Miroslav Kuka - Kuka-grosmeister.com

Mr Miroslav Kuka
Vesna Mijailovi}
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE
za V I VI razred
sa teorijskim osnovama i re{enjima
MMI

PREDGOVOR
Ovom zbirkom zadataka obuhva}eno je celokupno gradivo matematike koje
u~enici treba da savladaju u osnovnoj {koli, na nivou V i VI razreda. Posebno smo
obratili pa`nju da sadr`aji zadataka u~enicima budu pristupa~ni, tako da pomo}u njih
mogu da shvate pojedine matemati~ke zakonitosti, njihovu me|usobnu povezanost,
svakodnevnu primenljivost itd. S obzirom na namenu, svaki zadatak u ovoj zbirci ima
re{enje. U ve}ini re{enja je pored toga ostalo ne{to nedore~eno, tako da }e u~enik
imati svuda po ne{to da zaklju~i sam. Ovakav na~in re{avanja zadataka trebalo bi uvek
primenjivati, jer se tako uveliko umanjuju kumulativne gre{ke pri ra~unanju, {to je na
svim, a posebno na osnovno{kolskom uzrastu ~esta pojava.
Zbirka je koncepcijski zami{ljena i kao priru~nik sa teorijskim uvodom svake
od obuhva}enih matemati~kih celina, {to sa svoje strane, po mi{ljenju autora, pored
homogenizacije gradiva i njima komplementarnih zadataka, inicira i razvija
interesovanje u~enika za tako koncipirane sadr`aje.
Na kraju smatramo svojim prijatnim dugom da se najsrda~nije zahvalimo
svojim porodicama, recenzentima, prof. Verici Radojkovi}, dipl. astrofizi~aru Tatjani
Milovanov, Jeleni Vukovi} i Aleksandri Kne`evi} na podr{ci, sugestijama i tehni~koj
realizaciji ovako koncipirane zbirke zadataka.
Autori

SADR@AJ
Za{to i kako raditi zadatke iz matematike?
V RAZRED
1. SKUPOVI
1.1. SKUPOVI I PODSKUPOVI
1.2. UNIJA, PRESEK I RAZLIKA SKUPOVA
Teorijske osnove sa primerima ......................................................3
Zadaci za samostalan rad..............................................................4
Re{enja ...........................................................................................6
1.3. SKUP PRIRODNIH BROJEVA. URE\ENJE U SKUPU No
1.4. IZRAZ SA PROMENLJIVOM
Teorijske osnove sa primerima ......................................................8
Zadaci za samostalan rad..............................................................9
Re{enja .........................................................................................10
2. SKUPOVI TA^AKA
2.1. GEOMETRIJSKE FIGURE KAO SKUPOVI TA^AKA
2.2. UNIJA, PRESEK I RAZLIKA SKUPOVA TA^AKA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................11
Zadaci za samostalan rad............................................................14
Re{enja .........................................................................................15
2.3. KRU@NA LINIJA, KRU@NICA I KRUG
2.3.1. DVE KRU@NICE
Teorijske osnove sa primerima ....................................................16
Zadaci za samostalan rad............................................................18
Re{enja .........................................................................................19
3. UGAO
3.1. UGAO (NASTANAK, ELEMENTI, OBELE@AVANJE)
3.2. CENTRALNI UGAO, KRU@NI LUK, TETIVA I MERENJE UGLOVA
3.3. SABIRANJE I ODUZIMANJE UGLOVA
3.4. GRAFI^KO SABIRANJE I ODUZIMANJE UGLOVA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................23
Zadaci za samostalan rad............................................................29
Re{enja .........................................................................................30

