UVOD U ORGANIZACIJU RAÄUNARA - Alas

UVOD U ORGANIZACIJU 

RAČUNARA 

~ vežbe ~

BROJEVNI SISTEMI 

Osnovna podela na 

 

BROJEVNI SISTEMI 

• pozicione 

primer je uobičajeni dekadni zapis brojeva 

• nepozicione 

primer je rimski zapis brojeva 

POZICIONI BROJEVNI SISTEMI 

Svaka cifra ima svoju vrednost 

Vrednost pozicije je stepen osnove 

Broj se dobija sabiranjem proizvoda vrednosti cifre i 

vrednosti pozicije na kojoj se cifra nalazi: 

3129 = 3*1000 + 1*100 + 2*10 + 9*1 

AZBUKA 

Uobičajene cifre za sisteme sa osnovom do 10 

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 

Ako je osnova veća od 10, upotrebljava se potreban broj 

slova sa početka abecede 

• A, B, C, D, E, F, ... 

NAJVAŽNIJE OSNOVE 

U osnovi savremenih digitalnih računara su binarna 

aritmetika i logika 

• u upotrebi su pozicioni brojčani sistemi 

• najvažnije osnove su 

 

2 (binarni sistem) 

16 (heksadekadni sistem) 

 

- 1 -

PRIMERI ČITANjA BROJEVA 

(3129) 10 

= 3*1000 + 1*100 + 2*10 + 9*1 

(3127) 8 = 3*512 + 1*64 + 2*8 + 7*1 

= (1623) 10 

(3129) 16 = 3*4096 + 1*256 + 2*16 + 9*1 

= (12585) 10 

HORNEROVA ŠEMA 

(3129) 10 

= (((3*10) + 1)*10 + 2)*10 + 9 

(3127) 8 = (((3*8) + 1)*8 + 2)*8 + 7 

= (1623) 10 

(3129) 16 = (((3*16) + 1)*16 + 2)*16 + 9 

= (12585) 10 

ZADACI (1) 

Pročitati naredne zapise (tj. prevesti ih u zapise sa 

osnovom 10): 

• (10) 2, (110) 2, (10110) 2, (10110100110) 2, (12120122101) 2 

• (212001) 3, (123031) 4, (2431) 5 

• (6732) 8, (12131) 8 

• (2C) 16, (1A3) 16, (FFFF) 16, (23B2E) 16 

REŠENjA (1) 

2, 6, 22, 1446, neispravan zapis 

622, 1741, 366 

3546, 5209 

- 2 -

44, 419, 65535, 146222 

ZAPISIVANjE BROJEVA 

Postupak formiranja zapisa počiva na deljenju osnovom 

sistema 

• cifre se određuju od najniže ka najvišoj 

• postupak se odnosi na neoznačene cele brojeve 

PRIMERI ZAPISIVANjA BROJEVA (1) 

Broj (3129) 10 zapisati u sistemu sa osnovom 10: 

ostatak 

3129 : 10 = 312 9 

312 : 10 = 31 2 

31 : 10 = 3 1 

3 : 10 = 0 3 

(3129) 10 



ostatak 

3129 : 8 = 391 1 

391 : 8 = 48 7 

48 : 8 = 6 0 

6 : 8 = 0 6 

(6071) 8 

- 3 -



ostatak 

3129 : 4 = 782 1 

782 : 4 = 195 2 

195 : 4 = 48 3 

48 : 4 = 12 0 

12 : 4 = 3 0 

3 : 4 = 0 3 

(300321) 4 



ostatak 

3129 : 16 = 195 9 

195 : 16 = 12 3 

12 : 16 = 0 C 

(C39) 16 

ZADACI (2) 

Zapisati naredne brojeve u sistemima sa osnovama 2, 3, 

4, 8 i 16: 

• 23, 76, 43, 91, 134, 375, 246 

REŠENjA (2) 

2: 10111, 1001100, 101011, 1011011, 10000110, 

101110111, 11110110 

- 4 -

3: 212, 2211, 1121, 10101, 11222, 111220, 100010 

4: 113, 1030, 223, 1123, 2012, 11313, 3312 

8: 27, 114, 53, 133, 206, 567, 366 

16: 17, 4C, 2B, 5B, 86, 177, F6 

RAD SA OZNAČENIM BROJEVIMA 

Najčešći načini zapisivanja su 

• znak i apsolutna vrednost 

• potpuni komplement 

• nepotpuni komplement 

POTPUNI KOMPLEMENT 

Pozitivni brojevi se zapisuju kao apsolutna vrednost broja 

sa dodatnom nulom na mestu najveće težine u funkciji 

znaka 

Negativni brojevi se zapisuju kada se 

• svaka cifra apsolutne vrednosti zameni svojim 

komplementom 

• na rezultat se doda 1 na mestu najmanje težine 

PRIMER POTPUNOG KOMPLEMENTA 

Zapisati broj (-3129) 10 u potpunom komplementu sa 6 

cifara: 

i 0 1 2 3 4 5 

x i 9 2 1 3 0 0 

nc i 0 7 8 6 9 9 

pc i 1 7 8 6 9 9 

- 5 -

= (996871) 10 

ZADACI (1) 

Zapisati u potpunom komplementu sa 6 cifara u sistemu 

sa istom osnovom brojeve: 

(-10011) 2 , (-1101) 2 , 

(-221) 3 , (-102) 3 , 

(-2103) 4 , (-332) 4 , 

(-2326) 8 , (-1327) 8 , 

(-A3DF) 16 , (-2AC3) 16 

REŠENjA (1) 

(101101) 2 , (110011) 2 , 

(222002) 3 , (222121) 3 , 

(331231) 4 , (333002) 4 , 

(775452) 8 , (776451) 8 , 

(FF5C21) 16 , (FFD53D) 16 

ZNAK BROJA 

Znak broja se prepoznaje na osnovu cifre najveće težine 

• ako je cifra najveće težine najmanja cifra sistema, onda se 

radi o pozitivnom broju 

• ako je cifra najveće težine najveća cifra sistema, onda se 

radi o zapisu negativnog broja 

Primeri: 

• (0333) 4 

, (3000) 4 

- 6 -

KONVERZIJA IZMEĐU ZAPISA RAZLIČITIH DUŽINA (1) 

Upisivanje u dužu reč se izvodi dodavanjem cifara 

najveće težine 

• ako se radi o pozitivnom broju, dopisuju se cifre 0 

• ako se radi o negativnom broju (u potpunom komplementu) 

dopisuju se najviše cifre 

PRIMERI KONVERZIJA (1) 

Iz zapisa sa 6 cifara u zapis sa 8 cifara: 

(001101) 2 => (00001101) 2 

(110011) 2 => (11110011) 2 

(222002) 3 => (22222002) 3 

(022121) 3 => (00022121) 3 

(331231) 4 => (33331231) 4 

(033002) 4 => (00033002) 4 

(745452) 8 => (77745452) 8 

(076451) 8 => (00076451) 8 

(0F5C21) 16 => (000F5C21) 16 

(F7D53D) 16 => (FFF7D53D) 16 

KONVERZIJA IZMEĐU ZAPISA RAZLIČITIH DUŽINA (2) 

Upisivanje u kraću reč se izvodi brisanjem cifara najveće 

težine 

• ako su sve obrisane cifre 0, a prva naredna je takođe 0, radi 

se o pozitivnom broju i konverzija je ispravna 

• ako su sve obrisane cifre najviše (tj. osnova-1), a prva 

naredna je ponovo najviša, radi se o negativnom broju i 

konverzija je ispravna 

• inače je u pitanju greška prekoračenja 

- 7 -

PRIMERI KONVERZIJA (2) 

Iz zapisa sa 8 cifara u zapis sa 6 cifara: 

(00011101) 2 => (011101) 2 

(11110011) 2 => (110011) 2 

(00110011) 2 => (110011) 2 , prekoračenje 

(11010011) 2 => (010011) 2 , prekoračenje 

(000F5C21) 16 => (0F5C21) 16 

(FFDF5C21) 16 => (DF5C21) 16 , prekoračenje 

(00AFD53D) 16 => (AFD53D) 16 , prekoračenje 

(F37FD53D) 16 => (7FD53D) 16 , prekoračenje 

SABIRANjE 

Sabiranje u pozicionim sistemima je slično za sve osnove 

• sabiraju se cifre od najniže prema najvišoj, sa prenosom 

PRIMER SABIRANjA BROJEVA 

• (3129) 10 + (5273) 10 = 

i 3 2 1 0 

x i 3 1 2 9 

y i 5 2 7 3 

p. 0 1 1 0 

z i 8 4 0 2 

= (8402) 10 

- 8 -

ZADACI (2) 

Izračunati naredne zbirove: 

• (10011) 2 + (1101) 2 

• (221) 3 + (102) 3 

• (2103) 4 + (332) 4 

• (1327) 8 + (2326) 8 

• (2AC3) 16 + (A3DF) 16 

REŠENjA (2) 

(100000) 2 

(1100) 3 

(3101) 4 

(3655) 8 

(CEA2) 16 

PREKORAČENjE PRI SABIRANjU 

Prekoračenje se javlja ako rezultat sabiranja ne može 

biti zapisan pretpostavljenim brojem cifara 

Prekoračenje se prepoznaje tako što 

• sabirke sleva proširimo jednom cifrom čija je vrednost 

takva da ne menja vrednost broja 

• ako su najviša i dopunjena cifra rezultata različite, došlo je 

do prekoračenja 

• do prekoračenja može doći samo ako se sabiraju brojevi 

istog znaka 

- 9 -

PRIMER PREKORAČENjA (1) 

• (0929) 4 10 + (0773)4 10 = 

i 4 3 2 1 0 

x i 0 0 9 2 9 

y i 0 0 7 7 3 

p. 0 1 1 1 0 

z i 0 1 7 0 2 

= *(1702) 4 10 


• (9138) 4 10 + (9591)4 10 = 

i 4 3 2 1 0 

x i 9 9 1 3 8 

y i 9 9 5 9 1 

p. 1 0 1 0 0 

z i 9 8 7 2 9 

= *(8729) 4 10 

- 10 -

ZADACI (3) 

Izračunati naredne zbirove i proveriti da li dolazi do 

prekoračenja: 

• (0111) 4 2 + (0010)4 2 

• (0010) 4 2 + (0011)4 2 

• (1101) 4 2 + (1011)4 2 

• (1010) 4 2 + (1101)4 2 

• (0B4F) 4 16 + (0C81)4 16 

• (0D27) 4 16 + (0194)4 16 

• (F428) 4 16 + (FC25)4 16 

• (F37F) 4 16 + (042C)4 16 

REŠENjA (3) 

*(1001)4 2 

(0101)4 2 

(1000)4 2 

*(0100)4 2 

*(17D0) 4 16 

(0EBB) 4 16 

(F04D) 4 16 

(F7AB) 4 16 

ODUZIMANjE 

Oduzimanje u pozicionim sistemima je slično za sve 

osnove 

• oduzimaju se cifre od najniže prema najvišoj, uz pozajmice 

- 11 -

PRIMER ODUZIMANjA BROJEVA (1) 

• (3129) 10 - (2735) = 10 

i 4 3 2 1 0 

x i 0 3 1 2 9 

y i 0 2 7 3 5 

p. 0 1 1 0 0 

z i 0 0 3 9 4 

= (0394) 10 

PRIMER ODUZIMANjA BROJEVA (2) 

• (0129) 4 10 - (0816)4 10 = 

i 4 3 2 1 0 

x i 0 0 1 2 9 

y i 0 0 8 1 6 

p. -1 -1 0 0 0 

z i 9 9 3 1 3 

= (9313) 4 10 

- 12 -

ZADACI (4) 

Izračunati naredne razlike: 

• (10011) 2 - (1101) 2 

• (221) 3 - (102) 3 

• (2103) 4 - (332) 4 

• (2326) 8 - (1327) 8 

• (A3DF) 16 - (2AC3) 16 

• (029B7) 5 16 - (045AC)5 16 

• (00110010) 8 2 - (01010111)8 2 

REŠENjA (4) 

(110) 2 

(112) 3 

(1111) 4 

(777) 8 

(791C) 16 

(FE40B)5 16 

(11011011) 8 2 

PREKORAČENjE PRI ODUZIMANjU 

Prekoračenje se javlja ako rezultat oduzimanja ne može 

biti zapisan pretpostavljenim brojem cifara 

Prekoračenje se prepoznaje tako što 

• brojeve sleva proširimo jednom cifrom čija je vrednost 

takva da ne menja vrednost broja 

• ako su najviša i dopunjena cifra rezultata različite, došlo je 

do prekoračenja 

• do prekoračenja može doći samo ako se oduzimaju brojevi 

različitog znaka 

- 13 -


• (0929) 4 10 - (9273)4 10 = 

i 4 3 2 1 0 

x i 0 0 9 2 9 

y i 9 9 2 7 3 

p. -1 0 -1 0 0 

z i 0 1 6 5 6 

= *(1656) 4 10 

ZADACI (5) 

Izračunati naredne razlike i proveriti da li dolazi do 

prekoračenja: 

• (0111) 4 2 - (1010)4 2 

• (1010) 4 2 - (0011)4 2 

• (0101) 4 2 - (1011)4 2 

• (1110) 4 2 - (0101)4 2 

• (FB4F) 4 16 - (0C81)4 16 

• (FD27) 4 16 - (0194)4 16 

• (0428) 4 16 - (FC25)4 16 

• (037F) 4 16 - (F42C)4 16 

- 14 -

REŠENjA (5) 

*(1101)4 2 

*(0111)4 2 

*(1010)4 2 

(1001)4 2 

*(EECE) 4 16 

(FB93) 4 16 

(0803) 4 16 

(0F53) 4 16 

- 15 -

ŠTA JE TO TEKST? 

ZAPISIVANjE TEKSTOVA 

Tekst (ili dokument) je 

• "informacija namenjena ljudskom sporazumevanju koja 

može biti prikazana u dvodimenzionalnom obliku... Tekst se 

sastoji od grafičkih elemenata kao što su karakteri, geometrijski 

ili fotografski elementi ili njihove kombinacije, koji čine sadržaj 

dokumenta." (ISO-definicija) 

TEKST JE NIZ KARAKTERA 

Iako obično tekst zamišljamo kao dvodimenzioni objekat, 

u računarima se tekst predstavlja kao jednodimenzioni 

(linearni) niz karaktera. 

