predavanje-4

PREDAVANJE - 4
MAŠINSKI FAKULTET NIŠ – TRANSPORT I LOGISTIKA 2005/2006
ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA
FEM-Finit Element Method
1.1 KLASIFIKACIJA METODA ZA ANALIZU STRUKTURA
METODAMA ANALIZE se u fazi projektovanja mašina i opreme traže odgovori o njihovim
svojstvima otpornosti, pouzdanosti, nosivosti, kinematskom ponašanju, dinamičkom odgovoru. Skup
svih zahvata traženja odgovora o svojstvima bazi fizičke forme, postavljaju se uprošćeni mehanički
modeli. Za te uprošćene mehaničke modele postavljaju složenog sistema – strukture, predstavlja
strukturnu analizu. Na bazi kriterijuma koje struktura mora da zadovolji u pogledu mehaničkih i
funkcionalnih karakteristika, analizom se ocenjuje posmatrana struktura i traže njeni nedostaci.
Očigledno, metode analize usavršavaju strukturu po sistemu "korak po korak" i one kao takve i danas
zadovoljavaju konstruktorske zahteve.
Primena MATRIČNIH METODA za analizu struktura, rešila je zahteve sistematskog
predstavljanja kontinuuma, uvodjenja polja spoljašnjih koncentrisanih sila, polja površinskih opterećenja
kakva se javljaju kod brodskih struktura, aviostruktura, struktura vozila i polja temperatura svojstvena za
raketne konstrukcije, toplotne turbine i nuklearne reaktore. Pogodnost matričnih metoda analize pokazala
se kod rešavanja zadataka plastičnosti, puzanja i ojačanja elemenata, kao i kod uvodjenja istorije
prethodnog opterećenja strukture.
Važan elemenat primene metoda analize, je BRZINA IZVODJENJA PROCEDURA, čime se u
ranom periodu razvoja strukture, identifikuju posmatrane (prognozirane) osobine. Shodno tome, vrši se
korekcija do postizanja zadovoljavajućih osobina. Dovoljnim brzinom analiza, moguće je istovremeno
razvijati više konstruktivnih varijanti i odabrati najpovoljnije rešenje.
Ideja analize dakle govori da se nizom iteracija dolazi do rešenja. Taj opšti koncept definisan je
na slici 3.01. Prema ovom konceptu, na bazi postavljenih ciljeva, formiraju se kriterijumi za ocenu
svojstava strukture. Pri tome je iskustvo osnovna sprega izvedenih strukture i očekivanih osobina
traženog rešenja. Sama analiza (prikazana zatamnjenim poljima), izvodi se izabranom teorijskom
metodom. Na osnovu dobijenih rešenja ocenjuje se polazno predpostavljeno rešenje. Ocena dobijenih
osobina vodi modifikaciji strukture delimično ili u celosti. Nakon korekcije, obnavlja se procedura
analize modela i analize osobina, dok postavljeni ciljevi ne budu dostignuti.

3.0 FEA - ANALIZA 119
BANKA ZNANJA
(ISKUSTVO)
CILJEVI
OSOBINE KONSTRUKCIJA
OPTERECENJA
STATICKO, DINAMICKO, TERMICKO
OPIS KONSTRUKCIJE
CAD
MODEL
MODIFIKACIJE
MODELA
PRORACUN
OSOBINA
MEHANICKOG MODELA
OCENA REZULTATA
KONACNO RESENJE
KONSTRUKCIJE
KRITERIJUMI
OCENE
KONSTRUKCIJA
Slika 3.01 Koncept korišćenja metoda analize u projektovanju
METODE STRUKTURNE ANALIZE [21], dele se na analitičke i numeričke. Primena
analitičkih metoda je ograničena na jednostavne slučajeve za koje je moguće naći rešenje u zatvorenom
obliku. Rešenja se kod analitičkih metoda traže preko redova ili specijalnih funkcija. Realne strukture se
u praksi tretiraju numeričkim metodama i one se mogu odnositi na kontinualne i diskretne sisteme. Slika
3.02 pokazuje klasifikaciju danas aktuelnih numeričkih metoda strukturne analize.
NUMERIČKE METODE STRUKTURNE ANALIZE
KONTINUALNI SISTEMI
VARIJACIONE
METODE
PRIBLIŽNE METODE
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE
DISKRETNI SISTEMI
(matrične metode)
METODA POMERANJA
METODA SILA
Metoda konačne
razlike
Metoda numeričke
integracije
METODA KONAČNIH
ELEMENATA
Slika 3.02 Pregled numeričkih metoda za analizu struktura
1. METODA KONAČNIH RAZLIKA je numerička metoda pogodna za rešavanje raznovrsnih
zadataka. Bazira se na matematičkoj diskretizaciji diferencijalnih jednačina prevodjenjem na
jednačine sa konačnim razlikama. Uspešno se može primeniti na tankozidim nosačima, na
problemima plastično deformabilnih konstrukcija. Efikasnost metode se smanjuje sa složenošću
unutrašnjih veza posmatranog mehaničkog sistema.
