Demonstrace pohybu elektronu v magnetickém poli ... - Herodes

Laboratorníúloha
Stanoveníměrnéhonábojeelektronu
1.1 Úkolměření
Zezakřivenídrahelektronůpohybujícíchsevmagnetickémpolistanovteměrnýnábojelektronu.
1.2 Teoretickýúvod–pohybnabitéčásticevelektrickém
amagnetickémpoli
1.2.1 Lorentzovasíla
Nanabitoučásticisnábojem q,pohybujícísevelektrickémpoliointenzitěEamagnetickémpoli
oindukciBrychlostív,působítzv.Lorentzovasíla,kteroumůžemepopsatpomocívzorce
F = q[E+(v×B)]. (1.1)
Omezíme-lisenanerelativistickérychlosti,kdyplatí v = |v| ≪ c,kde cjerychlostsvětlavevakuu,
můžemepročásticipsátpohybovourovnici
m d2 r
= q[E+(v×B)], (1.2)
dt2 kde mjehmotnostčásticearjejípolohovývektor.Řešenírovnice(1.2)můžemenajítzapředpokladu,žeznámepočátečnípodmínkyvnějakém(třebanulovém)časenapříkladvetvaru
r(t = 0) =r 0 , v(t = 0) = dr
dt∣ =v 0 . (1.3)
t=0
1.2.2 Pohybčásticevhomogennímelektrickémpoli
JestližeplatíB =0,přejderovnice(1.2)dotvaru
m d2 r
dt = mdv 2 dt
Jestližejeelektricképolehomogenní,platíE =konst.,takžemůžemepsát
dv
dt = qE m ⇒ v = ∫ qE
m dt = qE m t+C 1,
= qE. (1.4)
1

kdeintegračníkonstantu 1 určímezpočátečnípodmínky(1.3)jakoC 1 =v 0 ,takžeprorychlost
částiceplatí
v = qE m t+v 0. (1.5)
Velikostrychlostičásticesesčasemmění,pakliževektoryEav 0 jsoulineárněnezávislé,jednáse
opohybkřivočarý,jsou-lilineárnězávislé,jednáseopohybpřímočarý.
Integracívztahu(1.5)obdržímezávislostpolohovéhovektorunačasejako
∫
r =
vdt = 1 qE
2 m t2 +v 0 t+C 2 ,
kdeintegračníkonstantuurčímepomocípočátečnípodmínky(1.3)jakoC 2 =r 0 ,takžedostaneme
r = 1 qE
2 m t2 +v 0 t+r 0 . (1.6)
1.2.3 Pohybčásticevhomogennímmagnetickémpoli
Bude-liplatitE =0,můžemepohybovourovnici(1.2)psátvetvaru
dv
dt = q v×B. (1.7)
m
Bude-lidáleplatit,žemagneticképolejehomogenní,tedyB=konst.,můžemebezújmynaobecnostinatočitsouřadnicovousoustavutak,abyosa
zmířilavesměruvektorumagnetickéindukce,
tedyabyplatiloB=(0,0,B),kde B > 0.Potommůžemevektorovýsoučinvrovnici(1.7)vyjádřit
jako
i j k
v×B =
v x v y v z
∣0 0 B∣ = v yBi−v x Bj,
takžesoustavu(1.7)můžemezapsatvesložkách
dv x
dt = qB m v y,
dv y
dt = −qB m v x,
dv z
dt
= 0. (1.8)
Třetízrovnic(1.8)jenezávislánaprvníchdvouavyplývázní,že z-ovásložkavektorurychlosti
(složkarychlostivesměruvektorumagnetickéindukce)sesčasemneměníaprotoplatí
v z = v z0 , z = v z0 t+z 0 . (1.9)
Řešenísoustavyprvníadruhérovnice(1.8)najdemenejsnázenásledujícímtrikem.Zavedeme
komplexnírychlost ˆv = v x +jv y ,druhouzrovnic(1.8)vynásobímeimaginárníjednotkouapřičteme
krovniciprvní.Dostanemetak
kde
dv x
dt +jdv y
dt = dˆv
dt = qB m (v y −jv x ) = −j qB m ˆv ⇒ dˆv
dt +jω cˆv = 0, (1.10)
ω c = qB m
(1.11)
