PÅednÃ¡Å¡ka 7 - Katedra ekonometrie

Duálně simplexová metoda 

Obecný tvar simplexové tabulky 

Interpretace optimálního řešení 

Analýza citlivosti optimálního řešení 

Základy operačního výzkumu 

Přednáška č. 7 

Jiří Neubauer 

Katedra ekonometrie FEM UO Brno 


Základy operačního výzkumu






Simplexová metoda 

vychází z řešení, které je primárně přípustné 










metoda zachovává primární přípustnost 










metoda zachovává primární přípustnost 

pokračujeme tak dlouho, dokud nenajdeme řešení, které je 

přípustné i duálně – optimální řešení 









nevyžaduje primární přípustnost (pravé strany mohou být i 

záporné) 










záporné) 

vychází z řešení, které je duálně přípustné 










záporné) 


metoda zachovává duální přípustnost 










záporné) 


metoda zachovává duální přípustnost 

postupnými úpravami simplexové tabulky nenajdeme řešení, 

které je přípustné i primárně – optimální řešení 








Postup DSM – vycházíme z duálně přípustného řešení 

1 stanovíme klíčový řádek → určíme min b i = b r 










je-li b r > 0 ⇒ řešení je primárně přípustné, je tedy optimální 











je-li b r = 0 ⇒ máme optimální řešení (degenerované) 












je-li b r < 0 ⇒ řešení není optimální, r-tý řádek zvolíme za 

klíčový 













klíčový 

2 určíme klíčový sloupec 













klíčový 


pro záporné koeficienty v klíčovém řádku (a rj < 0) určíme 

podíly cj 

a rj 

Jiří Neubauer Základy operačního výzkumu











klíčový 



podíly cj 

a rj 

najdeme 

∣ min 

c j ∣∣∣ 

a rj











klíčový 



podíly cj 

a rj 

najdeme 

∣ min 

c j ∣∣∣ 

a rj





Rozdělovací úloha 

Máme dostatečné množství základních lan o délce 32 m. K dalšímu 

použití potřebujeme alespoň 12 kusů 20 m lan, 20 kusů 11 m lan a 

26 kusů 6 m lan. Určete optimální skladbu řezných plánů vzhledem 

k minimálnímu odpadu. 








Máme dostatečné množství základních lan o délce 32 m. K dalšímu 

použití potřebujeme alespoň 12 kusů 20 m lan, 20 kusů 11 m lan a 

26 kusů 6 m lan. Určete optimální skladbu řezných plánů vzhledem 

k minimálnímu odpadu. 

Řezný plán Požadované 

I. II. III. IV. V. množství 

20 m 1 1 0 0 0 12 

11 m 1 0 2 1 0 20 

6 m 0 2 1 3 5 26 

odpad [m] 1 0 4 3 2 min 








Proměnné x 1 , . . . , x 5 

Proměnná x j , j = 1, 2, 3, 4, 5 udává počet základních lan 

rozřezaných podle řezného plánu j, x j ≥ 0. 

x 1 + x 2 ≥ 12 

x 1 + 2x 3 + x 4 ≥ 20 

2x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 ≥ 26 

x 1 ≥ 0, . . . , x 5 ≥ 0 

Celkový odpad určuje účelová funkce 

z = x 1 + 4x 3 + 3x 4 + 2x 5 −→ min 








x 1 + x 2 − x ′ 1 = 12 

x 1 + 2x 3 + x 4 − x ′ 2 = 20 

2x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 − x ′ 3 = 26 








x 1 + x 2 − x ′ 1 = 12 

x 1 + 2x 3 + x 4 − x ′ 2 = 20 

2x 2 + x 3 + 3x 4 + 5x 5 − x ′ 3 = 26 

↓ 

−x 1 − x 2 + x ′ 1 = −12 

−x 1 − 2x 3 − x 4 + x ′ 2 = −20 

− 2x 2 − x 3 − 3x 4 − 5x 5 + x ′ 3 = −26 








báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ b i 

x 1 ′ −1 −1 0 0 0 1 0 0 −12 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

x 3 ′ 0 −2 −1 −3 −5 0 0 1 −26 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 









x 1 ′ −1 −1 0 0 0 1 0 0 −12 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

x 3 ′ 0 −2 −1 −3 −5 0 0 1 −26 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 









x 1 ′ −1 −1 0 0 0 1 0 0 −12 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

x 3 ′ 0 −2 −1 −3 −5 0 0 1 −26 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 