2. METODA NUMERIČKOG INTEGRISANJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA se koristi široko
u mnogim zadacima. Metoda se svodi na rešavanje zadatka Cauchy-ja s obzirom na postojanje
dobrih matematičkih procedura za integraciju sistema diferencijalnih jednačina. Za rešavanje se
dosta dobro mogu upotrebiti metoda Euler-a, metoda Runge-Kutta i druge.

3. METODA KONAČNIH ELEMENATA - (Finite Element Method - FEM), koristi različite tipove
varijacionih metoda, primenjenih na diskretnom modelu za strukturnu analizu kontinuuma.
Kontinuum se diskretizuje konačnim brojem elemenata i stepeni slobode kretanja. Uspeh primene
metode je u kvalitetu izabranih aproksimacija konačnih elemenata postavljenog modela. Pogodnost
metode je u vrednostima varijacione metode. Zadatak se opisuje sistemom diferencijalnih jednačina
koje se formiraju iz uslova minimuma funkcionala konstrukcije. Ovaj zadatak je rutinski, a rešavanje
sistema diferencijalnih jednačina ide matričnim metodama, vrlo pogodnim za tretman računarom.
Tačnost izračunavanja je definisana kvalitetom izabranih funkcija oblika (interpolacionih funkcija),
mrežom i tipom konačnih elemenata. Zavisno od izabranih nezavisno-promenljivih veličina i načina
formiranja jednačina, postoje četiri osnovne metode: metoda pomeranja (metoda deformacija),
metoda sila, mešovita i hibridna metoda. Formiranje jednačina se izvodi primenom osnovnih zakona
mehanike. Tako, recimo, kod metode pomeranja koristi se princip o minimumu funkcionala (pune
energije sistema). Kod metode sile, koristi se princip o minimumu komplementarne energije sistema.
Mešovita metoda koristi princip Vašic-a i Reissner-Hellinger-a.
4. METODA GRANIČNIH ELEMENATA je specifična metoda prelaza iz sistema parcijalnih
diferencijalnih jednačina i zadatih graničnih uslova ka njihovoj integralnoj analogiji na granici
oblasti koju posmatramo. Postupak se sastoji u diskretizovanju granične oblasti strukture graničnim
elementima, primenom različitih vrsta aproksimacija geometrije granica i graničnih funkcija. Iz
integralnih odnosa, diskretnom analogijom, formira se sistem algebarskih jednačina. Rešavanjem
sistema dolazi se do traženih veličina na granicama oblasti.
5. SLOŽENE METODE PRORAČUNA STRUKTURA. Inženjerski zahtevi proračuna složenih
struktura, uslovili su razvoj metode konačnih elemenata. Naime, pokazalo se da je moguće
grupisanje elemenata u velike makro-elemente da bi se analizirale osobine na njihovim granicama.
Ova metoda poznata je kao METODA SUPER-ELEMENATA (MSE). Metoda se koristi naročito u
aviogradnji, brodogradnji gde super-elementi predstavljaju sekcije struktura koje se ponavljaju.
Prednost metode je što isključuje unutrašnje nezavisno - promenljive, pa preostaju samo nepoznate
na granicama superelemenata. Na ovaj način je značajno smanjen računski obim problema te je
realizacija brža i uspešnija. Pri tome se formiraju algebarski sistemi koji se rešavaju metodama
Gauss-a, Holeckog, Crout-a, frontalnom metodom i drugim iteracionim metodama.
U grupu metoda za statičku NELINEARNU analizu struktura spadaju metoda prostih iteracija,
Newton-Raphson metoda, metoda tangentne krutosti i druge. Modeliranje često uslovljava
aproksimacije problema. Aproksimacija posmatranih parametara kod nelinearnog problema, može biti
izvršena razvijanjem u Taylor-ov red. Ukoliko se izvrši linearizacija, zadatak se dalje može tretirati
metodama linearnog programiranja. To je koncept sekvencijalnog linearnog programiranja (SLP).
U okviru metoda za analizu struktura pri nestacionarnim DINAMIČKIM DEJSTVIMA,
primenjuju se metoda centralnih razlika prvog i trećeg reda (metoda Houbolt-a), metoda Newmarka,
Wilson-ova teta metoda i druge.
Savremene metode efikasno se primenjuju kroz profesionalne PROGRAMSKE PAKETE.
Softver je modularnog tipa i svaka kategorija zadatka je nezavisna programska celina. Tako se zadaci
analize rešavaju programskim modulom – solverom, zadaci geometrijskog modeliranja – modulom
preprocesora, zadaci prikaza rezultata – postprocesorom, zadaci generisanja konačnih elemenata –
modelerom mreže, zadaci optimizacije – modulom optimizacije, zadaci dinamike – odgovarajućim
modulom dinamičke analize itd.
