TEORIJA SIGNALOV - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska ...

UNIVERZA
V
MARIBORU
Žarko ČUČEJ in Peter PLANINŠIČ
TEORIJA SIGNALOV
uvod

CIP - Kataloški zapis o publikaciji
Univerzitetna knjižnica Maribor
681.51/.52(075.8)
ČUČEJ, Žarko
Teorija signalov: uvod / Žarko Čučej in Peter Planinšič ;
[risbe Žarko Čučej]. - Maribor: Fakulteta za
elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 2000
ISBN 86-435-0330-4
1. Planinšič, Peter
COBBIS-ID 44994817
naslov TEORIJA SIGNALOV: uvod revizija:20010328
avtor
Žarko ČUČEJ
soavtor
Peter PLANINŠIČ
recenzija
izr. prof. dr. Rajko SVEČKO
doc. dr. Gorazd LEŠNJAK
jezik
prof. Milena MILANOVIČ
uredil in oblikoval Žarko ČUČEJ
risbe
Žarko ČUČEJ
uporabljani programi MiTEX1.20e z AMS-TEX, CorelDraw 7
založba
Univerza v Mariboru
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko 28. marec 2001
vse pravice pridržane

Predgovor
Prva knjiga je pošla. Da bi vsaj delno premostila to vrzel, sva
se odločila objaviti datoteko z njeno vsebino na domači strani
laboratorija:
http://SPaRC.feri.uni-mb/publikacije.
Datoteka se od originala razlikuje v odpravljenih napakah, ki
sva jih avtorja odkrila tudi s pomočjo študentov. Med njimi se
je posebej izkazal Uroš Lebar, za kar se mu posebej zahvaljujeva.
Je pa tudi nekaj razlik v organizaciji poglavij (razlaga korelacije)
in oblikovnih dopolnitev. Te so nastale kot priprava
knjige za drugo izdajo, ki bo dopolnila obravnavano snov in jo
bo razširila še na obsežnejšo obravnavo naključnih signalov. Zanjo
upava, da bo doživela natis konec letošnjega leta.
marec 2001
Žarko Čučej in Peter Planinšič
i

ii
Vsebina knjige
Snov je podana v dveh nivojih. V osnovnem, elementarnem nivoju
so opisi kar se da preprosti in dopolnjeni s številnimi zgledi.
Zahtevnejšim študentom so namenjena poglavja, ki imajo oznako
“zahtevna snov”. V njih so strožje matematične izpeljave in dokazi
nekaterih teoremov. Seveda študentom priporočava, da se
ozrejo še po drugih slovenskih in tujih virih. Najpomembnejše,
po katerih sva se tudi zgledovala, sva naštela v seznamu literature.
Uvod V uvodu se seznanimo s pojmom signal, s področji uporabe
teorije signalov in s pojmom sistem.
Signali Po vpeljavi funkcij kot matematičnega opisa signalov
sledi opis razdelitve signalov glede na njihove značilnosti. Primerom
pogostih signalov sledi matematični opis. Nadaljuje se z
elementarnimi operacijami nad signali, ki obsegajo transformacije
signalnega območja in signalne osi.
Prostor signalov je predstavljen z linearnim prostorom. Potrebujemo
ga za definiranje norm signalov, ki so predstavljene
kot mera značilnosti signalov. Fizikalni pomen norm je pokazan
z izračunom moči, energije in srednje vrednosti signala. Pri srednjih
vrednostih je kot zahtevna snov dodana izpeljava drugega
izreka o srednji vrednosti, ki se pogosto koristi pri izpeljavi in dokazovanju
lastnosti amplitudno omejenih, končno krat nezveznih
signalov.
Razlaga skalarnega produkta predstavi signalni prostor kot
vektorski prostor. Razložen je tako za časovno diskretne signale
kot za zvezne signale. Podana je tudi pomembna Schwartzova
neenakost.
Korelacija je podana kot mera podobnosti signalov. Utemeljena
je kot količina pretoka energije med signali. Razlaga poteka
vzporedno za časovno zvezne in diskretne signale.
Poglavje zaključuje opis posplošenega signala δ(t). Elementarnemu
opisu sledi zahtevnejši opis, v katerem so izpeljane in
dokazane lastnosti Diracovega impulza. Snov zaokroži opis uporabe
Diracovega impulza pri vzorčenju signalov.
Izražanje signalov z baznimi funkcijami V tem poglavju
je vpeljan kvantitativen opis signalov. Izražanje signala z bazno
funkcijo služi za vpeljavo srednjega kvadratičnega pogreška
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

iii
kot mero podobnosti med približkom in originalom signala. Za
predstavitev signala s kombinacijo baznih funkcij se vpeljejo ortogonalne
funkcije. S Parsevalovo identiteto je poudarjen pomen
kvantitativnega opisovanja signalov z ortogonalnimi funkcijami.
Poglavje zaključuje predstavitev signalnega prostora kot vektorskega
prostora, ki ga razpenjajo bazne funkcije. V njem so
signali predstavljene kot točke, ki jih določajo konice vektorjev
oziroma koordinate - koeficienti, s katerimi množimo bazne funkcije
pri kvantitativnem izražanju signalov.
Poglavje zaključuje pregled različnih razredov ortogonalnih
funkcij. Med njimi so širše opisane le Walsheve funkcije. Dodan
je še Gram-Schmidtov postopek snovanja ortogonalnih funkcij.
Sistemi To poglavje vsebuje le kratek pregled sistemov. Razlaga
je omejena na vhodno-izhodni opis sistemov. Opisane so
osnovne lastnosti in načini povezovanja sistemov. Opis linearnih
sistemov je namenjen razlagi konvolucije in lastnosti konvolucijskih
sistemov.
Zahvala
Avtorja se zahvaljujeva prof. Rajku Svečku za opravljeno recenzijo.
Njegove pripombe in nasveti so v veliki meri izboljšale
knjigo. Uskladil je tudi uporabljeno izrazoslovje z izrazoslovjem
v Teoriji sistemov in Teoriji regulacij. Posebna zahvala velja
doc. dr. Gorazdu Lešnjaku. Njegova recenzija je s številnimi
predlogi in popravki zelo pripomogla k izboljšanju izpeljav in
matematičnega jezika ter s tem k boljši razumljivosti teksta. Zahvaljujeva
se prof. Mileni Milanovič, ki je pomagala izpiliti nelahek
jezik. Posebna hvala gre mag. Jože Mohorku in dr. Bojanu
Gergiču za natančno čitanje ”krtačnega odtisa”, za vse pripombe
in za ponoven preračun vseh primerov.
Maribor, marec 2000
Žarko Čučej
Peter Planinšič

iv
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Kazalo
Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Izražanje signalov z baznimi funkcijami . . ii
Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Uvod 1
1.1 Uporaba teorije signalov . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Odelava signalov . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Komunikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Regulacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Razlikovanje med informacijami, signali in
prenosnimi mediji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Signali 7
2.1 Vrste signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Periodični - aperiodični signali . . . . . . . 8
2.1.2 Naključni - nenaključni signali . . . . . . . 9
2.1.3 Zvezni - nezvezni (diskretni) signali . . . . . 9
Zvezni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Amplitudno diskretni signali . . . . . . . . 9
Časovno diskretni signali . . . . . . . . . . 9
Amplitudno in časovno diskretni signali . . 9
Digitalni signali . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Binarni signali . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Realni - kompleksni signali . . . . . . . . . 10
2.2 Primeri pomembnih signalov . . . . . . . . . . . . 11
Diskretni enotski impulz . . . . . . . . . . . 11
Enotska stopnica . . . . . . . . . . . . . . . 11
v

vi
KAZALO
Klanec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Pravokotni pulz . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Trikotni pulz . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Razlika med impulzi in pulzi . . . . . . . . 12
2.3 Matematični opisi signalov . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Elementarne operacije nad signali . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Transformacija signalnega območja . . . . . 17
2.4.2 Kvantizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Transformacija signalne osi . . . . . . . . . 20
2.4.4 Premik po signalni osi . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Soda in liha simetričnost signala . . . . . . . . . . 22
2.6 Linearni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Norme signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.1 Norme v prostoru L . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.2 Fizikalni pomen norm . . . . . . . . . . . . 27
2.7.3 Moč signala, efektivna in
povprečna vrednost signala . . . . . . . . . 28
Trenutna moč signala . . . . . . . . . . . . 29
Trenutna medsebojna moč dveh signalov . . 29
Povprečna moč . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Povprečna moč časovno neomejenih signalov 31
Efektivna vrednost signala . . . . . . . . . . 31
Povprečna vrednost signala . . . . . . . . . 32
2.7.4 Drugi izrek o povprečni vrednosti . . . . . . 33
2.8 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8.1 Skalarni produkt v prostoru l . . . . . . . . 37
2.8.2 Skalarni produkt v prostoru L . . . . . . . 38
2.8.3 Cauchy-Schwartzova neenakost . . . . . . . 39
2.8.4 Signalni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9 Podobnost signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.9.1 Koncept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9.2 Korelacija pri aperiodičnih signalih . . . . . 42
2.9.3 Korelacija pri periodičnih signalih . . . . . 44
2.9.4 Korelacija pri kompleksnih aperiodičnih
signalih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.5 Izračun energije in moči s korelacijo . . . . 45
2.9.6 Robni efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9.7 Korelacijski koeficient . . . . . . . . . . . . 48
2.10 Posplošeni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.10.1 Osnove teorije singularnih funkcij . . . . . . 50
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

KAZALO
vii
Vrednost signala v trenutku t = 0 . . . . . . 50
Vrednost signala v trenutku t = a . . . . . . 51
2.10.2 Linearne kombinacije delta funkcij . . . . . 52
Seštevanje in množenje s skalarjem . . . . . 52
Vzorčenje signalov . . . . . . . . . . . . . . 53
Odvod Diracovega impulza . . . . . . . . . 53
2.10.3 Povezava med enotsko stopnico
in Diracovim impulzom . . . . . . . . . . . 54
3 Izražanje signalov z baznimi funkcijami 57
3.1 Aproksimacija signalov z bazno funkcijo . . . . . . 58
3.2 Aproksimacija signalov z linearno kombinacijo
baznih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami . . . 62
3.3.1 Izražanje signalov z
ortonormiranimi zaporedji . . . . . . . . . . 63
Določitev koeficientov c n s pomočjo
ortogonalnosti . . . . . . . . . . . 63
Določitev koeficientov c n po metodi
najmanjšega kvadratičnega
pogreška . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Parsevalova identiteta . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Ortogonalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Pregled nekaterih ortogonalnih funkcij . . . 67
3.4.2 Walsheve funkcije . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.3 Gram - Schmidtov postopek . . . . . . . . . 71
3.5 Signalni prostor (drugič) . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.1 Vektorski prostor . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2 Signalni prostor je vektorski prostor . . . . 76
3.5.3 Predstavitev signalov kot vektorjev . . . . . 76
4 Sistemi 77
4.1 Vhodno-izhodni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Primeri sistemov . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.2 Časovno zvezni in časovno diskretni sistemi 80
4.1.3 Povezovanje sistemov . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Sistemi s povratno zanko . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Lastnosti sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Sistem s pomnjenjem . . . . . . . . . . . . . 84
Invertibilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

viii
KAZALO
Inverzni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Vzročnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Stabilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Časovna neodvisnost . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.1 Odziv linearnega časovno diskretnega
sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.2 Odziv linearnega časovno
neodvisnega zveznega sistema . . . . . . . . 91
4.4.3 Konvolucija ali pregib . . . . . . . . . . . . 93
Konvolucijski sistemi . . . . . . . . . . . . . 94
Pregib . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.4 Impulzni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Lastnosti konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Komutativnost . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Asociativnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Distributivnost . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Komutativnost množenja s skalarjem . . . . 100
Premik funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Lastnosti odvajanja . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.1 Konvolucija signala z Diracovim impulzom 101
4.5.2 Konvolucija signala z odvodom Diracovega
impulza . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6 Obstoj konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7 Zaključek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Seznam oznak 105
Literatura 107
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Poglavje 1
Uvod
S signali pojmujemo abstraktni opis poteka nekega razvijajočega
se fizikalnega procesa, kot ga lahko opazujemo neposredno s čutili
ali posredno z izvajanjem meritev fizikalne količine, ki nas zanima.
Torej nas signali ”informirajo”, kaj se z nekim procesom
dogaja oziroma lahko z njim o tem sporočamo. Povedano
drugače, signali so nosilci informacij. In kaj je informacija? Danes
govorimo, da je informacija poleg mase in energije tretja najpomembnejša
osnovna veličina. Njen pomen z razvojem računalništva,
ki omogoča avtomatsko obdelavo informacij, nenehno
raste. Današnjo dobo nekateri opisujejo tudi kot informacijsko
dobo. Z informacijami na splošno se ukvarja teorija informacij,
v tej knjigi pa je predstavljen uvod v teorijo signalov. Teorijo
signalov uporabimo, ko želimo iz signalov izluščiti informacijo, ki
jo nosijo, ali pa informacijo vpisati, ko jo želimo z njimi prenesti.
V tej knjigi so opisani uvodni pojmi iz teorije signalov. Ti
obsegajo razdelitev signalov v značilne skupine, elementarne signale,
načine njihovega opisovanja, mere značilnih lastnosti signalov,
mere podobnosti, ortogonalne funkcije in zapis signalov
z ortogonalnimi funkcijami. Zapis zaključuje opis sistemov. Ti
so pomembni zato, ker z njimi signale obdelujemo.
1.1 Uporaba teorije signalov
Teorija signalov in teorija sistemov se uporabljata v mnogih področjih
znanosti in tehnike. V tem razdelku bomo opisali tri
1

2 1. Uvod
primere uporabe teorije signalov. Primeri so s področja obdelave
signalov, komunikacij in regulacij.
1.1.1 Odelava signalov
Značilni problem, ki ga rešujemo z obdelavo signalov, je odstranjevanje
neželenega šuma v signalu. Tega na primer želimo odstraniti
v sprejemniku telefonskega signala, vhodnem ojačevalniku
magnetofona in podobno. Model, s katerim običajno opišemo
problem, ima naslednjo matematično obliko:
v = s + n ,
kjer so v sprejeti signal, s poslani signali in n šum, ki se je dodal
- prištel - k signalu.
Kako razdvojiti signal od šuma? Šum skušamo odstraniti
ali vsaj zelo zmanjšati s sitom (slika 1.1-1), s katerim presejemo
sprejeti signal. Izhod sita je signal y, za katerega želimo, da je
enak oziroma bolj podoben poslanemu signalu, kot je bil sprejeti
signal.
Slika 1.1-1
Problem načrtovanja
vhodnega sita za izločevanje
šuma.
signal
s
šum
n
sprejeti
signal
v = s+n
sito
izsejani
signal
y
Pri načrtovanju sita predpostavimo, da je energija šuma koncentrirana
v višjem frekvenčnem področju kot je večina energije
signala, torej da je spreminjanje vrednosti šuma mnogo hitrejše
kot je spreminjanje vrednosti signala. Če iz sprejetega signala
odrežemo komponente, ki so nad določeno frekvenco, signal zgladimo.
S tem sicer odstranimo določeno količino šuma, hkrati pa
spremenimo tudi signal. Močnejši je učinek glajenja, več šuma
odstranimo, hkrati pa bolj spremenimo signal. Zato v takih primerih
vedno iščemo kompromis. Pri tem si pomagamo s teorijo
signalov, s katero proučujemo učinek sita na potek signala.
1.1.2 Komunikacije
Pri komunikacijah imamo opravka s prenosom sporočil, ki so vpisane
v obliki na primer radijskega ali televizijskega signala, ali pa
zapisana v toku podatkov, ki oblikujejo izbrani signal - nosilec
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

1.1 Uporaba teorije signalov 3
informacije. Pri tem mnogokrat zahtevamo prenos signalov na
večje razdalje.
Ponavadi so originalni signali neprimerni za prenos na večje
razdalje, zato jih ”nasadimo”na poseben signal, ki ga imenujemo
nosilec. Nosilec izberemo tako, da je primeren tudi za prenose
na zelo velike razdalje. Proces ”nasajanja”informacije na nosilec
imenujemo modulacija. Rezultat modulacije je modulirani signal,
ki se potem širi po prenosnem mediju. Ta je lahko kovinski
vodnik, svetlo(bo)vodnik, prostor ali drugi medij. Na sprejemni
strani poslano sporočilo izluščimo iz moduliranega signala s
postopkom, ki je inverzen modulaciji, zato ga imenujemo demodulacija.
Modulacija in demodulacija se izvedeta v napravah, ki jih
imenujemo modulatorji oziroma demodulatorji (slika 1.1-2). Te
naprave svoji funkciji izvajata tako, da so neželene posledice prenosa
- to je šum, ki se prišteje signalu - odstranjene v največji
možni meri. Tudi pri tem si pomagamo s teorijo signalov. Z njeno
pomočjo lahko na primer načrtamo optimalni sprejemnik, ki maksimira
razmerje med amplitudo signala in povprečno energijo
šuma.
modulacijski
signal s
modulator
nosilec
modulirani
signal x
prenosni
medij
demodulator
sprejeti
signal y
Slika 1.1-2
Prenos informacije z
modulacijo nosilca.
Postopek modulacije si oglejmo na primeru amplitudne modulacije,
ko informacijo določa digitalni signal m, ki ga imenujemo
tudi modulacijski signal, nosilec pa je sinusni val z visoko
frekvenco (slika 1.1-3). Vidimo, da je rezultat modulacijskega
postopka signal, katerega amplituda ni več konstantna, ampak
je odvisna od modulacijskega signala. Lastnosti takega signala
določimo s pomočjo teorije signalov.
Modulacijski in demodulacijski postopki so zelo pomemben
del komunikacijske teorije. Poznamo jih celo vrsto, od tako imenovanih
amplitudnih, kotnih pa vse do digitalnih modulacij, katere
primer smo pokazali na sliki 1.1-3. Posebna zvrst modulacij
so modulacije z razprševanjem spektra.

4 1. Uvod
modulacijski signal (informacija)
Slika 1.1-3
Primer modulacijskega in
moduliranega signala. Nosilec
je sinusni val.
1
0
-1
modulirani signal
3
0
-3
t
t
1.1.3 Regulacije
Pri regulacijah želimo načrtati naprave, ki samodejno vplivajo
na dinamične lastnosti danega sistema. To dosežemo s sklenitvijo
povratne zanke, to je s krmiljenjem sistema z razliko med
želenim in izhodnim signalom. S tem skušamo odpraviti odstopanje
od želenega obnašanja oziroma lastnosti (slika 1.1-4). Izbira
primernega regulatorja je osrednji problem teorije regulacij. S
povratno zanko se bomo bežno srečali pri obravnavi sistemov.
Slika 1.1-4
Uravnavanje dinamičnih
lastnosti sistema z regulacijo.
referenèni
signal v
regulacijsko
odstopanje
v - y
regulator
regulirni
signal x
regulirani
objekt
signal
regulirane
kolièine
y
Komunikacije in regulacije danes obravnavamo kot samostojni
znanstveni disciplini. S prvimi se predvsem ukvarjajo komunikacijski
inženirji, z drugimi pa inženirji avtomatike. Obe disciplini
pa imata isto izhodišče: teorijo signalov. Še več, težko je najti
komunikacijsko napravo ali postopek, ki ne bi vseboval elementov
regulacij. Pri regulacijah pa morajo regulatorji in regulirani
objekti medsebojno izmenjevati informacije o svojem stanju, torej
morajo medsebojno komunicirati. Danes obstajajo mnogi sistemi
vodenja, kjer so regulacije porazdeljene, njihovi gradniki pa
so medsebojno povezani z ustreznimi komunikacijskimi sistemi.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

1.2 Sistemi 5
1.2 Sistemi
S terminom sistemi opredeljujemo vsak del okolja, ki ustvarja
signale oziroma se nanje odziva. Primer sistema je električno
vezje. V njem so lahko signali električne napetosti in tokovi,
magnetni pretoki ali električni naboji. Poleg električnih sistemov
so še na primer mehanski, kjer so signali na primer hitrost
gibanja objekta, hitrost vrtenja, pospešek itd. Iz teh primerov
lahko zaključimo, da so signali tesno povezani s sistemi. Določajo
jih interni procesi sistemov. Na primer napetosti in tokovi so z
električnim vezjem povezani z elektromagnetnimi zakoni; lega,
hitrost, pospešek so z mehanskim sistemom povezani z Newtonovimi
zakoni itd. Povezave med sistemi in signali, ki so z njimi
povezani, imenujemo zakonitosti sistema. Zakonitosti sistemov
tudi določajo, kako se sistem odzove na določen signal. Odziv
sistema je spet signal, zato lahko s sistemi signale preoblikujemo
oziroma jih obdelujemo. V tej zvezi ni teorija obdelave signalov
nič drugega kot skupek zakonitosti, ki povezujejo sisteme in
signale.
1.3 Razlikovanje med informacijami,
signali in prenosnimi mediji
V prvem odstavku smo signal opredelili kot abstraktni opis poteka
nekega fizikalnega procesa. Dodali smo, da nas signali informirajo,
kako poteka proces ter jih zato obravnavamo kot nosilce
informacij. Še v isti sapi pa smo dodali, da nas informacije ne
zanimajo, ter da se bomo ukvarjali le s signali.
Zato se seveda takoj postavi vprašanje, kako razlikovati med
informacijami in signali. Dejansko imamo opraviti z več pojmi,
katere bomo skušali na kratko tako pojasniti, da jih bomo razumeli
in zlahka medsebojno razlikovali.
Informacija
V vsakodnevnem življenju se pogosto srečujemo z
”informacijami”. Ta pojem pogosto uporabljamo
zelo ohlapno, zato poglejmo, kaj o njem pravi Slovenski
slovar knjižnega jezika:
”Informacija je, kar se o določeni stvari pove.”
Torej so informacije nova dejstva, pojasnila, razna

6 1. Uvod
Signal
Nosilec
signala
Prenosni
medij
sporočila in drugo. Takoj pa poudarimo, da informacije
niso znanje ali razumevanje. Za to so potrebni
miselni procesi, oziroma (naravna ali umetna) inteligenca.
Na informacije lahko gledamo z različnih vidikov, od
splošnega filozofskega stališča pa do povsem tehniškega.
S tehniškega stališča so informacije množica
elementov, ki predstavljajo podatke, nova dejstva,
pojasnila, merilne rezultate in podobno. To množico
imenujemo informacijska množica ali tudi informacijski
prostor.
Akademik prof. Ludvig Gyergyek je v svoji knjigi Signali
in statistične metode [16] zapisal, da so signali
kočije, ki vozijo informacije. Z drugimi besedami,
informacije določajo potek signala. Ker za opis poteka
uporabljamo funkcije, je signal kar sinonim za
(časovne) funkcije.
Nosilec signala je fizikalna količina, katere potek določa
signal. Zato mnogokrat govorimo o električnem,
akustičnem, svetlobnem, . . . signalu.
Prenosni medij je snov, po kateri se širi nosilec signala.
Snov ima lahko posebno obliko, na primer
kovinski vodnik, valovod, svetlovodnik.
Elektromagnetno valovanje, tako radijsko kot tudi
svetloba, za svoje širjenje ne potrebujeta posebnega
medija. Širi se lahko tudi po praznem prostoru. Ker
sprva to znanstvenikom ni bilo razumljivo, so predpostavljali,
da je ves prostor zapolnjen s posebnim
fluidom, po katerem se širi svetloba (oziroma elektromagnetno
valovanje na splošno). Zato še danes
pogosto rečemo, da radijski program oddajamo v
”eter”.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Poglavje 2
Signali
Kako predstaviti oziroma opisati signal? V ta namen uporabljamo
matematične funkcije. Ko je potek signalov odvisen od
časa - večina signalov, ki jih bomo obravnavali, bo takšnih - so
funkcije časovne funkcije. Zato bomo časovne signale večinoma
označevali z
x(t) .
Pri tem je čas t argument, ki zajema svoje vrednosti iz definicijskega
območja signala. To območje imenujemo tudi signalna os
in jo bomo v primeru časovnih signalov označevali s:
T : signalna os signala x(t) .
Vrednosti x(t) določajo območje signala A, ki ga imenujemo tudi
amplitudni razmah signala. S tem dogovorom lahko signale predstavimo
z grafi. Ti so pri ponazarjanju funkcij običajni. Na primer
signal, ki ga opišemo s funkcijo x(t) = 1 + sin t, t ∈ [0, π],
kaže slika 2.0-1.
signalno obmoèje
2
1
0
0 p/2 p
signalna os
Slika 2.0-1
Graf signala
x(t) = 1 + sin t , t ∈ [0, π].
7

