 

a 0 + a 1 s + · · · + s n , (11.6-7) 

kjer so c 0 = 1, H 0 = ω n m/c n in a i = (c i /c n )ω n−i 

m . 

Pri faktoriziranemu zapisu H NPS (S) je denormiranje podobno: 

H NPS (S) 

1 

∣ = ( ) ( ) ( ) 

s 

S→s/ωm 

ω 

+ S s 

m 0 ω 

+ S 

m 1 · · · s 

ω 

+ S 

m n 

= 

kjer so s i = S i ω m in H 0 = ω n m. 

H 0 

(s + s 0 )(s + s 1 ) · · · (s + s n ) , (11.6-8) 

11.6.4 Fizična izvedljivost polinoma C(S) 

Načrtovanje oziroma snovanje sita ni nič drugega, kot določitev 

polinoma C(S). Da sito lahko izdelamo, morajo biti koeficienti 

c 0 , c 1 , c 2 , · · · realni (ker jih določajo fizični elementi), stabilno delovanje 

sita pa zahteva, da imajo ničle C(S) negativni realni del. 

Pri frekvenčno selektivnih sitih izhajamo iz poteka slabljenja 

moči signala, ki prehaja sito. Slabljenje moči določi kvadrat amplitudne 

karakteristika sita. Iz sistemske funkcije ga izračunamo 

z: 

)∣ 

|H(Ω)| 2 ∣ 

∣∣ 

2 

= ∣H 

(S| R{s}=0 

= H(Ω)H ∗ (Ω) = 

H 2 0 

C(Ω)C ∗ (Ω) = H2 0 

F(Ω) . (11.6-9) 

Ker zahtevamo, da ima polinom C(Ω) realne koeficiente, mora 

veljati C ∗ (Ω) = C(−Ω). Zato velja: 

|H(Ω)| 2 = 

H 2 0 

C(Ω)C(−Ω) 

(11.6-10) 

oziroma pri sistemski funkciji: 

|H(S)| 2 = 

H 2 0 

C(S)C(−S) = H2 0 

F(S) . (11.6-11) 

Signali: ch2008_11 20090114


S 0 , S 1 , . . . so koreni C(S) in −S 0 , −S 1 , . . . koreni C(−S). Ker so 

koeficienti C(S) in C(−S) realni, se njihovi kompleksni koreni 

pojavljajo v konjugirano kompleksnih parih. Zato so kompleksni 

koreni polinoma F(S) dvojno simetrični (Slika 11.6-2). 

I{S} 

× 

S 2 = −S 5 

× S 1 = −S 4 

S 3 

× 

−1 

× 

× 

1 

S 0 = −S 3 

R{S} 

Slika 11.6-2 

Primer lege dvojno simetričnih 

polov v S-ravnini, ki jih določajo 

koreni polinoma F(S). 

S 4 = S ∗ 2 = −S 1 × S 5 = −S ∗ 1 = −S 2 

C(S) 

C(−S) 

Polinomov z dvojno simetrijo korenov je neskončno mnogo. 

Ustvarimo jih z izbiro dvojno simetričnih korenov v s-ravnini. 

Pri tem je edini problem, kako jih razporediti, da bo sito imelo 

želene lastnosti. 

11.6.5 Kaskadni gradniki analognih sit 

Sita višjih redov (n 3) običajno sestavimo iz kaskadne vezave 

gradnikov prvega in drugega reda. Gradnik prvega reda določi 

realni pol, gradnike drugega reda pa konjugirano kompleksni 

par polov. Na primer, za Butterworthovo nizkoprepustno sito 

lahko zapišemo 

1 1 1 

H NPS (S) = H 0 

S + S 0 S + S 1 S + S1 

∗ · · · 

⎧ 

⌊n/2⌋ 

1 

⎪⎨ S + S 

∏ 

0 k=1 

H NPS (S) = 

⎪⎩ 

n/2 

∏ 

k=1 

1 1 

S + S k S + Sk 

∗ 

H k 

1 + a k S + b k S 2 , n je lih 

H k 

1 + a k S + b k S 2 , n je sod 

. 

(11.6-12) 

(11.6-13) 

Zapis sistemske funkcije v (11.6-13) vodi do zaporedne ali kaskadne 

strukture sita (Slika 11.6-3 na naslednji strani).


V(s) 

1 

1 

1 

S + S 0 1 + a 1 S + b 1 S 2 1 + a ⌊ n / 2⌋ S + b ⌊ n /2⌋ S2 

Y(s) 

(a) 

kaskadna vezava gradnikov nizkoprepustnega sita lihega reda 

V(s) 

1 

1 

1 + a 1 S + b 1 S 2 1 + a n/2 S + b n/2 S 2 

Y(s) 

(b) 

kaskadna vezava gradnikov nizkoprepustnega sita sodega reda 

Slika 11.6-3 

Kaskadna vezava gradnikov realnega nizkoprepustnega sita. 

11.6.6 Koeficienti a k in b k 

Koeficiente a k in b k določajo koreni polinoma S k in Sk ∗ . Pri členih 

nizkoprepustnega sita drugega reda v splošnem velja: 

H k 

H NPS (S) = 

1 + a k S + b k S 2 (11.6-14) 

1 

= 

(S + S k )(S + Sk ∗) = 1 

S 2 + (S k + Sk ∗)S + (S kSk ∗) 

1 

= 

1 + S k + S ∗ k 

S k S ∗ k 

S k S ∗ k 

S + 1 

, (11.6-15) 

S k Sk 

∗ S 2 

od koder iz primerjave (11.6-14) z (11.6-15) sledi: 

b k = 1 

S k S ∗ k 

= 

1 

(Σ k + jΩ k )(Σ k − jΩ k ) = 1 

Σ 2 k + Ω2 k 

(11.6-16) 

a k = S k + S ∗ k 

S k S ∗ k 

= −Σ k + jΩ k − Σ k − jΩ k 

(Σ k + jΩ k )(Σ k − jΩ k ) 

in 

= − 2Σ k 

Σ 2 k + Ω2 k 

= −2Σ k b k (11.6-17) 

H k = b k . (11.6-18) 

V (11.6-17) smo upoštevali, da izvedljiva sita imajo pole z negativnim 

realnim delom. 

