Opsta teorija elektricnih masina

OPŠTA TEORIJA
ELEKTRIČNIH MAŠINA
1

SADRŽAJ
1 OPŠTA TEORIJA ELEKTRIČNIH MAŠINA .............................................................4
1.1 Opšti fizički model električne mašine........................................................................4
1.1.1 Mehanički prolaz PM .........................................................................................5
1.1.2 Električni prolaz PE............................................................................................5
1.1.3 Mehanički izlaz GM ...........................................................................................7
1.1.4 Električni izlaz GE .............................................................................................7
1.2 Energetski bilans........................................................................................................7
1.2.1 Mehanička akumulacija......................................................................................7
1.2.2 Električna akumulacija .......................................................................................8
1.2.3 Elektromehaničko pretvaranje energije..............................................................8
1.3 Parametri..................................................................................................................10
1.3.1 Osobine funkcije induktivnosti L .....................................................................11
1.3.2 Primer određivanja funkcije induktivnosti .......................................................13
1.3.3 Induktivnost višefaznih namotaja.....................................................................14
1.4 Transformacije .........................................................................................................16
1.4.1 Transformacija rasprezanja F ...........................................................................18
1.4.2 Transformacija rotacije G.................................................................................19
1.4.3 Realne transformacije.......................................................................................22
1.4.3.1 Realna transformacija rasprezanja C.........................................................22
1.4.3.2 Realna transformacija rotacije D...............................................................22
1.4.3.3 Blondelova transformacija B....................................................................23
1.4.4 Transformacije za trofaznu električnu mašinu .................................................25
1.5 Sinhrone mašine.......................................................................................................26
1.5.1 Transfomacija nivoa T......................................................................................26
1.5.2 Matematički model sinhrone mašine u BrTs području.....................................28
1.5.3 Ekvivalentna šema sinhrone mašine.................................................................29
1.5.4 Parkove jednačine.............................................................................................31
1.5.5 Ustaljeno stanje sinhrone mašine .....................................................................32
1.6 Asinhrone mašine.....................................................................................................33
1.6.1 Matematički model trofazne asinhrone mašine u originalnom području .........33
1.6.2 Matematički model trofazne asinhrone mašine u kompleksnom obliku ..........34
1.6.3 Ekvivalentna šema asinhrone mašine za prelazna stanja..................................37
2

1.7 Mašine jednosmerne struje ......................................................................................38
1.7.1 Ekvivalentna šema............................................................................................39
1.7.2 Matematički model...........................................................................................39
1.7.3 Jednačine ustaljenog stanja...............................................................................40
1.8 Metode za rešavanje zadataka..................................................................................41
1.8.1 Opšte jednačine stanja električne mašine .........................................................42
1.8.2 Matematički model mašine jednosmerne struje u prostoru stanja...................43
1.9 Literatura..................................................................................................................44
3

1 OPŠTA TEORIJA ELEKTRIČNIH
MAŠINA
Cilj ovog poglavlja je da se, polazeći od opšte definicije električne mašine kao fizičkog
objekta, dođe do opšteg apstraktnog oblika koji treba da bude njegova zamena, verna i
pogodna za proučavanje a ujedno i efikasna za primenu.
1.1 Opšti fizički model električne mašine
Električnu mašinu posmatramo kao zatvoreni, ali pristupačni fizički objekt u kome se
odigrava proces pretvaranja (konverzije) električne energije u mehaničku i obrnuto.
Mašinu ćemo posmatrati kao “crnu kutiju”, bez ulaženja u konstrukcione detalje i fizički
izgled. Preko elekričnog i mehaničkog prolaza mašina je spojena sa spoljnim objektima,
izmenjujući sa njima električnu, odnosno mehaničku energiju. Prolazi mogu da imaju
ulogu i ulaza i ulogu izlaza. U normalnim radnim stanjima jedan prolaz je ulaz, a drugi
izlaz. Pored ove veze, postoji i neželjena (jednosmerna) veza preko izlaza za električne i
mehaničke gubitke. Opšti fizički model se može predstaviti kao crna kutija koja ima dva
glavna (dvosmerna) prolaza – PE za električnu i PM za mehaničku energiju i dva
sporedna (jednosmerna) izlaza za električne gubitke GE i mehaničke gubitke GM . Opšta
teorija ima za cilj da procese elektromehaničkog pretvaranja energije unutar ove crne
kutije modeluje odgovarajućim jednačinama.
GE
GM
PE
PROCES
ELEKTROMEHANIČKOG
PRETVARANJA ENERGIJE
PM
Slika 1-1 Električna mašina predstavljena kao crna kutija
U analizi električnih mašina, koja sledi, koristićemo sledeće idealizacije:
• pojave se dovoljno se tačno opisuju primenom koncentrisanih parametara, tj.
odabraćemo pristup analize preko kola;
• pojave kapacitivnog karaktera su zanemarljive, tj. nećemo razmatrati pojave pri
visokim naponima i učestanostima;
• gubici u magnetnom kolu su zanemarljivi;
• zavisnost između fluksova i struja je linearna, tj. smatraćemo da je karakteristika
magnećenja linearna, odnosno nećemo uzeti u obzir pojavu magnetnog zasićenja;
• momenat inercije rotirajućih masa je konstantan.
4

Za sve veličine koristiće se oznake sa malim slovima, jer se u opštem slučaju radi o
trenutnim vrednostima (vremenski domen). Posmatraćemo obrtne električne mašine.
Usvojeno je da je snaga pozitivna kada ulazi u mašinu.
1.1.1 Mehanički prolaz PM
Električna mašina se sastoji od dva čvrsta tela (stator i rotor) čiji se međusobni položaj
može menjati sa jednim stepenom slobode. Relativni položaj između ta dva tela izražava
se jednom promenljivom veličinom, koja je ugao ako se radi o rotaciji ili dužina ako se
radi o translaciji. Stator je u principu nepokretan, tako da ova promenljiva daje
istovremeno i relativni položaj rotora u odnosu na okolinu.
Mehanička snaga koja se na ovom prolazu dovodi je:
p
m
= ω m ,
m
m
gde je m
m
spoljašnji mehanički moment, a ω
m
mehanička ugaona brzina obrtanja rotora.
Mehanička snaga je pozitivna ako se dovodi na vratilo (generatorski režim rada električne
mašine).
Mehanička ugaona brzina rotora u odnosu na stator definisana je sa:
dϑm
ω
m
= ,
d t
gde je ϑ
m
ugao između nepokretne ose statora i ose na rotoru (mehanička koordinata), a t
vreme.
Pored toga je ω = 2π
n 60, gde je n brzina obrtanja rotora u obrtajima u minuti.
m
Energija koja u vremenskom intervalu [ t
0
, t 1
] prođe kroz mehanički prolaz PM određena
je sa:
∫
t
= 1
m
t0
W p dt
.
m
1.1.2 Električni prolaz PE
Električna mašina sadrži određen broj prostih električnih kola (namotaja) koja su
međusobno galvanski izolovana, ali magnetno spregnuta. Namotaji su nepokretni u
odnosu na stator (statorski namotaji) ili u odnosu na rotor (rotorski namotaji), a može ih
biti obeju vrsta.
Električna snaga koja se preko para krajeva bilo kog namotaja u datom trenutku dovodi ili
odvodi može se izraziti kao:
pei = ii
ui
i = 1,2,3, ........, n
gde je n ukupan broj namotaja a i i
i u
i
su struja i napon i-tog namotaja.
Prema usvojenoj konvenciji električna snaga je pozitivna za motorski režim rada.
Ukupna električna snaga jednaka je algebarskom zbiru snaga svih namotaja:
e
n
p = ∑i u .
1
i
i
5

Energija koja u vremenskom intervalu [ t
0
,t 1
] prođe kroz električni prolaz PE je:
∫
t
= 1
e
t0
W p dt
.
e
Između struje i napona postoji veza koja se opisuje zakonom naponske ravnoteže i
zakonom elektromagnetske indukcije. Za svaki namotaj važi jednačina naponske
ravnoteže:
dψ
i
ui
= Ri
ii
+ ,
dt
gde je
n
ψ
i
= ∑ Lik
ik
ukupni magnetski fluks (fluksni obuhvat) namotaja usled proticanja struja
k = 1
kroz sve namotaje,
R
i
- otpornost i-tog namotaja,
L
ii
- sopstvena induktivnost i-tog namotaja,
L
ik
- međusobna induktivnost i-tog i k-tog namotaja.
Uvođenjem matrične notacije imamo:
⎡i1
⎤
⎢
i
⎥
⎢ : ⎥
⎢ ⎥
⎣in
⎦
⎢
2
i ⎥ =[ i i .. i ] +
, ⎢
2
u ⎥ = [ u u .. u ] +
, ⎢
2
⎥ = [ ψ ψ .. ψ ] +
=
1 2 n
⎡u1
⎤
⎢
u
⎥
⎢ : ⎥
⎢ ⎥
⎣u
n ⎦
=
1 2
n
⎡ψ
1 ⎤
⎢
ψ
⎥
ψ =
1 2
n
,
⎢ : ⎥
⎢ ⎥
⎣ψ
n ⎦
⎡R1
⎤
⎢
R
⎥
2
R = ⎢
⎥ = diag ( R1
, R2
,..., Rn
) ,
⎢ : ⎥
⎢
⎥
⎣
Rn
⎦
⎡L
⎢
⎢
L
L =
⎢ :
⎢
⎣Ln
11
21
1
L
L
L
12
22
:
n2
..
..
:
..
L
L
L
1n
2n
:
n4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
dobija se matrična forma jednačina koja opisuje električni prolaz:
+
p
e
= i u ;
dψ
u = Ri + ;
dt
ψ = L i ;
gde + označava transpoziciju matrice ili vektora (sa konjugacijom kod kompleksnih).
U najopštijem slučaju naponi i struje su kompleksne promenljive vremena, zbog čega bi u
jednačini za električnu snagu postojala osim transpozicije i kompleksna konjugacija
vektora struje.
6

