Teorija signalov - diskretni sistemi in signali

UNIVERZA 

V 

MARIBORU 

Žarko ČUČEJ 

TEORIJA SIGNALOV 

Diskretni signali in sistemi 

signal˙D

CIP - Kataloški zapis o publikaciji 

Univerzitetna knjižnica Maribor 

681.51/.52(075.8) 

ČUČEJ, Žarko 

Teorija signalov: digitalni signali in sistemi/ Žarko Čučej; 

[risbe Žarko Čučej]. - Maribor: Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in 

informatiko, 2002 

ISBN . . . 

COBBIS-ID . . . 

naslov 

avtor 

TEORIJA SIGNALOV: 

Digitalni signali in sistemi 


revizija v3.02 20020225 

recenzija 

nerencenzirano 

jezik 

nelektorirano 

uredil in oblikoval Žarko ČUČEJ 

risbe 


uporabljani programi MikTeX 2.1, WinEdt 5.3, CorelDraw 7 

založba 

SPaRC 

knjižna oblika 

elektronska, kot datoteka signal D.pdf na domači strani: 

http: SPaRC.feri.uni-mb/publikacije 

vse pravice pridržane

Kazalo 

1 Vzorčenje signalov 1 

1.1 Idealno vzorčenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Spekter vzorca signala . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.3 Tipalno razmerje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.4 Rekonstrukcija zveznega signala . . . . . . . . . . . 5 

1.5 Pogreški pri končnih vzorcih . . . . . . . . . . . . . 9 

2 Diskretna Fourierova transformacija 11 

2.1 Vzorčenje signalov in njihovih spektrov . . . . . . 11 

2.2 Diskretna Fourierova transformacija . . . . . . . . 14 

2.2.1 Izpeljava DFT . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.2.2 Simetrična obrazca za DFT in IDFT . . . . 18 

2.2.3 DFT in IDFT povezujeta periodično 

se ponavljajoča izseka signala in spektra . . 19 

2.2.4 Zapis otipkov signala in njegovega spektra . 20 

2.3 Lastnosti DFT in IDFT . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.4 Krožna konvolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2.5 Računanje DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3 Hitra Fourierova transformacija 27 

3.1 Matrični zapis DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.2 Intuitivni razvoj algoritmov za FFT . . . . . . . . 28 

3.3 Grafična predstavitev FFT . . . . . . . . . . . . . 33 

3.3.1 Dualna vozlišča . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.3.2 Razmestitev dualnih vozlišč . . . . . . . . . 34 

3.3.3 Izračun dualnega vozlišča . . . . . . . . . . 34 

3.3.4 Določitev W p . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

i

ii 

KAZALO 

4 z-transformacija 39 

4.1 Laplaceova transformacija vzorca signala . . . . . . 39 

4.2 Konvergenčna območja . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.2.1 Kavzalni signali . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.2.2 Nekavzalni signali . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.2.3 Neomejeni signali . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.2.4 z transformacijski pari . . . . . . . . . . . . 43 

4.2.5 Povzetek lastnosti ROC . . . . . . . . . . . 44 

4.2.6 Vrste z-transformacije . . . . . . . . . . . . 46 

4.3 Inverzna Z transformacija . . . . . . . . . . . . . . 46 

4.4 Lastnosti z-transformacije . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.4.1 Linearnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

4.4.2 Časovni premik . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.4.3 Množenje z eksponentnim zaporedjem . . . 50 

4.4.4 Odvajanje X(z) . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

4.4.5 Zasuk signalne osi . . . . . . . . . . . . . . 53 

4.4.6 Teorem o začetni vrednosti . . . . . . . . . 53 

4.4.7 Prenosna ali sistemska funkcija diskretnega 

sistema . . . . . . . . . . . . . . . 53 

4.5 Povezava 

z-transformacije , CFT in DFT . . . . . . . . . . . 55 

5 Diskretni sistemi 59 

5.1 Diferenčne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

5.2 Transformacija analognih sistemov v diskretne . . 63 

5.2.1 Metoda enakih impulznih odzivov . . . . . 64 

5.2.2 Bilinearna transformacija . . . . . . . . . . 66 

5.3 Izvedbe IIR sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

5.3.1 Direktna izvedba . . . . . . . . . . . . . . . 67 

5.3.2 Kaskadna izvedba . . . . . . . . . . . . . . 68 

5.3.3 Paralelna izvedba . . . . . . . . . . . . . . . 69 

5.4 Načrtovanje FIR sistemov . . . . . . . . . . . . . . 70 

Seznam oznak 73 

Literatura 77 

Žarko Čučej: Teorija signalov revizija 20020225

1. Vzorčenje signalov 

Vzorčenje analognih signalov da časovno diskretni signal. Princip 

vzorčenja, ki je opisan v [23], dopolnjujemo s prikazom spektrov 

in izpeljavo Shannonovega pravila. 

1.1 Idealno vzorčenje 

Z vzorčenjem v izbranih trenutkih izmerimo vrednost analognega 

signala. To izmero imenujemo otipek. Pri idealnem vzorčenju se v 

enakomernih časovnih intervalih otipa signal. Vrši ga množenjem 

analognega signala z vlakom Diracovih impulzov (slika 1.1-1). 

v( t) 

v( nT s ) = v( t) 

( tnT s ), n = ( oo , oo ) 

v[ n] 

( tnT s ) 

v( t) ( t) 

v( nT s ) 

v[ n] 

t t 

t n 

Slika 1.1-1 

Postopek idealnega vzorčenja. 

1.2 Spekter vzorca signala 

Predpostavimo, da je spekter analognega signal frekvenčno omejen 

in oblike, ki jo kaže slika 1.2-1. Že iz obravnave periodičnih 

1

2 1. Vzorčenje signalov 

Slika 1.2-1 

Spekter (izbranega) frekvenčno 

omejenega analognega signala. 

|V ( ) 

| 

m 0 m 

signalov pa vemo, da je spekter vlaka Diracovih impulzov tak kot 

ga kaže slika 1.2-2. Kakšen pa je spekter vzorca signala? Vzorec 

 

( tnT s ) 

( n 

s ) 

 

 

 

0 

t 

( n1) 

n ( n1) 

( n2) 

T s T s T s T s T s 

1 

2 s 

T s 

t 

Slika 1.2-2 

Neskončni vlak Diracovih impulzov in njegov spekter. 

signala smo ustvarili z množenjem dveh časovnih funkcij. Ena 

opisuje potek analognega signala, drugi pa vlak Diracovih impulzov. 

Vemo, da spekter izračunamo s Fourierovo transformacijo. 

Fourierova transformacija produkta v časovnem prostoru pa je 

konvolucija spektrov v frekvenčnem prostoru, oziroma: 

v(t) · 

∞∑ 

k=−∞ 

δ(t − nT s ) ←→ V (ω) ∗ 

∞∑ 

m=−∞ 

δ(ω − mω s ) , (1.2-1) 

kjer je ω s = 2π/T s osnovna frekvenca vlaka Diracovih impulzov. 

Konvolucijo smo (pri aperiodičnih signalih)v frekvenčnem 

prostoru definirali kot: 

X(ω) = X 1 (ω) ∗ X 2 (ω) = 

∫ ∞ 

−∞ 

X 1 (ω)X 2 (ξ − ω) dω . (1.2-2) 

Vidimo, da postopek računanja konvolucije obsega frekvenčni 

premik za ξ, obrat frekvenčne osi pri X 2 okoli ordinate (zato konvolucijo 

imenujemo tudi pregib), množenje in integracijo. Postopek 

računanja konvolucije in njeno odvisnost od premika ξ smo 

opisali že v prvi knjigi (Teorija signalov: uvod v teorijo). Zato 

tukaj le povzemamo grafični prikaz računanja konvolucije (slika 

1.2-3). 


1.2 Spekter vzorca signala 3 

X 1 ( ) 

X 1 ( ) 

m m 

m 0 m m 

m 0 

m 0 m m 

 

X 2 ( ) 

m 

0 

m 

 

m 

 

m 

0 

m 

 

m 

 

Slika 1.2-3 

Prikaz računanja konvolucije. 

Upoštevana sta spektra s slike 

1.2-1 in 1.2-2. 

m 

0 

m 

m 

 

 

m 

0 

m 

m 

 

 

X( ) 

m 

0 

m 

m 

 

m 0 m m 

Iz prikaza na sliki 1.2-3 lahko sklepamo, da je spekter produkta 

analognega signal in vlaka Diracovih impulzov periodično 

se ponavljajoči spekter analognega signala. Perioda ponavljanja 

je določena s frekvenco vlaka Diracovih impulzov (slika 1.2-4).


|V ( ) 

| 

a 

Slika 1.2-4 

Prikaz nastanka spektra vzorca 

signala; 

a: spekter signala, 

b: spekter neskončnega vlaka 

Diracovih impulzov, 

c: spekter vzorca. 

b 

c 

s 

m 

m 

0 

0 

m 

n 

m 

s 

|X ( ) 

| = | V( ) n | 

s 

 

 

s 

m 

0 

m 

s 

s 

 

1.3 Tipalno razmerje 

Iz izkušnje pridobljene pri konstrukciji vzorca otipkov lahko sklepamo, 

da na obliko spektra vzorca močno vpliva razmerje frekvenc 

ω m (mejna frekvenca analognega signala) in ω s (frekvenca 

ponavljanja Diracovih impulzov). Iz slike 1.2-4 vidimo, da se 

periodično ponavljajoči se spektri analognega signala ne prekrivajo, 

če je ritem otipavanja vsaj dvakrat večji od mejne frekvence 

analognega signala. Za pojasnilo je slika 1.3-1. 

a 

|X ( ) 

| = | V( ) n | 

Slika 1.3-1 

Spekter vzorca signala; 

a: frekvenca otipavanja signala je 

premajhna (ω s < 2ω m ) - zato 

pride do prekrivanja spektrov, 

b: frekvenca otipavanja je 

ω s = 2ω m - prekrivanje izgine. 

b 

0 s 

 

s 

s 

s m m 

obmoèje prekrivanja (aliasing) 

|X ( ) 

| = | V( ) n | 

s m 0 m s s 

 

Iz prikazov spektrov vzorca signala na slikah 1.2-4 in 1.3-1 

lahko postavimo naslednji temeljni izrek vzorčenja signalov: 


1.4 Rekonstrukcija zveznega signala 5 

DEFINICIJA 1.1 (Shannonov izrek). 

Da periodično ponavljanje spektra analognega signala, ki ga povzroči vzorčenje, 

ne spremeni njegove začetne oblike, je nujen in zadosten pogoj, da velja 

neenačba: 

ω s ≥ 2ω m oziroma f s ≥ 2f m , (1.3-1) 

kjer sta f s frekvenca vzorčenja (otipavanja) analognega signala in f m 

mejna frekvenca analognega signala. Seveda velja ω s = 2πf s in ω m = 

2πf m . 

Frekvenco f s = 2f m imenujemo tudi Nyquistova frekvenca. 

1.4 Rekonstrukcija zveznega signala 

Časovni potek zveznega, determinističnega signala je povsem določen 

z inverzno Fourierovo transformacijo njegovega spektra. Če pri 

vzorčenju spoštujemo pri vzorčenju Shannonovo pravilo, potem 

lahko iz spektra vzorca izrežemo osnovni spekter med −ω m in 

ω m , ki pripada analognemu signalu. Iz njega lahko z inverzno 

Fourierovo transformacijo rekonstruiramo originalni signal (slika 

1.4-1). 

|X ( ) 

| = | V( ) n | 

s 

m 

0 

m 

|V ( ) 

| = | X( )| | | 

| | / 2| 

1, m 

=| s 

m = 

0 , | m 

| 

s 

m 

s 

 

Slika 1.4-1 

Spekter vzorca signala. 

s 

m 

0 

m 

s 

s 

 

Osnovni spekter izrežemo z idealnim nizkim sitom z mejno 

frekvenco ω m . Tako sito imenujemo tudi pravokotno okno in ga 

označimo z Π m . Zanj velja: 

{ 

1 ω ≤ |ω m | 

Π m = 

(1.4-1) 

0 drugje 

Inverzna transformacija izrezanega dela spektra - ta je enak spek-


tru zveznega signala - je določena z: 

v(t) = 1 

2π 

∫ ∞ 

−∞ 

X(ω) Π m e jωt dω (1.4-2) 

Izrazimo pravokotno okno Π m z mejami integriranja (vrednost 

integrala izven okna, to je v intervalih (−∞, −ω m ) in (ω m , ∞) je 

enaka nič): 

v(t) = 1 ∫ ωm 

X(ω)e jωt dω 

2π −ω m 

= 1 ∫ ∞ 

V (ω)e jωt dω . 

2π 

−∞ 

(1.4-3) 

Iz (1.4-3) sledi, da lahko zvezno funkcijo v(t) povsem natančno 

rekonstruiramo iz njenega vzorca, če: 

(i) 

poznamo zaporedje v[n], ki določajo vzorec signala, in če 

(ii) je interval med otipki konstanten in enak T s = 1/(2f m ) = 

π/ω m . 

Signal lahko iz vzorca rekonstruiramo tudi direktno, brez inverzne 

Fourierove transformacije. To nam omogoča Shannonova 

interpolacijska formula: 

v(t) = 

∞∑ 

n=−∞ 

v[n]S a [ω m (t − nT s )] . (1.4-4) 

Iz (1.4-4) sledi, da je Shannonova interpolacijska formula konvolucija 

otipkov s funkcijo S a (ω m ). Rekonstrukcijo signala v(t) iz 

znanih vzorcev v[n] s Shannonovo interpolacijsko formulo kaže 

slika 1.4-2. 

Slika 1.4-2 

Rekonstrukcija analognega signala 

s Shannonovo interpolacijsko 

formulo. 

v( t) 

T s 

T s 

v(2 Ts 

) Sa [ m ( t 2 Ts 

)] 

T s T s T s T s 

Veljavnost Shannonove interpolacijske formule lahko uvidimo 

iz križne simetrije Fourierove transformacije (slika 1.4-3). Iz 


1.4 Rekonstrukcija zveznega signala 7 

x( t) 

X( t) 

X( ) 

x( ) 

Slika 1.4-3 

Križna simetrija signalov in 

njihovih spektrov. 

nje sledi, da je inverzna Fourierova transformacija idealnega nizkega 

sita funkcija S a (•), vemo pa tudi, da je inverzna Fourierova 

transformacija množenja konvolucija. 

To intuitivno ugotovitev dopolnimo z dokazom. V njem upoštevajmo, 

da je spekter vzorca periodično ponavljanje spektra 

originalnega signala. Zato ga lahko opišemo s periodično funkcijo, 

katere perioda je enaka ω s , to funkcijo pa izrazimo s Fourierovo 

vrsto. Spekter te funkcije ima komponente v točkah: 

n 2π = n 2π = n 

2π = nT s , (1.4-5) 

ω s 2πf s 2π/T s 

torej so natančno tam, kjer se nahajajo otipki vzorca x(nT s ). 

Zato je od spektra, ki ga določa ta Fourierova vrsta, pa do originalnega 

signala, le korak. 

Da bomo lahko preprosto razlikovali periodične funkcije od 

ostalih, vpeljemo naslednje nove oznake: 

x p 

periodični signal oziroma funkcija, 

ki opisuje potek spektra vzorca 

X p spekter periodične funkcije x p 

□ □ □ □ 

DOKAZ (Shannonov interpolacijski obrazec) Periodično funkcijo, ki 

opisuje spekter vzorca originalnega signala, izrazimo s kompleksno Fourierovo 

vrsto: 

∞∑ 

x p (ω) = X p (nT s )e jnTsω , (1.4-6) 

n=−∞ 

kateri je Fourierov par spekter X p (nT s ). Funkcija X p (nT s ) je določena 

z obrazcem za izračun kompleksnega Fourierovega koeficienta: 

X p (nT s ) = 1 

2ω m 

∫ ωm 

−ω m 

x p (ω) e −jnTsω dω . (1.4-7) 

zahtevna snov


OPOMBA 1-1 Tu smo opustili običajno gledanje, da je signal v časovna funkcija, 

spekter pa frekvenčna. Na (1.4-6) in (1.4-7) gledamo kot na dve funkciji, 

od katerih je ena periodična, druga pa je njen Fourierov par. 

V mnogih učbenikih to razložijo z zamenjavo signalih osi (na primer v [17]). 

Ker želimo pokazati, da je ”spekter” funkcije, ki opisuje spekter vzorca enak 

vzorcu, se bomo temu izognili in dokaz izpeljali po direktni, krajši poti. 

