3 - Квант

©
2010
Þ¹3
ÌÀÉ
ÈÞÍÜ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
2 Ìåòåîðîëîãè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ: ðàñïðåäåëåííûå â
ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè. Â.Ãîðäèí
9 Î ñóììå òåëåñíûõ óãëîâ ìíîãîãðàííèêà. È.Áîãäàíîâ
Ó÷ðåäèòåëè — Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ
íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè
ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è
îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà),
ÈÔÒÒ ÐÀÍ
Èçäàòåëü – ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ
«Áþðî Êâàíòóì»
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Ñ.Ñ.Êðîòîâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí,
Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ,
À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü
ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ,
Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ
ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷,
Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ,
À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí,
Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ,
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî
ðåäàêòîðà)
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ
À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä , Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé,
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
1970 ÃÎÄÀ
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
È.Ê.Êèêîèí
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ
À.Í.Êîëìîãîðîâ
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé,
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,
È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé,
ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò,
ß.Å.Øíàéäåð
Òîâàðíûé çíàê «Æóðíàë «Êâàíò»
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîñòüþ
ÎÎÎ ÍÏÏ ÎÎ «Áþðî Êâàíòóì»
© 2010, ÐÀÍ,
Ôîíä Îñèïüÿíà, æóðíàë «Êâàíò»
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÈÐ
15 105 ëåò àêàäåìèêó Ñ.Ì.Íèêîëüñêîìó
ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
17 Êâàíòîâûå è âîëíîâûå ÿâëåíèÿ â íàíîìèðå. Â.Òèìîøåíêî
ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ
23 Ïî ñòðàíèöàì ñî÷èíåíèÿ Ãåðîíà Àëåêñàíäðèéñêîãî
«Î äèîïòðå». À.Æóêîâ
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
26 Çàäà÷è Ì2176–Ì2183, Ô2183–Ô2189
27 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2154–Ì2158, Ì2160, Ô2168–Ô2174
35 Åùå ðàç îá îêðóæíîñòÿõ, âïèñàííûõ â êðèâîëèíåéíûå ôèãóðû
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
32 Ïîñòîÿííûå ìàãíèòû
Ê Ì Ø
36 Çàäà÷è
37 Õîðîøî òåìïåðèðîâàííûé êëàâèð. È.Ãåëüôàíä, À.Øåíü
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
40 Ñâåðõçâóêîâûå ñàìîëåòû è êîíóñ Ìàõà. Å.Ñîêîëîâ
42 Îáæåãøèñü íà ìîëîêå, íà âîäó äóþò... À.Ñòàñåíêî
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
44 Î ïîëüçå ãðàôèêîâ. Ì.Ãîðåëîâ
ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»
48 Êàóñòèêè íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. À.Àíäðååâ, À.Ïàíîâ
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
50 Íåðàâåíñòâî Êîøè â çàäà÷àõ ïî ôèçèêå. Â.Ãðåáåíü
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
54 Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
56 XVIII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé
ìàðàôîí»
59 Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
Ïàìÿòè Ì.Ãàðäíåðà (25)
I
II
III
IV
ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå «Ìåòåîðîëîãè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ»
Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê
Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
01-25.p65 1
09.06.10, 12:40

2
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Ìåòåîðîëîãè÷åñêèå
íàáëþäåíèÿ:
ðàñïðåäåëåííûå â ïðîñòðàíñòâå
è âî âðåìåíè
Â.ÃÎÐÄÈÍ
Ââåäåíèå
Çà÷åì êðóòèòñÿ âåòð â îâðàãå,
Ïîäúåìëåò ëèñò è ïûëü íåñåò,
Êîãäà êîðàáëü â íåäâèæíîé âëàãå
Åãî äûõàíüÿ æàäíî æäåò
À.Ñ.Ïóøêèí. Åãèïåòñêèå íî÷è
Àëåêñàíäð Ñåðãååâè÷ íà ýòîò âîïðîñ îòâå÷àåò òàê:
«Çàòåì, ÷òî âåòðó è îðëó // È ñåðäöó äåâû íåò
çàêîíà». Îäíàêî ó÷åíûå ëþäè è äî è ïîñëå íàïèñàíèÿ
ýòèõ çàìå÷àòåëüíûõ ñòèõîâ òùèëèñü ýòè çàêîíû îòûñêàòü.
Âåäü èíòåðåñíî, êðàñèâî, à âîçìîæíî, è ïîëåçíî
áóäåò. ×ëåí Ïàðèæñêîé àêàäåìèè íàóê Ë.Ì.À.Íàâüå
ïðåäëîæèë óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó âÿçêîé
æèäêîñòè, çà íåñêîëüêî ëåò äî èçäàíèÿ «Åãèïåòñêèõ
íî÷åé». Êîíå÷íî, îò ýòèõ óðàâíåíèé äî ïðàêòè÷åñêîãî
ïðîãíîçà ïîãîäû áûëà äèñòàíöèÿ ïîðÿäî÷íàÿ…
Êàêèå áûâàþò ìåòåîíàáëþäåíèÿ
Îáñåðâàöèè ìåòåîðîëîãè÷åñêèå îòïðàâëÿë ñ 1729
ãîäà, ÷åðåç êîòîðûå íå áåç âåëèêîãî áåñïðåñòàííîãî
ñòàðàíèÿ è òðóäà ìíîãî íîâîãî ìíîþ èçîáðåòåíî, ÷òî
íàäëåæèò äî ñîñòîÿíèÿ ïîãîä çäåøíåãî êëèìàòà, è
åùå âñå ìîæíî óñìîòðåòü èç ïîäàííûõ ìíîþ â
Àêàäåìèþ íàäëåæàùèõ ïèñåì.
Ã.Êðàôò
Óòî÷íèì, ÷òî òàêîå ìåòåîíàáëþäåíèå. Íàïðèìåð,
ñìîòðèì â îêíî – ïåøåõîäû èäóò ñ çîíòèêàìè. Èëè â
øóáàõ. Ìîæíî ñäåëàòü êîå-êàêèå âûâîäû. Ëåò÷èêó íà
ïîäëåòå ê àýðîäðîìó ñîîáùàþò: âèäèìîñòü ñåé÷àñ ïëîõàÿ,
íî, ñóäÿ ïî ðàäàðó, ïðèáëèæàåòñÿ íåáîëüøîå îêíî
â îáëàêàõ. ×åðåç òðè ìèíóòû áóäåò ïîíÿòíî, ñàäèòüñÿ
ëè èëè èäòè íà çàïàñíîé àýðîäðîì. Ýòî – íàáëþäåíèÿ,
êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ ñðàçó.
Ðàçíîîáðàçíûõ ìåòåîíàáëþäåíèé, ïîñòóïàþùèõ â
6
áàçó äàííûõ Ãèäðîìåòöåíòðà Ðîññèè, îêîëî 10 . È,
âèäèìî, áóäåò áîëüøå. Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè ïðîãíîçà
ïîãîäû ïîçâîëÿþò äàâàòü åãî íà íåñêîëüêî ñóòîê
ñ äîâîëüíî âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Ýòè òåõíîëîãèè –
ðåçóëüòàò ìíîãîâåêîâîãî ïðîãðåññà.
Êîëè÷åñòâî îñàäêîâ çà âåñíó èçìåðÿëè ëåâèòû â
Õðàìå â Èåðóøàëàèìå. Åñëè ñóììàðíûé óðîâåíü îñàäêîâ
ïðåâûøàë 7 ëàäîíåé (îêîëî 56 ñì), òî îæèäàëè
õîðîøèé óðîæàé ëåòîì.
 Åãèïòå èçìåðÿëè ïîäúåì óðîâíÿ Íèëà. 1 Ïðè÷èíû
ïîäúåìà áûëè çàãàäî÷íû. Äâå ñ ïîëîâèíîé òûñÿ÷è ëåò
íàçàä Ãåðîäîò ñîîáùèë â ñâîåé «Èñòîðèè» íåñêîëüêî
âåðñèé – óæå òîãäà îíè áûëè ñòàðèííûìè.
Îáûêíîâåííûå äëÿ íàñ ïðèáîðû – áàðîìåòð, òåðìîìåòð
– ïîÿâèëèñü íåñêîëüêî âåêîâ íàçàä. Â 1597 ãîäó
Ã.Ãàëèëåé èçãîòîâèë òåðìîñêîï: ñòåêëÿííûé øàð ñ
âîäîé è ïîãðóæåííàÿ â íåãî òðóáêà. Óðîâåíü âîäû
õàðàêòåðèçîâàë òåìïåðàòóðó (ëàò. temperature – íàäëåæàùåå
ñìåøåíèå, íîðìàëüíîå ñîñòîÿíèå; òåìïåðàìåíò
– îäíîêîðåííîå ñëîâî). Ïîçäíåå Ñàãðåäî, ó÷åíèê
Ãàëèëåÿ, íàíåñ íà òðóáêó äåëåíèÿ – èçìåðåíèÿ ïîëó÷èëè
êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð. 2
Âîäà – íåïðîñòàÿ æèäêîñòü, åå îáúåì íå ðàñòåò
ìîíîòîííî ñ òåìïåðàòóðîé, ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè
4 C. 3 Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ðàáî÷åé æèäêîñòè åå èñïîëüçîâàòü
íåóäîáíî. Â 1641 ãîäó âî Ôðàíöèè óæå
èìåëèñü äîâîëüíî ñîâåðøåííûå ñïèðòîâûå òåðìîìåòðû
(ýòîò òåðìèí ïîÿâèëñÿ â 1636 ã.). Â 1715 ãîäó
æèòåëü ãîðîäà Äàíöèãà Ä.Ôàðåíãåéò íàëàäèë ïðîèç-
1 Âîäó îòâîäèëè â ïðóä è îïðåäåëÿëè óðîâåíü ñòîÿ÷åé âîäû
ïî âûñå÷åííîé íà êàìíå øêàëå â ëîêòÿõ è ïàëüöàõ. Âàæíåéøèì
áûë âîäîìåð íà îñòðîâå Ðàóäà. Êàæäûé äåíü åãî ñìîòðèòåëü
äîêëàäûâàë ïðàâèòåëüñòâó. Åñëè ïîäúåì Íèëà áûë âûøå 12
ëîêòåé, ãëàøàòàé âîçâåùàë îá ýòîì ïî âñåìó Êàèðó.
2 Ýòî èçîáðåòåíèå íåìåäëåííî ïîëó÷èëî ìåäèöèíñêîå ïðèìåíåíèå:
âåíåöèàíñêèé âðà÷ Ñàíòîðèî â 1612 ãîäó îïóáëèêîâàë
ðàáîòó î ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû òåëà ïðè ëèõîðàäêå.
3 Âîò ïî÷åìó ëåä ïëàâàåò íà ïîâåðõíîñòè âîäû, à íå òîíåò.
Ãàëèëåé â 1611 ãîäó íà òîðæåñòâåííîì îáåäå (â ÷åñòü êàðäèíàëîâ
Áàðáåðèíè è Ãîíçàãî) ó âåëèêîãî ãåðöîãà Òîñêàíñêîãî
Êîçèìî II ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðîâåðã ìíåíèå êîëëåã ïî Ïèçàíñêîìó
óíèâåðñèòåòó, óòâåðæäàâøèõ, ÷òî ýòî ñëåäñòâèå ôîðìû
ëüäà, à íå åãî îòíîñèòåëüíîé (ê âîäå) ëåãêîñòè. Ñëåäñòâèÿ
ýòîãî äèñïóòà: òðàêòàò «Ðàññóæäåíèå î òåëàõ, ïðåáûâàþùèõ
íà ïîâåðõíîñòè âîäû â ïîêîå è òåõ, êîòîðûå â íåé
äâèæóòñÿ» è âðàãè Ãàëèëåÿ ñðåäè ïðîôåññîðîâ Ïèçû.
01-25.p65 2
09.06.10, 12:40

ÌÅÒÅÎÐÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß
3
Ðèñ.1. Ìåòåîðîëîãè÷åñêèå ïðèáîðû, êîòîðûå èñïîëüçîâàë
Ð.Ãóê â ñåðåäèíå XVII âåêà: áàðîìåòð (à), àíåìîìåòð (á) è
êîìïàñ (â) îïðåäåëÿëè äàâëåíèå, ñêîðîñòü è íàïðàâëåíèå
âåòðà êàê ôóíêöèè âðåìåíè, ðàçóìååòñÿ åñëè áûëè ÷àñû. Äëÿ
òîãî ÷òîáû ðàçîáðàòüñÿ â ïðè÷èíàõ è ñâîéñòâàõ äâèæåíèÿ
àòìîñôåðíîãî âîçäóõà, áûëè íóæíû ìíîãî÷èñëåííûå è äîñòàòî÷íî
òî÷íûå èçìåðåíèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî
äåøåâûå è òî÷íûå ïðèáîðû
âîäñòâî ðòóòíûõ òåðìîìåòðîâ. 4 Â 1724 ãîäó îí ïðåäëîæèë,
âî-ïåðâûõ, ðàçäåëèòü äèàïàçîí ìåæäó òî÷êàìè
ïëàâëåíèÿ è êèïåíèÿ âîäû íà 180 ÷àñòåé, êîòîðûå
òåïåðü íàçûâàþòñÿ ãðàäóñàìè Ôàðåíãåéòà ( °F ), à âîâòîðûõ,
ñ÷èòàòü òåìïåðàòóðó ïëàâëåíèÿ ðàâíîé 32 ° F .
 1732 ãîäó Ðåîìþð ïðåäëîæèë äåëèòü ýòîò æå äèàïàçîí
íà 80 ÷àñòåé, à àñòðîíîì À.Öåëüñèé â 1742 ãîäó –
íà 100 ÷àñòåé, ïðè÷åì åãî ãðàäóñû óìåíüøàëèñü (!) ñ
ïîòåïëåíèåì. Ïåðåâåðíóòü ýòó øêàëó ïðåäëîæèë áîòàíèê
Ê.Ëèííåé â 1745 ãîäó. Â Ðîññèè ýòîò ãðàäóñíèê
äîëãî íàçûâàëè øâåäñêèì, à èñïîëüçîâàëè òåðìîìåòð
Ë.Äåëèëÿ ñ äåëåíèåì íà 150 ÷àñòåé. Íåÿñíî, ñ ÷åì
ñâÿçàíà áóêâà Ñ â òðàäèöèîííîì îáîçíà÷åíèè ãðàäóñîâ
Öåëüñèÿ: ñ ôàìèëèåé øâåäñêîãî àñòðîíîìà èëè ñî
ñëîâîì centrigrade (ñòîãðàäóñíèê).
×åñòü èçîáðåòåíèÿ áàðîìåòðà â 1643 ãîäó ïðèíàäëåæèò
ó÷åíèêó Ãàëèëåÿ – Ý.Òîððè÷åëëè (è, âîçìîæíî,
èõ ó÷åíèêó Â.Âèâèàíè).
Ñèëó è íàïðàâëåíèå âåòðà íàó÷èëèñü èçìåðÿòü íàìíîãî
ðàíüøå – ïðèáîð ìàëî îòëè÷àëñÿ ïî êîíñòðóêöèè
îò âåòðÿíîé ìåëüíèöû, à ìåëüíèöû ýòè êðóòèëèñü
â Åâðîïå ñî âðåìåí Êðåñòîâûõ ïîõîäîâ. Îäíàêî åùå â
XVIII âåêå ñêîðîñòü âåòðà îöåíèâàëè íà ãëàç. Â äíåâíèêå
Ïåòðà I ëåòîì 1715 ãîäà ñîîáùàåòñÿ: «6 èþëÿ.
Âåòð áûë î ïîëóäíè ñðåäíèé, à ê âå÷åðó òèøå è
íî÷üþ… 7 èþëÿ âåòð áûë îò çþä-îñòà çåëî òèõ è
áîëåå 840 ñàæåí íå óõîäèë â ÷àñ».
Ïîÿâëåíèå ýòèõ ïðèáîðîâ (ðèñ.1) ïîçâîëèëî «âåñòè
ëåòîïèñü» äàâëåíèÿ è òåìïåðàòóðû, õîòÿ ïðàêòè÷åñêèé
ñìûñë òàêèõ íàáëþäåíèé âðÿä ëè òîãäà áûë ÿñåí. Ðàçâå
4 Íåîæèäàííîå äëÿ Åâðîïû îãðàíè÷åíèå ðòóòè îáíàðóæèëîñü
âî âðåìÿ Âåëèêîé ñåâåðíîé ýêñïåäèöèè. Êàçàê Ï.Ñàëîìàòîâ
ïèñàë èç Òîìñêà ñòóäåíòó Ñ.Êðàøåíèííèêîâó: «Â äàííûõ
ìíå èíñòðóìåíòàõ áàðîìåòðîâ äà òåðìîìåòðîâ îò òåõ âåëèêèõ
ìðàçîâ ðòóòü ñìåðçàåòñÿ êóñêàìè, à â òåðìîìåòðàõ
âõîäèò âñÿ âíèç èç ïðèíàäëåæàùèõ ÷àñòåé â ÿáëîêî. Îäíàêîæ
íå â áîëüøèå ìðàçû îïÿòü ïîïðåæíåìó ñòàíîâèòñÿ». Çàìåðçàíèå
ðòóòè ñíîâà áûëî îòêðûòî Áðàóíîì è Ëîìîíîñîâûì â
1759 ãîäó, à çàòåì Ôðèçîì çèìîé 1786–1787 ãîäîâ â Âåëèêîì
Óñòþãå.
÷òî íà÷àëüñòâî ìîãëî â ñïðàâî÷íèê ïîñìîòðåòü – óçíàòü,
ãäå êàêèå òåìïåðàòóðû â äåðæàâå ñëó÷àþòñÿ è êàêèå
ñíåãà âûïàäàþò. Êðåñòüÿíèí ñïðàâî÷íèêè íå ÷èòàë –
ñìîòðåë íà íåáî ëè÷íî. È Ëîìîíîñîâñêàÿ îäà: «Íàóêà
ëåãêèõ ìåòåîðîâ,// Ïðåìåíû íåáà ïðåäâåùàé,// È
áóðíûé øóì âîçäóøíûõ ñïîðîâ// ×ðåç âåðíû çíàêè
ïðåäúÿâëÿé,// ×òîá çåìëåäåëåö âûáðàë âðåìÿ,// Êîãäà
çåìëå ïîâåðèòü ñåìÿ// È äàòü êîãäà ïîêîé áðàçäàì,
// È ÷òîáû, íå áîÿñü ïîãîäû, // Ñ áîãàòñòâîì äàëüíû
øëè íàðîäû// Ê Åëèñàâåòèíûì áðåãàì» – ïîëó÷èëà
ðåàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå ëèøü ïàðó âåêîâ ñïóñòÿ. 5 À äî
òîé ïîðû çàòðàòû «íà âîçäóõ» ïðèíîñèëè ìàëîâàòî
äîõîäó êàçíå è ïðîèçâîäèëèñü ñî ñêðèïîì. 6
 «Ðå÷è î ïîëüçå íàóê è õóäîæåñòâ» â ñåíòÿáðå 1750
ãîäà Ñ.Êðàøåíèííèêîâ (óæå àêàäåìèê, à íå ñòóäåíò)
÷åñòíî ïðèçíàë: «Ñìåøíî êàæåòñÿ, êîãäà ôèçèê çàïèñûâàåò
ïåðåìåíó ïîãîä ñî âñÿêèì ïðèëåæàíèåì, íî
åæåëè áû ñûñêàëîñü ïðàâèëî, êàê åå íàïåðåä óçíàâàòü,
òî, áåç ñîìíåíèÿ, âåëèêîé ÷åñòè óäîñòîèëîñü
äëÿ òîãî, ÷òî ïåðåìåíà â ñàìîì çäðàâèè íàøåì íåìàëî
îò òîãî çàâèñèò; çíàþùåìó, ÷òî ïîñëåäóåò, ìîæíî
îò âðåäà ïîîñòåðå÷üñÿ».
Îäíàêî ïîñòåïåííî çàìåòèëè, ÷òî ñèëüíîå ïàäåíèå
äàâëåíèÿ ïðåäâåùàåò ïàñìóðíóþ, äîæäëèâóþ ïîãîäó,
âîçìîæíî ñ ñèëüíûì âåòðîì. Êàïèòàíû êîðàáëåé,
óöåëåâøèå â øòîðìàõ, ñòàðàëèñü âûðàáîòàòü àëãîðèòì
ïîâåäåíèÿ íà îñíîâå èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ, à òàêæå ñèëû
è íàïðàâëåíèÿ âåòðà. Àëãîðèòì áûë ãðîìîçäîê. Ãëÿäÿ
íà ïðîñòûå ñîâðåìåííûå êàðòû ïîãîäû (â Èíòåðíåòå
ìîæíî íàéòè äàæå àíèìàöèîííûå êàðòû), êîòîðûå
ìîæåò ïîíÿòü è øêîëüíèê, òðóäíî â ýòàêóþ ñëîæíîñòü
ïîâåðèòü. À òîãäà, åñëè êàïèòàí ïðåíåáðåãàë ïðàâèëàìè
èëè åñëè èìè (âåñüìà äàëåêèìè îò ñîâåðøåíñòâà)
ïðåíåáðåãàë øòîðì, ïëàòà áûëà âåëèêà. Àäìèðàë
Íåëüñîí ñòàâèë ñåáå â çàñëóãó íå òîëüêî ïîáåäû â
ñðàæåíèÿõ, íî è óìåíèå ìàíåâðèðîâàòü â øòîðì – íå
ïîòåðÿë íè îäíîãî êîðàáëÿ.
Ðàç îò áàðîìåòðîâ îáíàðóæèëàñü ïîëüçà, èõ ïîÿâèëîñü
ìíîãî. À äàëüøå âîçíèêëî åñòåñòâåííîå æåëàíèå:
ñîïîñòàâëÿòü ïîêàçàíèÿ íå òîëüêî â îäíîé òî÷êå çà
ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè, íî è îäíîìîìåíòíûå íàáëþäåíèÿ
â ðàçíûõ òî÷êàõ – ñîñòàâëÿòü áàðè÷åñêèå êàðòû.
Ïðèìåðíî â ýòî âðåìÿ ïîäîñïåë ñî ñâîèìè óñëóãàìè
5 Ñàì Ëîìîíîñîâ è ïðèáîðû ìåòåîðîëîãè÷åñêèå èçãîòîâëÿë,
è ðåãóëÿðíûå èçìåðåíèÿ ïðîâîäèë. Áåç äëèòåëüíîé ïîäãîòîâèòåëüíîé
ðàáîòû ïî ñîâåðøåíñòâîâàíèþ ïðèáîðîâ è òåõíèêè
èçìåðåíèé, ïî ðàçâèòèþ ôèçèêè, õèìèè, ðàçëè÷íûõ òåõíîëîãèé,
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ è âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ
ñîâðåìåííûé ïðîãðåññ â ïðîãíîçå ïîãîäû áûë áû íåâîçìîæåí. Íî
öàðè íå æåëàþò æäàòü âåêà – äåíüãè õî÷åòñÿ íà âîéíû è
íàðÿäû ïîòðàòèòü íåìåäëÿ.
6 Ìûñëü î âëèÿíèè íà ïîãîäíûå ïðîöåññû è âîîáùå íà
îêðóæàþùóþ ñðåäó ïîñåùàåò íà÷àëüñòâåííûå ãîëîâû ðåãóëÿðíî
– ñî âðåìåí ñòðîèòåëüñòâà Âàâèëîíñêîé áàøíè. Ïîêà äåëî
îãðàíè÷èâàåòñÿ çàãðÿçíåíèåì ýòîé ñðåäû è âîçäåéñòâèåì íà
îáëàêà – ñ öåëüþ ïðåäîòâðàùåíèÿ ãðàäîáèòèÿ âèíîãðàäíèêîâ
è óëó÷øåíèÿ ïîãîäû â îòäåëüíûõ ìåãàïîëèñàõ. Âïðî÷åì, Èáí
Õàóêàë ñîîáùàåò ñî ñëîâ íåêîãî ïóòåøåñòâåííèêà î ñîáûòèÿõ
â òîãäàøíåé ñòîëèöå Àôãàíèñòàíà Çàðàíäæå. Â 970 ãîäó òàì,
âñëåäñòâèå âåòðà íåñëûõàííîé ñèëû è ïîñòîÿíñòâà, áûëà
ïîëíîñòüþ çàíåñåíà ïåñêîì ãëàâíàÿ ìå÷åòü. Íî íåêèé ÷åëîâåê
çà 20 òûñÿ÷ äèðõåìîâ èçìåíèë íàïðàâëåíèå âåòðà.
01-25.p65 3
09.06.10, 12:40