Softver prate specifične kategorije literature (elektronska dokumentacija):
• Vodič za korisnika (User’s guide),
• Radnu knigu za učenje (Tutorial Workbook),
• Literaturu za napredno programiranje (Advanced Macro Programming) i
• Literaturu u vidu neposrednih instrukcija – help instrukcije.

3.0 FEA - ANALIZA 121
3.20 UVOD U METODU KONAČNIH ELEMENATA
KONCEPT METODE konačnih elemenata (MKE 1 ) je zasnovan na diskretizaciji kontinuuma 2
konstrukcije jednostavnim delovima konačnih dimenzija. Nad tim delovima - konačnim elementima,
metodama i principima fizike uspostavljaju se osnove statičke, kinematičke, dinamičke i termodinamičke
veze, koje se proširuju do granica kontinuuma. Koristeći neki od osnovnih principa mehanike, formira se
sistem diferencijalnih jednačina (običnih, parcijalnih ili integralnih).
METODE: Kod malih zadataka koristi se direktna metoda (analogna metodi deformacija
linijskih struktura [21]). U softveru se najčešće koristi varijaciona metoda, zasnovana na principu
stacionarnosti funkcionala Π 3 . Varijaciona metoda koristi klasičnu metodu Ritz-a ili Hellinger-Reissnera.
Nepoznati parametri koji se kod nosećih struktura traže su kinematičke veličine - pomeranja, statičke
veličine - unutrašnje sile ili mešovite veličine (pomeranja i unutrašnje sile istovremeno) 4 . Osim ovih
dveju metoda koristi se metoda reziduma (tamo gde je teško definisati potencijal) i metoda energetskog
bilansa kod zadataka koji tretiraju različite tipove energija (mehaničku, toplotnu, elektromagnetnu). Za
ove diferencijalne jenačine, traži se rešenje, najčešće približno. Pretpostavljene forme rešenja
omogućavaju prelazak sa diferencijalnih jednačina na algebarske jednačine. Rešenja tih jednačina su
pomeranja, unutrašnje sile ili dinamički odgovor konstrukcije. Pojedine etape traženja rešenja, zasnivaju
se na matričnoj algebri i numeričkoj analizi koje se realizuju matematičkim metodama.
ISTORIJSKA KATEGORIJA: Koncept metode je definisao 1941. Hrenikoff. Godine 1956.
istraživači Claugh, Martin, Turner i Torr računarom su rešili zadatak ravanskog naponskog stanja krila
aviona "BOEING", primenom trougaonih konačnih elemenata. Tada je na predlog američkog istraživača
Claugh-a definisano današnje ime metode: "the finite element method", skraćeno FEM. Značajan
doprinos širenju ideja i koncepta metode imala je štampa prve monografije autora Zienkiewicz-a i Chenga
1970. Sedamdesetih godina istraživač Oden značajno uopštava metodu, uvodeći u nju
trodimenzionalnost, nelinearnost, dinamiku struktura, talasno prostiranje, uticaj fluida i optimalnost
struktura.
SOFTVER: Prava, široka primena metode počela je razvojem računarske tehnike i pojavom
komercijalnih softverskih paketa. Prvi komercijalni programski paketi bili su: NASTRAN (program
NASE), SESAM - (Super Element Structural Analysis Modulus - Norveška), SAP (Structural Analysis
Program-USA), [9]. Realizuje se preko savremenih softverskih paketa od kojih su ALGOR, ANSYS,
NISA, COSMOS/M, I-DEAS, informativno predstavljeni u glavi 6.
3.21 POSTUPAK IZBORA KONAČNIH ELEMENATA
Analiza metodom konačnih elemenata zahteva fizičku diskretizaciju konstrukcije i izbor
konačnih elemenata koji adekvatno opisuju njeno ponašanje pri spoljašnjem uticaju. Raznovrsnost
uticaja i geometrija struktura, uslovila je brojnost vrsta i podvrsta konačnih elemenata. Osnovna razlika
medju njima ogleda se u različitosti "unutrašnjih" funkcija. Te "unutrašnje" funkcije, funkcije oblika
(shape function), opisuju polje pomeranja u elementu i odredjuju aproksimacije kontinuuma u metodi
konačnih elemenata. Izbor konačnog elementa osim topologije podrazumeva izbor interpolacione
funkcije i direktno odredjuje tačnost metode.
1 U domaćoj stručnoj javnosti, za metodu konačnih elemenata koristi se skraćenica MKE ili FEM.
2 Diskretizaciju je koristio Arhimed deleći krug na prave duži iz čije ukupne dužine je odredio broj π.
Istom metodom je prvobitno odredjivana površina i zapremina geometrijskih tela.
3 U statici struktura, funkcional je potencijalna energija elastičnog sistema.
U dinamici struktura, funkcional je zbir kinetičke i potencijalne energije sistema.