1 Veskutečnostisejednáokonstantnívektor.
2

jetakzvanácyklotronováfrekvence.Snadnosepřesvědčímepřímýmdosazením,žerovnice(1.10)
mářešení
ˆv = Ĉe−jωct ,
kde Ĉjeintegračníkonstanta,kterounajdemedosazenímpočátečnípodmínky ˆv(t = 0) = v x 0
+jv y0
dopředchozíhovztahujako Ĉ = v x 0
+jv y0 ,takžemůžemepsát
ˆv = v x +jv y = (v x0 +jv y0 )(cosω c t−jsinω c t).
Porovnánímreálnýchaimaginárníchčástínalevéapravéstraněpředchozíhovstahudostaneme
v x = v x0 cosω c t+v y0 sinω c t,
v y = v y0 cosω c t−v x0 sinω c t.
Zavedeme-livelikostsložkyvektorupočátečnírychlostikolmékvektorumagnetickéindukcejako
√
v ⊥0 = vx0 2 +vy0,
2
můžemepředchozívztahyformálněupravitdotvaru
(
vx0
v x = v ⊥0 cosω c t+ v )
y0
sinω c t = v ⊥0 (cosω c tcosδ +sinω c tsinδ). (1.12a)
v ⊥0 v
( ⊥0
vy0
v y = v ⊥0 cosω c t− v )
x0
sinω c t = v ⊥0 (cosω c tsinδ −sinω c tcosδ). (1.12b)
v ⊥0 v ⊥0
kdejsmezavedli
cosδ = v x0
, sinδ = v y0
⇒ tanδ = v y0
.
v ⊥0 v ⊥0 v x0
Svyužitímsoučtovýchvzorcůprogoniometrickéfunkcemůžemevztahy(1.12)přepsatdotvaru
v x = v ⊥0 cos(ω c t−δ), v y = −v ⊥0 sin(ω c t−δ). (1.13)
Zevztahů(1.9)a(1.13)provelikostrychlostičásticeplyne
√ √ √
v = vx 2 +vy 2 +vz 2 = v⊥0 2 +v2 z0 = vx0 2 +vy0 2 +vz0 2 = v 0 = konst.,
velikostrychlostičásticesevhomogennímmagnetickémpolinemění,měnísepouzesměrrychlosti.
Integracívztahů(1.13)dostaneme x-ovouay-ovousložkupolohovéhovektoručásticejako
∫
x = v x dt = v ⊥0
sin(ω c t−δ)+C x ,
ω
∫ c
y = v y dt = v ⊥0
cos(ω c t−δ)+C y .
ω c
Zavedeme-linovouveličinu
R c = v ⊥0
= mv ⊥0
ω c qB , (1.14)
můžemeponalezeníintegračníchkonstantzpočátečníchpodmínekpopsattrajektoriičásticevhomogennímmagnetickémpoliparametrickýmirovnicemi
x = R c sin(ω c t−δ)+R c sinδ +x 0 ,
y = R c cos(ω c t−δ)−R c cosδ +y 0 .
z = v z0 t+z 0 .
(1.15a)
(1.15b)
(1.15c)
Zrovnic(1.15)vyplývá,ženabitáčásticesevhomogennímmagnetickémpolipohybujepodél
indukčníchčarpošrouboviciopoloměru |R c |,kterýnazývámecyklotronovýmpoloměrem.
Pokudnabitáčásticevlétnedomagnetickéhopolekolmokvektorumagnetickéindukceaplatí
tedy v z0 = 0,pohybujesedálepokružniciopoloměru |R c |speriodou T c = 2π/ω c .