Zapišimo sedaj enačbo (1.4-3), s katero smo določili originalni signal 

iz spektra vzorca, tako, da je določena v trenutkih t = −nT s : 

v(−nT s ) = 1 ∫ ωm 

V (ω) e jω(−nTs) dω 

2π −ω m 

= 1 ∫ ωm 

V (ω) e −jnTsω dω . (1.4-8) 

2π −ω m 

Primerjava (1.4-7) in (1.4-8) pove, da se ti enačbi ujemata do multiplikativne 

konstante natančno: 

oziroma: 

∫ 

1 

ωm 

V (ω) e −jnTsω dt 

X p (nT s ) 

v(−nT s ) = 2ω m −ω 

∫ m 

1 

ωm 

x p (ω) e −jnTst dt 

2π −ω m 

X p (nT s ) = 

= π 

ω m 

π 

ω m 

v(−nT s ) (1.4-9) 

Povezavo v (1.4-9) izkoristimo pri določitvi funkcije x p (ω). Vstavimo 

jo v (1.4-6) in dobimo: 

x p (ω) = 

∞∑ 

n=−∞ 

∑ 

∞ 

= π 

ω m 

X p (nT s ) e jnTsω = 

n=−∞ 

∞∑ 

n=−∞ 

π 

ω m 

v(−nT s ) e jnTsω 

v(−nT s ) e jnTsω (1.4-10) 

Spomnimo se, da x p (ω) opisuje periodično ponavljanje spektra V (ω). 

To pomeni, da se funkcija x p (ω) in spekter V (ω) na intervalu (−ω m , ω m ) 

povsem ujemata. Zato lahko V (ω) v (1.4-3) nadomestimo z x p (ω) oziroma 

z desno stranjo (1.4-10). Dobimo: 

v(t) = 1 ∫ ωm 

2π 

= 1 

2π 

V (ω) e jωt dω = 1 

−ω m 

2π 

( 

π ∑ ∞ 

ω m 

∫ ωm 

−ω m 

n=−∞ 

∫ ωm 

−ω m 

x p (ω) e jωt dω 

v(−nT s ) e jnTsω ) 

e jωt dω , 


1.5 Pogreški pri končnih vzorcih 9 

pokrajšamo konstante ter zamenjamo vrstni red integriranja in seštevanja: 

∞∑ 

v(t) = 

n=−∞ 

∫ 

1 

ωm 

v(−nT s ) 

2ω m 

−ω m 

e jnTsω e jnωt dω 

uredmo eksponente ter integriramo: 

v(t) = 

= 

= 

∞∑ 

n=−∞ 

∞∑ 

n=−∞ 

∞∑ 

n=−∞ 

( 

1 e 

jω m(t+T s) 

) 

v(−nT s ) 

2ω m j(t + T s ) − e−jωm(t+Ts) 

j(t + T s ) 

( 

1 e jωm(t+Ts) − e −jωm(t+Ts) ) 

v(−nT s ) 

ω m (t + T s ) 

j2 

v(−nT s ) sin [ jω(t + nT s ) ] 

ω m (t + nT s )2 

uporabimo še oznako S a za sin(·)/(·): 

v(t) = 

∞∑ 

n=−∞ 

v(−nT s ) S a 

[ 

ωm (t + nT s ) ] 

in zamenjamo (−nT s ) z (+nT s ): 

v(t) 

∞∑ 

n=−∞ 

v(nT s ) S a [ω m (t − nT s )] , (1.4-11) 

kar je že znana Shannonova interpolacijska formula. 

□ 

Iz izpeljave v dokazu sledi tudi že znana ugotovitev: 

Zvezni signal je povsem določen, če poznamo njegov vzorec v diskretnih 

trenutkih nT s ; n = 0 ± 1, ±2, . . . ,. Ker je funkcija v(nT s ) 

soda, torej v(nT s ) = v(−nT s ), je že popolnoma znana, če poznamo 

njen vzorec pri ne negativnih časih. 

□ □ □ □ 

1.5 Pogreški pri končnih vzorcih 

Shannonovo interpolacijsko formulo smo izpeljali za frekvenčno 

omejen signal. Vemo, da frekvenčno omejeni signali imajo neskončni 

časovni obseg, in obratno, časovno omejeni signali imajo 

neskončni frekvenčni obseg. Pri praktični uporabi Shannonove


interpolacijske formule smo omejeni na konče vzorce, saj drugače 

ne moremo končati računanja. Posledica tega je, da se rekonstrukcija 

frekvenčno omejenega signala razlikuje od originala za 

nek pogrešek, imenujemo ga e N . 

Število otipkov v vzorcu, ki jih upoštevamo pri rekonstrukciji 

analognega signala bodi ”N + 1, približek označimo z v N (t). Iz 

(1.4-4) izračunamo: 

in 

v N (t) = 

N∑ 

n=−N 

v N (nT s )S a [ω m (t − T s )] (1.5-1) 

e N = v(t) − v N (t) (1.5-2) 

Zlahka uvidimo, da se (1.5-1) in (1.5-1) razlikujeta le v členih, ki 

jih (1.5-1) nima, zato velja: 

e N = ∑ n>N 

v(nT s ) S a [ω m (t − nT s )] . (1.5-3) 

Energija pogreška, označimo jo z E N je enaka: 

E N = 

= 

∫ ∞ 

−∞ 

∫ ∞ 

−∞ 

|v(nT s ) − v N (t)| dt 

|S a [ω m (t − nT s )]| dt (1.5-4) 

Z upoštevanjem ortonormalnosti S a (•) izračunamo energijo pogreška: 

E N = T ∑ |v(nT s )| 2 . (1.5-5) 

n>N 

oziroma 

e N √ 2f m E N , f m = ω m 

2π 

. (1.5-6) 


2. Diskretna Fourierova 

transformacija 

Z razširitvijo digitalnih računalnikov in njihove vse pogostejše integracije 

v merilni instrumentarij, komunikacijske naprave itd - 

na to vpliva hiter razvoj mikroelektronske tehnologije in cenenost 

njihove masovne proizvodnje - je nastala želja in potreba po digitalni 

obdelavi signalov. Analogne metode spektralne analize in na 

njej temelječe obdelave signalov seveda niso primerne za reševanje 

z digitalnimi računalniki. Sicer obstajajo sistemi umetne inteligence, 

ki na osnovi ekspertnih sistemov rešujejo enačbe analogne 

obdelave signalov, vendar pa morajo biti ti predstavljeni v zaprti 

matematični obliki. To in da za že najbolj preproste probleme 

potrebujemo obsežno strojno in programsko opremo, so razlogi 

za iskanje preprostejših in učinkovitejših poti digitalne obdelave 

signalov, ki povezujejo časovni diskretni sistem s frekvenčnim. 

2.1 Vzorčenje signalov in njihovih spektrov 

Osnovno pravila vzorčenja, obliko spektra vzorca in Shannonovo 

interpolacijsko formulo smo zgradili z uporabo zvezne Fourierove 

transformacije. Sedaj pa otipajmo še frekvenčni spekter! Pri 

ustvarjanju vzorca spektra se spomnimo, da smo pri diskretizaciji 

analognega signala privzeli dve podmeni: 

1. spekter signala je frekvenčno omejen 

2. perioda Diracovih impulzov je določena s Shannonovim pravilom. 

11

12 2. Diskretna Fourierova transformacija 

Videli smo, da je posledica vzorčenja časovnega signala periodično 

ponavljanje spektra analognega signala v ritmu frekvence 

vlaka Diracovih impulzov. Kaj pa se zgodi pri tvorjenju vzorca 

spektra? 

Če otipavamo frekvenčno omejen spekter analognega signala, 

na primer z N Diracovimi impulzi v frekvenčnem prostoru, dobimo 

diskretni spekter, za katerega pa vemo, da ga imajo le periodični 

signali. Iz povezave ω = 2π/T s in analogije z dogajanji 

pri vzorčenju signala sklepamo, da je časovni signal s takšnim 

spektrom periodičen ter da ima osnovno frekvenco 2ω m /N (slika 

2.1-1). Iz tega in iz rezultatov vzorčenja zveznega signala skle- 

v( t) 

|V ) | 

t 

m 

0 

m 

 

vzorèenje 

v( tT s ) 

v( t) v( tT s ) 

|Vm ) | 

T s 

s 

 

N 

2 

 

 

m N 

m 

t 

m 

0 

2 

 

N 

 

T s 

N otipkov 

m 

 

Slika 2.1-1 

Analogni signal in njegov spekter (zgoraj). Posledica vzorčenja spektra je nastanek periodičnega 

ponavljanja originalnega signala (spodaj). 

CTF: 

Continuous Fourier 

Transformation 

ICTF: 

Inverse CTF 

pamo, da z vzorčenjem periodičnega časovnega signala dobimo 

periodični diskretni spekter; oziroma, da za poznavanje signala 

in njegovega spektra zadošča poznavanje N otipkov (ene periode) 

signala ali N otipkov (ene periode) njegovega spektra. Pri tem 

moramo določiti N s Shannonovim pravilom. 

Slika 2.1-2 kaže analogni signal in njegov spekter, vzorec analognega 

signala in njegov spekter, ki jih povezuje zvezna Fourierovo 

oziroma zvezna inverzna Fourierova transformacija - na sliki 

sta označeni s kraticama CFT in ICFT ter zvezo med vzorcem 

spektra vzorca in signalom, ki ga dobimo z inverzno diskretna 


2.1 Vzorčenje signalov in njihovih spektrov 13 

CFT 

v( t) 

|V ( ) 

| 

v( nT s ) 

|V ( ) 

| 

ICFT 

t 

m 0 

vzorèenje 

CFT 

ICFT 

m 

 

t 

m 

0 

m 

 

vzorèenje 

|V[ m ] | 

m 

0 

m 

 

m 

DFT 

v[ n] 

IDFT 

T 

t 

Slika 2.1-2 

Analogni signal in njegov spekter (zgoraj). Vzorec signala in njegov spekter določen z zvezno Fourierovo 

transformacijo (sredina), vzorčeni spekter vzorca in njegova povezava z vzorcem signala z DFT oziroma 

IDFT signala (spodaj). 

Fourierovo transformacijo. Povezava med njima je sliki označena 

s kraticama DFT in IDFT. Iz osenčenega dela slike vidimo, in to 

lahko zaključimo tudi že iz dosedanje razlage, da je ta signal (ki 

ustvari vzorec spektra vzorčenega analognega signala) periodično 

ponavljajoči se vzorec signala. 

DFT: 

Discrete Fourier 


IDFT: 

Inverse DFT


2.2 Diskretna Fourierova transformacija 

V uvodu smo si zastavili cilj, da z DFT povežemo vzorec signala 

z vzorcem spektra signala. Od transformacije zahtevamo, da je 

polna in obrnljiva, to pomeni, da obstaja tudi IDFT. To dosežemo 

le, če se število otipkov signala ujema s številom otipkov njegovega 

spektra. Želimo si tudi čimbolj simetrično zgradbo DFT in 

IDFT. Pri tem izhajamo iz spoznanj pridobljenih pri preučevanju 

vzorca signala in njegovega spektra. 

2.2.1 Izpeljava DFT 

Izhajamo iz Fourierovega integrala: 

X(ω) = 

∫ ∞ 

−∞ 

x(t) e −jωt dt , 

ki ga nadomestimo z njegovo aproksimacijo prvega reda 

2.2-1). To pomeni, da ga izračunamo po kvadratni formuli: 

(slika 

∞∑ 

X(ω) = x(nT s ) e −jωnt T s . (2.2-1) 

n=−∞ 

Vzorčimo še spekter. 

Pri tem upoštevamo, da povezujemo N 

x( t) 

x( nT s ) 

nT s 

T 

z 

nTs 

Ts 

/ 2 

nTs 

Ts 

/ 2 

x( t) dt x( nTs 

) T 

s 

t 

dt → T s 

dω → Ω 

Ω = ω m 

N = 1 N 

2π 

T s 

t → nT s 

ω → mΩ 

Slika 2.2-1 

Pravokotna aproksimacija integriranja 

otipkov v periodi vzorca signala z N otipki v vzorca njegovega 

spektra. Perioda spektra je 2ω m , otipki si sledijo v intervalu T s 


2.2 Diskretna Fourierova transformacija 15 

oziroma Ω: 

X(mΩ) = 

= 

N−1 

∑ 

n=−0 

N−1 

∑ 

n=0 

2π 

−jm 

x(nT s ) e NTs nTs 

x(nT s ) e −j 2π N mn 

} {{ } 

jedro 

T s 

T s . 

V transformacijskem jedru e −j 2π N mn vpeljimo novo oznako W N : 

e −j 2π N = WN (2.2-2) 

in obrazec za zvezno Fourierovo transformacijo (CFT) diskretnih 

signalov je: 

N−1 

∑ 

X(mΩ) = T s x(nT s )WN mn . (2.2-3) 

n=0 

Obrazec (2.2-3) povezuje m-ti otipek spektra z otipki signala. 

Vidimo, da je odvisen od konstante T s . Taka odvisnost seveda ni 

zaželena, zato so DFT definirali kot: 

X(mΩ) = 

N−1 

∑ 

n=0 

x(nT s )W mn 

N , m = 0, 1, . . . N − 1 (2.2-4a) 

in inverzno DFT kot: 

x(nT s ) = 1 −mn 

X(mΩ)WN , m = 0, 1, . . . N − 1 . (2.2-4b) 

N 

Še matrična oblika DFT in IDFT: 

analiza: DFT 

sinteza: IDFT 

[ 

X(mΩ) 

]N = [ WN 

mn ] 

N×N · [x(nT 

s ) ] N 

[ 

x(nTs ) ] N = 1 [ ] [ ] 

W 

−mn 

N 

N 

N×N X(mΩ) 

N 

(2.2-5a) 

(2.2-5b) 

Vrednosti jedra WN 

mn so koeficienti transformacijske matrike, ki 

povezuje stolpec z vektorjem otipkov signala in stolpec z vektorjem 

otipkov spektra. Določeni so z izbiro N. V kompleksni


{ W N 

} 

W 8 

5 

W 

6 8 

 

j 

W 8 

7 

Slika 2.2-2 

Predstavitev transformacijskega 

jedra WN 

mn = W 8 mn . 

W 8 

4 

1 

W 

0 

8 

8 

W8 

1 

{ } 

W N 

W 8 

3 

W 

2 j 

8 

W 

1 

8 

W 

9 

8 

 

ravnini ležijo enakomerno porazdeljeni po enotski krožnici (slika 

2.2-2). 

ZGLED 2.2-1 

Izračunajmo DFT za zaporedje otipkov x(0) = 1, x(T s ) = 0, x(2T s ) = 0 

in x(3T s ) = 1 (slika 2.2-3). 

REŠITEV: Najprej določimo koeficiente transformacijskega jedra. Imamo 

štiri otipke, torej je N = 4. Iz (2.2-2) sledi: 

e −j 2π 4 = W4 . 

Vrednosti, ki jih lahko W 4 lahko zavzame, kaže slika 2.2-3. 

{ } 

W 3 4 = W4 7 = W 

11 

4 

= ... = j 

W N 

W 4 0 = 1 

Slika 2.2-3 

Vrednosti, ki jih lahko zavzame 

W 4 . 

W 4 2 =W 

W 

4 6 = 

10 

4 

= ... = 

W 

W 

4 4 = 

8 

4 

= ... = 

W N 

{ } 

W 1 4 = W4 5 = W 

9 

4 

= ... = j 

Prvo komponento spektra izračunamo z (2.2-4) pri m = 0 in n ∈ {0, 3}. 



Dobimo: 

X(0) = 

3∑ 

x(nT s )W4 

0 

n=0 

= x(0) + x(T s ) + x(2T s ) + x(3T s ) 

= 1 + 0 + 0 + 1 = 2 . 

Vidimo, da je X(0) realen, z amplitudo 2 in faznim kotom φ(0) = 0. Drugo 

komponento spektra izračunamo pri m = 1 in n ∈ {0, 3}. Dobimo: 

X(1Ω) = 

3∑ 

x(nT s )W4 

n 

n=0 

= x(0)W 0 4 + x(T s )W 1 4 + x(2T s )W 2 4 + x(3T s )W 3 4 

= 1 · (1) + 0 · (−j) + 0 · (−1) + 1 · (+j) 

= 1 + 0 + 0 + j = 1 + j . 

Vidimo, da je ta komponenta kompleksna. Za njeno amplitudo velja 

za fazni kot pa: 

|X(1Ω)| = √ 1 2 + (j) 2 = √ 2 , 

φ(1Ω) = arctan I{X(1Ω)} 

R{X(1Ω)} = arctan 1 1 = 45o , 

Podobno računamo tretjo komponento spektra. 

n ∈ {0, 3}. Dobimo: 

Pri njej je m = 2 in 

X(2Ω) = 

3∑ 

n=0 

x(nT s )W 2n 

4 


= 1 · (1) + 0 · (−1) + 0 · (1) + 1 · (−j) 

= 1 + 0 + 0 − 1 = 0 . 

