uvod - Laboratorij za obdelavo signalov in daljinska vodenja

UNIVERZA
V
MARIBORU
Žarko ČUČEJ
SIGNALI
s primeri uporabe programskega orodja MATLAB
Uvod v teorijo in statistično obdelavo
signal_A

CIP - Kataloški zapis o publikaciji
Univerzitetna knjižnica Maribor
681.51/.52(075.8)
ČUČEJ, Žarko (urednik)
Signali
[risbe Žarko Čučej]. - Maribor: Fakulteta za elektrotehniko,
računalništvo in informatiko, 2003
ISBN 86-435-0330-4 (prve izdaje)
COBBIS-ID 44994817 (prve izdaje)
naslov
SIGNALI:
Uvod v teorijo
avtor
Žarko ČUČEJ
soavtorja nekaterih poglavij Peter Cafuta, Dušan Gleich, Gorazd Lešnjak, Peter Planinšič
revizija v1.05 20040315
recenzija
Rajko Svečko
jezik
Milena Milanovič
uredil in oblikoval
Žarko ČUČEJ
risbe
Žarko ČUČEJ
uporabljani programi MikTeX 2.4, WinEdt 5.4, CorelDraw 7
založba knjižna: UM – FERI 50 izvodov
elektronska: SPaRC, na domači strani:
http://sparc.feri.uni-mb.si/Digknj/index.htm#U%E8beniki
datoteka: signal_A.pdf
vse pravice pridržane

Kazalo
Kazalo
i
I Uvod v teorijo 1
1 Uvod 3
1.1 Signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Podatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Informacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Primer signala, podatkov in informacije . . . . . . . . . . . 6
1.5 Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.3 Zakonitosti sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Uporaba teorije signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Obdelava signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 Telekomunikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Multipleksiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Komprimiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Odstranjevanje odmeva . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Avdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Glasba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Umetni govor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Prepoznava govora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.4 Lokacija odmeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Sonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Seizmologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.5 Obdelava slik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Medicina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Vesolje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i

ii
KAZALO
Izdelki široke potrošnje . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.6 Vodenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.7 Vede, ki uporabljajo teorijo signalov . . . . . . . . . 19
1.7 Orodja v teoriji signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.2 Orodni kovčki programa MATLAB . . . . . . . . . . 21
1.7.3 Učenje programa MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Vrste signalov in elementarne operacije 23
2.1 Funkcije: orodje za opis signalov . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Realne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Kompleksne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Vrste signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Analogni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Amplitudno diskretni časovno zvezni signali . . . . 27
2.2.3 Diskretni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Digitalni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Povezava med digitalnimi in diskretnimi signali . . . 29
2.3.2 Digitalna obdelava podatkov . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Binarni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 M-terni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Naključni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Deterministični signali in zaporedja . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Periodični signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Aperiodični signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Prehodni - neprehodni signali ter zaporedja . . . . . 31
2.6 Soda in liha simetričnost signala . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.1 Razstavljanje funkcij na simetrične komponente . . . 32
2.6.2 Lastnosti računanja pri simetričnih signalih . . . . . 32
2.6.3 Simetrije vsote in produkta simetričnih signalov . . . 33
2.7 Harmonski signali in zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.1 Enotski harmonski signal . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.2 Enotski normirani harmonski signal . . . . . . . . . 35
2.7.3 Predstavitve harmonskega signala . . . . . . . . . . 35
2.7.4 Harmonska zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.8 Elementarni signali in zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8.1 Enotski konstantni signal in zaporedje . . . . . . . . 39
2.8.2 Enotski impulzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Diracov impulz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kroneckerov impulz . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.3 Enotska stopnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

iii
2.8.4 Klanec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.5 Pravokotni pulz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.6 Realni eksponentni pulz . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.7 Kompleksni eksponentni signali in zaporedja . . . . 47
2.8.8 Razlika med impulzi in pulzi . . . . . . . . . . . . . 48
2.9 Signali in merske enote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.10 Elementarne operacije nad signali . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10.1 Amplitudna transformacija . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10.2 Transformacija signalne osi . . . . . . . . . . . . . 52
2.10.3 Kvantizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10.4 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Normirani skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . 57
Primer uporabe skalarnega produkta v fiziki . . . . . 58
2.10.5 Primer uporabe skalarnega produkta pri prepoznavanju
signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 Elementarne operacije s programom MATLAB . . . . . . . . 60
2.11.1 Seštevanje zaporedij . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.11.2 Seštevek podatkov v zaporedju . . . . . . . . . . . . 60
2.11.3 Pomik podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11.4 Zasuk zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11.5 Množenje zaporedij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.11.6 Množenje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.11.7 Skaliranje zaporedja . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.11.8 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.11.9 Zgledi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Parametri signalov 65
3.1 Signalni prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Prostori zaporedij in signalov . . . . . . . . . . . . 67
3.1.2 Norme zaporedij in signalov . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.3 Metrični prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.4 Metrike v nelinearnih prostorih . . . . . . . . . . . 72
3.1.5 Banachov prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.6 Prostori s skalarnim produktom . . . . . . . . . . . 73
Skalarni produkt v prostoru l in L . . . . . . . . . 73
Posplošitev skalarnega produkta . . . . . . . . . . . 74
Matrična oblika skalarnega produkta . . . . . . . . . 74
Evklidski prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Hilbertov prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.7 Cauchy-Schwarzova neenakost . . . . . . . . . . . . 75
3.1.8 Fizikalni pomen norm v l in L . . . . . . . . . . . 77
datoteka: signal_A

iv
KAZALO
3.2 Moč in energija signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Trenutna moč signala . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Trenutna medsebojna moč dveh signalov . . . . . . 78
3.2.1 Energija in gostota energije . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.2 Močnostni signali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.3 Pretok energije in moči . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.4 Efektivna vrednost signala . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Povprečna vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Pretok energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5 Informacijski parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Korelacija 87
4.1 Zamisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1.1 Korelacijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.2 Lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Korelacija aperiodičnih zaporedij in signalov . . . . . . . . 89
4.3 Korelacija periodičnih signalov . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Računanje energije in moči s korelacijo . . . . . . . . . . . 91
4.5 Robni efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5.1 Minimizacija robnega efekta
z dodajanjem popravka . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5.2 Minimizacija robnega efekta
s podaljšanjem signala . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6 Korelacijski koeficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Opis signalov z osnovnimi funkcijami 97
5.1 Matematični opis sestavljenih signalov . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Aproksimacija signalov z osnovnimi funkcijami . . . . . . . 102
5.2.1 Srednji kvadratni pogrešek . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.2 Minimizacija srednjega kvadratnega pogreška . . . . 102
5.2.3 Aproksimacija signalov
z linearno kombinacijo osnovnih funkcij . . . . . . . 105
5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami . . . . . . . . 105
5.3.1 Bazne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 Aproksimacija signalov z ortonormiranimi baznimi
funkcijami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.3 Določitev koeficientov c n
s pomočjo ortogonalnosti . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.4 Določitev koeficientov c n
po metodi najmanjšega kvadratnega pogreška . . . . 107
5.3.5 Parsevalova identiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

v
5.4 Primeri ortogonalnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.1 Nekatere ortonormalne funkcije . . . . . . . . . . . 110
5.4.2 Walsheve funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Naključni signali in statistične metode 115
6.1 Naključne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Porazdelitev verjetnosti diskretne naključne funkcije 118
Gostota verjetnosti zvezne naključne funkcije . . . . 119
σ algebra pri zveznih naključnih spremenljivkah . . 121
Kumulativna porazdelitvena funkcija . . . . . . . . 121
Lastnosti porazdelitvene funkcije . . . . . . . . . . 124
6.1.1 Določitev porazdelitvenih funkcij . . . . . . . . . . 125
6.1.2 Naključni vektorji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Lastnosti vektorske porazdelitvene funkcije . . . . . 127
Lastnosti gostote vektorske porazdelitvene funkcije . 130
Statistična neodvisnost . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.3 Funkcija porazdelitve pogojne verjetnost . . . . . . 132
6.2 Statistična povprečja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.1 Pričakovana vrednost . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.2 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.3 Splošna povprečja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.4 Centralni momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.5 Varianca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.6 Momenti vektorski spremenljivk . . . . . . . . . . . 136
6.2.7 Korelacija in kovarianca . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3.1 Binomska porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.2 Poisonova porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.3 Uniformna porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3.4 Gaussova ali normalna porazdelitev . . . . . . . . . 141
Komplementarna funkcija napake Q(x) . . . . . . . 143
Normalizirana Gaussova porazdelitev . . . . . . . . 144
Skaliranje Q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Funkcija napake Φ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Histogrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4.1 Teoretični histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4.2 Empirični histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5 Centralni limitni izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.6 Naključni signali in šumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.6.1 Definicije in oznake . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6.2 Statistični opis naključnih procesov . . . . . . . . . 152
datoteka: signal_A

vi
KAZALO
Verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Statistična povprečja . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.6.3 Stacionarni procesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Striktno stacionarni procesi . . . . . . . . . . . . . . 155
Širši stacionarni procesi . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ergodičnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Nekaj zgledov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7 Posplošene funkcije 161
7.1 Diracov impulz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 Definicija Diracovega impulza s porazdelitveno funkcijo . . 164
7.3 Lastnosti Diracovega impulza . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4 Vzorčenje analognih signalov . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.5 Povezava med enotsko stopnico in Diracovim impulzom . . 172
8 Sistemi 175
Peter Cafuta, Žarko Čučej
8.1 Zakonitosti sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.1 Bela škatla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.1.2 Črna škatla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.1.3 Vhodno-izhodni opis . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.2 Vrste sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.2.1 Dinamični sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2.2 Statični sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2.3 Invertibilni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2.4 Inverzni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2.5 Vzročni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2.6 Časovno neodvisni sistemi . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2.7 Linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2.8 Stabilni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 Sestavljanje sistemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.1 Vzporedna in zaporedna vezava . . . . . . . . . . . 184
8.3.2 Usmerjenost signalov in sistemov . . . . . . . . . . 186
8.3.3 Sistemi s povratno zanko . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.4 Konvolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.4.1 Izpeljava konvolucijskega integrala . . . . . . . . . 188
Impulzni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Odziv na poljubni vhodni signal . . . . . . . . . . . 188
8.4.2 Odziv linearnega časovno diskretnega sistema . . . . 189
8.4.3 Računanje konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.5 Lastnosti konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

vii
8.5.1 Obstoj konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.5.2 Stabilnost konvolucijskih sistemov . . . . . . . . . . 194
8.5.3 Linearnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.4 Statični in dinamični sistemi . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.5 Kavzalni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.6 Premik funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.5.7 Odvajanje konvolucije . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.5.8 Konvolucija signala
z odvodom Diracovega impulza . . . . . . . . . . . 198
8.5.9 Odziv realnih sistemov
na kompleksne signale . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.6 Frekvenčna karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.6.1 Odziv na kompleksni harmonični signal . . . . . . . 200
8.6.2 Odziv realnega sistema
na realni harmonični signal . . . . . . . . . . . . . . 203
8.6.3 Odziv diskretnega sistema
na diskretni harmonični signal . . . . . . . . . . . . 205
8.6.4 Pogoj obstoja frekvenčne karakteristike . . . . . . . 205
8.6.5 Lastnosti frekvenčnih karakteristik . . . . . . . . . . 206
8.6.6 Prekrivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.6.7 Povzetek lastnosti konvolucijskih sistemov . . . . . 207
8.7 Povezovanje konvolucijskih sistemov . . . . . . . . . . . . 207
8.8 Ciklična konvolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.8.1 Periodično podaljšanje signala . . . . . . . . . . . . 209
8.8.2 Računanje ciklične konvolucije . . . . . . . . . . . 210
8.8.3 Omejitev signala na periodo . . . . . . . . . . . . . 211
8.8.4 Simbolični zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.8.5 Matrični zapis diskretne ciklične konvolucije . . . . 212
8.8.6 Lastnosti ciklične konvolucije . . . . . . . . . . . . 214
Linearnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Pomik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.8.7 Povezava ciklične in linearne konvolucije . . . . . . 214
8.9 Uporaba programa MATLAB pri računanju konvolucije . . . 215
8.9.1 Funkcija conv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
A Verjetnostni račun 221
A.1 Osnovne zakonitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
A.2 σ algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
A.3 Verjetnost dogodkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.3.1 Matematična verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . 226
A.3.2 Statistična verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
datoteka: signal_A

viii
KAZALO
A.3.3 Verjetnost vsote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
A.3.4 Verjetnost vsote soodvisnih dogodkov . . . . . . . . 228
A.3.5 Pogojna verjetnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A.3.6 Verjetnost neodvisnih dogodkov . . . . . . . . . . . 230
A.3.7 Bayesova enačba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Literatura 233
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1
Uvod
SSIGNALI vpeljemo koncept opisovanja poteka nekega razvijajočega se
procesa, kot ga lahko opazujemo neposredno s čutili ali posredno z
merjenjem količin, ki nas v opazovanem procesu zanimajo. Signali
nas torej “informirajo”, kaj se s procesom dogaja. Signal lahko spremljamo
kontinuirano ali občasno ali pa v enakomernih intervalih izmerimo njihovo
vrednost. V slednjem primeru govorimo o zbiranju merilnih podatkov. Tudi
ti nas “informirajo” o dogajanju v opazovanem procesu.
S signali tudi sporočamo. Na primer, mnogo cestnih križišč ima semaforje,
ki uravnavajo promet. Ti z ustreznim signalom (zelena, rumena ali
rdeča luč) voznike ali pešce “informirajo”, kdaj lahko prečkajo križišče. Kompleksnejše
sporočanje je prenos agencijskih vesti na primer z radijskim signalom,
ali pa prenos merilnih podatkov vodostaja v visokogorskem zajetju
v nadzorni center. Zato, ko se sprašujemo, kaj so signali, odgovorimo:
signali so nosilci podatkov in informacij.
Mnogi današnjo dobo sicer opisujejo kot informacijsko dobo, vendar mnogi
med njimi ne razlikujejo med signali, podatki in informacijami. Zato v naslednjih
razdelkih povzemamo njihove glavne značilnosti.
1.1 Signali
V [17] najdemo zapis: ”Signali so kočije, ki vozijo informacije“. Z drugimi
besedami, informacije določajo potek signala. Ker za opis signalov uporabljamo
funkcije, je signal kar sinonim za (časovne) funkcije. Z matematičnim
opisom oblike ali sestave signalov vpeljemo parametre, ki ponazarjajo informacije.
S tehnikami obdelave signalov, ki jih v teoriji signalov razvijamo,
3

4 1. Uvod
te parametre izluščimo, ko signale sprejemamo, oziroma jih vpisujemo, ko
signale pošiljamo.
1.2 Podatki
Večino procesov lahko opazujemo oziroma sprejmemo s posebnimi napravami
– instrumenti. Tako lahko na primer z osciloskopom ali oscilografom
neposredno spremljamo potek napetosti električnega omrežja. Mnogo meritev
pa opravimo z odčitavanjem vrednosti signala v določenem trenutku.
Rezultat je časovno zaporedje podatkov, ki predstavljajo stanje signala v trenutku
meritve. Imenujemo ga tudi digitalni signal.
V teoriji signalov se omejujemo na tehnično plat zapisa podatkov. Zapis
določa kod, ki je sestavljen iz enega ali več znakov. Sestavljeni znak pogosto
imenujemo kodna beseda, zbirko vseh znakov pa abeceda. Zapis podatkov
v računalnik ali za prenos podatkov omogoči ustrezno oblikovan signal. To
oblikovanje imenujemo kodiranje signala.
Danes je osnovno tehnološko sredstvo pri obdelavi signalov digitalni računalnik.
Posebnosti obdelave signalov so kmalu vzpodbudile razvoj in izdelavo
namenskih mikroprocesorjev, ki jih imenujemo digitalni signalni procesorji.
Z njimi (in digitalnimi računalniki nasploh) ne moremo neposredno
obdelovati signalov, ampak le zaporedja podatkov. Zato signale pretvorimo
v zaporedje podatkov in te po potrebi po obdelavi – imenujemo jo digitalna
obdelava signalov – pretvorimo nazaj v analogni signal.
1.3 Informacije
Na informacije gledamo s splošnega filozofskega stališča pa vse do povsem
tehniškega. S tehniškega stališča so informacije množica elementov, ki predstavljajo
podatke, nova dejstva, pojasnila, merilne rezultate in podobno. To
množico imenujemo informacijska množica ali tudi informacijski prostor.
Če informacijska množica opisuje določen proces, potem je poznavanje
tega procesa odvisno od količine elementov - informacij, ki smo jih dobili od
njega. Če je obnašanje ali stanje procesa pričakovano in ga lahko napovemo,
potem spreminjanje stanja procesa pove le malo novega o sebi; nasprotno, nepredvidljiv
proces pa z vsako spremembo svojega stanja da novo informacijo
o sebi. Torej proces, ki ga opišemo z le nekaj podatki, ima majhno količino
informacij, proces, katerega opis pa zahteva veliko (enako obsežnih kot pri
predvidljivem sistemu) podatkov, vsebuje večjo količino informacije. Zato s
tehniškega stališča informacije poistovetimo s količino informacij.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.3 Informacije 5
Temelje sodobni teoriji informacij je podal leta 1948 Claude E. Shannon
v delu A mathematical theory of communications. Vpeljal je mero informacije,
kar omogoča obravnavo informacije kot količine. Zapisal je naslednjo
definicijo:
DEFINICIJA 1.3.1 (Informacija)
Informacija je enaka nezanesljivosti, ki jo nastop dogodka odstrani.
Iz definicije 1.3.1 sledi:
Bolj je dogodek verjeten, manj vsebuje informacij in nasprotno, manj
je dogodek verjeten, več informacije vsebuje.
Informacija je pozitivna količina, saj verjetnost dogodka izražamo z
vrednostjo med 0 in 1.
Informacija je aditivna in monotono naraščajoča funkcija. Informacija,
ki jo dajeta dva neodvisna dogodka, je obratno sorazmerna njuni
verjetnosti.
Pojem informacije ima smisel le, če obstaja poleg vira informacij še prejemnik
informacij. Ta lahko informacije prejema, če je povezan z virom
(slika 1.1). Torej, informacije ne obstajajo same zase, ampak to postanejo,
Slika 1.1
Posredovanje informacij, splošna
predstavitev.
ko jih sprejmemo. Pri prenosu informacij sodelujejo vir, kanal in prejemnik,
ovirajo pa ga motnje. Ti termini opisujejo:
Vir: je sistem, ki zajema (in pošilja) elemente iz informacijske množice
vseh možnih elementov v skladu z distribucijo verjetnosti
njihovega pojavljanja v viru.
Kanal:
Prejemnik:
Motnje:
je sistem, ki omogoča prenos informacij. Imenujemo ga tudi
komunikacijski ali prenosni kanal.
je uporabniški sistem informacij. Danes je lahko poleg človeka
to tudi računalnik.
so vplivi okolja in nepopolnosti komunikacijskega sistema na
vernost prenosa informacij.
datoteka: signal_A

6 1. Uvod
1.4 Primer signala, podatkov in informacije
Za lažje razumevanje pojmov signal, podatek in informacija si oglejmo naslednji
preprosti primer. V enakomernih časovnih intervalih merimo upornost
upora, skozi katerega teče konstantni tok. Na primer, da dobimo rezultate,
ki so navedeni v tabeli 1.1. Iz zaporedja izmerjenih podatkov lahko
narišemo graf signala (slika 1.2).
Tabela 1.1
št. intervala 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
upornost R[n] [Ω] 100,00 100,01 100,02 100,03 100,04 100,05 100,06 100,07 100,08 100,09
∆R = R[n] − R[n − 1] [Ω] 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
Slika 1.2
Predstavitev signala,
ki ga določajo podatki
v tabeli 1.1.
Iz slike in tabele vidimo, da signal na definicijskem območju enakomerno
narašča, torej ga lahko opišemo s funkcijo:
x(t) = 0,01·t + 100 = ∆R·t + R 0 , 0·T t 9·T .
In kaj je tu informacija? Dva parametra: začetna vrednost upornosti (100
Ω) in koeficient ∆R/interval = 0,01Ω/interval, ki podaja rast upornosti z
intervalom merjenja, torej s časom.
1.5 Sistemi
S sistemi opredeljujemo vsak del okolja, ki ustvarja signale oziroma se nanje
odziva. V teoriji signalov se pri obravnavi sistemov omejujemo na matematični
opis s sistemom enačb. Ta opis imenujemo tudi model sistema. Primer
modelov so matematični opis električnih vezij, algoritmi generiranja signalov,
algoritmi obdelave signalov itd.
Sisteme delimo v dve skupini:
1. sisteme, s katerimi obdelujemo signale.
Med te sisteme štejemo sita, okna, korelatorje, estimatorje itd.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.5 Sistemi 7
2. sistemi, ki generirajo signale.
To so lahko različni procesi ali naprave – signalni generatorji, ki smo
jih izdelali, da ustvarjajo predpisane signale. Njihovo skupno je vir.
V splošnem jih predstavimo z bloki označenimi s funkcijo sistema (slika 1.3).
vhodni signali
v
sistem
T
izhodni signali
y = T{ v}
vklop
( t)
vir
signali, podatki
Slika 1.3
Predstavitev sistemov;
levo: sistemi za obdelavo
signalov ali podatkov,
desno: vir.
1.5.1 Sita
S siti signale procesiramo oziroma obdelujemo. Obdelava signalov je najpomembnejši
del teorije signalov, še več, mnogi teorijo signalov enačijo z
obdelavo signalov. To poudarijo kar s terminom teorija obdelave signalov.
1.5.2 Viri
Vhod v vir je impulz, ki aktivira njegovo delovanje. Predstavljamo si ga
lahko kot stikalo, s katerim vklopimo na primer signalni generator. Taki viri
rojevajo tako imenovane vzročne ali kavzalne signale ali podatke.
Poznamo pa tudi vire, ki nimajo začetka svojega delovanja. Zanje rečemo,
da so pričeli delovati pred neskončno časa. V naravi sicer takšnih sistemov ni
(po sedanjem razumevanja stvarstva), prav pa nam pridejo pri matematičnem
opisu mnogih signalov.
1.5.3 Zakonitosti sistemov
Signali in sistemi so tesno povezani. Na primer, napetosti in tokovi so z električnim
vezjem povezani z elektromagnetnimi zakoni; lega, hitrost, pospešek
so z mehanskim sistemom v klasični mehaniki povezani z Newtonovimi
zakoni; pretoki, tlaki, potek kislosti so v kemičnih procesih povezani na primer
s termodinamičnimi zakoni in ne nazadnje vrednost delnic na borzi sledi
ekonomskim zakonom ponudbe in povpraševanja. Te povezave določajo zakonitosti
sistema. Imenujemo jih tudi karakteristika sistema. Zakonitosti
sistemov tudi določajo, kako se sistem odzove na vhodni signal. Odziv sistema
je spet signal, zato s sistemi signale lahko preoblikujemo oziroma jih
obdelujemo. V tej zvezi ni teorija obdelave signalov nič drugega kot skupek
zakonitosti, ki povezujejo sisteme s signali.
datoteka: signal_A

8 1. Uvod
1.6 Uporaba teorije signalov
Mnogim – ne le študentom – se pogosto zastavlja vprašanje, kje in zakaj
potrebujemo teorijo signalov, oziroma, kaj lahko z obdelavo ali popularno
rečeno, s procesiranjem signalov dosežemo. Zato v krajšem pregledu navajamo
pomembnejše primere iz življenja, tehnike in znanosti, kjer ima teorija
signalov pomembno ali celo ključno vlogo oziroma pomen. Ta v zadnjem
času z razvojem polprevodniške tehnologije, ki omogoča poceni gradnjo digitalnih
signalnih procesorjev in s tem učinkovito uporabo teorije signalov v
praksi.
Razvoj digitalnih signalnih procesorjev je sprožil pravo revolucijo v uporabe
teorije signalov. Ta je zajela tolikšen obseg, da se danes proučuje predvsem
tako imenovana teorija digitalne obdelave signalov.
1.6.1 Obdelava signalov
Značilni problem, ki ga rešujemo z obdelavo signalov, je na primer odstranjevanje
šuma iz signala. Tega na primer želimo odstraniti iz merilnega signala,
telefonskega signala in podobno. Ta problem opišemo z naslednjo enačbo:
v(t) = x(t) + n(t) , (1.1)
kjer so v(t) opazovani signal, x(t) koristni signali in n(t) šum, ki se je prištel
signalu. Kako ločiti signal od šuma? Šum skušamo odstraniti ali vsaj
zelo zmanjšati s sitom (slika 1.4), s katerim sejemo sprejeti signal. Izhod sita
Slika 1.4
Problem načrtovanja vhodnega sita za
izločevanje šuma.
n( t)
x( t)
v( t) = x ( t) +n( t)
y( t)
sito
je signal y(t), za katerega želimo, da je enak oziroma bolj podoben poslanemu
signalu x(t), kot je sprejeti signal v(t). Pri izbiri sita predpostavimo, da
je energija šuma koncentrirana v višem frekvenčnem področju kot je večina
energije signala, torej, da je spreminjanje šuma mnogo hitreje kot je spreminjanje
poslanega signala. Če iz signala v(t) odrežemo komponente, ki so
nad določeno frekvenco, signal zgladimo. S tem sicer odstranimo določeno
količino šuma, hkrati pa spremenimo tudi signal. Močnejši je učinek glajenja,
več šuma odstranimo, hkrati pa bolj spremenimo signal. Zato v takih
primerih vedno iščemo kompromis. Pri tem si pomagamo s teorijo signalov,
s katero proučujemo učinek sita na potek signala.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.6 Uporaba teorije signalov 9
1.6.2 Telekomunikacije
S pojmom telekomunikacije opisujemo prenos informacij. Te lahko zajemajo
telefonski pogovor, prenos televizijskega signala, računalniških in drugih podatkov.
Za prenos podatkov potrebujemo komunikacijski kanal. Tvori ga
lahko par žic, radijski signal, svetlo(bo)vodnik itd. Ker telekomunikacijske
družbe svojim strankam zaračunavajo količino prenešenih informacij, so zelo
zainteresirane, da po istem mediju prenesejo čimveč informacij in s tem z obstoječo
infrastrukturo več zaslužijo.
Pojavom DSP je vplival na številna področja telekomunikacij. Na primer:
generiranje in detekcija signalnih tonov, modulacijske in demodulacijske tehnike,
sejanje šumov in linijskega bruma, itd. Izmed njih povzemamo le tri
specifične primere: multipleksiranje komprimiranje ali stiskanje digitalnega
zapisa in odpravljanje odmeva.
Ponavadi so originalni signali neprimerni za prenos na večje razdalje, zato
jih pustimo, da jih nosi nosilni signal – nosilec, ki je primeren za to. Proces
vpisovanja sporočil na nosilec imenujemo modulacija. Rezultat modulacije
je modulirani signal. Na sprejemni strani iz moduliranega signala izluščimo
poslano sporočilo z modulaciji nasprotnim postopkom – imenujemo ga demodulacija.
Modulacija in demodulacija se vršita v modulatorju oziroma
demodulatorju (slika 1.5).
Slika 1.5
Prenos informacije z modulacijo nosilca.
Postopek modulacije si oglejmo na primeru amplitudne modulacije, ko informacijo
določa diskretni signal m(t) – imenujemo ga modulacijski signal,
nosilni signal pa je sinusni val c(t) – imenujemo ga nosilec – z visoko frekvenco
(slika 1.6).Vidimo, da je rezultat modulacijskega postopka signal x(t),
katerega amplituda se spreminja v odvisnosti od modulacijskega signala:
x(t) = m(t)·c(t) . (1.2)
Lastnosti moduliranega signala x(t) določimo s pomočjo teorije signalov. Pri
demodulaciji moramo razrešiti problem povrnitve originalnega signala, saj
demodulacijo izvajamo na sprejetem signalu r(t). Ta se na poti, zaradi neidealnosti
prenosnega medija ali drugih omejitev (slika 1.7), popači, prišteje pa
datoteka: signal_A

10 1. Uvod
Slika 1.6
Primer
modulacijskega,
nosilnega,
moduliranega in
sprejetega signala.
Slika 1.7
Model prenosnega medija z aditivnim šumom. S
sitom opišemo prenosno karakteristiko medija.
se mu tudi šum. Zato demodulacije ne moremo preprosto izvesti z deljenjem
sprejetega signala z nosilcem, saj
m(t) = x(t)
c(t) ≠ r(t)
c(t)
. (1.3)
Rešiti moramo podoben, vendar zahtevnejši problem, kot smo ga opisali v
prejšnem paragrafu (slika 1.4). Zato si tudi v tem primeru pomagamo s teorijo
signalov. Za razliko od prejšnjega primera, lahko na primer načrtamo
optimalno sito – vstavimo ga pred demodulator, ki maksimira razmerje med
amplitudo signala x(t) in efektivno vrednostjo šuma n(t). Načrtamo lahko
tudi sito, ki izravna karakteristiko prenosnega medija, če le-to poznamo, ali
zgradimo algoritme, ki identificirajo prenosno karakteristiko in glede na njo
samodejno naravnajo sito za izravnavo karakteristike. Tudi v teh primerih si
pomagamo s teorijo signalov.
Modulacije in demodulacije so zelo pomemben del komunikacijske teorije.
Poznamo jih celo vrsto, od tako imenovanih amplitudnih, kotnih, digitalnih
modulacij (slika 1.6) pa vse do modulacije z razprševanjem spektra.
Multipleksiranje
Na svetu je sedaj okoli ena milijarda telefonov. S pritiskom nekaj številk na
telefonu lahko v nekaj sekundah preko telefonskega omrežja povežemo poljubna
telefona. Obsežnost dela, ki se pri tem opravi, si težko predstavljamo.
Do šestdesetih let prejšnjega stoletja, je povezava med dvema telefonoma
zahtevala analogni prenos govornega signala preko mehanskih stikal in analognih
ojačevalnikov. Vsaka povezava je zato zahtevala svoj par žic. Z uporabo
DSP lahko govorni signal preoblikujemo v serijski bitni tok. Tega lahko
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.6 Uporaba teorije signalov 11
preprosto prepletemo z drugimi bitnimi tokovi in jih kasneje izdvojimo. Zato
lahko po enem kanalu sočasno prenašamo veliko telefonskih pogovorov. Na
primer, telefonski standard pozna T1 (v Združenih državah) in E1 (v Evropi)
prenosni sistem. T1 prenosni sistem sočasno prenaša 24 govornih kanalov.
Vsak kanal je otipan 8000 krat na sekundo, kar da 64 kbit/s, oziroma pri T1
da za 24 kanalov skupaj 1,544 Mbit/s. Ta signal lahko prenašamo po telefonski
liniji približno 2000 m daleč. Finančna prednost takega sistema je velika:
žice in analogna stikala so draga, logična vezja so poceni.
Komprimiranje
Govorni signal, ki ga digitaliziramo 8000 krat na sekundo, ima večino digitalnih
podatkov redundančnih, saj je informacija, ki jo nosi en otipek je
najmanj podvojena v sosednjih otipkih. Razvitih je vsaj ducat algoritmov, ki
stisnejo digitalni zapis, tako da je potrebna manjša prenosna zmogljivost in ga
na sprejemni strani povrnejo v originalno obliko. Imenujemo jih kodek algoritmi.
Kodeki se se medsebojno razlikujejo po kompresijskem razmerju (za
kolikokrat lahko stisnejo digitalni zapis), ki ga dosežejo in kakovosti govora.
V splošnem pri zmanjšanju prenosne hitrosti iz 64 kbit/s na 32 kbit/s brez izgube
kakovosti zvoka, pri zmanjšanju na 8 kbit/s opazimo manjšo kakovost
govora, vendar to ne moti razumljivosti, zato te prenosne hitrosti uporabljamo
pri prenosu govora na velike razdalje. Danes kodeki dosegajo kompresijska
razmerja, ki dajo približno 2 kbit/s prenosne hitrosti. Ta govor je že močno
popačen, vendar je razumljivost v nekaterih uporabah še dovolj uporabna, na
primer pri vojaških in podmorskih komunikacijah.
kodek:
kodiranje dekodiranje
govorni kodek,
video kodek
Odstranjevanje odmeva
Pri prenosu govora na velike razdalje so odmevi velik problem. Ko govorimo
v telefon, signal, ki predstavlja naš govor, potuje do linijskega ojačevalnika,
od koder se ga del vrne kot odmev. Če je razdalja med govornikoma le nekaj
sto kilometrov, ima odmev zakasnitev le nekaj mili sekund. Tako malih
zakasnitev ne slišimo, zato nas pri govoru ne motijo. Pri večjih razdaljah,
na primer med kontinentalnih zvezah, so zakasnitve lahko nekaj 100 mili
sekund, kar pa nas že moti pri pogovoru. V tem primeru merimo vrnjeni signal,
generiramo nasprotni signal, s katerim želimo izničiti signal odmeva.
Ta postopek je uporaben tudi pri zvočnikih, preko katerega lahko sočasno
govorimo in poslušamo. Prav tako se te tehnike uporabljajo pri zmanjševanju
šuma okolja ali hrupa, ki ga ustvarjajo razne naprave.
datoteka: signal_A

12 1. Uvod
1.6.3 Avdio
Vid in sluh sta dva glavna človekova čuta. Zato je tem področju posvečeno
veliko raziskovalnega in razvojnega dela. Novi sistemi digitalne obdelave
signalov so revolucionalizirali hranjenje, posredovanje in poslušanje
tako glasbe kot govora.
Glasba
Digitalni zapis glasbe v veliki meri prepreči degradacijo kakovosti analognega
zapisa. To lahko opazi vsakdo, ki primerja kakovost zapisa glasbe s
kasete s kakovostjo z zgoščenke. Kako pa nastane posnetek? Ponavadi pri
snemanju v tonskem studiu glasbo posnamejo v več kanalih ali na več trakovih,
mnogokrat za vsak instrument in za vsakega pevca posebej. To daje
studijskim tehnikom veliko kreativnih možnosti za oblikovanje končnega zapisa.
Kompleksni proses kombiniranja individualnih zapisov v končno obliko
kompozicije imenujemo mešanje navzdol. Z digitalno obdelavo signalov pri
tem vršijo pomembne funkcije kot so filtriranje, seštevanje in odštevanje signalov,
editiranje itd.
Ena izmed najbolj zanimivih aplikacij pri pripravi glasbe je umetni odmev.
Če posamezne kanale preprosto seštejemo, rezultat zveni prazno in
zvodenelo, približno tako, kot če glasbeniki igrajo na prostem. To je zato,
ker je studi0 gluhi prostor (prostorih brez odmeva). Zato pri se mešanju umetno
dodaja odmev za poslušanje določene glasbe idealnih okolij. Na primer,
odmev z zakasnitvijo nekaj sto ms daje vtis, da poslušamo glasbo v katedrali,
zakasnitev 10 ms do 20 ms pa ustvari vtis, da glasbo poslušamo v srednje
velikem prostoru.
Umetni govor
Umetni govora in prepoznava govora se uporablja v komunikaciji med ljudmi
in stroji. Omogočata, da v sedaj običajno tehniko, pri kateri uporabljamo roke
(za tipkanje ukazov na tipkovnico) in oči (za gledanje zapisov na ekranu), zamenjamo
z za človeka preprostejšim (po)govorom. Ta način komunikacije je
posebej udoben, ko roke in oči potrebujemo za druga opravila, na primer
za vožnjo avtomobila, izvajanje operacije in podobno. Pri umetnem govoru
se danes uporabljata dva pristopa: digitalni zapis govora in simulacija človekovega
vokalnega trakta. Pri digitalnem zapisu govora je v pomnilniku
shranjen, ponavadi komprimiran, digitalizirani signal govorca. Pri uporabi
tega zapisa, se shranjeni podatki dekomprimirajo in pretvorijo nazaj v analogni
signal. Za ta postopek, na primer za uro govora, potrebujemo okoli 3 MB
pomnilnika, kar danes zmorejo že zelo mali računalniški sistemi. Danes je
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.6 Uporaba teorije signalov 13
to najbolj pogosti način generiranja umetnega govora. Simulatorji govornega
trakta so bolj zapleteni. Z njimi skušamo posnemati fizikalne mehanizme, s
katerimi ljudje ustvarijo govor. Človekov govorni trakt je akustična votlina, v
kateri so resonančne frekvence določene z velikostjo in obliko votlin. Govor
sestavljajo dve vrsti glasov: samoglasniki in soglasniki. Pri samoglasnikih
glasilke pošiljajo skoraj periodične pulze zraka v zvočne votline, pri soglasnikih
pa zvok nastaja pri turbolenci zraka blizu ustnic ali zob. Simulatorji
govornega trakta delujejo tako, da generirajo digitalni signal, ki sestavi ti dve
vrsti glasov. Karakteristike resonantnih votlin simuliramo s prehodom signala
preko sita s podobnimi resonancami. Tak postopek so uporabili v prvi
uspešni uporabi digitalnega signalnega procesorja – napravi Speak & Spell,
ki se v ZDA uporablja kot učni pripomoček za otroke.
Prepoznava govora
Prepoznava govora je neizmerno težja kot generiranje govora. To je klasični
primer, kar človekovi možgani odlično opravljajo, računalniki pa (še vedno)
slabo. Z računalniki lahko shranijo veliko podatkov, izvajajo različne izračune
z zelo veliko hitrostjo, vendar so še žal vedno neučinkoviti, ko imajo
opravka s surovimi senzorskimi podatki. Naučiti računalnik, da mesečno pošilja
na primer račun za porabljeno električno energijo, je preprosto, naučiti
ga razumeti pa zelo težko (po več kot dvajsetih letih intenzivnega raziskovanja
smo še vedno zelo na začetku). Razpoznavanje govora v splošnem
poteka v dveh korakih. V prvem izvlečemo značilnost govora, v drugem pa
iščemo ujemanje (z znanimi vzorci). Pri tem izoliramo vsako besedo in jo
analiziramo, da lahko odkrijemo vrsto vzbujanja in rezonančne frekvence.
Te parametre primerjamo s prejšnjimi primeri izgovorjenih besed ter s tem
poiščemo najbližje ujemanje. Pogosto je tak sistem omejen le na nekaj sto
besed, razume govor s poudarjenimi presledki med izgovorjenimi besedami.
Sistem mora biti naučen na posameznega govorca. To je primerno za mnoge
komercialne rešitve. Naštete omejitve pa postanejo ponižujoče, ko tak sistem
primerjamo s človekovim sluhom. Na tem področju mora še biti opravljeno
veliko dela in bo potrebno vložiti še veliko denarja, preden bodo na voljo
uporabnejši in uspešnejši komercialni izdelki.
1.6.4 Lokacija odmeva
Tehnike daljinskega opazovanja ločimo v dve veliki skupini: pasivne, kjer
merimo lastna ali odbita naravna sevanja od objekta, in aktivna, kjer opazovanje
temelji na merjenju odboja pulzov različnega valovanja od objekta. Na
primer, z radarji, ki delujejo na principu odboja radijskega valovanja, merimo
datoteka: signal_A

14 1. Uvod
položaj in hitrost letal, ugotavljamo nevihtne oblake, opazujemo zemeljsko
površino in površino drugih planetov itd; s sonarji izkoriščajo širjenje in odboj
zvočnega valovanja pri odkrivanju podmornic, velikih rib ali ribjih jat;
geofiziki z merjenjem odboja udarnega vala, ki ga sprožijo z eksplozijo, proučujejo
strukturo zemeljske skorje, iščejo rudnine ali nafto na velike razdalje
in globine. Vse te aktivnosti imajo seveda poleg skupnega principa merjenja
odboja, mnogo specifičnih problemov, ki jih lahko z ustreznimi algoritmi
digitalne obdelave signalov uspešno rešujemo.
Radar
Beseda radar je kratica za radio detection and ranging, ki v prostem prevodu
pomeni detekcija objektov in določanje njihove lege z odbojem radijskih valov.
Najpreprostejši radarski sistem sestavlja radijski oddajnik, ki generira
kratke impulze – dolge nekaj µs – visokih frekvenc, ki jih vodimo v usmerjeno
anteno 1 Ta pulz se iz antene širi s svetlobno hitrostjo. Letalo (ali drugi
predmet, katerega oddaljenost in smer želimo izmeriti) del te energije odbije
nazaj v sprejemno anteno, ki je postavljena v bližini oddajne. Razdaljo do
objekta izračunamo iz zakasnitve med poslanim in sprejetim pulzom, smer
pa določa smer antene ob sprejemu odbitega pulza.
krmiljenje
oddaje/sprejema
navigacija
in vodenje
oddajnik
krmiljenje antene
cirkulator
generator
takta
vzbujalnik
mešalnik
antena
Slika 1.8
Tipična zgradba sodobnega radarja.
referenèni takt
referenèni takt
sprejemnik
takt digitalizacije
digitalizacija
prenosni
sistem
1 Usmerjenost antene je odvisna od valovne dolžine elektromagnetnega valovanja. Večja
je antena v primerjavi z valovno dolžino valovanja, boljša je usmerjenost antene. Zato
radarji ponavadi delujejo v decimeterskem, centimeterskem, milimetrskem ali celo krajšem
valovnem območju. Torej pri zelo visokih frekvencah, od nekaj GHz naprej.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.6 Uporaba teorije signalov 15
Doseg radarja je določen z dvema parametroma: koliko energije je v oddanem
pulzu in nivoju šuma v sprejemniku. Žal povečanje energije pulza
ponavadi zahteva, da so pulzi daljši. Posledica tega je, da se s tem zmanjša
natančnost in točnost določanja razdalje do objekta. Tako nastane konflikt
med možnostjo odkrivanja objektov na velikih razdaljah in natančnostjo določitve
razdalje do njega. Z obdelavo signalov so delovanje radarjev revolucionarno
izboljšali na treh bistvenih področjih: (i) s spretno modulacijo signala
oddanega pulza in obdelavo njegovega odmeva lahko stisnemo sprejeti pulz
ne da bi pri tem zmanjšali doseg radarja; (ii) s sejanjem vhodnega signala
zmanjšamo šum v sprejetem signalu. S tem povečamo doseg radarja brez povečanja
energije pulza in zmanjšanja natančnost določanja razdalje; in (iii) s
hitro izbiro in spreminjanjem oblike in dolžine pulzov lahko med ostalim tudi
sproti optimiramo pulze za detekcijo različnih objektov ter tako omogočimo
njihovo lažje prepoznavanje. In vse te naloge se izvedejo pri frekvenci vzorčenja,
ki presega nekaj sto MHz! Temu so seveda prilagojeni tako strojna
oprema kot algoritmi digitalne obdelave signalov.
Sonar
Sonar je kratica angleškega termina sound navigation and ranging. Poznamo
aktivne in pasivne sonarje. Aktivni sonarji pošiljajo v vodo zvočne pulze s
frekvencami med 2 kHz in 40 kHz. Iz analize odmevov, ki nastanejo na raznih
objektih v vodi ali med plastmi v vodi, ugotavljamo razdaljo in smer
gibanje objektov, njegovo velikost, izvajamo navigacijo, komunikacijo pod
vodo, izdelujemo zemljevide morskega dna itd. Tipične razdalje, ki jih dosežemo
s senzorji so med 10 km in 100 km. S pasivnimi senzorji lahko le
prisluškujemo dogajanju v vodi. Zvoki v vodi nastajajo zaradi naravnih turbolenc,
življenja v vodi, zvokov, ki jih povzročajo razna plovila (čolni, ladje,
podmornice). Frekvence zvočnih valovanj, katerim prisluškujemo, so nižje
kot pri aktivnih sonarjih. Zaradi tega je doseg detekcije lahko tudi nekaj tisoč
kilometrov.
Z obdelavo signalov lahko sonarju izboljšamo lastnosti na istih področjih
kot pri radarju. Pri tem je v obdelavi signalov nekaj pomembnih razlik.
Sonarji delujejo na bistveno nižjih frekvencah. Po drugi strani pa je okolje
uporabe sonarja bolj nehomogeno in manj stabilno, zato jih ponavadi gradimo
kot omrežje oddajnih in sprejemnih senzorjev. S pravilnim nadzorom
in mešanjem signalov lahko sonar usmerja oddajne pulze in določi smer odmeva.
Zaradi tega sonarji potrebujejo enako procesorsko moč kot je potrebna
pri radarjih.
datoteka: signal_A

16 1. Uvod
Seizmologija
V zgodnjih dvajsetih letih prejšnjega stoletja so geofiziki odkrili, da lahko
določajo strukturo zemeljske skorje z merjenjem odmevov zvoka, ki ga povzroči
eksplozija na površini. Z meritvami po tem postopku sežejo več kot 10
km v globino. Ti postopki so kmalu postali osnovi način iskanja naftnih in
mineralnih nahajališč. Uporabljamo jih še danes.
V idealnem primeru zvočni impulz, ki da pošljemo v zemeljsko notranjost,
ustvari pri vsakem prehodu skozi posamezno zemeljsko plast en sam
odmev. Žal, v praksi to ni tako preprosto. Vsak odmev, ki se vrača nazaj na
površino, mora preiti skozi vse plasti, ki so med površino in mejo plasti, kjer
je nastal. Zaradi tega dobimo na površini zemlje množico odmevov, ki zelo
otežijo detekcijo odmevov in njihovo predstavitev. Zato se po letu 1960 široko
uporablja digitalna obdelava signalov, s katero si pomagamo razvozlati
pomen odmevov. Kako pa geofiziki proučevali strukturo zemeljske skorje
pred tem? Odgovor je preprost. Proučevali so lahko le najbolj preproste primere,
kjer ni večkratnih odmevov, oziroma so ti zelo pridušeni. Digitalna
obdelava signalov omogoča odkrivati na primer nahajališča nafte tudi pod
oceanskim dnom.
1.6.5 Obdelava slik
Slikovni signali imajo nekatere posebnosti, ki jih pri ostalih signalih redkeje
srečujemo. Prvo, njihovi parametri so prostorsko razporejeni in ne po po
času, kot je to primer pri večini ostalih signalov. Druga njihova značilnost
je velika količina informacij. Na primer za posnetek 1 sekunde televizijske
slike potrebujemo več kot 10 MB pomnilnika. To je več tisoč krat več, kot
pri zapisu govora enake dolžine. Tretja posebnost je, da je končna ocena
kakovosti slike subjektivna. Zaradi teh posebnosti, je obdelava slik posebna
disciplina (digitalne) obdelave slik.
Medicina
Leta 1895 je Wilhelm Conrad Röntgen odkril, da x-žarki ali tudi Röntgenski
žarki “svetijo” tudi skozi določeno debelino snovi. S tem se je v medicini odprla
nova možnost pogleda v človeško telo. Ne glede na velik uspeh rentgenskega
aparata, je njegova uporaba bila do nedavnega omejena z naslednjimi
štirimi problemi:
1. Strukture v telesu, ki se prekrivajo, zakrivajo pogled za njimi. Na primer,
del srca zakritega z rebri, ne moremo videti.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.6 Uporaba teorije signalov 17
2. Mnogokrat ne moremo razlikovati med organi iz podobnih tkiv. Na primer,
razlikovanje kosti od mehkih tkiv ne predstavlja večjih problemov,
razlikovanje tumorja od jeter pa ni več preprosto ali sploh mogoče.
3. Röntgenske slike kažejo anatomijo, ne pa delovanje organov. Izgled rentgenskih
slik mrtvih in živih teles se ne razlikujejo!
4. Röntgenske sevanje lahko povzroči raka. zato ga moramo uporabljati z
veliko pazljivostjo in le s pravilno nastavljeno jakostjo.
Problem prekrivanja strukture so rešili leta 1971 z izdelavo prvega računalniškega
tomografa (CT: computed tomography). računalniški tomograf je
klasični primer uspešne uporabe digitalne obdelave signalov. Posnetke, ki
jih dobimo pri slikanju z rentgenskimi žarki iz večih smeri, se pretvori v
digitalne podatke in hrani v računalniku. Ta iz njih z ustreznimi algoritmi
izračuna slike ki kažejo prereze telesa. Te slike kažejo mnogo več detajlov
kot konvencionalne tehnike. Omogočajo bistveno boljšo diagnostiko in
s tem zdravljenje. Uvedba računalniške tomografije je imela približno enake
posledice kot odkritje rentgenskega aparata samega. V nekaj letih so vse pomembnejše
bolnice v svetu imele računalniški tomograf. Za njegovo odkritje
sta Godfrey N. Hounsfield and Allan M. Cormack – njegova glavna odkritelja
– dobila leta 1979 Nobelovo nagrado za dosežke v medicini. To je uporaba
digitalne obdelave signalov!
Ostale trije problemi so bili rešeni z uporabo drugačnega sevanja, na primer
radijske frekvence in ultrazvočno valovanje. V vseh je ključni element
delovanja naprav digitalna obdelava signalov. Na primer, pri preiskavah z
uporabo magnetne resonance (Magnetic Resonance Imaging: MRI) z radijskim
valovanjem vzbujamo atomska jedra v izbranem območju telesa. Atomska
jedra v tem področju (resonančno) nihajo med dvema kvantnima stanjima
ter pri tem sevajo značilno radijsko valovanje, ki ga detektiramo s posebnimi
antenami nameščenimi blizu telesa. Iz jakosti in in drugih karakteristik tega
signala dobimo informacije o opazovanem delu telesa. Z nastavitvijo magnetnega
polja je možno pomikati območje resonance atomskih jeder skozi telo
in tako slikati notranjo strukturo telesa. Te informacije se običajno predstavijo
kot slike, enako kot pri računalniški tomografiji. Poleg dobrega razlikovanja
med različnimi vrstami mehkih tkiv, MRI lahko uporabimo za merjenje
delovanja organov, na primer pretoka krvi skozi arterije. Delovanje MRI povsem
temelji na digitalni obdelavi signalov. Ni ga mogoče izdelati brez nje.
Vesolje
Danes zemljo in in vesolje daljinsko opazujemo predvsem iz satelitov, ki
krožijo okoli zemlje, ali potujejo proti tujim nebesnim telesom. Pri tem mnodatoteka:
signal_A

18 1. Uvod
gokrat iz satelitov dobimo slabe slike, iz katerih pa želimo izvleči kar se da
dosti informacij, saj nihče ne bo šel še enkrat v vesolje zato, da nastavi nekaj
gumbov na snemalnih napravah! (Izjema je primer teleskopa Huble 2 ). Z
obdelavo signalov lahko kakovost slike, ki je posneta v zelo neugodnih okoliščinah,
izboljšamo na različne načine. Na primer, svetlost in kontrast slike,
instrument
SAR
signalni
podatki
oblikovanje
slike
SAR
slika
obdelava
slike
informacije
o sceni
uporaba
slik
senzor
gibanja
podatki o gibanju
SAR instrumenta
Slika 1.9
Sistem daljinskega opazovanja s pomočjo instrumenta SAR. SAR (Synthetic Aperture Radar: radar z umetno
odprtino) je instrument na osnovi radarja, kjer sevalni kot antene določimo z obdelavo signalov.
detekcija robov, zmanjševanje šuma, izboljšava ostrine, odstranjevanje senc
zaradi gibanja in podobno.
Mnogo posameznih slik lahko združimo v eno samo, tako da lahko enotno
prikažemo različne informacije. Na primer, simulacija poleta po oddaljenem
planetu. S tako imenovanim postopki zlivanja informacij lahko pridobimo
nove informacije, ki jih posamezna slika ne vsebuje.
Izdelki široke potrošnje
Velika količina informacij, ki jih vsebujejo slike, so velik problem za izdelke
široke potrošnje. Ti morajo biti poceni, zato so njihove pomnilniške in prenosne
zmogljivosti omejene. Ena izmed rešitev tega problema je stiskanje
digitalnega zapisa slike. Podobno kot pri govoru, slike vsebujejo veliko redundantne
informacije, zato jih je možno zapisati v zelo skrčenem zapisu.
Televizijske slike in podobne slikovna zaporedja so posebej primerna za stiskanje
zapisa, saj se pri njih vsebina med slikami večinoma le malo razlikujejo.
Prednosti, ki jih s tem pridobimo, omogočajo izdelke kot so video
telefoni, računalniški programi za prikaz filmov in ne nazadnje digitalna televizija.
2 Pri izdelavi zrcala teleskopa – izdelava je trajala štiri leta in stala eno milijardo ameriških
dolarjev – je prišlo do okvare instrumenta za umerjanje zrcala, zato ima zrcalo sistemsko
napako. Ko so odkrili napako, so izdelali korekcijski element, ki so ga astronavti v vesolju
vstavili med zrcalo in slikovnim senzorjem.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.7 Orodja v teoriji signalov 19
1.6.6 Vodenje
Pri vodenju želimo načrtati naprave, imenujemo jih regulatorje, ki vplivajo
na lastnosti vodenega sistema tako, da imajo želene lastnosti. To dosežemo s
povratno vezavo, ki omogoči, da je vhod regulatorja razlika med želenim in
izhodnim signalom. S tem skušamo odpraviti odstopanje od želenega obnašanja
oziroma lastnosti (slika 1.10).
motnje
v
eleni
signal
v - y
regulacijsko
odstopanje
regulator
x
nastavitveni
signal
vodeni
objekt
y
signal
regulirane
kolièine
Slika 1.10
Uravnavanje dinamičnih lastnosti
sistema z regulacijo.
Pri načrtovanju regulatorjev je pomembno poznati lastnosti in značilnosti
vodenega objekta. Te lahko ugotovimo s primerjavo nastavitvenega signala in
signala regulirane količine. Tehnike in metode primerjave signalov, kot tudi
izbira primernih vhodnih signalov za identifikacijo sistemov je pomembno in
uporabno področje teorije signalov.
Z vodenjem se ukvarja teorija regulacij.
1.6.7 Vede, ki uporabljajo teorijo signalov
Komunikacije in vodenje obravnavamo danes kot samostojni tehniški disciplini.
S prvimi se predvsem ukvarjajo komunikacijski inženirji, z drugimi pa
inženirji avtomatike. Obe disciplini pa uporabljata isto izhodišče – teorijo
signalov. Še več, težko je najti komunikacijsko napravo ali postopek, ki ne
bi vseboval elementov regulacij. Pri vodenju pa morajo regulatorji in vodeni
objekti medsebojno izmenjevati informacije o svojem stanju, torej morajo
medsebojno komunicirati. Danes obstajajo mnogi sistemi vodenja, kjer so
regulacije porazdeljene, njihovi gradniki pa so medsebojno povezani z ustreznimi
komunikacijskimi sistemi.
1.7 Orodja v teoriji signalov
Kot v vseh naravoslovnih vedah je tudi teoriji signalov osnovno orodje, s katerim
opisujemo, analiziramo ali sinteziramo signale, matematika. Iz njene
zakladnice so v teoriji signalov pomembne funkcije, diferencialni in integralni
račun. Z njimi lahko rešujemo probleme ali raziskujemo temeljne zakonitosti
signalov, ko imamo opravka s tako imenovanimi zveznimi in opisljivimi
signali. Pri diskretnih signalih ali podatkih uporabljamo diskretno
matematiko oziroma numerični račun. Obstaja pa tudi zvrst signalov, ki jih
datoteka: signal_A

20 1. Uvod
ne moremo opisati. To so naključni signali, pri katerih obstaja le določena
vrednost, da bodo v nekem trenutku imeli določeno vrednost. Pri njih je
osnovno orodje verjetnostni račun in statistične metode.
Danes za vsa ta matematična področja obstajajo programska orodja, ki
nam olajšajo razreševanje problemov. Med njimi so najbolj znana naslednja:
Mathcad
Mathematica
LabWiev/HiQ
MATLAB
Poleg naštetih obstajajo še številni drugi programski paketi. Izmed njih smo
za prikaz obdelave signalov izbrali MATLAB.
1.7.1 MATLAB
V [50, str. 5–6] je v uvodu o programu MATLAB zapisano naslednje:
Programski paket MATLAB je interaktivni program. Temelji na
matričnem računu. Namenjen je znanstvenemu in inženirskemu
računanju ter vizualizaciji funkcij. Njegova moč je v tem, da
lahko z njim rešujemo kompleksne numerične probleme le v
delcu časa, ki bi ga potrebovali reševanjem s programi v programskih
jeziki kot sta Fortran ali C. Prav tako je močan v smislu,
da lahko s programom MATLAB relativno enostavno programiramo
nove ukaze in funkcije.
Programski paket MATLAB je na razpolago za številna računalniška
okolja. Tako ga lahko uporabljamo na osebnih računalnikih
z operacijskimi sistemi DOS, serije Windows od 95 naprej,
potem na računalnikih Apple Macintosh, Unix delovnih postajah
in na več paralelnih računalniških sistemih. Osnovni paket MA-
TLAB je skozi leta bil izboljšan še s številnimi orodnimi kovčki
(kolekcijami specializiranih funkcij za specifična znanstvena in
inženirska področja) . . .
Področje uporabe paketa MATLAB je seveda daleč večja, kot
smo opisali v nekaj besedah. Nima pomena dati precizno informacije
ali pregledni material o paketu, saj o njem obstoji mnogo
odličnih knjig in učbenikov . . .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

1.7 Orodja v teoriji signalov 21
1.7.2 Orodni kovčki programa MATLAB
Za področje obdelave signalov je za program MATLAB izdelanih več orodnih
kovčkov. Med njimi ima osrednje mesto kovček Signal Processing Toolbox.
Poleg njega so v knjigi še primeri uporabe orodnega kovčka ”Statistics Toolbox“.
Prav lahko pridejo še drugi orodni kovčki, vendar njihov namen in
zmogljivosti presegajo name te knjige.
1.7.3 Učenje programa MATLAB
Študentom priporočamo, da si pri študiju primerov uporabe programa MA-
TLAB pomagajo z MATLAB User’s Guide 3 in Reference Guide 4 Prav tako priporočamo
učbenik The Student Edition of MATLAB 5 . Poleg teh knjig v angleškem
jeziku so na voljo tudi slovenska skripta Teorija sistemov z uporabo
Matlaba 6 .
Informacije, ki so dane v teh učbenikih, so poleg sprotne pomoči, ki je
sestavni del programskega paketa MATLAB, bi morale zadoščati za uporabe
te knjige.
3 MATLAB User’s Guide: High-Performance Numeric computation and Visualization Software.
The MathWorks, Inc., South Natic, MA, 1984–1994.
4 MATLAB Reference Guide: High Performance Numeric computation and Visualization
Software. The MathWorks, Inc., South Natic, MA, 1984–1994.
5 The MathWorks, Inc.: The Student Edition of MATLAB. Prentice HAll, Engelwood Cliffs,
NJ.
6 Martina LEŠ, Rajko SVEČKO: Teorija sistemov z uporabo Matlaba: teoretske in laboratorijske
vaje. 1. izd. Maribor: Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko,
2000, ISBN 86-435-0311-8.
datoteka: signal_A