3

1.3 Experiment
1.3.1 Princip
Měrnýnábojelektronujemožnéstanovitnásledujícím
způsobem,vizobrázek1.1.Zežhavenéelektrody(katody)senechajíemitovatelektrony,kteréjsounásledně
urychloványsměremkekladnéelektrodě.Předpokládejme,žemeziplanparalelnímielektrodamisevzájemnouvzdáleností
hjehomogenníelektricképole,provelikostjehožintenzityplatí
E = U/h,kde Ujenapětí
mezielektrodami.Jestližejepočátečnírychlostemitovanéhoelektronumalá,budesevelektrickémpolipohybovatpřímočařeprotisměruintenzityelektrického
pole.Provelikostrychlostiaprošlévzdálenostinačase
budeplatit,vizvztahy(1.5)a(1.6)
v = eE t, s = 1 eE
t 2 ,
m e 2m e
kde ejekladněbranýnábojelektronuam e jejeho
hmotnost. Elektron tedy dorazí k anodě (po té, co
rovnoměrnězrychlenýmpohybemurazilvzdálenost h)
včase
√
2hme
t h =
eE ,
takžeprovelikostjehorychlostivtomtookamžikupplatí
v = eE
m e
t h =
√
2ehE
m e
=
h
U
E
2R c
Obrázek1.1:Schematickéuspořádáníexperimentu.
√
2eU
m e
.
Poté,coelektronprolétneotvoremvanodě,pohybujeserovnoměrněpřímočaře(elektricképoleje
soustředěnomezielektrodami),dokudnevlétnekolmodohomogenníhomagnetickéhopolesmagnetickouindukcíovelikosti
B.Vmagnetickémpolisepohybujepočástikruhovétrajektorie,pro
jejíž(cyklotronový)poloměr,vizvztah(1.14),platí
R c = m ev
eB = √
2me U
eB 2 ,
odkudzměřenímpoloměrutrajektorie(cyklotronovéhopoloměru)můžemeurčitvelikostměrného
náboje e/m e jako
e
= 2U . (1.16)
m e B 2 Rc
2
1.3.2 Experimentálnísestava
Experimentálnísestavaprostanoveníměrnéhonábojeelektronujezachycenanaobrázku1.2.Svazekelektronůjeemitovánelektronovoutryskouvbaňce
6 naplněnéargonem(tlakcca0,1Pa).
Přisrážkáchurychlenýchelektronůsatomyargonudocházíkjejichionizaci,přirekombinacitakto
vznikajícíchiontůnaneutrálníatomydocházíkvyzářenífotonů,takžeelektronovýsvazekjemožné
vbaňcepozorovat.
4
B

Obrázek1.2:Uspořádáníexperimentu: 1 –zdrojpronapájeníHelmholtzovýchcívek, 2 –regulátor
napětí, 3 –omezovačproudu, 4 –ampérmetrproměřeníprouduHelmholtzovýmicívkami, 5
–Helmhholtzovycívky, 6 –baňkanaplněnáargonemselektronovoutryskou, 7 –zdrojnízkého
napětípronapájeníelektronovétrysky, 8 –potenciometrpronastavenímřížkovéhonapětí0–
50V, 9 –potenciometrpronastaveníanodovéhonapětí0–300V, 10 –výstup6,3V∼prožhavení
katody, 11 –voltmetrproměřeníurychlovacíhonapětí.
Obrázek 1.3: Napájení elektronovétrysky.
Rychlostelektronůlzenastavovatprostřednictvímurychlovacíhonapětí
U,kteréjesoučtemnapětímřížkového(nastavujese
vintervalu0–50Vpotenciometrem 8)anapětíanodového(nastavujesevintervalu0–250Vpotenciometrem
9),vizobrázek
1.3.Katodaelektronovétrysky,ježhavenastřídavýmnapětím
6,3V.