Zaključimo še izračun zadnje komponente. Pri njej je m = 4 in n ∈ {0, 3}. 

Dobimo: 

X(2Ω) = 

3∑ 

n=0 

x(nT s )W 3n 

4 


= 1 · (1) + 0 · (j) + 0 · (−1) + 1 · (−j) 

= 1 + 0 + 0 − j = 1 − j .


Slika 2.2-4 

Zaporedje x(nT s ) in njegov 

spekter, ki smo ga izračunali z 

DFT. 

( T) 

x n 

1 

0 

0 

2 

1,41 

0 

0 

45 o 

0 

-45 o 

X( m) 

( m) 

0 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√Tudi ta komponenta je kompleksna. Njena amplituda je enaka X(3T s ) = 

2, fazni kot pa je φ(3Ω) = −45 o . Amplitudni in fazni spekter sta prikazana 

na sliki 2.2-4. 

Matrični zapis izpeljane transformacije je seveda bolj kompakten. Za 

njegovo uporabo moramo najprej določiti koeficiente transformacijske matrike. 

V našem primeru je ta dovolj majhna, da si lahko pomagamo s skico 

na sliki 2.2-3. Z uporabo matričnega računa lahko zapišemo: 

X(mΩ) = W 4 · x(nT s ) 

⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

X(0) W4 0 W4 0 W4 0 W4 

0 x(0) 1 1 1 1 1 2 

X(Ω) 

⎢ ⎥ 

⎣X(2Ω) 

⎦ = W4 0 W4 1 W4 2 W4 

3 ⎢ 

⎣W4 0 W4 2 W4 4 W4 

6 ⎥ 

⎦ · 

x(T s ) 

⎢ ⎥ 

⎣x(2T s ) ⎦ = 1 −j −1 j 

⎢ 

⎥ 

⎣1 −1 1 −1⎦ · 

0 

⎢ ⎥ 

⎣0⎦ = 1 + j 

⎢ ⎥ 

⎣ 0 ⎦ . 

X(3Ω) W4 0 W4 3 W4 6 W4 

9 x(3T s ) 1 j −1 −j 1 1 − j 

Iz matričnega zapisa je tudi lažje videti obsežnost računanja DFT. V 

obravnavanem primeru imamo 16 množenj in 16 seštevanj (potem, ko 

imamo že znane W4 mn ). ♦ 

2.2.2 Simetrična obrazca za DFT in IDFT 

Poleg zapisane oblike DFT se pogosto uporablja simetrično oblika 

obrazcev za DFT in IDFT: 



DFT X(mΩ) = √ 1 N−1 

∑ 

x(nT s ) W −nm 

N 

, (2.2-6) 

N 

m=0 

IDFT x(nT s ) = √ 1 N−1 

∑ 

X(mΩ) WN nm . (2.2-7) 

N 

m=0 

Ta obrazca sta posebej uporabna, kadar je N = 2 2b . Takrat 

je √ N = 2 b in se deljenje v (2.2-6) in (2.2-7) lahko izvede s 

preprostim pomikom rezultata v registru digitalnega signalnega 

procesorja za b bitov v desno. 

2.2.3 DFT in IDFT povezujeta periodično se 

ponavljajoča izseka signala in spektra 

Da DFT povezuje periodično ponavljanje sekvence otipkov signala 

in spektra - to smo z grafi pokazali na sliki 2.1-1 na strani 12 

– se prepričamo s primerjavo X(mΩ) z X[(m + N)Ω]: 

X(mΩ) = 

X[(m + N)Ω] = 

= 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

x(nT s )WN mn = 

n=0 

x(nT s )W (m+N)n 

N−1 

∑ 

N 

= 

x(nT s )e −j 2π N mn e −j2nπ 

ker je n celo število, velja e −j2nπ = 1, in: 

X[(m + N)Ω] = 

= 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

n=0 

x(nT s )e −j 2π N mn 

x(nT s )W mn 

N 

x(nT s )e −j 2π N mn 

n=0 

= X(mΩ) 

x(nT s )e −j 2π N mn e −j 2π N Nn 

Pri tem ni odveč ponovno poudariti, da se periodično ponavlja 

zaporedje otipkov. Če je slučajno tudi signal periodičen, in se 

njegova perioda ne ujema z začetkom in koncem otipkov zajetih 

v DFT, se perioda signala “izgubi”. Za ilustracijo naj služi 

naslednja slika (slika 2.2-5)


v( t) 

CFT 

|V ( ) 

| 

t 

ICFT 

m 

0 

m 

 

N ( t) 

Slika 2.2-5 

Ilustracija DFT periodičnega 

signala. 

m ( t) 

v( t) 

t 

CFT 

|V ( ) 

| 

t 

ICFT 

m 

0 

m 

 

m( t) v( t) 

( t) 

DFT 

|V( m ) 

| 

t 

IDFT 

m 

0 

m 

 

Vidimo, da je del signala, ki ga vzorčimo, določen s pravokotnim 

oknom Π m . Okno določi del signala, ki se periodično 

ponavlja in ta “signal” z DFT določimo Fourierovo vrsto tega signala. 

Seveda se Fourierovi vrsti originalnega signala in z oknom 

določenega signala ne ujemata, oziroma se ujemata takrat in 

samo takrat, ko se okno ujema s periodo originalnega signala! S 

problemom oken se obširno ukvarjamo v poglavju ?? na strani ??. 

2.2.4 Zapis otipkov signala in njegovega spektra 

V nadaljevanju bomo zaradi krajšega zapisa pri zapisu otipkov 

signala in spektra opustili zapis Ω in T s , torej 

X(mΩ) = X[m] in x(nT s ) = x[n] . 

S tem bomo tudi poudarili neodvisnost DFT od intervala tipanja, 

oziroma njegovo odvisnost od števila otipkov. 

OPOMBA 2-1 Vrednost Fourierove transformacije signala v trenutkih tipanja 

določa (2.2-3). Torej jo dobimo tao, da izračunano DFT pomnožimo z intervalom 

tipanja T s. 


2.3 Lastnosti DFT in IDFT 21 

2.3 Lastnosti DFT in IDFT 

DFT smo izpeljali iz zvezne Fourierove transformacije. zato upravičeno 

pričakujemo, da ima podobne lastnosti. Poglejmo. 

Linearnost 

DFT je linearna operacija: 

a x[m] + b y[m] ↔ a X[k] + b Y [k] . 

Simetričnost Simetričnost obstaja simetrija med časovnim zaporedjem 

in pripadajočim frekvenčnim zaporedjem, ki ga izračunamo 

z DFT. 

1 

x[m] ↔ X[−k] . 

N 

Časovni zamik Zakasnitev vzorca x(n) za neko konstanto, ki 

jo odštejemo od n, na primer x(n − t 0 ) povzroči fazni zamik 

frekvenčnega zaporedja, ki ga izračunamo z DFT: 

Fazni zamik 

x(n − t 0 ) ↔ X[k] W k t 0 

N 

. 

x(n) W k t 0 

N 

↔ X(k − t 0 ) . 

Sode in lihe funkcije Pri sodi časovni funkciji dobimo realno 

in sodo frekvenčno zaporedje: 

x(n) = x(−n) ↔ R{X[k]} = R{X[−k]} , 

pri lihi časovni sekvenci pa imaginarno in liho frekvenčno zaporedje: 

x(n) = −x(−n) ↔ I{X[k]} = −I{X[−k]} , 

DFT realnih in imaginarnih funkcij DFT realne časovne 

funkcije generira sodo realno in liho imaginarno frekvenčno zaporedje: 

x(n) = R{x(−n)} ↔R{X[k]} + I{X[−k]} 

R{X[k]} = R{X[−k]} 

I{X[k]} = −I{X[−k]} .


Linearna korelacija Linearno korelacijo dveh zaporedij podatkov 

lahko izračunamo tudi z DFT. V prvi knjigi smo korelacijo 

dveh končnih zaporedij podatkov definirali z: 

kakšen je potem odnos med y[n], v[n] in h[n]? Odgovor na to 

vprašanje bomo izpeljali iz definicije diskretne Fourierove transformacije: 

(2.2-4a): X[m] = 

(2.2-4b): 

x[n] = 1 N 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

m=0 

x[n] W nm 

N 

X[m] W −nm 

N 


2.4 Krožna konvolucija 23 

Z uporabo zgornjih enačb lahko zapišemo za H[k]: 

H[k] = 

Y [k] = 

N−1 

∑ 

y[n] = 1 N 

m=0 

[ N−1 

= 1 N 

h[m] e −j2πkm/N , k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 

] [ ∑ N−1 

] 

x[n] e −j2πkn/N h[m] e −j2πkm/N 

n=0 

N−1 

∑ 

k=0 

N−1 

∑ 

l=0 

[ N−1 ∑ 

l=0 

N−1 

∑ 

x[l] 

Izraz v oklepaju je: 

in zato: 

N−1 

∑ 

m=0 

∑ 

m=0 

] [ N−1 

] 

∑ 

x[l] e −j2πkl/N h[m] e −j2πkml/N 

m=0 

m=0 

h[m] 

h[m] e −j2πkml/N = 

y[n] = 1 N 

N−1 

∑ 

l=0 

[ N−1 

] 

∑ 

h[m] e j2πk(n−l−m)/N 

m=0 

{ 

N , n − l − m = 0 

N−1 

∑ 

x[l] 

0 , sicer 

m=0 

h[m]Nδ[n − l − m] 

e j2πkn/N 

Ker je impulzni odziv enak 0 povsod razen ko je m = n − l, lahko 

preoblikujemo zgornjo enačbo v: 

ciklična konvolucija: 

y[n] = 1 N 

N−1 

∑ 

N−1 

∑ 

l=0 m=0 

x[l]h[n − l] (2.4-2) 

Seštevanje preko periode se razlikuje od seštevanja po vsej časovni 

osi. Zaradi te posebnosti tudi včasih imenujemo to konvolucijo 

periodična konvolucija. Da jo bomo simbolično ločevali od linearne 

konvolucije, jo bomo označevali (ko bomo hoteli poudariti 

tip konvolucije) s simbolom ⊛: 

y[n] = x[n] ⊛ h[n] = 1 N 

N−1 

∑ 

m=0 

x[l]h[n − l] . (2.4-3)


Torej smo poiskali diskretni Fourierov par: 

x[n] ⊛ h[n] 

F 

←−−−→ X[k]H[k] , (2.4-4) 

ki ga imenujemo krožna konvolucija. Njen izračun si lahko predstavljamo 

z dvema koncentričnima krogoma, kot kaže naslednja 

slika. 

2.5 Računanje DFT 

V analizi (in sintezi) signalov je DFT zelo močno orodje. Iz 

definicij vemo, da z DFT pravzaprav aproksimiramo zvezno Fourierovo 

transformacijo. zato ponavadi želimo čim bolj velik N, 

da je pogrešek aproksimacije čim manjši. Z večanjem N pa skokovito 

narašča število množenj in seštevanj. Že za izračun ene 

komponente spektra potrebujemo (N − 1) množenj (množenje z 

x(0) = 1 · x(0) ne štejemo) in N seštevanj. Za vse komponente 

spektra pa potrebujemo: 

(N − 1) 2 množenj 

N(N − 1) 

seštevanj 

seveda, če so vsi elementi transformacije samo realni ali samo 

imaginarni. V splošnem pa imamo pri DFT opraviti s kompleksnimi 

števili. Pri računanju DFT imamo šest različnih računanj 

glede na tip števila: 

tip števila 

realno z realnim 

realno z imaginarnim 

realno s kompleksnim 

1 množenje ali 1 seštevanje 

2 množenje ali 1 seštevanje 

kompleksno s kompleksnim 

tip števila 

imaginarno z imaginarnim 

imaginarno z realnim 

imaginarno s kompleksnim 

4 množenja + 2 seštevanji ali 2 seštevanji 

Vidimo, da DFT algoritem zahteva v najbolj neugodnem (splošnem) 


2.5 Računanje DFT 25 

primeru 

4(N − 1) 2 množenj 

4N 2 − 6N 

seštevanj 

V večini primerov so x(n) realna števila, tako da za izračun DFT 

ponavadi potrebujemo: 

(N 1 ) 2 množenj realnega števila s kompleksnim 

N(N − 1) 

W m N n je razen v posebnih primerih kompleksno število! 

kompleksnih seštevanj 

Iz tega kratkega pregleda postane razumljivo, zakaj so raziskovalci 

vložili veliko truda v iskanje posebnih tehnik hitrega 

računanja DFT in IDFT. Razložili jih bomo v naslednjem poglavju.



3. Hitra Fourierova 


Hitra Fourierova transformacija na široko odprla vrata digitalnim 

signalnim procesorjem in s tem moderni obdelavi signalov. Vse 

algoritme računanja DFT, ki za svojo izvedbo potrebujejo manj 

kot (N − 1) 2 kompleksnih množenj, imenujemo hitra Fourierova 

transformacija. Za te algoritme se je uveljavila kratica FFT. 

FFT: 

Fast Fourier 


3.1 Matrični zapis DFT 

V matričnem zapisu DFT bomo upoštevali (??) in (??). Izhodiščni 

vzorec signala bomo označili z x 0 , zaradi krajšega pisanja 

bomo pri zapisu jedra izpuščali indeks N. S tem dogovorom 

lahko zapišemo: 

X(n) = 

N−1 

∑ 

k=0 

x 0 (k) W nk , n ∈ (0, N − 1) . (3.1-1) 

Z (3.1-1) smo v resnici zapisali N enačb, za vsak otipek spektra 

je ena. Na primer, če je N = 4, velja: 

X(0) = x 0 (0)W 0 + x 0 (1)W 0 + x 0 (2)W 0 + x 0 (3)W 0 

X(1) = x 0 (0)W 0 + x 0 (1)W 1 + x 0 (2)W 2 + x 0 (3)W 3 

X(2) = x 0 (0)W 0 + x 0 (1)W 2 + x 0 (2)W 4 + x 0 (3)W 6 

X(3) = x 0 (0)W 0 + x 0 (1)W 3 + x 0 (2)W 6 + x 0 (3)W 9 

27

28 3. Hitra Fourierova transformacija 

oziroma v matrični obliki lahko zapišemo: 

⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

X(0) W 0 W 0 W 0 W 0 x 0 (0) 

X(1) 

⎢ 

⎣X(2) 

⎥ 

⎦ = W 0 W 1 W 2 W 3 

⎢ 

⎣W 0 W 2 W 4 W 6 ⎥ 

⎦ · 

x 0 (1) 

⎢ 

⎣x 0 (2) 

⎥ 

⎦ 

X(3) W 0 W 3 W 6 W 9 x 0 (3) 

(3.1-2) 

3.2 Intuitivni razvoj algoritmov za FFT 

Za ilustracijo algoritma FFT je udobno, če za N izberemo število, 

ki ga izračunamo z: 

N = 2 γ , γ : celo število . (3.2-1) 

Obstajajo sicer algoritmi, ki to omejitev obidejo, vendar njihova 

zahtevnost presega namen tega zapisa. Zato bomo v nadaljevanju 

opisali le algoritme na predpostavki (3.2-1). Pri izbiri N = 4 = 2 2 

smo že upoštevali to priporočilo. 