{∣ ∣ ∣ ∣ } 

∣∣∣ 0 

∣∣∣ 

min 

−2∣ , −4 

∣∣∣ −1∣ , −3 

∣∣∣ −3∣ , −2 

−5∣ 









x 1 ′ −1 −1 0 0 0 1 0 0 −12 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

x 3 ′ 0 −2 −1 −3 −5 0 0 1 −26 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 

{∣ ∣ ∣ ∣ } 

∣∣∣ 0 

∣∣∣ 

min 

−2∣ , −4 

∣∣∣ −1∣ , −3 

∣∣∣ −3∣ , −2 

−5∣ 









x 1 ′ −1 −1 0 0 0 1 0 0 −12 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

x 3 ′ 0 −2 −1 −3 −5 0 0 1 −26 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 

{∣ ∣ ∣ ∣ } 

∣∣∣ 0 

∣∣∣ 

min 

−2∣ , −4 

∣∣∣ −1∣ , −3 

∣∣∣ −3∣ , −2 

−5∣ 









x 1 ′ 1 3 5 

−1 0 

2 2 2 

1 0 − 1 2 

1 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

1 3 5 

x 2 0 1 

2 2 2 

0 0 − 1 2 

13 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 









x 1 ′ 1 3 5 

−1 0 

2 2 2 

1 0 − 1 2 

1 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

1 3 5 

x 2 0 1 

2 2 2 

0 0 − 1 2 

13 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 









x 1 ′ 1 3 5 

−1 0 

2 2 2 

1 0 − 1 2 

1 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

1 3 5 

x 2 0 1 

2 2 2 

0 0 − 1 2 

13 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 

{∣ ∣ ∣ } 

∣∣∣ −1 

∣∣∣ 

min 

−1∣ , −4 

∣∣∣ −2∣ , −3 

−1∣ 









x 1 ′ 1 3 5 

−1 0 

2 2 2 

1 0 − 1 2 

1 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

1 3 5 

x 2 0 1 

2 2 2 

0 0 − 1 2 

13 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 

{∣ ∣ ∣ } 

∣∣∣ −1 

∣∣∣ 

min 

−1∣ , −4 

∣∣∣ −2∣ , −3 

−1∣ 









x 1 ′ 1 3 5 

−1 0 

2 2 2 

1 0 − 1 2 

1 

x 2 ′ −1 0 −2 −1 0 0 1 0 −20 

1 3 5 

x 2 0 1 

2 2 2 

0 0 − 1 2 

13 

z −1 0 −4 −3 −2 0 0 0 0 

{∣ ∣ ∣ } 

∣∣∣ −1 

∣∣∣ 

min 

−1∣ , −4 

∣∣∣ −2∣ , −3 

−1∣ 









x 1 ′ 5 5 5 

0 0 

2 2 2 

1 −1 − 1 2 

21 

x 1 1 0 2 1 0 0 −1 0 20 

1 3 5 

x 2 0 1 

2 2 2 

0 0 − 1 2 

13 

z 0 0 −2 −2 −2 0 −1 0 20 

Optimální řešení je ⃗x = (20, 13, 0, 0, 0, 21, 0, 0). Hodnota účelové 

funkce z = 20. 








Mějme příklad – výroba dvou směsí kávy Mocca a Standard (viz 

úvodní přednáška). Dostaneme simplexovou tabulku 

báze x 1 x 2 x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ b i 

x 1 ′ 1/2 1/4 1 0 0 40 

x 2 ′ 1/2 1/2 0 1 0 60 

x 3 ′ 0 1/4 0 0 1 25 

z −20 −14 0 0 0 0 

A I b 

−c T 0 T 0 

A je matice strukturních koeficientů, I je jednotková matice, 

−c T jsou koeficienty anulované účelové funkce 








báze x 1 x 2 x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ b i 

x 1 1 0 4 −2 0 40 

x 2 0 1 −4 4 0 80 

x 3 ′ 0 0 1 −1 1 5 

z 0 0 24 16 0 1920 

B −1 

s A B −1 

s 

c T B B−1 s A−c T u T s = c T B B−1 s 

B −1 

s b 

c T B B−1 s b 

je tzv. inverzní matice báze, je na místě, kde byla původně 

jednotková matice 

c T B 

je vektor cenových koeficientů základních proměnných v s-tém 

kroku výpočtu (původní ceny příslušné bázi v s-tém kroku) 