4 Poceski A., MEŠOVITI METOD KONAČNIH ELEMENATA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1990.

KLASIFIKACIJA: 1D/2D/3D: Osnovni tipovi konačnih elemenata su odredjeni prostorom koji
koriste. Jednodimenzioni konačni elementi su zatege, štapovi, grede, užadni elementi, granični elementi,
cevni elementi. Granični elementi su kategorija koja služi za formiranje veza na granicama kontinuma,
koja matematičkom modelu definiše neki uslov. U ovu podgrupu spadaju elementi: opruge, zazora (gap),
veze (link), stepena slobode (DOF) i drugi. Dvodimenzioni konačni elementi definišu napone i
deformacije ravanskog kontinuuma, pa shodno tim vrstama osnovni elementi su membrana, ploča,
ljuska. Trodimenzioni konačni elementi su prizmatični i osnosimetrični. U ovu grupu spadaju i debela
ploča i debela ljuska, prizma, piramida, osnosimetrični elementi i 3D konačni elementi sa ortotropnim
osobinama kao što su slojevite forme. Slika 3.03 ilustruje osnovnu geometriju konačnih elemenata.
KLASIFIKACIJA: Konačne elemente je moguće klasifikovati i prema familiji - grupaciji
(ljuska, ploča, greda), prema redu interpolacionih funkcija (linearan, paraboličan, kubni), geometriji
(trougaoni, četvorougaoni), prema fizičkim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska) i prema
materijalnim svojstvima (izotropan, anizotropan). Izbor konačnog elementa za modeliranje, zavisi od
geometrijske forme posmatranog kontinuuma i procene unutrašnje distribucije sila i deformacija.
Geometrijska forma je zadata konceptom konstrukcije i sadržana je na projektnoj dokumentaciji. Forme
dugačkih članova (malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu) zamenjuju se
jednodimenzionim konačnim elementima. Ravne površine zidova, pregrada, dijafragmi, lamela nosača,
zamenjuju se dvodimenzionim konačnim elementima (obično za analizu napona). Tamo gde se javljaju
koncentrisana lokalna naprezanja usled geometrijske složenosti, koriste se trodimenzioni konačni
elementi. Njima se obično opisuju kompaktne geometrije kao što su kotrljajući delovi ležajeva, lopatice
rotacionih kola turbomašina, glavčine rotacionih elemenata, zupčanici, lančanici, radni stolovi alatnih
mašina, kućišta motora SUS, kućišta klipnih mašina, složeni elementi (kolenasta vratila, helikoidni
zupčanici) i drugo.
GRANICE IZBORA: Jedno od suptilnih pitanja diskretizacije strukture su granice geometrija
primenjenih konačnih elemenata. Zapravo, potrebno je definisati kad koristiti konačan element štap, kad
koristiti gredu, kad ploču, a kada ljusku. Za nalaženje odgovora na to pitanje, treba definisati prvo
klasične pojmove ovih elemenata u mehanici: Pod pojmom štapa podrazumevaju se konstruktivni
sadržaj malih dimenzija poprečnog preseka u odnosu na dužinu. Takvi članovi se odlikuju vitkošću,
često većom od 50 (λ>50). Takvi konstruktivni elementi imaju izrazitije unutrašnje uzdužne sile od
unutrašnjih momenata. To su, recimo, zatege kod dizalica, držači visećih platforma, članovi lakih
rešetkastih nosača itd. Obično sadrži tri stepena slobode u čvoru pa modeliranje ovim elementom
smanjuje obim algebarskog sistema za rešavanje. Grede su konstruktivni sadržaji značajnih dimenzija u
odnosu na dužinu, pa zato mogu da ponesu i unutrašnje momente savijanja i uvijanja. Primena konačnih
elemenata tipa grede uopšte smanjuje aproksimacije jer u njihovim čvorovima uobičajeno ima svih 6
stepeni slobode kretanja. Gredama se diskretizuju linijske noseće strukture različitih tipova dizalica i
rotacionih bagera (rešetke, stubovi), ramovi postolja i nadgradnje vagona. Kako se veze konačnih
elemenata, ostvaruju samo u čvorovima (za koje su postavljeni uslovi kompatibilnosti strukture), ove
analize nemaju aproksimativan pristup. Iz toga proizilazi da primena konačnih elemenata tipa grede daje
analitičku tačnost rešenjima (zanemarujući numeričku grešku).
U jednodimenzione konačne elemente spadaju elementi tipa cevi (engl. pipe), slika 3.03, koji se
koriste za aproksimaciju cevnih instalacija. Granični elementi se koriste za modeliranje elastičnih
oslonaca, poboljšanje uslova kompatibilnosti na granicama strukture sa nejednakim brojem stepeni
slobode u čvoru. Često se koriste za poboljšanje numeričke stabilnosti kod plitkih ljuski. U upotrebi su i
konačni elementi tipa prigušivača (damperi) kao i neelastični - kruti (rigid) elementi.