Prvi korak pri razvoju algoritma FFT za podani primer v 

(3.1-2) je, da delno izračunamo vrednosti koeficientov W nk : 

⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

X(0) 1 1 1 1 x 0 (0) 

X(1) 

⎢ 

⎣X(2) 

⎥ 

⎦ = 1 W 1 W 2 W 3 

⎢ 

⎣1 W 2 W 0 W 2 ⎥ 

⎦ · 

x 0 (1) 

⎢ 

⎣x 0 (2) 

⎥ (3.2-2) 

⎦ 

X(3) 1 W 3 W 2 W 1 x 0 (3) 

Izpisane vrednosti koeficientov smo dobili z upoštevanjem cikličnosti 

W nk , ki smo jo grafično predstavili že na sliki 2.2-2, 

v analitični obliki pa jo zapišemo z: 

Spomnimo se, da je: 

n k 

W nk = W n k mod N (3.2-3) 

mod N = ostanek deljenja nk 

N , 

torej pri N = 4, n = 2 in k = 3 dobimo: 

W 2·3 = W 6 = W 2 , 


3.2 Intuitivni razvoj algoritmov za FFT 29 

DOKAZ 

W 6 = e j 2π 4 ·6 = e −j3π = e −jπ = e j 2π 4 ·2 = W 2 (3.2-4) 

□ 

Drugi korak je poiskati faktorje matrike v (3.2-2) tako, da 

lahko matriko zapišemo v obliki: 

⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

X(0) 1 W 0 0 0 1 0 W 0 0 x 0 (0) 

X(2) 

⎢ 

⎣X(1) 

⎥ 

⎦ = 1 W 2 0 0 

⎢ 

⎣0 0 1 W 1 ⎥ 

⎦ · 

0 1 0 W 0 

⎢ 

⎣1 0 W 2 0 

⎥ 

⎦ · 

x 0 (1) 

⎢ 

⎣x 0 (2) 

⎥ 

⎦ 

X(3) 0 0 1 W 3 0 1 0 W 2 x 0 (3) 

(3.2-5) 

Metoda faktoriziranja temelji na teoriji FFT, ki jo bomo opisali 

v dodatku k FFT. Za zdaj naj zadostuje preizkus, da produkt 

matrik v (3.2-5) enak matriki v (3.2-5) z izjemo, da sta medsebojno 

zamenjani prva in druga (če označimo vrstice z 0, 1, 2 in 

3 od zgoraj navzdol, glej indekse vektroja [x(n)]), kar pa smo 

upoštevali v zapisu vektorja F X(m)], ki ga sedaj označimo z: 

⎡ ⎤ 

X(0) 

¯X(n) = 

X(2) 

⎢ 

⎣X(1) 

⎥ . (3.2-6) 

⎦ 

X(3) 

Naslednji korak je izračun produkta desne matrike in vektorja 

[xn]: 

⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

x 1 (0) 1 0 W 0 0 x 0 (0) 

x 1 (1) 

⎢ 

⎣x 1 (2) 

⎥ 

⎦ = 0 1 0 W 0 

⎢ 

⎣1 0 W 2 0 

⎥ 

⎦ · 

x 0 (1) 

⎢ 

⎣x 0 (2) 

⎥ (3.2-7) 

⎦ 

x 1 (3) 0 1 0 W 2 x 0 (3) 

Vidimo, da element za izračun x 1 (0) potrebujemo eno kompleksno 

množenje (z W 0 ) in eno kompleksno seštevanje: 

x 1 (0) = x 0 (0) + W 0 x 0 (2) 

V matrikah zapisani 

W 0 niso zamenjani z 1 

zaradi splošnosti 

postopka!


{ W N 

} 

j W 3 

W 2 

-j 

0 2 

W W 

{ W N 

} 

W 1 

-1 1 

Element x 1 (1) je prav tako določen z enim kompleksnim množenjem 

in seštevanjem. pro računanju x 1 (2) pa potrebujemo le eno kompleksno 

seštevanje, saj je W 0 = −W 2 : 

x 1 (2) = x 0 (0) + W 2 x 0 (2) 

= x 0 (0) + W 0 x 0 (2) (3.2-8) 

Slika 3.2-1 

Lega W 0 v kompleksni ravnini 

kjer pa smo množenje W 0 x 0 (2) že izvedli pri računanju x 1 (0)! 

Iz istega razloga imamo pri računanju x 1 (3) le eno kompleksno 

seštevanje in nič množenja. Vmesni vektor [x 1 (k)] tako izračunamo 

s štirimi kompleksnimi seštevanji in dvema kompleksnima množenjima. 

Nadaljujmo z računanjem (3.2-5): 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 

⎤ ⎡ ⎤ 

X(0) x 2 (0) 1 W 0 0 0 x 1 (0) 

X(2) 

⎢ 

⎣X(1) 

⎥ 

⎦ = x 2 (1) 

⎢ 

⎣x 2 (2) 

⎥ 

⎦ = 1 W 2 0 0 

⎢ 

⎣0 0 1 W 1 ⎥ 

⎦ · 

x 1 (1) 

⎢ 

⎣x 1 (2) 

⎥ 

⎦ 

X(3) x 3 (3) 0 0 1 W 3 x 1 (3) 

(3.2-9) 

Element x 2 (0) izračunamo z enim kompleksnim množenjem in 

seštevanjem: 

x 2 (0) = x 1 (0) + W 0 x 1 (1) , (3.2-10) 

element x 2 (1) izračunamo z enim seštevanjem, ker je W 0 = 

−W 2 . Podobno je pri računanju x 2 (2), kjer potrebujemo eno 

kompleksno množenje in seštevanje, pri računanju x 2 (3) pa le 

eno seštevanje. 

Računanje ¯X(n) po poti, ki jo določa (3.2-5) tako zahteva 4 

kompleksna množenja in 8 kompleksnih seštevanj. Če pa računamo 

X(n) po direktni poti, ki jo določa (3.2-2), pa potrebujemo 16 

kompleksnih množenj in 12 kompleksnih seštevanj. 

Postopek faktorizacije, ki smo ga opisali za N = 4, lahko 

pri DFT, kjer je N = 2 γ , enostavno razširimo tako, da matriko 


3.2 Intuitivni razvoj algoritmov za FFT 31 

Tabela 3-1 

Primerjava števila operacij med FFT in DFT 

FFT 

Nγ 

2 

( 

= 4 · 2 

2 = 4 ) 

kompleksnih množenj 

DFT 

Nγ (= 4 · 2 = 8) 


N 2 ( 

4 2 = 16 ) kompleksnih množenj 

N(N −1) (= 4 · 3 = 12) 


W N×N nadomestimo s produktom γ faktoriziranih matrik velikosti 

N × N, ki vsaka zase minimizira število kompleksnih množenj 

in seštevanj. Primerjavo potrebnih množenj in seštevanj pri taki 

izvedbi FFT in direktne DFT podaja tabela 3-1. 

Če privzamemo, da je število množenj sorazmerno času računanja, 

je približno razmerje med časoma računanja FFT in DFT določeno 

z: 

N 2 

Nγ/2 = 2N γ 

ki je pri N = 1024 = 2 1 0 več kot 200 : 1. Na sliki 3.2-2 je 

diagram primerjave števila množenj pri FFT in DFT. 

Proces faktorizacije ima slabost, da rezultat ni več urejen po 

istem vrstnem redu kot so urejeni vhodni podatki. Spomnimo 

se, da je rezultat FFT ¯X(n) in ne X(n), torej: 

⎡ ⎤ 

⎡ ⎤ 

X(0) 

X(0) 

¯X(n) = 

X(2) 

⎢ 

⎣X(1) 

⎥ 

⎦ namesto X(n) = X(1) 

⎢ 

⎣X(2) 

⎥ 

⎦ 

X(3) 

X(3) 

, 

Ta premetanka rezultatov je inherentna procesu faktorizacije matrik 

in je postranski problem FFT. Za zaporedne razvrstitve rezultatov 

obstoji preprosta tehnika, ki jo pokažimo na obravnava-


1024 

Slika 3.2-2 

Primerjava števila množenj pri 

FFT in DFT v odvisnosti od N. 

število mnoenj ( x 1000) 

512 

256 

DFT 

128 

64 

FFT 

število otipkov v vzorcu - N 

nem primeru. številke otipkov zapišimo v binarni obliki: 

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

X(0) X(00 B ) 

X(2) 

⎢ 

⎣X(1) 

⎥ 

⎦ → X(10 B ) 

⎢ 

⎣X(01 B ) 

⎥ 

⎦ 

X(3) X(11 B ) 

bit reversing notation 

Če zapišemo binarno vrednost v nasprotni smeri, torej da 01 B 

postane 10 B , 10 B postane 01 B , 00 B in 11 B pa se ne spremenita, 

potem premetani rezultat uredimo! 

⎡ ⎤ 

⎡ ⎤ 

X(00 B ) 

X(00 B ) 

¯X(n) = 

X(10 B ) 

⎢ 

⎣X(01 B ) 

⎥ 

⎦ preide v X(01 B ) 

⎢ 

⎣X(10 B ) 

⎥ 

⎦ = X(n) 

X(11 B ) 

X(11 B ) 

Ta tehnika ureditve rezultatov je splošna ter jo je preprosto 

realizirati. Pomnilniški register v računalniku, ki vsebuje binarni 

zapis podatkov preprosto krožno premaknemo v desno za toliko 

mest, kot je dolga zapis številke otipka (slika 3.2-3) 


3.3 Grafična predstavitev FFT 33 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 0 1 1 

premetani podatki 

kroenje v desno (štiri krat) 

urejeni rezultati 

Slika 3.2-3 

Urejanje rezultata FFT. 

3.3 Grafična predstavitev FFT 

Pri večjih N je zapis algoritma za FFT nepregleden. Zato si 

ponavadi pomagamo z grafično predstavitvijo algoritma v obliki 

črtnega diagrama poteka računanja. Imenujemo ga signalni diagram. 

Primer signalnega diagrama za obravnavani primer kaže 

slika 3.3-1. 

Signal Flow Graph 

x ( k ) x ( k) 

x ( k) 

0 1 2 

x 0 

( 0) 

x 1 

( 0) x 2 

( 0) 

W 0 

W 1 

x 0 

( 1) 

x 0 

( 2) 

x W 2 

1 

( 1) x 2 

( 1) 

W 0 

W 2 x 1 

( 2) W 1 x 2 

( 2) 

x 0 

( 3) 

W 2 x W 3 

1 

( 3) x 2 

( 3) 

Slika 3.3-1 

Signalni diagram. 

Iz slike vidimo, da v vsako vozlišče prihajata dve črti, ki predstavljata 

prenosno pot iz predhodnih vozlišč. Po tej poti se 

prenese podatek, če je pot označena z W p , pa tudi pomnoži z 

označenim elementom matrike [W ]. V vozliščih se vstopna podatka 

seštejeta in seštevek prenese po poteh, ki izhajata iz tega 

vozlišča. 

Za ilustracijo razumevanja signalnega diagrama izpišimo iz


njega enačbi za x 1 (2) in x 2 (2): 

x 1 (2) = x 0 (0) + W 2 x 0 (2) 

x 1 (0) = x 0 (0) + W 2 x 0 (1) 

Vidimo, da sta ti enačbi enaki (3.2-7) in (3.2-8). 

Signalni diagram je natančen in pregleden način predstavitev 

izvajanja algoritma FFT. Vsaki stolpec vozlišča predstavlja 

izračun ene matrike, zato je v grafu γ stolpcev. 

3.3.1 Dualna vozlišča 

Iz signalnega diagrama takoj uvidimo, da so v vsakem stolpcu 

po dvoje vozlišč, v katera vodita poti iz istega para vozlišč v 

predhodnem stolpcu vozlišč, še več, iz tega para ne gre rezultat 

izračuna v nobeno drugo vozlišče. Ta vozlišča imenujemo dualna 

vozlišča. 

Na signalnem diagramu za N = 16 (slika 3.3-2) so označena 

nekatera dualna vozlišča. Iz njega vidimo, da sta dualni par v 

drugem stolpcu [x 1 (k)] vozlišči x 1 (0) in x 1 (8). 

Ker je izračun dualnega para neodvisen od ostalih vozlišč, 

lahko njegov izračun naredimo na ”mestu”. To pomeni, da lahko 

sočasno izračunamo x 1 (0) in x 1 (8) s podatki x 0 (0) in x 0 (8), rezultat 

izračuna pa zapišemo v pomnilniško lokacijo, v kateri sta 

prej bila x 0 (0) in x 0 (8). 

3.3.2 Razmestitev dualnih vozlišč 

Raziščimo še razpored dualnih vozlišč v stolpcu. Razdaljo med 

njimi pa označimo v številki vozlišča k. Iz slike 3.3-2 vidimo, da 

je v stolpcu l = 1 dualni par x 1 (0) in x 1 (8), medsebojno pa je 

razmaknjen za k = 4 = N/2 l , oziroma za razmik med dualnimi 

pari velja: 

k = N 2 l , 

N : število otipkov 

l : številka stolpca 

k : številka otipka 

Torej je k vozlišču x l (k) dualno vozlišče x l (k + N/ l ). 

3.3.3 Izračun dualnega vozlišča 

(3.3-1) 

Za izračun dualnega para potrebujemo le eno kompleksno množenje. 

Za pojasnitev si poglejmo dualni par x 2 (8) in x 2 (12). prenosna 



x 0 

(0) 

x 0 

(1) 

x 0 

(2) 

x 0 

(3) 

x 0 (4) 

x 0 

(5) 

x 0 

(6) 

x 0 

(7) 

x 0 

(8) 

x 0 

(9) 

x 0 

(10) 

x 0 (11) 

x 0 

(12) 

x 0 

(13) 

x 0 

(14) 

x 0 

(15) 

l 1 l 2 l = 3 

l 4 

vmesni podatki 

vhodni 

podatki 

x0 ( k ) 

x1 ( k ) x 2 ( k) 

x 3 ( k) 

x 4 ( k) 

W 0 x 1 

(0) W 0 x 2 

(0) W 0 x 3 

(0) W 0 x 4 

(0) 

W 0 x 1 

(1) W 0 x 2 

(1) W 0 x 3 

(1) W 0 x 4 

(1) 

W 0 x 1 

(2) W 0 x 2 

(2) W 8 x 3 

(2) W 8 x 4 

(2) 

W 0 x 1 

(3) W 0 x 2 

(3) W 8 x 3 

(3) W 8 x 4 

(3) 

dualni 

x par 

W 0 1 

(4) x 

vozlišè 

W 8 2 

(4) W 4 x 3 

(4) W 4 x 4 

(4) 

W 0 x 1 

(5) W 8 x 2 

(5) W 4 x 3 

(5) W 4 x 4 

(5) 

W 0 x 1 

(6) W 8 x 2 

(6) W 12 x 3 

(6) W 12 x 4 

(6) 

W 0 x 1 

(7) W 8 x 2 

(7) W 12 x 3 

(7) W 12 x 4 

(7) 

W 8 x 1 

(8) W 4 x 2 

(8) W 2 x 3 

(8) W 2 x 4 

(8) 

W 8 x 1 

(9) W 4 x 2 

(9) W 2 x 3 

(9) W 2 x 4 

(9) 

W 8 x 1 

(10) W 4 x 2 

(10) W 10’ x 3 

(10) W 10’ x 4 

(10) 

W 8 x 1 

(11) W 4 x 2 

(11) W 40 x 3 

(11) W 40 x 4 

(11) 

W 8 x 1 

(12) W 12 x 2 

(12) W 6 x 3 

(12) W 6 x 4 

(12) 

W 8 

W 8 

W 8 

Slika 3.3-2 

Signalni diagram za N = 16. 

x 1 

(13) W 12 x 2 

(13) W 6 x 3 

(13) W 6 x 4 

(13) 

x 1 

(14) W 12 x 2 

(14) W 14 x 3 

(14) W 14 x 4 

(14) 

x 1 

(15) W 12 x 2 

(15) W 14 x 3 

(15) W 14 x 4 

(15) 

pot, ki gre iz x 1 (12) izvede množenje z W 8 oziroma z W 1 2 preden 

podatek prispe v vozlišče x 2 (8 oziroma x 2 (12). Pomembno 

je poudariti, da velja: 

W 4 = −W 12 ,


torej zadostuje le eno množenje: 

x 2 (8) = x 1 (8) + W 4 x ( 12) 

x 2 (12) = x 1 (8) + W 12 x 1 (12) 

= x 1 (8) − W 4 x 1 (12) 

saj produkt enkrat prištejemo, enkrat pa odštejemo. Na splošno, 

če je utež (potenca) vozlišča p, torej imamo W p , je utež dualnega 

para p + N/2 oziroma imamo W p+N/2 . Ker velja 

W p = −W p+N/2 

potrebujemo pri izračunu dualnega para le eno množenje. Splošni 

zapis izračuna poljubnega dualnega para je: 

x l (k) = x l−1 (k) + W p x l−1 (k + N 2 l ) (3.3-2) 

x l (k + N 2 l ) = x l−1 (k) − W p x l−1 (k + N 2 l ) . (3.3-3) 

Ob izračunu vozlišč nekega stolpca običajno pričnemo računati 

pri k = 0 in nadaljujemo z računanjem zaporednih vozlišč in njihovih 

dualnih parov. Ko k naraste na N/2 l , preskočimo k vozlišč, 

saj smo jih že izračunali, ter nadaljujemo izračun naslednje skupine 

dualnih parov (če obstaja v stolpcu). Računanje prekinemo, 

ko k preseže N − 1. 

3.3.4 Določitev W p 

Poiskali smo že vse lastnosti vsakega stolpca razen določanja uteži 

p. Vrednost p določimo po naslednjem pravilu: 

1. Zapišemo k v binarni obliki. Za zapis potrebujemo γ bitov. 

2. Skaliramo k tako, da pomaknemo zapisane bite za γ − l v 

desno. Pri tem z leve strani vpisujemo ničle (uporabimo 

ukaz šhift right (γ − l)”. 

l 0 

Slika 3.3-3 0 

( l) 

3. Obrnemo zaporedje bitov. Dobljeni zapis določa število p. 



Zapisani postopek pojasnimo s primerom izračuna p za vozlišče 

x 3 (8) (slika ??). Zanj velja: 

γ = 4 , k = 8 , l = 3 

Sedaj pa po opisani proceduri določimo p: 

1. k = 8D = 1000B 

2. pomik v desno za γ − l = 4 − 3 = 1 in vpis 0 z leve: 0100 B 

3. obrnemo zaporedje bitov 0010 B in dobimo p = 2.