2
Vrste signalov in
elementarne operacije
RAZNOLIKOST SIGNALOV je velika. Zato želimo v njihovo obravnavo
vnesti določeno sistematiko, ki olajša ali omogoči poiskati lastnosti,
definicije in pojme, ki bi veljali za vse ali za določene vrste signalov.
Z njo torej izvedemo delitev signalov na vrste ali razrede s skupnimi
lastnostmi. Delimo jih lahko na različne načine, na primer po:
načinu nastanka oziroma viru, na primer govorni, satelitski, radijski,
video signali;
namenu uporabe, na primer merilni, preizkusni, vhodni, izhodni, postavni
signali;
prenosnih oblikah, na primer nosilni, modulacijski, koristni, motilni
signali;
frekvenčnem obnašanju, na primer nizko pasovni, pasovni in visoko
pasovni signali;
obliki časovnega poteka, na primer periodični, impulzni, zvezni, diskretni
signali;
možnostih opisa, na primer deterministični, naključni signali.
Iz gledišča, da so signali nosilci informacij, nas izmed naštetih delitev
signalov zanimajo predvsem zadnje tri. Iz spreminjanja oblike signalov sklepamo
o informacijah o poteku fizičnih, kemičnih ali bioloških procesov. Spremljanje
oblike signala, predvsem pa ekstrakcija informacij, pa je mogoča le,
23

24 2. Vrste signalov in elementarne operacije
če signale lahko opišemo z vsemi tistimi parametri, ki so določili njihov potek.
Slutnjo, da je (matematični) opis tisti, ki razdeli signale na vrste oziroma
razrede z določenimi skupnimi lastnostmi, ki jih izkoriščajo tehnike zajetja,
preoblikovanja, analize in sinteze, to je obdelave oziroma procesiranja, potrjujemo
tudi v tem učbeniku.
2.1 Funkcije:
orodje za opis signalov
Kako predstaviti oziroma opisati signal? Za opis odvisnosti med odvisno
spremenljivko in neodvisno spremenljivko v matematiki uporabljamo funkcije.
Matematiki definirajo funkcije kot predpis, ki vrednosti neodvisne spremenljivke
iz neke množice predpišejo natanko eno vrednost funkcije.
Ko je potek signalov odvisen od časa – večina signalov, ki jih bomo obravnavali,
bo takšnih – odvisna spremenljivka opisuje potek signala v odvisnosti
od časa. Take funkcije imenujemo časovne funkcije in jih v splošnem označimo
z:
x = f (t) ,
kjer smo s f (t) označili funkcijski predpis. Pri tem je čas t neodvisna spremenljivka,
ki zajema svoje vrednosti iz domene ali definicijskega območja
funkcije. To območje pri obravnavi signalov imenujemo tudi signalna os in
jo bomo v primeru časovnih signalov označevali s:
T : signalna os signala x(t) .
Množico vseh vrednosti x = f (t) matematiki imenujejo zaloga vrednosti, v
obravnavi signalov pa jo ponavadi imenujemo območje signala ali tudi amplitudni
razmah signala. Označujemo jo z A .
Funkcijski predpis pogosto opisujejo tudi kot pravilo (predpis) preslikave,
ki vrednosti iz – v našem primeru – domene T preslikajo v vrednosti iz
množice A . To simbolično zapišejo z:
signal pa definirajo z:
x : T ↦→ A ,
DEFINICIJA 2.1.1
Vsak predpis preslikave x : T → A določa signal s signalno osjo T in s signalnim
območjem A .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.1 Funkcije: orodje za opis signalov 25
Vrednosti v signalnem območju in na signalni osi so podmnožice ali množice
naravnih, celih, realnih ali kompleksnih števil. Za te množice bomo uporabljali
naslednje uveljavljene oznake:
N : naravna števila
Z :
R :
C :
cela števila
Z + : nenegativna cela števila
Z − :
realna števila
nepozitivna cela števila
kompleksna števila
2.1.1 Realne funkcije
Kadar sta signalna os in signalno območje podmnožici ali množici realnih
števil, imenujemo funkcijo x = f (t) realna funkcija realne spremenljivke ali
ponavadi kar realne funkcije. Večina signalov, ki jih v tehniki uporabljamo,
je realnih.
Funkcije in signale ponavadi predstavimo z grafi. Na primer realni signal,
ki ga opišemo s funkcijo x(t) = 1 + sin2t, kaže slika 2.1.
2
signalno obmoèje
1.5
1
0.5
% datoteka 1+sin(2t)
% diagram funkcije x(t) = 1 + sin(2t)
t = -pi/2:.01:pi/2; % signalna os
x = 1 + sin(2*t);
plot(t,x),grid on % izris funkcije
xlabel(’signalna os v radianih’);
ylabel(’signalno območje’);
0
−2 −1 0 1 2
signalna os v radianih
Slika 2.1
Predstavitev signala x(t) = 1 + sin2t. Levo diagram, desno rutina v programu MATLAB, s katerim je diagram
narisan.
datoteka: signal_A

|x| = |1/(s+1)|
26 2. Vrste signalov in elementarne operacije
2.1.2 Kompleksne funkcije
Kompleksna funkcija priredi kompleksnim vrednostim s = σ + jω kompleksne
vrednosti w = u + jv:
w = f (s)
Funkcija w = f (s) preslika kompleksno s-ravnino v kompleksno w-ravnino.
Kompleksna funkcija je analitična (regularna ali holomorfna) na območju G ,
če je nad njim odvedljiva v vseh točkah območja G ⊂ C. Robne točke G , kjer
prvi odvod ne obstaja, so singularne točke funkcije f (s).
30
20
10
2 0
jω = jI{ s }
0
−2
−3
−2
−1
0
σ = R{ s }
1
% datoteka 1_(s+1).m
% diagram funkcije x(s) = 1/(s + a), s = sigma + j*omega
a=1;
% lega pola
[sigma,omega] = meshgrid(-2.:0.05:2.,-3.:0.05:1.); % izsek s ravnine
x = 1./abs(complex(omega,sigma)+a); % izračun
surfl(omega,sigma,abs(x))
% izris
Slika 2.2
Predstavitev signala w(s) = 1/(s + a), s = σ + jω. Zgoraj je tridimenzionalni diagram, spodaj pa rutina v
programu MATLAB, s katerim je diagram narisan.
Iz matematike je znano, da obstaja neskončno funkcij. Tako je za opis in
obdelavo signalov na voljo obsežno, raznoliko, pa tudi učinkovito orodje, ki
ga bomo s pridom izkoristili tako pri analizi in sintezi signalov, kakor tudi za
njihovo odkrivanje ali razlikovanje oziroma razpoznavanje.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.2 Vrste signalov 27
2.2 Vrste signalov
Glede na številske množice, ki so zajete v definicijskem območju in zalogi
vrednosti funkcije, funkcije delimo na:
časovno zvezne: T ⊆ R
časovno diskretne: T ⊆ Z
amplitudno zvezne: A ⊂ R
amplitudno diskretne: A ⊂ Z
in seveda njihove kombinacije. Za signale, ki jih opišemo z naštetimi funkcijami,
se poleg naštetih imen uporabljajo še imena, ki poudarijo tehnološko
ozadje njihovega nastanka ter obdelave.
2.2.1 Analogni signali
Te signale opišemo s časovno in amplitudno zveznimi funkcijami. Pri analognem
signalu smejo amplitude znotraj vnaprej predpisanega signalnega območja
zavzeti poljubno vrednost (slika 2.3a).
Primer analognega signala je signal iz napetostnega ali tokovnega merilnega
transformatorja. Opišemo ga na primer s funkcijo x(t) = U 0 cosω 0 t, kjer
sta U 0 amplituda napetosti in ω 0 = 2π 50 = 100 π rad/s krožna frekvenca
napetosti in toka, ki se uporablja v evropskih električnih omrežjih.
2.2.2 Amplitudno diskretni časovno zvezni signali
Več o krožni frekvenci
piše v razdeleku 2.7 na
strani 33.
To so signali, ki jih opišemo s časovno zveznimi in amplitudno diskretnimi
funkcijami. Njihove amplitude lahko imajo le diskretne vrednosti, vrednost
amplitude pa je znana v vsakem trenutku obstoja signala.
Zanje se uporablja tudi ime kvantizirani signali. Ime izhaja iz postopka
njihovega nastanka. Opisan je v razdelku 2.10.3 na strani 54. Izgled kvantiziranega
signala x(t) = U 0 cosωt kaže slika 2.3c na naslednji strani. Ponekod
te signale imenujejo tudi amplitudno diskretni signali.
2.2.3 Diskretni signali
V večini literature se s terminom diskretni signali označuje časovno diskretne,
amplitudno kvantizirane signale (slika 2.3d). Za te signale velja:
T ∈ Z , A ∈ Z .
datoteka: signal_A

28 2. Vrste signalov in elementarne operacije
zvezen čas
diskreten čas
zvezna
amplituda
x( t)
t
x( n)
n
(a)
(b)
diskretna
amplituda
xq( t)
t
x[ n]
n
(c)
(d)
Slika 2.3
Delitev signalov po amplitudni in časovni ločljivosti.
Poleg njih poznamo še časovno diskretne amplitudno zvezne signale. Ponavadi
jih na kratko imenujemo časovno diskretni signali. Zanje velja
T ∈ Z , A ∈ R .
Pri obojih signalih je časovni interval med znanimi vrednostmi funkcije ponavadi
konstanten oziroma ekvidistančen.
Časovno diskretne vrednosti lahko iz analognega signala dobimo s postopkom,
ki ga imenujemo otipavanje, rezultat postopka imenujemo vzorec.
Postopek je opisan v razdelku 7.4 na strani 171. S kvantizacijo vzorca dobimo
amplitudno diskretni signal.
2.3 Digitalni signali:
sistemska alternativa analognemu svetu
☞
S terminom digitalni signali v literaturi ponavadi označujejo ”diskretne signale
izražene v številčni obliki“. Z drugimi besedami, digitalni signal ni
pravi signal, ampak zaporedje številk oziroma podatkov. Zato za njih v tej
knjigi uporabljamo termin zaporedje podatkov, oziroma na kratko kar zaporedje.
Zaporedja označujemo enako kot diskretne signale:
x[n] ,
grafično pa jih ponazorimo tako, kot kaže slika 2.4 na naslednji strani.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.3 Digitalni signali 29
x[ n]
n
Slika 2.4
Grafična predstavitev zaporedja podatkov
dobljenih s kodiranjem diskretnega signala
na sliki 2.3d.
2.3.1 Povezava med digitalnimi in diskretnimi signali
Zaporedja x[n] in pripadajoče diskretne signale povezuje oziroma ločuje kodiranje.
Kodiranje je širši pojem, ki ga uporabljamo za zapis podatkov in
prenosu podatkov oziroma informacij. Pretvorbo signala v zaporedje podatkov
imenujemo analogno-digitalna pretvorba. Z njo kvantizirani amplitudi
priredimo ustrezno številčno vrednost.
2.3.2 Digitalna obdelava podatkov
Sodobne tehnološke možnosti obdelave podatkov, kot so digitalni signalni
procesorji, so “krivci” za buren razvoj digitalne obdelave signalov. Prednosti,
ki jih ta prinaša, so očitne: obdelavo opišemo z algoritmom obdelave, na
izvajanje algoritma motnje praktično nimajo vpliva, absolutna ponovljivost
itd. Zato smo danes priča vsesplošni digitalizaciji, to je pretvorbi analognih
signalov v digitalne. Seveda moramo marsikdaj digitalne signale pretvoriti
nazaj v analogno obliko (na primer govorni signal).
x[ n]
1
x( t)
0
0 0 1 0 1 1 0
t
2.3.3 Binarni signali
Slika 2.5
Binarni kod (zgoraj) in
binarni signal (spodaj).
Binarni signal je signal, ki ima le dve diskretni vrednosti. Posebej ga navajamo
zaradi njegove razširjenosti pri digitalni obdelavi in prenosu informacij.
Z njim ponavadi ponazorimo kod podatka. Ločiti moramo med binarnim signalom
in binarnim kodom (slika 2.5). Binarni kod je zaporedje logičnih enic
in ničel.
2.3.4 M-terni signali
S tem terminom označujemo množico M kvantiziranih signalov, ki se medsebojno
jasno razlikujejo, na primer po amplitudi, frekvenci, faznem kotu ali
kombinaciji teh parametrov. Uporabljamo jih za prenos podatkov, v katerem
vsakemu od signalov priredimo določeni kod (slika 2.6).
x[ n]
00 11 10 00 01 10
3
2
x( t)
1
0
Slika 2.6
Primer M-ternega koda
(zgoraj) in M-ternega
signala (spodaj).
t
datoteka: signal_A

30 2. Vrste signalov in elementarne operacije
2.4 Naključni signali
Naključni, slučajni ali tudi stohastični signali so preprosto povedano signali,
za katere obstaja le določena verjetnost, da bo signal nastopil ali da bo zavzel
določeno vrednost. Ti signali so naključna funkcija časa, njihova amplituda
se s časom spreminja na naključen, nepredvidljiv način. Če ne moremo napovedati
vrednosti signala v naslednjem trenutku, četudi poznamo njegovo
preteklost, tedaj ta signal ni mogoče opisati v eksplicitni matematični obliki.
Zato jih imenujemo tudi nedeterministični signali v nasprotju z determinističnimi,
katerih potek lahko matematično določimo.
Čeprav naključnih signalov ne moremo opisati z regularnimi matematičnimi
funkcijami, imamo na razpolago močni matematični orodji za njihovo
analizo in obdelavo. To sta verjetnostni račun in statistične metode. Glede na
ti orodji lahko naključne signale delimo po poteku distribucije verjetnosti in
po statističnih značilnostih. Poleg tega pa jih delimo podobno kot deterministične
signale: na zvezne, diskretne, digitalne signale itd. Obširnejši pregled
naključnih signalov je v poglavju 6 na strani 115.
2.5 Deterministični signali in zaporedja
Deterministične signale in zaporedja tvorita dve veliki družini signalov: periodični
in aperiodični signali in zaporedja.
2.5.1 Periodični signal
Signal x(t) je periodičen, če obstaja število T 0 , ki izpolni enačbo
x(t) = x(t + T 0 ) = x(t + 2T 0 ) = x(t + 3T 0 ) = ··· (2.1)
pri neomejeno veliki signalni osi T . To pomeni, da so periodični signali
neprehodni ali časovno neomejeni signali.
Najmanjše pozitivno število T 0 , ki ustreza enačbi (2.1), je perioda signala.
Določa trajanje enega cikla. Iz periode T 0 lahko določimo frekvenco periodičnega
signala
f = 1 T 0
(2.2)
Merimo jih v s −1 ali Hz. Primer periodičnega signala je sinusoidni val.
Vsi signali v naravi, imajo svoj začetek (in verjetno tudi svoj konec). Čeprav
v določenem časovnem segmentu izpolnijo pogoj (2.1), ne morejo povsem
zadostiti temu pogoju. Če je veljavnost (2.1) na mnogo večjem intervalu
kot ga v opazovanju, analizi oziroma obdelavi signala potrebujemo, potem v
analizi in sintezi za tak signal upoštevamo, da je periodičen.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.6 Soda in liha simetričnost signala 31
2.5.2 Aperiodični signal
Pri aperiodičnem signalu ni možno najti nobene vrednosti T 0 , ki bi izpolnila
(2.1). Primeri aperiodičnih signalov so enotski impulz, enotska stopnica in
strmina. V skupino aperiodičnih signalov spadajo tudi prehodni pojavi.
2.5.3 Prehodni - neprehodni signali ter zaporedja
Signale in zaporedja ločujemo tudi po njihovem trajanju. Poznamo časovno
omejene ali prehodne signale in zaporedja, ki so definirani nad nekim intervalom,
na primer T ∈ [−a,b] ⊂ R ali T ∈ [−M,N] ⊂ Z, izven tega intervala
so enaki nič. Večina aperiodičnih signalov in zaporedij je prehodnih.
Neprehodni signali so časovno neomejeni signali. Definirani so nad R ali
Z. Vsi periodični signali so neprehodni. Neprehoden je tudi signal, ki ima
konstantno vrednost pri vseh vrednostih T = R ali T = Z. Med neprehodne
signale prištevamo tudi signale, ki imajo začetek, vendar ne konca, ali pa
nimajo začetka in je znan njihov konec (slika 2.7).
x( t) x[ n]
- M 0 N t
0 n
Slika 2.7
Prehodni signal (levo) in
neprehodno zaporedje (desno).
2.6 Soda in liha simetričnost signala
Simetrije v izgledu signala v mnogih primerih poenostavijo računanje, poleg
tega pa nam te značilnosti pomagajo razumeti ali dokazati določene lastnosti
signalov. Glede na simetričnost ločimo dve osnovni skupini:
Sodi signali in zaporedja (slika 2.8), za katere velja:
x(t) = x(−t) oziroma x[n] = x[−n] (2.3)
Primer sodega periodičnega signala je signal cos(ωt).
1 1
x( t) x[ n]
Slika 2.8
0 0
Primer sodo simetričnega signala
(levo) in zaporedja (desno).
a 0 a t A 0 A n
datoteka: signal_A

32 2. Vrste signalov in elementarne operacije
Lihi signali in zaporedja (slika 2.9), za katere velja:
x(t) = −x(−t) oziroma x[n] = −x[−n] . (2.4)
Primer lihega periodičnega signala je signal, ki ga opiše funkcija sin(ωt),
Slika 2.9
Primer liho simetričnega signala
(levo) in zaporedja (desno).
x( t)
1 1
0 0
1
a
x[ n]
1
0 a t A 0
A
n
saj velja sin(ωt) = −sin(−ωt).
2.6.1 Razstavljanje funkcij na simetrične komponente
Vsako funkcijo lahko razstavimo na lihi in sodi del:
x(t) = x lih (t) + x sod (t) (2.5)
kjer je x lih liha funkcija in x sod soda funkcija. Z zamenjavo argumenta t z −t
iz (2.5) z upoštevanjem (2.3) in (2.4), sledi:
Seštevek (2.5) in (2.6) da:
oziroma
x(−t) = x lih (−t) + x sod (−t) = −x lih (t) + x sod (t) (2.6)
x(t) + x(−t) = x lih (t) + x sod (t) − x lih (t) + x sod (t) = 2x sod (t)
x sod (t) = 1 [x(t) + x(−t)] , (2.7)
2
iz razlike (2.5) in (2.6) pa dobimo:
x lih (t) = 1 [x(t) − x(−t)] . (2.8)
2
2.6.2 Lastnosti računanja pri simetričnih signalih
Simetrije signalov s pridom izkoriščamo pri njihovi obdelavi. Zaradi lastnosti
simetrij zadostuje izračun le za polovico signalne osi. Na primer, pri izračunu
integrala:
∫ ∞
−∞
x(t) dt =
∫ 0
−∞
∫ ∞ ∫ ∞
∫ ∞
x(t) dt + x(t) dt = x(−t) dt + x(t) dt ,
0
0
0
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.7 Harmonski signali in zaporedja 33
lahko s poznavanjem simetričnih lastnosti funkcije hitreje dobimo rezultat
računanja. Če je x(t) liho simetričen, dobimo:
∫ ∞
−∞
∫ ∞ ∫ ∞
x(t) dt = − x(t) dt + x(t) dt = 0 .
0
0
Ko pa je x(t) sodo simetričen, pa dobimo:
∫ ∞
−∞
∫ ∞ ∫ ∞
x(t) dt = x(t) dt + x(t) dt
= 2
0
∫ ∞
0
0
x(t) dt .
2.6.3 Simetrije vsote in produkta simetričnih signalov
Opis simetrij zaključimo še s pregledom lastnosti vsote in produkta lihih in
sodih funkcij:
Vsota dveh sodih signalov je sodi signal.
Vsota dveh lihih signalov je lihi signal.
Vsota sodega in lihega signala ni ne sodi ne lihi signal.
Produkt dveh sodih signalov je sodi signal.
Produkt dveh lihih signalov je sodi signal.
Produkt sodega in lihega signala je lihi signal.
2.7 Harmonski signali in zaporedja
Med signali in zaporedji, ki jih bomo spoznali, imajo posebno mesto harmonski
signali in harmonska zaporedja. Najprej si oglejmo signale, harmonska
zaporedja, ki jih ustvarimo s kodiranjem vzorca harmonskega signala, bomo
povzeli na koncu tega podpoglavja.
Harmonski signali so elementarni periodični signali, ki so invariantni na
odvajanje 1 , imajo liho ali sodo simetrijo, polvalno in s tem tudi četrtvalno
simetrijo, z njimi lahko sestavimo polne množice ortogonalnih signalov in
določimo jih le s tremi parametri:
amplitudo A
fazo ϕ
periodo T 0
1 Invariantnost funkcije na odvajanje pomeni, da je odvod funkcije do faktorja enak funkciji
sami. Zato ima funkcija neskončno odvodov.
datoteka: signal_A

34 2. Vrste signalov in elementarne operacije
Harmonski signal v splošnem opišemo z:
harmonski signal:
x(t) = A· e jω 0t+ϕ
, (2.9)
kjer je ω 0 tako imenovana krožna frekvenca ali tudi kotna hitrost 2 , ki jo merimo
v rad/s. Zanjo velja znana odvisnost:
ω = 2π
T 0
= 2 f 0 π , (2.10)
kjer sta T 0 perioda harmoničnega signala v sekundah in f 0 frekvenca v Hz.
Harmonski signal je analitski signal 3 (slika 2.10). Njegova projekcija na
Re{ x( t)}
Re{ x( t)}
Re{ x( t)}
realna
ravnina
Im{ x( t)}
Slika 2.10
Harmonski signal.
kompleksna
ravnina
T 0
Im{ x( t)}
imaginarna
ravnina
Im{ x( t)}
☞
ravnini R{e jω 0t ,t} in I{e jω 0t ,t}, kjer simbola R in I pomenita realni in
imaginarni del, sta znana signala cos(ω 0 t + ϕ in sin(ω 0 t + ϕ.
2 V elektrotehniki se je uveljavil termin krožna frekvenca, čeprav je ta termin fizikalno napačen
in pomensko zavaja. Pravilnejši termin je kodna hitrost, ki pove kako hitro se spreminja
argument – to je kot – pri dani frekvenci. Na to kaže njegova enota – rad/s, ki je mera za
hitrost in ne mera za frekvenco. Ker je napačen termin splošno razširjen, se bomo pridružili
njegovi uporabi.
3 Harmonski signal je na vsem definicijskem območju poljubno krat odvedljiva kompleksna
funkcija. Območje G nima mej, zato ta signal nima singularnih točk.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.7 Harmonski signali in zaporedja 35
2.7.1 Enotski harmonski signal
Kadar je amplituda A = 1, govorimo o enotskem harmonskem signalu. Njega
in njegovi projekciji cosωt in sinω 0 t povezujejo Eulerovi obrazci:
e jω 0t = cosω 0 t + j sinω 0 t
cosω 0 t = e jω0t + e − jω 0t
2
sinω 0 t = e jω0t − e − jω 0t
j2
(2.11a)
(2.11b)
(2.11c)
2.7.2 Enotski normirani harmonski signal
Kadar je poleg amplitude A = 1 še normirana frekvenca, torej ω 0 = Ω 0 = 1 rad/s
in začetni kot ϕ = 0, imamo opravka z enotskim normiranim harmonskim signalom:
x(t) = e jΩ 0t
(2.12)
2.7.3 Predstavitve harmonskega signala
Harmonske signale lahko predstavimo na več načinov. Na primer, tridimenzionalni
prikaz kaže slika 2.10, v časovnem prostoru lahko realni harmonski
signal v splošnem zapišemo kot:
x(t) = A· cos(ω 0 t + ϕ) , (2.13)
kjer so A amplituda, ω 0 krožna frekvenca in ϕ začetni fazni parametri, ki ga
povsem določajo. Ta signal lahko prikažemo na načine, kako je odvisen od
posameznega parametra. Na primer v časovnem prostoru njegov potek kaže
slika 2.11.
Slika 2.11
Prikaz harmonskega signala v časovnem
prostoru.
datoteka: signal_A

36 2. Vrste signalov in elementarne operacije
Naslednji možni prikaz je v frekvenčnem prostoru. Tu za prikaz rabimo
dva diagrama. V prvem pokažemo amplitudo A v odvisnosti od frekvence,
v drugem pa fazni kot ϕ v odvisnosti od frekvence (slika 2.12). Pri tem
Slika 2.12
Prikaz harmoničnega vala v frekvenčnem prostoru.
Slika 2.13
Spekter signala x(t) = Acos(ω 0 t + π/2) +
(A/2)cos(2ω 0 t − π/4) + (A/4)cos(3ω 0 t + π/8).
je lahko frekvenca f 0 v HZ ali ω 0 v rad/s. Prikaz harmonskega signala v
frekvenčnem prostoru imenujemo spekter. Če imamo na primer signal x(zt),
ki ga en harmonski signal, ima spekter eno spektralno linijo, če pa je signal
x(t) vsota večih harmonskih signalov, tvorijo spekter črte vseh komponent v
vsoti (slika 2.13).
Tretji prikaz izhaja iz zapisa v (2.9). Ta zapis pomeni, da imamo kompleksni
kazalec dolžine A, ki se suče v kompleksni ravnini s krožno hitrostjo 4
ω 0 . Vrtenje kazalca in trajektorijo, ki s časom nastane, smo v treh dimenzijah
prikazali na sliki 2.10, običajni pa je dvodimenzionalni prikaz s kazalcem v
kompleksni ali tudi fazni ravnini (slika 2.14). Za kazalec se pogosto uporablja
ime kompleksor ali tudi fazor. Z malo domišljije lahko uvidimo, da
projekcijo kazalca na realno os, določa tudi vsota:
A
2 e jω 0t+ϕ + A 2 e−( jω 0t+ϕ)
. (2.14)
Ta kazalca, prvi bodi x 1 (t) in drugi x 2 (t), sta si konjugirano kompleksna
(slika 2.15 na naslednji strani). Torej, imata enako amplitudo, vrtita pa se
v nasprotni si smereh. Konjugirano kompleksne kazalce (in spremenljivke
na splošno) označujemo z zvezdico ∗:
x 2 (t) = x ∗ 1(t) (2.15)
4 Iz te predstavitve tudi izhaja drugo (pravilno) ime za ω 0 , to je kotna hitrost.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.7 Harmonski signali in zaporedja 37
Slika 2.14
Prikaz harmoničnega vala s kazalcem.
Slika 2.15
Prikaz harmoničnega valovanja s konjugirano
kompleksnima kazalcema.
in
x(t) = R [ A e jω 0t ] = A 2 e jω 0t + A 2 e− jω 0t
= x 1 (t) + x 2 (t)
= x 1 (t) + x ∗ 1(t) . (2.16)
Kazalca x 1 (t) in x 2 (t) seveda določata signala, ki imata enako amplitudo
in po iznosu enaki frekvenci, le da sta njuni frekvenci zaradi nasprotnega
se vrtenja kazalcev, nasprotnega predznaka. Z drugimi besedami, na ta način
lahko razložimo pojem negativna frekvenca. V frekvenčnem prostoru signala
x 1 (t) in x 2 (t) kaže slika 2.16. To predstavitev imenujemo tudi kompleksni
spekter.
Slika 2.16
Kompleksni spekter signala z realnim spektrom
s slike 2.13.
Prikaz s konjugirano kompleksnimi kazalci in s kompleksnim spektrom - s
komponentami pri pozitivnih in negativnih frekvencah - je na prvi pogled bolj
datoteka: signal_A

38 2. Vrste signalov in elementarne operacije
zapleten kot prikaz pri samo pozitivnih frekvencah. V kasnejših obravnavah
spektrov bomo prednosti kompleksnega spektra postajale vse bolj očitne.
2.7.4 Harmonska zaporedja
Več o harmonskih zaporedjih bomo spoznali pri harmonski analizi signalov
in zaporedij. Za zdaj, da zaokrožimo podpoglavje, omenimo, da jih dobimo
iz harmonskih signalov s procesom vzorčenja. Ta proces v enakomernih intervalih
zajema vrednosti signala, ki ga imenujemo otipek 5 . Množica otipkov
tvori vzorec signala, torej časovno diskretni signal, za katerega v primeru harmonskih
signalov velja:
x(nT s ) = A· e jω 0 nT s
, (2.17)
kjer je T s interval vzorčenja
(slika 2.17). S kvantizacijo otipkov dobimo
1
signalno obmoèje
0.5
0
−0.5
% diagram vzorca funkcije x(t) = sin(t)
t = -pi:.2:pi; % signalna os
x = sin(t); % vzorec signala
stem(t,x),grid on % izris vzorca
xlabel(’signalna os v radianih’);
ylabel(’signalno območje’);
−1
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
signalna os v radianih
Slika 2.17
Predstavitev vzorca harmonskega signala x(t) = sinα, α ∈ [−π,π]. Levo diagram, desno rutina v programu
MATLAB, s katerim je diagram narisan.
diskreten signal, iz njega pa s kodiranjem digitalni signal oziroma zaporedje
podatkov:
kvantizaci ja+kodiran je
x(nT s ) −−−−−−−−−−−−−−−−→ x[n] . (2.18)
Harmonska zaporedja imajo mnogo lastnosti harmonskih signalov, med
njimi pa so tudi posebnosti, ki jih bomo širše opisali v harmonski analizi.
5 Matematični model tega procesa opisujemo pri obravnavi posplošenih signali.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

☞
☞
2.8 Elementarni signali in zaporedja 39
2.8 Elementarni signali in zaporedja
Med signali obstaja družina signalov in zaporedij, ki imajo v analizi signalov
in sistemov za obdelavo signalov poseben, praktični pomen. Družino teh
signalov imenujemo elementarni signali oziroma elementarna zaporedja.
V opisu elementarnih zaporedij so tudi opisane funkcije in postopki njihove
predstavitve v programu MATLAB. V njem lahko zaporedja predstavimo
z vektorji. Vektorji so zaradi omejitve velikosti pomnilnikov v računalnikih
lahko le končno dimenzionalni. Seveda za natančno predstavitev
zaporedja, na primer
x[n] = {2,3,4,−1,1,0
↑
,2,7} ,
MATLAB
kjer smo s pokončno puščico označili otipek pri n = 0, potrebujemo dva,
enako dimenzionalna vektorja. Eden podaja vrednosti zaporedja, drugi pa
trenutke otipavanja:
x = [ 2, 3, 4,-1, 1,0,2,7];
n = [-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2];
V splošnem, kadar bo navajanje trenutkov otipavanja trivialno, na primer,
da se pričnejo v trenutku n = 0, lahko vektor n izpustimo.
2.8.1 Enotski konstantni signal in zaporedje
Za enotski konstantni signal in zaporedje velja:
x(t) = 1 , t ∈ R oziroma x[n] = 1 , n ∈ N . (2.19)
Ta signal in zaporedje ne vsebujeta nobene spremembe – pri katerikoli vrednosti
t ali n imata isto vrednost (slika 2.18). Zato ne vsebujeta nobene
informacije.
Slika 2.18
Enotski konstantni signal.
Levo: analogni,
desno: digitalni.
V programu MATLAB lahko enotsko konstanto predstavimo s funkcijo
ones[1,N]. Ta generira zaporedje enic, ki se pričnejo v trenutku n = 0 in
končajo v trenutku n = N.
MATLAB
datoteka: signal_A

40 2. Vrste signalov in elementarne operacije
2.8.2 Enotski impulzi
Znana sta dva enotska impulza: (i) Diracov impulz, ki je definiran v zveznem
svetu in (ii) Kroneckerov impulz, ki je ekvivalent Diracovega impulza
v diskretnem svetu.
Diracov impulz
Za Diracov impulz, imenujemo ga tudi Diracova ali δ funkcija, velja:
∫ ∞
−∞
δ(t) dt =
{
1 t = 0
0 drugod
t ∈ T = R . (2.20)
Slika 2.19
Dirackov impulz.
Iz definicije sledi, da Diracov impulz ne moremo opisati z navadno funkcijo.
Definira ga integral, ki določa “površino” oziroma jakost impulza. Ker je
širina pulza diferencialno majhna, teži amplituda proti neskončnosti. Zato
Diracov impulz grafično predstavimo s puščico (slika 2.19). Diracov impulz
podrobneje opisujemo v poglavju 7 na strani 161.
Kroneckerov impulz
Kroneckerov impulz 6 določa:
Slika 2.20
Kroneckerov impulz.
MATLAB ☞
δ[n] =
{
1 pri n = 0
0 drugje
{
}
= ...,0,0,1,0,0,...
↑
n ∈ T = Z (2.21)
in ga grafično predstavimo tako kot kaže slika 2.20. Pri zaporedjih ima δ[n]
enak pomen kot Diracov impulz pri analognih signalih.
V programu MATLAB lahko Kroneckerov impulz elegantno aproksimiramo
z logično relacijo n==0. Za njegovo splošno predstavitev z vektorjem
z elementi na intervalu n 1 n n 2 definiramo naslednjo funkcijo:
MATLAB 2.1: Kroneckerov impulz
function [x,n] = delta_k(n_0,n_1,n_2)
% funkcija generira Kroneckerov impulz v trenutku n_0
% vektor zajema elemente med n_1 in n_2
%----------------------------------------------------
n = [n_1:n_2];
x = [(n - n_0) == 0];
6 V angleški literaturi Kroneckerov impulz imenujejo tudi Unit Sample Sequence.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.8 Elementarni signali in zaporedja 41
Na primer, da Kroneckerov impulz δ[n] želimo predstaviti z vrstičnim vektorjem
z enajstimi elementi med −5 in 5:
x = delta_k(0,-5,5)
2.8.3 Enotska stopnica
Enotska stopnica za analogne signale je definirana z:
u(t) =
{
1 t > 0
0 t < 0
t ∈ T = R , (2.22)
za zaporedja pa z:
u[n] =
{ {
}
1 n 0
0 n < 0 = ...,0,0,1,1,1,...
↑
n ∈ T = Z , (2.23)
Graf enotske stopnice kaže slika 2.21. Definiciji se razlikujeta v vrednosti v
Slika 2.21
Enotska stopnica.
Levo: zvezna,
desno: diskretna.
točki t = n = 0. Zvezna stopnica v tem trenutku ni definirana, digitalna pa
ima vrednost ena. Ta razlika ima mnogo praktičnih prednosti. Na njih bomo
opozorili pri uporabi teh signalov.
V programu MATLAB lahko enotsko stopnico z otipki na intervalu n 1
n n 2 aproksimiramo z logično funkcijo n>=0. Z njo lahko definiramo
naslednjo funkcijo (program MATLAB 2.2):
☞
Matlab
MATLAB 2.2: Funkcija “enotska stopnica”
function [x,n] = stopnica_n(n_0,n_1,n_2)
% funkcija generira enotsko stopnico s pričetkom v trenutku n_0
% vektor zajema elemente med n_1 in n_2
%--------------------------------------------------------------
n = [n_1:n_2];
x = [(n - n_0) >= 0];
Na primer, narišimo enotsko stopnico δ[n] z vrstičnim vektorjem s šestnajstimi
elementi med −5 in 10:
datoteka: signal_A

42 2. Vrste signalov in elementarne operacije
x = stopnica_n(0,-5,10)
stem(-5:10,x);
ylim([0 1.5]),
xlabel(’n’);grid on
ylabel(’x[n]’);
% funkcija za izris
Funkcija stem izriše zaporedje x[n] na način kot to prikazuje slika 2.21 na
predhodni strani. Njena osnovna sintaksa je:
stem(n,x)
Kadar zaporedje x[n] poteka od trenutka n = 1 naprej, lahko zapišemo kar
stem(x), kadar pa želimo x[n] prikazati na območju −5 n 10 (slika 2.26),
zapišemo:
ali:
stem(-5:10,x)
n = [-5:10]
stem(n,x)
1.5
1
Slika 2.22
Enotska stopnica narisana s programom MATLAB.
x[n]
0.5
0
−5 0 5 10
n
2.8.4 Klanec
Pri analognih signalih je klanec definiran z:
k(t) =
{
t t 0
0 t < 0
t ∈ T = R , (2.24)
pri zaporedjih pa z:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

☞
2.8 Elementarni signali in zaporedja 43
k[n] =
{ {
}
n n 0
0 n < 0 = ...,0,0,1,2,3,...
↑
n ∈ T = Z . (2.25)
Graf signala in zaporedja sta predstavljena na sliki 2.23.
Slika 2.23
Klanec.
Levo: zvezni,
desno: diskretni.
S programom MATLAB lahko aproksimiramo klanec nekaj manj preprosto
kot enotsko stopnico, na primer z rutino (program MATLAB 2.3):
MATLAB
MATLAB 2.3: Funkcija “klanec”
function [k,n] = klanec_n(n_0,n_1,n_2)
% funkcija generira klanec z začetkom v trenutku n_0
% vektor zajema elemente med n_1 in n_2
%-----------------------------------------------------
n = [n_1:n_2];
x = [(n - n_0) >= 0];
% stopnica
N = length(n);
% dolžina vektorja n
N1 = abs(n_1 - n_0);
% zamik začetka klanca
for j = 1:N
% računanje klanca
k(j) = n(j)*x(j);
end
Sedaj lahko s funkcijo klanec_n preprosto narišemo aproksimacijo klanca
(slika 2.24 na naslednji strani), na primer v območju −2 n 5:
n = [-2:5];
x = klanec_n(0,-2,5);
stem(n,x);
xlabel(’n’);grid on
ylabel(’klanec: k[n]’);
% funkcija za izris
2.8.5 Pravokotni pulz
Pravokotni enotski pulz trajanja T je definiran z:
p T (t) =
{
1 −T /2 < t < T /2
0 drugje
t ∈ T = R (2.26)
datoteka: signal_A

44 2. Vrste signalov in elementarne operacije
5
4
Slika 2.24
Aproksimacija
klanca narisana
s programom
MATLAB.
klanec: k[n]
3
2
1
0
−2 −1 0 1 2 3 4 5
n
oziroma pri zaporedjih z:
p N [n] =
{
1 −N/2 n N/2
0 drugje
{
}
= ...,0,0,1,1,1,1,1,0,0,...
↑
n ∈ T = Z ,
(2.27)
kjer je N + 1 število otipkov, ki določajo pulz (slika 2.25).
Slika 2.25
Pravokotna pulza.
Levo: zvezni,
desno: diskretni.
Iz slike 2.25 vidimo, da lahko pravokotni pulz p T določimo z razliko dveh
ustrezno zamaknjenih enotskih stopnic:
p T (t) = u(t + T /2) − u(t − T /2) t ∈ T = R (2.28)
oziroma pri zaporedjih z:
p N [n] = u(n + N/2) − u(n − N/2) t ∈ T = R . (2.29)
MATLAB ☞
S programom MATLAB lahko preprosto aproksimiramo pravokotni pulz
po postopku določenim z (2.29). Funkcija, ki generira pravokotni pulz z
N + 1 otipki s sredino pri n 0 , je lahko naslednja (program MATLAB 2.3 na
predhodni strani):
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.8 Elementarni signali in zaporedja 45
MATLAB 2.4: Funkcija “pravokotni pulz”
function [x,n] = pulz_n(n_1,n_2)
% funkcija generira enotsko stopnico s sredino v trenutku n_0
% širino n_1 na intervalu dolgem n_2
% če n_1 in n_2 nista sodi števili, jih funkcija poveča za 1
%----------------------------------------------------------------
N1=rem(n_1,2); % če je ostanek 0, je N1 sod, če je 1, je N1 lih
if N1==0
n_1=n_1 + 1;
end
N2=rem(n_2,2); % če je ostanek 0, je N2 sod, če je 1, je N2 lih
if N2==0
n_2=n_2 + 1;
end
n_m = floor(n_2/2);
n = [-n_m:n_m];
length(n)
x1 = [(n + floor(n_1/2)) >= 0];
x2 = [(n - ceil(n_1/2)) >= 0];
x = x1 - x2;
S pomočjo funkcije pulz_n lahko na primer preprosto narišemo enotski
pulz dolžine N + 1 = 5 na intervalu dolžine 2n 2 + 1 = 11 s sredino pri n = 0:
x=pulz_n(5,11)
stem(n,x);
ylim([0 1.2]),
xlabel(’n’);grid on
ylabel(’pulz: x[n]’);
% funkcija za izris
1
pulz: x[n]
0.8
0.6
0.4
Slika 2.26
Enotski pulz narisan s programom MATLAB.
0.2
0
−5 0 5
n
datoteka: signal_A

46 2. Vrste signalov in elementarne operacije
2.8.6 Realni eksponentni pulz
V splošnem za realne eksponentne signale in zaporedja velja:
x(t) = a t , ∀t ; a ∈ R (2.30)
x[n] = a n , ∀n ; a ∈ R . (2.31)
Če eksponentni signal in zaporedje pri pozitivnih eksponentnih (eksponentno)
upadata, potem pri negativnih naraščata. Seveda velja tudi obratno.
Med vso množico realnih eksponentnih signalov in zaporedij sta pomembna
enotski eksponentni signal in zaporedje. Definirana sta z:
x(t) = e −t/τ · u(t) , ∀t (2.32)
x[n] = e −n/τ · u[n] , ∀n , (2.33)
kjer sta τ časovna konstanta in u enotska stopnica. Časovna konstanta določi
časovni interval, v katerem se vrednost eksponentnega signala zmanjša
na vrednost 1/e (slika 2.27). Vidimo, da imata enotski eksponentni signal in
Slika 2.27
Eksponentni signal.
Levo: zvezna oblika,
desno: digitalna oblika.
MATLAB ☞
zaporedje začetek v trenutku t = 0 oziroma n = 0, ter sorazmerno z velikostjo
časovne konstante upadata. Ker lahko eksponentni signal razmeroma preprosto
realiziramo z analognimi vezji in ker ima mnogo lastnosti podobnih
Diracovemu impulzu, ga v analognih vezjih pogosto uporabljamo za testni
signal.
V programu MATLAB eksponent označimo z operatorjem “ ˆ ”. Tako se
rutina za izračun (2.31), ko sta a = 0,9 in želimo videti zaporedje desetih
podatkov (slika 2.28a na naslednji strani), glasi:
n = [0:10];
% izbira intervala
x = (0.9).^n; % izračun eksponentnega zaporedja
stem(x);
% izris zaporedja
xlabel(’n’),
ylabel(’eksponentni pulz x[n] = 0.9^n’),grid on
Za izračun (2.33) uporabimo funkcijo exp. Z njo lahko računamo kompleksne
in realne funkcije. Na primer, realni eksponentni pulz na intervalu
n = [0,10] s časovno konstanto 1 (slika 2.28b na naslednji strani), predstavimo
z naslednjo rutino:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.8 Elementarni signali in zaporedja 47
1
1
eksponentni pulz x[n] = 0.9 n
0.8
0.6
0.4
0.2
eksponentni pulz x[n] = e ( n/2)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10 12
n
0
0 2 4 6 8 10
n
(a) Zaporedje x[n] = 0,9 n , n = [1,10].
(b) Zaporedje x[n] = e n/1 , n = [1,10].
Slika 2.28
Realni eksponentni zaporedja narisani s programom MATLAB.
n = [0:10];
% izbira intervala
x = exp(-n); % izračun eksponentnega zaporedja
stem(n,x);
% izris zaporedja
xlabel(’n’),
ylabel(’eksponentni pulz x[n] = e^(n/2)’),grid on
2.8.7 Kompleksni eksponentni signali in zaporedja
Kompleksni eksponentni signal oziroma zaporedje izrazimo z:
x(t) = e st , ∀t (2.34)
x[n] = a sn , ∀n , (2.35)
kjer je s kompleksna spremenljivka: s = σ + jω. Pri σ = 0 dobimo harmonski
signal, ki smo ga podrobno opisali v prejšnjem razdelku. Pri σ < 0
dobimo eksponentno upadanje harmonskega signala ali zaporedja, pri σ > 0
pa eksponentno naraščanje.
V programu MATLAB kompleksni signal ali zaporedje izračunamo podobno
kot smo enotski eksponentni impulz. Na primer, potek zaporedja na
intervalu n = [0,1] s σ = −1 in ω = 1 (slika 2.29 na naslednji strani), predstavimo
z naslednjo rutino:
☞
MATLAB
n = [0:10];
x = exp((-1+i*1)*n);
% izbira intervala
% izračun kompleksnega zaporedja
datoteka: signal_A

48 2. Vrste signalov in elementarne operacije
iznos = abs(x);
faza = angle(x)*180/pi;
% izris zaporedja
subplot(2,1,1);stem(n,iznos);title(’iznos podatkov’),
xlabel(’n’),ylabel(’|x[n]| = |exp((-1+j1)n)|’),grid on
subplot(2,1,2);stem(n,faza);title(’fazni kot podatkov’),
xlabel(’n’),ylabel(’kotne stopinje’),grid on
Slika 2.29
Prikaz kompleksnega
eksponentnega
zaporedja narisanega s
programom MATLAB.
kotne stopinje
|x[n]| = |exp((−1+j)n)|
1
iznos podatkov
0.5
0
0 2 4
n
6 8 10
fazni kot podatkov
200
100
0
−100
−200
0 2 4 6 8 10
n
2.8.8 Razlika med impulzi in pulzi
V predstavitvi pomembnih signalov smo uporabili dva termina: impulz in
pulz. Kakšna razlika pa je med njima? Iz prikazov na slikah 2.18 – 2.27
lahko uvidimo, da je med njimi razlika v njihovem trajanju. Med tem ko
je diskretni impulz trenutnega trajanja, torej ničte dolžine, so pulzi merljive
dolžine. V naravi lahko ustvarjamo samo pulze, impulzi so le izjemno pomembni
matematični pripomoček.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.9 Signali in merske enote 49
2.9 Signali in merske enote
Pri ponazarjanju, analizi in obdelavi signale pogosto normiramo ali pa pretvorimo
v modelno obliko. Pri izbiri oblike so pomembne njihove naslednje
lastnosti.
Dejanski signali. Pri dejanskih signalih računamo s količinami, ki jih signali
predstavljajo (slika 2.30).
Slika 2.30
Predstavitev dejanskih signalov.
Levo: x(t) = 100 V, 0 t 6 ms;
Desno: x(t) = 3,3 × δ(t) Vs.
Prednosti: odpadejo vse pretvorbe, vsak trenutek je mogoča kontrola
računa z merskimi enotami.
Slabosti: predstavitev ni univerzalna, računski postopek je bolj zapleten,
signal ni prilagojen računalniški obdelavi.
Normirani signali. Če dejanske signale delimo z izbrano referenčno ali primerjalno
vrednostjo, dobimo normirane signale:
x n =
x ,
x ref
kjer sta x in x ref dejanska oziroma referenčna vrednost signala. Za
referenčne signale pogosto uporabljamo maksimalne vrednosti signala
(slika 2.31).
Slika 2.31
Predstavitev normiranih signalov.
Prednosti: enak interval uporabljenih števil, univerzalna predstavljivost,
zelo primerni za računalniško obdelavo.
Slabosti: izguba merskih enot (posebej neugodno pri obdelavi merilnih
rezultatov).
Modelni signali. Normirane signale pomnožene z mersko enoto (na primer
z 1 V), imenujemo modelni signali (slika 2.32).
Prednosti: univerzalna predstavitev, možna dimenzijska kontrola.
Slabosti: manj primerni za računalniško obdelavo, računanje je obremenjeno
z upoštevanjem enot.
datoteka: signal_A

50 2. Vrste signalov in elementarne operacije
Slika 2.32
Predstavitev modelnih signalov.
2.10 Elementarne operacije nad signali
V obdelavi signalov pogosto želimo oziroma moramo signalom spremeniti
signalno območje in/ali signalno os. Taka sprememba na primer nastane pri
ojačanju signala. Pri analognih signalih signal ojača analogni ojačevalnik,
pri digitalnih signalih pa dobimo ekvivalentni rezultat z množenjem signala
z ustrezno konstanto. Te in njim podobne spremembe signalov imenujemo
elementarne operacije nad signali. Delimo jih v dve skupini:
1. operacije, ki zajemajo transformacijo signalnega in časovnega območja,
vzorčenje, interpolacijo in kvantizacijo signala;
2. operacije, ki zajemajo seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje
dveh signalov.
Prve imenujemo tudi unarne, ker obsegajo le en signal, druge pa binarne
operacije. Nekatere izmed teh operacije so linearne – te ohranijo lastnosti
linearnega prostora, druge pa so nelinearne – te spremenijo lastnosti prostora.
2.10.1 Amplitudna transformacija
Z amplitudno transformacijo spremenimo amplitudni razmah oziroma signalno
območje signala. Ločimo dve družini transformacij signalnega območja:
1. linearne, katere v splošnem opišemo z
kjer sta a in b konstanti,
2. nelinearne, katere v splošnem opišemo z
x nov = a·x star + b , (2.36)
x nov = T { x star
}
. (2.37)
V obdelavi signalov uporabljamo tako linearne kot nelinearne amplitudne
transformacije. Na primer, linearno transformacijo uporabimo pri normiranju
signala (glej razdelek 2.9 na predhodni strani). Nelinearno transformacijo
uporabljamo v primerih, ko želimo doseči posebne učinke. Na primer, z logaritmiranjem
signalnega območja lahko množenje dveh signalov nadomestimo
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.10 Elementarne operacije nad signali 51
s seštevanjem. Nelinearna transformacija je zelo razširjena pri digitalizaciji
zvoka v telekomunikacijah.
V tej knjigi se omejujemo na linearne amplitudne transformacije. Glede
na izbiro konstant a in b v (2.36) ločimo tri linearne amplitudne transformacije:
obrat signalnega območja
a = −1, b = 0 :
x nov = −x star
skaliranje signalnega območja
|a| ̸= 1, b = 0 :
x = ax star
pomik signalnega območja
a = 1, b ≠ 0 :
x nov = x star + b
Pri prikazu transformiranega signala si lahko pomagamo s sliko starega signala,
kjer ustrezno preoblikujemo (obrnemo, skaliramo ali premaknemo)
amplitudno os. Če označimo originalno os z A star in novo os z A nov , potem
z malo razmisleka ugotovimo, da je med njima naslednja povezava:
A nov = 1 a A star − b . (2.38)
Veljavnost razmisleka potrjujemo z zgledom 2.10.1.
ZGLED 2.10.1 (Transformacija signalnega območja)
Izvedimo zasuk, skaliranje in pomik signalnega območja signalu x 1 (t) = p(t). Koeficienti
linearne amplitudne transformacije so:
(i) zasuk: a = −1,b = 0, skaliranje: a = 1/2,b = 0, pomik: a = 1, b = −1
(ii) amplitudna transformacija z a = − 1 2 in b = −1
(i) Slika 2.33 kaže vse oblike linearne amplitudne transformacije. Na levi strani sta
zapisana izračuna (2.36) in (2.38), desno pa so po vrsti prikazani originalni signal x star ,
transformirana amplitudna os in transformirani signal x nov prikazan v starem signalnem
območju. Na sliki vidimo, da transformacija amplitudne osi spremeni merilo prikaza
signala. V tem primeru smo pri zasuku merilo zasukali, pri skaliranju merilo povečali iz
1:1 v 2:1, pri premiku pa smo ga premaknili za eno enoto navzgor.
(ii) Prikaz transformacije x nov = −
2 1x star − 1 kaže slika 2.34. Na levi strani sta
zapisana izračuna novega signala in novega amplitudnega razmaha. Na levi sliki je
prikazan stari signal. Ta skica ima na desni strani narisano novo amplitudno območje.
Na desni sliki je prikazan nov signal v starem amplitudnem merilu.
♦
Zaključimo z ugotovitvijo, da (2.36) in (2.37) veljata za vse vrste signalov
x(t) in zaporedij x[n].
datoteka: signal_A

52 2. Vrste signalov in elementarne operacije
zasuk: x nov = −x star
x star , A star
1 1
1
0 0
0
A nov = −A star 1
1
1
-1/2 0 t
-1/2 0
skaliranje: x nov = 1 2 x star
x star , A star
A nov
x nov , A star
1/2 1/2
1 1/2
1
0 0
0
A nov = 2A star 1
12
1
-1/2 0 t
-1/2 0
pomik: x nov = x star − 1
A nov = A star + 1
x star , A star
A nov
x nov , A star
1/2 1/2
1 0
1
0 1
0
1
A nov
x nov , A star
2
1
-1/2 0 1/2 t
-1/2 0 1/2
t
t
t
Slika 2.33
Amplitudne transformacije. Levo: zapisi amplitudnih transformacij desno: prikaz amplitudnih transformacij.
x nov = − 1 2 x star − 1
A nov = −2A star + 1
x star , A star
1 3/2
1
0 1
0
1
2
A nov
12
x nov , A star
1
2
-1/2 0 1/2 t
-1/2 0 1/2
1
t
Slika 2.34
Amplitudne transformacije pri a = − 1 / 2 in b = −1. Levo: zapisi amplitudnih transformacij, desno: prikaz
amplitudnih transformacij.
2.10.2 Transformacija signalne osi
S to transformacijo skrčimo ali podaljšamo domeno, iz katere zajemamo vrednosti
argumenta funkcije, s katero opišemo signal. Pri tem lahko zasučemo
tudi signalno os. Formalno jo opišemo s preslikavo T : T star → T nov , ki jo
definiramo z:
T { t } = τ , t,τ ∈ R . (2.39)
Podobno kot pri transformaciji signalnega območja ločimo tri transformacije
signalne osi: obrat, skaliranje in pomik. Njihovo poljubno kombinacijo
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

☞
2.10 Elementarne operacije nad signali 53
opišemo z:
τ = at + b . (2.40)
Transformacija je bijektivna, če obstaja inverzna transformacija T −1 : T nov →
T star , ki povrne staro stanje:
T −1{ τ } = t , t,τ ∈ R . (2.41)
Označimo signal pred transformacijo signalne osi z x star . Po transformaciji
učinek transformacije včasih bolje uvidimo, če opazujemo v starem
signalnem območju nov signal x nov , za katerega velja:
x nov (t) = x star (T{t}) . (2.42)
Učinek transformacije uvidimo, če x nov prikažemo na stari signalni osi, torej
ko opazujemo x nov (t), za katerega neodvisno spremenljivko izračunamo iz
(2.42):
t = τ a − b a
. (2.43)
Primerjava (2.43) in (2.40) pokaže, da se razširitev signalnega območja (|a| >
1) na signalu x nov (t) vidi kot skrčenje signala, premik signalne osi v levo kot
premik signala v desno itd, in seveda obratno. Pri premikih osi v levo ali desno
imamo iz gledišča časa opravka z zakasnitvijo (ko signal premaknemo v
desno, oziroma signalno os v levo) ali prehitevanjem (ko signal premaknemo
v levo, oziroma signalno os v desno).
Transformacija signalne osi za zaporedja v enaki obliki kot pri zveznih
signalih ne obstaja. Zapis x[n] dejansko pomeni x(nT ), kjer je T interval
med otipki signala, ki ga opisuje zaporedje x[n] in n številka intervala.
Pri zaporedjih sicer lahko izvedemo obrat in pomik:
x nov [η] = x star [T{n}] = x star [−n]
(2.44a)
x nov [η] = x star [T{n}] = x star [n + m] , m ∈ Z , (2.44b)
skaliranja pa ne moremo izvesti. Če zaporedje podatkov gledamo kot zaporedje
otipkov nekega signala (postopek vzorčenja signalov opisujemo v
razdelku ?? na strani ?? in ?? na strani ??), sprememba intervala otipavanja
pomeni, da iz signala zajemamo njegove vrednosti ob drugih trenutkih, signala
samega pa ne razširimo ali skrčimo. Zamenjava indeksa m z drugim
indeksom, na primer z m, m = an, a ∈ Z, pa pomeni, ali da med obstoječe
otipke vrivamo nove otipke z vrednostjo nič (rečemo, da vrivamo ničle) ali
pa da nekatere otipke izpuščamo (postopek pogosto imenujejo decimacija,
čeprav ni nujno desetkanje signala). V obeh primerih pride do zanimivih pojavov,
ki pa nimajo povezave s krčenjem ali širjenjem signala, kot smo ga na
začetku razdelka opisali za zvezne signale.
datoteka: signal_A

54 2. Vrste signalov in elementarne operacije
ZGLED 2.10.2 (Transformacija signalne osi)
Izvedimo zasuk, skaliranje in pomik signalne osi žagastemu signalu!
Pri zasuku, skaliranju in pomiku signalne osi upoštevamo obrazec (2.40), pri zasuku,
skaliranju in pomiku signala pa obrazec (2.43). Rezultat obeh načinov prikaza
vidimo na sliki 2.35. Še enkrat poudarimo: zasuk in pomik lahko izvedemo tudi za
1
xstar( t)
Slika 2.35
Levo: Zasuk, skaliranje in pomik
časovne osi; desno: zasuk,
skaliranje in pomik signala.
transformirane signalne osi
0
0
0
0
b
t 0
t 0
at 0
t 0 + b
t
t
at
t+b
x
t
nov( )
1
0
1
xnov( t)
0
1
xnov( t)
0
a 1, b = 0
t 0 0
t
a > 1, b = 0
0 t 0/a
t
a= 1, b =/ 0
b 0 t 0 b
t
žagasto zaporedje, skalirati pa se zaporedja ne da.
♦
2.10.3 Kvantizacija
Kvantizacija je transformacija, ki točke iz zveznega amplitudnega razmaha
signala, to je signalnega območja, preslika v diskretne vrednosti, ki so medsebojno
oddaljene za interval, ki ga imenujemo kvantizacijska stopnica ali
kvantizacijski korak. Glede na kvantizacijski korak ločimo:
enakomerno ali uniformirano kvantizacijo, kjer je kvantizacijski korak
konstantno velik čez vso signalno območje
neenakomerno ali neuniformno kvantizacijo, pri kateri je velikost kvantizacijskega
koraka odvisna od njegove lege v signalnem območju.
V obeh primerih kvantizacija preslika točke A ∈ R v najbližje diskretne
vrednosti k ·q, k ∈ Z:
(k − 1 2 )q