4
òåëåãðàô. Ñíà÷àëà â êà÷åñòâå ïðàâèòåëüñòâåííîé ñâÿçè,
çàòåì äëÿ âîåííî-ïîëèòè÷åñêîé, àäìèíèñòðàòèâíîé,
ôèíàíñîâî-ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ïîòîì äîøëà
î÷åðåäü è äî ìåòåîðîëîãèè. 7 Ïðîãíîç ïîãîäû áûë äåëîì
âåñüìà ñîìíèòåëüíûì, è ïðàâèòåëüñòâà ïðåäïî÷èòàëè
âêëàäûâàòü äåíüãè âî ÷òî-íèáóäü áîëåå íàäåæíîå,
íàïðèìåð â ïóøêè. Îäíàêî è âîåííûì, è àäìèíèñòðàòîðàì
ñðî÷íûå ìåòåîñâåäåíèÿ áûâàþò íóæíû. Ïîýòîìó
äëèòåëüíûå îáñóæäåíèÿ ôèíàíñèðîâàíèÿ òåëåãðàôíûõ
çàòðàò â øåñòèäåñÿòûõ-ñåìèäåñÿòûõ ãîäàõ XIX
âåêà áûëè óñïåøíî çàâåðøåíû â áîëüøèíñòâå ñòðàí
Åâðîïû.
 ÑØÀ òåëåãðàôèñò, çàñòóïàâøèé íà ñìåíó, äîëæåí
áûë ïîñëàòü îá ýòîì ñîîáùåíèå. ×òîáû ëèøíèõ ñðåäñòâ
íå òðàòèòü, ïðèäóìàëè: ïóñòü âìåñòî ýòîãî ïîñûëàåò
èíôîðìàöèþ î äàâëåíèè – áàðîìåòð ïîñòàâèòü åìó íà
ðàáî÷èé ñòîë. Ê ýòîìó âðåìåíè áûëî ÿñíî, ÷òî äàâëåíèå
óáûâàåò ñ âûñîòîé. ×òîáû ñîïîñòàâëÿòü äàâëåíèÿ â
ðàçíûõ ìåñòàõ, à çíà÷èò íà ðàçíûõ âûñîòàõ íàä óðîâíåì
ìîðÿ, íåîáõîäèìî íàó÷èòüñÿ ïðèâîäèòü äàâëåíèå,
èçìåðåííîå íà óðîâíå ïîâåðõíîñòè, ê îáùåìó óðîâíþ
– óðîâíþ ìîðÿ. Òàì, ãäå áûëà âûïîëíåíà òîïîãðàôè-
÷åñêàÿ ñúåìêà (òî÷íîñòü êîòîðîé áûëà òîãäà íå ñëèøêîì
âûñîêà), ìîæíî áûëî âîñïîëüçîâàòüñÿ áàðîìåòðèdp
÷åñêîé ôîðìóëîé Ëàïëàñà =−gρ. Åå ìîæíî äîïîëíèòü
óðàâíåíèåì Êëàïåéðîíà p = . Ñëåäñòâèåì èç
dz
RρT
Μ
ýòèõ ñîîòíîøåíèé – óðàâíåíèåì ãèäðîñòàòèêè
dz dz R
p = = − T
dp d ln p Μ g
– óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ýêñòðàïîëÿöèè äî óðîâíÿ
ìîðÿ, «ïîä çåìëþ», ïîñêîëüêó èçìåíåíèå àáñîëþòíîé
òåìïåðàòóðû â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñîñòàâëÿåò
ëèøü íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ.
Ðàçóìååòñÿ, ýêñòðàïîëÿöèÿ «ïîä çåìëþ», ãäå íèêàêîãî
âîçäóõà íåò, øòóêà óñëîâíàÿ. Íî ðåçóëüòàòû ïîëó-
÷àëèñü ñðàâíèòåëüíî ïðèëè÷íûìè. Âìåñòå ñ íàíåñåííûìè
íà êàðòó âåòðàìè ýòî äàæå ñîçäàâàëî âîçìîæíîñòü
êðàòêîñðî÷íîãî ïðîãíîçà: ïðåäïîëîæèì, ÷òî
7 Áîëüøîé âêëàä â ðàçâèòèå ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ
èçìåðåíèé â Ðîññèéñêîé èìïåðèè è â ìåæäóíàðîäíîå
ñîòðóäíè÷åñòâî âíåñ À.ß.Êóïôåð, èìåâøèé ðàçíîîáðàçíûå
íàó÷íûå èíòåðåñû, ïîëüçîâàâøèéñÿ áîëüøèì àâòîðèòåòîì è
ó çàðóáåæíûõ êîëëåã, è ó ðîññèéñêîãî íà÷àëüñòâà.  1849 ãîäó
áûëà ó÷ðåæäåíà Ãëàâíàÿ ôèçè÷åñêàÿ îáñåðâàòîðèÿ (ÃÔÎ).
Áûëà ðàçâèòà íàáëþäàòåëüíàÿ ìåòåîðîëîãè÷åñêàÿ ñåòü, ñîñòàâëåíû
íàñòàâëåíèÿ ïî ïðîèçâîäñòâó íàáëþäåíèé, ïîâåðÿëèñü
âñå èçìåðèòåëüíûå ïðèáîðû, ïðîèçâîäèëèñü èíñïåêöèè
ñåòè. Íà îñíîâå ñîáðàííûõ íàáëþäåíèé èçäàâàëèñü ìåòåîðîëîãè÷åñêèå
ñáîðíèêè. Èõ ïîñûëàëè è íàáëþäàòåëÿì, è çàðóáåæíûì
êîëëåãàì. Ïîýòîìó, êîãäà âîïðîñ î ìåæäóíàðîäíîì òåëåãðàôíîì
îáìåíå ìåòåîäàííûìè ñòàë ðåàëüíûì, áûëî ïîíÿòíî,
ñ êåì èìåííî íóæíî äîãîâàðèâàòüñÿ î òàêîì îáìåíå. Ëè÷íûå
ñâÿçè ó÷åíûõ èãðàëè çàìåòíóþ ðîëü. Ñìåðòü Êóïôåðà â 1865
ãîäó çàìåòíî (íà íåñêîëüêî ëåò) çàòîðìîçèëà ðàçâèòèå ñèñòåìû.
Ìåøàëè è âîéíû: Êðûìñêàÿ, àâñòðî-ïðóññêàÿ, àâñòðîèòàëüÿíñêàÿ,
ôðàíêî-ïðóññêàÿ, ðóññêî-òóðåöêàÿ, Ãðàæäàíñêàÿ
âîéíà â ÑØÀ. Ïðèãëàøåííûé èç Øâåéöàðèè äëÿ ðóêîâîäñòâà
ÃÔÎ Ã.È.Âèëüä ñäåëàë åå öåíòðîì ðîññèéñêîé ìåòåîðîëîãèè
è âàæíûì êîìïîíåíòîì ìèðîâîãî ìåòåîðîëîãè÷åñêîãî
ñîîáùåñòâà.
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Ðèñ.2. Íà çíàìåíèòîé àêâàðåëè Ê.Õîêóñàÿ «Îõîòíèêè íà
ñíåãó» ÿñíî âèäíî èçìåíåíèå âåòðà ñ âûñîòîé
âåòåð áóäåò äóòü òàê æå, êàê è â äàííóþ ìèíóòó, òîãäà
çà ñóòêè îí ïðèíåñåò èç ïóíêòà À â íåêèé ïóíêò Á òàêîåòî
äàâëåíèå, êîòîðîå ñåé÷àñ èìååòñÿ â òî÷êå À.
Ãèïîòåçà ýòà, êàê è ðàññóæäåíèå, èìååò áîëüøóþ
ïîãðåøíîñòü. Âåòðû ïåðåìåí÷èâû. È íå òîëüêî ñî
âðåìåíåì, íî è ñ âûñîòîé (ðèñ.2). Äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü
íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ãîíèìûõ âåòðîì îáëàêîâ ñ
íàïðàâëåíèåì âåòðà íà óðîâíå íàøåãî íîñà – ðàçëè÷àþòñÿ.
8 À íà êàêèõ æå âûñîòàõ «ïåðåíîñèòñÿ ïîãîäà»
Îêàçûâàåòñÿ, íà âñåõ, ïðè÷åì ðåçóëüòàò çàâèñèò è îò
ñêîðîñòè âåòðà (îáû÷íî ðàñòåò ñ âûñîòîé), è îò ïëîòíîñòè
âîçäóõà (óáûâàåò). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòûì
ïåðåíîñîì òîãî èëè èíîãî ìåòåîðîëîãè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ
«ïî ïðÿìîé» òîëêîâûé ïðîãíîç ïîãîäû íå ñäåëàåøü, à
íóæíî èçìåðÿòü òåìïåðàòóðó, äàâëåíèå, âëàæíîñòü,
ñêîðîñòü âåòðà íå òîëüêî îêîëî ïîâåðõíîñòè çåìëè, íî
è íà âûñîòàõ. Íà êàêèõ âûñîòàõ Íà òåõ, ãäå ñîñðåäîòî÷åíà
áóëüøàÿ ÷àñòü ìàññû, èìïóëüñà è ýíåðãèè
àòìîñôåðû.
Èçìåðåíèÿ â òðîïîñôåðå è ñòðàòîñôåðå
È âîò Çíàéêà ñòàë äóìàòü. Äóìàë îí òðè äíÿ è òðè
íî÷è è ïðèäóìàë ñäåëàòü øàð èç ðåçèíû.
Í.Í.Íîñîâ. Ïðèêëþ÷åíèÿ Íåçíàéêè è åãî äðóçåé
Èç øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî óáûâàíèå
äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè âîçäóõà ñ âûñîòîé áëèçêî ê
ýêñïîíåíöèàëüíîìó (ïîïðîáóéòå ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííûõ
âûøå ôîðìóë ïðèáëèçèòåëüíî îöåíèòü ïîêàçàòåëü
ýêñïîíåíòû). Îïðåäåëèòü ñðåäíþþ ñêîðîñòü âåòðà íà
ðàçíûõ âûñîòàõ íà îñíîâå òàêèõ ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé
íå ïîëó÷àåòñÿ. Âïðî÷åì, ñåé÷àñ, ïîñëå âåêà ðåãóëÿðíûõ
èçìåðåíèé, ìû åå çíàåì äîâîëüíî õîðîøî (ðèñ.3).
Ðàçóìååòñÿ, ïîäíèìàâøèåñÿ íà ïåðâûõ âîçäóøíûõ
øàðàõ ëþäè ìîãëè âçÿòü ñ ñîáîé ìåòåîðîëîãè÷åñêèå
ïðèáîðû. Íî ñàìè âîçäóøíûå øàðû áûëè ðàðèòåòàìè.
Êàæäûé äåíü îòïðàâëÿòü â ïîëåòû ñîòíè òàêèõ øàðîâ
8 Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ðàñ÷åòå ïåðåíîñà âåòðîì ðàçëè÷íûõ
ïðèìåñåé (íàïðèìåð, âûõëîïíûõ ãàçîâ, ðåçóëüòàòîâ òåõíîãåííûõ
êàòàñòðîô èëè ïåïëà, âûáðîøåííîãî ïðè èçâåðæåíèè
âóëêàíà) íåîáõîäèìî çíàòü, êàê ðàñïðåäåëèòñÿ ýòà ïðèìåñü
ïî âåðòèêàëè, íà êàêîé âûñîòå îíà «ñêëîííà» ïðåáûâàòü.
01-25.p65 4
09.06.10, 12:40

ÌÅÒÅÎÐÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß
5
Ðèñ.3. Ñêîðîñòü âåòðà, êîòîðûé äóåò íà ðàçíûõ âûñîòàõ,
îïðåäåëÿåòñÿ íàáëþäàòåëåì ïî ñìåùåíèþ çîíäà. Íà ðèñóíêå
èçîáðàæåíû ïîëîæåíèÿ äâóõ çîíäîâ, çàïóùåííûõ ñ èíòåðâàëîì
âðåìåíè 12 ÷àñîâ, îòíîñèòåëüíî òî÷êè çàïóñêà â
êèëîìåòðàõ (íàïðàâëåíèÿ îñåé – äîëãîòà è øèðîòà), à ÷èñëà
îçíà÷àþò ìèíóòû ïîëåòà. Âèäíî, ÷òî íà ðàçíûõ âûñîòàõ âåòåð
äóåò â ðàçíûå ñòîðîíû. Çà 12 ÷àñîâ, êàê ñëåäóåò èç ñðàâíåíèÿ
÷åðíûõ è áåëûõ êðóæêîâ, íàïðàâëåíèå âåòðà ñóùåñòâåííî
ïîìåíÿëîñü
– íè ó êàêîé äåðæàâû íà ýòî íå õâàòèëî áû íè äåíåã,
íè ïèëîòîâ. À åñëè çàïóñêàòü âîçäóøíûé øàð ïîìåíüøå
è áåç ëþäåé Èçãîòîâèòü àâòîìàòè÷åñêè ðàáîòàþùèå
ìåòåîðîëîãè÷åñêèå ïðèáîðû â äåâÿòíàäöàòîì âåêå
áûëî áû ñëîæíî, íî âñå æå âîçìîæíî. À ñêîëüêî
âðåìåíè ïîíàäîáèòñÿ, ÷òîáû ýòîò ñàìûé çîíä ïîòîì
íàéòè! Èíôîðìàöèÿ (åñëè ìû õîòèì èñïîëüçîâàòü åå
äëÿ ïðîãíîçà, ñêàæåì, íà ñóòêè) óæå óñòàðååò. Ìîæíî
èñïîëüçîâàòü âîçäóøíûõ çìååâ – íî íóæåí áîëüøîé (à
çíà÷èò, ñëîæíûé è äîðîãîé) çìåé, ÷òîáû ìîã ïîäíÿòü
ïðèáîðû. Äà è íå ïðè âñÿêîì âåòðå îí ïîëåòèò. È íå
ñëèøêîì âûñîêî åãî ìîæíî çàïóñòèòü. 9
Ñèòóàöèÿ óëó÷øèëàñü ñ èçîáðåòåíèåì ðàäèî è ïðîãðåññîì
â ðàäèîòåõíèêå. Ïåðåäàò÷èê óìåíüøàëñÿ â
ðàçìåðàõ è âåñå – óìåíüøàëèñü è ñàìè ìåòåîïðèáîðû.
Ê òðèäöàòûì ãîäàì ïðîøëîãî âåêà òàêîé èçìåðèòåëüíîïåðåäàþùèé
êîìïëåêñ, äîñòàòî÷íî íàäåæíûé è íåäîðîãîé,
÷òîáû åãî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñðàâíèòåëüíî ìàññîâûõ
èçìåðåíèé, áûë èçãîòîâëåí â ðàçíûõ ñòðàíàõ. Çàòåì
ïîñëåäîâàëà âòîðàÿ ìèðîâàÿ âîéíà. Âîåííûå àñïåêòû
ìåòåîðîëîãèè âûøëè íà ïåðâûé ïëàí. Èíôîðìàöèÿ
ñòàëà ñåêðåòíîé, è îá åå ñâîáîäíîì îáìåíå ðå÷ü óæå íå
øëà. Ïðèëàãàëèñü îãðîìíûå óñèëèÿ, ÷òîáû çàñåêðåòèòü
ñâîþ ïîãîäó è óçíàòü ïîãîäó íà òåððèòîðèè ïðîòèâíèêà.
Ýïèçîäû ýòîé ñìåðòåëüíîé áîðüáû îïèñàíû â êíèãå
Ç.Ì.Êàíåâñêîãî «Öåíà ïðîãíîçà» (Ë.: Ãèäðîìåòåîèçäàò,
1976).  áîðüáå ó÷àñòâîâàëè ïîäâîäíûå ëîäêè è
áîëüøèå íàäâîäíûå êîðàáëè, ðàçâåäûâàòåëüíûå ãðóïïû
è ñàìîëåòû. Îäèí èç ðóêîâîäèòåëåé ðàçâåäêè
Òðåòüåãî ðåéõà Â.Øåëëåíáåðã â ñâîèõ ìåìóàðàõ ïèøåò,
9 Â Ðîññèè òàêèå çàïóñêè ðåãóëÿðíî ïðîâîäèëèñü ïîä Ìîñêâîé
â Êó÷èíî (ïîìåñòüå Ä.À.Ðÿáóøèíñêîãî), ãäå ïîä ðóêîâîäñòâîì
Í.Å.Æóêîâñêîãî áûë îðãàíèçîâàí àýðîäèíàìè÷åñêèé
èíñòèòóò, à ïðè íåì àýðîëîãè÷åñêàÿ îáñåðâàòîðèÿ. Âëàäåëåö
ïîìåñòüÿ â ðàáîòå ïðèíèìàë ó÷àñòèå, è íå òîëüêî ôèíàíñîâîå.
Ñîâðåìåííûé ðåêîðä ïîäúåìà çìåÿ ñîñòàâëÿåò 9740 ì.
÷òî â äíè, ïðåäøåñòâîâàâøèå íåìåöêîé îêêóïàöèè
Íîðâåãèè, îñíîâíàÿ ñåêðåòíàÿ èíôîðìàöèÿ íåìåöêèõ
àãåíòîâ áûëà ìåòåîðîëîãè÷åñêîé.
Ïîñëåäîâàâøàÿ «õîëîäíàÿ âîéíà» îáìåíó èíôîðìàöèåé
òàêæå íå ñïîñîáñòâîâàëà. Àðõèâû ñîõðàíèëè,
íàïðèìåð, äîêëàäíóþ çàïèñêó óïðàâëÿþùåãî äåëàìè
ÖÊ ÂÊÏ(á) Ä.Â.Êðóïèíà ñåêðåòàðþ ÖÊ ÂÊÏ(á)
Ì.À.Ñóñëîâó îò 7.4.1948 î ðàçãëàøåíèè âàæíûõ â
âîåííîì îòíîøåíèè ñâåäåíèé â êíèãå «Êëèìàòè÷åñêèå
îáëàñòè è ðàéîíû ÑÑÑл. 10 Ñïðàâêà çàìíà÷àëüíèêà
Ãåíøòàáà ïîäòâåðæäàëà: äà, äåéñòâèòåëüíî, èìåëî
ìåñòî ðàçãëàøåíèå ïîòåíöèàëüíîìó ïðîòèâíèêó âàæíûõ
ñâåäåíèé, îñîáåííî ïðî Ñîâåòñêóþ Àðêòèêó. Äåëî
òîãäà çàêîí÷èëîñü òèõî: àâòîðà – ïðîôåññîðà Á.Ï.Àëèñîâà
– äàæå íå ïîñàäèëè, êíèãó, ïðàâäà, ïóñòèëè ïîä
íîæ… À äàííûå î êëèìàòå íàøèõ ñåâåðíûõ ìîðåé è
ñåé÷àñ, ñïóñòÿ øåñòüäåñÿò ñ ëèøíèì ëåò, ñîäåðæàò
ëàêóíû. Îäíàêî â òå æå ãîäû ïîÿâèëàñü Âñåìèðíàÿ
ìåòåîðîëîãè÷åñêàÿ îðãàíèçàöèÿ – àãåíòñòâî ÎÎÍ ïî
ìåòåîðîëîãèè. È ðåçóëüòàòû åå ðàáîòû íå ñòûäíî
ïðåäúÿâèòü ÷åëîâå÷åñòâó.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ îñíîâíûì èñòî÷íèêîì èíôîðìàöèè
äëÿ Ãèäðîìåòöåíòðà Ðîññèè ÿâëÿþòñÿ ïîñòóïàþùèå
äâà ðàçà â ñóòêè (èëè ÷àùå) òåëåãðàììû, èõ ñåé÷àñ
îêîëî 6500 çà êàæäîå ïîñòóïëåíèå, õàðàêòåðèçóþùèå
ñîñòîÿíèå àòìîñôåðû ó çåìíîé ïîâåðõíîñòè. 11 Ýòî òàê
íàçûâàåìûå ñèíîïòè÷åñêèå 12 äàííûå, èç êîòîðûõ îêîëî
2000 ïðèõîäÿò ñ ìîðñêèõ áóåâ 13 è ñ ìîðñêèõ ñóäîâ. Ê
íèì äîáàâëÿþòñÿ ïðèìåðíî 650 àýðîëîãè÷åñêèõ òåëå-
10 Îðãàíèçàòîð è ïåðâûé ðóêîâîäèòåëü Åäèíîé ãèäðîìåòåîðîëîãè÷åñêîé
ñëóæáû ÑÑÑÐ À.Ô.Âàíãåíãåéì â 1934 ãîäó áûë
ñîñëàí â Ñîëîâêè, à â 1937 ãîäó ðàññòðåëÿí (ðåàáèëèòèðîâàí
â 1956 ã.). Âîîáùå, ïîâûøåííûé èíòåðåñ ðîññèéñêèõ ïðàâîîõðàíèòåëüíûõ
îðãàíîâ ê ìåòåîðîëîãèè èìååò äàâíþþ òðàäèöèþ.
Ïåðâûå ìåòåîíàáëþäåíèÿ ñòàëè çàïèñûâàòü ïî óêàçó
Àëåêñåÿ Ìèõàéëîâè÷à â 1650 ãîäó. Ïîðó÷åíî ýòî áûëî Ïðèêàçó
òàéíûõ äåë.
11 Àâòîìàòè÷åñêèå ìåòåîñòàíöèè èñïîëüçóþòñÿ â ìàëîíàñåëåííûõ
ðàéîíàõ, ãäå òðóäíî íàéòè íàáëþäàòåëåé. Èõ ïðèìåíåíèå
îãðàíè÷åíî äîñàäíîé ñêëîííîñòüþ íåêîòîðûõ ëþäåé
ëîìàòü íàéäåííóþ àïïàðàòóðó. Ïðè ïðîèçâîäñòâå òàêèõ
ñòàíöèé íóæíî îáåñïå÷èâàòü èõ ìàêñèìàëüíóþ ìàñêèðîâêó.
12  ïåðåâîäå ñ ãðå÷åñêîãî ΣYNOΠTIKO Σ îçíà÷àåò «ñïîñîáíûé
âèäåòü âñå», îäíàêî ðàäèîçîíäû, ðàäàðû è ñïóòíèêè ìíîãî
äîáàâëÿþò ê ýòîìó «âñå». Âðåìåíà ìåíÿþòñÿ, è òåõíîëîãèè
ìåíÿþòñÿ âìåñòå ñ íèìè.
13 Çäåñü ðå÷ü èäåò î áóÿõ, êîòîðûå ïëàâàþò íà ïîâåðõíîñòè
îêåàíà è ïåðåäàþò èíôîðìàöèþ ñ ãðàíèöû äâóõ ñðåä: âîçäóõà
è âîäû. Â ïîñëåäíèå íåñêîëüêî ëåò ïîÿâèëàñü ñåòü ãëóáîêîâîäíûõ
áóåâ (òàê íàçûâàåìàÿ ñèñòåìà ARGO) – íàñòîÿùåå ÷óäî
ñîâðåìåííîé òåõíèêè. Òàêîé áóé äðåéôóåò íà çàäàííîé åìó
ãëóáèíå ïîä âîäîé. Ðàç â 10 ñóòîê âêëþ÷àåòñÿ ïðîãðàììà,
ñîãëàñíî êîòîðîé îí ìåíÿåò ñâîþ îáùóþ ïëîòíîñòü è íà÷èíàåò
äâèãàòüñÿ ïî âåðòèêàëè, ïðîõîäÿ ãëóáèíû îò 2 êì äî
ïîâåðõíîñòè è èçìåðÿÿ òåìïåðàòóðó è ñîëåíîñòü âîäû ñ
÷àñòîòîé â íåñêîëüêî ìåòðîâ. Îêàçàâøèñü íà ïîâåðõíîñòè,
áóé ïåðåäàåò íàêîïëåííóþ èíôîðìàöèþ íà ñïóòíèê, ïðè÷åì
ïåðåäàåò íåñêîëüêî ðàç, ÷òîáû èçáåæàòü ñëó÷àéíîé ïîòåðè
èíôîðìàöèè. ×åðåç íåñêîëüêî ÷àñîâ îí ïîãðóæàåòñÿ íà ñâîþ
øòàòíóþ ãëóáèíó. Òàêèõ áóåâ ñåé÷àñ áîëåå 3 òûñÿ÷, è îíè
äîâîëüíî ðàâíîìåðíî ïîêðûâàþò Ìèðîâîé îêåàí çà èñêëþ÷åíèåì
ïîëÿðíûõ ìîðåé. Îáû÷íî íà òåìïåðàòóðó âîçäóõà íåïîñðåäñòâåííî
âëèÿåò òîëüêî òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòè âîäû, íî â
ñèëüíûé øòîðì ïðîèñõîäèò ïåðåìåøèâàíèå ïðèïîâåðõíîñòíûõ
ñëîåâ âîäû, êîòîðûå âêëþ÷àþòñÿ â òåïëîîáìåí.
01-25.p65 5
09.06.10, 12:40

6
ãðàìì, ïðèõîäÿùèõ ñ òåõ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ñòàíöèé,
íà êîòîðûõ îñóùåñòâëÿþòñÿ çàïóñêè ðàäèîçîíäîâ. Àýðîëîãè÷åñêàÿ
èíôîðìàöèÿ, åñëè ïîëüçîâàòüñÿ ìåòåîðîëîãè÷åñêèì
æàðãîíîì, «îñâåùàåò» àòìîñôåðó íàä ïëàíåòîé
– ðàäèîçîíä äîëåòàåò è ñîîáùàåò ñâåäåíèÿ î
ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ïîëÿõ äî âûñîòû 30 êì è áîëåå.
Èçìåðåíèÿ, êîòîðûå ïðîèçâîäèò ðàäèîçîíä â ïîëåòå,
÷àñòî ïðèïèñûâàþò îäíîìó ìîìåíòó âðåìåíè – åãî
íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì ñðîêîì íàáëþäåíèÿ. Èìååòñÿ
ìåæäóíàðîäíàÿ äîãîâîðåííîñòü, êàêèå ñðîêè ñ÷èòàòü
ñòàíäàðòíûìè, ÷òîáû ýòè èçìåðåíèÿ âî âñåõ ñòðàíàõ
ïðîèçâîäèòü îäíîâðåìåííî (ìû îáñóäèì íèæå, ïî÷åìó
òàêàÿ îäíîâðåìåííîñòü óäîáíà äëÿ ðàñ÷åòîâ). Îäíàêî
çîíä ïîäíèìàåòñÿ íà ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó îòíþäü íå
ìãíîâåííî – îáû÷íî ýòî çàíèìàåò îêîëî ïîëóòîðà
÷àñîâ. 14 Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåíåáðåæåíèå ýòèì âðåìåíåì
ïðèâîäèò ê îøèáêå â èíòåðïðåòàöèè èçìåðåíèé.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü ýòó ïîãðåøíîñòü, íóæíî óìíîæèòü
õàðàêòåðíóþ ïðîèçâîäíóþ ∂ t f èçìåðÿåìîé âåëè-
÷èíû f (òåìïåðàòóðû, äàâëåíèÿ, âëàæíîñòè, âåòðà) ïî
âðåìåíè t íà ∆t
≈1, 5 ÷àñà.  ãðóáîé ìîäåëè òàêîé
îøèáêîé δ f = ∆t⋅∂tf ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, à â õîðîøåé
ñîâðåìåííîé ìîäåëè ëó÷øå ïðîèçâåñòè íàäëåæàùèå
ïîïðàâêè. Ñòîèò ó÷åñòü è íàðàñòàþùåå ñî âðåìåíåì
ïîäúåìà ñìåùåíèå çîíäà ïî ãîðèçîíòàëè.
Þæíîå ïîëóøàðèå Çåìëè «îñâåùåíî» äàííûìè çíà-
÷èòåëüíî õóæå, ÷åì ñåâåðíîå. Ìíîãèå ìåòåîðîëîãè÷åñêèå
öåíòðû, ðàñïîëîæåííûå äàëåêî ê ñåâåðó îò ýêâàòîðà,
êîãäà-òî íå ïðèíèìàëè âî âíèìàíèå ýòîò ïëîõî
«îñâåùåííûé» ðàéîí è îãðàíè÷èâàëè îáëàñòü ñâîåãî
ïðîãíîçà ñåâåðíûì ïîëóøàðèåì, à èíîãäà è åãî ÷àñòüþ.
Äðóãîé ïðè÷èíîé òàêîãî îãðàíè÷åíèÿ áûëà íåäîñòàòî÷íàÿ
ïðîèçâîäèòåëüíîñòü êîìïüþòåðà. Êîíå÷íî, àòìîñôåðíûå
ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â þæíîì ïîëóøàðèè,
âëèÿþò íà ñîñòîÿíèå àòìîñôåðû â ñåâåðíîì, è
òàêîå âûíóæäåííîå îãðàíè÷åíèå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ
îøèáêè, âîçðàñòàþùåé ñî âðåìåíåì è ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ
îò ýêâàòîðà ê ñåâåðó. «Ñìÿã÷àþùèì âèíó
îáñòîÿòåëüñòâîì» ñëóæèëè ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèå
çíà÷åíèÿ ìåðèäèîíàëüíîé 15 ñîñòàâëÿþùåé âåòðà.
Ñèíîïòè÷åñêèå è îñîáåííî àýðîëîãè÷åñêèå äàííûå
«îñâåùàþò» ñåâåðíîå (è òåì áîëåå þæíîå) ïîëóøàðèå
íåðàâíîìåðíî. Áîëåå ïîëîâèíû åãî ïëîùàäè çàíèìàåò
îêåàí, à ðàäèîçîíäû òàì çàïóñêàþò ëèøü íåñêîëüêî
îñòðîâíûõ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ñòàíöèé è íåñêîëüêî
ñóäîâ ïîãîäû, ñòîÿùèõ íà ÿêîðÿõ. Íàèáîëåå ãóñòàÿ
ñåòü ñòàíöèé – â Åâðîïå, Âîñòî÷íîé Àçèè è Ñåâåðíîé
Àìåðèêå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå 650 àýðîëîãè÷åñêèõ
ñòàíöèé íàõîäÿòñÿ â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè è ðàñïðåäåëåíû
ðàâíîìåðíî, è îöåíèì ãóñòîòó òàêîé ñåòè. Ðàäèóñ
Çåìëè R Ç ≈ 6400 êì, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñåâåðíîãî
14 Âîò ïî÷åìó âî ìíîãèõ ñòðàíàõ çàïóñê íà÷èíàþò çà 30
ìèíóò äî ñèíîïòè÷åñêîãî ñðîêà – ÷òîáû â ñîîòâåòñòâóþùèé
ñòàíäàðòíûé ìîìåíò âðåìåíè çîíä áûë ïîáëèæå ê ñåðåäèíå
òðàåêòîðèè.
15 Èíûìè ñëîâàìè, ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè âåòðà â
äàííîé òî÷êå íà ìåðèäèàí, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ýòó òî÷êó â
ýêâàòîðèàëüíîé çîíå: ïîëóøàðèÿ êàê áû ðàçäåëåíû ìàðëåâîé
çàíàâåñêîé, êîòîðóþ èç-çà íåäîñòàòî÷íîé ìîùíîñòè êîìïüþòåðà
è îãðàíè÷åííîñòè èñõîäíîé èíôîðìàöèè âûíóæäåííî
ïðåäñòàâëÿëè êàìåííîé ñòåíîé.
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Ðèñ.4. Ëåâàÿ ãðàíèöà äîæäÿ î÷åð÷åíà ÷åòêî. Äëÿ îöåíêè
ìàñøòàáà ìîæíî èñïîëüçîâàòü øîññå. Ãðàíèöà äîæäÿ èçîãíóòà
– ýòî ñëåäñòâèå ãåîìåòðèè âîçäóøíûõ ïîòîêîâ â çîíå.
Êðîìå òîãî, îíè è ïî ãîðèçîíòàëè çàêðó÷åíû. Îïèñàòü
ÿâëåíèÿ âîêðóã îäíîãî îáëàêà (ñ ãîðèçîíòàëüíûì ðàçìåðîì
â íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ) â ãëîáàëüíîé ìîäåëè àòìîñôåðû
Çåìëè çàòðóäíèòåëüíî
2 8 2
ïîëóøàðèÿ SN
= 2πR Ç ≈ 2,6⋅10 êì . Òàêèì îáðàçîì,
îäíà àýðîëîãè÷åñêàÿ ñòàíöèÿ ïðèõîäèòñÿ â ñðåäíåì íà
5 2
ïëîùàäü S1 ≈ S N 650 ≈ 4 ⋅10 êì . Òàêóþ ïëîùàäü
èìååò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé ðàññòîÿíèþ îò
Ìîñêâû äî Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà (~ 600 êì). Åñëè âìåñòî
àýðîëîãè÷åñêîé ñåòè ðàññìîòðåòü ñèíîïòè÷åñêóþ, òî
ñòîðîíà êâàäðàòà óìåíüøèòñÿ ïðèìåðíî äî 300 êì.
Ýòà îöåíêà äàåò ïðèìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå î ìèíèìàëüíîì
ãîðèçîíòàëüíîì ìàñøòàáå òåõ ÿâëåíèé, êîòîðûå
ìû èìååì øàíñû ïðåäñêàçàòü. Äåéñòâèòåëüíî,
ïðåæäå ÷åì âû÷èñëÿòü ýâîëþöèþ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ
ïîëåé, ìû óæå äîëæíû ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè çíà÷åíèÿ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ
â Áîëîãîì ñóòü ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ
ýòèõ æå ýëåìåíòîâ â Ìîñêâå è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå.
Ïðåäïîëîæåíèå ãðóáîâàòîå, îñîáåííî åñëè ó÷åñòü, ÷òî
âûïàäåíèå äîæäÿ â îäíîì ðàéîíå Ìîñêâû ìîæåò
íàáëþäàòüñÿ ïðè ÿñíîé ïîãîäå â äðóãîì, òàê ÷òî ðåçêóþ
ãðàíèöó âûïàäåíèÿ äîæäÿ èíîãäà ìîæíî óâèäåòü äàæå
íà àñôàëüòå (ðèñ.4).
Èç íàøåé îöåíêè òàêæå ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîãíîçà ñ
ìåëêèì øàãîì ïîðÿäêà 10 êì íåîáõîäèìî êîëè÷åñòâî
ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ñòàíöèé óâåëè÷èòü ïðèìåðíî â òûñÿ÷ó
ðàç, ÷òî íåðåàëüíî ñ ýêîíîìè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.
Ïðîãðåññ âîçìîæåí ëèøü ïðè ïåðåõîäå ê êà÷åñòâåííî
èíûì ìåòîäàì èçìåðåíèé: íàïðèìåð, åñëè áóäåò íàéäåí
ìåòîä ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè è ðàñøèðåíèÿ îáëàñòè
çîíäèðîâàíèÿ ðàäàðîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ â íàñòîÿùåå
âðåìÿ ïðîèçâîäÿò èçìåðåíèÿ â ðàéîíå àýðîïîðòîâ,
èëè ìåòîä ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè è ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè
ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ñïóòíèêîâ (ðèñ. 5, 6).
 áëèæàéøåå âðåìÿ ðàñòóùàÿ òî÷íîñòü 16 ñïóòíèêîâ,
âèäèìî, ñðàâíÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ ìåòåîçîíäîâ, è ýòî
16 Óâåëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî ÷àñòîò, íà êîòîðûõ ñïóòíèê
èçìåðÿåò óõîäÿùåå â êîñìîñ èçëó÷åíèå àòìîñôåðû, óëó÷øàþòñÿ
âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ òàê íàçûâàåìîé
îáðàòíîé çàäà÷è: îïðåäåëåíèÿ ïðîôèëÿ òåìïåðàòóðû T(z) ïî
èçìåðåííîìó ðàñïðåäåëåíèþ èçëó÷àåìîé ýíåðãèè ïî ÷àñòîòàì.
01-25.p65 6
09.06.10, 12:41

ÌÅÒÅÎÐÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß
7
Ðèñ.5. Ïðîôàéëåðû, èçìåðÿþùèå âåòåð îäíîâðåìåííî íà
âñåõ (äî âûñîòû â íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ) âûñîòàõ, ýêñïëóàòèðóþòñÿ
ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî. Ýòî îáîðóäîâàíèå äîðîãîå,
íî çàòî êàæäîå îòäåëüíîå èçìåðåíèå ñòîèò íàìíîãî
äåøåâëå, ÷åì çàïóñê ðàäèîçîíäà. Íà ðèñóíêå âèäíî, êàê
ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ âåòðà ñî âðåìåíåì – íà
ðàçíûõ âûñîòàõ îòíþäü íå îäíîâðåìåííî. Òèïè÷íûé óãîë
íàêëîíà ôðîíòà ïîðÿäêà 1 ° . Íàïðàâëåíèå ñòðåëêè óêàçûâàåò
íàïðàâëåíèå âåòðà. Åñëè îíà ñìîòðèò ââåðõ, òî âåòåð
þæíûé, à åñëè íàïðàâî – çàïàäíûé. Îïåðåíèå îïèñûâàåò
ñèëó âåòðà. Äëèííîå ïåðî îòâå÷àåò ñêîðîñòè 5 ì/c, à êîðîòêîå
– âäâîå ìåíüøåé
èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè, â ñâîþ î÷åðåäü,
ñóùåñòâåííî ïîâëèÿåò è óæå âëèÿåò ñåé÷àñ íà ìåòîäû
óñâîåíèÿ îïåðàòèâíîé ìåòåîðîëîãè÷åñêîé èíôîðìàöèè
(ò.å. ðåãóëÿðíî ïîñòóïàþùåé â óñòàíîâëåííîå
âðåìÿ ñóòîê è â óñòàíîâëåííîé ôîðìå).
À åñëè îòêàçàòüñÿ îò ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ñòàíöèé Ðàñïîëîæèì äåñÿòîê èõ â
ðàéîíå Ìîñêâû, è óæ òîãäà äëÿ Ìîñêâû äàäèì òî÷íûé
ïðîãíîç. Íå ïîëó÷èòñÿ. Ñàìè óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå
äèíàìèêó àòìîñôåðû, ïîçâîëÿþò îöåíèòü ñêîðîñòü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ âëèÿíèÿ èç îäíîé òî÷êè
â äðóãóþ – îêîëî 300 ì/ñ. Äà è ñêîðîñòü âåòðà â
50 ì/ñ íà âûñîòå íåñêîëüêèõ êèëîìåòðîâ âïîëíå
îáûêíîâåííà. Äàæå åñëè îðèåíòèðîâàòüñÿ íà ýòó ìåíüøóþ
ñêîðîñòü, íóæíî ïðèçíàòü, ÷òî çà ÷àñ ÷àñòèöû
âîçäóõà ìîãóò ïðåîäîëåòü 180 êì. Ñëåäîâàòåëüíî,
äàæå ïðè ïðîãíîçå íà îäíè ñóòêè àðåàë âëèÿíèÿ íà
ïîãîäó â Ìîñêâå çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò Ìîñêîâñêóþ
îáëàñòü, è ïîýòîìó íåîáõîäèìî èìåòü èíôîðìàöèþ
èçâíå îáëàñòè. Òàê ÷òî ïðè ïðîãíîçå ïîãîäû áîëåå
÷åì íà ñóòêè äàæå â òàêîé áîëüøîé ñòðàíå, êàê Ðîññèÿ,
íåîáõîäèìû äàííûå èç-çà ãðàíèöû.
Óæå óïîìèíàëîñü, ÷òî ïðîãíîç â Ãèäðîìåòöåíòðå
Ðîññèè ñ÷èòàþò îäèí-äâà ðàçà â ñóòêè (äëÿ óñâîåíèÿ
äàííûõ ñ÷èòàþò íà íåáîëüøîé ñðîê, íî çàòî ÷àùå:
÷åòûðå ðàçà â ñóòêè). Ïðè ýòîì íóæíî ëèáî âîâñå
îòêàçûâàòüñÿ îò ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé, ïðîèçâîäèìûõ
íå â òî âðåìÿ (íå â îñíîâíûå ñðîêè èçìåðåíèé),
ëèáî ñëàáî ó÷èòûâàòü ýòè äàííûå, ïðè÷åì òåì ñëàáåå,
÷åì áîëüøå ðàçëè÷àþòñÿ ñðîê èçìåðåíèÿ t èçì è îñíîâíîé
ñðîê íàáëþäåíèÿ t 0 , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî ìû
Ðèñ.6. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ðàçäåëèòü ñðåäíèé âåòåð è âåòåð
ëîêàëüíûé. Íà âåðõíåì êâàäðàòå 25 ×25 êì ñ ðàçðåøåíèåì
0,5 êì ïðèâåäåíî ïîëå îòêëîíåíèÿ âåòðà îò ñðåäíåãî ïî
ýòîìó æå êâàäðàòó íà âûñîòå 1 êì (ãäå óæå íà âåòåð ñëàáî
âëèÿþò îñîáåííîñòè çåìíîé îðîãðàôèè, äîìà è ò.ï.). Èçìåðåíèÿ
ïðîâîäèëèñü ñîâìåñòíî äâóìÿ ðàäàðàìè â Îêëàõîìå
â 14 ÷ 38 ìèí ïî Ãðèíâè÷ó 27 èþëÿ 1977 ãîäà. Âåêòîð ñðåäíåãî
ïîòîêà (òî÷íåå, 1/2 v ñð ) ïðèâåäåí â âåðõíåì ïðàâîì óãëó è
ñîñòàâëÿåò 14,8 ì/ñ. Âèäíî, ÷òî îòêëîíåíèÿ ìåíüøå ñðåäíåãî
ïîòîêà íà ïîðÿäîê (íî íå áîëåå!). È ó íèõ åñòü ñâîÿ
ïîâòîðÿþùàÿñÿ ñòðóêòóðà – âèõðè ñ õàðàêòåðíûì ðàçìåðîì
4 êì. Íà íèæíåì ðèñóíêå ïðèâåäåíû èçìåðåíèÿ âåòðà,
ïðîâåäåííûå ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, ÷òî è íà âåðõíåì, íî
ñïóñòÿ ïðèìåðíî 3,5 ìèí. Ñðåäíèé âåòåð ïðàêòè÷åñêè íå
èçìåíèëñÿ, à ìåëêîìàñøòàáíàÿ ñòðóêòóðà îòêëîíåíèé îò
íåãî èçìåíèëàñü. Îñíîâíîå èçìåíåíèå (õîòÿ íå âñå ñâîäèòñÿ
ê íåìó) – ïåðåíîñ âäîëü îñíîâíîãî ïîòîêà â âîñòî÷íîì
íàïðàâëåíèè. Ìîæíî îöåíèòü, ÷òî âñÿ íà÷àëüíàÿ êàðòèíêà
«óéäåò» èç ðàññìàòðèâàåìîãî êâàäðàòà ïðèìåðíî çà 28 ìèí
– äëÿ ïîñàäêè èëè âçëåòà ñàìîëåòà âïîëíå äîñòàòî÷íî
ñ÷èòàåì ïðîãíîç. 17 Ïðè òàêîé îðãàíèçàöèè îòêàçûâàòüñÿ
ïðèõîäèòñÿ îò áîëüøîãî îáúåìà èíôîðìàöèè
17 Ôàêòè÷åñêè ïðîãíîç íà÷èíàåòñÿ ÷åðåç íåñêîëüêî ÷àñîâ
ïîñëå t 0 : äàííûå èçìåðåíèé â çàêîäèðîâàííîì (äëÿ ïðîõîæäåíèÿ
ïî êàíàëàì) âèäå ïîñòóïàþò â êîìïüþòåð, ãäå ðàñêîäèðóþòñÿ
ïî ñïåöèàëüíîé ïðîãðàììå. Òàê ÷òî ñíà÷àëà ïðîãíîç,
âû÷èñëåííûé êîìïüþòåðîì, äîãîíÿåò ðåàëüíîå âðåìÿ, à ïîòîì
îáãîíÿåò.
01-25.p65 7
09.06.10, 12:41

8
(íàïîìíèì, ÷òî íåêîòîðûå ìåòåîðîëîãè÷åñêèå ñòàíöèè
çàïóñêàþò çîíäû ÷åòûðå ðàçà â ñóòêè, à ñïóòíèêè
ïðîèçâîäÿò èçìåðåíèÿ ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâíî).
Äëÿ òîãî ÷òîáû èñïîëüçîâàòü ýòó àñèíõðîííóþ èíôîðìàöèþ,
ìîæíî ïðèìåíÿòü ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó.
Ñòàðòóÿ ñ ìîìåíòà ( t 0 , äàòü ïðîãíîç íà íåáîëüøîé ñðîê
δt , çàòåì, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â êà÷åñòâå
ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, «ïîäêà÷àòü» äàííûå, îòíîñÿùèåñÿ
ê èíòåðâàëó âðåìåíè ( t0,
t0
+δt ), ïîòîì óòî÷íåííûé
ïðîãíîç íà ìîìåíò t0
+δt èñïîëüçîâàòü êàê íà-
÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ ïðîãíîçà íà ïåðèîä ( t0 +δ t, t0
+ 2δt)
è ò.ä. Ïîñêîëüêó äëÿ ïðàêòèêè íóæåí ïðîãíîç ïîãîäû
ñ çàáëàãîâðåìåííîñòüþ T ≫ δt, òî âðåìÿ îò âðåìåíè
íóæíî ñ÷èòàòü è ïðîãíîç íà ñðîê T, íî ïðè ýòîì â
íà÷àëüíûå äàííûå äëÿ òàêîãî ïðîãíîçà âõîäÿò è áîëåå
ðàííèå äàííûå èç èíòåðâàëà ( t0 −kδt,
t 0)
, ãäå k – ÷èñëî
«ïîäêà÷åê» èíôîðìàöèè. Ìû êàê áû äåëàåì ïðûæîê ñ
íåïðåðûâíî äâèæóùåéñÿ ëåíòû ýñêàëàòîðà, à íå ñ
íåïîäâèæíîé Çåìëè. Ïîñëå òîãî êàê ïîñ÷èòàí íîâûé
ïðîãíîç, ìîæíî óæå åãî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ïåðâîãî
ïðèáëèæåíèÿ è ââîäèòü ïîïðàâêè, ÷òîáû ñëåäóþùèé
ïðîãíîç áûë åùå áëèæå ê íàáëþäåíèÿì. Ðàçóìååòñÿ,
äëÿ ðåàëèçàöèè òàêîé âåñüìà íåïðîñòîé ïðîöåäóðû
«íåïðåðûâíîãî», åãî åùå íàçûâàþò ÷åòûðåõìåðíûì,
óñâîåíèÿ äàííûõ íóæíî ïðîèçâîäèòü áîëüøåå
êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé, ÷åì äëÿ ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé
çàäà÷è ñ ôèêñèðîâàííûì íà÷àëüíûì ïîëåì, à
ñëåäîâàòåëüíî, èìåòü áîëåå ìîùíûé êîìïüþòåð.
Äðóãîé âàðèàíò óñâîåíèÿ íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì.
Âñåâîçìîæíûå ïîëÿ òåìïåðàòóðû, äàâëåíèÿ, âëàæíîñòè
è âåòðà â àòìîñôåðå, ò.å. íåñêîëüêî ôóíêöèé òðåõìåðíîãî
àðãóìåíòà, îáðàçóþò áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðî-
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
ñòðàíñòâî. Äèíàìèêà ïîãîäû – òðàåêòîðèÿ â ýòîì
ïðîñòðàíñòâå. È åå îöåíêà ñîñòàâëÿåò çàäà÷ó ïðîãíîçà
ïîãîäû. Ðåàëüíûé êîìïüþòåð èìååò îãðàíè÷åííûå ïàìÿòü
è áûñòðîäåéñòâèå è íå ìîæåò ðàññ÷èòûâàòü äèíàìèêó
ñèñòåìû ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Ñîâðåìåííûå äèñêðåòíûå ìîäåëè ïðîãíîçà ïîãîäû
èìåþò ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû â äèàïàçîíå N =
7 8
= 10 − 10 . Âìåñòî ðàñ÷åòà «èñòèííîé òðàåêòîðèè»
ñòðîÿò ëîìàíóþ ñ øàãîì â íåñêîëüêî ìèíóò. Äëÿ
ìîäåëè íóæíà ñòàðòîâàÿ òî÷êà â ýòîì N-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
Èçìåðåíèå íåñåò èíôîðìàöèþ îá îäíîé èç
êîîðäèíàò òðàåêòîðèè â N-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå â
ìîìåíò èçìåðåíèÿ. Åñëè âñåãî çà ïåðèîä óñâîåíèÿ
åäèíèö èíôîðìàöèè áîëüøå N (à íà ïðàêòèêå òàê è
ïðîèñõîäèò), òî òðàåêòîðèè, â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé
âñåì èçìåðåíèÿì, íå ñóùåñòâóåò. Ñàìà ìîäåëü
ïðèáëèæåííàÿ, äà è èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ ñ êàêèìèòî
ïîãðåøíîñòÿìè.
Ïåðåôîðìóëèðóåì ïîñòàíîâêó çàäà÷è: íàéäåì òàêóþ
òðàåêòîðèþ, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé òðàåêòîðèè
îò èçìåðåííûõ çíà÷åíèé áóäåò ìèíèìàëüíà. Ñàìûé
ïðîñòîé àíàëîã òàêîé çàäà÷è (ðåøàåìûé ìåòîäîì
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ) – êîãäà íà ïëîñêîñòè èìååòñÿ
m òî÷åê è òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû ñóììà
êâàäðàòîâ m îòêëîíåíèé òî÷åê îò ïðÿìîé áûëà ìèíèìàëüíîé.
Íàøà çàäà÷à èìååò òðè îòëè÷èÿ: âñå ïðîèñõîäèò
íå íà äâóìåðíîé ïëîñêîñòè, à â N-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå;
òðàåêòîðèè íå ïðÿìûå, à âåñüìà ñëîæíûå
êðèâûå; ìû çíàåì íå ïîëíîñòüþ òî÷êè, à ëèøü íåêîòîðûå
èõ êîîðäèíàòû.
(Ïðîäîëæåíèå ñëåäóåò)
×òî òàêîå ïåíà
(Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè)
Ïî÷åìó æèäêàÿ ïåíà áåëàÿ Õàîòè÷íî îðèåíòèðîâàííûå
ïóçûðüêè îòðàæàþò ïàäàþùèé ñâåò â ðàçíûå ñòîðîíû, ò.å.
ðàññåèâàþò åãî. À òîíêàÿ ïëåíêà ëþáîé æèäêîñòè (øàìïóíè,
ãàçèðîâàííûå íàïèòêè è ò.ï.), îêðóæàþùàÿ ãàçîâûå ïóçûðüêè,
ïðàêòè÷åñêè áåñöâåòíà íà ïðîñâåò è ïî÷òè íå âëèÿåò íà
öâåò ïåíû. Ïîýòîìó öâåò ó ïåíû ñàìûõ ðàçëè÷íûõ æèäêîñòåé
îäèí è òîò æå – öâåò ïàäàþùåãî íà íåå ñâåòà. ×òîáû
óâèäåòü ïåíó, íàïðèìåð, êðàñíîãî öâåòà, äîñòàòî÷íî ïîäíåñòè
íî÷üþ ñòàêàí ñ ïåíîé ê êðàñíîìó ôîíàðþ ñòîï-ñèãíàëà
àâòîìîáèëÿ. À ÷òîáû óâèäåòü ÷åðíóþ ïåíó, ìîæíî ïîìåñòèòü
åå íà ÷åðíóþ áóìàãó è îñâåòèòü ïó÷êîì ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé
ñâåòà, íàïðèìåð ïðîøåäøåãî ÷åðåç óçêóþ ùåëü. Åñëè ïîñìîòðåòü
íà îñâåùåííóþ ïåíó ÷åðåç óâåëè÷èòåëüíîå ñòåêëî,
òî îíà áóäåò êàçàòüñÿ ÷åðíîé çà èñêëþ÷åíèåì íåñêîëüêèõ
ÿ÷ååê, äàþùèõ áëèêè â ñòîðîíó íàáëþäàòåëÿ.
Ïåíà íà çåìëå è â êîñìîñå. Ïðèðîäíûå ìàòåðèàëû ÷àñòî
èìåþò ñòðóêòóðó ïåíû. Ýòî äåðåâî, ïðîáêà, ãóáêà èëè
êîðàëëû. Ìíîãèå èñêóññòâåííûå ìàòåðèàëû òîæå ïîõîæè íà
ïåíó – íàïðèìåð, âçáèòûå ñëèâêè, õëåá, ïåíîïëàñò, ìîíòàæíàÿ
ïåíà. Ïåíó ìîæíî èçãîòîâèòü è èç ðàñïëàâëåííîãî
ìåòàëëà, ïðîïóñêàÿ ÷åðåç íåãî ïóçûðüêè ãàçà. Îõëàæäàÿñü,
ìåòàëëè÷åñêàÿ ïåíà ïðåâðàùàåòñÿ â òâåðäîå ïîðèñòîå òåëî,
ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ
ñâîéñòâà êîòîðîãî çàâèñÿò îò ïðîöåíòíîãî ñîäåðæàíèÿ ãàçà
â ïåíå. Íàïðèìåð, ïëîòíîñòü àëþìèíèåâîé ïåíû, ñîäåðæàùåé
94% âîçäóõà (ïî îáúåìó), â 6 ðàç ìåíüøå ïëîòíîñòè
âîäû, à òåïëîïðîâîäíîñòü â 100 ðàç ìåíüøå, ÷åì ó îáû÷íîãî
àëþìèíèÿ. Èçìåíÿÿ ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå âîçäóõà, ìîæíî
ïîëó÷àòü ïåíó ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè.
Èçãîòîâëåíèå ìàòåðèàëîâ ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè îòêðûâàåò
øèðîêèå âîçìîæíîñòè â áèîìåäèöèíå. Òàê, ïðè ëå÷åíèè
ïåðåëîìîâ ÷àñòî èñïîëüçóþò èìïëàíòàíòû – èñêóññòâåííûå
ýëåìåíòû, çàìåíÿþùèå óòåðÿííûå ÷àñòè êîñòè. Îäíàêî åñëè
ìîäóëè Þíãà êîñòè è èìïëàíòàíòà ðàçëè÷àþòñÿ, òî ïîñëåäíèé
â êîíöå êîíöîâ ïðîñòî îòòîðãàåòñÿ. À âîò òâåðäàÿ ïåíà
èç òèòàíà ñ ìîäóëåì óïðóãîñòè, ðàâíûì ìîäóëþ óïðóãîñòè
êîñòíîé òêàíè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èäåàëüíûé ìàòåðèàë äëÿ
èìïëàíòàíòà â äàííîì ñëó÷àå.
Ïîëó÷èòü ñòàáèëüíóþ æèäêóþ ïåíó ñ îäèíàêîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè
ïî âñåìó îáúåìó îáðàçöà ìåøàåò ãðàâèòàöèÿ.
Ñî âðåìåíåì ìåëêèå ãàçîâûå ïóçûðüêè ñëèâàþòñÿ â êðóïíûå,
à æèäêîñòü ñêàïëèâàåòñÿ âíèçó ñîñóäà. Ýòîò ïðîöåññ
íàçûâàþò ñòàðåíèåì ïåíû. Åñëè ñòàðåíèå ïåíû ïðîèñõîäèò
áûñòðî, òî èçó÷àòü åå î÷åíü ñëîæíî. Ïîýòîìó ëó÷øå âñåãî
èññëåäîâàòü ïåíîîáðàçîâàíèå â íåâåñîìîñòè. Ýòà òåìà äåéñòâèòåëüíî
âêëþ÷åíà â íàó÷íóþ ïðîãðàììó ìåæïëàíåòíûõ
êîñìè÷åñêèõ ñòàíöèé.
Ê.Áîãäàíîâ
01-25.p65 8
09.06.10, 12:41

Î ñóììå òåëåñíûõ óãëîâ
ìíîãîãðàííèêà
È. ÁÎÃÄÀÍÎÂ
ÈÇ ÊÓÐÑÀ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ ÈÇÂÅÑÒÍÎ, ×ÒÎ ÑÓÌÌÀ
óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà π . Áîëåå òîãî,
ýòîò ðåçóëüòàò ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà âûïóêëûå
1 ìíîãîóãîëüíèêè: ñóììà óãëîâ ëþáîãî âûïóêëîãî
n − π.
Òî÷íûì ïðîñòðàíñòâåííûì àíàëîãîì óãëà ìíîãîóãîëüíèêà
ÿâëÿåòñÿ òåëåñíûé óãîë ìíîãîãðàííèêà.
Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ – à ÷òî ìîæíî ñêàçàòü
ïðî ñóììó âñåõ òåëåñíûõ óãëîâ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà
Îòâåòó (â íåêîòîðîì ñìûñëå) íà ýòîò âîïðîñ è
ïîñâÿùåíà äàííàÿ çàìåòêà.  ÷àñòíîñòè, ìû äàäèì
ðåøåíèå çàäà÷è Ì2153 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». Åå ôîðìóëèðîâêà
òàêîâà.
Ì2153. Ñóììà òåëåñíûõ óãëîâ ïðè âåðøèíàõ âûïóêëîãî
ìíîãîãðàííèêà ðàâíà π . Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò
çàìêíóòûé ìàðøðóò ïî åãî ðåáðàì, ïðîõîäÿùèé
÷åðåç êàæäóþ
åãî âåðøèíó ðîâíî
îäèí ðàç.
Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå
òåëåñíîãî óãëà.
Îïðåäåëåíèå 1.
Ðàññìîòðèì âûïóêëûé
ìíîãîãðàííûé
óãîë P ñ âåðøèíîé O
â ïðîñòðàíñòâå;
ïðîâåäåì ñôåðó åäèíè÷íîãî
ðàäèóñà c
n-óãîëüíèêà ðàâíà ( 2)
Ðèñ. 1
öåíòðîì O. Ïëîùàäü
÷àñòè ñôåðû,
ïîïàâøåé âíóòðü P,
íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé òåëåñíîãî óãëà (èëè ïðîñòî
òåëåñíûì óãëîì) äàííîãî óãëà P (ðèñ.1).
ßñíî, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì àíàëîãîì
âåëè÷èíû îáû÷íîãî óãëà íà ïëîñêîñòè (ðèñ.2). Ñóììó
âñåõ òåëåñíûõ óãëîâ âûïóêëîãî
ìíîãîãðàííèêà K
ìû áóäåì â äàëüíåéøåì
Ðèñ. 2
îáîçíà÷àòü ÷åðåç ( K)
Σ .
Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ
òåì, ÷òî ïëîùàäü åäèíè÷íîé
ñôåðû ðàâíà 4π .
Ïðåæäå ÷åì îöåíèâàòü
ñóììó òåëåñíûõ óãëîâ
ìíîãîãðàííèêà, ïîëåçíî
1 È äàæå íà íåâûïóêëûå, íî óæå ÷óòü ïîñëîæíåå; ñì. ïî
ýòîìó ïîâîäó [1, çàäà÷à 8].
äëÿ íà÷àëà ðàçîáðàòüñÿ, à êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò âîîáùå
ïðèíèìàòü òåëåñíûé óãîë. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò
ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Òåëåñíûé óãîë âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî
óãëà P ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà
( ; )
02π , è òîëüêî èõ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû äîêàæåì, ÷òî äëÿ âûïóêëîãî
ìíîãîãðàííîãî óãëà P ñóùåñòâóåò ïëîñêîñòü γ , ïåðåñåêàþùàÿ
åãî òîëüêî ïî âåðøèíå. Ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî
P ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ýòîé ïëîñêîñòè. Òîãäà ÷àñòü
ñôåðû, ïîïàâøåé âíóòðü P, áóäåò íàõîäèòüñÿ â îäíîé
ïîëóñôåðå, îãðàíè÷åííîé ïëîñêîñòüþ γ ; çíà÷èò, åå
ïëîùàäü áóäåò ìåíüøå ïëîùàäè ýòîé ïîëóñôåðû, ò.å.
2π (ñì. ðèñ.1).
Ïåðåñå÷åì íàø ìíîãîãðàííûé óãîë ïðîèçâîëüíîé
ïëîñêîñòüþ α ; â ñå÷åíèè ïîëó÷èòñÿ âûïóêëûé (ïëîñêèé)
óãîë. Çíà÷èò, â ïëîñêîñòè α íàéäåòñÿ ïðÿìàÿ k,
ïåðåñåêàþùàÿ P òîëüêî ïî âåðøèíå (ðèñ.3).
Ðèñ. 3
Ñïðîåêòèðóåì íàø ìíîãîãðàííûé óãîë íà ïëîñêîñòü
β , ïåðïåíäèêóëÿðíóþ k. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî â
ïðîåêöèè ïîëó÷èòñÿ òàêæå âûïóêëûé óãîë (èíà÷å áû k
ïåðåñåêàëà P ïî ëó÷ó). Çíà-
÷èò, â ïëîñêîñòè β ìîæíî
íàéòè ïðÿìóþ m, ïåðåñåêàþùóþ
ïðîåêöèþ ðîâíî ïî
âåðøèíå. Òîãäà ïëîñêîñòü
γ , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðÿìûå
k è m, – èñêîìàÿ.
Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî òåëåñíûé
óãîë ìîæåò ïðèíèìàòü
âñå çíà÷åíèÿ ìåæäó 0
è 2π . Ïóñòü ïëîñêîñòü γ ,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð Ðèñ. 4
01-25.p65 9
09.06.10, 12:42