Potrebno je, dakle, uvesti specijalne karaktere koji 

označavaju prelazak u novi red, tabulator, kraj teksta i 

slično 

ZAPIS KARAKTERA U RAČUNARU 

Računari su zasnovani na binarnoj aritmetici 

Cele brojeve je moguće predstaviti u binarnom sistemu 

Osnovna ideja je svakom karakteru pridružiti određeni 

ceo broj na unapred dogovoreni način 

Ove brojeve zovemo kodovima karaktera (character 

codes) 

- 16 -

KOLIKO KARAKTERA ŽELIMO DA PREDSTAVIMO U 

RAČUNARIMA? 

Tokom razvoja računarstva broj karaktera je postajao sve 

veći 

Pošto je u početku razvoja englesko govorno područje 

bilo dominantno osnovno je bilo predstaviti sledeće 

karaktere: 

ENGLESKO GOVORNO PODRUČJE 

Velika slova engleskog alfabeta : A,B,...,Z 

Mala slova engleskog alfabeta : a,b,...,z 

Cifre : 0,1,...,9 

Interpunkcijske znake : .,:;’+*-_ i slično 

Specijalne znake : kraj reda, tabulator i slično 

STANDARDNI KARAKTERSKI KODOVI 

Sedamdesetih godina su se pojavile tabele standardnih 

karakterskih kodova dovoljne za zapis pomenutih 

karaktera 

Najpoznatiji su 

• EBCDIC – IBM-ov standard, korišćen uglavnom na mainframe 

računarima, pogodan za bušene kartice 

• ASCII – Standard iz koga se razvila većina današnjih 

standarda 

ASCII 

ASCII (American Standard Code for Information 

Interchange) 

ASCII sedmobitan (broj karaktera je 128) 

- 17 -

ASCII TABELA 

PRIMERI 

Karakter A se zapisuje kao (41) 16 tj. 0x41 što je (65) 10 tj. 

(1000001) 2 

Razmak se zapisuje kao (20) 16 što je (32) 10 tj. (0100000) 2 

Zapišite cifru 3 u ASCII kodu 

Zapišite tekst Fakultet u ASCII kodu 

OZNAKA ZA KRAJ REDA 

Oznaka za kraj reda se ne zapisuje isto u svim 

operativnim sistemima 

Pod Windows ova se oznaka se zapisuje sa dva karaktera 

(CR LF), 0xD 0xA tj. 13 10 – istorijski razlozi (stari 

štampači) 

- 18 -

Unix koristi samo karakter CR tj. 0xD 

ŠTA SA OSTALIM JEZICIMA? 

Razvojem računarstva se javlja potreba kodiranja 

tekstova i na drugim jezicima 

Kroz istoriju su postojala mnoga rešenja, od kojih su se 

neka zadržala, a neka su nestala 

KODNE STRANE 

Pod kodnom stranom (Code page) tj. skupom karaktera 

(Character set, charset) podrazumevamo uređenu listu 

karaktera predstavljenih svojim karakterskim kodovima 

Podaci se u računarima obično zapisuju bajt po bajt 

ASCII je sedmobitni standard 

ASCII karakteri se zapisuju tako što se u svakom bajtu bit 

najveće težine postavi na 0 

To ostavlja prostor za novih 128 karaktera čiji binarni 

zapis počinje sa 1 

Ovaj prostor se može popuniti na razne načine 

Rešenje nije univerzalno, jer svakako na svetu postoji 

više od 256 različitih karaktera 

Postavljeni su razni standardi dopunjavanja ovih 128 

karaktera 

Svim ovim kodnim stranama je zajedničko prvih 128 

karaktera i oni se poklapaju sa ASCII 

Ovako napravljene kodne strane obično omogućuju 

kodiranje tekstova na više srodnih jezika (obično i 

geografski bliskih) 

Nama su uglavnom važne kodne strane napravljene za 

centralno-evropske (Central European) latinice, kao i 

ćirilične kodne strane 

- 19 -

NAJČEŠĆE KORIŠĆENE KODNE STRANE KOD NAS 

ISO 8859-2 (Latin2) 

ISO 8859-5 (Ćirilična) 

Windows 1250 

Windows 1251 (Ćirilična) 

• Prve dve su delo međunarodne organizacije za standardizaciju 

(International Standard Organization), dok su naredne dve 

Microsoft-ovi standardi 

LATIN 1 

Poželjno je poznavati i osnovnu kodnu stranu ISO 8859-1 

(Latin1) jer je veoma često postavljena kao 

podrazumevana kodna strana. Ona se koristi za zapis 

tekstova na zapadno evropskim jezicima (Western 

European) 

ISO 8859-1 (LATIN1) 

- 20 -

ISO 8859-2 (LATIN2) 

WINDOWS 1250 

- 21 -

WINDOWS 1251 

PRIMERI 

Kako izgleda reč Matf zapisana u kodnoj strani ISO 8859- 

2? A u Windows 1250? A u Windows 1251? 

A reč lišće? 

Šta predstavlja niz kodova 138 65 111 33 u kodnoj strani 

ISO 8859-2? A u Latin1? 

VIŠEBAJTNI KARAKTERSKI KODOVI 

Iako navedene kodne strane omogućuju kodiranje 

tekstova koji nisu na engleskom jeziku nije moguće npr. u 

istom tekstu mešati ćirilicu i našu latinicu 

Azijskim jezicima nije dovoljno 256 mesta za zapis svih 

karaktera 

Zbog toga se uvode višebajtni karakterski kodovi 

- 22 -

MBCS 

Pre svega zbog potreba istočno azijskih korisnika uvedeni 

su tzv. višebajtni skupovi karaktera tj. Multi-Byte 

Character Sets (MBCS) 

Ideja je u tome da se najčešće korišćeni karakteri 

zapisuju koristeći samo jedan bajt, dok se ostali karakteri 

zapisuju koristeći dva bajta, tj. koristi se mešavina 

jednobajtnih i dvobajtnih karakterskih kodova (pod UNIXom 

nekad čak i trobajtnih) 

Ovo značajno otežava tumačenje podataka 

UCS, ISO 10646, UNICODE 

Kasnih osamdesetih, dve velike organizacije su pokušale 

standardizaciju tzv. Univerzalnog skupa karaktera 

(Universal Character Set - UCS) 

To su bili ISO, kroz standard 10646 i projekat UNICODE 

organizovan i finansiran uglavnom od strane američkih 

firmi koje su se bavile proizvodnjom višejezičkog softvera 

ISO 10646 

ISO 10646 je zamišljen kao 4-bajtni standard. Pri tome se 

prvih 65536 karaktera koriste kao osnovni višejezični skup 

- 23 -

karaktera dok je ostali prostor ostavljen kao proširenje 

za drevne jezike, celokupnu naučnu notaciju i slično 

UNICODE 

Vremenom su se pomenuta dva projekta združila i nastao 

je jedinstven dvobajtni standard koji jednostavno 

nazivamo UNICODE 

UNICODE svakom karakteru dodeljuje dvobajtni kod 

Prvih 128 karaktera se poklapaju sa ASCII standardom, 

dok su sledećih 128 napravljeni tako da se pokalapaju sa 

Latin1 standardom 

PRIMERI 

Zapisati reč Matf koristeći UNICODE 

Zapisati reč višnjičica ćirilicom i latinicom u UNICODE 

kodu 

UCS-2 

Unicode standard u suštini predstavlja veliku tabelu koja 

svakom karakteru dodeljuje broj 

Standardi koji opisuju kako se niske karaktera onda 

prevode u nizove bajtova se dodatno definišu 

ISO definiše UCS-2 standard koji jednostavno svaki 

UNICODE karakter prevodi u odgovarajuća dva bajta 

UTF 

Tekstovi kodirani preko UCS-2 standarda sadrže veliki 

broj nula, koje obično u operativnim sistemima poput 

UNIX-a i u programskom jeziku C imaju specijalno 

značenje 

- 24 -

Iz istog razloga softver koji je razvijen za rad sa 

dokumentima u ASCII formatu ne može da radi bez 

izmena nad dokumentima kodiranim preko UCS-2 

standarda 

A Unicode transformation format (UTF) algoritam koji 

svakom UNICODE karakteru dodeljuje određeni niz 

bajtova čija dužina varira od 1 do najviše 6 

UTF je ASCII kompatibilan, što znači da se ASCII karakteri 

zapisuju pomoću jednog bajta, na standardni način 

UTF-8 

Najčešće korišćena varijanta ovog agloritma je UTF-8 

koja je dovoljna za zapis svih dvobajtnih UNICODE 

karaktera 

Pored ovoga ISO uvodi i UTF-16, UTF-32, kao i standard 

UCS-4 

KARAKTERI, GLIFOVI, FONTOVI 

Vrlo često se ne pravi jasna razlika između karaktera i 

njihove grafičke reprezentacije 

Grafičku reprezentaciju karaktera nazivamo glifovima 

(glyph) 

Skupove glifova nazivamo fontovima (font) 

Korespodencija između karaktera i glifova ne mora biti 

jednoznačna 

Jedan glif može da predstavi više karaktera (ligature) 

Isti karakter može da se predstavlja različitim glifovima u 

zavisnosti od svoje pozicije u reči 

WGL4 

Windows uvodi skup karaktera pod imenom Windows 

Glyph List 4 (WGL4) koji sadrži preko 600 karaktera koji 

se koriste u evropskim jezicima 

- 25 -

Za razliku od tradicionalnih fontova koji u sebi sadže 

glifove za karaktere jedne kodne strane, TrueType 

fontovi koji podržavaju WGL4 standard sadrže glifove za 

sve evropske karaktere 

- 26 -

PREDSTAVLjANjE SLIKA 

BOJE 

Postoje dva osnovna modela predstavljanja boja 

• dodavanjem boja 

• oduzimanjem boja 

PROPUŠTANjE SVETLOSTI (EKSP.) 

Između izvora bele svetlosti i belog papira postavljamo 

obojena stakla 

• žuto staklo propušta žutu svetlost 

• crveno propušta crvenu 

• ako žutu svetlost propustimo kroz crveno staklo, prolazi 

crvena svetlost 

• ako crvenu svetlost propustimo kroz žuto staklo, prolazi 

crvena svetlost 

• zaključujemo da je crvena svetlost komponenta žute 

svetlosti 

- 27 -

ADITIVNI MODEL BOJA 

Uočavaju se tri osnovne obojene komponente bele 

svetlosti: 

• crvena 

• zelena 

• plava 

Sve ostale obojene svetlosti mogu se dobiti kombinacijom 

prethodnih u različitim intenzitetima 

Model se obično naziva RGB 

PRIMENE ADITIVNOG MODELA 

Aditivni model se prirodno primenjuje kada se boje grade 

dodavanjem komponenti svetlosti 

• monitori 

• projektori 

Nije idealan u slučajevima kada se boja dobija na drugi 

način 

PRIMER MODELA RGB 

- 28 -

- 29 -

ODUZIMANjE BOJA 

U eksperimentu staklo neke komponente svetlosti 

propušta, a ostale zadržava 

Ako za osnovne boje uzimamo one koje prolaze kada se 

zadržavaju osnovne komponente svetlosti, dobijaju se 

• žuta (zadržana je plava) 

• plavozelena (zadržana je crvena) 

• ružičasta (zadržana je zelena) 

• crna (zadržana je bela) 

Model se obično naziva CMYK 

CMYK 

PRIMENE SUBTRAKTIVNOG MODELA 

Subtraktivni model se prirodno primenjuje kada se boje 

grade odbijanjem svetlosti, tj. zadržavanjem komponenti 

• slikanje 

• štampanje 

• uopšte, nanošenje bojenih materija na posmatranu površinu 

- 30 -

DRUGI MODELA BOJA 

Često se primenjuje model HSB 

• H (hue) – ton 

• S (saturation) – zasićenost 

• B (brightness) – osvetljenost 

H – TON 

H - Ton se opisuje na krugu od 360 o 

• 0 – crvena 

• 60 – žuta 

• 120 – zelena 

• 180 – plavozelena 

• 240 – plava 

• 300 - ružičasta 

S – ZASIĆENOST 

S - Zasićenost predstavlja intezitet boje, tj. odnosi se na 

dominaciju nijanse u boji, takoreći zasićenost - odnos 

čiste boje i bezbojne sive. Opisuje se sa 0-100% 

• 0% – siva boja 

• 100% - čista jarka boja 

B – OSVETLjENOST 

B – Osvetljenost govori koliko će boja biti tamna ili 

svetla tj. koliki je intezitet osvetljenja. Opisuje se sa 0- 

100% 

• 0% - crna 

• 100% - čista svetla boja 

- 31 -

PRIMER MODELA HSB (1) 

ČISTA SVETLA BOJA B=100% 

- 32 -


JARKA SVETLA BOJA S=100% 


CRVENA BOJA H=0 

- 33 -

PREVOĐENjE RGB U HSB 

Zadatak je prevesti komponente zadate u RGB modelu 

kao (R, G, B) u HSB model 

Vrednosti komponenti R, G i B se dodele promenljivima 

B 1 , B 2 i B 3 tako da važi B 1 ≥B 2 ≥B 3 

H - Ton određuje odnos dve najizraženije RGB 

komponente B 1 i B 2 : 

otklon = H 0 = 60 * (B 2 -B 3 ) / (B 1 -B 3 ) 

H = vrednost tona za najizraženiju komponentu + 

otklon, 

pri čemu se znak otklona bira na osnovu 

vrednosti srednje izražene komponente 

 

 

S - Zasićenost određuju najintenzivnija i najslabija RGB 

komponenta: 

S = (B 1 -B 3 ) / B 1 

B - Osvetljenost određuje najintenzivnija komponenta 

RGB: 

B = B 1 / raspon [raspon = 256] 

- 34 -

PRIMER RGB – HSB 

RGB = (200,100,175) 

-> B 1 = 200, B 2 = 175, B 3 = 100 

H 0 = 60 * 75 / 100 = 45 

H(R) = 0 = 360 - vrednost tona za najizraženiju 

komponentu 

H(B) = 240 - vrednosti tona srednje izražene komponente 

Najkraće rastojanje je od 360 ◦ prema 240 ◦ , obilaskom kruga 

suprotno od kazaljke na satu, pa se prema tome vrednost 

otklona oduzima. 