Signali: ch2008_11 20090114


11.6.7 Preslikava nizkoprepustnih sit v ostala sita 

Pri poenotenem načrtovanju iz “prototipnega” nizkoprepustnega 

sita H NPS (P) dobimo ostale vrste sit s preslikavo kompleksne 

frekvence P v kompleksno frekvenco S: 

S = f (P) . (11.6-19) 

Osnovne preslikave so: 

∣ 

H VPS (S) = H NPS (P) 

∣ 

H PPS (S) = H NPS (P) 

∣ 

H PZS (S) = H NPS (P) 

∣ 

P=1/S 

∣ 

P=S+1/S 

∣ 

P=1/(S+1/S) 

(11.6-20a) 

(11.6-20b) 

(11.6-20c) 

Pri tem lahko denormiranje sita izvedemo pred ali po preslikavi. 

Aproksimacija pasovnih sit s predpisano pasovno širino 

Preslikavi (11.6-20b) in (11.6-20c) ne omogočata eksplicitne določitve 

širine prepustnega oziroma zapornega pasu. V primerih, 

ko zahtevamo določeno pasovno širino, v preslikavi NPS→PPS 

v (11.6-20b) upoštevamo normirane kompleksne frekvence: 

P = Ω 0 

B 

( 

S/Ω 0 + 1 

S/Ω 0 

) 

, (11.6-21) 

kjer so Ω 0 normirana (geometrična) središčna frekvenca PPS: 

Ω 0 = √ Ω 1 Ω 2 , (11.6-22) 

Ω 2 in Ω 1 normirani mejni frekvenci prepustnega pasu, ter B normirana 

pasovna širina prepustnega pasu (Slika 11.6-4): 

H NPS (S) 

Slika 11.6-4 

Pasovno prepustno sito z 

eksplicitno definirano pasovno 

širino B = Ω 2 − Ω 1 . 

Ω 1 Ω 0 

Ω 2 

B 

Ω


B = Ω 2 − Ω 1 . (11.6-23) 

Z (11.6-21) lahko pasovno širino pasovno prepustnega (ali zapornega) 

sita določimo neodvisno od mejne frekvence prototipnega 

nizkoprepustnega sita. Ta lastnost je zelo uporabna, ko 

želimo iz spektra izsejati zelo ozek pas frekvenc. Na primer, ko 

je B manjši od Ω 0 /10, lahko obrazec za transformacijo 

P = S + 1/S (11.6-24) 

poenostavimo: 

1. vpeljemo vmesno kompleksno frekvenco S ′ : 

S ′ = P ′ ± j , (11.6-25) 

s katero preslikamo koordinatno izhodišče P-ravnine v dve 

točki ±j v S-ravnini (Slika 11.6-5). 

I{P} 

I{S} 

Slika 11.6-5 

Ozko pasovna aproksimacija 

transformacije NPS → VPS. 

P 1 

× 

× 

P 0 

× 

−1 

P–ravnina 

R{P} 

S 11 

× 

S 01 × j 

× 

S ∗ 11 

S–ravnina 

R{S} 

P ∗ 1 

S 12 

× 

S 02 × −j 

× 

2B 

S ∗ 12 

(a) nizkoprepustno sito, N=3 

(b) pasovno prepustno sito, N=3 

2. V (11.6-24) upoštevamo vmesno kompleksno frekvenco S ′ 

in obrazec razvijemo v binomsko vrsto. Od nje upošte- 

Signali: ch2008_11 20090114


vamo le linearni člen, saj ostali hitro upadajo proti nič: 

P = (S ′ 1 

± j) + 

(S ′ ± j) 

= (S ′ ± j) ∓ j 

(1 − S′ 

+ (S′ ) 2 ) 

+ · · · 

j j 

) 

≈ (S ′ ± j) ∓ j 

(1 − S′ 

= 2S ′ . (11.6-26) 

j 

Z (11.6-26) preselimo pole nizkoprepustnega sita v okolico ±j 

tako, da originalne razdalje do polov skrčimo za S ′ krat. Z izbiro 

S ′ = B · S , B ≪ Ω 0 = 1 (11.6-27) 

pa določimo pasovno širino pasovnega sita. 

11.6.8 Specifikacije analognih sit 

S specifikacijami povemo, kako podobno je izvedljivo sito idealnemu. 

Za odstopanja kot specifikacije sita predpišemo naslednje 

meje: 

1. odstopanje amplitudne karakteristike v prepustnem pasu 

2. širina med prepustnim in zapornim pasom, imenujemo jo 

prehodni pas 

3. odstopanje amplitudne karakteristike v zapornem pasu 

Odstopanja v prepustnem in zapornem pasu merimo v deležu 

maksimalne vrednosti amplitudne karakteristike |H(Ω)|, širino 

prehodnega pasu pa določena z mejnima frekvencama prepustnega 

in zapornega pasu. 

Značilne točke amplitudne karakteristike 

Izhajamo iz zapisa sistemske funkcije H NPS (s) v (11.6-1): 

en. 11.6-1 : H NPS (s) = 

1 

1 + αT(s) , 

iz katere izračunamo normirano amplitudno karakteristiko |H(Ω)|. 

Načrtovalski parameter α je – razen pri eliptičnih sitih – določen


s parametrom ɛ, ki – kot bomo videli v nadaljevanju – določa 

največjo razliko med amplitudnima karakteristikama idealnega 

in izvedljivega sita. Zato bomo specifikacije normiranih nizkoprepustnih 

sit določili le z njim. Izračunajmo: 

|H NPS (Ω)| = 

1 

√ 

1 + [ɛT(Ω)] 2 . (11.6-28) 

Značilne točke normirane amplitudne karakteristike določajo naslednje 

vrednosti karakterističnega polinoma T(Ω): 

T(Ω) = 0 Tu ima amplitudna karakteristika svoje maksimume 

|H(Ω)| = 1. Pri njih imajo harmonski signal 

na izhodu sita isto moč kot na njegovem vhodu. 

T(Ω) = 1 Tu je moč harmoničnega signala na izhodu sita 

odvisna le od načrtovalskega parametra ɛ: 

|H NPS (Ω)| = 

1 

√ 

1 + ɛ 2 . (11.6-29) 

Maksimalno frekvenco, pri kateri še velja (11.6-28) 

izberemo za mejno frekvenco prepustnega pasu. 

T(Ω) = 1/ɛ Tu moč izhodnega signala upade na polovico oziroma 

upade njegova amplituda na √ 2/2 vhodne 

vrednosti: 

|H NPS (Ω m )| = 1 √ 

2 

. (11.6-30) 

Frekvenco Ω m imenujemo mejna frekvenca sita. 

T(Ω) > A Vrednost 1/A določa največjo vrednost amplitudne 

karakteristike v zapornem pasu: 

|H NPS (Ω z )| = 

1 

√ 

1 + (ɛA) 2 ≈ 1 A . (11.6-31) 

Frekvenco Ω z imenujemo mejna frekvenca zapornega 

pasu. 