3.5. SUSEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNI UGLOVI
Teorijske osnove sa primerima ....................................................33
Zadaci za samostalan rad............................................................34
Re{enja .........................................................................................35
3.6. PARALELNE PRAVE S TRANSVERZALOM I UGLOVI KOJE ONE ^INE
3.7. UGLOVI SA PARALELNIM I NORMALNIM KRACIMA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................38
Zadaci za samostalan rad............................................................40
Re{enja .........................................................................................41
4. DELJIVOST BROJEVA
4.1. OSNOVNI POJMOVI
4.2. PRAVILA O DELJIVOSTI BROJEVA
4.3. RASTAVLJANJE SLO@ENOG BROJA NA PROSTE ^INIOCE
4.4. ZAJEDNI^KI ^INILAC (DELILAC), NAJVE]I ZAJEDNI^KI ^INILAC
(DELILAC) I NAJMANJI ZAJEDNI^KI SADR@ALAC
Teorijske osnove sa primerima ....................................................45
Zadaci za samostalan rad............................................................50
Re{enja .........................................................................................51
5. RAZLOMCI
5.1. POJAM RAZLOMKA I ME[OVITOG BROJA
5.2. DECIMALNI RAZLOMCI
Teorijske osnove sa primerima ....................................................55
Zadaci za samostalan rad............................................................57
Re{enja .........................................................................................59
5.3. PRO[IRIVANJE I SKRA]IVANJE RAZLOMKA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................61
Zadaci za samostalan rad............................................................63
Re{enja .........................................................................................64
5.4. SABIRANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................65
Zadaci za samostalan rad............................................................67
Re{enja .........................................................................................68
5.5. SABIRANJE I ODUZIMANJE DECIMALNIH BROJEVA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................70
Zadaci za samostalan rad............................................................70
Re{enja .........................................................................................71

5.6. MNO@ENJE I DELJENJE RAZLOMAKA
5.7. MNO@ENJE I DELJENJE DECIMALNIM BROJEM
5.8. BROJNI IZRAZI
Teorijske osnove sa primerima ....................................................71
Zadaci za samostalan rad............................................................74
Re{enja .........................................................................................76
5.9. JEDNA^INE I NEJEDNA^INE U VEZI SA OSNOVNIM RA^UNSKIM
OPERACIJAMA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................79
Zadaci za samostalan rad............................................................81
Re{enja .........................................................................................83
5.10. RAZMERA I PROPORCIJA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................87
Zadaci za samostalan rad............................................................89
Re{enja .........................................................................................89
6. OSNA SIMETRIJA
6.1. SIMETRIJA U ODNOSU NA RAVAN
Teorijske osnove sa primerima ....................................................91
Zadaci za samostalan rad............................................................92
Re{enja .........................................................................................92
6.2. OSNA SIMETRIJA JEDNE FIGURE
6.3. SIMETRALA DU@I
6.4. SIMETRALA UGLA
Teorijske osnove sa primerima ....................................................95
Zadaci za samostalan rad............................................................95
Re{enja .........................................................................................96
Teorijske osnove sa primerima ....................................................97
Zadaci za samostalan rad............................................................98
Re{enja .........................................................................................99
Teorijske osnove sa primerima ..................................................101
Zadaci za samostalan rad..........................................................103
Re{enja .......................................................................................103

VI RAZRED
1. CELI BROJEVI
1.1. SKUP CELIH BROJEVA. APSOLUTNA VREDNOST CELOG BROJA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................107
Zadaci za samostalan rad..........................................................108
Re{enja .......................................................................................109
1.2. SABIRANJE, SVOJSTVA SABIRANJA I ODUZIMANJE
Teorijske osnove sa primerima ..................................................110
Zadaci za samostalan rad..........................................................110
Re{enja .......................................................................................111
1.3. JEDNA^INE I NEJEDNA^INE U VEZI SA SABIRANJEM I
ODUZIMANJEM
Teorijske osnove sa primerima ..................................................112
Zadaci za samostalan rad..........................................................113
Re{enja .......................................................................................114
1.4. MNO@ENJE, SVOJSTVA MNO@ENJA I DELJENJE
Teorijske osnove sa primerima ..................................................118
Zadaci za samostalan rad..........................................................119
Re{enja .......................................................................................120
1.5. JEDNA^INE I NEJEDNA^INE U VEZI SA MNO@ENJEM I DELJENJEM
Teorijske osnove sa primerima ..................................................122
Zadaci za samostalan rad..........................................................123
Re{enja .......................................................................................124
2. RACIONALNI BROJEVI
2.1. SKUP RACIONALNIH BROJEVA. DECIMALNI ZAPIS RACIONALNOG
BROJA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................129
Zadaci za samostalan rad..........................................................130
Re{enja .......................................................................................131
2.2. SABIRANJE, SVOJSTVA SABIRANJA I ODUZIMANJE
Teorijske osnove sa primerima ..................................................132
Zadaci za samostalan rad..........................................................133
Re{enja .......................................................................................135