Magneticképole,vněmžsenecháváelektronovýsvazekzakřivovat,sevytvářívoseHelmholtzovýchcívek(obr.1.2,5).Jedná
seodvěstejnésouosécívky,jimižprotékástejnýproudstejným
směrem.Dáseukázat,vizdodatek,žepokudjevzájemnávzdálenostcívekrovnajejichpoloměru,jevektormagnetickéindukce
vosecívekpřibližněkonstantníaprojehovelikostplatí
B ≈ B 0 = 8
5 √ 5
V
+
0–250V
–
+
0–50V
–
G
K
A
6,3V∼
µ 0 NI
, (1.17)
a
kde µ 0 = 4π · 10 −7 N·A −2 jemagnetickákonstanta, N jepočetzávitůkaždézcívek(vtomto
případě N = 154), Ijevelikostprouduprotékanéhocívkamiaajejejichpoloměr(vtomtopřípadě
a = 200mm).Helmholtzovycívkyfungujísprávněpouzetehdy,pokudjimiprotékáproudstejným
směrem(vopačnémpřípadějemagnetickáindukcevjejichstředunulová).ProudHelmholtzovými
cívkamisenastavujepomocíomezovačeproudu 3 nazdrojimaléhonapětí 1,čímžsezamezí
jehopoklesupřizahřátícívek.Výstupnínapětíjetřebapotenciometrem 2 nastavitnamaximální
hodnotu.
5

Pokudurychlenéelektronyvletujídomagnetickéhopolekolmo,pohybujísepokruhovýchtrajektoriích,kterélzevbaňcepozorovat.Pokudmátrajektorietvaršroubovice,jetřebabaňkupootočitpodéljejíosytak,abytrajektoriebylykruhové.Poloměrytrajektoriíseneměří,alenastavují.
Vbaňcejsouvevzdálenostech l=4,6,8a10cmodelektronovétryskyumístěnypříčkyopatřenéluminoforem,pokudsvazekelektronůnadanoupříčkudopadne,taserozsvítíacyklotronovýpoloměr
(poloměrkruhovétrajektorie)jerovenpoloviněvzdálenosti l.
1.3.3 Bezpečnostpřiměření
Urychlovacínapětíuelektronovétryskymůžemítvelikostaž300V.Ztohotodůvoduobvodnapájeníbaňkynerozpojujteanijaksnímnemanipulujte.Ozapnutíavypnutíúlohypožádejte
vyučujícího.
1.3.4 Postupměření
1.Předzapnutímnapájecíhozdrojeelektronovétrysky 7 musíbýtpotenciometry 8 a 9
nastavenynaminimální(nulovou)hodnotu.
2.Požádejtevyučujícíhoozapnutíúlohy.
3.Pozapnutínapájecíhozdroje 7 jetřebanechatkatoduelektronovétryskycca2minuty
žhavit,nežzačnetezvyšovaturychlovacínapětí.Tímsešetříživotnostkatodyelektronové
trysky.
4.Prorůznáurychlovacínapětí U(experimentdobřefungujepronapětívětšínežcca100V)
najdětetakovéproudyHelmholtzovýmicívkami(atedymagnetickouindukci),kdyelektrony
dopadajínaluminiscenčnípříčky,tj.,kdylzeurčitcyklotronovýpoloměrjejichtrajektorií.
Měřeníproveďtealespoňšestnáctkrát.
5.Projednotlivékombinacenastavenýchanaměřenýchhodnotvypočtěte 2 pomocívzorce(1.16)
měrnýnábojelektronu.Zvypočtenýchhodnoturčetearitmetickýprůměranejistotuměření
(metodaredukce).
6.Potécodoměříte,nastavtepotenciometryzdrojeanodovéhoamřížkovéhonapětínaminimum
–šetřímetímživotnostkatodyelektronovétrysky.Požádejtevyučujícíhoovypnutíúlohy.
1.4 Použitáliteratura
1.B.Sedlák,I.Štoll:Elektřinaamagnetismus,Academia,Praha,2002.
2.DavidJ.Griffiths,IntroductiontoElectrodynamics,PrenticeHall,NewYersey,1999.
2 Ktomutoúčelusevelmihodípoužíttabulkovýkalkulátor(spreadsheet).
6

1.5 Dodatek
1.5.1 Magneticképolevosekruhovésmyčky
Kvýpočtumagnetickéindukcevosekruhovésmyčky použijemeBiotova-Savartova-Laplaceova
zákona.Nechťmásmyčkapoloměr aaprotékájíproud I.