2.10 Elementarne operacije nad signali 55
kjer je q kvantizacijski korak (slika 2.36). Sistem, ki izvede to transformacijo,
kq
( k 1/2) q ( k +1/2) q
x( t), x[ n]
x( t), x[ n] k.q
Slika 2.36
Transformacija amplitudnega
razmaha signala pri uniformni
kvantizaciji.
imenujemo kvantizator. Grafično ga predstavimo z blokom s slike 2.37.
x x q
Slika 2.37
Blokovna shema
kvantizatorja.
ZGLED 2.10.3 (Uniformna kvantizacija)
Predpostavimo, da velja A star = (0,Nq) ∈ R, N ∈ N torej transformacija zajema svoje
vrednosti iz zaloge realnih števil v intervalu (0,Nq). Kvantizacijo amplitudnega razmaha
signala izvedemo tako, da bodo diskretne vrednosti signala določene z:
⎧
0 x < 0,
⎪⎨ ⌊ x
x q =
q + 1 q 0 x (N −
2⌋
1 2 )q,
⎪⎩
Nq x Nq,
(2.46)
kjer ⌊ ⌋ označuje funkcijo, ki zaokroži realno število x na najbližjo manjše celo število.
Nq
( N 1)
q
T
x q
2q
q
0
Slika 2.38
Značilnica kvantizatorja.
0 q 2q
( N 1
1 ) q
2
( N 1
1 ) q ( N 1)
q
2
x
Ta kvantizacija odreže vse vrednosti signala, ki so manjše od nič in omeji maksimalno
vrednost signala na Nq (slika 2.38). Učinek uniformne kvantizacije z osmimi
kvantizacijskimi koraki na signal x(t) = 1/2[1 − cos(2πt)],t ∈ R kaže slika 2.39.
Tu je N = 8 in q =
8 1 .
♦
datoteka: signal_A

56 2. Vrste signalov in elementarne operacije
1 1
Slika 2.39
Uniformna kvantizacija,
levo: originalni signal,
desno: kvantizirani signal.
signal: x( t)
kvantiziran
1
2
cos( 2 t)
signal: xq t 0 0
0 t 1 0 t 1
Zaokroževanje na cela števila najlažje naredimo, če odrežemo številke za
decimalno vejico. Rezultat je prvo manjše celo število. Tako zaokroževanje
imenujemo zaokroževanje navzdol. Če želimo imeti zaokroževanje na najbližje
celo število, na voljo pa je le zaokroževanje navzdol, moramo številu
prišteti 1/2, da dobimo pravi rezultat. Na primer, številu 3,2 je najbližje celo
število 3, številu 3,7 pa 4. Ta rezultat z zaokroževanjem navzdol dobimo le v
primeru, če številu prištejemo 0,5:
⌊3,2 + 0,5⌋ = ⌊3,7⌋ = 3 in ⌊3,7 + 0,5⌋ = ⌊4,2⌋ = 4
Kvantizacijo lahko izvedemo tako nad analognim kot nad časovno diskretnim
signalom. V prvem primeru dobimo kvantizirani signal, v drugem pa
diskretni signal.
2.10.4 Skalarni produkt
V opisu relacij med signali je med najpomembnejšimi računskimi operacijami
skalarni produkt. V primeru zaporedij skalarni produkt vsebuje množenje
in seštevanje, pri zveznih signalih, za katere je prav tako definiran, pa
seštevanje preide v integracijo. Kljub temu ga bomo obravnavali kot elementarno
računsko operacijo, saj na njegovi osnovi temelji zelo veliko postopkov
obdelave signalov.
Skalarni produkt lahko nazorno razložimo s primerom skalarnega produkta
dveh vektorjev, na primer x in y, ki ležita na isti ravnini (slika 2.40).
Med njima in absciso pravokotnega koordinatnega sistema sta kota φ x in φ y .
Kosinus kota med vektorjema φ x − φ y izračunamo s pomočjo lastnosti trigošarko
ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.10 Elementarne operacije nad signali 57
q
x
x 1
y 2
y 1
x
N
y
Slika 2.40
Vektorja x in y v ravnini.
y
0
x 2
p
nometrijskih funkcije:
cos(φ x − φ y ) = cosφ x cosφ y + sinφ x sinφ y
=
x 2
√
x 2 1 + x2 2
} {{ }
=d x
·
y 2
√
y 2 1 + y2 2
} {{ }
=d y
+ x 1
d x
· y1
d y
= x 1y 1 + y 1 y 2
d x ·d y
, (2.47)
kjer so x k in y k , k = 1,2, komponente vektorjev x in y in d x ter d x dolžini teh
vektorjev. Imenovalec v (2.47) je produkt dolžin obeh vektorjev, števec pa je
enak skalarnemu produktu dveh vektorjev. Označevali ga bomo s simbolom:
Velja:
Poudarimo:
〈·, ·〉 . (2.48)
〈x, y〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 (2.49)
= d x d y cos(φ x − φ y ) . (2.50)
Rezultat skalarnega produkta dveh vektorjev je skalar, torej število!
To število je mera medsebojne lege vektorjev.
Normirani skalarni produkt
Če je skalarni produkt 0, mora biti cos(φ x −φ y ) = 0. To pa je takrat, ko je kot
med vektorjema z dolžino večjo od nič enak π/2 radianov oziroma 90 o , oziroma
ko sta vektorja pravokotna drug na drugega. Zato skalarni produkt uporabljamo
tudi kot test, ali sta si določena vektorja medsebojno pravokotna.
datoteka: signal_A

58 2. Vrste signalov in elementarne operacije
Pomen tega testa pride do izraza pri vektorjih, pri katerih grafična predstava
ni več možna.
Ostale vrednosti skalarnega produkta so odvisne od dolžine vektorjev. Če
skalarni produkt podelimo z dolžino vektorjev, dobimo normirani skalarni
produkt. Zapisali smo ga že v (2.50), zato ga le prepišimo v obliko, kjer
upoštevamo (2.48):
−1 〈x,y〉
d x d y
1 . (2.51)
Srednjemu členu v (2.51) smo v izpeljavi skalarnega produkta dali pomen
"kosinus kota med x in y". Ta lahko ima, kot vemo, svoje vrednosti le med -1
in 1. Zato ima normirani skalarni produkt maksimum, ko je cos(φ x −φ y ) = 1.
Takrat sta vektorja vzporedna in usmerjena v isto smer, oziroma je kot med
njima enak 0. Skalarni produkt ima minimum, ko je cos(φ x − φ y ) = −1.
Takrat sta vektorja vzporedna in nasprotno usmerjena, oziroma je kot med
njima enak π radianov oziroma 180 o .
Primer uporabe skalarnega produkta v fiziki
Določitev vektorskih komponent je osnovni postopek v analizi mnogih fizikalnih
pojavov. Projekcija vektorja x na sliki 2.40 na predhodni strani na
vektor y je enaka:
−→
ON = xcos(φ x − φ y ) . (2.52)
Predpostavimo, da smo z vektorjem y predstavili vektor sile F, ki nas iz
izhodiščne točke O prestavi v točko N. Delo, ki se pri tem opravi je, kot vemo
iz fizike, enako:
opravljeno delo = F scos(φ x − φ y ) .
Podobne primere lahko najdemo tudi za druge fizikalne količine, na primer
delovno (električno) energijo, moč itd. Na njihovem zgledu bomo tako definirali
energijo ali moč signala.
2.10.5 Primer uporabe skalarnega produkta
pri prepoznavanju signalov
Skalarni produkt je ena najpogostejših matematičnih operacij pri obdelavi
signalov. Z njim računamo energijo signala, pretok energije med signaloma,
uporabljamo ga v računanju moči, podobnosti med signali (korelacije) in še
v mnogih drugih primerih.
Oglejmo si primer njegove uporabe pri prepoznavanju signala. Opazujmo
časovno zvezni signal x(t), ki vsebuje dolge ali kratke pulze (slika 2.41). Naj
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

2.10 Elementarne operacije nad signali 59
d( t) “dolg pulz”
k( t)
1 1
“kratek pulz”
0.5 0.5
0 0
-2 -1 -1/2 0 1/2 1 2 t
-1 -1/2 0 1/2 1 t
Slika 2.41
Testna pulza k(t) in d(t).
bo dolg pulz določen z:
in kratek pulz z:
d(t) =
{
1/2 pri − 2 t < 2
0 sicer
k(t) =
{
1 pri − 1/2 t < 1/2
0 sicer
Pulza sta izbrana tako, da sta si njuna skalarna produkta s samim seboj enaka:
〈d,d〉 = 〈k,k〉 = 1
Eden izmed možnih načinov detekcije, kdaj je signal x(t) dolg oziroma kratek
pulz, je izračun skalarnih produktov signala x(t) s testnima signaloma d(t) in
k(t):
v x(t) je kratek pulz:
v x(t) je dolg pulz:
〈x,d〉 = 〈k,d〉 = 1/2
〈x,k〉 = 〈k,k〉 = 1
〈x,d〉 = 〈d,d〉 = 1
〈x,k〉 = 〈d,k〉 = 1/2
Vidimo, da je skalarni produkt največji takrat, ko se x(t) ujema s testnim signalom.
Zato detektor, ki odkriva kateri signal je prisoten zgradimo z dvema
skalarnima produktoma in primerjalnikom, ki pove, kateri produkt je večji
(slika 2.42).
x( t)
x,d
x,k
x,d > x,k
DA: v signalu je dolg pulz
NE: v signalu je kratek pulz
Slika 2.42
Detekcija signala s skalarnim
produktom.
Opisana detekcija signala podaja zasnovo sodobnih komunikacijskih sprejemnikov,
ki zmorejo maksimirati razliko med šumom in signalom. Take
sprejemnike imenujemo optimalne. V njih je detekcija signala ponavadi izvedena
s korelatorji, ki izvedejo izračun skalarnega produkta pri danih parametrih.
Korelacija je opisana v poglavju 4 na strani 87.
datoteka: signal_A

60 2. Vrste signalov in elementarne operacije
2.11 Elementarne operacije s programom MATLAB
MATLAB ☞
V prejšnem razdelku smo pregledali elementarne operacije nad signali in zaporedji.
Sedaj pa poglejmo, kako jih lahko pri zaporedjih računamo s pomočjo
programa MATLAB. Seveda bomo uporabnost programa pri elementarnih
računskih operacijah pokazali na (končnih) zaporedjih.
2.11.1 Seštevanje zaporedij
Dve zaporedji seštejemo tako da seštejemo istoležne podatke:
{x 1 [n]} + {x 2 [n]} = {x 1 [n] + x 2 [n]} . (2.53)
Za ukaz seštevanja program MATLAB uporablja znak +. Da lahko dve zaporedji
seštejemo, morata biti enako dolgi. Če to nista, ali pa so podatki pri
enako dolgih zaporedjih na različnih mestih, seštevanja ne moremo izvesti.
Kadar podatki niso urejeni, moramo najprej opraviti poravnavo podatkov,
na primer x 1 [n] in x 2 [n] tako, da imajo enako pozicijo v vektorju. Pri tem
moramo skrbno upoštevati mehanizem označevanja podatkov z indeksi. Tem
postopkom so v programu MATLAB namenjeni logični operator preseka &,
realcije in == ter funkcija find. Njihovo uporabo lahko uvidimo iz
definicije funkcije, ki sešteje dve zaporedji (program MATLAB 2.5):
MATLAB 2.5: Seštevanje zaporedij
function [y,n] = sigsuma(x1,n1,x2,n2)
% funkcija sešteje zaporedji y(n) = x1(n)+x2(n)
% ------------------------------------------------------------------
% y = seštevek po podatkih zaporedij x1 in x2 dolžine n1 in n2
% x1 = zaporedje dolžine n1
% x2 = zaporedje dolžine n2 (n2 se lahko razlikuje od n1)
% ------------------------------------------------------------------
n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); % trajanje y(n)
y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1;
% inicializacija
y1(find((n>=min(n1))&(n=min(n2))&(n

2.11 Elementarne operacije s programom MATLAB 61
Ta izračun naredimo s funkcijo sum:
2.11.3 Pomik podatkov
sum(x(n1:n2))
Pri pomiku podatkov vsak podatek premaknemo za k mest v levo ali desno.
Rezultat je novo zaporedje y[n]:
y[n] = {x[n − k]} . (2.55)
Če naredimo zamenjavo spremenljivk m = n−k, potem je n = m+k in (2.55)
preide v:
y[m + k] = {x[m]} . (2.56)
Pomik nima vpliva na vektor x, ampak le na vektor n, kjer se k vsakemu
elementu prišteje k (program MATLAB 2.6).
MATLAB 2.6: Pomik podatkov
function [y,n] = sigpomik(x,m,n0)
% -------------------------------
% n0: velikost pomika
% m: originalni indeksi podatkov
% -------------------------------
n = m+n0;
y = x;
2.11.4 Zasuk zaporedja
Mnogokrat moramo zasukati zaporedje podatkov okoli n = 0. Pri tem zadnji
podatek postane prvi in prvi postane zadnji, zasučemo pa tudi vektor n, ki
določa pozicijo podatkov:
y[n] = {x[−n]} . (2.57)
Zasuk zaporedja lahko naredimo s funkcijo fliplr(x) in -fliplr(n):
>> n=1:3;
x=[1,2,3]
y=fliplr(x)
n=-fliplr(n)
x =
1 2 3
datoteka: signal_A

62 2. Vrste signalov in elementarne operacije
y =
3 2 1
MATLAB 2.7: Množenje podatkov
n =
-3 -2 -1
Iz zgornjega primera vidimo, da smo z zasukom premaknili tudi vektor. Iz
{x[1] x[2] x[3]} smo dobili {x[−3] x[−2] x[−1]}.
2.11.5 Množenje zaporedij
Z množenjem podatkov razumemo da podatke v enem vektorju skaliramo (to
je pomnožimo) s podatki v drugem vektorju:
{x 1 [n]} · {x 2 [n]} = {x 1 [n]·x 2 [n]} . (2.58)
Operator, ki v programu MATLAB izvede množenje v (2.58), je .* . Pika
označuje, da množimo vrstična vektorja. Ker imamo pri tej operaciji enake
omejitve kot pri seštevanju dveh vektorjev, definiramo funkcijo, ki skrbi za
enakost dolžin vektorjev in pravilno zaporedje podatkov (program MATLAB 2.7),
podobno kot smo jo pri seštevanju:
function [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)
% izračuna y(n) = x1(n)*x2(n)
%----------------------------------------------------------------
% y = produkt zaporedja na n, ki vključuje n1 in n2
% x1 = zaporedje nad n1
% x2 = zaporedje nad n2 (n2 se lahko razlikuje od n1)
%----------------------------------------------------------------
n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); % trajanje y(n)
y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %
y1(find((n>=min(n1))&(n=min(n2))&(n

2.11 Elementarne operacije s programom MATLAB 63
2.11.7 Skaliranje zaporedja
To je preprosta operacija, ko pomnožimo zaporedje s skalarjem α:
α {x[n]} = {αx[n]} . (2.60)
Za njeno izvedbo v programu MATLAB uporabimo operator ”*“. Na primer:
y = alpha*x
2.11.8 Skalarni produkt
Skalarni produkt dveh realnih zaporedij lahko izračunamo na dva načina:
1. Z uporabo matričnega računa, kjer drugi vektor transponiramo ali z
uporabo posebne funkcije, ki vsebuje prej opisani način računanja:
y = x1*x2’
y = dot(x1,x2)
% direktno računanje skalarnega produkta
% funkcija za skalarni produkt
kjer oznaka ’ pri realnih zaporedjih pomeni transponirani vektor, pri
kompleksnih pa konjugirano kompleksni transponirani vektor:
x’ ←→ x T % pri realnih zaporedjih
x’ ←→ (x ∗ ) T % pri kompleksnih zaporedjih
Ponovno poudarjamo, da moramo transponirati drugi vektor. Če transponiramo
prvi vektor dobimo tako imenovani zunanji produkt 7 .
2. S seštevanjem podatkov, ki smo jih dobili z množenjem dveh zaporedij:
y = sum(x1.*x2)
y = sum(x1.*conj(x2))
% pri realnih zaporedjih
% pri kompleksnih zaporedjih
7 Zaradi tega se v angleški literaturi pogosto za skalarni produkt uporablja ime notranji produkt
(inner product) kot nasprotje zunanjemu produktu (outer product). Rezultat zunanjega
produkta je matrika:
testni program:
a = [1+i 2+2i 3+3i];
b = [4+4i 5+5i 6+6i];
c = a*b’ % notranji produkt
d = a’*b % zunanji produkt
rezultat:
c = 64
d = 8 10 12
16 20 24
24 30 36
datoteka: signal_A

64 2. Vrste signalov in elementarne operacije
V opisu lastnosti skalarnega produkta smo zapisali, da je velikost skalarnega
produkta odvisna od velikosti vektorja. Zato takrat, ko jih želimo medsebojno
primerjati, običajno uporabljamo normirani skalarni produkt, ki smo
ga zapisali v obrazcu (2.51) na strani 58:
[en. 2.51]
−1 〈x,y〉
d x d y
1 .
Izračunamo ga lahko z naslednjo rutino v programu MATLAB:
% podatki
a = [1+i 2+2i 3+3i]; % prvi vektor
b = [4+4i 5+5i 6+6i]; % drugi vektor
% računanje normiranega skalarnega produkta
x = dot(a,b)
% skalarni produkt
d_a = sqrt(sum(a.*conj(a))) % iznos vektorja a
d_b = sqrt(sum(b.*conj(b))) % iznos vektorja b
y = x/(d_a*d_b)
% normirani skalarni vektor
Rezultat, ki ga da zgornja rutina, je
x =
64
d_a =
5.2915
d_b =
12.4097
y =
0.9746
2.11.9 Zgledi
Primeri elementarnih operacij nad zaporedji (skaliranje, . . . ) bodo dodani ob
končni redakciji knjige. Do takrat bodo na voljo kot dodatki k tem zapiskom.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3
Parametri signalov
MNOGOKRAT ŽELIMO SIGNALE jedrnato opisati. Katere lastnosti
pa so tiste, ki so karakteristične za signal? Med fizikalnimi količinami
so na primer zanimive amplituda, moč, energija, srednja
vrednost in podobno. Nekatere te količine so parametri, s katerimi lahko opišemo
potek zaporedij in signalov, druge pa določajo parametre, ki podajajo
pomembne lastnosti signala.
Na splošno izmerimo značilnosti zaporedij ali funkcij z normami. Norme,
če obstajajo, so po definiciji nenegativna končno velika števila. Če takega števila
za določeno normo ne moremo izračunati, potem rečemo, da zaporedje
oziroma funkcija te norme nima.
Pri določanju parametrov se omejujemo na množice digitalnih in analognih
signale, ki imajo strukturo linearnega prostora. Ta prostor imenujemo
signalni prostor.
3.1 Signalni prostor
Signalni prostor je vektorski ali linearni prostor. Po definiciji je to neprazna
množica V nad komutativnim obsegom realnih ali kompleksnih skalarjev K,
v kateri sta definirani operaciji seštevanja in množenja elementov iz obsega
K, ki izpolnjujeta zahtevi:
1. za poljubna elementa x,y ∈ V obstaja element z = x + y ∈ V , ki ga
imenujemo vsota,
2. za poljuben x ∈ V in poljuben skalar α ∈ K obstaja element αx ∈ V , ki
ga imenujemo produkt vektorja x s skalarom α, tako da veljajo aksiomi
65

66 3. Parametri signalov
vektorskega prostora:
x + (y + z) = (x + y) + z
x + y = y + x
α(βx) = (αβ)x
α(x + y) = αx + αy
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
(3.1d)
(α + β)x = αx + βx (3.1e)
obstaja element 0 ∈ V in 1 ∈ V za katerega velja:
x + 0 = x
(3.1f)
1·x = x , 0·x = 0 (3.1g)
Pri tem so elementi x 1 ,x 2 ,...,x n linearno neodvisni, če velja
α 1 x 1 + α 2 x 2 + ··· + α n x n = 0 (3.2)
le v trivialnem primeru, ko so α 1 ,α 2 ,...,α n = 0. V nasprotnem primeru so
elementi x 1 ,x 2 ,...,x n linearno odvisni. Linearni prostor je končno dimenzionalen,
če v njem obstaja N linearno neodvisnih elementov in je vsak N + 1
element linearno odvisen. Neskončno dimenzionalni prostori so prostori z
neskončnim številom linearno neodvisnih elementov. Primer končno dimenzionalnega
linearnega prostora je množica vseh N-teric (x 1 ,x 2 ,··· ,x n ). Če so
N-terice sestavljene iz realnih števil, pripadajo prostoru R N , če pa so sestavljene
iz kompleksnih števil, pa prostoru C N . Pri oznakah C N in R N smo z
eksponentom N podali dimenzijo prostora, v katerem lahko N-terico predstavimo
kot točko. Na primer, N-terico {2,3,−2} lahko predstavimo kot točko
v prostoru R 3 (slika 3.1a), ali N-terico { j,3} v prostoru C 1 (slika 3.1b).
x 3
-2
x 1
2
toèka, ki predstavlja
jx 1 toèka,
N -terico { 2, 3,
-2}
j2
ki predstavlja
N -terico {j1, 3}
j1
0 1 2 3 4 5 x
-1
2
0 1 2 3 4 5 x 2
os
(a) {2,3,−2} prostoru R 3 (b) { j,3} v prostoru C 1
os
Slika 3.1
Geometrijska predstavitev N-teric.
Vidimo, da lahko nazorno geometrijsko predstavimo le N-terice, ki obsegajo
največ tri realne komponente ali eno kompleksno.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.1 Signalni prostor 67
Točke, ki jih določata N-terici na slikah 3.1a in 3.1b, si lahko predstavimo
tudi kot vrh vektorja, ki ima izhodišče v koordinatnem sistemu in konec v
točki, ki jo določa N-terica (slika 3.2). V tem primeru lahko N-terico zapišemo
kot vektor x(x 1 ,x 2 ,...,x n ) = {x 1 ,x 2 ,...,x n }. Z vektorji lahko opišemo
tudi signale. Na primer, signal, ki ga opišemo s funkcijo x(t) = cosωt, je projekcija
trajektorije konice vektorja enotskega harmoničnega vala s frekvenco
ω na realno ravnino (slika 3.2c). Vektorska predstavitev zaporedij in signalov
x 1
2
jx 1
j2
j1
0 1 2 3 x
-1
2
-2
0 1 2 3 x 2
x 3
os
(a) element {2,3,−2} v (b) element { j,3} v
prostoru R 3 prostoru C 1
os
Slika 3.2
Predstavitev signalov z vektorjem.
{ e j t }
{ e jt
}
{ e jt
}
e jt
1,0
0.5
-0.5
-1,0
(c) signal e jωt v prostoru C 1
t
ima mnogo prednosti. Izkušnje z njo imamo že iz osnov elektrotehnike, kjer
smo na primer s kompleksnimi kazalci nazorno pokazali, da je razlika med
faznima napetostima v trifaznem sistemu z U R = 230 [V] in U S = 230 [V]
enaka U RS = 400 [V] (zgled 3.1.3 na strani 72). Prav razlikovanje med signali
je pomembno področje uporabe teorije signalov. Za izmero razlike med
signali, morajo biti prostoti metrični prostori. Metrični prostori pa so tisti, v
katerih lahko definiramo normo zaporedja oziroma signala in razdaljo med
zaporedji ali signali.
3.1.1 Prostori zaporedij in signalov
Signalne prostore delimo v dve veliki skupini:
1. Prostori časovnih zaporedij l, ki ga definira množica vseh realnih ali
kompleksnih zaporedij x[n] = (··· ,x[−1],x[0],x[1],···).
2. Prostori zveznih časovnih funkcij L , ki ga definira množica vseh realnih
ali kompleksnih časovnih signalov x(t).
Ko želimo poudariti definicijsko območje zaporedij ali signalov, zapišemo
interval, nad katerim je prostor definiran, v oklepaju. Na primer l[n 1 ,n 2 ] je
datoteka: signal_A

68 3. Parametri signalov
podprostor vseh zaporedij, ki so definirana nad intervalom [n 1 ,n 2 ]; L (0,∞)
je prostor vseh kavzalnih signalov (o njih bo več govora pri opisu sistemov).
Kadar interval ni zapisan, se razumeva, da prostor tvori množica vseh zaporedij
nad obsegom celih števil ali signalov nad obsegom vseh realnih števil.
Na primer, l ≡ l(Z) in L ≡ L (R) .
3.1.2 Norme zaporedij in signalov
Normo zaporedja ali signala x označimo z ‖·‖. Ker poznamo mnogo norm,
bomo takrat, ko želimo poudariti, za katero normo gre, to označili z ustreznim
indeksom, na primer ‖·‖ p . In kaj so norme? Matematično normo definiramo
kot preslikavo ‖·‖ : X ×X → R 1 +, ki da nenegativno realno število. Prostore, v
katerih ta preslikava obstaja, imenujemo normirani prostori. Norma obstaja,
če so izpolnjeni aksiomi normiranega prostora:
‖x‖ 0 ‖x‖ = 0 če in samo če je x = 0 (3.3a)
‖αx‖ =|α|·‖x‖ (homogenost) (3.3b)
‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖ (trikotniška lastnost) (3.3c)
Aksiomi povedo naslednje: (i) rezultat izračuna norme je nenegativno število,
ki količinsko določa lastnost, ki jo z normo merimo; (ii) norma je homogena
(enakomerna) mera, kar pomeni, da s transformacijo signala, ki zajema skaliranje
amplitudnega ali signalnega območja, spremenimo tudi normo signala,
s premikom signala po signalni osi ali zasuk njegovega signalnega območja,
pa velikosti norme ne spremeni; (iii) da se seštevanje dveh signalov pokorava
pravilu seštevanj vektorjev.
Norme definiramo ločeno za zaporedja in signale. Zaporedja tvorijo prostore
l, signali pa prostore L :
DEFINICIJA 3.1.1 (Norme v prostoru l)
Norme ‖x‖ p za element iz prostora časovnih zaporedij
l, definiranih nad intervalom N elementov, so definirane
z:
⎧( ⎪⎨ ∑N |x[n]| p) 1/p
za 1 p < ∞
‖x‖ p =
⎪⎩ sup |x[n]| za p = ∞
1nN
DEFINICIJA 3.1.2 (Norme v prostoru L )
Norme ‖x‖ p za element iz prostora časovno zveznih
funkcij L , definiranih nad intervalom T , so definirane
z:
⎧( ∫ 1/p
⎪⎨ |x(t)| dt) p za 1 p < ∞
T
‖x‖ p =
⎪⎩
sup
t∈R
|x(t)| za p = ∞
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.1 Signalni prostor 69
V definicijah 3.1.1 in 3.1.2 smo s “sup” označili supremum, to je najmanjšo
zgornjo mejo signala. Zgornja meja signala je enaka najmanjšemu realnemu
številu α, za katerega velja:
|x[n]| α n ∈ Z oziroma |x(t)| α t ∈ R ,
če tak α obstaja. Če α → ∞, potem funkcija nima zgornje meje, oziroma
zanjo norma ‖·‖ ∞ ne obstaja. Torej norma ‖·‖ ∞ v zaporedju x[n] “prepozna”
element z največjo končno vrednostjo, v funkciji x(t) pa končno vršno vrednost.
Z oznako ∑ N smo označili seštevanje od prvega do zadnjega podatka
v intervalu N zaporednih podatkov:
n 2
∑
∑ N
= , N = (n 1 ,n 2 ), n 2 = n 1 + N ,
n=n 1
oziroma z oznako ∫ T
integracijo nad (časovnim) intervalom T :
∫
T
∫ t2
= , T = (t 1 ,t 2 ), t 2 = t 1 + T .
t 1
Povezavo med definicijama norm v prostoru l in L uvidimo, če si časovno
zvezne funkcije z definicijsko domeno na intervalu (a,b) ∈ R predstavljamo
kot neskončno dimenzionalne vektorje. Pri predpostavki, da vsaka
točka definicijskega območja funkcije določa eno dimenzijo vektorja, vrednost
funkcije v tej točki pa komponento vektorja, je funkcija “neskončno
dimenzionalni vektor”. Ker so si točke infinitezimalno blizu, je v normah v
prostorih L operacija seštevanja v prostoru l zamenjana z integriranjem.
Normo ‖·‖ 2 v imenujemo tudi Evklidska norma. Določa dolžino vektorja,
ki predstavlja signal. V prostorih C 1 , R 2 in R 3 je Evklidska norma grafično
predstavljiva.
Evklidska norma
O Grškem matematiku Evklidu (cca 365 do cca 325 let p.n.š.) je le
malo znanega. Njegovo glavno delo Elementi ima logično zgradbo,
ki je bila vzor za resno matematično obravnavo problemov vse do
19. stoletja.
V splošnem zaporedja in signali nimajo vseh norm. Zato linearna prostora
l in L delimo na podprostore, katerih zaporedja ali signali imajo določene
norme. Te podprostore v splošnem ocenjujemo z l p in L p . V obdelavi signalov
(in tehniki nasploh) so pomembni naslednji podprostori:
datoteka: signal_A

70 3. Parametri signalov
l ∞ , L ∞ :
l 2 , L 2 :
Ta podprostora tvorijo vsa zaporedja oziroma signali, za katere
velja ‖x‖ ∞ < ∞. Ta zaporedja in signali imajo končno veliko
največjo (vršno) vrednost.
Ta podprostora tvorijo vsa zaporedja oziroma signali, za katere
obstaja Evklidska norma. Torej velja ‖x‖ 2 < ∞.
Ker sta si obrazca za izračun energije zaporedja ali signala
identična z obrazcem za Evklidsko normo, zaporedja in signale
iz teh podprostorov imenujemo tudi energijska zaporedja oziroma
energijski signali. Iz definicij 3.1.1 in 3.1.2 je očitno, da
morajo energijska zaporedja in signali imeti v vsakem trenutku
končne vrednosti, torej pri njih obstaja tudi norma ‖·‖ ∞ . Obratno
pa vedno ne velja. Za mnogo zaporedij iz l ∞ in signalov iz L ∞
norma ‖·‖ 2 ne obstaja, zato velja:
l 2 ⊂ l ∞ in L 2 ⊂ L ∞ .
l 1 , L 1 :
Ta podprostor tvorijo tako imenovana konvergenčna zaporedja
oziroma absolutno integrabilni signali.
V ti pomembni družini zaporedij in signalov spadajo tudi vsa
energijska zaporedja in energijski signali. Obratno pa ne velja,
zato
l 2 ⊂ l 1 in L 2 ⊂ L 1 .
ZGLED 3.1.1 (norme elementa v prostoru l)
Norme ‖·‖ 1 , ‖·‖ 2 in ‖·‖ ∞ za element x = (1, j), x ∈ C 1 so:
‖x‖ 1 = ( |1| 1 + | j| 1) 1/1
= 1 + 1 = 2
‖x‖ 2 = ( |1| 2 + | j| 2) 1/2
=
√ 1 + 1 =
√
2
Normo ‖(1, j)‖ 2 si lahko v prostoru C 1 enostavno predstavimo: določa dolžino kompleksnega
kazalca x = (1, j) s koordinatami (1, j) (slika 3.3). Maksimalno vrednost,
Slika 3.3
Evklidska norma v prostoru
C 1
ki jo določi ‖·‖ ∞ , pa je za ta element enaka:
os
j
1/2
x
2
= 2
| {
x}| = 1
| {
x}| = 1
2
os
‖x‖ ∞ = max(|1|,| j|) = max(1,1) = 1
k
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.1 Signalni prostor 71
ZGLED 3.1.2 (norma zaporedja v prostoru l ∞ [1,3])
Prostor l ∞ [1,3] vsebuje množico zaporedij treh podatkov, za katere obstaja norma
‖·‖ ∞ . Na primer, za zaporedje x[1] = (1, j), x[2] = (1, j2), x[3] = (3, j) je norma ‖·‖ ∞
enaka:
(
‖x‖ ∞ = sup
k
|1|,| j| ,|1|,| j2| ,|3|,| j|
} {{ } } {{ } } {{ }
x[1] x[2] x[3]
)
,
= max(1,1,1,2,3,1) = 3 .
♦
3.1.3 Metrični prostori
Funkcijo, ki priredi realno število dvem elementom nepraznega normiranega
prostora X, imenujemo metrika, če izpolnjuje naslednje aksiome:
d(x,y) 0 d(x,y) = 0 če in samo če je x = y (3.4a)
d(x,y) = d(y,x)
(3.4b)
d(x,z) d(x,y) + d(y,z) (trikotniška lastnost) (3.4c)
Metriko d(x,y) si lahko predstavljamo kot razdaljo med x in y. Določa jo
norma vektorja razlike
d(x, y) = ‖x − y‖ , (3.5)
zato so normirani prostoti tudi metrični prostori. To lahko dokažemo z aksiomi
v (3.4).
DOKAZ 3.1 (norma razdalje je metrika)
Za d(x, y) = ‖x − y‖ veljavnost (3.4a) sledi iz (3.3b). Z α = −1 v (3.3c) dobimo
‖x − y‖ = ‖y − x‖, torej izpolnimo (3.4b). Za dva vektorja x = a − b in y = b − c v
skladu z (3.3b) velja
a − c = x + y ‖x‖ + ‖y‖ = ‖a − b‖ + ‖b − c‖ .
Torej velja d(a, c) d(a, b) + d(b, c), kar pomeni, da je velja tudi (3.4c).
□
Primer metrike je Evklidska metrika, ki jo izračunamo z Evklidsko normo:
[ zaporedja
∣ ∣
d(x, y) = ∑N ∣x[n] − y[n] 2 ]1 /2
[ analogni signali
∫ ]1 ∣ / 2
. (3.6) d(x, y) = ∣ x(t) − y(t) 2 dt
T
. (3.7)
Kasneje bomo pokazali, da z Evklidsko metriko lahko določimo velikost
energije, za katero se dve zaporedji ali signala razlikujeta. To se pogosto
izkorišča pri detekciji zaporedij ali signalov, ko je znana le energija, ne pa
potek zaporedja ali signala.
datoteka: signal_A

72 3. Parametri signalov
ZGLED 3.1.3
Kolika je napetost u RS , če imata u R in u s amplitudo enako 230 V (slika 3.4)?
( 3/2 . 230,0)
U S
U T
(0,230)
Slika 3.4
Razlika faznih napetosti u R
in u S iz trifaznega sistema.
(0,-115)
U RS
U R
REŠITEV: Amplitudo u RS izračunamo z Evklidsko metriko. Najprej določimo koordinate
konic vektorjev, s katerima predstavimo napetosti u R in u s . Če eno koordinatno
os položimo tako, da na njej leži u R , ima ta vektor koordinate {0,230}, vektor u s pa
{ √ 3 / 2 230,− 1 / 2 230} Sledi:
d(u R , u S ) = u RS = ‖u R − u S ‖ 2
√
= (0 − √ 3 / 2 230) 2 + (230 + 1 / 2 230) 2
= √ 3·115 2 + 230 2 (1 + 1 / 2 ) 2 = √ (3 + 4 9 / 4 )115 2 = √ 12 ·115
= √ 3 ·230 ≈ 400 [V ] . ♦
3.1.4 Metrike v nelinearnih prostorih
Obstajajo tudi metrike, ki niso povezane z normami. Primer take metrike je
Hammingova razdalja:
d(x, y) =
n
∑
k=1
[
(xk + y k ) mod 2 ] , (3.8)
ki določi število pozicij, kjer se binarni besedi x = {x 1 ,x 2 ,...,x n } in y =
{y 1 ,y 2 ,...,y n } razlikujeta.
Seveda prostor kodnih besed ni linearni prostor in zato v njem ni norm.
Ta prostor in mnogi drugi prostori imajo pomembno vlogo tudi pri obdelavi
signalov.
3.1.5 Banachov prostor
Podprostori l p in L p so tako imenovani Banachovi prostori, če sta l p in
L p kompletna glede na metriko d(x,y) = ‖x − y‖. Prostor je kompleten,
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.1 Signalni prostor 73
če katerokoli Cauchyjevo zaporedje elementov iz tega prostora konvergira k
elementu znotraj tega prostora:
‖x n − x m ‖ → 0 , n,m → ∞ , (3.9)
kjer je x n limita zaporedja in leži znotraj prostora.
Stefan Banach (1892 – 1945) je avtor sodobne funkcionalne analize.
Njegovi glavni prispevki so k teoriji topoloških vektorskih prostorov.
Poleg tega je prispeval k razvoju teoriji mer, integraciji in
ortogonalnim zaporedjem.
3.1.6 Prostori s skalarnim produktom
Signalna prostora, ki ju najpogosteje uporabljamo, sta prostora l 2 in L 2 . Ta
prostora imata Evklidsko metriko, to pa lahko izračunamo s skalarnim produktom.
Zato te prostore imenujemo tudi prostori s skalarnim produktom. V
angleški literaturi zanje srečamo tudi termin prostori z notranjim produktom.
Skalarni produkt smo elementarno opisali že v razdelku 2.10.4 na strani 56.
Ta opis tu le dopolnjujemo.
Skalarni produkt v prostoru l in L
Skalarni produkt ni omejen le na geometrijsko predstavljive vektorje, ampak
velja na splošno. Če si zaporedje podatkov predstavimo kot (neskončno)
zaporedje komponent vektorjev, oziroma si analogen signal predstavljamo
kot neskončno dimenzionalen vektor, lahko definicijo skalarnega produkta
razširimo na zaporedja in funkcije iz prostorov l in L . To posplošitev v
angleški literaturi mnogokrat imenujejo notranji produkt. Velja:
DEFINICIJA 3.1.3 (skalarni produkt v l)
Skalarni produkt zaporedij x[n] in y[n] je definiran z:
〈x,y〉 = ∑ N
x[n]y ∗ [n] .
Skalarni produkt obstaja, če za ti zaporedji obstaja
norma ‖·‖ 2 .
DEFINICIJA 3.1.4 (skalarni produkt v L )
Skalarni produkt signalov x(t) in y(t) je definiran z:
∫
〈x,y〉 = x(t)y ∗ (t) dt .
T
Skalarni produkt obstaja, če za ta signala obstaja
norma ‖·‖ 2 .
datoteka: signal_A

74 3. Parametri signalov
Iz primerjave definicije skalarnega produkta zaporedja ali signala s samim
seboj in definicije Evklidske norme, na primer pri zaporedjih:
〈x,y〉 = ∑ N
x[n]y ∗ [n] = ∑ N
|x[n]| 2 ↔
(
‖x‖ 2 = ∑N |x[n]| 2)1 /2
, (3.10)
uvidimo povezavo
‖x‖ 2 = √ 〈x, x〉 . (3.11)
Torej skalarni produkt obstaja v normiranih prostorih z Evklidsko normo,
oziroma pravimo, da jo teh prostorih inducira.
Skalarni produkt mora izpolniti naslednje aksiome:
(i) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∗ (3.12a)
(ii) 〈α x + β y, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉 (3.12b)
(iii) 〈x, x〉 0 , 〈x, x〉 = 0 če in samo če x = 0 , (3.12c)
kjer so α,β ∈ C skalarji in 0 ničelni vektor.
Posplošitev skalarnega produkta
Splošna definicija skalarnega produkta vsebuje tudi utežno funkcijo ali utežno
matriko. Pri zveznih signalih x(t) in y(t) je v tem primeru skalarni produkt
definiran z:
∫
〈x, y〉 = g(t)x(t)y ∗ (t) dt , (3.13a)
T
kjer je g(t) realna utežna funkcija, za katero velja g(t) > 0, t ∈ T . Podobno
velja za zaporedja. Tu utežno funkcijo nadomesti utežna matrika. velja:
〈x, y〉 = x H Gy , x, y ∈ C N . (3.13b)
Matrika G mora biti realna, pozitivno definitna matrika. To pomeni, da velja
G H = G T = G in da so lastne vrednosti λ i večje od nič.
Matrična oblika skalarnega produkta
Skalarni produkt lahko zapišemo tudi v matrični obliki:
〈x, y〉 = x H y , (3.14)
kjer sta vektorja x in y vrstična vektorja. Z eksponentom H smo označili
transpozicijo vektorja in konjugacijo vektorja x. Vektor x H imenujemo tudi
Hermitski vektor, zanj velja x H = [x ∗ ] T .
Matrični zapis 3.14 je izhodišče za funkcije, ki jih imajo definirana orodja,
ki jih uporabljamo pri obdelavi signalov. Na primer, pri Matlabu.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.1 Signalni prostor 75
Evklidski prostor
Realni vektorski prostor, nad katerim je definiran skalarni produkt, imenujemo
Evklidski prostor.
Hilbertov prostor
Kompleksni vektorski prostor, nad katerim je definiran skalarni produkt, je
unitarni prostor. Poln, neskončno dimenzionalen unitarni prostor imenujemo
Hilbertov prostor.
Pomembne lastnosti Hilbertovega prostora so:
Cauchy-Schwarzova ali Bunjakovski-Schwarzova neenakost
enakost paralelograma:
‖x + y‖ 2 + ‖x − y‖ 2 = 2(‖x‖ 2 + ‖y‖ 2 ) . (3.15)
Ker je Hilbertov prostor podprostor Banachovega prostora, ima tudi vse lastnosti
Banachovega prostora.
David Hilbert (1862 – 1943) je deloval na področju geometrije. Po
Evklidu je imel nanjo največji vpliv. Sistematski študij aksiomov Evklidske
geometrije je Hilberta pripeljal k predlogu 21 takih aksiomov
in analizi njihovega pomena. Prispeval je na mnogih področjih matematike
in fizike.
3.1.7 Cauchy-Schwarzova neenakost
Med pomembnimi lastnostmi Hilbertovega prostora je Cauchy-Schwarzova
neenakost. Z njeno pomočjo lahko načrtujemo sisteme, ki maksimirajo razmerje
signal/šum. Glasi se:
DEFINICIJA 3.1.5 (Cauchy-Schwarzova neenakost)
Za vsak par elementov x in y prostora s skalarnim produktom velja relacija:
|〈x,y〉| 2 〈x,x〉〈y,y〉 . (3.16)
V (3.16) velja znak enakosti le, če sta x in y linearno odvisna signala, to je, če je en od
signalov mnogokratnik drugega.
datoteka: signal_A

76 3. Parametri signalov
DOKAZ 3.2
Veljavnost enačaja pri linearno odvisnih signalih enostavno dokažemo s substitucijo
x = αy ali y = αx, α ∈ C v (3.16). Na primer, pri x = αy dobimo:
|〈x,y〉| = |〈αy,y〉| = |α|〈y,y〉
= |α| ‖y‖ 2 2 = ‖αy‖ 2 ‖y‖ 2 = ‖x‖ 2 ‖y‖ 2 .
Veljavnost neenakosti pri linearno neodvisnih signalih dokažemo s signalom z = x +
αy. Z upoštevanjem aksiomov (3.12) izpeljimo:
0 〈z,z〉 = 〈x + αy,x + αy〉 = 〈x,x + α〉 + 〈αy,x + αy〉
= 〈x,x〉 + α ∗ 〈x,y〉 + α〈x,y〉 + αα ∗ 〈y,y〉 .
Zgornja izpeljava velja tudi v posebnem primeru, ko za skalar α upoštevamo:
α = − 〈x,y〉
〈y,y〉
, y ≠ 0 .
Sledi:
0 〈x,x〉 − 〈x,y〉∗ 〈x,y〉
〈y,y〉
Drugi in četrti člen se izničita, tako ostane:
− 〈x,y〉〈y,x〉
〈y,y〉
+ 〈x,y〉〈x,y〉∗ 〈y,y〉
〈y,y〉〈y,y〉
.
0 〈x,x〉 − 〈x,y〉〈y,x〉
〈y,y〉
= 〈x,x〉 − |〈x,y〉|2
〈y,y〉
, (3.17)
od koder dobimo:
|〈x,y〉| 2 〈x,x〉〈y,y〉 . (3.18)
Primerjava (3.18) s (3.11) in (3.16) potrdi veljavnost Cauchy-Schwarzove neenakosti.□
Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) je bil po izobrazbi gradbeni
inženir. Deloval ja na področju realne in kompleksne analize, teorije
permutacijskih grup. Raziskoval je konvergenco in divergenco neskončnih
vrst, diferencialne enačbe, determinate, verjetnost in matematično
fiziko.
Viktor Jakovlevič Bunjakovski (1804 – 1889) je deloval na področju
teorije števil, geometrije, mehanike in hidrostatike. Cauchy–
Schwartz neenakost je odkril 25 let pred Cauchyjem ali Schwarzom.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.1 Signalni prostor 77
Amandus Schwarz (1843 – 1921) je bil nemški matematik. Deloval
je na komformnih preslikavah polyhedral površin na sferične površine
in na problemih variacijskega računa.
3.1.8 Fizikalni pomen norm v l in L
Nekatere norme imajo tudi fizikalni pomen. Na primer, z normo ‖·‖ ∞ izračunamo
maksimalno ali tudi vršno vrednost signala (slika 3.5a). Zanjo vemo,
da je pri harmoničnih valovanjih enaka amplitudi valovanja. Z normo ‖·‖ 1
določimo površino, ki jo oklepa absolutna vrednost signala (slika 3.5b). Z njo
ocenjujemo zmožnost, oziroma jakost signala. Pokazali bomo, da primerjava
norme ‖·‖ 2 pokaže, da se ujemata ‖·‖ 2 2 in energija signala (slika 3.5c).
1
x
0
originalni signal
t
norma x
norma x 1
kvadrat norme x 2
1
|x|
0
maksimalna
vrednost
(a) ‖·‖ ∞ : vršna vrednost signala
t
1
|x|
0
površina =
jakost signala
(b) ‖·‖ 1 : jakost signala
t
površina =
1
|x| 2 energija signala
0
(c) ‖·‖ 2 2 : energija signala
t
Slika 3.5
Grafična predstavitev norm
Enako velja seveda tudi pri zaporedjih. Pri tem si pri normah ‖·‖ 1 in ‖·‖ 2
predstavljamo, da normi določata površino, ki bi jo določal signal stopničastega
poteka, kjer ploščina posamezne stopnice enaka vrednosti pripadajočega
podatka.
Norma ‖·‖ 1 ima velik pomen pri analizi signalov, saj z njo ocenimo, ali je
določeno zaporedje absolutno konvergenčno (in je zato možna njegova analiza)
oziroma, ali je določeni signal absolutno integrabilen in ga zato lahko
na primer razvijemo v Fourierovo vrsto, izračunamo srednjo vrednost signala
ali zaporedja in podobno.
datoteka: signal_A

78 3. Parametri signalov
3.2 Moč in energija signala
Poleg vršne vrednosti, jakosti signala in energije, so mnogokrat za opis značilnosti
signala potrebne tudi druge količine. Na primer, obstaja pomembna
družina signalov z neskončno energijo in končno povprečno močjo. Moč
pa je, kot se spomnimo iz fizike, enaka energiji v časovni enoti. Značilni
parametri signala so še gostota energije, povprečna moč, efektivna vrednost
in srednja vrednost signala.
Trenutna moč signala
Opazujmo kompleksni signal x(t) = a(t) + jb(t), kjer sta a(t) in b(t) realni
funkciji, ki opisujeta obliko signala. Njegova trenutna moč je definirana z:
p x (t) = [a(t)] 2 + [b(t)] 2 = |x(t)| 2 . (3.19)
Analogija definiciji v (3.19) je izračun električne moči na bremenu 1 Ω, ko
skozi breme teče tok enak x(t) (slika 3.6). S faktorizacijo (3.19):
[a(t)] 2 + [b(t)] 2 = [a(t) + jb(t)][a(t) − jb(t)]
lahko trenutno moč izrazimo s konjugirano kompleksnim parom:
p x (t) = x(t)x ∗ (t) = |x(t)| 2 . (3.20)
Podobno lahko izračunamo trenutno moč kompleksnega podatka:
p x [n] = x[n]x ∗ x[n] = |x[n]| 2 . (3.21)
Če sta podatek ali signal realna, je njuna trenutna moč enaka
p x = x 2 . (3.22)
Trenutna medsebojna moč dveh signalov
Imejmo dva kompleksna signala ali zaporedji x in y. Njihovo trenutno medsebojno
moč p xy oziroma p yx izračunamo z:
zaporedja
analogni signali
p xy [n] = x[n]y ∗ [n]
(3.23a)
p yx [n] = x ∗ [n]y[n] n ∈ Z . (3.23b)
p xy (t) = x(t)y ∗ (t)
(3.24a)
p yx (t) = x ∗ (t)y(t) , t ∈ R . (3.24b)
Tako za zvezne in kot za časovno diskretne signale velja zveza: p xy = p ∗ yx.
Če sta oba signala realna, seveda velja p xy = p yx = xy.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.2 Moč in energija signala 79
p(t) = p a (t) + p b (t)
i( t ) = x( t)
R = 1
p( t)
x( t)
a( t)
p t
a ( )
jb( t) pb ( t )
Slika 3.6
p b (t) = |b(t)| 2
p a (t) = |a(t)| 2
Grafični prikaz trenutne
moči kompleksnega
signala.
3.2.1 Energija in gostota energije
Energija E x kompleksnega signala x(t) je definirana z
∫ ∞
E x = x(t)x ∗ (t) dt . (3.25)
−∞
Integrand v (3.25) določa trenutno moč, zato lahko (3.25) zapišemo tudi v
obliki:
∫ ∞
E x = p x (t) dt (3.26)
−∞
Iz (3.26) sledi, da je trenutna moč enaka energiji na infinitezimalnem časovnem
intervalu v trenutku t, kar z drugimi besedami pomeni, da predstavlja
časovno gostoto energije. Podobno velja tudi za časovno diskretne signale
oziroma za zaporedja, le da tam trenutna moč predstavlja diferenco energije
med zaporednima diskretnima trenutkoma. S tega gledišča je E x celotna ali
totalna energija signala.
Desna stran (3.25) je enaka skalarnemu produktu 〈x(t),x(t)〉 in zato tudi
kvadratu Evklidske norme:
E x = 〈x(t),x(t)〉 = ( ‖x(t)‖ 2
) 2
. (3.27)
Predpostavimo, da imamo signal s konstantno gostoto energije. V tem primeru
iz (3.26) sledi, da je njegova celotna energija enaka p x ·T , kjer smo s T
označili interval, nad katerim je signal definiram. Takoj uvidimo, da je v primeru
neprehodnega signala energija neskončna, oziroma, da glede na (3.27)
zanj ne obstaja Evklidska norma ter zato prostor L 2 ne vsebuje tega signala.
Do enakega sklepa pridemo tudi za zaporedja z enakimi lastnostmi. Podobno
lahko ugotovimo za vsa zaporedja in signale, kjer se gostota signala periodično
spreminja – to pa se pri vseh periodičnih zaporedjih ali signalih. Vsi ti
so brez norme ‖·‖ 2 . Z drugimi besedami, zaporedja ali signali v prostorih l 2
in L 2 imajo končno energijo, zato jih imenujemo tudi energijski signali.
datoteka: signal_A

80 3. Parametri signalov
3.2.2 Močnostni signali
Moč je po svoji definiciji enaka energiji v časovni enoti. Pri zaporedjih in
signalih jo ločeno definiramo za prehodna in za neprehodna zaporedja in signale.
Pri prehodnih zaporedjih in signalih lahko izračunamo povprečno moč
na končnem intervalu:
DEFINICIJA 3.2.1 (moč prehodnega zaporedja)
Moč P x (N) zaporedja N, 0 < N < ∞, podatkov je enaka
povprečni energiji v tem intervalu:
P x (N) = 1 N ∑ ∣
∣
N x[n] 2 1 =
N ∑ N x[n]x∗ [n]
oziroma izraženo s skalarnim produktom ali Evklidsko
normo:
= 1 T 〈x[n],x[n]〉 = 1 T
(
‖x[n]‖ 2
) 2
DEFINICIJA 3.2.2 (moč prehodnega signala)
Moč P x (T ) signala nad intervalom T , 0 < T < ∞, je
enaka povprečni energiji v tem intervalu:
P x = 1 T
∫
T
∣ x(t)
∣ ∣
2 dt =
1
T
∫
T
x(t)x ∗ (t) dt
oziroma izraženo s skalarnim produktom ali Evklidsko
normo:
= 1 T 〈x(t),x(t)〉 = 1 T
(
‖x(t)‖ 2
) 2
Pri neprehodnih zaporedjih ali signalih je interval neskončno velik, zato moč
signala definiramo z:
DEFINICIJA 3.2.3 (močnostno zaporedje)
Neprehodno zaporedje z neskončno energijo je močnostno
zaporedje, če velja 0 < P x < ∞ in
P x = lim
N→∞
= lim
N→∞
1
N ∑ ∣
∣
N x[n] 2
1
N ∑ N x[n]x∗ [n] , n ∈ Z
DEFINICIJA 3.2.4 (močnostni signal)
Neprehodni signal z neskončno energijo je močnostni
signal, če velja 0 < P x < ∞ in
P x = lim
∫
1
T →∞ T
= lim
∫
1
T →∞ T
T
T
∣
∣x(t) ∣ ∣ 2 dt
x(t)x ∗ (t) dt , t ∈ R
Iz definicij 3.2.3 in 3.2.4 sledi, da za neprehodne signale s končno energijo ne
moremo definirati (povprečne) moči – rezultat deljenja končno velike energije
z neskončno velikim intervalom je nič.
Pri neprehodnih signalih lahko moč določimo le za signale, katerim energija
narašča sorazmerno z naraščanjem intervala. Ker imajo neskončno energijo
in končno moč, jih imenujemo močnostna zaporedja oziroma močnostni
signali. Primer močnostnih signalov so periodični signali z omejeno amplitudo.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.2 Moč in energija signala 81
ZGLED 3.2.1 (močnostni signal)
Preverimo, ali je signal x(t) = 1 močnostni signal.
REŠITEV: Energijo x(t) izračunamo z (3.25):
∫ ∞
∫ ∞
E x = |x(t)| 2 dt = 1 dt = 1·t−∞ ∞ = lim
−∞
−∞
T →∞ T .
Moč izračunamo z definicijo 3.2.4:
E x
P x = lim = lim
T →∞ T T →∞
T
T = 1 .
Torej je signal x(t) = 1 močnostni signal.
♦
ZGLED 3.2.2 (energija in moč signala k)
Izračunajmo energijo in moč elementarnega signala x(t) = k. Njegova definicija je
(??):
{
t t 0
k =
0 sicer
Energija tega signala je enaka:
∫ ∞ ∫ ∞
E x = k 2 dt = t 2 T 3
dt = lim
−∞
0
T →∞ 3
,
za moč pa velja:
E x
P x = lim = lim
T →∞ T T →∞
T 3
3T = lim
T →∞
T 2
3 → ∞ .
Torej signal x(t) = k ni ne energijski ne močnostni signal. To uvidimo tudi iz tega, da
ta signal ni omejen, njegova norma ‖·‖ ∞ ne obstaja.
♦
3.2.3 Pretok energije in moči
Povprečni pretok energije med dvema zaporedjima izračunamo z:
E xy = ∑ N
x[n]y ∗ [n] = 〈x[n],y ∗ [n]〉
(3.28a)
oziroma
E yx = ∑ N
x ∗ [n]y[n] = 〈x ∗ [n],y[n]〉
(3.28b)
kjer velja E xy = Eyx ∗ . Pri realnih signalih se gornja obrazca poenostavita v
E xy = ∑ N
x[n]y[n] = ∑ N
y[n]x[n] = E yx = 〈x[n],y[n]〉
(3.28c)
datoteka: signal_A

82 3. Parametri signalov
Izračun energije s skalarnim produktom kaže na to, da je pretok energije odvisem
od medsebojne lege vektorjev, ki ponazarjajo x[n] in y[n]. Če sta vektorja
koplanarna, je pretok energije maksimalen, če pa sta pravokotna drug na
drugega – torej ortogonalna – med njima ni pretoka energije. To lastnost skalarnega
produkta izkoriščamo pri testu medsebojne ortogonalnosti zaporedij
ali signalov.
Pri signalih energijo izračunamo podobno kot pri zaporedjih, le seštevanje
nadomestimo z integriranjem:
∫
E xy = x(t)y ∗ (t) dt = 〈x(t),y ∗ (t)〉
(3.29a)
T
oziroma
∫
E yx = x ∗ (t)y(t) dt = 〈x ∗ (t),y(t)〉
T
(3.29b)
kjer velja E xy = E ∗ yx. Pri realnih signalih se gornja obrazca poenostavita v:
∫
E xy =
∫
=
T
T
x(t)y(t) dt
y(t)x(t) dt = E yx = 〈x(t),y(t)〉
(3.29c)
Medsebojno so lahko ortogonalna tudi neprehodna zaporedja in signali, ki
imajo neskončno energijo. Pri njih test ortogonalnosti naredimo z izračunom
pretoka moči med močnostnima zaporedjima oziroma močnostnima signaloma.
Pri kompleksnih zaporedjih in signalih velja:
P xy = lim
N→∞
P yx = lim
N→∞
1
N ∑ N x[n]y∗ [n]
1
N ∑ N x∗ [n]y[n]
P xy = P ∗ yx
(3.30a)
(3.30b)
(3.30c)
kjer je P xy = P yx = 0, kadar sta x in y medsebojno ortogonalna: x⊥y.
3.2.4 Efektivna vrednost signala
Efektivno vrednost signala bomo označili z x rms . Pri oznaki smo si indeks
izposodili pri angleški kratici za root mean square, ki ubeseduje definicijo za
efektivno vrednost:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.3 Povprečna vrednost 83
3.2.5 (efektivna vrednost zaporedja)
√
1
x rms = lim
N→∞
N ∑ N |x[n]| 2 (3.31)
= √ P x , n ∈ Z .
DEFINICIJA 3.2.6 (efektivna vrednost signala)
√
1 ∫
x rms = lim
T →∞
T T |x(t)|2 dt (3.32)
= √ P x , t ∈ R .
Iz definicije sledi, da je efektivna vrednost signala tista srednja vrednost, katere
kvadrat da (povprečno) moč signala. Efektivna vrednost signala je enako
kot moč vedno večja od nič.
3.3 Povprečna vrednost
Povprečna vrednost zaporedja ali signala bomo označili z x[n] oziroma x(t).
Na intervalu N je definirana z:
x(t) = 1 ∫
x(t) dt (3.33)
T
oziroma na intervalu T
T
x[n] = 1 N ∑ x[n] . (3.34)
N
Če je definicijsko območje neskončno veliko, pri izračunu povprečne vrednosti
signala v zgornjih enačbah uporabimo limitni postopek, podobno kot pri
izračunu povprečne moči.
Matematično gledano, povprečna vrednost zveznega signala na nekem intervalu
je enaka povprečni vrednosti določenega integrala. Zanjo velja prvi
izrek o povprečni vrednosti:
IZREK 3.1 (Prvi izrek o povprečni vrednosti)
Naj bo funkcija x(t) na intervalu [a,b] zvezna, potem znotraj intervala obstaja vsaj eno
število ξ , za katerega velja:
∫ b
x(t) dt = (b − a)x(ξ ) . (3.35)
a
Geometrijska interpretacija je naslednja: med točkama a in b (ki omejujeta
definicijski interval) obstaja točka ξ , v kateri je vrednost funkcije x takšna,
da je njen zmnožek z definicijskim intervalom enak ploščini, ki jo določa
x(t) nad tem intervalom (slika 3.7). Z drugimi besedami, v tej točki signal
zavzeme svojo srednjo vrednost.
datoteka: signal_A