1.1.3 Mehanički izlaz GM
Mehanički gubici su posledica trenja u ležištima i trenja pokretnih delova mašine o vazduh
ili uopšte o okolni fluid i obično se nazivaju gubicima trenja i ventilacije. Snaga
mehaničkih gubitaka obično se može približno predstaviti kao:
g
= ω ,
m
K m
gde je
2
m
K
m
konstantan ili promenljiv koeficijent trenja.
1.1.4 Električni izlaz GE
Električni gubici nastaju u provodnicima usled Džulove toplote, kao posledica proticanja
struje kroz namotaje pretvarača.
Gubici u svakom od namotaja su:
g = R
ei
i
2
i i
tako da su ukupni gubici
e
n
g = ∑ R
1
i
2
i i
ili u matričnom obliku:
g = i + R i .
e
Kao što je već napomenuto, zanemarićemo uticaj gubitaka u magnetnom kolu, budući da
ih je teško analitički uzeti u obzir, jer se pristup prikazu mašine bazira na posmatranju
električnih kola.
1.2 Energetski bilans
Prema zakonu o održanju energije, celokupna energija koja u određenom vremenskom
intervalu uđe u mašinu mora da bude jednaka zbiru svih gubitaka energije i priraštaju
energije akomulisane u mašini. Posmatrajmo bilans u toku vrlo kratkog vremenskog
intervala, tako da se sve snage mogu za taj interval smatrati konstantnim. Tada važi:
p
m
d t + p dt
= g dt
+ g dt
+ da
+ da
,
e
m
e
gde su a
m
i ae
akomulisana mehanička i električna energija, a
priraštaji. Iz prethodne jednačine, za snagu imamo:
p
m
+ p = g + g + d a dt
+ da
dt
.
e
m
e
m
e
m
e
dam
i ae
d su odgovarajući
1.2.1 Mehanička akumulacija
Mehanička akumulacija je kinetička energija masa koje se obrću i iznosi:
1 2
am = J m
ω
m
,
2
gde je J m
momenat inercije rotirajućih masa. U ovoj analizi, kao što je već rečeno,
smatraćemo da je moment inercije električne mašine konstantan. U praksi mogu nastupiti
slučajevi kada je momenat inercije pokretnih delova van mašine, pa prema tome i
7

ekvivalentni momenat inercije J
m
promenljiv, npr. kod elektromotornih pogona
namotavača ili centrifuga, što se u ovom stepenu razvoja modela ne uzima u obzir.
Priraštaj mehaničke akumulacije pri maloj promeni brzine je prema tome:
d a = ω dω
.
m
J m
m
m
1.2.2 Električna akumulacija
Električna akumulacija je prema zakonima elektromagnetike:
n
1
a e
= ∑i i
ψ
i
,
2 1
ili u matričnom obliku
1
a = i + ψ . 2
e
Za linearna magnetna kola (nema magnetnog zasićenja), akumulisana energija je
n n
1
ae
= ∑ii
∑ Lik
ik
,
2 i=
1 k=
1
ili u matričnom obliku
1
a = i + L i . 2
e
Priraštaj akumulacije je:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
da
e
= i dψ
+ di
ψ = i dL i + i L di
+ di
L i
2 2 2 2 2
što se u slučaju magnetne linearnosti može svesti na jednostavniji oblik:
1 +
+
da e
= i d L i + i L di
.
2
pošto je matrica induktivnosti L simetrična, tj. vredi
+
L =L .
1.2.3 Elektromehaničko pretvaranje energije
Snaga elektromehaničkog pretvaranja (konverzije) energije,
p
c
= p − g −d a dt
= − p + g + da
dt
.
e
e
e
m
m
m
p
c
se dobija iz:
Uz zamenu izraza za pojedine električne snage i uzimajući u obzir jednačinu naponske
dψ
ravnoteže u = R i + imamo:
dt
p c
1 ⎛
=
⎜i
2 ⎝
+
+
dψ
di
−
dt
dt
⎞
ψ
⎟ .
⎠
8

Zamenom
ψ = L i , konačno imamo:
p 1 d L = i +
i .
c
2 d t
Induktivnosti mašine mogu da zavise od vremena posredno, preko koordinate položaja
rotora, ϑ = ω d t , zbog čega je:
d L
d t
m
dL
∫
dϑ
m
= =
m
.
dϑm
dt
dϑm
m
dL
ω
Uz zamenu izraza za pojedine mehaničke snage, za snagu elektromehaničkog pretvaranja
imamo:
2 d ⎛ 1 2 ⎞
pc
= −ω mmm
+ K
mω
m
+ ⎜ J
m
ω
m ⎟ .
dt
⎝ 2 ⎠
Momenat konverzije (elektromagnetni obrtni moment),
snage konverzije izrazom:
p
c
= ω m .
m
c
Iz prethodnih jednačina za snagu konverzije, za moment konverzije važi:
L
m 1 d
c
= i + i ,
2 dϑm
odnosno
m
dω m
c = − mm
+ J
m +
d
t
K
m
ω
m
.
m c
, se može definisati preko
i + 2
El. snaga
p e
2
R i
K
m
ω
m
El. gubici Meh. gubici
i + u
m m
g e Snaga
g m
konverzije
p c
Meh. snaga
p m
da e
dt
1 +
i
2
dL
i
dt
d a m
dt
d i + L i
dt
Električna akomulacija
2
d J m
ω
m
dt
2
Mehanička akomulacija
Slika 1-2 Energetski bilans električne mašine izražen induktivnostima i snagama
9

Na osnovu izvedenih relacija, za osnovni matematički model obrtne električne mašine
imamo:
dψ
u = R i + ;
dt
ψ = L i ;
m
m c
d
dω
m
m
= J
m
+ K
mω
m
dt
1 d L = i + i ;
2 dϑ
ϑ
m = ω
m
dt
.
m
− m ;
c
1.3 Parametri
Parametri osnovnog matematičkog modela su: K
m
, J
m
, R i L . Od posebnog značaja su
induktivnost L i međuinduktivnost M , sakupljene u matrici induktivnosti L . Vrsta
elekrične mašine određuje pojedine elemente matrice L . U izlaganju koje sledi biće
razrađene osobine ovih induktivnosti i dati opšti obrasci za izražavanje njihove zavisnosti
od položaja rotora i drugih relevantnih veličina.
Razdelimo navoje mašine na statorske i rotorske. Sada za matrice otpornosti i
induktivnosti imamo:
⎡R
⎤
= , = ( R R
r
),
⎣ ⎦
s
R ⎢ R diag
s
,
R
⎥
r
⎡L
ss
L
sr ⎤
L = ⎢ ⎥ .
⎣L
rs
L
rr ⎦
Dijagonalne submatrice matrice induktivnosti su kvadratne i simetrične:
T
L
ss
= L ss
.
Nedijagonalne submatrice matrice induktivnosti su u opštem slučaju pravouglene,
ik ki
+
dimenzija ( s, r)
i ( r, s)
, nesimetrične, ali međusobno simetrične: L
sr
= Lrs
, tj. L sr
= L rs
,
gde je i indeks vrste, a k indeks kolone.
Prema zakonima elektromagnetike može se međuinduktivnost bilo kog para navoja,
odnosno samoinduktivnost jednog navoja napisati u obliku:
ik
xy
ik
xy
i k ik ik i k
( ϑ , γ , γ ) l N N
L = f
µ
,
m
xm
ym
gde je
x, y može da bude s ili r ,
f - funkcija položaja,
xy
ϑm
- koordinata položaja rotora u odnosu na stator,
xy
x
y
10

i
γ
xm
- koordinata koja određuje položaj navoja i na statoru ( x = s)
ili rotoru ( r)
odnosu na statorsku ( y = s)
ili rotorsku ( y = r)
osu,
µ - osobina sredine,
l - geometrija i dimenzije sredine,
N - broj (evi) navojaka navoja statora odnosno rotora.
x = u
1.3.1 Osobine funkcije induktivnosti L
1. Funkcija f , odnosno
ik
L
xy
, je PERIODIČNA u odnosu na ϑ
m
i γ
m
.
Posle svakog punog okretaja rotora ili posle svakog (zamišljenog) punog okretaja
posmatranog navoja oko obrtne ose pri nepokretnom rotoru, čitav elektromagnetni sistem
je isti kao pre okretaja.
2. Osobina VIŠEPOLNOSTI
Perioda funkcije L je 2 π s obzirom na promeljive ϑ i γ , gde su:
ϑ = Pϑ m
i γ = Pγ
m
. Broj P nazivaćemo periodnim brojem mašine, a promenljiveϑ i γ
električnim koordinatama rotora, odnosno navoja, ili jednostavno, električnim uglovima.
Broj P se u određenim slučajevima poklapa sa brojem pari polova.
Kada se u jednačine osnovnog matematičkog modela uvedu električne koordinate, dobija
se sledeći model:
dψ
u = R i + ;
dt
ψ = L(ϑ
) i ;
m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
1 d L m = i + i ;
2 dϑ
dϑ = ω ;
dt
mc
K
m
J
m
gde je: m = , K = , J = i ω = Pω
m
.
P P P
Kada se radi o višepolnom navoju, njegove polne sekcije su vezane redno, tako da struja u
njima proizvodi flukseve usmerene na isti način.
3. JEDNOSTRANA ISTURENOST
Funkcije
ik
L
rr
(rotorske induktivnosti) ne zavise od ϑ (položaja rotora prema statoru) ako je
L ik ≠ rr
f ϑ .
stator cilindričan i gladak (bez žljebova) bez obzira na oblik rotora: ( )
11

IDEALIZACIJA: Zanemaruje se uticaj žljebova i zubaca statora na induktivnost.
Izraz za rotorske induktivnosti preko dvostrukog Furijeovog reda:
L
L
ik
rr
i k
ik i k
i k
( γ γ ) =∑∑ L ( γ , γ ) γ , γ ≠ f ( ϑ)
ik
rr,
mn
r
,
r
rr,
mn
m n
r
r
i k ik
i
k ik
i
k
( γ
r
, γ
r
) = Arr,
mn
cos( mγ
r
) cos( nγ
r
) + Brr,
mn
cos( mγ
r
) sin( nγ
r
)
ik
i
k ik
i
k
+ C sin( mγ
) cos( nγ
) + D sin( mγ
) sin( nγ
)
rr,
mn
r
r
r
r
rr,
mn
r
r
+
gde su A , B,
C i D odgovarajući Furijeovi koeficijenti. Poznavanje ovih koeficijenata nije
bitno za sledeće izlaganje.
k
k
γ
s
k
γ
sr
i
i
γ
s
i
γ
sr
r
ϑ
s
Slika 1-3 Geometrijski prikaz koordinata rotora i navoja (oba na statoru)
4. Osobina JEDNOOSNE SIMETRIČNOSTI
Funkcija
L
ik
rr
ik
L
rr
je parna s obzirom na obe promenljive (koordinate)
i k ik i k
( − γ , −γ
) = L ( γ , γ )
r
r
rr
r
r
U ovom slučaju su Furijeovi koeficijenti B iC jednaki nuli.
i
γ r
k
γ
r
, tj. važi:
Kada se uvede uslov parnosti i primene odvarajući trigonometrijski obrasci, imamo
OSNOVNU FORMULU INDUKTIVNOSTI:
L
i k ik
i k ik
i k
( γ γ ) = M cos( mγ
− nγ
) + N cos( mγ
+ nγ
),
m,
n 0,1, ...
ik
xy, mn r
,
r xy,
mn
xr yr xy,
mn
xr yr
=
Koordinate u prethodnom izrazu se izražavaju (mere) u odnosu na rotor!
Koeficijent N = 0 za mašinu sa ravnomernim procepom (cilindrični stator i rotor).
12