Elementsmyčky dl ′ vytvářínaosesmyčkymagnetickouindukci
⊙ dl ′
dB r dB
r−r ′
dB = µ 0I dl ′ ×(r−r ′ )
,
a
4π |r−r ′ | 3
α
z kde µ 0 = 4π ·10 −7 N·A −2 jemagnetickákonstanta.Provelikostelementumagnetickéindukcesohledemnakolmostnásobenýchvektorů
dB a
I platí
dB = µ 0Idl ′
4π(a 2 +z 2 ) .
Provelikostaxiálnísložkytohotovektoruzřejměplatí
L
dB z = dBsinα =
µ 0 Iadl ′
4π(a 2 +z 2 ) 3/2.
Jelikoželementárnívektor dB z jeprovšechnyelementysmyčkystejný,budeprovelikostaxiální
složkyvektorumagnetickéindukceplatit
∫
µ 0 Iadl ′ ∫
B z = ◦
4π(a 2 +z 2 ) = µ 0 Ia
◦ dl ′ µ 0 Ia 2
=
3/2 4π(a 2 +z 2 ) 3/2 2(a 2 +z 2 ) 3/2.
Poněvadžradiálnísložkavektorumagnetickéindukcevosesmyčkyjezdůvodusymetrienulová,
mávektormagnetickéindukceaxiálnísměraprojehovelikostplatí B = B z .
Pokudbysmyčkamělacelkem N závitů,budecelkovýproudprotékajícísmyčkouroven NI,
takžesvyužitímprincipusuperpozice(magnetickáindukcejelineárnífunkcíproudu)můžemepro
magnetickouindukcivosetétosmyčkypsát
1.5.2 Helmholtzovycívky
a
−d/2
0
d/2
z
B = µ 0NIa 2
2
L
B = µ 0NIa 2
2(a 2 +z 2 )
3/2.
(1.18)
Helmholtzovycívkyjsoutvořenydvěmastejnýmisouosýmikruhovýmismyčkamipoloměru
a,každápo Nzávitech,kterýmistejným
směremprotékástejnýproudI.Pokudjsoutytosmyčkyumístěnyve
vzájemnévzdálenostid = a,jemagneticképolevosemezismyčkami
zhrubahomogenní.Tototvrzeníukážemevnásledujícímodstavci.
Středosy z(osysymetrie)umístímedoprostředmezicívky,viz
obrázek.Promagnetickouindukcinaosesymetrietedymůžeme
vzhledemkevztahu(1.18)psát
{
}
1
[a 2 +(z −d/2) 2 ] + 1
.
3/2 [a 2 +(z +d/2) 2 ] 3/2
7

B/B 0
d = 0,8a
d = a
d = 1,2a
−a
+a
z
Obrázek1.4:MagnetickáindukcevoseHelmholtzovýchcívekprorůznévzdálenosti d.
Jezřejmé,žečímbudepolemezismyčkamiménězávislénasouřadnici z(čímbude„homogennější),tímmenšíchhodnotbudounabývatderivacemagnetickéindukcepodle
z.Proprvní
derivaciplatí
{
}
dB
dz = −3µ 0NIa 2 z −d/2
2 [a 2 +(z −d/2) 2 ] + z +d/2
,
5/2 [a 2 +(z +d/2) 2 ] 5/2
přičemžzřejměplatí dB/dz = 0pro z = 0(symetrie).Prodruhouderivacimůžemepsát
{ }
d 2 B
dz = −3µ 0NIa 2 a 2 −4(z −d/2) 2
2 2 [a 2 +(z −d/2) 2 ] + a2 −4(z +d/2) 2
.
7/2 [a 2 +(z +d/2) 2 ] 7/2
Pro z = 0platí
d 2 B
dz 2 ∣
∣∣z=0
= 3µ 0 NIa 2 d 2 −a 2
(a 2 +d 2 /4) 7/2.
Druháderivacejetedynulová,pokudvzdálenostsmyčekjerovnajejichpoloměru.Provelikost
magnetickéindukcevosemezismyčkamipakplatí
B ≈ B 0 = 8
5 √ 5
µ 0 NI
. (1.19)
a
29.ledna2013,MilanČervenka,milan.cervenka@fel.cvut.cz
8