Opisane značilne točke amplitudne karakteristike lahko uporabimo 

v specifikacijah normiranega nizkoprepustnega sita direktno 

(Slika 11.6-6 na naslednji strani) ali posredno tako, da z njimi 

z definiramo nove parametre, na primer, faktor diskriminacije 

in selektivnost, ki poudarita lastnosti sita, ki sta pomembni pri 

uporabi sita. 

Signali: ch2008_11 20090114


|H(Ω)| 

1 

1 √ 

1+ɛ 2 

1 

√ 

1 + ɛ 2 |H(Ω)| 1 Ω Ω p (11.6-32) 

|H(Ω)| 1 A 

Ω z Ω (11.6-33) 

1/A 

Ω p Ω m Ω p (11.6-34) 

0 

Ω p 

Ω z 

Ω 

(a) 

grafični prikaz specifikacija sita z ɛ in A 

(b) 

matematični opis specifikacije nizkoprepustnega normiranega sita 

Slika 11.6-6 

Specifikacija izvedljivih analognih sit. Amplitudna karakteristika mora biti znotraj osenčenega polja. 

Specifikacija sita z mejama δ p in δ z 

Specifikacija prepustnega pasu s parametrom ɛ ne daje neposredne 

velikosti dovoljenega odstopanja izvedljive amplitudne 

karakteristike od idealne. Zato se v specifikacijah sit raje uporabljata 

meji δ p in δ z (Slika 11.6-7). 

|H(Ω)| 

1 − δ p 

1 

(a) grafični prikaz specifikacija sita z a p in a z (b) matematični opis specifikacije nizkoprepustnega normiranega sita 

1 − δ p |H(Ω)| 1 Ω Ω p (11.6-35) 

|H(Ω)| δ z Ω z Ω (11.6-36) 

δ z 

0 Ω p Ω z 

Ω 

Slika 11.6-7 

Specifikacija izvedljivih analognih sit. Amplitudna karakteristika mora biti znotraj osenčenega polja. 

Primerjava (11.6-32) z (11.6-35) in (11.6-33) z (11.6-36) pokaže, 

da parameter ɛ lahko izračunamo iz 

1 

√ 

1 + ɛ 2 = 1 − δ p


od koder sledi 

☞ 

vrednost 1/A pa iz: 

ɛ 2 = 

2δ p 

1 − δ p 

(11.6-37) 

1 

A = δ z (11.6-38) 

V primeru, kadar sta δ p in δ z enaka, imamo opravka s siti z 

enako valovitostjo. 

Specifikacije sita v logaritemskem merilu 

Meje, znotraj katerih se mora nahajati amplitudna karakteristika 

izvedljivega sita so pogosto podane v decibelih (Slika 11.6-8). 

20 log 10 

|H(Ω)| 

0 dB 

Ω p 

Ω z 

Ω 

−a p 

a p 20 log 10 

|H(Ω)| 1 Ω Ω p (11.6-39) 

20 log 10 

|H(Ω)| a z Ω z Ω (11.6-40) 

−a z 

0 

(a) 

grafični prikaz specifikacija sita z ɛ in A 

(b) 

matematični opis specifikacije nizkoprepustnega normiranega sita 

Slika 11.6-8 

Specifikacija izvedljivih analognih sit v logaritemskem merilu. Amplitudna karakteristika mora biti znotraj osenčenega 

polja. 

Meje a p , a z in 1 − δ p , δ z so povezane z: 

a p = 20 log 10 

(1 − δ p ) 1 − δ p = 10 a p /20 (11.6-41) 

a z = 20 log 10 

δ z δ z = 10 a z /20 (11.6-42) 

Faktor diskriminacije in selektivnost 

Poleg parametra ε in mej δ p in δ z sta mnogokrat pri načrtovanju 

pomembna naslednja podatka: 

Signali: ch2008_11 20090114

11.7 Butterworthovo sito 23 

1. faktor diskriminacije, ki ga izpeljemo iz razmerja H(Ω z )/H(Ω p ): 

d = 

⎡ 

1 

⎤ 

− 1 

ɛ 

√ 

A2 − 1 = (1−δ p ) 

⎣ 

2 ⎦ 

1 

− 1 

δz 

2 

[ 

10 −a p /10 − 1 

= 

10 −a z /10 − 1 

1 / 2 

]1 / 2 

(11.6-43) 

. (11.6-44) 

2. selektivnost: 

k = Ω p 

Ω z 

= ω p 

ω z 

. (11.6-45) 

11.7 Butterworthovo sito 

Sistemsko funkcijo nizkoprepustnega normiranega Butterworthovega 

sita izpeljemo iz: 

en. 11.6-1 H NPS (s) = 

1 

1 + αT(s) 

, 

kjer izberemo: 

α → ɛ = 1 

T(s) = j(−s) n 

(11.7-1a) 

(11.7-1b) 

in – zapisano v normirani obliki – dobimo: 

H NPS (S) = 

1 

1 + j(−S) n . (11.7-1c) 

Polinom j(−S) n je normirani Butterworthov polinom reda n. 

Amplitudno karakteristiko |H(Ω)| najlažje izračunamo iz kvadrata 

absolutne vrednosti sistemske funkcije: 

|H NPS (S)| 2 = H NPS (S)H NPS (−S) (11.7-2a) 

1 1 

= 

1 + j(−S) n 1 + j(S) n = 1 

F(S) . (11.7-2b) 

kjer je F(S) polinom 

F(S) = 1 + (jS) 2n , (11.7-3)


ki ima dvojno simetrične korene. Izračunamo jih z de Moivrovim 

obrazcem za potenciranje kompleksnih števil: 

[?, str. 25, en. 1.100b]: x k = √ ρ(cos( ϕ+2kπ 

n 

) + j sin( ϕ+2kπ 

n 

) 

iz katerega sledi: 

k = 0, 1, . . . , n − 1 . 

s koti: 

S k = − sin(θ k ) + j cos(θ k ) (11.7-4) 

θ k = (2k − 1) π , k = 0, 1, . . . , 2n − 1 . (11.7-5) 

2n 

Vidimo, da so poli F(S) enakomerno razporejeni na enotski krožnici 

in to tako, da nikoli niso na imaginarni osi (Slika 11.7-1). 

Poli F(S), ki imajo negativni realni del, nahajajo se na levi strani 

I{S} 

× 

S 2 = −S 5 

× S 1 = −S 4 

Slika 11.7-1 

Lega korenov Butterworthovega 

polinoma sita 3. reda. 

