pdf - Alas

Osnovni pojmovi teorije Galoa
Milan Ružić
Matematički fakultet, Beograd
4. jun 2004.
Uvod
U algebri je dugo bilo otvoreno pitanje rešivosti algebarskih jednačina
a n x n + . . . + a 1 x + a 0 = 0
preko radikala, tj. primenom neke formule u kojoj učestvuju jedino elementarne
operacije polja i korenovanje proizvoljnog stepena. Ova jednačina invarijantna
je u odnosu na odredjene automorfizme koji permutuju njene korene.
Videćemo da ta preslikavanja obrazuju tzv. Galoaovu grupu jednačine,
o čemu i piše Evarist Galoa 1 u svom poslednjem pismu: “U teoriji jednačina
ispitivao sam uslove pod kojim je neka jednačina rešiva preko radikala, to mi
je dalo priliku da produbim ovu teoriju, i opišem sve moguće transformacije
na nekoj jednačnini, pa i na onim koje nisu rešive radikalima...”.
Počeci ove teorije javljaju se i kod drugih matematičara. Abel je čak pre
Galoa pokazao da se jednačina 5. stepena ne može rešiti pomoću radikala.
Medjutim, Galoa je imao opštiji pristup – on je taj koji je definisao i shvatio
značaj pojma grupe. Njegov rad objavio je Liuvil 14 godina posle čuvenog
dvoboja.
Ovaj članak ima za cilj da objasni osnovne pojmove i tvrdjenja teorije
Galoa i algebarskih raširenja polja. Neke navedene stvari razvile su se i
izkristalisale tek posle objavljivanja Galoaovog rada, te ih on nije poznavao.
Članak može služiti za podsećanje, ali i prvo upoznavanje sa materijom,
ne ulazeći u detalje dokaza. Za čitanje je potrebno neveliko predznanje iz
teorije grupa i osnove teorije polja. Dakle, gradivo kursa Algebra 1 je sasvim
dovoljno.
1 Algebarska raširenja
Neka su F i E polja. F je potpolje polja E, odnosno E je ekstenzija polja F
akko je F algebarska potstruktrura polja E. U tom slučaju pišemo F ⊆ E.
Dakle, ako F ⊆ E onda 0 F = 0 E , x + F y = x + E y, itd.
1 Évariste Galois(1811-1832), francuski matematičar.
1

Tako je Q ⊆ R ⊆ C. Svako potpolje od C naziva se brojevnim poljem.
Na primer, Q (√ 2 ) = {x + y √ 2 | x, y ∈ Q} je jedno brojevno polje.
Neka je F ⊆ E. Onda E F = ((E, +, 0), F, ◦), gde definišemo α ◦ x =
αx za α ∈ F i x ∈ E, obrazuje strukturu vektorskog prostora. Uvedimo
oznaku za stepen raširenja: |E : F| = dim E F . Ako je stepen konačan tada i
rašiernje nazivamo konačnim. Sledeće tvrdjenje važi za proizvoljna, dakle i
beskonačna raširenja.
Teorema 1 Neka su E, F, K polja takva da važi F ⊆ E ⊆ K. Tada je
|K : F| = |K : E||E : F| .
Ako je polje beskonačne karakteristike (kaže se i karakteristike 0) ono će biti
i vetorski prostor nad Q. Polje proste karakteristike p (ako je karakteristika
konačna ona mora biti prosta) je i vektorski prostor nad Z p . Koristeći
dosadašnja saznanja pokazuje sa da važi
Teorema 2 Neka je F konačno polje. Tada je |F | = p k , za neki prost broj
p i k ∈ N + .
Prsten polinoma F[X] je komutativan i nema pravih delitelja nule.
2
Polje racionalnih izraza nad tim prstenom označavamo sa
{ }
p
F(X) =
q | p, q ∈ F[X], q ≠ 0 .
Ono je raširenje polja F, ali ne i konačno jer sadrži, na primer, beskonačnu
linearno nezavisnu familiju [1, X, X 2 , . . .].