3.0 FEA - ANALIZA 123
ŠTAP GREDA CEV GRANIČNI ELEMENT
ČETVOROUGAONI
LINEARNI RAVANSKI
ELEMENT
ČETVOROUGAONI
KUBNI ELEMENT
(membrana)
TANKA LJUSKA LINEARNA I KUBNA
PLOČA
LINEARNI I KUBNI ELEMENT DEBELE LJUSKE
SOLID ELEMENT
(puni element četvorostrane prizme)
SUPERELEMENTI
OSNOSIMETRIČNI ELEMENT
LAMINARNA LJUSKA
SENDVIČ LJUSKA
Slika 3.03 Osnovni tipovi konačnih elemenata

Ploče i ljuske su strukturni elementi male debljine u odnosu na ostale dve dimenzije. Ljuske su
obično zakrivljeni strukturni elementi kod kojih je količnik debljine i poluprečnika krivine veći od 20
(R/t>20) 5 . Ljuske mogu biti jednostrano zakrivljene (cilindrične) i obostrano zakrivljene, nastale
obrtanjem krive oko ose. Cilindrična ljuska je, na primer cev, količnika debljine h, radijusa krivine R
i dužine ljuske L: h/R=1/100 i L/R = 2. Obostrano zakrivljena ljuska je, recimo, vrh trupa aviona, dance
vagon-cisterne, zid satelitske antene. Primer sferne ljuske je dance loptastog rezervoara debljine zida h=6
cm i poluprečnika krivine R=143 cm. Primer cilindrične ljuske je cev za visok pritisak, debljine zida h=7
cm, prečnika D=100 cm i dužine 50 cm [49].
Kako se količnik debljine i poluprečnika krivine može naći u širokim granicama, razlikuju se
tanke ljuske (thin shell) i debele ljuske (thick shell). Literatura ne navodi strogu granicu njihove
geometrije. Jasno je da su kod debelih ljuski znatno veći momenti savijanja pa time i komponentni
naponi oko srednje ravni krivine. Slika 3.04 pokazuje primer tanke cilindrične ljuske i tanke ljuske
promenljive zakrivljenosti, kakve se javljaju kod letilica.
Slika 3.04 Dva tipa tankih ljuski: cilindrična i sferna
Za razliku od ljuski, ploče su ravna prizmatična tela male debljine u odnosu na ostale dimenzije.
Tanka ploča je debljine manje od 1/10 ostalih dimenzija [31]. Pri tome se smatra da pri spoljašnjem
opterećenju nastaju male deformacije ploča, koje ne prelaze 1/5 debljine ploče (∆/h < 1/5). Autori
Timošenko, Vojnovski-Kriger [49], definišu geometriju tankih ploča u dijapazonu h/L = 1/80 ÷ 1/200.
Debele ploče se koriste za najviša opterećenja i u sebi nose izrazito sve tri prostorne komponente
napona. Poceski 6 definiše debelu ploču na primerima u kojima je količnik debljine i dužine (širine) u
granicama h/L = 1/4 ÷ 1/80. Kako ploča prenosi spoljašnje dejstvo unutrašnjim momentima savijanja a
ljuska prenosi spoljašnje dejstvo membranskim naponima, to ljusku čini znatno otpornijim i
ekonomičnijim elementima konstrukcija.
Da bi konačni elementi bolje opisali posmatrani kontinuum, potrebno je pratiti zakrivljenu
geometriju struktura. Iz te potrebe nastali su krivolinijski konačni elementi, koji su definisani većim
brojem čvorova na istoj ivici elementa. Prednost ovih složenijih elemenata je u većem broju uslova
kompatibilnosti, čime se značajno smanjuju aproksimacije i poboljšava kontinuitet na granicama
elemenata. Specijalna kategorija konačnog elemenata koji ima jednak broj osnovnih čvorova sa brojem
čvorova unutar polja elementa (za poboljšanje unutrašnjeg kontinuiteta), naziva se izoparametarski
element. Prema funkciji za interpolaciju pomeranja izmedju osnovnih čvorova, razlikujemo linearne,
kubne, parabolične i druge konačne elemente, slika 3.03.
5 Ugural A.C., Fenster S.K, ADVANCED STRENGHT AND APPLIED ELASTICITY, Elsevier, New York 1987.
6 Poceski A., MEŠOVITI METOD KONAČNIH ELEMENATA, Gradjevinska knjiga, Beograd 1990.

3.0 FEA - ANALIZA 125
Trodimenzioni elementi (3D) su tetraedarski element (sa 4 čvora) oblika piramide, heksaedarski
element sa 8 osnovnih čvorova itd. Trodimenzioni elementi imaju najčešće i dodatne čvorove po ivicama
a najveći broj ovih elemenata ima po 3 stepena slobode u čvoru. Tako, samo heksaedarski element sa 8
čvorova u rogljevima i po jednim izmedju svih rogljeva na konturi, ima ukupno 20 čvorova sa 60 stepeni
slobode. To pokazuje kako primena 3D elemenata dovodi do velikih dimenzija računskog modela.