S 3 

× 

−1 

× 

θ 1 

S 0 = −S 3 

× 

1 

R{S} 

S 4 = S ∗ 2 = −S 1 × S 5 = −S ∗ 1 = −S 2 

H(S) 

H(−S) 

S-ravnine, pripadajo H(S). Z njimi lahko sistemsko funkcijo zapišemo 

v obliki: 

H NPS (S) = 

1 

1 + c 1 S + · · · + c n−1 S n−1 + c n S n . (11.7-6) 

Pri kaskadni izvedbi sita sistemsko funkcijo razdelimo na člene 

prvega in drugega reda: 

⎧ 

1 

⎪⎨ 1 + S 

H NPS (S) = 

⎪⎩ 

⌊n/2⌋ 

∏ 

k=1 

n/2 

∏ 

k=1 

1 

1 + a k S + S 2 , n : lih (11.7-7a) 

1 

1 + a k S + S 2 , n : sod (11.7-7b) 

Signali: ch2008_11 20090114


kjer koeficiente a k izračunamo z (11.6-9) in (11.6-10). Ker so poli 

normiranega sita na enotski krožnici, velja: 

b k = 1 ⇒ H k = 1 (11.7-8) 

a k = −2Σ k b k = 2 · R{S k } . (11.7-9) 

Koeficiente a k v (11.7-6) in (11.7-7) lahko izračunamo sproti s primernim 

programom za načrtovanja sit, mnogi starejši priročniki 

pa jih imajo zbrane v tabelah – ponavadi za sita do osmega reda 

– tako za kaskadno izvedbo nizkoprepustnega sita (Tabela 11.2) 

kot tudi za direktno izvedbo sita (Tabela 11.3). 

Tabela 11.2 

Koeficienti kaskadne izvedbe nizkoprepustnih normiranih Butterworthovih sit. 

a k 2. reda 3. reda 4. reda 5. reda 6. reda 7. reda 8. reda 

a 1 1,414214 1,0 0,765357 0,618034 0,517638 0,445042 0,390181 

a 2 1,847759 1,618034 1,414214 1,246980 1,111140 

a 3 1,931852 1,801938 1,662939 

a 4 1,961571 

Tabela 11.3 

Koeficienti direktne izvedbe nizkoprepustnih normiranih Butterworthovih sit, a 0 = 1, 000. 

n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 

1 1,0000 

2 1,4142 1,0000 

3 2,0000 2,0000 1,0000 

4 2,6131 3,4142 2,6131 1,0000 

5 3,2361 5,2361 5,2361 3,2361 1,0000 

6 3,8637 7,4641 9,1416 7,4641 3,8637 1,0000 

7 4,4940 10,0078 14,5918 14,5918 10,0078 4,4940 1,0000 

8 5,1258 13,1371 21,8462 25,6884 21,8462 13,1371 5,1258 1,0000 

11.7.1 Amplitudna karakteristika 

Amplitudno karakteristiko normiranega nizkoprepustnega Butterworthovega 

sita določa |H NPS (S)| nad frekvenčno osjo. Njeno 

funkcijo izpeljemo iz (11.7-2): 

|H NPS (S)| = 

1 

√ 

1 + (jS) 2n , (11.7-10)


kjer postavimo Σ = 0. Dobimo: 

∣ 

|H NPS (Ω)| = ∣H NPS (S) ∣ = A(Ω) = 

Σ=0 

= 

1 

√ 

[ 

1 + j(Σ + jΩ) 

] 2n 

Σ=0 

= 

1 

√ 

1 + Ω 2n . (11.7-11) 

|H(Ω)| 

|H(0)| = 1 

Amplitudno karakteristiko lahko prikažemo v linearnem, pol 

logaritemskem (amplitudni razmah linearno, frekvenčno os logaritemsko) 

ali v logaritemskem merilu (Slika 11.7-2). 

20 log 10 

|H(Ω)| 

0 dB 

−3 dB 

0 

Ω 

1√ 

2 

A 1 

A 2 

Slika 11.7-2 

Amplitudna karakteristika Butterworthovega sita. 

Ω m 

Ω 1 Ω 2 

−a 1 

−a 2 

Ω 

asimptota s strmino 

−n · 20 dB/dekada = 

−n · 6 dB/oktava 

(b) logaritemski prikaz z ilustracijo slabljenja a 1 in a 2 

11.7.2 Red Butterworthovega sita 

Red Butterworthovega sita lahko izračunamo na dva načina: 

1. iz strmine asimptote amplitudne karakteristike v prehodnem 

pasu (Slika 11.7-2b) 

2. iz dejanskega poteka amplitudne karakteristike v prehodnem 

pasu (Slika 11.7-2a) 

V obeh primerih izhajamo iz razmerja ojačenja moči izhodnega 

signala sita pri izbranih frekvencah v prehodnem pasu sita. Izračunamo 

ga s kvadratom razmerja amplitudne karakteristike 

Signali: ch2008_11 20090114

☞ 


(11.7-11) pri dveh frekvencah: 

[ ] 

|H(Ω1 )| 2 [ ] 2 A1 

= = 1 + Ω2n 2 

|H(Ω 2 )| A 2 1 + Ω 2n 

kjer sta Ω 1 = ω 1 /ω m in Ω 2 = ω 2 /ω m . 

1 

, (11.7-12) 

Približni obrazec 

Predpostavimo ω m < ω 1


Iz razmerja: 

( 

Ω2 

) 2n 

= A−2 2 

− 1 

Ω 1 A2 −2 − 1 = z p 

(11.7-19) 

z logaritmiranjem izračunamo red sita: 

⎡ 

log z ⌈ 

n = 

p log 

z 

⎢2 log Ω 2 

⎥ = p 

2 log ω 2 

. (11.7-20) 

Ω 1 

⎤ 

ω 1 

⌉ 

ZGLED 2 (Pogrešek približnega obrazca) 

Natančni obrazec (11.7-12) lahko zapišemo kot vsoto približnega obrazca in 

pogreška: 

⌈ ⌉ 

log 

z 

n = m 

2 log ω = 

2 

ω 1 

= 

⌈ A log 1 

A 2 

log ω 2 

ω 

} {{ 

1 

} 

približni 

obrazec 

+ 

⎡ 

log 

⎢ 

log 1−A2 2 

1−A 2 1 

2 log ω 2 

ω 1 } {{ } 

pogrešek 

( 

1A2 

) 2 

− 1 

( 

1A1 

) 2 

− 1 

· 

⌉ 

⎤ ⎡ 

1 

2 log ω = 

2 

ω 

⎥ ⎢ 

1 

log 

( 

A1 

A 2 

) 2 1−A 2 

2 

1−A 2 1 

2 log ω 2 

ω 1 

⎤ 

⎥ 

. (11.7-21) 

Ocenimo pogrešek. Pri nizkoprepustnih sitih pri ω 2 > ω 1 je imenovalec pogreška 

pozitiven, velja pa tudi (Slika 11.7-2 na strani 26) 

|H(0)| > A 1 = |H(ω 1 )| > A 2 = |H(ω 2 )| . (11.7-22) 

Zato je 

1 − A 2 2 

1 − A 2 1 ⇒ log 1 − A2 2 

1 

1 − A 2 0 . (11.7-23) 

1 

Torej je pogrešek negativen (nič je takrat in samo takrat, ko je A 1 = A 2 ). Z 

drugimi besedami, z natančnim obrazcem pred zaokrožitvijo rezultata dobimo 

malenkost manjši rezultat kot s približnim, po zaokrožitvi na prvo enako ali večje 

celo število, pa dobimo v obeh primerih enak red sita. 