10
ñôåðû, ïåðåñåêàåò åå ïî îêðóæíîñòè ω . Âïèøåì â ýòó
îêðóæíîñòü ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê ABCDEF.
Ïóñòü ïëîñêîñòè γ 1 , γ 2 , γ 3 ïîëó÷àþòñÿ èç γ ïîâîðîòàìè
íà óãîë ϕ îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ AD, BE è CF
(ðèñ.4). Òîãäà ýòè ïëîñêîñòè îáðàçóþò âûïóêëûé
òðåõãðàííûé óãîë P ϕ
. Íåòðóäíî âèäåòü ïðè ýòîì, ÷òî,
êîãäà ϕ äîñòàòî÷íî ìàë, òåëåñíûé óãîë òðåõãðàííîãî
óãëà P ϕ
áëèçîê ê 2π , à êîãäà ϕ ïðèáëèæàåòñÿ ê π 2 ,
ýòîò òåëåñíûé óãîë ñòàíîâèòñÿ ñêîëü óãîäíî ìàëûì.
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Òåòðàýäð
Êàê è â ïëîñêîñòè, óäîáíî íà÷àòü ñ ðàññìîòðåíèÿ
ñàìîãî ïðîñòîãî ñëó÷àÿ.  ïðîñòðàíñòâå ñàìûì «ïðîñòûì»
ìíîãîãðàííèêîì ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà,
èëè òåòðàýäð.
Ïîïûòàâøèñü ïîñòðîèòü íåñêîëüêî ïðèìåðîâ (ñäåëàéòå
ýòî!), íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ñóììà òåëåñíûõ
óãëîâ òåòðàýäðà ïîñòîÿííîé íå ÿâëÿåòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî,
ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê ABC è òî÷êó D′ â åãî
ïëîñêîñòè. Ïîñòðîèì òåòðàýäð ABCD òàêîé, ÷òî
DD′ ⊥ ( ABC)
, è ðàññòîÿíèå DD′ î÷åíü ìàëåíüêîå.
Òîãäà íåòðóäíî âèäåòü,
÷òî åñëè òî÷êè
A, B, C, D′ îáðàçóþò
âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê,
òî âñå òåëåñíûå
óãëû òåòðàýäðà
ABCD äîâîëüíî ìàëû
Ðèñ. 5
(ðèñ.5). Åñëè æå, ñêàæåì,
òî÷êà B ïîïàäàåò
âíóòðü òðåóãîëüíèêà
ACD′ (ðèñ.6), òî
òåëåñíûé óãîë ïðè
âåðøèíå B ìîæåò áûòü
î÷åíü áîëüøèì: êàê
Ðèñ. 6
ìû óæå âèäåëè, ñîîòâåòñòâóþùèé
òðåõãðàííûé
óãîë ìîæåò âûñåêàòü ïî÷òè ïîëîâèíó ñîîòâåòñòâóþùåé
ñôåðû.
Èòàê, èíòåðåñóþùàÿ íàñ ñóììà óæå ìîæåò áûòü
áëèçêà ê íóëþ èëè ê 2π . Ñëåäóþùèé åñòåñòâåííî
âîçíèêàþùèé âîïðîñ – à íàñêîëüêî áîëüøîé ìîæåò
îêàçàòüñÿ ýòà ñóììà Ïîïðîáóåì åå îöåíèòü.
Ðàññìîòðèì òåòðàýäð ABCD. Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü
âåëè÷èíó Σ ( ABCD)
, óäîáíî âñå åãî òðåõãðàííûå óãëû
ñíåñòè â îäíó òî÷êó O è ïîñìîòðåòü, ÷òî îíè áóäóò
âûñåêàòü íà åäèíè÷íîé ñôåðå Ω ñ öåíòðîì O. Ïóñòü
ïðè ýòîì ëó÷è AB, AC, BC òðåõãðàííîãî óãëà ñ
âåðøèíîé A ïåðåøëè â ëó÷è OB A , OC A , OD A (òî÷êè
B A , C A , D A ëåæàò íà Ω ); àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì
îñòàëüíûå òî÷êè (ðèñ.7). Ïîñêîëüêó ëó÷è AB è BA
ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, òî÷êè B A è A B áóäóò
ïðîòèâîïîëîæíûìè òî÷êàìè ñôåðû; òî æå ìîæíî ñêàçàòü
ïðî îñòàëüíûå àíàëîãè÷íûå ïàðû òî÷åê.
Ïðîâåäåì ÷åðåç O ïëîñêîñòè S A , S B , S C , S D ,
ïàðàëëåëüíûå ãðàíÿì BCD, ACD, ABD, ABC ñîîòâåòñòâåííî.
Ëó÷è, ñîåäèíÿþùèå O ñ òî÷êàìè B C , B D ,
C B , C D , D B , D C , ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè BCD;
çíà÷èò, âñå ýòè òî÷êè ëåæàò â ïëîñêîñòè S A . Ïðîâîäÿ
àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ ïëîñêîñòåé,
Ðèñ. 7
ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êè B A è A B ëåæàò â ïåðåñå÷åíèè
ïëîñêîñòåé S C è S D ; àíàëîãè÷íî äëÿ äðóãèõ òî÷åê.
Òåïåðü îñòàëîñü íà íàøåì ðèñóíêå íàéòè òðåáóåìóþ
âåëè÷èíó Σ ( ABCD)
. Âåëè÷èíû òåëåñíûõ óãëîâ òåòðàýäðà
– ýòî ïëîùàäè ñôåðè÷åñêèõ òðåóãîëüíèêîâ
BCD A A A, ACD B B B, A C B C D C , ADBDC D. Çàìåòèì, ÷òî
ýòè òðåóãîëüíèêè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Áîëåå òîãî, îíè íå
ïåðåñåêàþòñÿ òàêæå ñ òðåóãîëüíèêàìè, ñèììåòðè÷íûìè
èì îòíîñèòåëüíî O (ýòî, ñîîòâåòñòâåííî, òðåóãîëüíèêè
ABACA D, BABCB D , CCC A B D, DADBD C)! Çíà-
÷èò, ñóììà ïëîùàäåé ýòèõ 8 òðåóãîëüíèêîâ íå áîëüøå
ïëîùàäè ñôåðû, ò.å.
Σ( ABCD) ≤ 4π 2 = 2π. (1)
Ïðè ýòîì âèäíî, ÷òî îñòàëèñü íåïîêðûòûìè íåñêîëüêî
ñôåðè÷åñêèõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ (òàêèõ, êàê
BABCDCD A íà ðèñóíêå 7). Çíà÷èò, â íåðàâåíñòâå (1)
çíàê ìîæíî çàìåíèòü íà ñòðîãèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìû
âèäåëè, ÷òî Σ ( ABCD)
ìîæåò îêàçàòüñÿ ñêîëü óãîäíî
áëèçêîé êàê ê 0, òàê è ê 2π . Îäíàêî äëÿ ëþáûõ äâóõ
òåòðàýäðîâ ìû ìîæåì íåïðåðûâíî «ïðîäåôîðìèðîâàòü»
îäèí èç íèõ òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü òåòðàýäð,
ðàâíûé äðóãîìó. Ïðè ýòîì Σ ( ABCD)
áóäåò ìåíÿòüñÿ
íåïðåðûâíî; çíà÷èò, îíà ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà÷åíèÿ
èç ïðîìåæóòêà ( 0; 2π ).
Òåì ñàìûì, äîêàçàíà òàêàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Äëÿ ëþáîãî òåòðàýäðà ABCD ìû èìååì
0 < Σ ( ABCD)
< 2π ; ïðè ýòîì äëÿ ëþáîãî α∈( 0;
2π)
ñóùåñòâóåò òåòðàýäð ABCD, äëÿ êîòîðîãî
Σ ABCD = α.
( )
Çàäà÷à 1.  òåòðàýäðå ABCD èçâåñòíà âåëè÷èíà ( ABCD)
Σ .
×åìó ðàâíà ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ ïðè åãî ðåáðàõ
Ïðîáëåìû
Èòàê, ñ òåòðàýäðîì ìû âðîäå áû ðàçîáðàëèñü. Îäíàêî
ïðè ïîïûòêå ïåðåíåñòè ïðåäûäóùåå ðàññóæäåíèå íà
ïðîèçâîëüíûé ìíîãîãðàííèê íàñ îæèäàþò íåêîòîðûå
ïðîáëåìû. Îäíó èç íèõ ìû ðåøèì íà ìåñòå, äëÿ
ðåøåíèÿ æå îñòàëüíûõ ïîòðåáóåòñÿ âçãëÿíóòü íà íàøå
äîêàçàòåëüñòâî íåñêîëüêî ñ äðóãîé ñòîðîíû.
Ïðîáëåìà 1. ×òîáû äâèãàòüñÿ äàëüøå, ïðåæäå âñåãî
íàäî ñôîðìóëèðîâàòü, à ÷åãî æå ìû õîòèì.  ïëîñêîì
ñëó÷àå âîïðîñ î ñóììå óãëîâ ñòàâèëñÿ îòäåëüíî äëÿ
âûïóêëûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñ n ñòîðîíàìè – âñå òàêèå
ìíîãîóãîëüíèêè â íåêîòîðîì ñìûñëå «ïîõîæè» äðóã íà
01-25.p65 10
09.06.10, 12:43

Î ÑÓÌÌÅ ÒÅËÅÑÍÛÕ ÓÃËÎÂ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
11
äðóãà. Îäíàêî êàêèìè æå ïàðàìåòðàìè çàäàâàòü ìíîãîãðàííèê
Êîëè÷åñòâîì âåðøèí, ðåáåð, ãðàíåé
Íà ðèñóíêàõ 8 è 9 èçîáðàæåíû äâà ìíîãîãðàííèêà ñ
8 âåðøèíàìè, 12 ðåáðàìè è 6 ãðàíÿìè; îäíàêî âðÿä ëè
êòî-òî ñêàæåò, ÷òî îíè «ïîõîæè»:
íàïðèìåð, ó îäíîãî
åñòü ïÿòèóãîëüíûå ãðàíè, à ó
Ìîæíî ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü òîò æå ïîäõîä è ê
âûïóêëîìó ìíîãîãðàííèêó. Îäíàêî îäèí è òîò æå
ìíîãîãðàííèê ìîæíî ðàçðåçàòü íà ðàçíîå êîëè÷åñòâî
òåòðàýäðîâ! Íàïðèìåð, åñëè ðàññìîòðåòü îáúåäèíåíèå
äâóõ n-óãîëüíûõ ïèðàìèä SA1A
2… An
è TA1A
2… An
ñ
îáùèì îñíîâàíèåì, òî åãî ìîæíî ðàçðåçàòü êàê íà n
òåòðàýäðîâ STA1A 2 , STA2A 3, …, STAn
A 1 , òàê è íà
2( n − 2)
òåòðàýäðà: ñíà÷àëà – ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ –
íà äâå ïèðàìèäû, à çàòåì êàæäóþ ïèðàìèäó íà n – 2
òåòðàýäðà (ðèñ.12). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî æå ìíîãîãðàííèêà
íåïîíÿòíî äàæå, íà êàêîå ìèíèìàëüíîå ÷èñëî
òåòðàýäðîâ åãî âîîáùå ìîæíî ðàçðåçàòü.
Ðèñ. 8 Ðèñ. 9
äðóãîãî èõ íåò. Òàêèì îáðàçîì, íóæíî ââåñòè áîëåå
ñèëüíîå ïîíÿòèå «ïîõîæåñòè» ìíîãîãðàííèêîâ. Òàêèì
ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàòîðíûé òèï.
Îïðåäåëåíèå 2. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîãîãðàííèêè
K è L èìåþò îäèíàêîâûé êîìáèíàòîðíûé òèï,
åñëè ó íèõ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî âåðøèí è èõ ìîæíî
çàíóìåðîâàòü (âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà K – A 1, …
..., A n , à âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà L – B1, B2, …, Bn
)
òàê, ÷òîáû
à) âåðøèíû A i , A j áûëè ñîåäèíåíû ðåáðîì â K
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåðøèíû B , B ñîåäèíåíû
ðåáðîì â L;
á) áîëåå òîãî, âåðøèíû A i , …, A
1
i îáðàçóþò
m
(èìåííî â ýòîì ïîðÿäêå) ãðàíü ìíîãîãðàííèêà K
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåðøèíû B i , …, B
1
i m
îáðàçóþò (èìåííî â ýòîì ïîðÿäêå) ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
L.
 ýòîì ñìûñëå ìíîãîãðàííèêè íà ðèñóíêàõ 8 è 9
èìåþò ðàçíûé êîìáèíàòîðíûé òèï, à ìíîãîãðàííèêè íà
ðèñóíêàõ 9 è 10 – îäèíàêîâûé. Âîïðîñ æå, íà êîòîðûé
ìû õîòèì îòâåòèòü, òàêîâ.
Âîïðîñ. Äëÿ äàííîãî
êîìáèíàòîðíîãî òèïà ìíîãîãðàííèêà
îïðåäåëèòü, â
êàêèõ ïðåäåëàõ ìîæåò èçìåíÿòüñÿ
ñóììà åãî òåëåñíûõ
óãëîâ.
Ïðîáëåìà 2. Ïðîèçâîëüíûé
âûïóêëûé Ðèñ. 10
n-óãîëüíèê
ëåãêî ðàçðåçàòü íà òðåóãîëüíèêè òàê, ÷òî âñå èõ âåðøèíû
áóäóò ÿâëÿòüñÿ âåðøèíàìè èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà
(ðèñ.11); ïðè ýòîì â
êàæäîì òàêîì ðàçðåçàíèè
áóäåò ðîâíî n – 2 òðåóãîëüíèêà.
Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè
ñëîæèòü âñå ñóììû óãëîâ
òðåóãîëüíèêîâ ðàçáèåíèÿ,
òî ïîëó÷èòñÿ ñóììà óãëîâ
èñõîäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà,
îòêóäà è ñëåäóåò ôîðìóëà
äëÿ ñóììû åãî óãëîâ.
Ðèñ. 11
i
j
Ðèñ. 12
Ïðîáëåìà 3. Äàæå åñëè óäàñòñÿ ðàçðåçàòü ìíîãîãðàííèê
K íà íåñêîëüêî òåòðàýäðîâ – ýòî ìîæåò äàòü
òîëüêî îöåíêó ñâåðõó íà Σ ( K)
(à èìåííî, åñëè ÷èñëî
òåòðàýäðîâ ðàâíî d, òî Σ ( K) < 2π d). Äëÿ îöåíêè ñ
äðóãîé ñòîðîíû íè÷åãî ëó÷øå, ÷åì Σ ( K)
> 0, ìû òàêèì
ïóòåì íå ïîëó÷èì.  òî æå âðåìÿ íå î÷åíü ÿñíî, ïðàâäà
ëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà ìîæíî ïðèäóìàòü
ìíîãîãðàííèê òàêîãî òèïà ñî ñêîëü óãîäíî ìàëîé
ñóììîé òåëåñíûõ óãëîâ. 2
Ïðîáëåìà 4. Íàêîíåö, ìîæíî ïîïðîáîâàòü äðóãîé
ïîäõîä: íå ðåçàòü ìíîãîãðàííèê íà òåòðàýäðû, à ïîïûòàòüñÿ
ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà
íàïðÿìóþ. Èìåííî, íàäî ñîâìåñòèòü âåðøèíû âñåõ
ìíîãîãðàííûõ óãëîâ è ïîñìîòðåòü, êàêîé ðèñóíîê
ïîëó÷èòñÿ íà ñôåðå.
Îäíàêî è ýòîò ïîäõîä ñîïðÿæåí ñ òðóäíîñòÿìè. Â
ñëó÷àå òåòðàýäðà, êàê ìû âèäåëè, ñîîòâåòñòâóþùèå
ñôåðè÷åñêèå òðåóãîëüíèêè íå ïåðåêðûâàëèñü (ïîýòîìó
ñóììà òåëåñíûõ óãëîâ áûëà íå áîëüøå 4π ) – è äàæå íå
ïåðåêðûâàëèñü ñ ñèììåòðè÷íûìè èì (à çíà÷èò, îöåíêà
óñèëèâàëàñü äî 2π ). Îäíàêî äàæå äëÿ òåòðàýäðà
îñîçíàíèå òîãî, ÷òî ðèñóíîê áóäåò âñåãäà âûãëÿäåòü
èìåííî òàê, êàê íà ðèñóíêå 7, òðåáóåò íåêîòîðîãî
ñòåðåîìåòðè÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ. Åãî ìîæåò íå õâàòèòü
óæå äëÿ ðàññìîòðåíèÿ n-óãîëüíîé ïèðàìèäû (ïîïðîáóéòå!);
â ñëó÷àå æå ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîãðàííèêà
îáùàÿ êàðòèíà ñîâåðøåííî óñêîëüçàåò.
Êðîìå òîãî, ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ
ìíîãîãðàííèêîâ (íàïðèìåð, äëÿ n-óãîëüíîé ïðèçìû)
ñóììà òåëåñíûõ óãëîâ ìîæåò áûòü ãîðàçäî áîëüøå 4π ;
ýòî çíà÷èò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå îáëàñòè íà ñôåðå
2 Ìû âñêîðå âûÿñíèì, ÷òî ýòî íåïðàâäà.
01-25.p65 11
09.06.10, 12:44

12
áóäóò ïåðåêðûâàòüñÿ.  ýòîì ñëó÷àå, âèäèìî, äëÿ
îöåíêè âåëè÷èíû Σ ( K)
òðåáóåòñÿ ïîíÿòü êîëè÷åñòâî
ñëîåâ, â êîòîðîå îíè ïîêðûâàþò ñôåðó. Êàê åãî îöåíèòü
Èìåííî ýòîé îöåíêîé ìû è çàéìåìñÿ â ñëåäóþùåì
ðàçäåëå. Äëÿ ýòîãî íàì ïðèäåòñÿ èçîáðåñòè íåñêîëüêî
äðóãîé ïîäõîä ê çàäà÷å.
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Ïðîåêöèè
Èòàê, ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê M è
ñôåðó åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì O. Ïðîâåäåì
÷åðåç O ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå ãðàíÿì ìíîãîãðàííèêà;
îíè ðàçäåëÿò ñôåðó íà íåñêîëüêî ÷àñòåé K1 , … , Ks
(çàìåòèì, ÷òî äëÿ êàæäîé ÷àñòè íàéäåòñÿ ÷àñòü, ñèììåòðè÷íàÿ
åé îòíîñèòåëüíî O). Òåïåðü, åñëè ìû îïÿòü
æå ñíåñåì ìíîãîãðàííûé óãîë ïðè íåêîòîðîé âåðøèíå
A ìíîãîãðàííèêà â òî÷êó O (ïîëó÷èâ íåêîòîðûé óãîë
S A ), òî ÷àñòü ñôåðû, ïîïàâøàÿ âíóòðü íåãî, áóäåò
îáúåäèíåíèåì íåñêîëüêèõ èç ÷àñòåé K i (ïîñêîëüêó åå
ãðàíèöà ëåæèò â íàøèõ ïëîñêîñòÿõ). Îòìåòèì ýòè
÷àñòè, à òàêæå ÷àñòè, ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî O
(ò.å. ïîïàâøèå â öåíòðàëüíî ñèììåòðè÷íûé óãîë S′
A ),
– ìû óæå âèäåëè, ÷òî ýòî ïîëåçíî; îêàæåòñÿ ýòî
ïîëåçíûì è â äàëüíåéøåì.
Ïðîäåëàåì òàêóþ îïåðàöèþ ñ êàæäîé âåðøèíîé
ìíîãîãðàííèêà. Òåïåðü äëÿ êàæäîé ÷àñòè ðàçáèåíèÿ
K i ïîñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî t i ðàç, êîòîðîå ìû åå îòìå÷àëè.
Èíà÷å ãîâîðÿ, t i – ýòî êîëè÷åñòâî ìíîãîãðàííûõ
óãëîâ, â êîòîðûå ïîïàëà îíà èëè ñèììåòðè÷íàÿ åé ÷àñòü
ñôåðû; ýòî êîëè÷åñòâî, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü
ëþáûì íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì ÷èñëîì.
Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ñóììà âñåõ òåëåñíûõ óãëîâ ïðè
âåðøèíàõ ìíîãîãðàííèêà áóäåò ðàâíà
s
1
Σ ( M) = ∑ tiS( Ki)
, (2)
2
i=
1
ãäå S( K i ) – ýòî ïëîùàäü ÷àñòè K i (ìíîæèòåëü 1 2
ïîÿâèëñÿ èç-çà òîãî, ÷òî êàæäûé òåëåñíûé óãîë ìû
ïîñ÷èòàëè äâàæäû). Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü – îïèñàòü
÷èñëà t i â äðóãèõ òåðìèíàõ.
Ðàññìîòðèì òî÷êó T, ëåæàùóþ ñòðîãî âíóòðè ÷àñòè
K i . Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ OT íå ïàðàëëåëüíà íè
îäíîé ãðàíè ìíîãîãðàííèêà M (èíà÷å T ëåæàëà áû íà
ãðàíèöå ÷àñòè). Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü α , ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
OT (ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî α ãîðèçîíòàëüíà),
è ñïðîåêòèðóåì íàø ìíîãîãðàííèê íà ïëîñêîñòü
α ; â ïðîåêöèè ïîëó÷èòñÿ âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê
N. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç π ( X)
ïðîåêöèþ ïðîèçâîëüíîé
òî÷êè X.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó A íàøåãî ìíîãîãðàííèêà
è âûÿñíèì, ãäå áóäåò ëåæàòü òî÷êà π ( A)
.
Ïóñòü a – ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç A ïåðïåíäèêóëÿðíî
α (èíûìè ñëîâàìè, a OT). Ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ
ñ M ëèáî ïî íåêîòîðîìó îòðåçêó (è òîãäà A
ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç åãî êîíöîâ), ëèáî òîëüêî ïî òî÷êå A.
Ðàññìîòðèì îáà ýòèõ ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1 (ðèñ.13). Ïóñòü ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ
ìíîãîãðàííèêîì ïî îòðåçêó AB. Òîãäà âíóòðåííèå
òî÷êè ýòîãî îòðåçêà òàêæå áóäóò ÿâëÿòüñÿ âíóòðåííèìè
Ðèñ. 13
òî÷êàìè ìíîãîãðàííèêà; ýòî çíà÷èò, ÷òî ( A)
π ëåæèò
ñòðîãî âíóòðè ìíîãîóãîëüíèêà N. 3
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îòðåçîê AB ëåæèò âíóòðè ìíîãîãðàííîãî
óãëà ñ âåðøèíîé A; ýòî è çíà÷èò, ÷òî òî÷êà T
ëåæèò âíóòðè îäíîãî èç óãëîâ S A èëè S′
A .
Ñëó÷àé 2 (ðèñ.14). Ïóñòü òåïåðü ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ
ñ ìíîãîãðàííèêîì òîëüêî ïî âåðøèíå A. Òîãäà, êàê
ìû óæå âèäåëè ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1, ÷åðåç ýòó
ïðÿìóþ ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü β , ïåðåñåêàþùóþ
Ðèñ. 14
íàø ìíîãîãðàííûé óãîë (à ñëåäîâàòåëüíî, è âåñü
ìíîãîãðàííèê) ðîâíî ïî âåðøèíå A. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
ìíîãîãðàííèê M ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò β ; íî òîãäà
è ìíîãîóãîëüíèê N áóäåò ëåæàòü ïî îäíó ñòîðîíó îò β ,
π A .
èìåÿ ñ íåé òîëüêî îäíó òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ – ( )
Òàêîå âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ( A)
π –
âåðøèíà N.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ a ïðîõîäèò âíå
ìíîãîãðàííîãî óãëà ñ âåðøèíîé A, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
òî÷êà T íå ëåæèò íè â îäíîì èç óãëîâ S A è S′
A .
Èòîãî, ìû ïîëó÷èëè ñëåäóþùåå îïèñàíèå âåëè÷èíû
t i .
Òåîðåìà 3. ×èñëî t i ðàâíî êîëè÷åñòâó âåðøèí
ìíîãîãðàííèêà M, ïðîåêöèè êîòîðûõ ïîïàäàþò ñòðîãî
âíóòðü ìíîãîóãîëüíèêà N. Ïðîåêöèè æå îñòàëüíûõ
âåðøèí ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè N.
Çàìåòèì åùå, ÷òî êàæäàÿ âåðøèíà B ìíîãîóãîëüíèêà
N ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé îäíîé èç âåðøèí ìíîãîãðàííèêà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè b – ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ N
ðîâíî ïî âåðøèíå B, òî âåðòèêàëüíàÿ ïëîñêîñòü,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç b (ò.å. ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
b è ïàðàëëåëüíàÿ OT), áóäåò ïåðåñåêàòü M òàêæå
ðîâíî ïî îäíîé òî÷êå; îíà è áóäåò èñêîìîé âåðøèíîé.
3 Äåéñòâèòåëüíî, åñëè X – âíóòðåííÿÿ òî÷êà îòðåçêà AB,
òî íàéäåòñÿ ìàëåíüêèé øàðèê ñ öåíòðîì â X, ëåæàùèé âíóòðè
M. Ýòîò øàðèê ïåðåéäåò â êðóã ñ öåíòðîì â π ( X) = π ( A)
,
ëåæàùèé âíóòðè N.
01-25.p65 12
09.06.10, 10:20