84 3. Parametri signalov
Slika 3.7
Povprečna vrednost signala – enaka je višini
pravokotnika z dolžino (a,b) in ploščino
enako vrednosti (3.35).
x( t)
x( )
z
b
x ( t ) dt
a
( b a) x( )
a
b
t
3.4 Pretok energije
Pretok energije med dvema signaloma lahko izračunamo tudi z drugim izrekom
o povprečni vrednosti [5]. Glasi se:
IZREK 3.2 (Drugi izrek o povprečni vrednosti)
Če je funkcija x(t) na intervalu (a,b) omejena in monotona, funkcija y(t) pa je omejena,
integrabilna in ima končno število menjav predznaka, potem velja:
∫ b
a
∫ ξ
∫ b
y(t)x(t) dt = x(a + 0) y(t) dt + x(b − 0) y(t) dt ,
a
ξ
kjer za ξ velja a ξ b, vrednosti x(a+0) ter x(b−0) pa določa desna limita funkcije
x(t) v točki a, oziroma leva limita v točki b:
x(a + 0) = lim x(a + ∆t) , x(b − 0) = lim x(b − ∆t) .
∆t→0
∆t>0
∆t→0
∆t>0
Drugi izrek o povprečni vrednosti imenujejo tudi posplošeni izrek o povprečni
vrednosti. Pomemben je pri dokazovanju veljavnosti Dirichletovega
integrala [5], oziroma izračunu vrednosti inverzne Fourierove transformacije
v točkah nezveznosti signala [5, 22]. Dokaz izreka najdemo tudi v [23].
3.5 Informacijski parametri
Norme in z njimi povezane lastnosti signalov kot so vršna vrednost, energija,
moč, sumabilnost in integrabilnost in druge, ki jih bomo spoznali pri
harmonski analizi zaporedij in signalov, uporabljamo predvsem za razvrščanje
zaporedij in signalov, oziroma za ocenjevanje njihovih lastnosti. To so
seveda pomembni parametri, ki jih potrebujemo pri načrtovanju različnih sistemov
za obdelavo in detekcijo signalov, pa tudi v drugih področjih znanosti
in tehnike.
Druga pomembna družina parametrov pa so parametri, ki določajo potek
zaporedij in signalov. V potekih so vtisnjene “informacije”, ki jih signali
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

3.5 Informacijski parametri 85
Tabela 3.1
Primeri informacijskega parametra ar v signalu.
tip časovno zvezni signali časovno diskretni signali
x ( t )
x ( t )
a r
a r
x ( t )
t
x ( t )
a r
t
a r
ar: vrednost signala
ar: faza signala
t
a r
zvezni ar
x ( t )
x ( t )
ar: višina pravokotnih pulzov
ar: širina pravokotnih pulzov
t
a r
analogni signali
ar: frekvenca signala
ar: položaj pravokotnih pulzov
t
T T T
t
x ( t )
x ( t )
a r ar: M diskretnih nivojev
kvantizirani ar
M-terni
x ( t )
t
a r ar: dva diskretna nivoja
T T
a r
t
ar: M diskretnih amplitud pulzov
binarni
t
x ( t )
a r
100101 100100011
ar: binarna kodna beseda
T T T
t
datoteka: signal_A

86 3. Parametri signalov
nosijo, imenujemo te parametre informacijski parametri in ga v splošnem
označimo z a r . Izbira informacijskega parametra je odvisna od vrste signala.
Na primer, harmonični signal
x(t) = Acos(ω i t + ϕ i ) (3.36)
določajo parametri: amplituda A, krožna frekvenca ω i in začetni fazni kot ϕ i .
Če so ti parametri konstante, potem signal ne prenaša nobene informacije. Da
ta signal prenaša informacijo, mora biti vsaj eden izmed teh parametrov odvisen
od informacije, ki jo signal prenaša. Informacijski parametri v signalu
(3.36) so lahko
a r = A(t) , a r = ω i (t) , a r = ϕ i (t) , (3.37)
ali katerakoli njihova kombinacija. Pri zaporedjih in signalih, kjer ne moremo
definirati frekvence ponavljanja in faze, je informacijski parameter lahko le
trenutna vrednost zaporedja oziroma signala. Pri diskretnih signalih so informacijski
parametri kvantizirane trenutne vrednosti, širine pulzov, fazni zamik
med pulti, frekvenca pulzov in njihove kombinacije (tabela 3.1).
Postopek vnašanja podatkov v signal, imenujemo modulacija ali kodiranje.
Iz signalov jih izvlečemo z inverznimi postopki, ki jih imenujemo demodulacije
ali dekodiranje. S temi postopki se ukvarja komunikacijska tehnika.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

4
Korelacija
P
RI
OPISU SIGNALOV nas mnogokrat zanima podobnost med dvema
signaloma ali zbirkama podatkov. Primerjavo med njimi lahko izvedemo
s korelacijo. Korelacijo uporabljamo v mnogih področjih
znanosti, tehnike, ekonomije itd. Na primer pri obdelavi slike računalniškega
vida, daljinskem opazovanju s satelitov, kjer primerjamo različne slike; potem
v radarskih in sonarskih sistemih, kjer s korelacijo oddanega in odbitega
signala določamo oddaljenost in smer opazovanih objektov; pri detekciji in
identifikaciji signalov v šumu, v regulacijah, kjer lahko s korelacijo vhodnega
in izhodnega signala opazujemo učinek sistema na signal. Uporabljamo jo
tudi v detekciji signalov.
Korelacijo bomo označevali s črko r. Ločimo:
križno korelacijo r xy , ki primerja signal x s signalom y,
avtokorelacijo r xx , ki primerja signal x s samim seboj.
Korelacija je funkcija argumenta τ pri signalih oziroma argumenta m pri zaporedjih:
r xy (τ), r xy [m]. S tema argumentoma označimo premik med signaloma,
oziroma med zaporedjima, ko se vrši primerjava.
4.1 Zamisel
Korelacijo izpeljemo iz skalarnega produkta. Njegovo uporabnost v ugotavljanju
podobnosti signalov smo pokazali že na primeru detekcije signalov
(razdelek 2.10.5 na strani 58). Ugotovili smo, da je iznos skalarnega produkta
odvisen od podobnosti signalov. Zato lahko sklepamo, da skalarni produkt
〈x,y〉 = ∑ N
x[n]y[n] ,
87

88 4. Korelacija
kjer sta zaporedji x[n] in y[n] z N elementi nastajali sočasno in zajemali svoje
vrednosti iz R, z večanjem N:
1. teži proti nič, če so elementi v x[n] in y[n] naključni in medsebojno
neodvisni;
2. teži k pozitivni vrednosti, če so si elementi x[n] in y[n] podobni;
3. teži k negativni vrednosti, če so si elementi x[n] in y[n] podobni, vendar
prevladujejo nasprotni predznaki.
Iste ugotovitve veljajo tudi za zvezne signale. Poleg naštetih zaključkov je
pomembna še ugotovitev: vrednost skalarnega produkta je odvisna od števila
elementov zaporedja oziroma od velikosti definicijskega območja signala. To
pri primerjavi podobnosti povzroča anomalijo, ki jo lahko odstranimo z normalizacijo
glede na število elementov – rezultat delimo s številom elementov:
〈x,y〉 = 1 N ∑ N x[n]y[n] ,
vendar lahko ta normalizacija, ko N narašča čez vse meje, da rezultat, ki –
ne glede na medsebojno podobnost x[n] in y[n] – upada proti nič. Z drugimi
besedami, ta normalizacija – to je povprečenje – pride v poštev samo pri
močnostnih signalih oziroma zaporedjih, pri energijskih pa ne.
Za signala, ki ju kaže slika 4.1, s skalarnim produktom ne odkrijemo njune
podobnosti, čeprav zanju velja x[n] = y[n−M]. Skalarni produkt narisanih signalov
je enak nič. Če pa pričnemo enega od signalov premikati, se vrednost
skalarnega produkta prične večati, dokler pri premiku m enakemu M ne doseže
maksimuma. Pri nadaljnjem premiku se skalarni produkt spet zmanjša
(dokler pri m = 2M spet postane enak nič). Proces premikanja in računanja
skalarnega produkta pri zaporedjih opišemo z:
〈x[n],y[n − m]〉 = ∑ N
x[n]y[n − m]
in ga imenujemo korelacija. Obstaja tudi pri analognih signalih.
x[ n]
Slika 4.1
M
n
y[ n]
n
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

4.2 Korelacija aperiodičnih zaporedij in signalov 89
4.1.1 Korelacijska funkcija
Opisani proces rodi zaporedje skalarnih produktov, ki jo imenujemo korelacijska
funkcija oziroma na kratko korelacija. Velja:
pri zaporedjih in:
pri analognih signalih.
r xy [m] = 〈x[n],y[n − m]〉 , m,n ∈ Z (4.1a)
r xy (τ) = 〈x(t),y(t − τ)〉 , τ,t ∈ R . (4.1b)
4.1.2 Lastnosti
Osnova korelacije je skalarni produkt, zato zanjo veljajo vse lastnosti skalarnega
produkta. Obstaja v Evklidovem, unitarnem in Hilbertovem prostoru.
Izmed teh lastnosti je pomembna homogenost:
r x(αy) [m] = 〈x[n],αy[n + m]〉
= α〈x[n],y[n + m]〉
= α r xy [m] .
(4.2)
Če signala x in y skaliramo, se ustrezno skalira tudi korelacija. Ta lastnost
onemogoča medsebojno primerjavo korelacij, saj je iznos korelacij odvisna
od amplitud signalov.
Naslednja pomembna lastnost je:
r xy [m] = r yx [−m] , (4.3)
pri realnih signalih in:
r xy [m] = r ∗ yx[−m] , (4.4)
pri kompleksnih signalih.
4.2 Korelacija aperiodičnih zaporedij in signalov
Pri aperiodičnih zaporedjih in signalih definiramo korelacijo z (4.1). Običajni
zapis definicije korelacije pri realnih zaporedjih in funkcijah je naslednji:
datoteka: signal_A

90 4. Korelacija
DEFINICIJA 4.2.1
Za realni, aperiodični zaporedji x[n] in y[n], n ∈ Z je
križna korelacija definirana z:
r xy [m] =
in avtokorelacija z:
r xx [m] =
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
x[n]y[n + m] (4.5)
x[n]x[n + m] , (4.6)
kjer je m ∈ Z trenutni premik med signaloma. Korelaciji
obstajata, če imata zaporedji x[n] in y[n] normo ‖·‖ 1 :
‖x[n]‖ 1 < ∞ in ‖y[n]‖ 1 < ∞.
DEFINICIJA 4.2.2
Za realna, aperiodična signala x(t) in y(t), t ∈ R je
križna korelacija definirana z:
∫ ∞
r xy (τ) = x(t)y(t + τ) dt (4.7)
−∞
in avtokorelacija z:
∫ ∞
r xx (τ) = x(t)x(t + τ) dt , (4.8)
−∞
kjer je τ ∈ R trenutni premik med signaloma. Korelaciji
obstajata, če imata signala x(t) in y(t) normo ‖·‖ 1 :
‖x(t)‖ 1 < ∞ in ‖y(t)‖ 1 < ∞.
in pri kompleksnih zaporedjih ter funkcijah:
DEFINICIJA 4.2.3
Za kompleksni, aperiodični zaporedji x[n] in y[n], n ∈ Z
je križna korelacija definirana z:
r xy [m] =
r xx [m] =
kjer je m ∈ Z.
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
x[n]y ∗ [n + m] (4.9)
x[n]x ∗ [n + m] . (4.10)
DEFINICIJA 4.2.4
Za kompleksna, aperiodična signala x(t) in y(t), t ∈ R
je križna korelacija definirana z:
∫ ∞
r xy (τ) = x(t)y ∗ (t + τ) dt (4.11)
−∞
∫ ∞
r xx (τ) = x(t)x ∗ (t + τ) dt , (4.12)
−∞
kjer je τ ∈ R.
Obrazci (4.5) – (4.12) imajo končno vrednost le, če za zaporedja in signale,
ki v njih nastopajo, obstaja norma ‖·‖ 2 . To lahko pri zaporedjih določimo pri
m = 0, pri signalih pa pri τ = 0 – glej razdelek 4.4 na naslednji strani.
4.3 Korelacija periodičnih signalov
Periodični signali nimajo, tudi pri obstoju norme ‖·‖ ∞ , norme ‖·‖ 2 . Zato
ne izpolnjujejo pogoja za izračun korelacije z obrazci (4.5) – (4.12). Za te
signale pa lahko izračunamo moč. Ta je, kot vemo, enaka povprečni vrednosti
energije zaporedja ali signala. Iz tega sklepamo, da za ta zaporedja in signale
obstoji tudi povprečna vrednost korelacije. Definirana je z:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

☞
4.4 Računanje energije in moči s korelacijo 91
DEFINICIJA 4.3.1
Križna korelacija realnih periodičnih zaporedij x[n] in
y[n], n ∈ Z z enako periodo in številom elementov na
periodo je definirana z:
r xy [m] = 1 N ∑ x[n]y[n + m] , (4.13)
N
kjer je m ∈ Z. Za avtokorelacijo pa velja:
r xx [m] = 1 N ∑ x[n]x[n + m] . (4.14)
N
Pri kompleksnih zaporedjih mora biti eno od zaporedij
konjugirano kompleksno.
DEFINICIJA 4.3.2
Križna korelacija realnih periodičnih signalov x(t) in
y(t), t ∈ R z enako periodo T je definirana z:
r xy (τ) = 1 T
∫
T
x(t)y(t + τ) dt . (4.15)
kjer je τ ∈ R. Za avtokorelacijo pa velja:
r xx (τ) = 1 T
∫
T
x(t)x(t + τ) dt . (4.16)
Pri kompleksnih signalih mora biti eden od signalov konjugirano
kompleksen.
Povprečna korelacija 1 periodičnih signalov je tudi periodična in ima isto periodo,
kot jo imata signala. Zato zadostuje, da jo izračunamo le preko ene
periode. Zaradi robnega efekta, opisan je v razdelku 4.5 na naslednji strani,
ponavadi uporabimo nekajkrat daljša zaporedja oziroma signale.
Periodičnost korelacijske funkcije izkoriščamo pri iskanju periodičnih komponent
v signalih, pri katerih to ni očitno (na primer pri vsoti naključnega in
periodičnega signala, ko ima naključni signal večji amplitudni razmah kot
periodični signal).
4.4 Računanje energije in moči s korelacijo
Pri m = 0 oziroma τ = 0 je avtokorelacija enaka:
r xx (0) = 〈x,x〉 = E x
r xx (0) = 〈x,x〉 = P x
(aperiodični signali)
(periodični signali)
in pri aperiodičnih zaporedjih ter signalih določa energijo, pri periodičnih
zaporedjih in signalih pa moč. Preko njiju uvidimo povezanost avtokorelacije
z normo ‖·‖ 2 . Ta določa maksimalno vrednost avtokorelacije.
1 Nekateri avtorji korelacijo periodičnih signalov ne označujejo kot povprečno vrednost,
ampak za isto oznako uporabljajo dve definiciji, na primer pri analognih signalih:
∫
r xy (τ) = x(t)y(t + τ) dt
(aperiodični signal)
T
r xy (τ) = 1 ∫
x(t)y(t + τ) dt . (periodični signal)
T
T
Katera od definicij je mišljena, bi se naj razumelo iz konteksta uporabe.
datoteka: signal_A

92 4. Korelacija
4.5 Robni efekt
Robni efekt nastane pri računanju korelacije signalov omejene dolžine, ko
elementi nimajo več svojega primerjalnega para in so zato izpuščeni iz računanja
korelacije. Posledica je linearno upadanje r xy . Pojasnimo pojav s
preprostim primerom. Na primer, želimo primerjati povprečno dnevno temperaturo
meseca julija v dveh zaporednih letih. Iz letnih meritev vzamemo
izsek za ta mesec. Pri računanju korelacije pri vsakem premiku za en dan
dva dneva nimata svojega para v računanju korelacije. Zato ima trend korelacije
upadanje, čeprav so na primer bile temperature iz začetka prvega meseca
podobne temperaturam na koncu drugega meseca!
4.5.1 Minimizacija robnega efekta
z dodajanjem popravka
Robni efekt lahko zmanjšamo ali celo odstranimo z dodajanjem popravka.
Tega izračunamo na osnovi naslednjega premisleka. Predpostavimo, da imata
zaporedji x[n] in y[n] enako dolžino ter vse svoje vrednosti enake. V tem primeru
dobimo zaradi robnega efekta linearno upadanje r xy [m] od vrednosti
r xy [0], ko upoštevamo vse pare elementov do vrednosti r xy [m = N] = 0, N
je število elementov v signalu, ko se zaporedji več ne prekrivata (slika 4.2).
Vmes, na primer pri premiku za m, 0 < m < N, je prava vrednost korela-
r xy [0]
r xy [ m pravi
Slika 4.2
Robni efekt.
r xy[ m ]
r xy [ m
m
N
cije r xy [m] pravi , izračunana r xy [m] pa je zaradi robnega efekta – sorazmerno s
premikom – manjša.
Robni efekt ilustrira slika 4.2. Iz nje sledi:
r xy [m] pravi − r xy [m]
m
oziroma je prava vrednost korelacije
= r xy[0]
N
,
r xy [m] pravi = r xy [m] + m N r xy[0] . (4.17)
Z besedami, pravo vrednost korelacije dobimo tako, da izračunani vrednosti
prištejemo popravek r xy [0]m/N.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

4.5 Robni efekt 93
4.5.2 Minimizacija robnega efekta
s podaljšanjem signala
Vpliv robnega efekta lahko zmanjšamo tudi s podaljšanjem dolžine enega
od signalov. Pri periodičnem signalu je to enostavno doseči s ponavljanjem
zapisa. Vprašanje pa je, za koliko moramo podaljšati zapis, da bo napaka v
izračunu korelacije zaradi robnega efekta sprejemljivo majhna.
Ocenimo pogrešek avtokorelacije zaradi robnega efekta pri zveznem signalu
Asinωt.
r xx (τ) = lim
1
T →∞ T
A 2
= lim
T →∞ 2
∫ T /2
−T /2
Asin(ωt)Asin(ωt + τ) dt
[
cos(ωτ) − cos(ωT )
2ωT sin(ωτ) ]
. (4.18)
Vidimo, da avtokorelacijsko funkcijo sestavljata na dva člena:
1. člen cosωτ, ki je neodvisen od dolžine izseka T signala – sklepamo,
da opisuje pravi potek avtokorelacije;
2. člen (cosωT /2ωT )sinωτ, ki je odvisen od dolžine izseka T – sklepamo,
da opisuje pogrešek zaradi robnega efekta.
Res, amplituda pogreška upada z naraščanjem T in postane nič pri T → ∞,
tako kot pričakujemo od pogreška zaradi robnega efekta. Poleg tega pa pri
tem signalu pogrešek niha s cos(ωT ) in sin(ωτ). Zato je, ko sta T in τ
ustrezen mnogokratnik periode signala T p , enak nič. Pri cos(ωT ) se to zgodi
pri: ωT = (2 j + 1)π/2, oziroma, ker je ω = 2π/T p , T p je perioda signala,
pri:
T = (2 j + 1) T p
, j = 1,2,... . (4.19)
4
Podobno pri sin(ωτ). Ta je nič, ko velja ωτ = kπ, oziroma:
τ = k 2 T p , k = 1,2,... . (4.20)
S kombinacijo (4.19) in (4.20) izračunamo razmerje τ in T , ko je pogrešek
lahko nič. Minimalno razmerje je pri j = k = 1:
τ/T = 1/3 , min{T } = 3T p , (4.21)
vendar to zahteva dobro sinhronizacijo signala z lego izseka, ki ga upoštevamo
v korelaciji. Na tako kratkem izseku je to v praksi težko doseči, zato je
običajna vrednost razmerja τ/T 1/5.
datoteka: signal_A

94 4. Korelacija
4.6 Korelacijski koeficient
V opisu lastnosti korelacij (razdelek 4.1.2 na strani 89) smo zapisali, da lastnost
homogenosti onemogoča medsebojno primerjavo korelacij.
ZGLED 4.6.1 (Primerjava korelacij skaliranih signalov)
Primerjamo korelaciji zaporedij x 1 [n] in y 1 [n] ter x 2 [n] in y 2 [n] (slika 4.3).
Slika 4.3
x1[ n] x2[ n]
3
2
1
0
0
y1[ n] y2[ n]
2
2
1
0
0
n
n
3
2
1
0
1
0
0
0
n
n
r xy1 [m] =
REŠITEV: Iz slike 4.3 vidimo, da sta signala x 2 [n] in y 2 [n] z α = 2 pomnožena signala
y 1 [n] in y 2 [n]. Iz lastnosti homogenosti skalarnega produkta sklepamo, da je tudi korelacija
homogena ter da se bosta zato korelaciji obeh zaporedij razlikovali. To potrdimo
z naslednjim izračunom:
4
∑
n=−4
x 1 [n]y[n + m] , m = −8,−7,...,−1,0,1,...,8 .
oziroma
r xy1 [−8] = 0·1 + 0,5·0 + 1·0 + 1,5·0 + 2·0 + 1,5·0 + 1·0 + 0,5·0 + 0·0 = 0,0
r xy1 [−7] = 0·1 + 0,5·1 + 1·0 + 1,5·0 + 2·0 + 1,5·0 + 1·0 + 0,5·0 + 0·0 = 0,5
r xy1 [−6] = 0·1 + 0,5·1 + 1·1 + 1,5·0 + 2·0 + 1,5·0 + 1·0 + 0,5·0 + 0·0 = 1,5
.
Že po teh nekaj izračunih se prepričamo, da je računanje še tako preproste korelacije
zamudno delo. Zato danes, v dobi računalnikov, to delo prepuščamo njim:
Matlab: izračun korelacije
tukaj bo
kopija matlab programa
Rezultati računanja obeh korelacij so v tabeli 4.1 in prikazani na sliki 4.4. Rezultati
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

4.6 Korelacijski koeficient 95
Tabela 4.1
Rezultat izračuna korelacije
m -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
r xy1 [m] 0 0,5 1,5 3 5 6,5 7,5 8 8 8 7,5 6,5 5 3 1,5 0,5 0
r xy2 [m] 0 2 6 12 20 26 30 32 32 32 30 26 20 12 6 2 0
r xy2 /r xy1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
xy [ ]
r n
8 32
6 24
0 0
0 m
0
xy [ ]
r n
4 16
2 8
1
2
m
Slika 4.4
Potek korelacijske funkcije
v tabeli potrjujejo lastnost homogenosti korelacije. Vidimo, da velja r xy2 [m] = 4r xy1 [m],
čeprav sta si signala x 2 in y 2 enako podobna kot sta si signala x 1 in y 1 . To smo na sliki
poudarili z ustrezno izbiro merila na ordinati.
♦
Anomalije v primerjavi korelacij odpravimo z normalizacijo, ki amplitudni
razmah korelacij omeji na interval (-1,1). Iz normiranja skalarnega produkta
(razdelek 2.10.4 na strani 57) vemo, da amplitudni razmah skalarnega
produkta omejimo na to območje, če ga delimo s produktom Evklidskih norm
signalov:
(2.51): − 1 〈x,y〉
‖x‖ 2 ‖y‖ 2
1
Ker smo korelacijo izpeljali iz skalarnega produkta, lahko tudi korelaciji priredimo
ekvivalento normalizacijo:
ρ xy =
r xy
‖x‖ 2 ‖y‖ 2
(4.22)
datoteka: signal_A

96 4. Korelacija
za katero velja:
− 1 ρ xy 1 . (4.23)
ρ xy [m] imenujemo tudi korelacijski koeficient. V literaturi, na primer [17], ga
najdemo pogosto zapisanega v (ekvivalentni) obliki:
ρ xy [m] =
[
N−1
∑
n=0
oziroma pri povprečni korelaciji r xy :
ρ xy [m] =
1
N
[
N−1
∑
n=0
r xy [m]
x 2 N−1
[n]
∑
n=0
r xy [m]
y 2 [n]
x 2 N−1
[n]
∑
n=0
] 1/2
, (4.24a)
y 2 [n]
] 1/2
(4.24b)
Vrednost korelacijskega koeficienta +1 pomeni popolno ujemanje zaporedij,
−1 da sta si zaporedji enaki, vendar je drugo zaporedje nasprotnega predznaka.
Vrednost 0 pomeni, da sta zaporedji medsebojno neodvisni.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5
Opis determinističnih
signalov z osnovnimi
funkcijami
ZA KVANTITATIVNI OPIS SIGNALOV je potrebno, da jih opišemo z funkcijami.
Če imajo signali časovni potek, so to časovne funkcije. Signale
lahko opišemo na več načinov. Izbira določenega opisa je odvisna
od tega, kaj želimo poudariti. Na primer, da je opis primeren za matematično
obdelavo, da ga je mogoče vizualno prikazati, ali pa, da je primeren
za določeno uporabo.
Nekatere signale je možno opisati z odseki premic. Ta opis je primeren
le za signale, ki imajo odsekoma linearni potek. Glavna pomanjkljivost tega
zapisa je, da z eno premico opišemo le segment signala, ne pa ves signal. Zaradi
tega se oziramo za funkcijami, ki zmorejo opisati signal na vsej signalni
osi.
Za lažjo matematično obdelavo ponavadi zahtevamo, da signal x(t) ponazorimo
z vrsto elementarnih funkcij. Te funkcije glede na to, da jih uporabljamo
kot ”gradnike”, s katerimi sestavimo signale, imenujemo tudi osnovne
ali bazne funkcije. Bazne funkcije izbiramo tako, da imajo želene lastnosti,
na primer neodvisno izračunljivost vsake elementarne funkcije, invariantnost
na odvajanje itd.
97

98 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
5.1 Matematični opis sestavljenih signalov
Pri predstavitvi elementarnih signalov smo prvič zapisali funkcije, ki opišejo
signal. V tem razdelku bomo nekatere od teh opisov razširili na sestavljene
signale. Tehniko, ki jo bomo uporabili, pojasnuje naslednji zgled.
ZGLED 5.1.1 (Opis signala z linearnimi funkcijami)
Narišimo graf signala:
x(t) = 3u(t) +t ·u(t) − (t − 1)·u(t − 1) − 5u(t − 2) . (5.1)
Grafe členov (5.1) kaže slika 5.1a, graf signala pa slika 5.1b.
x( t)
a
4
2
0
3 u( t)
tu( t)
( t ) u( t )
-2
Slika 5.1
Primer konstrukcije grafa
signala, a: sestavine
signala, b: signal.
-4
0
1
2
5 u( t )
3
4
t
x( t)
4
2
b
0
-2
0
1
2
3
4
t
REŠITEV:
Posamezne člene x(t) v (5.1) določajo funkcije:
{
3 t 0
3u(t) =
0 t < 0
{
−(t − 1) t 1
−(t − 1)·u(t − 1) =
0 t < 1
{
t t 0
t ·u(t) =
0 t < 0
{
−5 t 2
−5u(t − 2) =
0 t < 2
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.1 Matematični opis sestavljenih signalov 99
Z njimi lahko opišemo x(t) po segmentih ali kot vsoto teh segmentov:
⎧
0 + 0 − 0 − 0 = 0 t < 0
⎪⎨ 3 +t − 0 − 0 = 3 +t 0 < t 1
x(t) =
3 +t − (t − 1) − 0 = 4 1 < t 2
⎪⎩
3 +t − (t − 1) − 5 = −1 2 t
Vidimo, da se dobljeni zapis signala ujema z grafom na sliki 5.1b. Opisali smo ga z
odseki premic.
♦
Premico, ki gre skozi točko T 1 (t 1 ,x 1 ) in oklepa s pozitivno smerjo osi t
kot ϕ (slika 5.2), določa enačba:
x − x 1 = k ·(t −t 1 ) kjer je k = tanϕ . (5.2)
Strmino premice izračunamo z izbiro dveh točk na premici, na primer T 1 (t 1 ,x)
in T 0 (x 0 ,t 0 ):
k = x − x 0
t 1 −t 0
. (5.3)
Tehniko pisanja enačb za funkcije, ki jih sestavljajo odseki premic, bomo
x( t)
x 1
T0( t 0,x0)
x 0
t 0
T1( t 1,x1)
x x
, tan
k
t1 t0
t
t 1
1 0
Slika 5.2
Graf premice.
pokazali na primeru signala s slike 5.3. Strmine daljic, ki opisujejo signal
x( t)
T 1
k
k 2
k
T 3
1
2 Slika 5.3
T 0 Graf signala.
t 0 t 1 t t
2
v posameznih odsekih, so označene s k i . Zapis daljic, ki opisujejo potek
signala v posameznih segmentih signala x(t), je preprost. Zanje uporabimo
(5.2) in (5.3), kjer za T i−1 (t i−1 ,x i−1 ) izberemo začetno točko opazovanega
segmenta, za T i (t i ,x i ) pa končno točko. Prvi segment signala x(t) s slike 5.3
lahko opišemo s poltrakom x(t):
x(t 0 < t t 1 ) = x 1 (t) = k 1 ·(t −t 0 )u(t −t 0 ) , (5.4)
datoteka: signal_A

100 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
kjer smo z množenjem z zamaknjeno enotsko stopnico u(t − t 0 ) dosegli, da
je signal za t < t 0 enak nič. Drugi segment signala x(t), ki leži nad intervalom
t 1 < t t 2 , opišemo s pomočjo poltraka, ki ima izhodišče v točki s koordinatami
(t 1 ,0) ter v intervalu t 1 t < t 2 poteka vzporedno s signalom. Zanj
velja:
x 2 (t) = k 2 ·(t −t 1 )u(t −t 1 ) . (5.5)
Hitro uvidimo, da seštevek x 1 (t)+x 2 (t) ne da poteka signala x(t) na intervalu
(t 1 ,t 2 ). Da ga dobimo, moramo v drugem segmentu odšteti še trend signala
iz prvega segmenta:
x(t 1 < t t 2 ) = x 1 (t)−x 1 (t −t 1 ) +x
} {{ } 2 (t)
izravnava x 1 (t)
= k 1 ·(t −t 0 )u(t −t 0 ) − k 1 ·(t −t 1 )u(t −t 1 )
+ k 2 (t −t 1 )u(t −t 1 )
= k 1 ·(t −t 0 )u(t −t 0 ) + (k 2 − k 1 )·(t −t 1 )u(t −t 1 ) .
Podobno velja za tretji segment. Poltrak, ki poteka skozi točko s koordinatama
(t 2 ,0) in vzporedno s signalom v tem segmentu, je:
x 3 (t) = k 3 ·(t −t 2 )u(t −t 2 ) .
Potek signala v tem segmentu pa izračunamo na enak način kot v drugem
segmentu. Torej:
x(t 2 t) = x 1 (t) + [−x 1 (t −t 1 ) + x 2 (t)] + [−x 2 (t −t 2 ) + x 3 (t)]
Po upoštevanju (5.4) in (5.5) dobimo:
x(t) = k 1 ·(t −t 0 )u(t −t 0 ) + (k 2 − k 1 )·(t −t 1 )u(t −t 1 )−
k 2 ·(t −t 2 )u(t −t 2 ) + k 3 ·(t −t 2 )u(t −t 2 )
= k 1 ·(t −t 0 )u(t −t 0 ) + (k 2 − k 1 )·(t −t 1 )u(t −t 1 )+
(k 3 − k 2 )·(t −t 2 )u(t −t 2 ) .
Dobljeni rezultat velja na splošno za signale, ki jih lahko opišemo z daljicami.
Tako vidimo, da lahko tudi zahtevne oblike opišemo z vsoto členov, ki
opisujejo potek posameznih segmentov signala. Pri tem moramo poudariti:
Prikazana tehnika matematičnega opisa signalov velja le za časovno
zvezne signale.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.1 Matematični opis sestavljenih signalov 101
Postopek je precejšnjega praktičnega pomena, saj tako modeliramo mnogo
fizikalnih signalov. Opisano metodo matematičnega opisa signalov utrdimo
še z zgledom:
ZGLED 5.1.2 (Enačba žagastega signala)
Žagasti signal je zelo pogosta oblika signala v elektroniki. Z napetostjo žagaste oblike
na primer odklanjamo elektronski curek v zaslonski cevi osciloskopa. Žagaste oblike je
tudi odklonski tok pri televizijskih ekranih. Primer žagaste napetosti kaže slika 5.4.
V
x( t)
0
Slika 5.4
Graf žagaste napetosti.
T 0 0 T 0 2T 0
t
Vidimo, da je signal periodičen s periodo T0. Strmina signala je določena s:
k = V T0
,
traja pa čas periode T0. Za segment med 0 in T0 lahko torej pišemo:
x 1 (t) = V t[u(t) − u(t − T0)]
T0
( )
= V t −
T 0
tp 2
.
T0 T0
x 1 (t) je definiran na intervalu [0, T0]. Ker je periodični signal, lahko njegov zapis posplošimo
za interval [nT0,(n + 1)T0]:
x n (t) = x 1 (t − nT0) = V (t − nT0)[u(t − nT0) − u(t − (n + 1)T0)]
T0
= V ( )
t − nT 0 − T0/2
(t − nT0)p
. (5.6)
T0
T0
Zgornja enačba velja tako pri pozitivnih kot pri negativnih n. Če seštejemo zapise za
posamezne segmente, dobimo:
x(t) =
∞
∑
n=−∞
x 1 (t − nT0) ,
kjer je x(t − nT0) opisan v (5.6).
♦
datoteka: signal_A

102 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
5.2 Aproksimacija signalov
osnovnimi funkcijami
Za začetek rešimo preprost primer, ko želimo realni signal x(t) izraziti z realno
funkcijo φ(t). Signal in funkcija sta definirani v istem časovnem intervalu
T = b − a za vsak t ∈ (a,b). Seveda želimo, da je opis signala z bazno
funkcijo tak, da bo znotraj intervala T čim bolj veljalo:
x(t) ≈ ˆx(t) = cφ(t) za vsak t ∈ T . (5.7)
Funkcijo ˆx(t) imenujemo ocena, približek ali aproksimacija signala x(t). Na
izpolnitev (5.7) vplivamo z izbiro koeficienta c. Pri njegovi določitvi potrebujemo
merilo podobnosti med x(t) in ˆx(t). Najpogosteje se v ta namen
uporablja srednji kvadratni pogrešek ali srednje kvadratno odstopanje.
5.2.1 Srednji kvadratni pogrešek
Definicija srednjega kvadratnega pogreška je:
ε 2 = 1 T
∫
T
[x(t) − ˆx(t)] 2 dt = 1 T
∫
T
e 2 (t) dt . (5.8)
Srednji kvadratni pogrešek je vedno pozitiven. Iz (5.8) vidimo, da je definiran
kot (povprečna) moč signala e(t) = x(t)− ˆx(t). Ker je trenutna moč kvadratna
funkcija: p e (t) = e 2 , ima minimum (nič je takrat in samo takrat, ko je x(t) =
ˆx(t) in je zato e(t) = x(t) − ˆx(t) = 0).
Srednji kvadratni pogrešek je globalno merilo podobnosti med aproksimacijo
in signalom. Zato in zaradi opisane lastnosti, ga v teoriji signalov, pa
tudi drugje, zelo pogosto uporabljamo
5.2.2 Minimizacija srednjega kvadratnega pogreška
Naloga, ki si jo zastavljamo, je poiskati konstanto c tako, da bo srednji kvadratni
pogrešek med signalom in njegovo aproksimacijo čim manjši. Z drugimi
besedami, poiskati moramo tako konstanto c, da bo ε 2 minimalni:
∫
1
T
T
[x(t) − cφ(t)] 2 dt = ε 2 → min (5.9)
Potrebni pogoj za določitev minimuma je, da je prvi odvod pogreška enak
nič. Da je ekstrem, ki ga s tem izračunamo, tudi minimalni pogrešek, sledi
iz definicije kvadratnega pogreška. Seveda ga lahko preverimo s testom vrednosti
drugega odvoda pogreška. Ta je v tej točki vedno pozitiven.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.2 Aproksimacija signalov z osnovnimi funkcijami 103
Prvi odvod ε 2 kot funkcijo c izračunamo s parcialnim odvajanjem (5.9)
po c:
∂ε
∂c = ∂ ∫
1
[x(t) − cφ(t) dt] 2 = 0
∂c T T
= 1 ∫
∂ [
x 2 (t) − 2x(t)cφ(t) + c 2 φ 2 (t) ] dt
T T ∂c
= 1 [ ∫
∫ ]
0 − 2 x(t)φ(t) dt + 2c φ 2 (t) dt = 0 ,
T
T
T
odkoder za koeficient c sledi:
∫
x(t)φ(t) dt
T
c = ∫
φ 2 (t) dt
T
. (5.10)
Izraz v imenovalcu (5.10) določa energijo osnovne funkcije φ(t). Ta je (po
definiciji) vedno realna in pozitivna. Če jo označimo z E φ , lahko koeficient c
izrazimo z:
c = 1 x(t)φ(t) dt . (5.11)
E φ
∫T
Izračunajmo še velikost srednjega kvadratnega pogreška. Najprej v (5.9)
izračunamo kvadrat oglatega oklepaja, potem pa za c upoštevamo (5.11). Dobimo:
∫
ε 2 = 1 T T
[
= 1 ∫
T T
[
x 2 (t) − 2x(t)cφ(t)t + c 2 φ 2 (t) ] dt
∫
x 2 (t) dt − 2c
∫
x(t)φ(t) dt +c 2 φ 2 (t) dt
T
} {{ }
T
} {{ }
=cE φ
= 1 [ ∫ ]
x 2 (t) dt − 2c 2 E φ + c 2 E φ
T T
=E φ
]
in srednji kvadratni pogrešek je:
ε 2 = 1 [ ∫ ]
x 2 (t) dt − c 2 E φ
T T
(5.12)
Tako vidimo, da je ε 2 realen, nenegativen in da je pri izbiri konstante c z
enačbo (5.10) minimalen.
datoteka: signal_A

104 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
x( t)
1
Slika 5.5
Pravokotni signal.
0
1
0
2 t
ZGLED 5.2.1 (Aproksimacija signala z osnovno funkcijo)
Aproksimirajmo signal, ki ga kaže slika 5.5, z osnovno funkcijo φ(t) = sint tako, da bo
srednji kvadratni pogrešek minimalen!
REŠITEV: Konstanto c izračunamo s pomočjo (5.10):
c =
∫ 2π
0
∫ 2π
0
x(t)sint dt
sin 2 t dt
∫ π
∫ 2π
(1)sint dt + (−1)sint dt
0
π
} {{ } } {{ }
=2
=2
= ( 1
2 t − 1 ) ∣∣∣ = 4
4 sin2t 2π π . (5.13)
} {{
0
}
E φ =π
Približek signala je (slika 5.6):
ˆx(t) = 4 π sint .
Minimalni srednji kvadratni pogrešek ε 2 izračunamo iz (5.12). V obravnavanem pri-
Slika 5.6
Pravokotni signal in njegova
aproksimacija.
4/
1
x( t)
0
1
4/
0
x
x
2 t
meru sta meji a = 0,b = 2π, iz imenovalca (5.13) pa sledi, da je E φ = π, zato velja:
ε 2 = 1 [ ∫ 2π
] [
x 2 (t)dt − c 2 E φ = 1 ∫ 2π
( ) 4 2
x 2 (t)dt − π]
2π
2π
π
= 1
2π
0
[
2π − 16
π
] [
= 1 − 8 ]
π 2 ≈ 0,18943
0
oziroma v procentih znaša 18,9% energije signala.
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 105
5.2.3 Aproksimacija signalov
z linearno kombinacijo osnovnih funkcij
Predpostavimo, da imamo na voljo množico osnovnih funkcij Φ:
Φ = {φ 0 (t),φ 1 (t),φ 2 (t),...,φ N (t)} ,
kjer je lahko indeks N v določenih primerih tudi neskončen. V tem primeru
lahko signal x(t) aproksimiramo s približkom ˆx(t), za katerega velja:
ˆx(t) = c 0 φ 0 (t) + c 1 φ 1 (t) + c 2 φ 2 (t) + ··· + c N φ N (t)
=
N
∑
n=0
c n φ n (t) . (5.14)
Od tako skonstruirane aproksimacije pričakujemo, da vsak člen v linearni
kombinaciji ali vrsti zmanjša srednje kvadratni pogrešek ε 2 . Problem, ki smo
ga zastavili, je določiti koeficiente c 0 ,c 1 ,c 2 ,...,c N , ki so praviloma elementi
C in izbrati najprimernejšo množico osnovnih funkcij Φ.
Ta problem v splošnem ni rešen. Ena od lastnosti, ki je ponavadi zelo
zaželena, je neodvisnost osnovnih funkcij. Ta lastnost omogoča, da lahko
določimo posamezne člene vsote v (5.14) oziroma njihove koeficiente c i , čeprav
ne poznamo nobenega drugega koeficienta. Povedano drugače, če lahko
linearni kombinaciji, ki določa približek signala, dodamo člene, ne da bi morali
že znane spreminjati, potem so členi v linearni kombinaciji (medsebojno)
neodvisni.
5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami
Členi s c n so neodvisni, če je množica osnovnih funkcij φ(t) ∈ Φ ortogonalna
na celotnem časovnem intervalu aproksimacije funkcije x(t). S terminom
ortogonalna množica povemo, da za vse elemente množice Φ velja:
φ m ⊥ φ n ,
kjer znak ⊥ pomeni ”pravokotno“, oziroma da je skalarni produkt poljubnih
dve osnovnih funkcij enak nič:
〈φ m ,φ n 〉 = 0 ,
oziroma:
∫
〈φ m ,φ n 〉 = φ m (t)φn ∗ (t) dt ,
T
ki lahko v primeru ortogonalnih funkcij zavzame le eno od dveh vrednosti:
datoteka: signal_A

106 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
∫
{
0 m ≠ n
〈φ m ,φ n 〉 = φ m (t)φ n (t)dt =
T
E φn m = n
φ m ,φ n ∈ Φ
Če je E φn = 1, so ortogonalne funkcije normirane in zato ortonormalne. Za
ortonormalne funkcije velja:
∫
{
0 m ≠ n
〈φ m ,φ n 〉 = φ m (t)φ n (t)dt =
T
1 m = n
φ m ,φ n ∈ Φ (5.16)
OPOMBA 5.1 Normiranje funkcij ima podoben pomen kot normiranje vektorjev. Pri tem je
normirani vektor, ki ga imenujemo tudi enotski vektor, vektor z dolžino enako enoti. Torej za
normirani vektor a velja 〈a, a〉 = a 2 = 1.
Zaporedje funkcij, ki izpolnjujejo (5.16), imenujemo ortonormalno ali ortonormirano
zaporedje na intervalu T = b − a. Meji a in b sta pri tem lahko
končni ali tudi neskončni. To je odvisno od signala, ki ga želimo aproksimirati
s temi funkcijami.
5.3.1 Bazne funkcije
Tako kot lahko na primer vsak vektor izrazimo z linearno kombinacijo ortogonalnih
enotskih vektorjev i, j, k,..., na primer z r = c 1 i + c 2 j + c 3 k, lahko
tudi x(t) izrazimo z linearno kombinacijo ortonormiranih osnovnih funkcij
oziroma vrsto:
x(t) = ∑ N
c n φ n (t) . (5.17)
Če je množica ortonormiranih osnovnih funkcij Φ polna, potem tvori bazo
ortonormiranega prostora. Zato polno zaporedje osnovnih ortonormiranih
funkcij imenujemo tudi ortonormirana baza, funkcije pa ortonormirane bazne
funkcije.
Pojem polne množice bomo razložili pri razlagi Parsevalove identitete
(razdelek 5.3.5 na strani 108).
5.3.2 Aproksimacija signalov z ortonormiranimi baznimi funkcijami
Pri aproksimaciji signala z baznimi funkcijami moramo (podobno kot smo
pokazali pri aproksimaciji z eno osnovno funkcijo) rešiti dve nalogi. Prva je
izbrati zaporedje baznih funkcij, druga pa je izračunati koeficiente c n tako, da
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 107
bo pogrešek med originalnim signalom in njegovim približkom, sestavljenim
iz zaporedja ortonormiranih funkcij, minimalen.
Najprej si bomo ogledali možnosti določanja koeficientov c n ob danih ortonormiranih
funkcijah, o izbiri ortonormiranih baznih funkcij pa bo govora
kasneje.
5.3.3 Določitev koeficientov c n
s pomočjo ortogonalnosti
Kako določiti koeficiente c n ∈ C? Recimo, da vrsta na desni strani (5.17)
konvergira k x(t) in da so bazne funkcije ortonormirane. Obe strani zgornje
enačbe pomnožimo s φ m (t) in ju nato integriramo:
∫
T
∫
x(t)φ m dt = ∑ N c nφ n (t)φ m (t) dt
T
∫
= ∑ N
c n φ n (t)φ m (t) dt .
T
(5.18)
Zaradi lastnosti ortogonalnosti, glej (5.16), je desna stran (5.18) različna od
nič le, ko je m = n. V vseh ostalih primerih je enaka nič. Zato:
∫
T
x(t)φ n (t) dt = c n
∫
T
φ n (t)φ n (t) dt .
Ker je baza ortonormirana, je E φn = 1 in koeficient c n je:
∫
c n = x(t)φ n (t) dt (5.19)
T
5.3.4 Določitev koeficientov c n
po metodi najmanjšega kvadratnega pogreška
V tem primeru izhajamo iz (5.8), kjer za ˆx upoštevamo (5.14):
∫
ε 2 = 1 T
= 1 ∫
T
T
T
[
2
x(t) − ˆx(t)]
dt
[
] 2
(5.20)
x(t) −∑ N
c n φ n (t) dt
V (5.20) na srednji kvadratni pogrešek vpliva množica koeficientov {c n }.
Zato iščemo minimum funkcije z več spremenljivkami.
Pri iskanju minimuma funkcije več spremenljivk je potreben (vendar ne
zadosten) pogoj, da je funkcija odvedljiva po vseh koeficientih in da obstaja
datoteka: signal_A

108 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
množica koeficientov c 0 ,c 1 ,c 2 ,...,c N , ki zadovoljuje sistem enačb:
∂ε
∂c 0
= ∂ε
∂c 1
= ∂ε
∂c 2
= ··· = ∂ε
∂c n
= 0 .
Postopek izračuna koeficientov je naslednji. Izračunajmo parcialni odvod po
koeficientu c k . Ker integracijski interval T ne vpliva na rezultat odvajanja,
ga zaradi krajšega pisanja izpustimo. Dobimo:
∂ε
= ∂ [
2
x(t)
∂c k ∂c k
−∑ N
c n φ n (t)]
dt
∫T
= ∂ x
∂c k
∫T
2 (t) dt
− ∂
∂c k
2x(t)∑ N
c n φ n (t) dt +
∫T
∂
∂c k
∫T
[ ] 2
∑N c n φ n (t) dt = 0 . (5.21)
Po parcialnem odvajanju po c k odpadejo vsi členi, ki ne vsebujejo koeficienta
c k , zato od leve strani (5.21) ostaneta le dva člena:
∫
−2
T
x(t)φ k (t) dt + 2c k
∫
φ 2 k (t) dt
T
} {{ }
=E φ =1
,
iz katerih je pot do enačbe za koeficient c k , ob upoštevanju definicije ortonormiranih
funkcij – glej (5.16), kratka:
∫
c k = x(t)φ k (t) dt . (5.22)
T
Vidimo, da se (5.19) in (5.22) ujemata. Iz tega sledi, da so koeficienti c k , ki
jih izračunamo na osnovi lastnosti ortonormiranih funkcij, optimalni v smislu
srednjega kvadratnega pogreška.
5.3.5 Parsevalova identiteta
Predpostavimo, da aproksimiramo signal x(t) z linearno kombinacijo N + 1
baznih funkcij φ n (t). Pogrešek med signalom x(t) in njegovo oceno ˆx(t)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.3 Izražanje signalov z ortogonalnimi funkcijami 109
izračunajmo z (5.20):
ε 2 = 1 ∫ [
2
x(t) −∑
T
N
c n φ n (t)]
dt
T
[
= 1 ∫
]
∫
∫
x 2 (t) dt − 2∑
T
N
c n x(t)φ n (t) dt + ∑ N c2 nφn 2 (t) dt
T
T
T
} {{ }
=c n
[
= 1 ∫
]
∫
x 2 (t) dt − 2∑
T
N
c 2 n +∑ N
c 2 n φn 2 (t) dt
T
T
} {{ }
=1
= 1 [ ∫ ]
x 2 (t) dt −∑
T
N
c 2 n . (5.23)
T
V izračunu (5.23) smo upoštevali linearnost operacij seštevanja in integriranja
(zato smo zamenjali njuno zaporedje) ter ortogonalnost baznih funkcij.
Iz (5.23) jasno sledi, da se z večanjem členov v aproksimaciji signala manjša
srednji kvadratni pogrešek. V limitnem postopku, v katerem večamo N preko
vseh meja, postane srednji kvadratni pogrešek enak nič:
[ ∫ ]
1
lim
N→∞ ε2 = lim x 2 (t)dt −∑
N→∞ T
N
c 2 n = 0
T
oziroma:
∫
T
x 2 (t) dt =
∞
∑
n=−∞
c 2 n . (5.24)
V tem primeru je funkcija x(t) izražena z neskončnim zaporedjem ortonormiranih
funkcij; torej med oceno funkcije in funkcijo ni pogreška. Tako zaporedje
imenujemo polno ali kompletno zaporedje. Enačbo (5.24), ki povezuje
polno zaporedje ortonormiranih funkcij in originalni signal, imenujemo Parsevalova
identiteta.
Rečemo lahko, da je pogoj Parsevalove indentitete obstoj polnega zaporedja,
zato njen pomen poudarimo z naslednjim izrekom:
IZREK 5.1 (Polno zaporedje)
Zaporedje ortonormiranih baznih funkcij Φ je polno takrat in samo takrat, ko za vsak
x ∈ L 2 (a,b) velja (5.24). To pomeni, da ne obstaja neničelna funkcija φ(t), ki ni član
Φ in za katero velja pogoj ortogonalnosti.
Še kratek komentar k izreku. Če bi mogli najti tako funkcijo φ(t), tedaj bi bila
ta funkcija ortogonalna na vsak člen v zaporedju Φ in bi tudi sama pripadala
temu zaporedju.
datoteka: signal_A

110 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
Pomen Parsevalove indentitete je zelo velik, zato se bomo še večkrat vračali
k njej. Napovejmo le njeno fizikalno razlago. S primerjavo (5.24) z
obrazci za izračun energije vidimo, da Parsevalova indentiteta govori o ohranitvi
energije. Računamo jo lahko po komponentah.
5.4 Primeri ortogonalnih funkcij
Spoznali smo uporabo oziroma izražanje signalov z zaporedji ortonormalnih
baznih funkcij. Sedaj moramo takšna zaporedja le še poiskati.
5.4.1 Nekatere ortonormalne funkcije
Obstaja mnogo družin ortonormalnih funkcij. Med njimi sta najbolj znani
trigonometrično zaporedje:
in eksponentno zaporedje:
{...,1,cosωt,cos2ωt,cos3ωt,...}
{...,1,sinωt,sin2ωt,sin3ωt,...}
{...,e − jωt ,1,e jωt ,e 2 jωt ,e 3 jωt ,...}
Ti zaporedji se uporabljata za zapis signala s trigonometrično in eksponencialno
obliko Fourierove vrste. Na njej temelji tako imenovana harmonska
analiza signalov, s katero pa se v tej knjigi ne ukvarjamo.
Poleg njih se v literaturi omenjajo še:
Legendrove funkcije
√
2n+1
φ n (t) =
2
P n (t) , −1 ≤ t ≤ 1 ,
kjer je P n (t) Legendrov polinom:
Laguerrove funkcije
d n
P n (t) = 1
2 n n! dt n (tn − 1) n .
φ n (t) = 1 n! e−t/2 L n (t) , 0 ≤ t < ∞ ,
kjer je L n (t) Laguerrov polinom reda n:
L n (t) = e t dn
dt n tn (e −t ) .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.4 Primeri ortogonalnih funkcij 111
Hermitove funkcije
φ n (t) =
kjer je H n (t) Hermitov polinom reda n:
1
2 n n! √ π e−t2 /2 H n (t) , −∞ < t < ∞
H n (t) = (−1) n t2 dn
e
dt n (e−t2 )
Poleg naštetih ortogonalnih funkcij, ki so vse poljubnokrat odvedljive, so
pomembne še Walsheve funkcije - posvečeno jim je naslednje poglavje.
5.4.2 Walsheve funkcije
Polno zaporedje Walshevih funkcij tvori zaporedje medsebojno ortogonalnih
pravokotnih valovnih oblik v končnem časovnem intervalu. Te funkcije so
tudi ortonormalne in lahko zavzemajo le dve vrednosti: +1 in −1. Časovni
interval definiramo kot normirani interval (0,1), intervale drugih dolžin pa
dobimo s preprostim skaliranjem tega intervala.
Nekaj Walshevih funkcij, ki so indeksirane po številu prehodov funkcije
skozi absciso, kaže slika 5.7.Vidimo, da se da Walsheve funkcije enostavno
1
1
0
( t)
0
3
( t)
0
1/2
1 t
1/2
1
1
-1
t
1
1
1
( t)
0
4
( t)
0
1/2 1 t
1/2
1
1
-1
t
1
1
2
( t)
0
5
( t)
0
1/2
1 t
1/2
1
1
-1
t
Slika 5.7
Walsheve bazne funkcije.
generirati z digitalnimi vezji. Velja:
datoteka: signal_A
φ 0 (t) =
{
1 0 ≤ t ≤ 1
0 sicer
.