IDEALIZACIJA: pretpostavlja se da je fluks (obrtno magnetno polje) u zazoru sinusan, tj.
zanemaruju se prostorni harmonici.
Preciznije rečeno, uzet je u obzir SAMO OSNOVNI HARMONIK dvostrukog Furijovog
reda ( m = n = 1):
L
ik
xy
i k ik i k ik i k
( γ , γ ) = M cos( γ −γ
) + N cos( γ + γ )
r
r
xy
xr
što je za većinu praktičnih primena zadovoljavajuće.
1.3.2 Primer određivanja funkcije induktivnosti
1. Po jedan navoj na rotoru i statoru
yr
xy
xr
yr
k
k
γ
s
k
γ
sr
i
r
ϑ
s
Slika 1-4 Primer električne mašine sa po jednim navojem na rotoru (i) i statoru (k)
Osa rotora ( r ) ne mora da se poklapa sa osom navoja na rotoru. Ona je čisto vezana za
rotor.
Svi uglovi se svode na rotorsku referentnu osu.
L
ik
rs
ik
rs
i k ik i k
( γ −γ
) + N ( γ + γ )
= M cos
cos
gde je
k
γ
s
zapravo
r
sr
γ
k
ss
, a
k
uz γ = γ
k sr s
−ϑ
imamo:
L
ik
rs
ik
rs
rs
r
sr
i
i
γ
r
zapravo γ
rr
.
k i ik
k i
[ ϑ − ( γ −γ
)] + N [ ϑ − ( γ + γ )]
= M cos
cos
s
r
rs
s
Kod člana uz N iskorišteno je svojstvo parnosti kosinusne funkcije, tj. ( α) cosα
2. oba navoja na statoru
i
γ
L
= i sr s
ik
ss
γ −ϑ
ik
ss
i k ik
i k
[ γ −γ
] + N cos[ ϑ − ( γ + γ )]
= M cos
2
s
i
ss
s
s
13
r
cos − = .

Važno je primetiti da ako mašina ima ravnomerni procep ( N = 0 ) i ako su navoji i i k
ik
električno pomereni za π 2 onda je međuinduktivnost L
rs
= 0 , tj. ne pojavljuje se ovaj
član u matrici induktivnosti.
Drugim rečima, ako nekom transformacijom postavimo navoje u položaj sa međusobnim
ik
uglom od π 2 i ako takođe procep učinimo ravnomernim, onda je L
sr
= 0 , odnosno navoji
više nisu spregnuti.
1.3.3 Induktivnost višefaznih namotaja
Sledećom dopunom definicije električne mašine se sužava klasa mašina koje se
proučavaju.
DEFINICIJA: Navoji električne mašine su grupisani u višefazne namotaje. Višefazni
namotaj je grupa navoja na statoru ili grupa navoja na rotoru koja ima sledeće osobenosti:
1. svi navoji su jednaki,
2. ose ma kojeg para navoja razmaknute su za električni ugao koji je celobrojni deo
punog ugla ili celobrojni umnožak tog ugla.
Neka je celobrojni broj sa kojim se deli pun krug q (broj faza). Tada je ugao između ma
kojeg para navoja (faznih navoja) sa indeksima i i k :
γ
i
xr
k 2π
− γ
xr
= ( i − k)
, gde je x = s ili r ,
q
x
i , k = 1, 2, ......, q .
Broj navoja u višefaznom namotaju može biti različit, ali najviše jednak q . Ako je broj
navoja manji od q radi se o nepotpunom q -faznom namotaju. U daljnjem razmatranju
smatraćemo da je broj navoja upravo jednak q .
Za q = 1 i q = 2 - jednofazni namotaji, q = 4 ali sa svega dva navoja pod električnim uglom
od π 2 - dvofazni namotaj.
Iz uslova jednakosti namotaja proizlazi da možemo da posmatramo samo po jedan
namotaj na statoru i rotoru i za matricu otpornosti možemo jednostavnije pisati:
⎡R
s ⎤
R = ⎢
R
s
= R
s
I R
r
= R
r
I
R
⎥ , , ,
⎣
r ⎦
gde je I jedinična matrica koja ima za statorski odnosno rotorski namotaj ima dimenzije
q , .
( q
s
, q s
), odnosno (
r
q r
)
x
Za električni ugao od rotorske referentne ose r do posmatranog navoja imamo:
γ
i
xr
gde je
1 2π
i
= γ
xr
+ ( i −1)
ili γ
q
x
xr
= γ
0 xr
+
2π
i
q
x = s ili r , i = 1, 2, .....,qx
ili i = 0,
1,....., qx
−1.
x
Dakle, u prvom slučaju referentni namotaj ima indeks 1, dok u drugom slučaju ima indeks
0.
14

Pri tome treba imati u vidu relaciju: γ
1 = γ
1
xr xs
−ϑ
kojom se referiranje prvog, a time i svih
ostalih navoja namotaja sa indeksom x , prebacuje sa rotorske referentne ose na statorsku
referentnu osu.
Sada za opštu formulu induktivnosti višefaznog namotaja imamo:
L
ili
L
ik
xy
ik
xy
= M
+ N
xy
xy
⎡
cos ⎢γ
⎢⎣
⎡
cos ⎢γ
⎢⎣
1
xr
1
xr
− γ
+ γ
1
yr
1
yr
+
+
2π
q
x
2π
q
x
2π
q
( i −1) − ( k −1)
2π
q
( i −1) + ( k −1)
y
y
⎡ ⎛
⎞⎤
⎡ ⎛
⎞⎤
0 0
⎢ ⎜
2π
2π
⎟
0 0
⎥ + ⎢ + + ⎜
2π
2π
= M
+ ⎟
xy
cos γ
xr
− γ
yr
+ i − k N
i k ⎥
⎢
xy
cos γ
xr
γ
yr
.
⎥ ⎢
⎣ ⎝ qx
q
y ⎠⎦
⎣ ⎝ qx
q
y ⎠⎥⎦
Matrica induktivnosti
nenultih elemenata.
Primenom Ojlerovog obrasca:
⎤
⎥ +
⎥⎦
⎤
⎥
⎥⎦
⎡L
ss
L
sr ⎤
L = ⎢ ⎥ u opštem slučaju ima velike dimenzije i mnogo
⎣L
rs
L
rr ⎦
jα
− jα
e + e
cosα
= na sve elemente u matrici L imamo:
2
F F +
⎡F
⎤ ⎡L
L ⎤ ⎡F
⎤ F
s
ss sr s
L = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ =
+ ⎥ F L F
F F
⎣ Fr
⎦ ⎣L
rs
L
rr ⎦ ⎣ Fr
⎦
+
⎡ 1 1 ⎤
⎢
⎥
⎢
α
x
α
x
1
⎥
2 2
F = ⎢
⎥
x
α
x
α
x
,
qx
⎢
⎥
⎢ : : ⎥
q −1
⎢
x q x −1
⎣α
⎥
x
α
x ⎦
gde je α
x
2
j
q x
π
= e , x = s ili r , a crta iznad slova (npr.α ) oznaka za konjugaciju.
Ovo je Forteskjuova transformacija, koja predstavlja opšti slučaj metode simetričnih
komponenti. Za trofazni sistem bez nulte komponente imamo sledeći oblik matrice F :
F x
=
⎡ 1
1 ⎢
⎢
α
3
⎢⎣
α
1 ⎤
α
⎥
⎥
α ⎥⎦
15

Nulte komponente, pored para glavnih, dopunjuju broj komponenata do q , raspregnute su
od glavnih i ne učestvuju u elektromehaničkom pretvaranju energije. Ako one nisu nule, a
potrebno ih je uzimati u obzir, mogu se tretirati izdvojeno, uz kasnije superponiranje
rezultata.
Posebno uzimajući u obzir isturenost statora, odnosno rotora preko odgovarajuće matrice
∆ L xy
, za matrice induktivnosti na kojima je primenjena Forteskjuova transformacija
imamo:
L
F
ss
2
⎡1
0⎤
⎡ 0 τ ⎤
= L
ss ⎢ ⎥ + ∆L
ss ⎢ ⎥ ; τ = e
2
⎣0
1⎦
⎣τ
0 ⎦
jϑ
L
F
sr
= L
sr
⎡τ
⎢
⎣0
0⎤
τ
⎥
⎦
+
∆L
sr
⎡0
⎢
⎣τ
τ ⎤
0
⎥
⎦
=
F
( L ) +
rs
L
F
rr
= L
rr
⎡1
⎢
⎣0
0⎤
1
⎥
⎦
+ ∆L
rr
⎡0
⎢
⎣1
1⎤
0
⎥
⎦
Pomoću matrica transformacija prvobitna (originalna) matrica se transformiše u kvadratnu
matricu dimenzija 4x4.
Matrica F L za mašinu sa dva namotaja:
⎡
⎢L
F
L = ⎢
⎢
⎢L
⎣
ss
sr
⎡1
⎢
⎣0
⎡τ
⎢
⎣0
0⎤
1
⎥
⎦
0⎤
τ
⎥
⎦
L
L
sr
rr
⎡τ
⎢
⎣0
⎡ 1
⎢
⎣ 0
0⎤⎤
⎥
τ
⎥
⎦⎥
0⎤⎥
1
⎥⎥
⎦⎦
+
⎡
⎢∆L
⎢
⎢
⎢∆L
⎣
ss
sr
⎡ 0
⎢ 2
⎣τ
⎡ 0
⎢
⎣τ
2
τ ⎤
⎥
0 ⎦
τ ⎤
0
⎥
⎦
∆L
∆L
sr
rr
⎡0
⎢
⎣τ
⎡0
⎢
⎣1
τ ⎤⎤
⎥
0
⎥
⎦⎥
1⎤⎥
⎥⎥
0⎦⎦
Drugi član se pojavljuje ako rotor ima isturene polove.
Za više namotaja matrica se proširuje.
1.4 Transformacije
Cilj transformacija je da se sistemi diferencijalnih jednačina sa promenljivim
koeficijentima, koji se ne mogu rešavati analitički, primenom linearnih tranformacija
dovedu do oblika sistema diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Dakle,
cilj je da se dođe do analitičkih izraza pogodnijih za rešavanje konkretnih zadataka, do
takozvanih transformisanih matematičkih modela.
Sa fizičke tačke gledišta mašina se zamenjuje ekvivalentnom, ali jednostavnijom i
preglednijom mašinom i proučavanja se vrše na takvoj, transformisanoj mašini umesto na
originalnoj.
16