8 2. Signali
Sklepamo lahko, da bomo pri obdelavi signalov uporabljali
teorijo funkcij oziroma da bomo pri tem izkoriščali tiste lastnosti
funkcij, ki bodo vodile do želenih rezultatov obdelave. Zato takoj
definirajmo signal v matematičnem jeziku:
DEFINICIJA 1
Če je A množica realnih števil in T podmnožica realnih števil,
potem vsaka funkcija, ki preslikuje x : T → A, določa signal s
signalno osjo T in s signalnim območjem A.
Množico vseh signalov s signalno osjo T in s signalnim območjem
A določa množica vseh funkcij, ki preslikujejo T v A. To množico
označimo z {x : T → A} ali s krajšim zapisom s potenčno
množico:
A T .
Iz matematike nam je znano, da obstaja neskončno funkcij. Tako
je za opis signalov na voljo obsežno, raznoliko, predvsem pa
učinkovito orodje, ki ga bomo s pridom uporabili tako pri analizi
in sintezi signalov, kakor tudi pri njihovem prepoznavanju
(detekciji) oziroma medsebojnem razlikovanju.
2.1 Vrste signalov
Preden se bomo podrobneje spoznali z opisom signalov, si oglejmo
nekatere razdelitve signalov. Razvrstitev ali klasifikacijo signalov
lahko izvedemo na več načinov. Oglejmo si le najbolj pogoste.
2.1.1 Periodični - aperiodični signali
Periodični signal je tisti, pri katerem se v enakih časovnih intervalih
ponavlja zaporedje njegovih vrednosti. Interval ponavljanja
imenujemo perioda signala. Signal x(t) je periodičen, če obstaja
neko število T , ki izpolni enačbo:
x(t) = x(t + T ) = x(t + 2T ) = x(t + 3T ) = · · · (2.1-1)
pri neomejeno veliki signalni osi T. Najmanjše pozitivno število
T , ki ustreza enačbi (2.1-1), je osnovna perioda in določa trajanje
ene periode ali cikla signala. Frekvenca periodičnega signala je
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.1 Vrste signalov 9
število ponovitev signala v eni sekundi, torej:
f = 1 T .
Aperiodični signal je tisti, pri katerem ni možno najti nobene
vrednosti T , ki bi izpolnila (2.1-1). To je zelo pomembna skupina
signalov, saj so v naravi vsi signali aperiodični. Signali, ki jih
rojevajo fizikalni procesi, imajo svoj začetek (in verjetno tudi svoj
konec), zato ne morejo, kljub temu, da v določenem časovnem
segmentu izpolnijo pogoj (2.1-1), povsem zadostiti temu pogoju.
2.1.2 Naključni - nenaključni signali
Naključni ali stohastični signali so preprosto povedano signali,
za katere obstaja določena stopnja nezanesljivosti, da bo signal
nastopil ali da bo zavzel določeno vrednost. Če ne moremo napovedati
vrednosti signala v naslednjem trenutku, tudi če poznamo
njegovo preteklost do tega trenutka, tedaj signala ni mogoče opisati
v eksplicitni matematični obliki.
Nenaključni ali deterministični signali so tisti, pri katerih
ni nedoločenosti o njihovem nastanku in poteku. Skoraj v vseh
primerih lahko deterministične signale predstavimo v eksplicitni
matematični obliki.
2.1.3 Zvezni - nezvezni (diskretni) signali
Druga pomembna delitev signalov izhaja iz amplitudne oblike in
časovne ločljivosti signalov (tabela 2.1). Glede na to delitev so
se pri obdelavi signalov uveljavile posebne oznake in poimenovanja,
ki jih podajamo v nadaljnjih podrazdelkih.
Zvezni signali Ti signali so po času in amplitudi zvezne funkcije.
Pri analognem signalu smejo amplitude znotraj vnaprej
predpisanega signalnega območja zavzeti poljubno vrednost.
Amplitudno diskretni signali To so signali, katerih amplitude
lahko imajo le diskretne vrednosti, vrednost amplitude pa
je znana v vsakem trenutku obstoja signala.
Časovno diskretni signali Pri teh signalih so vrednosti amplitud
znane le v diskretnih časovnih trenutkih.
Amplitudno in časovno diskretni signali Te signale pogosto
imenujemo kar diskretni signali. Njihove amplitude lahko

10 2. Signali
Tabela 2.1
Delitev signalov po amplitudni in časovni ločljivosti.
čas
amplituda zvezen diskreten
zvezna
x( t)
x( nT)
x( t)
t
T
t
diskretna
x t q ( )
x( t)
x n q ( )
x q (t)
t
t
zavzamejo le diskretne vrednosti, določene pa so v diskretnih
časovnih trenutkih.
Digitalni signali To so diskretni signali, ki imajo svojo vrednost
podano s številko (s končnim številom cifer).
Binarni signali To je posebna oblika digitalnih signalov, kjer
amplituda lahko ima le dve diskretni vrednosti.
2.1.4 Realni - kompleksni signali
Glede na to, ali signalno območje A zajema vrednosti iz množice
realnih ali množice kompleksnih števil, ločimo realne in kompleksne
signale:
realni signali: A = R
kompleksni signali: A = C
OPOMBA 2-1 V tekstu bomo pri označevanju številskih množic uporabljali
naslednje uveljavljene oznake:
N :
naravna števila
Z : cela števila → Z + : nenegativna
Z − : nepozitivna
R :
Z :
realna števila
cela števila
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.2 Primeri pomembnih signalov 11
2.2 Primeri pomembnih signalov
Med vsemi signali je skupina signalov, ki imajo v obdelavi signalov
in pri obravnavi sistemov za obdelavo signalov poseben,
praktični pomen. Za nekatere med njimi so se uveljavila tudi
posebna imena in oznake.
Diskretni enotski impulz Diskretni enotski impulz je določen
z:
{
1 pri n = 0
∆(n) =
n ∈ T , (2.2-1)
0 drugje
kjer je lahko T poljubna diskretna časovna os, ki svoje vrednosti
zajema iz množic N, Z + ali Z − . Diskretni enotski impulz imenujemo
tudi Kroneckerjev impulz. Njegov graf kaže slika 2.2-1.
D
1
0
-1 0 1 2 3 t
Slika 2.2-1
Diskretni enotski impulz.
Enotska stopnica Enotska stopnica je definirana z:
{
1 t 0
u(t) =
t ∈ T = R , (2.2-2)
0 t < 0
Njen graf kaže slika 2.2-2.
1
u( t) Slika 2.2-2
Enotska stopnica
0
-1 0 1 2 3 t
Klanec Klanec je definiran z:
{
t t 0
ramp(t) =
0 t < 0
t ∈ T = R , (2.2-3)
Njen graf kaže slika 2.2-3.

12 2. Signali
Slika 2.2-3
Klanec
ramp
1
0
-1 0 1 2 3 t
Pravokotni pulz Pravokotni pulz je definirana z:
{
1 −1/2 t < 1/2
rect(t) =
t ∈ T = R , (2.2-4)
0 drugje
Njegov graf kaže slika 2.2-4.
Slika 2.2-4
Pravokotni pulz
rect
1
0
-1/2 0 1/2 t
Trikotni pulz Trikotni pulz je definirana z:
{
1 − |t| pri |t| < 1
trian(t) =
t ∈ T = R , (2.2-5)
0 drugje
Njegov graf pa kaže slika 2.2-4.
Slika 2.2-5
Trikotni pulz
trian
1
0
-1 0 1 t
2.2.1 Razlika med impulzi in pulzi
V predstvitvi pomembnih signalov smo uporabili dva termina:
impulz in pulz. Kakšna razlika pa je med njima? Iz prikazov na
slikah 2.2-1 - 2.2-5 lahko uvidimo, da je med njimi bistvena razlika
v njihovem trajanju. Med tem ko je diskretni impulz trenutnega
trajanja, torej ničte dolžine, so pulzi merljive dolžine.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.3 Matematični opisi signalov 13
V naravi lahko ustvarjamo le pulze, impulza sta le izjemno
pomembna matematična pripomočka. V teoriji signalov uporabljamo
dva impulza: diskretni ali Kroneckerjev impulz ter Diracov
ali δ impulz. Slednjega bomo spoznali kasneje pri obravnavi
posplošenih funkcij. Omenimo le, da je Kroneckerjev impulz diskretna
prireditev Diracovega impulza.
2.3 Matematični opisi signalov
Pri prikazu pogosto uporabljanih signalov smo podali tudi njihove
matematične opise. V tem razdelku bomo te opise razširili
in sistematizirali. Pokazali bomo tehnike opisov signalov, ki jih
bomo kasneje, pri analizi signalov, s pridom uporabili.
ZGLED 2.3-1 Risanje signalov z znanimi grafi
Narišimo graf signala:
x(t) = 3u(t) + t · u(t) − (t − 1) · u(t − 1) − 5u(t − 2) . (2.3-1)
Grafe členov (2.3-1) kaže slika 2.3-1a, graf signala pa slika 2.3-1b.
a
x( t)
4
2
3u( t)
tu( t)
0
-( t -1) ◊u( t -1)
-2
-4
-5u( t - 2)
b
x( t)
4
2
0
1
2
3
4
t
0
-2
0
1
2
Slika 2.3-1
Primer konstrukcije grafa signala, a: sestavine signala, b: signal
3
4
t

14 2. Signali
Posamezne člene x(t) v (2.3-1) določajo funkcije:
{
3 t 0
3u(t) =
t · u(t) =
0 t < 0
{
t − 1 t 1
−(t − 1) · u(t − 1) =
−5u(t − 2) =
0 t < 1
{
t t 0
0 t < 0
{
5 t 2
0 t < 2
Z njimi opišemo x(t) kot vsoto segmentov signala, ki jih določajo zgornje funkcije:
t < 0 : x(t) = 0 + 0 − 0 − 0 = 0
0 1 : x(t) = 3 + t − 0 − 0 = 3 + t
1 2 : x(t) = 3 + t − (t − 1) − 0 = 4
2 : x(t) = 3 + t − (t − 1) − 5 = −1
Vidimo, da se dobljeni zapis signala ujema z grafom na sliki 2.3-1b.
♦
V primeru 2.3-1 smo pokazali konstrukcijo grafa signala z
odseki premic. Premico, ki gre skozi točko P 1 (x 1 , t 1 ) in oklepa s
pozitivno smerjo osi t (signalno osjo) kot ϕ (slika 2.3-2), določa
x
P1 ( x1, t1
)
Slika 2.3-2
Graf premice
x 1
x 2
P0 ( x0, t0
)
t 0
x x
, tan
k
t1 t0
t
t 1
1 0
enačba:
x − x 1 = k(t − t 1 ) kjer je k = tan ϕ . (2.3-2)
Strmino premice izračunamo z izbiro dveh točk na premici, na
primer P 1 (x 1 , t 1 ) in P 0 (x 0 , t 0 ):
k = x 1 − x 0
t 1 − t 0
. (2.3-3)
Tehniko pisanja enačb za funkcije, ki jih sestavljajo odseki premic,
bomo pokazali na primeru signala s slike 2.3-3. Strmine
daljic, ki opisujejo signal v posameznih odsekih, so označene s
k i . Zapis daljic, ki opisujejo potek signala v posameznih segmentih
signala x(t), je preprost. Zanje uporabimo (2.3-2) in (2.3-3),
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.3 Matematični opisi signalov 15
x
P 1
k
k 2
k
P 3
1
2
P 0
t 0 t 1 t t
2
Slika 2.3-3
Graf signala
kjer za P i−1 (x i−1 , t i−1 ) izberemo začetno točko opazovanega segmenta,
za P i (x i , t i ) pa končno točko. Za prvi segment signala
x(t) s slike 2.3-3 lahko opišemo s poltrakom x 1 (t), lahko zapišemo:
x(t 0 < t t 1 ) = x 1 (t) = k 1 (t − t 0 )u(t − t 0 ) , (2.3-4)
kjer smo z množenjem z zamaknjeno enotsko stopnico u(t − t 0 )
dosegli, da je signal za t < t 0 enak nič. Drugi segment signala
x(t), ki leži nad intervalom t 1 < t t 2 , opišemo s poltrakom,
ki ima izhodišče v točki s koordinatami (0, t 1 ) ter v intervalu
t 1 t < t 2 poteka vzporedno s signalom. Zanj velja:
x 2 (t) = k 2 (t − t 1 )u(t − t 1 ) . (2.3-5)
Hitro uvidimo, da seštevek x 1 (t)+x 2 (t) ne da poteka signala x(t)
na intervalu (t 0 , t 2 ). Da ga dobimo, moramo v drugem segmentu
odšteti še strmino signala, ki prihaja iz prvega segmenta:
x(t 1 < t t 2 ) = x 1 (t) −x 1 (t − t 1 ) +x
} {{ } 2 (t)
izravnava x 1 (t)
= k 1 (t − t 0 )u(t − t 0 ) − k 1 (t − t 1 )u(t − t 1 )
+ k 2 (t − t 1 )u(t − t 1 )
= k 1 (t − t 0 )u(t − t 0 ) + (k 2 − k 1 )(t − t 1 )u(t − t 1 ) .
Podobno velja za tretji segment. Poltrak, ki poteka skozi točko
s koordinatama (0, t 2 ) in vzporedno s potekom signala v tem
segmentu, je:
x 3 (t) = k 3 (t − t 2 ) · u(t − t 2 ) .
Potek signala v tem segmentu pa izračunamo na enak način kot
v drugem segmentu. Torej:
x(t 2 t < t 3 ) = x 1 (t) − x 1 (t − t 1 ) + x 2 (t) − x
} {{ } 2 (t − t 2 ) + x 3 (t)
} {{ }
x(t 1 t

16 2. Signali
in po upoštevanju (2.3-4) in (2.3-5) uredimo v:
x(t) = k 1 (t − t 0 )u(t − t 0 ) + (k 2 − k 1 )(t − t 1 )u(t − t 1 )−
k 2 (t − t 2 )u(t − t 2 ) + k 3 (t − t 2 )u(t − t 2 )
= k 1 (t − t 0 )u(t − t 0 ) + (k 2 − k 1 )(t − t 1 )u(t − t 1 )+
(k 3 − k 2 )(t − t 2 )u(t − t 2 ) .
Dobljeni rezultat velja na splošno za signale, ki jih lahko
opišemo z daljicami. Tako vidimo, da lahko tudi zahtevne oblike
opišemo z vsoto členov, ki opisujejo potek posameznih segmentov
poteka signala. Pri tem moramo poudariti:
Prikazana tehnika matematičnega opisa signalov velja le za deterministične
zvezne signale.
Postopek je precejšnjega praktičnega pomena, saj je na takšen
način modeliranih mnogo fizikalnih signalov. Opis omogoča določitev
mnogih lastnosti signalov, ki jih bomo opisali v nadaljevanju
knjige.
Seveda pa to ni edini način za opis teh signalov. V nadaljevanju
te knjige bomo izpeljali še kvantitativni opis signalov z
baznimi funkcijami, na katerem pravzaprav sloni večina teorije
obdelave signalov. Njej je posvečena vsa druga knjiga Teorije
signalov. V njej so opisane Fourierove vrste ter Fourierova in Laplaceova
transformacija. Opisano metodo matematičnega opisa
signalov utrdimo še z zgledom:
ZGLED 2.3-2 Enačba žagastega signala
Žagasti signal je zelo pogosta oblika signala v elektroniki. Z napetostjo žagaste
oblike na primer odklanjamo elektronski curek v zaslonski cevi osciloskopa. Podobno
funkcijo ima tok žagaste oblike pri televizijskih ekranih. Primer žagaste
napetosti kaže slika 2.3-4.
Slika 2.3-4
Graf žagaste napetosti
V
x( t)
0
-T
0 T 2T t
S slike vidimo, da je signal periodičen s periodo T .
določena s:
k = V T ,
Strmina signala je
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.4 Elementarne operacije nad signali 17
traja pa čas periode T . Za segment med 0 in T lahko torej pišemo:
x 1(t) = V t[u(t) − u(t − T )]
T
( )
= V t −
T
T t rect 2
.
T
x 1(t) je definiran na intervalu [0, T ]. Ker je periodični signal, lahko njegov zapis
posplošimo za interval [nT , (n + 1)T ]:
x n(t) = x 1(t − nT ) = = V (t − nT )[u(t − nT ) − u(t − (n + 1)T )]
T
( )
= V t − nT −
T
T (t − nT ) rect 2
. (2.3-6)
T
Zgornja enačba velja tako pri pozitivnih kot pri negativnih n. Če seštejemo zapise
za posamezne segmente, dobimo:
x(t) =
∞∑
n=−∞
x 1(t − nT ) ,
kjer je x 1(t − nT ) opisan v (2.3-6).
♦
2.4 Elementarne operacije
nad časovnimi signali
V tem razdelku so opisane osnovne operacije, s katerimi preoblikujemo
signale. Razlikovali bomo operacije, ki se izvajajo na
(enem) signalu in operacije nad dvema signaloma. Med prve operacije
spadajo na primer transformacija signalnega in časovnega
območja, vzorčenje, interpolacija in kvantizacija, med druge pa
seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje dveh signalov.
2.4.1 Transformacija signalnega območja
S transformacijo signalnega območja spremenimo amplitudni razmah
signala. Transformacijo signalnega območja imenujemo tudi
amplitudna transformacija. Zgodi se na primer pri ojačanju signala.
Nekateri ojačevalniki lahko poleg ojačanja premaknejo še
signalno območje s prištetjem ali odštetjem konstantnega (enosmernega)
signala, lahko pa spremenijo tudi predznak signala.

18 2. Signali
DEFINICIJA 2 (Transformacija signalnega območja)
Transformacija signalnega območja je preslikava T : A star →
A nov , kjer je A star originalni amplitudni razmah signala, ki izvede
skaliranje in/ali premaknitev originalnega signalnega območja.
Transformacija T torej preslika signal x star ∈ A T star v signal
x nov ∈ A T nov. Definirana je z:
x nov (t) = T [x star (t)] ,
t ∈ T
= A · x star + B . (2.4-1)
kjer je A skalirni faktor in B premik signalnega območja.
ZGLED 2.4-1 Transformacija signalnega območja
Izvedimo amplitudno transformacijo signala rect(t) z izbiro: A = −2 in B = 0,
in A = −2 in B = 2.
1
x star
1
x star
0 0
-1/2 0 1/2 t
A 2
-1/2 0 1/2
2 2
x nov
x nov
0 0
t
A 2
B 2
-1 -1
-2 -2
-1/2 0 1/2 t
-1/2 0 1/2
Slika 2.4-1
Amplitudna transformacija: levo: A = −2 in B = 0, desno: A = −2 in B = 2.
t
S slike 2.4-1 vidimo, da skaliranje izvede množilnik, premik pa seštevalnik.
Oba elementa sta pri analognih signalih ponavadi izvedena z ustrezno vezavo
operacijskega ojačevalnika.
♦
2.4.2 Kvantizacija
Pomembna transformacija amplitudnega razmaha signala je kvantizacija.
To transformacijo potrebujemo, ko želimo obdelati signal
z digitalnim računalnikom. Digitalni računalniki lahko obravnavajo
le signale s končnim številom možnih vrednosti amplitude.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.4 Elementarne operacije nad signali 19
DEFINICIJA 3 (Kvantizacija)
Vsaka transformacija (končnega) amplitudnega razmaha signala,
ki povzroči, da ima A nov končno število vrednosti, se imenuje
kvantizacija.
ZGLED 2.4-2 Uniformna kvantizacija
Predpostavimo, da velja A star = R (torej transformacija zajema svoje vrednosti
iz zaloge realnih števil). Transformacijo T : R → Z + · q amplitudnega razmaha
signala izvedemo tako, da bo nov amplitudni razmah signala določen z A nov =
Z + · q = {0, q, 2q, · · · , Nq}. V tem primeru je transformacija T določena z:
⎧
⎪⎨ ⌊
0 x < 0,
x
x q =
q + 1 ⌋
0 x < (N − 1
2 )q,
(2.4-2)
2
⎪⎩
Nq x (N − 1 )q, 2
kjer ⌊ ⌋ označuje funkcijo, ki zaokroži realno število x na največje naravno število,
ki je enako ali manjše od x; N je celo število, q pa je pozitivno število, ki ga
imenujemo kvantizacijski interval ali tudi kvantizacijski korak. Grafični prikaz
transformacije T je na sliki 2.4-2.
Nq
T
x q
( N -1)
q
2q
q
0
0 q 2q
( N - 1+
1 ) q
2
( N -1-
1 ) q ( N -1)
q
2
x
x ŒR
x Z ◊ q
q Œ
+
Slika 2.4-2
Transformacija amplitudnega
razmaha signala pri uniformni
kvantizaciji
Prikazana kvantizacija odreže vse vrednosti signala, ki so manjše od 1 2 q
in omeji maksimalno vrednost na Nq. Učinek uniformne kvantizacije z osmimi
kvantizacijskimi intervali na signal x(t) = 1/2[1 − cos(2πt)], t ∈ R kaže slika
1 1
signal: x( t)
kvantiziran
Slika 2.4-3
1
cos( t)
signal: xq t Uniformna kvantizacija, levo:
2
2.4-3. Tu je N = 8 in q = 1 . 8
0 0
originalni signal, desno:
kvantizirani signal
0 èas
1 0 èas
1

20 2. Signali
To kvantizacijo imenujemo uniformna zato, ker so vsi kvantizacijski intervali
enaki. Poleg uniformne kvantizacije poznamo in uporabljamo še neuniformne
kvantizacije. Pri njih je kvantizacijski interval odvisen od amplitude signala.
Ponavadi je pri malih signalih kvantizacijski interval mali, pri velikih pa veliki.
Neuniformna kvantizacija se pogosto uporablja pri digitalnem prenosu govora. ♦
2.4.3 Transformacija signalne osi
S to transformacijo skrčimo ali podaljšamo domeno, iz katere
zajemamo vrednosti argumenta funkcije, s katero opišemo signal.
DEFINICIJA 4 (Transformacija signalne osi)
Transformacija signalne osi T star , nad katero je definirano območje
signala A, je preslikava T : T star → T nov , kjer je T nov nova signalna
os.
x nov (t) = x star ( T[t] ) , za vse t ∈ T star .
Transformacija je bijektivna, če obstaja inverzna transformacija
T −1 : T nov → T star . Ta preslika x nov ∈ A Tnov v signal x star ∈
tako, da velja:
A Tstar
x star (t) = x nov
(
T −1 [t] ) , za vse t ∈ T nov .
Primer transformacije signalne osi je T(t) = 1 at, a ≠ 0, pri
kateri je inverzna transformacija enaka T −1 (t) = at. Pri tem je
a poljubna neničelna konstanta. V tem primeru velja:
(
x nov (t) = x star (a · t) in x star = x t
)
nov a
.
ZGLED 2.4-3 Razširitev, skrčenje in zasuk časovne osi
Grafično predstavitev učinka izbire konstante a pri transformaciji signalne osi pri
zveznih in diskretnih signalih podaja slika 2.4-4 na strani 21.
Pri skaliranju signalne osi velja x nov = x star(at), zato se pri a > 1 signal
razširi, pri 0 < a < 1 pa skrči. Pri negativnih vrednostih a dobimo poleg skrčitve
ja (|a| > 1, a < 0) ali razširitve (0 < |a| < 1, a < 0) še zasuk signala. ♦
2.4.4 Premik po signalni osi
Premik signala je transformacija, pri kateri premaknemo signal
po signalni osi. Inverzna transformacija vrne signal v staro lego.
Pri časovnih signalih sta določeni z:
T(t) = t + a t ∈ T star
(prehitevanje) (2.4-3)
T −1 (t) = t − a t ∈ T nov
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.4 Elementarne operacije nad signali 21
x
1
t
star( )
originalni signal
časovno zvezni signal
0
0 b t
razširjeni signal
skrèeni signal
zasukani signal
1
1 1
x ( nov
t ) a 1 0 a 1
x ( nov
t ) x ( t)
nov
a 1
0
0
a b
t
0 0
0 a b t
-b 0
t
originalni signal
1
xstar ( n)
0
0 b
t
t
časovno diskretni signal
razširjen signal skrèen signal zasukan signal
1
a 2
1 a 0, 5 1
a 1
xnov ( n) xnov ( n) xnov ( n)
0 0 0
a b
t a b
t 0 t
0 at
0 at
b t
Slika 2.4-4
Razširitev, skrčenje in zasuk časovne osi žagastemu pulzu, glej zgled 2.4-3
oziroma:
T(t) = t − a t ∈ T star
T −1 (t) = t + a t ∈ T nov
(zakasnitev) , (2.4-4)
kjer je a pozitivna realna konstanta.
translacije signala.
Slika 2.4-5 kaže primer

22 2. Signali
originalni signal
1
xstar( t) xstar( t) xnov( t a)
Slika 2.4-5
Premik signala po signalni osi
0
0 b t
premaknjeni (zakasnjeni) signal
1
x ( nov
t )
x ( t) x ( t a)
nov
star
0
0
a
b+a
t
2.5 Soda in liha simetričnost signala
Simetrije v izgledu signala so v analizi in sintezi signalov zelo pomembne.
V mnogih primerih poenostavijo računanje, poleg tega
pa nam te značilnosti pomagajo razumeti ali dokazati določene
lastnosti signalov.
Simetrije lahko določimo le za deterministične signale. Glede
na simetrijo preko vertikalne osi koordinatnega sistema, v katerem
predstavimo graf signala, ločimo dve osnovni skupini signalov:
Sode signale oziroma funkcije, za katere velja:
x(t) = x(−t) (2.5-1)
Iz (2.5-1) sledi, da je potek signala pri t 0 zrcalna slika
poteka signala pri t 0 (slika 2.5-1).
Slika 2.5-1
Primer sodo-simetričnega
signala
1
x( t)
0
-a
0 a t
Primer znane sode funkcije je cos(ωt), saj velja cos(ωt) =
cos(−ωt).
Lihe signale oziroma funkcije, za katere velja:
x(t) = −x(−t) . (2.5-2)
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.5 Soda in liha simetričnost signala 23
Lihi signali oziroma funkcije so simetrične glede na koordinatno
izhodišče (slika 2.5-2).
1
x( t)
0
-1
-a
0 a t
Slika 2.5-2
Primer liho-simetričnega
signala
Primer znane lihe funkcije je sin(ωt), saj velja sin(ωt) = − sin(−ωt).
Vsako funkcijo lahko razstavimo na lihi in sodi del:
x(t) = x lih (t) + x sod (t) (2.5-3)
kjer je x lih liha funkcija in x sod soda funkcija. Z zamenjavo argumenta
t z −t iz (2.5-3) z upoštevanjem (2.5-1) in (2.5-2), sledi:
x(−t) = x lih (−t) + x sod (−t) = −x lih (t) + x sod (t) (2.5-4)
Seštevek (2.5-3) in (2.5-4) da:
x(t) + x(−t) = x lih (t) + x sod (t) − x lih (t) + x sod (t) = 2x sod (t)
oziroma
x sod (t) = 1 [x(t) + x(−t)] , (2.5-5)
2
iz razlike (2.5-3) in (2.5-4) pa dobimo:
Razdelek zaključimo s pregledom lastnosti lihih in sodih funkcij:
x lih (t) = 1 [x(t) − x(−t)] . (2.5-6)
2
Vsota dveh sodih signalov je sodi signal.
Vsota dveh lihih signalov je lihi signal.
Vsota sodega in lihega signala ni ne sodi ne lihi signal.
Produkt dveh sodih signalov je sodi signal.
Produkt dveh lihih signalov je lihi signal.
Produkt sodega in lihega signala je lihi signal.