4. z-transformacija 

Kljub temu, da je v naravi večina signalov zveznih, danes prevladuje 

numerična obdelave signalov. Pot do številčne predstavitve 

signala je diskretizacija signala tako po času kot po amplitudi. Z 

osnovnimi pojavi, ki se pri tem zgodijo, smo spoznali na poti iz 

zvezne Fourierove v diskretno Fourierovo transformacijo. Kako 

pa je z Laplaceovo transformacijo? 

4.1 Laplaceova transformacija vzorca signala 

Pri obravnavi zveznih signalov smo namignili, da lahko na Fourierovo 

transformacijo gledamo kot na poseben primer Laplaceove 

transformacije s σ = 0. Zato lahko sklepamo, da ima Laplaceova 

transformacija vzorca nekatere podobnosti s Fourierovo transformacijo 

vzorca. 

Laplaceova transformacija vzorca signala se glasi: 

X(s) = L { x[n] } { ∞ 

} 

∑ 

∞∑ 

= L x(nT ) · (t − nT ) = x[n]e −nT s . 

n=0 

n=0 

Laplaceova transformacija vzorca signala (podobno kot Fourierova 

transformacija) da periodično sliko. To slutimo že iz obravnave 

vzorčenja, uvidimo pa tudi iz funkcije X[s + j(k 2π/T )]: 

X(s + jk 2π ∞ T ) = ∑ 

x[n] e −nT (s+jk 2π T 

= ∞ ∑ 

x[n] e −nT s e jnk 2π T 

} {{ } = 

=1 

n=0 

n=0 

Funkcija X(s) je torej periodična vzdolž vzporednice jω v ravnini 

σ + jω (slika 4.1-1). 

∞∑ 

x[n] e −nT s . 

n=0 

39

40 4. z-transformacija 

poli in nièle 

zveznega signala 

j 

poli in nièle 

vzorca signala 

j 

j 

m 

j 

m 

j 

m 

Slika 4.1-1 

Periodičnost Laplaceove 

transformiranke vzorca signala. 

 

j 

j 

j 

m 

m 

 

m 

j 

m 

j 

m 

Zaradi periodičnosti X(s) Laplaceova transformacija izgubi 

mnogo lepih lastnosti. Tako imamo pri inverzni Laplaceovi transformaciji 

opravka z neskončnim številom polov in ničel v s-ravnini. 

Izmed vseh moramo izbirati le tiste, ki ležijo znotraj pasu [−ω m , ω m ], 

te pripadajo analognemu originalu. Če vpeljemo zamenjavo: 

e sT = z (4.1-1) 

definiramo novo transformacijo, imenujemo jo z-transformacija: 

X(z) = 

∞∑ 

x[n]z −n , (4.1-2) 

n=0 

ki preslika pas vzdolž realne osi v s-ravnini omejen z −jω, jω v z- 

ravnino tako, kot kaže slika 4.1-2. Vrednosti X(z) so definirane 

le za tiste vrednosti z, pri katerih je potenčna vrsta (4.1-1) konvergentna. 

Konvergenčno območje omejuje krožnica, ki gre skozi 

najbližji oziroma najoddaljenejši pol funkcije X(z) ali krožnici, 

ki omejujeta konvergenčno polje izven kolobarja, v katerem se 

nahajajo poli. 

Konvergenčno območje je odvisno od obnašanja funkcije X(z), ko 

n narašča preko vseh mej proti −∞ ali proti ∞. Seveda o območju 

konvergence ne sme biti polov. 


4.2 Konvergenčna območja 41 

j 

j 

m 

j 

m 

 

{ z} 

{ z} 

Slika 4.1-2 

Preslikava s-ravnine v z-ravnino. 

Kaj pa inverzna z-transformacija? Nje ne moremo izpeljati z 

inverzno Laplaceovo transformacijo. Zanjo je potrebno znanje iz 

kompleksne analize in komformih preslikav. Inverzni Laplaceovi 

transformaciji je posvečen poseben razdelek. 

4.2 Konvergenčna območja 

Vsi signali, ki smo jih opisali v prejšnjem podpoglavju, so kavzalni. 

Njihovi poli so znotraj ali na robu enotskega kroga. To 

uvidimo iz (4.1-2), saj X(z) konvergira, ko je |z| 1. Povedano 

drugače, z-transformacija obstaja, torej je X(z) je konvergentna 

funkcij, če se |z| nahaja v konvergenčnem območju. 

Čeprav nas v obdelavi signalov zanimajo predvsem kavzalni 

signali, se kljub temu zastavlja vprašanje, kje je konvergenčno 

območje pri ostalih signalih? Ta odgovor je pomemben, da uvidimo 

vse posebnosti z-transformacije. Ta je očitno odvisna od 

konvergenčnega območja, konvergenčno območje pa od signala. 

V nadaljevanju bomo posplošili določilo konvergenčnega območja 

tako za kavzalne kot tudi za nekavzalne ter neomejene signale. 

Zaradi krajšega pisanja uvajamo za konvergenčna območja kratico 

ROC, ki jo bomo predvsem uporabljali v zapisu enačb in ROC: 

naštevkih. 

Region of Convergence 

4.2.1 Kavzalni signali 

Kavzalne signale opiše funkcija, ki ima pole znotraj enotskega 

kroga. Torej, X(z) je konvergentna funkcija, če velja: 

ROC: R < |z| < ∞ , (R max = 1) (4.2-1)


kjer je R razdalja med koordinatnim izhodiščem in najbolj oddaljenim 

polom. Poudarimo: 

Pri kavzalnih signalih z-transformacija preslika pas med −ω m , ω m 

negativne s-polravnine v notranjost enotskega kroga (slika 1.3-1). 

Stabilni kavzalni sistem ima pole znotraj enotskega kroga ali na 

njem. 

Slika 4.2-1 

Konvergentno področje za 

kavzalna zaporedja. 

j 

j 

m 

j 

m 

 

{ z} 

konvergenèno 

obmoèje 

{ z} 

4.2.2 Nekavzalni signali 

Za nekavzalne signale velja: 

x[n] = 0 n > 0 (4.2-2) 

0∑ 

∞∑ 

X(z) = x[n]z −n = x(−n)z n (4.2-3) 

n=−∞ 

n=0 

Vidimo, da X(z) konvergira tudi pri z = 0. To pomeni, da 

koordinatno izhodišče pripada konvergenčnemu področju. konvergenčno 

območje je omejeno s krožnico, ki gre skozi pol, ki je 

najbližje koordinatnemu središču (slika 1.4-1). X(z) konvergira 

Slika 4.2-2 

Konvergenčno območje za 

nekavzalna zaporedja. 

j 

j 

j 

m 

m 

 

{ z} 

konvergenèno 

obmoèje 

{ z} 



za 

ROC: 0 < |z| < R , (R min = 1) (4.2-4) 

4.2.3 Neomejeni signali 

Predstavimo ga lahko kot vsoto kavzalnega in nekavzalnega zaporedja: 

0∑ 

∞∑ 

X(z) = x[n]z −n + x[n]z −n (4.2-5) 

n=−∞ 

n=0 

kjer kavzalni del konvergira v območju (4.2-1), nekavzalni pa v 

območju (4.2-4), zato je konvergentno območje neomejenega signala 

določeno s presekom teh območij (slika 4.2-3): 

ROC: R N < |z| < R Z (4.2-6) 

kjer R n določa (4.2-1), R z pa (4.2-4). 

{ z} 

konvergentno 

obmoèje 

1 

{ z} 

Slika 4.2-3 

Konvergentno področje za 

neomejena zaporedja. 

4.2.4 z transformacijski pari 

V razdelkih tega podpoglavja smo opisali ztransformacije za nekatere 

pogoste signale. Ti zapisi povezujejo pare v z-transformaciji, 

podobno kot smo spoznali Fourierove in Laplaceove pare. S tabelami 

teh parov si pomagamo pri računanju transformacije in 

njenega obrata.


V tabeli 4-1 so zbrani vsi izračunani pari, pa tudi nekateri 

drugi, ki jih pogosto srečujemo in jih tudi uporabljamo v tem 

učbeniku. 

4.2.5 Povzetek lastnosti ROC 

Iz podanih primerov lahko zaključimo, da samo zapis z-transformacije 

ne zadostuje. Podati moramo še konvergenčno območje. Povzetek 

lastnosti konvergenčnih območij so v naslednjem naštevku. 

Lastnost 1 

Konvergenčno območje je površina omejena s krožnico 

s središčem v izhodišču z-ravnine, za katero velja: 

ROC: 0 R N < |z| < R Z ∞ . 

Lastnost 2 

Lastnost 3 

Lastnost 4 

Lastnost 5 

Lastnost 6 

Lastnost 7 

R N in R Z sta krožnici, ki omejujeta konvergenčno 

območje. 

Fourierova transformacija x[n] absolutno konvergira, 

če in samo če je konvergenčno območje z-transformacij 

x[n] zajema tudi enotski krog. 

V konvergenčnem območju ne sme biti nobenega pola. 

Če je x[n] končno zaporedje, torej zaporedje, ki je 

različno od nič le znotraj omejenega intervala, −∞ < 

N 1 n N 2 < ∞, kjer sta N 1 , N 2 meji intervala, 

potem je konvergenčno območje vsa z-ravnina z izjemo 

točk z = 0 in z = ∞. 

Če je x[n] desno stransko ali kavzalno zaporedje, to 

je zaporedje, ki je enako nič pri n < N < ∞, se konvergenčno 

območje nahaja zunaj kroga, ki ga določa 

krožnica skozi najbolj oddaljen pol. 

Če je x[n] levo stransko ali nekavzalno zaporedje, to 

je zaporedje, ki je enako nič pri n > N > −∞, se 

konvergenčno območje nahaja znotraj kroga, ki ga 

določa krožnica skozi najbližji pol. 

Če je x[n] dvo-stransko ali neomejeno zaporedje, torej 

vsota kavzalnega in nekavzalnega zaporedja, je 

konvergenčno območje znotraj kolobarja, ki ga omejujeta 

krožnici skozi najbolj oddaljen pol, ki pripada 

notranji skupini polov (določa jih levo stranski del 

zaporedja) in najbližji pol zunanje skupine polov 

(določa jih desno stranski del zaporedja). 



Tabela 4-1 

Pogosti z-transformacijski pari 

štev. zaporedje transform ROC 

1 δ[n] 1 vsi z 

2 u[n] 

3 −u[−n − 1] 

1 

1 − z −1 |z| > 1 

1 

1 − z −1 |z| < 1 

4 δ[n − m] z −m vsi z razen 0 

(m > 0) ali ∞, 

(m < 0) 

5 a n u[n] 

6 −a n u[−n − 1] 

7 na n u[n] 

8 −na n u[−n − 1] 

9 cos[nω 0 ]u[n] 

10 sin[nω 0 ]u[n] 

12 r n cos[nω 0 ]u[n] 

12 r n cos[nω 0 ]u[n] 

12 r n sin[nω 0 ]u[n] 

13 

{ 

a n , 0 n N − 1 

0 , sicer 

1 

1 − az −1 |z| > |a| 

1 

1 − az −1 |z| < |a| 

az −1 

(1 − az −1 ) 2 |z| > |a| 

az −1 

(1 − az −1 ) 2 |z| < |a| 

1 − cos[nω 0 ] 

1 − 2 cos[ω 0 ]z −2 |z| > 1 

sin[nω 0 ]z −1 

1 − 2 cos[ω 0 ]z −2 |z| > 1 

r cos[nω 0 ]z −1 

1 − 2r cos[ω 0 ]r 2 z −2 |z| > 1 

r cos[nω 0 ]z −1 

1 − 2r cos[ω 0 ]r 2 z −2 |z| > 1 

r sin[nω 0 ]z −1 

1 − 2r cos[ω 0 ]r 2 z −2 |z| > 1 

1 − a N z −N 

1 − az −1 |z| > 0


Lastnost 8 

Konvergenčno območje mora omejevati sklenjena krivulja. 

4.2.6 Vrste z-transformacije 

V primerih kavzalnih in nekavzalnih signalov govorimo o tako 

imenovani enostranski z-transformaciji. Za kavzalne signale jo 

imenujemo leva z-transformacija, za nekavzalne signale pa desna 

z-transformacija. Pri neomejenih signalih imamo opravka s 

splošno ali dvostransko z-transformacijo: 

∞∑ 

Z{x[n]} = x[n] z −n (4.2-7) 

i=−∞ 

Definicija dvostranske z-transformacije je ekvivalentna definiciji 

dvostranski Laplaceovi transformaciji ali dvostranski kompleksni 

Fourierovi transformaciji. 

4.3 Inverzna Z transformacija 

Določiti jo moramo na več načinov, vsem načinom pa je v ozadju 

znana relacija iz kompleksne analize. 

∮ 

{ 

1 

z k−1 0 k ≠ 0 

dz = 

(4.3-1) 

2πj 

1 k = 1 

C 

Za rešitev krivuljnega integrala moramo določiti krivuljo C, ki 

mora obiti vse pole. Če pomnožimo levo in desno stran enačbe, 

ki definira z-transformacijo, z z k−1 : 

∞∑ 

∞∑ 

X(z)z k−1 = x[n] z −n z k−1 = x[n] z k−n−1 

n=0 

n=0 

ter rezultat integriramo po zaključeni krivulji C, ki je v območju 

konvergence: 

∮ 

∞∑ 

∮ 

X(z)z k−1 dz = x[n] z k−n−1 dz . (4.3-2) 

C 

C 

n=0 

Zaradi (4.3-1) je na desni strani (4.3-2) različen od nič samo člen 

z k = n, zato sledi: 

∮ 

X(z)z k−1 dz = x(k)(2πj) , 

C 


4.3 Inverzna Z transformacija 47 

∮ 

1 

kjer je 2πj zaradi 

2πj C z−1 dz = 1. Sledi, da je x[n] določen z: 

x[n] = 1 

2πj 

∮ 

C 

X(z) z n−1 dz . (4.3-3) 

Iz kompleksne analize je znano, da lahko integral v (4.3-3) rešimo 

s teoremom o residiumih, to je ostankih. S tem teoremom smo se 

srečali že pri določanju inverzne Laplaceove transformacije, zato 

zapišimo: 

∮ 

1 

X(z) z n−1 dz = ∑ [ ] 

Res X(z)vseh polov znotraj C 

2πj C 

in pokažimo primer izračuna: 

ZGLED 4.3-1 Določitev inverzne z-transformacije z residiumi 

Imejmo funkcijo: 

X(z) = 

z −1 

(1 − z −1 )(1 − 0, 5z −1 ) = z 

(z − 1)(z − 0, 5) 

za katero s pomočjo residiumov izračunajmo inverzno z-transformacijo: 

x[n] = 1 ∮ 

z 

2π (z − 1)(z − 0, 5) zn−1 dz 

= 1 

2π 

∮ 

z n 

(z − 1)(z − 0, 5) dz = ∑ [ ] 

Res X(z) 

z n (z − 1) 

z n (z − 1) 

∣ 

= 

∣ + 

(z − 1)(z − 0, 5) z=1 (z − 0, 5)(z − 0, 5) 

= 

1 n 

( 

0, 1 

5n 

+ 

(1 − 0, 5) 0, 5 − 1) = 2 − 0, 5n−1 = 2 − 

2 

= 2(1 − 2 −n ) 

∣ 

z=0,5 

) n−1 

x( nT 

) 

2 

1 

Slika 4.3-1 

Ilustracija zgleda 4.3-1. 

0 

1 2 3 

n 

♦


4.4 Lastnosti z-transformacije 

Mnoge lastnosti z-transformacije sop zelo uporabne pri proučevanju 

časovno diskretnih signalov in sistemov. Na primer, s izkoristimo 

jih lahko pri računanju inverzne z-transformacije. 

V tem podpoglavju bomo opisali najpogosteje uporabljane lastnosti. 

Pri njihovem opisu bomo konvergenčna območja označevali 

z ROC x , kjer bo indeks x povedal kateri signal bo določil ROC, 

torej konvergenčno območje. Na primer: 

x[n] 

z 

←→ X(z) ROC = ROC x . 

To označevanje seveda postane bolj smiselno, ko imamo opravka 

z več signali, na primer 

x 1 (n) 

x 2 (n) 

z 

←→ X(z) 

z 

←→ X(z) 

ROC = ROC x1 

ROC = ROC x2 

in je na primer skupno konvergenčno območje določeno s presekom: 

ROC = ROC x1 ∩ ROC x2 . 