♦ 

Izračun reda sita s selektivnostjo in faktorjem diskriminacije 

Iz selektivnosti in faktorja diskriminacije: 

⌈ ⌉ log d 

n = , (11.7-24) 

log k 

iz katerega sledi, da je d enak korenu razmerju z/p pri frekvencah 

ω p in ω z ; 

√ z 

d = 

p 

, ω 1 = ω p , ω 2 = ω z . (11.7-25) 

Signali: ch2008_11 20090114


Izračun v logaritemskem merilu 

Slabljenje (nizkoprepustnega) sita v dveh točkah v prehodnega 

pasu definiramo kot 1 − A 1 in 1 − A 2 . Če je podano v decibelih, 

lahko red sita izračunamo z: 

kjer sta: 

n = 

⌈ 

⌉ 

0, 1(α 1 − α 2 ) 

ω 

2 log 2 

10 ω 1 

, (11.7-26) 

α 1 = 20 log 10 

(1 − A 1 ) = 10 log 10 

(1 − A 1 ) 2 [dB] (11.7-27) 

α 2 = 20 log 10 

(1 − A 2 ) = 10 log 10 

(1 − A 2 ) 2 [dB] . (11.7-28) 

11.7.3 Mejne frekvence 

Pri sitih velja dogovor, da v primeru, ko niso posebej določene 

mejne frekvence prepustnega in zapornega pasu, je meja med 

prepustnim in zapornim pasom pri frekvenci, kjer moč signala 

upade na polovico maksimalne moči: 

|H(ω m )| 2 = |H(0)|2 

2 

(11.7-29) 

oziroma v dB: 

10 log 10 

|H(ω m )| 2 = 10 log 10 

|H(0)| 2 −10 log 

} {{ } 10 

2 

=0 dB 

= −3,010 299 956 dB ≈ −3 dB . (11.7-30) 

Ta mejna frekvenca se nahaja med ω p in ω z , ki ju izberemo glede 

na specifikacije odstopanja amplitudne karakteristike od idealne. 

Pri nizkoprepustnih sitih so ω p , ω z in ω m povezane z: 

ω p 

√ 

2n 1 

− 1 ω m 

(1−δ p ) 2 

ω z 

√ 

2n 1 

− 1 

δz 

2 

. (11.7-31) 

Pri visokoprepustnem situ so relacije v (11.7-31) obrnjene tako, 

da velja ω z < ω m < ω p .


11.8 Čebiševa sita 

Obstajata dve vrsti Čebiševih sit: tip I in tip II. Sita tip II imenujemo 

jih tudi inverzna Čebiševa sita. Čebiševa sita tip I imajo 

enakomerno valovito amplitudno karakteristiko v prepustnem 

pasu, v prehodnem in zapornem pa monotono pada proti nič 

(Slika 11.8-1a), Čebiševa sita tip II pa imajo monotoni potek v 

H(Ω) 

H(Ω) 

1 

√ 1 

1+ɛ 2 

1 

√ 1 

1+ɛ 2 

Slika 11.8-1 

Skice amplitudne karakteristike 

Čebiševih sit. 

sita tip I: 

Ω = ω/ω p , Ω m = Ω p = 1; 

sita tip II: 

Ω = ω/ω m , Ω m = 1. 

1/A 

0 Ω p Ω z 

(a) Čebiševo sito tip I, n je lih 

H(Ω) 

1 

Ω 

1/A 

0 Ω Ω 

p Ω z 

(b) Čebiševo sito tip I, n je sod 

H(Ω) 

1 

1 √ 

2 

1√ 

2 

1/A 

1/A 

0 

Ω m 

Ω z 

Ω 

0 

Ω m 

Ω z 

Ω 

(c) 

Čebiševo sito tip II, n je lih 

(d) 

Čebiševo sito tip II, n je sod 

prepustnem in prehodnem pasu ter enakomerno valovito amplitudno 

karakteristiko v zapornem pasu (Slika 11.8-1b). 

Potek valovitosti amplitudnih karakteristik je odvisen od reda 

sita. Pri lihih Čebiševih sitih velja H(0) = 1 (Slika 11.8-1a), pri 

sodih pa H(0) = 1/(1 − ɛ 2 ) (Slika 11.8-1b). Pri lihih Čebiševih 

sitih tip II je H(∞) = 1/A (Slika 11.8-1c) in pri sodih H(∞) = 0 

(Slika 11.8-1d). 

Signali: ch2008_11 20090114

☞ 

11.8 Čebiševa sita 31 

11.8.1 Čebiševa sita tip I 

Kvadrat amplitudne karakteristike določa funkcija 

|H(ω)| 2 = 

1 

1 + ɛ 2 T 2 n(Ω) , (11.8-1) 

kjer so n red sita, Ω = ω/ω p , ɛ parameter, s katerim nastavljamo 

odklon amplitudne karakteristike od idealne v prepustnem 

pasu in T n (Ω) Čebišev polinom reda n: 

{ 

cos(n cos −1 Ω), |Ω| 1 

T n (Ω) = 

cosh(n cosh −1 Ω), 1 < |Ω| 

(11.8-2a) 

(11.8-2b) 

kjer oznaka cos −1 (Ω) pomeni funkcijo inverzno kosinusu, torej 

arccos(Ω) in cosh −1 (Ω) inverzno funkcijo k hiperbololičnemu 

kosinusu, imenujemo jo areakosinus. 

Čebiševi polinomi tvorijo družino ortogonalnih funkcij, ki jih 

iz (11.8-2a) izpeljemo z rekurzivno formulo: 

T n+1 (Ω) = 2ΩT n (Ω) − T n−1 (Ω) , n 2 (11.8-3) 

s T 0 (Ω) = 1 in T 1 (Ω) = Ω. Izven intervala |Ω| 1 potek 

amplitudne karakteristike opiše (11.8-2b). 