Transformacije rasprezanja imaju kao efekat bitno smanjenje nenultih elemenata
međusobnih induktivnosti u matrici induktivnosti. Matematički postupak se svodi na
potpunu ili nepotpunu dijagonalizaciju (ili čak redukciju dimenzija) pojedinih submatrica
matrice induktivnosti.
U fizičkom smislu posmatrana višefazna mašina se zamenjuje dvofaznom.
Transformacije kretanja imaju za cilj postizavanje nezavisnosti matrice induktivnosti od
položaja rotora i vremena, čime se može postići značajno uprošćavanje rešavanja sistema
diferencijalnih jednačina. Pošto se samim postupkom transformacije ne gube informacije,
zavisnost od položaja rotora će se javiti na drugom mestu- u samoj transformacionoj
matrici i u vidu dopunskih (“dinamičkih”) članova u momentnoj i naponskoj jednačini.
Transformacije kretanja se mogu posmatrati kao zamena mašine statičkim
transformatorom, jer se na određeni način isključuje relativno kretanje rotora prema
statoru, a uticaj tog kretanja zamenjuje se dodatnim, “dinamičkim” elektromotornim
silama. Ove transformacije su ekvivalentne geometrijskim transformacijama koordinatnog
sistema.
Transformacije nivoa se primenjuju za pojedine namotaje i imaju za cilj izjednačenje
njihovih naponskih nivoa (slično svođenju sekundara nekog transformatora na primar).
Transformacija je, dakle, zamena parametara pri čemu dolazi do novih jednačina.
Za kvadratnu matricu A kažemo da je regularna (invertibilna) matrica ako vredi:
−1
−1
−1
A ⋅A
= A ⋅A
= I , gde je A inverzna matrica matrice A . Ako kvadratna matrica nije
regularna, onda je singularna.
Na primeru pogledajmo kako se primenjuje npr. A transformacija.
Neka su originalne matrice ψ , L i i a transformisane (nove) matrice A ψ , A L i A i .
Za vektore vredi:
+
i
staro
= A i
novo
, odnosno obrnuto i
novo
A i
staro
= .
+
+
Za matrice vredi L
staro
= A L
novo
A , odnosno obrnuto L
novo
= A L
staro
A .
Imamo:
ψ =Li
A
ψ = A ψ ,
A
A
i = A i
A
A
A A A
−1
−1
i / A ψ A L A i L i
ψ = A ψ = L A ⋅ ⇒ = =
Prethodnu matričnu jednačinu u kojoj je na sve matrice primenjena matrica
transformacije A skraćeno možemo da pišemo u obliku:
[ A :]
ψ =L i
Transformacija se može vršiti i sa neregularnom matricom F .
17

1.4.1 Transformacija rasprezanja F
ψ =Li
F
ψ = F ψ ,
F
F
i =F i
ψ = F ψ = L F i / ⋅F
F
F
F
F
F
ψ = F
+ +
L F i = L i , dakle L = F L F .
+
+
+
ako je ispunjen uslov: F F = I ( F F ≠ I)
F
imamo:
dψ
u = R i + ;
dt
F
F u
F
d ( F ψ)
= R F i +
d t
F
/ ⋅F
+
; F ≠
f
( t,
ϑ)
F F
F
d
F F
+
+
+ ψ d ψ
F F u = u = F R F i + F F = R i +
dt d t
pošto je matrica R dijagonalna, imamo
F
F
F
R = R .
Uz
F
i = F i i
F
+ = +
i +
F
i imamo:
1
m = i
2
+
d L
i
dϑ
=
1
2
F
+
i
F
+
F
dL
F⋅i
=
dϑ
1
2
F
+
i
+
d( F L F )
dϑ
F
i =
1
2
F
+
i
F
d L
dϑ
F
i
Opšti model mašine u F području:
[ F :]
dψ
u = R i + ;
dt
ψ = L(ϑ
) i ;
m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
1 d L m = i + i ;
2 dϑ
dϑ = ω .
dt
Za stator i rotor ove jednačine se transformišu u jednu algebarsku jednačinu, gde naponi,
struje i fluksevi više nisu matrične, nego kompleksne veličine:
18

[ F :]
u
u
s
r
dψ
s
= Rs
is
+ ;
dt
dψ
r
= Rr
ir
+ ;
dt
2
ψ = L i + τ L i + τ ∆L
i + τ ∆L
s
r
s
s
sr
s
sr
r
r
ψ = τ L i + L i + τ ∆L
i + ∆L
i ;
m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
( i s
ψ −i
ψ )
m = j
;
s
s
s
r
sr
s
s
s
r
r
dϑ = ω .
dt
Neregularne transformacije izbacuju nulte komponente, kojih kod električnih mašina
obično nema.
Rasprezanjem (bez nultih komponenti) se npr. kod trofaznih asinhronih mašina matrice
induktivnosti dimenzija (3x3) svode na (2x2). Još je veći efekt kod kaveznih asinhronih
mašina, pošto se broj faza rotora svodi na 2.
sr
i
r
;
1.4.2 Transformacija rotacije G
Ovom transformacijom se izbacuje ugao ϑ iz transformisane matrice induktivnosti.
E
L = G
+
L G ,
gde je
⎡G
⎢
⎣
⎡τ
⎤
= ⎢ τ
τ
⎥ ,
⎣ ⎦
jϑ
G = e .
*
E +
s
L =
+
G
r
⎤ ⎡L
⎥ ⎢
⎦ ⎣L
F
ss
F
rs
L
L
F
sr
F
rr
⎤ ⎡G
⎥ ⎢
⎦ ⎣
s
G
r
⎤
⎥
⎦
gde je:
jϑ
= s
jϑ
⎡e
⎤
G
s ⎢ ⎥ ,
⎣
− jϑ
⎥
e
= r
⎡e
⎤
G
r ⎢
s
⎦ ⎣
− jϑ
e
r
⎦
ϑs
i ϑr
su proizvoljni uglovi, ali
ϑ ϑ = ϑ
s
− r
Brzinu referentne ose označavamo sa ω
s
, brzinu obrtanja rotora sa ω , a kružnu učestanost
višefaznog naizmeničnog spoljnog električnog sistema za koji je mašina vezana sa ω
e
(npr. statorska učestanost kod asinhronog motora).
19

Koordinatni sistem može biti vezan za:
ROTOR ϑ ϑ , ϑ = ( ϑ −ϑ
= ϑ)
s
=
r
0
s r
STATOR ϑ −ϑ
, ϑ = 0
r
=
s
t
dω
e
OBRTNO POLJE ϑs = ϑe
, ⇒ϑr
= ϑe
−ϑ
gde je = 0 ⇒ ϑe
= ∫ω
edt
+ ϑ0
dt
Kod asinhronih mašina zbog klizanja je praktičnije da se uzme ϑ = ϑ .
[ :]
E za ϑ ϑ ⇒ ϑ = 0
⎡
⎢L
E
L = ⎢
⎢
⎢L
⎣
ss
sr
s
=
r
⎡1
⎢
⎣0
⎡1
⎢
⎣0
0⎤
1
⎥
⎦
0⎤
1
⎥
⎦
L
L
sr
rr
⎡1
⎢
⎣0
⎡1
⎢
⎣0
0⎤⎤
⎡
⎥⎥
⎢∆L
1⎦⎥
+ ⎢
0⎤⎥
⎢
⎥⎥
⎢∆L
1⎦⎦
⎣
ss
sr
⎡0
⎢
⎣1
⎡0
⎢
⎣1
1⎤
0
⎥
⎦
1⎤
0
⎥
⎦
Kod asinhrone mašine se može vršiti i drugačiji izbor, jer nema isturene polove.
Induktivnosti ne zavise više od vremena, ali se menja oblik jednačine napona u kojoj se
javlja dinamički član.
∆L
∆L
sr
rr
⎡0
⎢
⎣1
⎡0
⎢
⎣1
1⎤⎤
⎥
0
⎥
⎦⎥
1⎤⎥
0
⎥⎥
⎦⎦
s
0
e
F
E
ψ = G ψ ,
E=FG
F E
i =G i
,
F
E
u = G u .
d F
F F F
ψ
u = R i + ;s
dt
E
G u
F E
d ( G ψ)
= R G i + / ⋅G
d t
E
+
;
G
+
E
G u
E F E
E
+
+ d ψ + dG
= u = G R G i + G G + G ψ ,
dt
dt
E
G
+
dϑ
dG
E
dϑ
E
E
ψ = Y ψ = ω Y ψ , gde je
dt
dϑ
d t
+ dG
Y = G .
dϑ
ω ⎡ ⎤
E području: = s
1 0 ω − ω ⎡1
0⎤
Y
s
j
ω
⎢ ⎥ , Y = s
r
j
⎣0
−1
⎢ ⎥ ,
⎦ ω ⎣0
−1
⎦
U [ :]
ω ⎡ − ⎤
u [ B :]
području: = s
0 1 ω −ω
⎡0
−1⎤
Y
s
ω
⎢ ⎥ , Y = s
s
⎣1
0
⎢ ⎥ .
⎦ ω ⎣1
0 ⎦
U Er i Br - transformaciji referentna osa je vezana za rotor, pa je njena brzina ω s
= ω ,
a u Es i Bs - transformaciji za stator, pa je ω = 0 .
s
20

Konačno imamo:
E
E E E
d ψ
E
u = R i + + ω Y ψ .
d t
Na sličan način se dolazi do jednačine za moment.
Sistem vezan za rotor:
[ Er :]
u
dψ s
s = Rs
is
+ +
d
t
jωψ
;
s
u
r
dψ
r
= Rr
ir
+ ;
d t
ψ = L i + L i + ∆L
i + ∆L
i ;
s
r
s
sr
s
s
sr
r
r
ψ = L i + L i + ∆L
i + ∆L
i ;
m m
r
s
sr
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
( i s
ψ −i
ψ )
m = j
;
dϑ = ω .
dt
s
s
Univerzalni matematički model asinhrone mašine
s
Asinhrona mašina nema isturene polove pa se članovi sa
za ukupni fluks statora i rotora.
[ E :]
u
dψ s
s = Rs
is
+ +
d
t
s
s
s
jω
ψ ;
s
sr
r
r
r
ϑ −ϑ
= ϑ ⇒ ω −ω
= ω
s r
s r
.
∆ L se ne pojavljuju u izrazima
u
r
dψ
d t
ω
ω ψ
r
= Rr
ir
+ + j(
s
− )
r
;
ψ = L i + L i ;
s
r
s
sr
s
s
sr
ψ = L i + L i ;
m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
( i s
ψ −i
ψ )
m = j
;
dϑ = ω .
dt
Za ω = 0 sistem je vezan za stator.
s
s
r
s
r
r
s
21