4.4.1 Linearnost 

Linearnost: 

ax 1 (n)+bx 2 (n) 

z 

←→ aX 1 (z)+bX 2 (z) 

ROC = ROC x1 ∩ROC x2 

sledi iz definicije z-transformacije. Konvergenčno območje je 

določeno s presekom konvergenčnih območij posameznih ROC. 

Pri zaporedju z racionalno z-transformacijo, kjer pole aX 1 (z) + 

bX 2 (z) sestavljajo vsi poli X 1 (z) in X 2 (z), torej ni črtanja polov, 

ROC natančno prekriva individualna konvergenčna področja. Če 

je linearna kombinacija taka, da ničle enega od signalov oziroma 

sistemov črtajo - kompenzirajo pole drugega, potem lahko konvergenčno 

področje postane večje. Preprosti primer te možnosti 

dobimo če sta x 1 (n) in x 2 neskončni zaporedji, njuna linearna 

kombinacija pa končno zaporedje. V tem primeru je ROC vsa 

z-ravnina z možno izjemo točk z = 0 in z = ∞. Primer take 

kombinacije je: 

x[n] = a n u[n] − a n u(n N ) . 


4.4 Lastnosti z-transformacije 49 

Tu sta tako a n u[n] kot a n u(n − N) neskončni desno stranski zaporedji. 

Njihova z-transformacija ima pole pri z = a. Zato imata 

individualni ROC določen z |z| > |a|. Vendar je ta pol kompenziran 

z ničlo pri z = a, zato skupni ROC zajema vso z-ravnino 

razen koordinatnega izhodišča. 

4.4.2 Časovni premik 

x[n − n 0 ] 

z 

←→ z n 0 

X(z) 

ROC = ROC x (z izjemo, če se 

doda ali črta z = 0 

ali z = ∞) . 

n 0 je celo število. Če je pozitivno, se originalno zaporedje premakne 

v desno, če pa je negativno pa v levo. Enako kot pri linearni 

kombinaciji, se lahko ROC spremeni, saj faktor z −n 0 

spremeni 

število polov v točkah z = 0 in z = ∞. 

Izpeljava te lastnosti sledi iz obrazca za z-transformacijo (4.1-2): 

(4.1-2): Xz = 

Če vanj vstavimo x(n − n 0 ) dobimo: 

(4.1-2): Y z = 

∞∑ 

i=−∞ 

x[n − n 0 ] z −n 

∞∑ 

i=−∞ 

x[n] z −n . 

z zamenjavo spremenljivk m = n − n 0 → n = m + n 0 dobimo 

oziroma 

= 

∞∑ 

i=−∞ 

Y z = z −n 0 

X(z) . 

x(m) z −m−n 0 

= z −n 0 

∞∑ 

i=−∞ 

x(m) z m 

} {{ } 

X(z) 

Lastnost časovnega premika lahko mnogokrat učinkovito izkoristimo 

(skupaj z ostalimi lastnostmi) pri računanju inverzne z- 

transformacije. To podkrepimo z naslednjim zgledom:


ZGLED 4.4-1 Izračun inverzne z-transformacije s pomočjo lastnosti 

časovnega premika 

Imejmo funkcijo: 

X(z) = 1 

(z − 1 4 

, ROC: |z| > 1 4 

. 

Iz določitve ROC sklepamo, da je pripadajoče zaporedje desno stransko 

(kavzalno). Zgornjo enačbo lahko preoblikujemo v: 

X(z) = 

z −1 

1 − 1 4 z−1 , ROC: |z| > 1 4 

(4.4-1) 

tu je nekaj sklicevanja na stare enačbe .... 

in pripadajoče zaporedje je: 

= −4 + 

4 

1 − 1 4 z−1 (4.4-2) 

x[n] = −4δ(n) + 4( 1 4 )n u[n] . (4.4-3) 

Iskani x[n] lahko izračunamo s pomočjo lastnosti časovnega premika bolj 

direktno. Izhajajmo iz (??), ki jo zapišimo v obliki: 

( ) 

X(z) = z −1 1 

1 − 1 , ROC: |z| > 1 . (4.4-4) 

4 z−1 4 

Iz zapisa lastnosti časovnega premika sklepamo (vemo), da je koeficient 

z −1 v (4.4-4) pomeni časovni premik zaporedja 1 4 

n 

u[n] za en otipek v 

desno: 

x[n] = ( 1 4 )n−1 u[n − 1] . (4.4-5) 

Četudi sta zaporedji (4.4-3) in (4.4-5) na pogled različni, ja lahko pokazati, 

da sta isti za vse vrednosti n. 

♦ 

4.4.3 Množenje z eksponentnim zaporedjem 

z0 n z 

x[n] ←→ X(z/z 0 ) , ROC = |z|ROC x 

Zapis ROC= |z 0 |ROC x pomeni, daje konvergenčno območje ROC x 

transformirano z z 0 . To pomeni, da se konvergenčno območje 

spremeni iz R N < |z| < R Z v |z 0 | < |z| < |z 0 |R Z . 

Ta lastnost uvidimo, če z0 n x[n] vstavimo v (4.1-2). Posledica te 

lastnosti je, da so vse lokacije polov in ničel skalirane s faktorjem 

|z 0 |. Če ima X(z) pol pri z = z 1 , potem ima X(z0 − 1z) pol pri 



z = z 0 z. Če je z 0 pozitivno realno število, se poli premaknejo 

radialno k (z 0 < 0) ali od (z 0 > 1) središča z-ravnine, če pa je z 0 

kompleksno število z absolutno vrednostjo enako ena, torej velja 

|z 0 | = 1 , z = e jω 0 

z 0 ∈ C , 

skaliranje povzroči zasuk z-ravnine za kot ω 0 . To lahko predstavimo 

kot frekvenčni premik, ki ga dobimo pri (amplitudni) modulaciji. 

Torej, če za signal obstaja Fourierova transformacija, 

potem lahko to lastnost zapišemo tudi tako: 

z = e jω 0n x[n] 

z 

←→ X(e j(ω−ω 0) ) . 

ZGLED 4.4-2 Izračun z-transformacije 

Izhajamo iz povezave: 

u[n] 

z 

←→ 

1 

1 − z −1 , |z| > 1 . (4.4-6) 

Z njo in lastnostjo množenja z eksponentno zaporedjem želimo določiti z 

transformacijo zaporedja: 

x[n] = r n cos(ω 0 n)u[n] , |z| > 1 . (4.4-7) 

Najprej s pomočjo Eulerjevega obrazca izrazimo x[n] v eksponentni obliki: 

x[n] = 1 2 (rejω0 ) n u[n] + 1 2 (re−jω0 ) n u[n] , 

potem pa z uporabo (4.4-6) in lastnostjo množenja z eksponentnim zaporedjem 

izpeljemo: 

1 

2 (rejω0 ) n u[n] 

1 

2 (re−jω0 ) n u[n] 

z 

←→ 

z 

←→ 

Iz lastnosti linearnosti še sledi: 

1 

2 

1 − re jω0 z −1 , |z| > R 

1 

2 

1 − re −jω0 z −1 , |z| > R 

1 

1 

2 

X(z) = 

1 − re jω0 z −1 + 2 

1 − re −jω0 z −1 

= 1 − r cos ω 0z −1 

1 − 2r cos ω 0 z −1 , |z| > R (4.4-8) 

♦


4.4.4 Odvajanje X(z) 

nx[n] 

z 

←→ −z dX(z) 

dz 

ROC = ROC x (z izjemo, če se 

doda ali črta z = 0 

ali z = ∞) . 

To lastnost lahko dokažemo z odvajanjem definicije z-transformacije: 

(4.1-2) X(z) = 

−z dX(z) 

dz 

∞∑ 

i=−∞ 

= −z 

= 

∞∑ 

i=−∞ 

x[n]z −n , 

∞∑ 

(−n)x[n]z −n−1 

i=−∞ 

nx[n]z −n = Z { nx[n] } . 

Uporabnost lastnosti odvajanja si oglejmo na naslednjem primeru. 

ZGLED 4.4-3 Izračun z-transformacije z uporabo lastnosti odvajanja 

Določimo z-transformacijo za zaporedje: 

x[n] = na n u[n] = n(a n u[n]) . 

Iz tabele z-transformacijskih parov (tabela 4-1) poiščemo par: 

par štev. 5: 

a n u[n] 

z 

←→ 

1 

1 − az −1 , |z| > |a| , 

katerega odvod je iskana X(z): 

X(z) = −z d ( ) 

1 

dz 1 − az −1 

in iskani rezultat je: 

az −1 

(1 − az −1 ) 2 

= na n u[n] 

z 

←→ 

az −1 

(1 − az −1 ) 2 , |z| > a . 

♦ 



4.4.5 Zasuk signalne osi 

x[−n] 

z 

←→ X(1/z) , ROC = 1 

ROC x 

Zapis konvergenčnega območja ROC= 1/ROC x pove, da je ROC X 

invertiran. To pomeni, da če vrednosti z take, da velja R N < 

|z| < R Z , potem po zasuku signalne osi velja 1/R Z < |z| < 1/R N , 

oziroma, če je z 0 v konvergenčnem območju x[n], potem je 1/z 0 

v konvergenčnem območju z-transformacije x[−n]. 

Lastnost lahko dokažemo z uporabo definicije z-transformacije. 

Njeno uporabnost pa sipoglejmo na naslednjem preprostem primeru. 

ZGLED 4.4-4 Izračun z-transformacije z uporabo zasuka signalne osi 

Določimo z-transformacijo za zaporedje: 

x[n] = na n u[−n] , 

ki ga dobimo z zasukom signalne osi zaporedju x[n] = na n u[n], glej prejšnji 

zgled. Z uporabo lastnosti zasuka signalne osi sledi: 

X(z) = 1 

1 − az = −a−1 z −1 

1 − a −1 z −1 , |z| > |a −1 | . 

4.4.6 Teorem o začetni vrednosti 

Če je x[n] enak nič za n < 0, torej je x[n] desno stransko, kavzalno 

zaporedje, potem velja: 

x[0] = lim 

z→∞ X(z) . 

4.4.7 Prenosna ali sistemska funkcija diskretnega 

sistema 

Diskretni sistem lahko opišemo s prenosno funkcijo, ki je analogna 

prenosni funkciji zveznih sistemov. seveda obravnavamo 

diskretni linearni, časovno neodvisni sistem, za katerega lahko 

zapišemo konvolucijsko vsoto: 

y(n) = x[n] ∗ h(n) . 

Na osnovi lastnosti z-transformacije sklepamo, da je z.transformacija 

izhodnega signala enaka zmnožku z-transformacije vhodnega signala 

inz-transformacije prenosne funkcije sistema (slika 4.4-1): 

Y (z) = X(z)H(z) . 

♦


Slika 4.4-1 

Blokovna shema diskretnega 

sistema. 

Poudarimo: 

x( n) h( n) 

X( z) H( z) 

y( n) x( n)* h( n) 

Y( z) X( z)* H( z) 

Poznavanje H(z) ne določa enoumno sistema. Določiti še moramo 

konvergenčno območje. 

Konvergenčno območje ozko vezano na lastnosti sistema. Če 

je sistem stabilen, velja: 

∞∑ 

|h(n)| < ∞ 

i=−∞ 

in iz z-transformacije impulznega odziva: 

∞∑ 

h(n) z −n 

i=−∞ 

sledi, da enotski krog |z| = 1 pripada območju uniformne konvergence 

funkcije H(z). Da je sistem kavzalen, mora biti konvergenčno 

območje izven krožnice, ki gre skozi najbolj oddaljeni 

pol. 

ZGLED 4.4-5 Določitev konvergenčnega območja 

Poiščimo konvergenčno območje za sistemsko funkcijo 

H(z) = 

z 2 − z − 1 

(z 2 − z + 0, 5)(z − 2) 

tako, da bo sistem stabilen. 

Rešitev: faktoriziramo H(z): 

z 

H(z) = 

(z − z 1 )(z − z 2 )(z − z 3 ) 

in poiščimo pole: 

z 1 = 0, 5 + j0, 5 , z 2 = 0, 5 − j0, 5 , z 3 = 2 

Vidimo, da je konvergenčno območje izven kolobarja (slika 4.4-2): 

√ 

2 

2 < |z| < 2 

Da je sistem kavzalen, mora biti konvergenčno območje izven enotskega 

kroga. To v tem primeru ni izpolnjeno. 

♦ 


4.5 Povezava 

z-transformacije , CFT in DFT 55 

{ z} 

enotski 

krog 

j0, 

5 

R n R z 

0,5 1 

2 

{ z} 

Slika 4.4-2 

Ilustracija zgleda 4.4-5. 

j0, 

5 

konvergentno 

obmoèje 

4.5 Povezava 

z-transformacije , CFT in DFT 

Oglejmo si še podobnost in povezanost z-transformacije, zvezne 

Fourierove in diskretne Fourierove transformacije. V ta namen 

zapišimo kompleksno število z v polarni obliki: 

z = |z| e jω


in jo zapišimo v splošni z-transformaciji: 

X(z = |z|e jω ) = 

= 

infty 

∑ 

n=−∞ 


∑ 

n=−∞ 

x[n] [ |z| e jω] −n 

x[n]|z| −n e −jnω . 

Če izberemo, da je |z| = 1, se zgornja enačba poenotavi v: 

X(z = 1 · e jω ) = 


∑ 

n=−∞ 

x[n] e −jnω , 

DFT: 

diskretna Fourierova 


CFT: 

zvezna Fourierova 


kar je Fourierova transformacija zaporedja x[n]! 

V splošnem primeru je z-transformacija vzdolž poljubnega 

kroga s polmerom R enaka Fourierovi transformaciji zaporedja 

x[n], ki je pomnožena s faktorjem R −n . To je ponovna podobnost 

med z-transformacijo, Laplaceovo transformacijo in Fourierovo 

transformacijo. Seveda pa obstajajo funkcije, za katere 

obstaja z-transformacija, Fourierova pa ne. Vzrok je prav R −n . 

Vrednosti DFT so otipki CFT diskretnih signalov. Od tod 

sledi, da je DFT enaka otipkom z-transformacije na enotskem 

krogu: 

X(mΩ) = X(z) ∣ , 

z=e 

j 2π N k 

Ω je interval med otipku spektra (Ω = 2π 

T s 

). Grafična predstavitev 

naštetih povezav in podobnosti je predstavljena na sliki 4.5-1. 

ZGLED 4.5-1 Podobnost z-transformacije, DFT in CFT 

Izračunajmo z-transformacijo zaporedja: 

x[n] = u[n] − u(n − 4) 


4.5 Povezava 

z-transformacije , CFT in DFT 57 

{ z} 

toèke doloèa 

DFT, W = W 

N 8 

{ z} 

Slika 4.5-1 

Povezava CFT, DFT in cal Z 

transformacije. 

z 1 

kronico doloèa 

Fourierova transformacija 

Rešitev: 

CFT: 

DFT: 

X(z) = 

3∑ 

z −n = 1 + z −1 + z −2 + z −3 

n=0 

= 

(1 − z−4 

1 − z−1 

= z −2+1/2 z 2 − z −2 

z 1/2 − z → −1/2 X(e jω ) = X(z) ∣ = sin(2ω) 

e−jω(2−1/2) 

z=e jω sin(ω/2) 

sin(kπ/2) 

X(k) = X(z) ∣ = e−j3πk/8 

z=e j2πk/8 

sin(πk/8) 

♦


u( n) 

1 

Slika 4.5-2 

Ilustracija zgleda 4.5-1. Zgoraj: 

diskretna enotska stopnica, 

sredina: diskretna enotska 

stopnica zakasnjena za 4 otipke, 

spodaj: rezultat. 

u( n 4) 

1 

x( n) 

0 

0 

1 

1 

2 

2 

3 

3 

4 

4 

5 

5 

6 

6 

7 

7 

8 

8 

9 

9 

n 

n 

1 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

n 


5. Diskretni sistemi 

Pri projektiranju kateregakoli sistema - bodisi analognega ali diskretnega 

- delo opravimo v treh korakih: 

1. Najprej določimo lastnosti sistema. 

2. Izračunamo analogno prenosno funkcijo. 

Zakaj analogno? Tudi če načrtujemo diskretni sistem, najprej 

izračunamo analogno izvedbo sistema. Razloga sta 

naslednja: 

Za analogne sisteme obstajajo bolje razdelane tehnike 

načrtovanja sistemov kot za diskretne sisteme. 

Večino diskretnih sistemov načrtujemo zato, da z njimi 

nadomestimo analogne. 

3. Zgradimo sistem. 

Realizacija diskretnega sistema se razlikuje od analognega. 