24 2. Signali
2.6 Linearni prostor
V tem podpoglavju bomo predstavili različne množice signalov,
ki bodo pomembne v nadaljnji obravnavi signalov. Vse imajo
strukturo linearnega prostora. Linearni prostor, preprosto povedano,
je množica z naslednjimi lastnostmi:
1. Vsota dveh funkcij, ki pripadata temu razredu funkcij, je prav
tako v tem razredu.
2. Zmnožek skalarja in funkcije iz tega razreda funkcij je tudi pripadnik
tega razreda.
ZGLED 2.6-1 Linearni prostor R N in C N
Zelo znani linearni prostor je množica vseh N-teric x = (x 1, x 2, · · · , x N ) z
x k ∈ R, k = 1, 2, · · · N. Če so N-terice sestavljene iz realnih števil, jo označimo
z R N , če pa so sestavljene iz kompleksnih števil, pa s C N . V R N oziroma C N
je vsota dveh elementov x = (x 1, x 2, · · · , x N ) in y = (y 1, y 2, · · · , y N ) enaka:
x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, · · · , x N + y N )
množenje elementa s skalarjem pa je definirana z:
αx = (αx 1, αx 2, · · · , αx N )
Torej je množica vseh R N linearni prostor nad množico realnih števil. Analogno
je množica vseh C N linearni prostor nad množico kompleksnih števil. ♦
V obravnavi signalov se bomo pogosto sklicevali na linearni
prostor vseh časovnih zaporedij (časovno diskretnih signalov) in
prostor vseh časovno zveznih signalov. Njuni definiciji sta:
DEFINICIJA 5 (Prostor časovnih zaporedij l)
Množica vseh kompleksnih zaporedij
x = (· · · , x(−1), x(0), x(1), · · · )
je linearni prostor l nad kompleksnimi števili, če velja:
(x + y)(n) = x(n) + y(n)
(αx)(n) = αx(n) .
Ta linearni prostor je razširitev prostora C.
n ∈ Z
DEFINICIJA 6 (Prostor zveznih časovnih funkcij L)
Množica vseh kompleksnih časovnih signalov določa linearni prostor
L, če za vsako točko funkcije velja:
(x + y)(t) = x(t) + y(t)
(αx)(t) = αx(t) .
t ∈ R
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.7 Norme signalov 25
2.7 Norme signalov
Mnogokrat želimo signale jedrnato opisati. Katere lastnosti signala
pa so tiste, ki so karakteristične za določeni signal? Med
fizikalnimi količinami so na primer zanimive amplituda, moč in
energija. Te količine ponavadi podajamo kot parametre signala.
Na splošno pa so parametri, s katerimi opišemo značilnost signala,
norme.
Normo signala x označimo z ‖x‖. Ker poznamo mnogo norm,
bomo takrat, ko želimo poudariti, za katero normo gre, to označili
z ustreznim indeksom ‖x‖ p . In kaj so norme? V splošnem za
norme velja:
DEFINICIJA 7 (Norma)
Norma ‖ · ‖ p elementa x iz linearnega prostora X je nenegativno
realno število, ki je nič le takrat in samo takrat, ko je x ničelni
element.
DEFINICIJA 8 (Homogenost norme)
Norma je homogena mera (glede na skaliranje) takrat, ko velja:
‖λx‖ = |λ| · ‖x‖ (2.7-1)
za vsak skalar λ in vsak element x signalnega prostora, hkrati pa
izpolni trikotniški izrek:
za vsak x in y iz linearnega prostora.
‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖ (2.7-2)
V zgornjih definicijah smo povedali naslednje: (i) rezultat
izračuna norme je nenegativno število, ki kvantitativno določa
lastnost, ki jo z izbrano normo merimo; (ii) norma je homogena
(enakomerna) mera. To pomeni, da s transformacijo signala, ki
zajema skaliranje amplitudnega ali signalnega območja, spremenimo
tudi normo signala. Ko transformacija povzroči le premik
signala po signalni osi ali zasuk njegovega signalnega območja, se
velikosti norme ne spremeni. Veljavnost in pomen trikotniškega
izreka bomo uvideli iz definicije norm.
DEFINICIJA 9 (Norme v prostorih R N in C N )
Naj bo p celo pozitivno število, 1 p ∞. Potem je p-norma

26 2. Signali
elementa x določena z:
⎧( ∑N
) 1/p
⎪⎨ k=1 |x k| p za 1 p < ∞
‖x‖ p =
⎪⎩ max |x k| za p = ∞
1kN
(2.7-3)
ZGLED 2.7-1
Izračunajmo norme ‖ · ‖ 1, ‖ · ‖ 2 in ‖ · ‖ ∞ za element linearnega prostora x =
(1, j), x ∈ C 1 .
‖x‖ 1 = ( |1| 1 + |j| 1) 1/1
= 1 + 1 = 2
‖x‖ 2 = ( |1| 2 + |j| 2) 1/2
=
√
1 + 1 =
√
2
‖x‖ ∞ = max (|1|, |j|) = max(1, 1) = 1
k
Normo ‖x‖ 2 si lahko v prostoru C 1 enostavno predstavimo: določa dolžino kompleksnega
kazalca x s koordinatami (1, j) (slika 2.7).
♦
Slika 2.7-1
j
Evklidska norma, Levo v
prostoru C 2 , desno v prostoru
R 3 | x 1 | 1
| x 2 | 1
x 1
2 3
1 x 2
1
x 3
1
Normo p = 2 v prostorih R N imenujemo tudi Evklidska norma.
V prostorih R 2 in R 3 ima Evklidska norma predočljivo geometrijsko
predstavo (slika 2.7).
O Grškem matematiku Evklidu (cca 365 do cca 300
let p.n.š.) je le malo znanega. Njegovo glavno delo
Elementi ima logično zgradbo, ki je bila vzor za resno
matematično obravnavo problemov vse do 19. stoletja.
Definicije norm v prostorih R N in C N lahko preprosto posplošimo
na prostor l. Pri tem velja:
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.7 Norme signalov 27
⎧( ∞
) 1/p
∑
⎪⎨ |x n | p za 1 p < ∞ če vrsta obstaja
‖x‖ p = n=−∞
⎪⎩ max |x n | za p = ∞ če obstaja maksimum
k
(2.7-4)
2.7.1 Norme v prostoru L
Kot neskončno dimenzionalne vektorje si lahko predstavljamo
tudi časovno zvezne funkcije z definicijsko domeno na intervalu
(a, b) ∈ R. Če predpostavimo, da vsaka točka definicijskega
območja določa eno dimenzijo vektorja, vrednost funkcije v tej
točki pa komponento vektorja, je funkcija ”neskončno dimenzionalni
vektor”. Ker pa so definicijske točke infinitezimalno
blizu, je v normah v prostoru množic zveznih signalov L operacija
seštevanja zamenjana z integriranjem. Pri tem velja:
DEFINICIJA 10 (Norme zveznih funkcij)
p−norma elementa x iz prostora L množice zveznih funkcij je
definirana z:
⎧( ∫ )
∞
1/p
⎪⎨ −∞ |x(t)|p za 1 p < ∞
‖x‖ p =
⎪⎩
sup
t∈R
|x t | za p = ∞
S ”sup” smo označili supremum, to je zgornjo mejo signala.
Zgornja meja signala je enaka najmanjšemu realnemu številu α,
za katerega velja:
|x(n)| α n ∈ Z oziroma |x(t)| α t ∈ R .
2.7.2 Fizikalni pomen norm
Norme, ki jih najpogosteje uporabljamo, so ‖ · ‖ 1 , ‖ · ‖ 2 in ‖ · ‖ ∞ .
Te norme imajo fizikalni pomen. Določajo naslednje:
1. Norma ‖ · ‖ ∞ določi (maksimalno) amplitudo signala.
2. Z normo ‖ · ‖ 2 lahko določimo energijo signala:
∞∑
‖x(n)‖ 2 2 = |x(n)| 2 n ∈ Z (2.7-5)
i=−∞

28 2. Signali
originalni signal
1
x
0
t
oziroma
‖x(t)‖ 2 2 =
∫ ∞
−∞
|x(t)| 2 dt t ∈ R (2.7-6)
Ime energija signala opravičujemo s podobnostjo obrazcev (2.7-5)
in (2.7-6) obrazcu za izračun energije električnega signala (napetosti
ali toka), ki se troši na bremenu 1 ohma.
3. Norma ‖ · ‖ 1 določa vitalnost signala:
∞∑
‖x(n)‖ 1 = |x(n)| n ∈ Z (2.7-7)
oziroma
‖x(t)‖ 1 =
i=−∞
∫ ∞
−∞
|x(t)| dt t ∈ R . (2.7-8)
Grafično predstavitev vseh treh norm kaže slika 2.7-2.
norma x
norma x 1
norma x 2
površina =
1
amplituda 1 vitalnost signala 1
|x| |x| |x| 2
0
Slika 2.7-2
Amplituda, vitalnost in energija signala
t
0 0
t
površina =
energija signala
t
2.7.3 Moč signala, efektivna in
povprečna vrednost signala
Poleg amplitude, energije in vitalnosti signala so mnogokrat zanimive
tudi druge količine, ki jih lahko izpeljemo iz norm signala.
Med njimi so posebej pomembne moč (trenutna in povprečna),
efektivna vrednost signala in povprečna vrednost. Te veličine
poznamo že iz fizike in osnov elektrotehnike, zato bomo v nadaljevanju
le povzeli njihove definicije.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.7 Norme signalov 29
Trenutna moč signala Opazujemo zvezni kompleksni signal
x(t):
x(t) = a(t) + jb(t) , (2.7-9)
kjer sta a(t) in b(t) realni funkciji, ki opisujeta obliko signala.
Trenutna moč zveznega signala p(t) je določena z:
p(t) = [a(t)] 2 + [b(t)] 2 = |x(t)| 2 . (2.7-10)
Do zgornje enačbe lahko pridemo po analogiji z električno močjo
pri znanem toku, ko je upornost bremena 1 ohm (slika 2.7-3). S
faktorizacijo:
[a(t)] 2 + [b(t)] 2 = [a(t) + jb(t)][a(t) − jb(t)]
lahko trenutno moč izrazimo s konjugirano kompleksnim parom:
p(t) = x(t)x ∗ (t) = |x(t)| 2 . (2.7-11)
p( t)
x( t)
a( t)
pabtg
b g
p( t)
= x t ¥ 1
= p ( t) + p ( t)
a
b g
jb( t) p t b t
pb ( t)
2
b g
b
2 2
= a t + b t
b ( ) = b g 2
ab g
b g
p t = a t
2
Slika 2.7-3
Analogija med močjo signala
in močjo električne energije
Trenutna medsebojna moč dveh signalov Imejmo dva kompleksna
signala x in y. Njuna trenutna medsebojna moč p xy oziroma
p yx je definirana z:
Časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
p xy (t) = x(t)y ∗ (t)
(2.7-12a)
p yx (t) = x ∗ (t)y(t) , t ∈ R . (2.7-12b)
p xy (n) = x(n)y ∗ (n)
(2.7-13a)
p yx (n) = x ∗ (n)y(n) n ∈ Z . (2.7-13b)

30 2. Signali
Tako za zvezne in časovno diskretne signale velja zveza:
Če sta oba signala realna seveda velja:
p xy = p ∗ yx . (2.7-14)
p xy = p yx = xy . (2.7-15)
Povprečna moč Povprečno moč signala na intervalu dolžine
T definiramo kot povprečno energijo signala na tem intervalu.
Označimo jo s P .
Časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
P (t 0 , T ) = 1 T
∫ t0 +T
t 0
|x(t)| 2 dt = 1 T ‖x(t)‖2 2
(2.7-16)
P (N 0 , N) = 1 N
N∑
0 +N
n=N 0
|x(n)| 2 = 1 N ‖x(n)‖2 2
(2.7-17)
V zgornji definiciji smo upoštevali časovno omejen signal s
končno energijo. Z nekaj razmisleka zlahka uvidimo, da sta to
pomembni omejitvi, ki ju vsi signali ne izpolnijo.
OPOMBA 2-2 Zaradi krajšega pisanja bomo nadalje uporabljali naslednji
oznaki. Za integriranje preko intervala T :
∫ t0 +T
∫
=
t 0 T
za seštevanje N diskretnih vrednosti
N 0 +N
∑
n=N 0
= ∑ N
Pripadajoče moči pa bomo pisali brez argumenta.
Z upoštevanjem (2.7-11) lahko (2.7-16) zapišemo tudi v naslednji
obliki:
P xy = 1 ∫
x(t)x ∗ (t) dt . (2.7-18)
T
T
Povprečno medsebojno moč dveh signalov dobimo z ustreznim
upoštevanjem obeh signalov v zgornji enačbi:
P xy = 1 ∫
x(t)y ∗ (t) dt (2.7-19)
T T
P yx = 1 ∫
x ∗ (t)y(t) dt , (2.7-20)
T
T
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.7 Norme signalov 31
kjer velja P xy = Pyx. ∗ Pri realnih signalih se enačbi (2.7-19) in
(2.7-20) poenostavita v:
P xy = P yx = 1 ∫
x(t)y(t)dt . (2.7-21)
T
Povprečna moč časovno neomejenih signalov Če je vsaj
eden od signalov x(t), y(t), t ∈ R prehoden, to se pravi, da je pred
in po določenem času, na primer (t 1 , t 2 ), enak nič, ne moremo
definirati povprečne moči. V tem primeru deljenje končno velike
energije z neskončno velikim intervalom, nad katerim sta signala
definirana, enaka nič. Zato pri aperiodičnih in časovno omejenih
signalih definiramo le energijo signala.
V primeru neprehodnih signalov, torej signalov, ki imajo zaradi
svojega trajanja neskončno energijo, pa lahko povprečno moč
(če obstaja), definiramo z:
oziroma
1
P = lim
T →∞ T
1
P = lim
N→∞ N
∫
T
T
|x(t)| 2 dt t ∈ R (2.7-22)
∑
|x(n)| 2 n ∈ Z . (2.7-23)
N
Efektivna vrednost signala Efektivno vrednost signala bomo
označili s x rms . Pri oznaki smo si indeks sposodili pri angleški
kratici za efektivno vrednost, r oot m ean s quare, ki slikovito
pove njeno definicijo:
Časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
x rms (t) = lim
T →∞
√
1
T
∫
T
|x(t)| 2 dt
= √ P , t ∈ R . (2.7-24)
x rms (n) = lim
N→∞
√
1
N
Iz definicije sledi, da je efektivna vrednost signala tista srednja
vrednost, katere kvadrat da moč signala. Efektivna vrednost
signala je vedno večja od nič.
∑
|x(n)| 2
N
= √ P , n ∈ Z . (2.7-25)

32 2. Signali
Povprečna vrednost signala Povprečna vrednost signala x
na intervalu T je definirana z:
∫
1
T
x(t) dt (2.7-26)
T
oziroma
1
N
∑
x(n) . (2.7-27)
N
Če je definicijsko območje neskončno veliko, pri izračunu povprečne
vrednosti signala v zgornjih enačbah uporabimo limitni
postopek, podobno kot pri izračunu povprečne moči.
Matematično gledano, je povprečna vrednost zveznega signala
na nekem intervalu povprečna vrednost določenega integrala.
To lahko ocenimo s prvim izrekom o povprečni vrednosti,
ki se glasi:
IZREK 1 (Prvi izrek o povprečni vrednosti)
Naj bo funkcija x(t) na intervalu [a, b] zvezna, potem znotraj
intervala obstaja vsaj eno število ξ, pri katerem velja:
∫ b
a
x(t) dt = (b − a)x(ξ) . (2.7-28)
Slika 2.7-4
Povprečna vrednost signala je
enaka višini pravokotnika z
dolžino (a, b), ki ima enako
ploščino kot jo določa integral
Geometrijska interpretacija je naslednja: med točkama a in b
obstaja točka ξ, v kateri je vrednost funkcije x takšna, da je njen
zmnožek z definicijskim intervalom enak ploščini, ki jo določa
x(t) nad tem intervalom (slika 2.7-4). Z drugimi besedami, v tej
točki signal zavzame svojo srednjo vrednost.
2.7-28. a b
x( t)
x( )
z
b
x ( t ) dt
a
( b a) x( )
t
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.7 Norme signalov 33
2.7.4 Drugi izrek o povprečni vrednosti
To poglavje je namenjeno zahtevnejšim študentom. Za nadaljno
osnovno obravnavo teorije signalov je poznavanje tega poglavja
koristno, ni pa nujno.
□ □ □ □
zahtevna snov
V izpeljavah in dokazih, s katerimi se bomo seznanili kasneje, bomo
mnogokrat uporabili drugi ali tudi posplošeni izrek o povprečni vrednosti
[3]. Glasi se:
∫ b
a
x(t)y(t) dt = x(a + 0)
∫ ξ
a
y(t) dt + x(b − 0)
∫ b
ξ
y(t) dt (2.7-29)
pri a ξ b. x(a + 0) je desna limita funkcije x(t) v točki a, x(b − 0)
pa leva limita v točki b:
x(a + 0) = lim
∆t→0
∆t>0
x(a + ∆t) , x(b − 0) = lim
∆t→0
∆t>0
x(b − ∆t) .
Obrazec bomo kasneje še zapisali v obliki izreka, kjer bomo natančno
podali pogoje veljavnosti izreka. Drugi izrek o povprečni vrednosti
ima poleg že zapisane splošne oblike (2.7-29) še dve posebni
obliki, ki veljata pri ožjih pogojih izbire funkcije x(t). Z njima bomo
dokazali veljavnost (2.7-29).
IZREK 2
Če je funkcija x(t) na intervalu (a, b) omejena, monotono padajoča in
nenegativna, funkcija y(t) pa na istem intervalu omejena, integrabilna
in ima končno število menjav predznaka, potem velja:
∫ b
a
x(t)y(t) dt = x(a)
∫ ξ
a
y(t) dt , a ξ b . (2.7-30)
Pojasnimo izrek. Ker ima funkcija y(t) lahko le končno število
menjav predznaka (torej prehodov skozi absciso), lahko interval (a, b)
razmejimo s končnim številom točk a r , r = 0, . . . , p + 1:
a = a 0 , a 1 , a 2 , . . . a p , a p+1 = b
tako, da funkcija y(t) znotraj intervala (a r , a r+1 ) ne spremeni predznaka.
Upoštevaje to razdelitev, lahko zapišemo:
∫ b
a
x(t)y(t) dt =
p∑
r=0
∫ ar+1
a r
x(t)y(t) dt .

34 2. Signali
Na osnovi prvega izreka o povprečni vrednosti (glej teorem 1 na strani
32) lahko sklepamo, da obstaja število µ r , x(a r ) µ r x(a r+1 ), pri
katerem velja:
∫ ar+1
a r
x(t)y(t) dt = µ r
∫ ar+1
a r
y(t) dt ,
Integral na desni izračunamo:
∫ a ar+1
r+1
y(t) dt = F (t)
= [F (a
a r
∣
r+1 ) − F (a r )] ,
a r
kjer je F (t) = ∫ t
y(t) dt. Zato zanj velja:
a
F (a) =
∫ a
a
y(t) dt = 0 , F (a r ) =
Sedaj lahko (2.7-30) preuredimo v:
∫ b
a
∫ ar
a
y(t) dt , F (a r+1 ) =
x(t)y(t) dt = µ 0 [F (a 1 ) − F (a 0 )] + µ 1 [F (a 2 ) − F (a 1 )]+
∫ ar+1
a
y(t) dt .
· · · + µ r−1 [F (a r ) − F (a r−1 )] + µ r [F (a r+1 ) − F (a r )] + · · ·
= −µ 0 F (a 0 ) + (µ 0 − µ 1 )F (a 1 ) + (µ 1 − µ 2 )F (a 2 )+
· · · + (µ p−1 − µ p )F (a r ) + µ p F (a p+1 ) .
Ker je F (a) = 0, lahko prejšnji vsoti prištejemo x(a)F (a), ne da bi jo
s tem spremenili:
∫ b
a
x(t)y(t) dt = [x(a) − µ 0 ]F (a 0 ) + [µ 0 − µ 1 ]F (a 1 ) + [µ 1 − µ 2 ]F (a 2 )+
· · · + [µ r−1 − µ r ]F (a r ) + µ r F (a r+1 ) + · · · .
(2.7-31)
V naslednjem koraku upoštevamo, da so zaradi integrabilnosti y vrednosti
F (a r ) omejene. Zato obstaja tak M, da velja:
min F (a r ) < M < max F (a r ) .
a r
a r
Hkrati lahko desno stran v (2.7-31) nadomestimo z:
[
M (x(a) − µ 0 ) + (µ 0 − µ 1 ) + (µ 1 − µ 2 ) + · · ·
+ (µ r−1 − µ r ) + µ r
]
= Mx(a) .
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.7 Norme signalov 35
Ker je funkcija F (t) zaradi omejenosti y zvezna na intervalu (a, b),
obstaja na intervalu (a, b) točka ξ, a ξ b, pri kateri velja:
ter zato tudi:
∫ b
a
M = F (ξ) =
∫ ξ
a
x(t)y(t) dt = x(a)
y(t) dt
∫ ξ
a
y(t) dt .
Drugi posebni primer predpostavlja, da je x(t) omejena, monotono
naraščajoča funkcija, torej:
IZREK 3
Če je funkcija x(t) na intervalu (a, b) omejena, monotono naraščajoča
in nenegativna, funkcija y(t) pa ima enake lastnosti kot v izreku 2,
potem velja:
∫ b
kjer za ξ velja a ξ b.
a
x(t)y(t) dt = x(b)
∫ b
ξ
y(t) dt ,
Dokaz drugega posebnega primera lahko izpeljemo po podobni
poti, kot smo dokazali prvi posebni primer. Zato se napotimo kar k
splošnemu izreku. Ta manj omejuje potek funkcije x(t), glasi pa se:
IZREK 4 (Drugi izrek o povprečni vrednosti)
Če je funkcija x(t) na intervalu (a, b) omejena in monotona, funkcija
y(t) pa ima enake lastnosti kot v izreku 2, potem velja:
∫ b
a
y(t)x(t) dt = x(a)
kjer za ξ velja a ξ b.
∫ ξ
a
y(t) dt + x(b)
∫ b
ξ
y(t) dt ,
DOKAZ Dokažimo veljavnost za monotono padajočo funkcijo x(t).
Upoštevajmo dokaz izreka 2. Tam smo pokazali, da za monotono padajočo
funkcijo f(t) velja:
∫ b
f(t)y(t) dt = f(a)
∫ ξ
a
a
y(t) dt . (2.7-32)
Če izberemo f(t) tako, da velja f(t) = x(t) − x(b), potem je tudi
f(a) = x(a) − x(b) in x(t) = f(t) + x(b), zato lahko izpeljemo:
∫ b
a
x(t)y(t) dt =
=
∫ b
a
∫ b
[f(t) + x(b)] y(t) dt
f(t)y(t) dt + x(b)
∫ b
a
a
y(t) dt .
(2.7-33)

36 2. Signali
Za prvi integral na desni strani (2.7-33) upoštevamo (2.7-32), zato:
∫ b
x(t)y(t) dt = f(a)
∫ ξ
a
a
= [x(a) − x(b)]
y(t) dt + x(b)
∫ ξ
∫ b
a
y(t) dt
y(t) dt + x(b)
∫ b
a
a
y(t) dt .
Upoštevajmo še lastnost ∫ c
a = ∫ b
a + ∫ c
, a b c ter drugi integral na
b
desni razcepimo:
∫ b
a
x(t)y(t) dt = [x(a) − x(b)]
= x(a)
kar je iskani rezultat.
+ x(b)
∫ ξ
∫ ξ
a
∫ ξ
a
y(t) dt
y(t) dt + x(b)
y(t) dt + x(b)
∫ b
a
ξ
∫ b
ξ
y(t) dt ,
y(t) dt
(2.7-34)
□
□ □ □ □
Do rezultata (2.7-34) pridemo tudi ob predpostavki, da je f(t)
monotono naraščajoča funkcija. V tem primeru bi upoštevali drugi posebni
primer. Rezultat (2.7-34) je pomemben, ker ga uporabljamo v
mnogih dokazih. Mi ga bomo uporabili pri dokazovanju veljavnosti Dirichletovega
integrala oziroma Fourierovega integralskega izreka v drugi
knjigi Teorije signalov.
2.8 Skalarni produkt
Zadnja snov, ki jo bomo obdelali v okviru signalnega prostora, je
skalarni produkt. Za njegovo razumevanje si ta pojem razložimo
s primerom skalarnega produkta dveh vektorjev, ki ležita v ravnini.
S φ x in φ y označimo kota med vektorjema in absciso pravokotnega
koordinatnega sistema (slika 2.8-1). Kosinus kota φ x −φ y ,
ki je med vektorjema x in y, je:
cos(φ x − φ y ) = cos φ x cos φ y + sin φ x sin φ y
x 2 y
= √ · √ 2
+
x
2
1 + x 2 2 y
2
1 + y2
2
=
x 1 y 1 + x 2 y
√ √ 2
x
2
1 + x 2 2 y
2
1 + y2
2
x
√ 1
·
x
2
1 + x 2 2
y 1
√
y
2
1 + y 2 2
, (2.8-1)
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.8 Skalarni produkt 37
x 1
y 1
y 2
x
y
x
y
Slika 2.8-1
Skalarni produkt
j
i
x 2
kjer so x k in y k komponente vektorjev x in y. Imenovalec v
izpeljanem izrazu (2.8-1) je produkt dolžin obeh vektorjev, števec
pa je znan skalarni produkt vektorjev x in y. Pri tem vemo, da
lahko dolžino vektorja določimo z normo p = 2. Torej lahko
(2.8-1) zapišemo kot:
cos(φ x − φ y ) = x 1y 1 + x 2 y 2
‖x‖ 2 · ‖y‖ 2
(2.8-2)
in izračunamo skalarni produkt vektorjev x in y:
x 1 y 1 + x 2 y 2 = ‖x‖ 2 · ‖y‖ 2 · cos(φ x − φ y ) (2.8-3)
Za dani dolžini vektorjev x in y je skalarni produkt mera medsebojne
lege dveh vektorjev. Če je skalarni produkt 0, mora biti
cos(φ x − φ y ) = 0 (saj so dolžine neničelnih vektorjev vedno večje
od nič). Torej je kot med vektorjema x in y enak π/2 oziroma
90 o in sta vektorja pravokotna drug na drugega. Skalarni produkt
je maksimalni, ko je je cos(φ x −φ y ) = 1. Takrat sta vektorja
vzporedna oziroma je kot med njima enak 0.
2.8.1 Skalarni produkt v prostoru l
Skalarni produkt dveh vektorjev x = (x 1 x 2 x 3 ) in y = (y 1 y 2 y 3 )
v tridimenzionalnem prostoru je x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 in ga lahko
geometrijsko predstavimo podobno kot skalarni produkt dvodimenzionalnih
vektorjev. Podobno lahko določimo skalarni produkt
N-dimenzionalnih vektorjev x in y:
〈x, y〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · x N y N =
N∑
x n y n . (2.8-4)
n=1