Neka je sada a fiksiran element polja E i F ⊆ E. Sa F(a) označavamo
polje razlomaka nad F[a] (tu je, očekivano, F[a] = {p(a) | p ∈ F[X]}). F(a) je
minimalno potpolje od E koje sadrži F i a. Ono sadrži i familiju [1, a, a 2 , . . .]
koja je linearno zavisna ako postoji ne-nula p ∈ F[X] za koji je p(a) = 0. U
tom slučaju kažemo da je a algebarski element nad F.
U suprotnom, ako a poništava samo nula polinom iz F[X] zovemo ga
transcedentnim nad F. Jasno je da je tada F(a) ∼ = F(X).
E ⊇ F je algebarsko raširenje polja F ako je svaki a ∈ E algebarski
element nad F.
Na primer, √ 2 je algebarski nad Q i Q( √ 2) je algebarsko raširenje polja
Q. R nije algebarsko raširenje polja Q jer su, na primer, π i e transcedentni
nad Q.
Lako je videti da je svako konačno raširenje i algebarsko. Zato mora biti
|R : Q| = ∞.
Pretpostavimo da je a ∈ E algebarski nad F. Prema principu najmanjeg
elementa za N postoji polinom m ∈ F[X] najmanjeg stepena za koji je
m(a) = 0. Možemo uzeti da je m moničan; zovemo ga minimalni polinom
za a nad F.
2 Element X prstena polinoma, označavaćemo nekad i sa x.
2

Teorema 3 Neka je F ⊆ E, a ∈ E algebarski nad F i m(x) minimalni
polinom od a nad F. Tada važi:
1. m je nesvodljiv nad F.
2. Ako je p(a) = 0 za p ∈ F[X], onda m(x)|p(x).
3. Ako je n = deg m, onda je
F(a) = { b 0 + b 1 a + . . . + b n−1 a n−1 | b k ∈ F, 0 ≤ k < n } .
4. |F(a) : F| = n = deg m.
Za n ≥ 2, x n −2 je nesvodljiv nad Q prema Ajzenštajnovom kriterijumu.
Onda je on i minimalni polinom za n√ 2 i |Q ( n √ 2 ) : Q| = n.
2 Korensko polje i normalna raširenja
Neka su F ⊆ E polja i f ∈ F[X], deg f ≥ 1.
polinoma f nad F akko:
Polje E je korensko polje
• f ima faktorizaciju na linearne faktore tj. za neke a 1 , . . . , a n ∈ E i
c ∈ F je f(x) = c(x − a 1 ) · · · (x − a n ).
• Ni u jednom medjupolju K (takvom da je F ⊆ K E) f nema linearnu
faktorizaciju.
Teorema 4 Ako je F polje i f ∈ F[X], deg f ≥ 1, tada f ima korensko
polje. Uz to, korensko raširenje je jedinstveno do na izomorfizam.
Algebarsko raširenje E ⊇ F je normalno ukoliko za svaki f ∈ F[X] koji
je nesvodljiv važi: ako f ima jedan koren u E onda E sadrži sve korene
polinoma f. Drugim rečima, ako E sadrži jedan koren od f, onda ono sadrži
i korensko polje od f.
Na primer, Q ( √ 3
2 ) ne sadrži korensko polje polinoma x 3 −
(
2 (nad Q)
jer ne obuhvata preostala dva, kompleksna korena. Medjutim, Q
3√ 2π
2, e i) 3
jeste korensko polje polinoma x 3 − 2. Ono je i normalno raširenje polja Q
na osnovu sledeće teoreme.
Teorema 5 Konačno rašiernje E ⊇ F je i normalno akko E sadrži korensko
polje nekog polinoma nad F.
3 Separabilna raširenja
Nerastavljiv polinom f ∈ F[X] je separabilan nad F akko su svi koreni od
f u njegovom korenskom polju medjusobno različiti. Proizvoljan polinom
f ∈ F[X] je separabilan nad F akko su svi njegovi nerastavljivi faktori iz
F[X] separabilni.