2.3. JEDNA^INE I NEJEDNA^INE U VEZI SA SABIRANJEM I
ODUZIMANJEM
Teorijske osnove sa primerima ..................................................137
Zadaci za samostalan rad..........................................................138
Re{enja .......................................................................................139
2.4. MNO@ENJE. SVOJSTVA MNO@ENJA
2.5.
p
DELJENJE (ZAPIS ) I DECIMALNI ZAPIS
q
Teorijske osnove sa primerima ..................................................142
Zadaci za samostalan rad..........................................................143
Re{enja .......................................................................................146
2.6. IZRAZI SA RACIONALNIM BROJEVIMA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................150
Zadaci za samostalan rad..........................................................150
Re{enja .......................................................................................151
2.7. JEDNA^INE I NEJEDNA^INE U VEZI SA MNO@ENJEM I DELJENJEM
Teorijske osnove sa primerima ..................................................153
Zadaci za samostalan rad..........................................................154
Re{enja .......................................................................................156
2.8. PROCENAT I PRIMENA PROCENTA
3. TROUGAO
3.1. POJAM TROUGLA
3.2. UGLOVI TROUGLA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................160
Zadaci za samostalan rad..........................................................161
Re{enja .......................................................................................162
Teorijske osnove sa primerima ..................................................164
Zadaci za samostalan rad..........................................................165
Re{enja .......................................................................................167
3.3. ODNOS STRANA TROUGLA
3.4. ODNOS STRANA I UGLOVA U TROUGLU
3.5. VRSTE TROUGLOVA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................172
Zadaci za samostalan rad..........................................................174
Re{enja .......................................................................................175

3.6. KONSTRUKCIJA UGLOVA OD 60 0 , 30 0 , 90 0 I 75 0
Teorijske osnove sa primerima ..................................................178
Zadaci za samostalan rad..........................................................179
Re{enja .......................................................................................179
3.7. PODUDARNOST TROUGLOVA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................180
Zadaci za samostalan rad..........................................................181
Re{enja .......................................................................................182
3.8. KONSTRUKCIJE TROUGLOVA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................185
Zadaci za samostalan rad..........................................................187
Re{enja .......................................................................................188
3.9. CENTAR KRUGA OPISANOG OKO TROUGLA
3.10. CENTAR KRUGA UPISANOG U TROUGLU
3.11. TE@I[TE TROUGLA
3.12. ORTOCENTAR TROUGLA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................196
Zadaci za samostalan rad..........................................................199
Re{enja .......................................................................................200
4. ^ETVOROUGAO
4.1. POJAM ^ETVOROUGLA
4.2. UGLOVI ^ETVOROUGLA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................205
Zadaci za samostalan rad..........................................................206
Re{enja .......................................................................................207
4.3. VRSTE ^ETVOROUGLA
4.4. ZAJEDNI^KE OSOBINE PARALELOGRAMA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................211
Zadaci za samostalan rad..........................................................212
Re{enja .......................................................................................213
4.5. KONSTRUKCIJE PARALELOGRAMA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................219
Zadaci za samostalan rad..........................................................221
Re{enja .......................................................................................221