Konačni elementi sa složenim fizičkim osobinama, posebno prilagodjeni za modeliranje,
nazivaju se superelementi. Na slici 3.03 pokazana su dva takva. Njihova osnovna vrednost je da
umanjuju matematičku složenost koju bi imalo modeliranje laminarnih i kompozitnih struktura
pojedinačnim definisanjem slojeva.
KRITERIJUMI DISKRETIZACIJE:
1. Kriterijum broja stepeni slobode: Što manji broj stepeni slobode i što kvalitetnije interpolacione
funkcije. Umanjuje numerički obim problema i smanjuje potrebne hardverske resurse.
2. Kriterijum manjih aproksimacija: Manje odstupanje od tačne geometrije kod modeliranja. Ovaj
zahtev uvećava broj stepeni slobode kretanja,
3. Kriterijum spoljašnjeg oblika: Izbor konačnog elementa strukture može se izvršiti na osnovu
sličnosti njegove geometrijske forme sa formom pravilnih delova objekta,
4. Kriterijum poznavanja unutrašnje distribucije komponentnih napona članova kontinuuma:
Zasniva se na poznavanju osnovnih tipova naponskih distribucija kod ploče, ljuske, membrane,
solida, grede, štapa. Kako unapred nije tačno poznata distribucija napona, često se nakon analize
ispituje ispravnost izbora konačnih elemenata. To podrazumeva kontrolu nivoa i vrste
komponentnih deformacija. Na taj način se proverava da li je izabran element "radio" po
svojoj teoriji ili ne. Kada uslovi to dozvole, vrši se i eksperimentalna analiza. Na bazi toga se
može reći da je modeliranje u teoriji konačnih elemenata i iskustvena kategorija.
5. Kriterijum simetričnosti: U slučaju centričnog ili simetričnog spoljašnjeg opterećenja, moguće je
izvršiti modeliranje polovine, četvrtine ili dela konstrukcije, čime se problem racionalno opisuje
manjim brojem stepeni slobode. To je slučaj sa cisternama, spojnicama, diskovima. Uticaj ostalih
delova konstrukcije definiše se posredstvom graničnih uslova elastičnih pomeranja čvorova.
3.22 ENERGIJSKI VARIJACIONI PRINCIP MINIMUMA
POTENCIJALNE ENERGIJE
Princip minimuma potencijalne energije je najčešći princip u metodi konačnih elemenata koji
se primenjuje kao uslov rešavanja zadataka. Ovaj princip zahteva definisanje rada spoljašnjih sila V i
potencijalne energije deformisanog kontinuuma U. Deformaciju kontinuuma izvrše spoljašnje površinske
sile p usled kojih nastaju pomeranja na konturi s konačnog elementa. Zapreminske sile F deluju po celoj
zapremini kontinuma dV. Na bazi ovih uticaja, rad spoljašnjih sila V je:
V = ∫ F
T
⋅ u ⋅ dv +
T
∫ p ⋅ u ⋅ ds
(3.01)
v
s
Posledica spoljašnjeg dejstva su unutrašnje sile koje se u obliku elastične energije akumuliraju
unutar strukture. Po spoljašnjem rasterećenju, struktura se vraća u prvobitni položaj. Sposobnost,
potencijalnost strukture da se vrati u prvobitni položaj, nazvana je potencijalna energija U i ona se
može odrediti iz tenzora napona σ i dilatacije ε:
U =
1
2
T
∫ σ
v
⋅ ε ⋅
dv
(3.02)
Ukupan rad unutrašnjih i spoljašnjih sila je totalna energija ili kraće funkcional Π:
Π = U + V
(3.03)

Pomeranja unutar konstrukcije izvode se po direktnim putanjama, koje su logično najkraće. Pri
tome, struktura zadržava ravnotežno stanje (stabilnost). Ove činjenice definišu izvršen rad kao
minimalan, pa zato uslov minimalnosti glasi: Varijacija funkcionala po parametrima pomeranja jednaka
je nuli. Ovaj uslov je definisan relacijom 3.04:
δ Π = δU + δV = 0
(3.04)
Varijacija funkcionala po nepoznatim parametrima daje sistem algebarskih jednačina čija
rešenja su nepoznati parametri-deformacije i unutrašnje sile. Literatura [21,40] definiše etape
odredjivanja potencijalne energije i formiranja algebarskog sistema jednačina. Osnovna veličina koju
definiše tip izabranog konačnog elementa je njegova matrica krutosti. U slučaju da u konačnom elementu
nema unutrašnjih čvorova, izraz za matricu krutosti se definiše preko matrice parcijalnih diferencijala
interpolacionih funkcija B i matrice krutosti materijala - kontinuuma D. Ta opšta forma je:
K e
= =
T
kqq ∫ B ⋅D⋅B⋅dv
v
(3.05)
Potencijalna energija sistema konačnih elemenata cele strukture može se prikazati kao zbir
potencijalnih energija pojedinih konačnih elemenata (3.06). Za strukturu sa M konačnih elemenata, ta
suma se može predstaviti preko generalisanih koordinata q čvorova konačnih elemenata, matrice krutosti
strukture K, vektora unutrašnjih sila u čvorovima Q i integracionih konstanata C e .