38 2. Signali
Veljavnost zapisa (2.8-4) ni omejena le na geometrijsko predstavljive
vektorje, ampak velja tudi za neskončno dimenzionalne vektorje.
V primeru časovnih zaporedij x(n) in y(n), ki pripadata
prostoru l, njun skalarni produkt izpeljemo iz (2.8-4):
〈x(n), y(n)〉 = ∑ n∈Z
x n y ∗ n , (2.8-5)
kjer je y ∗ n konjugirano kompleksna vrednost y n . Skalarni produkt
zaporedja x(n) s seboj določa energijo signala, torej kvadrat njegove
Evklidske norme:
〈x(n), x(n)〉 = ∑ n∈Z
x n x ∗ n = ‖x‖ 2 2 . (2.8-6)
Ker lahko imata dva poljubna elementa prostora l, na primer
neskončni zaporedji x = y = (· · · , 1, 1, 1, · · · ), nedoločljivi (neskončni)
skalarni produkt, prostor l na splošno ni prostor skalarnega
produkta. Iz Cauchy-Schwartzovega izreka (njegova razlaga
sledi) izhaja, da lahko le elementi prostora l, ki imajo končno
energijo, (paroma) tvorijo skalarni produkt. Ti elementi spadajo
v podprostor l 2 , ki je prostor s skalarnim produktom. To ugotovitev
poudarimo z naslednjo definicijo:
DEFINICIJA 11 (Prostor skalarnega produkta l 2 )
Vse množice zaporedij iz l s končno energijo tvorijo prostor skalarnega
produkta l 2 .
Ta prostor imenujemo tudi Hilbertov prostor.
2.8.2 Skalarni produkt v prostoru L
Kot neskončno dimenzionalne vektorje si lahko predstavljamo
tudi funkcije, na primer x(t) in y(t), z definicijsko domeno na
intervalu (a, b) ∈ R. Če predpostavimo, da vsaka točka definicijskega
območja določa eno dimenzijo vektorja, vrednost funkcije
v tej točki pa komponento vektorja, sta funkciji ”neskončno dimenzionalna
vektorja”in je njun skalarni produkt določen z:
〈x, y〉 = lim
n→∞
∆→0
b∑
k=a
k=k+n∆
x k y ∗ k = ∫ b
a
x(t)yk ∗ (t) dt . (2.8-7)
Rezultat (2.8-5) je enak nič, če sta si ”vektorja”, torej funkciji
x(t) in y(t) na intervalu (a, b) medsebojno pravokotni oziroma
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.8 Skalarni produkt 39
s tujko ortogonalni. Ortogonalne funkcije so v obdelavi signalov
zelo pomembne, zato jim je posvečen v tej knjigi poseben
razdelek. Za sedaj se zadovoljimo z napovedjo, da je razred ortogonalnih
funkcij zelo pomemben pri obravnavi signalov in jih
bomo zato kasneje še podrobneje obravnavali.
Podobno kot v prejšnjem podrazdelku, lahko tudi tu definiramo
skalarni produkt funkcije same s seboj:
〈x, y〉 =
∫ b
a
x(t)x ∗ (t) dt =
∫ b
a
|x(t)| 2 dt . (2.8-8)
Tudi tukaj hitro ugotovimo, da vsi elementi L nimajo končne
norme. Zato elementi s končno energijo, ki lahko medsebojno tvorijo
skalarni produkt, določajo podprostor skalarnega produkta
L. Poudarimo to z definicijo:
DEFINICIJA 12 (Prostor skalarnega produkta L 2 )
Vse funkcije iz L s končno energijo tvorijo prostor s skalarnim
produktom L 2 .
2.8.3 Cauchy-Schwartzova neenakost
Za vsak par elementov, na primer x in y, prostora s skalarnim
produktom velja relacija:
|〈x, y〉| 2 〈x, x〉〈y, y〉 . (2.8-9)
Enakost velja takrat in samo takrat, če obstaja tak skalar α, da
je:
x = αy ali y = αx . (2.8-10)
Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) je bil po izobrazbi
gradbeni inženir. Danes je znan predvsem po
svojih številnih prispevkih v razvoju matematike.
Amandus Schwartz (1843 – 1921) je bil nemški matematik.
Dokaz Cauchy-Schwartzove neenakosti presega namen tega
učbenika, zato si oglejmo njegovo razlago v prostoru realnih števil,

40 2. Signali
kjer je skalarni produkt x · x enak kvadratu Evklidske norme:
‖x‖ 2 2 . V tem primeru lahko Cauchy-Schwartzovo neenakost preoblikujemo
v:
〈x, y〉
−1 1 .
‖x‖ 2 ‖y‖ 2
Spomnimo se, da srednji člen v zgornji enačbi pomeni ”kosinus
kota med x in y”. Iz tega sledi, da se x in y maksimalno ujemata
(v isti ali nasprotni smeri), ko je njun skalarni produkt enak
±‖x‖ 2 ‖y‖ 2 , in maksimalno neujemata (razlikujeta), ko je enak 0.
2.8.4 Signalni prostor
Iz razlage v zadnjih treh podpoglavjih lahko zaključimo, da je
v teoriji signalov obravnava signalov v linearnem prostoru, kjer
je definiran skalarni produkt, izjemnega pomena. Zato linearni
prostor tipa l 2 ali L 2 , v katerem so le signali s končno energijo
in pri katerih lahko določimo skalarni produkt, imenujemo tudi
signalni prostor. K terminu signalnega prostora se bomo še
vrnili v zaključku naslednjega poglavja.
Rezultat operacije je
korelacijska funkcija
2.9 Podobnost signalov
Pri opisu signalov nas mnogokrat zanima podobnost oziroma razlika
med dvema signaloma ali zbirkama podatkov ali procesoma.
Primerjavo med njimi lahko izvedemo s korelacijo.
Korelacijo uporabljamo v mnogih področjih znanosti, tehnike,
ekonomije itd. Na primer pri obdelavi slike v robotskem
(računalniškem) vidu, daljinskem opazovanju s satelitov, kjer primerjamo
podatke med različnimi slikami; potem v radarskih in
sonarskih sistemih, kjer s korelacijo oddajanega in odbitega signala
določamo oddaljenost in smer opazovanih objektov; pri detekciji
in indentifikacji signalov v šumu, v regulacijah, kjer lahko
s korelacijo vhodnega in izhodnega signala opazujemo učinek sistema
na signal. Uporabljamo jo tudi v indentifikacijah sprejetih
kodnih besed pri pulzno kodni modulaciji itd.
Korelacijo bomo označevali s simbolom r. Ločimo:
križno korelacijo: r 12 , ki primerja dva različna signala,
avtokorelacijo: r 11 , ki primerja signal s samim seboj.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.9 Podobnost signalov 41
2.9.1 Koncept
Pojem korelacije vpeljimo z naslednjim premislekom. Opazujmo
dve zaporedji podatkov x 1 (n) in x 2 (n), ki sta nastajali sočasno
in zajemali svoje vrednosti iz R. Njihovo medsebojno podobnost
lahko merimo z vsoto produktov posameznih podatkov:
r 12 = ∑ n∈N
x 1 (n)x 2 (n) ,
kjer je N število podatkov v zaporedju. Smiselnost te mere pride
do izraza, če podatki v x 1 (n) in x 2 (n) naključni in medsebojno
neodvisni. V tem primeru se vsota produktov z naraščanjem
števila N manjša proti nič (in s tem kaže na naključnost in neodvisnost
podatkov). Obstoj pozitivne vsote kaže na podobnost
med podatki, obstoj negativne vsote pa, da so si podatki podobni,
vendar prevladujejo nasprotni predznaki.
Zapisana definicija korelacije da rezultat, ki je odvisen tudi
od števila podatkov. To anomalijo lahko odstranimo z normaliziranjem
rezultata - podelimo ga s številom podatkov:
r 12 = 1 N
∑
x 1 (n)x 2 (n) ,
n∈N
S to normalizacijo smo sicer rešili eno od težav pri definiranju
korelacije, nakopali smo si pa novo. V primeru, ko N narašča
čez vse meje, R 12 ne glede na medsebojno podobnost x 1 (n) in
x 2 (n) upada proti nič. Poleg teh težav ta definicija ne odkrije
podobnost signalov, ki jih kaže slika 2.9-1. Vidimo, da za ta
signala velja x 1 (n) = x 2 (n − m), vendar je rezultat korelacije
x n 2( )
x n 1( )
m
n
Slika 2.9-1
n

42 2. Signali
računan po zgornjih formulah enak nič. Maksimalnega pa bi
dobili v primeru, če bi zgornji obrazec dopolnili tako:
r 12 (m) = 1 ∑
x 1 (n)x 2 (n − m)
N
n∈N
= r 12 (−m) = 1 N
∑
x 1 (n)x 2 (n + m) ,
n∈N
kjer m predstavlja premik enega zaporedja napram drugemu.
Zamiki med signali ponavadi nastanejo zaradi zakasnitev, ki
nastanejo pri prehodu signalov skozi nek sistem. Očitno je, da
lahko s spreminjanjem m določimo zakasnitev med dvema signaloma.
To najdemo takrat, ko ima r 12 (m) maksimum.
Seveda s tem še ni konec vseh težav z računanjem korelacije.
Na primer robni efekt, pa odvisnost korelacije od velikosti
amplitudnega območja. Povzamemo lahko, da moramo obrazec
za izračun korelacije prilagoditi naravi signala. Zato bomo v nadaljevanju
podali več definicij korelacij, ki jih uporabljamo za
posamezne vrste signalov.
2.9.2 Korelacija pri aperiodičnih signalih
Pri signalih s končno energijo, na primer pri aperiodičnih pulzih,
korelacije ne moremo definirati kot povprečno vrednost zamaknjenih
produktov preko časovnega intervala T , ker s T → ∞
korelacija teži k nič. Zato za te signale uporabljamo za izračun
korelacije naslednja obrazca:
Časovno zvezni signali:
Imamo realna signala x 1 (t) in x 2 (t), t ∈ R.
Križna korelacija med njima je definirana
z naslednjim:
r 12 (τ) =
∫ ∞
−∞
x 1 (t)x 2 (t + τ) dt , (2.9-1)
kjer je τ ∈ R zamik med signaloma. Križna
korelacija obstaja, če sta funkciji x 1 (t) in
x 2 (t) absolutno integrabilni:
∫ ∞
−∞
|x i (t)| dt < ∞ , i = 1, 2 . (2.9-2)
Časovno diskretni signali:
Imamo realna signala x 1 (n) in x 2 (n), n ∈
Z. Križna korelacija med njima je definirana
z vsoto:
r 12 (m) = ∑ n∈N
x 1 (n)x 2 (n + m) , (2.9-3)
kjer je m ∈ Z zamik med signaloma.
Križna korelacija obstaja, če sta funkciji
x 1 (n) in x 2 (n) absolutno konvergentni:
∞∑
n=−∞
|x i (n)| < ∞ , i = 1, 2 . (2.9-4)
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.9 Podobnost signalov 43
Pri avtokorelaciji signal primerjamo s samim seboj: x 1 = x 2 :
Časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
r 11 (τ) =
∫ ∞
−∞
x 1 (t)x 1 (t + τ) dt (2.9-5)
r 11 (m) =
∞∑
n=−∞
Grafično predstavitev računanja križne korelacije dveh aperiodičnih
zveznih signalov vidimo na sliki 2.9-1. S slike vidimo, da
se korelacija r 12 (τ) spreminja sorazmerno s površino, ki jo določa
produkt obeh signalov pri njunem danem medsebojnem zamiku.
x 1 (n)x 1 (n + m) (2.9-6)
1
x t
1 ( )
1
x ( 2
t )
0
t
0
t
1
0
t
1
1
0
t
Slika 2.9-2
Postopek računanja križne
korelacije aperiodičnih
signalov
0
t
1
1
12( )
0
t
0

44 2. Signali
2.9.3 Korelacija pri periodičnih signalih
Iz lastnosti periodičnih signalov sklepamo, da se rezultat korelacije
ponavlja s periodo signalov. Zato je smiselno pri računanju
korelacije signale zamikati le na območju ene periode signala.
Drugi problem, ki nastane pri periodičnih signalih, je absolutna
integrabilnost. Hitro lahko uvidimo, da periodični signali niso
absolutno integrabilni, saj imajo neskončno energijo. Definicija
korelacije pri periodičnih signalih se zato razlikuje od njene definicije
pri aperiodičnih signalih.
Časovno zvezni signali:
Križna korelacija med realnima periodičnima
časovno zveznima signaloma x 1 (t) in
x 2 (t), t ∈ R z isto periodo T je definirana
z integralom:
r 12 (τ) = 1 ∫
x 1 (t)x 2 (t + τ) dt . (2.9-7)
T
T
kjer je τ ∈ R zamik med signaloma. Za
avtokorelacijo pa velja:
r 12 (τ) = 1 ∫
x 1 (t)x 1 (t + τ) dt . (2.9-8)
T
T
Časovno diskretni signali:
Križna korelacija med realnima periodičnima
časovno diskretnima signaloma x 1 (n) in
x 2 (n), n ∈ Z z enako periodo in številom
diskretnih vrednosti je definirana z vsoto:
r 12 (m) = 1 ∑
x 1 (n)x 2 (n + m) , (2.9-9)
N
N
kjer je m ∈ Z zamik med signaloma.
avtokorelacijo pa velja:
Za
r 12 (m) = 1 ∑
x 1 (t)x 1 (n + m) . (2.9-10)
N
N
Iz definicije sledi, da je križna korelacija povprečna vrednost
integrala oziroma vsote produkta obeh signalov pri medsebojnem
premiku τ oziroma m. Na kraju še poudarimo:
Korelacijo lahko v fizikalnem pomenu razumemo kot vplivanje med
signali oziroma kot pretok energije med signali. Če pretoka energije
med njimi ni, še ne pomeni, da sta signala medsebojno neodvisna.
2.9.4 Korelacija pri kompleksnih aperiodičnih signalih
V obrazcih (2.9-1), (2.9-3) in (2.9-5), (2.9-6) smo zapisali korelacijo
za realne signale. Če so signali kompleksni, moramo drugi
signal upoštevati v konjugirano kompleksni obliki:
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.9 Podobnost signalov 45
časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
r 12 (τ) =
r 11 (τ) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x 1 (t)x ∗ 2(t + τ) dt (2.9-11)
x 1 (t)x ∗ 1(t + τ) dt (2.9-12)
∞∑
r 12 (m) = x 1 (n)x ∗ 2(n + m) (2.9-13)
n=−∞
∞∑
r 11 (m) = x 1 (n)x ∗ 1(n + m) (2.9-14)
n=−∞
2.9.5 Izračun energije in moči s korelacijo
Iz definicije korelacije pri aperiodičnih signalih sledi, da pri ničtem
zamiku signalov s korelacijo izračunamo energijo E, ki jo pri
križni korelaciji določata dva signala, na primer x in y, pri avtokorelaciji
pa energijo, ki jo vsebuje obravnavani signal:
Časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
r 11 (0) =
∫ ∞
−∞
x 1 (t)x ∗
} {{ 1(t)
}
dt = E .
|x 1 (t)| 2
∞∑
r 11 (0) =
n=−∞
x 1 (n)x ∗
} {{ 1(n)
}
= E .
|x 1 (n)| 2
Pri periodičnih signalih in signalih z omejeno močjo pa povprečno
moč signala:
Časovno zvezni signali:
Časovno diskretni signali:
r 11 (0) = 1 T
∫ ∞
−∞
x 1 (t)x ∗ 1(t) dt = P .
r 11 (0) = 1 N
∞∑
n=−∞
x 1 (n)x ∗ 1(n) = P .
2.9.6 Robni efekt
Robni efekt nastane pri medsebojnem premiku signalov omejene
dolžine. Na primer, pri zaporedju diskretnih vrednosti zaporedja
podatkov x 1 (n) in x 2 (2), podatki nimajo več svojega primerjalnega
para in so zato izpuščeni iz računanja korelacije. Posledica
je, da r 12 (m) upada z naraščanjem medsebojnega premika m.

46 2. Signali
Seveda je tako izračunana korelacija vprašljiva.
Ena izmed možnih rešitev je podvojiti zahtevano dolžino enega
od zaporedij. To lahko dosežemo z zapisom večjega števila podatkov,
ali pri periodičnem signalu s ponavljanjem zapisa.
Druga rešitev je odstraniti robni efekt iz izračunanega rezultata.
Popravek ali korekcijo naredimo na osnovi naslednjega
premisleka. Predpostavimo, da imata zaporedji x 1 (n) in x 2 (2)
enako dolžino ter vse svoje vrednosti enake. V tem primeru dobimo
zaradi robnega efekta linearno upadanje r 12 (m) od vrednosti
r 12 (m) = r 12 (0), ko upoštevamo vse pare podatkov do vrednosti
r 12 (m) = r 12 (N) = 0, ko se zaporedje več ne prekrivata
(slika 2.9-3). Vmes, pri premiku za m, 0 < m < N, je prava
r 12 (0)
r 12 ( )
r 12 ( )
pravi
Slika 2.9-3
Robni efekt
r 12 ( )
t
t
vrednost korelacije r 12 (m) pravi , izračunana pa je zaradi robnega
efekta enaka r 12 (m). Glede na sliko 2.9-3 sledi:
oziroma
r 12 (m) pravi − r 12 (m)
m
= r 12(0)
N
r 12 (m) pravi = r 12 (m) + m N r 12(0) .
,
Sledi, da pravo vrednost korelacije preprosto dobimo tako, da
izračunani vrednosti prištejemo r 12 (0)m/N.
Pri periodičnih signalih ponavadi uporabimo prvo rešitev, to
je s podaljšanjem zapisa podatkov, saj se ti periodično ponavljajo
in pri podaljševanju zapisa s periodičnim ponavljanjem ne
naredimo nobene napake. Vprašanje pa je, za koliko moramo podaljšati
zapis, da bo napaka v izračunu korelacije zaradi robnega
efekta sprejemljivo majhna. Oceno napako za primer zveznega
signala A sin ωt:
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.9 Podobnost signalov 47
r 12 (τ) = lim
T →∞
1
2T
A 2
= lim
T →∞ 2
∫ T /2
T /2
A sin(ωt)A sin(ωt + τ) dt
[
cos(ωτ) − cos(ωT )
2ωT sin(ωτ) ]
. (2.9-15)
Pregled (2.9-15) kaže, da se drugi člen v pravokotnem oklepaju
manjša proti nič, ko T narašča preko vseh mej. V njem
cos(ωT ) predstavlja periodično ponavljanje pogreška v odvisnosti
od T , 1/(ωT ) pa določa njegovo manjšanje. Pogrešek je periodičen
tudi glede na sin(ωτ).
Člen cos(ωT ) ima najmanjšo vrednost, ko velja ωT = [(2n +
1)/2]π. Ker je ω = 2π/T p , T p je perioda signala, iščemo pa
velikost T , kjer so to zgodi, zapišemo:
T (2n + 1) T p
4
. (2.9-16)
sin(ωτ) je najmanjši, ko velja ωτ = mπ. Iz tega sledi, da se to
zgodi pri:
τ = m 2 T p . (2.9-17)
Predpostavimo, da je pogrešek želeno majhen, če izberemo n
10. V tem primeru je T nT p /2, oziroma:
τ = m 2 T p . (2.9-18)
Iz (2.9-17) sledi, največji τ za najnižjo frekvenčno komponento
mora biti τ < T p , oziroma z upoštevanjem (2.9-18) dobimo
τ T 5
.
Povzemimo. Pogrešek zaradi končne dolžine signala lahko minimiziramo,
če:
zagotovimo, da velja T 5T p , kjer je T p najdaljša perioda
komponent, ki sestavljajo signal,
zamik med signaloma ne sme presegati 20% njihove dolžine
Na primer, želimo določiti avtokorelacijo govornega signala. Ta
se nahaja v frekvenčnem območju med 300 in 3000 Hz. Najnižja

48 2. Signali
frekvenca določa najdaljšo periodo, torej je T p = 1/300 = 3, 3 ×
10 −3 [s]. Najmanjša sprejemljiva dolžina signala potem je 5 ×
3, 3×10 −3 [s] = 16, 7 [ms], največji zamik signalov je 0, 2×16, 7 =
3, 33 [ms].
2.9.7 Korelacijski koeficient
Vrednost korelacije, ki jo izračunamo po podanih obrazcih, je
odvisna od absolutne vrednosti podatkov oziroma amplitude signala.
Za primer si oglejmo signale na naslednji sliki. Vidimo,
x1( n) x3( n)
Slika 2.9-4
Postopek računanja križne
korelacije aperiodičnih
signalov)
x2( n) x4( n)
n
n
n
n
da sta si signala x 1 (n) in x 2 (n) podobna, razlikujeta se le v
amplitudi. Enako velja za signala x 3 (n) in x 4 (n). Kljub temu
pa se korelaciji r 12 (m) in r 34 (m) medsebojno razlikujeta, sa velja
r 12 (m) < r 34 (m). Iz njune medsebojne primerjave bi lahko
napačno sklepali, da sta si signala x 3 (n) in x 4 (n) bolj ”podobna”
kot signala x 1 (n) in x 2 (n). Seveda temu ni tako. Izravnavo te
anomalije da normalizacija rezultata s faktorjem:
[
1
N
N−1
∑
n=0
x 2 1(n) × 1 N
N−1
∑
n=0
= 1 N
x 2 2(n)
] 1/2
[ N−1 ∑
x 2 1(n)
n=0
N−1
∑
n=0
oziroma je normalizirana korelacija enaka:
ρ 12 (m) =
r 12 (m)
[ N−1
1 ∑
x 2
N
1(n)
n=0
N−1
∑
n=0
x 2 2(n)
x 2 2(n)] 1/2
, (2.9-19)
] 1/2
. (2.9-20)
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.10 Posplošeni signali 49
ρ 12 (m) imenujemo korelacijski koeficient. Njegova vrednost je
med −1 in +1. Pri tem +1 pomeni 100% ujemanje v direktni
smeri, −1 pa 100% ujemanje v nasprotni smeri, na primer, da
sta si signala v protifazi. Vrednost 0 pripada nični korelaciji. To
pomeni, da sta signala medsebojno povsem neodvisna. Primer
takih signalov so naključni ali slučajni signali.
2.10 Posplošeni signali
Za konec uvodnega pregleda signalov smo pustili posebne signale,
ki jih ne moremo opisati z običajnimi funkcijami. Za te signale
se uporabljata tudi termina singularne funkcije in generalizirane
funkcije. S tem poudarimo, da niso prave funkcije, ampak
računski pripomočki, s katerimi v fiziki in inženirstvu učinkovito
rešujemo različne probleme.
Na vlogo in pomen posplošenih funkcij lahko gledamo kot na
√ −1, ki ni realno število, pa ga kljub temu s pridom uporabljamo,
posebno v elektrotehniki. Podobno je s posplošenimi funkcijami.
Kljub temu, da jih v naravi ni, so izjemno koristno orodje.
Posplošene funkcije so tiste, ki so povezane z impulzi. Opazujmo
pulz δ h (t) (slika 2.10-1). Zanj velja:
δ h (t) =
Površina tega pulza je enaka
{
1
2h
pri − h < t < h
0 sicer
2h ·
1
2h = 1 .
Z manjšanjem h narašča njegova amplituda δ h , vendar pri tem
0
d h ( n)
-h 0 h t
1
2h
Slika 2.10-1
Pravokotni pulz δ h (t)
njegova površina ostaja konstantna, to je enaka 1. Površina pulza
ostane enaka 1 tudi takrat, ko v limitnem postopku manjšamo h