4.6. TRAPEZ
4.7. DELTOID
Teorijske osnove sa primerima ..................................................229
Zadaci za samostalan rad..........................................................232
Re{enja .......................................................................................233
5. POVR[INA ^ETVOROUGLA I TROUGLA
5.1. POVR[INA PRAVOUGAONIKA
5.2. POVR[INA KVADRATA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................240
Zadaci za samostalan rad..........................................................241
Re{enja .......................................................................................242
5.3. POVR[INA PARALELOGRAMA
5.4. POVR[INA ROMBA (JEDNAKOSTRANI^NOG PARALELOGRAMA)
5.5. POVR[INA TROUGLA
5.6. POVR[INA TRAPEZA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................244
Zadaci za samostalan rad..........................................................245
Re{enja .......................................................................................246
Teorijske osnove sa primerima ..................................................248
Zadaci za samostalan rad..........................................................249
Re{enja .......................................................................................251
Teorijske osnove sa primerima ..................................................253
Zadaci za samostalan rad..........................................................254
Re{enja .......................................................................................255
5.7. POVR[INA DELTOIDA
5.8. POVR[INA ^ETVOROUGLA SA NORMALNIM DIJAGONALAMA
PRILOZI
LITERATURA
Teorijske osnove sa primerima ..................................................259
Zadaci za samostalan rad..........................................................260
Re{enja .......................................................................................262

ZA[TO I KAKO RADITI ZADATKE IZ MATEMATIKE?
Poznavanje neke nau~ne discipline ne sastoji se u tome da se zapamte ili
reprodukuju opisi pojava i formulacije njihovih zakonitosti, ve} u sposobnosti da se na
osnovu tih zakonitosti mogu re{avati konkretni problemi. U tome i jeste razlika
izme|u stru~nog i lai~kog znanja. Dakle, samo izradom zadataka i primenom teorije
koja prethodno mora biti usvojena ({to je preduslov da se zadaci uop{te mogu re{iti),
mogu}e je kod u~enika u {kolskom procesu posti}i ono ~emu se i te`i: da se znanje
koje je usvojeno pravilno i efikasno upotrebi, da se pove`u i shvate pojmovi, da se
koriste}i postoje}e znanje iniciraju ideje za nova otkri}a itd.
Proces re{avanja zadataka u velikoj meri je sli~an istra`iva~kom radu. Sli~nost
je u tome {to se u oba slu~aja do rezultata dolazi na osnovu odgovaraju}ih znanja,
uo~avanja bitnih elemenata problema, logi~kog razmi{ljanja i zaklju~aka, pri ~emu i
ma{ta mo`e da ima presudnu ulogu. Drugim re~ima, re{avanje zadataka - problema
sadr`i u ve}oj ili manjoj meri elemente kreativnosti, {to predstavlja dodatnu, veoma
va`nu komponentu procesa obrazovanja.
Ali, vratimo se postavljenom pitanju: kako i na koji na~in raditi zadatke iz matematike?
^itanje (i to vrlo pa`ljivo) zadataka jedan je od osnovnih preduslova da se
zadatak pravilno re{i. Ponekad je potrebno zadatak pro~itati i vi{e puta da bi
se shvatilo {ta je u zadatku poznato, a {ta je potrebno izra~unati. Rezultat
pravilnog ~itanja zadatka treba da bude shvatanje o kakvom se problemu radi,
{ta je u okviru njega poznato, a {ta treba odrediti.
Pravilno postaviti zadatak, tj. navesti poznate veli~ine i njihove brojne
vrednosti, kao i veli~ine kojima treba odrediti brojnu vrednost. Me|u datim
veli~inama uspostaviti matemati~ke relacije ~ijim re{enjem dolazite do izraza
koji predstavlja op{te re{enje, iz koga se, zamenom brojnih podataka,
izra~unava kona~an rezultat.
Nacrtati sliku kojom bi se predstavio problem, jer ona ~esto omogu}ava da se
mnogo lak{e vidi ono {to se "napamet" te`e shvata i primenjuje.
Biti uveren u svoje sposobnosti primene nau~enog i potvr|ivati ih na svakom
konkretnom primeru.
Nadamo se da smo ovom kratkom analizom za{to i kako raditi zadatke bar
malo pomogli u te`nji da se shvati uloga i zna~aj pravilne izrade zadataka iz
matematike. Jedino {to se od u~enika o~ekuje jeste da ulo`e ve}i napor da usvojena
teorijska znanja na ~asovima oplemene kroz ra~unske zadatke za samostalan rad.
Unapred se radujemo njihovom uspehu.