112 5. Opis signalov z osnovnimi funkcijami
Ostale bazne funkcije φ m lahko najdemo eno za drugo, če uporabimo pogoje
ortonormiranosti. Tukaj le preverimo, ali grafi funkcij na sliki 5.7 res pripadajo
ortonormalnim baznim funkcijam. Za φ 1 (t) velja:
∫ 1
0
φ 0 (t)φ 1 (t) dt = 0 ,
∫ 1
0
φ 2 1 (t) dt = 1 in φ 1 (t) =
{
1 0 ≤ t ≤ 1/2
−1 1/2 ≤ t ≤ 1
.
∫ 1
0
Bazna funkcija φ 2 (t) mora ustrezati enačbam:
φ 0 (t)φ 2 (t) dt = 0 ,
∫ 1
0
φ 1 (t)φ 2 (t) dt = 0
in
∫ 1
0
φ 2 2 (t) dt = 1 .
Funkcija φ 2 (t) na sliki 5.7 izpolnjuje vse te pogoje. Opisano pot lahko nadaljujemo
za vse ostale bazne funkcije. Pri tem vidimo, da moramo za bazno
funkcijo φ k (t) rešiti k + 1 enačb.
ZGLED 5.4.1
Ponazorimo signal x(t) = 6t,0 ≤ t ≤ 1 (slika 5.8) z Walshevimi funkcijami.
Slika 5.8
x ( t )
6
3
-1 0 1/2 1
t
REŠITEV: Za izračun optimalnih koeficientov c k uporabimo (5.22). Prvi koeficient je
c 0 in je enak:
∫ 1
c 0 = 6t(1)dt .
0
Drugi koeficient je c 1 :
∫ 1/2 ∫ 1
c 1 = 6t(1)dt + 6t(−1)dt = − 3
0
1/2
2 .
Po podobnem postopku določimo še ostale koeficiente. Dobimo:
c 2 = 0, c 3 = − 3 4 , c 4 = 0, c 5 = 0, c 6 = 0, c 7 = − 3 8 ···
Približek ˆx(t) funkcije x(z) izražen z osmimi zaporednimi baznimi funkcijami φ k (t)
(slika 5.9), je:
ˆx(t) = 3φ 0 (t) − 3 2 φ 1(t) − 3 4 φ 3(t) − ···
3
2 k φ 2 k −1 (t) ··· (5.25) ♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

5.4 Primeri ortogonalnih funkcij 113
Srednji kvadratni pogrešek, ki ga naredimo z opisom x(t) s približkom
ˆx(t), če upoštevamo le prvih osem členov Walshevih funkcij, je enak:
ε 2 = 1 [ ∫ 1 [ ] ]
x(t) 2 dt − c 2 0 + c 2 1 + c 2 7
T 0
[
= 1 ∫ 1
(
(6t) 2 dt − 3 2 + − 3 2 (
+ −
1 − 0
2) 3 ) ] 2
8
0
= 12 − 765
64 ≈ 0.04685 .
Čeprav je na videz razlika med ˆx(t) in x(t) velika, je srednji kvadratni pogrešek
že po nekaj členih zaporedja Φ(t) razmeroma mali. Na primer, če bi
v zaporedju (5.25) dodali še en člen, bi padel srednji kvadratni pogrešek na
četrtino prejšnje vrednosti.
x ( t ) x ( t )
x ( t )
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
1/2
1/2
1
1
3
t
t
x( t)
3 0 ( t)
3
3
( t) ( t)
x
2
0 1 0
2 3
3 ( t) ( t) ( t)
x
3 4
0 1 3 1
3
( t) ( t)
2
0 1
2 3 3
3 ( t) ( t) ( t)
x
3 4 8
2 3
3 0( t) 1( t) 3( t)
3 4
0 1 3 7 2
Slika 5.9
Aproksimacija žagaste funkcije z
dvemi (zgoraj), tremi (na sredi) in
štirimi (spodaj) Walshevimi funkcijami.
2
1
0
1/2
1
t
datoteka: signal_A

6
Naključni signali in
statistične metode
V uvodu smo o naključnih signalih zapisali, da so to signali, pri katerih obstaja
določena negotovost, da bo signal nastopil, oziroma, da bo zavzel določeno
naslednjo vrednost. Zato teh signalov ne moremo opisati s funkcijami,
saj njihov potek ni napovedljiv. Zato mnogi postopki in metode, ki smo jih
spoznali in uporabili pri opisu, razvrščanju in vrednotenju determinističnih
signalov, pri njih niso uporabne. To seveda ne pomeni, da naključnih signalov
ni mogoče razvrščati ali vrednotiti. Očitno pa je, da pri njih v ta namen
potrebujemo druga matematična orodja. Osnovni orodji, ki jih pri naključnih
signalih uporabljamo sta verjetnostni račun 1 . in statistika.
Brez posebnega tveganja lahko zapišemo, da so naključni signali osrednja
tema sodobne obdelave signalov. Po eni strani so informacijsko najbolj bogati,
po drugi strani s svojo prisotnostjo povsod v naravi motijo signale, ki
jih ustvarjamo in uporabljamo v vodenju in upravljanju sistemov, prenosu
informacij itd.
Viri naključnih signalov so naključni ali stohastični procesi. Te procese
opišemo s funkcijo, ki iz zaloge vseh možnih vrednosti naključno izbira elemente
zaloge in jih preslika v časovno zaporedje – naključni signal, ki ga v
matematičnem jeziku verjetnostnega računa imenujemo vzorčna funkcija.
1 Kratek povzetek osnov verjetnostnega računa je v poglavju A na strani 221 (v dodatku
knjige).
115

116 6. Naključni signali in statistične metode
6.1 Naključne spremenljivke
Naključno spremenljivko si lahko predstavljamo preprosto kot numerično
ovrednotenje naključnega dogodka. Mnogo je dogodkov, ki po svoji naravi
dajo določeno število, na primer pri metanju kocke z oštevilčenimi stranicami.
So pa tudi dogodki, kot je primer pri metanju kovanca, kjer je vzorčni
prostor S = {glava,ci f ra} = {g,c}. Tudi tem dogodkom lahko pripišemo
številčno vrednost, na primer {g,c} ↦→ {0,1}. Strnimo zapisano v definicijo:
DEFINICIJA 6.1.1 (naključna spremenljivka)
Naključna spremenljivka X(s) – pogosto označena le z X – je funkcija, ki preslika vse
elemente iz vzorčnega prostora S s σ-algebro dogodkov A v realna števila x tako, da
velja:
1. množica {s : X(s) x} ∈ A je dogodek za vsako realno število x,
2. P{s : X(s) = −∞} = 0 in P{s : X(s) ∞} = 1.
Zapisano definicijo lahko pojasnimo s primerom opisa naključnih pojavov
v nekem fizikalnem sistemu. Pri tem ponavadi izhajamo iz meritve izbrane
spremenljivke. Bodi to spremenljivka X, za katero lahko pri ponavljanju meritve
(pod enakimi pogoji) izmerimo različne vrednosti. Te vrednosti označimo
z x. Kaj pa merimo? “Velikost” elementov vzorčnega prostora S , iz
katerega jih naključni pojav v fizikalnem sistemu zajema. Zato lahko zapišemo:
X(s) = x .
Ta predpis določa funkcijo, ki priredi vsakemu elementu iz S numerično
vrednost (slika 6.1). Predpis je smiseln, če vsakemu elementu vzorčnega
prostora X(s) priredi eno samo vrednost x.
Slika 6.1
Naključna spremenljivka
X(s) je preslikava elementov
S na realno os.
S
s
x = X( s)
S x
Definicijsko območje X(s) je celotni vzorčni prostor S . Množico vrednosti,
kamor se dogodki iz S preslikajo z X(s), imenujemo zaloga vrednosti
funkcije ali tudi fazni prostor:
S x : {x : x = X(s),s ∈ S } ⊂ (−∞,∞) .
Izmero vrednosti x iz podmnožice A x (slika 6.2) lahko obravnavamo kot urešarko
ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.1 Naključne spremenljivke 117
S
A s
s
P( A s ) P( A x )
x = X( s)
S x
A x
Slika 6.2
Prenos verjetnosti s funkcijo X(s).
sničitev določenega dogodka, ki ga tudi označimo z A x . Ker s funkcijo X(s)
priredimo elementom s i iz dogodka A s vrednosti x i v množici A x , se pri poskusu
hkrati z dogodkom A s iz S uresniči tudi dogodek A x iz S x . Zato
lahko enako verjetnost, kot jo ima dogodek A s ∈ S , predpišemo tudi dogodku
A x ∈ S x . Porazdelitev verjetnosti v vzorčnem prostoru S se torej
preko predpisa, ki določa preslikavo iz S v S x – torej X(s), prenese na
porazdelitev verjetnosti v zalogi verjetnosti funkcije X(s). To simbolično
označimo z:
A s
X
−−−−→ A x , (6.1a)
P(A s ) = P(A x ) . (6.1b)
Kadar je funkcija X definirana na vzorčnem prostoru S tako, da je verjetnost
dogodka A s določena za vsak dogodek A x , ki ga izberemo v zalogi vrednosti
S x , pravimo, da je X merljiva funkcija na S in jo imenujemo naključna
spremenljivka.
Med različnimi diskretnimi naključnimi spremenljivkami pogosto uporabljamo
indikatorsko ali označevalno funkcijo dogodka A. Ta funkcija ima
vrednost 1, če je elementarni dogodek s vsebovan v dogodku A, in vrednost
0, če element s ni v A. Označimo jo takole:
{
1 za s ∈ A
I A (s) =
0 za s /∈ A , (6.2)
kar tudi pomeni A
I A
−−→ 1 in A
I A
−−→ 0.
ZGLED 6.1.1 (naključna spremenljivka pri metanju kocke)
Pri kocki je vzorčni prostor S = {1,2,...,6}. Naključna spremenljivka X(s,t), kjer je
t trenutek preslikave, se pri preslikavi
x i : S ↦→ X
pokorava pravilu X(t) = s i in lahko zavzema vrednosti {1,2,3,4,5,6} z verjetnostjo
P[X(s) = i] = 1 / 6 ,i = 1,2,...,6, pri preslikavi
x i : S 2 ↦→ X ,
datoteka: signal_A

118 6. Naključni signali in statistične metode
ki se pokorava pravilu X(t) = s 2 i , pa vrednosti {1,4,9,16,25,36} z enako verjetnostjo
kot prej.
♦
ZGLED 6.1.2 (naključna spremenljivka pri metanju kovanca)
Pri metanju kovanca ima vzorčni prostor dva elementa S = {glava, cifra} = {s g ,s c }.
Naključna spremenljivka X(s,t), kjer je t trenutek preslikave, se pri preslikavi pokorava
pravilu (6.2), zato lahko zavzema vrednosti 0 in 1 z verjetnostjo P[X(s) = s g ] = 1 / 2 in
P[X(s) = s c ] = 1 − P[X(s) = s g ] = 1 − 1 / 2 = 1 / 2 . To preslikavo – naključno funkcijo –
ilustrira slika 6.3a. Pri predpostavki, da poskus izvajamo v enakomernih intervalih, ter
S
s g : glava
s c : cifra
1
S x
0
0 1
(a) preslikava
S x
(b) časovni potek
t
Slika 6.3
Naključna spremenljivka X(s,t) pri metanju kovanca
da se ob vsakem izvede preslikava (6.2), dobimo časovni potek naključne funkcije, ki
opisuje to dogajanje (slika 6.3b). Funkcija je seveda amplitudno in časovno diskretna.♦
☞
Naključne spremenljivke so lahko zvezne – pri njih je vzorčni prostor S x
podmnožica realne osi: S x ⊆ R ali diskretne – pri njih vzorčni prostor S x
določa števna, lahko tudi neskončna množica. Obstajajo pa tudi kombinacije
obeh, imenujemo jih mešane naključne spremenljivke.
Pomnimo: naključna spremenljivka je funkcija dogodka iz vzorčnega prostora
S in ne neodvisna spremenljivka. Kljub temu jo bomo v prihodnje
imenovali kar spremenljivka brez poudarjanja njene funkcijske narave.
Porazdelitev verjetnosti diskretne naključne funkcije
Opišimo nek pojav z diskretno naključno spremenljivko X, ki ima zalogo
vrednosti S x = {x 1 ,x 2 ,...,x n }. Dogodek, ko pri poskusu izmerimo vrednost
x i , označimo z A i = {X = x i }. Temu dogodku pripadajo verjetnosti
P(X = x i ) = p i , i = 1,2,...,n . (6.3)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.1 Naključne spremenljivke 119
Z množico vrednosti {p 1 .p 2 ,..., p n } opišemo porazdelitev verjetnosti po vzorčnem
prostoru S x diskretne naključne spremenljivke X. Z njo izčrpno opišemo
lastnosti naključne spremenljivke. Ponavadi porazdelitev prikažemo
grafično (slika 6.4).
P( X = x )
i
Slika 6.4
p 1 p 2 p 3 p 4 p n-1
p n
x 1 x 2 x 3 x 4 x n-1
x n
Primer porazdelitve verjetnosti P(X = x i )
diskretnega naključnega signala X(s i ).
0
Gostota verjetnosti zvezne naključne funkcije
Pri zveznih naključnih spremenljivkah vrednostim v vzorčnem prostoru S x
ne moremo pripisati verjetnosti na enak način kot pri diskretnih naključnih
spremenljivkah (želeni izid deljen z neskončnim številom možnih izidov je
enako nič!). Iz te zagate si pomagamo s takoimenovano diferencialno verjetnostjo
oziroma gostoto verjetnosti, kjer verjetnost dogodka določimo za
interval (x,x + dx) na S x s širino različno od nič. Verjetnost, da je vrednost
naključne spremenljivke v intervalu (x,x + dx) označimo s
P(x < X < x + dx) .
Določitev te verjetnosti naslonimo na poskus. Vzemimo, da opazujemo naključni
proces, katerega vrednosti se spreminjajo med mejami −a in b. Napravimo
dovolj veliko število M meritev, pri katerih dobimo N 1 rezultatov,
ko zavzame X vrednosti na intervalu [0,∆x), N 2 rezultatov, ko X zavzame
vrednost na intervalu [∆x,2∆x) in tako naprej do števila N n , ki pove koliko je
dogodkov, ko X zavzame vrednost v intervalu [(n − 1)∆x,n∆x). Enako naredimo
še za negativne indekse. Pričnemo z intervalom (−∆x,0] in zaključimo
z intervalom (−m∆x,−(m − 1)∆x]. Pri tem je vsota N i enaka številu vseh
meritev: ∑ i N i = M. Razmerje N i /M je statistična verjetnost, da se vrednost
X nahaja v intervalu [(i − 1)∆x,i∆x). Zato velja:
P ( (i − 1)∆x < X < i∆x ) ≈ N i
M . (6.4)
Razmerje N i /M lahko grafično predstavimo kot ploščino pravokotnika z osnovnico
∆x in višino N i /(M∆x) (slika 6.5). Po Bernulijevem zakonom o velikih
številih (A.18) lahko eksperimentalno dobljeno verjetnost upoštevamo kot
datoteka: signal_A

120 6. Naključni signali in statistične metode
Slika 6.5
Eksperimentalno določanje verjetnosti na
enoto dolžine [17, str. 494].
____ Ni
Mx
___ Ni
____ Ni
Mx . x i
M =
____ Ni
x i Mx
-a=mx
i
x -3
x -2
x -1 0 x 1 x 2 x 3 b=nx
i
x
pravo vrednost verjetnosti, če M narašča proti neskončnosti. V tem primeru
se seveda ∆x manjša proti nič. Ker je ploščina pravokotnika enaka
N i
M = N i
M∆x ∆x ,
v limitnem postopku z M → ∞ in ∆x → 0 dobimo:
N i
lim
M→∞ M = lim N i
M→∞ M∆x ∆x = f X(x) dx (6.5)
∆x→0 ∆x→0
= P(x < X < x + dx) ,
kjer f x (x) imenujemo gostota verjetnosti. Iz (6.5) sledi, da je verjetnost,
da bo X v infinitezimalno majhnem intervalu širine dx enaka f X (x) dx. V
limitnem postopku seveda stopničasta aproksimacija porazdelitve verjetnosti
(slika 6.5) preide v zvezno krivuljo (slika 6.6). Podaja porazdelitev gostote
verjetnosti.
OPOMBA 6.2 Gostoto verjetnosti f X (x) v angleški literaturi ponavadi označujejo s pdf, ki je
kratica termina probability density function.
Slika 6.6
Grafična predstavitev gostote verjetnosti
f X (x) naključne spremenljivke X(s).
f X (x) dx je element verjetnosti.
FX ( x )
P( x

6.1 Naključne spremenljivke 121
Če interval na R, ki določa vzorčni prostor S x povečamo čez vse meje, torej
S x = (−∞,∞) = R 1 ,
potem vsebuje vrednost vsakega dogodka v poskusu. To v jeziku verjetnosti
pomeni zanesljiv dogodek, ki ima (po definiciji) verjetnost 1. Zato velja:
∫ ∞
f X (x) dx = 1 . (6.7)
−∞
σ algebra pri zveznih naključnih spremenljivkah
Pri zveznih naključnih spremenljivkah lahko σ-algebro dogodkov A definiramo
le za (infinitezimalno majhne) intervale realnih števil. Zato lahko tudi
pri njih enako kot pri diskretnih naključnih spremenljivkah definiramo verjetnostni
prostor (S ,A ,P).
Kumulativna porazdelitvena funkcija
Če (6.6) zapišemo za interval (−∞,x], potem z njim izračunamo verjetnost,
da je vrednost X znotraj tega intervala. Ta verjetnost se spreminja z desno
(zgornjo) mejo intervala. Funkcija, ki to opiše, imenujemo porazdelitvena
funkcija, pogosto se zanjo uporablja tudi ime kumulativna porazdelitev verjetnosti.
Definirana je z
P(−∞ < X < x) = F X (x) =
∫ x
−∞
f X (x) dx . (6.8)
OPOMBA 6.3 V angleški literaturi porazdelitev verjetnosti F X (x) pogosto označujejo s kratico
cdf, ki je kratica termina cumulative distribution function.
Porazdelitveno funkcijo lahko določimo tudi za diskretne naključne spremenljivke.
Splošno definicija porazdelitvene funkcije, ki velja za vse naključne
signale, se glasi:
DEFINICIJA 6.1.2 (funkcija porazdelitve verjetnosti)
Bodi (S ,A ,P) verjetnostni prostor in X(s) naključna spremenljivka definirana na S .
V njem je funkcija porazdelitve verjetnosti X(s), F X (x), definirana z
F X (x) = P[{s : X(s) ∈ (−∞,x] in s ∈ S }] = P(X x) . (6.9)
Funkcija porazdelitve verjetnosti je verjetnost, zato zanjo veljajo vsi aksiomi in lastnosti
verjetnosti.
Iz definicije sledi, da lahko pri praktičnem računanju funkcije porazdelitve
verjetnosti uporabimo obrazec (6.8) ali lastnosti unije neodvisnih dogodkov,
datoteka: signal_A

122 6. Naključni signali in statistične metode
ki so zajeti v opazovani interval. Primer njihove uporabe pri diskretnih naključnih
signalih najdemo v zgledu 6.1.3.
ZGLED 6.1.3 (porazdelitvena funkcija pri metanju kocke)
Določimo funkcijo porazdelitve verjetnosti pri metanju kocke. Pri tem upoštevamo, da
so vsi elementi S enako verjetni.
REŠITEV: Pri kocki ima vzorčni prostor S šest elementov {s 1 ,s 2 ,...,s 6 }. Njihova
verjetnost pojavljanja je p i = 1 / 6 ,i = 1,2,...,6, naključna spremenljivka X(s) pa lahko
zavzame naslednje vrednosti x i = i,i = 1,2,...,6.
Iz lastnosti verjetnosti vemo, da je verjetnost naključne spremenljivke manjša od 1
enaka 0:
P(X < 1) = P(∅) = 0
(to je nemogoč dogodek). Verjetnost, da bo vrednost spremenljivke manjša ali enaka
6, pa je enaka 1:
P(X 6) = P(S ) = 1
(to je zanesljiv dogodek). Podobno lahko ugotovimo, da naključna spremenljivka na
intervalu (1,2] lahko zavzame le vrednost 1:
P(X 1) = P(X = x 1 ) = 1 / 6 .
Na intervalu (1,3] lahko naključna spremenljivka zavzame vrednost 1 ali 2. Ker sta to
dva neodvisna dogodka, je njuna skupna verjetnost (od točke 2 nadalje) vsota posameznih
verjetnosti:
P(X 3) = P(x 1 ∪ x 2 ) = 1 / 6 + 1 / 6 = 2 / 6 .
Na enak način lahko določimo verjetnosti še za ostale dolžine intervala (1,6] (slika 6.7).
Vidimo, da se verjetnost, da naključna spremenljivka zavzame svojo vrednost v inter-
Slika 6.7
Kumulativna porazdelitev verjetnosti pri
metanju kocke.
p i, FX ( x)
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
FX ( x) = P( X x )
i
p 3 =P( X= 3) = 1/
6
1 2 3 4 5 6 x
p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6
valu veča z dolžino intervala ter da se ob vsaki možni vrednosti, ki je zajeta v interval,
poveča za stopnico z višino enaki verjetnosti dogodka, da X(s) zavzame prav to vrednost
(slika 6.7).
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.1 Naključne spremenljivke 123
Iz primera sledi, da kot ekvivalent (6.8) lahko zapišemo
F X (x i ) =
n
∑
i=1
P(X = x i )u(x − x i ) , (6.10)
kjer so v x i diskretne vrednosti naključne spremenljivke z verjetnostmi P(X =
x i ) = p i ,i = 1,2,...,n in u(x − x i ) enotska stopnica zamaknjena za vrednost
diskretne naključne spremenljivke.
Pri mešanih naključnih spremenljivkah je potek F X (x) vsota poteka zveznega
(slika 6.8a) in diskretnega (slika 6.8b) dela naključne spremenljivke
(slika 6.8c).
f ( x ), F ( x)
X
X
p( x i) , FX ( x)
F X ( x)
fX ( x)
1
0,5
FX ( x) =
P( Xx)
1
0,5
FX ( x) =
P( Xx
i )
p 3=
P( X=x )
3
1
FX ( x) =
P( Xxi) + P( Xx)
0,5
0
x
p 2
p 1 p 2 p 3
x 1 x 2 0 x 3 x
x 1 x 2 0 x 3 x
(a) funkcija gostota in porazdelitve
verjetnosti za zvezno
naključno spremenljivko
(b) verjetnost in funkcija
porazdelitve verjetnosti
za diskretno naključno
spremenljivko
(c) funkcija porazdelitve verjetnosti
za mešani naključni signal
Slika 6.8
Primer porazdelitvene funkcije za mešano naključno spremenljivko.
datoteka: signal_A

124 6. Naključni signali in statistične metode
Lastnosti porazdelitvene funkcije
Porazdelitvena funkcija F X je osnova za splošni opis lastnosti naključnih pojavov,
zato si naštejmo njene lastnosti:
1. F X (−∞) = 0 (6.11a)
2. F X (∞) = 1 (6.11b)
3. 0 F X (x) 1 (6.11c)
4. F X (a) F X (b) če a < b (6.11d)
5. P(x 1 < X < x 2 ) = F X (x 2 ) − F X (x 1 ) (6.11e)
6. F X (x + ) = F X (x) kjer je F X (x + ) = lim F X (x + ε)
ε>0
ε→0
(6.11f)
Večina teh lastnosti je očitnih. Poglejmo. Lastnost 3 izhaja iz dejstva, da je
F X (x) verjetnost, ki lahko zavzame vrednost med 0 in 1. Iz tega sledi
F X (−∞) = P(X ∈ (−∞,−∞]) = P(∅) = 0
F X (∞) = P(X ∈ (−∞,∞]) = P(S x ) = 1 ,
kar pojasnuje tudi lastnosti 1 in 2.
Lastnost 5 določa verjetnost nahajanja vrednosti X v intervalu (a,b),a,b ∈
S x . Izračunali smo jo že z (6.5), sedaj pa jo izpeljimo še uporabo σ-algebre.
Izberimo intervala A = (−∞,x 1 ] in B = (−∞,x 2 ], za katera velja x 1 < x 2 in
B = A ∪ (x 1 ,x 2 ] ter A ∩ (x 1 ,x 2 ] = ∅. Z uporabo pravila verjetnosti pri uniji
dveh medsebojno neodvisnih dogodkov lahko zapišemo:
P(X ∈ B) = P(X ∈ A) + P(X ∈ (x 1 ,x 2 ])
F X (x 2 ) = F X (x 1 ) + P(x 1 < X < x 2 )
P(x 1 < X < x 2 ) = F X (x 1 ) − F X (x 2 ) > 0 , x 1 < x 2 .
Lastnost 4 pravi, da je F X (x) monotono nepadajoča funkcija. Izhaja iz lastnosti
5, saj lahko P(x 1 < X x 2 ) 0 z večanjem intervala [x 1 ,x 2 ] le narašča.
Zadnja našteta lastnost – vrednost F X (x) v diskontinuiteti je enaka desni
limiti F X (x) – izhaja iz definicije (6.7). Interval (−∞,x] je z desne zaprt in
iz (6.8), kjer smo skok F X (x) pri vrednosti x = a modelirali z zamaknjeno
enotsko stopnico
{
1 x a
u(x − a) =
. (6.12)
0 x < a
Vrednost 1 smo priredili x = a. Naredi enotsko stopnico zvezno na desni
strani in konsistentno s funkcijo porazdelitve porazdelitve verjetnosti (slika 6.9).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.1 Naključne spremenljivke 125
FX ( x )
F X
(a)= F X
(a+0)
F X
(a0)
p =P X=a
a ( ) Slika 6.9
Nezveznost F X (x) v x = a.
0
a
x
6.1.1 Določitev porazdelitvenih funkcij
Tam, kjer je funkcija porazdelitve verjetnosti F X (x) odvedljiva, lahko funkcijo
porazdelitve gostote verjetnosti f X (x) določimo z odvajanjem F X (x):
f X (x) = d F X(x)
dx
, (6.13)
oziroma z limito aproksimacije odvoda:
F X (x + ∆x) − F X (x)
f X (x) = lim
∆x→0 ∆x
. (6.14)
Obrazec (6.13) vodi k aproksimaciji funkcije porazdelitve gostote verjetnosti
pri diskretnih naključnih funkcijah, ki jih imenujemo histogrami. Obravnavamo
jih v razdelku 6.4 na strani 147.
Poudarimo, da funkcija porazdelitve gostote ni verjetnost, verjetnost določa
integral funkcije porazdelitve gostote. Osnovne lastnosti funkcije porazdelitve
gostote smo že spoznali pri izpeljavi (6.3) – (6.6), zato jih le na kratko
povzemimo:
1. f x (x) 0 , −∞ < x < ∞ (6.15a)
2. (en. 6.7)
∫ ∞
−∞
3. (en. 6.8) F X (x) =
f x (x) dx = 1
∫ x
4. (en. 6.6) P(a < X b) =
∞
f x (x) dx
∫ b
a
f x (x) dx
(6.15b)
(6.15c)
(6.15d)
Na slikah 6.7 in 6.8 smo f x (x) v točki nezveznosti F X (x) podali kar z
verjetnostjo p i , da diskretna naključna spremenljivka zavzame vrednost x i . V
mnogih učbenikih je izpeljana z odvodom:
datoteka: signal_A
d
dx [P(X = x i)u(x − x i )] = P(X = x i )δ(x − x i ) = p i , (6.16)

126 6. Naključni signali in statistične metode
kjer je δ(x − x i ) enotski ali Diracov impulz zamaknjen za vrednost x i . Diracov
impulz je širše opisan v poglavju 7 na strani 161. Zato tu le opozorimo,
da (6.16) podaja jakost impulza, ki jo grafično težko predstavimo. Zato smo
jo v opisanih zgledih predstavili kot utežen Kroneckerov impulz. Tako predstavitev
ohranjamo tudi v nadalje.
6.1.2 Naključni vektorji
Mnogo je naključnih pojavov, ko ne shajamo z eno samo naključno spremenljivko.
Med njimi so najpogostejši problemi z dvema naključnima spremenljivkama,
na primer naključni elementi dvo-dimenzionalnih slik. Tak element
obravnavamo kot naključni vektor ali vektor naključnih spremenljivk, ki ima
na primer pri slikah z dve komponenti – naključni spremenljivki. Zato pri poskusih
vedno merimo vse spremenljivke, ki jih predstavimo kot komponente
vektorja v večdimenzionalnem vzorčnem prostoru S x . V njem posamezni
elementarni dogodek s označuje uresničitev poskusa, pri katerem izmerimo
N-terico vrednosti {x 1 ,x 2 ,...,x n }. Te vrednosti obravnavamo kot komponente
vektorja x. Predpis, ki dogodku s priredi vrednosti, ki določajo vektor
x v S x , imenujemo vektorska funkcija naključnega dogodka. Velja:
X(s) = (X 1 (s),Y (s),...,X n (s)) = x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) . (6.17)
Na splošno ima vsaka izmed komponent X i (s) svoj vzorčni prostor S Xi . Običajno
pravimo, da je vzorčni prostor vektorske funkcije kartetični produkt
vzorčnih prostorov komponent:
S X = S X1 × S X2 × ··· × S Xn . (6.18)
Z množico točk v tem prostoru potem lahko upodobimo poljubni dogodek
A X . Če je mogoče poljubnemu dogodku A X v vzorčnem prostoru S X pripisati
verjetnost, ki je enaka verjetnosti abstraktnega dogodka A, iz katerega je
A X nastal, pravimo, da je vektorska funkcija merljiva in označuje naključno
vektorsko spremenljivko.
ZGLED 6.1.4 (povezana verjetnost pri metanju dveh kovancev)
Vzorčni prostor S pri metanju dveh kovancev lahko preslikamo v xy ravnino – združeni
vzorčni prostor S X = S X × S y 6.10. V tem prostoru naj X(s) = 1 označuje dogodek
Slika 6.10
Preslikava S v xy ravnino.
S
s cg
s gc
s cc
s gg
S Y
1
0 0 1
S X S Y
S X
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.1 Naključne spremenljivke 127
“vsaj ena glava”, X(s) = 0 “nobene glave”, Y (s) = 1 “vsaj ena cifra” in Y (s) = 0 “nobene
cifra. Verjetnost vezanega dogodka naključnih spremenljivk X in Y so:
P[(X,Y ) = (0,1)] = P[s = s cc ] = 1 / 4
P[(X,Y ) = (1,0)] = P[s = s gg ] = 1 / 4
P[(X,Y ) = (1,1)] = P[s = {s cg ,s gc }] = 1 / 2 . ♦
Funkcija povezane porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X in
Y je definirana z:
F XY (x,y) = P [ {s : X(s) ∈ (−∞,x] in Y (s) ∈ (−∞,y] in s ∈ S } ]
= P ( (X x) ∩ (Y y) ) , (6.19)
ki je direktna razširitev porazdelitvene funkcije ene naključne spremenljivke.
Pogosto je zapisana tudi v obliki:
F XY (x,y) = P(X x,Y y)
=
∫ x
−∞
∫ y
−∞
(6.20a)
f XY (x,y) dx dy , (6.20b)
kjer je f XY (x,y) vektorska ali tudi povezana porazdelitev gostote verjetnosti.
Izrazimo jo lahko v obliki:
f XY (x,y) = ∂ 2
Lastnosti vektorske porazdelitvene funkcije
∂x∂y F XY (x,y) . (6.21)
Vektorsko porazdelitveno funkcijo imenujemo tudi povezana porazdelitvena
funkcija. Združena porazdelitvena funkcija F XY (a,b) je verjetnost, da X in Y
ležita znotraj neskončnega območja xy ravnine (slika 6.11).
S Y , y
b
0
a
S X S Y
S Y , x
Slika 6.11
Območje F XY (a,b).
Osnovne lastnosti povezane porazdelitvene funkcije so:
1. Verjetnost, da pri poskusu izmerimo vrednost izven območja končnih
vrednosti je nič:
datoteka: signal_A
lim
x→−∞
y→−∞
F XY (x,y) = F XY (∅) = 0 , (6.22)

128 6. Naključni signali in statistične metode
torej: F XY (−∞,y) = F XY (x,−∞) = F XY (−∞,−∞) = 0. Verjetnost, da
je vektor kjerkoli v ravnini (x,y), je enaka ena:
lim F XY (x,y) = F XY (S X ) = 1 , (6.23)
x→∞
y→∞
oziroma F XY (∞,∞) = 1.
2. F XY (x,y) je verjetnost, zato:
0 F XY (x,y) 1 . (6.24)
Ta lastnost direktno izhaja iz lastnosti 1, podobno kot pri skalarni naključni
spremenljivki.
3. F XY (x,y) je monotona, nepadajoča funkcija v vseh dimenzijah prostora
S X .
4. Robno ali marginalno porazdelitev gostote verjetnosti dveh naključnih
spremenljivk določata:
∫ x
F X (x) =
F Y (y) =
∫ ∞
−∞ −∞
∫ ∞ ∫ y
−∞
−∞
ki se v splošni (skupni) obliki glasita:
f XY (x,y) dx dy
F XY (x,∞) = P(X x) = F X (x)
(6.25a)
f XY (x,y) dx dy , (6.25b)
(6.26a)
F XY (∞,y) = P(Y y) = F Y (y) . (6.26b)
5. P(a 1 < X a 2 ,b 1

F XY (x,y) = 1 4 u(x − 1) + 1 4 u(y − 1) + 1 2 u(x − 1)u(y − 1) . (6.27) ♦
6.1 Naključne spremenljivke 129
ZGLED 6.1.5 (Povezana porazdelitev verjetnosti pri metanju dveh kovancev)
Za vzorčni prostor S iz zgleda 6.1.4 določimo F XY (x,y).
REŠITEV: Povezana porazdelitev je določena z:
F XY (x,y) = 1 x 1,y 1 F XY (x,y) = 1 4
0 x < 1,y 1
F XY (x,y) = 1 4
x 1,0 y < 1 F XY (x,y) = 0 x < 1 ali y < 1 .
V dvodimenzionalnih vzročnih prostorih – kot je ta v obravnavanem primeru – lahko
povezano porazdelitev prikažemo tudi v grafični obliki (slika 6.12b). Povezano poraz-
S Y , y
b 1
S X S Y
F XY ( x,y)
1
3/
4
1/
2
1/
4
1
S Y , y
S X S Y
b 2
a 2
0
a 1
S Y , x
0 1
S X , x
(a) Območje P(a 1 < X a 2 ,b 1 < Y b 2 ).
(b) Preslikava S v xy ravnino.
Slika 6.12
delitveno funkcijo lahko zapišemo tudi kot:
datoteka: signal_A

130 6. Naključni signali in statistične metode
Lastnosti gostote vektorske porazdelitvene funkcije
Osnovne lastnosti funkcije gostote povezane porazdelitvene funkcije so:
1. f XY (x,y) 0 (6.28a)
2.
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
f XY (x,y) dx dy = 1
3. F XY (x,y) =
4. f x (x) =
f y (y) =
5. P(a 1 < X a 2 ,b 1 < Y b 2 ) =
∫ x
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
∫ y
−∞
−∞
∫ a2
∫ b2
a 1
f XY (x,y) dx dy
f XY (x,y) dy
f XY (x,y) dx
(6.28b)
(6.28c)
(6.28d)
(6.28e)
b 1
f XY (x,y) dx dy (6.28f)
Funkcija gostote povezane porazdelitve je lahko večja od 1, ker pa smo jo
definirali kot odvod monotono nepadajoče funkcije (povezane porazdelitve),
mora biti enaka ali večja od nič.
Z lastnostjo 5 v splošnem lahko bolj enostavno izračunamo povezano porazdelitev
kot s to lastnostjo pri funkciji povezane porazdelitve.
Zaradi lastnosti 4 ob upoštevanju pravila 3 ter pravila odvajanja integralov
lahko izpeljemo obrazca za izračun robne funkcije gostote povezane porazdelitve:
ki se glasita:
dF XY (x)
dx
= d ∫ x ∫ ∞
f XY (x,y) dy ,
dx −∞ −∞
f X (x) = dF XY (x)
dx
f Y (y) = dF XY (y)
dy
= dF XY (x,∞)
dx
= dF XY (y,∞)
dy
ZGLED 6.1.6 (Gostota povezane porazdelitve)
Določimo gostoto povezane porazdelitve iz zgleda 6.1.5!
(6.29a)
. (6.29b)
REŠITEV:
V zgledu 6.1.5 je povezana porazdelitev
[en. (6.27)] F XY (x,y) =
4 1u(x − 1) + 4 1u(y − 1) + 2 1 u(x − 1)u(y − 1) .
Iz nje porazdelitev gostote verjetnosti izračunamo z (6.21). Dobimo:
f XY (x,y) = ∂ 2 F XY (xy)
∂x∂y
= 1 4 δ(x − 1)δ(x) + 4 1δ(y)δ(y − 1) + 1 2δ(x − 1)δ(y − 1) ,
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.1 Naključne spremenljivke 131
kjer smo upoštevali, da je du(x − x 0 )/ dx = δ(x − x 0 ), δ(x − x 0 ) je Diracov impulz
v točki x 0 (slika 6.13a). Določa lego vrednosti P(X = x i ,Y = y j ) = p i j , ki jih lahko
f XY ( x,y)
1
3/
4
1/
2
1/
4
/
1 4
1
/
1 4
0 1
S Y , y
1/
2
S X S Y
S X , x
f XY ( x,y)
1
3/
4
1/
2
1/
4
0 1
S Y , y
p
p 11
01
1
p 10
S X S Y
S X , x
(a) predstavitev pdf z Diracovimi impulzi
(b) predstavitev pdf z Kroneckerovimi impulzi
Slika 6.13
Porazdelitev gostote verjetnosti.
predstavimo kot utežene Kroneckerove impulze (slika 6.13b).
♦
Statistična neodvisnost
Spomnimo se, da smo za dogodka, na primer A in B, izjavili, da sta statistično
neodvisna takrat in samo takrat, če velja:
[en. (A.30)] P(A ∩ B) = P(A)(B) .
Če dogodka A in B predstavljata realizacijo naključnih spremenljivk X in Y ,
torej A = {X x} = (−∞,x] in B = {Y y} = (−∞,y], iz pogoja (A.30)
uvidimo, sta naključni spremenljivki X in Y statistično neodvisni takrat in
samo takrat, ko velja:
oziroma
P(X x,Y y) = P(X x)P(Y y) (6.30)
F XY (x,y) = F X (x)F Y (y) . (6.31)
Z besedami, naključni spremenljivki X in Y sta statistično neodvisni, če in
samo če je možno njuno funkcijo povezane porazdelitve verjetnosti faktorizirati.
Če se da, se da faktorizirati tudi njuna funkcija gostote povezane
datoteka: signal_A

132 6. Naključni signali in statistične metode
porazdelitve:
f XY (x,y) = ∂ 2 F XY (x,y)
∂x∂y
in izračun povezane porazdelitve:
∫ x
F XY (x,y) =
= dF X(x)
dx
dF Y (y)
dy
= f X (x) f Y (y) (6.32)
=
−∞
∫ x
−∞
∫ y
−∞
f X (u) du
f XY (u,v) du dv
∫ y
−∞
f Y (v) dv . (6.33)
Če naključni spremenljivki X in X nista neodvisni, potem poznavanje f X (x)
in f Y (y) ni dovolj, da bi določili f XY (x,y).
6.1.3 Funkcija porazdelitve pogojne verjetnost
Če naključni spremenljivki X in Y nista neodvisni, potem lahko funkcijo porazdelitve
določimo s pogojno verjetnostjo. Pri tem izhajamo iz:
[en. (A.27)] P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
,
dogodkoma A in B pa pripišemo A = {X x} = (−∞,x] in Y ∈ B. Potem
lahko funkcijo porazdelitve pogojne verjetnosti definiramo z:
F X (x|Y ∈ B) = F X (X x|Y ∈ B)
=
P(X x,Y ∈ B)
P(Y ∈ B)
, P(Y ∈ B) > 0 , (6.34)
ki izpolni vse pogoje funkcije porazdelitve verjetnosti. Z odvajanjem (6.34)
dobimo funkcijo porazdelitve pogojne verjetnosti:
f X (x|Y ∈ B) =
dF(X|Y ∈ B)
dx
. (6.35)
Funkcijo porazdelitev verjetnosti X pri določeni vrednosti Y lahko določimo
s pogojno verjetnostjo. Na primer, imejmo dve naključni spremenljivki X in
Y , ki imata povezano porazdelitev gostote verjetnosti f XY (x,y). Zanima nas
verjetnost, da je naključna spremenljivka X x pogojena z nahajanjem Y v
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.2 Statistična povprečja 133
intervalu y − ∆y < Y y – torej verjetnost dogodka (X x|y − ∆y < Y Y ).
Upoštevajmo (6.1.3) in dobimo:
P(X x|y − ∆y < Y y) =
∫ x
∫ y
−∞ y−∆y
∫ y
y−∆y
f XY (u,v) du dv
. (6.36)
f Y (v) dv
Vrednost P(X x|Y = y) dobimo z limitnim postopkom z ∆y → 0, vendar
direktno računanje da neuporabni rezultat – P(X x|Y = y) = 0/0. Temu
se izognemo z uporabo prvega izreka o povprečni vrednosti ( ∫ b
a g(z) dz =
(b − a)g(c), a c b). Dobimo:
P(X x|y − ∆y < Y y) =
∫ x
−∞
∆y f XY (u,y ′ ) du
∆y f Y (y ′′ )
y ∆ yy ′ y,
y ∆ yy ′′ y
,
kjer okrajšamo ∆y in sedaj z limitnim postopkom z ∆y → 0 dobimo:
F X|Y (X|Y ) = lim P(X x|y − ∆y < Y y) ≡ P(X|Y )
=
∆y→0
∫ x
−∞
f XY (u,y) du
f Y (y)
. (6.37)
Predpostavimo, da sta v intervalu (y − ∆y,y] porazdelitvi gostote verjetnosti
f XY (x,y) in f Y (y) zvezni, torej na njem obstajata njuna odvoda. Odvajajmo
(6.37) po spremenljivki x:
f X|Y (x|y) = dF X|Y (X|Y )
dx
= f XY (x,y)
f Y (y)
. (6.38a)
Gornji obrazec določa funkcijo gostote pogojne verjetnosti X pri danem Y .
Podoben obrazec dobimo za funkcijo gostote pogojne verjetnosti Y pri danem
X:
f Y |X (y|x) = dF Y |XY (Y |X)
= f XY (x,y)
. (6.38b)
dx f X (x)
Zapisane relacije za pogojne porazdelitvene funkcije lahko enostavno razširimo
na večdimenzionalne naključne spremenljivke.
6.2 Statistična povprečja
Pri karakterizaciji rezultatov eksperimentov in pri naključnih spremenljivkah,
ki so definirane nad prostorom zbirke možnih spremenljivk, imajo povprečne
datoteka: signal_A

134 6. Naključni signali in statistične metode
vrednosti zelo pomembno vlogo. Posebej sta zanimiva prvi in drugi moment
ene naključne spremenljivke in povezani momenti me dvema naključnima
spremenljivkama, kot sta korelacija in kovarianca.
6.2.1 Pričakovana vrednost
Opazujmo eksperiment z n možnimi izidi. Ti izidi so zaloga vrednosti naključne
spremenljivke X, X = {x 1 ,x 2 ,...,x n }. Napravimo M poizkusov v
katerem se izid x 1 pojavi N 1 krat, izid x 2 se zgodi N 2 krat in tako naprej
vse do izida x n , ki se zgodi N n krat. Seveda je M = ∑ i N i . Tvorimo vsoto
x 1 N 1 + x 2 N 2 + ··· + x n N n in jo delimo z M. Dobimo empirično povprečje
naključne spremenljivke X:
X emp. = x N 1
1
povpr. M + x N 2
2
M + ···x i
N i
M + ··· + x n
N n
M , (6.39)
kjer so N i /M, i = 1,2,...,n frekvenčna razmerja dogodkov. Če večamo število
M proti neskončnosti, preidejo frekvenčna razmerja v verjetnost dogodkov
P(X = x i ) = p i , empirično povprečje pa limitira k povprečni vrednosti
µ x , ki ga imenujemo pričakovana ali srednja vrednost naključne spremenljivke
X. Zato je zanjo pogosta oznaka E[X]. V literaturi se zanjo najde tudi
ime matematično upanje. Velja:
oziroma:
lim
M→∞ X emp. povpr. = µ x = E[X] , (6.40)
µ x = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + ··· + x n P(X = x n )
= x 1 p 1 + x 2 p 2 + ··· + x n p n
=
n
∑
i=1
x i p i =
n
∑
i=1
x i f X (x i ) , (6.41)
kjer množica p 1 , p 2 ,..., p n določa diskretno funkcijo porazdelitve gostote
verjetnosti f X (x i ). Pri zveznih sistemih, kjer ima naključna spremenljivka X
neskončno mnogo možnih vrednosti, funkcijo f X (x i ) nadomesti f X (x), vsoto
pa integral:
∫ ∞
E[X] = x f X (x) dx . (6.42)
−∞
Pričakovana vrednost je linearna operacija, zato:
E[X +Y ] = E[X] + E[Y ]
(6.43a)
E[αX] = αE[X] . (6.43b)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.2 Statistična povprečja 135
6.2.2 Momenti
Pričakovano vrednost E[X] večkrat imenujemo prvi moment naključne spremenljivke
X. Ime moment je privzeto zaradi podobnosti enačbe za matematično
upanje z momentno enačbo v mehaniki – upanje, da bo spremenljivka
zavzela neko vrednost, je sorazmerno velikosti spremenljivke (ročici) × porazdelitvi
verjetnosti te spremenljivke (sili).
Poleg prvega momenta poznamo še momente višjega reda. Definiramo jih
kot povprečja k-te potence naključne spremenljivke:
E[X m ] = ∑xi m f X (x i ) (6.44)
i
oziroma pri zveznih naključnih spremenljivkah je enak
∫
E[X m ] = x m f X (x) dx . (6.45)
S X
Drugi moment imenujemo tudi srednja kvadratična vrednost naključne spremenljivke
X. Momente uporabljamo takrat, kadar želimo približno okarakterizirati
lastnosti gostote porazdelitve naključnih vrednosti.
6.2.3 Splošna povprečja
Momenti seveda veljajo ne le za naključno spremenljivko X, ampak tudi za
njene poljubne funkcije. Privzemimo, da velja Y = g(X), kjer je g(X) funkcija
X. Pričakovana vrednost Y je:
E[Y ]) = E [ (g(X) ] =
∞
∑
i=−∞
oziroma pri zveznih naključnih spremenljivkah:
E[Y ] = E [ (g(X) ] =
∫ ∞
−∞
g(x i ) f X (x i ) , (6.46)
g(x) f X (x) dx . (6.47)
Zgornja obrazca lahko razširimo na vektorske funkcije. Na primer, bodi Z =
g(X,Y ). Pričakovana vrednost Z je
E[Z] =
∞
∑
i=−∞
g(z i ) f Z (z i )
= E[g(X,Y )] = ∑
i
oziroma pri zveznih naključnih spremenljivkah:
datoteka: signal_A
E[Z] = E[g(X,Y )] =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
∑g(x i ,y k ) f XY (x i ,y k ) , (6.48)
k
g(x,y) f XY (x,y) dx dy . (6.49)

136 6. Naključni signali in statistične metode
6.2.4 Centralni momenti
Oglejmo si še posebni primer pričakovane vrednosti za Y = (X − µ x ) n , kjer
je µ x srednja vrednost naključne spremenljivke X:
E[Y ] = E [ (X − µ x ) n] =
∞
∑
i=−∞
Pri zveznih naključnih spremenljivkah X pa velja:
E[Y ] = E [ (X − µ x ) n] =
∫ ∞
−∞
(x i − µ x ) n f X (x i ) , (6.50)
(x − µ x ) n f X (x) dx . (6.51)
Tej pričakovani vrednosti pravimo tudi n-ti centralni moment naključne spremenljivke
X. Moment je centralni, ker se nanaša na srednjo vrednost naključne
spremenljivke.
6.2.5 Varianca
Za n = 2 dobimo zelo pomemben centralni moment, zato ima svoje ime:
varianca ali disperzija oziroma razpršitev vrednosti spremenljivke X okoli
njene srednje vrednosti:
var[X] = E [ (X − µ x ) 2] . (6.52)
Koren iz variance je srednje kvadratično odstopanje ali tipična deviacija oziroma
tipični odklon:
σ x = √ var[X] . (6.53)
S σ x merimo širino gostote porazdelitve verjetnosti okoli povprečja. Če je
pričakovana vrednost spremenljivke X enako nič, je varianca enaka drugemu
momentu spremenljivke X:
σ 2 x = E [ X 2] , E[X] = 0 . (6.54)
Z uporabo lastnosti (6.43) – linearnosti – lahko (6.52) poenostavimo v:
σ 2 x = E [ X 2] − µ 2 x = E [ X 2] − (E [X]) 2 . (6.55)
6.2.6 Momenti vektorski spremenljivk
Definicijo momenta brez težav razširimo tudi na porazdelitev vektorskih naključnih
spremenljivk. Na primer, če imamo naključni zvezni spremenljivki
X in Y z povezano porazdelitvijo gostote verjetnosti f XY (x,y), množico povezanih
momentov definirajmo z:
E[X k Y n ) =
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
x k y n f XY (x,y) dx dy , k,n ∈ N . (6.56)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti 137
Kadar je vektorska funkcija diskretna, preide zgornji integral v vsoto, funkcija
porazdelitve gostote verjetnosti pa v diskretno funkcijo porazdelitve
6.2.7 Korelacija in kovarianca
f XY (x i ,y j ) = {p 11 , p 12 ,..., p i j ,...} . (6.57)
Posebej pomembna sta združeni moment in združeni centralni moment pri
k = n = 1. Prvega imenujemo korelacija, drugega pa kovarianca naključnih
spremenljivk X in Y . Če je njuna povezana porazdelitev gostote verjetnosti
f XY (x,y), potem je korelacija naključnih spremenljivk X in Y določena z:
∫ ∞ ∫ ∞
E[XY ] = ρ xy = xy f XY (x,y) dx dy , (6.58)
−∞ −∞
kovarianca pa z:
cov[X,Y ] = E[(X − µ x )(Y − µ y )]
=
=
∫ ∞ ∫ ∞
−∞ −∞
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
−∞
(x − µ x )(y − µ y ) f XY (x,y) dx dy
xy f XY (x,y) dx dy − µ x µ y
= E[XY ] − µ x µ y . (6.59)
Naključni spremenljivki X in Y sta nekorelirani, če velja:
E[XY ] = E[X]E[Y ] = µ x µ y . (6.60)
V tem primeru je tudi kovarianca med tema naključnima spremenljivkama
enaka nič. Ta pogoj je zagotovo izpolnjen pri statistično neodvisnih naključnih
spremenljivkah. Obratno pa vedno ne velja. Iz zgornjega pogoja
za povprečje namreč ne izhaja, da je možno gostoto f XY (x,y) faktorizirati v
f X (x) f Y (y). Če je korelacija dveh spremenljivk enaka nič, sta lahko ti spremenljivki
medsebojno ortogonalni. Zato moramo biti pri uporabi teh obrazcev
pazljivi, da ne zamenjamo nekoreliranih spremenljivk z ortogonalnimi.
6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti
V naslednjih podpoglavjih je kratek pregled porazdelitev verjetnosti, ki jih
pogosto srečamo v teoriji prenosa signalov. Podane so njihove porazdelitve
gostote verjetnosti in kumulativne porazdelitve verjetnosti. Pregled se prične
s primerom za diskretno naključno spremenljivko, sledi pa več primerov za
zvezne naključne spremenljivke.
datoteka: signal_A

138 6. Naključni signali in statistične metode
P( X = x i )
1
0,5
1-p
p
0 1
Slika 6.14
Primer porazdelitve
verjetnosti X = {0,1}.
x
6.3.1 Binomska porazdelitev
Binomsko porazdelitev uporabljamo predvsem za izračunavanje verjetnosti
pri ponavljanju poskusa, ki ima le dva možna izida (primer takega poskusa
je metanje kovanca). Vzemimo, da je pri poskusu lahko izid dogodek A.
Če se ta ne realizira, se realizira nasprotni dogodek B = A. Bodi verjetnost
dogodka A enak p, dogodka B pa q. Ker sta dogodka A in B nepovezana, velja
P(S ) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1, zato 1 = p + q oziroma q = 1 − p
(slika 6.14). Z indikatorsko funkcijo dogodka A in B preslikamo na x-os:
A ↦→ 1,B ↦→ 0. S tem uvedemo Bernoullijevo spremenljivko X i = {0,1}.
Naredimo n poskusov, ti naj določijo spremenljivko Y :
Y =
n
∑
i=1
X i (6.61)
in se vprašamo: kolika je verjetnost, da se bo v tem poskusu k-krat zgodil
dogodek A oziroma, da bo k spremenljivk X i enakih 1? Vrstni red realizacije
pri tem naj ne bo pomemben. Da odgovorimo na to vprašanje, upoštevajmo,
da iz (6.61) sledi, da je S Y = {0,1,...,n}. Verjetnost P(Y = 0) je enaka verjetnosti,
da so vsi X i enaki 0. Ker je X i statistično neodvisna spremenljivka,
velja:
P(Y = 0) = q n = (1 − p) n . (6.62)
Verjetnost P(Y = 1) je verjetnost, da je en X i = 1. Ta dogodek se more zgoditi
na n različnih načinov:
P(Y = 1) = np(1 − p) n−1 . (6.63)
Posplošimo. Verjetnost P(Y = k) je enaka verjetnosti, da je bil v poskusu
k-krat X = 1 in zato (n − k)-krat X = 0. To je možno doseči v
kombinacijah. Iz tega sledi
( n
k)
=
P(Y = k) =
n!
k!(n − k)!
(6.64)
( n
k)
p k (1 − p) n−k . (6.65)
To porazdelitev imenujemo Bernoullijeva ali binomska porazdelitev. Iz (6.65)
sledi, da je funkcija porazdelitve gostote verjetnosti enaka:
f Y (y i ) =
n
∑
k=0
n
∑
P(Y = k)δ K (y − k)
) n
= p
k=0( k (1 − p) n−k δ K (y − k) , (6.66)
k
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti 139
kjer je δ K Kroneckerov impulz, kumulativna porazdelitev verjetnosti pa je
enaka:
⌈y⌉ ) n
F Y (y i ) = P(Y y) = ∑ p
k=0( k (1 − p) n−k , (6.67)
k
kjer pomeni ⌈y⌉ največje celo število m za katerega še velja m y. Kumulativna
porazdelitev verjetnosti v zgornji enačbi opisuje binomsko porazdelitev
naključne spremenljivke (slika 6.15b). Srednja vrednost in varianca Y sta:
p i, fX ( x)
0,4
FX ( x)
1
0,8
0,9533 1,000
0,7667
0,3
0,2765 0,3110 0,1866
0,6
0,4557
0,2
0,1
0,0369
0,1382
0,0467
0,4
0,2
0,1792
0,041
p p 3 4
p p 5 2
p 1
p 6
1 2 3 4 5 6 x
1 2 3 4 5 6 x
(a) porazdelitev gostote
(b) kumulativna porazdelitev
Slika 6.15
Primer binomske porazdelitve pri n = 6 in p = 0,6.
6.3.2 Poisonova porazdelitev
µ y = E[Y ] = np (6.68)
var[(Y − µ x ) 2 ] = σ 2 y = npq = np(1 − p) . (6.69)
Kadar je število poskusov zelo veliko in verjetnost dogodka A tako majhna,
da je np ≈ 1, lahko binomsko porazdelitev aproksimiramo s Poissonovo porazdelitvijo
s parametrom α. Poglejmo:
−a ak
P(X = k) = e
k!
V tem primeru je porazdelitev gostote verjetnosti enaka:
f X (x i ) = e −a
∞
∑
k=−∞
in pripadajoča porazdelitev je:
datoteka: signal_A
F X (x i ) = e −a
∞
∑
k=−∞
, k = 0,1,... (6.70)
a k
k! δ K(x − k) , k = 0,1,... (6.71)
a k
u(x − k) , k = 0,1,... (6.72)
k!