H = H(R) – H0 = 315 

S = 100 / 200 = 50% 

B = 200 / 256 = 78.125% 

PREDSTAVLjANjE SLIKE 

Slika se u digitalnim sistemima predstavlja matricom 

tačaka – piksela 

Parametri predstavljanja su 

• rezolucija 

• dinamički raspon 

REZOLUCIJA 

Rezolucija je mera preciznosti predstavljanja 

• relativna rezolucija je broj piksela po jedinici dužine 

(obično po inču) 

• apsolutna rezolucija je veličina matrice mereno brojem 

piksela 

- 35 -

DINAMIČKI RASPON 

Dinamički raspon određuje preciznost predstavljanja 

pojedinačnih piksela 

Izražava se brojem različitih podržanih nijansi svake 

hromatske komponente svetlosti 

• dinamički raspon monohromatskog piksela meri se brojem 

nijansi sive 

• dinamički raspon piksela u boji meri se brojem nijansi svake 

od komponenti 

OSETLjIVOST LjUDSKOG OKA 

Ljudsko oko je u stanju da raspozna oko 350 000 boja 

• nešto je osetljivije prema nijansama zelene boje 

DINAMIČKI RASPON – RGB 

Uobičajeni modeli pri prikazivanju su 

• 12 bita (4096 nijansi) – po 4 bita (16 nijansi) za svaku 

osnovnu komponentu 

• 15 bita (32768) – po 5 bita (32) 

• 16 bita (65536) – po 5 bita (32) za crvenu i plavu i 6 bita 

(64) za zelenu 

• 24 bita (16777216) – po 8 bita (256) 

Broj boja zavisi od broja bita kojom se predstavlja boja. 24-bitna 

paleta tzv. true color, proizvodi 10.000.000 boja koje ljudsko oko 

može da uoči. 

- 36 -

DINAMIČKI RASPON – RGB (2) 

Uobičajeni modeli pri obradi su 

• 30 bita – po 10 bita (1024) 

• 36 bita – po 12 bita (4096) 

• 48 bita – po 16 bita (65536) 

Smisao ovih formata je u očuvanju kvaliteta pri obradi 

slika 

• Normalno ljudsko oko ne može razlikovati ove zapise od 24- 

bitnog 

ZAPISIVANjE SLIKE 

Zapis slike se obično sastoji od 

• zaglavlja – podataka koji opisuju 

 

širinu 

 

visinu 

 

dinamički raspon 

 

detalje zapisa sadržaja slike 

• sadržaja slike 

VELIČINA ZAPISA SLIKE 

Bez kompresije za sliku je potrebno: S*V*B/8 bajtova, 

gde je 

• S – širina slike u pikselima 

• V – visina slike u pikselima 

• B – broj bitova kojima se opisuje svaki piksel 

• Pored toga, potreban je i određen prostor za zaglavlje 

Na primer 

• 1024 x 768 x 16 / 8 = 1.5 MB 

• 1600 x 1200 x 24 / 8 = 5.5 MB 

Pri pripremi za štampu, veličina slike se procenjuje kao: 

S*V*R*R*B / 8 

• S – širina slike u cm (inch) 

• V – visina slike u cm (inch) 

- 37 -

• B – broj bitova kojima se opisuje svaki piksel 

• R – rezolucija slike u broju piksela/cm (inch) 

Uobičajene rezolucije slika 

• za prikaz na ekranu: 

• 75 – 150 ppi (piksela po inču), oko 30 – 60 ppcm 

• za štampu 

• 100 – 600 ppi, oko 40 – 240 ppcm 

Na primer 

• 13cm * 10cm * 30ppcm * 30ppcm * 24b / 8 = 343 KB 

• 28cm * 20cm * 120ppcm * 120ppcm * 24b / 8 = 23 MB 

KOMPRESIJA SLIKE 

Kompresiji slika se pristupa iz više razloga, a pre svega 

zbog 

• smanjenja zauzeća prostora 

• olakšavanja komunikacije 

 

smanjivanja opterećenja komunikacionih linija 

skraćivanje trajanja prenosa podataka 

 

METODI KOMPRESIJE 

Metodi kompresije se dele na dve osnovne kategorije 

• metodi kompresije bez gubitka informacija 

• metodi kompresije sa gubitkom informacija 

KOMPRESIJA BEZ GUBITKA 

Obično počivaju na opštim algoritmima za kompresiju 

podataka 

• najbolje rezultate daju ako slike imaju veće površine koje 

su jednobojne ili popunjene nekim jednostavnim uzorcima 

linijski crteži, ilustracije, stripovi, uzorci ekrana,... 

 

• nisu efikasni u slučaju slika sa puno prelaza tonova: 

 

fotografije, intenzivno šarene slike 

- 38 -

Neki od formata za zapisivanje slika: 

• BMP 

• GIF 

• TIF 

• PNG 

- 39 -

KOMPRESIJA SA GUBITKOM 

Počivaju na specifičnim algoritmima koji su projektovani 

upravo za rad sa slikama 

Opisuju delove slike nekim matematičkim modelom sa 

izabranom preciznošću aproksimacije 

Preciznost aproksimacije se obično može konfigurisati 

• veća preciznost – manja kompresija 

• manja preciznost – veća kompresija 

MODEL KOMPRESIJE SA GUBITKOM 

Koristi se činjenica da oko raspoznaje 

• oko 128 tonova 

• 16 (žuta) do 23 (crvena) zasićenosti 

• oko 128 nivoa osvetljenosti 

Pri kompresiji je važnije očuvati ton i osvetljenost nego 

zasićenost 

Zato se često primenjuje model boja čije komponente 

kvalitativno opisuju svetlost: 

• HSB, YUV, HLS,... 

- 40 -

MNOŽENjE I DELjENjE 

MNOŽENjE NEOZNAČENIH BROJEVA 

Proizvod se formira kao zbir delimičnih proizvoda 

Ako je cifra množioca 1, delimični proizvod je jednak 

množeniku, a ako je 0, onda je i delimični proizvod 0 

Počinje se od cifre najmanje težine 

Svaki sledeći delimični proizvod se pomera za po jedno 

mesto ulevo 

PRIMER 

14 x 9 (množenik x množilac) 

00001110 x 00001001 

00001110 

00000000 

00000000 

00001110 

00000000 

00000000 

00000000 

_00000000________ 

0000000001111110 

POBOLjŠANjE IMPLEMENTACIJE OVOG ALGORITMA 

Sabiranje može da se vrši odmah po izračunavanju svakog 

od delimičnih proizvoda formiranjem međuzbira. 

Početna vrednost međuzbira = prvom delimičnom 

proizvodu. 

Svaki naredni delimični proizvod se pomera za jedno 

mesto ulevo u odnosu na prethodno formirani delimični 

proizvod i sabira sa međuzbirom. 

- 41 -

Dobijeni zbir je novi međuzbir. 

Na taj način se štedi na prostoru i broju angažovanih 

registara pri sabiranju. 

HARDVERSKI ALGORITAM 

Hardverski se ovaj algoritam implementira preko 

SERIJSKOG MNOŽIOCA koji koristi 3 registra A, M i P i 

jednobitni registar C koji sadrži prenos pri sabiranju. 

Registri A, P i M i jednobitni C 

Algoritam: 

• M = množenik, P = množilac, A = 0, C = 0 

• U svakom koraku množenja bit množioca na mestu najmanje 

težine P 0 

određuje da li će u tom koraku množenik biti sabran sa 

tekućom vrednošću proizvoda. 

• Ponavljamo n puta (sve dok se ne obrade svi bitovi u 

množiocu) 

 

 

Ako je P 0 

1, A = A + M 

C, A, P logički pomeramo udesno (početni bitovi se pune 0) pri 

čemu se sva tri posmatraju kao 1 registar 

• Rezultat je upisan u AP 

Ovakav način primene algoritma nije dobar ako je bilo 

koji od činilaca negativan. 

U slučaju negativnog broja vodeća jedinica u potpunom 

komplementu predstavlja znak koji je uzrok nekorektnog 

rezultata: 

• Ako je množenik negativan sabiranje znaka je nekorektno. 

• Ako je množilac negativan tada pomeranje ulevo ne daje 

korektnu vrednost zbog zapisa broja u potpunom komplementu. 

Zato se koristi Butov algoritam. 

- 42 -

BUTOV ALGORITAM 

Registri A, M, P i jednobitni P’ 

M=množenik, P=množilac, A=0, P’=0 

Ponavljamo n puta: 

• ako je P 0 

P’=01 onda A=A+M 

• ako je P 0 

P’=10 onda A=A-M 

• APP’ se aritmetički pomera udesno (početni bitovi se pune 

vrednošću najvišeg bita iz APP’) 

Rezultat je upisan u AP posmatrane kao 1 registar. 

DELjENjE NEOZNAČENIH BROJEVA 

Registri A, M, P 

M=delilac, P=deljenik, A=0 

Ponavljamo n puta: 

• AP pomeramo aritmetički ulevo 

• A = A-M 

• ako je A>=0 onda P 0 

=1 

• ako je A

Na kraju je količnik u P a ostatak u A 

- 44 -

BCD 

PRIMER 

Prevesti dekadni broj 0,4 u binarni sistem: 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

0,4 0,8 0,6 0,2 0,4 0,8 0,6 0,2 0,4 0,8 

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 

Dobijeni prevod je periodičan razlomljeni broj: 

(0,4) 10 ≈(0,011001100...) 2 

BINARNI KODOVI DEKADNIH CIFARA 

Zbog problema sa preciznim predstavljanjem dekadnih 

razlomljenih brojeva u binarnom sistemu pojavila se 

ideja o kodiranju pojedinačnih dekadnih cifara binarnim 

brojevima. 

NEKI BINARNI KODOVI DEKADNIH CIFARA 

Dekadna 

Binarni kod 

cifra 8421 2421 5421 753- 84- Višak Ciklični 

6 2- 

1 

3 

0 0000 0000 0000 0000 0000 0011 0001 

1 0001 0001 0001 1001 0111 0100 0101 

2 0010 0010 0010 0111 0110 0101 0111 

3 0011 0011 0011 0010 0101 0110 1111 

4 0100 0100 0100 1011 0100 0111 1110 

5 0101 1011 1000 0100 1011 1000 1100 

6 0110 1100 1001 1101 1010 1001 1000 

- 45 -

7 0111 1101 1010 1000 1001 1010 1001 

8 1000 1110 1011 0110 1000 1011 1011 

9 1001 1111 1100 1111 1111 1100 0011 

Kod je težinski ako se vrednost dekadne cifre u tom kodu 

dobija kao zbir proizvoda vrednosti binarnih cifara i 

vrednosti pozicija na kojima se one nalaze. 

Navedeni kodovi, osim kodova višak 3 i cikličnog, su 

težinski kodovi. Cifre u imenima kodova označavaju 

“težine” pozicija. 

Na primer, u kodu 84-2-1 kod 1011 je kod cifre 5 

(1*8+1*(-2)+1*(-1)=8-2-1). 

Od navedenih kodova komplementarni su kodovi 2421, 

753-6, 84-2-1 i višak 3. 

Osobina cikličnog koda je da se pri prelasku na narednu 

cifru menja samo jedna binarna cifra. 

NEOZNAČENI BINARNO KODIRANI DEKADNI BROJEVI 

Binarno kodirani zapis neoznačenog dekadnog broja u 

nekom kodu se dobija tako što se binarno kodira u 

odgovarajućem kodu svaka od njegovih cifara. 

PRIMERI 

Broj 5384 možemo zapisati u različitim kodovima na 

sledeći način: 

0101 0011 1000 0100 (8421) 

1000 0110 1011 0111 (Višak 3) 

1011 0101 1000 0100 (84-2-1) 

- 46 -

OZNAČENI BINARNO KODIRANI DEKADNI BROJEVI 

Označeni binarno kodirani dekadni brojevi se zapisuju na 

dva načina: 

• Znak i apsolutna vrednost. Vrednost cifre za znak broja 

mogu da budu proizvoljne i zavise od konkretne implementacije 

na računaru. 

• U potpunom komplementu pri čemu se prvo nađe potpuni 

komplement broja u sistemu sa osnovom 10, pa se zatim izvrši 

kodiranje. 

NEPAKOVANI ZAPIS 

Binarno kodirani dekadni brojevi se mogu koristiti kako za 

zapis brojeva, tako i za zapis znakova. Iz tog zahteva 

proističu neke specifičnosti zapisa brojeva. 

Kod računara koji koriste ASCII kod u nepakovanom zapisu 

broja se u polubajt veće težine upisuje cifra 5 koja 

označava da je u bajtu zapisana cifra, a u polubajtu 

manje težine se zapisuje BCD zapis cifre u 

odgovarajućem kodu. 

BCD brojevi se u računaru obično zapisuju u obliku znak i 

apsolutna vrednost. 

Znak se zapisuje u polubajtu veće težine (umesto cifre 5) 

poslednjeg bajta i to kao binarno zapisana heksadekadna 

cifra A za pozitivne brojeve, a B za negativne. 

PRIMER 

+896312 → 58 59 56 53 51 A2 

-896312 → 58 59 56 53 51 B2 

- 47 -

PAKOVANI ZAPIS 

Ukoliko se koriste samo brojčani podaci dolazi do 

nepotrebnog trošenja prostora, jer se ponavlja vrednost 

5 u svakom polubajtu veće težine, osim kod poslednjeg 

bajta. 

Zato se uvodi pakovani zapis BCD brojeva. 

Kod pakovanog zapisa se u svakom polubajtu, osim u 

poslednjem, čuva neka cifra broja. 

U poslednjem polubajtu zapisa, čuva se znak broja prema 

prethodnom dogovoru. 

Pošto se koristi ceo broj bajtova, u slučaju zapisa broja 

sa parnim brojem cifara u vodeći polubajt se upisuje 0. 

PRIMERI 

+896312 → 08 96 31 2A 

-896312 → 08 96 31 2B 

+56421 → 56 42 1A 

-56421 → 56 42 1B 

DECIMALNA ARITMETIKA 

Nepakovani zapis brojeva se najčešće koristi pri ulaznoizlaznim 

operacijama za direktno unošenje brojeva(na 

primer, kada kucamo na tastaturi), dok se u aritmetičkim 

operacijama koristi pakovani zapis. 

Operacije sa BCD brojevima su sporije u odnosu na 

operacije sa binarnim brojevima zbog specifičnosti 

zapisa. 

- 48 -

PROMENA ZNAKA 

Pošto su BCD brojevi u računaru zapisani u obliku znak i 

aspolutna vrednost promena znaka je jednostavna. Samo 

se menja vrednost poslednjeg polubajta. 