196 M. Kuka, V. Mijailovi} - Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
3.9. CENTAR KRUGA OPISANOG OKO TROUGLA
Ako u trouglu ABC (sl.19) povu~emo simetrale s 1 i s 2 njegovih strana a i b, one }e se
prese}i u nekoj ta~ki S. Kako ta ta~ka le`i na simetrali s 1 , ona je podjednako udaljena
od krajeva B i C strane a. Me|utim, ona le`i i na simetrali s 2 , pa je podjednako
udaljena od krajeva A i C strane b. Dakle, ta~ka S je podjednako udaljena od sva tri
temena trougla ABC. Ako rastojanje SA=SB=SC uzmemo za polupre~nik kruga, iz
ta~ke S, kao centra, mo`emo tim polupre~nikom opisati krug koji }e pro}i kroz sva tri
temena trougla. Za takav krug ka`emo da
je opisan oko trougla.
C
Kroz presek S simetrala s 1 i s 2 prolazi i
simetrala s 3 strane c. Naime, svaka ta~ka
a
simetrale s 3 podjednako je udaljena od
b
ta~aka A i B, a ta~ka S, kao {to smo videli,
ima tu osobinu, pa je i ona na toj simetrali.
c S
Mo`emo zaklju~iti:
A
B
Sve tri simetrale strana trougla seku se u
jednoj ta~ki, koja je centar kruga opisanog
oko trougla.
s 1 s 3
s 2
Sl. 19
3.10. CENTAR KRUGA UPISANOG U TROUGLU
U trouglu ABC (sl.20 a ) povu~ena je simetrala AD unutra{njeg ugla BAC.
Kako trougao ima tri ugla, o~igledno je da postoje i tri takve simetrale, kao {to vidimo
na (sl.20 b ): AD, BE, CF; one se sve tri seku u jednoj ta~ki O. Ta ta~ka je podjednako
a) C
b)
D
A
B
A
E
C
O
F
D
B
c)
Q
E
C
O
P
D
A
R F
B
Sl. 20

Trougao 197
udaljena od sve tri strane trougla (sl.20 c ). Zaista, ona je podjednako udaljena od
krakova AB i AC ugla BAC, jer je na simetrali AD; zatim, ona je podjednako udaljena
od krakova BA i BC ugla ABC, jer je na simetrali BE. Kako, me|utim, strane trougla
le`e na tim kracima, jasno je da je podjednako udaljena i od samih strana trougla, tj.
OP=OQ=OR. Ako rastojanje OP uzmemo za polupre~nik kruga sa centrom u O i
nacrtamo krug, on }e dodirivati strane trougla u ta~kama P, Q, R (sl.20 c ). Za takav
krug ka`emo da je upisan u trouglu.
Da bismo odredili ta~ku O, dovoljno je da povu~emo samo simetrale dva ugla trougla,
jer i tre}a prolazi kroz tu ta~ku. Zaista, svaka ta~ka simetrale CF ugla ACB
podjednako je udaljena od krakova CA i CB toga ugla, a ba{ tu osobinu ima i ta~ka O.
Stoga je i ona na toj simetrali. Na osnovu toga mo`emo zaklju~iti:
Sve tri simetrale unutra{njih uglova trougla seku se u jednoj ta~ki, koja je centar
kruga upisanog u trouglu.
3.11. TE@I[TE TROUGLA
Du` koja spaja teme trougla sa sredinom naspramne strane zove se te`i{na linija
trougla; na primer, du` CD na (sl.21 a ). Ako, npr, trougao obesimo o konac, pri~vr{}en
kod jednog temena trougla, tako da slobodno visi, vide}emo da }e te`i{na linija pasti
na istu pravu na kojoj le`i i konac (pravac viska); ona pokazuje pravac dejstva sile te`e
kojom Zemlja privla~i predmete. Otuda i naziv te`i{na linija.
a) C
b)
C
E
T
D
A
D
B
A
F
B
Sl. 21
Na (sl.21 b ) vidimo da trougao ima tri te`i{ne linije: AD, BE, CF. Sve tri te`i{ne linije
trougla seku se u jednoj ta~ki. Ta ta~ka zove se te`i{te trougla; na primer, ta~ka T na
(sl.21 b ). Pa`ljivim crtanjem i merenjem mo`emo se uveriti da te`i{te T trougla deli
svaku te`i{nu liniju na dva dela tako da je deo od temena (na primer A) do te`i{ta
dvaput ve}i od dela koji le`i izme|u te`i{ta i sredine naspramne strane (ta~ka D), tj.
2 1
AT=2DT, ili AT= AD ili DT= AD.
3 3