M
M
Π = ∑ Π
1
⋅
T
⋅ ⋅ −
T
e = q K q Q ⋅ q + ∑
2
Cn
(3.06)
e=
1
n = 1
U jednačini (3.06), K je globalna matrica krutosti nepovezanih konačnih elemenata.
⎧ q1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
q2 ⎪
⎪ M ⎪
q = ⎨ ⎬,
⎪ qe ⎪
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎩qM
⎭
⎡K1
⎢
⎢
⎢
K = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
K2
O
Ke
O
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ ,
⎥
⎥
⎥
KM ⎥⎦
⎧ Q1 ⎫
⎪ ⎪
⎪
Q2 ⎪
⎪ M ⎪
Q = ⎨ ⎬
⎪ Qe ⎪
⎪ M ⎪
⎪ ⎪
⎩QM
⎭
(3.07)
Matrica krutosti konačnih elemenata K je dijagonalna globalna matrica strukture. Ova matrica je
simetrična sa članovima na glavnoj dijagonali različitim od nule. Varijacijom potencijala strukture po
nepoznatim parametrima q T i primenom stava o minimumu potencijala, sledi jednačina strukture 3.08.
U izrazu 3.08 je izvršeno sredjivanje koordinata q* i generalisanih sila Q za globalni koordinatni sistem.
K ⋅ q * =
Q
(3.08)
Postupak primene metode konačnih elemenata zahteva uvodjenje graničnih uslova u svaki
zadatak. Rešavanje ovog dela proračuna je osnova stabilne numeričke procedure i regularnih analiza.
Granični uslovi se definišu iz uslova oslanjanja struktura, prema izvedenim tehničkim rešenjima. Kod
primene softverskih paketa, to se svodi na definisanje pojedinačnih uslova slobode kretanja čvorova u
kojima su oslonci. Način definisanja slobode kretanja (interfejs), uredjuju sami proizvodjači softvera.

3.0 FEA - ANALIZA 127
3.23 KONVERGENCIJA I TAČNOST METODE
KONAČNIH ELEMENATA (FEM)
Proizvoljan pristup formiranja modela u metodi konačnih elemenata dovodi do različitih rešenja.
Da bi se eliminisao individualan pristup, razvijeni su procesori koji kontrolišu aproksimacije modela.
Softverski, putem automatskim procedura, redefiniše se topologija početnog modela sve dok
sukcesivnim smanjenjem aproksimacija, analiza ne zadovolji zadatu tačnost. U tu svrhu, razvijeni su
različiti tipovi procesora za formiranje mreža na bazi metoda adaptivnih mreža.
U opštem slučaju se primenjuje klasičan postupak rešavanja zadataka MKE, koji zahteva dokaz
uspešnosti pristupa, što se realizuje kroz tri vrste provere:
1. Utvrdjivanjem tačnosti numeričkog izračunavanja,
2. Utvrdjivanjem numeričke stabilnosti postupka i
3. Ispitivanjem konvergencije rešenja.
Tačnost numeričkog izračunavanja podrazumeva bliskost analitičkog i numeričkog rešenja. Kod
prostih primera moguće je numeričko rešenje uporediti sa analitičkim. Primer elementarne provere
statičkog ugiba simetričnog linijskog nosača jednostavno se izvodi na osnovu jednačina elastičnih linija i
ugiba sredine nosača. Kod dinamičke analize, provera se može izvršiti za sistem koji osciluje kao klatno
na bazi perioda oscilovanja matematičkog, astatičkog ili fizičkog klatna, slika 3.05. Cilj ovih grubih
analiza je da se odredi približno rešenje, odnosno da se objektivizuje nadjeno rešenje.
