integrali_u_mehanici.. - Alas

Primene integrala u mehanici
Ivana Stamenov, Branko Nikolić, Mladen Zekić
Maj 2007.
1 Osnovni pojmovi
Osnovni pojam mehanike je kretanje. Kretanje je neprekidna promena
položaja jednog tela tokom vremena, u odnosu na neko drugo, referentno, telo.
Za referentno telo čvrsto vezujemo referentni sistem, koji se realizuje pomoću
nekog koordinatnog sistema. Najčešće je to Dekartov pravougli koordinatni
sistem. Uglavnom ćemo razmatrati kretanje samo jedne tačke, koja se zove
materijalna tačka. Materijalna tačka dobro zamenjuje konačno veliko telo, pod
uslovom da su njegove dimenzije zanemarljivo male, u odnosu na dimenzije
prostora u kome se kretanje dogadja. Uzmimo da se telo kreće pravolinijski.
Jednu od koordinatnih osa, na primer apscisu, usmerimo u pravcu kretanja. U
ovako izabranom koordinatnom sistemu položaj tela odredjen je samo jednom
koordinatom, jer se preostale dve ne menjaju tokom vremena. Kretanje tela
opisano je parametarskom jednačinom trajektorije (putanje) x = x(t), koja
pokazuje koliko je u svakom trenutku vremena telo daleko od koordinatnog
početka O.
Neka se telo u trenutku t nalazi u tački A, a trenutak kasnije, t + ∆t, u tački
B. Predjeni put za interval vremena ∆t, jednak je dužini duži AB koju ćemo
da označimo sa ∆x = x(t + ∆t) − x(t). Po definiciji srednja brzina na ovom
intervalu puta jednaka je:
x(t + ∆t) − x(t)
< v >= = ∆x
∆t ∆t .
U zavisnosti od toga da li je srednja brzina konstantna ili promenljiva,
kretanja se dele na jednolika (ravnomerna) i promenljiva (neravnomerna). U
slučaju neravnomernog kretanja, ako se smanjuje interval vremena ∆t, menja
se i vrednost srednje brzine. Medjutim, počev od nekog dovoljno malog intervala
vremena ona počinje da teži, ravnomerno, sasvim odredjenoj graničnoj
vrednosti. Granična vrednost kojoj teži srednja vrednost brzine kada se vremenski
interval beskonačno smanji, naziva se trenutna brzina.
v = lim < v >= lim
∆t→0 ∆t→0
x(t + ∆t) − x(t)
.
∆t
1

Ovaj izraz jednak je, po definiciji, vrednosti prvog izvoda x koordinate po
vremenu, u datom trenutku vremena t. Trenutna brzina v u tački A, u kojoj se
telo tada nalazi, jednaka je:
v = dx(t) .
dt
U slučaju promenljivog kretanja brzina je funkcija vremena v = v(t). Promenu
brzine tela u jedinici vremena odredjujemo novom fizičkom veličinom, ubrzanjem
a. Ubrzanje kod pravoliniskog kretanja stoji u istom odnosu prema brzini
u kojem brzina stoji prema predjenom putu. Neka su t i t + ∆t trenutne brzine
tela v(t) i v(t + ∆t), respektivno. U posmatranom intervalu vremena brzina se
promenila za iznos ∆v = v(t + ∆t) − v(t). Srednje ubrzanje < a > za dato
vreme ∆t iznosi:
< a >= ∆v v(t + ∆t) − v(t)
= .
∆t ∆t
Trenutno ubrzanje a, jednako je graničnoj vrednosti kojoj teži srednje ubrzanje
kada interval vremena ∆t teži nuli.
v(t + ∆t) − v(t)
a = lim < a >= lim
= dv
∆t→0 ∆t→0 ∆t dt = d2 x
dt 2 .
Trenutno ubrzanje jednako je prvom izvodu brzine po vremenu, ili drugom
izvodu koordinate po vremenu.
Ukoliko tačno znamo kako ubrzanje zavisi od vremena, integracijom poslednje
jednakosti moguće je odrediti brzinu u zavisnosti od vremena, a još jednom
integracijom, brzine po vremenu, i zavisnost koordinate od vremena, ili zakon
puta. Zaista, ako uzmemo da je u početnom trenutku t = 0 brzina tela v 0 , a u
tekućem trenutku v, integracijom diferencijalnog izraza dv = a(t)dt, nalazimo:
odakle sledi:
∫ v
v 0
dv =
∫ t
0
a(t)dt,
v = v 0 +
∫ t
0
a(t)dt.
Za prvolinijsko kretanje konstantnim ubrzanjem (jednakoubrzano kretanje)
biće jednostavno: v = v 0 +at. Dakle, brzina za kretanje sa konstantnim ubrzanjem
je linearna funkcija vremena. Ovaj rezultat je dobro poznat iz srednje škole.
Za dalje izlaganje biće nam potrebno da uvedemo još dve važne fizičke
veličine: masu i silu. Kaže se da je masa kvantitativna mera inercijalnih i gravitacionih
osobina tela. Inercijalne osobine tela su njihovo unutrašnje svojstvo,
nezavisne od prostornih i vremenskih promenljivih, a izražavaju se fizičkom
veličinom inercijalnom masom. U gravitacionom polju Zemlje sva tela bez
obzira na njihovu inercijalnu masu imaju isto ubrzanje g. Ova činjenica pruža
nam mogućnost da uporedjivanjem gravitacione sile (sile teže) merimo mase
2