198 M. Kuka, V. Mijailovi} - Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
3.12. ORTOCENTAR TROUGLA
Jednu od strana trougla zovemo prema potrebi osnovica trougla, a druge dve kraci
trougla. Teme naspram osnovice zove se vrh trougla. Du`ina normale spu{tene iz vrha
na osnovicu zove se visina trougla. Na primer, na (sl.22 a ) strana AB je osnovica
trougla ABC, AC i BC njegovi kraci, C njegov vrh, CD=h njegova visina. Kako svaku
stranu trougla mo`emo izabrati za osnovicu, trougao ima tri visine; na primer h a , h b i
h c , na (sl.22 b ). Kao {to se vidi, visinu obi~no obele`avamo sa h kad je jedna (sl.22 a i
22 c ), i sa h a , h b i h c (sl.22 b ) ili sa h 1 , h 2 i h 3 (sl.22 d ) kad ih je vi{e, isti~u}i tako stranu
kojoj odgovara. Kod jednakokrakog trougla, kako smo pomenuli, za osnovicu se
obi~no uzima strana koja je ve}a ili manja od ostale dve jednake strane trougla. U
pravouglom trouglu svaka kateta je ujedno i visina trougla; ali kad se govori o visini
pravouglog trougla, obi~no se misli na onu koja odgovara hipotenuzi. Na
sl.22 c ) nacrtan je pravougli trougao KLM sa pravim uglom kod temena M; njegova
visina je MN=h.
C
a) b)
C
h
b
O
h
h
h a c
b
a
A
D
B
A
c
D
B
c) M
d)
R
h
K
N
L
h 1 h 3
P
h 2
Q
S
Sl. 22
Kod o{trouglog trougla (sl.22 b ), podno`je svake visine pada na odgovaraju}u stranu;
kod pravouglog trougla (sl.22 c ) podno`ja dve visine padaju u teme pravoga ugla, a
podno`je tre}e visine pada na hipotenuzu; kod tupouglog trougla podno`ja dveju
visina padaju na produ`etke odgovaraju}ih strana, a podno`je tre}e visine pada na
stranu koja le`i naspram tupoga ugla.
Na (sl. 22, b, c i d) vidimo da se sve tri visine (ili prave na kojima one le`e) seku u
jednoj ta~ki. Ta ta~ka zove se ortocentar trougla. Ortocentar o{trouglog trougla pada
u trougao (ta~ka O na sl.22 b ); pravouglog trougla u teme pravog ugla (ta~ka M na