B −1 

s 








⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1/2 1/4 40 

A = ⎝1/2 1/2⎠ , b = ⎝60⎠ , c T = (20, 14) 

0 1/4 25 

V druhém kroku (s = 2) dostaneme již optimální řešení se 

základními proměnnými x 1 , x 2 , x 3 ′ . Odpovídající matice a vektory 

mají tvar 

⎛ ⎞ 

4 −2 0 

B −1 

2 

= ⎝−4 4 0⎠ , c T B = (20, 14, 0) 

1 −1 1 








Výpočtem⎛ 

snadno ověříme ⎞ ⎛ platnost ⎞ uvedených ⎛ ⎞ vztahů 

4 −2 0 1/2 1/4 1 0 

B −1 

2 A = ⎝−4 4 0⎠ 

⎝1/2 1/2⎠ = ⎝0 1⎠ 

1 −1 1 0 1/4 0 0 








Výpočtem⎛ 


4 −2 0 1/2 1/4 1 0 

B −1 

2 A = ⎝−4 4 0⎠ 

⎝1/2 1/2⎠ = ⎝0 1⎠ 

1 −1 1 0 1/4 0 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

4 −2 0 40 40 

B −1 

2 b = ⎝−4 4 0⎠ 

⎝60⎠ = ⎝80⎠ 

1 −1 1 25 5 








Výpočtem⎛ 


4 −2 0 1/2 1/4 1 0 

B −1 

2 A = ⎝−4 4 0⎠ 

⎝1/2 1/2⎠ = ⎝0 1⎠ 

1 −1 1 0 1/4 0 0 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

4 −2 0 40 40 

B −1 

2 b = ⎝−4 4 0⎠ 

⎝60⎠ = ⎝80⎠ 

1 −1 1 25 5 

⎛ 

4 

⎞ 

−2 0 

u T 2 = cT B B−1 2 

= (20, 14, 0) ⎝−4 4 0⎠ = (24, 16, 0) 

1 −1 1 








⎛ ⎞ 

1/2 1/4 

c T B B−1 2 A − cT = u T 2 A − cT = (24, 16, 0) ⎝1/2 1/2⎠ − (20, 14) = 

0 1/4 

(0, 0) 








⎛ ⎞ 

1/2 1/4 

c T B B−1 2 A − cT = u T 2 A − cT = (24, 16, 0) ⎝1/2 1/2⎠ − (20, 14) = 

0 1/4 

(0, 0) 

⎛ ⎞ 

40 

c T B B−1 2 b = uT 2 b = (24, 16, 0) ⎝60⎠ = 1920 

25 








strukturní proměnné doplňkové proměnné 

báze 

x 1 x 2 · · · x n x 1 ′ x 2 ′ · · · x m 

′ b i 

základní 

hodnoty 

strukturní koeficienty strukturní koeficienty 

proměnné 

zákl. prom. 

z c 1 c 2 · · · c n u 1 u 2 · · · u m hodnota z 

redukované ceny stínové ceny 








strukturní proměnné doplňkové proměnné 

báze 

x 1 x 2 · · · x n x 1 ′ x 2 ′ · · · x m 

′ b i 

základní 

hodnoty 

strukturní koeficienty strukturní koeficienty 

proměnné 

zákl. prom. 

z c 1 c 2 · · · c n u 1 u 2 · · · u m hodnota z 

redukované ceny stínové ceny 

Pro hodnotu účelové funkce z platí 

c T B B−1 s b = u T s b, 

je tedy rovna součinu vektoru stínových cen a vektoru pravých 

stran. Stínové ceny (hodnoty duálních proměnných) můžeme 

interpretovat jako ocenění jedné jednotky pravé strany ve vztahu 

k hodnotě účelové funkce. 