ZGLED 3 (Izpeljava Čebiševih polinomov) 

Čebišev polinom lahko predstavimo na več načinov. Poleg opisa v (11.8-2), 

zanj velja tudi: 

T n (Ω) = 1 [(Ω + √ Ω 

2 

2 − 1) 2 + (x − √ ] 

Ω 2 − 1) 2 (11.8-4) 

Čebišev polinom reda n izpeljemo z iterativnim postopkom iz (11.8-2a): 

n = 0: 

T 0 (x) = cos(0 · cos −1 x) = 1 

(11.8-5a) 

n = 1: Upoštevamo lastnosti trigonometričnih funkcij: če je x = cos(y), potem 

je y = cos −1 (x) in cos(cos −1 (x)) = cos(y) = x ter izračunamo: 

T 0 (x) = cos(1 · cos −1 x) = x 

(11.8-5b) 

n = 2: Upoštevamo lastnosti trigonometričnih funkcij – če je cos −1 = α, potem 

velja identiteta C 2 (x) = cos(2α) = 2 cos 2 (α) − 1 – oziroma: 

T 2 (x) = cos(2 cos −1 x) = 2x 2 − 1 

(11.8-5c)


n = 3: Upoštevamo identiteto: cos(3α) = 4 cos 3 (α) − 3 cos(α): 

T 3 (x) = cos(3 cos −1 x) = 4x 2 − 3x 

(11.8-5d) 

= 2x(2x 2 − 1) − x = 2x · T 2 (x) − T 1 (x) (11.8-5e) 

Z (11.8-5e) smo pokazali nastanek obrazca (11.8-3). Z njim lahko izračunamo 

Čebiševe polinome ostalih višjih redov. 

♦ 

Čebiševi polinomi imajo naslednje lastnosti: 

Pri |Ω| 1 vrednosti Čebiševih polinomov oscilirajo med 

−1 in +1, |T n (Ω)| 1. Pri |Ω| > 1 vrednost polinoma z 

Ω monotono narašča proti neskončnosti. 

T n (1) = 1 pri vseh n. 

T n (0) = ±1 pri sodih n in T n (0) = 0 pri lihih n. 

Vsi koreni polinoma T n (Ω) so na intervalu −1 Ω 1. 

Iz prikaza amplitudnih karakteristik (Slika 11.8-1 na strani 30) in 

opisa lastnosti Čebiševih polinomov lahko uvidimo naslednje 

lastnosti Čebiševih sit: 

pri Ω = 0: 

|H(0)| 2 = 1 n je lih (11.8-6a) 

|H(0)| 2 = 1 

1 + ɛ 2 n je sod , (11.8-6b) 

pri Ω = 1, to je pri ω = ω p 

|H(1)| 2 = 1 

1 + ɛ 2 pri vseh n , (11.8-7) 

na intervalu 0 Ω 1 vrednosti |H(Ω)| 2 nihajo med 1 in 

1/(1 + ɛ 2 ); število ekstremov nihanja je enako redu sita, 

pri Ω > 1 (ω > ω p ) vrednosti |H(Ω)| 2 monotono upadajo 

proti 0, 

pri Ω = Ω z : 

|H(Ω z )| 2 = 1/A 2 . (11.8-8) 

Signali: ch2008_11 20090114


11.8.2 Sistemska funkcija Čebiševih sit tip I 

Pole stabilne, kavzalne sistemske funkcije določajo koreni imenovalca 

(11.8-1): 

1 + ɛ 2 T 2 n(S) , (11.8-9) 

ki imajo negativni realni del. Računanje korenov (11.8-8) je vsaj 

dolgotrajno če že ne težko. Poiščemo jih lahko na dva načina: 

1. z rekurzivno formulo (11.8-3) določimo Čebišev polinom, 

ničle polinoma (11.8-9) pa izračunamo z znanimi pravili iz 

matematike 

2. z uporabo posebnih obrazcev, s katerimi direktno izračunamo 

ničle polinoma 

Za drugi način iskanja ničel (11.8-9) se da pokazati, da za ničle, 

ki so pri s k = σ k + jω k , k = 0, 1, . . . , n − 1, z negativnim realnim 

delom, velja: 

[ ] 

π (2k + 1)π 

σ k = a ω p cos + (11.8-10a) 

2 2n 

[ ] 

π (2k + 1)π 

ω k = b ω p sin + (11.8-10b) 

2 2n 


( 

a = 1 2 

b = 1 ( 

2 

n√ √ ) 

α − 

n 

1/α 

n√ √ ) 

α + 

n 

1/α 

α = 1 ɛ + √ 1 + 1/ɛ 2 

(11.8-11a) 

(11.8-11b) 

(11.8-11c) 

Koreni (11.8-9), to je poli nizkoprepustnega Čebiševega sita ležijo 

na elipsi z veliko osjo bω p in malo osjo bω p (Slika 11.8-2 na 

naslednji strani). Faktorizirana oblika sistemske funkcije je: 

H(S) = 

K 

∏ k (S − S k ) , (11.8-12) 

kjer ima K = H 0 = H(0) iznos: 

⎧ 

⎨ 1 n je lih 

K = 1 

⎩ √ n je sod 

1 + ɛ 2 

(11.8-13)


I{S} 

Slika 11.8-2 

Lega polov pri nizkoprepustnem 

normiranem Čebiševem situ. 

S 1 

× 

S 0 

× 

−1 

a 

b 

R{S} 

× 

S ∗ 1 

11.8.3 Načrtovanje Čebiševih sit tip I 

Postopek načrtovanja naredimo v treh korakih: 

1. Iz zahtevanih lastnosti – specifikacij sita – izračunamo faktorja 

diskriminacije d in selektivnosti k. Pri tem, če je potrebno, 

pretvorimo podatke za valovitost in slabljenje zapornega 

pasu v dB v absolutne vrednosti: 

ɛ = 

√ 

10 0,1a p 

− 1 (11.8-14) 

A = 10 a z /20 (11.8-15) 

kjer sta a p valovitost prepustnega pasu in a z (minimalno) 

slabljenje zapornega pasu v dB, oziroma iz podatka za δ p 

izračunamo ɛ: 

√ 

1 

ɛ = 

(1 − δ p ) 2 − 1 (11.8-16) 

2. Z d in k izračunamo potreben red sita: 

⌈ 

⌉ 

cosh −1 (1/d) 

n = 

cosh −1 (1/k) 

(11.8-17) 

3. Odločimo se za metodo izračuna polov: 

a) z rekurzivno formulo (11.8-3) določimo Čebišev polinom 

in poiščemo korene (11.8-9), 

b) z obrazci (11.8-10) in (11.8-11) direktno izračunamo 

korene (11.8-9). 