SABIRANjE I ODUZIMANjE 

08 96 31 2A → 08 96 31 2B 

Pri sabiranju i oduzimanju važe opšta pravila sabiranja i 

oduzimanja celih brojeva u zapisu znak i apsolutna 

vrednost. To znači da se operacije nad označenim 

brojevima mogu svesti na operacije nad neoznačenim 

brojevima. 

Sabiranje BCD brojeva se vrši u dve faze. 

U prvoj fazi se BCD zapisi cifara sabiraka sabiraju kao 

neoznačeni celi četvorocifreni binarni brojevi. Ako se javi 

prekoračenje, ono se prenosi kao jedinica koja se dodaje 

zbiru narednih dekadnih cifara. Ovi prenosi se pamte 

zbog upotrebe u drugoj fazi. 

U drugoj fazi se vrše korekcije koje zavise od koda u 

kome smo predstavljali dekadne cifre. 

Oduzimanje se može izvršiti na dva načina: 

• Po sličnom principu kao i sabiranje, pri čemu se u obe faze 

umesto sabiranja vrši oduzimanje, i 

• Kao sabiranje u potpunom komplementu umanjenika sa 

umanjiocem kome je promenjen znak. 

(8-5=8+(-5)) 

- 49 -

SABIRANjE U KODU 8421 

Prva faza je nezavisna od koda u kome su zapisane 

dekadne cifre. 

Neka je n maksimalan broj dekadnih cifara sabiraka. 

Neka su p’ i prenosi u prvoj fazi sabiranja sa dekadnog 

mesta i-1 na mesto i, a p’’ i odgovarajući prenosi u drugoj 

fazi. Važi p’ 0 =0 i p’’ 0 =0. 

Druga faza se sastoji iz n koraka u kojima se zdesna na 

levo grupama od po četiri binarne cifre rezultata prve 

faze dodaju korekcije i računa prenos za sledeći korak. 

U i-tom koraku radimo: 

• Neka je c 3 

c 2 

c 1 

c 0 

i-ta grupa od četiri binarne cifre gledano 

zdesna na levo 

• t i 

=c 3 

c 2 

c 1 

c 0 

+ p’’ i 

• Ako je p’ = 1 ili t i+1 i ≥ (1010) 2 

onda ovoj grupi cifara 

dodajemo korekciju (0110) 2 

i pri tome određujemo prenos p’’ i+1 

. 

Ako je p’ n =1 ili p’’ n =1 došlo je do prekoračenja. 

ZAŠTO JE KOREKCIJA 0110? 

p’ i+1 = 1 znači da je postojao prenos između dekadnih 

cifarskih mesta u prvoj fazi sabiranja. Vrednost binarnog 

prenosa sa cifarskog mesta i na mesto i+1 je 16 10 , dok je 

vrednost dekadnog prenosa između ove dve pozicije 10 10 , 

pa zbog toga treba dodati razliku 16 – 10 10 10 = 6 10 = 

0110 2 . 

t i ≥ (1010) 2 Pošto je dobijena vrednost veća od koda 

najveće dekadne cifre, mora da usledi prenos na naredno 

dekadno cifarsko mesto i+1. Slično kao u prethodnom 

slučaju treba dodati razliku 0110 2 . 

- 50 -

PRIMER 

X= -23492 Y=-5189 X+Y=-28681 

23 49 2B + 05 18 9B = 28 68 1B 

-X 0010 0011 0100 1001 0010 

-Y 0000 0101 0001 1000 1001 

p’ 0 0 0 1 0 0 

S 1 0010 1000 0110 0001 1011 

p’’ 0 0 0 0 1 0 

k 0000 0000 0000 0110 0110 

-S 0010 1000 0110 1000 0001 

=> S=-28681 

ODUZIMANjE U KODU 8421 

U prvoj fazi se BCD zapisi cifara umanjenika i umanjioca 

oduzimaju kao neoznačeni celi četvorocifreni binarni 

brojevi. Ako se javi potreba za pozajmicom, ona se 

prenosi kao jedinica koja se oduzima od razlike narednih 

dekadnih cifara. Ove pozajmice se pamte zbog upotrebe 

u drugoj fazi i označavaju se sa p’ i . 

U drugoj fazi se zdesna nalevo posmatraju po četiri 

binarne cifre c 3 c 2 c 1 c 0 rezultata prve faze i od njih se 

oduzima (0110) 2 ako važi p’ i+1 = 1. 

PRIMER 

X=-52629 Y=2634 X+Y=-49995 

52 62 9B + 02 63 4A = 49 99 5B 

-X 0101 0010 0110 0010 1001 

Y 0000 0010 0110 0011 0100 

p 0 1 1 1 0 0 

S 1 0100 1111 1111 1111 0101 

K 0000 0110 0110 0110 0000 

-S 0100 1001 1001 1001 0101 

- 51 -

SABIRANjE U KODU VIŠAK 3 

Neka važe oznake koje smo koristili za kod 8421. 

I u kodu višak 3 se druga faza izvodi u n koraka gde se u 

svakom koraku zdesna na levo dodaju korekcije grupama 

od po četiri binarne cifre rezulata prve faze. 

U i-tom koraku radimo: 

• Neka je c 3 

c 2 

c 1 

c 0 

i-ta grupa od četiri binarne cifre gledano 

zdesna na levo 

• Ako je p’ i+1 

= 1 onda ovoj grupi cifara dodajemo korekciju 

(0011) 2 

• Ako je p’ i+1 

= 0 onda se ovoj grupi cifara dodaje korekcija 

(1101) 2 

Do prekoračenja je došlo ako je p’ n =1. 

KOREKCIJE? 

p’ i+1 = 1 Pošto je postojao prenos između dekadnih 

cifarskih mesta u prvoj fazi sabiranja, vrednost binarnog 

prenosa sa cifarskog mesta i na mesto i+1 je 16 10 , dok je 

vrednost dekadnog prenosa između ove dve pozicije 10 10 . 

Time je na poziciji i anuliran višak 3 od obe dekadne 

cifre, i da bi rezultat bio korektan treba dodati 

3 10 =(0011) 2 . 

p’ i+1 = 0 Prenos sa ove pozicije na narednu ne postoji 

tako da je akumuliran višak 6 u odnosu na prirodni kod, 

tako da zbog toga treba oduzeti 3 da bi se dobila 

korektna vrednost. Umesto oduzimanja može da se 

primeni sabiranje u potpunom komplementu: 

(-3) 10 =(10011) 2 =(01101) pk . 

- 52 -

PRIMER 

X=28367 Y=2847 X+Y=31214 

28 36 7A + 02 84 7A = 31 21 4A 

X 0101 1011 0110 1001 1010 

Y 0011 0101 1011 0111 1010 

p’ 0 1 1 1 1 0 

S 1 1001 0001 0010 0001 0100 

K 1101 0011 0011 0011 0011 

S 0110 0100 0101 0100 0111 

ODUZIMANjE U KODU VIŠAK 3 

Pošto je kod višak 3 komplementaran određivanje 

potpunog komplementa broja zapisanog u ovom kodu se 

jednostavno vrši komplementiranjem datog zapisa. 

Zato se oduzimanje najjednostavnije vrši kao sabiranje u 

potpunom komplementu umanjenika sa umanjiocem 

kome je promenjen znak. 

- 53 -

PRIMER 

X=5836 Y=8586 X-Y=-2750 

X-Y = -(Y-X) 

– (08 58 6A – 05 83 6A) = -02 75 0A = 02 75 0B 

P.K. X=05836 Y=08586 

-X 94164 

-X 1100 0111 0100 1001 0111 

Y 0011 1011 1000 1011 1001 

-X 1100 0111 0100 1001 0111 

p’ 1 0 1 1 0 

S 1 0000 0010 1101 0101 0000 

k 0011 0011 1101 0011 0011 

S 0011 0101 1010 1000 0011 

Y-X = 02750 

X-Y = -02750 = 02750B 

Iako je p 5 ’=1,na osnovu pravila za sabiranje u potpunom 

komplementu ne dolazi do prekoračenja. 

- 54 -

DIGITALIZACIJA 

SIGNALI 

Vrlo često se javlja potreba da se zabeleže određeni 

signali koji se javljaju u prirodi. 

Najčešći primeri signala su svakako zvuk i slika, ali i drugi 

primeri se mogu lako naći (ekg signali, ultrazvuk, 

raznorazna zračenja, itd...) 

DIGITALIZACIJA 

Signali koje srećemo u prirodi se obično javljaju u 

kontinualnoj formi što znači da se menjaju neprekidno 

tokom vremena i/ili prostora. 

Nasuprot kontinualnoj (neprekidnoj) prirodi signala, 

digitalna tehnologija podrazumeva diskretnost 

(isprekidanost) zapisa. 

ANALOGNA TEHNOLOGIJA 

Primenom analognih tehnologija se pravi kontinualni 

zapis nekog signala na medijumu. 

Npr. gramofonska ploča ima oblik dugačke spirale. Kada 

bi se pogledao oblik udubljenja i ispupčenja zabeleženih 

na njoj, dobilo bi se grafik koji veoma podseća na grafik 

zvučnog signala koji je bio sniman. 

Grafik raporeda namagnetisanja na magnetnoj traci 

takođe treba da odgovara vremenskom rasporedu zvuka 

koji je snimljen. 

- 55 -

ANALOGNA TEHNOLOGIJA – PREDNOSTI 

Ulaganja koja su potrebna da bi se dobio zapis analognog 

signala su veoma mala, ukoliko se zadovoljimo relativno 

niskim kvalitetom. 

Tehnološki, još su stari Grci mogli da prave jednostavni 

gramofon, uz pomoć jednostavne igle prikačene na 

trepereću membranu. 

ANALOGNA TEHNOLOGIJA – PROBLEMI 

Osnovni problem analogne tehnologije je to što je jako 

teško na medijumu napraviti skoro identičnu kopiju 

posmatranog signala. 

Drugi problem je nestalnost medijuma tj. njegova 

promenjivost tokom vremena i osetljivost na spoljašnje 

uticaje, što dovodi do postepenog opadanja kvaliteta 

zapisa. 

Zbog toga se za pravljenje visoko kvalitetnog analognog 

zapisa mora uložiti izuzetno puno truda i novca 

• proizvodnja nosača zapisa je veoma skupa 

• pravljenje zapisa je veoma skupo 

I pored svega, pravljenje medijuma koji će apsolutno 

identično zabležiti signal i koji će zadržati svoje 

karakteristike večno, i u svim spoljašnjim uslovima je 

nemoguće. 

Svaka obrada ovako zapisanih signala je izuzetno 

komlikovana i takođe zahteva velika ulaganja 

Reprodukcija (upotreba) takvih zapisa u vernom obliku je 

veoma skupa 

- 56 -

DIGITALNA TEHNOLOGIJA – KONCEPT 

Osnovna ideja digitalne tehnologije je zapisivanje signala 

kao niza brojeva koji predstavljaju njegove vrednosti 

izmerene u diskretnim tačkama (diskretnim vremenskim 

trenucima, odnosno na diskretnoj mreži tačaka prostora) 

DIGITALNA TEHNOLOGIJA 

Ukoliko je poznat izgled signala na zadatoj mreži moguće 

je rekonstruisati njegov izgled i u ostalim delovima 

vremena tj. prostora. 

Postupak merenja i zapisivanja vrednosti signala se često 

naziva sempliranje. 

Postavlja se pitanje koliko je često potrebno meriti i 

zapisivati vrednost signala. 

NYQUIST-OVA TEOREMA 

Čuvena Nyquist-ova teorema daje odgovor na ovo pitanje 

Da bi signal mogao da se verno rekonstruiše potrebno 

je meriti ga dva puta češće od njegove najveće 

frekvencije 

Npr. čovekovo uho čuje frekvencije do nekih 20kHz. Zbog 

toga je zvuk u principu dovoljno semplirati nekih 40000 

puta u sekundi. 

- 57 -

DIGITALNA TEHNOLOGIJA – SIMULACIJA NA 

ANALOGNIM UREĐAJIMA 

U prirodi su sve pojave suštinski analogne 

Digitalna tehnologija se zbog toga primenjuje (i 

modelira) na uređajima koji su u osnovi analogni. 

• Npr. iako su današnji računari digitalni i smatra se da jedna 

memorijska ćelija sadrži samo vrednosti 0 ili 1, stvarna vrednost 

napona u toj ćeliji može da varira u nekom opsegu (recimo od 0 

do 5V). Postavljanjem praga na nekih 2.5V, mi pomoću analognog 

uređaja simuliramo digitalno ponašanje 

DIGITALNA TEHNOLOGIJA – PROBLEMI 

Početna tehnološka ulaganja da bi se uopšte stiglo do iole 

upotrebljivog zapisa su jako velika: 

• Npr. veoma je teško napraviti uređaj koji dovoljno često 

meri i zapisuje vrednost zvučnog signala 

• prostor za zapisivanje 1 sekunde je 44000 brojeva što 

predstavlja skoro jednu celu papirnu svesku 

Ovo je razlog zašto se digitalna tehnologija javila 

istorijski prilično kasno 

Jako je teško bilo stići do tako gustog zapisa koji 

omogućuje zapis par stotina megabajta na površini dlana 

šake 

DIGITALNA TEHNOLOGIJA – PREDNOSTI 

Međutim, kada je početni tehnološki prag dostignut 

prednosti su postale skoro neverovatne. 

Inherentna kvarljivost medijuma, koja je predstavljala 

najveći problem analogne tehnologije, odjednom je 

postala nebitna. 

Npr. ne možemo se osloboditi činjenice da papir 

vremenom žuti i da se kvalitet zapisa na njemu gubi. 

- 58 -

Ukoliko se radi o običnoj analognoj fotografiji, to se 

javlja kao problem. 

Međutim ukoliko je na tom papiru zapisan niz brojeva 

koji opisuje piksele iste te fotografije, nimalo 

informacije se ne gubi sve dok je moguće uopšte pročitati 

o kojim je brojevima reč. 

Moguće je pravljenje identičnih kopija što opet nije 

moguće bilo kod analogne tehnologije. 

• Npr. ukoliko fotokopiramo fotografiju dobijamo gubitak 

kvaliteta. Ukoliko fotokopiramo papir na kome su zapisani brojevi 

koji opisuju fotografiju nimalo informacije ne gubimo. 

Mogućnost pravljenja identičnih kopija praktično 

omogućava večno trajanje zapisa 

Obrada zapisa postaje jednostavna i vrši se isključivo 

primenom matematičkih formula na brojeve 

• Npr. obrada digitalnih slika ili zvuka 

- 59 -

ZVUČNI SIGNALI 

PREDSTAVLjANjE ZVUKA 

Zvučni signal predstavlja promenu pritiska vazduha kroz 

vreme. 