Î ÑÓÌÌÅ ÒÅËÅÑÍÛÕ ÓÃËÎÂ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
13
Äàëåå, âûÿñíèì, êàêèå òî÷êè ìíîãîãðàííèêà M ïåðåõîäÿò
â òî÷êè êîíòóðà ìíîãîóãîëüíèêà N. Ïóñòü π( A)
è π ( B)
– äâå ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà N (A
è B – âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà M). Ïðîâåäåì ÷åðåç
ïðÿìóþ π( A) π ( B)
âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü γ . Ìíîãîãðàííèê
M áóäåò ëåæàòü ïî îäíó ñòîðîíó îò íåå,
ïðè÷åì â ýòîé ïëîñêîñòè áóäåò ëåæàòü îòðåçîê AB,
ïðèíàäëåæàùèé ìíîãîãðàííèêó. Çàìåòèì, ÷òî áîëüøå
òî÷åê ìíîãîãðàííèêà â ýòîé ïëîñêîñòè íå áóäåò; èíà÷å
â ýòîé ïëîñêîñòè áóäåò ëåæàòü ãðàíü M, ÷òî íåâîçìîæíî.
Íî òîãäà AB ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì ìíîãîãðàííèêà M!
Èòàê, ëþáàÿ ñòîðîíà ìíîãîóãîëüíèêà N ÿâëÿåòñÿ
ïðîåêöèåé ðåáðà ìíîãîãðàííèêà M. Çíà÷èò, êîíòóð
ìíîãîóãîëüíèêà N ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íåêîòîðîãî çàìêíóòîãî
íåñàìîïåðåñåêàþùåãîñÿ ïóòè ïî ðåáðàì ìíîãîãðàííèêà
N (íàçîâåì òàêîé ïóòü öèêëîì).
Îöåíêà íà Σ ( M)
Òåïåðü ìû ãîòîâû âûïèñàòü îöåíêó íà ( M)
Σ .
Òåîðåìà 4. Ðàññìîòðèì âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê M;
ïóñòü ó íåãî n âåðøèí, è ïóñòü l min , l max – ñîîòâåòñòâåííî
íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ðåáåð
â öèêëå, ïðîõîäÿùåì ïî ðåáðàì M. Òîãäà
( ) ( ) ( )
2π n−l ≤ Σ M ≤ 2π n− l . (3)
max
Çàìå÷àíèå. Âñå óñëîâèÿ â òåîðåìå çàâèñÿò òîëüêî îò
êîìáèíàòîðíîãî òèïà ìíîãîãðàííèêà; òàêèì îáðàçîì,
òåîðåìà ïîçâîëÿåò îöåíèòü ñóììó òåëåñíûõ óãëîâ ëþáîãî
ìíîãîãðàííèêà äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Äëÿ ëþáîé èç ÷àñòåé Ki
ðàññìîòðèì òî÷êó T i âíóòðè íåå è ïðîåêöèþ Ni
ìíîãîãðàííèêà M íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîñêîñòü. Ìû
óæå çíàåì, ÷òî ãðàíèöà N i ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé íåêîòîðîãî
öèêëà; çíà÷èò, êîëè÷åñòâî âåðøèí N i íå ìåíüøå
l min è íå áîëüøå l max . Çíà÷èò, êîëè÷åñòâî ti
âåðøèí, ÷üè ïðîåêöèè ëåæàò âíóòðè N i , óäîâëåòâîðÿþò
ñîîòíîøåíèþ n −lmax ≤ ti
≤ n − lmin
, ïîýòîìó èç (2)
ïîëó÷àåì
1
2
s
∑ ( )( max ) ∑ ( )
i= 1
1
S K n −l ≤ S K t =
i i i
2
i=
1
s
min
s
∑ .
i min
i=
1
1
= Σ( M) ≤ S( K )( n−l
)
2
Ïîñêîëüêó ïëîùàäü åäèíè÷íîé ñôåðû ðàâíà
s
∑
i=
1
( )
S K
i
= 4π, ìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
Èç òåîðåìû ñðàçó ñëåäóåò
Ðåøåíèå çàäà÷è Ì2153. Ïóñòü Σ ( M)
= π. Òîãäà
1
2π( n −lmax
) ≤ Σ ( M)
= π, îòêóäà n −lmax
≤ . Çíà÷èò,
2
lmax
= n, è ñóùåñòâóåò öèêë, ïðîõîäÿùèé ïî âñåì n
âåðøèíàì ìíîãîãðàííèêà.
Íåñëîæíî è áîëåå ÿâíî îïèñàòü ýòîò öèêë. Åñëè ìû
îòìåòèì âñå ìíîãîãðàííûå óãëû M è ñèììåòðè÷íûå èì
íà íàøåé ñôåðå, òî ìû îòìåòèì îáëàñòè ñóììàðíîé
ïëîùàäè 2π< 4π; çíà÷èò, íåêîòîðàÿ òî÷êà T ñôåðû
îñòàíåòñÿ íåïîêðûòîé. Ñïðîåêòèðîâàâ íàø ìíîãîãðàííèê
íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ OT, ìû ïîëó÷èì
â ïðîåêöèè n-óãîëüíèê. Â åãî ãðàíèöó è ïðîåêòèðóåòñÿ
òðåáóåìûé öèêë.
Çàäà÷à 2. ßñíî, ÷òî l min íå ïðåâîñõîäèò ìèíèìàëüíîãî
êîëè÷åñòâà âåðøèí â ãðàíè. À ñóùåñòâóåò ëè ìíîãîãðàííèê,
â êîòîðîì l min ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì ýòî ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî
Òî÷íûå ãðàíèöû äëÿ Σ ( M)
Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåîðåìû åñòåñòâåííûì
îáðàçîì âîçíèêàåò âîïðîñ – à òî÷íû ëè
îöåíêè â ýòîé òåîðåìå Íåëüçÿ ëè èõ èíîãäà çàìåíèòü
íà áîëåå òî÷íûå Èíûìè ñëîâàìè – åñëè â ìíîãîãðàííèêå
ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðåáåð â
öèêëå ðàâíû l min è l max , ïðàâäà ëè, ÷òî ñóùåñòâóþò
ìíîãîãðàííèêè òîãî æå êîìáèíàòîðíîãî òèïà, ó êîòîðûõ
ñóììû òåëåñíûõ óãëîâ «ïî÷òè äîñòèãàþò» çíà÷åíèé,
óêàçàííûõ â òåîðåìå 4
Ïîëíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàë Ä.Áàðíåòò [3];
îêàçûâàåòñÿ, îöåíêè âñåãäà òî÷íû! Îäíàêî, ê ñîæàëåíèþ,
äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî âûõîäèò çà ðàìêè ýòîé
ñòàòüè; ìû îãðàíè÷èìñÿ îòâåòîì íà ñóùåñòâåííî áîëåå
ëåãêèé âîïðîñ. À èìåííî, ìû äîêàæåì ñëåäóþùåå.
Òåîðåìà 5. Ðàññìîòðèì âñå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè
íåêîòîðîãî êîìáèíàòîðíîãî òèïà ñ n âåðøèíàìè,
à òàêæå âñå èõ ïðîåêöèè (íà ïëîñêîñòè, íå ïåðïåíäèêóëÿðíûå
ãðàíÿì). Ïóñòü l′ min è l′ max – íàèáîëüøåå è
íàèìåíüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ñòîðîí â òàêèõ
ïðîåêöèÿõ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà
M äàííîãî òèïà âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
( ′ ) ( ) ( ′ )
2π n−l ≤ Σ M ≤ 2π n− l , (4)
max
ïðè÷åì ýòè îöåíêè íåëüçÿ çàìåíèòü íà ëó÷øèå.
Çàìå÷àíèå 1. Ýòî – òîæå èíòåðåñíîå óòâåðæäåíèå!
Îíî ãîâîðèò, ÷òî òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü è òî÷íàÿ
âåðõíÿÿ ãðàíü äëÿ Σ ( M)
âñåãäà ÿâëÿþòñÿ öåëûìè
êðàòíûìè ÷èñëà 2π . Èíà÷å ãîâîðÿ, åñëè, íàïðèìåð, ìû
çíàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìíîãîãðàííèê M äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî
òèïà ñ Σ ( M) = 5π, òî ìû òàêæå ìîæåì áûòü
óâåðåíû â ñóùåñòâîâàíèè ìíîãîãðàííèêîâ M′ è M′′
òîãî æå òèïà, äëÿ êîòîðûõ Σ ( M′ ) < 4π+ 0,001 è
Σ ( M′′ ) > 6π− 0,001.
Çàìå÷àíèå 2. Ïîñêîëüêó ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû
l min ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå öèêëû, à ïðè îïðåäåëåíèè
l′
min – òîëüêî òå, êîòîðûå ìîãóò ïîïàñòü íà ãðàíèöó
íåêîòîðîé ïðîåêöèè, òî, î÷åâèäíî, l min
′ ≥ l min . Àíàëîãè÷íî,
l max
′ ≤ l max .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Äîêàçàòåëüñòâî ñàìîé
îöåíêè (4) ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4: äîñòàòî÷íî
çàìåòèòü, ÷òî â íåì ðåàëüíî ðàññìàòðèâàþòñÿ
òîëüêî öèêëû, ïðîåêöèè êîòîðûå ìîãóò îêàçàòüñÿ
ãðàíèöåé ïðîåêöèè âñåãî ìíîãîãðàííèêà; êîëè÷åñòâî
æå ñòîðîí â ëþáîì òàêîì öèêëå íå ìåíüøå l′ min è íå
áîëüøå l′ max . Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî îöåíêè òî÷íû.
Ðàññìîòðèì ìíîãîãðàííèê M äàííîãî êîìáèíàòîðíîãî
òèïà, êîòîðûé ïðè ïðîåêòèðîâàíèè íà ïëîñêîñòü α
äàåò ìíîãîóãîëüíèê ñ l ñòîðîíàìè (ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
M ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò α ). Ïóñòü â íåì n âåðøèí,
ïðè÷åì A1, A2, …, Al
– âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà, ïðîåöèðóþùèåñÿ
â âåðøèíû l-óãîëüíèêà, à B 1 ,… B – âñå
min
, m
01-25.p65 13
09.06.10, 10:20

14
îñòàëüíûå âåðøèíû (ïðîåöèðóþùèåñÿ âíóòðü l-óãîëüíèêà);
òîãäà m = n – l. «Ñîæìåì» ìíîãîãðàííèê ê
ïëîñêîñòè α ñ áîëüøèì êîýôôèöèåíòîì N; èíà÷å
ãîâîðÿ, ñäâèíåì êàæäóþ åãî òî÷êó ïî ïåðïåíäèêóëÿðó
ê ïëîñêîñòè α òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå îò íåå äî α
óìåíüøèëîñü â N ðàç (ðèñ.15).
Ðèñ. 15
Ó íàñ ïîëó÷èëñÿ ìíîãîãðàííèê M′ òîãî æå êîìáèíàòîðíîãî
òèïà ñ âåðøèíàìè A′
1 , …, A′
l , B′
1 , …, B′
m .
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè âûáðàòü N äîñòàòî÷íî
áîëüøèì, òî âñå òåëåñíûå óãëû ïðè âåðøèíàõ A′
i
ñòàíóò î÷åíü ìàëåíüêèìè (ñêàæåì, ìåíüøå ε ), à âñå
òåëåñíûå óãëû ïðè âåðøèíàõ B′
j
áóäóò ñêîëü óãîäíî
áëèçêè ê 2π (ñêàæåì, áóäóò áîëüøå ÷åì 2π−ε). Òîãäà
ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
( )( ) ( ′) ( )
l⋅ 0+ n−l 2π−ε < Σ M < lε + n−l
2π.
Ïîñêîëüêó l ≤ n, ïîëó÷àåì
( ) ( ′) ( )
2π n −l −nε < Σ M < 2π n− l + nε.
Âûáåðåì òåïåðü â êà÷åñòâå M ìíîãîãðàííèê, â ïðîåêöèè
êîòîðîãî åñòü l = l′
min ñòîðîí (òàêîé ñóùåñòâóåò
ïî îïðåäåëåíèþ l′ min ). Òîãäà ìû ïîëó÷èì ìíîãîãðàííèê
M′ , äëÿ êîòîðîãî Σ ( M′
) > 2π( n −lmin
) −nε.
Íàîáîðîò, âûáèðàÿ ìíîãîãðàííèê M ñ ïðîåêöèåé
èç l = l′ , ïîëó÷àåì ìíîãîãðàííèê M′′ c
max
( ′′) 2 ( )
Σ M < π n− lmax
+ nε. Ïîëàãàÿ ε ñêîëü óãîäíî
ìàëûì, ïîëó÷àåì, ÷òî îöåíêè â (4) òî÷íû.
Îïèøåì òåïåðü ñóòü âûøåóïîìÿíóòîãî ðåçóëüòàòà
Ä.Áàðíåòòà. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
M è ïðîèçâîëüíûé öèêë èç åãî ðåáåð. Òîãäà
ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîãîãðàííèê òàêîãî æå êîìáèíàòîðíîãî
òèïà è åãî ïðîåêöèþ òàêèå, ÷òî â ãðàíèöó ïðîåêöèè
ïðîåöèðóåòñÿ êàê ðàç ýòîò öèêë. Îòñþäà, ðàçóìå-
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
åòñÿ, è ñëåäóåò, ÷òî l min = l′ min , l max = l′ max (ò.å. îöåíêè
â òåîðåìå 4 òàêæå òî÷íû).
Âîçâðàùàÿñü ê çàäà÷å Ì2153, õî÷åòñÿ çàìåòèòü åùå
îäíó âåùü. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî â
ëþáîì ìíîãîãðàííèêå ìîæíî íàéòè öèêë, ïðîõîäÿùèé
ïî âñåì âåðøèíàì, – òàêîé öèêë íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâûì.
È äåéñòâèòåëüíî, íå òàê-òî ïðîñòî ïîñòðîèòü
ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, äëÿ êîòîðîãî ýòî íåâåðíî;
îäíàêî òàêèå ïðèìåðû ñóùåñòâóþò. Îäèí èç íàèáîëåå
åñòåñòâåííûõ ïðèìåðîâ èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 16 (ïðèâåäåí
åãî «âèä
ñâåðõó», íåâèäèìûõ
ðåáåð íåò; ýòîò ïðèìåð
âçÿò èç êíèãè
[2]). ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ
ñàìîñòîÿòåëüíî
äîêàçàòü, ÷òî
ìíîãîãðàííèê, èçîáðàæåííûé
íà ðèñóíêå,
ñóùåñòâóåò è ÷òî
â íåì íåò ãàìèëüòîíîâà
öèêëà.
Ðèñ. 16
Çàäà÷è
3. Ïîñòðîéòå ïðèìåð âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà M, â
êîòîðîì åñòü öèêë äëèíû 3, íî ëþáàÿ ïðîåêöèÿ êîòîðîãî
ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 ñòîðîíû. Êàê îöåíèòü ñíèçó ñóììó
òåëåñíûõ óãëîâ òàêîãî ìíîãîãðàííèêà
4. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5 îñòàåòñÿ
ñïðàâåäëèâûì, åñëè âìåñòî îáû÷íîé ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè
ðàññìàòðèâàòü ïðîåêöèþ öåíòðàëüíóþ (åñòåñòâåííî,
ïðîåêöèåé íàøåãî ìíîãîãðàííèêà äîëæåí ÿâëÿòüñÿ ìíîãîóãîëüíèê,
ò.å. ýòà ïðîåêöèÿ äîëæíà áûòü îãðàíè÷åííîé).
Ñóùåñòâóåò ëè âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, â êîòîðîì åñòü
öèêë äëèíû 3, íî ëþáàÿ (îãðàíè÷åííàÿ) öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ
êîòîðîãî ñîäåðæèò õîòÿ áû 4 ñòîðîíû 4
5. Íàéäèòå òî÷íûå îöåíêè äëÿ Σ ( M)
, ãäå M – âûïóêëûé
ìíîãîãðàííèê, êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíûé êóáó. Ïðèâåäèòå
ïðèìåðû, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ýòè îöåíêè òî÷íû.
6. Ïóñòü âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ABCDA1B 1C1D 1 êîìáèíàòîðíî
ýêâèâàëåíòåí êóáó. Íàçîâåì åãî ïðîåêòèâíî ýêâèâàëåíòíûì
êóáó, åñëè åãî ãëàâíûå äèàãîíàëè AC 1 , BD 1 , CA 1 ,
DB 1 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. 5 Íàéäèòå òî÷íûå îöåíêè
íà ñóììó òåëåñíûõ óãëîâ òàêîãî ìíîãîãðàííèêà.
7.  òåîðåìå 5 äîêàçàíû òî÷íûå âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ îöåíêè
íà âåëè÷èíó Σ ( M)
, ãäå M – ìíîãîãðàííèê äàííîãî
êîìáèíàòîðíîãî òèïà. Òåì íå ìåíåå, íå äîêàçàíî, ÷òî Σ ( M)
ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëà
( 2 π( n −lmax
′ ); 2π( n − lmin
′ ))! Ïîïðîáóéòå äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå.
6
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. Ä.Î.Øêëÿðñêèé, Í.Í.×åíöîâ, È.Ì.ßãëîì. Èçáðàííûå
çàäà÷è è òåîðåìû ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè. ×àñòü 2.
Ãåîìåòðèÿ (Ïëàíèìåòðèÿ). – Ì.: ÃÈÒÒË, 1952.
2. Ô.Õàðàðè. Òåîðèÿ ãðàôîâ. – Ì.: Ìèð, 1973.
3. D.W.Barnette. Projections of 3-polytopes. – Israel J.
Math, Vol. 8, 1970, pp. 304–308.
4. D.W.Barnette. The sum of the solid angles of a d-polytope.
– Geometriae dedicata. Vol. 1, Num. 1, 1972, pp. 100–102.
4 Çàäà÷è 3 è 4 óæå ïîêàçûâàþò, ÷òî òåîðåìà Áàðíåòòà
íåïðîñòà.
5 Äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ: ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò
ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå, êîòîðîå ïåðåâîäèò M â êóá.
6 Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ñîîáðàæåíèÿ, êîòîðûå ìû ïðèâîäèëè
äëÿ òåòðàýäðà, ìîãóò íå ñðàáîòàòü. Èìåííî, íåïîíÿòíî,
êàêèì îáðàçîì ìîæíî íåïðåðûâíî äåôîðìèðîâàòü ìíîãîãðàííèê,
â êîòîðîì åñòü íåòðåóãîëüíûå ãðàíè è âåðøèíû, â
êîòîðûõ ñõîäèòñÿ áîëüøå òðåõ ãðàíåé: ýòè óñëîâèÿ íå òàê
ëåãêî ñîáëþñòè ïðè íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèè.
01-25.p65 14
09.06.10, 10:21

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÈÐ
105 ëåò àêàäåìèêó
Ñ. Ì. Íèêîëüñêîìó
30 àïðåëÿ 2010 ãîäà èñïîëíèëîñü 105 ëåò âûäàþùåìóñÿ
ðîññèéñêîìó ìàòåìàòèêó è ïåäàãîãó, àêàäåìèêó ÐÀÍ Ñåðãåþ
Ìèõàéëîâè÷ó Íèêîëüñêîìó.
Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé – ïðèçíàííûé ãëàâà íàó÷íîé øêîëû
òåîðèè ôóíêöèé è åå ïðèëîæåíèé, àâòîð ñâûøå äâóõñîò
íàó÷íûõ ïóáëèêàöèé, â òîì ÷èñëå òðåõ ìîíîãðàôèé, äâóõ
ó÷åáíèêîâ äëÿ âóçîâ è ñåìè – äëÿ øêîë. Ìíîãèå èç åãî êíèã
âîøëè â çîëîòîé ôîíä îòå÷åñòâåííîé è ìèðîâîé ëèòåðàòóðû
ïî ìàòåìàòèêå áëàãîäàðÿ âûñîêîìó íàó÷íîìó óðîâíþ
è äîñòóïíîñòè èçëîæåíèÿ. Åãî ó÷åáíèêè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó
àíàëèçó ïåðåâåäåíû íà ìíîãèå ÿçûêè ìèðà.
Êàê ó÷åíûé, Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé èìååò íåìàëî ïîñëåäîâàòåëåé,
áîëåå ñîðîêà åãî ó÷åíèêîâ çàùèòèëè êàíäèäàòñêèå
äèññåðòàöèè, îäèííàäöàòü ñòàëè äîêòîðàìè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ
íàóê. Íåîöåíèìûé âêëàä Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé âíåñ
â ñîâåðøåíñòâîâàíèå ñèñòåìû îáðàçîâàíèÿ â íàøåé
ñòðàíå.
Ñ.Ì.Íèêîëüñêèé – òðèæäû ëàóðåàò Ãîñóäàðñòâåííîé ïðåìèè,
ëàóðåàò ïðåìèè Ïðàâèòåëüñòâà ÐÔ, ïðåìèè ÌÃÓ
èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà «Çà âûäàþùèéñÿ âêëàä â ðàçâèòèå
îáðàçîâàíèÿ». Â 2005 ãîäó óäîñòîåí çâàíèÿ «Ëåãåíäà
âåêà». Íàãðàæäåí îðäåíàìè Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè,
Ëåíèíà, Îêòÿáðüñêîé Ðåâîëþöèè è ìåäàëÿìè ðÿäà àêàäåìèé.
Ïîçäðàâëÿåì Ñåðãåÿ Ìèõàéëîâè÷à ñ þáèëååì, æåëàåì
çäîðîâüÿ, ðàäîñòè îò îáùåíèÿ ñ ðîäíûìè è áëèçêèìè,
óñïåõîâ âî âñåõ äåëàõ!
Íà÷àëî
(Ïî âîñïîìèíàíèÿì Ñ.Ì.Íèêîëüñêîãî
èç êíèãè «Êàê ÿ ñòàë ìàòåìàòèêîì»)
ß ðîäèëñÿ 30 àïðåëÿ 1905 ãîäà â Ïåðìñêîé ãóáåðíèè,
â 100 êì îò Òþìåíè, â ïîñåëêå Çàâîä Òàëèöà. Â ýòîì
ïîñåëêå áûëà Ëåñíàÿ øêîëà, â êîòîðîé ïðåïîäàâàë ìîé
îòåö, ïîìîùíèê ëåñíè÷åãî. Îòåö çàêîí÷èë â 1896 ãîäó
Ïåòåðáóðãñêèé ëåñíîé èíñòèòóò èìåíè Àëåêñàíäðà III.
×åðåç ãîä ïîñëå ìîåãî ðîæäåíèÿ îí ïîëó÷èë äîëæíîñòü
ëåñíè÷åãî è íàçíà÷åíèå ðàáîòàòü íà êðàéíèé çàïàä, íà
ãðàíèöó ñ Ãåðìàíèåé. Òåïåðü ýòà òåððèòîðèÿ ïðèíàäëåæèò
Ïîëüøå. Òàì ÿ ïðîâåë äåòñòâî â ëåñíîé äåðåâíå, â
èãðàõ ñ ìåñòíûìè äåðåâåíñêèìè ïîëüñêèìè ìàëü÷èøêàìè.
Ãðàìîòó è ñ÷åò ÿ îäîëåë ïîõîäÿ, ëåãêî. Íåêîòîðîå
îáó÷åíèå ÿ ïîëó÷èë ñî ñòîðîíû ìàòåðè – îíà äî
çàìóæåñòâà áûëà ñåëüñêîé ó÷èòåëüíèöåé.
Íàóêè äàâàëèñü ìíå äîâîëüíî ëåãêî. Ïîë÷àñà ïåðåä
îáåäîì ìàòü ó÷èëà àðèôìåòèêå, ÷òåíèþ, ìîëèòâå. Íî
ãëàâíûé èíòåðåñ ê òî÷íûì íàóêàì ïðèâèë îòåö. Îí
ïðîõîäèë â èíñòèòóòå âûñøóþ ìàòåìàòèêó è óìåë
î÷åíü èíòåðåñíî ðàññêàçûâàòü.
 âîñåìü ëåò ìåíÿ ïðèíÿëè â ïîäãîòîâèòåëüíûé
êëàññ. Îêàçàëîñü, ÷òî âñå, ÷åìó ìåíÿ òàì ó÷èëè, ÿ
Ñåðãåé Ìèõàéëîâè÷ Íèêîëüñêèé
óæå çíàë. ×åðåç ãîä áûë ýêçàìåí â 1-é êëàññ. Ó÷èòåëü
ìàòåìàòèêè ñ óíèâåðñèòåòñêèì çíà÷êîì ñïðîñèë
ìåíÿ, ñêîëüêî áóäåò 10 ïîìíîæèòü íà 11. Õîòÿ ýòî íå
âõîäèëî â ïðîãðàììó ïîñòóïëåíèÿ â 1-é êëàññ, íî ÿ
áûñòðî îòâåòèë. Òîãäà îí ñïðîñèë, ñêîëüêî áóäåò 11
ïîìíîæèòü íà 12. ß òîæå îòâåòèë. Òîãäà îí îæèâèëñÿ
è ñòàë ñïðàøèâàòü, ñêîëüêî áóäåò 13 íà 14, 15 íà
17, 16 íà 17 è òàê ïî÷òè äî òûñÿ÷è. Ïîñëå íåêîòîðûõ
ðàçäóìèé ÿ äàâàë ïðàâèëüíûå îòâåòû. Îí ïîñòàâèë
ìíå «ïÿòü». Òàê ÿ äåðæàë ïåðâûé ýêçàìåí ïî àðèôìåòèêå.
Ëåòîì 1914 ãîäà íà÷àëàñü ìèðîâàÿ âîéíà, à ìû
æèëè â 20 êì îò ãåðìàíñêîé ãðàíèöû. Îòåö ïîñëàë
ñåìüþ íà âîñòîê, â òûë, à ñàì îñòàëñÿ â ëåñíè÷åñòâå.
Òàê ìû îêàçàëèñü â ×åðíèãîâå. Çäåñü ÿ ïîñòóïèë â
êëàññè÷åñêóþ ×åðíèãîâñêóþ ãèìíàçèþ èìåíè
Àëåêñàíäðà I Áëàãîñëîâåííîãî. Â ñâÿçè ñ âîéíîé ïåðåâîäíûå
ýêçàìåíû èç êëàññà â êëàññ áûëè îòìåíåíû.
Ïåðâûå äâà ãîäà îáó÷åíèå ïðîèñõîäèëî íîðìàëüíî.
Ôðîíò áûë äàëåêî. ß óñïåë õîðîøî îñâîèòü àðèôìåòèêó
– ïî Êèñåëåâó. Â 3–4-ì êëàññàõ ãèìíàçèè
èçó÷àëàñü àëãåáðà. Ïî ìàòåìàòèêå ìíå îáûêíîâåííî
ñòàâèëè «ïÿòåðêè». ß ëþáèë ðåøàòü çàäà÷è.
01-25.p65 15
09.06.10, 10:21