Različiti oblici prikaza elektromagnetskog momenata su:
• preko statorskih veličina m = j ( i s
ψ
s
−is
ψ
s
) ,
• preko rotorskih veličina m j ( ψ
r
ir
−ψ
r
ir
)
• preko struja m = j L ( i i −i
i ) ,
sr
s
r
= ,
s
r
L
=
r s r s
,
L
sr
• preko struje rotora i ukupnog fluksa statora m j ( i ψ −i
ψ )
L
=
s r s r
- ovaj oblik se
Lr
najčešće koristi, zato što je rotor asinhrone mašine u kratkom spoju.
sr
• preko struje statora i ukupnog fluksa rotora m j ( i ψ −i
ψ )
s
1.4.3 Realne transformacije
Prelazak sa kompleksne na realne transformacije vrši se matricom H .
1 ⎡1
j⎤
+ 1 ⎡ 1 1⎤
H = ⎢ ⎥ , H =
2 ⎣1
− j
⎢ ⎥ .
⎦ 2 ⎣−
j j ⎦
C=F H
C
L = C
+
L C
1.4.3.1 Realna transformacija rasprezanja C
C=
⎡ 1
⎢ 2π
⎢
cos
q
⎢
⎢
2π
cos 2
2 ⎢ q
q
⎢ :
⎢ 2π
⎢cos 2
⎢ q
⎢ 2π
⎢
cos
⎣ q
0 ⎤
2π
⎥
sin
q ⎥
⎥
2π
sin 2 ⎥
q ⎥
: ⎥
2π
⎥
− sin 2 ⎥
q ⎥
2π
⎥
− sin
q ⎥
⎦
1.4.3.2 Realna transformacija rotacije D
⎡cosϑs
− sinϑs
⎤ ⎡cosϑr
− sinϑr
⎤
D
s
= ⎢
⎥ , D
r
=
⎣sinϑs
cosϑ
⎢
⎥ gde je ϑ
s ⎦ ⎣sinϑr
cosϑ
s
−ϑ
r
= ϑ
r ⎦
22

1.4.3.3 Blondelova transformacija B
⎡
⎢L
B
L = ⎢
⎢
⎢L
⎣
=
ss
sr
⎡⎡L
⎢⎢
⎢⎣
0
⎢⎡M
⎢⎢
⎢⎣
⎣ 0
⎡1
⎢
⎣0
⎡1
⎢
⎣0
sd
d
0⎤
1
⎥
⎦
0⎤
1
⎥
⎦
0 ⎤
L
⎥
sq ⎦
0 ⎤
M
⎥
q ⎦
L
L
sr
rr
⎡1
⎢
⎣0
⎡1
⎢
⎣0
⎡M
⎢
⎣ 0
⎡L
⎢
⎣ 0
d
rd
0⎤⎤
⎡
⎥⎥
⎢∆L
1⎦⎥
+ ⎢
0⎤⎥
⎢
⎥⎥
⎢∆L
1⎦⎦
⎣
0 ⎤⎤
⎥
M
⎥
q ⎦⎥
0 ⎤⎥
⎥⎥
L
rq ⎦⎥⎦
ss
sr
⎡1
⎢
⎣0
⎡1
⎢
⎣0
0⎤
−1
⎥
⎦
0⎤
−1
⎥
⎦
∆L
∆L
sr
rr
⎡1
⎢
⎣0
⎡1
⎢
⎣0
0⎤⎤
⎥
−1
⎥
⎦⎥
=
0⎤⎥
⎥⎥
−1⎦⎦
gde je:
L
sd
L
L
L
= L L ,
=
ss
+ ∆
ss
,
rd rr
+ ∆
rr
L
L
L
L
= L L ,
sq
=
ss
− ∆
ss
,
rq rr
− ∆
rr
M
L
L
M
= L L .
d
=
sr
+ ∆
sr
,
q sr
− ∆
sr
Ako mašina nema isturene polove (npr. asinhrona mašina), može se vršiti proizvoljan
izbor osa.
d − q jednačine, ϑ ϑ ϑ = 0
[ Br :]
u
s
=
r
dψ sd
sd = Rs
isd
+ − ω
d
t
ψ
sq
dψ
sq
1
u
sq
= Rs
isq
+ + ωψ
sd
⇒ us
=
sd
+
dt
2
u
rd
dψ
rd
= Rr
ird
+ ;
dt
;
( u j u )
sq
;
u
rq
dψ
rq
= Rr
irq
+ ;
dt
ψ = L i + M i ;
sd
sq
sd
sq
sd
sq
q
d
rd
ψ = L i + M i ;
rd
d
sd
rd
rq
ψ = M i + L i ;
rq
q
sq
rq
rd
ψ = M i + L i ;
m m
rq
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
m = i sq
ψ − i ψ i druge kombinacije;
sd
sd
sq
dϑ = ω .
dt
23

[ B :]
u
sd
dψ =
sd
Rs
isd
+ − ω
d
t
ψ
sq
;
u
sq
dψ sq
= Rs
isq
+ + ω
d
t
ψ
sd
;
u
u
rd
rq
dψ
rd
= Rr
ird
− ( ωs
−ω)
;
dt
dψ
rq
= Rr
irq
+ ( ω
s
− ω)
;
dt
ψ = L i + M i ;
sd
sq
sd
sq
sd
sq
q
d
rd
ψ = L i + M i ;
rd
d
sd
rd
rq
ψ = M i + L i ;
rq
q
sq
rq
rd
ψ = M i + L i ;
m m
rq
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
m = i sq
ψ − i ψ i druge kombinacije;
dϑ = ω .
dt
sd
sd
sq
ORIGINALNO PODRUČJE
F
C
F područje
(+, -)
H
C područje
(α, β)
E
G
D
B
E područje
(f, b)
kompleksne
H
B područje
(d, q)
realne
Slika 1-5 Prikaz transformacija
24

Tok uvođenja transformacija:
F (kompleksna, rasprezanje) uveo Forteskju 1918.,
D uveo Blondel (Park) 1933.
C (realna, rasprezanje) uvela Edika Klark 1943.
Transformacije su objedinili Vajt i Vudson 1959.
Legenda oznaka:
E područje: f - napred (forward), b - nazad (backward),
B područje: d - podužno (direct), q - poprečno (quadrature).
1.4.4 Transformacije za trofaznu električnu mašinu
(sa nultim elementima)
⎡ 1 1 1⎤
1
F =
⎢ ⎥
⎢
α α 1
⎥
,
3
⎢⎣
α α 1⎥⎦
C =
⎡
⎢ 1
⎢
2 ⎢ 1
⎢
−
3 2
⎢
⎢ 1
−
⎢⎣
2
0
3
2
3
−
2
1 ⎤
⎥
2
⎥
1 ⎥
2 ⎥
⎥
1 ⎥
2 ⎥⎦
⎡τ
z
j z
G
z
=
⎢
τ
⎥
z
, τ
z
= e ϑ ,
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
1⎥⎦
D
z
⎡cosϑz
=
⎢
⎢
sinϑz
⎢⎣
0
− sinϑ
cosϑ
0
z
z
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
⎡ τ
z
τ
z
1⎤
1
E =
⎢
⎥
z
τ
⎢
zα
τ
zα
1
3
⎥
,
⎢⎣
τ α τ α 1⎥
z z ⎦
B z
=
⎡
⎢ cosϑz
⎢
2 ⎢ ⎛ 2π
⎞
cos⎜ϑz
− ⎟
3 ⎢ ⎝ 3 ⎠
⎢
⎢
⎛ 4π
⎞
cos⎜ϑz
− ⎟
⎢⎣
⎝ 3 ⎠
− sinϑ
⎛
− sin⎜ϑz
−
⎝
⎛
− sin⎜ϑz
−
⎝
z
2π
⎞
⎟
3 ⎠
4π
⎞
⎟
3 ⎠
1 ⎤
⎥
2 ⎥
1 ⎥
2 ⎥
1
⎥
⎥
2 ⎥⎦
statorske promenljive:
z = s
rotorske promenljive:
z = r
⎡1
j 1 ⎤
1
H =
⎢ ⎥
⎢
1 − j 1
⎥
,
2
⎢⎣
0 0 2⎥⎦
Y =
⎡0
⎢
⎢
1
⎢⎣
0
−1
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
25

1.5 Sinhrone mašine
Sinhrona mašina u opštem slučaju ima tri namotaja: namotaj pobude (induktora) na rotoru,
namotaj indukta na statoru i prigušni namotaj na rotoru. Zbog isturenih polova, kod
sinhrone mašine koordinatni sistem se obično vezuje za rotor, tako da se koristi
Br transformacija.
Pobuda deluje samo na d osu. Višefazni prigušni namotaj se primenom C (Klarkove)
transformacije svodi (raspreže) na dvofazni.
U ovom slučaju važi jednačina naponske ravnoteže zapisana u matričnom obliku:
⎡u
⎢
⎢
u
⎢u
⎢
⎢u
⎢
⎣u
d
q
f
D
Q
⎤ ⎡Rs
⎥ ⎢
⎥ ⎢
0
⎥ = ⎢ 0
⎥ ⎢
⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
0
R
0
0
0
s
0
0
R
0
0
f
0
0
0
R
0
D
0 ⎤ ⎡id
⎤
0
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
iq
⎥
0 ⎥ ⎢i
⎥
f +
⎥ ⎢ ⎥
0 ⎥ ⎢iD
⎥
R ⎥ ⎢ ⎥
Q ⎦ ⎣iQ
⎦
d
dt
⎡ψ
d ⎤ ⎡0
⎢ ⎥ ⎢
⎢
ψ
q
⎥ ⎢
1
⎢ψ
⎥
f + ω ⎢0
⎢ ⎥ ⎢
⎢ψ
D ⎥ ⎢0
⎢ ⎥
⎣ψ
⎦
⎢
Q ⎣0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0⎤
⎡ψ
d ⎤
⎢ ⎥
0
⎥
⎢
ψ
q
⎥ ⎥
0⎥
⎢ψ
⎥
f
⎥ ⎢ ⎥
0⎥
⎢ψ
D ⎥
0⎥
⎦
⎢ ⎥
⎣ψ
Q ⎦
gde pojedini indeksi označavaju: d i q statorske veličine, f veličine jednofaznog
pobudnog namotaja, a D i Q veličine raspregnutog prigušnog namotaja.
Matrična relacija za fluksne obuhvate glasi:
⎡ψ
d ⎤ ⎡ Ld
0 M
fd
M
⎢
ψ
⎥ ⎢
⎢
q
⎥ ⎢
0 Lq
0 0
⎢ψ
⎥ = ⎢
f
M
fd
0 L
f
M
⎢ ⎥ ⎢
⎢ψ
D ⎥ ⎢M
dD
0 M
fD
L
⎢ ⎥ ⎢
⎣ψ
Q ⎦ ⎣ 0 M
qQ
0 0
Sada je matrica induktivnosti:
dD
fD
D
M
0
0
0
L
qQ
Q
⎤⎡i
⎥⎢
⎥⎢
i
⎥⎢i
⎥⎢
⎥⎢i
⎥⎢
⎦⎣i
d
q
f
D
Q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Br
L
⎡ Ld
⎢
⎢
0
= ⎢M
⎢
⎢M
⎢
⎣ 0
fd
dD
M
0
L
q
0
0
qQ
M
M
0
L
f
0
fd
fD
M
M
0
L
dD
fD
D
0
M
0
0
0
L
qQ
Q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Nema međinduktivnosti između bilo kojih d i q osa. Ose f , d i D , odnosno q i Q se
poklapaju.
1.5.1 Transfomacija nivoa T
Matrica T je dijagonalna, transpozicijom se ne menja. Primenom transformacije nivoa
(svođenjem navojaka) se ne menjaju snage i momenti. Kod sinhrone mašine se obično
primenjuje Ts transformacija, tj. veličine se svode na broja navojaka statorskog namotaja.
26