Trougao 199
sl.22 c ) jer su katete ujedno i visine trougla; tupouglog trougla van trougla u presek
pravih na kojima le`e visine (ta~ka S na sl.22 d ).
Pa`ljivim crtanjem i merenjem mo`emo se uveriti da su sve tri visine jednakostranog
trougla jednake me|u sobom, tj. h 1 =h 2 =h 3 (sl.23 b ), a kod jednakokrakog trougla da
su jednake one koje odgovaraju kracima (na sl.23 a vidimo da je h 2 =h 3 ).
a)
b)
h 1
h 1
h 2
h 3
h2
h3
Sl. 23
^etiri ta~ke: centar opisanog i centar upisanog kruga, te`i{te i ortocentar zovu se
zna~ajne ta~ke trougla.
ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD
1. Konstruktivno:
a) Upi{i kru`nicu u jednakostrani~an, jednakokrak i tupougli trougao.
b) Opi{i kru`nicu oko jednakostrani~nog, jednakokrakog i tupouglog trougla.
c) Odredi te`i{te u jednakostrani~nom, jednakokrakom i tupouglom trouglu.
d) Odredi ortocentar u jednakostrani~nom, jednakokrakom i tupouglom trouglu.
2. Konstrui{i jednakostrani~an trougao ako je dat:
a) r u =1,5 cm
b) r o =3 cm.
3. Opi{i kru`nicu oko pravouglog trougla, ako je:
a) hipotenuza tog trougla 6 cm
b) te`i{na du` koja odgovara hipotenuzi 3 cm.
4. Te`i{na du` koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla deli ga na 2
jednakokraka trougla. Doka`i.
5. Nacrtaj proizvoljan tupougli trougao i konstrukcijom odredi njegov ortocentar.
6. Konstrui{i jednakostrani~an trougao ako je data visina h=4,5 cm i odredi zna~ajne
ta~ke.
7.* Pre~nik upisane kru`nice pravouglog trougla jednak je razlici zbira kateta i
hipotenuze. Doka`i.
8.* Podno`je visine koja odgovara hipotenuzi deli hipotenuzu u razmeri 1:3.
a) Izra~unaj uglove tog trougla.
b) Odredi (konstrui{i) zna~ajne ta~ke tog trougla.

200 M. Kuka, V. Mijailovi} - Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
9. Odredi ta~ku koja je podjednako udaljena od 3 grada koja su raspore|ena u
obliku trougla (konstruktivno).
10. Konstruktivno odredi ta~ku koja predstavlja benzinsku pumpu, tako da je
podjednako udaljena od 3 puta koja se seku.
RE[ENJA
1. a) Centar upisane kru`nice nalazi se u preseku simetrala uglova
s α ∩s β ∩s γ =O
OM=r u
* Kod jednakostrani~nog trougla ta~ka O je centar opisane kru`nice, centar
upisane kru`nice, ortocentar i te`i{te, tj. sve 4 karakteristi~ne ta~ke se
poklapaju.
C
B
C
sγ
sβ
O
s α
s β
O
s α
O
A M B
A
M
B
C
M
A
s β
b) O 1 =s AB ∩s BC ∩s AC
Centar opisane kru`nice trougla nalazi se u preseku simetrale stranica
OA=OB=OC=r o
C
B
sAB
C
s CB
O
s BC
s AC
s AC s CB C A
O
O
A B A B

Trougao 201
c) CC 1 ∩AA 1 ∩BB 1 =T
ST:TC 1 =2:1
BT:TB 1 =2:1
AT:TA 1 =2:1
AA 1 , BB 1 , CC 1
su te`i{ne du`i
AB 1 =B 1 C;
CA 1 =A 1 B;
AC 1 =C 1 B
C
A
B1
C
C
T
1
A1
B
A
s BC
A1
B
C
T
C1
B1
s AB
A
d) CC 1 =h c
AA 1 =h b
BB 1 = h b
CC 1 ∩AA 1 ∩BB 1 =H
H - ortocentar, B 1 H A 1
ta~ka u kojoj
se seku
A C 1
B
visine ABC.
C
B
2. Analiza:
r u =1,5 cm
1 1
ru
= ta
= ha
3 3
h=3 r u =h=3⋅1,5 cm
CC 1 =h=4,5 cm
CC 1 ∈s (osa simetrije ABC)
ACC 1 =C 1 CB (30 0 )
AC 1 C=CC 1 B (90 0 )
Lako mo`emo konstruisati
AC 1 C (USU)
Konstrukcija:
1. C∈s
2. l(C,r=h)
3. l∩s=C 1
4. C 1 =90 0 ⇒ C 1 x
5. C=30 0 ⇒ Cy
6. Cx∩Cy=A
7. l 1 (C,r=CA)
8. l 1 ∩p(AC 1 )=B
9. ABC
x
y
H C
30
90
A C 1
s
C
A C 1
l
B
l 1
B