16
Ê êîíöó âîéíû íà÷àëàñü ðåâîëþöèÿ, ïîòîì â ×åðíèãîâ
ïðèøëè íåìöû. Òàê ìû ïðîæèëè äî 1918 ãîäà. Íàø
îòåö æèë îòäåëüíî îò ñåìüè, ãëàâíûì îáðàçîì, â
Ïåòåðáóðãå. Íî â 1918 ãîäó îí ïîëó÷èë íàçíà÷åíèå â
ëåñíè÷åñòâî íà þãå Âîðîíåæñêîé ãóáåðíèè, â çíàìåíèòûé
Øèïîâ ëåñ, è âûçâàë ê ñåáå ñåìüþ. Òàê ìû ñòàëè
æèòü íà êðàþ âåëè÷åñòâåííîãî äóáîâîãî ëåñà, êîðàáåëüíîãî
ëåñà, íî âäàëè îò ãîðîäîâ. Íà ðàññòîÿíèè
30 êì îò íàñ â òó è â äðóãóþ ñòîðîíó áûëè óåçäíûå
ãîðîäà, à çäåñü áûë òîëüêî ëåñ è äåðåâíÿ.
Ñ 1918 è ïî êîíåö 1921 ãîäà ÿ íå ó÷èëñÿ, óñïåâ
ïðîó÷èòüñÿ â ãèìíàçèè òîëüêî â ïåðâûõ ÷åòûðåõ êëàññàõ.
À â Øèïîâîì ëåñó ìíå ïðèøëîñü ðàáîòàòü â
ëåñíè÷åñòâå, çàðàáàòûâàòü äåíüãè. Ñíà÷àëà ìû æèëè
íà çàðïëàòû, êîòîðûå ñèëüíî óäåøåâëÿëèñü, äåíüãè
ïåðåñòàâàëè èìåòü êàêóþ-ëèáî öåííîñòü. Êðîìå òîãî,
ñëó÷èëèñü ñèëüíûå íåäîðîäû, áîëüøèå çàñóõè. Òàê ÷òî
äîâîëüíî ñêîðî ìû ñòàëè æèòü â ñðàâíèòåëüíî òÿæåëûõ
óñëîâèÿõ, íàñòîëüêî òÿæåëûõ, ÷òî â íà÷àëå 1921
ãîäà îòåö óñòðîèë ìåíÿ ðàáîòàòü ïîìîùíèêîì ñàäîâíèêà
â ñîâõîçå, òàì âñå-òàêè êîðìèëè. Íî è â ýòèõ
óñëîâèÿõ ÿ êîå-÷åìó ó÷èëñÿ. È äàæå ìíîãîìó íàó÷èëñÿ.
Îò îòöà.
Îí âðåìÿ îò âðåìåíè çàíèìàëñÿ ñ äåòüìè, îò íåãî ÿ
óçíàë âñþ ñðåäíþþ ìàòåìàòèêó. Îò íåãî ÿ âïåðâûå
óçíàë, ÷òî åñòü óðàâíåíèÿ – ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå,
÷òî åñòü òàêàÿ ïàðàáîëà. Ïðàâäà, ìû íå î÷åíü çàíèìàëèñü
âîïðîñîì, êàê âåäåò ñåáÿ ïàðàáîëà, åñëè îíà
çàäàíà óðàâíåíèåì y = a( x − x ) 2 + y . Íî ÿ õîðîøî
0 0
2
2
ñåáå ïðåäñòàâëÿë ïàðàáîëó y = x èëè y = ax . Áîëüøå
òîãî, îòåö çíàë íà÷àëà àíàëèçà. Ýòè ñâåäåíèÿ ÿ òîæå
ïîëó÷èë îò íåãî. ß óìåë äèôôåðåíöèðîâàòü, çíàë, ÷òî
ïðîèçâîäíàÿ ãåîìåòðè÷åñêè èçîáðàæàåòñÿ êàñàòåëüíîé,
è òàê äàëåå. Âñå ýòî ÿ õîðîøî óñâîèë, íå ó÷àñü â
øêîëå.
Òàê ñëó÷èëîñü, ÷òî ëåòîì 21-ãî ãîäà ìîåãî îòöà óáèëè
áàíäèòû. È â ýòî âðåìÿ áûë äîâîëüíî ñèëüíûé íåäîðîä.
Äâà ìîèõ áðàòà óìåðëè îò õîëåðû, è ñ îñòàòêàìè
ñåìüè ìû óåõàëè îáðàòíî â ×åðíèãîâ, ãäå â òî âðåìÿ
ìîæíî áûëî, ïî êðàéíåé ìåðå, êàê-òî íîðìàëüíî
ïèòàòüñÿ. Â Ïîâîëæüå è â òåõ ìåñòàõ, ãäå ìû ðàíüøå
æèëè, áûëî î÷åíü ãîëîäíî.
 ×åðíèãîâ ñòåêàëîñü ìíîãî ñòîëè÷íûõ ëþäåé, ïîòîìó
÷òî â ñòîëèöå áûëî òðóäíî æèòü. Ñðåäè íèõ áûëè
è ïðåïîäàâàòåëè, ïîëó÷èâøèå äîñòàòî÷íî âûñîêîå ìàòåìàòè÷åñêîå
îáðàçîâàíèå. Âîò îäèí èç òàêèõ ó÷èòåëåé
êàê ðàç è ýêçàìåíîâàë íàñ ïðè ïîñòóïëåíèè íà ïîäãîòîâèòåëüíîå
îòäåëåíèå â òåõíèêóì. Îí íå î÷åíü ñëåäîâàë
ïðîãðàììàì, à ñïðàøèâàë òàê, êàê ñ÷èòàë íóæíûì.
Êàæäûé ýêçàìåíóþùèéñÿ ïðèõîäèë ê íåìó ñ áóìàæêîé.
È îí áûñòðî ïèñàë äâà âîïðîñà, íà êîòîðûå ïîñëå
îáäóìûâàíèÿ ýêçàìåíóþùèéñÿ äîëæåí áûë îòâåòèòü.
Ó ìåíÿ òîæå áûëî äâà âîïðîñà. Ïåðâûé – íàðèñîâàòü
2
ïàðàáîëó y = x + 4 . Ïàðàáîëó ÿ ïîñòðîèë ïî òî÷êàì
äîâîëüíî ëåãêî. À âòîðîé âîïðîñ äîëæåí áûë èìåòü
òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Ó÷èòåëü õîòåë, ÷òîáû ÿ ÷òî-òî
ðàññêàçàë ïðî äèñòðèáóòèâíûé çàêîí, íî òàê íåáðåæíî
íàïèñàë íà áóìàæêå (a + b)n, ÷òî ÿ ïîäóìàë, ÷òî n
íàõîäèòñÿ â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè. Íî ÿ çíàë áèíîì
Íüþòîíà – ñî âñåìè ñî÷åòàíèÿìè...
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Íàñ ýêçàìåíîâàë åùå è êîìèññàð, ïðèåõàâøèé èç
îáêîìà. Îí òåðïåëèâî è ñ áîëüøèì óäèâëåíèåì ñëóøàë,
êàê ÿ âûâîäèë ïî âñåì ïðàâèëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî
èñêóññòâà ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà. À êîãäà ÿ çàêîí-
÷èë, îí ñêàçàë: «Òàê òåáå æå äàëè ñîâñåì äðóãîå».
Òåïåðü, êîãäà ÿ âñïîìèíàþ òîò ñëó÷àé, òî äóìàþ, ÷òî
åñëè áû ÿ çíàë, ÷òî òàì íàïèñàí äèñòðèáóòèâíûé çàêîí,
òî îêàçàëñÿ áû â áîëüøîì çàòðóäíåíèè, ïîòîìó ÷òî íå
çíàë, ÷òî ìíå íàäî ñêàçàòü... Ýòó ôèëîñîôèþ ÿ ñîâñåì
íå çíàë. Ñêîáêè ðàñêðûòü äëÿ ìåíÿ íå áûëî ïðîáëåìû,
à ÷òî ãîâîðèòü ïðè ýòîì, ÿ íå çíàë.
 òî âðåìÿ â ×åðíèãîâå, â òåõíèêóìå â ÷àñòíîñòè,
áûëè ïðåïîäàâàòåëè î÷åíü âûñîêîé êâàëèôèêàöèè.
Áûë òàì îäèí ìàòåìàòèê Äàâûäîâ, êîòîðûé î÷åíü
òàëàíòëèâî ðàññêàçàë î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îí êàêèå-òî
ïðèìåðû ïðèâîäèë, áûñòðî ïåðåõîäèë ê óñëîâíîé
âåðîÿòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ – âñå ýòî
îí ðàññêàçàë íàì ïî÷òè íà ïàëüöàõ áóêâàëüíî çà äâà
óðîêà. ß íå õî÷ó ñêàçàòü, ÷òî âñå çíàë, íàõîäÿñü â ëåñó,
ÿ êîå-÷òî åùå äîáàâèë ê ñâîèì çíàíèÿì â òåõíèêóìå.
Ïðî ìåíÿ åùå ìîé îòåö ãîâîðèë: «Ñåðåãà ó íàñ
ìàòåìàòèê. Áóäåò èíæåíåðîì». È ÿ ñ÷èòàë, ÷òî áóäó
èíæåíåðîì. Êàêèì Îá ýòîì ÿ òîãäà åùå íå äóìàë. Â
òåõíèêóìå ïåðâûé ãîä ÿ áûë íà ìåõàíè÷åñêîì ôàêóëüòåòå.
 íàøåì îáùåæèòèè æèëè è ñòóäåíòû-ìàòåìàòèêè.
Áûëè òàêèå, êîòîðûå ñ÷èòàëè, ÷òî ó÷àòñÿ â ñëàáîì
èíñòèòóòå è åùå ïîåäóò ó÷èòüñÿ â Ïåòåðáóðã. È ÿ òàê
äóìàë: âîò ïîåäó â Ïåòåðáóðã, ïîñòóïëþ òàì â êàêîéíèáóäü
òåõíè÷åñêèé âóç. Òîãäà î òåõíè÷åñêîì âóçå
ìå÷òàëè ìíîãèå, â îñîáåííîñòè òå, êòî ÷óâñòâîâàë, ÷òî
â ìàòåìàòèêå ÷òî-òî ñìûñëèò.
Òàê ÷òî áûëè òàêèå ðåáÿòà, êîòîðûå îáçàâîäèëèñü
êàêèìè-òî çàäà÷íèêàìè, è ïî õîäó äåëà èì íàäî áûëî
ðåøèòü êàêóþ-òî çàäà÷ó ïî ìàòåìàòèêå. ß, áûâàëî,
ñïðîøó: «Êàêóþ çàäà÷ó òåáå íàäî ðåøèòü Äàâàé ÿ
ïîïðîáóþ». È, êàê ïðàâèëî, ðåøàë. Äàæå íå «êàê
ïðàâèëî», à ïðîñòî íå áûëî íè îäíîãî ñëó÷àÿ, ÷òîáû ÿ
íå ðåøèë. ß äàæå ñòàë íåìíîæêî çàçíàâàòüñÿ. Îíè
ãîâîðèëè, ÷òî ÿ íå ðåøó, à ÿ èì – ÷òî íåò, ðåøó. È
äîáàâëÿë: «Çà ïîë÷àñà ðåøó». Îíè áðàëè ÷àñû, îòìåðÿëè
ïîë÷àñà, ÿ â ýòî âðåìÿ íàä êàêîé-íèáóäü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
çàäà÷åé äóìàë. Ýòî ôàêò, ÷òî ÿ ðåøàë
çàäà÷è è äàæå õîäèë íà «ïàðè». Òàêîå áûëî ìîå
îòíîøåíèå ê ìàòåìàòèêå. ß ñ óäîâîëüñòâèåì è ñ èíòåðåñîì
ðåøàë ðàçëè÷íûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è, íî ñàì
ñåáå ýòè çàäà÷è îñîáåííî íå çàäàâàë è ïîäðÿä èç
çàäà÷íèêà íå ðåøàë. Íî åñëè áûëî íóæíî, òî ðåøàë
çàäà÷è ñ óäîâîëüñòâèåì è ñ èíòåðåñîì – ýòî ôàêò.
Ïîòîì ÿ ïîñòóïèë íà ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå Åêàòåðèíîñëàâñêîãî
óíèâåðñèòåòà ñ òåì, ÷òîáû ÷åðåç ãîä
ïåðåâåñòèñü â èíæåíåðíûé âóç. Íî ïî ìåðå òîãî, êàê ÿ
òàì ó÷èëñÿ è ñòàë èçó÷àòü êíèæêè ñîîòâåòñòâóþùèå, ÿ
ïðèøåë ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ìàòåìàòèêà î÷åíü èíòåðåñíàÿ
è ãëóáîêàÿ íàóêà, íàñòîëüêî èíòåðåñíàÿ, ÷òî ìíå
íàäî ïðîäîëæàòü ó÷èòüñÿ èìåííî ìàòåìàòèêå. ß ðåøèë,
÷òî áóäó ïðîôåññèîíàëîì-ìàòåìàòèêîì. Ïóñòü ÿ
áóäó òîëüêî ó÷èòåëåì ìàòåìàòèêè, è ïóñòü ìíå áóäóò
ïëàòèòü ìåíüøå, íî âñå ðàâíî ÿ õî÷ó áûòü ìàòåìàòèêîì.
01-25.p65 16
09.06.10, 10:21

ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ
Êâàíòîâûå è âîëíîâûå
ÿâëåíèÿ â íàíîìèðå
Â.ÒÈÌÎØÅÍÊÎ
ÂÎÁÛ×ÍÎÉ ÆÈÇÍÈ, ÍÀÁËÞÄÀß ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÊÀêîãî-ëèáî
îáúåêòà, ëþäè ñòðåìÿòñÿ óçíàòü êàê
ìîæíî òî÷íåå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè òàêîãî
äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, íàì íóæíî çíàòü òî÷íîå ðàñïèñàíèå
äâèæåíèÿ ýëåêòðè÷êè èëè àâòîáóñà, ÷òîáû âîâðåìÿ
äîáðàòüñÿ ê æåëàííîé öåëè. ×åëîâåê õî÷åò èìåòü
äàííûå î äâèæåíèè ïëàíåò è çàêîíàõ âðàùåíèÿ Çåìëè,
÷òîáû ïðåäñêàçàòü ïðèðîäíûå ÿâëåíèÿ, à ïîðîé è
ïðîñòî ñîñòàâèòü àñòðîëîãè÷åñêèé ïðîãíîç, õîòÿ òîò è
íå èìååò ê íàó÷íîìó çíàíèþ íèêàêîãî îòíîøåíèÿ.
 êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñòðåìëåíèå ê òî÷íîñòè îïèñàíèÿ
äâèæåíèÿ òåë ôîðìàëèçóåòñÿ ïîñòàíîâêîé çàäà÷è
î íàõîæäåíèè çàêîíà äâèæåíèÿ, à èìåííî – ôîðìóëû
èëè ãðàôèêà, îïèñûâàþùèõ, êàê òåëî ïåðåìåñòèëîñü
èç òî÷êè À â òî÷êó B çà âðåìÿ t. È ÷åì òî÷íåå ðåøàåòñÿ
äàííàÿ çàäà÷à, òåì ëó÷øå. Òî, ÷òî ïîäîáíàÿ çàäà÷à
äîëæíà èìåòü òî÷íîå ðåøåíèå, ñîñòàâëÿåò ñóòü èäåè
äåòåðìèíèçìà â ôèçèêå, íàèáîëåå ÿðêèì è ïîëíûì
âûðàçèòåëåì êîòîðîé ñòàë âåëèêèé ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé
XVIII–XIX âåêîâ Ïüåð Ëàïëàñ.
Íî åñëè ëàïëàñîâñêèé äåòåðìèíèçì ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì
â êëàññè÷åñêîé
ôèçèêå, âêëþ÷àÿ íåáåñíóþ
ìåõàíèêó, òî
äëÿ ìèêðîìèðà è
ñòîëü ïîïóëÿðíûõ â
íàñòîÿùåå âðåìÿ íàíîñèñòåì,
ïðåäñòàâëÿþùèõ
ñîáîé òåëà
èëè ñîâîêóïíîñòè
òåë ñ õàðàêòåðíûìè
ðàçìåðàìè îò 1 äî
100 íì, èñïîëüçîâàíèå
ìåòîäîëîãèè äåòåðìèíèçìà
òðåáóåò
ñåðüåçíîãî ïåðåîñìûñëåíèÿ.
Îêàçûâàåòñÿ,
÷òî â íàíîñèñòåìàõ
òî÷íîå çíàíèå
Ëàïëàñ Ïüåð Ñèìîí (1749–1827) –
ôðàíöóçñêèé àñòðîíîì, ìàòåìàòèê
è ôèçèê, ÷ëåí ìíîãèõ àêàäåìèé
íàóê è íàó÷íûõ îáùåñòâ. Ñ÷èòàåòñÿ,
÷òî ïîñëåäíèìè ñëîâàìè Ëàïëàñà
áûëè: «Òî, ÷òî ìû çíàåì, òàê
íè÷òîæíî ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì, ÷òî
ìû íå çíàåì»
çàêîíîâ äâèæåíèÿ
ïîðîé íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ
âîçìîæíûì, à
ñàìî äâèæåíèå ýòî
óæå íå ïðîñòîå ïåðåìåùåíèå,
à íå÷òî
ïîäîáíîå âîëíå, êîãäà
ìàêñèìóì ñìåíÿåòñÿ
ìèíèìóìîì è íàîáîðîò. Íî êàê æå áûòü òîãäà ñ
îñíîâíîé çàäà÷åé íàíîòåõíîëîãèé – ñîçäàâàòü íàíîñèñòåìû,
íàíîìàòåðèàëû è íàíîîáúåêòû ñ íàíîìåòðîâîé
òî÷íîñòüþ è çíàòü î ïîâåäåíèè òàêèõ îáúåêòîâ ñ
íàíîñåêóíäíûì èëè äàæå ñóáíàíîñåêóíäíûì âðåìåíí
’ûì ðàçðåøåíèåì Æåëàíèå òî÷íîñòè – âåñüìà ïîõâàëüíî.
È íå òîëüêî äëÿ êîðîëåé, ìåòðîëîãîâ èëè
íàíîòåõíîëîãîâ. Òî÷íîñòü è îïðåäåëåííîñòü – õîðîøèå
êà÷åñòâà äëÿ ëþáîãî îáðàçîâàííîãî ÷åëîâåêà.
Íî, óâû, â ìèðå íàíîðàçìåðîâ è íàíîïåðåìåùåíèé,
èëè, ïðîùå ãîâîðÿ, â íàíîìèðå, ñòðåìëåíèå ê ìàêñèìàëüíîé
òî÷íîñòè óïèðàåòñÿ â ðÿä ôóíäàìåíòàëüíûõ
îãðàíè÷åíèé, êîòîðûå åñëè è íå îòìåíÿþò âîçìîæíîñòü
ñêîëü óãîäíî òî÷íîãî îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ
òåë, òî çíà÷èòåëüíî èçìåíÿþò ñìûñë òîãî,
÷òî ìû ìîæåì óçíàòü î äâèæåíèè íà î÷åíü ìàëûõ
ðàññòîÿíèÿõ.
Ñàìî äâèæåíèå òåëà óæå íå ìîæåò áûòü çà÷àñòóþ
îïèñàíî êàê ïåðåìåùåíèå èç òî÷êè À â òî÷êó B, à ñêîðåå
äîëæíî ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê äâèæåíèå âîëíû, ïðè
êîòîðîì ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî òåëî ïîïàäåò â
æåëàåìóþ òî÷êó ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ. Äðóãèìè
ñëîâàìè, îïðåäåëåííîñòü çàêîíîâ äâèæåíèÿ, èëè äåòåðìèíèçì,
ÿâëÿþùèéñÿ
êðàåóãîëüíûì
êàìíåì êëàññè÷åñêîé
ôèçèêè, óñòóïàåò ìåñòî
âåðîÿòíîñòíîìó
ñïîñîáó îïèñàíèÿ
ìèðà. Òàêîé ïîäõîä
ê îïèñàíèþ ìèðà áûë
ïðåäëîæåí îêîëî ñòà
ëåò íàçàä, êîãäà ñîçäàâàëàñü
êâàíòîâàÿ
ôèçèêà, â ÷àñòíîñòè
êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà.
Îí íå ñðàçó áûë ïîíÿò
è ïðèíÿò äàæå
ôèçèêàìè, ïîñêîëüêó
î÷åíü íåïðîñòî ïðèìèðèòüñÿ
ñ îòñóòñòâèåì
äåòåðìèíèçìà â
íàóêå. Òàê, èçâåñòåí
àôîðèçì Àëüáåðòà
Ýéíøòåéíà î òîì, ÷òî
«Áîã íå èãðàåò â êîñòè».
Òàêèì âûñêàçû-
Ýéíøòåéí Àëüáåðò (1879–1955) –
âûäàþùèéñÿ ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí
èç ñîçäàòåëåé ñîâðåìåííîé ôèçèêè.
Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè
ïî ôèçèêå (1921) «çà çàñëóãè ïåðåä
òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêîé è îñîáåííî
çà îòêðûòèå çàêîíà ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî
ýôôåêòà»
01-25.p65 17
09.06.10, 10:21

18
âàíèåì âåëèêèé ôèçèê, êîòîðûé ñàì ÿâëÿëñÿ îäíèì èç
îñíîâîïîëîæíèêîâ êâàíòîâîé ôèçèêè, áðîñèë âûçîâ
ðàçðàáîò÷èêàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Îíè åãî ïðèíÿëè
è ñîçäàëè ñòðîéíóþ íàó÷íóþ òåîðèþ, êîòîðàÿ ìîæåò
îïèñàòü êàê äâèæåíèå çàðÿäîâ â àòîìå, òàê è ïåðåìåùåíèå
áîëåå êðóïíûõ òåë, íàïðèìåð íàíî÷àñòèö. Íî, ÷òî
ñàìîå âàæíîå, èñõîäÿ èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè, õîðîøî
ïðîñëåæèâàåòñÿ ïåðåõîä îò íåîïðåäåëåííîñòè ïåðåìåùåíèé
ìàëûõ îáúåêòîâ ê äåòåðìèíèçìó äâèæåíèÿ
ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë. Èìåííî ýòî êðàéíå âàæíî äëÿ
íàíîòåõíîëîãèé, ñòðåìÿùèõñÿ ñîçäàâàòü íîâûå âåùåñòâà
è óñòðîéñòâà ìåòîäàìè êàê «câåðõó-âíèç», òàê è
«ñíèçó-ââåðõ».
×òîáû ðàçîáðàòüñÿ â òîì, êàê âñå æå ìîæíî îïèñûâàòü
ñâîéñòâà òåë è ðàçëè÷íûå ÿâëåíèÿ â íàíîìèðå,
âñïîìíèì âàæíåéøèå ôóíäàìåíòàëüíûå çàêîíû (ïîñòóëàòû)
êâàíòîâîé ôèçèêè.
Ïîñòóëàò ïåðâûé ãëàñèò, ÷òî ëþáàÿ äâèæóùàÿñÿ
÷àñòèöà ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî âîëíîé, à âîëíà ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê
÷àñòèöà. Ýòîò ïîñòóëàò
âûðàæàåò ñóòü
êîíöåïöèè êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî
äóàëèçìà,
ïðåäëîæåííîé
â 1923 ãîäó ôðàíöóçñêèì
ó÷åíûì Ëóè
äå Áðîéëåì. Ñîãëàñíî
òåîðèè äå Áðîéëÿ,
äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ
ìàòåðèàëüíîãî
îáúåêòà íåîáõîäèìî
çíàòü êàê åãî êîðïóñêóëÿðíûå
õàðàêòåðèñòèêè,
íàïðèìåð
èìïóëüñ èëè ýíåðãèþ,
òàê è âîëíîâûå
Äå Áðîéëü Ëóè (1892–1987) – ôðàíöóçñêèé
ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí èç
ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî
ôèçèêå (1929) «çà îòêðûòèå âîëíîâîé
ïðèðîäû ýëåêòðîíîâ»
õàðàêòåðèñòèêè, à
èìåííî äëèíó âîëíû
èëè ÷àñòîòó.  ÷àñòíîñòè,
÷àñòèöå ñ èìïóëüñîì
ð ìîæíî ñîïîñòàâèòü
òàê íàçûâàåìóþ
äëèíó âîëíû
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
äå Áðîéëÿ:
h
λ D = ,
p
−34
ãäå h = 6,62 ⋅10 Äæ ⋅ ñ – ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà.
Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå áûëî ïðåäëîæåíî
åùå â 1900 ãîäó Ìàêñîì Ïëàíêîì äëÿ ÷àñòîòû è
ýíåðãèè êâàíòîâ ñâåòà – ôîòîíîâ:
E
ν= .
h
Çà ýòî ãåíèàëüíî ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå â 1918 ãîäó
Ïëàíê áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè. Ïðåäëîæåííîå
Ïëàíêîì âûðàæåíèå íå òîëüêî ïîçâîëèëî îáúÿñíèòü
ñïåêòð òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ òåë, íî è ñòàëî
îòïðàâíîé òî÷êîé äëÿ îáúÿñíåíèÿ ìíîãèõ âàæíåéøèõ
ôèçè÷åñêèõ ýôôåêòîâ – òàêèõ, íàïðèìåð, êàê ôîòîýôôåêò.
Íîáåëåâñêóþ
ïðåìèþ çà îáúÿñíåíèå
ôîòîýôôåêòà
ïðèñóäèëè â 1921 ãîäó
Àëüáåðòó Ýéíøòåéíó,
êîòîðûé â ñâîåé ðàáîòå,
âûøåäøåé â
1905 ãîäó, ïðèìåíèë
ãèïîòåçó Ïëàíêà äëÿ
îáúÿñíåíèÿ èñïóñêàíèÿ
ýëåêòðîíîâ èç
òâåðäûõ òåë ïîä äåéñòâèåì
ñâåòà. Ñ÷èòàåòñÿ,
÷òî èìåííî Ýéíøòåéíó
ïðèíàäëåæèò
çàñëóãà â îáúÿñíåíèè
ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà
ñâÿçè ìåæäó ÷àñòîòîé
è ýíåðãèåé ñâåòà.
Òàêèì îáðàçîì, äå
Áðîéëü ðàñïðîñòðàíèë
ãèïîòåçó Ïëàíêà,
ïåðâîíà÷àëüíî îòíîñÿùóþñÿ
òîëüêî ê
êâàíòàì ñâåòà – ôîòîíàì,
íà ëþáûå äâèæóùèåñÿ
òåëà. Íî íàñêîëüêî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü
âîëíîâûå ñâîéñòâà äëÿ ðåàëüíûõ òåë ×òîáû îòâåòèòü
íà ýòîò âîïðîñ, ïîïðîáóåì ñäåëàòü ïðîñòûå îöåíêè.
Ðàññìîòðèì ñâîáîäíûé ýëåêòðîí ìàññîé
−31
Ïëàíê Ìàêñ Êàðë Ýðíñò Ëþäâèã
(1858–1947) – íåìåöêèé ôèçèêòåîðåòèê,
îñíîâîïîëîæíèê êâàíòîâîé
òåîðèè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé
ïðåìèè ïî ôèçèêå (1918) «â
çíàê ïðèçíàíèÿ åãî çàñëóã â ðàçâèòèè
ôèçèêè áëàãîäàðÿ îòêðûòèþ
êâàíòîâ ýíåðãèè»
m 0 = 9,1 ⋅ 10 êã â òâåðäîì òåëå, íàïðèìåð ìåòàëëå,
ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé
ýëåêòðîííîé òåîðèè, òàêîé ýëåêòðîí äîëæåí èìåòü
5
òåïëîâóþ ñêîðîñòü v = 10 ì/ñ.  ýòîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùàÿ
äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ áóäåò ðàâíà
h
λ D = = 7,3 íì. È õîòÿ, ñîãëàñíî ñîâðåìåííûì
mv
ïðåäñòàâëåíèÿì, ñêîðîñòü ýëåêòðîíîâ â òâåðäûõ òåëàõ
ìîæåò áûòü âî ìíîãî ðàç áîëüøå, äëÿ ìíîãèõ ìåòàëëîâ
è ïîëóïðîâîäíèêîâ λ D ëåæèò â äèàïàçîíå 1–10 íì. À
çíà÷èò, ïðè îïèñàíèè ýëåêòðîííûõ ÿâëåíèé â íàíîìèðå
íåëüçÿ ïðåíåáðåãàòü âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè ýëåêòðîíîâ
è ïîäîáíûõ èì ÷àñòèö.
Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè òåëàìè è
íåäîñòàòî÷íî ìàëåíüêèìè ìèêðî÷àñòèöàìè. Ðàññìîòðèì
â êà÷åñòâå ïðèìåðà îäèí èç ñàìûõ ìåëêèõ ìèêðîîðãàíèçìîâ,
à èìåííî ìèêðîá ðàçìåðîì 1 ìêì è ìàññîé
−13
10 êã, ïåðåäâèãàþùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ 1 ìêì/ñ.
Ëåãêî ïîñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ìèêðîáà äëèíà âîëíû äå
Áðîéëÿ ñîñòàâèò âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10 − ì =
9
= 10 − 6
ìêì = 10 − íì, ò.å. áóäåò ïðåíåáðåæèìî ìàëà
ïî ñðàâíåíèþ íå òîëüêî ñ åãî ðàçìåðàìè, íî è ñ
ðàçìåðàìè àòîìà a0 ∼ 0,05 íì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
îïèñàíèè äâèæåíèÿ ìèêðîáà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü åãî
âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, êàê, âïðî÷åì, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè àíàëîãè÷íûõ è áîëåå êðóïíûõ
îáúåêòîâ ìèêðî- è ìàêðîìèðà.
Íî ÷åì ìåíüøå (ëåã÷å) òåëî è ÷åì ìåíüøå åãî
ñêîðîñòü, òåì çíà÷èìåå ñòàíîâÿòñÿ åãî âîëíîâûå ñâîéñòâà.
Òàê, äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû íàíîìåòðîâûõ ðàçìå-
15
01-25.p65 18
09.06.10, 10:21