Signali: ch2008_11 20090114


11.8.4 Čebiševa sita tip II 

Čebiševo sito tip II, imenujemo ga tudi inverzno Čebiševo sito, je 

povezano s Čebiševem sitom tip I s preprosto transformacijo – 

člen ɛ 2 T n (Ω) 2 , Ω = ω/ω p nadomestimo z njegovo recipročno 

vrednostjo: 

|H(Ω)| 2 = 

1 

1 + [ɛ 2 T n (Ω −1 ) 2 , (11.8-18) 

] −1 

kjer za mejno frekvenco ω c namesto ω p , ki smo jo upoštevali pri 

Čebiševih sitih tip I, vzamemo ω z in je Ω = ω/ω z . Njihova amplitudna 

karakteristika ima v prepustnem in prehodnem pasu 

monotoni potek, enakomerno valovitost pa v zapornem pasu. 

Sistemska funkcija ima zato poleg polov tudi ničle. Zato imata 

fazna karakteristika in skupinska zakasnitev v prepustnem pasu 

bolj linearni potek. 

11.8.5 Načrtovanje Čebiševih sit tip II 

Inverzna Čebiševa sita lahko načrtamo tako, da najprej po izbrani 

metodi načrtamo Čebiševo sito tip I, potem pa z omenjeno 

transformacijo 

ɛ 2 T n (Ω) 2 → [ɛ 2 T n (Ω −1 ) 2 ] −1 (11.8-19) 

zapišemo sistemsko funkcijo inverznega Čebiševega sita: 

Poli so pri 

H(S) = 

n−1 

a 

∏ 

k S − b k 

(11.8-20) 

b 

k=0 k S − a k 

a k = Ω z 

S k 

, (11.8-21) 

kjer so S k normirani poli Čebiševega sita tip I in Ω z mejna normirana 

(krožna) frekvenca zapornega pasu. Ničle b k ležijo na 

imaginarni osi pri frekvencah, kjer je T n (Ω) enak nič. Postopek 

načrtovanja inverznih Čebiševih sit je enak kot pri Čebiševih sitih 

tip I z razliko, da ɛ izračunamo z 

ɛ = 

√ 

1 

δ 2 z 

1 

. (11.8-22) 

− 1


11.9 Eliptično sito 

Eliptična sita imajo enakomerno valovitost v prepustnem in zapornem 

pasu (Slika 11.9-1). Zato dosegajo najožji prehodni pas. 

H(Ω) 

1 

√ 1 

1+ɛ 2 

H(Ω) 

1 

√ 1 

1+ɛ 2 

Slika 11.9-1 

Amplitudna karakteristika 

nizkoprepustnih eliptičnih sit. 

1/A 

1/A 

0 

Ω p 

Ω z 

Ω 

0 

Ω p 

Ω z 

Ω 

(a) 

n je lih 

(b) 

n je sod 

Analiza teh sit je zelo zahtevna in presega namen tega povzetka, 

zato se zadovoljimo le z receptom načrtovanja teh sit. 

Kvadrat amplitudne karakteristike eliptičnega sita opiše izraz: 

|H(Ω)| 2 1 

= 

1 + ɛ 2 Un(Ω) 2 , (11.9-1) 

kjer je n red sita, ɛ velikost valovitosti in U n (Ω) Jacobijeva eliptična 

funkcija. To je racionalna funkcija reda n z lastnostjo 

U n (1/Ω) = 

Red sita lahko določimo na dva načina: 

⌈ log(16/d 

1. n = 

2 ⌉ 

) 

log(1/q) 

kjer je: 


1 

U n (Ω) . (11.9-2) 

(11.9-3) 

q = q 0 + 2q 5 0 + 15q 9 0 + 150q 13 

0 (11.9-4) 

q 0 = 1 1 − 4√ 1 − k 2 

2 1 + 4√ (11.9-5) 

1 − k 2 

⌈ 

K(k)K( √ ⌉ 

1 − d 

2. n = 

2 ) 

K(d)K( √ 1 − k 2 ) 

(11.9-6) 

Signali: ch2008_11 20090114

11.10 Načrtovanje analognih sit 

s programom MATLAB 2 37 

kjer so k faktor selektivnosti: 

en. (11.6-42) k = ω p 

ω z 

d diskriminacijski faktor: 

⎡ 

1 

⎤ 

− 1 

ɛ 

en. (11.6-40) d = √ 

A2 − 1 = (1−δ p ) 

⎣ 

2 ⎦ 

1 

− 1 

δz 

2 

oziroma: 

[ 

10 −a p /10 ]1 / 2 

− 1 

en. (11.6-41) d = 

10 −a z /10 − 1 

in K(Ω) popolni eliptični integral prve vrste: 

1 / 2 

K(Ω) = 

∫ π/2 

0 

dθ 

√ 

1 − x 2 sin 2 θ 

(11.9-7) 

Integral (11.9-7) analitično ni rešljiv, zato si pri njegovem računanju 

pomagamo s tabelami rešitev ali pa jih sproti izračunamo 

z računalniškimi programi. Na primer, program MATLAB 

ima za ta namen v orodnem kovčku SPT pripravljeno funkcijo 

ellipke. 


s programom MATLAB 1 

K programskemu paketu MATLAB lahko dokupimo orodni kovček 

Signal Processing Toolbox (SPT), ki vsebuje množico pripravljenih 

funkcij, ki so pogoste v analizi signalov, sintezi sistemov 

za obdelavo signalov ter generiranju in prikazu signalov. Za 

glavna analogna sita: 

1. Butterworthova sita 

2. Čebiševa sita 

3. Inverzna Čebiševa sita 

4. Eliptična sita 

1 Vsi primeri programov, ki so označeni z MATLAB #.#, so na voljo na domači 

strani MATLAB


ki so frekvenčno selektivna sita, ter 

5. Besselova sita 

za katero je značilna skoraj linearna fazna karakteristika v prepustnem 

pasu, so pripravljene funkcije, s katerimi lahko izračunamo 

red sita, pole in ničle za normirana nizkoprepustna prototipna 

sita, koeficiente sita itd (Tabela 11.4). 

