Dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog ...

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA
Vežba br. 10: Dijagram položaja korena karakteristične
jednačine zatvorenog regulacionog kola
I Analiza stabilnosti zatvorenog regulacionog kola
Analiza stabilnosti je jedan od najvažnijih zahteva pri projektovanju regulacionih kola.
Sistem je stabilan ako se za svaku ograničenu promenu ulaza dobija ograničena
promena izlaza iz sistema. Suprotno tome, sistem je nestabilan ako se za ograničenu
promenu ulaza dobija neograničena promena izlaza. Za ispitivanje stabilnosti
zatvorenog regulacionog kola koriste se različite metode, u zavisnosti od složenosti i
karaktera elemenata kola. Najčešće korišćene metode su: Rut-Hurvicov kriterijum
stabilnosti, Dijagram položaja korena karakteristične jednačine ZRK, Bode-ov i
Nyquist-ov kriterijum stabilnosti.
Jednostavan kriterijum stabilnosti se može definisati za korene karakteristične
jednačine ZRK u kompleksnoj s-ravni, što je prikazano na Slici 1. Ako se svi koreni
karakteristične jednačine nalaze levo od imaginarne ose, tj. nalaze se u levoj
poluravni kompleksne s-ravni, sistem je stabilan. Sa druge strane, sistem je
nestabilan ako se bar jedan koren karakteristične jednačine nalazi desno od Im ose,
tj. u desnoj poluravni. Sistem je na granici stabilnosti ako se neki koren
karakteristične jednačine nalazi na imaginarnoj osi, a ostali koreni se nalaze u levoj
poluravni.
Im(s)
S T A B I L N O
N E S T A B I L N O
Re(s)
Granica stabilnosti
Slika 1. Oblasti stabilnosti i nestabilnosti u kompleksnoj s-ravni
Programski paket MATLAB, kao i njegov modul Control System Toolbox poseduju
veliki broj naredbi i funkcija za analizu stabilnosti sistema. Jednostavno definisanje
problema i pregledan grafički prikaz dobijenih rezultata čine program MATLAB i
Control System Toolbox pogodnim okruženjem za rešavanje problema iz
automatskog upravljanja procesima.

II Dijagram položaja korena (DPK) u Control System modulu
Jedna od najčešće korišćenih metoda za ispitivanje stabilnosti je dijagram položaja
korena karakteristične jednačine (DPK). Ova metoda se zasniva na analizi u
kompleksnoj ravni (Slika 1), kao i Rut-Hurvicov kriterijum. Za razliku od njega, pored
kriterijuma stabilnosti, DPK pruža dodatne informacije o oscilatornosti, dominantnim
korenima i dr.
Dijagram položaja korena (DPK) karakteristične jednačine služi za ispitivanje
stabilnosti zatvorenog regulacionog kola za pojačanja regulatora K c od 0 do ∞.
Svakom pojačanju odgovara tačno onoliko tačaka u kompleksnoj s-ravni, koliko
korena ima karakteristična jednačina datog sistema. Skup tačaka u s-ravni daje
granu DPK. Broj grana je jednak redu sistema, odnosno stepenu karakteristične
jednačine. Uobičajeno je da se polovi u DPK označavaju znakom množenja (x), a
nule otvorenim kružićima. Grane polaze iz polova otvorenog kola, za K c =0, i
završavaju u nulama otvorenog kola ili u beskonačnosti, za K c = ∞.
U MATLABu se DPK dobija primenom naredbe rlocus. Na primer:
>> rlocus([2], [1 6 11 6])
kreira DPK za otvoreno kolo
do ∞.
2 ⋅ Kc
G(
s)
=
( s + 1)( s + 2)( s + 3)
i pojačanja regulatora od 0
Granica stabilnosti sistema je određena Im osom i korenima koji se nalaze na toj osi.
Stoga je, u prethodnom primeru, kolo stabilno za pojačanja manja od krajnjeg
pojačanja koje odgovara preseku konjugovano-kompleksnih grana sa imaginarnom
osom. ZRK je oscilatorno kada ima makar jedan par konjugovano-kompleksnih
korena, odnosno kompleksne grane. Ili drugačije, kolo je neoscilatorno ako ima sve
realne korene karakteristične jednačine. Ovo znači da kriterijum oscilatornosti
određuju tačke razdvajanja (ili spajanja) koje se nalaze na realnoj osi i predstavljaju
tačke dvostrukih realnih korena.
! Uočiti tačku razdvajanja u prethodnom primeru.
U MATLABu, u okviru grafičkog prozora pritiskom miša na granu DPK aktivira se novi
prozor sa podacima (pojačanje, koren karakteristične jednačine, frekvencija i dr.) koji
odgovaraju izabranoj tački. Zadržavanjem levog tastera miša moguće je pomerati se
duž grane DPK pri čemu se u skladu sa položajem menjaju i podaci u prozoru. Na taj
način moguće je odrediti krajnje pojačanje ZRK koje odgovara preseku grana sa
imaginarnom osom. Takođe se mogu odrediti tačke razdvajanja i spajanja grana i
pojačanja koja im odgovaraju.
? Odrediti za koja pojačanja je sistem iz prethodnog primera stabilan, a za koja
oscilatoran.
U sledećem primeru, prenosna funkcija objekta upravljanja u širem smislu je trećeg
reda i sadrži dve nule:

locus([1 8 15],[1 1 1 1])
Prethodna naredba kreira dijagram položaja korena karakteristične jednačine
zatvorenog regulacionog kola sistema sa prenosnom funkcijom otvorenog kola:
2
s + 8s
+ 15
G( s)
= Kc .
3 2
s + s + s + 1
? Kakav je ovaj sistem u otvorenom kolu (stabilan, nestabilan ili na granici
stabilnosti?
? Odrediti kritičnu frekvenciju, krajnje pojačanje, tačku spajanja i pojačanje koje joj
odgovara za ZRK definisano u prethodnom primeru.
! Uočiti da je u ovom primeru kolo nestabilno za manja pojačanja, a da je za veća
pojačanja stabilno. Takođe je oscilatorno za manja pojačanja, a neoscilatorno za
veća, što je suprotno od zaključaka za prethodni primer.
Osim već opisanog postupka, vrednosti pojačanja i odgovarajući koreni karakt. jedn.
za izabranu tačku na dijagramu položaja korena se alternativno mogu odrediti
korišćenjem naredbe rlocfind. Na primer, niz naredbi:
>> rlocus([1 8 15],[1 1 1 1])
>> [K,P]=rlocfind([1 8 15],[1 1 1 1])
ponovo kreira prozor u kome se nalazi DPK sistema definisanog u prethodnom
primeru, a korišćenjem miša se može odabrati tačka za koju program automatski
određuje vrednost pojačanja i odgovarajuće vrednosti korena i ispisuje u osnovni
prozor MATLABa.
Pomoću DPK se, takođe, mogu predvideti oblici odziva ZRK na promenu postavne
tačke za različita pojačanja regulatora. Ovakva analiza je moguća na osnovu
položaja korena karakteristične jednačine, tj. određivanja dominantnih korena.
Dominantni koreni su oni koji se nalaze bliže imaginarnoj osi i oni određuju ukupnu
brzinu i oblik odziva.
Na primer, u prethodnom primeru, za manja pojačanja u oblasti stabilnosti (K c >0.749)
dominantni su konjugovano-kompleksni koreni. U tom slučaju oblik odziva sistema je
kao kod oscilatornog sistema drugog reda. Za nešto veća pojačanja u oblasti
stabilnosti, a ipak manja od K c =25.3, dominantni su realni koreni. U tom slučaju odziv
sistema je takođe oscilatoran, ali kriva ima ukupan oblik kao odziv sistema prvog
reda. Koji su koreni dominantni može se odrediti grafički u MATLABu pomoću miša i
prozora sa podacima, ili se može odrediti računski ako se u karakterističnu jednačinu
zamene vrednosti traženog pojačanja regulatora.
? Kreirati dijagram položaja korena zatvorenog regulacionog kola sa P regulatorom.
Objekat upravljanja u širem smislu je definisan prenosnom funkcijom:
s + 3
G ( s)
=
. Odrediti za koja pojačanja je sistem stabilan, a za koja
( s − 0.5)( s + 1)( s + 2)
oscilatoran.