140 6. Naključni signali in statistične metode
Srednja vrednost in varianca pri tej porazdelitvi sta enaki:
µ x = E[X] = a (6.73)
σ 2 x = a (6.74)
Poissonova porazdelitev se pojavi pri problemih povezanih s štetjem, na primer
števila telefonskih klicev, ki prihajajo ob različnih časovnih intervalih.
6.3.3 Uniformna porazdelitev
Uniformno porazdelitev gostote verjetnosti in kumulativne porazdelitve verjetnosti
(slika 6.16) določata:
⎧
⎨ 1
a x b
f X (x) = b − a
(6.75)
⎩
0 sicer
∫ ∞
∫ b
F X (x) = f x (x) dx = k dx = k(b − a) . (6.76)
−∞
a
Prva dva momenta in varianca naključne spremenljivke X so:
E[X] = µ x = a + b
2
E[X 2 ] = a2 + b 2 + ab
3
var(X) = E[X 2 ] − (µ x ) 2 = σ 2 x =
(a − b)2
12
(6.77)
(6.78)
. (6.79)
Slika 6.16
Potek enakomerne porazdelitve f X (x) in
pripadajoče kumulativne porazdelitve
F X (x).
a
fX( x) FX( x)
1 1
0
1/( b-a)
b
x
a
0,5
(a+ b)/2
b
x
ZGLED 6.3.1 (enakomerna porazdelitev)
Za porazdelitev f X (x) določeno z (6.75) določimo:
1. konstanto k
2. verjetnost P(|X| 1 / 2 ) pri a = −1 in b = 2
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti 141
REŠITEV:
1. Iz lastnosti porazdelitve verjetnosti gostote (6.11a) sledi, da k mora biti pozitivna
konstanta, iz druge lastnosti (6.11b) pa lahko izračunamo:
∫ ∞
−∞
od koder dobimo k = 1/(b − a), oziroma:
∫ b
f X (x) dx = k dx = k(b − a) = 1
a
f X (x) =
{ 1
b−a
0 sicer
a x b
2. Upoštevajmo meji a = −1 in b = 2 in izračunamo porazdelitev gostote verjetnosti:
{ 13
−1 x 2
f X (x) =
0 sicer
1/3
fX( x)
1
0,5 1/3
Verjetnost P(|X| 1 / 2 ) pa izračunamo z (6.11d): -1 -0,5 0 0,5 2 x
P(|X| 1 / 2 ) = P(− 1 / 2 X 1 / 2 )
=
∫ 1/2
−1/2
f X (x) dx =
∫ 1/2
−1/2
1
3 dx = 1 3
♦
Slika 6.17
6.3.4 Gaussova ali normalna porazdelitev
Naključno spremenljivko Xs funkcijo porazdelitve:
1
f X (x) = √
2πσ 2
{
exp − 1 ( x−µx
) 2
}
2 σ
(6.80)
imenujemo Gaussova ali normalna spremenljivka. V (6.80) sta konstanti µ x
srednja vrednost in σ standardna deviacija: −∞ < µ x < ∞ in σ > 0. Funkcija
f X (x) ima zvončast potek (slika 6.18). Maksimum ima v točki x = µ x in je
fX( x)
a
0,61a
0,14a
x
x
0 x
3
x
2
x
a= Slika 6.18
Porazdelitev gostote verjetnosti pri
Gaussovi naključni spremenljivki.
x
2
x
3
x
datoteka: signal_A

142 6. Naključni signali in statistične metode
enak
1
f X (µ x ) = a = √
2πσ 2
,
v razdalji ±σ od srednje vrednosti pa pade 61% maksimalne vrednosti, pri
±2σ ima še 14% maksimalne vrednosti in pri ±3σ manj kot 0,1%. Pripadajoča
Gaussova porazdelitev verjetnosti F X (x) = P(Xq x) je zvezna,
monotona nepadajoča funkcija, ki ima pri x = µ x vrednost 1 / 2 (slika 6.19).
Slika 6.19
Porazdelitev verjetnosti
pri Gaussovi naključni
spremenljivki.
FX( x)
1
0,84
0,5
0,16
x
x
x
0 x
x
x
x
3
2
2
3
x
a b P(a x b)
−σ σ 0,6827
−2σ 2σ 0,9545
−3σ 3σ 0,9973
Gaussova funkcija porazdelitve gostote verjetnosti je ena izmed najpomembnejših
znanih funkcij gostote. Opisuje več različnih naključnih dogodkov
(in naključnih signalov) kot katerakoli druga porazdelitev. Njena
pomembnost v glavnem izhaja iz centralnega limitnega izreka (glej razdelek
6.5 na strani 150), ki pravi, da lahko skoraj vsako vsoto ali povprečje
naključnih spremenljivk opišemo z Gaussovimi porazdelitvami, ko število
členov postane (zelo) veliko. Če so naključne spremenljivke zvezne, potem
njihova vsota teži h Gaussovi porazdelitvi gostote.
Gaussova porazdelitev gostote se pojavlja v vseh področjih tehnike. Primeri
so: šum v polprevodnikih, ki izhaja iz gibanja elektronov, ki se zelo
dobro ujema z Gaussovo porazdelitvijo gostote, potem termični šum, šum
ozadja pri satelitskih komunikacijah in drugo.
Kumulativno Gaussovo porazdelitev verjetnosti dobimo z integriranjem
Gaussove porazdelitve gostote:
∫ x
F X (x) = f X (ξ ) dξ
−∞
∫
1 x
= √ exp
2πσ 2
−∞
{
− 1 2
(
ξ −µx
σ
) 2
}
dξ , (6.81)
ki jo z zamenjavo spremenljivk u = (ξ − µ x )/σ – od koder sledi du = dξ /σ
oziroma dξ = σ du – lahko zapišemo v bolj pregledni obliki:
F X (x) = 1 √
2π
∫ x
−∞
e −u2 /2 du . (6.82)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti 143
Integral (6.82) nima analitične rešitve, zato je izračun verjetnosti za izbrani
interval pri Gaussovi porazdelitvi mnogo težji kot pri katerikoli drugi porazdelitvi
verjetnosti. Ker pa je to zelo pomembna porazdelitev, obstajajo rezultati
numeričnega izračuna, s katerimi lahko preprosto izračunamo (6.82). Pot
do njih bomo ubrali preko dokaza, da je F X (∞) = P(∞) = 1.
DOKAZ 6.1
Izhajamo iz (6.82). Upoštevamo drugo lastnost funkcij porazdelitve gostote in zapišemo:
∫ ∞ 1
P(∞) = I = √ e −u2 /2 du = 1 (6.83)
−∞ 2π
in
∫ ∞ ∫ ∞
I 2 1
= I × I =
−∞ −∞ 2π e−u2 /2 e −v2 /2 du dv .
S transformacijo pravokotnih koordinat v polarne: u = r cosθ in v = r sinθ in inverzno
transformacijo r = √ u 2 + v 2 in θ = tan −1 u v ter du dv = r dr dθ dobimo:
∫ 2π ∫ ∞
∫
I 2 1
2π
= I × I =
0 0 2π e−r2 /2 −1
r=∞
r dr dθ =
0 2π e−r2 /2
∣ dθ
r=0
∫ 2π 1
=
2π dθ = 1 . □
0
Komplementarna funkcija napake Q(x)
Obrazec (6.83) lahko zapišemo tudi v obliki:
od koder sledi:
∫ x
1
√ e −u2 /2 du+
−∞ 2π
} {{ }
F X (x)
Q(x) = 1 − F X (x) =
∫ ∞
1
√
x 2π
} {{ }
Q(x)
∫ ∞
x
e −u2 /2 du = 1 , (6.84)
1
√ e −u2 /2 du . (6.85)
2π
Funkcijo Q(x) imenujemo zgornji del Gaussove porazdelitve oziroma komplementarna
funkcija napake (slika 6.20). V inženirski praksi je Q(x) zelo
pripravna za izračun normalne porazdelitve verjetnosti in določanja verjetnosti
preostalega pogreška, zato jo najdemo tabelirano v mnogih priročnikih (in
tudi v tej knjigi, tabela 6.1 na strani 145).
datoteka: signal_A

144 6. Naključni signali in statistične metode
fX( x)
Slika 6.20
Funkcija Q(x).
Q( x)
0 x
S x
Obrazec (6.85) ima tudi alternativno obliko. Izpeljemo jo iz (6.81) z naslednjo
zamenjavo spremenljivk:
( ) 2
√x−µ x
= v 2 .
2 σ
Izračunamo dx:
( )
y−µ
2 √ x dx
√ = 2v dv ⇒ dx = √ 2 σ dv
2 σ 2 σ
in vstavimo v (6.90). Dobimo:
∫
1 x √
∫
1 x
√ e −v2 2 σ dv = √ e −v2 dv = Q(x) . (6.86)
2π σ π
0
Normalizirana Gaussova porazdelitev
Ker lahko za µ x in σ izberemo neskončno število vrednosti, dobimo neskončno
število Gaussovih porazdelitev gostote verjetnosti. Zato je praktično,
če rešitve tabeliramo za normalizirano oziroma dogovorjeno standardno
obliko in iz nje dobimo vse ostale Gaussove porazdelitve. Za normalizirano
obliko so izbrali µ x = 0 in σ 2 = 1. Pri teh vrednosti (6.81) postane:
F X (x) = 1 √
2π
∫ x
−∞
komplementarna funkcija napake Q(x) pa:
0
e −ξ 2 /2 dξ , (6.87)
Q(x) = √ 1 ∫ ∞
e −ξ 2 /2 dξ . (6.88)
2π
x
Iz (6.84) sledi, da sta pri x = 0 normalizirana Gaussova porazdelitev verjetnosti
in komplementarna funkcija napake enaki:
F X (0) = Q(0) = 1 2
. (6.89)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.3 Nekatere porazdelitve verjetnosti 145
Tabela 6.1
Komplementarna funkcija Q(x)
x Q(x) x Q(x) x Q(x) x Q(x)
0,00 0,5000 1,00 0,1587 2,00 0,0228 3.00 0,00135
0,05 0,4801 1,10 0,1469 2,05 0,0202 3.05 0,00114
0,10 0,4602 1,10 0,1357 2,10 0,0179 3.10 0,00097
0,15 0,4404 1,15 0,1251 2,15 0,0158 3.15 0,00082
0,20 0,4207 1,20 0,1151 2,20 0,0139 3.20 0,00069
0,25 0,4013 1,25 0,1056 2,25 0,0122 3.25 0,00058
0,30 0,3821 1,30 0,0968 2,30 0,0107 3.30 0,00048
0,35 0,3632 1,35 0,0885 2,35 0,0094 3.35 0,00040
0,40 0,3446 1,40 0,0808 2,40 0,0082 3.40 0,00034
0,45 0,3264 1,45 0,0668 2,45 0,0071 3.45 0,00028
0,50 0,3085 1,50 0,0668 2,50 0,0062 3.50 0,00023
0,55 0,2912 1,55 0,0606 2,55 0,0054 3.55 0,00019
0,60 0,2743 1,60 0,0548 2,60 0,0047 3.60 0,00016
0,65 0,2578 1,65 0,0495 2,65 0,0040 3.65 0,00013
0,70 0,2420 1,70 0,0446 2,70 0,0035 3.70 0,00011
0,75 0,2266 1,75 0,0401 2,75 0,0030 3.75 0,00009
0,80 0,2169 1,80 0,0359 2,80 0,0026 3.80 0,00007
0,85 0,1977 1,85 0,0322 2,85 0,0022 3.85 0,00006
0,90 0,1841 1,90 0,0287 2,90 0,0019 3.90 0,00005
0,95 0,1711 1,95 0,0256 2,95 0,0016 3.95 0,00004
4,00 0,00003
4,25 10 −5
4,75 10 −6
5,20 10 −7
5,60 10 −8
Skaliranje Q(x)
Poudarimo, Q(x) je tabelirana samo za standardno Gaussovo porazdelitev za
pozitivne vrednosti x. Za vse ostale Gaussove porazdelitve µ ≠ 0 in σ 2 > 0
datoteka: signal_A

146 6. Naključni signali in statistične metode
pa izhajamo iz:
P(X > a) =
∫ ∞
a
1
√
{− exp 1 ( x−µx
) 2
}
2πσ 2 2
dx ,
kjer z zamenjavo spremenljivk u = (x − µ x )/σ in s skaliranem spodnje meje
integriranja: a = (a − µ x )/σ določimo pravilo uporabe tabeliranih vrednosti
funkcije Q(x):
1
P(X > a) = √
2πσ 2
∫ ∞
a−µx
σ
σ
e −u2 /2 du = Q ( a−µ x
)
σ
. (6.90)
Iz P(X b) = 1 − P(X > b) z upoštevanjem (6.90) sledi:
)
P(X b) = 1 − Q(
b−µx
σ
, (6.91)
kombinacija (6.90) in (6.91) pa da:
x
x
0 x
3
FX( x)
P(D)
P(F)
x
2
P(C)
x
P(A)
P(B)
x
2
x
3
x
P(a < X b) = P(X > a) − P(X > b)
= Q ( a−µ x
) ( )
σ − Q b−µx
σ
. (6.92)
Obrazci (6.90), (6.91) in (6.92) omogočajo izračun Q(x) za pozitivne vrednosti
x. Za negativne x pa zaradi sode simetrije f X (x) okoli vertikale skozi
x = µ x velja
Q(−c) = 1 − Q(c) . (6.93)
ZGLED 6.3.2
Določimo verjetnost ocen A, B, C, D in F, kadar je ocenjevanje narejeno na osnovi
Gaussove porazdelitve gostote verjetnosti. Meje med ocenami A, B, C, in D so pri
µ x + 2σ, µ x + σ, µ x − σ in µ − 2σ (slika 6.21).
Slika 6.21
REŠITEV:
Verjetnost A (in F) izračunamo iz:
P(A) = P(X > µ x + 2σ) = P( X−µ
σ
= Q(2) = 0,0228 = P(F) .
Verjetnost B (in D) izračunamo iz:
> µ x + 2σ − µ x
) = Q( µ x+2σ−µ x
σ
σ
P(A ∪ B) = P(X > µ x + σ) = P( X−µ
σ
= Q(1) = 0,1587 ,
> µ x + σ − µ x
) = Q( µ x+σ−µ x
σ
σ
)
od koder dobimo P(B) z
P(B) = P(A ∪ B) − P(A) = 0,1587 − 0,0228 = 0,1359 = P(D) .
Na koncu pa še P(C):
P(C) = 1 − 2P(A) − 2P(B) = 1 − 2·0,0228 − 2·0,1359 = 0,6826 . ♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.4 Histogrami 147
Funkcija napake Φ(x)
Pri računanju F X (x) lahko izhajamo iz njene vrednosti F X (0) = 1 / 2 in vrednost
F X (x) izračunamo z
oziroma
F X (x) = F(0) + √ 1 ∫ x
e −u2 /2 du (6.94)
2π
0
= F(0) + √ 1 ∫ x
e −v2 dv (6.95)
π
0
= 1 2 + erf(x) = 1 2
+ Φ(x) . (6.96)
fX( x)
erf( x)
Q( x)
Funkcijo erf(x) imenujemo funkcija napake. Iz (6.89) in (6.96) sledi: 0 x
erf(x) + erfc(x) = 1 2
. (6.97)
Slika 6.22
oziroma (slika 6.22):
Q(x) = 1 − erf(x) . (6.98)
2
Tudi funkcija erf(x) je tabelirana v številnih priročnikih.
OPOMBA 6.4 Oznaka erf izhaja iz angleškega imena te funkcije: error function, za oznako
erfc pa iz erf complementary.
6.4 Histogrami
Histogrami so stopničasti približek (zvezne) funkcije porazdelitve gostote
verjetnosti. Funkcija porazdelitve gostote je – kot vemo – odvod porazdelitvene
funkcije, ki smo ga v limitni obliki zapisali že v (6.14). Z njim
opisujemo porazdelitev gostote verjetnosti za diskretne dogodke oziroma jih
sestavimo iz rezultatov meritev naključne spremenljivke.
6.4.1 Teoretični histogram
S terminom teoretični histogram opisujemo postopek pridobitve histograma
iz zvezne porazdelitve gostote verjetnosti. Dobimo ga iz (6.14), kjer opustimo
limitni postopek:
ˆf (x) = F X(x + ∆x) − F X (x)
∆x
=
P(x < X x + ∆x)
∆x
. (6.99)
datoteka: signal_A

148 6. Naključni signali in statistične metode
Če območje f X (x),a < x b razdelimo na K intervalov tako, da je x 0 =
a,x K = b in x i−1 < x i , i = 1,2,...,K, in je i-ti interval določen z ∆x i = x i −
x i−1 . V tem primeru je teoretični histogram nad vsemi x določen z:
ˆf i (x) = F X(x i ) − F X (x i−1 )
x i − x i−1
, x i−1 < x i , i = 1,2,...,K . (6.100)
Obrazec (6.100) podaja verjetnost, da se vrednost naključne spremenljivke
nahaja znotraj intervala ∆x i .
Intervale ∆x i lahko določimo na različne načine. Med njimi sta pogosta
dva: (i) vsi intervali so enako dolgi, (ii) v vseh intervalih je enako velika
gostota verjetnosti. Prvi način je seveda preprostejši. Razliko med obema
ilustrira naslednji zgled.
ZGLED 6.4.1
Določimo histogram za linearno funkcijo gostote verjetnosti
f X (x) =
{
2x 0 < x 1
0 sicer
po prvi in drugi metodi. Število intervalov bodi K = 5.
REŠITEV:
Porazdelitev verjetnosti pri dani porazdelitvi njene gostote je:
∫ x
F X (x) = 2x dx =
0
⎧
0 x 0 ⎪⎨
x 2 0 < x 1
⎪⎩
1 x > 1
(i) Pri enako velikih intervalih so meje med njimi pri
verjetnosti pri teh mejah pa so
x i = 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1 ,
F X (x i ) = 0, 0,04, 0,16, 0,36, 0,64, 1 .
Vstavimo vrednosti F X (x i ) v (6.100). Dobimo vrednosti teoretičnega histograma
(slika 6.23a):
ˆf i (x) = 0,2 i = 1 ˆf i (x) = 1,4 i = 4
= 0,6 i = 2 = 1,8 i = 5
= 1,0 i = 3
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.4 Histogrami 149
f
^
i( x)
2,0
1,6
fX( x)
f
^
i( x)
2,0 f x X( )
1,6
1,2
f
^
i( x)
1,2
f
^
i( x)
0,8
0,8
0,4
Slika 6.23
Teoretični histogram porazdelitve.
0,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x
(a) enako dolgi intervali ∆x i (b) intervali z enako verjetnostjo ˆf i (x)
(ii) Pri enako velikih verjetnosti v posameznem intervalu razdelimo F X (x i ) na K enakih
delov:
F X (x i ) = 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1 .
Meje med intervali ∆x i izračunamo iz funkcije F X (x i ), vidimo da velja x i = √ F X (x i ) .
Pri izračunanih vrednostih F X (x i ) so meje pri
x i = 0, 0,447, 0,632, 0,775, 0,894, 1 .
Vstavimo te vrednosti v (6.100) in dobimo vrednosti teoretičnega histograma z
enakimi verjetnostmi (slika 6.23b):
ˆf i (x) = 0,447 i = 1 ˆf i (x) = 1,681 i = 4
= 1,081 i = 2 = 1,889 i = 5
= 1,339 i = 3 ♦
Pri neskončnem območju vrednosti naključne spremenljivke, imamo pri izbiri
enakih intervalov neskončno velike intervale. Posledica tega je, da so
ˆf i (x) = 0 pri vseh i. Pri intervalih z enakimi verjetnostmi sta f 1 (x) = 0 in
f K (x) = 0, saj sta ta intervala neskončno velika. To običajno kompenziramo
tako, da poiščemo območje x, izven katerega je verjetnost naključne spremenljivke
zanemarljiva. Območje pa potem razdelimo na intervale po opisanem
postopku.
datoteka: signal_A

150 6. Naključni signali in statistične metode
6.4.2 Empirični histogram
Iz zakona o velikih številih vemo, da ko se število opazovanj približuje neskončno,
postane verjetnost, da se vrednost naključne spremenljivke nahaja
znotraj intervala (x i−1 ,x i ], matematično je enaka F X (x i ) − F X (x i−1 ), postane
enaka relativni frekvenci opazovanja tega pojava: N i /N. Empirični histogram,
oziroma na kratko kar histogram nadomesti F X (x i ) − F X (x i−1 ) z ocenami
N i /N:
ˆf i (x) =
N i
N(x i − x i−1 )
, x i−1 < x x i , i = 1,2,...,K . (6.101)
Intervale izbiramo na enak način kot pri teoretičnem histogramu, torej enako
velike intervale ali intervale z enako verjetnostjo. Če verjetnost v posameznih
intervalih ni znana vnaprej, lahko intervale izberemo tako, da je v vsakem
intervalu isto število opazovanj.
6.5 Centralni limitni izrek
Bodi {X i } množica statistično neodvisnih, enako porazdeljenih naključnih
spremenljivk s srednjo vrednostjo ν in varianco σ 2 . Potem
Y =
ima E[Y ] = 0 in var(Y ) = 1 ter
N
∑
i=1
(X i − µ)
σ √ N
, (6.102)
lim F Y (y) = 1 ∫ y
√ e −u2 /2 du , (6.103)
N→∞ 2π −∞
ki ga imenujemo centralni limitni izrek. Izrek pravi, če so {X i } diskretne
naključne spremenljivke, njihova limita, ko N narašča proti neskončnosti, ne
more biti enaka f Y (y), ker je f Y (y) zvezna funkcija, se pa njihova kumulativna
porazdelitev prekriva z Gaussovo porazdelitveno funkcijo.
6.6 Naključni signali in šumi
Naključne spremenljivke, kot smo jih obravnavali do sedaj, so nam predstavljale
rezultate izidov poizkusov, katerih rezultat je bil negotov. Naključno
spremenljivko X smo obravnavali kot pravilo, ki priredi rezultatu x poizkusa
S število X(x). V naravi pa je mnogo pojavov, ki generirajo signal x(t), katerega
vrednost v naslednjem trenutku ne moremo napovedati čeprav poznamo
nekaj ali vse njegove prejšnje vrednosti. Te signale imenujemo naključni ali
slučajni signali. Procesi, ki generirajo takšne signale, so stohastični procesi.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.6 Naključni signali in šumi 151
6.6.1 Definicije in oznake
Prehod od naključnih spremenljivk k naključnim signalom lahko vodi preko
vektorskih spremenljivk
X = (X 1 ,X 2 ,...,X n ) , (6.104)
katerih komponente obravnavamo kot dogodke, ki se dogodijo na primer v
enakomernih časovnih intervalih. Za signale vemo, da so lahko zvezni ali
diskretni, prehodni ali neprehodni, zato mora vektorska spremenljivka, s katero
se da opisati vse te signale, imeti neskončno število komponent. Zato je
cilj, ki si ga sedaj zastavljamo, razširiti znane metode za naključne spremenljivke
tako, da bodo uporabne za opis vektorskih spremenljivk z neomejenim
številom komponent. To pa so že naključni signali.
Izhajamo iz vzorčnega prostora S , ki vsebuje množico elementarnih dogodkov
s, s ∈ S . Če tem dogodkom priredimo časovno funkcijo
X(t,s) ,
ki v trenutkih t priredi dogodkom s številčno vrednost,
X(t,s i ) = x i (t)
ustvarimo naključni ali stohastični proces. V njem X(t,s i ) imenujemo vzorčna
funkcija. Povzemimo. Naključne signale določa narava naključnega procesa.
Njegova natančna definicija je naslednja:
DEFINICIJA 6.6.1 (Naključni proces)
Če so:
1. S neprazna množica
2. P(·) mera verjetnosti, ki velja za podmnožice množice S in
3. če vsakemu elementu s ∈ S pripada časovna funkcija X(t,s)
potem je verjetnost P stohastični proces.
Ta definicija seveda ni nič drugega kot strnjen zapis uvodnih ugotovitev.
Zbirke vseh možnih realizacij
{
X(t,s) : s ∈ S
}
=
{
X(t,s1 ),X(t,s 2 ),... }
imenujemo zbirka funkcij naključnega procesa, kjer so elementi te množice
vzorčne funkcije. Pri tem je lahko S števna ali ne(pre)števna množica
(slika 6.6.1).
datoteka: signal_A

152 6. Naključni signali in statistične metode
s 2
x 1 ( t)
s 1
x 2 ( t)
x 1 ( t 1 ) x 1 ( t 2 )
x 2 ( t 1 )
x 2 ( t 2 )
t
t
s n
X 1 X 2
x n ( t)
x n t 1
( )
x n ( )
t 2
t 1
t 2
t
Slika 6.24
Naključni signal.
Naključni proces X(t,s) je funkcija dveh parametrov: (i) časa t in (ii) dogodka
s. Če enega ali oba od teh parametrov fiksiramo, to označimo z indeksom.
Pri tem dobimo:
(a) X(t,s) = X(t) je naključni proces
(b) X(t i ,s) = X(t i ) = X ti je naključna spremenljivka
(c) X(t,s j ) = x(t,s j ) je deterministična časovna ali vzorčna funkcija
(d) X(t i ,s j ) = x(t i ,s j ) določa realno število.
Naključni proces včasih označujemo z družino naključnih spremenljivk,
ki jih indeksiramo po parametru t, t ∈ T . Pri tem interval T imenujemo
množica indeksov. Pri zapisu X(t,s) bomo podobno kot to pogosto naredimo
pri verjetnostnem računu, izpustili zapis odvisnosti od s, torej bomo ponavadi
(ko ne bo dvomov, za kakšen signal gre) uporabljali krajši zapis X(t).
6.6.2 Statistični opis naključnih procesov
Popolni statistični opis splošnega naključnega procesa je lahko neskončno
kompleksen. Tako je funkcija porazdelitve gostote X(t i ) odvisna od vrednosti
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.6 Naključni signali in šumi 153
t i . Če X(t) vzorčimo, na primer zajamemo N otipkov,
X T = (X(t 1 ),X(t 2 ),...,X(t N ))
= (X t1 ,X t2 ,...,X tN ) ,
je povezana porazdelitev odvisna od t 1 ,t 2 ,...,t N . Primerni opisi so lahko teoretično
podani z opisom povezane porazdelitve gostote X za vse N in vse
t i . Takšen ekstremno posplošen opis ni lahko analizirati, zato običajno napravimo
razne poenostavitve. Na srečo je mnogo primerov, kjer lahko to
upravičeno naredimo.
Naključne procese lahko delimo na več načinov. Med njimi je zelo uporabna
naslednja delitev:
1. Procesi, kjer je zakonitost povezane porazdelitve gostote direktno podana.
Primer takih procesov so Gaussovi procesi.
2. Procesi, ki rojevajo deterministične signale z naključno se spreminjajočimi
parametri. Primer takih procesov so harmonična valovanja, katerim
z modulacijo naključno spreminjamo parametre kot so amplituda,
frekvenca ali faza.
3. Procesi, ki izpolnjujejo določene vrste stacionarnosti.
Slednje je najpogostejša predpostavka pri obravnavi naključnih procesov.
Zato jo po pregledu verjetnosti in statističnih povprečij naključnih signalov
podrobneje opisujemo.
Verjetnost
Obravnavamo naključni proces X(t). Pri kateremkoli času, na primer pri t 1 ,
je X(t 1 ) = X 1 naključna spremenljivka s funkcijo porazdelitve verjetnosti:
F X (x t1 ) = P{X(t 1 ) x 1 } , (6.105)
kjer je x 1 poljubno realno število. To porazdelitev imenujemo porazdelitev
X(t) prvega reda. Pripadajoča porazdelitev gostote verjetnosti dobimo z odvodom
porazdelitve prvega reda:
f X (x t1 ) = ∂F X(x t1 )
∂x 1
. (6.106)
Podobno, v trenutkih t 1 in t 2 , X(t 1 ) = X 1 in X(t 2 ) = X 2 predstavljata dve naključni
spremenljivki. Njuno povezano porazdelitev imenujemo porazdelitev
drugega reda:
F X (x t1 ,x t2 ) = P{X(t 1 ) x 1 ,X(t 2 ) x 2 } , (6.107)
datoteka: signal_A

154 6. Naključni signali in statistične metode
kjer sta x 1 in x 2 poljubni realni števili. Pripadajoča porazdelitev drugega reda
za gostoto verjetnosti dobimo z odvajanjem gornjega obrazca:
f X (x t1 ,x t2 ) = ∂ 2 F X (x t1 ,x t2 )
∂x 1 ∂x 2
. (6.108)
Na podoben način lahko izrazimo za n naključnih spremenljivk X(t i ) = X i ,i =
1,2,...,n porazdelitve n-tega reda:
F X (x t1 ,x t2 ,...,x tn )
= P{X(t 1 ) x 1 ,X(t 2 ) x 2 ,...,X(t n ) x n } , (6.109)
in pripadajoče porazdelitve gostote verjetnosti n-tega reda:
Statistična povprečja
f X (x t1 ,x t2 ,...,x tn ) = ∂ n F X (x t1 ,x t2 ,...,x tn )
∂x 1 ∂x 2 ···∂x n
. (6.110)
Tudi naključne signale ali procese mnogokrat podobno kot naključne spremenljivke
opišemo s statistični povprečji.
Srednja vrednost:
∫ ∞
µ x (t) = E[X(t)] = x f X (x t1 ) dx
−∞
. (6.111)
kjer X(t) obravnavamo kot naključno spremenljivko pri fiksnem t.
Avtokorelacija:
Avtokovarianca:
ρ xx (t 1 ,t 2 ) = E[X(t 1 ),X(t 2 )]
=
∫ ∞ ∫ ∞
−∞
Povezani moment n-tega reda:
−∞
x 1 x 2 f X (x t1 ,x t2 ) dx 1 dx 2 . (6.112)
C xx (t 1 ,t 2 ) = E[X(t 1 ) − µ x (t 1 )]E[X(t 2 ) − µ x (t 2 )]
E[X(t 1 )X(t 2 )···X(t n )]
= ρ xx (t 1 ,t 2 ) − µ x (t 1 )µ x (t 2 ) . (6.113)
∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞
= ··· x 1 x 2 ···x n f X (x t1 ,x t2 ,...x tn ) dx 1 dx 2 ··· dx n .
−∞ −∞ −∞
(6.114)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.6 Naključni signali in šumi 155
6.6.3 Stacionarni procesi
Koncept stacionarnosti ima pri naključnih signalih podobno vlogo kot stacionarna
stanja v analizi odzivov električnih vezij. Z njo predpostavljamo, da
so statistike naključnega procesa v določenem smislu neodvisne od absolutne
vrednosti časa.
Striktno stacionarni procesi
Stacionarni stohastični proces je stacionaren v striktnem pomenu, če so vse
porazdelitve verjetnosti časovno pomično neodvisne. V tem primeru za poljubni
premik T velja:
P(X t1 < x 1 ,X t2 < x 2 ,...) = P(X t1 +T < x 1 ,X t2 +T < x 2 ,...)
(6.115a)
oziroma
F X (x t1 ,x t2 ,...) = F X (x t1 +T ,x t2 +T ,...)
(6.115b)
f X (x t1 ,x t2 ,...) = f X (x t1 +T ,x t2 +T ,...,x tn +T ) , (6.115c)
kjer so T poljubni pomik med opazovanji in t 1 > t 2 > ··· > t n trenutki opazovanja.
Iz (6.115) sledi f X (x t1 ) = f X (x t1 +T ). Zato je porazdelitev gostote
prvega reda neodvisna od časa:
Podobno velja za porazdelitev drugega reda:
Če izberemo T = −t 1 , dobimo
f X (x t1 ) = f X (x 1 ) . (6.116)
f X (x t1 ,x t2 ) = f X (x t1 +T ,x t2 +T ) .
f X (x t1 ,x t2 ) = f X (x 1 ,x t2 −t 1
) . (6.117)
ki pove: če je X(t) striktno stacionaren so povezane porazdelitve za naključni
spremenljivki X(t) in X(t + τ) neodvisni od časa t in odvisni le od časovne
razlike τ = t 2 −t 1 . Če se povezani porazdelitvi gostote verjetnosti ne ujemata,
potem opazovani stohastični sistem ni (striktno) stacionaren.
Širši stacionarni procesi
Procese, ki imajo povprečno vrednost naključne spremenljivke neodvisno od
časa,
E[X(t)] = µ x , (6.118)
datoteka: signal_A

156 6. Naključni signali in statistične metode
korelacijsko funkcijo pa pomično neodvisno, torej odvisno le od razlike τ =
t 2 −t 1 :
E [X t1 X t2 ] = ρ xx (τ) . (6.119)
imenujemo stacionarne v širšem pomenu.
Iz (6.113) in (6.119) sledi, da je pri stacionarnih naključnih procesih v
širšem pomenu tudi kovarianca neodvisna od časa in odvisna le od intervala
τ:
C xx (τ) = ρ xx (τ) − µ 2 x . (6.120)
Dva naključna procesa, na primer X(t) in Y (t) sta povezana stacionarno v
širšem smislu, če sta vsak zase stacionarna v širšem smislu in je njuna križna
korelacija odvisna le od pomika med signaloma:
ρ xy (t,t + τ) = E [X(t)Y (t + τ)] = ρ xy (τ) . (6.121)
Enako velja za križno kovarianco:
C xy (τ) = ρ xx (τ) − µ 2 x . (6.122)
Stacionarni sistemi v širšem smislu imajo manj stroge pogoje kot striktno
stacionarni sistemi. Vsi striktno stacionarni sistemi so tudi stacionarni v
širšem pomenu. Seveda obratno ne velja.
Ergodičnost
Da lahko izračunamo srednjo vrednost in avtokorelacijo s povprečenjem populacije,
moramo poznati povprečje vseh vzorcev stohastičnega procesa in
moramo poznati prvi in drugi moment. Tako poznavanje stohastičnega procesa
nam v splošnem ni na voljo. Izjemoma so nam znane, če ima opazovani
naključni proces posebno lastnost, da je povprečje populacije enako časovnemu
povprečju procesa. To lastnost imenujemo ergodičnost. Ergodičnim
stohastičnim procesom lahko določimo statistične lastnosti že s časovnim
povprečenjem ene same populacije, ki nastopi v nekem končnem časovnem
intervalu.
Da je naključni proces ergodičen, mora biti stacionaren v striktnem pomenu.
Obratno vedno ne velja, saj striktno stacionarni procesi niso nujno
tudi ergodični procesi.
DEFINICIJA 6.6.2 (ergodični proces)
Stacionaren proces je ergodičen proces v striktnem pomenu takrat, ko naključna spremenljivka
v opazovanem intervalu zavzame vse svoje možne vrednosti. V tem primeru
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.6 Naključni signali in šumi 157
zanjo velja:
1. x = lim
2. ρ xx (τ) = lim
1
∫ T /2
T →∞ T −T /2
∫ T /2
1
T →∞ T
−T /2
X(t) dt = E[X(t)] = µ x (6.123)
x(t)x(t + τ) dt = E[ρ xx (τ)] (6.124)
Ponovimo, x in ρ xx (τ) sta naključni spremenljivki. Njuna vrednost je odvisna
od tega, katera vzorčna funkcija spremenljivke X(t) je bila uporabljena v
časovnem povprečenju.
Testiranje, ali je nek signal ergodičen ali ne, je zelo težko. V praksi
zato mnogokrat naredimo intuitivno in izkustveno (hevristično) sodbo o tem.
Pri analizi večine komunikacijskih signalov običajno privzamemo, da so naključni
signali, ko se prehodni pojavi iznihajo, ergodični v širšem, to je v
avtokorelacijskem smislu.
Ker je časovno povprečje ergodičnega signala enako povprečju populacije,
moremo temeljne električne parametre signala, kot so enosmerni nivo,
efektivna vrednost in povprečna moč, izraziti z momenti ergodičnega procesa:
1. prvi moment µ x = E[X(t)] je enak enosmernemu nivoju signala
2. µ 2 x je enak normalizirani moči enosmerne komponente signala
3. drugi moment E[X 2 (t)] naključne spremenljivke je enak totalni povprečni
normalizirani moči
4. √ E[X 2 (t)] je efektivna vrednost signala (napetosti ali toka)
5. varianca σ 2 x je enaka srednji normalizirani moči izmenične komponente
signala
6. če ima proces srednjo vrednost enako nič: µ x = µ 2 x = 0, potem velja
σ 2 x = E[X 2 (t)] in varianca je isto kot efektivna vrednost, oziroma
varianca predstavlja totalno moč signala pri normaliziranem bremenu
(R L = 1)
7. standardna deviacija σ x je efektivna vrednost izmenične komponente
signala
8. če je µ x = 0, potem je σ x efektivna vrednost signala.
datoteka: signal_A

158 6. Naključni signali in statistične metode
Nekaj zgledov
Statistični opis naključnih signalov pojasnimo in utrdimo z nekaj zgledi.
ZGLED 6.6.1
Ugotovimo, ali je naključni proces X(t)
X(t) = Acos(ωt + θ) , (6.125)
kjer sta amplituda A in krožna frekvenca ω konstantni, fazni kot θ pa je naključna
spremenljivka z enakomerno porazdelitvijo gostote verjetnosti:
f θ =
stacionarni proces v širšem pomenu.
{ 1
2π
0 sicer
−π < θ < π
REŠITEV: Najprej izračunamo srednjo vrednost µ x :
µ x = E[X(t)] (6.126)
∫ ∞
∫ π
= Acos(ωt + θ) f θ (θ) dθ = A cos(ωt + θ) 1
−∞
−π
2π dθ
= A ∫ π [ ]
sinωt cosθ + cosωt sinθ dθ
2π −π
[
= A
π
]
π
sinωt sinθ
2π
∣ +cosωt cosθ
∣ = 0 (6.127)
−π
−π
} {{ } } {{ }
(0−0)=0
(−1−(−1))=0
nato pa še avtokorelacijo:
ρ xx = E[X(t)X(t + τ)] (6.128)
=
∫ π
= A2
2π
= A2
2π
= A2
2π
−π
∫ π
Acos(ωt + θ)Acos(ω(t + τ) + θ) f θ (θ) dθ
−π
∫ π
−π
∫ π
−π
= A2
4π cosωτ θ ∣ ∣∣∣
π
cos(ωt + θ)cos(ωt + ωτ + θ) dθ
1
2
[cos(ωt + θ − ωt − ωτ − θ) + cos(ωt + θ + ωt + ωτ + θ)] dθ
1
2 cos(ωτ) dθ + A2
} {{ } 2π
=cos(−ωτ)
−π
} {{ }
=2π
= A2
2
∫ π
1
2
−π
cos(2ωt + ωτ + 2θ) dθ
} {{ }
=0, glej (6.126)
cosωτ . (6.129)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

6.6 Naključni signali in šumi 159
Ker je srednja vrednost X(t) enaka nič in zato neodvisna od časa, in ker je avtokorelacija
odvisna le od zamika τ, zaključimo, da je X(t) stacionarni proces v širšem
pomenu.
♦
V zgornjem zgledu je avtokorelacija ρ xx (τ) periodična funkcija s periodo
T 0 = 2π/ω. Stacionarne procese s tako značilnostjo imenujemo tudi periodični
stacionarni procesi.
ZGLED 6.6.2
Ugotovimo, ali je naključni proces X(t)
X(t) = Acos(ωt + θ) , (6.130)
kjer sta krožna frekvenca ω in fazni kot θ konstantna, amplituda A pa je naključna
spremenljivka, stacionarni proces v širšem pomenu.
REŠITEV: Najprej izračunamo srednjo vrednost µ x :
µ x = E[X(t)] = E[Acos(ωt + θ)]
= cos(ωt + θ)E[A] (6.131)
kar kaže na to, da srednja vrednost X(t) ni konstantna, četudi je E[A] konstantna.
ρ xx = E[X(t)X(t + τ)] = A2
2π E[A2 cos(ωt + θ)cos[ω(t + τ) + θ] (6.132)
= 1 2 [cosωτ + cos(2ωt + 2θ + ωτ)]E[A2 ] , (6.133)
kar spet kaže na to, da avtokorelacija ni le funkcija premika τ četudi je E[A 2 ] konstantna.
Zato lahko upravičeno sklepamo, X(t) ni stacionarni proces v širšem pomenu. ♦
ZGLED 6.6.3
Ugotovimo, ali je naključni proces (6.125) iz zgleda 6.6.1 striktno ergodičen.
REŠITEV:
Najprej preverimo, ali proces izpolnjuje točko 1 definicije. Iz (6.123) sledi:
x = X(t) = lim
1
∫ T /2
T →∞ T −T /2
∫ T0 /2
= A T0
−T 0 /2
Acos(ωt + θ) dt
cos(ωt + θ) dt = 0 , (6.134)
datoteka: signal_A

160 6. Naključni signali in statistične metode
kjer je T0 = 2π/ω. Iz druge točke definicije (6.124) sledi:
ρ xx = X(t)X(t + τ) = lim
Torej imamo:
1
∫ T /2
T →∞ T −T /2
= A2 ∫ T0 /2
T0 −T 0 /2
= A2
2
A 2 cos(ωt + θ)cos[ω(t + τ) + θ] dt
1
[cosωτ + cos(2ωt + 2θ + ωτ)] dt
2
cosωτ . (6.135)
µ x (t) = E[X(t)] = X(t) = x
ρ xx (τ) = E[X(t)X(t + τ)] = X(t)X(t + τ) = ρ xx (τ)
Zaključimo lahko, da je X(t) striktno ergodičen proces.
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

7
Posplošene funkcije
PREGLED SIGNALOV zaključimo z opisom posebnih signalov, ki jih ne
moremo opisati z običajnimi funkcijami. To so na primer impulzi, s
katerimi na primer v fiziki opišemo ohranitev gibalne količine pri trku
idealnih togih teles, pri definiciji enote v integralski transformaciji (harmonični
analizi), pa tudi druge posebne oblike signalov, kot je enotska stopnica
itd. Za te signale se uporabljajo termini singularne funkcije, generalizirane
funkcije in posplošene funkcije. Z njima poudarimo, da niso prave funkcije,
ampak računski pripomočki, s katerimi v fiziki in inženirstvu učinkovito rešujemo
različne probleme.
Na vlogo in pomen posplošenih funkcij lahko gledamo kot na √ −1 . V
matematiki ga označujemo z i (imaginarno število), ki ni realno število in v
naravi ne obstaja, pa ga kljub temu s pridom uporabljamo, posebno v elektrotehniki
(da ga ne zamenjujemo s tokom, ga označujemo z j). Podobno je s
posplošenimi funkcijami. Kljub temu, da jih v naravi ni, so izjemno koristen
pripomoček.
7.1 Diracov impulz
Opazujmo pulz δ h (t) (slika 7.1). Zanj velja:
δ h (t) =
{ 1
2h
pri − h < t < h
0 sicer
. (7.1)
Površina tega pulza je enaka
∫ h
−h
1
2h dt = 1 [ ]
h − (−h) = 1 . (7.2)
2h
161

162 7. Posplošene funkcije
Slika 7.1
Pravokotni pulz δ h (t).
Z manjšanjem h narašča višina pulza, vendar pri tem njegova površina ostaja
konstantna, to je enaka 1. Površina pulza ostane enaka 1 tudi takrat, ko v
limitnem postopku manjšamo h proti nič in zaradi tega višina ”pulza“ narašča
preko vseh mej:
∫ h
{
1 pri h = t = 0
lim δ h (t) dt =
h→0 −h
0 sicer
. (7.3)
Pri (7.3) opozorimo na dvoje:
1. Rezultat limitnega postopka je ”pulz“ s širino nič (zato ga imenujemo
impulz) in neskončno višino:
lim δ h(t) = δ(t) =
h→0
{
0 t ≠ 0
∞ t = 0
, (7.4)
med tem ko ploščina ostaja enaka 1. Funkcijo, ki opisuje ta primer,
imenujemo Diracova delta funkcija ali na kratko Diracov impulz δ(t).
2. Riemannov integral funkcije, ki je povsod enaka nič razen v trenutku
nič, je enak nič. Zato je (7.3) le zapis, matematično pa to funkcijo
definira:
∫ ∞
φ(t)δ(t) dt = φ(0) , (7.5)
−∞
kjer je φ(t) testna funkcija, omejena in regularna s signalno osjo T ∈
R in zvezna v trenutku t = 0.
Ker je integral (z mejama −∞,∞) produkta Diracovega impulza s testno
funkcijo ohrani vrednost samo pri t = 0 (slika 7.2), imenujemo
Diracov impulz tudi enotski impulz.
Alternativa k zapisu v (7.5) je:
⎧
φ(0) a < 0 < b
∫ b
⎪⎨
φ(t)δ(t) dt = 0 a < b < 0 , 0 < a < b
a
⎪⎩
nedefinirana a = 0 ali b = 0
. (7.6)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

7.1 Diracov impulz 163
(a) Simbol za Diracov impulz δ(t).
(b) Signal x(t), ki je zvezen v trenutku
t = 0 in Diracov impulz δ(t).
(c) vrednost signala v trenutku t = 0:
x(0) = ∫ ∞
−∞ x(t)δ(t) dt.
Slika 7.2
Ilustracija definicije Diracovega impulza z (7.5).
Seveda tudi pri (7.5) in (7.6) ne smemo integrala razumevati v običajnem
Riemannovem smislu, temveč le simbolično.
Limitni postopek v (7.4), s katerim smo definirali Diracov impulz, lahko
opravimo tudi pri drugih funkcijah, pri katerih je integral nad definicijskim
območjem enak 1 in v limitnem postopku, ko definicijsko območje krčimo
proti 0, ostaja 1. Na primer, imejmo trikotni pulz višine 1/h in trajanjem od
−h do h (slika 7.3).Zanj velja:
Slika 7.3
δ h (t) ko trikotni pulz.
δ h (t) =
{ 1
h − 1 h 2 |t| pri − h < t < h
0 sicer
(7.7)
datoteka: signal_A

164 7. Posplošene funkcije
in
∫ h
−h
∫ h ∫
1 h
δ h (t) dt =
−h 2h dt − 1
−h h 2 |t| dt = 1 h
h∣
− 1 ∣ ∣∣∣
h
−h
h 2 |t| −h
{
1 pri − h < t < h
=
. (7.8)
0 sicer
oziroma v limitnem postopku, ko h manjšamo proti nič, dobimo enak rezultat
kot v (7.3). Limitni postopek v (7.4) in (7.5) si lahko predstavljamo kot
zaporedje približkov, ki so še običajne funkcije, vendar se v limiti bližajo Diracovem
impulzu. Ta predstava je bila osnova, na kateri je Laurent Schwartz
razvil teorijo posplošenih funkcij.
P.A.M. Dirac (1902–1984), angleški matematik in fizik, je avtor kvantne
mehanike. Funkcijo δ(t), ki ima danes ime po njem, je vpeljal
v svojem znamenitem delu ”The principles of Quantum Mechanics“.
Leta 1993 je dobil Nobelovo nagrado za fiziko.
Francoski matematik Laurent Schwartz (1915–2003), je med leti
1945-1950 z razvojem teorije distribucij matematično utemeljil posplošene
funkcij. Deloval je tudi na področju stohastičnih diferencialnih
enačbah. Znan je tudi po svojem delovanju v mirovnih gibanjih.
7.2 Definicija Diracovega impulza
s porazdelitveno funkcijo
Diracov impulz lahko definiramo kot rezultat limitnega procesa zaporedja
tako imenovanih dobrih funkcij. Te definicije Diracovega impulza s pridom
uporabimo pri izračunu Fourierove transformacije signalov, za katere le ta ne
obstaja v striktnem smislu in jih zato računamo z limitnim procesom.
Najprej utrimo pot do definicije Diracovega impulza. Pot vodi od definicije
dobrih funkcij, preko definicij regularnih zaporedij, ekvivalentnih dobrih
funkcij do posplošenih funkcij. Poglejmo!
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

7.2 Definicija Diracovega impulza s porazdelitveno funkcijo 165
DEFINICIJA 7.2.1 (dobra funkcija)
Dobra funkcija x(t) je funkcija, ki je: (i) poljubnokrat odvedljiva na vsem definicijskem
območju, (ii) njeni odvodi in funkcija sama z naraščanjem upadajo t s hitrostjo 1/t n pri
vseh n.
Preprosto lahko dokažemo, da je odvod dobre funkcije neka druga dobra
funkcija. Pravtako je vsota in produkt dveh dobrih funkcij dobra funkcija.
DEFINICIJA 7.2.2 (regularno zaporedje)
Zaporedje
{x(t)} = {x ( t),x 2 (t),...,x n (t)} (7.9)
dobrih funkcij imenujemo regularno, če za poljubno funkcijo ξ (t) obstaja limita:
V x (ξ ) = lim
n→∞
∫ ∞
−∞
{x n (t)}ξ (t) dt (7.10)
Primer regularnega zaporedja je zaporedje eksponentnih funkcij:
{x(t)} = e (−t2 /n 2 )
. (7.11)
Limito tega zaporedja (slika 7.4a) izračunamo z (7.10) in je enaka:
V x (ξ ) =
∫ ∞
−∞
ξ (t) dt . (7.12)
DEFINICIJA 7.2.3 (ekvivalentna dobra funkcija)
Dve regularni funkciji sta ekvivalentni, če z (7.10) dobimo isto limito njunih zaporedji pri
poljubni funkciji ξ (t).
Primer ekvivalentnih zaporedij dobrih funkcij sta e −t4 /n 4 in e −t2 /n 2 .
Iz definicij 7.2.2 in 7.2.3 sledi, da je število, ki ga da limita V x (ξ ), odvisno
od funkcije ξ (t). Zato ta funkcija določa porazdelitev x(t), ki jo imenujemo
limita zaporedja {x n (t)}:
x(t) = lim
n→∞
{x n (t)} . (7.13)
Zgornja definicija je le zgoščen zapis dejstva, da je zaporedje {x n (t)} izpolni
(7.10) in da limita (7.13) ne mora obstajati v navadnem smislu.
DEFINICIJA 7.2.4 (posplošena funkcija)
1. Posplošena funkcija x(t) je regularno zaporedje dobrih funkcij.
datoteka: signal_A

166 7. Posplošene funkcije
(a) regularno zaporedje
(b) neregularno zaporedje
Slika 7.4
Primer regularnega in neregularnega zaporedja.
2. Dve posplošeni funkciji sta enaki, če sta določeni z ekvivalentnimi regularnimi zaporedji.
Zato je vsaka posplošena funkcija dejansko razred vseh ekvivalentnih regularnih
zaporedij.
Posplošena funkcija je na primer tudi konstanta k. Določimo jo z regularnim
zaporedjem {x n (t)} tako, da za poljubno dobro funkcijo ξ (t) velja:
∫ ∞
∫ ∞
lim {x n (t)}ξ (t) dt = k ξ (t) dt . (7.14)
n→∞ −∞
−∞
Regularno zaporedje, s katerim lahko definiramo konstanto k je na primer
(slika 7.5):
{x n (t)} ≡ k e −t2 /4n
, (7.15)
iz katere lahko formalno izrazimo konstanto k z limito:
k = lim ke − 4n t2
, (7.16)
n→∞
Tako, sedaj imamo vse elemente za definicijo Diracovega impulza. Spada
v družino posplošenih funkcij:
DEFINICIJA 7.2.5 (Diracov enotski impulz)
Če je posplošena funkcija definirana z regularnim zaporedjem {x n (n)} in so vsa regularna
zaporedja ekvivalentna {x n (n)}, tako da je rezultat limite (7.9) enak ξ (0), potem
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

7.2 Definicija Diracovega impulza s porazdelitveno funkcijo 167
Slika 7.5
Regularno zaporedje, ki definira
konstanto k.
je je limita tega zaporedja Diracov impulz δ(t):
oziroma
δ(t) = lim {x n (t)} (7.17)
n→∞
∫ ∞
lim {x n (t)} ξ (t) dt = ξ (0) (7.18)
n→∞ −∞
∫ ∞
−∞
δ(t)ξ (t) dt = ξ (0) , (7.19)
Definicija (7.19) se seveda ujema z zapisom v (7.5). Pomembna pa je pot,
kako smo prišli do nje. Iz nje lahko zapišemo množico zaporedij, ki v limitnem
postopku dajo Diracov impulz. Navedimo nekaj primerov, ki bodo
prišli prav v nadaljnjem opisu teorije signalov.
⎧
⎪⎨
δ(t) =
lim
n→∞
{
e −n2 t 2
√ π
}
(7.20a)
{ } sinnt n
lim = lim
n→∞ πt n→∞ π S a(nt) (7.20b)
{
lim e −πn2 t 2}
(7.20c)
n→∞
{ n
lim
n→∞ 2 e−n|t|} (7.20d)
{ }
n
lim
n→∞ π(n 2 +t 2 (7.20e)
)
{ ∫ n n
}
lim e ± jtn dn
(7.20f)
n→∞ 2π −n
{ sin 2 }
nt
lim
n→∞ πnt 2 (7.20g)
⎪⎩ (1 ± j) 1 { √n
2π lim e
− jnt 2} (7.20h)
n→∞
Pot do Diracovega impulza zaključimo še z dvema definicijama, ki zaokrožita
vpogled v opis posplošenih množic.
datoteka: signal_A

168 7. Posplošene funkcije
DEFINICIJA 7.2.6 (Fourierova transformacija posplošenih funkcij)
Fourierova transformacija posplošene funkcije je določena z zaporedjem Fourierovih
transformacij dobrih funkcij.
DEFINICIJA 7.2.7 (odvod posplošenih funkcij)
Odvod posplošene funkcije je posplošena funkcija določena z zaporedjem odvodov
dobrih funkcij.
7.3 Lastnosti Diracovega impulza
Poudarit moramo, da so vse lastnosti Diracovega impulza, ki jih tu navajamo,
izpeljane iz njegove definicije v (7.19). V nadaljevanju povzemamo
le pomembnejše lastnosti δ(t), pri čemer je pozornost usmerjena na njihovo
usklajenost z definicijo v (7.19).
(i) Diracov impulz je sodo simetričen:
(ii) Vrednost funkcije v trenutku t = 0 (slika 7.2)
δ(t) = δ(−t) . (7.21)
x(t)δ(t) = x(0)δ(t) . (7.22)
To lastnost smo uporabili pri definiciji Diracovega impulza. Njeno pomen
in veljavnost potrdimo še z naslednjim dokazom.
DOKAZ 7.1
Izhajamo iz (7.5) kjer δ(t) zamenjamo z δ h (t). Tedaj je:
∫ ∞
∫ h
x(t)δ h (t) dt = x(t)δ h (t) dt = 1 ∫ h
x(t) dt
−∞
−h
2h −h
. (7.23)
Integral na desni strani (7.23) uženimo s prvim izrekom o povprečni vrednosti
(izrek 3.1 na strani 83):
∫ h
x(t) dt = 2hx(ξ h ) , −h ξ h h , (7.24)
−h
in upoštevamo rezultat v (7.23):
∫ ∞
x(t)δ h (t) dt = 1
2h 2hx(ξ h) = x(ξ h ) , −h ξ h h .
−∞
V limitnem postopku manjšamo h proti nič:
∫ ∞
lim
h→0 −∞
Torej velja (7.22) in tudi (7.5).
∫ h
x(t)δ(t) dt = lim x(t)δ h (t) dt
h→0 −h
= x(ξ h = 0) = x(0) .
(7.25)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315
□

☞
☞
7.3 Lastnosti Diracovega impulza 169
(iii) Vrednost funkcije v trenutku t = τ (slika 7.6)
x(t)δ(t − τ) = x(τ)δ(t − τ) . (7.26)
DOKAZ 7.2
Premaknimo x(t) po signalni osi za konstanto a. V tem primeru leva stran (7.5)
postane:
∫ ∞
x(t + a)δ(t) dt .
−∞
Z zamenjavo spremenljivk t s ζ = t + a po ponovitvi izpeljave v dokazu 7.1 dobimo:
∫ ∞
x(ζ )δ(ζ − a) dζ = x(ζ − a = 0) = x(ζ = a) = x(a) . (7.27)
−∞
Vidimo, da je integral z mejama −∞,∞ produkta signala za a zakasnjenim Diracovim
impulzom enak vrednosti signala x(a) (slika 7.6).
(a) x(t) in δ(t − a) (b) x(t − a)
Slika 7.6
Vrednost zveznega signala v trenutku t = a: x(a) = ∫ ∞
−∞ x(t)δ(t − a) dt .
Rezultat v (7.23) je posplošitev (7.25). Uporabljamo ga pri vzorčevanju signala.□
(iv) Opis funkcije z Diracovim impulzom
∫ ∞
x(τ)δ(t − τ) dτ = x(t) . (7.28)
−∞
Če zvezno premikamo Diracov impulz čez vso definicijsko območje signala,
integral produkta Diracovega impulza in signala opiše ves signal.
Ta proces lahko imenujemo zvezno otipavanje in ga uporabimo pri izdatoteka:
signal_A

170 7. Posplošene funkcije
peljavi impulznega odziva pri linearnih, pomično neodvisnih sistemih.
V primeru, da Diracov impulz premikamo skokoma za interval T , dobimo
vzorec signala. Ker digitalna obdelava signalov temelji na tej
lastnosti, je podrobneje opisana v razdelku 7.4 na naslednji strani.
(v) Pomik funkcije
Iz lastnosti (7.22), (7.26) in (7.28) sledi:
∫ ∞
x(t −t 0 )h(t − τ) dτ =
−∞
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t −t 0 − τ) dτ = x(t −t 0 ) . (7.29)
To lastnost uporabljamo pri opisu zakasnitev, oziroma opisa sistemov,
katerih funkcija ali lastnost je zakasnitev signala.
(vi) Odvod Diracovega impulza in odvajanje funkcij
∫ ∞
−∞
x(τ) dn δ(τ)
dτ n
dτ = (−1) n dn x(t)
dt n . (7.30)
DOKAZ 7.3
Bodi ξ (t) regularna funkcija, zvezna v trenutku t = 0. Z integracijo po delih lahko
izpeljemo:
∣
∫ ∞
−∞
dξ (t)
dt
x(t) dt = ξ (t)x(t) ∣ ∞ ∫ ∞
−
−∞
−∞
ξ (t) dx(t)
dt
∫ ∞
= − ξ (t) dx(t) dt (7.31)
−∞ dt
za vsak ξ (t), za katerega obstaja integral in x(t) pri katerem velja
ξ (−∞)x(−∞) = ξ (∞)x(∞) = 0 . (7.32)
Če za ξ (t) izberimo delta funkcijo δ(t), potem je (7.32) vedno izpolnjena, desna
stran (7.31) pa pri vsaki regularni funkciji x(t), ki je odvedljiva v točki t = 0,
postane:
∫ ∞
−∞
δ(t) dx(t)
dt
dt = − d x(0) . (7.33)
dt
Na enak način lahko pokažemo, da obstaja n-ti odvod delta funkcije δ [n] in da
lahko z njo določimo odvod zvezne funkcije x(t). S ponavljanjem parcialnega
odvajanja v (7.31) je preprosto pokazati, da velja:
∫ ∞
−∞
δ [n] (t)x(t) dt =
∫ ∞
−∞
δ(t)x [n] (t) dt = (−1) n x [n] (0) , (7.34)
ki je definirana za vsako regularno, v točki t = 0 zvezno in n-krat odvedljivo
funkcijo x(t). Z upoštevanjem (7.28) lahko (7.34) posplošimo – dobimo enak
rezultat, kot je v (7.30).
□
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315
dt

7.4 Vzorčenje analognih signalov 171
Uporabnost tudi te lastnosti spoznamo pri obravnavi sistemov. Omogoča
določitev impulznega odziva diferenciatorja, to je sistema, katerega
izhod je enak odvodu vhoda.
7.4 Vzorčenje analognih signalov
Za regularna signala x(t) in y(t) ter skalarja α 1 in α 2 lahko zapišemo:
∫ ∞
−∞
[α 1 x(t) + α 2 y(t)]ξ (t) dt
∫ ∞
∫ ∞
= α 1 x(t)ξ 1 (t) dt + α 2 y(t)ξ 2 (t) dt ,
−∞
kar velja pri vsaki funkciji ξ , za katero obstaja zapisani integral. Podobno
lahko zapišemo za singularni funkciji ε 1 in ε 2 :
∫ ∞
−∞
[α 1 ε 1 (t) + α 2 ε 2 (t)]ξ (t) dt
−∞
∫ ∞
∫ ∞
= α 1 ε 1 (t)ξ 1 (t) dt + α 2 ε 2 (t)ξ 2 (t) dt ,
−∞
pri čemer ξ (t) mora biti zvezna in potrebno krat odvedljiva funkcija v točki
t = 0. Če sta singularni funkciji ε 1 in ε 2 delta funkciji, na primer δ(t) in
δ(t − τ), z upoštevanjem (7.23) dobimo enačbo:
∫ ∞
−∞
[α 1 δ(t) + α 2 δ(t − τ)]ξ (t) dt
∫
∫
= α 1 δ(t)ξ (t) dt + α 2
T
T
−∞
δ(t − τ)ξ (t) dt , (7.35)
ki velja za vsako regularno funkcijo ξ (t), ki je zvezna v trenutkih t = 0 in
t = τ. Rezultat v (7.35) je zelo pomemben v obdelavi signalov, saj kaže
pot, kako iz analognih signalov generirati njihove časovno diskretne vzorce.
Vzorčenje signalov je postopek, pri katerem zvezni signal x(t) opišemo s
časovnim zaporedjem otipkov x[n], to je z vrednostmi signala v časovno diskretnih
trenutkih nT . To časovno zaporedje imenujemo vzorec signala, elemente
vzorca, to je vrednosti signala v trenutkih nT pa otipke. Postopek
vzorčenja imenujemo tudi tipanje signala.
Pogoj, da je opis signala z otipki x[n] ekvivalenten zveznemu signalu x(t),
je spoštovanje Shannonovega izreka o vzorčenju, ki je opisan v Fourierovi
transformaciji zaporedij.
Če posplošeno funkcijo δ(t − τ) zamenjamo z:
δ(t − nT ) , n ∈ Z ,
datoteka: signal_A

172 7. Posplošene funkcije
Slika 7.7
Vzorčenje zveznega signala.
ustvarimo neskončno zaporedje Diracovih impulzov, ki so medsebojno razmaknjeni
za T . T imenujemo interval tipanja. Če to zmnožek tega zaporedja
in signala x(t) integriramo, iz (7.23) sledi, da je rezultat časovno diskretni signal
x[n] (slika 7.7):
x[n] =
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t − nT ) dt , n ∈ Z , t ∈ R . (7.36)
7.5 Povezava med enotsko stopnico
in Diracovim impulzom
Enotska stopnica in Diracov impulz sta povezana preko odvoda:
du(t)
dt
= ˙u(t) = δ(t) . (7.37)
DOKAZ 7.4
Če velja (7.37), potem v skladu z definicijo Diracovega impulza v (7.5) velja :
∫ b
−a
x(t) ˙u(t) dt . (7.38)
Integriranje (7.37) po delih da:
∫ b
[ ] b
∫ b
x(t) ˙u(t) dt = x(t)u(t) ẋ(t)u(t) dt
−a
−a −a
. (7.39)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

7.5 Povezava med enotsko stopnico in Diracovim impulzom 173
Najprej izračunamo oglati oklepaj:
x(t)u(t) ∣ b ∣ ∣∣ = x(t)u(t) b
−a
−a
= x(b) − 0 , (7.40)
kjer smo upoštevali definicijo enotske stopnice (razdelek 2.8.3 na strani 41):
[en. (2.22) ] u(t) =
{
1 t > 0
0 t < 0
.
Zato x(−a)u(−a) = 0 in ostane le vrednost pri zgornji meji. Izračunamo še integral:
∫ b
−a
Vstavimo v (7.40) in (7.41) v (7.39) in dobimo:
∫ b
−a
∫ b
ẋ(t)u(t) dt = ẋ(t) dt = x(b) − x(0) . (7.41)
0
x(t) ˙u(t) dt = [x(b) − 0] − [x(b) − x(0)] = x(0) . (7.42)
Iz primerjave (7.5) in (7.42) sledi, da (7.37) velja.
□
datoteka: signal_A

8
Sistemi
Peter Cafuta, Žarko Čučej
SISTEM JE MATEMATIČNI OPIS REALNEGA PROCESA, ki ima vhodni
signal – vzbujanje ali vhod – ter izhodni signal – odziv ali izhod. V
uvodu smo že opisali osnovne sisteme in njihove značilnosti, zato tukaj
ta opis le dopolnjujemo. Pri tem se v tem poglavju omejujemo le na sisteme,
s katerimi obdelujemo oziroma procesiramo signale. Virom signalov
je namenjeno posebno poglavje v tretjem delu knjige.
S pogledom na sistem kot na “procesor” signalov se bomo razlikovali od
pristopa v teoriji sistemov, kjer je v ospredju matematični model sistema,
oziroma proučujejo njegovo strukturo in lastnosti. Med obema pristopoma,
torej med “signalnim” in “sistemskim” ni ostre ločnice, saj načrtovanje sistema
za želeno obdelavo signala zahteva poznavanje oziroma izbiro strukture
sistema. Pri tem nas ne sme zavesti dejstvo, da je danes večina obdelave
signalov digitalna, ter zato zanje razvijamo računalniške algoritme. Ti le rešujejo
(simulirajo) matematično formulirane (zapisane) modele.
8.1 Zakonitosti sistemov
Zakonitosti sistemov, ki povezujejo vhodne signale ali zaporedja podatkov z
izhodnimi signali ali zaporedji, na splošno opisujemo na dva načina:
1. s spremenljivkami stanja sistema,
2. z vhodno-izhodnim opisom.
Glede na izbrani zapis lahko sisteme predstavimo z belo škatlo (v prvem
primeru) ali z bolj razširjeno črno škatlo (v drugem primeru).
white box
black box
175