Poleg procesnega dela obsega še pretvorbo analognega signala v 

digitalni - to opravimo z vzorčenjem signala in kodiranjem vzorca. 

Rekonstrukcijo zveznega signala opravi digitalno analogna pretvorba 

(slika 5.0-1). Procesiranje signala običajno izvaja digitalni 

signalni procesor, uporabljajo pa se tudi standardni mikroprocesorji, 

mikroprocesorji z reduciranim instrukcijskim naborom ali 

namenski mikroprocesorji oziroma mikroprocesorke mreže, ko je 

pomembna hitrost računanja ali pa imamo opraviti z zelo kompleksnimi 

algoritmi. 

V tem poglavju se s terminom diskretni sistem razumeva časovno 

diskretni sistem. V nadaljevanju bomo obravnavali le linearne, 

59

60 5. Diskretni sistemi 

Slika 5.0-1 

Primerjava obdelave signala z 

analognim in digitalnim 

sistemom. 

analogni sistem: 

v( t) 

V( s) 

h( t) 

H( s) 

diditalni sistem: 

v( t) v[ n] h[ n] 

y[ n] y( t) 

ADC 

DAC 

V( s) V( z) H( z) 

Y( z) Y( s) 

y( t) 

Y( s) 

časovno invariantne diskretne sisteme. Za te sisteme ne moremo 

zgraditi računskih algoritmov. Ti obstajajo le za digitalne, to je 

časovno in amplitudno diskretne sisteme. Obe vrsti sistemov se 

razlikujeta v kvantizaciji otipkov. Razliko med obema sistemoma 

obravnavamo kot šum, ki ga zaradi izvora imenujemo kvantizacijski 

šum. Če je kvantizacijska stopnica dovolj majhna - torej 

digitalni zapis otipka zelo natančen, lahko zanemarimo razliko 

med diskretnim in digitalnim sistemom. 

Vedno pa se moramo zavedati, da so natančne izpeljave povezav 

le med analognimi in diskretnimi sistemi. Z digitalnimi 

sistemi lahko le aproksimiramo analognega. 

5.1 Diferenčne enačbe 

Lastnosti diskretnega sistema lahko opišemo le z diferenčnimi 

enačbami, ki povezujejo diskretne trenutke poznavanja vrednosti 

vhodnega in izhodnega signala. Z njimi aproksimiramo običajen 

zapis zveznih sistemov diferencialnimi enačbami: 

dx(t) x(n) − x(n − 1) 

= (5.1-1) 

dt 

T s 

kjer so T s interval otipavanja signala, x(n) in x(n − 1) pa zaporedna 

otipka signala (v trenutkih n·T s in (n−1)T s ). Z upoštevanjem 

(5.1-1), lahko diferencialno enačbo, ki povezuje vhodni in izhodni 

signal zveznega sistema aproksimiramo z: 

B ′ 0x(n) + B ′ 1x(n − 1) + B ′ 2x(n − 2) + · · · + B ′ Mx(n − M) = 

A ′ 0y(n) + A ′ 1y(n − 1) + A ′ 2y(n − 2) + · · · + A ′ Ny(b − N) (5.1-2) 


5.1 Diferenčne enačbe 61 

oziroma v krajši obliki: 

M∑ 

M∑ 

B jx(n ′ − j) = A ′ ky(n − k) (5.1-3) 

j=0 

Enolično določitev diskretnega sistema z (5.1-3) zahteva poznavanje 

začetnih pogojev. Torej se v tem diskretni sistem ne 

razlikuje od analognega. Za kavzalni sistem so začetni pogoji 

naslednji: 

x(n < N) = 0 ⇒ y(n − N) = 0 (5.1-4) 

Pri kavzalnem sistemu je tudi A 0 ≠ 0. To pomeni, da je trenutni 

izhod sistema odvisen od trenutnega in izbranega števila predhodnih 

vhodov ter izbranega števila predhodnih izhodov. Zato 

lahko (5.1-2) delimo z A 0 : 

B ′ 0 

A ′ 0 

x(n) + B′ 1 

A ′ 0 

k=0 

x(n − 1) + B′ 2 

A ′ x(n − 2) + · · · + B′ M 

0 

A ′ x(n − M) = 

0 

y(n) + A′ 1 

A ′ y(n − 1) + A′ 2 

0 

A ′ y(n − 2) + · · · + A′ N 

0 

A ′ y(b − N) (5.1-5) 

0 

oziroma z vpeljavo novih oznak A k = A ′ k /A′ 0 in B k = B ′ k /A′ 0 

dobimo: 

B 0 x(n) + B 1 x(n − 1) + B 2 x(n − 2) + · · · + B M x(n − M) = 

y(n) + A 1 y(n − 1) + A 2 y(n − 2) + · · · + A N y(b − N) (5.1-6) 

Izhod sistema je: 

y(n) = B 0 x(n) + B 1 x(n − 1) + · · · + B M x(n − M)− 

A 1 y(n − 1) − A 2 y(n − 2) − · · · − A N y(b − N) 

M∑ 

M∑ 

= B j x(n − j) − A k y(n − k) N ≤ M 

j=0 

k=1 

(5.1-7) 

Red enačbe določa M, zato ima enačba prvega reda indekse j ∈ 

(0, 1) in k ∈ (1). Izhod sistema je: 

y(n) = B 0 x(n) + B 1 x(n − 1) − A 1 y(n − 1) (5.1-8) 

Grafično predstavitev (5.1-8) kaže slika 5.1-1.


zakasnitev 

za en otipek 

x( n-1) 

B 1 

Slika 5.1-1 

Ponazoritev (5.1-8). 

x( n) 

B 0 

A 0 

y( n-1) 

zakasnitev 

za en otipek 

y( n) 

Izračunajmo sedaj impulzni odziv sistema (5.1-8). Dobimo ga 

tako, da na vhod damo enotski impulz. Po definiciji moramo v 

tem primeru na izhodu dobiti impulzni odziv: 

Dobimo: 

x(n) = x(0) = δ(n = 0) ⇒ y(n) = h(n) (5.1-9) 

y(n) = h(0) = B 0 δ(0) + B 1 δ(0 − 1) − A 1 h(0 − 1) 

= B 0 · 1 + B 1 · 0 − A 1 · 0 

= B 0 

h(1) = B 0 δ(1) + B 1 δ(0) − A 1 h(0) 

= B 0 · 0 + B 1 · 1 − A 1 · B 0 

= −A 1 B 0 + B 1 

h(2) = B 0 δ(2) + B 1 δ(1) − A 1 h(1) 

= B 0 · 0 + B 1 · 0 − A 1 (−A 1 B 0 + B 1 ) 

= −A 1 (−A 1 B 0 + B 1 ) 

h(3) = B 0 δ(3) + B 1 δ(2) − A 1 h(2) 

= B 0 · 0 + B 1 · 0 − A 1 [−A 1 (−A 1 B 0 + B 1 )] 

= (−A 1 ) 2 (−A 1 B 0 + B 1 ) 

(5.1-10) 

Iz poteka računanja odziva v (5.1-10) lahko enostavno uganemo, 

kakšen je odziv v trenutku n: 

h(n) = (−1) n (−A 1 B 0 + B 1 ) (5.1-11) 

zato lahko oblikujemo splošni zapis impulznega odziva: 

h(n) = B 0 δ(n) + (−1) n (−A 1 B 0 + B 1 )u(n − 1) (5.1-12) 


5.2 Transformacija analognih sistemov v diskretne 63 

-1 

0 1 2 n2 n1 n t 

Slika 5.1-2 

Ponazoritev u(n − 1). 

kjer un − 1 (n − 1) otipek vzorca enotske stopnice (slika 5.1-2). 

Z njim določimo časovno pozicijo drugega člena na desni strani 

(5.1-12). 

Iz (5.1-12) vidimo, da ima zapisani sistem neskon ni odziv. 

Temu je vzrok povratna vez - odvisnost trenutnega izhoda sistema 

od predhodnih izhodov. Diskretne sisteme s to lastnostjo 

imenujemo sistemi z neskončnim impulznim odzivom. Zanje uporabljamo 

kratico IIR. 

Poleg sistemov IIR obstaja še družina sistemov, pri katerih 

trenutni izhodi niso odvisni od predhodnih izhodov. To družino 

dobimo iz sistemov IIR tako, da jim črtamo povratne vezave: 

A 1 = A 2 = · · · A N = 0. V primeru sistema prvega reda zato 

velja: 

y(n) = B 0 x(n) + B 1 x(n − 1) (5.1-13) 

IIR: 

Infinite Impulse 

Response 

Njegov odziv je določen z: 

x( n) 

zakasnitev x( n-1) 

za en otipek B 1 

Slika 5.1-3 

y ( n 

B ) Ponazoritev u(n − 1). 

0 

h(n) = B 0 δ(n) + B 1 δ(n − 1) (5.1-14) 

FIR: 

Fnfinite Impulse 

Response 

Ti sistemi imajo končno dolg impulzni odziv, zato jih označujemo 

s kratico FIR. 

5.2 Transformacija analognih sistemov v diskretne 

Ker so metode načrtovanja analognih vezij dobro znane in dodelane, 

ponavadi diskretne sisteme načrtujemo tako, da najprej 

načrtamo zvezni sistem, ki ga na to z ustrezno metodo prevedemo 

v diskretni. V nadaljevanju sta opisani dve metodi pretvorbe.


5.2.1 Metoda enakih impulznih odzivov 

Analogni sistem pretvorimo v digitalni sistem tako, da je impulzni 

odziv h(n) enak vzorcu analognega sistema pomnoženega s 

intervalom otipavanja: 

h(n) = T s h(t = nT s ) (5.2-1) 

Kot smo že ugotovili v obravnavi vzorčenja, lahko vzorec signala, 

ta je v tem primeru impulzni odziv h(n), popolnoma določi original, 

če je original frekvenčno omejen in če je pri vzorčenju bilo 

spoštovano Shannonovo pravilo. To pomeni, da mora veljati: 

∣ 

H(jω) 

∣ 

|ω|≥ωm= 2π 

Ts 

= 0 (5.2-2) 

V nasprotnem primeru pride do prekrivanja periodično ponavljajoče 

se transformiranke impulznega odziva, ki onemogoča transformacijo 

analognega sistema v disktretnega. 

Za izhodišče izpeljave transformacije zveznega sistema v diskretni 

uporabimo faktorizirano obliko prenosne funkcije zveznega 

sistema: 

H(s) = 

N∑ 

k=1 

H k 

s − s k 

(5.2-3) 

kjer so s k poli zvezne prenosne funkcije, H k pa koeficienti, katere 

lahko (v primeru enojnih polov) preprosto izračunamo s pomočjo 

residiumov: 

H k = lim H(s) · (s − s k ) (5.2-4) 

s→sk 

Inverzna Laplaceova transformacija zveznega impulznega odziva 

je: 

N∑ 

h(t) = H k e skt u(t) (5.2-5) 

k=1 

kjer je u(t) enotska stopnica (z njo opišemo časovno območje 

odziva). Iz (5.2-1) sledi, da je impulzni odziv diskretnega sistema 

enak: 

h(n) = T s 

N ∑ 

k=1 

njegova z-transformacija pa je enaka: 

H(z) = T s 

∞ ∑ 

n=0 k=1 

H k e s kt u(t) (5.2-6) 

N∑ 

H k e skt z −n (5.2-7) 


5.2 Transformacija analognih sistemov v diskretne 65 

oziroma, če upoštevamo vrednost vrste, ki določa z-transformacijo: 

H(z) = 

N∑ 

k=1 

T s H k 

1 − e s kT sz −1 

(5.2-8) 

Iz podane izpeljave lahko zaključimo, da prenosno funkcijo diskretnega 

sistema lahko določimo po naslednjem postopkom: 

1. Zvezno prenosno funkcijo zapišemo v zaprti obliki 

2. Izvedemo preslikavo polov s k v analognem svetu v e s kT s 

pole v diskretnem svetu. 

3. Koeficiente H k pomnožimo s korakom otipavanja T s , oziroma 

vzpostavimo ekvivalentost: 

H k 

1 − s k 

←→ T sH k 

1 − e s kT sz −1 

(5.2-9) 

ZGLED 5.2-1 

Za zvezno prenosno funkcijo 

H(s) = 

1 

(s + 1)(s + 2) 

določimo z metodo enakih impulznih odzivov prenosno funkcijo ekvivalentnega 

diskretnega sistema! 

Najprej H(s) razcepimo na delne ulomke: 

H(s) = 

1 

(s + 1)(s + 2) = A 

s + 1 + B 

s + 2 = 1 

s + 1 + 1 

s + 2 

Upoštevamo ekvivalenco v (5.2-9) in predpostavimo T s = 1. Dobimo: 

1 

H(z) = 

1 − e −1 z −1 + 1 

1 − e −2 z −1 

1 − e −2 z −1 − 1 + e −1 z −1 

= 

1 − e −1 z −1 − e −2 z −1 + e −2 z 

( −2 

1 

e 

= 

− ) 1 

e z 

−1 

2 

1 − ( 1 

e + ) 1 

e z 

−1 

+ 1 2 e 

z −2 2 

0, 233z −1 

= 

1 − 0, 503z −1 + 0, 050z −2 ♦


Postopek enakih impulznih odzivov smo sicer izpeljali za enojne 

pole. Velja pa tudi za večkratne pole. V tem primeru moramo 

pri razcepu analogne prenosne funkcije v delne ulomke upoštevati 

ustrezne razcepne obrazce, ki smo jih opisali pri inverzni Laplaceovi 

transformaciji. 

5.2.2 Bilinearna transformacija 

Fourierova transformacija diskretnega signala je enaka vrednostim 

z-transformacije na enotskem krogu. Analogno Fourierova 

transformacija originalnega - analognega - signala je enaka vrednostim 

Laplaceove transformacije na imaginarni osi (to je vrednostim, 

ki jih dobimo pri formalni zamenjavi spremenljivk s z 

jω). Iz teh relacij lahko zaključimo, da pri načrtovanju diskretnega 

sistema smiselno izvesti transformacijo, ki preslika vrednosti 

na imaginarni osi v s-ravnini v vrednosti na enotski krožnici v 

z ravnini. V tem primeru bo Fourierova transformacija v analognem 

svetu ekvivalentna Fourierovi transformaciji v diskretnem 

svetu. 

Najpreprostejša transformacija, ki vrši tako preslikavo, je bilinearna 

transformacija: 

s = 2 T s 

1 − z −1 

1 + z −1 (5.2-10) 

kjer je 2/T s poljubna konstanta in jo ponavadi izenačimo z 1. 

Preprosto se lahko prepričamo, da ta transformacija povezuje 

enotski krog z imaginarno osjo s-ravnine. Spomnimo se definicije 

spremenljivke z in zapišimo: 

s = σ + jω a = 2 T s 

1 − e −jω 

1 + e −jω = j 2 T s 

tan(ω/2) = jω a (5.2-11) 

Vidimo, da se krožnica res transformira v imaginarno os. Pri 

spremembi točke na krožnici od −π do π, se spremeni frekvenca 

ω a od −∞ do ∞ (slika 5.2-1). Inverzna formula bilinearne transformacije 

izračunamo z obratom (5.2-10): 

z = 1 + (T s/2)s 

1 − (T s /2)s 

(5.2-12) 

Iz izračuna absolutne vrednosti (5.2-12) uvidimo, da se pri 

bilinearni transformaciji leva polravnina s preslika znotraj enot- 


5.3 Izvedbe IIR sistemov 67 

j 

a 

1 Ts 

s 

z 

( / 2) 

1 

( T / 2) 

s 

s 

{ z} 

1 { z} 

Slika 5.2-1 

Bilinearna transformacija. 

skega kroga v z-ravnini (slika 5.2-1): 

|z| = 1 + (T s/2)(σ + jω a ) 

1 − (T s /2)(σ + jω a ) 

√ 

(1 + Ts 

2 

= 

)(σ2 + ωa) 

2 (5.2-13) 

(1 − Ts 

2 )(σ2 + ωa) < 1 pri σ < 0 2 

5.3 Izvedbe IIR sistemov 

Diskretne IIR sisteme lahko izvedemo na več načinov. Izmed 

njih se najpogosteje uporabljajo: direktne, kaskadne in paralelne 

vezave. Pri vseh izhajamo iz (5.1-7). 