Utvrdjivanje numeričke stabilnosti podrazumeva proveru postojanja svih rešenja, traženih u svim
etapama razvoja modela pri različitim vrstama opterećenja, različitim slučajevima analiza (statička,
dinamička) bez prekida u numeričkom izvršenju procedura. Postavljen proračun ne sme da ispolji
numeričku nestabilnost promenom parametara u realnom domenu konstrukcije i realne intenzitete
spoljašnjih uticaja.
y=
FL 3
48 E I X
F A
L/2 L/2 F B
L
T=2π
L
g
Slika 3.05 Dva zadatka provere tačnosti rešenja: statički i dinamički
Konvergentnost podrazumeva numeričko približenje uzastopnih rešenja tačnoj vrednosti,
polazeći od prethodno dobijenih rešenja. U MKE se konvergencija ocenjuje na osnovu mreže konačnih
elemenata i vrednosti dobijenih rezultata. Mreže se razlikuju u pogledu veličine i rasporeda konačnih
elemenata. Rezultati proračuna u statičkoj analizi su referentna pomeranja. U dinamičkoj analizi rezultati
proračuna su sopstveni vektori ili sopstvene frekvencije. Pri tome, pravac iz koga rešenje konvergira
zavisi od metode koja je korišćena (metoda sila ili metoda pomeranja). Slika 3.06 pokazuje
konvergenciju rešenja sa donje strane kod metode deformacija, odnosno, sa gornje strane kod metode
sila. Zato primena metode sila i metode deformacija odredjuju oblast tačnog rešenja analize. Kod
mešovite metode konačnih elemenata, konvergencija je moguća sa obeju strana, individualno, od slučaja
do slučaja analize [49].

Parametar poredjenja
(deformacija)
Oblast nestabilnog rešenja
Divergencija rešenja
Parametar poredjenja
(deformacija)
Tačno rešenje
Konvergencija rešenja
Broj konačnih
n 1
n 2 n 3
n 4 elemenata
Tačno rešenje
Konvergencija rešenja
Oblast nestabilnog rešenja
Divergencija rešenja
Slika 3.06 Konvergencija u metodi konačnih elemenata
Uvećanjem broja konačnih elemenata poboljšavaju se granični (konturni) uslovi problema
usled smanjenja aproksimacija, te se dobija tačnije rešenje. Shodno ovom stavu, dokaz konvergencije se
izvodi formiranjem sukcesivnih mreža konačnih elemenata različite veličine. Proporcionalno umanjenje
veličine konačnog elementa, vodi povećanju broja elemenata fine mreže. Proporcionalno, znači da se kod
ravanskih problema, finija mreža formira deobom svakog elementa na četiri nova, a kod prostornih
problema deobom svakog zapreminskog elementa na osam novih. Tri ili više uzastopnih mreža različitih
po gustini, omogućuju utvrdjivanje pravca približenja tačnijeg modela analitičkoj vrednosti rešenja. Iz tri
rešenja, može se izračunati zavisnost broja elemenata od tačnosti rešenja, čime se definiše stepen
konvergencije. Kada u graničnom slučaju veličine konačnih elemenata postanu vrlo male, dobija se tačno
numeričko rešenje. Da bi se to postiglo potrebno je da su ispunjeni sledeći uslovi:
Uslov 1: Izabrana deformaciona funkcija konačnog elementa treba da bude tako definisana da
pomeranja elementa kao celine (kao krutog tela) ne prouzrokuju deformacije (napone) u
samom elementu.
Uslov 2: Izabrana deformaciona funkcija mora da dâ konačna pomeranja na granicama elementa
(Kriterijum neprekidnosti medju elementima).
Stepen konvergencije zavisi od interpolacione funkcije. Ukoliko interpolaciona funkcija tačno
opiše deformaciju odnosno da tačno rešenje diferencijalnih jednačina pomeranja, tada više tačnost ne
zavisi od "gustine" mreže. Tada sve mreže daju numerički tačna rešenja. Ovaj specifičan slučaj je čest
kod linijskih struktura sa konačnim elementima tipa štapova i grede. Kod primene tih elemenata nema
smisla ispitivanje konvergencije, obzirom da njihove medjusobne veze ne uvode aproksimacije u
pogledu distribucije pomeranja 7 . Dokaz konvergencije se izvodi za probleme kontinuuma u ravni i
prostoru 8 .
Kod analize realnih struktura, mogu nastati značajne razlike u rezultatima. Ako eliminišemo
greške uslovljene neadekvatnim izborom konačnih elemenata, razlike rezultata tačnih i numeričkih
rešenja mogu biti i veće od 30 %. U takvim slučajevima se napuštaju postavljeni diskretni modeli,
postavljaju novi, dok se ne dobiju rešenja uzastopnih mreža koja odstupaju manje od 10 %. Takva
rešenja se mogu smatrati upotrebljiva u rutinskoj inženjerskoj praksi [42]. Greške nastale u primeni
MKE uslovljene su veličinom konačnih elemenata i kvalitetom njihovih interpolacionih funkcija.
Pravilan izbor tipa konačnog elementa i interpolacione funkcije, omogućuje smanjenje broja elemenata u
mreži. Iz tog razloga razvijeni su različiti tipovi geometrijskih oblika konačnih elemenata.
7 Istovremeno su zadovoljeni i granični uslovi i uslovi kompatibilnosti.
8 Ovaj princip prvi je primenio Irons na problemu ploče opterećene koncentrisanom silom, dobivši pri tome
odstupanje rezultata od 1.5 % izmedju dva postavljena diskretna modela.