Vraťme se k příkladu s kávou. 

báze x 1 x 2 x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ b i 

x 1 1 0 4 −2 0 40 

x 2 0 1 −4 4 0 80 

x 3 ′ 0 0 1 −1 1 5 

z 0 0 24 16 0 1920 

Dostáváme optimální řešení x = (40, 80, 0, 0, 5) s hodnotou účelové 

funkce z = 40 · 20 + 80 · 14 = 1920. Optimální řešení duální úlohy 

je u = (24, 16, 0, 0, 0) s hodnotou účelové funkce 

z = 24 · 40 + 16 · 60 + 0 · 25 = 1920. To znamená, že 1 tuna 1. 

komponenty se podílí na celkovém zisku hodnotou 24 tis. Kč, 1 

tuna 2. komponenty se podílí na celkovém zisku hodnotou 16 tis. 

Kč a 3. komponenta se na zisku nepodílí (je jí k dispozici tolik, že 

nemá na výrobu v podstatě žádný vliv) 

Jiří Neubauer Základy operačního výzkumu





Analýza citlivosti pravých stran 

Otázka: Jak se může měnit vybraná složka vektoru pravých stran 

tak, aby optimální řešení, určené stávajícími základními 

proměnnými zůstalo přípustné? 

V s-tém kroku dostáváme vektor pravých stran ve tvaru B −1 

s b. 

Aby řešení zůstalo přípustné, musí platit B −1 

s b ≥ 0. 

Uvažujme, že chceme spočítat interval stability pro první složku 

vektoru b. Stačí řešit soustavu nerovnic 

⎛ ⎞ 

b 1 + ∆b 1 

B −1 

s 

⎜ 

⎝ 

b 2 

. 

b m 

⎟ 

⎠ ≥ 0. 








Mějme 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

4 −2 0 40 

B −1 

2 

= ⎝−4 4 0⎠ , b = ⎝60⎠ , 

1 −1 1 25 

pro první složku je třeba řešit soustavu 

⎛ 

4 −2 

⎞ ⎛ ⎞ 

0 40 + ∆b 1 

⎝−4 4 0⎠ 

⎝ 60 ⎠ ≥ 0. 

1 −1 1 25 

Dostáváme soustavu: 

4∆b 1 + 40 ≥ 0 

−4∆b 1 + 80 ≥ 0 

∆b 1 + 5 ≥ 0 








Řešením této soustavy dostaneme řešení 

∆b 1 = 〈−5, 20〉. 

Iterval stability pro první složku vektoru b je 

b 1 ∈ 〈35, 60〉. 

Podobně pro další složky b 2 a b 3 dostáváme 

∆b 2 ∈ 〈−20, 5〉 tzn. b 2 ∈ 〈40, 65〉, 

∆b 3 ∈ 〈−5, ∞) tzn. b 3 ∈ 〈20, ∞) 







Analýza citlivosti cenových koeficientů 

Otázka: Jak se může měnit vybraná složka vektoru cenových 

koeficientů tak, aby stávající řešení zůstalo optimální? 

V případě maximalizační úlohy musí platit 

pro jednotlivé hodnoty 

c T B B−1 s A − c T ≥ 0, 

z j = c T B B−1 s a j − c j ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n 

a zároveň 

u T = c B B −1 

s ≥ 0. 








Mějme c T = (20, 14), základní proměnné jsou x 1 , x 2 , x 3 ′ , 

c T B 

= (20, 14, 0). Pro interval stability první složky vektoru c 

budeme řešit pro redukované ceny 

⎛ ⎞ 

1 0 

(20 + ∆c 1 , 14, 0) ⎝0 1⎠ − (20 + ∆c 1 , 14) ≥ 0 

0 0 

a pro stínové ceny 

⎛ 

4 −2 

⎞ 

0 

(20 + ∆c 1 , 14, 0) ⎝−4 4 0⎠ ≥ 0 

1 −1 1 








Dostaneme řešení 

∆c 1 ∈ 〈−6, 8〉 tzn. c 1 ∈ 〈14, 28〉, 

∆c 2 ∈ 〈−4, 6〉 tzn. c 2 ∈ 〈10, 20〉.

PÅednÃ¡Å¡ka 7 - Katedra ekonometrie

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

PÅednÃ¡Å¡ka 7 - Katedra ekonometrie