Ilustracija ovoga je moguća npr. pomoću programa Sound 

Recorder. 

AMPLITUDA 

Razliku između maksimalne i minimalne vrednosti 

nazivamo amplitudom. 

Amplituda se meri u decibelima (dB). (Decibel je mera 

za jačinu zvuka, ali amplituda i jačina su direktno 

povezana pa se amplituda takođe meri u decibelima.) 

Što je amplituda zvučnog signala veća, zvuk je glasniji. 

FREKVENCIJA 

Broj promena signala, npr. od svoje najveće vrednosti do 

najmanje i nazad u jednoj sekundi nazivamo 

frekvencijom zvuka. Frekvencija se meri u Hercima 

(1Hz= jedna promena u sekundi). 

Što brže zvučni signal menja svoju vrednost to nam se 

zvuk čini piskaviji. 

- 60 -

ČUJNI RASPON 

U proseku, ljudsko uho može da čuje zvukove čija je 

frekvencija između 5Hz i 20 kHz, međutim precizni 

raspon je osobina svakog pojedinca. U principu, već 

frekvencije iznad 10kHz većina ljudi veoma loše čuje. 

Jačina zvuka koju ljudsko uho može da registruje se 

kreće od skoro 0dB (prag šuma) do 120dB (prag bola). 

DIGITALIZACIJA ZVUKA 

Prema Nyqist-ovoj teoremi, prilikom digitalizacije je 

dovoljno uzimati uzorke vrednosti zvučnog signala 

(semplirati) dva puta češće od njegove najveće 

frekvencije. 

Za verno zapisivanje frekvencija do 20kHz potrebno je da 

frekvencija uzoraka bude 40kHz 

UOBIČAJENE FREKVENCIJE UZORAKA 

Opšte prihvaćen CD audio standard se zasniva na 

učestalosti uzoraka od 44.1kHz. 

DAT kasete, poznate muzičkim profesionalcima koriste 

učestalost od 48kHz. 

Većina zvukova u video igrama je sa uzorcima na 11 ili 

22 kHz. 

- 61 -

DUBINA ZVUKA (DINAMIČKI RASPON) 

Ranije se za digitalizaciju koristilo 8 bitova (jedan bajt). 

8 bitova omogućuje zapisivanje 256 nivoa jačine zvuka. 

Sa time se može kvalitetno pokriti 48dB. 

Danas je uobičajeno da se za zapis svakog uzorka koristi 

16 bitova (dva bajta). 

Ovo omogućuje zapisivanje 65536 nivoa jačine zvuka, što 

daje dinamički raspon od oko 96dB, što se smatra 

prilično zadovoljavajućim. 

MONO I STEREO ZVUCI 

Da bi se bolje dočarao prostorni raspored zvuka, koristi 

se stereo tehnika. 

Uzimanje uzoraka u mono tehnici se vrši pomoću jednog 

mikrofona. 

Za digitalizaciju stereo zvuka potrebno je najmanje 2 

mikrofona (dva kanala). 

NEKOMPRIMOVANI ZAPIS ZVUKA 

Neposrednim zapisivanjem niza brojeva dobijenih 

digitalizacijom zvuka dobijamo tzv. sirovi zapis (PCM – 

Pulse Code Modulation). 

Za sirovi zapis jednog minuta zvuka u stereo tehnici, 

potrebno je: 

60sekundi * 44100 * 2 bajta * 2 kanala = 10,5 Mb 

1 minut frekvencija uzorka za zapis svakog uzorka stereo 

zvuka (sample rate) se koriste 2 bajta tehnika 

- 62 -

RIFF FORMATI 

RIFF je grupa formata za zapis mnogih tipova podataka, 

pre svega multimedijalnih (zvuka i videa). 

Najpoznatiji RIFF formati su WAVE, AVI, DIVX... 

PARČIĆI (CHUNKS) 

Svi RIFF formati se sastoje od parčića (chunks). 

Svako parče ima svoj 

• tip, koji se zapisuje pomoću 4 karaktera 

• za čim slede 4 bajta koji označavaju veličinu parčeta i 

• zatim sam sadržaj. 

Sama RIFF datoteka je sama za sebe jedno parče čiji 

sadržaj počinje oznakom tipa RIFF datoteke, a zatim 

sledi niz drugih parčića. 

FORMAT RIFF DATOTEKE 

Adresa 

Sadržaj (hex) 

0000 'R', 'I', 'F', 'F' 

0004 Dužina datoteke – 32 bitni 

neoznačeni broj 

0008 Tip datoteke (4 karaktera) 

000C Tip prvog parčeta (4 

karaktera) 

0010 Dužina prvog parčeta 

0014 Sadržaj prvog parčeta 

... 

- 63 -

WAVE FORMAT 

WAVE spada u grupu RIFF formata i namenjen je 

isključivo za zapis zvuka. 

Zapis u WAVE formatu se sastoji od parčeta (chunk) sa 

oznakom “fmt” i parčeta sa oznakom “data”. 

WAVE format omogućava i nekoliko tipova kompresije, 

mada se najčešće koristi za zapis nekomprimovanog 

zvuka, tj. parče “data” sadrži PCM zapis. 

KANONSKI IZGLED WAV DATOTEKE 

Offset Sadržaj 

0 ‘R’ ‘I’ ‘F’ ‘F’ (oznaka datoteke) 

4 veličina datoteke 

8 ‘W’ ‘A’ ‘V’ ‘E’ (tip datoteke) 

12 ‘f’ ‘m’ ‘t’ ‘ ’ (tip parčeta) 

16 00 00 00 10 (veličina parčeta) 

20 Tip kompresije (1 PCM-nekompresovano) 

( sadržaj parčeta) 

22 Broj kanala (1 mono, 2 stereo) 

24 Sample rate – broj uzoraka po sekundi (najčešće 

44100) 

28 Broj bajtova u sekundi = Sample rate * Poravnanje 

32 Poravnanje = broj kanala * broj bajtova po uzorku 

34 Broj bitova po uzorku (8 ili 16) 

36 ‘d’ ‘a’ ‘t’ ‘a’ 

40 dužina data bloka 

44 Zapis uzoraka 

- 64 -

KANONSKI ZAPIS WAV DATOTEKE 

Ukoliko se radi radi o 

• 8 bitnim uzorcima vrednosti se zapisuju kao neoznačeni 

brojevi 

• 16 bitnim uzorcima vrednosti se zapisuju u potpunom 

komplementu. 

Stereo (i drugi višekanalni zapisi) se zapisuju isprepletano 

(po uzorak za svaki kanal) 

KOMPRESIJA 

Jedan od problema sa WAV zapisom je, naravno, to što 

zauzima previše memorijskog prostora. 

Zbog toga se zvučni zapis obično komprimuje na neki 

način. 

PRISTUP PROBLEMU KOMPRIMOVANjA 

Pošto je zvuk signal koji se veoma nepredvidivo menja, 

većina algoritama kompresije koji se zasnivaju na 

ponavljanjima podataka (kao npr. algoritmi korišćeni u 

ARJ, ZIP) pokazuju loše rezultate. 

Zbog toga se pristupa primeni tzv. psihoakustičkih 

algoritama koji uglavnom spadaju u grupu Loosy 

algoritama. 

MASKIRANjE 

U toku dana ne vidimo zvezde. Razlog tome je to što je 

svetlost zvezda maskirana jakom svetlošću sunca. 

Većina algoritama za kompresiju zvuka se zasnivaju na 

sličnim osobinama ljudskog čula sluha. 

- 65 -

MASKIRANjE TIHIH ZVUKOVA 

Na primer, tih zvuk u blizini (u vremenu) mnogo glasnijeg 

se ne percipira, pa se na njegovo kodiranje ne isplati 

trošiti bajtove. 

Slično, ako u bliskom trenutku postoje zvuci bliske 

frekvencije, jači zvuk može da maskira drugi. 

Koji su zvuci dovoljno tihi? Ovaj podatak se najčešće 

dobija eksperimentima i to sa živim ljudima koji slušaju 

zvuke i daju svoj sud. 

LOKALNOST MASIRANjA 

Na primer: 

• Ukoliko imamo zvuk frekvencije 1000Hz i u njegovoj blizini 

zvuk od 1100Hz, ali 18 dB tiši, čovek prosečnog sluha neće čuti 

drugi zvuk. 

• Ako bi drugi zvuk bio frekvencije 2000Hz i iste glasnoće, on 

bi se čuo, zbog toga što je frekvencijski prilično udaljen od prvog. 

Pokazuje se da bi ovaj ton morao biti 45dB slabiji da bi bio 

nečujan. 

Zaključujemo da je maskiranje značajnije u slučaju 

bliskih frekvencija. 

MASKIRANjE JAKIH ZVUKOVA 

Posledica maskiranja je da je dopušteno podizanje nivoa 

šuma u blizini jakih zvukova. 

Zaključujemo da zbog većeg nivoa dopuštenog šuma nije 

potrebna visoka preciznost zapisa, pa se može 

upotrebljavati manje bitova za zapis. 

- 66 -

PRE I POST MASKIRANjE 

Ljudsko čulo sluha ima ograničenje da ne registruje dobro 

vremenski bliske zvukove: 

• ne registruje tihi ton koji se javi do 5 milisekundi pre 

glasnog (premaskiranje). 

• ne registruje tihi ton koji se javi do 100 milisekundi posle 

završetka glasnog (postmaskiranje) 

• tačna vremena zavise od razlike intenziteta. 

MPEG FORMATI 

MPEG – Moving pictures experts group 

Ekspertska organizacija koja je pod pokroviteljstvom ISO 

napravila nekoliko standardnih formata za zapisivanje 

zvuka, filma i drugih multimedijalnih sadržaja 

NAJPOZNATIJI MPEG STANDARDI 

MPEG 1 – standard na kome su zasnovani formati kao su 

VideoCD i MP3 

MPEG 2 – standard na kome se zasnivaju digitalna 

televizija i DVD format 

MPEG 4 – standard multimedije za fiksni i mobilni web 

MPEG 7 – standard za opisivanje i pretragu audio i 

vizuelnog sadržaja 

- 67 -

AUDIO LAYER-I 

Layeri unutar MPEG standarda čine oznake podstandarda 

koji se odnose samo na zapisivanje audio signala 

Jedan od najpoznatijih MPEG-ovih audio layera je audio 

MPEG layer 3, ili pod drugim, čuvenijim imenom MP3. 

Dok je MP3 najčuveniji, MP1 je skoro zaboravljen, dok je 

MP2 imao neki uticaj dok nije potisnut layerom MP3. 

Audio layeri su međusobno kompatibilni naniže, što znači 

da programi koji mogu da tumače MP3 mogu da tumače i 

novije layere. 

KRATKO O ALGORITMU 

Audio MPEG deli celokupni zvučni frekventni opseg na 32 

podpojasa (subbands). 

Ovi pojasi su kod layera 1 i 2 bili po 625Hz, dok se kod 

layera 3 uvode pojasevi različite širine. 

• Naime, uho jasno razlikuje 1kHz od 3kHz, dok veoma teško 

razlikuje 15kHz od 18kHz (ako se uopšte nešto čuje). 

Ako npr. imamo ton od 1kHz jačine 60dB, on spada u 8. 

pojas: 

• Koder izračunava da je maskirajući efekat ovog tona 35dB, 

što daje odnos signal/šum od 25 dB, što znači da je za zapis ovog 

zvuka dovoljno 4 bita. 

• Dodatno, ovaj maskirajući efekat se proteže od pojasa 5 do 

13, naravno sa umanjenim uticajem. 

Poslednji korak algoritma je primena Huffmanovog 

kodiranja na rezultat dobijen primenom maskiranja. 

Sve ovo čini proces MP3 kodiranja prilično računski 

zahtevnim. Proces dekodiranja je nešto 

jednostavniji, ali je i on svakako komplikovan. 

- 68 -

STATIČKO HUFFMAN-OVO KODIRANjE 

Osnovna ideja je da se karakteri koji se češće javljaju 

kodiraju kraćim sekvencama, dok je kod karaktera koji se 

ređe pojavljuju dozvoljeno koristiti i duže kodove. 

Na početku je potrebno izgraditi sortiranu tabelu 

frekvencija pojavljivanja svih znakova koje želimo da 

kodiramo. Neka su to npr. karakteri 

IZGRADNjA HUFFMAN-OVOG DRVETA 

Pronađu se dva karaktera koja se najređe pojavljuju i ona 

se zamene novim “karakterom” čija je frekvencija zbir 

frekvencija polazna dva karaktera. 

Novouvedeni “karakter” predstavlja čvor drveta iz koga 

izniču polazni karakteri. Postupak se ponavlja sve dok se 

ne izgradi kompletno drvo. 

ODREĐIVANjE KODOVA 

Sve grane drveta koje vode “na levo” se označe nulom, 

dok se sve grane koje vode “na desno” označe jedinicom. 

Kod svakog karaktera se određuje prikupljanjem oznaka 

grana putanje koja vodi do njega. 

- 69 -

HUFFMAN-OVO DRVO – PRIMER 

0 

1 

A 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

B 

0 

1 

E 

F 

C 

D 

A 0 

B 100 

C 1010 

D 1011 

E 110 

F 111 

FORMAT MP3 DATOTEKE 

Svaka MP3 datoteka se sastoji od više delova koji se 

nazivaju okviri (frames) 

Svaki okvir se sastoji od 32 bitnog zaglavlja (header) i 

sadržaja. 

Jedan okvir služi za zapis 1152 uzorka kod Layer-a 2 i 3 

- 70 -

ZAGLAVLjE MP3 OKVIRA 

Zaglavlje se sastoji od 32bita: 

AAAAAAAA AAABBCCD EEEEFFGH IIJJKLMM 

A - 11 bitova za sinhronizaciju – svi moraju imati vrednost 

1 

B – oznaka verzije MPEG standarda 

• 00 – MPEG 2.5 

• 01 – rezervisano 

• 10 – MPEG 2 

• 11 – MPEG 1 

C – Oznaka layer-a 

• 00-rezervisano 

• 01 – Layer 3 

• 10 – Layer 2 

• 11 – Layer 1 

D – Oznaka kontrole 

• 0 – CRC 

• 1 – kontrola isključena 

E – bit rate. Izražava se u kbps. Svakom layer-u 

odgovaraju različite kombinacije. 