5.3.1 Direktna izvedba 

Direktna vezava, kot pove že ime, direktno preslika matematični 

zapis sistema v shemo vezja oziroma shemo algoritma. Za sistem 

prvega reda, opisuje ga (5.1-8), shemo kaže slika 5.1-1, splošni 

zapis sistema IIR v (5.1-7): 

(5.1-7): y(n) = 

M∑ 

M∑ 

B j x(n−j)− A k y(n−k) , N ≤ M 

j=0 

k=1 

pa lahko preslikamo v shemo na sliki 5.3-1.


x( n) 

B 0 

y( n) 

Slika 5.3-1 

Direktna izvedba diskretnega 

sistema, osnovna oblika. 

x( n-1) 

x( n-2) 

x( n-N) 

T s 

B 1 

T s 

B 2 

T s 

A 0 

B N 

A 1 

A M 

T s 

T s 

T s 

y( n-1) 

y( n-2) 

y( n-M) 

Iz slike vidimo, da imamo dva sklopa, ki sta povezana v kaskado. 

Prvi sklop pripada vhodnemu signalu in njegovim zakasnitvam, 

drugi sklop pa povratnim vplivom izhodnega signala. Ker 

sta sklopa linearna, ju seveda lahko medsebojno zamenjamo, ne 

da bi se spremenil izhod celotnega sistema. Pri tej spremembi 

prihranimo zakasnilne elemente manjšega od v kaskado vezanih 

sklopov (slika 5.3-2). 

Slika 5.3-2 

Direktna izvedba diskretnega 

sistema, modificirana oblika. 

x( n) y( n) 

B 0 

T s 

A 0 

A 1 

B 1 

T s 

B 2 

T s 

A M 

B N 

5.3.2 Kaskadna izvedba 

Prenosno funkcijo lahko izrazimo tudi v faktorizirani obliki, podobno 

kot smo jo zapisali za kaskadne zgradbe analognih sit. Pri 

tem združimo konjugirano kompleksne pole in ničle. Za sodo prenosno 

funkcijo lahko zapišemo: 


5.3 Izvedbe IIR sistemov 69 

kjer je 

H(z) = H 0 

(1 + b 11 z −1 + b 12 z −2 ) · · · (1 + b k1 z −1 + b k2 z −2 ) 

(1 − a 11 z −1 + ab 12 z −2 ) · · · (1 − a k1 z −1 − a k2 z −2 ) 

(5.3-1) 

= H 0 · H 1 (z)H 2 (z) · · · H k (z) (5.3-2) 

H k (z) = (1 + b k1z −1 + b k2 z −2 ) 

(1 − a k1 z −1 − a k2 z −2 ) 

(5.3-3) 

gradnik kaskade. Njegova struktura je lahko taka kot pri modificirani 

direktni. Kaskadno realizacijo prenosne funkcije kaže slika 

5.3-3. 

x( n) y1( n) y n 

T s 

a 11 

b 10 

b 11 

T s 

a 12 

b 12 

k1( ) 

T s 

b k1 

T s 

a k 2 

b k 2 

a k1 

b k 0 

y( n) 

Slika 5.3-3 

Kaskadna izvedba diskretnega sistema, na osnovi modificirane oblike. 

Če prenosna funkcija ni soda, pomeni da ima realne ničle ali 

pole. V tem primeru imamo v kaskadni zgradbi tudi člen prvega 

reda. Tega preprosto dobimo iz drugega reda tako, da postavimo 

a 21 = b 21 = 0. 

5.3.3 Paralelna izvedba 

Pot do paralelne izvedbe je razcep faktorizirane prenosne funkcije 

na delne ulomke drugega reda. Ker v tem primeru izhod določa 

vsota vseh gradnikov drugega reda, jih vežemo vzporedno (slika 

5.3-4).


x( n) y( n) 

b 10 

T s 

a 11 

b 11 

T s 

a 12 

b 12 

Slika 5.3-4 

Paralelna izvedba diskretnega 

sistema, modificirana oblika. 

T s 

b k 0 

a k1 

b k1 

T s 

a k 2 

b k 2 

5.4 Načrtovanje FIR sistemov 

Do končnega odziva lahko najenostavneje pridemo tako, da obrežemo 

neskončni odziv na končno dolžino. To pomeni, da sistemu tipa 

IIR s prenosno funkcijo h IIR (n), ki ga dobimo s preslikavo analognega 

sistema v diskretni, odgovarja sistem tipa FIR s prenosno 

funkcijo h F IR (n), ki sta v naslednji medsebojni povezavi: 

{ 

h IIR (n) 0 ≤ n ≤ N − 1 

h F IR (n) = 

(5.4-1) 

0 drugje 

oziroma 

kjer je 

h F IR (n) = h IIR w(n) (5.4-2) 

w(n) = 

{ 

1 0 ≤ n ≤ N − 1 

0 sicer 

(5.4-3) 

w(n) imenujemo pravokotno okno. 

Pri širini okna imamo nasprotujoči si zahtevi. Po eni strani 

želimo, da je N čim manjši, da ga lahko hitreje izračunamo, ozi- 


5.4 Načrtovanje FIR sistemov 71 

roma, da za sistem potrebujemo manj elementov, če ga realiziramo 

z vezji. Po drugi strani mora okno biti dovolj veliko, da 

bodo vrednosti, ki ostanejo izven okna, zanemarljivo majhna v 

primerjavi z vrednostmi, ki so znotraj okna. Torej je izbira velikosti 

okna vedno iskanje kompromisa. 

Poglejmo si določitev velikosti okna v frekvenčnem prostoru. 

Transformiranka množenja časovnega okna z odzivom sistema 

tipa IIR je konvolucija Fourierovih transformirank okna in prenosne 

funkcije: 

H(e jω ) = H IIR ∗ W (e jω ) = 1 H IIR (e jθ )W e j(ω−θ) dθ 

2π −π 

(5.4-4) 

Idealna oblika okna, ki ne popači H(jω), mora imeti obliko 2πδ(ω). 

V tem primeru (5.4-4) preide v: 

H(jω) = H IIR ∗ W = 1 

2π 

∫ π 

−π 

∫ π 

H IIR (e jθ )2πδ(ω − θ) dθ 

= H IIR (jω) (5.4-5) 

Žal idealno okno ni uporabno, ker zahteva, da je w(n) = 1 za 

vsak n, kar pomeni, da ne obreže prenosne funkcije tipa IIR in 

zato nimamo končno dolgega odziva sistema. Vseeno primerjajmo 

transformiranko idealnega okna s transformiranko pravokotnega 

okna. Vemo, da je transformiranka pravokotnega poteka 

signala funkcija S a (x) = (sin x)/x oziroma diskretna Fourierova 

transformacija vzorca pravokotnega okna enaka: 

Π(jω) = 

= 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

n=0 

N−1 

∑ 

x(n)WN kn = 

n=0 

1 · W kn 

N 

e 2π N kn (5.4-6) 

Velikost okna določata točki −2π/N in 2π/N, ki omejujeta glavni 

val funkcije S a . Širina glavnega vala se manjša z naraščanjem N, 

vendar se s tem ne zmanjša valovanje S a izven glavnega vala. 

Postaja le ožje. Ta valovitost povzroči, da je prenosna funkcija 

H F IR (e jω ) valovita in zato je valovit tudi impulzni odziv. Ta 

pojav imenujemo Gibbsov pojav. 

Gibbsov pojav lahko zelo zmanjšamo, če namesto pravokotnega 

okna uporabimo okno drugačne oblike. Opis pogosto uporabljenih 

oken je v tabeli 5-1


Tabela 5-1 

Pogosta okna 

tip okna 

pravokotno okno 

w(n) = 

matematični opis 

{ 

1 0 ≤ n ≤ N − 1 

0 drugje 

trikotno okno 

w(n) = 

{ 

2n/(N − 1) 0 ≤ n ≤ (N − 1)/2 

2 − 2n/(N − 1) drugje 

Hanningovo okno 

w(n) = 

[ ( )] 

1 − cos 2nπ 

N−1 

0 ≤ n ≤ N − 1 

0 drugje 

{ 1 

2 

Hammingovo okno 

w(n) = 

{ ( ) 

0, 54 − 0, 46 cos 

2nπ 

N−1 

0 ≤ n ≤ N − 1 

0 drugje 


Seznam oznak 

operacije 

〈 , 〉 skalarni ali notranji produkt 

x(t) 

na primer 〈a, b〉 = ab sin α α : kot med a in b, a, b iznos a, b. 

povprečna vrednost x(t), na primer x(t) = 1 ∫ T /2 

T −T /2 x(t) dt = 1 ∫ 

T 

spremenljivke 

f frekvenca, f = 1/T 

T 

x(t) dt 

h 

p h 

H 

H(e jω ) 

H(s) 

H(z) 

impulzni odziv 

h(t) impulzni odziv zveznega linearnega sistema 

h[n] impulzni odziv diskretnega linearnega sistema 

periodično podaljšan impulzni odziv 

na periodo omejen periodično podaljšan impulzni odziv 

Fourierov transform impulznega odziva: F{h(t)} 

tudi H(f), H(ω), H(jω) 

Laplaceov transform impulznega odziva L{h(t)} 

z-transformiranka diskretnega impulznega odziva 

73

74 Seznam oznak 

p(t) trenutna moč 

r(τ) korelacija 

r x (τ): avtokorelacija signala x(t) 

r xy (τ): križna korelacija signala x(t) s signalom y(t) 

u(t) enotska stopnica, u(t) = 1, t 0 

v vhodni signal 

x 

x q 

h x 

X 

x ∗ 

y 

signal 

x(t) zvezni časovni signal 

x[n] diskretni časovni signal 

amplitudno diskretni signal 

x q (t) amplitudno diskretni časovni zvezni signal 

x q [n] amplitudno in časovno diskretni signal 

harmonični signal, h x = ae jωt 

na eno periodo omejen periodični signal x(t) ali x[n] 

konjugirano kompleksni signal 

če je x(t) = a(t) + jb(t), potem x ∗ (t) = a(t) − jb(t) 

izhodni signal 

E 

P 

T 

δ(t) 

∆[n] 

φ(t) 

ω 

energija 

povprečna moč, P = 1 T 

∫ 

T 

p(t) dt 

perioda (periodičnega) signala, x(t) = x(t + T ), T = 1 f 

Diracov impulz 

enotski ali Kroneckerjev impulz 

bazična funkcija 

krožna frekvenca, ω = 2πf = 2π 

T 


Seznam oznak 75 

A 

B 

C 

N 

R 

T 

Z 

T 

T −1 

F 

L 

Sa 

množice 

amplitudno območje signala, amplitudni razmah (interval realnih števil) 

prostor binarnih števil 

prostor kompleksnih števil 

C N : prostor kompleksnih N-teric 

prostor naravnih števil 

prostor realnih števil 

R N : prostor realnih N-teric 

signalna os 

T N : interval celih števil [0, 1, . . . N 1 ], definicijska domena 

T T : interval realnih števil [0, T ), definicijska domena 

prostor celih števil 

ramp(t) strmina 

rect(t) 

Z − : nepozitivna (seminegativna) cela števila 

Z + : nenegativna (semipozitivna) cela števila 

transformacije 

transformacija, preslikava signala 

inverzna transformacija 

Fourierova transformacija 

Laplaceova transformacija 

posebni signali 

sin x/x, ”sample function” 

pravokotni pulz 

trian(t) trikotni pulz

76 Seznam oznak 


Literatura 

[1] H. Kwakernaak, R. Sivan: Modern signals and systems (third 

edition). The McMillan Press LTD., ISBN 0–13–812728–X 

[2] A.V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Discrete-Time Signal 

Processing. Prentice Hall Processing Series, 1989, ISBN 

0–13–216292–X 

[3] Charles L. Phillips, John M. Parr (1995). Signals, systems, and 

transformas, Prentice Hall Inc., ISBN 0–13–795253–8 

[4] E.C. Ifeachor, B.W. Jervis: Digital signal procesing, A practical 

approach. Addison-Wesley, 1997, ISBN 0–201–54413–X 

[5] H. S. Carslaw: An introduction to Fourier’s series and integrals 

(third edition). Dover Publications, inc. (ponatis 1960) 

[6] I.N. Sneddon: Fourier transforms. Dover publications Iinc., 

(ponatis 1995), ISBN 0–486–68522–5 (pbk) 

[7] H.F. Davis: Fourier series and orthogonal functions. Dover 

publications Inc., 1963, ISBN 0–486–65973–9 

[8] M. Reed, B. Simon: Fourier analysis, Self-Adjaintness. 

Academic press Inc., 1975, ISBN 0–12–585002–6(v.2) 

[9] M. R. Spiegel: Theory and problems of Fourier analysis with 

applications to boundary value problems. Schaum’s outline series, 

McGraw-Hill (18.izdaja 1994). ISBN 0-07-060219-0 

[10] M. R. Spiegel: Theory and problems of Lapalace transform. 

Schaum’s outline series, McGraw-Hill (18.izdaja 1994). ISBN 

0-07-06231-X 

[11] M. E. van Valkeburg: Network Analysis. 

[12] D. Lange (19xx). Methoden der Signal und sistemanalise. 

77

78 Literatura 

[13] Dietmar Achilles: Die Fourier-Transformation in der 

Signalverabeitung. Springer Verlag, 1985 

[14] Charles K. Chui, Guanrong Chen: Signal Processing and System 

Theory (Selected topics). Springer Verlag, 1992 

[15] Paul A. Lynn (1994). An introduction to the analysis and 

Processing of signals. MacMillan Press LTD. 1994, ISBN 

0–333–48887–3 

[16] I.N. Bronštein, K.A. Semendjajev, G. Musol, H. Mühlig: 

Matematični priročnik. Tehniška založba Ljubljana. 

[17] Ludvig Gyergyek: Teorija obdelave signalov in statistične 

metode. Založba FER Ljubljana, 1987. 

[18] Tine Zorič, Dali Donlagić, Rajko Svečko: Teorija linearnih 

diskretnih sistemov. Založba FERI Maribor, 1994 ISBN 

86–436–0053–4 

[19] Rajko Svečko, Tine Zorič: Teorija linearnih diskretnih sistemov. 

Založba FERI Maribor, 1994 ISBN 86–435–0076–3 

[20] Rajko Svečko: Teorija sistemov. Založba FERI Maribor, 2000 

ISBN 86–435–0366–5 

[21] Žarko Čučej: Komunikacije v sisteih daljinskega vodenja, 

Založba FERI Maribor, 1998, ISBN 86–435–0217–0 

[22] Žarko Čučej, Peter Planinšič: Teorija signalov: Uvod v teorijo, 

Založba FERI Maribor, 1999, ISBN 86–435–0267–7 

http://SPaRC.feri.uni-mb/publikacije 

[23] Žarko Čučej, Peter Planinšič: Teorija signalov: Harmonična 

analiza in obdelava, Založba FERI Maribor, 2001, (trenutno 

dosegljiva kot datoteka Signal C na 

http://SPaRC.feri.uni-mb/publikacije) 

[24] Erhard Stepanek Praktische analyse linearer systeme durch 

faltungsoperationen, Academishe verlagsgesellschaft, Geest & 

Portig k.g. Leipzig, 1976 

[25] John J. Komo: Random Signal Annalysis in Engineering 

Systems, Acaddemic Press. Inc., 1987, ISBN 0–12–418660–2. 

[26] Harry Urkowitz: Signal theory and random processes. Artech 

house. Inc., 1983, ISBN 0–89006–121–1 

[27] Igor Grabec, Janez Gradišek: Opis naključnih pojavov, Univerza 

v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, 2000, ISBN 961–6238–42–6. 


Literatura 79 

[28] Ludvig Gyergyek: Teorija obdelave signalov in statistične 

metode. Univerza v Ljubljani, Založba FER Ljubljana, 1987 

[29] Rajko Jamnik: Verjetnostni račun. Univerza v Ljubljani, 

Mladnska knjiga, 1987 

[30] Rajko Jamnik: Matematična statistika. Državna založba 

Slovenije, 198o 

[31] Georgije Lukatela: Statistička teorija telekomunikacija i teorija 

informacija 1 Gradevinska knjiga Beograd, 1991, ISBN 

86–395–0280–3 

[32] Ian A. Glover, Peter M. Grant: Digital Communications 

Prentice Hall Europe, 1998, ISBN 0–13–5653391–6 

[33] John G. Proakis: Digital Communications (third edition) 

McGraw-Hill International editions, 1995, ISBN 0–07–113814–5 

[34] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and 

sciences Brooks/Cole Publishing company 1991, ISBN 

0–534–14352–0 

[35] Yannis Viniotis: Probability and random processes for electrical 

engineers McGraw-Hill International editions, 1997, ISBN 

0–07–067491–4 

[36] Claude E. Shannon: A mathematical theory of communications 

[37] Slovar Slovenskega knjižnega jezika Slovenska akademija znanosti 

in umetnosti, Državna založba SLoenije, 1980 

[38] Random Hause Dictionary of the English Language Edit. Jess 

Stein, Random Hause Inc., 1966, ISBN: 0–394–47176–8

80 Literatura

Teorija signalov - diskretni sistemi in signali

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?