3

Teorema 6 Neka f ∈ F[X] i deg f > 0 (tj. f je pravi polinom). Tada f
ima sve proste nule (reda 1) u njegovom korenskom polju akko (f, f ′ ) = 1 tj.
akko je uzajamno prost sa svojim izvodom. Specijalno, nesvodljiv polinom f
je separabilan akko je f ′ ≠ 0.
U poljima proste karakteristike postoje polinomi za koje je deg f > 0
i f ′ = 0. Na primer, to je slučaj sa polinomom x p2 + x p nad Z p , gde je
p prost broj (dati polinom je rastavljiv nad Z p ). Medjutim, ako je polje
karakteristike 0 onda za deg f > 0 uvek važi deg f ′ = deg f − 1. Posledica
je da nesvodljiv polinom nad brojevnim poljem nema višestruke kompleksne
korene.
Neka su E ⊇ F polja. Za element a ∈ E kažemo da je separabilan ako
je koren nekog separabilnog polinoma nad F. Uz to, za samo raširenje E
kažemo da je separabilno ako je to svaki od njegovih elemenata.
Primetimo da je separabilno raširenje i algebarsko. Ako je E separabilno
raširenje polja F i m(x) minimalni polinom za a ∈ E, tada je m(x) nesvodljiv
i separabilan. Delom smo videli da važi i
Teorema 7 Ako je polje F konačno ili karakteristike 0, svako od njegovih
konačnih raširenja E je i separabilno.
Ako za polja E ⊇ F postoji α ∈ E za koji važi E = F(α), tada kažemo da
je E prosto raširenje polja F. Takodje α se naziva primitivnim elementom
polja E. Na primer, Q( √ 2, √ 3) = Q( √ 2 + √ 3).
Teorema 8 Neka je E konačno i separabilno raširenje polja F. E je onda i
posto raširenje polja F.
4 Automorfizmi i konjugacija
Svaki homomorfizam h : E → K polja E u polje K je i monomorfizam.
Naime, ako je a bilo koji ne-nula elment E, iz a −1 a = 1 i h(1) = 1 sledi da
je h(a −1 )h(a) = 1, pa je tada i h(a) ≠ 0. Otuda je Ker h = {0}, što znači
da je taj homomorfizam i injektivan.
Kod polja E ⊇ F ⊆ K, od posebnog značaja su homomorfizmi iz E
u K koji fiksiraju zajedničko potpolje F. Videli smo da je svaki takav
homomorfizam i injektivan (utapanje). On će biti i izomorfizam ako je
|E : F| = |K : F|.
Za raširenja E i K polja F kažemo da su konjugovana nad F ako postoji
izomorfizam f : E → K takav da je f|F = i F (sa i F označavamo identičko
preslikavanje). Dodatno, za neke α ∈ E i β ∈ K kažemo da su konjugovani
F ako postoji izomorfizam f : F(α) ↦→ F(β), f|F = i F i f(α) = β.
Teorema 9 Ako su E i K raširenja polja F, njihovi elementi α i β su konjugovani
akko su, ili transcendentni, ili imaju isti minimalni polinom nad
F.
Neka su E ⊇ F polja. Skup Aut E svih automorfizama polja E obrazuje
grupu u odnosu na njihovo slaganje. Nije teško proveriti da je
G = {σ ∈ Aut E : σ|F = i F }
4

jedna podgrupa te grupe. Obeležavamo je sa G E:F ili G(E|F).
Tako, na primer, ako su a i b ≠ 0 bilo koji realni brojevi, minimalni
polinom kompleksnog broja z = a + bi nad R je X 2 − 2aX + a 2 + b 2 , pa
su jedini konjugati od z u C upravo ¯z = a − bi i samo z. Ovo proizilazi
iz činjenice da homomorfizmi slikaju nule polinoma u nule korespodentnog
polinoma, što ograničava broj različitih homomorfizama koji fiksiraju R.
Kako je C = R(i) i svaki σ ∈ G C:R ⊂ Aut C potpuno odredjen sa σ(i), sledi
da je G C:R = {z ↦→ z, z ↦→ ¯z}. Zanimljivo je pomenuti da je |Aut C| =
2 2ℵ 0
. Lako se pokazuje da automorfizmi svakog raširenja polja Q moraju
da fiksiraju Q. Medjutim, osim dva pomenuta, ostali elementi Aut C ne
fiksiraju celo R.