U matrici induktivnosti imamo različite vrednosti međuinduktivnosti. Uvođenjem navojne
Ts transformacije dobijamo samo dve vrednosti međuinduktivnosti M
d
i M
q
. Dakle,
transformacija nivoa se zasniva na principu jednakih induktivnosti.
Matrica transformacije
gde su i
BrTs
L = T
Br
+
s
L T s
T
s
ima oblik:
M
fd
M
qQ
M
q
= , tj. usvojen je odnos
M
M
fD
T s
⎡ M
d
M
d
= diag ⎢1,
1, , ,
⎢⎣
M
fd
M
dD
M
M
d q
= .
dD
M
qQ
M
M
q
qQ
⎤
⎥
⎥⎦
BrTs
L
⎡ Ld
⎢
⎢
0
= ⎢M
⎢
⎢M
⎢
⎣ 0
d
d
0
L
M
q
0
0
q
M
0
L′
M
f
0
d
d
M
0
d
M
L′
d
D
0
0
M
0
0
L′
Q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
q
gde su:
2
2
⎛ ⎞
⎜
M
⎛
d ⎟
M ⎞ ⎛ M ⎞
d
q
L ′
f
= L
f
, L ′ =
⎝ M
⎜
⎟
D
LD
i L ′ ⎜ ⎟
Q
= LQ
.
fd ⎠ ⎝ M
dD ⎠ ⎝ M
qQ ⎠
Uvođenje navojne Ts transformacije omogućuje da se induktivnost L namotaja prikaže
kao zbir odgovarajuće međuinduktivnosti M i rasipne induktivnosti Λ tako da je:
L
L
d
q
L′
f
L′
D
L′
Q
= M
= M
= M
= M
d
q
= M
d
d
q
+ Λ
+ Λ
d
q
+ Λ′
+ Λ′
f
+ Λ′
D
Q
Sledstveno rečenom ukupan fluks se može prikazati kao zbir zajedničkog fluksa (fluksa
magnećenja) i rasipnog fluksa namotaja.
Matrica otpornosti nakon primene navojne Ts transformacije je:
⎡Rs
0 0 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
0 Rs
0 0 0
⎥
= + Br
R T = ⎢ ′ ⎥
s
R T 0 0 R
s
f
0 0 , gde je R
D
= RQ
.
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 R′
D
0 ⎥
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 0 R′
Q ⎦
BrTs
2
27

Za pojedine vektore i , ψ i u važi:
⎡ id
⎤
⎢ ⎥
⎢
iq
⎥
⎢ M
fd ⎥
⎢i
f
M
⎥
⎢
d
i = ⎥ ,
⎢ M
dD
i ⎥
D
⎢ M ⎥
d
⎢
M
⎥
⎢
qQ
i ⎥
Q
⎢
⎣ M ⎥
q ⎦
⎡ ψ
d ⎤
⎢
ψ
⎥
⎢
q
⎥
⎢ M
d ⎥
⎢
ψ
f
M ⎥
fd
ψ = ⎢ ⎥ i
⎢ M
d
ψ ⎥
D
⎢ M ⎥
dD
⎢
M
⎥
⎢
q
ψ ⎥
Q
⎢
⎣ M ⎥
qQ ⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
u
u = ⎢
⎢u
⎢
⎢
⎢u
⎢
⎣
f
D
Q
u
d
uq
M
M
M
M
M
M
d
fd
d
dD
q
qQ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1.5.2 Matematički model sinhrone mašine u BrTs području
S obzirom na smer struja, jednačine su napisane za motorski režim rada. Da bi se model
prilagodio generatorskom režimu rada, potrebno je promeniti predznak statorskih struja
( id
− id
→ i iq
→ − iq
).
Jednačine naponske ravnoteže:
[ BrTs :]
u
dψ
d
d = Rs
id
+
d
t
− ωψ ;
q
u
u
q
f
dψ q
= Rs
iq
+ +
d
dψ
f
= R
f
i
f
+ ;
dt
t
ωψ
d
;
gde je
R = R
Q
dψ
D
0= u
D
= RD
iD
+ ;
dt
dψ
Q
0= uQ
= RQ
iQ
+ ;
dt
D
. Naponi na prigušnom namotaju jednaki su nuli jer je on kratko spojen
Jednačine za fluksne obuhvate izražene preko samoinduktivnosti L :
ψ = L i + M i + M i ;
d
q
d
q
d
ψ = L i + M i ;
f
d
q
ψ = M i + L i + M i ;
d
ψ = M i + M i + L i ;
D
d
ψ = M i + L i ;
Q
q
d
q
d
q
f
Q
d
f
Q
f
Q
f
d
d
D
D
podužni fluks zavisi samo od podužnih struja, a poprečni samo od poprečnih.
D
D
28

m m
m =
dω
= J + Kω
−
dt
i q
ψ − i ψ )
(
d d q
Pm
dϑ
=ω = const
dt
Jednačine za fluksne obuhvate izražene preko rasipnih induktivnosti Λ :
ψ
ψ
d
q
= M
= M
d
q
i
i
md
mq
+ Λ
+ Λ
d
q
i
i
q
d
ψ
f
= M
d
i
md
+ Λ
f
i
f
gde je:
ψ
ψ
D
Q
q
= M
= M
d
d
q
i
i
md
q
+ Λ
+ Λ
Q
Q
D
i
D
Q
Λ = Λ , Λ = Λ ,
i
D
i = i + i + i podužna struja magnećenja,
md
mq
d
q
f
Q
D
i = i + i poprečna struja magnećenja.
Podužni zajednički fluks je:
ψ = M i ,
md
d
md
dok je poprečni zajednički fluks:
ψ
mq
= M
q
i
mq
Jednačine za fluks izražene preko samoinduktivnosti L se koriste za primenu na
računarima, a drugi oblik, preko rasipnih induktivnosti Λ , je dobar za fizičku predstavu.
Drugi oblik se koristi za primenu ra računarima kada se uzima u obzir zasićenje te gubici
usled histereze i vihornih struja.
Matematički model sinhrone mašine se lako pretvara u matematički model asinhrone
mašine - izbaci se pobudni namotaj ( i
f
= 0 ), a budući da asinhrona mašina obično nema
isturene polove vredi: L
d
= Lq
i M
d
= M
q
. Kod asinhronih mašina koriste se veze za
stator, ili još češće za obrtno polje.
1.5.3 Ekvivalentna šema sinhrone mašine
S obzirom da u sinhronoj mašini imamo u opštem slučaju tri namotaja, pogledajmo prvo
ekvivalentnu šemu za tronamotajni transformator.
29

ψ
i1
( 1
)
2
i′ ( ψ 2) ′ i′
3 ( ψ
3′
)
ψ 1 σ
ψ 2σ
ψ 3σ
i′
3
ψ m
Λ 3
i Λ
1 1
Λ 2 i′
2
L
1
( ψ 1
)
M
L′
3
( ψ 3) ′
L′
2
( ψ 2) ′
Slika 1-6 Tronamotajni transformator
Z 0
i 0
u 0
R
Q
= R D
u d
i d
i Q
Λ
=
Q
Λ D
R
i mq
M q
Λ
=
q
Λ d
− ωψ q
ωψ d
R
u q
i q
L q
ω
u′
f
i′
f
R′
f
Λ f
Λ d
Λ D
m
Lf
M
d
LD
RD
i md
i D
Slika 1-7 BrTs šema standardne sinhrone mašine sa isturenim polovima i prigušnim
namotajom, uključujući i nulto kolo
30

1.5.4 Parkove jednačine
Parkove jednačine se dobijaju kada se iz naponskih jednačina sinhrone mašine eliminišu
prigušni namotaji, pošto nisu dostupni, i pobudni namotaj. Ovo se može napraviti samo u
Laplasovom području, a ne u vremenskom.
U ovu svrhu poslužićemo se tzv. Karsonovom modifikaciojom Laplasove transformacije,
gde je, u odnosu na originalnu Laplasovu transformaciju, dodato množenje sa p desne
strane jednačine, da bi transformisane fizičke veličine zadržale svoju prvobitnu fizičku
dimenziju:
() t
−
[ F( p ) − ( 0 )];
∞
− pt ⎡d
f ⎤
L[ f () t ] = F( p) = p∫ f ( t)
e dt
; L⎢
=
d
⎥ p f
0
⎣ t ⎦
lim f t = lim F p ; lim
0
f t lim F p
() ( ) () ( )
t→ ∞
p→0 t→
=
p→∞
.
gde je f ( 0
− ) početna vrednost funkcije.
Za dobijanje transformisane funkcije F( p)
iz zadate vremenske funkcije f (t)
i obrnuto
postoje posebne tablice za funkcije koje se najčešće sreću u praksi.
Naponske jednačine sinhrone mašine napisane u Laplasovom području:
[ L :]
u = R i + p( − Ψ ) −ωψ
, ω const.
gde je:
d
u
u
ψ ;
d d d d q
=
q
f
q
( ψ
q
− Ψq
) + ωψ
d
p( − Ψ )
= R i + p
;
= R i + ψ ;
D
f
f
D
D
f
f
( − Ψ )
0 = u = R i + p ψ ;
Q
Q
Q
D
D
( − Ψ )
0 = u = R i + p ψ ;
d
d
d
Q
Q
( id
− I
d
) + G(
p ( u
f
−U
f
)
( i I )
ψ − Ψ = L ( p)
) ;
ψ − Ψ = L ( p)
− ;
i
f
q
q
q
1
= − p G( p)
id
+ U
f
;
R + pL
U
f
ψ
f
= G ( p)
R
f
id
+ L
f 0
( p)
.
R
d
( 1+
pT ′′
d
)( 1+
pT ′
d
)
( 1+
pT ′′ )( 1+
pT ′ )
do
q
L ( p)
= L
podužna induktivnost,
f
do
q
f
f
q
q
( 1+
pT ′′
qo
)
( 1+
pT ′ )
L ( p)
= L
poprečna induktivnost.
qo
31

