( ) ( )

مال
الحيان
الأستاذ عموميات حول الدوال العددية الأولى بكالوريا علوم تجريبية على حيز تعريفها
د.‏ أعط جدول تغيرات الدالة نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي تمرين الدالتين العدديتين المعرفتين
لتكن تمرين المعرفة بما يلي
و
آما يلي:‏
حيز تعريف الدالة
حدد أ.‏ أعط جدول تغيرات آل من الدالتين و
ب.‏ أرسم المنحنى الممثل للدالة في المستوى
تحقق من أن
نسوب إلى معلم متعامد ممنظم
محدودة بواسطة العددين
أثبت أن و
ج . استنتج مبيانيا
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي
تمرين المعرفة بما يلي
.
x
gx ( ) =
2x
+ 4
. g f
.
( Oi ,, j )
. f (] −∞, −1])
:
:
f
f
( x ) 2
f( x) = + 1
f ([ − 1, +∞[
)
و g
∀x ∈ : h( x ) = ( gof )( x )
2
x + 2x
+ 1
∀x
∈ : h( x)
=
2
2x
+ 4x
+ 6
h
. − 1, +∞
:
f
: 5
.1
.2 نضع :
أ.‏ بين أن:‏
ب.‏ حدد رتابة
الدالة
و
من آل على
المجالين
[ [
1
∀x
∈R
: 0 ≤ h( x)
<
2
x
⎧ 2
1+ x −1
f( x) = ; x≠0
⎪
2
x
⎨
يلي :
⎪ 1
f (0) =
⎪⎩ 2
1
∀x ∈ R : f ( x)
=
2
1+ x + 1
. Max f ( x )
] −∞, −1]
ج.‏
تمرين
بين أن:‏
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي
x ∈R
و g
x 4
f( x)
= +
x + 2
.
: 6
بين أن:‏
المعرفة بما
:
f
استنتج قيمة
: 7
.1
.2
تمرين
لتكن
آالاتي:‏
و
الدالتين العدديتين المعرفتين
. gx ( ) = x+
4
( C g و(‏ ( C f )
D g
D f
1. و حدد
2. حدد نقط تقاطع آل من المنحنيين
محوري المعلم
مع
.
.
( Oi ,, j )
و ) g ( C
في نفس المعلم.‏
:
، في
x + 4 ≤ x + 4
x + 2
f
.3 أنشئ ) f ( C
حل مبيانيا
، المتراجحة التالية
: 8
.4
تمرين
نعتبر الدالة العددية
المعرفة بما يلي
للمتغير الحقيقي x
2
x
f( x)
=
1 + x
. 0
2
:
دالة زوجية.‏
بين أن مكبورة بالعدد
تحقق أن تقبل قيمة دنيا مطلقة عند العدد
ب.‏ بين أن +
.
.1
f
f
f
f
.1
2. أ.‏
أ.‏
أدرس رتابة الدالة
ب.‏ استنتج رتابة
على
على
−
.
f
.3
x
x
. f( x)
=
x
.
x
2
2
-3 و . 1
f( x)
− 3
+ 1
4
= x+
x
f
.
.
f
:
4
f( x) = 1−
2
x + 1
, f
:
:
حيز تعريف الدالة
وتحقق أن
دالة
D f
:
f
: 1
D f
: 2
D f
.1
.2
.3
1. حدد
فردية
2. أ.‏ بين أن لكل عددين مختلفين a
و b من
.
x
1−
2x
. f( x)
=
2
x
.
f( a) − f( b) ab−
4
=
a−
b ab
f
:
.
لدينا
ب.‏ استنتج رتابة
و
على آل من المجالين
. D f
.
f
] 2, +∞[
] 0, 2]
3. ضع جدول تغيرات
تمرين
على
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي
. f
المعرفة بما يلي :
حيز تعريف الدالة
.-1
f
a
f( a) − f( b) a( b− 1) + b( a−1)
=
2 2
a−
b a b
f
: 3
D f
1. حدد
2. بين أن الدالة مصغورة بالعدد
3. أ.‏ تحقق من أنه لكل عددين مختلفين
لدينا
و b من
:
و
D f
ب.‏ استنتج رتابة الدالة
على آل من المجالين
. D f
x
2
x + 3
. f( x)
=
x + 1
:
f
.