! Obratiti pažnju na uslovnu stabilnost sistema iz prethodnog primera, odnosno na
nestabilni element u kolu.
? Kreirati dijagram položaja korena zatvorenog regulacionog kola, čiji je proces
1
definisan sa prenosnom funkcijom G p
( s)
= i odrediti vrednost krajnjeg
3
8( s + 1)
pojačanja. Dinamika mernog i izvršnog elementa se mogu zanemariti
( Gm ( s)
= Gv
( s)
= 1).
? Kreirati dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog
1
regulacionog kola sa procesom G p
( s)
= i PI regulatorom
3
8( s + 1)
⎛ 1 ⎞
Gc
( s)
= K
c ⎜1
+ ⎟ i odrediti vrednost krajnjeg pojačanja.
⎝ 3.02s
⎠
? Kreirati dijagram položaja korena karakteristične jednačine zatvorenog
1
regulacionog kola sa procesom G p
( s)
= i PID
3
8( s + 1)
⎛ 1 ⎞
regulatorom Gc ( s)
= K
c ⎜1+
+ 0. 45s⎟ i odrediti vrednost krajnjeg pojačanja.
⎝ 1.81s
⎠
III Približan dijagram položaja korena sistema sa mrtvim vremenom
−Ds
Kontinualna prenosna funkcija mrtvog vremena G( s)
= e sadrži beskonačno
mnogo polova i nula, te se ne može direktno koristiti za numeričke proračune u
MATLABu, već se mora aproksimirati. Najčešće se koristi Pade-ova aproksimacija
koja se zasniva na razvijanju eksponencijalne funkcije u Teylor-ov red i predstavlja
odnos dva polinoma n-tog stepena. U MATLABU se aproksimacija mrtvog vremena
dobija primenom naredbe pade. Na primer:
>> pade(1,2)
kreira grafički prikaz odziva sistema na stepenastu promenu i faznu karakteristiku čija
−s
prenosna funkcija G( s)
= e (čisto kašnjenje D=1 s) je aproksimirana Pade-ovom
aproksimacijom drugog reda.
Brojilac i imenilac Pade-ove aproksimacije mogu se dobiti primenom naredbe:
>> [num, den]=pade(1,2)
za čisto kašnjnje od 1 s i aproksimaciju drugog reda.
Dijagram položaja korena za element mrtvog vremena iz predhodnog primera se
kreira pomoću:
>> rlocus(num, den)

! Tačnost aproksimacije se povećava sa povećanjem stepena polinoma.
−3s
? Čisto kašnjnje sistema G(
s)
= aproksimirati Pade-ovom aproksimacijom 4 reda.
Kreirati grafike: odziva aproksimacije na stepenatu promenu, frekventne
karakteristike i dijagrama položaja korena.
? Varirati stepen aproksimacije: 6, 10, 15, 30 za sistem definisan u prethodnom
primeru i uočiti kako se menjaju grafici odziva i DPK.
###
1. a) Kreirati dijagram položaja korena ZRK sa objektom upravljanja u širem smislu
definisanim prenosnom funkcijom:
2
s − 0.5s
+ 1
G ( s)
=
2
s(
s + 2s
+ 1)
b) odrediti pojačanja za koja je sistem stabilan i pojačanja kada je sistem oscilatoran.
2. a) Kreirati DPK karakteristične jednačine zatvorenog regulacionog kola, kome
odgovara prenosna funkcija otvorenog kola:
G(
s)
= K
c
1
( s + 1)( s + 2)( s + 3)( s − 0.2)
pri promeni pojačanja regulatora od Kc=0 do Kc=∞.
b) Za koje vrednosti pojačanja regulatora je ovo regulaciono kolo stabilno, a za koje
oscilatorno?
3. Prenosna funkcija procesa je:
G 4
= p 2
2s
+ 2s
+ 1
,
a dinamika mernog elementa se može prikazati prenosnom funkcijom:
G 0.5
= m s + 1
,
dok se dinamika izvršnog elementa može zanemariti.
Upravljanje se vrši PI regulatorom, čije je integralno vreme 3.
a) Skicirati dijagram položaja korena zatvorenog regulacionog kola za pojačanja PI
regulatora od 0 do ∞.
b) Odrediti pojačanja regulatora za koja je kolo stabilno i oscilatorno.
c) Skicirati odzive zatvorenog regulacionog kola na jediničnu stepanastu promenu
postavne tačke za slučajeve da je pojačanje PI regulatora: 0.1, 1, 1.5 i 2.