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ È ÂÎËÍÎÂÛÅ ßÂËÅÍÈß Â ÍÀÍÎÌÈÐÅ
19
ðîâ, ñêàæåì äëÿ íàíîêðèñòàëëà êðåìíèÿ ñ ïîïåðå÷íûì
24
ðàçìåðîì 1 íì è, çíà÷èò, ìàññîé 10 − êã, îáëàäàþùåãî
ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå òåïëîâîé ñêîðîñòüþ
2
10 ì/ñ, ïîëó÷èì äëèíó âîëíû äå Áðîéëÿ
λD
≈ 0,007 íì. Ýòà âåëè÷èíà ïî-ïðåæíåìó ìíîãî ìåíüøå,
÷åì ðàçìåð ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó
ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå òàêèõ ìàëûõ òåë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü,
ïðåíåáðåãàÿ èõ âîëíîâîé ïðèðîäîé. Îäíàêî
ïðè àíàëèçå âíóòðåííèõ ôîðì äâèæåíèÿ íàíîêðèñòàëëîâ,
ò.å. äâèæåíèÿ ñóáíàíîìåòðîâûõ ÷àñòåé èëè
÷àñòèö, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âîëíîâûå ñâîéñòâà ñîñòàâëÿþùèõ
èõ àòîìîâ è ýëåêòðîíîâ (îá ýòîì áóäåò
ïîäðîáíåå ðàññêàçàíî íèæå).
Èòàê, ñîãëàñíî ïîñòóëàòó î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîì
äóàëèçìå, íåëüçÿ çàáûâàòü î âîëíîâîé ïðèðîäå
ìàëûõ ÷àñòèö, îñîáåííî åñëè ñîîòâåòñòâóþùàÿ äëèíà
âîëíû ñîïîñòàâèìà ñ ðàçìåðàìè ÷àñòèöû è øêàëîé åå
ïåðåìåùåíèé. À ìîæåò ëè íàíî÷àñòèöà, äâèæóùàÿñÿ ñ
íåáîëüøîé ñêîðîñòüþ èëè íàõîäÿùàÿñÿ â ñðåäíåì â
ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, èìåòü äëèíó âîëíû äå Áðîéëÿ, ñîïîñòàâèìóþ
ñ åå ðàçìåðàìè èëè ïðåâûøàþùèìè òàêèå
ðàçìåðû Ôîðìàëüíî èç ôîðìóëû, ïðåäëîæåííîé äå
Áðîéëåì, ñëåäóåò, ÷òî ïîêîÿùàÿñÿ ÷àñòèöà äîëæíà
èìåòü áåñêîíå÷íóþ äëèíó âîëíû λ D . Íà ñàìîì æå äåëå
ìàëóþ ÷àñòèöó íåëüçÿ ïðèâåñòè â ñîñòîÿíèå ïîëíîãî
ïîêîÿ. ×åì ìåíüøå è ëåã÷å îáúåêò, òåì ñëîæíåå åãî
îñòàíîâèòü, çàôèêñèðîâàòü
è èçìåðèòü, íàïðèìåð,
åãî ðàçìåðû.
È ýòî – åùå îäíî ôóíäàìåíòàëüíîå
ñâîéñòâî
íàíîìèðà. Ñ íèì
ñâÿçàí âòîðîé ïîñòóëàò
íàíîìèðà – ïðèíöèï
íåîïðåäåëåííîñòè
Ãåéçåíáåðãà.
Ýòîò ïðèíöèï, ÿâëÿþùèéñÿ
îäíèì èç
îñíîâîïîëàãàþùèõ â
êâàíòîâîé ìåõàíèêå,
áûë ñôîðìóëèðîâàí
Ãåéçåíáåðã Âåðíåð Êàðë (1901–
1976) – íåìåöêèé ôèçèê-òåîðåòèê,
ñîçäàòåëü ìàòðè÷íîé êâàíòîâîé
ìåõàíèêè. Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé
ïðåìèè ïî ôèçèêå (1932) –
«çà ñîçäàíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè…»
â 1927 ãîäó Âåðíåðîì
Ãåéçåíáåðãîì.
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó
íåîïðåäåëåííîñòè,
íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííî
èçìåðèòü ñî
ñêîëü óãîäíî âûñîêîé
òî÷íîñòüþ ïàðû ðÿäà
ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, â òîì ÷èñëå èìïóëüñ è êîîðäèíàòó,
ýíåðãèþ è âðåìÿ. Ïðè èçìåðåíèè óêàçàííûõ ïàð
âåëè÷èí áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè
äëÿ ïîãðåøíîñòåé (íåîïðåäåëåííîñòåé) èõ
èçìåðåíèé:
∆px
⋅∆x
≥ ħ ,
2
∆E⋅∆t
≥ ħ ,
2
h
−34
ãäå ħ = = 1, 054 ⋅10 Äæ ⋅ñ
– òîæå ïîñòîÿííàÿ
2π
Ïëàíêà (èíîãäà íàçûâàåìàÿ ïîñòîÿííîé Äèðàêà). Òàêèì
îáðàçîì, çíàÿ, íàïðèìåð, ÷òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè
÷àñòèöû ìàññîé m ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó vx
±∆v x, ñîîòâåòñòâóþùóþ
êîîðäèíàòó ÷àñòèöû ìîæíî èçìåðèòü ñ
ħ
ïîãðåøíîñòüþ ∆x
≥ . Èíûìè ñëîâàìè, êîîðäèíàòà
ìîæåò áûòü èçâåñòíà òîëüêî êàê íåêîòîðàÿ âåëè-
2m∆v x
÷èíà x ±∆x , ãäå õ – ñðåäíåå çíà÷åíèå. Åñëè æå â
ñðåäíåì ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ, ò.å. v x = 0 , òî âåëè÷èíà
m∆v x ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé
èìïóëüñ ÷àñòèöû ïî îñè õ. Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ
ïîñòóëàòîì î êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîì äóàëèçìå, íåîïðåäåëåííîñòü
êîîðäèíàòû ñâÿçàíà ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé
äëèíîé âîëíû äå Áðîéëÿ: ∆x
≥ . Ýòî 4π
óêàçûâàåò íà âçàèìîñâÿçü îáîèõ óïîìÿíóòûõ ïîñòóëà-
λD
òîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, îòðàæàþùèõ âåðîÿòíîñòíûé
õàðàêòåð ìèðà ìàëûõ ìàñøòàáîâ.
Íî åñëè â íàíîìèðå âñå òàê íåîïðåäåëåííî è î
âàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèêàõ äâèæåíèÿ ìîæíî ñóäèòü
ëèøü ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ,
òî âîçíèêàåò
âîïðîñ: ìîæíî
ëè ïðåäëîæèòü
êàêèå-ëèáî ñòðîãèå
êîëè÷åñòâåííûå çàêîíû
äëÿ îïèñàíèÿ õîòÿ
áû ñðåäíèõ õàðàêòåðèñòèê
äâèæåíèÿ
Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ
äàåò òðåòèé ïîñòóëàò,
êîòîðûé ãëàñèò, ÷òî
êàæäîìó òåëó ìîæíî
ñîïîñòàâèòü íåêîòîðóþ
çàâèñèìóþ îò
âðåìåíè è êîîðäèíàò
ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ
âîëíîâîé ôóíêöèåé
Ψ ( rt
, ). Ïðè
ýòîì êâàäðàò ìîäóëÿ
âîëíîâîé ôóíêöèè
Ψ ( rt
, ) 2
îïèñûâàåò
Øð¸äèíãåð Ýðâèí Ðóäîëüô Éîçåô
Àëåêñàíäð (1887–1961) – àâñòðèéñêèé
ôèçèê-òåîðåòèê, îäèí
èç ñîçäàòåëåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè
ïî ôèçèêå (1933) «çà îòêðûòèå
íîâûõ ïðîäóêòèâíûõ ôîðì àòîìíîé
òåîðèè»
ìàòåìàòè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü
íàõîæäåíèÿ
÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå
ïðîñòðàíñòâà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè, à ñàìà
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåêîòîðîìó
óðàâíåíèþ, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øð¸äèíãåðà.
 ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèë,
êîòîðûå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèè Ur ()
, íå çàâèñÿùåé ÿâíî îò âðåìåíè,
ñïðàâåäëèâî ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà
2
ħ 2
− ∇ Ψ () r + U() r Ψ () r = EΨ()
r ,
2m
2 2 2
2 ∂ ∂ ∂
ãäå ∇ = + + – òàê íàçûâàåìûé îïåðàòîð
2 2 2
∂x ∂y ∂z
Ëàïëàñà, îïèñûâàþùèé äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòàì,
êîýôôèöèåíò Å èìååò ñìûñë ýíåðãèè ÷àñòèöû,
êîòîðàÿ â ñèëó åå êâàíòîâûõ ñâîéñòâ ìîæåò
ïðèíèìàòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåìûå ñîá-
01-25.p65 19
09.06.10, 10:21

20
ñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýíåðãèè.  îäíîìåðíîì ñëó-
÷àå ïðè ïîñòîÿííîì çíà÷åíèè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:
U = const óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà ïîäîáíî óðàâíåíèþ
êîëåáàíèé:
2
d Ψ( x) 2m( E −U)
+ Ψ ( x)
= 0 .
2 2
dx ħ
Çäåñü àíàëîãîì ÷àñòîòû âûñòóïàåò êîýôôèöèåíò
2m( E −U)
, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòðàíñòâåííûé ïåðè-
ħ
Ψ x ðàâåí
îä ôóíêöèè ( )
2πħ
h h
= = = λ
2m E U 2m E U p
( − ) ( − )
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåì ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ
Øð¸äèíãåðà ÿâëÿåòñÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, ïåðèîäè÷åñêàÿ
â ïðîñòðàíñòâå ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì äëèíå âîëíû äå
Áðîéëÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, âîëíà äå Áðîéëÿ – ýòî
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå
ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Åñëè æå äâèæåíèå
îãðàíè÷åíî èëè èñïûòûâàåò êàêèå-ëèáî âíåøíèå âîçìóùåíèÿ,
íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü îòðàæåíèÿ èëè èñêàæåíèÿ
ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëí äå Áðîéëÿ, ÷òî àâòîìàòè÷åñêè
ðåàëèçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà
ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.
Âûâîä î âîçìîæíîñòè ïîëó÷èòü âîëíó äå Áðîéëÿ
èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà óêàçûâàåò íà âçàèìîñâÿçü
îñíîâíûõ ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé ôèçèêè, îïèñûâàþùèõ
ñ ðàçíûõ ñòîðîí îñîáåííîñòè íàíîìèðà.
Êàê èçâåñòíî, âîëíû ìîãóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ íå
òîëüêî äëèíîé âîëíû, ÷àñòîòîé è àìïëèòóäîé, íî è
äðóãèì âàæíûì ïàðàìåòðîì – ïîëÿðèçàöèåé âîëíû.
Åñëè äâèæåíèå ÷àñòèö ñðåäû èëè âåêòîðà àìïëèòóäû â
âîëíå ïðîèñõîäèò â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì
íàïðàâëåíèþ åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ, òî òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ
ïîïåðå÷íîé, à åñëè âäîëü íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
âîëíû, òî – ïðîäîëüíîé.
 ñëó÷àå ïîïåðå÷íîé
âîëíû íàïðàâëåíèå
êîëåáëþùåãîñÿ
âåêòîðà àìïëèòóäû
òàêæå ìîæåò
áûòü ðàçëè÷íûì, ÷òî
âûðàæàåòñÿ ïîëÿðèçàöèåé
âîëíû. Íàïðèìåð,
äëÿ ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé
âîëíû
íàïðàâëåíèå êîëåáàíèé
âåêòîðà àìïëèòóäû
âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò
îäíîìó ïðîñòðàíñòâåííîìó
íàïðàâëåíèþ,
à äëÿ êðóãîâîé
Ïàóëè Âîëüôãàíã Ýðíñò (1900–
1958) – âûäàþùèéñÿ ôèçèê-òåîðåòèê.
Ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè
ïî ôèçèêå (1945) «çà îòêðûòèå
ïðèíöèïà çàïðåòà»
D
èëè ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèè
êîíåö âåêòîðà
àìïëèòóäû çà ïåðèîä
êîëåáàíèé îïèñûâàåò
îêðóæíîñòü
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
.
èëè ýëëèïñ ñîîòâåòñòâåííî. Íî åñëè äëÿ äâèæåíèÿ
ìàëûõ (ñóáíàíîìåòðîâûõ) ÷àñòèö íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü
èõ âîëíîâûå ñâîéñòâà, òî íóæíî ëè ïðèíèìàòü âî
âíèìàíèå âîçìîæíîñòü ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèè òàêèõ
âîëí äå Áðîéëÿ È åñëè íóæíî, òî êàê ñîîòíåñòè
ïîëÿðèçàöèîííûå ñâîéñòâà ÷àñòèö ñ èõ êîðïóñêóëÿðíûìè
õàðàêòåðèñòèêàìè Äàííûé âîïðîñ â êâàíòîâîé
ôèçèêå ðåøàåòñÿ ââåäåíèåì îñîáîé õàðàêòåðèñòèêè –
ñïèíà ÷àñòèöû (îò àíãëèéñêîãî spin – âåðòåòüñÿ),
êîòîðûé îòðàæàåò ñîñòîÿíèå åå âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ.
Ïîíÿòèå ñïèíà áûëî ââåäåíî â ôèçèêó Âîëüôãàíãîì
Ïàóëè.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ñïèíîì ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû
íàçûâàåòñÿ åå ñîáñòâåííûé ìîìåíò èìïóëüñà, èìåþùèé
êâàíòîâóþ ïðèðîäó è íå ñâÿçàííûé ñ ïåðåìåùåíèåì
÷àñòèöû êàê öåëîãî. Ñïèíîì òàêæå õàðàêòåðèçóþò
ñîáñòâåííûé ìîìåíò èìïóëüñà àòîìíîãî ÿäðà èëè
àòîìà; â ýòîì ñëó÷àå ñïèí îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîðíàÿ
ñóììà (âû÷èñëåííàÿ ïî ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå) ñïèíîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö,
îáðàçóþùèõ ñèñòåìó, è îðáèòàëüíûõ ìîìåíòîâ ýòèõ
÷àñòèö, îáóñëîâëåííûõ èõ äâèæåíèåì âíóòðè ñèñòåìû.
Ñïèí èçìåðÿåòñÿ â åäèíèöàõ ħ è ðàâåí S = ħ J, ãäå J
– õàðàêòåðíîå äëÿ êàæäîãî ñîðòà ÷àñòèö öåëîå (â òîì
÷èñëå íóëåâîå) èëè ïîëóöåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî,
òàê íàçûâàåìîå ñïèíîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî, êîòîðîå
îáû÷íî íàçûâàþò ïðîñòî ñïèíîì.  ñâÿçè ñ ýòèì
ãîâîðÿò î öåëîì èëè ïîëóöåëîì ñïèíå ÷àñòèöû. Òàê,
äëÿ ýëåêòðîíà ñïèí ðàâåí 1/2, à äëÿ ïàðû ýëåêòðîíîâ
èëè ïàðû ýëåêòðîí-äûðêà â ïîëóïðîâîäíèêå ïîëíûé
ñïèí ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 0 èëè 1. Èçâåñòíî, ÷òî
âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå ñïèí âåäåò ñåáÿ ïîäîáíî
ìàãíèòíîé ñòðåëêå, ò.å. îðèåíòèðóåòñÿ ïî ïîëþ. Íî
êâàíòîâàÿ ïðèðîäà ñïèíà ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîåêöèÿ
ñïèíà íà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæåò
ïðèíèìàòü òîëüêî äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð,
äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ïðîåêöèÿ ñïèíà ñîñòàâëÿåò
+1/2 è –1/2, à äëÿ ýëåêòðîí-äûðî÷íîé ïàðû ñî
ñïèíîì 1 òàêèå ïðîåêöèè ðàâíû +1, –1 è 0. Ýêñïåðèìåíòàëüíî
è òåîðåòè÷åñêè óñòàíîâëåíî, ÷òî äàæå â
îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ òàêàÿ ñèñòåìà
èìååò ðàçëè÷íûå ýíåðãèè â ñëó÷àå, åñëè åå ïîëíûé ñïèí
ðàâåí 0 èëè 1. Ïðàâäà, äëÿ áîëüøèíñòâà ñëó÷àåâ
ðàçíèöà â ýíåðãèÿõ íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû ïîðÿäêà
0,001 ìýÂ. Îáñóæäàåìàÿ ðàçíîñòü ýíåðãèé ñâÿçàíà ñ
ìàãíèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ñïèíàìè – ñïèí
îäíîé ÷àñòèöû ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñîîáùàåò
äîïîëíèòåëüíóþ ýíåðãèþ ñïèíó äðóãîé ÷àñòèöû,
è íàîáîðîò. Óêàçàííîå âçàèìîäåéñòâèå íàçûâàåòñÿ
îáìåííûì è äëÿ áîëüøèíñòâà âåùåñòâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî
ñëàáûì ïî ñðàâíåíèþ ñ ýíåðãèåé òåïëîâîãî
äâèæåíèÿ ÷àñòèö ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Íî äëÿ
íàíîîáúåêòîâ äàííîå âçàèìîäåéñòâèå ìîæåò óñèëèòüñÿ
âî ìíîãî ðàç, äîñòèãàÿ è äàæå ïðåâûøàÿ 25 ìýÂ –
ýíåðãèþ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå.
Ýòî ñâÿçàíî ñ ìàëûìè ðàçìåðàìè íàíîîáúåêòîâ,
ïðè êîòîðûõ ñïèíû ïðèáëèæàþòñÿ äðóã ê äðóãó, ÷òî
óñèëèâàåò èõ âçàèìîäåéñòâèå.
Èçëîæåííûå âûøå îñíîâíûå ñâåäåíèÿ î êâàíòîâûõ è
âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ìàòåðèè ïîçâîëÿþò îáúÿñíèòü
01-25.p65 20
09.06.10, 10:21

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ È ÂÎËÍÎÂÛÅ ßÂËÅÍÈß Â ÍÀÍÎÌÈÐÅ
21
Ðèñ.1. ×àñòèöà â êâàíòîâîé ÿìå ñ
áåñêîíå÷íî âûñîêèìè ñòåíêàìè
îäíî èç óíèêàëüíûõ è èíòåðåñíåéøèõ ñâîéñòâ íàíîìèðà,
à èìåííî çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ÷àñòèö îò èõ ðàçìåðîâ,
êîòîðîå èìååò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíîå çíà÷åíèå
äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé. Äàííîå ñâîéñòâî ïîëó-
÷èëî íàçâàíèå «êâàíòîâûé
ðàçìåðíûé ýôôåêò».
Ïóñòü ñâîáîäíîå
äâèæåíèå ÷àñòèöû
ìàññîé m, ÿâëÿþùåéñÿ
îäíîâðåìåííî âîëíîé
äå Áðîéëÿ, îãðàíè÷åíî
â îäíîì íàïðàâëåíèè,
ñêàæåì
îñè õ, îáëàñòüþ ïðîòÿæåííîñòüþ
d. Ïðè
ýòîì â äâóõ äðóãèõ
íàïðàâëåíèÿõ (y è z)
âîçìîæíîñòü ñâîáîäíîãî
äâèæåíèÿ ñîõðàíÿåòñÿ.
Íà ÿçûêå
êâàíòîâîé ôèçèêè ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà
ïîìåùåíà â êâàíòîâóþ ÿìó ñ áåñêîíå÷íî âûñîêèìè
ñòåíêàìè. ×àñòèöà â òàêîé ÿìå âåäåò ñåáÿ, êàê ñâåòîâàÿ
âîëíà â ðåçîíàòîðå – îòðàæåíèå îò ñòåíîê êâàíòîâîé
ÿìû ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ñòîÿ÷èõ âîëí, ñðåäè
êîòîðûõ ñàìûìè óñòîé÷èâûìè áóäóò òå, êîòîðûå ìîãóò
óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî ðàç íà äëèíå d (ðèñ.1).
Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
1
nλ D = d,
ãäå n = 1, 2, 3…
2
Ïîñêîëüêó äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì
÷àñòèöû, òî ïðîåêöèÿ ïîñëåäíåãî îäíîçíà÷íî áóäåò
ïðèíèìàòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ:
p
x
h h
= = n .
λ 2d
D
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû, êîòîðàÿ î÷åâèäíûì
îáðàçîì ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì, ïðèîáðåòåò äèñêðåòíûå
äîáàâêè:
2 2 2 2
x h 2 π ħ 2
2 2 .
p
∆ En
= = n = n
2m 8md 2md
 ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèÿõ íàòóðàëüíîå ÷èñëî n ñîîòâåòñòâóåò
íîìåðó óðîâíÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ, à
âåëè÷èíà ∆ En
íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé óðîâíÿ ðàçìåðíîãî
êâàíòîâàíèÿ. Ïðè ýòîì íèçøèì óðîâíåì ðàçìåðíîãî
êâàíòîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ óðîâåíü ñ n = 1. Ýíåðãèè
∆ E n ïî ñóùåñòâó ÿâëÿþòñÿ êâàíòîâî-ðàçìåðíûìè äîáàâêàìè
ê ýíåðãèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Âåëè÷èíà äîáàâêè
âîçðàñòàåò ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó
íîìåðà óðîâíÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ è îáðàòíî
ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó øèðèíû êâàíòîâîé ÿìû.
Ýòî è åñòü êâàíòîâûé ðàçìåðíûé ýôôåêò â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå.
 îáùåì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî áåñêîíå÷íî
âûñîêèõ ñòåíîê ó ïîòåíöèàëüíûõ ÿì (áàðüåðîâ) íå
áûâàåò, à òàêæå òî, ÷òî äâèæåíèå ìîæåò áûòü îãðàíè-
÷åíî ñðàçó ïî íåñêîëüêèì íàïðàâëåíèÿì. Ñóùåñòâóþò
íàíîñèñòåìû, äëÿ êîòîðûõ ñâîáîäíîå äâèæåíèå ÷àñòèö-âîëí
âîçìîæíî òîëüêî ïî îäíîìó ïðîñòðàíñòâåííîìó
íàïðàâëåíèþ. Òàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ îäíîìåðíûìè
íàíîñèñòåìàìè, èëè êâàíòîâûìè íèòÿìè. Åñëè
îãðàíè÷åíèå äëÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèö èìååò
ìåñòî ïî âñåì òðåì íàïðàâëåíèÿì, òî òàêóþ íàíîñèñòåìó
ïðèíÿòî íàçûâàòü íóëüìåðíîé, èëè êâàíòîâîé òî÷êîé.
Äëÿ êâàíòîâûõ òî÷åê ðîñò ýíåðãèè ðàçìåðíîãî
êâàíòîâàíèÿ íå ïðîñòî ìíîãîêðàòíî óâåëè÷èâàåòñÿ ïî
ñðàâíåíèþ ñ êâàíòîâîé íèòüþ èëè ÿìîé òîãî æå ðàçìåðà
d, íî è âîçíèêàþò êà÷åñòâåííî íîâûå ýôôåêòû,
ñâÿçàííûå ñ ñèììåòðèåé âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ ( r
).
Òàê, äëÿ ìàëûõ êâàíòîâûõ òî÷åê ñôåðè÷åñêîé ôîðìû
ýòà ôóíêöèÿ íà÷èíàåò çàâèñåòü îò îðáèòàëüíîãî êâàíòîâîãî
÷èñëà, à ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð êâàíòîâîé òî÷êè
ñòàíîâèòñÿ ïîõîæèì íà ñïåêòð àòîìà. Ïîýòîìó èíîãäà
êâàíòîâûå òî÷êè îáðàçíî íàçûâàþò «èñêóññòâåííûìè
àòîìàìè». Òàêîå íàçâàíèå òàêæå îòðàæàåò âîçìîæíîñòü
êîíñòðóèðîâàíèÿ ýëåêòðîííûõ ñâîéñòâ êâàíòîâûõ
òî÷åê ñ ïîìîùüþ çàäàíèÿ èõ ôîðìû è òî÷íîãî
÷èñëà ñîñòàâëÿþùèõ èõ îáû÷íûõ àòîìîâ.
Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ êâàíòîâî-ðàçìåðíîé
äîáàâêè ê ýíåðãèè ÷àñòèöû ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü èç
ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé äëÿ êîîðäèíàòû è
èìïóëüñà:
( ) 2 2
∆
p x
∆ E = ≥ ħ 2
.
2m
8md
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà
2
π ðàâíî ïðèâåäåííîìó ðàíåå çíà÷åíèþ äëÿ ∆ En
ïðè
4
n = 1. Îòñóòñòâèå ïîëíîãî êîëè÷åñòâåííîãî ñîîòâåòñòâèÿ
íå óäèâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîîòíîøåíèå
íåîïðåäåëåííîñòåé äàåò ëèøü îöåíêó ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ
ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, à íå åå òî÷íîå çíà÷åíèå.
Íî äàííîå ñîîòíîøåíèå ïðèäàåò ãëóáîêèé ôèçè-
÷åñêèé ñìûñë êâàíòîâîìó ðàçìåðíîìó ýôôåêòó, óêàçûâàÿ
íà òî, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû âîçðàñòàåò ââèäó
îïðåäåëåííîé ëîêàëèçàöèè åå â ïðîñòðàíñòâå. È ÷åì
ñèëüíåå òàêàÿ ëîêàëèçàöèÿ, òåì áîëüøå ýíåðãèÿ.
Òàê ÷òî æå, âñå óíèêàëüíûå ñâîéñòâà íàíîìèðà ìîãóò
áûòü ñâåäåíû ê êâàíòîâîìó ðàçìåðíîìó ýôôåêòó,
óâåëè÷èâàþùåìó ýíåðãèþ ÷àñòèö, à êâàíòîâûé ðàçìåðíûé
ýôôåêò âñåãî ëèøü ÷àñòíûé ñëó÷àé ðåàëèçàöèè
ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà èëè ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà Êîíå÷íî æå, íåò. Ïîìèìî
ðàññìîòðåííûõ âûøå óïðîùåííûõ ïðåäñòàâëåíèé
î ÷àñòèöå-âîëíå â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, îãðîìíîå
÷èñëî ýôôåêòîâ â íàíîìèðå çàâèñèò îò ñòàòèñòè÷åñêèõ
ñâîéñòâ ÷àñòèö. Ýòî îïðåäåëÿåò èõ òåðìîäèíàìè÷åñêèå
è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà. Áîëüøîå çíà÷åíèå
òàêæå èìåþò êîëëåêòèâíûå ýôôåêòû, êîãäà ñâîéñòâà
äâóõ èëè áîëåå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö óæå íå
ðàâíû ïðîñòîé ñóììå ñâîéñòâ ýòèõ ÷àñòèö.  ÷àñòíîñòè,
íàëè÷èå ó ÷àñòèö òàêîé êâàíòîâîé âåëè÷èíû, êàê ñïèí,
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ó íèõ ïîÿâëÿþòñÿ óíèêàëüíûå
îïòè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ñâîéñòâà. Ïðè÷åì ýòè ñâîéñòâà
òàêæå çàâèñÿò îò ðàçìåðà íàíî÷àñòèö.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàçìåðíîãî ýôôåêòà, ñâÿçàííîãî
ñ ýëåêòðè÷åñêèìè ïîëÿìè è ñî ñïèíîì, ðàññìîòðèì
01-25.p65 21
09.06.10, 10:21