Vremenske konstante
kratkog spoja.
pG
T ′ ... T ′′ zavise od konstrukcije mašine i određuju se u ogledu
d
qo
[ p M
d
// ( RD
+ pΛ
D
) ]
Λ ) + [ p M // ( R + pΛ
) ]
( p) = pΛ
+ [ p M // ( R + pΛ
)]
( p)
=
, pL
f 0 f
d D D
( R + p
f
gde je // oznaka za paralelnu vezu.
f
1.5.5 Ustaljeno stanje sinhrone mašine
d
D
D
U ustaljenom (stacionarnom) stanju smatra se da su izvodi svih flukseva jednaki nuli, te da
prigušni namotaj ne deluje.
Jednačine napisane za motorski režim rada su:
u
u
= R −ωψ
,
d
i d
q
i q
d
q
= R + ωψ ,
ψ = L i + M i ,
q
d
q
d
ψ = L i .
q
d
d
f
u
d
= R i
d
−ω
L i
q q
u
q
= Ri +ω L i + ω M i .
q
d
d
d
f
Jednačine napisane za generatorski režim rada, uz zanemarenje aktivne otpornosti
statorskog namotaja ( R =0)
su:
u = X i ,
d
q
q
d
q
u = − X i + ω M i = − X i + X i = − X i + E .
d
d
f
d
d
U indeksu ad , oznaka a je od armature (rotora).
Radi crtanja fazorskog dijagrama preći ćemo u kompleksno područje:
E
B
u = Hu
ad
f
d
d
q
⎡u
⎢
⎣u
f
b
⎤
⎥ =
⎦
1
2
⎡1
⎢
⎣1
−
j⎤
⎡u
⎥ ⎢
j⎦
⎣u
d
q
⎤
⎥ .
⎦
2 u =1⋅u
+ j ⋅u
= jE − jX i + X
d
q
q
d
d
q
i
q
32

q
X q
i q
E q
− X d
i d
u q
δ
2u
u d
d
Slika 1-8 Fazorski dijagram sinhrone mašine u ustaljenom stanju
Analogno se može uraditi sa strujama i fluksevima.
1.6 Asinhrone mašine
Asinhrona mašina ima ravnomerni procep (cilindrično statorsko i rotorsko magnetno
kolo), te su podužne i poprečne komponente jednake. Na statoru je smešten trofazni
namotaj koji je spojen na napajanje. Rotor može takođe biti namotan trofazno, kada je
preko kliznih prstenova vezan za spoljašnje elemente, obično trofazni otpornik, ili mu je
namotaj višefazni kratkospojen, sa onoliko faza koliko ima provodnih štapova.
Koordinatni sistem može da se veže da stator (stacionarni) ili za obrtno polje (sinhroni
koordinatni sistem). Vezom sa rotorom se ništa ne dobija.
1.6.1 Matematički model trofazne asinhrone mašine u originalnom području
dψ
u = R i + ;
dt
ψ = L(ϑ
) i ;
m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
1 d L m = i + i ;
2 dϑ
dϑ = ω ;
dt
gde je:
mc
m = ,
P
K
m
K = ,
P
J
m
J = i ω = Pω
m
.
P
33

34
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
r
s
r
s
rr
ss
r
s
t ψ
ψ
i
i
R
R
u
u
d
d
0
0
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
r
s
rr
rs
sr
ss
r
s
i
i
L
L
L
L
ψ
ψ
;
Pm
t
J
m m
−
=
d
dω
; 0
=
K ( obično zanemarujemo trenje )
[ ] ⎥ ⎦ ⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
r
s
rs
sr
r
s
c
P
m
i
i
L
L
i
i
0
d
d
d
d
0
2
ϑ
ϑ ;
ϑ = ω
dt
d
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
c
b
a
s
u
u
u
u ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
C
B
A
r
u
u
u
u ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
c
b
a
s
i
i
i
i ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
C
B
A
r
i
i
i
i ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s
s
s
ss
R
R
R
0
0
0
0
0
0
R ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
r
r
r
rr
R
R
R
0
0
0
0
0
0
R ;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
cc
cb
ca
bc
bb
ba
ac
ab
aa
ss
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L ,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
CC
CB
CA
BC
BB
BA
AC
AB
AA
rr
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L ;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
−
−
+
=
= + ϑ
π
ϑ
π
ϑ
π
ϑ
ϑ
π
ϑ
π
ϑ
π
ϑ
ϑ
cos
)
3
2
cos(
)
3
2
cos(
)
3
2
cos(
cos
)
3
2
cos(
)
3
2
cos(
)
3
2
cos(
cos
sr
rs
sr
L
L
L .
1.6.2 Matematički model trofazne asinhrone mašine u kompleksnom obliku
[ ]
:
Eo
s
d
d
ψ
jω
t
ψ
i
R
u
e
s
s
s
s +
+
= ;
( ) r
e
r
r
r
r ψ
ω
ω
j
t
ψ
i
R
u
−
+
+
=
d
d
;
r
sr
s
s
s
i
L
i
L
ψ +
= ;
r
r
s
sr
r
i
L
i
L
ψ +
= ;

m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
sr
( i i −i
i )
m = j L
;
s
r
s
r
dϑ = ω .
dt
Pimenom navojne Ts transformacije, tj. sledećih zamena za rotorske veličine:
i T i′
ψ = T
−1 ψ′
, u
r
= T
−1
r
u′
r
r
=
r r
,
r r r
L
L′
sr
r
sr
= , Lr
2
Ts
Tr
Tr
L′
R′
r
= , Rr
=
2
T
i usvajanjem transformacionih formula:
T
s
=1 i T
r
= ns
nr
= Ls
Lr
,
r
dobija se praktičniji EoTs model:
[ EoTs :]
dψ
dt
s
u
s
= Rsis
+ +
jω
e
ψ
s
;
gde je:
dψ′
d t
( ωe
−ω) ψ
r
r
u ′
r
= R′
ri′
r
+ + j ′
ψ = L i + M i ;
s
r
s
ψ ′ = M i + L i′
;
m m
s
s
r
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
sr
( i i′
−i
i )
m = j L ′ ;
s
r
dϑ = ω .
dt
L = M + Λ = L samoinduktivnost,
s
M = L k s sr
zajednička induktivnost,
Λ = L ( 1 − ) ili Λ = L ( − 1−σ
)
s
k sr
L
sr
k
sr
= koeficijent sprege i
L
s
L
r
Konačno, kada se uvede kliznje prema definiciji:
ω
e
−ω
s =
ω
e
r
r
s
r
s
i izbace indeksi T -transformacije, dobija se EoTs model u preglednijoj formi:
35
sr
;
1 rasipna induktivnost,
σ
sr
Lsr
=1−
L L
s
r
koeficijent ukupnog rasipanja.

[ EoTs :]
dψ
dt
s
u
s
= Rsis
+ +
jω
e
ψ
s
;
u
dψ
d t
ω
r
r
= Rrir
+ + j s
e
ψ
r
ψ = L i + M i ;
s
r
s
ψ = M i + L i ;
m m
s
s
r
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
sr
( i i −i
i )
m = j L
;
s
r
r
r
s
r
;
dϑ = ω .
dt
Jednačine za fluksne obuhvate mogu se napisati i u formi sa eksplicitno izraženim
zajedničkim fluksom i rasipanjem:
ψ
ψ
s
r
( is
+ ir
) + Λis
= M iµ + Λis
= ψ
µ
+ λs
= M
,
( is
+ ir
) + Λir
= M iµ + Λ ir
= ψ
µ
+ λr
= M
,
gde je i
µ
= i s
+ ir
struja magnećenja, ψ
µ
= M i zajednički fluks a λ
µ
s
= Λis
i λr
= Λir
statorski i rotorski rasipni fluksevi.
Konačno, dolazi se do sledećeg oblika jednačina:
[ EoTs :]
dψ
dt
s
u
s
= Rsis
+ +
u
ψ
s
ψ
r
dψ
d t
jω
e
ψ
ω
r
r
= Rrir
+ + j s
e
ψ
r
m m
= ψ µ
+ λ ;
= ψ µ
+ λ ;
s
r
dω
= J + Kω
− Pm ;
dt
sr
( i i −i
i )
m = j L
;
dϑ = ω .
dt
s
r
s
r
s
;
;
36

1.6.3 Ekvivalentna šema asinhrone mašine za prelazna stanja
Ekvivalentna šema asinhrone mašine za prelazna stanja pravi se iz realnog modela:
[ BrTs :]
u
sd
= R i
s sd
dψ
+
dt
sd
− ω
dψ
sq
u
sq
= Rsisq
+ + ω
dt
dψ′
d t
e
e
ψ
ψ
sq
sd
;
;
( ωe
−ω) ψ
rq
rd
u ′
rd
= R′
ri′
′
rd
+ −
dψ′
( ωe
−ω) ψ
rd
rq
u ′
rq
= R′
ri′
′
rq
+ +
sd
s
sd
d t
ψ = L i + L′
i ;
sq
s
sq
sr
sr
rd
ψ = L i + L′
i ;
rd
sr
sd
r
rq
ψ ′ = L′
i + L′
i′
;
rd
ψ ′
rq
= L′
sr
isq
+ L′
r
i′
.
rq
Ako se za brzinu referentne ose izabere ω
S
= 0 , tj. ona "pričvrsti" za stator, dobijamo
BsTs model, iz kojeg se crta ekvivalentno kolo (slika 1-9).
Ova šema važi za sva radna stanja, sve oblike napona i svaku nesimetriju. Poprečni
generator pobuđuje podužni fluks i obrnuto. Podužne i poprečne komponente se ne mogu
razdvojiti.
;
;
u sd
isd
R s
Λ s
Λ r
R′
r
i′
rd
u′
rd
L′
sr
ψ ′
rd
ω ψ rq
′
L′
sr
ψ ′
rq
−ω ψ rd
′
u sq
i sq
R s
Λ s
Λ r
R′
r
i′
rq
u′
rq
Slika 1-9 Ekvivalentna šema asinhrone mašine za BsTs model
Λ s
= L s
− M , Λ r
= L r
− M , M = L′
sr
37

Ako se za brzinu referentne ose izabere ω
s
= ω
e
, tj. ona "pričvrsti" za obrtno polje
(sinhrona referentna osa), dobijamo BTs model. Ekvivalentno kolo u ovom modelu
prikazano je na slici 1-10.
u sd
isd
R s
Λ s
Λ r
R′
r
i′
rd
u ′
rd
−ω s
ψ sq
ψ sd
L′
sr
ψ ′
rd
− sω ψ ′
s
rq
ω s ψ sd
ψ sq
L′
sr
ψ ′
rq
sω ψ ′
s
rd
u sq
i sq
R s
Λ s
Λ r
R′
r
i′
rq
u′
rq
Slika 1-10 Ekvivalentna šema asinhrone mašine za BTs model
Praktična vrednost ovakvog izbora je u tome što se - slično kao u primeni Br -
transformacije kod sinhronih mašina dolazi do jednosmernih veličina. Naime, kada se
trofazni naponi transformišu pomoću B matrice uz ϑ = ϑ = ω t dobijaju se naponi:
⎡u
⎢
⎣u
sd
sq
⎤
⎥ =
⎦
⎡cos
β ⎤
3U ⎢ ⎥ ,
⎣sin
β ⎦
dakle veličine koje su u ustaljenom stanju jednosmerne.
z
s
e
1.7 Mašine jednosmerne struje
Motor jednosmerne struje (Direct Current motor) spada u grupu električnih mašina sa dva
namotaja (po jednim na statoru i rotoru). Ove mašine nazivaju se i komutatorskim
mašinama. Elektromotorni pogoni sa motorima jednosmerne struje imaju sledeće
karakteristike:
• jednostavna regulacija brzine obrtanja i mogućnost održavanja konstantne brzine
obrtanja,
• nezavisna regulacija brzine i momenta,
• fleksibilno upravljanje motorom u bilo kom režimu rada,
• veliki polazni moment.
38