• Npr. za MPEG 1 layer 3, 1001 znači 128kbps. 

F - Sampling rate. Npr. Za MPEG1 standard, i sve layere 

• 00 označava 44100 Hz 



G – Padding – dodatni bit koji kaže da li postoje dodatni 

bitovi za poravnavanje 

H – Rezervisani bit 

I – Broj kanala 

• 00, 01, 10 Stereo, 

• 11 Mono 

J – dodatna oznaka načina zapisa (samo kod stereo 

sistema) 

K – Copyright 

• 0 nema 

• 1 ima 

- 71 -

L – originalnost zapisa 

• 0 kopija originala 

• 1 original 

M – Oznaka pojačanja 

IZRAČUNAVANjE DUŽINE OKVIRA 

Iako u zaglavlju svakog okvira nije eksplicitno zapisana 

njegova dužina, ona se može rekonstruisati na osnovu 

ostalih podataka i to kod Layera 3 po formuli: 

Dužina = 

144 * bitrate / samplerate + padding 

ID3 V2 

MP3 format se može proširiti dodatnim informacijama o 

muzici, izvođaču, tekstu pesme i slično. 

Standard koji ovo opisuje se zove ID3 i trenutno nosi 

oznaku verzije 2.4.0. 

• Pošto se ovaj standard pojavio posle standardizacije MP3, 

ovakve dodatne oznake su se pisale na kraju MP3 datoteke. 

• Tek od verzije 2, su oznake premeštene na početak. 

ID3 V2 – PRIMER 

- 72 -

- 73 -

PREFIKSNI KODOVI 

HUFFMAN-OVO KODIRANjE 

Za kôd kažemo da ima prefiksno svojstvo ako ni za jedan 

znak ne važi da je njegov kôd prefiks koda nekog drugog 

znaka. 

Npr. ako je 11 kôd karaktera A, a 1110 kôd karaktera B, 

onda je kôd karaktera A prefiks kôda karaktera B. 

Zahvaljujući prefiksnom svojstvu kôda, čim je kod nekog 

znaka pročitan, ne postoji mogućnost da se daljim 

čitanjem zaključi da se radi o kôdu nekog drugog znaka, 

tako da se odmah može konstatovati o kom se znaku radi 

i preći na čitanje kôda sledećeg znaka. 

KODOVI PROMENLjIVE DUŽINE 

Za kod kažemo da je kôd promenljive dužine ako 

različitim znakovima odgovaraju kôdovi različitih dužina. 

U suprotnom za kôd kažemo da je kôd fiksne dužine. 

Npr. ako je 11 kôd karaktera A, a 1110 kôd karaktera B, 

onda se radi o kôdu promenljive dužine. 

HUFFMAN-OV KOD 

Huffmanov kôd je optimalan prefiksni kôd. 

Zato se često koristi za realizaciju kompresija bez 

gubitka. 

To je kôd promenljive dužine. 

Postoje: 

• Statičko i 

• Dinamičko Huffmanovo kodiranje. 

- 74 -

STATIČKO HUFFMAN-OVO KODIRANjE 

Osnovna ideja je da se karakteri koji se češće javljaju 

kodiraju kraćim sekvencama, dok je kod karaktera koji se 

ređe pojavljuju dozvoljeno koristiti i duže kodove. 

Na početku je potrebno izgraditi sortiranu tabelu 

frekvencija pojavljivanja svih znakova koje želimo da 

kodiramo. Neka su to npr. karakteri. 

IZGRADNjA HUFFMAN-OVOG DRVETA 

Pronađu se dva karaktera koja se najređe pojavljuju i ona 

se zamene novim “karakterom” čija je frekvencija zbir 

frekvencija polazna dva karaktera. 

Novouvedeni “karakter” predstavlja čvor drveta iz koga 

izniču polazni karakteri. Postupak se ponavlja sve dok se 

ne izgradi kompletno drvo. 

ODREĐIVANjE KODOVA 

Sve grane drveta koje vode “na levo” se označe nulom, 

dok se sve grane koje vode “na desno” označe jedinicom. 

Kôd svakog karaktera se određuje prikupljanjem oznaka 

grana putanje koja vodi od korena do njega. 

- 75 -

HUFFMAN-OVO KODIRANjE – PRIMER 

Kodirajmo poruku: 

AFAABBAEACABBACABEABCDFDAEAAEFAF 

Tabela frekvencija: 

A 13 

B 6 

C 3 

D 2 

E 4 

F 4 

Sortirana tabela frekvencija: 

D 2 

C 3 

E 4 

F 4 

B 6 

A 13 

- 76 -

HUFFMAN-OVO DRVO – PRIMER 

0 

1 

A 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

B 

0 

1 

E 

F 

C 

D 

A 0 

B 100 

C 1010 

D 1011 

E 110 

F 111 

HUFFMAN-OVO KODIRANjE – PRIMER 

Kodirana poruka se dobija nadovezivanjem kodova 

karaktera i glasi: 

011100100100011001010010010001010010011001101010101 

111110110110001101110111 

Za kodiranje poruke smo iskoristili 

13*1+6*3+3*4+2*4+4*3+4*3=75 bita. 

Da smo koristili, na primer, 3-bitno kodiranje koje 

karakterima dodeljuje njihove redne binarne brojeve od 

000 do 101 iskoristili bismo 3*32=96 bita. 

- 77 -

DINAMIČKO HUFFMAN-OVO KODIRANjE 

Za razliku od statičkog Huffmanovog kodiranja, gde se 

frekvencije pojavljivanja znakova određuju na početku 

rada algoritma, kod dinamičkog se ove frekvencije 

izračunavaju i menjaju u toku rada algoritma. 

- 78 -

OTKRIVANjE I ISPRAVLjANjE GREŠAKA 

GREŠKE PRI PRENOSU PODATAKA 

Pri prenosu podataka često dolazi do promene pojedinih 

bitova podataka zbog: 

• smetnji na prenosnom putu 

• različitih tipova šumova na lokacijama odašiljanja i prijema 

Smetnje se dešavaju bez obzira na udaljenost uređaja, 

tj. kako pri prenosu podataka između dva računara tako i 

između komponenti istog računara 

PRISTUPI REŠAVANjU PROBLEMA 

Postoje dva osnovna pristupa rešavanju ovog problema: 

• kontrola grešaka unatrag (kontrola sa povratnom spregom) 

• kontrola grešaka unapred 

KONTROLA GREŠAKA UNATRAG 

Uz podatke se šalju dodatne (redundantne) informacije 

koje služe da se ustanovi da postoje greške, ali ne i da se 

one otklone. 

Neispravno preneseni podaci se ponovo šalju. 

KONTROLA GREŠAKA UNAPRED 

Uz podatke se šalju dodatne (redundantne) informacije 

koje služe kako da se ustanovi da greške postoje, tako i 

da se odredi njihova lokacija. 

Neispravno preneseni podaci se automatski koriguju. 

- 79 -

IZBOR METODA KONTROLE GREŠAKA 

Kako raste količina prenesenih bitova, tako se povećava i 

broj kontrolnih bitova. 

Kontrola grešaka unapred zahteva prenošenje mnogo 

veće količine redundantnih informacija pa zato: 

• u okviru jednog sistema (npr. memorija) se često 

upotrebljava metod kontrole unapred 

• između sistema (npr. telekomunikacije) se obično 

upotrebljava metod kontrole unatrag 

POUZDANOST KOMUNIKACIJE 

Pouzdanost komunikacije se predstavlja brojem bitova 

sa greškom (engl. bit error rate – BER) 

• BER je verovatnoća pojavljivanja neispravnog bita 

• računarske mreže imaju BER oko 10 -12 

• unutar računarskog sistema BER je oko 10 -18 ili manje 

TIPOVI GREŠAKA 

Postoji više tipova mogućih grešaka: 

• pogrešna vrednost bita 

• suvišan bit 

• nedostajući bit 

• zamenjena mesta bitova ili reči 

• složene greške 

METODE ZA OTKRIVANjE GREŠAKA 

Najčešće korišćene metode su: 

• kontrola parnosti 

• provera zbira bloka 

• ciklična provera redundanci 

- 80 -

KONTROLA PARNOSTI 

Kontrola parnosti je jedan od najjednostavnijih metoda 

za otkrivanje grešaka. 

Koristi se za otkrivanje pogrešnih vrednosti bitova. 

Algoritam: 

• Uz svaku n-bitnu reč se dodaje po jedan bit tako da ukupan 

broj binarnih jedinica u tako proširenoj reči bude paran (neparan) 

Pouzdanost: 

• Verovatnoća da se greška ne primeti je reda n 2 /4*BER 2 

Slabosti: 

• Greška se ne primećuje ako je izmenjen paran broj bitova 

KONTROLA PARNOSTI U 2D 

Pri prenosu bloka podataka proširuje se prethodni metod: 

• i dalje se svaka osnovna reč proširuje radi tzv. 

“horizontalne” provere parnosti 

• čitavom bloku dodaje se još jedna (proširena) reč tako da 

za svaku vrednost bita postoji dodatna “vertikalna” provera 

parnosti 

Ovim metodom se značajno umanjuje verovatnoća 

neotkrivenih grešaka 

- 81 -

PRIMER 2D KONTROLE PARNOSTI 

KONTROLA ZBIRA 

Ako je blok duži od jedne reči, često se primenjuje 

metod kontrole zbira. 

Algoritam: 

• Formira se zbir svih reči u bloku i prenese zajedno sa 

porukom. Obično se zbir skraćuje, recimo na 32 bita. Primalac 

ponovo izračunava zbir i poredi sa primljenim podatkom. 

Slabosti: 

• Ne može da prepozna greške neispravnog redosleda reči. 

CIKLIČNA PROVERA REDUNDANCI 

Prethodne metode imaju ograničene mogućnosti 

otkrivanja složenih grešaka. 

Ciklička provera redundanci (engl. Cyclic Redundancy 

Checking – CRC) otkriva: 

• sve greške na neparnom broju bitova 

• sve 2-bitne greške 

• proširene greške čija je dužina manja od broja 

redundantnih bitova 

- 82 -

Metod CRC je nešto složeniji, ali se često implementira 

hardverski. 

Počiva na: 

• aritmetici po modulu 2 (tj. bez prenosa) 

• deljenju polinoma 

• niz bitova bloka koji se prenosi se posmatra kao niz 

koeficijenata polinoma, npr. a n 

a n-1 

...a 1 

a 0 

odgovara polinomu 

M(x)=a n 

x n +a n-1 

x n-1 +...+a 1 

x+a 0 

Postupak kodiranja: 

• odabire se “polinom generator” G(x) stepena k 

• izračunava se x k M(x)/G(x). 

Dobijeni ostatak se označava sa R(x). 

• koeficijenti ostatka (njih k) se dodaju na kraj poruke 

Postupak dekodiranja: 

• primljena polinomijalna kodna reč se deli sa G(x) 

• ako je ostatak deljenja 0, nema grešaka pri prenosu 

• ako ostatak nije nula, postoje greške pri prenosu 

Postoje greške koje se ovako ne mogu otkriti, ali se 

dobrim izborom polinoma generatora njhov broj 

smanjuje. 

Dobri polinom generatori su: 

CRC-16 = x 16 +x 15 +x 2 +1 

CRC-CCITT = x 16 +x 12 +x 5 +1 

CRC-CCiTT = x 32 +x 26 +x 23 +x 16 +x 12 +x 11 +x 10 +x 8 +x 7 +x 5 +x 4 +x 2 +1 

PRIMER CRC 

Neka je: 

• niska bitova 11100110 

• polinom generator G(x)=x 4 +x 3 +1 

Koja niska bitova se šalje primaocu? 

- 83 -

Rešenje: 

• dodajemo 4 bita 0 (množimo polinom sa x 4 ) i delimo: 

111001100000 

-11001 

1011100000 

-11001 

111000000 

-11001 

1010000 

-11001 

110100 

-11001 

0110 

Na originalnu nisku dopisujemo ostatak 0110 i dobijamo: 

111001100110 

Provera po prijemu: 

• delimo: 

111001100110 

-11001 

1011100110 

-11001 

111000110 

-11001 

1010110 

-11001 

110010 

-11001 

ostatak je 0, dakle prenos je ispravan: 1100110 

METODI ZA OTKRIVANjE I ISPRAVLjANjE GREŠAKA 

Koriste se često u radu sa memorijom jer tu: 

• osim pri prenosu, postoji i mogućnost nastajanja greške pri 

zapisivanju i čitanju podataka, kao i tokom njegovog čuvanja 

- 84 -

GREŠKE U RADU SA MEMORIJOM 

Tvrdi – stalno prisutni defekti 

• usled neispravnosti memorijska ćelija nije u stanju da 

pouzdano čuva podatke i ona ih bez spoljašnjeg uzroka menja sa 

0 na 1 ili obratno. 

Mekani – prolazni defekti 

• predstavljaju slučajne izmene sadržaja jedne ili više 

memorijskih ćelija 

• obično su posledica smetnji u napajanju ili 

elektromagnetnog ili radioaktivnog zračenja 

VRSTE KODOVA 

SED (single error detection) – kôd koji omogućava 

detekciju grešaka na jednom bitu 

slično: DED, TED,... 

SEC (single error correction) – kôd koji omogućava 

korekciju grešaka na jednom bitu 

slično: DEC, TEC,... 