176 8. Sistemi
8.1.1 Bela škatla
O sistemu kot beli škatli govorimo takrat, ko poznamo in obravnavamo njegovo
notranje delovanje. Ta vpogled vpeljuje spremenljivke (signale) prostora
stanj, ki je ena najpomembnejših disciplin teorije sistemov. V slovenskem
jeziku je obširno opisana na primer v [17, 18, 19, 20].
ZGLED 8.1.1 (Opis sistema z njegovo zgradbo)
Za sistem na sliki 8.1 poiščimo povezavo med vhodom in izhodom.
Slika 8.1
Sistem, ki ga določa električno
vezje z uporom in tuljavo.
REŠITEV: Delovanje sistema določata upor in tuljava. Vhod sistema je napetost u(t),
izhod pa padec napetosti na tuljavi u L (t). Ker je sistem predstavljen kot “bela škatla”,
ga lahko s pomočjo Ohmovega in 1. Kirchhoffovega zakona opišemo z linearno diferencialno
enačbo, ki je hkrati matematični model sistema:
L di L(t)
dt
+ Ri L (t) = u(t) , u L (t) = di L(t)
L in i L (0) = i L0 . (8.1)
dt
Vidimo, da je v tem sistemu spremenljivka stanja tok skozi tuljavo i L (t). Zapis v (8.1)
implicitno določa povezavo med vhodom in izhodom. Z njegovo rešitvijo (preprosto
možnost nudi operatorski račun na temelju Laplaceove transformacije, ki je opisana v
poglavju ?? na strani ??) dobimo tudi eksplicitno povezavo (glej primer ?? na strani
??). ♦
8.1.2 Črna škatla
Pogosto struktura sistema ni znana, dostopni so le vhodi in izhodi. V tem
primeru govorimo, da je sistem črna škatla.
ZGLED 8.1.2 (Vhodno-izhodni opis sistema)
Za sistem na sliki 8.2 poiščimo povezavo med vhodom in izhodom.
Slika 8.2
Črna škatla
REŠITEV:
Sistem je kot črna škatla, zato njegove zgradbe ne vidimo in je zato ne
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.1 Zakonitosti sistemov 177
poznamo. Vemo le, da je izhod nekako odvisen od vhoda in od obdelave vhodnega
signala, ki se opravi v sistemu. Simbolično lahko sistemsko odvisnost izhoda od vhoda
zapišemo:
y = f (vhod,sistem) ali na kratko y = f (v) . (8.2)
♦
8.1.3 Vhodno-izhodni opis
Za dani sistem – črno škatlo – lahko z opazovanjem (merjenjem) vhodnih
in izhodnih signalov določimo značilko (karakteristiko) sistema, ki jo lahko
prikažemo v obliki grafa (slika 8.3). Značilka povezuje množico signalnih
parov:
(v,y) ∈ T , v ∈ V , y ∈ Y , (8.3)
kjer sta V in Y množici možnih vhodnih oziroma izhodnih signalov ali zaporedij.
To povezavo imenujemo preslikava ali transformacija in jo bomo
(a) večlična preslikava
(b) enolična preslikava
Slika 8.3
Vhodno-izhodni sistem.
označili s T :
y = T { v } . (8.4)
Preslikava T se od preslikave, ki jo poznamo iz definicije funkcije – tam
povezuje signalno os s signalnim območjem (amplitudnim razmahom), razlikuje
po tem, da povezuje vhodno funkcijo z izhodno funkcijo. Ponavadi
vhodno-izhodni sistem predstavimo grafično z blokom (slika 8.4).
Slika 8.4
Predstavitev vhodno-izhodnega
sistema z blokom.
datoteka: signal_A

178 8. Sistemi
Iz ponazoritve (8.4) na sliki 8.3 vidimo, da ta splošnejši zapis nudi dve
možnosti povezovanja parov (v,y): (i) ko je vhodu v prirejena množica izhodov
y (slika 8.3a), (ii) ko vhodu v pripada le en izhod y (slika 8.3b). Vhodnoizhodne
sisteme s slednjo lastnostjo imenujemo enolični sistemi.
Ne (8.2) ne (8.4) ne določata zakonitosti preslikave oziroma tvorbe signalnih
parov. Preslikavo določa, kot bomo spoznali kasneje, impulzni odziv. Pri
beli škatli ga lahko izračunamo iz znanega modela sistema. Tega pri analognih
signalih predstavlja sistem diferencialnih enačb, pri digitalnih sistemih
pa sistem diferenčnih enačb.
8.2 Vrste sistemov
Sisteme lahko razvrščamo na različne načine: od namena uporabe, tehnične
izvedbe pa do vrste signalov, ki jih lahko obdelujejo. Tako glede na način
obdelave ločimo:
1. Časovno (in amplitudno) zvezne sisteme, imenujemo jih tudi analogni
sistemi. Ti vršijo analogno obdelavo signalov. Njihovi vhodi in izhodi
so (vsaj) časovno zvezni.
Vse naravne sisteme obravnavamo kot da so analogni.
2. Časovno in amplitudno diskretni sistemi, imenujemo jih tudi digitalni
sistemi. Ti sistemi obdelujejo signale z raznimi vrstami računalnikov
ali specializiranih integriranih digitalnih vezij v skladu z vpisanimi algoritmi
obdelave.
Z digitalnimi sistemi ponavadi aproksimiramo naravne procese. Z njimi
dosežemo lastnosti, ki jih pri gradnji analognih sistemov ne moremo
doseči (na primer, neobčutljivost na staranje, temperaturni drift, izoliranost
od okoliških vplivov, . . . )
Po številu vhodov in izhodov ločimo:
Multiple Input
Multiple Output
Single Input
Single Output
1. Sisteme z več vhodi in izhodi. Imenujemo jih tudi vektorski sistemi,
pogosto pa se zanje uporablja kratica MIMO sistemi (slika 8.5a).
2. Sistemi z enim vhodom in izhodom. Imenujemo jih tudi skalarni sistemi,
zanje pa pogosto uporabljamo kratico SISO sistemi (slika 8.5b).
Po osnovnih lastnostih ločimo dinamične, statične ali nedinamične sisteme,
invertibilne in inverzne sisteme, linearne in nelinearne sisteme, časovno
odvisne in časovno neodvisne sisteme itd. Lastnosti teh sistemov so na
kratko opisane v naslednjih razdelkih.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.2 Vrste sistemov 179
(a) večvhodni-večizhodni sistem
(b) enovhodni-enoizhodni sistem
Slika 8.5
Vhodno-izhodni sistemi.
8.2.1 Dinamični sistemi
Dinamični sistemi so sistemi s spremenljivkami stanj ali na kratko sistemi s
pomnjenjem. Njihova definicija je:
DEFINICIJA 8.2.1 (Dinamični sistem)
Če je izhod sistema y(t) odvisen od trenutne in predhodnih vrednosti vhoda v(t), je
sistem dinamičen.
Najpreprostejši primer dinamičnega sistema je integrator. Opisuje ga:
∫ t
y(t) =
=
−∞
∫ t
0
v(τ) dτ (8.5)
v(τ) dτ +
∫ 0
v(τ) dτ
−∞
} {{ }
=y(0)
∫ t
= v(τ) dτ + y(0) , (8.6)
0
kjer je y(0) začetna vrednost stanja integratorja – izhoda (v nadaljevanju
bomo vedno predpostavili, da je enaka nič). Vidimo, da je izhod integratorja
odvisen od trenutne in vseh predhodnih vrednosti vhoda v(t).
Primer vezja s pomnjenjem, ki ga matematično opiše integrator, je kondenzator
s tokom i(t) kot vhodom in napetostjo u(t) kot izhodom:
u C (t) = 1 C
∫ t
−∞
i(τ) dτ = 1 C
V (8.7) smo s q(0) označili začetni naboj v kondenzatorju.
∫ t
0
i(τ) dτ + q(0) . (8.7)
datoteka: signal_A

180 8. Sistemi
8.2.2 Statični sistemi
Sisteme brez pomnjenja imenujemo tudi statični sistemi. Pri njih je trenutni
izhod odvisen le od trenutnega vhoda. Primer takega sistema je idealni
ojačevalnik (slika 8.6). Modeliramo ga z:
Slika 8.6
Statični sistem, ki ga določa
ojačevalnik.
y(t) = Av(t) t ∈ R . (8.8)
Sistem brez pomnjenja je tudi električni upor (u(t) = R·i(t)).
8.2.3 Invertibilni sistemi
Invertibilnost je lastnost, pri kateri je med dvema funkcijama enolična povezava
(slika 8.3b). To pomeni, da lahko s poznavanjem ene spremenljivke
enoumno določimo drugo.
DEFINICIJA 8.2.2 (Invertibilnost)
Sistem je invertibilen, če za vsak izhod lahko priredimo le en sam vhod.
Primer invertibilnega sistema je idealni ojačevalnik z ojačenjem A.
lahko zapišemo:
Zanj
y(t) = Av(t) ⇒ v(t) = 1 y(t) . (8.9)
A
Tudi sistem, ki ga določa upor jeinvertibilen, saj velja i(t) = 1 R u(t).
Pri sistemu, kjer je izhod potenca vhoda, invertibilnosti ni:
y(t) = x 2 (t) ⇒ v(t) = ± √ y(t) . (8.10)
Če je v (8.10) signal y napetost 9 V, je vhodna napetost lahko 3 V ali -3 V.
8.2.4 Inverzni sistemi
Če sistem opravi preslikavo v(t) → y(t), inverzni sistem opravi preslikavo
y(t) → v(t). Pogoj obstoja inverznih sistemov je invertibilnost preslikave
v(t) → y(t). Povedano z drugimi besedami: inverzni sistem opravi inverzno
transformacijo, zato njegovo delovanje simbolično označimo s T −1 . Za
sistem in njemu inverzni sistem torej velja:
y(t) = T { v(t) } ⇒ v(t) = T −1{ y(t) } . (8.11)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.2 Vrste sistemov 181
Zaporedna vezava sistema in njemu inverznega sistema tvori tako imenovani
identični sistem (slika 8.7). To je sistem, ki ima izhod enak vhodu. Primer
Slika 8.7
Sistem in njegov inverzni sistem.
identičnega sistema je zaporedna vezava idealnega prenosnega medija s slabljenjem
1/k in ojačevalnika z ojačenjem k. Ojačevalnik ojači signal ravno
za toliko, kot se ta oslabi pri prehodu skozi prenosni medij.
Uporaba identičnih sistemov je zelo razširjena v telekomunikacijah. Tam
ojačevalnik, ki kompenzira slabljenje signala, imenujemo izravnalnik. Sinteza
izravnalnikov je pomembno in zelo zahtevno področje uporabe teorije signalov.
Običajno funkcija slabljenja signala pri njegovem razširjanju ni znana in
jo moramo najprej z ustreznimi postopki ugotoviti, izravnalnik pa je zgrajen
tako, da samodejno prevzema njeno inverzno obliko.
izravnalnik:
ang. equalisator
8.2.5 Vzročni sistemi
Vsi nam znani naravni procesi so vzročni ali kavzalni. To pomeni, da posledica
(izhod sistema) ne more nastati časovno pred svojim vzrokom (vhodom
sistema). Definicija vzročnega sistema je:
DEFINICIJA 8.2.3 (Vzročni ali kavzalni sistem)
Sistem je vzročen ali kavzalen, ko je trenutna vrednost izhodnega signala sistema odvisna
samo od trenutne in preteklih vrednosti vhodnega signala:
y(t 0 ) =T { v(t) } pri vseh t t 0 (8.12a)
oziroma
y[n 0 ] =T { v[n] } pri vseh n n 0 . (8.12b)
Kavzalne sisteme imenujemo tudi nenapovedne ali neanticipativne sisteme.
Iz definicije sledi, da so dinamični sistemi (s pomnjenjem) neanticipativni
oziroma kavzalni sistemi. Poznamo tudi napovedne ali anticipativne sisteme.
Pri njih je trenutna vrednost izhoda odvisna tudi od prihodnjih vhodov.
Čeprav so fizikalno neizvedljivi, njihov koncept pogosto uporabljamo
pri reševanju problemov v komunikacijah, vodenju sistemov itd. Primer nevzročnega
oziroma anticipativnega sistema je idealni prediktor. To je sistem, s
katerim iz poteka preteklih vhodov ali stanj sistema napovemo bodoče vhode
in stanja.
datoteka: signal_A

182 8. Sistemi
Primer vzročnega sistema je sistem s preslikavo
y(t) = v(t − 2) .
Njegov trenutni izhod odvisen od vhoda v trenutku izpred dveh časovnih
enot. Takšen sistem je idealni zakasnilni sistem. Sistem s preslikavo:
y(t) = v(t + 2)
pa ni vzročen, torej je anticipativen, saj napoveduje, da je njegov trenutni izhod
odvisen od vrednosti, ki jo bo vhod zavzel čez dve časovni enoti. Opisani
anticipativni sistem je idealni prediktor.
8.2.6 Časovno neodvisni sistemi
Časovno neodvisnim ali tudi invariantnim sistemom se lastnosti s časom ne
spreminjajo (na primer se ne starajo). Definicija lastnosti se glasi:
DEFINICIJA 8.2.4 (Časovno ali pomično neodvisni sistem)
Sistem je časovno neodvisen, če časovni premik (zakasnitev) vhoda povzroči le časovni
premik izhoda:
v(t −t 0 ) → y(t −t 0 ) .
Časovno neodvisne sisteme imenujemo tudi pomično neodvisne sisteme. Test
časovne neodvisnosti ilustrira slika 8.8. Na njej vidimo, da lahko signal y(t −
Slika 8.8
Časovno neodvisni sistem.
t 0 ) oziroma zaporedje y[n−n 0 ] dobimo ali z zakasnitvijo izhoda za t 0 oziroma
n 0 ali z zakasnitvijo vhoda za t 0 oziroma n 0 .
8.2.7 Linearni sistemi
Linearnost je najbolj želena lastnost sistemov. Sistem je linearen, če izpolni
naslednja kriterija:
1. Aditivnost: če sistem preslika v 1 (t) → y 1 (t) in v 2 (t) → y 2 (t), potem
preslika tudi v 1 (t) + v 2 (t) → y 1 (t) + y 2 (t)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.2 Vrste sistemov 183
2. Homogenost: če sistem preslika v(t) → y(t), potem preslika tudi αv(t) →
αy(t), kjer je α konstanta.
Navedeni lastnosti sistema morata veljati za vse v 1 (t),v 2 (t) in α. Aditivnost
in homogenost vodita do pomembne lastnosti linearnih sistemov, to je superpozicije.
Če sistem preslika v n (t) → y n (t) potem tudi velja:
α 1 v 1 (t) + α 2 v 2 (t) → α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) ,
kjer sta α 1 in α 2 konstanti. Torej je sistem, ki izpolni pogoj superpozicije,
linearen. V tem opisu sistemov se omejujemo na linearne sisteme z enim
vhodom in izhodom, zakonitosti pa so opisane hkrati za analogne in za digitalne
sisteme.
8.2.8 Stabilni sistemi
S stabilnostjo sistemov se predvsem ukvarja teorija sistemov, zato se bomo
tukaj omejili le na definicijo vhodno-izhodne stabilnosti. Imenujemo jo tudi
BIBO stabilnost. Njena definicija je: BIBO: Bounded Input -
Bounded Output
DEFINICIJA 8.2.5 (BIBO stabilni sistem)
Sistem je stabilen, če je pri vsakem amplitudno omejenem vhodu tudi izhod amplitudno
omejen:
|v(t)| M ⇒ |y(t)| = T { v(t) } N
(8.13a)
oziroma
|v[n]| M ⇒ |y[n]| = T { v[n] } N , M,N < ∞ . (8.13b)
Grafično predstavitev pogoja BIBO stabilnosti kaže slika 8.9.
Slika 8.9
Amplitudno omejena vhodni in
izhodni signal (zgoraj) ter
vhodno in izhodno zaporedje
(spodaj).
datoteka: signal_A

184 8. Sistemi
☞
Primer BIBO stabilnega sistema je identični sistem. Pri njem je zaradi
v(t) = y(t) tudi M = N. Idealni integrator, ki ga opisuje (8.3) oziroma (8.4)
ni stabilen sistem. Če je na primer vhod enotska stopnica u(t), ki je omejena
funkcija, je izhod strmina y(t) = t, ki pa ni omejena, saj s t linearno narašča.
Stabilnost je osnovna lastnost, ki jo zahtevamo od vseh izvedljivih sistemov
za obdelavo signalov. Viri, kot so oscilatorji, so izjema. Ti ustvarjajo
izhod, tudi ko je vhod enak nič.
8.3 Sestavljanje sistemov
Sisteme lahko združujemo v nove, sestavljene sisteme. Mnogokrat ubiramo
tudi nasprotno smer, kompleksne sisteme želimo razstaviti na množico medsebojno
povezanih manj kompleksnih podsistemov. Elemente sistemov, s
katerih gradimo ali na katere razstavljamo sisteme, v splošnem imenujemo
podsistemi ali gradniki.
8.3.1 Vzporedna in zaporedna vezava
Poznamo dve osnovni povezovanji sistemov: vzporedno ali paralelno ter zaporedno
ali serijsko (slika 8.10). Najprej si oglejmo vzporedno povezavo.
Slika 8.10
Vzporedna (zgoraj) in zaporedna (spodaj) povezava
dveh sistemov.
Vhod v sestavljeni sistem je v(t), izhod pa določa vsota izhodov povezanih
sistemov. Z operatorji preslikave zapišemo:
y = y 1 + y 2 = T 1
{
v
}
+ T2
{
v
}
= T
{
v
}
. (8.14)
Seštevanje smo na sliki 8.10 predstavili s posebnim povezovalnim elementom
- seštevalnikom. Poleg seštevalnika takšno vezavo omogoča še povezovalni
element – vejitev. V matematičnem smislu je to prireditev. Pri analognih
sistemih mora vejitev signalov izpolniti tehniške zahteve, ki zagotovijo
usmerjenost signalov. Ista zahteva velja tudi za ostale povezovalne elemente.
Med elementarne povezovalne elemente spada še množilnik. Med tem ko
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.3 Sestavljanje sistemov 185
sta vejitev in seštevanje linearni operaciji, je množenje nelinearna operacija.
Najpogosteje uporabljani povezovalni elementi so narisani na sliki 8.11.
Slika 8.11
Simboli povezovalnih elementov. Zgoraj:
seštevalnik signalov, v sredini: vejitev, spodaj:
množilnik.
Pri zaporedni vezavi sistemov vidimo, da je vhod naslednjega sistema
enak izhodu predhodnega. Izhod skupnega sistema je določen z:
y = T 2
{
y1
}
= T2
{
T1
{
v
}}
= T1 ◦ T 2 = T { v } . (8.15)
Tako sestavljeno preslikavi imenujemo kompozicija preslikav T 1 in T 2 . Kompozicijo
smo označili s simbolom ◦.
ZGLED 8.3.1 (primer sestavljenega sistema)
Za sestavljeni sistem na sliki 8.12 določimo izhodni signal.
Slika 8.12
Primer sestavljenega sistema.
REŠITEV:
v 3 = y 1 + y 2 = T 1
{
v
}
+ T2
{
v
}
= (T1 + T 2 ) { v }
y 3 = T 3
{
v3
}
= T3
{
(T1 + T 2 ) { v }}
= T 3 ◦ (T 1 + T 2 ) { v }
in izhod sestavljenega sistema je
y = y 3 y 4 = [ T 3 ◦ ( T 1
{
v
}
+ T2
{
v
})]
T4
{
v
}
.
datoteka: signal_A

186 8. Sistemi
Vidimo, da simbolični zapis pove le, kako so sistemi 1, 2, 3 in 4 medsebojno povezani.
Brez poznavanja preslikav T i z njim ne moremo določiti vhodno izhodnega opisa. Če pa
so preslikave znane, ta simbolični opis predstavlja vhodno-izhodni model sestavljenega
sistema.
♦
8.3.2 Usmerjenost signalov in sistemov
Pri povezovanju sestavljenih sistemov smo upoštevali, da so signali usmerjeni.
To pomeni, da se signal v sistemu lahko širi le od vhoda proti izhodu.
Pri digitalnih sistemih je to določeno s pravilnim zaporedjem računanja. Električna
vezja s pasivnimi elementi niso usmerjena. Pri njih lahko “signal”
potuje iz “izhoda” k “vhodu”. To je možno preprečiti z uporabo aktivnih
elementov – impedančnih pretvornikov (slika 8.13).
Slika 8.13
Primer impedančne razklopitve vhoda od izhoda.
Razmere na izhodu tu ne vplivajo na delovanje
R-L člena.
8.3.3 Sistemi s povratno zanko
Sestavljeni sistemi, v katerih so podsistemi povezani v povratno zanko, tvorijo
zelo pomembno družino sistemov, na kateri temelji tehnika vodenja oziroma
na splošno kibernetika. Primer zgradbe sistema s povratno zanko kaže
slika 8.14. Regulator je podsistem, ki ga načrtamo tako, da bo imel skupni
vhodno-izhodni sistem želene lastnosti oziroma karakteristike.Med naj-
Slika 8.14
Sistem s povratno zanko.
pomembnejše lastnosti sodi stabilnost. Senzor meri izhod, ki ga želimo voditi.
Pogrešek e(t) je signal razlike med vhodom in izhodom sistema. Sistem
s povratno zanko na sliki 8.14 opišemo z:
{ }
e(t) = v(t) − y 3 (t) = v(t) − T 3 y(t) (8.16)
{ }
v 2 (t) = y 1 (t) = T 1 e(t) (8.17)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.3 Sestavljanje sistemov 187
in
{
y(t) = T 2 v2 (t) } { }
= T 2 ◦ T 1 e(t) (8.18)
= T 2 ◦ T 1 {v(t) − T 3 {y(t)} } (8.19)
= T 2 ◦ T 1 {v(t)} − T 2 ◦ T 3 {y(t)}
oziroma, če vhode in izhode združimo vsake na svoji strani enačbe:
y(t) + T 2 ◦ T 1 ◦ T 3 {y(t)} = T 1 ◦ T 2 {v(t)} . (8.20)
Če poznamo matematične modele regulatorja, reguliranega sistema in senzorja,
lahko izpeljemo vhodno-izhodni model.
ZGLED 8.3.2 (Sistem s povratno zanko)
Predpostavimo, da povratno zančni sistem na sliki 8.14 sestavljajo naslednji podsistemi:
sistem 1: idealni ojačevalnik z ojačenjem k 1
sistem 2: diferenciator y 2 = ˙v 2
sistem 1: idealni ojačevalnik z ojačenjem k 3
Določimo model tega sistema!
REŠITEV: Z določitvijo preslikav v posameznih podsistemih je sestavljen sistem postal
“bela škatla”. Njen model lahko določimo s pomočjo (8.16) – (8.19). To pokažemo
z izpeljavo modela, ki sledi sledi tem rezultatom. Iz regulacijskega pogreška e(t):
[ en. 8.16] e(t) = v(t) − k 3 y(t)
izračunamo regulacijski signal
[ en. 8.17] v 2 (t) = k 1 e(t) = k 1
{
v(t) − k3 y(t) }
= k 1 v(t) − k 1 k 3 y(t) ,
in z upoštevanjem modela objekta za izhod sistema dobimo:
[ en. 8.18] y(t) = ˙v 2 = d dt
[
k1 e(t) ]
[ en. 8.19] = k 1 ˙v(t) − k 1 k 3 ẏ(t) .
Zgornja enačba tvori matematični model opazovanega sistema. Združimo še iste spremenljivke
na eni strani enačaja:
[ en. 8.20] k 1 k 3 ẏ(t) − y(t) = k 1 ˙v(t)
in dobimo v običajen zapis linearne diferencialne enačbe prvega reda s konstantnimi
koeficienti.
♦
datoteka: signal_A

188 8. Sistemi
8.4 Konvolucija
Povejmo takoj! Konvolucija ima v signalni obravnavi sistemov osrednji, nikoli
dovolj poudarjen pomen. Z njo, točneje konvolucijskim integralom oziroma
konvolucijsko vsoto v linearnih, časovno neodvisnih sistemih, za katere
poznamo impulzni odziv, izračunamo odziv sistema na poljubni vhodni signal.
8.4.1 Izpeljava konvolucijskega integrala
Konvolucijski integral lahko preprosto izpeljemo iz odziva sistema na Diracov
impulz z uporabo četrte lastnosti posplošenih funkcij (razdelek 7.3 na
strani 168):
[en. 7.28 ]
∫ ∞
−∞
x(τ)δ(t − τ) dτ = x(t) , (8.21)
iz katere sledi, da lahko signal x(t) opišemo z integralom, v katerem se pomika
Diracov impulz po integracijskem območju od −∞ do +∞.
Impulzni odziv
V signalnem zapisu sistema izhajajmo iz odziva sistema na Diracov impulz:
h(t) = T{δ(t)} . (8.22)
Imenujemo ga impulzni odziv. Nanj gledamo kot na odziv na “enotski” vhodni
signal (ker je po definiciji ∫ ∞
−∞ δ(t) dt = 1), zato z gotovostjo predvidevamo,
da je možno preslikavo sistema opisati prav z njim.
Odziv na poljubni vhodni signal
V odzivu na poljubni vhodni signal:
y(t) = T{v(t)} . (8.23)
upoštevamo (8.21):
{ ∫ ∞
}
y(t) = T v(τ)δ(t − τ) dτ
−∞
. (8.24)
Ker je od časa t odvisen le δ(t − τ), za (8.24) velja:
∫ ∞
y(t) =
{ v(τ)T δ(t − τ) } dτ (8.25)
−∞
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.4 Konvolucija 189
in ker je sistem pomično neodvisen, velja (8.23) zato tudi pri pomiku za τ:
oziroma lahko za (8.25) pišemo:
h(t − τ) = T{δ(t − τ)} , (8.26)
∫ ∞
y(t) = v(τ)h(t − τ) dτ . (8.27)
−∞
Obrazec (8.27) imenujemo konvolucija, ki jo krajše simbolično zapišemo s
konvolucijskim produktom:
y(t) = v(t) ∗ h(t) . (8.28)
Iz (8.27) sledi, da impulzni odziv linearnega, pomično neodvisnega sistema
popolnoma opiše takšen sistem. S poznavanjem h(t) lahko s pomočjo konvolucije
določimo odziv konvolucijskih sistemov na poljubni vhodni signal.
Glede na (8.27) oziroma (8.37) lahko konvolucijski sistem grafično predstavimo
tako, kot kaže slika 8.15.
(a) predstavitev strukture preslikave (8.27) (b) običajna predstavitev preslikave (8.27)
Slika 8.15
Zvezni konvolucijski sistem.
8.4.2 Odziv linearnega časovno diskretnega sistema
Odziv časovno diskretnega sistema določimo po podobni poti kot smo ga
določili pri zveznih konvolucijskih sistemih. Razlika je ta, da tu uporabimo
Kroneckerjev enotski impulz δ K [n] in konvolucijski integral zamenja konvolucijska
vsota.
Linearni, pomično neodvisni časovno diskretni in sistem, ki je sproščen
ali relaksiran (v sistemu so vsi elementi s pomnjenjem prazni, oziroma so
njihove začetne vrednosti enake nič) se na Kroneckerjev enotski impulz δ K [n]
odzove z zaporedjem h[n], oziroma zadosti preslikavi:
h[n] = T{δ K [n]} . (8.29)
datoteka: signal_A

190 8. Sistemi
Odziv diskretnega sistema lahko določimo po podobni poti, kot smo jo prehodili
pri zveznih sistemih. Tako zaporedje v[n] izrazimo z
v[n] =
∞
∑
m=−∞
v[m]δ K [n − m] . (8.30)
Ker je sistem linearen, lahko odziv y[n] na poljubni vhod v[n] določimo z:
∞∑
}
y[n] = T{x[n]} = T{
v[m]δ K [n − m]
(8.31)
=
m=−∞
∞
∑
m=−∞
in ker je sistem tudi pomično neodvisen, seveda velja tudi
Vstavimo (8.33) v (8.32) in dobimo:
y[n] =
∞
∑
m=−∞
x[m]T{δ K [n − m]} (8.32)
h[n − m] = T{δ K [n − m]} . (8.33)
v[m]h[n − m] . (8.34)
Obrazec (8.34) imenujemo konvolucijska vsota. Podobno kot impulzni odziv
h(t) popolnoma opiše zvezni sistem, h[n] popolnoma opiše diskretni sistem.
8.4.3 Računanje konvolucije
Beseda konvolucija je prireditev angleške besede convolution, ta pa je prevod
Faltung, ki so jo vpeljali nemški matematiki. V slovenskem prevodu
bi zato pomenila pregib. Pomen veže na računanje, ko preganemo signalno
os vhodnemu signalu (slika 8.16b), oziroma signal zasučemo na signalni osi
(slika 8.16c). Zakaj preganemo signal? Vemo, da je zasuk nastal v izpeljavi
konvolucijskega integrala, kjer smo izkoristili lastnosti Diracovega impulza.
Pri kavzalnih sistemih (izpeljava konvolucijskega integrala za ta posebni primer
je v razdelku 8.5.5 na strani 195), kjer je izhod sistema odvisen le od
trenutne in preteklih vrednosti vhoda. Nujnost pregiba uvidimo tudi intuitivno,
ko s pregibom izpolnimo lastnost kavzalnih sistemov!
Pregib zagotavlja, da z integriranjem vzdolž impulznega odziva zajemamo
vrednosti vhoda vse bolj v preteklosti (slika 8.16d).
Za utrditev razumevanje konvolucije izpišimo še potek računanja pri zveznih
signalih in sicer različico algoritma za primer, ko zasučemo vhodni signal
(na levi strani) in za primer, ko zasučemo impulzni odziv. Oba načina
dajeta enak rezultat!
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.4 Konvolucija 191
(a) Potek signala v(τ +t).
(b) Pregib signalne osi τ.
(c) Potek signala v(−τ +t) na običajnem prikazu signalne osi.
(d) Potek signala v(t − τ) in odziva h(τ) s prikazom izračuna
vrednosti konvolucije v trenutku t. Velikost površine pod potekom
v(t − τ)h(τ) je enaka vrednosti konvolucije pri t. “Film”
računanja konvolucije vidimo na sliki 8.17.
Slika 8.16
Pregib signalne osi na vhodnem signalu.
prvi način
drugi način
1. preganemo vhodni signal:
v(t) → v(−t),
2. preganjeni vhodni signal po signalni osi τ premikamo
s t,
3. množimo (točko za točko) vhodni signal z
impulznim odzivom:
h(t)v(τ −t),
4. produkte integriramo.
1. preganemo impulzni odziv:
h(t) → h(−t),
2. preganjeni impulzni odziv po signalni osi τ premikamo
s t,
3. množimo (točko za točko) vhodni signal z
impulznim odzivom:
h(τ −t)v(t),
4. produkte integriramo.
Konvolucijo si lahko predstavljamo kot lokalno povprečenje produkta vhodnega
signala s preganjenim in premikajočim se impulznim odzivom. Iz
obrazcev konvolucije oziroma postopka njenega računanja (slika 8.17)vidimo,
da je konvolucija sorodna korelaciji. Razlika med njima je le v “zasuku”
datoteka: signal_A

192 8. Sistemi
Slika 8.17
“Film” računanja konvolucije.
enega od signalov. Zato data korelacija in konvolucija v primeru sodega vhodnega
signala enak rezultat!
V simulacijah lahko realiziramo signalni konvolutor le za končno trajanje
impulznih odzivov, ki se shranijo v ustrezni pomnilnik naprave. Tehnično
uporabljamo le diskretne (digitalne) rešitve. Izjema je le integrator, kjer ni
potrebe shraniti njegov impulzni odziv, saj je enak ena.
8.5 Lastnosti konvolucije
Konvolucijski obrazci veljajo le za linearne, časovno neodvisne sisteme. Za
takšne sisteme velja:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.5 Lastnosti konvolucije 193
pri diskretnih sistemih
Linearni, časovno diskretni preslikavalni sistem s signalno
osjo T ∈ Z in realnim ali kompleksnim vhodom
in izhodom je časovno neodvisni sistem takrat in samo
takrat, ko je konvolucijski sistem.
pri zveznih sistemih
Linearni, časovno zvezni preslikavalni sistem s signalno
osjo T ∈ R in realnim ali kompleksnim vhodom
in izhodom je časovno neodvisni sistem takrat in samo
takrat, ko je konvolucijski sistem.
Večina sistemov, s katerimi se bomo v pri obravnavi signalov ukvarjali, bodo
konvolucijski sistemi. Za te sisteme se v angleški literaturi pogosto uporablja
kratica sistemi LTI. Sistemi LTI so seveda lahko časovno zvezni ali časovno
diskretni sistemi. Za oboje veljajo iste lastnosti.
Pri časovno spremenljivih sistemih je impulzni odziv odvisen od trenutka
vzbujanja, zato zanje konvolucijski obrazec ne obstoja. Pri zveznih sistemi
namesto njega uporabljamo superpozicijski integral, v katerem namesto impulznega
odziva h(t − τ) nastopa impulzni odziv h(t,τ):
y(t) =
∫ t
0
v(τ)h(t,τ) dτ . (8.35)
Pomembna družina časovno spremenljivih sistemov so adaptivni sistemi, ki
jih na primer sproti prilagajamo potrebam pri obdelavi signalov.
LTI:
Linear Time Invariant
8.5.1 Obstoj konvolucije
Obstoj konvolucije, torej njena izračunljivost, ni sam po sebi umevna. Tako
na primer, konvolucija dveh konstantnih signalov (integrator s konstantnim
vhodom) narašča preko vseh mej. Zato morajo biti za obstoj konvolucije
izpolnjeni določeni pogoji.
DEFINICIJA 8.5.1 (Zadostni pogoji za obstoj konvolucije)
Za signala oziroma funkciji v ali h, ki sta definirani ali na signalni osi T ∈ Z ali T ∈ R
obstaja konvolucija v primerih:
1. Če sta v in h prehodni funkciji je tudi konvolucija v ∗ h prehodna.
2. Če sta funkciji v ali h prehodni le v eni smeri, je tudi konvolucija v ∗ h prehodna
v isto smer kot funkciji.
3. Če velja ‖v‖ 2 < ∞,‖y‖ 2 < ∞, tedaj velja ‖v∗h‖ ∞ < ∞, vendar ni nujno, da velja
tudi ‖x ∗ h‖ 2 < ∞.
4. Če obstaja ‖v‖ 1 in ‖h‖ 1 , tedaj velja ‖v ∗ h‖ ∞ < ∞.
Iz definicije 8.5.1 sledi, (i) da je pri prehodnih signalih rezultat konvolucije
različen od nič le na intervalu, katerega dolžina je vsota intervalov, na
katerih sta funkciji x in y različni od nič; in (ii) za obstoj konvolucije sta
odgovorna tako vhod kot impulzni odziv sistema.
datoteka: signal_A

194 8. Sistemi
8.5.2 Stabilnost konvolucijskih sistemov
Vhodno-izhodno (BIBO) stabilnost smo definirali v definiciji 8.2.5 na strani
183. Iz nje sledi naslednji izrek:
IZREK 8.1 (BIBO stabilnost konvolucijskih sistemov)
Konvolucijski sistem je BIBO stabilen takrat in samo takrat, ko ima impulzni odziv h
končno jakost ‖h‖ 1 < ∞. Takrat velja:
‖y‖ ∞ ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ (8.36)
pri vsakem vhodu s končno amplitudo.
Veljavnost (8.36) bomo dokazali le pri časovno diskretnih sistemih. Za
časovno zvezne sisteme je izpeljava dokaza ekvivalentna.
DOKAZ 8.1
Izhod časovno diskretnega konvolucijskega sistema y[n] je:
y[n] =
n
∑
m=−∞
h[n − m]v[m] , n ∈ Z
Z uporabo trikotniškega izreka za kompleksna števila lahko zapišemo:
∣ ∣ ∣∣∣∣ ∞ ∞
∣ y[n] = ∑ h[n − m]v[m]
m=−∞
∣
∣
∑
∣ h[n − m]v[m] .
m=−∞
} {{ }
=S
Izraz S ima očitno največjo vrednost takrat, ko so vsi v[m] enaki maksimalni vrednosti
vhodnega zaporedja, ki jo izmerimo z ‖·‖ ∞ . Zato zagotovo velja:
∣
∣y[n] ∣
∞
∑
m=−∞
∣
∣h[n − m] ∣ ∣·‖v[m]‖ ∞ = ‖v[m]‖ ∞ ·
n
∑
m=−∞
∣
∣h[n − m] ∣ ∣
pri vseh m ∈ Z. Z zamenjavo spremenljivk n − m = k dobimo:
(
∣ ∞∑
)
∣ y[n] |h(k)| ·‖v‖ ∞ = ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ , n ∈ Z ,
m=−∞
} {{ }
‖h[k]‖
oziroma:
‖y‖ ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ . □
Iz dokaza lahko povzamemo: če je jakost impulznega odziva končna, torej
‖h‖ 1 < ∞, potem je maksimalna amplituda odziva ‖y‖ ∞ na vsak vhod s
končno amplitudo ‖v‖ ∞ ∞ omejena s ‖h‖ 1 ·‖v‖ ∞ .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.5 Lastnosti konvolucije 195
8.5.3 Linearnost
Konvolucija je linearna operacija, zato zanjo veljajo vse lastnosti linearnih
preslikav:
1. komutativnost x ∗ h = h ∗ x (8.37a)
2. asociativnost [x ∗ h 1 ] ∗ h 2 = x ∗ [h 1 ∗ h 2 ] (8.37b)
3. distributivnost x ∗ [h 1 + h 2 ] = x ∗ h 1 + x ∗ h 2 (8.37c)
3. distributivnost x ∗ [h 1 + h 2 ] = x ∗ h 1 + x ∗ h 2 (8.37d)
4. množenje s skalarjem α(x ∗ y) = (αx) ∗ y = x ∗ (αy) (8.37e)
8.5.4 Statični in dinamični sistemi
Pri statičnih sistemih oziroma pri sistemih brez pomnjenja, je trenutni izhod
odvisen le od trenutnega vhoda. Če je ta sistem tudi linearen in pomično
neodvisen, potem zanj velja:
y(t) = Kx(t) , (8.38)
kjer je K konstanta (ojačenje ali slabljenje) sistema. Tak sistem ima impulzni
odziv enak
h(t) = Kδ(t) . (8.39)
Iz (8.39) sledi, da je pogoj za statični sistem
h(t) =
{
h(0) = K t = 0
h(t) = 0 t ≠ 0
. (8.40)
Če pogoj (8.40) ni izpolnjen, torej da je h(t) ≠ 0 pri t ≠ 0, potem je sistem
dinamičen.
8.5.5 Kavzalni sistemi
Pri kavzalnih sistemih odziv ne more nastati pred vzbujanjem, oziroma trenutna
vrednost izhoda ne more biti odvisna od prihodnjih vrednosti vhoda.
Zato velja:
h(t) = 0 , t < 0 (8.41)
in
∫ ∞
y(t) = h(τ)x(t − τ) dτ . (8.42)
0
Prav tako ne more biti izhod odvisen od prihodnjih vrednosti vhoda, ampak
le od vrednosti do trenutka t, zato (8.42) omejimo na interval [0,t]:
datoteka: signal_A

196 8. Sistemi
∫ t
∫ t
y(t) = x(τ)h(t − τ) dτ = h(τ)x(t − τ) dτ . (8.43)
0
0
Ker so izvedljivi sistemi kavzalni sistemi, je obrazec (8.43) osrednjega
pomena pri računanju odzivov. Zato njegov pomen osvetlimo in utrdimo z
nekaj primeri uporabe.
ZGLED 8.5.1 (Impulzni odziv integratorja)
Določimo impulzni odziv integratorja (slika 8.18)!
Slika 8.18
Integrator.
REŠITEV:
Integrator je elementarni sistem, katerega izhod je enak integralu vhoda:
∫ t
y(t) = x(τ) dτ . (8.44)
−∞
Enačba (8.44) je že matematični model sistema, zato je določitev impulznega odziva
preprosta. Iz definicije, da je impulzni odziv enak odzivu sistema na Diracov impulz,
sledi, da je integrator pred pojavom Diracovega impulza relaksiran (njegova začetna
vrednost je enaka nič):
∫ t
h(t) = δ(τ) dτ =
−∞
{
0 t < 0
1 t > 1
= u(t) . (8.45)
♦
Integrator je v zveznih sistemih osnovni gradnik dinamičnih sistemov. Zato
se zanj ponavadi uporablja poseben simbol (slika 8.19).
(a) simbol integratorja, ki ga uporabljamo
v simulacijah (sistemski opis)
(b) simbol integratorja, ki ga uporabljamo
v regulacijah (vhodno-izhodni opis)
Slika 8.19
Simboli za upodobitev integratorja.
ZGLED 8.5.2 (Odziv integratorja na enotsko stopnico)
Določimo odziv integratorja na enotsko stopnico!
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.5 Lastnosti konvolucije 197
REŠITEV: Ker je integrator kavzalni sistem – njegov izhod je odvisen od trenutne in
vseh predhodnih vrednosti vhoda – in ker je vhodni signal tudi kavzalen, lahko njegov
izhod določimo s konvolucijskim integralom, ki smo ga zapisali v (8.43).
∫ t
y(t) = h(t) ∗ x(t) = h(τ)v(t − τ) dτ . (8.46)
0
Upoštevamo, da vhod v(t) = u(t) ter impulzni odziv, ki smo ga določili v zgledu 8.5.1 na
predhodni strani. Dobimo
⎧
∫ t
⎨0 t < 0
y(t) = 1
0
}{{}
·
}{{}
1 dτ =
⎩
τ∣ t = t t > 1 = k(t) . (8.47)
h(τ) v(t−τ)
0
Pripomnimo še, da simbol za integrator, ki ga uporabljamo v regulacijah, ponazarja
klanec, ki je odziv integratorja na stopnico na vhodu.
♦
ZGLED 8.5.3 (Odziv integratorja na harmonični val)
Določimo odziv integratorja na periodični signal v(t) = cosωt!
REŠITEV: Imamo kavzalni sistem in periodični – torej nekavzalni – vhodni signal.
Zato izhod integratorja lahko določimo z obrazcem v (8.44).
∫ t
y(t) = cosωτ dτ = 1 ∣ ∣∣∣
t
−∞
ω sinωτ = sinωt
−∞
ω
, (8.48)
kjer smo upoštevali izrek o končnih vrednosti (glej dodatek ?? na strani ??):
∫ ∞
lim sinωt dt = 0 .
ω→−∞ −∞
Do enakega rezultata pridemo, če odziv določimo s konvolucijskim integralom (8.27).
V njem upoštevamo, da je integrator kavzalni sistem. Zato zapišemo:
∫ t
y(t) = 1· cosω(t − τ) dτ (8.49)
0
∫ t [ ]
= cosωt cosωτ + sinωt sinωτ dτ
0
∫ t
∫ t
= cosωt cosωτ dτ + sinωt sinωτ dτ
0
0
= cosωt 1 ω [sinωt − 0] + sinωt 1 [−cosωt + 1]
ω
cosωt sinωt cosωt sinωt
= − + sinωt
ω
ω ω
= sinωt . (8.50)
ω
♦
datoteka: signal_A

198 8. Sistemi
8.5.6 Premik funkcije
Sistem, ki premakne (zakasni) signal po časovni osi, ima impulzni odziv
enak:
zvezni sistemi: h(t) = δ(t −t 0 ) (8.51a)
diskretni sistemi: h[n] = δ[n − n 0 ] , (8.51b)
kjer sta t 0 ∈ R + in n 0 ∈ Z + . V veljavnost (8.51) se lahko prepričamo z
naslednjo izpeljavo. Iz definicije Diracovega impulza sledi:
∫ ∞
∫ ∞
v(t)δ(t −t 0 ) dt = v(t −t 0 )δ(t −t 0 ) dt = x(t 0 ) ,
−∞
−∞
z upoštevanjem definicije konvolucije v (8.43) pa lahko zapišemo:
∫ t
−∞
∫ t
x(t −t 0 )h(t − τ) dτ = x(t)δ(t −t 0 − τ) dτ = x(t −t 0 ) .
−∞
8.5.7 Odvajanje konvolucije
Bodi p operator odvajanja:
pz(t) = d dt
z(t) , (8.52)
Če je z(t) je zvezna in odvedljiva funkcija, potem pri konvoluciji zveznih
funkcij, od katerih mora biti vsaj ena odvedljiva, velja:
če je odvedljiva funkcija x, in
če je odvedljiva funkcija y.
p(x ∗ y) = (px) ∗ y , (8.53a)
p(x ∗ y) = x ∗ (py) , (8.53b)
8.5.8 Konvolucija signala
z odvodom Diracovega impulza
Lastnosti konvolucije z odvodom Diracovega impulza je pomembna pri sistemih,
katerih izhod je sorazmeren odvodu vhoda. Predpostavimo, da je v
regularna funkcija, ki je n-krat odvedljiva. Z uporabo lastnosti:
∫ ∞
δ [n] (t)φ(t) dt = (−1) n φ [n] (0) , (8.54)
−∞
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.5 Lastnosti konvolucije 199
kjer je n ∈ Z + in φ(t) najmanj n-krat v točki 0 (zvezno) odvedljiva funkcija,
dobimo:
∫ ∞
v ∗ δ [n] = v(t − τ)δ [n] (τ) dτ (8.55)
−∞
∣
[n] d[n]
= (−1)
dτ n v(t − τ) ∣∣τ=0
= v [n] (t) ; t ∈ R , (8.56)
kjer je v [n] n-ti odvod funkcije v. Sledi
v ∗ δ [n] = v [n] , m,n ∈ Z . (8.57)
Lastnosti konvolucije z δ impulzom so povzete v tabeli 8.1.
Tabela 8.1
Lastnosti konvolucije signala z odvodom Diracovega impulza.
lastnost
pogoj
a. v ∗ δ [n] = v [n] v je lahko katerakoli regularna ali
generalizirana funkcija, n ∈ Z +
b. δ [m] ∗ δ [n] = δ [m+n] m,n ∈ Z +
ZGLED 8.5.4 (Sistem z diferenciatorjem)
Določimo impulzni odziv diferenciatorja!
REŠITEV: Diferenciator je zvezni vhodno-izhodni sistem s povezavo y = pv, p je
operator odvajanja (glej razdelek 8.5.7 na predhodni strani).
Preprosto lahko preverimo, da je ta sistem linearen in časovno neodvisen, torej je
konvolucijski sistem. Njegov impulzni odziv poiščimo tako, da damo na vhod Diracov
impulz δ(t). Vemo, da je v tem primeru odziv sistema y(t) = h(t):
y(t) = h(t) = pδ(t) = δ [1] (t) .
Torej je impulzni odziv diferenciatorja enak δ [1] . Ker je δ (1) posplošena funkcija oziroma
distribucija, mnogi avtorji pravijo, da diferenciator kot sistem ne obstaja, saj v
praksi tako δ kot tudi δ (1) lahko le aproksimiramo.
♦
datoteka: signal_A

200 8. Sistemi
8.5.9 Odziv realnih sistemov
na kompleksne signale
Imejmo realni sistem – to je sistem z realnim impulznim odzivom, ki ima na
vhodu vsoto dveh amplitudno omejenih signalov, na primer
v(t) = a 1 v 1 (t) + a 2 v 2 (t) .
Ker je konvolucijski sistem linearni, časovno neodvisni sistem, ta dva signala
preslika v izhod
y(t) = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t) .
Pri tem velja za konstanti a 1 in a 2 edina omejitev, da sta končno veliki. Če ju
izberemo tako, da sta:
a 1 = 1 , a 2 = √ −1 = j ,
potem sistem z realnim konvolucijskim odzivom opravlja preslikavo
h
v(t) = v 1 (t) + jv 2 (t) −−−−→ y(t) = y 1 (t) + jy 2 (t) (8.58)
Z besedami, preslikava, ki jo vrši konvolucijski sistem z realnim impulznim
odzivom, je neodvisna od tega, ali je vhod realen ali kompleksen. Realni
vhod preslika v realni izhod, kompleksni vhod pa v kompleksni izhod.
8.6 Frekvenčna karakteristika
Med signali imajo posebno mesto harmonični signali. Z njimi lahko, kot je
to znano iz harmonične analize, opišemo skoraj vse deterministične signale.
Zato si oglejmo, kakšen je izhod sistema, ko je na vhodu harmonični signal.
8.6.1 Odziv na kompleksni harmonični signal
(slika 8.20), opisali smo ga v raz-
Za enotski kompleksni harmonični val
delku ?? na strani ??, velja:
[en. ??] v(t) = e jωt , t ∈ R , (8.59)
Slika 8.20
Harmonični val.
Iz (8.58) vemo, da bo odziv sistema na ta signal kompleksen. Izračunamo ga
s konvolucijo:
∫ ∞
y(t) = h(t − τ)v(τ) dτ
=
−∞
∫ ∞
−∞
h(t − τ)e jωt dτ , t,τ ∈ R . (8.60)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

☞
8.6 Frekvenčna karakteristika 201
Predpostavimo, da je integral v (8.60) izračunljiv. V tem primeru lahko s substitucijo
t − τ = θ (z njo zasučemo in premaknemo signalno os, zaradi tega
integriramo od stare zgornje meje proti stari spodnji: dτ = − dθ), izpeljemo:
∫ −∞
∫ ∞
y(t) = h(θ)e jω(t−θ) [− dθ] = h(θ)e jω(t−θ) dθ
∞
−∞
[ ∫
]
∞
= h(θ)e − jωθ dθ e jωt = H( jω)e jωt . (8.61)
−∞
} {{ }
H( jω)
H( jω) imenujemo frekvenčna karakteristika ali prenosna funkcija konvolucijskega
sistema. Njena definicija:
H( jω) =
∫ ∞
−∞
h(θ)e − jωθ dθ , ω ∈ R (8.62)
je, kot bomo spoznali v harmonski analizi (razdelek ?? na strani ??), Fourierova
transformacija impulznega odziva. Z zapisom H( jω) poudarimo, da je
frekvenčna karakteristika v splošnem kompleksna funkcija, četudi je impulzni
odziv realen. Lahko jo zapišemo tudi v obliki:
H( jω) = |H( jω)|e ∡{H( jω)} , (8.63a)
kjer za |H( jω)| velja
in za ∡{H( jω)} = φ h (ω):
|H( jω)| =√ [R {
H( jω)
}] 2 +
[
I
{
H( jω)
}] 2
(8.63b)
φ h (ω) = arctan I{ H( jω) }
R { H( jω) } . (8.63c)
S tem smo frekvenčno karakteristiko razstavili na dva dela: na amplitudno
karakteristiko |H( jω)| in na fazno karakteristiko φ h (ω). Na sliki 8.21a je
s kazalčnim diagramom ilustrirana (8.63a) in (8.63b), slika 8.21b pa kaže
amplitudno in fazno karakteristiko LR člena iz primera 8.6.1.
Če je integral v (8.62) izračunljiv, dobimo:
h y(t) = H( jω) h v(t) = |H( jω)t|e jφ h h v(t) . (8.64)
kjer smo z predpono h označili, da so vhodi in izhodi harmonični signali in da
ta obrazec velja samo za njih. Iz (8.64) sledi, da imajo konvolucijski sistemi
pri harmoničnih vhodih harmonični izhod, ki pa je glede na vhod pridušen
datoteka: signal_A

202 8. Sistemi
(a) Predstavitev frekvenčnega odziva
H( jω) s kazalčnim diagramom.
(b) potek normirane amplitudne in fazne karakteristike
LR člena (slika 8.22).
Slika 8.21
Frekvenčna karakteristika
☞
(ojačen) in zakasnjen v skladu s frekvenčno karakteristiko. To pomeni, da
se pri harmoničnih signalih računanje konvolucije vhodnega signala z impulznim
odzivom poenostavi v navadno množenje frekvenčnega odziva H( jω)
z vhodnim signalom. To je izjemna lastnost frekvenčnega odziva, ki ne velja
le za kompleksne harmonične vale, ampak tudi za realne. To pokažemo z
naslednjim zgledom.
ZGLED 8.6.1 (Frekvenčna karakteristika LR člena)
Za sistem, ki ga kaže slika 8.22 izračunajmo frekvenčni odziv!
REŠITEV: Iz osnov osnov elektrotehnike vemo, da lahko pri napetostih in tokovih sinusoidne
oblike pri razreševanju vezij uporabljamo impedance oziroma reaktance. Tako
je impedanca tuljave enaka X L = ωL, reaktance zaporedne vezave upora in tuljave pa
Z LR = R + jX L = R + jωL. Iz slike 8.22 vidimo, da je izhod enak padcu napetosti
na uporu, torej y(t) = i(t)R. Z upoštevanjem 1. Kirchhoffovega in Ohmovega zakona
lahko izračunamo:
h y(t) =
R h R
v(t) =
Z LR R + jωL · U i cosωt
} {{ }
h v(t)
. (8.65)
Slika 8.22
Električno vezje s členom LR.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.6 Frekvenčna karakteristika 203
Iz primerjave (8.75) z (8.64) sledi:
R
H( jω) =
R + jωL = 1
1 + jωτ LR
= R{H( jω)} + j I{H( jω)} , (8.66)
kjer je τ LR
= L/R časovna konstanta, ki jo določata elementa L in R. Realni in imaginarni
del frekvenčne karakteristike v (8.76) sta:
R{H( jω)} =
1
1 + ω 2 τ 2 , I{H( jω)} = −ωτ
1 + ω 2 τ 2 ,
amplitudno ter fazno karakteristiko pa izračunamo z (8.63):
√
|H( jω)| = √ 1 + ω 2 τ 2
R{H( jω)} 2 + I{H( jω)} 2 LR
=
1 + ω 2 τ 2 LR
I{H( jω)
φ h (ω) = arctan
R{H( jω)} = −arctanωτ LR
.
Potek |H( jω)| in φ h (ω) kaže slika 8.21b. Iz nje lahko sklepamo, kakšen je izhod y(t)
– je harmonični signal z velikostjo amplitude U y = |H( jω)|·U i ki fazno zaostaja za
vhodnim signalom za kot φ h (ω). Torej zanj velja:
h y(t) = |H( jω)|·U i
} {{ }
=U y
cos[ωt − φ h (ω)] = U o cos[ωt − φ h (ω)]
Na podoben način lahko določimo frekvenčne karakteristike za vsa pasivna električna
vezja. Pri tem ni odveč ponovno poudariti: tako preprosto lahko električna vezja opisujemo
le pri harmoničnih signalih. V splošnem pojave v njih opisujemo z diferencialnimi
enačbami.
♦
8.6.2 Odziv realnega sistema
na realni harmonični signal
Iz zgornjega zgleda vidimo, da veljavnost (8.64) lahko razširimo tudi na realne
harmonične signale:
h v(t) = R{ae jωt } ,
kjer je a kompleksna amplituda harmoničnega signala, ki jo v polarnih koordinatah
predstavimo z amplitudo |a| in kotom φ v :
h v(t) = R{|a|e jφ e jωt } = R{|a|e jωt+φ v
} (8.67)
= R{|a| [cos(ωt + φ v ) + j sin(ωt + φ v )]}
= |a|cos(ωt + φ v ) . (8.68)
datoteka: signal_A

204 8. Sistemi
Upoštevamo Eulerjev obrazec cosα = 1 2 e jα + 1 2 e− jα in za vhod dobimo:
h v(t) = |a|
2 e jωt+φ v
+ |a|
2 e− jωt+φ v
. (8.69)
S tem smo realni harmonični signal predstavili kot vsoto dveh konjugirano
kompleksnih signalov. To uvidimo iz njune kazalčne predstavitve v prostoru
C 1 (slika 8.23a).Izhod realnega sistema izračunamo pri tem vhodu s konvolucijo:
∫ ∞
h y(t) = h(t − τ) 1 [
2 e
jωτ+φ v
+ e − jωτ−φ ] v
dτ
−∞
, (8.70)
kjer s substitucijo θ = t − τ dobimo
∫ ∞
h y(t) = 1 h(θ)e − jθ dθ e jωt+φ v
+ 1 2 −∞
2
} {{ }
=H( jω)
∫ ∞
= 1 2 H( jω)ejωt+φ v
} {{ }
+ 1 2 H∗ ( jω)e − jωt−φ v
} {{ }
h v(t)
h v ∗ (t)
h(θ)e jθ dθ
−∞
} {{ }
=H ∗ ( jω)
e jωt+φ v
= 1 2 H( jω) h v(t) + 1 2 H∗ ( jω) h v ∗ (t) (8.71)
{ }
= R H( jω) h v(t) . (8.72)
oziroma z upoštevanjem (8.63)
{
}
h y(t) = R |H( jω)|e jφ v h v(t)
(8.73)
= |H( jω)|cos(ωt + φ v + φ h (ω)) , (8.74)
(a) R{ h v(t)} = 1 2 h v(t) + 1 2 h v ∗ (t)
(b) R{H( jω)} = 1 2 H( jω) + 1 2 H∗ (ω)
Slika 8.23
Predstavitev realnega harmoničnega signala cos(ωt + φ v ) in frekvenčne karakteristike s kazalci v ravnini C 1 .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.6 Frekvenčna karakteristika 205
kar se ujema z rezultatom zgleda 8.6.1 na strani 202.
8.6.3 Odziv diskretnega sistema
na diskretni harmonični signal
Frekvenčna karakteristika obstaja tudi pri časovno diskretnih sistemih. Definiramo
jo podobno kot pri zveznih sistemih, le da moramo upoštevati, da
imamo na vhodu namesto harmoničnega signala h v(t) harmonično zaporedje
h v[n], katerega ovojnica je harmonični signal (glej razdelek ?? na strani ??).
Časovno diskretni konvolucijski sistem s časovno osjo T ∈ Z in impulznim
odzivom h[n] se na harmonično zaporedje na vhodu
h v[n] = e jωn , n ∈ Z
odzove z
h y[n] = H( jω)e jωn , n ∈ Z . (8.75)
H( jω) je zvezna frekvenčna karakteristika sistema, odvisen je od kotne hitrosti
ω. Določa ga:
H( jω) =
∞
∑
n=−∞
8.6.4 Pogoj obstoja frekvenčne karakteristike
h[n]e jωn , ω ∈ R . (8.76)
Iz (8.62) in (8.75) sledi, da obstaja frekvenčna karakteristika le, če je jakost
impulznega odziva omejena: ‖h‖ 1 < ∞. Le v tem primeru lahko frekvenčno
karakteristiko izračunamo. Ker je dokaz za to trditev pri zveznih sistemih
podoben dokazu pri diskretnih sistemih, ga navajamo le za slednje:
DOKAZ 8.2
Predpostavimo, da je ‖h‖ 1 končen. V tem primeru velja:
∣ ∞ ∣∣∣∣
|H( jω)| =
∣
∑
n=−∞h[n]e jωn
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
∣
∣h[n] ∣ ∣·∣∣e jωn∣ ∣
∣ h[n]
∣ ∣ =
∥ ∥h[n]
∥
∥1 < ∞ ,
(Cauchy-Schwarzova neenakost)
saj velja |e jωn | = 1.
□
Schwarzovo neenakost, ki smo jo uporabili v dokazu, smo opisali na strani
75. Poudarimo še, da je pogoj obstoja frekvenčne karakteristike enak pogoju
datoteka: signal_A