[ 1, +∞[
] 0,1]
ج.‏
تمرين
أعط جدول تغيرات الدالة
على
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي
+
، ∀x ∈R
: f ( x) ≥2
. ∀x ∈R
: f ( x) ≥2
المعرفة بما يلي :
.
f
: 4
بين أن
دالة زوجية
بين أن
واستنتج أن
3. أ.‏ تحقق من أن لكل عددين حقيقيين موجبين و
مختلفين a و b لدينا
:
:
:
f( a) − f( b) ab+ a+ b−3
=
a− b a+ 1 b+
1
( )( )
ب.‏ أعط تغيرات
على آل من المجالين :
.
f
0,1] [ و +∞[ 1, [
ج.‏ استنتج تغيرات الدالة
f على آل من المجالين
0] −1, [ و −1] −∞, ] .
.1
.2
3
- 1 -
الحيان

لآ يآا
f
.
f ( x)
=
f
x
x
−
+
2
2
حيز تعريف الدالة
وتحقق من أن
دالة
D f
1. حدد
زوجية
نعتبر الدالتين العدديتين u
و
v المعرفتين آالآتي:‏
+
x − 2
x ∈ : ux ( ) = x vx ( ) =
x + 2
+
. ∀x ∈ : f ( x) = ( vou)( x)
:
و
أ.‏ تحقق من أن
ب.‏ حدد تغيرات آل من u و v ثم استنتج تغيرات
الدالة على
−
.
∀x ∈ : −1 ≤ f ( x ) < 1
.
f
+
f
.
.2
ج.‏ استنتج تغيرات على
بين أن
تمرين نعتبر الدالة العددية
x المعرفة بما يلي :
f للمتغير الحقيقي
x
. f( x)
=
3
x + x
،
] 0, +∞[
. ] −∞,0[
] [
.
:
: 14
f
.3
1. بين أن
2. بين أن
دالة فردية
تناقصية قطعا على المجال
استنتج تغيراتها على المجال
ثم
. ∀x ∈ 0, +∞ : 0 < f ( x) < 1
4 2
x + 2x
+ 1
. ∀x
∈ ] 0, +∞ [ : g( x)
=
4 2
x + 2x
+ 2
. ] 0, +∞[
f
بين أن:‏
نضع :
أدرس تغيرات الدالة g
لاحظ
على المجال
( g = fof )
:* 15
x
f ( x ) =
2
x + x + 1
: .
y و x .1
f ( x) −f ( y) 1−xy
=
2 2
x − y ( x + x + 1)( y + y + 1)
:
. ] −∞,1]
[ −1,1]
[ 1, +∞[
1
. -1
f
.2
3
x
.3 لتكن g
.3
.4
تمرين
أ.‏ ليكن
نعتبر الدالة العددية
x المعرفة بما يلي:‏
ب.‏ استنتج تغيرات الدالة
و و
بين أن الدالة
بما يلي
عنصرين مختلفين من
f للمتغير الحقيقي
بين أن
f على آل من المجالات
محدودة بالعددين
الدالة العددية للمتغير الحقيقي
و
المعرفة
. g( x) = x + 1 :
أ.‏ أنشئ المنحنى ) g ( C
في معلم متعامد ممنظم
( E ): ( x + 1) x + 1≤1
−1
a
:
> 1 a ؛ فإن
.
( Oi , , j )
ب.‏ حل مبيانيا المتراجحة
ج.‏ تحقق من أنه إذا آان
للمتراجحة
حل
.
( E )
[ [
. f ( ) = 0,1
و g
−8
f( x)
= :
x + 3
gof
f
بين أن :
: 9
.4
تمرين
لتكن
آالاتي
و
الدالتين العدديتين المعرفتين
x
. gx ( ) =
x − 4
.