HAMINGOVI KODOVI 

Najprostiji kod za otkrivanje i korekciju grešaka je 

Hamingov kôd 

Naredna stranica predstavlja primer za reči dužine 4: 

• u polje koje predstavlja presek bar dva kruga upiše se po 

jedna vrednost bita 

• u preostala polja se upisuje 0 ili 1 tako da se u svakom 

krugu očuva parnost 

- 85 -

PRIMERI HAMINGOVOG SEC KODA 

a) bitovi podatka 

b) sa bitovima parnosti 

c) promena bita usled greške 

d) lokalizovana greška 

SEC-DED KODOVI 

Često se SEC(single error correction) kodovi proširuju 

tako da osim SEC obavljaju i posao DED (double error 

detection) 

Obično je za to dovoljno dodavanje svega jednog bita 

- 86 -

HAMINGOV SEC-DED KOD 

Dodaje se još jedan bit tako da je ukupan zbir bitova paran 

a) bitovi podatka 

b) bitovi parnosti 

c) promenjena dva bita 

d) lokalizovana greška 

e) ispravljena greška 

g) prepoznato da postoji greška 

ČUVANjE I PROVERA KOREKTNOSTI ZAPISA 

- 87 -

KONCEPT PROVERE 

Za reč dužine M bitova generiše se kôd dužine K 

Zapisuje se M+K bitova 

Nakon čitanja se ponovo generiše ključ K 1 i poredi sa K 

ekskluzivnom disjunkcijom: 

• ako je razlika 0, smatra se da nema greške 

Ako se za reč dužine M bitova generiše kod dužine K 

bitova: 

• ukupan broj bitova je M+K 

• broj opisa grešaka je 2 K -1 

• za SEC je potrebno da važi 2 K > M+K 

POTREBNE DUŽINE KODOVA ZA SEC 

- 88 -

PRIMER 

Dužina osnovne reči je 8 

Dužina koda je 4 

Ukupna dužina reči je 12 

Funkcija kodiranja se bira tako da vrednost kontrolnog 

bita odgovara zbiru (po modulu 2) bitova osnovne reči 

koji imaju 1 na mestu tog kontrolnog bita: 

C 1 = M 1 ⊕ M 2 ⊕ M 4 ⊕ M 5 ⊕ M 7 

C 2 = M 1 ⊕ M 3 ⊕ M 4 ⊕ M 6 ⊕ M 7 

C 3 = M 2 ⊕ M 3 ⊕ M 4 ⊕ M 8 

C 4 = M 5 ⊕ M 6 ⊕ M 7 ⊕ M 8 

Neka je reč M=10110101 

Kôd je K=1010 

Neka je kasnije izmenjen bit 5: M 1 =10100101 

Odgovarajući kôd je K 1 =0011 

Poređenje K i K 1 daje 1001, što ukazuje da je greška u 

bitu 5 

- 89 -

POKRETNI ZAREZ 

ZAPISIVANjE RAZLOMLjENIH BROJEVA 

Ceo i razlomljeni deo broja se odvojeno prebacuju u 

traženu osnovu. 

Ceo deo se zapisuje prema poznatim pravilima. 

Razlomljeni deo se zapisuje tako što se u svakom koraku 

množi osnovom u kojoj želimo da zapišemo broj. Posle 

svakog množenja celobrojni deo predstavlja cifru u 

zapisu, a razlomljeni deo se ponovo množi osnovom sve 

dok je različit od nule. 

PRIMER 

Zapisati broj 0.84375 u osnovi 4 

0 1 2 3 

0.84375 0.375 0.5 0 

0 3 1 2 

= (0.312) 4 

ZAPIS SA POKRETNIM ZAREZOM 

Broj se predstavlja kao 

 

± m * b e 

 

 

 

 

m je “značajni deo” 

b je “osnova zapisa” 

e je “eksponent” 

broj cifara značajnog dela je “preciznost” i 

označavaćemo ga sa p 

- 90 -

PRIMER 

(23.71) 10 

= (0.0926171875) 10 * 16 2 

= (0.17B5C2) 16 * 16 2 

GREŠKE PRI ZAOKRUŽIVANjU 

Zapis realnih brojeva u računaru je aproksimacija skupa 

realnih brojeva u određenom intervalu. 

Pri aproksimiranju na određeni broj decimala može doći 

do zaokruživanja, a samim tim i greške. 

Greška pri zaokruživanju se meri na dva načina: 

• Pomoću ulp-a 

• Pomoću relativne greške 

ULP 

ULP (Unit in the last place) je najmanja vrednost za koju 

se mogu razlikovati dva broja u pokretnom zarezu 

zapisana u određenoj osnovi i sa određenom preciznošću. 

Ako je broj z predstavljen u računaru kao 

d 0 ,d -1 …d -(p-1) * b e , onda je greška 

|d 0 , d -1 …d -(p-1) - (z/b e )| * b p-1 ulp-a 

PRIMER 

Neka je b=10, p=4. 

Broj z=0.034869 je predstavljen kao 

3.487 *10 -2 . Greška je: 

- 91 -

|3.487 – (0.034869/10 -2 )| * 10 3 = 

|3.487 – 3.4869| * 10 3 = 

0.0001 * 10 3 = 0.1 ulp-a 

RELATIVNA GREŠKA 

Relativna greška je apsolutna vrednost razlike realnog 

broja i njegove reprezentacije podeljena sa apsolutnom 

vrednošću realnog broja. Uvek se zapisuje u terminima 

mašinskog ε=b 1-p /2. 

PRIMER 

Neka je b=10, p=4, ε=0.0005. 

Broj z=0.034869 je predstavljen kao 

3.487 *10 -2 . Relativna greška je: 

|0.034869 – 0.03487| / |0.034869| = 

0.000028678 ≈ 0.0574ε 


Predstavljanjem brojeva u pokretnom zarezu omogućuje 

se zapisivanje vrlo velikih ili jako malih brojeva pomoću 

malog broja cifara. 

U opštem slučaju broj u pokretnom zarezu se predstavlja 

u obliku 

±d 0 ,d -1 d -2 ...d -(p-1) be 

• b-osnova 

• p-preciznost 

- 92 -

ZAPIS BROJEVA 

d 0 ,d -1 d -2 ...d -(p-1) je značajni deo i zapisuje se u 

brojčanom sistemu sa osnovom b (0≤d i < b) 

Zapis broja za koji važi da je d 0 ≠0 naziva se 

normalizovan. 

Za predstavljanje realnih brojeva u računarima koriste se 

vrednosti b=2 ili b=16. 

I za b=2 i b=16 eksponent se kodira u binarnom 

brojčanom sistemu 

Vrednost osnove se ne čuva eksplicitno jer je ista za sve 

brojeve koji se zapisuju. 

Jednostruka preciznost – za zapis brojeva se koriste 

registri dužine 32 bita 

Dvostruka preciznost – za zapis brojeva se koriste registri 

dužine 64 bita 

Zapis realnog broja sastoji se od: 

• znaka broja 

• frakcije (Niz cifara u razlomljenom delu broja n) 

• eksponenta 

ZAPIS SA BINARNOM OSNOVOM 

Zapis sa binarnom osnovom: 

• 32 bita – jednostruka tačnost 

 

1 bit za znak 

8 bita za eksponent (u zapisu sa uvećanjem 128) 

 

23 značajne binarne cifre 

• 64 bita – dvostruka tačnost 

1 bit za znak 

 

8 bita za eksponent (uvećan za 128) 

 


- 93 -


JEDNOSTRUKA TAČNOST 

PDP-11 i VAX-11 računari firme DEC 

Zapis u 32-bitnom registru: 

31 30 23 22 0 

Zna 

k 

Uvećani 

eksponen 

t 

Frakcija 

značajni deo broja se zapisuje u obliku znak i apsolutna 

vrednost. 

ZNAK 

Znak : 

0 za pozitivne 

1 za negativne brojeve 

EKSPONENT 

Eksponent se zapisuje u 8 bita na pozicijama 23-30. 

Zapisuje se uz uvećanje 128. 

Vrednosti eksponenta koje mogu da se zapišu pripadaju 

intervalu [-128,+127], odnosno [0,255] posle uvećanja za 

128. 

UVEĆANjE 128 

Bez uvećanja ne bi mogla da se pravi razlika u zapisu 

brojeva 0 i 0.1 (0=0x2 0 0.1=0.1x2 0 ) zbog implicitnog 

kodiranja prvog bita jedinicom. 

- 94 -

Sa druge strane, poželjno je da se ne pravi razlika 

između celobrojne nule i nule u pokretnom zarezu. 

FRAKCIJA 

Frakcija: 

Apsolutna vrednost broja se prevodi u binarni sistem i 

zapisuje u normalizovanom obliku uz dodatnu 

modifikaciju. Umesto oblika : 

d0, d-1...d-(p-1), d0 ≠ 0 

koristi se oblik: 

0, d0d-1...d-(p-1), d 0 ≠ 0 

Uz povećanje vrednosti eksponenta za 1. 

U zapisu sa binarnom osnovom frakcija 

d 0 d -1 d -2 ...d -(p-1) ima 24 bita, ali se u računaru predstavlja 

sa 23 binarne pozicije 0-22 jer je uvek d 0 =1, tako da je 

njegovo eksplicitno čuvanje nepotrebno. 

PRIMERI 

Broj Znak Eksponent Frakcija 

+15 0 10000100 11100...0 

-15 1 10000100 11100...0 

+1/64 0 01111011 00000...0 

0 0 00000000 00000...0 

0 00000001 00000...0 

+1x2 - 

128 


DVOSTRUKA TAČNOST 

Dva uzastopna 32-bitna registra 

- 95 -

Prvi registar – kao kod jednostruke tačnosti 

Ceo drugi registar – za dodatne cifre frakcije 

Omogućuje povećanje preciznosti, tj. veći broj cifara 

frakcije, ali ne i povećanje vrednosti eksponenta 

- 96 -

63 62 55 54 0 

Zna 

k 

Uvećani 

ekspon 

ent 

Frakcija 

31 0 

Produžetak frakcije 

ZAPIS SA HEKSADEKADNOM OSNOVOM 

Zapis sa heksadekadnom osnovom: 


 

1 bit za znak 


 



1 bit za znak 

 


 


S/360, S/370 firme IBM 

Značajan deo: znak i apsolutna vrednost. 

Znak : 

0 za pozitivne 

1 za negativne brojeve 

Znak značajnog dela je istovremeno i znak broja (kao i 

kod binarne osnove) 

Frakcija značajnog dela je takođe normalizovana. 

Zapisuje se sa 6 heksadekadnih cifara u 24 bita. 

EKPONENT 

Eksponent se zapisuje u 7 bita na pozicijama 24-30. 

Vrednosti eksponenta se zapisuju uz uvećanje za 64. 

Vrednosti eksponenta koje mogu da se zapišu pripadaju 

intervalu [-64,+63], odnosno [0,+127] posle uvećanja. 

- 97 -

UVEĆANjE ZA 64 

NULA 

Osnova b=16 se ne zapisuje u registru. 

Kao i u slučaju zapisa sa binarnom osnovom, eksponent se 

uvećava zbog zapisa nule. 

Pravilo je da se nula zapisuje kao sve nule u registru. 

FORMAT ZAPISA – JEDNOSTRUKA TAČNOST 

31 30 24 23 0 

Zna Uvećani 

Frakcija 

k ekspon 

ent 

PRIMERI 

Broj Znak Eksponent Frakcija 

+15 0 1000001 11110...0 

-15 1 1000001 11110...0 

+1/64 0 0111111 01000...0 

0 0 0000000 00000...0 

+1x16 - 

65 

0 0000000 00010...0 

FORMAT ZAPISA – DVOSTRUKA TAČNOST 

Dva uzastopna 32-bitna registra 

Prvi registar – kao kod jednostruke tačnosti 

Ceo drugi registar – dodatne cifre frakcije broja 

- 98 -

NAPOMENE 

Bez obzira na način zapisa realnih brojeva, za izabranu 

tačnost (sa binarnom ili heksadekadnom osnovom ) broj 

različitih zapisa realnih brojeva je isti, ali je gustina na 

pojedinim delovima brojčane ose različita. 

Ukoliko se poveća interval za eksponent, smanjuje se 

broj cifara frakcije koje je moguće zapisati i obratno. 

Dodatno, realnih brojeva koji mogu da se zapišu u 

jednostrukoj tačnosti ima isto koliko i celih (2 32 ) jer 

toliko ima različitih kombinacija bitova u registru dužine 

32 bita. 

IEEE 754 ZAPISI 

Standard IEEE 754 propisuje zapise: 


 

1 bit za znak 


 



 

1 bit za znak 



 

• pri tome 

Zapisi su normalizovani, tj. podrazumeva se najviša cifra 1 

Nula se zapisuje sa svim bitovima 0 

 

Najviši eksponent označava posebne NaN vrednosti 

NORMALIZOVANI BROJEVI 

Normalizovani brojevi u jednostrukoj tačnosti imaju 

eksponent izmedju 

-126 (00000001) i +127 (11111110). 

Frakcija ima oblik 

1, d -1 …d -(p-1) 

- 99 -

pri čemu se prva jedinica ne zapisuje. 

Zapis frakcije može da ima bilo koju vrednost. 

PRIMERI 

Zapisati broj 13,25 prema standardu IEEE 754 u 

jednostrukoj tačnosti 

o (13,25) 10 

= (1101,01) 2 

= (1,10101) 2 

* 2 3 

o Znak: 0 (+) 

o Eksponent sa uvećanjem 127: 

130 = (10000010) 2 

o Značajni deo sa implicitnom jedinicom: 10101 - (1,10101) 2 

o Zapis: 

0 10000010 10101000000000000000000 

Pročitati sledeći zapis: 

1 10000110 01001000000000000000000 

o Znak: 1 (-) 

o Eksponent: 134-127=7 

o Frakcija: (1,01001)2 = (1.28125) 10 

o Rešenje: (-1.28125)10 * 2 7 = (-164) 10 

ZAPIS BROJEVA U JEDNOSTRUKOJ TAČNOSTI 

BINARNA 

OSNOVA 

HEKSADEKADNA 

OSNOVA 

IEEE 754 

Znak 1 bit 1 bit 1 bit 

Eksponent 8 bitova 

Uvećanje 128 

7 bitova 

Uvećanje 64 

8 bitova 

Uvećanje 127 

Frakcija 23 bita 

0,1__________ 

(0,1 

podrazumeva 

ni deo zapisa. 

Ostalo se 

unosi u 23 

24 bita 

0,____________ 

(0, 

podrazumeva 

ni deo zapisa. 

Ostalo se 

unosi u 24 

23 bita 

1,__________ 

(1, 

podrazumeva 

ni deo 

zapisa. 

Ostalo se 

- 100 -

ita.) bita.) unosi u 23 

bita.) 

- 101 -

NaN 

NaN (Not a number) su specijalne vrednosti koje nisu 

brojevi i označavaju neke izuzetne situacije prilikom 

izračunavanja. Npr. 0/0 ili √-1 

Eksponent NaN vrednosti je maksimalan. U slučaju 

jednostruke tačnosti to je 128 (11111111). 

Frakcija mora biti različita od nule. 

Postoje takozvani 

• Signalni NaN (SNaN) i 

• Tihi NaN (QNaN). 

SNaN 

Signalni NaN signalizira izuzetno stanje kod aritmetičkih 

operacija, poređenja i konverzija. 

Zapis eksponenta u jednostrukoj tačnosti je 11111111. 

Prvi bit frakcije je 0. 

Ostatak frakcije je različit od 0. 