206 8. Sistemi
BIBO stabilnosti (definicija 8.2.5 na strani 183). Zato frekvenčna karakteristika
obstaja pri vseh BIBO stabilnih sistemih.
Kot smo videli v zgledu 8.5.3 na strani 197, integrator ni BIBO stabilen,
zato njegove frekvenčne karakteristike ne moremo opisati z regularno funkcijo.
V opisu Fourierove transformacije bomo pokazali, da jo lahko opišemo
s posplošeno funkcijo.
8.6.5 Lastnosti frekvenčnih karakteristik
Frekvenčne karakteristike imajo dve pomembni lastnosti:
1. Pri računanju odziva sistema na harmonični signal pri znani frekvenčni
karakteristiki konvolucijo nadomesti navadno množenje.
2. Frekvenčna karakteristika diskretnega sistema je periodična funkcija.
Prva lastnost izhaja iz (8.61) in (8.75). Nanjo smo opozorili že na strani 201.
Druga lastnost ni tako očitna, zato si jo posebej oglejmo. Frekvenčno karakteristiko
zveznih sistemov določa (8.61). Za primer vezja LR ga kaže slika
8.21b). Pri konvolucijskih sistemih, je tudi časovno neodvisna. Iz primerjave
(8.76) – določa frekvenčno karakteristiko diskretnega sistema – in (8.62) –
določa frekvenčno karakteristiko zveznega sistema – sledi, da je frekvenčna
karakteristika diskretnega sistema periodična funkcija. Ponavlja se z nω. Pri
n = 1 je enak kot pri zveznem – je funkcija ω, pri n = 2 se ponovi pri dvojnih
frekvencah – je funkcija 2ω, pri n = 3 pri 3ω itd.
8.6.6 Prekrivanje
V literaturi se za
prekrivanje pogosto
uporablja angleški
termin aliasing
Pri periodičnem ponavljanju frekvenčne karakteristike je očiten še en pomemben
pojav – prekrivanje. Ko je funkcija frekvenčnega odziva neprehodna
– različna od nič nad vso frekvenčno osjo – se periodično ponavljajoče se
frekvenčne karakteristike prekrivajo. V tem primeru imamo na področjih prekrivanja
vsoto vrednosti frekvenčnih karakteristik pri visokih in nizkih frekvencah
(slika 8.24).Posledica prekrivanja je slabša uporabnost diskretnega
Slika 8.24
Ilustracija prekrivanja frekvenčnih
karakteristik.
sistema, kot so na primer sita, saj pri prekrivanju frekvenčnih karakteristik ne
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.7 Povezovanje konvolucijskih sistemov 207
moremo ločiti prispevkov odzivov pri posameznih frekvencah. Prekrivanje
lahko odpravimo, če je (i) frekvenčna karakteristika prehodna funkcija, in
(ii) če je njegova meja manjša od polovice periodične ponovitve. Ta pogoja
povzema znano Shannonovo pravilo, ki mora biti izpolnjeno pri vzorčenju
zveznih signalov.
8.6.7 Povzetek lastnosti konvolucijskih sistemov
Lastnosti odzivov konvolucijskih sistemov, ki smo jih spoznali v prejšnjem
poglavju, lahko razdelimo v dve skupini:
1. lastnosti, ki so posledica periodičnosti
2. lastnosti, ki so posledica oblike harmoničnega signala.
Pri slednjih smo izpostavili frekvenčni odziv, ki je lasten harmoničnim signalom.
Velja: konvolucija je linearna računska operacija, zato ohranja naravo
signalov. To pomeni:
ko je vhod periodičen, je tudi izhod periodičen,
ko je vhod aperiodičen, je tudi izhod aperiodičen
ko je vhodni signal naključni, bo tudi izhodni signal naključni.
To lastnost konvolucijskih sistemov lahko izkoristimo pri računanju konvolucije
pri periodičnih vhodnih signalih. Pri njih zadostuje izračunati odziv le
za eno periodo, znan pa je ves odziv, saj se pri ostalih periodah le ponavlja.
8.7 Povezovanje konvolucijskih sistemov
Pri konvolucijskih sistemih določa preslikavo T konvolucija oziroma frekvenčna
karakteristika. Zato lahko zanje T konkretiziramo. Pravila za zaporedno vezavo
sistemov so povzeta v tabeli 8.2, za vzporedno vezavo pa v tabeli 8.3 na
naslednji strani.
Ta pravila veljajo za diskretne in za zvezne konvolucijske sisteme.
8.8 Ciklična konvolucija
V prejšnjem poglavju smo spoznali, da se računanje konvolucije pri harmoničnih
signalih zelo poenostavi, če poznamo frekvenčni odziv sistema. Takšno
poenostavitev in zato hitrejše računanje si želimo tudi pri drugih vrstah
vhodnih signalov. Se tu da kaj narediti? Se!
datoteka: signal_A

208 8. Sistemi
Tabela 8.2
Zaporedna ali kaskadna vezava.
a:
b:
c:
Legenda za tabeli 8.2 in 8.3:
shema
a: splošni zapis preslikave v → y, določa jo transformacija T
b: preslikavo v → y določa konvolucija z impulznim odzivom h i (t) ali h i [n]
pravilo
y = T 2 [y 1 ] = T 2
{
T1 {v} }
= ( T 1 ◦ T 2
){
v
}
y = h 2 ∗ y 1 = h 2 ∗ ( h 1 ∗ v 1
)
= h 2 ∗ h 1 ∗ v = (h 1 ∗ h 2 ) ∗ v
h y = H 2 h v 2 = H 1
(
H1 h v 1
)
= ( H 1 ·H 2
) h
v
c: preslikava v → y pri harmoničnih signalih, določa jo frekvenčna karakteristika H i (e jω )
Tabela 8.3
Vzporedna ali paralelna vezava.
shema
pravilo
a:
y = y 1 + y 2
= T 1
{
v
}
+ T2
{
v
}
= ( T 1 + T 2
){
v
}
b:
y = y 1 + y 2
= h 1 v + h 2 v
= (h 1 + h 2 )v
h y = h y 1 + h y 2
c:
= H 1 h v + H 2 h v
= ( H 1 + H 2
) h
v
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.8 Ciklična konvolucija 209
Pri periodičnih signalih lahko podatke ali potek signala, ki ga zaradi premika
signala za m oziroma za τ zajemamo iz ”sosednje” periode, uporabimo
za enako ležeče podatke iz obravnavane periode. Konvolucijski račun, ki to
zmore, imenujemo ciklična konvolucija. Postopek najprej izpeljimo za zvezne
signale oziroma sisteme. Pri tem izkoristimo linearnost integriranja in
konvolucijski integral razcepimo v vsoto integralov definiranih nad posameznimi
periodami signala:
∫ ∞
y(t) = h(t − τ)v(τ) dτ
−∞
= ··· +
∫ 0
−T 0
h(t − τ)v(τ) dτ +
∫ T0
0
∫ 2T0
h(t − τ)v(τ) dτ + h(t − τ)v(τ) dτ + ··· . (8.77)
T 0
Vidimo, da se integrali medsebojno razlikujejo le v integracijskih mejah.
Zato z upoštevanjem lastnosti pomika vse integrale premaknemo na isti integracijski
interval:
∫ T0
y(t) = ··· +
=
∞
∑
k=−∞
0
∫ T0
0
∫ T0
∫ T0
h(t − τ + T 0 )v(τ − T 0 ) dτ + h(t − τ)v(τ) dτ + h(t − τ − T 0 )v(τ + T 0 ) dτ + ···
0
0
h(t − τ − kT 0 )v(τ + kT 0 ) dτ , t ∈ R .
Zamenjamo zaporedje seštevanja in integriranja ter upoštevajmo, da je zaradi
periodičnosti v(τ) = v(τ + kT 0 ):
]
kjer
y(t) =
∫ T0
0
∫ T0
=
0
p h(t) =
[ ∞∑
h(t − τ − kT 0 )
k=−∞
v(τ) dτ
p h(t − τ)v(τ) dτ , t ∈ R , (8.78)
∞
∑
k=−∞
h(t − kT 0 ) , t ∈ R (8.79)
imenujemo periodična razširitev ali periodično podaljšanje impulznega odziva.
8.8.1 Periodično podaljšanje signala
Periodično podaljšanje opisuje zelo pomembno operacijo nad signali. Pri
njej aperiodični signal “podaljšamo” v periodični signal. Operacija izhaja iz
naslednjega pojava oziroma dejstva. Pri periodičnem vhodu je izhod sistema
tudi periodičen in to z isto periodo T 0 kot vhod. To je lahko takrat in samo
datoteka: signal_A

210 8. Sistemi
takrat, če so si konvolucije vseh period signalov z impulznim odzivom enake.
To pa so lahko le, če je impulzni odziv periodičen. Vemo pa, da je impulzni
odziv po definiciji odziv sistema na Diracov impulz, torej aperiodičen pojav.
Zato na (8.79) gledamo kot transformacijo aperiodičnega signala v periodičnega,
oziroma jo imenujemo periodično podaljšanje.
Periodično podaljšanje je splošna transformacija, ki jo lahko opravimo
tako na realnih kot kompleksnih zveznih ali diskretnih signalih. Njen pomen
poudarimo z naslednjo definicijo.
DEFINICIJA 8.8.1 (Periodično podaljšanje)
Za kompleksni signal x, ki je definiran nad diskretno signalno osjo T ∈ Z ali zvezno
signalno osjo T ∈ R periodično podaljšanje p x s periodo T0 > 0 definira
če vsota obstaja za t ∈ T .
p x(t) =
∞
∑
k=−∞
x(t − kT0) , (8.80)
Torej pri periodičnem podaljšanju neskončni interval stisnemo v končni interval
T 0 . Pri tem se vrednosti pri −∞ prenesejo v −T 0 /2 in pri ∞ v T 0 /2.
Pri −kT 0 oziroma kT 0 ,k ∈ Z pa se ponavljajo vrednosti signala pri t = 0.
Definicijo ilustrira slika 8.25.
8.8.2 Računanje ciklične konvolucije
Zaradi periodičnosti p h(t) in v(t) velja p h(t) = p h(t ± kT 0 ) in v(t) = v(t ±
kT 0 ), zato lahko (8.78) zapišemo tudi v obliki:
y(t + T 0 ) =
=
∫ T0
0
∫ T0
0
p h(t + T 0 − τ)v(τ) dτ
p h(t − τ)v(τ) dτ = y(t) . (8.81)
Konvolucijski integral v (8.78) sedaj ne računamo več po vsej osi R, ampak
le nad intervalom [0,T 0 ). S tem smo prišli do definicije ciklične konvolucije:
∫ T0
y(t) =
0
p h [ t − τ (mod T 0 ) ] v(τ) dτ , t ∈ [0,T 0 ) (8.82)
V (8.82) je (mod T 0 ) operator računanja po modulu T 0 . Računaje po
modulu pomeni, da se vrednosti po meji modula ponavljajo. Torej, če sta a in
b realni števili, pri čemer naj bo b pozitiven, potem velja a (mod b) = a−kb,
pri čemer je k celo število izbrano tako, da velja 0 a − kb < b.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.8 Ciklična konvolucija 211
8.8.3 Omejitev signala na periodo
Za signale v (8.82) zadostuje, da so podani le na intervalu [0,T 0 ), saj se konvolucija
definirana v (8.82) ciklično ponavlja. Izsek ene periode periodičnega
signala imenujemo omejitev na periodo.
DEFINICIJA 8.8.2 (Omejitev na periodo)
Omejitev na periodo je izsek signala nad signalno osjo T T0 = [0, T0) ∩ (T = R) ali
T N = [0,...N − 1) ∩ (T = Z):
X (t) =
{
x(t) za t ∈ TT0
0 sicer
(8.83a)
oziroma
{
x[n] za t ∈ TN
X [n] =
0 sicer
(8.83b)
Slika 8.25
Ilustracija periodične razširitve (a)
in omejitve periode (b).
8.8.4 Simbolični zapis
Opis ciklične konvolucije zaključimo z simboličnim zapisom. Z novimi oznakami
poudarimo omejitev periodičnih signalov na eno periodo:
datoteka: signal_A

212 8. Sistemi
H = p h(t) t ∈ (0,T 0 ] ali H = p h[n] n ∈ [0,1,...N 1 ]
V = v(t) t ∈ (0,T 0 ] ali V = v[n] n ∈ [0,1,...N 1 ] (8.84)
Y = y(t) t ∈ (0,T 0 ] ali Y = y[n] n ∈ [0,1,...N 1 ]
Definicijo (8.81) simbolično zapišemo z:
Y = H ⊙ V . (8.85)
Obrazec (8.84) velja za zvezno in za diskretno ciklično konvolucijo. Slednjo
lahko izpeljemo podobno kot smo zvezno, zato le vzporedno ponovimo obe
definiciji:
DEFINICIJA 8.8.3 (Ciklična konvolucija)
pri diskretnih sistemih
Bodita x in y kompleksni spremenljivki definirani na
končni časovni osi T N ∈ [0,1,...N − 1]. Njuna časovno
diskretna ciklična konvolucija x ⊙ y je definirana
na isti časovni osi z
(x ⊙ y)[n] = ∑
m∈T N
x [ m − n (mod N) ] y[m] ,
n ∈ T N .
pri zveznih sistemih
Bodita x in y kompleksni spremenljivki definirani na
končni časovni osi T T0 ∈ [0, T0) ⊂ R. Njuna časovno
zvezna ciklična konvolucija x⊙y je definirana na isti časovni
osi z
∫
(x ⊙ y)(t) = x [ t − τ (mod T0) ] y(t) dτ ,
t∈T 0
t ∈ T T0 .
8.8.5 Matrični zapis diskretne ciklične konvolucije
Obrazec (8.85) pravzaprav opisuje matrični račun. To lahko uvidimo iz naslednjega
primera.
ZGLED 8.8.1 (Diskretna ciklična konvolucija)
Za periodična signala x in y, ki imata na signali osi T 4 = {0,1,2,3} vrednosti x =
{0,1,2,3} in y = {4,5,6,7} izračunajmo ciklično konvolucijo z = x ⊙ y!
Iz definicije ciklične konvolucije 8.8.3 sledi:
z[0] =0·4 + 3·5 + 2·6 + 1·7 = 34
z[1] =1·4 + 0·5 + 3·6 + 2·7 = 36
z[2] =2·4 + 1·5 + 0·6 + 3·7 = 34
(8.86a)
z[3] =3·4
šarko
+ 2·5
ƒu£ej:
+ 1·6
Teorija
+ 0·7
signalov
= 28 ,
revizija 20040315

8.8 Ciklična konvolucija 213
oziroma v matrični obliki
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
z[0] 0 3 2 1 4
z[1]
1 0 3 2
5
=
·
⎢
⎣z[2]
⎥ ⎢
⎦ ⎣2 1 0 3⎥
⎢
⎦ ⎣6
⎥
⎦
z[3] 3 2 1 0 7
. (8.86b)
Ciklična konvolucija (nad periodo T 4 ) je z = {34,36,34,28}.
Iz (8.86b) vidimo, da stolpce v matriki sestavljajo ciklično pomaknjene vrednosti x:
col 1 = X T
col 2 = (s 1 c
X) T
col 3 = (s 2 c
X) T = s 1 c
col 2
col 4 = (s 3 c
X ) T = s 1 c
col 3 ,
kjer je s i c
operator cikličnega pomika za i mest v desno ali navzdol.
(8.86c)
♦
Po vzoru zgleda 8.8.1 lahko diskretno ciklično konvolucijo zapišemo v matrični
obliki:
y = C v y , (8.87)
kjer sta h in y vektorja s komponentami H in Y :
h =
[
h(0) h(1) ...
T
h(N − 1)]
(8.88a)
y =
[
y(0) y(1) ...
T
y(N − 1)]
(8.88b)
in C v matrika, katere stolpci imajo v smislu (8.86c) ciklično pomaknjene
vrednosti V :
col i = s (i−1) c
V = s (i−1) c
v . (8.88c)
Za jasnejšo predstavo o (8.87) in (8.88) še razširjen zapis:
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
y[0] v[0] v[N − 1] ... v[1] h[0]
y[1]
v[1] v[o] ... v[2]
=
h[1]
⎢
⎣y[2]
⎥
⎦ ⎢
.
⎣
. . .. ·
. ⎥ ⎢
⎦ ⎣h[2]
⎥
⎦
y[3] v[N − 1] v[N − 2] ... v[0] h[3]
. (8.89)
datoteka: signal_A

214 8. Sistemi
8.8.6 Lastnosti ciklične konvolucije
Oglejmo si še lastnosti ciklične konvolucije. Ker uporablja enake matematične
operacije kot linearna konvolucija, pričakujemo, da ima njej enake ali
vsaj podobne lastnosti. Poglejmo.
Linearnost
Ciklična konvolucija je prav tako linearna operacija kot je običajna, linearna
konvolucija. Je asociativna, distributivna in komutitativna. Zato tudi pri njej
velja superpozicijski teorem.
Pomik
Pri ciklični konvoluciji obstaja le ciklični pomik. To pomeni, da pri pomiku,
na primer pri diskretni ciklični konvoluciji v desno, zadnji člen na desni postane
prvi člen na levi.
Ciklični ali krožni pomik matematično opišemo z operatorjem pomika
s ∆c . Pri diskretnih sistemih velja:
pri zveznih sistemih pa:
s ∆c {x[n]} = x[n + ∆ c (mod N)] , n ∈ T N , (8.90)
s ∆c {x(t)} = x ( t + ∆ c (mod T 0 ) ) , t ∈ T T0 . (8.91)
Zato v primeru, da ciklična konvolucija x ⊙ y obstaja, velja:
s ∆c {x ⊙ y} = s ∆c {x} ⊙ y = x ⊙ s ∆c {y} . (8.92)
za katerikoli ∆ c ∈ T N pri diskretnih sistemih in ∆ c ∈ T T0 pri zveznih sistemih.
8.8.7 Povezava ciklične in linearne konvolucije
Pri periodičnih vhodnih signalih lahko odziv sistema izračunamo direktno z
linearno konvolucijo, ali preko omejitve signala na eno periodo s ciklično
konvolucijo. Postopek ilustrira slika 8.26.
Za diskretno ciklično konvolucijo obstajajo hitri algoritmi računanja. To
je njena prednost pred linearno konvolucijo. Zato se je hitro pojavilo vprašanje,
ali je mogoče uporabiti ciklično konvolucijo tudi pri neperiodičnih signalih.
Odgovor je pritrdilen, vendar se moramo pri tem zavedati, da je ciklična
konvolucija definirana za periodične ali periodično podaljšane signale omejene
na periodo signala. Z drugimi besedami, prehodne aperiodične signale
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.9 Uporaba programa MATLAB pri računanju konvolucije 215
Slika 8.26
Odziv sistema na periodični signal lahko
izračunamo z linearno ali s ciklično konvolucijo.
lahko enostavno periodično podaljšamo, če privzamemo, da je njihovo definicijsko
območje enako periodi periodično podaljšanega signala. Pri tem se
moramo zavedati, da se v tem primeru ciklična konvolucija le deloma ujema
z linearno. To uvidimo iz ilustracije periodičnega podaljšanja in omejitve na
periodo na sliki 8.25. Tam vidimo, da linearna konvolucija na vsem intervalu
originalnega signala (torej od −∞ do ∞) da podoben potek kot ciklična
konvolucija periodično podaljšanega signala na intervalu [−T 0 /2,T 0 /2).
Pri neprehodnih signalih ponavadi periodično podaljšanje naredimo tako,
da aperiodični signal odrežemo pri vrednostih, zaradi katerih je napaka pri
izračunu manjša od predpisane vrednosti. Pogosto izbrana meja v takih primerih
je 1% napake.
8.9 Uporaba programa MATLAB pri računanju konvolucije
Program MATLAB, posebej pa še orodni kovček “Signal processing Toolbox”
vsebuje več funkcij, s katerimi lahko določimo odzive sistemov, če poznamo
njihov impulzni odziv, oziroma določimo impulzni odziv, če poznamo
vhodno in izhodno zaporedje.
Ponovimo, linearna konvolucijska vsota je izračunljiva le za sisteme s
končnim impulznim odzivom in končnim zaporedjem na vhodu.
8.9.1 Funkcija conv
Funkcija conv izračuna linearno konvolucijo dveh prehodnih zaporedij. Njena
sintaksa je preprosta:
y = conv(v,h)
kjer sta v in h vektorja, ki vsebujeta (končno dolgi) zaporedji, za kateri
računamo konvolucijo. Zanju mora tudi veljati:
‖·‖v ∞ < ∞ , ‖·‖h ∞ < ∞ .
datoteka: signal_A

216 8. Sistemi
Algebrajsko gledano je konvolucija računsko enaka množenju dveh polinomov,
katerih koeficienti so elementi v and h.
Rezultat conv(v,h) je različen od nič znotraj intervala, ki ga določata
intervala zaporedja v[n] in h[n]. Če imata zaporedji N v oziroma N h elementov,
potem je vektor y sestavljajo neničelni elementi, ki se nahajajo na intervalu:
n v + n h n (n v + N v − 1) + (n h + N h − 1) , (8.93)
kjer sta n v in n h začetka intervala na katerem so sta definirana v in h. To
pomeni, da conv(v,h) izračuna N v + N h − 1 elementov y:
y[n] = ∑v[m]h[n − m] , m ∈ [n v + n h ,n v + N v + n h + N h − 2] , (8.94)
m
Iz (8.94) sledi, da v primeru n v = n h = 0 in N v = N h = N dobimo
y[0] = v[0]·h[0]
y[1] = v[0]·h[1] + v[1]·h[0]
y[2] = v[1]·h[2] + v[2]·h[1] + v[2]·h[0]
.
y[n] = v[0]·h[n − 1] + v[1]·h[n − 2] + ··· + v[n − 1]·h[0]
.
y[2N − 2] = v[N]·h[N]
Povzemimo, pri uporabi funkcije conv(v,h) moramo sami določiti območje
indeksov elementov y. Zapisano utrdimo s preprostim primerom.
ZGLED 8.9.1 (izračun konvolucije dveh enakih pulzov)
Imejmo prehodno zaporedje
x[n] =
{
1 , 0 n 5
0 , sicer
in s pomočjo programa MATLAB izračunamo konvolucijo y[n] = x[n]∗x[n] ter določimo
njen potek!
REŠITEV: Iz definicije zaporedja x[n] sledi, da je n x = n h = 0 in N x = N h = N = 6,
torej bodo indeksi y[n] med 0 in 2N − 2 = 12 − 2 = 10. Njihovo območje določimo z
ukazom:
oziroma z
ny=[(n_x+n_h):(n_x+N_x-1 + n_h+N_h-1)]
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.9 Uporaba programa MATLAB pri računanju konvolucije 217
ny = [0:10]
ker so okrogli oklepaji v zgornjem ukazu preprosto za izračunati. Zaporedje x[n],
ker je dovolj kratko, lahko zapišemo direktno z:
x=[1 1 1 1 1 1]
lahko pa uporabimo funkcijo ones(n,m), kjer sta n in m dimenziji matrike enica.
Ker rabimo vrstični vektor s 6 enicami, je n = 1 in m = 6, oziroma:
x=ones(1,6)
Zaporedje y[n], ki ga izračunamo s konvolucijo, narišemo s funkcijo stem(ny,y).
Torej nalogo rešimo z naslednjim preprostim programom:
MATLAB 8.1: Izračun konvolucije y[n] = x[n] ∗ x[n]
ny=[0:10]; % interval y[n]: n je element [0,10]
x=ones(1,6);
% funkcija x[n]=1, n=[1,6]
y=conv(x,x);
% konvolucija y[n]=x[n]*x[n]
figure; stem(ny,y);
% izris zaporedja y[n]
xlabel(’n’);ylabel(’x[n]*x[n]’)
nx=[0:5];
figure; stem(nx,x);
% izris zaporedja x[n]
axis ([0 5 0 max(y)])
xlabel(’n’);ylabel(’x[n]’)
Da sta sliki 8.27b in 8.27a v enakem merilu, smo ukazu za naris slike 8.27a dodali še
ukaz:
axis ([0 6 0 max(y)])
s katerim smo drugi sliki določili enako skalo amplitudnega razmaha kot ga ima
slika 8.27b.
♦
ZGLED 8.9.2 (izračun konvolucije dveh različnih pulzov)
Imejmo sistem s prehodnim impulznim odzivom:
x[n] =
{
n , 0 n 5
0 , sicer
in s pomočjo programa MATLAB izračunajmo odziv tega sistema na (i) zaporedje iz
predhodnega zgleda in (ii) na zaporedje:
datoteka: signal_A
x[n] =
{
1 , 0 n 25
0 , sicer

218 8. Sistemi
x[n]*x[n]
6
5
4
3
2
1
0
0 5 10
n
(a) konvolucija y[n] = x[n] ∗ x[n]
x[n]
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
n
(b) zaporedje x[n]
Slika 8.27
Zaporedje x[n] in konvolucija y[n] = x[n] ∗ x[n].
REŠITEV: Iz definicije zaporedja h[n] sledi, da je n x = n h = 0 in N x = N h = N = 6,
torej bodo indeksi y[n] med 0 in 2N − 2 = 12 − 2 = 10, tako kot v prejšnjem zgledu.
Njihovo območje določimo z ukazom ny = [0:10]. Zaporedje h[n], ker je dovolj
kratko, zapišemo direktno z:
x=[0 1 2 3 4 5]
lahko pa ga določimo z
n=[0:5]
x=n
MATLAB 8.2: Izračun konvolucije y[n] = x[n] ∗ h[n]
Torej odziv sistema izračunamo z naslednjim preprostim programom:
n=[0:5];
% interval impulznega odziva
h=n;
% funkcija impulznega odziva
ny=[0:10]; % interval y[n]: n je element [0,10]
x=ones(1,6);
% funkcija x[n]=1, n=[1,6]
y=conv(x,h);
% konvolucija y[n]=x[n]*x[n]
figure; stem(ny,y);
% izris zaporedja y[n]
xlabel(’n’); ylabel(’x[n]*h[n]’)
nh=[0:5];
figure; stem(nh,h);
% izris impulznega odziva h[n]
axis ([0 5 0 max(y)])
xlabel(’n’); ylabel(’h[n]’)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

8.9 Uporaba programa MATLAB pri računanju konvolucije 219
15
15
x[n]*x[n]
10
5
x[n]
10
5
0
0 5 10
n
(a) konvolucija y[n] = x[n] ∗ h[n]
0
0 1 2 3 4 5
n
(b) zaporedje x[n]
Slika 8.28
Zaporedje x[n] in konvolucija y[n] = x[n] ∗ x[n].
V drugem primeru tretjo in četrto vrstico zamenjamo z:
ny=[0:30]; % interval y[n]: n je element [0,30]
x=ones(1,26); % funkcija x[n]=1, n=[1,26]
15
10
x[n]*x[n]
5
Slika 8.29
Konvolucija y[n] = x[n] ∗ h[n]
pri x[n] → u[n].
0
0 5 10 15 20 25 30
n
Iz slike 8.29 lahko sklepamo, da pri končnem impulznem odzivu s približevanjem
x[n] k u[n] imamo na izhodu sistema prehodni pojav na začetku enotske stopnice,
datoteka: signal_A

220 8. Sistemi
kasneje pa je izhod sistema konstanten, oziroma lahko računamo izhod sistema tudi
pri enostransko neprehodnem (kavzalnem) vhodnem zaporedju.
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

A
Verjetnostni račun
Večinoma učbeniki vpeljejo pojem verjetnosti z opisom poizkusa metanja
kocke. Pa še mi uberimo to uhojeno pot! Vzemimo kocko, ki ima svoje
stranice označene s pikami, prva stranica z eno, naslednja z dvema in tako
naprej do zadnje, ki ima šest pik. Pokotalimo kocko in si beležimo rezultate
poizkusov. Pri tem definirajmo:
vzorčni prostor S je prostor, ki ga določa množica vseh možnih rezultatov
poskusa.
element zbirke s
vsak možen rezultat poskusa si predstavljamo kot točko
s v vzorčnem prostoru S , torej s ∈ S .
dogodek je podmnožica prostora S , ki jo lahko sestavlja poljubno
število elementov iz vzorčnega prostora S . Dogodke
bomo označevali z veliki črkami, na primer A,B,C ....
Iz izkušenj vemo, da pri metanju poštene kocke, to je povsem homogene
kocke, ne moremo zagotovo napovedati, kako se bo kocka ustavila. Zato nas
zanima, kolikšna je verjetnost, da se bo kocka po metu ustavila tako, da bo
vrhnja ploskev tista, ki ima na primer šest pik, ali pa kolika je verjetnost, da
se to zgodi dvakrat zaporedoma.
A.1 Osnovne zakonitosti
V primeru kocke je možnih šest različnih rezultatov poizkusa, torej je pri
kocki prostor S :
S = {1,2,3,4,5,6} . (A.1)
221

222 A. Verjetnostni račun
Dogodek, na primer A, je rezultat poskusa, na primer dveh zaporednih metanj
kocke, ki da rezultat 3 in 5, dogodek B pa rezultat treh zaporednih metov
kocke z rezultati 1, 2 in 4:
A = {3,5} , B = {1,2,4} . (A.2)
Če izvajamo več eksperimentov z elementi iste zbirke, dobimo dogodke, ki
lahko imajo skupne ali različne elemente. Pri tem definiramo:
Komplement k dogodku A, označujemo ga z A, je podmnožica z elementi
iz zbirke S , ki niso sodelovali v dogodku A:
A = {s : s ≠ A,s ∈ S } . (A.3)
V opazovanem primeru je kompliment k dogodku A = {3,5} enak
A = {1,2,4,6}.
Združitev dogodkov ali unija A ∪ B je nov dogodek C, ki se zgodi takrat,
ko se zgodita A ali B ali oba hkrati. Na primer, če sta dogodka A in B
določena z:
A = {1,4,6} in B = {1,2,4} , (A.4)
potem je unija dogodkov A in B dogodek C:
C = A ∪ B = {1,2,4,6} , (A.5)
Seveda velja
A ∪ A = S , (A.6)
zato je S zanesljiv dogodek. Unijo imenujemo tudi vsota dogodkov
in jo označujemo tudi C = A + B.
Presek dogodkov A ∩ B, je dogodek, ki ga določajo skupni elementi A in B.
Na primer, če sta A in B določena z (A.4) in (A.5), potem je dogodek
C, ki ga določa njun presek enak:
C = A ∩ B = {1,4} . (A.7)
Presek dogodkov imenujemo tudi produkt dogodkov in ga označujemo
s C = AB.
Nemogoč dogodek je dogodek, ki ne vsebuje nobenega elementa. Torej ga
določa prazna množica. Označujemo jo z ∅: ∅ = {}.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

A.1 Osnovne zakonitosti 223
Medsebojna nezdružljivost ali ekskluzivnost dveh dogodkov nastane takrat,
ko dva dogodka nimata skupnih elementov. Na primer, da je A
določen z (A.2) in B (A.4), potem sta A in B nezdružljiva dogodka. Če
sta dva dogodka nezdružljiva, potem je njun presek prazna množica ∅.
Torej, A ∩ B = ∅, in seveda
A ∩ A = ∅ . (A.8)
Razdelitev vzorčnega prostora Skupina dogodkov A i razdeli vzorčni prostor
S , če velja:
A i ∩ A j = ∅ za i ≠ j in
n⋃
A i = S . (A.9)
i=1
Elementarni dogodki s i , ki tvorijo vzorčni prostor, ga hkrati razdelijo.
Vključenost dogodka, A ⊂ B. Če je vsak element dogodka A tudi element
dogodka B, potem je dogodek A podmnožica dogodka B. Pravimo, da
v tem primeru dogodek A povzroči dogodek B. Zato mora biti izid
dogodka A tudi izid dogodka B, kar označimo A ⊂ B. Izjava, da je
dogodek A vključen v dogodek B je enak izjavi, da dogodek B vsebuje
dogodek A.
Iz lastnosti vzorčnega prostora izhaja, da gotov dogodek S vključuje
poljuben dogodek A: A ⊂ S . Podobno poljubni dogodek A vsebuje
nemogoč dogodek ∅: ∅ ∈ A.
Enakost dogodkov, A = B. Dva dogodka sta enaka, če je dogodek A vključen
v dogodek B in istočasno je B vključen v A:
A = B ⇔ (A ⊂ B)&(B ⊂ A) . (A.10)
To pomeni, da ustrezajo obema dogodkoma isti izidi, čeprav se lahko
načina opisa obeh množic razlikujeta.
Zaporedje dogodkov je zaporedje podmnožic {A 1 ,A 2 ,...}. iz vzorčnega
prostora. V primeru A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ ··· je zaporedje naraščajoče. Za
ta zaporedja velja:
n⋃
A i = A n . (A.11)
i=1
Podobno opišemo tudi padajoče zaporedje. Pri naraščajočih in padajočih
zaporedjih lahko definiramo pojem limite z dogodkom, ki je unija
števnega zaporedja dogodkov.
datoteka: signal_A

224 A. Verjetnostni račun
Komplement, unijo in presek in druge operacije – imenujemo jih algebra
dogodkov – lahko nazorno geometrijsko predstavimo z Vennovimi diagrami
(slika A.1). Algebra dogodkov poleg obrazcev (A.6) in (A.8)
S
A
\A
S
A
B
AB
( AB)
S
B
A AB
A\
B
\AB
\A\
B
S
A j
Ai
(a) Komplement
(b) Unija
(c) Presek
(d) Razdelitev S
S
S
B
B
AB
\A\
B
A
A
S
S
B
B
AB
\A\
B
A
A
(e) De Morganov izrek (A.12b)
(f) De Morganov izrek (A.12c)
Slika A.1
Vennovi diagrami.
obsega še:
A ∪ A = S A ∩ A = ∅ (A.6) , (A.8)
A ∩ S = A
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
(A.12a)
(A.12b)
(A.12c)
(A.12d)
Enačbi (A.12b) in (A.12c) sta znani De Morganov izrek. Unija in presek
izpolnjujeta naslednje zakonitosti:
komutativnost : A ∪ B = B ∪ A (A.13a)
A ∩ B = B ∩ A
(A.13b)
asociativnost : A ∪ (B ∪C) = (A ∪ B) ∪C (A.13c)
A ∩ (B ∩C) = (A ∩ B) ∩C
(A.13d)
distributivnost : A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C) (A.13e)
A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
(A.13f)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

A.2 σ algebra 225
John Venn (1834 – 1923) je bil anglikanski duhovnik in učitelj moralel
logike in verjetnostne teorije na Univerzi Cambridge. Znan je po
grafični predstavitvi množic, njihovih unij in presekov.
Augustus De Morgann (1806 to 1871) angleški matematik. Definiral
je izraz “matematična indukcija”.
Emile Borel (1871 - 1956) francoski matematik. Oblikoval je prvo
učinkovito teorijo mere množic, ki danes predstavlja začetek moderne
teorije funkcij realne spremenljivke.
A.2 σ algebra
Pri vpeljavi pojma sestavljenega dogodka smo omenili, da ga lahko opišemo
z množico elementarnih dogodkov, pri katerih se ta dogodek lahko zgodi.
Zato bi lahko pomislili, da je vedno najprimerneje uporabljati za opis naključnega
pojava kar elementarne dogodke. Vendar se pri opisovanju verjetnosti
pogosto izkaže, da ni najbolj primerno uporabljati elementarnih dogodkov
kot osnovo za opis pojava, temveč bolj obširne množice, oziroma sestavljene
dogodke. Skupino dogodkov A , ki jo uporabljamo kot osnovo za opis pojava,
imenujemo algebra. Iz doslej navedenih splošnih lastnosti dogodkov
zahtevamo, da mora algebra imeti naslednje lastnosti:
1. za vsak dogodek A ∈ A je tudi A ∈ A
2. za vsak par A ∈ A in B ∈ A je tudi A ∪ B ∈ A
Kadar je vzorčni prostor S sestavljen iz končno mnogo vzorčnih točk, je
različnih dogodkov le končno mnogo. Kot osnovo za opis pojava lahko tedaj
uporabimo elementarne dogodke. V primeru, ko pa vzorčni prostor S ni
datoteka: signal_A

226 A. Verjetnostni račun
končen, pa kot osnovo uporabimo sestavljene dogodke, ki predstavljajo dele
opisa tega prostora. Tedaj moramo lastnost 2 razširiti tako, da velja:
3. če so dogodki A i elementi skupine A , je v tej skupini tudi njihova
števna unija, oziroma če je A i ∈ A za i = 1,2,..., je tudi ∪ ∞ i=1 A i ∈ A
Skupina, ki ima lastnosti 1 in 3, imenujemo σ − algebra (sigma algebra) ali
tudi Borelova polja. Grupa A s temi lastnostmi je zaprta glede na operacijo
negacije, števne unije in števnega preseka. To pomeni, da pri zaporedni uporabi
teh operacij ostanemo v tej skupini. Grupa A vsebuje dogodke, ki so
zanimivi za opis poskusa.
A.3 Verjetnost dogodkov
Vsakemu dogodku A, ki vsebuje realizacije elementov iz vzorčnega prostora
S , A ⊂ S , lahko določimo verjetnost P(A), da se pri poskusu dogodi ravno
dogodek A.
A.3.1
Matematična verjetnost
Če vzorčni prostor S vsebuje n elementov in je m število ugodnih izidov ali
zadetkov, potem je verjetnost, da se pri poskusu dogodi ravno dogodek A, po
definiciji enaka:
P(A) = m . (A.14)
n
Definicijo (A.14) imenujemo matematična verjetnost. Ker število zadetkov
ne more biti večje od števila poskusov, je verjetnost P(A) število med 0 in 1:
0 P(A) 1 . (A.15)
ZGLED A.3.1 (matematična verjetnost)
V posodi so tri črne in dve beli kroglici. Koliko je verjetnost, da potegnemo iz posode
belo kroglico?
REŠITEV: Dogodek, ko potegnemo belo kroglico označimo z A. Število vseh možnih
dogodkov je 5 (toliko kot je vseh kroglic), torej n = 5. Število ugodnih dogodkov za
dogodek A je 2 (toliko je belih kroglic), zato sledi
P(A) = 2 5 . ♦
Verjetnost dogodka, ki se zanesljivo zgodi, je ena, verjetnost nemogočega
dogodka pa nič, zato
P(S ) = 1 , P(∅) = 0 . (A.16)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

A.3 Verjetnost dogodkov 227
A.3.2
Statistična verjetnost
Tudi statistično verjetnost spoznajmo na zgledu. Mečimo kocko in beležimo
število realizacij dogodka A, na primer kolikokrat vržemo šestico. Po n 1
metih naj bo m 1 zadetkov šestice, po n 2 metih m 2 zadetkov, po n 3 metih
skupaj m 3 zadetkov in tako naprej. Če po n k metih s skupaj m k zadetkov
tvorimo zaporedje razmerij zadetkov m i , i = 1,2,...,k:
m 1
, m 2
, m 3
,··· , m k
, (A.17)
n 1 n 2 n 3 n k
ugotovimo, da ta razmerja nihajo okoli neke mejne vrednosti (ki je v opazovanem
primeru 1 / 6 ), in da odstopanje razmerij m i /n i od te mejne vrednosti z
večanjem n i , upada. Nauk iz tega – uzakonil ga je Jacob Bernoulli – je znan
pod imenom zakon o velikih številih:
DEFINICIJA A.3.1 (Bernoullijev zakon o velikih številih)
Če je n k število neodvisnih izidov naključnega eksperimenta, m k število zadetkov za
določeni dogodek in p matematična verjetnost tega dogodka, se verjetnost P, da se
razmerje m k/ nk razlikuje od p za manj kot ε, ε je poljubno majhno v naprej predpisano
število, približuje 1, če le gre n k proti neskončnosti:
(∣ ) ∣∣∣
lim P m k
− p
n k →∞ n ∣ ε → 1 . (A.18)
k
Razmerje m k /n k imenujemo tudi frekvenčno razmerje. Določa statistična
verjetnost P st (A). Velja:
P st = m k
n k
in P = lim
n k →∞ P st , (A.19)
torej lahko “pravo”, to je matematično verjetnost dogodka v nekem procesu
določimo tudi s poskusom.
Jacob Bernoulli (1654 – 1705) švicarski matematik, je sicer študiral
filozofijo in teologijo, vendar je vse svoje življenje posvetil matematiki.
Prvi je uporabil termin integral. Njegov prvi pomemben prispevek je
bil na področju verjetnosti (zakon velikih števil). Bil je prvi iz te znane
družine matematikov in fizikov.
A.3.3
Verjetnost vsote
Verjetnost unije dveh nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti za
posamezni dogodek:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) če velja P(A) ∩ P(B) = /0 . (A.20)
datoteka: signal_A

228 A. Verjetnostni račun
Ta stavek moremo razširiti na več nezdružljivih dogodkov:
P i (∪ n i=1A i ) = ∑ i
P(A i ) , (A.21)
kjer ∪ n i=1 A i pomeni unijo med n dogodki A 1 ∪ A 2 ∪ ··· ∪ A n . Če tvorijo dogodki
A 1 ,A 2 ,...,A n poln sistem nezdružljivih dogodkov, je njihova unija zanesljiv
dogodek:
P i (∪ n i=1A i ) =
n
∑
i
P(A i ) = P(S ) = 1 . (A.22)
Primer polnega sistema je A ∪ A. Verjetnost te unije je 1, ker če se ne zgodi
A, se zgodi A. Iz (A.15), (A.21) in (A.22) sledi:
P(A) = 1 − P(A)
P(∅) = 0
P(A) P(B) ⇒ A ⊂ B
(A.23a)
(A.23b)
(A.23c)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) . (A.23d)
Izpeljavi (A.23a) in (A.23b) sta očitni, veljavnost (A.23c) uvidimo iz naslednjega
sklepanja: dogodek A in dogodek B tvori unija realizacij elementov
prostora S . Zato je njuna verjetnost vsota verjetnosti realizacij posameznih
elementov. Če sta si dogodka enaka, imata iste elemente in s tem isto verjetnost,
če pa dogodek A določajo elementi, ki so podmnožica elementov
dogodka B, je verjetnost njegovega pojava seveda manjša.
A.3.4
Verjetnost vsote soodvisnih dogodkov
Obrazec (A.23d) določa verjetnost soodvisnih dogodkov. Sodvisnot dveh
dogodkov pomeni, da se je na primer v n, n ≫ 1, poskusih m a -krat zgodil
dogodek A, m b -krat dogodek B in m ab -krat sta se hkrati zgodila oba dogodka
(torej dogodek A ∩ B). Po definiciji za matematično verjetnost velja:
P(A) = m a
n
, P(B) = m b
n
, P(A ∩ B) = m ab
n
. (A.24)
Preštejmo poskuse, v katerih se je zgodil dogodek A ∪ B! Ko bi bila dogodka
A in B nezdružljiva, bi bilo teh poskusov m a + m b . Toda v m ab poskusih
sta se zgodila oba dogodka hkrati, zato smo v vsoti m a + m b upoštevali tudi
m ab dogodkov A ∩ B. Potemtakem se zgodi dogodek A ∪ B v m a + m b − m ab
poskusih. Torej je matematična verjetnost tega enaka:
P(A ∪ B) = m a + m b − m ab
n
= m a
n + m b
n − m ab
n
, (A.25)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

A.3 Verjetnost dogodkov 229
od koder sledi (A.23d). Če sta dogodka nezdružljiva, potem je P(A ∩ B) = 0
in enačba (A.23d) postane enaka (A.20).
Posplošitev (A.25) ni tako preprosta, kot je bila pri nezdružljivih dogodkih.
Opisi za primere treh ali več združljivih dogodkov poglejte v [29, ?].
Verjetnost, da nastopata dogodka A in B skupaj ali eden za drugim, v literaturu
pogosto označujejo s P(AB). Dogodek AB je presek ali produkt dogodkov
A in B: AB = A ∩ B. To verjetnost imenujemo povezana verjetnost.
A.3.5
Pogojna verjetnost
Verjetnost dogodka B pri pogoju, da se je zgodil dogodek A, imenujemo pogojna
verjetnost in jo označujemo s P(B|A). Definirana je s:
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
, P(A) ≠ 0 (A.26)
in analogno, verjetnost dogodka A pri pogoju, da se je zgodil dogodek B je
enaka:
P(A ∩ B)
P(A|B) = , P(B) ≠ 0 . (A.27)
P(B)
če v enačbi (A.26) in (A.27) odpravimo ulomke, ju lahko zapišemo v obliki:
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) . (A.28)
Razširimo formulo (A.28) še na produkt več kot dveh dogodkov! Zlahka
uvidimo, da velja:
P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n )
= P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 ∩ A 2 )...
...P(A n |A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n−1 ) . (A.29)
Veljavnost (A.29) lahko dokažemo z razcepljenjem produkta. Najprej vzemimo,
da je dogodek P(A 1 ,A 2 ,...,A n ) produkt dveh dogodkov:
P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n−1 ) in A n
in upoštevamo obrazec (A.28). Dobimo:
P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n )
= P(A 1 ∩ A 2 ...A n−1 )P(A n |A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n−1 ) .
Isto ponovimo nato na dogodku P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n−1 ) in tako naprej, da
pridemo po N − 1 korakih do formule (A.29).
datoteka: signal_A

230 A. Verjetnostni račun
A.3.6
Verjetnost neodvisnih dogodkov
Dogodka A in B sta (statistično) neodvisna, takrat in samo takrat, če velja
Če sta A in B neodvisna, potem velja
P(A ∩ B) = P(A)P(B) . (A.30)
P(B|A) = P(B) in P(A|B) = P(A) . (A.31)
Za množico v celoti neodvisnih dogodkov velja, da je vsak izmed dogodkov
neodvisen od produkta preostalih dogodkov. Torej velja:
P(A 2 |A 1 ) = P(A 2 )
P(A 3 |A 1 ∩ A 2 ) = P(A 3 )
P(A n |A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n−1 ) = P(A n )
(A.32)
Če (A.30) upoštevamo v (A.29), ta dobi bolj preprosto obliko:
P(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ) = P(A 1 )P(A 2 )···P(A n ) . (A.33)
Tu moramo poudariti, da za neodvisnost med dogodki v celoti ni dovolj, da
so dogodki le paroma neodvisni, torej P(A j |A i ) = P(A j ), i = 1,2,...,n, i ≠ j.
Veljati mora (A.30).
A.3.7
Bayesova enačba
Zelo važna relacija verjetnostnega računa je Bayesov izrek. Preden ga bomo
formalno zapisali, opišimo znan poskus s tremi žarami, v katerih so črne
in bele kroglice, katere izbiramo z metanjem kocke. Napravimo naslednji
poskus: mečimo kocko, in če je rezultat metanja na primer 1, 2 ali 3, vlečemo
kroglice iz prve žare, če je rezultat 4 ali 5, vlečemo iz druge žare, če pa je 6,
pa iz tretje. Kolika je verjetnost, da bomo izvlekli črno kroglico?
V opisanem poskusu lahko takoj izračunamo verjetnosti izbire žare. Imenujmo,
da so to dogodki A i , i = 1,2,3. Ti dogodki tvorijo poln sistem, torej
∑ 3 i=1 P(A i) = 1. Če je število belih in črnih kroglic v žarah znano, lahko določimo
tudi verjetnost dogodka B, da potegnemo črno kroglico iz prve, druge
ali tretje žare – to so pogojne verjetnosti P(B|A 1 ), P(B|A 2 ) in P(B|A 3 ). Opišimo
problem kar na splošno. Znane so verjetnosti
in pogojne verjetnosti
P(A 1 ),P(A 2 ),...,P(A n )
P(A|A 1 ),P(A|A 2 ),...,P(A|A n ) .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

A.3 Verjetnost dogodkov 231
Izračunati je treba verjetnost P(B). Ker tvorijo dogodki A i poln sistem, lahko
pišemo:
B = B ∩ (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n )
= (B ∩ A 1 ) ∪ (B ∩ A 2 ) ∪ ... ∪ (B ∩ A n ) .
(A.34)
Dogodki A∩A 1 ,A∩A 2 ,...,A∩A n so paroma nezdružljivi, zato je po obrazcu
(A.20):
P(B) = P(B ∩ A 1 ) + P(B ∩ A 2 ) + ··· + P(B ∩ A n ) . (A.35)
Uporabimo še izrek za verjetnost produkta:
P(B) = P(A 1 )P(B|A 1 ) + P(A 2 )P(B|A 2 ) + ···
=
N
∑
i=1
··· + P(A n )P(B|A n )
P(A i )P(A|A i ) . (A.36)
To je do tako imenovani obrazec za popolno verjetnost dogodka. Strnimo
sedaj podano razlago v izrek, ki ga ponavadi imenujemo po avtorju obrazca:
DEFINICIJA A.3.2 (Bayesov izrek)
Če so dogodki A i , i = 1,2,...,N medsebojno nezdružljivi tako, da njihova unija tvori
zbirko S :
N
∪ A i = S . (A.37)
i=1
(tvorijo poln sistem) in je A poljuben dogodek z neničelno verjetnostjo P(A), potem
velja:
P(A i |A) = P(A i ∩ A)
P(A)
= P(A|A i)P(A i )
N
P(A|A j )P(A j )
∑
j=1
. (A.38)
Thomas Bayes (1702 – 1761) angleški nekonformistični teolog in
matematik. Postavil je matematične osnove verjetnostnega sklepanja.
Njegove zaključke je privzel Laplace in so ostali nespremenjeni
do Boola. Od takrat naprej so predmet polemik med matematiki.
V Bayesovem obrazcu verjetnost P(A i ) imenujemo a priori ali v naprej
dano verjetnost, pogojno verjetnost P(A i |A) pa a posteriori ali končna verjetnost.
Ta pove, kolikšna je verjetnost, da se bo dogodek A i zgodil prav pri
dogodku A. Dogodke A i , ki tvorijo polno grupo, imenujemo hipoteze.
datoteka: signal_A

Literatura
[1] H. Kwakernaak, R. Sivan: Modern signals and systems (third edition). The
McMillan Press LTD., ISBN 0–13–812728–X
[2] A.V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Discrete-Time Signal Processing.
Prentice Hall Processing Series, 1989, ISBN 0–13–216292–X
[3] Charles L. Phillips, John M. Parr (1995). Signals, systems, and transformas,
Prentice Hall Inc., ISBN 0–13–795253–8
[4] E.C. Ifeachor, B.W. Jervis: Digital signal procesing, A practical approach.
Addison-Wesley, 1997, ISBN 0–201–54413–X
[5] H. S. Carslaw: An introduction to Fourier’s series and integrals (third
edition). Dover Publications, inc. (ponatis 1960)
[6] I.N. Sneddon: Fourier transforms. Dover publications Iinc., (ponatis 1995),
ISBN 0–486–68522–5 (pbk)
[7] H.F. Davis: Fourier series and orthogonal functions. Dover publications Inc.,
1963, ISBN 0–486–65973–9
[8] M. Reed, B. Simon: Fourier analysis, Self-Adjaintness. Academic press Inc.,
1975, ISBN 0–12–585002–6(v.2)
[9] M. R. Spiegel: Theory and problems of Fourier analysis with applications to
boundary value problems. Schaum’s outline series, McGraw-Hill
(18.izdaja 1994). ISBN 0-07-060219-0
[10] M. R. Spiegel: Theory and problems of Lapalace transform. Schaum’s
outline series, McGraw-Hill (18.izdaja 1994). ISBN 0-07-06231-X
[11] M. E. van Valkeburg: Network Analysis.
[12] D. Lange (19xx). Methoden der Signal und sistemanalise.
[13] Dietmar Achilles: Die Fourier-Transformation in der Signalverabeitung.
Springer Verlag, 1985
[14] Charles K. Chui, Guanrong Chen: Signal Processing and System Theory
(Selected topics). Springer Verlag, 1992
[15] Paul A. Lynn (1994). An introduction to the analysis and Processing of
signals. MacMillan Press LTD. 1994, ISBN 0–333–48887–3
[16] I.N. Bronštein, K.A. Semendjajev, G. Musol, H. Mühlig: Matematični
priročnik. Tehniška založba Ljubljana.
233

234 LITERATURA
[17] Ludvig Gyergyek: Teorija obdelave signalov in statistične metode. Založba
FER Ljubljana, 1987.
[18] Tine Zorič, Dali Ðonlagić, Rajko Svečko: Teorija linearnih diskretnih
sistemov. Založba FERI Maribor, 1994 ISBN 86–436–0053–4
[19] Rajko Svečko, Tine Zorič: Teorija linearnih diskretnih sistemov. Založba
FERI Maribor, 1994 ISBN 86–435–0076–3
[20] Rajko Svečko: Teorija sistemov. Založba FERI Maribor, 2000 ISBN
86–435–0366–5
[21] Žarko Čučej: Komunikacije v sisteih daljinskega vodenja, Založba FERI
Maribor, 1998, ISBN 86–435–0217–0
[22] Žarko Čučej, Peter Planinšič: Teorija signalov: Uvod v teorijo, Založba FERI
Maribor, 1999, ISBN 86–435–0267–7
http://SPaRC.feri.uni-mb/publikacije
[23] Žarko Čučej, Peter Planinšič: Teorija signalov: Harmonična analiza in
obdelava, Založba FERI Maribor, 2001, (trenutno dosegljiva kot datoteka
Signal_C na http://SPaRC.feri.uni-mb/publikacije)
[24] Erhard Stepanek Praktische analyse linearer systeme durch
faltungsoperationen, Academishe verlagsgesellschaft, Geest & Portig
k.g. Leipzig, 1976
[25] John J. Komo: Random Signal Annalysis in Engineering Systems, Acaddemic
Press. Inc., 1987, ISBN 0–12–418660–2.
[26] Harry Urkowitz: Signal theory and random processes. Artech house. Inc.,
1983, ISBN 0–89006–121–1
[27] Igor Grabec, Janez Gradišek: Opis naključnih pojavov, Univerza v Ljubljani,
Fakulteta za strojništvo, 2000, ISBN 961–6238–42–6.
[28] Ludvig Gyergyek: Teorija obdelave signalov in statistične metode. Univerza
v Ljubljani, Založba FER Ljubljana, 1987
[29] Rajko Jamnik: Verjetnostni račun. Univerza v Ljubljani, Mladnska knjiga,
1987
[30] Rajko Jamnik: Matematična statistika. Državna založba Slovenije, 198o
[31] Georgije Lukatela: Statistička teorija telekomunikacija i teorija informacija 1
Gra ¯devinska knjiga Beograd, 1991, ISBN 86–395–0280–3
[32] Ian A. Glover, Peter M. Grant: Digital Communications Prentice Hall
Europe, 1998, ISBN 0–13–5653391–6
[33] John G. Proakis: Digital Communications (third edition) McGraw-Hill
International editions, 1995, ISBN 0–07–113814–5
[34] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and sciences
Brooks/Cole Publishing company 1991, ISBN 0–534–14352–0
[35] Yannis Viniotis: Probability and random processes for electrical engineers
McGraw-Hill International editions, 1997, ISBN 0–07–067491–4
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040315

235
[36] Claude E. Shannon: A mathematical theory of communications
[37] Kemin Zhow, John c. Doyle and Keith Glower: Robust and optimal control
Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458, 1996 ISBN
0-13-456567-3
[38] Slovar Slovenskega knjižnega jezika Slovenska akademija znanosti in
umetnosti, Državna založba SLoenije, 1980
[39] Random Hause Dictionary of the English Language Edit. Jess Stein, Random
Hause Inc., 1966, ISBN: 0–394–47176–8
[40] Norbert Wiener: Generalized Harmonic Analysis Acta Mathematica, Vol. 55,
str. 117–258, 1930
[41] A.J. Hinčin: Teorija korreljaciii stacionarnih slučajnih funkcij Uspehi
matematičeskih nauk, vip. 5, 42, 1938
[42] A.Ya. Khintchine: Korrelationstheorie der stacionören stochaschen Prozese
Matematiche Annalen, vol.1, No. 109, str. 415–458, 1934
[43] Y.W. Lee: Statistical Theory of Communications John Willey & Sons, New
York, 1960
[44] Leon Cohen: Time-Frequency Analysis Prentice Hall PTR, 1995
[45] M.H. Ackroyd: Instataneous and time-varying spectra – An introduction,
objavljeno v Radio Electron. Eng., vol 239, str. 145–152, 1970
[46] R.M. Lerner: Representation of signals, objavljeno v E.J. Baghdady (editor)
Lectures on Communication System Theory, McGraw-Hill Book Co.,
1961
[47] M.I. Skolnik: Introduction to Radar Systens McGraw-Hill Book Co., 1980
[48] J.G. Kikwood: Quantum statistics of almost classical ensembles Phys. Rev.,
vol. 44, str. 31–37, 1933
[49] Ya. P. Terletsky: Z. Eksp.. Teor. Fiz., vol. 7, str. 1290, 1937
[50] Vinay K. Ingle and John G. Proakis: Digital Signal Processing using
MATLAB R○ Brooks/Cole: BookWare Companion Series TM , 2000, ISBN
0-534-3717-4
datoteka: signal_A