. D gof
حيز تعريف الدالة
من لكل x
حيز تعريف الدالة
fog ؛ ثم أحسب
الدالتين العدديتين المعرفتين
x − 3
. gx ( ) =
x + 3
( Oi ,, j )
و g
f( x) = x+
2
:
gof ( x)
D gof
1. حدد
2. أحسب
D fog
.3 حدد :
. fog ( x )
تمرين : 10 نعتبر f
آالاتي:‏
و
و
.
D g
D f
1. حدد
2. أ.‏ مثل في نفس المعلم المتعامد الممنظم
. g و f
:
x ∈ : x 1− x + 2 = 3 1+ x + 2
x
الدالتين
ب.‏ استنتج مبيانيا مجموعة حلول المعادلة
( ) ( )
لتكن h الدالة العددية للمتغير الحقيقي
على المجال بما يلي
المعرفة
h
:
h( x)
=
[ − 2, +∞[
x + 2 − 3
x + 2 + 3
أ.‏ بين أن الدالة h مكبورة بالعدد 1 وأن العدد
قيمة دنيا للدالة h
ب.أثبت بدون اللجوء إلى حساب معدل التغير أن
تزايدية على المجال
-1
.
[ − 2, +∞[
.
: 11
g f
1 4x
1−
2x
gx ( ) = −
f( x)
=
1 − 2x
1 + 4x
:
2
0,9999996 1,0000002
B =
A =
0,9999998 1,0000004
.3
تمرين
1. قارن الدالتين العدديتين
. استنتج أآبر العددين
و
و
و
المعرفتين بما يلي:‏
.
g و f
تمرين : 12
لتكن
ت
و
الدالتين العدديتين المعرفتين
.
gx ( )
.
= −x
3
f ( x) = x+
1:
و ) g ( C
) f ( C في نفس المعلم
3
x+ 1+ x = 0
−7 −3
. < β <
8 4
− 1, +∞
1. أنشئ
2. بين أن المعادلة
حيث
تقبل حلا وحيدا β
:
[ [
:
3. حل في المجال
، المتراجحة التالية
x
+ + ≥
3
1 x 0
: 13 تمرين
نعتبر الدالة العددية
المعرفة بما يلي
f للمتغير الحقيقي
:
x
3
- 2 -
الحيان

.
، y و x
f ( x ) −f ( y ) 21 ( −xy
)
.
=
x − y 1+ x 1+
y
. R
:
x
:
ب.‏ بين أن دالة فردية
أ.‏ بين أنه لكل عددين حقيقيين مختلفين
( 2 )( 2
)
f
f
لدينا :
ب.‏ استنتج رتابة
و
على آل من المجالين
، ثم ضع جدول تغيراتها على
[ 0,1]
[ 1, +∞[
لتكن g
بحيث
و
و
h الدالتين العدديتين للمتغير الحقيقي
.
x + 1
1+
x
( ) =
2
h x
( ) = x + 1
g x
أ.‏ حدد تغيرات الدالة g
مبيانيا في معلم متعامد ممنظم
على حيز تعريفها و مثلها
.
( Oi , , j )
.
([ 0, [)
g ([ −1, 0]
)
( ) ( )( ) :
g +∞
. ∀x ∈ R : h x = g f x
:
:
.2
.3
ب.‏ حدد مبيانيا
ج.‏ تحقق من أن
و
د.‏ أعط جدول تغيرات الدالة
f للمتغير الحقيقي
نعتبر الدالة العددية تمرين بما يلي:‏
. h
x المعرفة
f x = x + − x +
( ) 2 2
. f
. ∀x ∈D : f
1
( x ) ≥−
4
:
R المعادلة :
. f ( x ) = 2
: 19
أ.‏ حدد
ب.‏ بين أن
ج.‏ حل في
لتكن
D حيز تعريف الدالة
الدالتين العدديتين المعرفتين آما يلي
و
. v x
( ) = x + 2
v و u
2
u( x ) = x −x
أ.‏ حدد تغيرات الدالة
مبيانيا في معلم متعامد ممنظم
v على حيز تعريفها ، ثم مثلها
.