50 2. Signali
proti nič:
∫ {
h
1
lim dt = lim
h→0 −h 2h {2h · 1
h→0 2h } = 1 pri h = t = 0
0 sicer
Pri tem vidimo, da je rezultat limitnega postopka ”pulz” s širino
nič (zato ga imenujemo impulz) in neskončno višino, med tem
ko je ploščina enaka 1. Funkcijo, ki opisuje ta pulz, imenujemo
Diracova delta funkcija ali na kratko Diracova funkcija oziroma
Diracov impulz. Označujemo ga s δ(t).
To funkcijo je vpeljal P.A.M. Dirac v svojem delu ”The
principles of Quantum Mechanics“.
Njena matematična razlaga je bila vprašljiva kar nekaj
časa. Teorijo delta funkcij je matematično vpeljal šele
Francoski matematik Laurent Schwartz (1915 -) med
leti 1945-1950 z razvojem teorije distribucij.
2.10.1 Osnove teorije singularnih funkcij
Lahko je spoznati, da ima δ(t) naslednjo lastnost:
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t) dt = x(0) , (2.10-1)
□ □ □ □
zahtevna snov
kjer je x(t) omejena regularna funkcija s signalno osjo T ∈ R in
zveznostjo v trenutku t = 0. Zaradi tega, ker integral (z mejama
−∞, ∞) produkta Diracove funkcije s to funkcijo funkcijo ohrani
samo vrednost pri t = 0, imenujemo Diracovo funkcijo tudi enotski
impulz. Grafični prikaz (2.10-1) vidimo na sliki 2.10-2.
V razdelkih, ki sledijo, so namenjeni zahtevnejšim študentom. V
njih bomo povzeli osnove teorije singularnih funkcij, to je distribucij.
Formalno bomo izpeljali nekatere lastnosti Diracove funkcije. S
formalno izpeljavo želimo ustvariti le jasno sliko pomena Diracovega
impulza, ne pa podati rigoroznega matematičnega opisa.
Vrednost signala v trenutku t = 0 Pričnimo z dokazom veljavnosti
(2.10-1), Najprej zamenjajmo δ(t) z δ h (t). Tedaj je:
∫ ∞
−∞
x(t)δ h (t) dt =
∫ h
−h
x(t)δ h (t) dt = 1 ∫ h
x(t) dt . (2.10-2)
2h −h
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.10 Posplošeni signali 51
x( t)
z
0
•
x( t) d ( t)
dt x( 0)
-•
0
d ( t)
Slika 2.10-2
t
t
Otipanje zveznega signala:
x(0) = ∫ ∞
x(t)δ(t) dt
−∞
0
a
t
Preostali integral uženimo s prvim izrekom o povprečni vrednosti (izrek
1, stran 32):
∫ h
−h
x(t) dt = 2hx(ξ h ) − h ξ h h . (2.10-3)
Rezultat v (2.10-3) upoštevamo v (2.10-2):
∫ ∞
−∞
x(t)δ h (t) dt = 1
2h 2hx(ξ h) = x(ξ h ) − h ξ h h .
Sedaj manjšamo h proti nič:
∫ ∞
∫ h
x(t)δ(t) dt = lim x(t)δ h (t) dt = x(ξ = 0) = x(0) ????
−∞
h→0 −h
(2.10-4)
Zapisani obrazec (2.10-1) torej velja.
Vrednost signala v trenutku t = a Premaknimo x(t) po signalni
osi za konstanto a. V tem primeru leva stran (2.10-1) postane:
∫ ∞
−∞
x(t + a)δ(t) dt .
Z zamenjavo spremenljivk t s ζ = t+a (torej velja t = ζ −a in dt = dζ)
po ponovitvi izpeljave v prejšnjem podrazdelku dobimo:
∫ ∞
−∞
x(ζ)δ(ζ − a) dζ = x(ζ − a = 0) = x(ζ = a) = x(a) . (2.10-5)
Vidimo, da je integral z mejama −∞, ∞ produkta signala za a zakasnjenim
Diracovim impulzom enak vrednosti signala x(a) (slika 2.10-3).
Rezultat v (2.10-5) je posplošitev (2.10-4).
vzorčevanju signala.
Uporabljamo ga pri
□ □ □ □

52 2. Signali
x( t)
Slika 2.10-3
Vrednost zveznega signala v
trenutku t = a:
x(a) = ∫ ∞
x(t)δ(t − a) dt
−∞
t
z•
-•
0
d ( t)
d ( t - a)
x( t) d ( t)
dt
0 a
x( a)
t
t
0
a
2.10.2 Linearne kombinacije delta funkcij
Iz definicij, ki smo jih zapisali, vemo, da so si singularne funkcije
enake, če povzročijo enak izračun integrala, v katerem nastopajo.
Kasneje, pri obravnavi sistemov bomo rekli, da so si enake, če
povzročijo enak odziv sistema.
Sedaj si oglejmo še nekaj osnovnih operacij, kot so linearna
kombinacija, skaliranje in diferenciranje.
Seštevanje in množenje s skalarjem Za regularna signala
x 1 in x 2 ter skalarja α 1 in α 2 lahko zapišemo:
∫ ∞
−∞
[α 1 x 1 + α 2 x 2 ] ξ(t) dt
∫ ∞
∫ ∞
= α 1 x 1 (t)ξ 1 (t) dt + α 2 x 2 (t)ξ 2 (t) dt ,
−∞
kar velja pri vsaki funkciji ξ, za katero obstaja zapisani integral.
Podobno lahko zapišemo za singularni funkciji ɛ 1 in ɛ 2 :
∫ ∞
−∞
[α 1 ɛ 1 + α 2 ɛ 2 ] ξ(t) dt
−∞
∫ ∞
∫ ∞
= α 1 ɛ 1 (t)ξ 1 (t) dt + α 2 ɛ 2 (t)ξ 2 (t) dt ,
−∞
pri čemer ξ mora biti zvezna in potrebno krat odvedljiva funkcija
v točki t = 0. Če sta singularni funkciji delta funkciji, na primer
−∞
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.10 Posplošeni signali 53
δ(t) in δ(t − τ), z upoštevanjem (2.10-5) dobimo enačbo:
∫ ∞
−∞
[α 1 δ(t) + α 2 δ(t − τ)] ξ(t) dt
= α 1
∫
T
δ(t)ξ(t) dt + α 2
∫
T
δ(t − τ)ξ(t) dt , (2.10-6)
ki velja za vsako regularno funkcijo ξ(t), ki je zvezna v trenutkih
t = 0 in t = τ.
Vzorčenje signalov Rezultat v (2.10-6) je zelo pomemben v
obdelavi signalov, saj kaže pot, kako iz zveznih signalov generirati
časovno diskretne vzorce.
Vzorčenje signalov je postopek, pri katerem zvezni signal x(t)
opišemo s časovnim zaporedjem otipkov x(n), to je z vrednostmi
signala v časovno diskretnih trenutkih nT . To časovno zaporedje
imenujemo vzorec signala, elemente vzorca, to je vrednosti
signala v trenutkih nT pa otipke. Postopek vzorčenja imenujemo
tudi tipanje signala.
Pogoj, da je opis signala z x(n) ekvivalenten zveznemu signalu
x(t), je spoštovanje tako imenovanega Shannonovega pravila.
Razlaga Shannonovega pravila presega namen tega zapisa.
Oglejmo si le, kako ustvarimo vzorec signala.
Če singularno funkcijo δ(t − τ) zamenjamo z:
δ(t − nT ) , n ∈ Z ,
ustvarimo neskončno množico Diracovih impulzov, ki so medsebojno
razmaknjeni za T . T imenujemo interval tipanja. Če to
množico uredimo v (neskončno) zaporedje impulzov, s katerim
množimo signal x(t) in zmnožek integriramo, iz (2.10-5) sledi, da
je rezultat diskretni signal x(n) (slika 2.10-4).
Odvod Diracovega impulza Oglejmo si še odvajanje Diracovega
impulza. Če je x(t) regularna funkcija, zvezna v trenutku
t = 0, potem s pomočjo integracije po delih lahko izpeljemo:
∫ ∞
−∞
dx(t)
dt
∫ ξ(t) dt = x(t)ξ(t) ∣ ∞ ∞
−
−∞
−∞
x(t) dξ(t)
dt
dt
∫ ∞
= − x(t) dξ(t) dt (2.10-7)
−∞ dt

54 2. Signali
x( t)
( t)
0
t
( t n T )
( t nT
)
x( t) ( t nT
)
z
-
x( n)
z
x( n) x( t) ( t nT)
dt
-
0 n
T
x( a)
t
0
a
Slika 2.10-4
Vzorčenje zveznega signala x(n) = ∫ ∞
x(t)δ(t − nT ) dt, n ∈ Z.
−∞
t
za vsak ξ, za katerega obstaja integral in velja x(−∞)ξ(−∞) =
x(∞)ξ(∞) = 0. Če je x delta funkcija, potem se desna stran
(2.10-7) pri vsaki regularni funkciji odvedljivi v točki t = 0 reducira
na: ∫ ∞
δ(t) dξ
dt dt = −ξ(1) (0) .
−∞
Na enak način lahko določimo n-ti odvod delta funkcije: δ (n) .
S ponavljanjem parcialnega odvajanja je preprosto pokazati, da
velja:
∫ ∞
−∞
δ (n) ξ(t) dt = (−1) n ξ (n) (0) , (2.10-8)
ki je definirana za vsako regularno, n-krat v točki t = 0 zvezno
in odvedljivo funkcijo ξ(t).
2.10.3 Povezava med enotsko stopnico
in Diracovim impulzom
Enotsko stopnico smo že opisali in grafično prikazali v podpoglavju
o zelo uporabnih signalih. Zanjo velja:
{
0 t 0
u(t) =
.
1 sicer
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

2.10 Posplošeni signali 55
Označimo odvod stopnice z ˙u(t) in po delih izračunajmo integral:
∫ b
−a
x(t) ˙u(t) dt =
] ∫
∣
b b
∣x(t)u(t) − ẋ(t)u(t) dt , (2.10-9)
−a −a
kjer sta a in b večja od nič. Izračunajmo desno stran (2.10-9).
Najprej oglati oklepaj:
x(t)u(t) ∣ b ∣ ∣∣ = x(t)u(t) b
= x(b) − 0 ,
−a −a
kjer smo upoštevali definicijo enotske stopnice u(t), zato x(−a)u(−a) =
0 in ostane le vrednost pri zgornji meji. Izračunajmo še integral:
∫ b
−a
ẋ(t)u(t) dt =
∫ b
0
ẋ(t) dt = x(b) − x(0) .
Dobljene rezultate vstavimo v (2.10-9) in dobimo:
∫ b
−a
x(t) ˙u(t) dt = [x(b) − 0] − [x(b) − x(0)] = x(0) . (2.10-10)
Iz primerjave (2.10-1) in (2.10-10) sledi, da velja:
δ(t) = ˙u(t) . (2.10-11)
Torej je odvod enotske stopnice enak Diracovi funkciji.

56 2. Signali
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Poglavje 3
Izražanje signalov z
baznimi funkcijami
Za kvantitativni opis signalov je potrebno, da jih izrazimo z
določenimi funkcijami. Če imajo signali časovni potek, so to
časovne funkcije. Signale lahko opišemo na več načinov. Izbira
določenega opisa je odvisna od tega, kaj želimo poudariti. Na
primer, da je opis primeren za matematično obdelavo, da ga je
mogoče vizualno prikazati, ali pa, da je primeren za določeno
uporabo.
Opis signalov z odseki premic, podali smo ga v razdelku 2.3
na strani 13 je primeren le za signale, ki imajo odsekoma linearni
potek. Ta opis omogoča izračun le nekaterih lastnosti signala,
na primer njegove moči ali energije. Glavna pomanjkljivost tega
zapisa je, da z eno funkcijo (premico) opišemo le segment signala,
ne pa ves signal. Zaradi tega se oziramo za funkcijami,
ki zmorejo opisati signal v celoti. Primernost matematične obdelave
ponavadi zahteva, da signal x(t) ponazorimo z linearno
kombinacijo množice znanih elementarnih funkcij. Te funkcije
izbiramo tako, da imajo želene lastnosti, na primer neodvisno
izračunljivost vsake elementarne funkcije, invariantnost na odvajanje
itd.
Elementarne funkcije glede na to, da jih uporabljamo kot
”gradnike”, s katerimi sestavimo signale, imenujemo tudi osnovne
ali bazne funkcije.
57

58 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
3.1 Aproksimacija signalov
z eno bazno funkcijo
Za začetek rešimo preprost primer, ko želimo realni signal x(t)
izraziti z realno bazno funkcijo φ(t). Signal in bazna funkcija sta
definirani v istem časovnem intervalu (a, b) za vsak t ∈ (a, b).
Seveda želimo, da je opis signala z bazno funkcijo tak, da bo
znotraj intervala (a,b) čim bolj veljalo:
x(t) ≈ c · φ(t) za vsak t ∈ (a, b) (3.1-1)
kjer je c neka konstanta, ki jo lahko določimo tako, da bo produkt
ˆx(t) = cφ(t) čim bolje ponazarjal signal x(t):
ˆx(t) = cφ(t) ≈ x(t) (3.1-2)
Funkcijo ˆx(t) imenujemo ocena ali približek funkcije x(t). Za
oceno ”bližine”približka in prave vrednosti signala potrebujemo
neko merilo. Najpogosteje se v ta namen uporablja srednji kvadratični
pogrešek ali srednje kvadratično odstopanje. Definiramo
ga z:
ε 2 = 1
b − a
= 1
b − a
∫ b
a
∫ b
a
[x(t) − ˆx(t)] 2 dt
[x(t) − cφ(t)] 2 dt (3.1-3)
Zakaj za mero podobnosti uporabljamo kvadratični pogrešek?
Zaradi njegovih lastnosti. Zato poudarimo:
Srednji kvadratični pogrešek je vedno pozitiven, saj je kvadratna
funkcija. Zato tudi ima minimum. Njegova srednja vrednost daje
povprečno oceno pogreška nad vsem intervalom, nad katerim je
definiran signal.
Naloga, ki si jo zastavljamo, je poiskati konstanto c tako, da
bo srednji kvadratični pogrešek med signalom in njegovim približkom
čim manjši. Z drugimi besedami, poiskati moramo tako
konstanto c, da bo ε 2 minimalni. Potrebni pogoj za določitev
minimuma je, da je prvi odvod pogreška enak nič. Da je ekstrem,
ki ga s tem izračunamo, tudi minimalni pogrešek, sledi
iz definicije kvadratičnega pogreška. Seveda ga lahko preverimo
s testom vrednosti drugega odvoda pogreška. Ta je v tej točki
vedno pozitiven.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.1 Aproksimacija signalov z bazno funkcijo 59
Rezultat parcialnega odvajanja, v katerem upoštevamo linearnost
operacij odvajanja in integriranja, je:
∂ε
∂c = ∂ 1
∂c b − a
= 1
b − a
= 1
b − a
∫ b
a
∫ b
a
∂
∂c
[
0 − 2
[x(t) − cφ(t) dt] 2 = 0
[
x 2 (t) − 2x(t)cφ(t) + c 2 φ 2 (t) ] dt
∫ b
Torej je konstanta c določena z:
a
c =
x(t)φ(t) dt + 2c
∫ b
a
∫ b
a
x(t)φ(t) dt
φ 2 (t) dt
∫ b
a
]
φ 2 (t)dt = 0 .
. (3.1-4)
Če smo za φ(t) izbrali realno funkcijo, potem je imenovalec zgornje
enačbe realno pozitivno število, na primer K:
in je koeficient c enak:
c = 1 K
∫ b
a
K =
∫ b
x(t)φ(t) dt oziroma cK =
a
φ 2 (t) dt (3.1-5)
∫ a
b
x(t)φ(t) dt (3.1-6)
Ko kvadriramo oglate oklepaje v (3.1-3) in upoštevamo (3.1-5)
ter (3.1-6), dobimo:
ε 2 = 1 [∫ b ∫ b
∫ b
]
x 2 (t) dt − 2x(t)cφ(t) dt + c 2 φ 2 dt
b − a a
a
a
= 1 [ ∫ b
∫ b
∫ b ]
x 2 (t) dt − 2c x(t)φ(t) dt +c 2 φ 2 dt
b − a a
a
a
} {{ } } {{ }
=cK
=K
= 1 [∫ b
]
x 2 (t) dt − 2c 2 K + c 2 K .
b − a a
Srednji kvadratni pogrešek je:
ε 2 = 1 [∫ b
]
x 2 (t) dt − c 2 K
b − a a
(3.1-7)

60 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
Tako vidimo, da je ε 2 realen, nenegativen in da je pri izbiri konstante
c z enačbo (3.1-4) minimalen.
ZGLED 3.1-1
Aproksimirajmo signal, ki ga kaže slika 3.1-1, z bazično funkcijo φ(t) = sin t
tako, da bo srednji kvadratični pogrešek minimalen!
Slika 3.1-1
amplituda
1
0 2 t
-1
Konstanto c izračunamo s pomočjo (3.1-4):
c =
∫ 2π
0
∫ 2π
0
x(t) sin t dt
=
sin 2 t dt
∫ π
(1) sin t dt +
0
} {{ }
=2
∫ 2π
(−1) sin t dt
π
} {{ }
=2
( 1
2 t − 1 4 sin t ) ∣ ∣ ∣∣∣
2π
} {{
0
}
K=π
= 4 π
. (3.1-8)
Ocena signala je:
ˆx(t) = 4 π sin t
Oceno signala vidimo na sliki 3.1-2. Minimalni srednji kvadratični pogrešek ε 2
izračunamo iz (3.1-7). V obravnavanem primeru sta meji a = 0, b = 2π, iz
imenovalca (3.1-8) pa sledi, da je K = π, zato velja:
ε 2 = 1 [∫ 2π
] [ ∫
x 2 (t)dt − c 2 K = 1 2π
( ) 2
x 2 4
(t)dt − π]
2π 0
2π 0
π
] [1 − 8 ]
π 2
= 1
2π
[
2π − 16
π
=
≈ 0, 18943
oziroma v procentih znaša 18,9% energije signala.
♦
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.2 Aproksimacija signalov z linearno kombinacijo baznih funkcij 61
amplituda
4/
1
x
x
Slika 3.1-2
0
2
t
-1
3.2 Aproksimacija signalov z linearno kombinacijo
baznih funkcij
Funkcijo x(t) izrazimo z linearno kombinacijo baznih funkcij φ i
iz množice baznih funkcij Φ:
Φ = {φ 0 (t), φ 1 (t), φ 2 (t), . . . , φ N (t)} ,
kjer je lahko indeks N v določenih primerih tudi neskončen. Pri
končnem N lahko približek ˆx(t) izrazimo z:
ˆx(t) = c 0 φ 0 (t) + c 1 φ 1 (t), +c 2 φ 2 (t), . . . , c N φ N (t)
=
N∑
c n φ n (t) . (3.2-1)
n=0
Koeficienti c 0 , c 1 , c 2 , . . . , c N so praviloma elementi množice kompleksnih
števil C. Problem izbire najprimernejšega zaporedja baznih
funkcij Φ in izbire najprimernejšega zaporedja koeficientov
{c n } v splošnem ni rešen. Poznamo pa že veliko število rešitev za
funkcije s posebnimi lastnostmi. Ena takih lastnosti, ki je ponavadi
zelo zaželena, je neodvisnost koeficientov c n ∈ C. Ta lastnost
omogoča, da lahko določimo posamezne koeficiente, čeprav ne
poznamo nobenega drugega koeficienta. Povedano drugače, če
lahko linearni kombinaciji, ki določa približek signala, dodamo
člene, ne da bi morali že znane spreminjati, potem so členi v
linearni kombinaciji (medsebojno) neodvisni.

62 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
3.3 Izražanje signalov z
ortogonalnimi funkcijami
Neodvisnost členov dosežemo, če je množica baznih funkcij φ(t) ∈
Φ ortogonalna na celotnem časovnem intervalu, za katerega velja
opis funkcije x(t) z baznimi funkcijami. S terminom ortogonalna
množica povemo, da so vsi elementi množice medsebojno pravokotni
ali ortogonalni: Φ : φ m ⊥ φ n , kjer znak ⊥ pomeni
”pravokotno“.
Dve funkciji sta medsebojno ortogonalni, ko je njun skalarni
produkt enak nič. Torej je:
〈φ i φ j 〉 = 0
pogoj ortogonalnosti. V razdelku 2.8.2 na strani 38 smo skalarni
produkt za (kompleksne) funkcije definirali z:
〈φ m φ n 〉 =
∫ b
a
φ m (t)φ ∗ n(t) dt ,
ki lahko v primeru ortogonalnih funkcij zavzame le eno od dveh
možnih vrednosti:
∫ {
b
0 m ≠ n
φ m (t)φ n (t)dt =
φ m , φ n ∈ Φ (3.3-1)
a
m = n
K n
in to pri vseh m in n. Če je K n = 1, so bazne funkcije normirane
in zato ortonormalne. Normiranje funkcij ima podoben pomen
kot normiranje vektorjev. Pri tem je normirani vektor, ki ga imenujemo
tudi enotski vektor, vektor z dolžino enako enoti. Torej
velja:
〈aa〉 = a 2 = 1 .
Podobno lastnost imajo tudi funkcije φ n ∈ Φ. Funkcija φ n (t) je
normirana, če velja:
〈φ n φ n 〉 =
∫ b
a
φ 2 n(t) dt = 1 .
Iz te kratke obravnave ortogonalnih funkcij lahko povzamemo
naslednje: če obstaja zaporedje funkcij φ i ∈ Φ, za katere velja:
∫ {
b
0 m ≠ n
φ m (t)φ n (t)dt =
φ m , φ n ∈ Φ (3.3-2)
a
1 m = n
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 63
je vsaka funkcija φ n (t) ∈ Φ ortonormalna k ostalim funkcijam v
tem zaporedju. Tako zaporedje funkcij imenujemo ortonormalno
ali ortonormirano zaporedje v intervalu (a, b). Meji a in b sta
pri tem lahko končni ali tudi neskončni. To je odvisno od narave
problema, ki ga želimo rešiti s tem zaporedjem ortonormiranih
funkcij.
3.3.1 Izražanje signalov z
ortonormiranimi zaporedji
Tako kot lahko vsak vektor izrazimo z linearno kombinacijo ortogonalnih
enotskih vektorjev i, j, k, . . ., na primer z r = c 1 i +
c 2 j + c 3 k, lahko tudi x(t) izrazimo z linearno kombinacijo ortonormiranih
funkcij:
x(t) = ∑ n
c n φ n (t) . (3.3-3)
Pri tem moramo rešiti dve nalogi. Prva je izbrati zaporedje baznih
funkcij, druga pa je izračunati koeficiente c n tako, da bo
pogrešek med originalnim signalom in njegovim približkom, sestavljenim
iz zaporedja ortonirmiranih koeficientov, minimalen.
Najprej si bomo ogledali možnosti določanja koeficientov c n , o
izbiri ortonormiranih funkcij pa bo govora kasneje.
Določitev koeficientov c n s pomočjo ortogonalnosti Kako
določiti koeficiente c n ∈ C? Recimo, da vrsta na desni strani
(3.3-3) konvergira k x(t) in da so bazne funkcije ortonormirane.
Obe strani zgornje enačbe pomnožimo s φ m (t) in ju nato integriramo:
∫ b
a
x(t)φ m dt =
∫ b
a
= ∑ n
∑
c n φ n (t)φ m (t) dt
n
∫ b
c n φ n (t)φ m (t) dt .
a
(3.3-4)
Zaradi lastnosti ortogonalnosti, glej (3.3-2), je desna stran (3.3-4)
različna od nič le, ko je m = n. V vseh ostalih primerih je enaka
nič. Še več, desna stran je v primeru m = n enaka c n . Torej je
enačba za izračun koeficienta c n :
c n =
∫ b
a
x(t)φ n (t) dt . (3.3-5)

64 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
Določitev koeficientov c n po metodi najmanjšega kvadratičnega
pogreška Približek ˆx(t) s končno linearno kombinacijo
ortonormiranih baznih funkcij tvorimo tako kot smo to
zapisali v (3.2-1), in ga določimo tako, da bo srednji kvadratni
pogrešek med signalom in njegovo aproksimacijo minimalen.
Bazne funkcije, s katerimi določimo približek, vzemimo iz
zaporedja ortonormiranih funkcij Φ, želimo pa minimizirati:
ε 2 = 1
b − a
∫ b
= 1
b − a
[
x(t) − ˆx(t)] 2
dt
a
∫ b
a
[
x(t) − ∑ n
c n φ(t)] 2
dt
(3.3-6)
z izbiro koeficientov c n ∈ C. Pri tem vemo, da je pri iskanju minimuma
več spremenljivk potreben (vendar ne zadosten) pogoj,
da je funkcija odvedljiva po vseh koeficientih in obstaja nabor
vrednosti c 0 , c 1 , c 2 , . . . c N , ki zadovoljuje sistem enačb:
∂ε
= ∂ε = ∂ε = · · · = ∂ε = 0 .
∂c 0 ∂c 1 ∂c 2 ∂c n
Izračunajmo parcialni odvod po koeficientu c k . Ker je interval
konstanten, njegova vrednost ne vpliva na parcialni odvod. Zato
lahko zapišemo:
∂
∂c k
ε =
∂ ∫ b
∂c k
a
[
x(t) − ∑ n
c n φ n (t)] 2
dt = 0 . (3.3-7)
Izračunajmo kvadrat oglatega oklepaja v (3.3-7), upoštevajmo
lastnost ortonormiranosti in uredimo rezultat računanja. Pri tem
dobimo:
∫
∂ b
x 2 (t) dt −
∂ ∫ b
2x(t) ∑ ∂c k a
∂c k a n
∫ [
∂ b ∑
∂c k a n
c n φ n (t) dt+
c n φ n (t)] 2
dt = 0 .
Po odvajanju po c k odpadejo vsi členi, ki ne vsebujejo koeficienta
c k , zato iz zgornje enačbe ostaneta le dva člena:
2
∫ b
a
x(t)φ k (t) dt + 2c k
∫ b
a
φ 2 k (t) dt = 0 . (3.3-8)
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 65
Ker smo za bazne funkcije izbrali ortonormirane funkcije, je vrednost
integrala v drugem členu na levi strani (3.3-8) enak ena,
zato je pot do enačbe, ki določa koeficient c k , kratka:
c k =
∫ b
a
x(t)φ n (t) dt . (3.3-9)
Pri tem vidimo, da je rezultat našega truda v (3.3-9) enak (3.3-5).
Iz tega sledi, da so koeficienti c k , ki jih izračunamo na osnovi
lastnosti ortonormiranih funkcij, optimalni glede na srednji kvadratični
pogrešek.
3.3.2 Parsevalova identiteta
Predpostavimo, da aproksimiramo signal x(t) z linearno kombinacijo
N + 1 baznih funkcij φ n (t). Pogrešek med signalom x(t)
in njegovo oceno ˆx(t) izračunajmo z (3.3-6):
ε 2 = 1 ∫ [
2 b
N∑
x(t) − c n φ n (t)]
dt
b − a a
n=0
[ ∫
= 1 b
N∑
∫ b
x 2 (t) dt − 2 c n x(t)φ n (t) dt
b − a a
n=0 a
} {{ }
[ ∫
= 1 b
b − a a
[ ∫
= 1 b
b − a a
x 2 (t)dt − 2
x 2 (t) dt −
N∑
c 2 n +
n=0
N∑
n=0
c 2 n
]
∫ b N∑
+
a n=0
=c n
N∑
∫ ]
b
c 2 n φ 2 n(t) dt
n=0 a
} {{ }
=1
c 2 nφ 2 n(t) dt
. (3.3-10)
V izračunu (3.3-10) smo upoštevali linearnost operacij seštevanja
in integriranja, zato smo zamenjali njuno zaporednost in ortogonalnost.
Iz (3.3-10) jasno sledi, da se z večanjem členov v oceni
signala - to je funkcije, ki ga opisuje - manjša razlika med potekom
signala in njegovo aproksimacijo. V limitnem postopku, v
katerem večamo N preko vseh meja, postane praviloma srednji
kvadratični pogrešek enak nič:
[ ∫ ]
1 b
N∑
lim
N→∞ ε2 = lim
x 2 (t)dt − c 2 n = 0
N→∞ b − a
a
n=0
]