QNaN 

Tihi NaN predstavlja pojavu nedozvoljene operacije u 

programu. 

Propagira se kroz izračunavanje. 

Signalizira se pojava izuzeća. 

Zapis eksponenta u jednostrukoj tačnosti je 11111111. 

Prvi bit frakcije je 1. 

Ostali bitovi frakcije su proizvoljni. 

- 102 -

BESKONAČNO 

IEEE 754 standard omogućava predstavljanje beskonačnih 

vrednosti. 

Znak određuje da li se radi o +∞ ili -∞ 

Eksponent u jednostrukoj tačnosti ima vrednost 128 

(11111111). 

Frakcija je 0. 

OZNAČENA NULA 

Nula se u jednostrukoj tačnosti predstavlja eksponentom 

-127 (00000000) i frakcijom 0. 

Pošto znak može biti + ili – (0 ili 1) onda postoje i dve 

nule +0 i -0. 

Prema standardu važi +0 = -0. 

log-0 = NaN, a log+0 = -∞ 

DENORMALIZOVANI BROJEVI 

Da bi se povećala gustina realnih brojeva oko nule i 

izbegla pojava potkoračenja uvode se takozvani 

denormalizovani brojevi. 

U jednostrukoj tačnosti važi: 

• Zapis eksponenta u jednostrukoj tačnosti je 00000000 

• Frakcija je različita od nule, a vodeća jedinica se ne 

podrazumeva. Ako je frakcija f, onda je predstavljeni broj 0, f * 

2 -126 . 

PRIMER 

Neka je broj zapisan u denormalizovanom obliku kao: 

0 00000000 00010000000000000000000 

- 103 -

Radi se o broju +(0,0001) 2 * 2-126 odnosno 0.0625 * 2 -126 = 2 -130 

ZAOKRUŽIVANjE 

Zaokruživanje se vrši kada rezultat operacije ne može 

biti tačno zapisan. 

Moguće su sledeće vrste zaokruživanja: 

• Zaokruživanje na najbližu vrednost 

• Zaokruživanje prema +∞ 

• Zaokruživanje prema -∞ 

• Zaokruživanje prema nuli. 

ZAOKRUŽIVANjE NA NAJBLIŽU VREDNOST 

Pri ovoj vrsti zaokruživanja broj se zaokružuje na 

najbližu predstavljivu vrednost, uz zaokruživanje na 

parnu cifru kada je broj na sredini intervala između dve 

predstavljive vrednosti. Ovo je predefinisani način 

zaokruživanja. 

ZAOKRUŽIVANjE PREMA +∞ 

Realizuje se u dva koraka: 

• Ako je broj pozitivan i postoji bar jedna jedinica na nekoj 

poziciji desno od poslednje pozicije koja se čuva u zapisu, na 

poslednju poziciju se dodaje jedinica. 

• Bez obzira na znak odbacuju se bitovi desno od poslednje 

pozicije koja se čuva u zapisu. 

ZAOKRUŽIVANjE PREMA -∞ 

Realizuje se u dva koraka: 

• Ako je broj negativan i postoji bar jedna jedinica na nekoj 

poziciji desno od poslednje pozicije koja se čuva u zapisu, na 

poslednju poziciju se dodaje jedinica. 

- 104 -

• Bez obzira na znak odbacuju se bitovi desno od poslednje 

pozicije koja se čuva u zapisu. 

ZAOKRUŽIVANjE KA NULI 

Odbacuju se svi bitovi desno od poslednje pozicije koja 

se čuva u zapisu. 

∞ U ARITMETIČKIM OPERACIJAMA 

Sa izuzetkom operacija koje proizvode QNaN sve 

operacije koje uključuju ∞ takođe imaju ∞ kao rezultat. 

Međutim i dalje treba paziti na znak. 

QNaN U ARITMETIČKIM OPERACIJAMA 

QNaN se propagira kroz aritmetičke operacije tako da 

ostaje vidljiv na njihovom kraju. Može se pojaviti u 

sledećim slučajevima: 

• (±∞) - (±∞) 

• 0 * ∞ 

• 0 / 0, ∞ / ∞ 

• x % 0, ∞ % x 

• √x, x

je povećan eksponent. Ako pri pomeranju frakcija 

postane 0 rezultat je vrednost drugog operanda. 

Sabiranje i oduzimanje frakcija se vrše prema pravilima 

koja važe za cele brojeve u zapisu znak i apsolutna 

vrednost. Eksponent rezultata je eksponent operanada 

posle izjednačavanja. 

Ako dolazi do prekoračenja rezultat se pomera za jedno 

mesto udesno uz povećanje vrednosti eksponenta za 

jedan. Ako povećanje vrednosti eksponenta dovede do 

prekoračenja rezultat je ∞, ali uzevši u obzir i znak. 

Ako rezultat operacije nije normalizovan, pokušava se 

normalizacija. Cifre frakcije se pomeraju ulevo uz 

smanjivanje eksponenta. Može se dobiti i denormalizovan 

rezultat. 

Na kraju se vrši zaokruživanje, ako je potrebno. 

PRIMERI 

5.375+0.5625 

0 10000001 01011000000000000000000 (5.375) 

0 01111110 00100000000000000000000 (0.5625) 

1, 010110 (1.010110) 2 

+0, 001001 (posle izjedačavanja eksponenata) 

1, 011111 (1.011111) 2 

0 10000001 01111100000000000000000 

=5.9375 

5.375-0.5625 

1, 010110 (1.010110) 2 

-0, 001001 (posle izjedačavanja eksponenata) 

1, 001101 (1.001101) 2 

0 10000001 00110100000000000000000 

=4.8125 

- 106 -

IEEE754 MNOŽENjE I DELjENjE 

Jednostavnije je od sabiranja i oduzimanja jer se ne vrši 

svođenje na isti eksponent. 

x = xs x 2 x e y = y s x 2 y e 

U opštem slučaju: 

x x y = (x s * y s ) x 2 x e+ye 

x / y = (x s / y s ) x 2x e-ye 

Pri izvođenju operacija potrebno je voditi računa o 

generisanju i propagaciji specijalnih vrednosti. 

MNOŽENjE – OSNOVI KORACI ALGORITMA 

1. Proverava se postojanje specijalnih vrednosti. Ukoliko 

neki od argumenata operacije predstavlja specijalnu 

vrednost, rezultat se određuje na osnovu odgovarajućih 

pravila za specijalne vrednosti. 

2. Ukoliko je bar jedan od činilaca jednak nuli, rezultat je 0 

3. Saberu se vrednosti eksponenata i od dobijenog zbira 

oduzme uvećanje. 

Ako je došlo do prekoračenja pri ovom sabiranju, krajnji 

rezultat je ±∞ u zavisnosti od znaka brojeva x i y. 

Ako je pak došlo do potkoračenja vrednosti eksponenta, 

krajnji rezultat je pozitivna ili negativna (u zavisnosti od 

znaka brojeva x i y) nula. 

4. Pomnože se frakcije brojeva. Množenje se vrši prema 

pravilima za množenje celih brojeva zapisanih pomoću 

znaka i apsolutne vrednosti 

5. Dobijeni rezultat se normalizuje sličnim postupkom kao 

kod sabiranja. Pri tome je moguće dobiti i 

denormalizovani broj 

6. Broj (binarnih) cifara u proizvodu je dvostruko veći od 

broja cifara vrednosti koje su pomnožene; cifre koje su 

višak se odbacuju u procesu zaokruživanja 

- 107 -

DELjENjE – OSNOVNI KORACI ALGORITMA 

1. Proverava se postojanje specijalnih vrednosti. Ukoliko je 

neki od argumenata operacije specijalna vrednost, 

rezultat se određuje na osnovu odgovarajućih pravila za 

specijalne vrednosti. 

2. Ako je delilac nula, tada 

ako je deljenik ≠0, količnik je ±∞ u zavisnosti od 

znaka x 

ako je deljenik =0, tada je rezultat NaN 

3. Oduzmu se vrednosti eksponenata i na dobijenu razliku 

doda uvećanje. 

Ako je došlo do prekoračenja pri ovom sabiranju, krajnji 

rezultat je ± ∞ u zavisnosti od znaka brojeva x i y. 

Ako je pak došlo do potkoračenja vrednosti eksponenta, 

krajnji rezultat je pozitivna ili negativna (u zavisnosti od 

znaka brojeva x i y) nula. 

4. Podele se frakcije brojeva. Deljenje se vrši prema 

pravilima za deljenje celih brojeva zapisanih pomoću 

znaka i apsolutne vrednosti 

5. Dobijeni rezultat se normalizuje sličnim postupkom kao 

kod sabiranja. Pri tome je moguće dobiti i 

denormalizovan broj 

6. Dobijeni količnik se zaokružuje prema pravilima za 

zaokruživanje 

- 108 -


DEKADNA OSNOVA 

BROJEVI 

Brojevi mogu biti 

• Konačni brojevi (brojevi čije vrednosti mogu da budu tačno 

prikazane) 

• Specijalne vrednosti. 

Brojevi su zapisani pomoću 

• Znaka broja (0 za pozitivne, 1 za negativne) 

• Frakcije. Frakcija se zapisuje kao celobrojna vrednost koja 

je veća ili jednaka nuli. 

• Eksponenta. 

U zavisnosti od kombinacije vrednosti eksponenta i 

frakcije zapisani broj predstavlja konačan broj ili 

specijalnu vrednost. 

DPD 

DPD je zasnovan na principu dekadnog kodiranja: do tri 

dekadne cifre se kodiraju pomoću 10-bitnog polja 

nazvanog dekleti. 

Za kodiranje se koristi poboljšana varijanta Chen-Ho 

algoritma kodiranja. 

Vrednost broja je 

(-1) znak x frakcija x 10 eksponent 

- 109 -

DPD FORMAT ZAPISA – JEDNOSTRUKA TAČNOST 

Z 

1 bit 

K 

5 bita 

NE 

6 bita 

NF 

20 bitova 

Z - Znak broja 

K - Polje sa kombinacijom 

NE - Nastavak eksponenta 

NF - Nastavak frakcije 

Vrednost broja predstavljenog u pokretnom zarezu 

pomoću dekadne osnove se određuje na sledeći način: 

1. Ako su 5 bitova kombinacije u intervalu 00000-11101, 

tada je u pitanju konačan broj. Tih 5 cifara kodiraju dva 

bita najveće težine uvećanog eksponenta i cifru najveće 

težine frakcije. Ostatak od 6 bita u polju NE predstavlja 

nastavak eksponenta. 

2. Ako su 5 bitova kombinacije jednaki 11110, vrednost 

broja je +∞ ili -∞, u zavisnosti od znaka broja. Ostalih 6 

bitova u polju NE i nastavak frakcije nisu relevantni 

3. Ako su 5 bitova kombinacije jednaki 11111, vrednost 

broja je NaN. Ako je bit najveće težine polja NE jednak 1 

tada je vrednost SNaN; u suprotnom je QNaN. Ostalih 5 

bitova polja NE i nastavak frakcije se koriste radi bliže 

specifikacije NaN vrednosti. 

DPD KODIRANjE 

Deli cifre na 

• male (0-7) i 

• velike (8,9) 

na osnovu vrednosti prvog bita u BCD kodu 

Male cifre zahtevaju tri bita a velike jedan bit da bi se 

međusobno razlikovale 

- 110 -

Kodiranje razmatra svaku od kombinacija tri cifre 

‣ Sve tri cifre su male: potrebno je 10 bitova (3+3+3 za 

cifre, 1 bit da označi ovu kombinaciju) 

‣ Dve cifre su male: potrebno je 7 bitova za cifre (3+3+1); 

preostala 3 bita označavaju kombinaciju 

‣ Jedna cifra je mala: potrebno je 5 bitova za cifre 

(3+1+1); preostalih 5 bitova označavaju kombinaciju 

‣ Sve cifre su velike: potrebno je 3 bita za cifre (1+1+1); 

preostalih 7 (potrebno je samo 5) označavaju 

kombinaciju 

Dve cifre najveće težine eksponenta i cifra najveće 

težine frakcije se određuju na sledeći način: 

• Ako su 5 bitova kombinacije u intervalu 0xxxx- 

10xxx, tada su dva bita najveće težine kombinacije 

dva bita najveće težine eksponenta, a vrednost cifre 

najveće težine frakcije je vrednost dekadne cifre 

zapisane pomoću tri cifre najmanje težine 

kombinacije. 

• Ako su 5 bitova kombinacije u intervalu 110xx- 

1110xx, predstavimo bitove u kombinaciji kao 

11e 1 e 2 f. Tada je dekadna vrednost cifre najveće 

težine frakcije jednaka 8+f, dok su e 1 e 2 cifre 

najveće težine eksponenta. 

- 111 -

DPD SHEMATSKI PRIKAZ KODIRANjA 

Cifre C 1 C 2 C 3 zapisane u BCD zapisu 

postaju 

(abcd)(efgh)(ijkm) 

(pqr)(stu)(v)(wxy) 

gde je: 

aei pqr stu v wxy Komentar 

000 bcd fgh 0 jkm Sve cifre su male 

001 bcd fgh 1 00m Krajnje desna cifra je velika 

010 bcd jkh 1 01m Srednja cifra je velika 

100 jkd fgh 1 10m Krajnje leva cifra je velika 

110 jkd 00h 1 11m Krajnje desna cifa je mala 

(ostale dve su velike) 

101 fgd 01h 1 11m Srednja cifra je mala (ostale dve 

su velike) 

011 bcd 10h 1 11m Krajnje leva cifra je mala (ostale 

dve su velike) 

111 00d 11h 1 11m Sve cifre su velike; dva bita se 

ne koriste 

- 112 -

DPD SHEMATSKI PRIKAZ DEKODIRANjA 

Cifre 

postaju 

(pqr)(stu)(v)(wxy) 

(abcd)(efgh)(ijkm) 

koje predstavljaju BCD zapis cifara C 1 C 2 C 3 

vwxst 

abcd efgh ijkm 

0.... 0pqr 0stu 0wxy 

100.. 0pqr 0stu 100y 

101.. 0pqr 100u 0sty 

110.. 100r 0stu 0pqy 

11100 100r 100u 0pqy 

11101 100r 0pqu 100y 

11110 0pqr 100u 100y 

11111 100r 100u 100y 

gde tačka (’.’) označava da je sadržaj na toj poziciji nebitan. 

- 113 -

UVOD U ORGANIZACIJU RAÄUNARA - Alas

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

UVOD U ORGANIZACIJU RAÄUNARA - Alas