202 M. Kuka, V. Mijailovi} - Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
b) r o =3 cm
2 2
r o = t a = ha
3 3
Konstrukcija isto kao i pod a).
2
3 cm= h
3
9 cm=2h
h=4,5 cm
3. Centar opisane kru`nice kod pravouglog trougla nalazi se na sredini hipotenuze.
a) c=6 cm
A
C 2
b) t c =3 cm
2t c =c
C 2
c=6 cm
r
C
B
Svaka ta~ka kru`nice je tre}e
teme trougla, tj. postoji
beskona~no mnogo trouglova
(razli~itih) ~iji je centar
opisane kru`nice ta~ka O.
A
C
r
r
B
r
r
r
B
4. c=2t c ⇒ AOC i COB su
jednakokraki
AO=OC(t c )
jer je: CO=OB(t c )
A
t c
t c
O
C 1
t c
5. h a ∈n, konstruisati normalu n iz
ta~ke A
(opis)
l(A,r=O 1 =O 2 )
l∩a={1,2}
s |1,2| =n
Isti postupak izvesti iz temena
B i C
h a ∩h b ∩h c =H
H∈ spolja{njoj oblasti ABC
a
C
A
h a b
1 2
C
hc
c
a
h b
B
B
H
n

Trougao 203
6. h=4,5 cm
2 2
⋅ h = ⋅ 4,5 = 4,5 : 3 ⋅
3 3
1
r u = ⋅ h =4,5:3=1,5 cm
3
r o = ( ) 2
=3 cm
t a =h a =t b =t c =h b =h c
Sve zna~ajne ta~ke se poklapaju
O u =O o =T=H
Konstrukcija:
CC 1 = h=4,5 cm
CO=3 cm
OC 1 =1,5 cm
k(O,r=3 cm)∩l{A,B}
⇒ ABC (opisana kru`nica k)
k 1 (O,r=1,5 cm) - upisana kru`nica k 1
BB 1 =AA 1 =CC 1 = t b =t a =t c =h
O centar simetrije ABC
Prave odre|ene visinama
(te`i{nim du`ima) su ose simetrije
jednakostrani~nog ABC
7.* ^etvorougao MONC je kvadrat
CM=CN=NO=OM=r
AON≅AOE
MOB≅BOE
AE=AN=b-r ∧ BE=BM=a-r
AB=AE+EB
c=b-r+a-r
c=b+a-2r
2r=a+b-c
A
b-r
N
r
C
k
B 1
h b=tb
C
O
A C1
r
r
b-r
r
O
r
M
E
h c=tc
a-r
h a=t a
a-r
A 1
B
B
c
8.* Iz ARC ⇒ α+x=90 0
Iz BRC ⇒ β+y=90 0
AR:RB=1:3
AP:PB=1:1
APC je jednakostrani~an
⇒ α=60 0 α+β=90 0 β=30 0
Centar opisane kru`nice je ta~ka P;
teme C je ortocentar (H).
A
C=H
α
x y
h c
R
β
α
P
β
B

204 M. Kuka, V. Mijailovi} - Zbirka zadataka iz matematike sa teorijskim osnovama i re{enjima
9. A, B, C - data mesta
s AB ∩s BC ∩s AC =O
|OA|=|OB|=|OC|
(osobina simetrale du`i:
da je svaka ta~ka na njoj
podjednako udaljena od
krajnjih ta~aka du`i)
sAC
C
O
sBC
A
B
sAB
10. AB, AC, BC - putevi
sα∩sβ∩sγ=O
|OM|=|ON|=|OR|
(osobina simetrale
ugla:
svaka ta~ka na njoj je
podjednako udaljena
od krakova ugla)
A
sγ
sβ
M
R
O
B
N
C
sα