5 Galoaova rašiernja
Za polja E ⊇ F, grupu Γ = G E:F zovemo Galoaovom grupom od E nad
F. Značaj te grupe je u tome što postoji odredjena veza izmedju njenih
podgrupa i potpolja od E koja sadrže F. Naime, ako je Π bilo koja od tih
podgrupa, lako se proveri da je skup
Π ◦ = {a ∈ E : (∀π ∈ Π)(π(a) = a)}
i jedno potpolje polja E koje sadrži F; zovemo ga fiksnim poljem te podgrupe
Π. S druge strane, svakom medjupolju L, F ⊆ L ⊆ E odgovara jedna
podgrupa
L ◦ = {π ∈ Γ : (∀ a ∈ L)(π(a) = a)}
grupe Γ. To je upravo grupa svih automorfizama polja E koji fiksiraju L.
Posebno je F ◦ = Γ, kao i E ◦ = i E . Pridruživanja Π ↦→ Π ◦ i L ↦→ L ◦
nazivamo Galoaovim vezama ili koneksijama izmedju skupa P = P(E, F)
svih podgrupa grupa Γ i skupa F = F(E, F) svih polja izmedju F i E. Uz
to, za svake Π, Σ ∈ P i svake L, K ∈ F važi
Π ⊂ Σ ⇒ Π ◦ ⊃ Σ ◦ , L ⊂ K ⇒ L ◦ ⊃ K ◦ ,
pa su ta pridruživanja monotono opadajuća u odnosu na inkluziju. Takodje
je Π ⊂ Π ◦◦ , kao i L ⊂ L ◦◦ .
No, u opštem slučaju, ne mora biti i L = L ◦◦ , čak ni za L = F. Kako je
Γ = F ◦ , to ne mora biti Γ ◦ = F. Za ilustraciju, raširenje E = Q ( 3 √ 2 ) polja
Q ima tačno jedan automorfizam i E , i za odgovarajuću grupu Γ = G E:Q
važi Γ ◦ = E ≠ Q.
U slučaju kada važi Γ ◦ = F i kada je raširenje E konačno, zovemo ga
Galoaovim raširenjem. Drugim rečima, raširenje je Galoaovo ako osim elemenata
F nema drugih koji su nepokretni u odnosu na svaki σ ∈ Γ.
Teorema 10 Konačno raširenje E polja F je Galoaovo akko je normalno i
separabilno. Onda je |Γ| = |E : F|. 3
Sledeća teorema dobila je naziv vodeća teorema teorije Galoa.
3 Negde se Galoaovo raširenje definiše kao konačno, normalno i separabilno raširenje.
5

Teorema 11 Ako je E bilo koje Galoaovo raširenje polja F, tada važi:
1. Galoaove veze Π ↦→ Π ◦ i L ↦→ L ◦ izmedju skupova P i F su bijektivne,
uzajamno inverzene i opadajuće u odnosu na relaciju ⊂.
2. E je Galoaovo raširenje svakog polja L izmedju F i E. Red grupe
G E:L = L ◦ je |E : L|.
3. Medjupolje L je Galoaovo raširenje polja F akko je odgovarajuća podgrupa
L ◦ normalna u grupi Γ. Tada je grupa G L:F izomorfna grupi
Γ/L ◦ .
6 Algebarske jednačnine
Algebarske jednačine sa jednom nepoznatom nad poljem F su oblika f(x) =
0, za f ∈ F[X]. Nule polinoma f zovemo rešenjima ili korenima jednačine.
Dovoljno je ograničiti se na monične polinome.
Teorema 12 Ako je polinom f nad poljem F separabilan, tada je njegovo
korensko polje K separabilno, a samim tim i jedno Galoaovo raširenje polja
F.