1.7.1 Ekvivalentna šema
Na slici 1-11 prikazana je ekvivalentna šema idealizovane mašine za jednosmernu struju
sa nezavisnim pobuđivanjem. Zbog izrazite magnetne nelinearnosti u pobudnom kolu nisu
definisane nikakve induktivnosti, već je data karakteristika magnećenja ψ f
= ψ f
( i f
) , gde
je ψ
f
pobudni fluks obuhvaćen od strane indukta.
i a
Ra
La
ω,ϑ
m e
J
m m
u a
ωψ f
M
ψ f
( i f
)
R f
u f
i f
Slika 1-11 Ekvivalentna šema mašine za jednosmernu struju sa nezavisnom pobudom
1.7.2 Matematički model
Za elektrino kolo indukta (rotora) i pobudno kolo mogu se napisati sledee naponske,
diferencijalne, jednaine:
u
u
a
f
= R
a
= R
gde su:
f
i
a
i
f
+ L
a
dia
dt
dψ
f
+ n
dt
+ e = R
a
i
a
+ L
a
dia
d t
u
a
, i a
- napon i struja indukta (armature),
+ ω ψ
R
a
, L a
- otpornost i induktivnost indukta (armature),
e – indukovana kontra-elektromotorna sila usled rotacije, koja je dominantna na desnoj
strani naponske jednačine indukta,
ω – ugaona brzina obrtanja rotora,
ψ
f
- pobudni fluks obuhvaćen induktom,
f
;
u
f
, i f
– napon i struja pobudnog kola,
R
f
, L f
– otpornost i induktivnost pobudnog kola,
n - odnos između broja navojaka pobudnog namotaja i ekvivalentnog broja navojaka
indukta.
39

Veza između pobudne struje i fluksa je nelinearna i određena krivnom magnećenja:
ψ =ψ
f
f
( i f
)
Njutnova jednačina kretanja (rotacije), uz zanemareno trenje glasi:
dω
J = m e
− m m
d t
Ovde je J momenat inercije svih obrtnih delova pogona (sveden na rotor motora),
(električni) moment motora, m
m
– (mehanički) moment opterećenja .
Električni momenat je jednak proizvodu struje i pobudnog fluksa:
m
=
e
i a
ψ
f
a mehanički momenat je u opštem slučaju funkcija brzine, ugla rotora i vremena:
m
m
= m ( ω,
ϑ,
t)
,
m
m –
e
ali u praksi najčešće funkcija samo brzine.
U pojedinim slučajevima (pozicioni servosistemi, zavisnost momenta opterećenja od ugla,
torzija vratila) potrebno je dodati i četvrtu diferencijalnu jednačinu:
dϑ =ω .
dt
Kao što se vidi, mašina za jednosmernu struju u najsloženijem slučaju predstavlja
dinamički sistem četvrtog reda ili, ako ugao rotora nije od interesa, sistem trećeg reda.
Sistem se svodi na drugi red ako se pri tome posmatraju pojave pri konstantnoj pobudi, jer
otpada izvod u naponskoj jednačini pobudnog kola. Najzad, samo na prvi red, ako se
zanemare pojave u induktu, jer tada otpada i izvod u naponskoj jednačini indukta.
1.7.3 Jednačine ustaljenog stanja
U ustaljenom stanju svi izvodi su nule, pa je matematički model znatno uprošćen i glasi:
u
a
= R
a
i
a
+ ω ψ
f
u = R
f
ψ =ψ
f
f
f
i
f
( i f
)
m
e
= m m
m
=
e
i a
ψ
f
Ovaj sistem od 5 jednačina ima 8 promenljivih. Da bi bio rešiv, potrebno je da 3
promeljive budu date, npr. dve upravljačke ua
i u
f
(ili ψ
f
) i jedna poremećajna m
m
.
40

1.8 Metode za rešavanje zadataka
Cilj je doći do takvog matematičkog modela kojim će se efikasno i uz zadovoljavajuću
tačnost predvideti ponašanje realnog, fizičkog dinamičkog sistema. Efikasnost nas upućuje
na primenu računara, pa je jedan od kriterijuma da matematički model bude pogodan za
simulaciju na računaru. U osnovi, dinamički sistem se može opisati sa jednom
diferencijalnom jednačinom n - tog reda ili sa n diferencijalnih jednačina prvog reda. Za
analize ponašanja dinamičkih sistema se u primenjuju dve osnovne metode:
• operatorska metoda,
• metoda prostora stanja.
Operatorska (frekfentna) metoda je praktično je primenljiva samo kod linearnih sistema
sa konstantnim parametrima, tj. matematičkih modela sastavljenih iz linearnih algebarskih
i integro-diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima. Zasniva se na
Laplasovoj transformaciji, kojom se pod određenim uslovima jednoznačno zamenjuje data
vremenska funkcija f(t) (original) drugom funkcijom F(p) (kompleksnim likom), gde je p
kompleksna promenljiva Laplasove transformacije. U osnovi, diferencijalne jednačine se
po formi i mogućnostima manipulacije pretvaraju u linearne algebarske jednačine, a
zavisnost svakog pojedinog izlaza od svakog pojedinog ulaza može se izraziti količnikom
(prenosnom funkcijom) dva polinoma po p.
Metoda prostora stanja ne menja oblik vremenskih i diferencijalnih jednačina. Eksplicitno
izražavanje odnosa između promenljivih, kao kod operatorske metode, nije moguće. Ova
metoda je pogodnija za primenu na računarima i ima šire područje primene – mogu se
rešavati nelinearni sistemi, sistemi sa promenljivim parametrima, sistemi sa više ulaza i
izlaza, stohastički sistemi, može da služi za optimalno upravljanje.
Dinamički sistem se u metodi prostora stanja definiše kao skup matematičkih relacija koji
povezuje dva skupa promenljivih veličina, i to izlazni skup i ulazni skup, izraženih u
obliku vektora izlaznih odnosno ulaznih promenljivih y()
t i z () t , respektivno. Pored ova
dva skupa definiše se i treći skup, vektor stanja x () t , sa promenljivama stanja, koje u
fizičkom smislu predstavljaju fizičke veličine koje karakterišu stanje nekog inercijalnog
sistema (skladišta energije) u sistemu, kao što je npr. brzina v tela mase m , uglovna
brzina ω obrtnog tela momenta inercije J , struja i ili fluks u prigušnici induktivnosti L ,
napon u na kondenzatoru kapaciteta C i sl. Promenljive iz skupa promenljivih stanja
mogu se, ali ne moraju nalaziti u skupu izlaznih promenljivih. Broj promenljivih stanja
uvek je jednak redu sistema (broju skladišta energije).
U slučaju linearnog dinamičkog sistema n -tog reda, sa m ulaza i k izlaza, imamo:
vektor izlaza: [ ] +
y t)
= y ( t)
y ( t)
.. y ( ) ,
(
1 2
k
t
z t)
= z ( t)
z ( t)
.. z ( ) ,
(
1 2
m
t
vektor ulaza: [ ] +
vektor stanja: [ ] +
x t)
= x ( t)
x ( t)
.. x ( ) .
(
1 2
n
t
a matematički izrazi u prostoru stanja (tzv. jednačine stanja) mogu se svesti na oblik:
d x
= Ax + Bz
dt
y = Cx +
Dz
x 0
= x( t 0
)
41

gde je : A - matrica sistema dimenzija [ n, n]
,
B - matrica ulaza dimenzija [ n, m]
,
C - matrica izlaza dimenzija [ k, n]
,
D - matrica dimenzija [ k, m]
,
t0
− vreme u početku posmatranja.
1.8.1 Opšte jednačine stanja električne mašine
Iz osnovnog matematičkog modela električne mašine:
dψ
u = Ri + + ω Yψ ;
dt
ψ = Li ;
m m
dω
= J + Kω
− Pm ;
d t
L
i + 1 d
m = Y u + i +
i ;
2 dϑ
dϑ
ω = ,
d t
Mora se eliminisati ili ukupni fluks ψ ili struja i , da bi jednačine sveli na potreban oblik.
Sada imamo:
dψ
= −Ri
−ω
Yψ + u ,
d t
−1
i = L ψ ,
pa se zamenom dobija:
−1
( R L + ω Y) ψ + u
dψ
= −
.
dt
Sada se odmah dobija potreban oblik jednačina:
dx
= A
d t
y =C
a
a
a
x
x
a
a
+ B
x
a
= ψ , y
a
= i , z = u
a
z
a
x 0
= x a
( t 0
)
−1
a
, A = −( R L + ω Y)
a
, B = I
a
,
−1
C a
=L .
42

1.8.2 Matematički model mašine jednosmerne struje u prostoru stanja
U opštem slučaju mašina se može shvatiti kao nelinearni dinamički sistem četvrtog reda sa
vektorom stanja:
[ ω ] +
ψ f
x = ϑ
i a
i vektorom ulaza:
z
[ u u m ] +
=
a f m
gde je mm
poremećajna promenljiva.
Vektor izlaza zavisi od uloge mašine u regulisanom pogonu. Jedan od mogućih složenijih
praktičnih slučajeva prikazan je na slici 1-12, gde je vektor izlaza:
[ ω ] +
y = i a
m e
ϑ
m m
u a
u f
i a
ω
ψ f
ϑ
i a
m e
ω
ϑ
Slika 1-12 Mašina za jednosmernu struju kao dinamički sistem
Ako se upravljanje vrši samo preko napona u a
, tj. ako je ψ
f
linearan, pa se može prikazati sa jednačinom stanja trećeg reda:
d x
= Ax + Bz
dt
sa vektorom stanja:
[ ω ] +
x = ϑ ,
i a
vektorom ulaza:
z +
= [ u m a m
] ,
= Ψ
f
= C
te
, model postaje
43

matricom sistema i ulaza:
⎡ 1 Ψ
f ⎤
⎢−
− 0⎥
⎢
Ta
RaTa
⎥
⎢
⎥
A = ⎢ Ψ
f K ⎥
m ,
⎢ − 0⎥
⎢ Tm
Tm
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣ 0 1 0⎦
⎡ 1 ⎤
⎢
0
R ⎥
aTa
⎢
⎥
⎢
⎥
B = ⎢ 1 ⎥
⎢
0 −
,
T ⎥
m
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
0 0 ⎥⎦
gde je
L
a
T
a
= vremenska električna konstanta indukta,
Ra
T
J ω
n
m
= vremenska mehanička konstanta.
mb
Jednačina izlaza zavisi od izbora izlaznih veličina. Ako su to, npr. brzina ω i struja i a
,
ona glasi y = Cx , sa vektorom izlaza:
[ ω i ] +
y =
a
i matricom izlaza:
⎡1
0 0⎤
C = ⎢ ⎥
⎣0
1 0⎦
1.9 Literatura
[1] V. Vučković: Opšta teorija električnih mašina, Nauka, Beograd, 1992.
[2] V. Vučković: Električni pogoni, Elektrotehnički fakultet, Beograd, 1997.
44