tela. Naravno, u osnovi ovog metoda leži važna pretpostavka da su inercijalne
i gravitacione mase jednake.
Sila dovodi do promene tipa kretanja, do ubrzavanja tela, ili do njegovog
deformisanja. Izvor sile je u telima koja okružuju posmatrano telo. Bez obzira
na fizičku prirodu sile, da bismo je tačno odredili moramo da zadamo njenu
napadnu tačku, pravac, smer i intenzitet. Moramo, dakle, obavezno da vodimo
računa o njenoj vektorskoj prirodi.
Takodje, od izuzetnog značaja u sledećem poglavlju će nam biti i drugi Njutnov
zakon. On uspostavlja vezu izmedju ubrzanja i sile. Ovaj zakon uvodi pojam
impulsa. Impuls je jednak proizvodu mase i brzine tela. Jedna od formulacija
drugog Njtnovog zakona je: Ako na materijalnu tačku deluje sila, brzina
promene njenog impulsa jednaka je tačno ovoj sili. Simbolički pišemo:
d⃗p
dt = ⃗ F ,
gde je F rezultanta svih sila koje deluju.
2 Rad, snaga i energija
Jedna od najvažnijih posledica Njutnovog zakona je zakon održanja energije.
Ovde ćemo govoriti samo o mehaničkom obliku energije. Pre toga
potrebno je da derfinišemo pojmove kao što su rad sile, snaga, kinetička i potencijalna
energija.
Ograničićemo se na kretenje duž prave linije, to jest na kretanje u svetu jedne
dimenzije. Uzmimo da na telo deluje sila koja zavisi samo od koordinate x,
oblika F = F (x). Osnovna jednačina dinamike za ovakvu silu je:
m d2 x
= F (x), (1)
dt2 gde je m masa tela. Da bismo našli x kao funkciju vremena, potrebno je
rešiti diferencijalnu jednačinu. Rešenje sadrži dve proizvoljne konstante, koje se
odredjuju zadavanjem početnog položaja x 0 i početne brzine v 0 . Ako pomnožimo
jednakost (1) sa pomerajem dx, i izrazimo ubrzanje pomoću brzine, imamo:
Iskoristimo sada sledeći identitet:
m dv dx = F (x)dx. (2)
dt
( )
dv
1
dt dx = vdv = d 2 v2 ,
a onda (2) napišimo u obliku:
( ) 1
d
2 mv2 = F (x). (3)
3

U zagradi lako prepoznajemo kinetičku energiju tela. Označimo je sa K.
K = 1 2 mv2 .
Izrazimo formulu (3) pomoću kinetičke energije:
dK = F (x)dx. (4)
Sada možemo da pristupimo integraciji jednakosti (4), vodeći računa o početnim
uslovima:
∫ v
dK =
v 0
Kao rezultat integracije dobijamo:
K − K 0 =
∫ x
x 0
F (x)dx.
∫ x
x 0
F (x)dx, (5)
gde je K 0 = 1 2 mv2 0 početna kinetička energija čestice. Da bismo izračunali
integral na desnoj strani jednakosti (5), potrebno je da poznajemo zakon sile
F (x). Medjutim u opštem slučaju taj integral možemo da izrazimo kao razliku
vrednosti neke funkcije P (x), koja zavisi od koordinate, na sledeći način:
P (x) − P (x 0 ) = −
∫ x
x 0
F (x)dx. (6)
Ovo je definicija potencijalne energije. Znak minus nam je potreban, jer da
nije njega izraz (6) bismo mogli da shvatimo kao vrednost odredjenog integrala
izraženu pomoću primitivne funkcije. Kombinujući sada jednakosti (5) i (6)
dobijamo:
K − K 0 = P (x 0 ) − P (x),
odnosno:
K + P (x) = K 0 + P (x 0 ). (7)
Dobili smo da zbir kinetičke i potencijalne energije ima istu vrednost na početku
kretanja i u bilo kojem kasnijem trenutku, koji odgovara koordinati x. Početni
uslovi kretanja x 0 i v 0 odredjuju konstantu integracije K 0 + P (x 0 ) = E, koja je
konstanta kretanja. Ovu konstantu zavemo mehaničkom energijom E. Jednačina
(7) je zakon održanja energije.
K + P (x) = K 0 + P (x 0 ) = E = const.
Uvedimo pojam elementarnog rada sile F , na sledeći način:
dA = F (x)dx
Rad koji izvrši sila pri premeštanju iz tačke x 0 u tačku x, jednak je:
Primetimo da je
A x0x =
∫ x
x 0
F (x)dx.
K − K 0 = A x0 x = P (x 0 ) − P (x). (8)
4