66 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
oziroma:
∫ b
a
x 2 (t) dt =
∞∑
c 2 n . (3.3-11)
n=0
V tem primeru je funkcija x(t) izražena z neskončnim zaporedjem
ortonormiranih funkcij; torej med oceno funkcije in funkcijo
ni pogreška. Tako zaporedje imenujemo polno ali kompletno
zaporedje. Enačbo (3.3-11), ki povezuje polno zaporedje ortonormiranih
funkcij in originalni signal, imenujemo Parsevalova
identiteta.
Rečemo lahko, da je pogoj Parsevalove indentitete obstoj polnega
zaporedja, zato njen pomen poudarimo z naslednjim izrekom:
IZREK 5 (Polno zaporedje)
Zaporedje ortonormiranih baznih funkcij Φ je polno takrat in
samo takrat, ko za vsak x ∈ L 2 (a, b) velja:
∫ b
a
x 2 (t) dt =
∞∑
c 2 n .
n=0
To pomeni, da ne obstaja neničelna funkcija φ(t), ki ni član Φ in
za katero velja pogoj ortogonalnosti.
Še kratek kometar k izreku. Če bi mogli najti tako funkcijo φ(t),
tedaj bi bila ta funkcija ortogonalna na vsak člen v zaporedju Φ
in bi tudi sama pripadala temu zaporedju.
Pomen Parsevalove indentitete je zelo velik, zato se bomo še
večkrat vračali k njej. Napovejmo le njeno fizikalno razlago. S
primerjavo (3.3-11) z obrazci za izračun moči vidimo, da Parsevalova
indentiteta govori o ohranitvi moči. To bomo posebej
poudarili v poglavjih, v katerih bomo obravnavali moč spektrov.
3.4 Ortogonalne funkcije
Lastnosti sistemov (zaporedij) ortogonalnih funkcij smo spoznali.
Sedaj moramo takšna zaporedja le še poiskati. Obstaja mnogo
družin ortonormalnih funkcij. Med njimi so najbolj znane trigo-
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.4 Ortogonalne funkcije 67
nometrična zaporedja:
eksponentna zaporedja:
{. . . , 1, cos ωt, cos 2ωt, cos 3ωt, . . .}
{. . . , 1, sin ωt, sin 2ωt, sin 3ωt, . . .}
{. . . , e −ωt , 1, e ωt , e 2ωt , e 3ωt , . . . }
in mnoge druge. V naslednjih razdelkih si bomo nekatere med
njimi ogledali, zgoraj naštetim pa bomo posvetili posebno knjižico.
3.4.1 Pregled nekaterih ortogonalnih funkcij
Legendrove funkcije
√
2n + 1
φ n (t) = P n (t)
2
, −1 ≤ t ≤ 1 ,
kjer je P n (t) Legendrov polinom:
d n
P n (t) = 1
2 n n! dt n (tn − 1) n .
Bazne Legendrove funkcije računamo s pomočjo Gram-Schmidtovega
postopka (glej razdelek 3.4.3 na strani 71).
Laguerrove funkcije
φ n (t) = 1 n! e−t/2 L n (t) , 0 ≤ t < ∞ ,
kjer je L n (t) Laguerrov polinom reda n:
Hermiteove funkcije
φ n (t) =
L n (t) = e t dn
dt n tn (e −t ) .
1
2 n n! √ π e−t2 /2 H n (t) , −∞ < t < ∞
kjer je H n (t) Hermiteov polinom reda n:
H n (t) = (−1) n t2 dn
e
dt n (e−t2 )
Poleg naštetih ortogonalnih funkcij, ki so vse poljubnokrat odvedljive,
so pomembne še Walsheve funkcije - posvečeno jim je
naslednje poglavje.

68 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
3.4.2 Walsheve funkcije
Polno zaporedje Walshevih funkcij tvori zaporedje medsebojno
ortogonalnih pravokotnih valovnih oblik v končnem časovnem intervalu.
Te funkcije so tudi ortonormalne in lahko zavzemajo le
dve vrednosti: +1 in −1. Časovni interval definiramo kot normirani
interval (0, 1), intervale drugih dolžin pa dobimo s preprostim
skaliranjem tega intervala.
Nekaj Walshevih funkcij, ki so indeksirane po številu prehodov
funkcije skozi absciso, kaže slika 3.4-1. S slike vidimo, da
1 1
0 ( t)
0 3 ( t)
0
1/2
1 1/2
1
-1 -1
1 1
1 ( t)
0 4 ( t)
0
1/2 1 1/2
1
-1 -1
1 1
2 ( t)
0 5 ( t)
0
1/2
1 1/2
1
-1 -1
Slika 3.4-1
Walsheve bazne funkcije
se da Walsheve funkcije enostavno generirati z digitalnimi vezji.
Vidimo tudi, da velja:
{
1 0 ≤ t ≤ 1
φ 0 (t) =
.
0 sicer
Ostale temeljne funkcije φ i lahko najdemo eno za drugo, če uporabimo
pogoje ortonormiranosti. Splošni algoritem za ta postopek
je tako imenovani Gram-Schmidtov postopek, ki je opisan v
naslednjem razdelku. Tukaj le preverimo, ali grafi funkcij na sliki
3.4-1 res pripadajo baznim funkcijam. Za φ 1 (t) velja:
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.4 Ortogonalne funkcije 69
∫
T
φ 0 (t)φ 1 (t) dt = 0 ,
∫
T
φ 2 1(t) dt = 1 in φ 1 (t) =
{
1 0 ≤ t ≤ 1/2
−1 1/2 ≤ t ≤ 1
.
Temeljna funkcija φ 2 (t) mora ustrezati enačbam:
∫
T
φ 0 (t)φ 2 (t) dt = 0 ,
∫
T
φ 1 (t)φ 2 (t) dt = 0
in
∫
T
φ 2 2(t) dt = 1 .
Funkcija φ 2 (t) na sliki 3.4-1 izpolnjuje vse te pogoje. Opisano
pot lahko nadaljujemo za vse ostale temeljne funkcije. Pri tem
vidimo, da moramo za bazno funkcijo φ k (t) rešiti k + 1 enačb.
ZGLED 3.4-1
Ponazorimo signal x(t) = 6t, 0 ≤ t ≤ 1 z Walshevimi funkcijami. Signal kaže
slika 3.4-2.
x ( t )
6
3
-1 0 1/2 1
t
Slika 3.4-2
Za izračun optimalnih koeficientov c k uporabimo (3.3-9). Prvi koeficient je
c 0 in je enak:
Drugi koeficient je c 1:
c 1 =
∫ 1/2
0
c 0 =
∫ 1
0
6t(1)dt .
∫ 1
6t(1)dt + 6t(−1)dt = − 3
1/2 2
Po podobnem postopku določimo še ostale koeficiente. Dobimo:
c 2 = 0, c 3 = − 3 4 , c4 = 0, c5 = 0, c6 = 0, c7 = − 3 8 · · ·
Približek oziroma ocena ˆx(t) funkcije x(z) izražena z osmimi zaporednimi baznimi
funkcijami φ k (t), je:
ˆx(t) = 3φ 0(t) − 3 2 φ1(t) − 3 4 φ3 − · · · 3
2 k φ 2 k −1(t) · · · (3.4-1)
Zgradbo ˆx(t) kaže slika 3.4-1. Srednji kvadratični pogrešek, ki ga naredimo z
opisom x(t) z ˆx(t), če vzamemo le prvih osem členov, je enak:
.

70 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
6
5
4
3
2
x( t)
3
3
( t) ( t)
x
2
0 1 0
3 0 ( t)
1
Slika 3.4-3
0
6
5
4
3
2
1/2
1
t
2 3
3 ( t) ( t) ( t)
x
3 4
3
0 1 3 1
3
( t) ( t)
2
0 1
1
0
6
5
4
3
1/2
1
t
2 3 3
3 ( t) ( t) ( t)
x
3 4 8
2 3
3 0( t) 1( t) 3( t)
3 4
0 1 3 7 2
2
1
0
1/2
1
t
ε 2 = 1 [∫ 1
b − a 0
[ ∫ 1
= 1
1 − 0
0
[
] ]
x(t) 2 dt − c 2 0 + c 2 1 + c 2 7
(
(6t) 2 dt − 3 2 + − 3 ) 2 (
+ − 3 ) ] 2
= 12 − 765
2 8
64 ≈ 0.04685 .
Čeprav je na videz razlika med ˆx(t) in x(t) velika, je srednji kvadratični
pogrešek že po nekaj členih zaporedja Φ(t) mali. Na primer, če bi v zaporedju
(3.4-1) dodali še en člen, bi padel srednji kvadratični pogrešek na četrtino prejšnje
vrednosti.
♦
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.4 Ortogonalne funkcije 71
3.4.3 Gram - Schmidtov postopek
Gram-Schmidtov postopek je splošna metoda določanja ortonormalnih
osnovnih funkcij ali baz za družino izbranih funkcij. Baze
izpeljemo kar iz oblike funkcije, za katero jih iščemo. Bodi x i (t), i =
1, 2, . . . , M množica signalov, za katero iščemo množico ortonormiranih
baz φ i (t), i = 1, 2, . . . , N. Postopek iskanja je naslednji:
Prva bazna funkcija je enaka normalizirani vrednosti izbranega
signala, na primer:
φ 1 (t) = x 1(t)
√
E1
, (3.4-2)
kjer je E 1 energija signala x 1 (t):
∫
E 1 = x 2 1(t) dt . (3.4-3)
T
Signal x 1 (t) lahko sedaj predstavimo z bazno funkcijo φ 1 (t)
kot:
x 1 (t) = x 1,1 φ 1 (t) , (3.4-4)
kjer za koeficient x 1,1 iz (3.4-2) sledi x 1,1 = √ E 1 .
Drugo bazno funkcijo določimo iz x 2 (t) tako, da najprej izračunamo
projekcijo φ 1 (t) na x 2 (t). Enaka je:
∫
x 2,1 = x 2 (t)φ 1 (t) dt . (3.4-5)
T
Obrazec (3.4-5) je enak obrazcu (3.3-4) (paragraf 3.3.1 na
strani 63), s pri katerem smo pri določitvi optimalne vrednosti
koeficienta c i izkoristili lastnost ortogonalnih funkcij. S
pomočjo projekcije (3.4-5) določimo pomožno funkcijo θ 2 :
θ 2 (t) = x 2 (t) − x 2,1 φ 1 (t) , (3.4-6)
ki je ortogonalna na φ 1 (t). Ortonormalnost dosežemo z normalizacijo
- podelimo jo z njeno energijo. tako je bazna funkcija
φ 2 (t) enaka:
φ 2 (t) = θ 2(t)
√
Eθ2
. (3.4-7)
kjer je E θ2 = ∫ T θ2 2 (t) dt. Signal x 2(t) lahko zapišemo kot:
x 2 (t) = x 2,1 φ 1 (t) + x 2,2 φ 2 (t) . (3.4-8)

72 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
Bazni funkciji φ 1 (t) in φ 2 (t) ima zaradi načina, kako smo ju
določili, energijo enote, torej sta normirani. Preizkusimo še
njuno ortogonalnost:
∫
φ 1 (t)φ 2 (t) dt = √ 1 ∫
φ 1 (t)θ 2 (t) dt
Eθ2
T
= √ 1 ∫
Eθ2
T
T
= 1 √
Eθ2
[∫
T
[
]
φ 1 (t) x 2 (t) − x 2,1 φ 1 (t) dt
x 2 φ 1 (t)dt − x 2,1
∫
= 1 √
Eθ2
[x 2,1 − x 2,1 ] = 0 .
T
]
φ 2 1(t) dt
(3.4-9)
V vsakem naslednjem koraku določanja baznih funkcij določimo
pomožno funkcijo θ j , ki je enaka razliki signala in njegovih do
takrat - to je (j − 1) izračunanih komponent določenih z že
dobljenimi baznimi funkcijami. Pomožno funkcijo normiramo
z njeno energijo. Torej je j-ti korak:
φ j (t) = θ j(t)
√
Eθj
(3.4-10)
kjer sta
in
j−1
∑
θ j (t) = x j − x i,j φ i (t) (3.4-11)
∫
x i,j =
T
i=1
x j (t)φ i dt , i = 1, 2, . . . j − 1 . (3.4-12)
Z Gram-Schmidtovim potopkom dobimo število baznih funkcij,
ki je zmeraj manjše ali kvečjemu enako številu signalov v
množici, za katero smo iskali bazne funkcije.
ZGLED 3.4-2
Z Gram-Schmidtovim postopkom poiščimo bazne funkcije za signale s slike 3.4-4.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.4 Ortogonalne funkcije 73
2
s1( t) s2( t) s3( t)
2 2
1 1 1
0 0 0
1 1 1
1 2 1 2 1 2
Slika 3.4-4
Signali, za katere iščemo
bazne funkcije.
Pričnimo s s 1(t). Prva bazna funkcija je:
φ 1(t) = s1(t) √
E1
=
1 √
2
s 1(t)
Pomožna funkcija je:
θ 2(t) = s 2(t) − s 2,1φ 1(t) , s 2,1 =
in druga bazna funkcija:
φ 2(t) = θ2(t) √
Eθ2
∫ T
= s2(t) √
Eθ2
= 1 √
2
s 2(t)
0
s 2(t)φ 1(t)dt = 0
Bazni funkciji φ 1(t) in φ 2(t) kaže slika 3.4-5.
1 ( t)
2 ( t)
1/ 2
1/
2
0 0
1/ 2
1/
2
1 2 1 2
Slika 3.4-5
Bazni funkciji, ki smo ju
izpeljali z Gram-Schmidtovim
postopkom za funkcije s slike
3.4-4.
Končna pomožna funkcija je:
kjer sta
Sledi:
s 3,1(t) =
s 3,2(t) =
θ 3(t) = s 3(t) − s 3,1φ 1(t) − s 3,2φ(t) ,
∫ T
0
∫ T
0
s 3(t)φ 1(t) dt =
s 3(t)φ 2(t) dt =
∫ 2
1
∫ 2
1
√
2
(
− 1 √
2
)
dt = −1
√
2
1 √2 dt = 1 .
θ 3(t) = s 3(t) + φ 1(t) − φ 2(t) = 0 .
Zato lahko ves signal opišemo le z dvema baznima funkcijama, ki sta prikazani
na sliki 3.4-5. Z njima lahko aproksimiramo vse tri signale s slike 3.4-4.
Če bi Gram-Schmidtov postopek začeli z drugim signalom, na primer s 2(t),
bi bile bazne funkcije drugačne, vendar pa bi predstavitve signalov v signalnem
prostoru ostale podobne.
♦

74 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
3.5 Signalni prostor (drugič)
V tem podpoglavju bomo zaokrožili razlago linearnih prostorov.
Termin signalni prostor, ki smo ga vpeljali v podpoglavju 2.5 na
strani 22, bomo predstavili kot vektorski prostor. V njem bomo
signale izrazili kot vektorje.
Razlago bomo pričeli s kratkim pregledom prikaza in lastnosti
vektorjev, nadaljevali pa z izbiro koordinatnega sistema, ki ga
določajo ortonormirane bazne funkcije. V tem koordinatnem sistemu
bomo signale predstavili kot linearno kombinacijo, ki določa
vektor.
3.5.1 Vektorski prostor
Na kratko povedano, vektorski prostor je linearni prostor. V
splošnem lahko vektorske prostore delimo na končno in na neskončno
dimenzionalne prostore. V nadaljevanju se bomo omejili
na N-dimenzionalne prostore. V njem lahko N-dimenzionalni
vektor v i = [v i1 , v i2 , · · · , v iN ] predstavimo kot linearno kombinacijo
enotskih vektorjev e m , 1 m N, torej kot:
v i =
N∑
v im e m ,
m=1
kjer so enotski vektorji e m po svoji definiciji vektorji z dolžino 1,
koeficienti v im pa razmerje dolžine projekcije vektorja v i na m-ti
enotski vektor z dolžino enotskega vektorja (torej, kolikokrat je
projekcija daljša od enotskega vektorja).
Vektorski prostor, ki nas zanima, ima definiran skalarni produkt:
N∑
〈v i , v j 〉 = v im v jm ,
m=1
kjer sta v i in v j N-dimenzionalna vektorja. Če sta si ta dva
vektorja medsebojno pravokotna, torej v i ⊥ v j , potem je njun
skalarni produkt enak nič.
Za vektorje rečemo, da so normirani, kadar je njihova Evklidska
norma (norma p = 2) enaka ena:
∑
‖v i ‖ = √ N vim 2 = 1 .
m=1
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

3.5 Signalni prostor (drugič) 75
Pri tem je zelo razširjena navada, da pri simbolnem zapisu Evklidske
norme izpuščamo indeks, ki določi tip norme, torej jo
označimo le z ‖ · ‖ in jo na kratko imenujemo norma. Normo
lahko določimo tudi s skalarnim produktom:
‖v i ‖ = 〈v i , v i 〉 1/2 .
Norma (natančneje Evklidska norma) vektorja seveda ni nič drugega
kot dolžina vektorja. Normirani in ortogonalni vektorji tvorijo
množico ortonormiranih vektorjev. Zanje velja:
{
0 i ≠ j
v i · v j =
.
1 i = j
Dva vektorja izpolnjujeta trikotniško neenakost:
‖v i + v j ‖ ‖v i ‖ + ‖v j ‖ ,
v kateri velja enakost le takrat, ko sta vektorja v i in v j vzporedna,
torej ko velja v i = αv j , kjer je α pozitivno realno število.
V razdelku 2.8.3 na strani 39 smo izpeljali Cauchy-Schwartz neenakost.
Ta se pri vektorjih glasi:
‖v i · v j ‖ ‖v i ‖ · ‖v j ‖ ,
v kateri velja enakost, če velja v i = αv j .
Na kraju še povzemimo postopek konstrukcije množice ortonormalnih
vektorjev iz množice N-dimenzionalnih vektorjev, ki
jo naredimo z Gram-Schmidtovim postopkom. Konstrukcijo ortonormiranih
vektorjev pričnemo z izbiro poljubnega vektorja iz
množice vektorjev, za katero konstruiramo ortonormalno množico.
Naj bo izbrani vektor na primer vektor v 1 . Ta vektor najprej
normaliziramo, torej podelimo z njegovo dolžino. Dobimo:
u 1 = v 1
‖v 1 ‖
Nadaljujemo z izbiro naslednjega vektorja, na primer vektorja
v 2 . Od njega najprej odštejemo projekcijo v 2 na u 1 :
in rezultat normaliziramo:
u ′ 2 = v 2 − 〈v 2 , u 1 〉u 1 .
u 2 = u′ 2
‖u ′ 2 ‖ .
.

76 3. Izražanje signalov z baznimi funkcijami
Postopek nadaljujemo z izbiro vektorja v 3 . Najprej odštejemo
njegovo projekcijo na vektorja u 1 in u 2 :
u ′ 3 = v 3 − 〈v 3 , u 1 〉u 1 − 〈v 3 , u 2 〉u 2 .
Po normalizaciji u ′ 3 nadaljujemo s postopkom, dokler ne izčrpamo
vseh vektorjev, za katere bi radi zgradili množico baznih, ortonormalnih
funkcij. Gram-Schmidtov postopek na splošno (za
funkcije) smo izpeljali že v prejšnjem razdelku (stran 71).
3.5.2 Signalni prostor je vektorski prostor
V razdelkih od 2.5 do vključno 2.8 smo izpeljali koncept signalnega
prostora. Pri tem smo izhajali iz predstave, da je funkcija
nad intervalom (a, b), neskončno dimenzionalni vektor. S to predstavo
smo izpeljali skalarni produkt med funkcijami, definirali
ortogonalnost in ortonormalnost med funkcijami, izmerili signal
z normami itd. Zato dopolnimo gledanje na signalni prostor z
naslednjo definicijo:
DEFINICIJA 13 (Signalni prostor)
Signalni prostor je linearni vektorski prostor, v katerem je definiran
skalarni produkt.
To definicijo ponavadi omejimo še z:
s 3
1
2
s 2
1
s 1
-1
1 2
2
Slika 3.5-1
DEFINICIJA 14 (Koordinatni sistem signalnega prostora)
Koordinatni sistem signalnega prostora tvorijo bazne funkcije.
S tem pogledom na signalni prostor je seveda izražanje signala
z ortonormalnimi baznimi funkcijami opis vektorja z njegovimi
koordinatami. Povedano drugače, signal si lahko predstavljamo
kot vektor, katerega izrazimo z linearno kombinacijo
koordinat - to je linearno kombinacijo baznih funkcij.
3.5.3 Predstavitev signalov kot vektorjev
Opis signala kot vektorja je geometrijsko predstavljiv le pri dvo in
tri-dimenzionalnih signalnih prostorih. Ker je klasična predstavitev
vektorja s poltrakom nerodna, ponavadi predstavimo vektor
s točko na konici vektorja. Na primer, signale s slike 3.4-4 iz
prejšnjega primera predstavimo v signalnem s točkami s koordinatami
(slika 3.5-1):
(√ )
s 1 = 2, 0
, s 2 =
(
0, √ )
2
, s 3 = (−1, 1) .
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Poglavje 4
Sistemi
Sistem je del okolja, ki ustvarja signale, ali pa se na njih odziva.
Zato s sistemi lahko preoblikujemo signale. Na splošno sisteme
opisujemo na dva načina:
s spremenljivkami stanja sistema,
z vhodno-izhodnim opisom.
Opis s spremenljivkami stanja se uporablja predvsem v teoriji
sistemov in regulacijah, zato ga ne bomo obravnavali. Pozornost
bomo namenili le vhodno-izhodnemu opisu. Te bomo imenovali
kar vhodno-izhodni sistemi. Predstavili jih bomo kot operatorje,
ki vhodne signale preslikajo ali transformirajo v izhodne signale.
Mnogokrat bomo
zaradi krajšega pisanja
vhodne signale
imenovali kar vhod in
izhodne signale izhod.
4.1 Vhodno-izhodni sistemi
Vhodno-izhodni sistem določa transformacija T, ki priredi določeni
množici vhodnih signalov (končno) množico izhodnih signalov.
Povedano drugače: transformacija T je določena z množico parov,
ki jih tvorijo vrednosti vhodnega signala in njej pripadajoči
možni izhodni signali. Take sisteme formalno opišemo z naslednjo
definicijo:
DEFINICIJA 15 (Vhodno-izhodni sistem)
Vhodno-izhodni sistem določa vhodna množica signalov V, izhodna
množica signalov Y in podmnožica pravil preslikave T, ki so
povezani s produktom V × Y.
77

78 4. Sistemi
Vsak par (v, y) ∈ T z v ∈ V in y ∈ Y imenujemo vhodnoizhodni
par, ki vhodu v priredi izhod y.
Grafično predstavitev definicije sistema vidimo na sliki 4.1-1. Za
splošni sistem vidimo, da ima lahko pri danem vhodu v množico
mogočih izhodnih parov (v, y) ∈ T. Kadar sistem priredi danemu
vhodu le en izhod, imenujemo tak sistem enolično preslikavni
sistem. V nadaljevanju se bomo ukvarjali le s sistemi z
Slika 4.1-1
Vhodno-izhodni sistem, levo:
splošni vhodno-izhodni sistem,
desno: vhodno-izhodni sistem
z enolično preslikavo
izhodna mnoica Y
y v
v
vhodna mnoica V
izhodna mnoica Y
y
v
vhodna mnoica V
enolično preslikavo. Zato jih bomo na kratko imenovali sistemi.
Na splošno predstavimo transformacijo oziroma preslikavo T z:
y(t) = T [v(t)] . (4.1-1)
in prikažemo z blokovnim diagramom, kot to kaže slika 4.1-2.
Sistem torej priredi vhodnemu signalu izhodni signal. Pri tem
poudarimo:
Transformacija ne označuje matematične funkcije, s katero bi lahko
pri danem vhodu izračunali izhod. V ta namen rabimo matematični
model ali, na kratko, model sistema.
Slika 4.1-2
Abstraktna predstavitev
splošnega sistema
v( t)
v( n)
T
y( t) = T[ v( t)]
y( n) = T[ v( n)]
Pri časovno zveznih sistemih model ponavadi opišemo s sistemom
diferencialnih enačb, pri časovno diskretnih pa s sistemom
diferenčnih enačb.
ZGLED 4.1-1 Opis sistema s transformacijo
Opišimo sistem na sliki 4.1-3 s transformacijo in zanj poiščimo povezavo med
vhodom in izhodom.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.1 Vhodno-izhodni sistemi 79
u( t)
i( t)
R
L
Slika 4.1-3
Električno vezje z elementoma
R in L
Vhod sistema je napetost u(t), izhod pa tok i(t). Zapis tega sistema s
transformacijo je:
i(t) = T[u(t)] . (4.1-2)
Diferencialna enačba, s katero opišemo model sistema, to je dogajanje v sistemu,
dobimo iz Ohmovega in 1. Kirchoffovega zakona. Za ta sistem velja:
L di(t)
dt
+ Ri(t) = u(t) . (4.1-3)
Vidimo, da zapis v obliki transformacije v (4.1-2) simbolično podaja eksplicitno
povezavo med vhodom in izhodom sistema, ki jo določa (4.1-3), ki pa je linearna
diferencialna enačba prvega reda.
♦
Posvetimo se še malo razliki med fizikalnim sistemom in njegovim
modelom. Vezje na sliki 4.1-3 lahko na primer predstavlja:
stvarno povezavo upora, tuljave in generatorja,
analogijo fizikalnega sistema, ki ga opišemo z diferencialno
enačbo, ki je podobna (4.1-3), ali
nadomestno vezje fizikalnega sistema, ki vsebuje poljubno število
fizikalnih elementov.
V slednjem primeru govorimo, da modeliramo sistem z določeno
nenatančnostjo. Poudarimo:
Natančnost modela, s katerim opišemo neki fizikalni sistem, je ena
najtežjih in najpomembnejših inženirskih nalog
Kot zanimivost omenimo, da so na primer za določitev modela
raketnega ”boosterja“ (pomožnega zagonskega raketnega
sistema) rakete Saturn V, s katerim so določali višino doleta, uporabili
diferencialno enačbo 27 reda! Šele tako zapleteni enačbi so
verjeli, da dovolj natančno opisuje dogajanje po izstrelitvi rakete
v času delovanja zagonskega raketnega sistema. Zaključimo z
naslednjim poudarkom:

80 4. Sistemi
Ponavadi, ko govorimo o sistemu, mislimo na matematični model
sistema in ne na njegovo fizikalno sestavo.
Sistemi (s katerimi se bomo ukvarjali) so po dani definiciji vzročni
ali kavzalni. To pomeni, da je izhodni signal sistema reakcija sistema
na vhodni signal.
4.1.1 Primeri sistemov
Kaj vse pa je lahko sistem? Primer fizikalnega sistema je električni
bojler. Vhodni signal oziroma vhod vanj je električna
napetost u(t), izhod pa temperatura vode ϑ(t) (slika 4.1-4).
Slika 4.1-4
Električni bojler predstavljen
kot sistem.
elektrièni
bojler
v( t) = u( t) y ( t)
= J( t)
napetost
T
temperatura
vode
Sistem je lahko na primer ojačevalnik napetosti. V zgledu
2.4-1 na strani 18 smo ojačali signal. Signal je lahko na primer
električna napetost, ki jo generira mikrofon. Da lahko predvajamo
glas po zvočniku, ga moramo ustrezno ojačati, na primer
za deset krat (slika 4.1-5).
Slika 4.1-5
Primer sistema, ki ga sestavlja
idealni ojačevalnik z ojačenjem
10.
v( t)
idealni ojaèevalnik
z ojaèenjem 10
T
y( t) = 10v( t)
4.1.2 Časovno zvezni in
časovno diskretni sistemi
Večinoma bomo proučevali časovne signale. Zato so tudi sistemi,
ki jih bomo opisali, določeni s časovnimi funkcijami. Glede na
obliko vhodnega in izhodnega signala ločimo časovno zvezne sisteme
in časovno diskretne sisteme. Pri časovno zveznih sistemih
je signalna os zvezna, pri časovno diskretnih sistemih pa diskretna.
V tem poglavju bomo spoznali le splošne lastnosti sistemov,
ki veljajo tako za časovno zvezne kot tudi za časovno diskretne
sisteme.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.1 Vhodno-izhodni sistemi 81
4.1.3 Povezovanje sistemov
Sisteme lahko gradimo iz elementov tako, da jih medsebojno povezujemo.
Pri tem uporabljamo pri grafični predstavitvi povezav
različne simbole. Najpogosteje uporabljani so narisani v naslednjih
slikah.
v t 1( )
v2( t)
v3( t)
v t 1( )
v2( t)
y( t) = v ( t) + v ( t) + v ( t)
1 2 3
y( t) = v ( t) ◊v ( t)
1 2
Slika 4.1-6
Primera simbolov gradnikov
sistemov; zgoraj: seštevalnik
signalov, spodaj: množilnik
Tudi sisteme lahko medsebojno povezujemo. Pri tem poznamo
dve osnovni povezavi: vzporedno ali paralelno ter zaporedno
ali serijsko vezavo (slika 4.1-7). Najprej si oglejmo vzporedno
v( t)
v( t)
sistem
1
sistem
2
sistem
1
y t 1( )
y t 1( )
y2( t)
sistem
2
y( t)
y( t)
Slika 4.1-7
Vzporedna (zgoraj) in
zaporedna (spodaj) povezava
dveh sistemov.
povezavo. Vhod v skupni sistem je v(t), izhod pa določa vsota
izhodov povezanih sistemov:
y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) = T 1 [v(t)] + T 2 [v(t)] = T[v(t)] . (4.1-4)
Pri zaporedni vezavi sistemov pa je izhod skupnega sistema določen
z:
y(t) = T 2 [y 1 (t)] = T 2 (T 1 [v(t)]) = T[v(t)] . (4.1-5)
Enačb (4.1-4) in (4.1-5) brez poznavanja modela sistema ni mogoče
nadalje poenostaviti.

82 4. Sistemi
Slika 4.1-8
Primer sistema. Določa ga
enačba (4.1-7)
v( t)
sistem
1
sistem
2
y t 1( )
y2( t)
v3( t)
sistem
3
sistem
4
y3( t)
y4( t)
y( t)
ZGLED 4.1-2 Povezave sistemov
Izpišimo simbolični zapis sistema, ki ga kaže slika 4.1-8.
v 3(t) = y 1(t) + y 2(t) = T 1[v(t)] + T 2[v(t)]
y 3(t) = T 3[v 3(t)] = T 3
[
T1[v(t)] + T 2[v(t)] ] (4.1-6)
in izhod sestavljenega sistema je
y(t) = y 3(t)y 4(t) = T 3
[
T1[v(t)] + T 2[v(t)] ] T 4[v(t)] . (4.1-7)
Iz tega primera vidimo, da podani opis pove le to kako so sistemi medsebojno povezani,
ne daje pa modela skupnega sistema. Če pa so modeli sistemov, iz katerih
je zgrajen sistem, znani, ta opis omogoča (olajša) zapisati model sestavljenega
sistema.
♦
4.2 Sistemi s povratno zanko
Zelo pomembni sistemi so sistemi s povratno zanko. Uporabljamo
jih v regulacijah. S terminom regulacije ponavadi opredeljujemo
uravnavanje delovanja ali lastnosti brez posega človeka. Včasih to
dejstvo poudarimo s pridevnikom avtomatsko, torej avtomatska
regulacija.
Primeri regulacij so številni. Pravzaprav si danes le težko
predstavljamo življenje brez regulacijskih sistemov, ki samodejno
skrbijo za mnoge naše potrebe: na primer za vzdrževanje konstantne
temperature v stanovanju ali na delovnem mestu, usmerjanje
letala ali ladje z ”avtopilotom“ itd. .
Osnovno zgradbo sistema s povratno zanko kaže slika 4.2-
1. Regulator je fizični sistem, ki ga načrtamo tako, da bo imel
skupni sistem želene lastnosti oziroma karakteristike. Med najpomembnejše
lastnosti sodi stabilnost. Senzor meri signal, ki ga
želimo regulirati. Signal pogreška e(t) je mera razlike med želeno
in dejansko vrednostjo izhoda sistema.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.2 Sistemi s povratno zanko 83
v( t)
regulator
e( t) sistem 1:
T
1
y3( t)
y ( t) = v ( t)
1 2
senzor
sistem 3:
T
3
regulirani
sistem
sistem 2:
T
2
v1( t) = y( t)
y( t)
Slika 4.2-1
Sistem s povratno zanko.
Sistem s povratno zanko na sliki 4.2-1 opišemo z:
e(t) = v(t) − y 3 (t) = v(t) − T 3 [y(t)]
in
y(t) = T 2 [v 2 (t)] = T 2 [ T 1 [e(t)] ] (4.2-1)
= T 2 [ T 1 [v(t) − T 3 [y(t)] ] ] . (4.2-2)
Izhod sistema smo izrazili kot funkcijo vhoda in izhoda sistema.
Zapisa (4.2-2) ne moremo še bolj poenostaviti, če ne poznamo
matematičnih modelov regulatorja, reguliranega sistema in senzorja.
Pri poznavanju teh modelov pa ga uporabimo za izpeljavo
skupnega modela.
ZGLED 4.2-1 Sistem s povratno zanko
Za sistem na sliki 4.2-1 predpostavimo, da lahko regulator in senzor modeliramo
s preprostim ojačenjem, torej skaliranjem amplitude (v teoriji sistemov in regulacij
imenujemo take sisteme proporcionalni sistemi), regulirani sistem (objekt) pa z
linearno diferencialno enačbo prvega reda oblike y = dv 2
. V tem primeru velja:
dt
y 1(t) = v 2(t) = T 1[v(t)] = K 1e(t)
y 3(t) = T 3[y(t)] = K 3y(t)
y(t) = T 2[v 2(t)] = dv2(t)
dt
kjer sta K 1 in K 2 realni konstanti (K 1, K 2 ∈ R), ki določata ojačenje sistema
1 in 2. Iz regulacijskega pogreška e(t):
e(t) = v(t) − K 3y(t)
izračunamo regulacijski signal
v 2(t) = K 1e(t) = K 1[v(t) − K 3y(t)] = K 1v(t) − K 1K 3y(t) .
,
Z upoštevanjem modela objekta dobimo za izhod sistema:
y(t) =
d dt [K1v(t) − K1K3y(t)] = K1 dv(t)
dt
− K 1K 3
dy(t)
dt
.

84 4. Sistemi
Zgornja enačba je model opazovanega sistema. Združimo še spremenljivke na
eni strani enačaja:
dy(t)
dv(t)
K 1K 3 − y(t) = K 1
dt
dt
in dobimo v matematiki običajen zapis linearne diferencialne enačbe prvega reda
s konstantnimi koeficienti.
♦
V zgledu 4.2-1 smo večkrat uporabili lastnosti linearnih funkcij.
Te so nam že znane iz obravnave linearnih prostorov (podpoglavje
2.5 na strani 22). Pomen linearnih funkcij pri modeliranju
sistemov bomo opisali v naslednjem razdelku.
4.3 Lastnosti sistemov
V tem podpoglavju se bomo seznanili z osnovnimi lastnostmi
sistemov. Te lastnosti bomo določili na splošno, ne glede na
posamezni matematični model sistema.
Sistem s pomnjenjem Sistem s pomnjenjem imenujemo dinamični
sistem. Njegova definicija je:
DEFINICIJA 16 (Sistem s pomnjenjem: dinamični sistem)
Če je izhod sistema y(t) odvisen od trenutne in predhodnih vrednosti
vhoda v(t), je sistem s spominom, torej dinamični sistem.
V primeru, ko je trenutni izhod odvisem le od trenutnega
vhoda, je sistem brez pomnjenja.
Primer dinamičnega sistema je integrator. Definiran je z:
y(t) =
∫ t
−∞
v(τ) dτ ,
torej je izhod integratorja odvisen od vseh predhodnih vrednosti
vhoda v(t), zato ga lahko obravnavamo kot dinamični sistem.
Primer vezja s pomnjenjem, ki ga opišemo z integratorjem, je
kondenzator s tokom i kot vhodom in napetostjo u kot izhodom:
u(t) = 1 C
∫ t
−∞
i(τ) dτ = q(t)
C
. (4.3-1)
V (4.3-1) smo s q(t) označili naboj, ki se ob pritisnjeni napetosti
na kondenzator kopiči v kondenzatorju. Torej je naboj v kondenzatorju
odvisen od vsega toka, ki je do opazovanega trenutka
pritekel v kondenzator.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.3 Lastnosti sistemov 85
Sisteme brez pomnjenja imenujemo tudi statični sistemi. Kot
smo že definirali, je pri njih trenutni izhod odvisen le od trenutnega
vhoda. Primer takega sistema je idealni ojačevalnik, ki
smo ga že spoznali. Modelirali smo ga z:
y(t) = Kv(t) t ∈ R .
Sistem brez pomnjenja je tudi upor (spomnimo se Ohmovega zakona!)
ali pa seštevalnik dveh signalov, množilnik dveh signalov
itd.
Invertibilnost Invertibilnost je lastnost, pri kateri je med dvema
spremenljivkama enolična povezava. To pomeni, da lahko s poznavanjem
ene enoumno določimo drugo. Pri sistemih to pomeni
naslednje:
DEFINICIJA 17 (Invertiranje)
Sistem je invertibilen, če za vsak izhod obstaja le en sam vhod.
Primer invertibilnega sistema je idealni ojačevalnik z ojačenjem
K. Zanj lahko zapišemo:
y(t) = Kv(t) ⇒ v(t) = 1 y(t) . (4.3-2)
K
Pri sistemu, kjer je izhod potenca vhoda, invertibilnosti ni. Na
primer:
y(t) = x 2 (t) ⇒ v(t) = ± √ y(t) . (4.3-3)
Če je v (4.3-3) signal napetost, je na primer izhodna napetost 9
V, je vhodna napetost lahko 3 V ali −3 V.
Inverzni sistem Če sistem opravi preslikavo v(t) → y(t), inverzni
sistem opravi preslikavo y(t) → v(t), seveda le, če je preslikava
v(t) → y(t) invertibilna. Iz tega sledi, da zaporedna vezava sistema
in njemu inverznega sistema tvori tako imenovani identični
sistem. To je sistem, ki ima izhod enak vhodu. Primeri identičnih
sistemov so:
Idealen ojačevalnik z ojačenjem 1.
Zaporedna vezava idealnih ojačevalnikov z ojačenji K in 1/K.
V tej vezavi ojačevalnikov drugi ojačevalnik oslabi signal ravno
za toliko, kot ga prvi ojači, zato je izhodni signal enak vhodnemu.

86 4. Sistemi
itd.
Povedano z drugimi besedami: inverzni sistem opravi inverzno
transformacijo, zato njegovo delovanje simbolično označimo s
T −1 . Za sistem in njemu inverzni sistem torej velja:
y(t) = T[v(t)] ⇒ v(t) = T −1 [y(t)] . (4.3-4)
Zaporedno vezavo poljubnega sistema in njemu inverznega sistema
kaže slika 4.3-1.
Slika 4.3-1
Inverzni sistem.
v( t)
inverzni
sistem
sistem
y( t)
T T -1
v( t)
Vzročnost Vsi fizikalni sistemi so vzročni. To na kratko pomeni,
da posledica ne more nastati pred svojim vzrokom oziroma
v obliki definicije:
DEFINICIJA 18 (Vzročni ali kavzalni sistem)
Sistem je vzročen, ko je trenutna vrednost izhodnega signala sistema
odvisna samo od trenutne in preteklih vrednosti vhodnega
signala:
y(t 0 ) = T[v(t t 0 )] . (4.3-5)
Dinamični sistemi so kavzalni sistemi.
Vzročne sisteme imenujemo tudi neanticipativne sisteme. Iz
4.3-5 sledi, da je sistem s preslikavo
y(t) = v(t − 2)
vzročen, saj je njegov trenutni izhod odvisen od vhoda pred
dvema časovnima enotama. Sistem s preslikavo:
y(t) = v(t + 2)
pa ni vzročen, saj predvideva, da je njegov trenutni izhod enak
vrednosti, ki jo bo vhod zavzel čez dve časovni enoti. Tak sistem
imenujemo anticipativni sistem. Anticipativni sistem je idealni
prediktor.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.3 Lastnosti sistemov 87
ded Input
utput
Stabilnost S stabilnostjo sistemov se predvsem ukvarja teorija
sistemov, zato se bomo tukaj omejili le na definicijo tako imenovane
BIBO stabilnosti:
DEFINICIJA 19 (BIBO stabilni sistem)
Sistem je stabilen, če je pri vsakem amplitudno omejenem vhodu
tudi izhod amplitudno omejen:
|v(t)| M ⇒ |y(t)| = T[v(t)] N , M, N < ∞ . (4.3-6)
Grafično predstavitev pogoja BIBO stabilnosti kaže slika 4.3-2.
v( t)
N
y( t)
N
-M
t
-M
t
Slika 4.3-2
Amplitudno omejeni signali
Primer BIBO stabilnega sistema je identični sistem. Pri njem
je zaradi v(t) = y(t) tudi M = N. Idealni integrator, ki ga določa
y(t) =
∫ t
0
v(τ) dτ ,
ni stabilen sistem. Če je na primer vhod enotska stopnica u(t), ki
je omejena funkcija, je izhod strmina y(t) = t, ki pa ni omejena,
saj z naraščanjem t neprestano narašča.
Stabilnost je osnovna lastnost, ki jo zahtevamo od vseh sistemov.
Nestabilni sistemi so brez praktične vrednosti.
Časovna neodvisnost Časovno neodvisnim ali tudi časovno
invariantnim sistemom se lastnosti s časom ne spreminjajo. Definicija
tega se glasi:
DEFINICIJA 20 (Časovno nedvisni sistem)
Sistem je časovno neodvisen, če časovni premik (zakasnitev) vhoda
povzroči le časovni premik izhoda:
v(t − t 0 ) → y(t − t 0 ) .

88 4. Sistemi
Časovno neodvisne sisteme imenujemo tudi pomično neodvisne
sisteme. Test časovne neodvisnosti ilustrira slika 4.3-3. Na
Slika 4.3-3
Časovno neodvisni sistem
zakasnitev t 0
y( t - t0)
zakasnitev t 0
v( t - t0)
sistem
y( t - t0)
v( t) y( t)
sistem
v( t)
njej vidimo, da lahko signal y(t − t 0 ) dobimo ali z zakasnitvijo
izhoda za t 0 ali z zakasnitvijo vhoda za t 0 .
4.4 Linearni sistemi
Linearnost je ena najpomembnejših lastnosti sistemov, ki jih uporabljamo
pri teoriji signalov. Uporabili smo jo že pri obravnavi
signalov, zato tukaj le ponovimo:
DEFINICIJA 21 (Linearnost)
Sistem je linearen, če izpolni naslednja kriterija:
1. Aditivnost: če sistem preslika v 1 (t) → y 1 (t) in v 2 (t) → y 2 (t),
potem preslika tudi v 1 (t) + v 2 (t) → y 1 (t) + y 2 (t)
2. Homogenost: če sistem preslika v(t) → y(t), potem preslika tudi
αv(t) → αy(t), kjer je α konstanta.
Navedene lastnosti morajo veljati za vse v 1 (t), v 2 (t) in α.
Kriterija v definiciji vodita do pomembne lastnosti linearnih
sistemov, to je superpozicije. Če sistem preslika v n (t) → y n (t)
potem tudi velja:
α 1 v 1 (t) + α 2 v 2 (t) → α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) ,
kjer sta α 1 in α 2 konstanti.
superpozicije, linearni sistem.
Torej je sistem, ki izpolni pogoj
4.4.1 Odziv linearnega časovno diskretnega sistema
Opazujmo poseben primer, ko je vhodni signal enotski impulz
∆(n). Sistem, ki je časovno diskretni, linearni, pomično neodvisni
ter relaksiran, se naj nanj odzove s signalom h(n). Predpo-
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.4 Linearni sistemi 89
stavimo še, da ta odziv poznamo (slika 4.4-1).
D( n)
1 1
h( n)
0 0
-1 0 1 2 3 t
-1 0 1 2 3
T
v
y
t
= h( n)
Slika 4.4-1
Odziv linearnega, časovno
neodvisnega sistema na
enotski impulz
S terminom relaksirani sistem opisujemo sistem, ki ima prazne
pomnilniške elemente:
in je izhod sistema enak:
T : ∆(n) → h(n)
y(n) = h(n) .
Zaradi naštetih lastnosti sistema je odziv sistema na zakasnjen
enotski impulz enak kot prej, le da je zakasnjen za toliko,
kot je zakasnjen enotski impulz (slika 4.4-2):
na izhodu pa dobimo:
T : ∆(n − m) → h(n − m) ,
y(n) = h(n − m) .
V primeru, da si na vhodu sledita dva enotska impulza, na primer
∆(n) in ∆(n − m), dobimo na izhodu signal, ki je vsota odzivov
na posamezni enotski impulz (slika 4.4-3):
y(n) = h(n) + h(n − m) .
Z induktivnim sklepanjem ugotovimo, da je izhod obravnavanega
sistema pri zaporedju enotskih impulzov na vhodu, ki se prične
( n m)
( m 2 )
h( n m)
( m 2)
1 1
0 0
-1 0 1 2 3 t
T
v
-1 0 1 2 3 t
y h( n m)
Slika 4.4-2
Odziv linearnega, časovno
neodvisnega sistema na
zakasnjeni enotski impulz.

90 4. Sistemi
D( n)
D( n m)
1 - h( n)
1
h ( n - m )
Slika 4.4-3
Odziv linearnega, časovno
neodvisnega sistema na dva
enotska impulza.
0 0
-1 0 1 2 3 t
T
v
1
-1
0
1
2
3
y( n) = h( n) + h( n - m)
t
0
-1
0
1
2
3
t
v trenutku −M in konča v trenutku N, enak vsoti odzivov na
posamezne enotske impulze:
y(n) = h(n + M) + h(n + M − 1) + · · · h(n) + · · · h(n − N)
=
N∑
m=−M
h(n − m) .
Pri linearnih sistemih se s skalarjem pomnoženi vhod preslika v
s skalarjem pomnoženi izhod. Torej velja:
in zato tudi:
α m ∆(n − m) → α m h(n − m)
y(n) =
N∑
m=−M
h(n − m) · α m . (4.4-1)
Sedaj predpostavimo, da imamo na vhodu sistema signal v(m),
za katerega velja:
v(m) = α m · ∆(n − m) = α m . (4.4-2)
V (4.4-2) smo upoštevali, da je ∆(n) enotski impulz, torej ima
∆(n − m) v trenutku m vrednost 1 ( v vseh ostalih pa je nič).
Zato lahko (4.4-1) z upoštevanjem (4.4-2) zapišemo v obliki:
y(n) =
N∑
m=−M
h(n − m) · v(m) . (4.4-3)
Obrazec (4.4-3) imenujemo linearna konvolucija 1 ali na kratko
kar konvolucija v diskretni obliki. Iz njega sledi, da lahko pri
1 Poznamo tudi krožno konvolucijo, ki pa je tukaj ne obravnavamo.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.4 Linearni sistemi 91
poznavanju odziva sistema na enotski impulz (pri časovno neodvisnih
in linearnih sistemih) eksplicitno določimo izhod.
Veljavnost (4.4-3) se pri BIBO stabilnih sistemih ohrani tudi
pri neprehodnih signalih, to je pri signalih neskončnega trajanja.
Pri njih velja −M → −∞, N → ∞, konvolucijo pa določa
obrazec:
∞∑
y(n) = h(n − m) · v(m) . (4.4-4)
m=−∞
4.4.2 Odziv linearnega časovno
neodvisnega zveznega sistema
Obrazec za konvolucijo pri časovno zveznih, časovno neodvisnih
sistemih lahko izpeljemo z limitnim postopkom, v katerem diskretni
približek zveznega signala prevedemo v zvezni signal. Poglejmo!
Zvezni signal v(t) nadomestimo s približkom, ki ga tvori zaporedje
impulzov {ˆv(n)}, katerih ploščina je sorazmerna ploščini
pravokotnih pulzov širine ∆τ in višine v(n∆τ) (slika 4.4-4):
v( t)
v( n
)
v( n)
-2
-1
0
t
v( n ) ( t n
)
Slika 4.4-4
Povezava med zveznim
signalom in njegovim
diskretnim približkom.
-2 -1 0
M a
( n 1)
n
t
N b
ˆv(n) = v(n∆τ)∆τ · δ(t − n∆τ) . (4.4-5)
To zaporedje impulzov pošiljamo v trenutkih
a = −M∆τ, . . . , −∆τ, 0, ∆τ, 2∆τ, . . . , n∆τ, . . . , N∆τ = b
v sistem, ki povzroči zaporedje odzivov:
{v(n∆τ)∆τ · h(t − n∆τ)} ,
Zaradi krajšega pisanja
sta v nadaljevanju za
linearni časovno
neodvisni zvezni sistem
in linearni časovno
neodvisni diskretni
sistem uporabljana
termina zvezni oziroma
diskretni sistem.