( Oi , , j )
([ 2, [)
. v +∞ و v ([ −2,0]
)
. R على u
. ∀x ∈ D : f x = u v x
( ) ( )( )
:
.1
.2
ب.‏ حدد مبيانيا
ج.‏ أعط جدول تغيرات الدالة
د.‏ تحقق من أن
:
ه.‏ استنتج لرتابة
:
⎡ 7 ⎡ ⎡ 7 ⎤
.
⎢
− , +∞
⎢
−2,
−
⎣ 4 ⎢
⎣ ⎣ 4⎥
⎦
: 20
. f
2
x − x
( x ) =
2
x + 1
x المعرفة
. ∀x
∈ :
x 1
≤
2
x + 1 2
:
. R
: 21
2π
.
3
f : x sin( 3x
)
π
.
4
f : x tan( 4x
)
تمرين
بين أن
و
f على آل من المجالين
نعتبر الدالة العددية
بما يلي:‏
f للمتغير الحقيقي
.1
بين أن الدالة
تمرين
بين أن الدالة
بين أن الدالة
f محدودة على
دورية دورها
دورية دورها
.2
.1
.2
.
a −1
∀ a > 1: <
a
x
a
a −1
د.‏ استنتج أن :
نعتبر الدالة العددية
بما يلي
h للمتغير الحقيقي
المعرفة
:
.
h = g f
. hx ( ) =
.
وأن :
و g
h
f
x
x
2
+ 2x
+ 1
+ x + 1
2
:
.4
D h حيز تعريف الدالة
أ.‏ حدد
ب.‏ تحقق من أن
f
( ) ⊂ D
g
أدرس تغيرات
ج.‏ باستعمال تغيرات الدالتين الدالة
الدالة العددية المعرفة بما يلي
لتكن تمرين متماثل بالنسبة لمحور
.
] −∞, −2[
،
f
− 2 x + 1
f ( x ) =
x − 2
:
. h
: 16
تحقق من أن المنحنى ) (
C f
] 2, +∞[
f
الأراتيب
أدرس تغيرات
على
ثم على
.
لتكن g
الدالة العددية المعرفة بما يلي :
3
1⎛− 4x
+ 1⎞
∀x
∈ ] 1, +∞ [: g( x)
= ⎜ 3 ⎟
2⎝
x −1
⎠
3
] 1, [ : ( ) ( 2 )
. ∀x ∈ +∞ g x = f x
.
g على المجال[‏‎2‎ ] 1,
:
أ.‏
تحقق من أن
.1
.2
.3
ب.‏ استنتج تغيرات الدالة
تمرين : 17
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي
بما يلي:‏
( )
2
x المعرفة
f x = 8x − 4x
+ 5
. f
⎡1 ⎡
.
⎢ , +∞
⎣4
⎢
⎣
. ∀x ∈
: f
⎛1
⎞
⎜ − x ⎟=
f
⎝2
⎠
x
⎤ 1 ⎤
. −∞, ⎦
⎥ 4 ⎦
⎥
f
حدد مجموعة تعريف الدالة
بين أن الدالة
أ.‏ بين أن
f تزايدية على المجال
( )
ب.‏ استنتج تغيرات الدالة
على المجال
في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم
t عدد
⎛1 M ⎜ t ,1 −t
⎝2
⎞
⎟
⎠
:
؛ نعتبر النقطة
بحيث
. f ( t )
OM
( Oi , , j )
حقيقي
أ.‏ حدد المسافة
بدلالة
ب.‏ استنتج المسافة بين النقطة O و المستقيم
⎧ 1
⎪x
= + t
. t ∈ : ⎨ 2 :
⎩ ⎪ y = 1−t
: 18
2x
. f ( x ) = المعرفة x
2
1 + x
. ∀x ∈R
: f x ≤1
:
المعرف بالتمثيل البارامتري
.
.1
.2
.3
.4
تمرين
أ.‏ بين أن
نعتبر الدالة العددية
بما يلي:‏
f للمتغير الحقيقي
( )
.1
3
- 3 -
الحيان