Tabela 11.4 

Funkcije za načrtovanje analognih sit v orodnem kovčku SPT. 

izračun reda sita 

izračun polov in ničel NPS 

transformacija NPS v PPS, PZS, VPS 

in skaliranje mejne frekvence 

direktno računanje koeficientov sita 

skupinska zakasnitev 

analogna frekvenčna karakteristika 

impulzni odziv 

eliptični integral prve vrste 

računanje korenov 

in koeficientov polinomov 

območje v logaritemskem merilu 

diagram v pol-logaritemski merilu 

diagram v logaritemskem merilu 

buttord, cheb1ord, cheb2ord, ellipord, 

besselord 

buttap, cheb1ap, cheb2ap, ellipap, 

besselap 

lp2bp, lp2bs, lp2hp, lp2lp 

butter, cheby1, cheby2, ellip, besself 

grpdelay 

freqs 

impulse 

ellipke 

roots, poly 

logspace 

semilogx 

loglog 

Poleg teh funkcij SPT vsebuje tudi grafični vmesnik za načrtovanje 

sit ”SPTool“, ki omogoča interaktivno načrtovanje sit, vendar 

je primeren za izkušene uporabnike, ki analogna sita zelo 

dobro poznajo. 

Sintakse funkcij, ki jih pogosteje uporabljamo v tej knjigi, so v 

naslednjih alinejah povzete iz pomoči programa MATLAB. Ohranjene 

so tudi, zaradi lažje uporabe tega vira pri samostojnem 

študiju, v viru uporabljane oznake in definicije parametrov. Te 

se razlikujejo od oznak, ki smo jih do sedaj uporabljali, zato ta 

Signali: ch2008_11 20090114



pregled zaključujemo s pregledom povezav med obojimi oznakami 

(Tabela ??). 

11.10.1 Red sita 

Sintaksa funkcij za izračun reda sita je za vse vrste sit enaka, 

zato si jo oglejmo le za Butterworthova sita: 

[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s’) 

kjer imajo oznake parametrov naslednji pomen: 

Wn Mejna ali “naravna” frekvenca sita. Pri Čebiševem situ 

tip I in pri eliptičnem situ je enaka Wp. 

Wp Mejna frekvenca prepustnega pasu v rad/s. Če je sito 

NPS ali VPS, je W p je skalar, pri PPS in PZS je vektor 

z dvema koeficientoma, ki določata zgornjo in spodnjo 

mejno frekvenco prepustnih pasov. 

Ws : Mejna frekvenca zapornega pasu v rad/s. Če je sito NPS 

ali VPS, je W s je skalar, pri PPS in PZS je vektor z dvema 

koeficientoma, ki določata zgornjo in spodnjo mejno frekvenco 

zapornih pasov. 

Rp : Največja dovoljena valovitost prepustnega pasu v dB. Če 

je Rp = −3 dB, potem je Wn = Wp. 

Rs : Največja dovoljena valovitost zapornega pasu v dB. 

’s’ : oznaka, ki pove, da računamo red analognega sita 

(kadar oznake ni, izračunamo red ekvivalentnega digitalnega 

sita). 

11.10.2 Poli in ničle 

Sintaksa funkcij za izračun polov in ničel normiranih nizkoprepustnih 

sit: 

[z,p,k] = buttap(n) 

[z,p,k] = buttap(n,Rp) 

[z,p,k] = buttap(n,Rs) 

[z,p,k] = buttap(n,Rp.Rs) 

% Butterworthovo sito 

% Čebiševo sito tip I 

% Čebišev0 sito tip II 

% eliptično sito 

kjer so: 

z : vektor, vsebuje ničle sistemske funkcije sita (koreni števca 

racionalnega ulomka). Pri Butterworthovem situ je vektor 

prazen.


p : vektor, vsebuje pole sistemske funkcije sita (koreni imenovalca 

racionalnega ulomka). Polov je toliko, kot je red sita. 

k : ojačenje sita pri frekvenci 0 Hz, skalar. 

n : red sita, skalar. 

11.10.3 Koeficienti sita 

S funkcijami za izračun koeficientov sistemskih funkcij analognih 

sit lahko izračunamo tudi pole in ničle sita kot tudi koeficiente 

linearnega sistema enačb s spremenljivkami stanja pri 

poljubni mejni frekvenci. Zaradi posebnosti specifikacij posameznih 

sit se njihove sintakse medsebojno nekoliko razlikujejo: 

[b,a] = butter(n,Wn,’ftype’,’s’) % Butterworthovo sito 

[b,a] = cheby1(n,R,Wn,’ftype’,’s’) % Čebiševo sito tip I 

[b,a] = cheby2(n,R,Wn,’ftype’,’s’) % Čebiševo sito tip II 

[b,a] = ellip(n,R_p,R_s,Wn,’ftype’,’s’) % eliptično sito 

[b,a] = besself(n,Wo) 

% Besselovo sito 

kjer so: 

b, a : Vrstična vektorja dolžine n + 1, n je red sita, ki vsebujeta 

koeficiente sistemske funkcije sita H(s): 

H(s) = b 1s n + b 2 s n−1 + · · · + b n+1 

s n + a 2 s n−1 + · · · + a n+1 

. (11.10-1) 

Koeficienti so urejeni po padajočih potencah S. 

n : Red sita. 

Wn : Mejna frekvenca. Pri pasovnih sitih je to vektor z dvema 

mejnima frekvencama Wn = [w1 w2] z lastnostjo w1 

w2. Kadar želimo koeficiente za normirano sito, mora 

biti Wn = 1 

Wo : Frekvenca, do katere ima Besselovo sito približno linearni 

potek skupinske zakasnitve τ g . 

’ftype’ : Oznaka vrste sita: 

’high’ : visokoprepustno normirano sito (Ω = ω/ω m ) 

’low’ : nizkoprepustno normirano sito 

’stop’ : pasovno zaporno sito. 

Če ni oznake za vrsto sita, funkcija izračuna koeficiente 

za nizkoprepustno sito. 

Signali: ch2008_11 20090114



’s’ : Oznaka, ki pove, da je sito analogno. 

Besselova sita so samo analogna in nizkoprepustna, 

zato njihova sintaksa ne pozna oznak ’ftype’ in ’s’. 

Pri računanju ničel in polov ali spremenljivk stanj, se sintaksa 

funkcij razlikuje le na zapisu rezultata funkcije: 

[z,p,k] = .... 

[A,B,C,D] = .... 

% poli in ničle izbranega sita 

% koeficienti pri spremenljivkah stanj 

z, p, k : Vektorja z in p in skalar k imajo enako pomen kot 

jih imajo pri funkcijah buttap, cheb1ap, cheb2ap, 

ellipap in besselap. 

A, B, C, D : Matriki A in C in D vsebujejo koeficiente linearnega 

sistema enačb s spremenljivkami stanja: 

ẋ = Ax + Bu (11.10-2) 

y = Cx + Du (11.10-3) 

kjer so u vhod sistema, x vektor spremenljivk stanja 

in y izhod sistema.

Analogna sita - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?