3 Rad u gravitacionom i električnom polju
Kulonov zakon: Neka tela (materijalne tačke) 1 i 2 imaju naelektrisanja q 1 i q 2 .
Tada je sila koja deluje izmedju njih jednaka
F (r) = k q 1q 2
r 2 ,
gde je r rastojanje medju njima.
Njutnov zakon gravitacije: Neka tela (materijalne tačke) 1 i 2 imaju mase
m 1 i m 2 . Tada je sila koja deluje izmedju njih jednaka
F (r) = −γ m 1m 2
r 2 ,
gde je r rastojanje medju njima, a γ gravitaciona konstanta.
Fiksirajmo koordinatni sistem za nepokretno telo 1. Rad izvršen pri premeštanju
tela 2 sa koordinate x 1 u koordinatu x 2 jednak je:
A 12 (x 1 , x 2 ) = C
∫ x2
x 1
x −2 dx = C(1/x 1 − 1/x 2 ),
Gde je C = kq 1 q 2 u slučaju naelektrisanih tela, a C = −γm 1 m 2 u slučaju
masivnih tela.
Potencijalna energija u oba slučaja jednaka je:
P (x) = C x + C 0.
Neka je
tj.
lim P (x) = 0
x→∞
P (x) = C x . (9)
Može se pokazati da Njutnov zakon gravitacije važi i kada se telo 1 zameni
homogenom loptom mase m 1 , pri čemu r predstavlja rastojanje tela 2 od centra
lopte. Sila kojom Zemlja privlači telo mase m jednaka je
Mm
F = −γ
(R + h) 2 , (10)
gde je M masa Zemlje, R poluprečnik zemlje, a h nadmorska visina na kojoj
se telo nalazi. Mnogo poznatija konstanta je ubrzanje Zemljine teže. Za tela
blizu površine Zemlje važi R >> h, pa je
F = −γ Mm
R 2 .
Odavde sledi da je ubrzanje tela u blizini površine Zemlje jednako
g = a = F m = −γ M = const. (11)
R2 5

4 Primeri
1. Koliki rad treba da izvrši telo mase m da bi se udaljilo sa površine Zemlje
poluprečnika R na visinu h? Čemu je jednak rad ako se telo beskonačno udalji
od Zemlje?
Rešenje. Koristći ranije oznake imamo x 0 = R i x = R + h.
Iz (8) (9) i (10) imamo
A x0 x = P (x 0 ) − P (x) = −γMm( 1 x 0
− 1 x ) = −γMmx − x 0
x 0 x .
Iz (11), vraćanjem na oznake iz zadatka imamo:
h
A (R)(R+h) = −γMm
R(R + h) = g Rh
R + h .
A (R)(R+h) je rad gravitacione sile i on je negativan jer je g negativno. Pozitivan
rad A koji treba da izvrši spoljašnja sila, pod pretpostavkom da je krajnja brzina
jednaka nuli, po zakonu održanja energije, jednak je A = −A (R)(R+h) .
Prelaskom na graničnu vrednost kada h → +∞, nalazimo da je A ∞ =
−mgR.
2. Koliki rad treba izvršiti da bi se kosmički brod mase m preneo na mesec najbližim
putem? (dati su M z , M m , mase Zemlje i Meseca, R z , R m , poluprečnici
Zemlje i Meseca, r rastojanje izmedju Zemlje i Meseca)
Rešenje. Postavimo centar koordinatnog sistema u centar Zemlje, x osu u
prvcu Zemlja-Mesec tako centar Meseca bude u x = r. Sila koja deluje na telo
mase m u tački x ∈ [R z , r − R m ] iznosi
F (x) = −γ M zm
x 2
+ γ mM m
(r − x) 2 .
Spoljašnja sila mora da vrši rad dok god je F (x) < 0.
F (x m ) = 0 ⇔
r
x m
= 1 +
√
Mm
M z
Za x > x m F (x) > 0 jer je F (x) o vigledno rastuća funkcija.
Potencijalna energija tela u tački x jednaka je
Traženi rad jednak je
P (x) = −γ M zm
x
+ γ mM m
(r − x) = −γm(M z
x
− M m
r − x ).
A = P (x m ) − P (R z ),
gde P (x m ) i P (R z ) zavise samo od datih podataka.
5 Literarura
1. D.Krpić: Fizička mehanika
2. I.E.Irodov: Zadaci iz opšte fizike
6