U slučaju separabilnog polinoma f, grupu G K:F nazivamo Galoaovom
grupom polinoma f; označavamo je i sa G f:F = Γ f . Jasno je da ona zavisi
od polja F, jer je se f može posmatrati i kao polinom nad svakim E ⊇ F, pa
možemo razmatrati i odgovarajuću grupu G f:E .
Svaki automorfizam σ ∈ Γ f indukuje permutaciju skupa svih nula tog
polinoma. Stoga je njegova Galoaova grupa izomorfna nekoj podgrupi simetrične
grupe S n , gde je n stepen polinoma f. Kao posledicu imamo da |Γ f |
deli n!.
7 Rešive grupe
Skrenućemo sa glavnog toka izlaganja i, kompletnosti radi, uvesti pojam
rešive grupe. Naziv potiče upravo zbog uticaja na rešivost algebarskih
jednačina.
Neka je G grupa. Komutator elemenata a, b ∈ G je [a, b] = a −1 b −1 ab.
Zbog ab = ba[a, b], možemo ga shvatiti kao odstupanje proizvoda ab od ba.
Izvod grupe G je grupa
G ′ = 〈[a, b] : a, b ∈ G〉
generisana svim komutatorima grupe G. Jasno je da je G Abelova akko
G ′ = {1}. Nije teško proveriti da važe i sledeća tvrdjenja:
• (∀H < G)(G ′ ≤ H ⇒ H ⊳ G). Specijalno, G ′ ⊳ G.
• G/H je Abelova akko je G ′ < H.
• Neka je h homomorfizam grupe G na grupu A, tj. A = h(G). Tada je
A ′ = h(G ′ ).
6

n-ti izvod definišemo induktivno: G (n) = ( G (n−1)) ′
. Svaki izvod je normalna
podgrupa prethodnog izvoda tako da imamo jedan opadajući lanac.
Najzad, G je rešiva akko je G (m) = {1} za neko m ∈ N.
Teorema 13 Simetrična grupa S n i alternirajuća grupa A n , su rešive akko
je n ≤ 4.
8 Rešivost jednačine radikalima
Pri rešavanju algebarske jednačine f(x) = 0, prirodno se nameće ideja da se
ona svede na rešavanje konačno mnogo binomnih jednačina, tj. jednačina
oblika x s = a. Tu je a ∈ K neka vrednost dobijena u prethodnom delu
procesa. Rešenja binomne jednačine zovemo s-tim korenima ili radikalima
elementa a.
Neka je F polje i s prirodan broj koji nije deljiv karakteristikom polja
F. Tada za raširenje E polja F kažemo da je radikalsko akko postoji a ∈ F i
bar jedan nerastavljiv polinom oblika x s − a, tako da za neku njegovu nulu
α vazi E = F[α]. Podsetimo se da je s = |E : F|.
Za algebarsku jednačinu f(x) = 0 nad poljem F kazžemo da je rešiva
radikalima ako je njeno korensko polje K sadržano u poslednjem članu nekog
radikalskog lanca sa početkom u F. Dakle, ako je svaki član lanca
F = L 0 ⊆ L 1 ⊆ · · · ⊆ L m
radikalsko raširenje prethodnog, i K ⊆ L m , jednačina f(x) = 0 je rešiva
radikalima.
Teorema 14 Algebarska jednačina f(x) = 0, deg f > 0, nad poljem F
karakteristike 0 je rešiva pomoću radikala akko je rešiva njena Galoaova
grupa G f:F .
Za n = deg f ≤ 4, poznate su formule za izražavanje rešenja jednačine
preko njenih koeficijenata, naravno korišćenjem samo operacija njenog korenskog
polja i korenovanja. Da to nije slučaj sa većim stepenima pokazuje
Teorema 15 Za svako n > 4, nad poljem Q postoji algebarska jednačina
stepena n koja nije rešiva radikalima.
Literatura
1. G. Kalajdžić: Algebra, Beograd, 1988.
2. N. Božović,
Ž. Mijajlović: Uvod u teoriju grupa, Beograd, 1983.
3. Ž. Mijajlović: Beleške sa predavanja iz Algebre 2,
http://www.matf.bg.ac.yu/nastavno/zmijaj.html .
7