92 4. Sistemi
kjer je h(t−n∆τ) odziv zveznega sistema na Diracov impulz δ(t−
n∆τ) (slika 4.4-5). Odziv zveznega sistema v trenutku n∆τ na
Slika 4.4-5
Odziv zveznega sistema na
Diracov impulz.
0 0
-1 0 1 2 3 t
-1 0
T
v
( n m
)
m 2
h( t m
)
1
2
3
y h( n m
)
( m 2)
t
vhodno zaporedje pulzov {ˆv(n)} sedaj določimo (podobno kot pri
diskretnih sistemih) s seštevkom trenutnega in vseh predhodnih
odzivov:
y(n∆τ) =
=
n∑
r=−M
n∑
r=−M
y τ (n − r)
v[(n − r)∆τ]∆τ · h[t − (n − r)∆τ]
vpeljimo novo oznako n − r = m (iz nje sledi r = n − m):
=
n∑
m=−M
v(m∆τ)∆τ · h[t − m∆τ) . (4.4-6)
Če v limitnem postopku manjšamo ∆τ proti dτ, je v tem primeru
za vsako točko na signalni osi določena vrednost v(m∆τ) = v(t),
zato n∆τ → t, m∆τ → τ in vsota v (4.4-6) preide v integral:
y(n∆τ }{{}) = lim
t
y(t) =
∆τ→0
n→∞
∫ t
a
n∆τ=t
∑
m∆τ=a
m=m∆τ+∆τ
} {{ }
∫ t
a
v(m∆τ } {{ }) }{{} ∆τ
τ dτ
h(t − m∆τ } {{ })
τ
v(τ)h(t − τ) dτ . (4.4-7)
Integral v (4.4-7) povezuje izhod zveznega sistema z zveznim
vhodnim signalom v(t) in s h(t − τ). Imenujemo ga konvolucijski
integral.
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.4 Linearni sistemi 93
4.4.3 Konvolucija ali pregib
Simbolično konvolucijo zapišemo z y = h∗v oziroma, kadar želimo
poudariti, ali gre za časovno diskretne ali pa za časovno zvezne
sisteme z:
y(t) = h(t) ∗ v(t) , t ∈ R y(n) = h(n) ∗ v(n) , n ∈ Z .
Pri izpeljavi konvolucijskih obrazcev smo upoštevali lastnosti linearnih,
časovno neodvisnih sistemov. Pri teh sistemih velja teorem
superpozicije.
Pri časovno spremenljivih sistemih se odziv s časom spreminja,
zato zanje ne konvolucijski obrazec ne obstoja. pri zveznih
sistemi namesto njega uporabljamo superpozicijski integral, v katerem
namesto impulznega odziva h(t−τ) nastopa impulzni odziv
h(t, τ):
y(t) =
∫ t
a
v(τ)h(t, τ) dτ . (4.4-8)
V dosedanji obravnavi smo upoštevali, da je vhodni signal
končnega trajanja. To seveda pri izračunu odziva ni omejitev.
Zato poudarimo:
Če se vhodni signal v(t) prične v določenem trenutku, na primer v
t = 0 in še traja, je odziv zveznega sistema določen z:
y(t) =
∫ t
0
h(t − τ)v(τ) dτ . (4.4-9)
Določeni integrali s spremenljivo zgornjo mejo so zvezne funkcije te
meje. Z drugimi besedami, konvolucija je funkcija, ki opisuje potek
odziva sistema.
ZGLED 4.4-1 Sistem z integratorjem
Določimo impulzni odziv integratorja!
Iz obravnave posplošenih signalov (podpoglavje 2.10 na strani 49) vemo, da
za Diracov impulza velja:
{
∫
1 pri t = 0
∞
δ(t) =
in x(t)δ(t) dt = x(0) . (2.10-1)
0 sicer
−∞
Iz tega sledi:
y(t) =
=
∫ t
0
∫ t
0
δ(t) dt (4.4-10)
h(t − τ)δ(τ) dτ =
∫ t
0
h(t)δ(τ) dτ . (4.4-11)

94 4. Sistemi
Ker imamo le en vhodni pulz v trenutku nič, je τ = 0. Iz podobnosti integrala
(4.4-10) z integralom (4.4-11) in iz lastnosti (2.10-1) sledi:
y(t) = h(t) =
∫ t
0
1δ(t) dt =
∫ ∞
−∞
δ(t) dt = 1 , t 0 . (4.4-12)
Torej je impulzni odziv integratorja enak ena, njegov odziv na Diracov impulz pa
enotska stopnica:
y(t) =
∫ t
0
δ(t) dt = u(t) .
Blokovno shemo integratorja kaže slika 4.4-6. Še mimogrede: integrator je zelo
Slika 4.4-6
Primer sistema z
integratorjem. Zgoraj: sistem
je predstavljen s simbolom za
integrator, spodaj: sistem je
predstavljen z impulznim
odzivom.
( t)
t
y( t) z ( t) dt u( t)
( t)
y( t) = h( t)* ( t) = u( t)
h( t) = 1
pogost gradnik sistemov.
♦
Konvolucijski sistemi Dejansko je odziv sistema na poljubni
vhodni signal superpozicija impulznih odzivov sistema uteženih
z vhodnim signalom. Zato poudarimo:
Linearni, časovno diskretni preslikavni sistem s signalno
osjo T ∈ Z in realnim ali kompleksnim
vhodom in izhodom je časovno neodvisni sistem
takrat in samo takrat, če je konvolucijski sistem.
Linearni, časovno zvezni preslikavni sistem s signalno
osjo T ∈ R in realnim ali kompleksnim
vhodom in izhodom je časovno neodvisni sistem
takrat in samo takrat, če je konvolucijski sistem.
Vsi sistemi, s katerimi se bomo ukvarjali v tej knjigi, so konvolucijski
sistemi, torej linearni, časovno neodvisni sistemi. Te
sisteme se pogosto označuje z LTI (Linear Time Invariant) sistemi.
LTI sistemi so seveda lahko časovno zvezni ali časovno
diskretni.
Pregib V naslovu podpoglavja smo h konvoluciji zapisali besedo
pregib. Čeprav se ta termin v slovenščini le redko uporablja
kot sinonim za konvolucijo, ga bomo v tem razdelku opravičili.
Pri tem bomo spoznali tudi ozadje obrazcev za konvolucijo.
Beseda pregib je prevod terminov faltung (nemško) oziroma
convolution (angleško). Termina poudarjata, da pri računanju
konvolucije zasučemo, to je prepognemo signalno os. To uvidimo
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.4 Linearni sistemi 95
iz naslednje izpeljave. Vpeljimo zamenjavo spremenljivk:
t − τ = η
in predpostavimo, da se je signal pričel v trenutku nič ter da še
traja. Odziv sistema, določa ga (4.4-10), je:
y(t) =
∫ t
0
h(η)v(t − η) dη . (4.4-13)
Opazujmo signal v(t + η)! To je signal v(η), ki je na signalni osi
za t premaknjen v levo (slika 4.4-7). Torej del tega signala, ki
v( t)
t
0
Slika 4.4-7
Potek signala v(t + η).
je levo od izhodišča η = 0, pripada preteklosti funkcije v(t + η).
Odsek (t + η), ki pa je desno od izhodišča η = 0, je prihodnost
opazovanega signala.
Sedaj si oglejmo potek signala v(t − η), ki se nahaja pod integralom
v (4.4-13)! Signal v(t − η) nastane iz signala v(t + η)
tako, da η spremenimo predznak. To pomeni, da signal preganemo
tako, da je njegov začetek v točki t (slika 4.4-8).
v( t)
0
h( )
t
v( t)
Slika 4.4-8
Signal v(t − η) in odziv h(η)
in
Glede na to, da obravnavamo vzročni sistem, velja:
h(η) = 0 če je η < 0
v(t − η) = 0 , η > t + a ,
smemo raztegniti meji integrala na vso realno os. Vzporedno
zapišimo konvolucijska obrazca za časovno diskretne in za časovno
zvezne signale in sisteme:

96 4. Sistemi
Časovno zvezni signali:
∫ ∞
y(t) = h(τ)v(t − τ) dτ (4.4-14)
oziroma:
−∞
∫ ∞
y(t) = h(t − τ)v(τ) dτ . (4.4-15)
−∞
Časovno diskretni signali:
∞∑
y(n) = h(n)v(n − m) (4.4-16)
m=−∞
oziroma:
∞∑
y(n) = h(n − m)v(m) . (4.4-17)
m=−∞
Iz integrala v (4.4-14) in s slike 4.4-8 lahko razberemo, da
prispeva sedanji vrednosti izhoda y(t) vsa preteklost vhodnega
signala v(t) uteženega z impulznim odzivom h(t), ki pripada sistemukonvolucija
je
Za dobro razumevanje konvolucije izpišimo še algoritem nje-
komutativna operacija nega računanja pri zveznih signalih. Sledita algoritma za primer,
ko zasučemo vhodni signal (na levi strani) in za primer, ko
zasučemo impulzni odziv. Oba algoritma imata enak rezultat!
1. preganemo vhodni signal:
v(t) → v(−t),
2. preganjeni signal premikamo po signalni
osi za τ,
3. množimo (točko za točko) vhodni signal z
impulznim odzivom:
h(t)v(τ − t),
4. zmnožke integriramo, glej (4.4-14).
1. preganemo impulzni odziv:
h(t) → h(−t),
2. preganjeni impulzni odziv premikamo po
signalni osi za τ,
3. množimo (točko za točko) vhodni signal z
impulznim odzivom:
h(τ − t)v(t),
4. zmnožke integriramo, glej (4.4-15).
Naštete korake ponovimo za vsak τ. Postopek konvolucije
si lahko predstavljamo kot lokalno povprečenje vhodnega signala
z zasukanim oziroma preganjenim in premikajočim se impulznim
odzivom (slika 4.4-9). Ker pri računanju izhodnega signala uporabimo
pregib impulznega odziva, opravičujemo ime pregib (nemško
faltung, angleško convolution) za to operacijo. To ime so vpeljali
nemški matematiki, ki so izpeljali konvolucijske obrazce. V nadaljevanju
teksta bomo za te obrazce uporabljali udomačeno ime
konvolucija.
Iz obrazcev konvolucije in s slike 4.4-9 vidimo, da je konvolu-
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.4 Linearni sistemi 97
h( t)
h( t)
0 t
0
t
v( t)
0
a
t
0
a
t
0
a
t
Slika 4.4-9
Postopek računanja
konvolucije
0
a
t
y( t)
0
a
t
0
a
t
cija po postopku računanja zelo podobna korelaciji. Razlika med
njima je le v zasuku enega od signalov, zato imata korelacija in
konvolucija signalov, kjer je signal h sodi, enak rezultat!

98 4. Sistemi
4.4.4 Impulzni odziv
Funkcijo h, ki je odziv sistema na vzbujanje z enotskim impulzom,
imenujemo impulzni odziv. V diskretnih sistemih je to odziv
na Kroneckerjev impulz ∆, pri zveznih pa na Diracov impulz δ.
Učinek konvolucije na izhod sistema lahko simbolično prikažemo
z:
v −−−−−−−−−−−−→
konvolucija s h
y , ∆ ali δ −−−−−−−−−−−−→
konvolucija s h h .
Iz impulznega odziva lahko na primer takoj vidimo, ali je sistem
vzročen ali ne. Če je vzročen, potem seveda velja že znani pogoj:
h(t) = 0 , t < 0 . (4.4-18)
Nadalje lahko vidimo, ali je sistem stabilen. Za BIBO stabilnost
konvolucijskega sistema lahko definiramo:
DEFINICIJA 22 (BIBO stabilnost konvolucijskih sistemov)
Časovno diskretni ali časovno zvezni konvolucijski sistem je BIBO
stabilen, če je odziv sistema y na vsak vhod v s končno amplitudo
končno velik. Torej,
če je ‖v‖ ∞ < ∞, potem je ‖y‖ ∞ < ∞
Ker je odziv konvolucijskega sistema določen z impulznim odzivom
h, seveda ne preseneča, da lahko stabilnost takega sistema
preverimo s proučitvijo impulznega odziva. Iz zgornje definicije
BIBO stabilnosti lahko povzamemo, da je konvolucijski sistem
BIBO stabilen takrat (in samo takrat), ko ima impulzni odziv h
končno vitalnost: ‖h‖ 1 < ∞.
□ □ □ □
zahtevna snov
Dokazali bomo, da v primeru, ko je konvolucijski sistem BIBO
stabilen, velja za odziv sistema naslednje:
‖y‖ ∞ ‖h‖ 1 · ‖v‖ ∞ (4.4-19)
pri vsakem vhodu s končno amplitudo. Enakost v (4.4-19) lahko vedno
dosežemo. Na primer, če velja:
⎧
⎨ h ∗ (−t)
pri h(−t) ≠ 0
v(t) = |h(−t)|
⎩
0 drugače
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.4 Linearni sistemi 99
Veljavnost (4.4-19) bomo dokazali le pri časovno diskretnih sistemih.
Za časovno zvezne sisteme je izpeljava dokaza ekvivalentna.
DOKAZ
Izhod časovno diskretnega konvolucijskega sistema y(n) je:
y(n) =
n∑
m=−∞
h(n − m)v(m) , n ∈ Z
Z uporabo trikotniškega izreka za kompleksna števila lahko zapišemo:
n∑
|y(n)| =
h(n − m)v(m)
∣
∣
∑ ∞
|h(n − m)v(m)|
m=−∞
m=−∞
( n
)
∑
= |h(n − m)| ‖v‖ ∞ , n ∈ Z
m=−∞
Pri tem smo upoštevali, da je
|v(m)| sup |v(m)| = ‖v‖ ∞ (4.4-20)
m
pri vseh m ∈ Z. Z zamenjavo spremeljivk n − m = k dobimo:
( n
)
∑
|y(n)| |h(k)| ‖v‖ ∞ = ‖h‖ 1 · ‖v‖ ∞ , n ∈ Z
m=−∞
kar z upoštevanjem (4.4-20) da želeno oceno: ‖y(t)‖ ‖h‖ 1 · ‖v‖ ∞ . □
Iz dokaza lahko povzamemo:
če je vitalnost impulznega odziva ‖h‖ 1 , končna, potem je maksimalna
amplituda odziva ‖y‖ ∞ na vsak vhod s končno amplitudo
‖v‖ ∞ ∞ omejena s ‖h‖ 1 · ‖v‖ ∞ .
□ □ □ □
V blokovnih shemah konvolucijske sisteme ponavadi označimo
s pripadajočim impulznim odzivom (slika 4.4-10).
v( t) y( t) = h( t v t v( n)
h( t) )* ( ) y( n) = h( n
h( n)
)* v( n)
Slika 4.4-10
Levo: zvezni sistem, desno:
diskretni sistem
Zaključimo s poudarkom:
Impulzni odziv h je osnovni podatek o sistemu.
obnaša nek sistem.
Pove, kako se

100 4. Sistemi
4.5 Lastnosti konvolucije
Konvolucija je linearna operacija, zato zanjo veljajo vse lastnosti
linearnih funkcij. Njene lastnosti si oglejmo na primeru dveh
splošnih signalov x in y.
Komutativnost Če obstaja x ∗ y, potem velja tudi:
x ∗ y = y ∗ x .
Asociativnost
Če obstaja (x ∗ y) ∗ z, velja tudi:
(x ∗ y) ∗ z = y ∗ (x ∗ z) .
Distributivnost
Če obstajata x ∗ y in x ∗ z, velja tudi:
x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z .
Če obstaja x∗y, po-
Komutativnost množenja s skalarjem
tem za vsak skalar α ∈ C velja:
α(x ∗ y) = (αx) ∗ y = x ∗ (αy) .
Premik funkcije σ t naj bo operator pomika funkcije po časovni
osi (signala po signalni osi) za čas t, kjer je n ∈ Z pri diskretnih
funkcijah in t ∈ R pri zveznih funkcijah. Če obstaja konvolucija
x ∗ y, potem obstaja tudi za premaknjene funkcije:
σ t (x ∗ y) = (σ t x) ∗ y = x ∗ (σ t y) .
Lastnosti odvajanja
D naj bo operator odvajanja:
Dz(t) = dz(t)
dt
,
z(t) je zvezna, odvedljiva funkcija, potem pri konvoluciji zveznih
signalov, od katerih mora biti vsaj eden odvedljiv, velja:
če je odvedljiv signal x, in
če je odvedljiv signal y.
D(x ∗ y) = (Dx) ∗ y ,
D(x ∗ y) = x ∗ (Dy) ,
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.5 Lastnosti konvolucije 101
4.5.1 Konvolucija signala z Diracovim impulzom
Ponavadi se v učbenikih za teorijo sistemov in tudi za obdelavo
signalov konvolucija časovno zveznih signalov izpelje s pomočjo
lastnosti, ki jo ima Diracov impulz. Mi smo v tej knjigi ubrali
nekoliko drugačno pot, zato si posebej poglejmo konvolucijo signala
z Diracovim impulzom. Ta pristop nam bo koristil kasneje,
ko bomo v nadaljnjih knjižicah o obdelavi signala obravnavali
transformacije signalov in operacije nad njimi.
Iz razdelka 2.10.1 na strani 51 vemo, da integral produkta
časovno zveznega signala x(t) z Diracovim impulzom δ(t − τ) da
vrednost signala v trenutku τ:
∫ ∞
−∞
x(t) · δ(t − τ) dt = x(τ) (4.5-1)
Ta lastnost izhaja iz definicije δ(t) in jo uporabljamo pri vzorčenju
signalov (o tem bo govora v knjižici o digitalni obdelavi signalov)
in pri računanju konvolucije. Če v konvolucijskem integralu vhodni
signal zamenjamo z Diracovim impulzom, iz definicije konvolucije
sledi:
∫ t
−∞
kar simbolično zapišemo z:
x(t − τ)δ(τ) dτ = x(t) ,
x(t) ∗ δ(t) = x(t) ,
oziroma pri upoštevanju (4.5-1) dobimo (slika 4.5-1):
∫ t
−∞
x(t − τ)δ(t − τ) dτ = x(t − τ) ,
x( t)
-
0
( ) ( t - )
t
kar simbolično zapišemo z:
x(t) ∗ δ(t − τ) = x(t − τ) .
y( t)
0
y( t) = x( t - )
t
Zgornje enačbe so zgovorne same po sebi, zato zaključimo samo
z naslednjim poudarkom:
Konvolucija signala z Diracovim impulzom da signal.
Konvolucija signala s časovno premaknjenim Diracovim impulzom
premakne signal za zamik Diracovega impulza.
0
Slika 4.5-1
t

102 4. Sistemi
4.5.2 Konvolucija signala z odvodom Diracovega
impulza
Nadaljujmo s pregledom lastnosti konvolucije z odvodom Diracovega
impulza. Predpostavimo, da je x n-krat odvedljiva regularna
funkcija z n ∈ Z + . Z uporabo lastnosti:
∫ ∞
−∞
δ (n) (t)φ(t) dt = (−1) n φ (n) (0) ,
kjer je n ∈ Z + in φ najmanj n-krat v točki 0 (zvezno) odvedljiva
funkcija, dobimo:
(
x ∗ δ (n)) ∫ ∞
= x(t − τ)δ (n) (τ) dτ (4.5-2)
−∞
kjer je x (n) n-ti odvod funkcije x. Sledi
∣
(n) d(n)
= (−1)
dτ n x(t − τ) ∣∣τ=0
(4.5-3)
= x (n) (t) ; t ∈ R , (4.5-4)
x ∗ δ (n) = x (n) , m, n ∈ Z . (4.5-5)
Lastnosti konvolucije z δ impulzom so povzete v tabeli 4.1.
Tabela 4.1
Lastnosti konvolucije z Diracovim δ impulzom
lastnost
pogoj
1 x ∗ δ (n) = x (n) x je katerakoli regularna ali
generalizirana funkcija, n ∈ Z +
2 δ (m) ∗ δ (n) = δ (m+n) m, n ∈ Z +
ZGLED 4.5-1 Sistem z diferenciatorjem
Določimo impulzni odziv diferenciatorja!
Diferenciator je zvezni vhodno-izhodni sistem s povezavo y = Dv, D je
operator odvajanja. Polni zapis odvajanja je:
y(t) = dv(t) , t ∈ R .
dt
Preprosto lahko preverimo, da je ta sistem linearen in časovno neodvisen, torej
je konvolucijski sistem. Njegov impulzni odziv poiščimo tako, da damo na vhod
Diraciv impulz δ(t). Vemo, da je v tem primeru odziv sistema y(t) = h(t):
h(t) = Dδ(t) = δ (1) (t) .
Torej je impulzni odziv diferenciatorja enak δ (1) . Ker je δ (1) generalizirana funkcija
oziroma distribucija, mnogo avtorji pravijo, da diferenciator kot sistem ne
obstaja, saj v praksi tako δ kot tudi δ (1) ne znamo realizirati.
♦
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

4.6 Obstoj konvolucije 103
4.6 Obstoj konvolucije
Konvolucijo smo v (4.4-14) in (4.4-15), oziroma v (4.4-16) in
(4.4-17) definirani z neskončno vrsto ali integralom. Njen obstoj,
to pomeni izračunljivost, ni sam po sebi umeven. Tako na primer,
konvolucija dveh signalov, ki imata konstantno vrednost,
divergira oziroma narašča preko vseh mej.
Zadostni pogoji za obstoj konvolucije so naslednji:
1. če sta funkciji x ali y ali obe omejenega trajanja,
2. če je evklidska norma signalov x in y končna:
‖x‖ 2 < ∞, ‖y‖ 2 < ∞
(pri tem ni nujno, da obstaja tudi evklidska norma konvolucije:
‖x ∗ y‖ 2 ), ali
3. če obstaja ‖x‖ 1 in ‖y‖ 1 .
Z omejenim trajanjem funkcije povemo, da je funkcija različna
od nič le na omejenem območju definicijske domene. Na primer,
da je različna od nič le nad delom osi T Z pri diskretnih signalih
ali T R pri zveznih signalih, oziroma da obstajata meji
−∞ < M N < ∞, zunaj katerih je funkcija enaka nič (slika
4.6-1).
x( t) x( n)
- M 0 N t
0 n
Slika 4.6-1
Funkciji omejenega trajanja.
Levo: x(t), −M t N,
desno: x(n), n 0.
Iz definicije konvolucije x ∗ y tudi sledi, da je je rezultat konvolucije
lahko različen od nič nad intervalom, katerega dolžina je
vsota intervalov, nad katerimi sta funkciji x in y različni od nič.
4.7 Zaključek
V tem poglavju smo podali elementarni pregled sistemov. Bolj
podrobna in bolj matematično usmerjena izpeljana znanja so v
učbenikih, ki se ukvarjajo s teorijo sistemov, na primer [17].

104 4. Sistemi
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Seznam oznak
operacije
〈 , 〉 skalarni ali notranji produkt
x(t)
na primer 〈a, b〉 = ab sin α α : kot med a in b, a, b iznos a, b.
povprečna vrednost x(t), na primer x(t) = 1 ∫ T /2
T −T /2 x(t) dt = 1 T
spremenljivke
f frekvenca, f = 1/T
h impulzni odziv
h(t) impulzni odziv zveznega linearnega sistema
h(n) impulzni odziv diskretni linearnega sistema
p(t) trenutna moč
r(τ) korelacija
r x (τ): avtokorelacija signala x(t)
r xy (τ): križna korelacija signala x(t) s signalom y(t)
u(t) enotska stopnica, u(t) = 1, t 0
v vhodni signal
x signal
x(t) zvezni časovni signal
x(n) diskretni časovni signal
x q amplitudno diskretni signal
x q (t) amplitudno diskretni zvezni časovni signal
x q (n) amplitudno diskretni časovni signal
∫
T
x(t) dt
105

106 4. Sistemi
x ∗
y
konjugirano kompleksni signal
če je x(t) = a(t) + jb(t), potem x ∗ (t) = a(t) − jb(t)
izhodni signal
E
P
T
δ(t)
∆(n)
φ(t)
ω
A
C
N
R
T
Z
energija
povprečna moč, P = 1 ∫
T T
p(t) dt
perioda (periodičnega) signala, x(t) = x(t + T ), T = 1 f
Diracov impulz
enotski ali Kroneckerjev impulz
bazična funkcija
krožna frekvenca, ω = 2πf = 2π
T
množice
amplitudno območje signala, amplitudni razmah (interval realnih števil)
prostor kompleksnih števil
C N : prostor kompleksnih N-teric
prostor naravnih števil
prostor realnih števil
R N : prostor realnih N-teric
signalna os
prostor celih števil
Z − : nepozitivna (seminegativna) cela števila
Z + : nenegativna (semipozitivna) cela števila
transformacije
T transformacija, preslikava signala
T −1 inverzna transformacija
posebni signali
Sa sin x/x, ”sample function”
ramp(t) strmina
rect(t) pravokotni pulz
trian(t) trikotni pulz
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328

Literatura
[1] A.V. Oppenheim, Ronald W. Schafer (1989). Discrete-Time
Signal Processing. Prentice Hall Processing Series, ISBN
0-13-216292-X
[2] E.C. Ifeachor, B.W. Jervis (1997). Digital signal procesing, A
practical approach. Addison-Wesley, ISABN 0-201-54413-X
[3] H. S. Carslaw (1930). An introduction to Fourier’s series and
integrals (third edition). Dover Publications, inc. (ponatis 1960)
[4] I.N. Sneddon (1951). Fourier transforms. Dover publications
Iinc., (ponatis 1995), ISBN 0-486-68522-5 (pbk)
[5] H.F. Davis (1963). Fourier series and orthogonal functions.
Dover publications Inc., IISBN 0-486-65973-9
[6] M. Reed, B. Simon (1975). Fourier analysis, Self-Adjaintness.
Academic press Inc., ISBN 0-12-585002-6(v.2)
[7] H. Kwakernaak, R. Sivan (1991). An introduction to the analysis
and processing of signals (third edition). The McMillan Press
LTD., ISBN 0-333-48887-3
[8] M.R. Spiegel (1974). Theory and problems of Fourier analysis
with applications to boundary value problems. Schaum’s outline
series, McGraw-Hill (18.izdaja 1994). ISBN 0-07-060219-0
[9] M.R. Spiegel (1974). Theory and problems of Lapalace transform.
Schaum’s outline series, McGraw-Hill (18.izdaja 1994). ISBN
0-07-06231-X
[10] M.E. van Valkeburg (19xx). Network Analysis.
[11] D. Lange (19xx). Methoden der Signal und sistemanalise.
[12] Dietmar Achilles (1985). Die Fourier-Transformation in der
Signalverabeitung. Springer Verlag
107

108 LITERATURA
[13] Charles K. Chui, Guanrong Chen (1992). Signal Processing and
System Theory (Selected topics). Springer Verlag
[14] Paul A. Lynn (1994). An introduction to the analysis and
Processing of signals. MacMillan Press LTD.
[15] I.N. Bronštein, K.A. Semendjajev, G. Musol, H. Mühlig (1997).
Matematični priročnik. Tehniška založba Ljubljana.
[16] Ludvig Gyergyek (1987). Teorija obdelave signalov in statistične
metode. Založba FER Ljubljana.
[17] R. Svečko (1994). Teorija linearnih sistemov. Založba FERI
Maribor ISBN 86-435-0076-3
[18] Dali -Donlagić (1992). Teorija obdelave signalov. (zapiski
predavanj) TF - ERI Maribor.
[19] Žarko Čučej, Peter Planinšič (1999). Teorija signalov: Uvod v
teorijo, Založba TF - ERI Maribor, ISBN 86-435-0267-7
http://SPaRC.feri.uni-mb/publikacije
[20] Charles L. Phillips, John M. Parr (1995). Signals, systems, and
transformas, Prentice Hall Inc., ISBN 0-13-795253-8
[21] John J. Komo (1987). Signals, systems, and transformas,
Academic pres inc., ISBN 0-12-418660-2
Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20010328