22
Ðèñ.2. Ýêñèòîí â êâàíòîâîé òî÷êå.
Âåðòèêàëüíûå ñòðåëêè âáëèçè
ýëåêòðîíà è äûðêè óêàçûâàþò
íà íàëè÷èå ñïèíà. Âõîäÿùàÿ
è èñõîäÿùàÿ ôèãóðíûå ñòðåëêè
ñîîòâåòñòâóþò ïðîöåññàì ïîãëîùåíèÿ
ôîòîíà (ðîæäåíèå ýêñèòîíà)
è èñïóñêàíèÿ ôîòîíà (àííèãèëÿöèÿ
ýêñèòîíà)
êâàíòîâóþ òî÷êó (ðèñ.
2) äèàìåòðîì d, â êîòîðóþ
ïîïàäàåò ôîòîí ñ
ýíåðãèåé hν 1 , äîñòàòî÷íîé
äëÿ òàê íàçûâàåìîãî
âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà
– ïåðåõîäà ýëåêòðîíà
èç ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ
âáëèçè íåêîòîðîãî
àòîìà â ñâîáîäíîå
ñîñòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå
äåëîêàëèçàöèè
ýëåêòðîíà ïî ìíîãèì
àòîìàì êâàíòîâîé òî÷êè.
Òàêîå ñâîáîäíîå, à
òî÷íåå êâàçèñâîáîäíîå,
ñîñòîÿíèå åñòü ñîñòîÿíèå
ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè
â ïîëóïðîâîäíèêå.
Îñòàþùàÿñÿ âáëèçè åãî ïðåæíåãî ìåñòà ëîêàëèçàöèè
îáëàñòü èçáûòî÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà íàçûâàåòñÿ
äûðêîé, êîòîðàÿ, êàê è êâàçèñâîáîäíûé ýëåêòðîí,
èìååò ýôôåêòèâíóþ ìàññó, çàðÿä è äàæå ñïèí. Â
ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñïèí äûðêè, êàê è êâàçèñâîáîäíîãî
ýëåêòðîíà, ðàâåí 1/2. Ïîñêîëüêó ýëåêòðîí ïðèòÿãèâàåòñÿ
ê äûðêå, êàê îòðèöàòåëüíûé çàðÿä ïðèòÿãèâàåòñÿ
ê ïîëîæèòåëüíîìó, ìîæåò âîçíèêíóòü íîâàÿ êâàçè÷àñòèöà
– ýêñèòîí, – ïîäîáíàÿ àòîìó âîäîðîäà, íî ãäå ðîëü
ïðîòîíà âûïîëíÿåò äûðêà. Îáû÷íî ýíåðãèÿ ýêñèòîíà
íå ïðåâûøàåò ýíåðãèè ôîòîíà, ïîðîäèâøåãî äàííûé
ýêñèòîí: Eýêñ ≤ hν 1 . Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ýêñèòîíà çàâèñèò
îò ðàçìåðà êâàíòîâîé òî÷êè, óâåëè÷èâàÿñü ñ óìåíüøåíèåì
åå ðàçìåðà, òî ìîæåò âîçíèêíóòü ñèòóàöèÿ,
êîãäà ôîòîí óæå íå ìîæåò ïîãëîòèòüñÿ è ýêñèòîí íå
âîçáóæäàåòñÿ. Ýòî – î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå êâàíòîâîãî
ðàçìåðíîãî ýôôåêòà. Åñëè æå ýêñèòîí âîçíèê, òî
ïîëíàÿ åãî ýíåðãèÿ ðàâíà ýíåðãèè ôîòîíà, ïîÿâëÿþùåãîñÿ
ïðè àííèãèëÿöèè ýêñèòîíà: hν 2 = E ýêñ.
Íî åñòü åùå ðÿä ýôôåêòîâ, êîòîðûå òàêæå çàâèñÿò
îò ðàçìåðîâ êâàíòîâîé òî÷êè. Âî-ïåðâûõ, ÷åì ìåíüøå
êâàíòîâàÿ òî÷êà, òåì áëèæå ýëåêòðîí ê äûðêå
(òåì ìåíüøå ðàäèóñ ýêñèòîíà) è òåì ñèëüíåå âçàèìîäåéñòâèå
ìåæäó íèìè, ïîñêîëüêó, êàê èçâåñòíî, ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
1 1
çàðÿäàìè, êàê Uýë
() r ∼ r
∼ d
. À òàê êàê ýòà ýíåðãèÿ
èìååò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå, òî óìåíüøàåòñÿ è
ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýêñèòîíà E ýêñ . Äàííûé ýôôåêò êóëîíîâñêîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèâîäèò ê îñëàáëåíèþ
êâàíòîâî-ðàçìåðíîãî óâåëè÷åíèÿ E ýêñ ïðè óìåíüøåíèè
d.
Âî-âòîðûõ, êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, âñëåäñòâèå
ñëîæåíèÿ ñïèíîâ ýëåêòðîíà è äûðêè ïîëíûé ñïèí
ýêñèòîíà S ýêñ ìîæåò áûòü ðàâåí êàê 0, òàê è 1. Ïðè÷åì
íåïîñðåäñòâåííî ïðè ïîãëîùåíèè ôîòîíà ìîæåò ïîÿâèòüñÿ
ëèøü ýêñèòîí ñ S ýêñ = 0, à ýêñèòîí ñ S ýêñ = 1
íå ìîæåò ïîÿâèòüñÿ, ïîñêîëüêó ââèäó îòñóòñòâèÿ ó
ôîòîíà ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà äâèæåíèÿ òàêîé ïðîöåññ
çàïðåùåí çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ. Ðàçíîñòü ýíåðãèé
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
ýêñèòîíà â ñîñòîÿíèÿõ ñî ñïèíîì 0 è 1, êîòîðàÿ èíîãäà
íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ìîæåò
áûòü îöåíåíà êàê ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ
1
ìàãíèòíûõ äèïîëåé: Uì () r ∼ . îáúåìíûõ ôàçàõ
2
r
âåùåñòâà, ãäå íåò îãðàíè÷åíèÿ äëÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ
è äûðîê, âåëè÷èíà îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
êðàéíå ìàëà, íî ïðè óìåíüøåíèè ðàçìåðîâ êâàíòîâîé
òî÷êè îíà ìîæåò äîñòèãàòü çíà÷åíèé ïîðÿäêà è áîëåå
ýíåðãèè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, ÷òî áóäåò îêàçûâàòü
âëèÿíèå êàê íà îïòè÷åñêèå, òàê è íà ìàãíèòíûå ñâîéñòâà
êâàíòîâûõ òî÷åê. Òàê, íåìàãíèòíîå âåùåñòâî,
ñîñòîÿùåå èç òàêèõ êâàíòîâûõ òî÷åê, ïðè îñâåùåíèè
ìîæåò ïðèîáðåñòè íàìàãíè÷åííîñòü. À ýòî î÷åíü âàæíî
äëÿ âîçìîæíîñòè îïòè÷åñêîãî ñ÷èòûâàíèÿ è çàïèñè
èíôîðìàöèè. Ýôôåêòû ïîäîáíîãî ðîäà ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ôóíäàìåíòàëüíûå ïðåäïîñûëêè äëÿ ðàçâèòèÿ
íîâîé îáëàñòè íàóêè è òåõíèêè – ñïèíòðîíèêè. Â
îáùåì ñëó÷àå ýíåðãèÿ ýêñèòîíà ìîæåò çíà÷èòåëüíî
îòëè÷àòüñÿ îò ýíåðãèè ñâîáîäíûõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ
ýëåêòðîíà è äûðêè – îáîçíà÷èì òàêóþ ýíåðãèþ
êàê E ñâîá – íà âåëè÷èíó ýíåðãèè ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ,
êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ìàãíèòíîãî ñïèíñïèíîâîãî
âçàèìîäåéñòâèé: Eýêñ = Eñâîá + ∆E − ∆ Eýë
±
±∆ E ì . Ïðè ïîìîùè íàíîòåõíîëîãèé ìîæíî ìåíÿòü
ðàçìåðû êâàíòîâûõ òî÷åê, à çíà÷èò, óïðàâëÿòü ýíåðãèåé
ýêñèòîíîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü âåùåñòâà ñ
óíèêàëüíûìè ýëåêòðîííûìè è îïòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè,
êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ñîçäàíèÿ
íîâûõ óñòðîéñòâ â èíôîðìàòèêå, ôîòîíèêå è ýëåêòðîíèêå.
Èòàê, íåñìîòðÿ íà öàðÿùóþ â íàíîìèðå íåîïðåäåëåííîñòü
òî÷íûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ
÷àñòèö-âîëí, ñòðîãèå çàêîíû êâàíòîâîé ìåõàíèêè âñå
æå ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü ìíîãèå âàæíûå ôèçè÷åñêèå
õàðàêòåðèñòèêè íàíîñèñòåì. Ïðè÷åì ýòè õàðàêòåðèñòèêè
– òàêèå, íàïðèìåð, êàê ýíåðãèÿ ðàçìåðíîãî êâàíòîâàíèÿ
– èìåþò ïåðâîñòåïåííîå çíà÷åíèå äëÿ ýëåêòðîííûõ
è îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ, ñîñòàâëåííûõ
èç íàíîñòðóêòóð. Òî÷íîå çíàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ íàíî÷àñòèö äàåò îïðåäåëåííîñòü èõ ïîâåäåíèÿ
ïîä âîçäåéñòâèåì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, òàêèõ êàê
ñâåò, ýëåêòðè÷åñêîå èëè ìàãíèòíîå ïîëå, íàãðåâ. À ýòî
çíà÷èò, ÷òî ìû ìîæåì ïðåäñêàçûâàòü ïîâåäåíèå íàíîñèñòåì,
ìàòåðèàëîâ è óñòðîéñòâ íà èõ îñíîâå. È ïóñòü
äåòàëè âíóòðåííåãî äâèæåíèÿ â íàíîñèñòåìå íå âñåãäà
ìîæíî ïðåäñòàâèòü, à òåì áîëåå îïèñàòü ñ âûñîêîé
ñòåïåíüþ òî÷íîñòè, íî ôèçè÷åñêè èçìåðÿåìûé è ïðàêòè÷åñêè
âàæíûé èòîã òàêîãî äâèæåíèÿ âñåãäà èçâåñòåí
îäíîçíà÷íî, åñëè èçâåñòíû òàêèå ïàðàìåòðû íàíîñèñòåìû,
êàê ãåîìåòðè÷åñêèå ðàçìåðû, âèä è ÷èñëî íîñèòåëåé
çàðÿäà è ò.ï.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê äåòåðìèíèçìó ñâîéñòâ
íàíîñèñòåì, è, ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à íàíîòåõíîëîãèé
ïî ñîçäàíèþ íîâûõ îáúåêòîâ, óñòðîéñòâ è ìàòåðèàëîâ
ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè ìîæåò áûòü â ïðèíöèïå
ðåøåíà âñåãäà. Ãëàâíîå ïðè ðåøåíèè òàêîé çàäà÷è – íå
óâëåêàòüñÿ è íå ïðåñòóïàòü ãðàíèöû, óñòàíîâëåííûå
ôèçè÷åñêèìè çàêîíàìè íàíîìèðà.
01-25.p65 22
09.06.10, 10:21

ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ
Ïî ñòðàíèöàì ñî÷èíåíèÿ
Ãåðîíà Àëåêñàíäðèéñêîãî
«Î äèîïòðå»
À.ÆÓÊÎÂ
ÃÅÐÎÍ ÀËÅÊÑÀÍÄÐÈÉÑÊÈÉ ÒÂÎÐÈË ÍÀ ÐÓÁÅÆÅ
íîâîé ýðû (ïðåäïîëîæèòåëüíî I â. äî í.ý. – I â.
í.ý.). Ó ñâîèõ ñîâðåìåííèêîâ îí ñíèñêàë ñëàâó
èñêóñíîãî èçîáðåòàòåëÿ. Òåëåãè ñî ñïåöèàëüíûì óñòðîéñòâîì
Ãåðîíà, ïîñëóæèâøèì ïðîòîòèïîì ñîâðåìåííîãî
òàêñîìåòðà, õîðîøî èçìåðÿëè ðàññòîÿíèå ìåæäó
ãîðîäàìè è âåñÿìè. Âîäÿíûå ÷àñû Ãåðîíà äîâîëüíî
òî÷íî îòñ÷èòûâàëè âðåìÿ, ñèíõðîíèçèðóÿ ñîáûòèÿ.
Åãî õðàìîâûå àâòîìàòû ïî ïðîäàæå «ñâÿùåííîé» âîäû
áåçóêîðèçíåííî îòìåðÿëè íóæíûå ïîðöèè. Íàñîñû
Ãåðîíà êà÷àëè âîäó, ïîäïèòûâàëè ôîíòàíû, à ïíåâìàòè÷åñêèå
óñòðîéñòâà çàêðûâàëè è îòêðûâàëè äâåðè
ïåðåä èçóìëåííîé ïóáëèêîé. Ãåðîí áûë íåïðåâçîéäåííûì
çíàòîêîì âñåâîçìîæíûõ àâòîìàòè÷åñêèõ óñòðîéñòâ
è ìåõàíè÷åñêèõ èãðóøåê. Âñåãî ñêàçàííîãî äîñòàòî÷íî,
÷òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó åùå ïðè æèçíè Ãåðîíà, åãî,
êàê è ïðîñëàâëåííîãî Àðõèìåäà (îê. 287–212 äî í.ý.),
ñîîòå÷åñòâåííèêè óâàæèòåëüíî âåëè÷àëè: «Ìåõàíèê!»
Íî Ãåðîí áûë íå òîëüêî ïðåêðàñíûì èçîáðåòàòåëåì,
èíæåíåðîì, ìåõàíèêîì, íî è ïðåâîñõîäíûì ìàòåìàòèêîì.
 åãî ðàáîòå «Ìåòðèêà» äàíû ïðàâèëà è ôîðìóëû
äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ,
îáúåìîâ óñå÷åííûõ êîíóñà è ïèðàìèäû, øàðîâîãî
ñåãìåíòà, ïÿòè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ è äàæå
òîðà. Ñîâðåìåííûå øêîëüíèêè õîðîøî çíàþò ôîðìóëó
Ãåðîíà èç åãî «Ìåòðèêè», âûðàæàþùóþ ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà S ÷åðåç äëèíû òðåõ åãî ñòîðîí a, b, c:
S = p( p−a)( p −b)( p − c)
,
a + b + c
ãäå p = – ïîëóïåðèìåòð
2
(ýòà ôîðìóëà áûëà èçâåñòíà óæå Àðõèìåäó). Îäíàêî
íå âñÿêèé øêîëüíèê ñìîæåò áåç ïîìîùè êàëüêóëÿòîðà
è òàáëèö ðàññ÷èòàòü ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ çíà÷åíèÿ
òàêèõ êîðíåé, êàê 2010 , 3 2011 . Ýòî áåçóïðå÷íî óìåë
äåëàòü Ãåðîí: â åãî «Ìåòðèêå» ìû íàõîäèì îïèñàíèÿ
ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð äëÿ ðàñ÷åòà
êâàäðàòíûõ è êóáè÷åñêèõ êîðíåé ñî ñêîëü óãîäíî
âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Ýòè ñõåìû âîøëè â àðñåíàë èíñòðóìåíòàëüíûõ
ñðåäñòâ ñîâðåìåííîé âû÷èñëèòåëüíîé
ìàòåìàòèêè.
 1814 ãîäó îáíàðóæèëàñü íàõîäêà, ïðîëèâàþùàÿ
äîïîëíèòåëüíûé ñâåò íà äåÿòåëüíîñòü Ãåðîíà: åãî ñî÷èíåíèå
«Î äèîïòðå». Íåêîòîðûå êîììåíòàòîðû îêðåñòèëè
ýòî ñî÷èíåíèå «ïîñîáèåì ïî âîåííîìó äåëó»,
óâèäåâ â äèîïòðå «ïðèáîð äëÿ îïðåäåëåíèÿ âûñîòû
ñòåí ôîðòèôèêàöèîííûõ ñîîðóæåíèé». Êîíå÷íî æå,
ñêîðëóïó îðåõà ìîæíî ðàçáèâàòü ëþáûì òâåðäûì
ïðåäìåòîì, â òîì ÷èñëå è âîëøåáíîé ïàëî÷êîé, íî ýòà
ïàëî÷êà èìååò è äðóãèå, íå ñòîëü òðèâèàëüíûå ïðèìåíåíèÿ.
 çîëîòûõ ðóêàõ Ãåðîíà äèîïòðà ïðåâðàùàåòñÿ
èìåííî â «âîëøåáíûé èíñòðóìåíò». Â ýòîì íåñëîæíî
óáåäèòüñÿ, ïîçíàêîìèâøèñü ñ ôàíòàçèÿìè Ãåðîíà íà
òåìó äèîïòðû, êîòîðûå ìû íàõîäèì â åãî ñî÷èíåíèè.
Ìû ïðèâåäåì íåñêîëüêî ôðàãìåíòîâ èç ñî÷èíåíèÿ
Ãåðîíà «Î äèîïòðå», îñíîâûâàÿñü íà ïåðåâîäå ýòîãî
òðóäà âèäíûì ñïåöèàëèñòîì ïî àíòè÷íîé ìàòåìàòèêå
ïðîôåññîðîì È.Í.Âåñåëîâñêèì. Ðàñøèôðîâêó åãî ðóêîïèñè,
õðàíÿùåéñÿ â àðõèâå ÈÈÅÒ ÐÀÍ, â «Ôîíäå
Âåñåëîâñêîãî», ëþáåçíî ïðåäîñòàâèëà äîöåíò ÌÈÈÒ
Ãàëèíà Àëåêñàíäðîâíà Çâåðêèíà. Çäåñü ìû èçëîæèì
ôðàãìåíòû ñî÷èíåíèÿ Ãåðîíà â àäàïòèðîâàííîé ôîðìå,
îáëåã÷àþùåé ïîíèìàíèå òåêñòà ñîâðåìåííûì ÷èòàòåëÿì.
×òî òàêîå äèîïòðà
Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàíà ðåêîíñòðóêöèÿ äèîïòðû,
âûïîëíåííàÿ Ã.Øåíå (Ô.Äàííåìàí. Èñòîðèÿ åñòåñòâîçíàíèÿ.
– Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå
ìåäèöèíñêîå èçäàòåëüñòâî,
1932).
 âåðõíåé ÷àñòè ïðèáîðà
ðàñïîëîæåíà êðóãëàÿ ïëîùàäêà,
â ïëîñêîñòè êîòîðîé âðàùàåòñÿ
òàê íàçûâàåìàÿ àëèäàäà
– èçîãíóòàÿ íà äâóõ êîíöàõ
ïëàñòèíêà. Ñ îäíîé åå ñòîðîíû
â èçîãíóòîé ÷àñòè èìååòñÿ
òî÷å÷íîå îòâåðñòèå – ãëàçíîé
äèîïòð, à â äðóãîé ùåëü ñ
ìóøêîé èëè òîíêèì âîëîñêîì
– ïðåäìåòíûé äèîïòð. Ïðè
ðàññìîòðåíèè ÷åðåç ãëàçíîé
äèîïòð ìóøêà èëè âîëîñîê
äîëæíû ïðîåêòèðîâàòüñÿ íà
âèçèðóåìóþ öåëü – ýòî äîñòè- Ðèñ. 1
01-25.p65 23
09.06.10, 10:21

24
ãàåòñÿ âðàùåíèåì àëèäàäû â îäíîé ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ,
â ñâîþ î÷åðåäü, òàêæå ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ ñ ïîìîùüþ
ñïåöèàëüíîãî ðåãóëèðóþùåãî âèíòà.
Äèîïòðà ïîçâîëÿëà ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ èçìåðÿòü
óãëû êàê â âåðòèêàëüíîé, òàê è â ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè. Ýòè äâå íåçàìûñëîâàòûå âîçìîæíîñòè Ãåðîí
âèðòóîçíî èñïîëüçîâàë äëÿ ðåøåíèÿ îãðîìíîãî
ìíîæåñòâà çàäà÷, îñîáî ïîä÷åðêèâàÿ:
… âñå ïðåäëîæåííûå íàìè çàäà÷è ïðàêòè÷åñêè ðàçðåøàþòñÿ
îäíèì è òåì æå ñàìûì [ïðèáîðîì]. Îäíàêî
åñëè êòî-íèáóäü ïðèäóìàë è êàêèå-íèáóäü äðóãèå
[çàäà÷è], òî óñòðîåííàÿ íàìè äèîïòðà íå îòêàæåòñÿ
ðàçðåøèòü è èõ. (Ãåðîí. Î äèîïòðå, I/Ïåð. È.Í.
Âåñåëîâñêîãî.)
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Íåäîñÿãàåìîå ñòàíîâèòñÿ äîñòóïíûì
Äàíû äâå òî÷êè, èç êîòîðûõ îäíà âáëèçè íàñ, äðóãàÿ
æå âäàëè, íàéòè ìåæäó íèìè ðàññòîÿíèå, íå ïðèáëèæàÿñü
ê äàëüíåé òî÷êå. (Òàì æå, VIII.)
Íà ýòó çàäà÷ó, êàê íà òèïîâóþ, Ãåðîí íåîäíîêðàòíî
ññûëàåòñÿ â äàëüíåéøåì. Äëÿ
óäîáñòâà ññûëîê íàçîâåì åå
«Çàäà÷à 1».
Ïóñòü îò òî÷êè À òðåáóåòñÿ
íàéòè ðàññòîÿíèå äî íåäîñòóïíîé
òî÷êè K.
Ñ ïîìîùüþ äèîïòðû îòìå-
÷àåòñÿ òî÷êà  íà ïðÿìîé KÀ,
è ïîä ïðÿìûì óãëîì ê ïðÿìîé
ÀK ïðîâîäÿòñÿ îòðåçêè
AC ⊥ AK , BD ⊥ BK òàê,
÷òî òî÷êè K, Ñ, D ðàñïîëàãàþòñÿ
íà ïðÿìîé ëèíèè (ðèñ.
2).
Ïîñêîëüêó òðåóãîëüíèêè
DBK è CAK ïîäîáíû, òî
ñïðàâåäëèâà ïðîïîðöèÿ
Ðèñ. 2
BD BK
= . Äëèíû îòðåçêîâ
AC AK
ÀÑ, BD, AB èçìåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, à äëèíà
îòðåçêà ÀK íàõîäèòñÿ èç ýòîé ïðîïîðöèè.
Òî÷êà K ìîæåò áûòü êîðàáëåì â ìîðå, êàìíåì íà
äðóãîì áåðåãó ðåêè, âåðøèíîé åãèïåòñêîé ïèðàìèäû –
âñå ýòè íåäîñòóïíûå
äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî
èçìåðåíèÿ îáúåêòû ñïîñîá
Ãåðîíà ïðåâðàùàåò
â äîñòóïíûå.
Äàëåêî ëè
ðàçîøëèñü êîðàáëè
Äëÿ äâóõ íåäîñòóïíûõ
òî÷åê îïðåäåëèòü
ðàññòîÿíèå ìåæäó
íèìè. (Òàì æå, X.)
Ãåðîí ïðåäëàãàåò íåñêîëüêî
ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ
ýòîé çàäà÷è. Ðàññìîòðèì
îäèí èç íèõ.
Ðèñ. 3
Îïðåäåëèâ ïî ñïîñîáó
çàäà÷è 1 ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè À äî äâóõ íåäîñòóïíûõ
òî÷åê K è F, îòêëàäûâàåì êàêóþ-íèáóäü ÷àñòü ýòèõ
ðàññòîÿíèé íà ïðîäîëæåíèè ïðÿìûõ KÀ è FA (ðèñ.3).
Ïîëó÷àåì äîñòóïíûé èçìåðåíèþ òðåóãîëüíèê ÀÑÂ,
ïîäîáíûé òðåóãîëüíèêó AFK. Äëèíà îòðåçêà ÑÂ ñîñòàâëÿåò
èçâåñòíóþ ÷àñòü îò äëèíû îòðåçêà KF, ÷òî è
ïîçâîëÿåò åãî íàéòè.
Êàê âûñîêî äåðåâî
Îïðåäåëèòü âûñîòó íåäîñòóïíîãî äåðåâà. (Òàì æå,
XII.)
 ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è, êðîìå äèîïòðû âûñîòû d,
èñïîëüçóåòñÿ òàêæå âñïîìîãàòåëüíûé øåñò âûñîòû h.
Ïóñòü óäàëåíèå äèîïòðû
îò äåðåâà ðàâíî L
(åãî ìîæíî îïðåäåëèòü
ïî ñïîñîáó, èçëîæåííîìó
â çàäà÷å 1), à
øåñò îòñòîèò îò äèîïòðû
íà ðàññòîÿíèè l.
Âèçèðóåòñÿ âåðõóøêà
äåðåâà íåèçâåñòíîé âûñîòû
H, êàê ïîêàçàíî Ðèñ. 4
íà ðèñóíêå 4. Ïîñêîëüêó
ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè: áîëüøèé ñ êàòåòàìè
L è H – h è ìåíüøèé ñ êàòåòàìè l è h – d ïîäîáíû, òî
ñïðàâåäëèâà ïðîïîðöèÿ H − d h −
= d , îòêóäà îïðåäåëÿåòñÿ
H.
L l
Òî÷íî òàêàÿ æå
ïðîïîðöèÿ áóäåò
èìåòü ìåñòî, åñëè L
è l îáîçíà÷àþò íå êàòåòû,
à èçâåñòíûå ãèïîòåíóçû
– â ýòîì
ñëó÷àå ìîæíî íàéòè,
íàïðèìåð, íåäîñòóïíóþ
âûñîòó ïèðàìèäû
H (ðèñ.
Ðèñ. 5
5).
Ðàññòîÿíèå äî íåâèäèìîé òî÷êè
Îò äàííîé òî÷êè ê äðóãîé òî÷êå, ÿâëÿþùåéñÿ
íåâèäèìîé, ïðîâåñòè ïðè ïîìîùè äèîïòðû ïðÿìóþ,
êàêîâî áû íè áûëî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè. (Òàì æå,
VII.)
Ïóñòü òî÷êè À è  çàãîðîæåíû äðóã îò äðóãà ëåñíûì
ìàññèâîì è íå íàõîäÿòñÿ íà ëèíèè ïðÿìîé âèäèìîñòè
(ðèñ.6). Ñ ïîìîùüþ äèîïòðû ïðîâåäåíà âñïîìîãàòåëüíàÿ
ëîìàííàÿ ëèíèÿ,
ñîñåäíèå çâåíüÿ êîòîðîé
ðàñïîëîæåíû ïîä
ïðÿìûì óãëîì äðóã ê
äðóãó. Èçìåðåííûå
ðàññòîÿíèÿ âäîëü çâåíüåâ
óêàçàíû íà ðèñóíêå.
Îïðåäåëèòå ïî
ýòèì äàííûì ðàññòîÿíèå
ìåæäó òî÷êàìè À
è Â ñàìîñòîÿòåëüíî. Ðèñ. 6
01-25.p65 24
09.06.10, 10:21

Ïëîùàäü íåäîñòóïíîãî îáúåêòà
Èçìåðèòü äàííóþ ïëîùàäü, íå âõîäÿ íà ýòó ïëîùàäü
èëè âñëåäñòâèå îáèëèÿ ðàñòèòåëüíîñòè, èëè
ïîìåõè îò çäàíèé, èëè îò òîãî, ÷òî íå äîïóñêàåòñÿ
â íåå âõîäèòü. (Òàì æå, XXVII.)
Ïóñòü íåäîñòóïíûé îáúåêò, ïëîùàäü êîòîðîãî ñëåäóåò
îïðåäåëèòü, çàäàí ñâîèì êîíòóðîì, íàïðèìåð âûïóêëûì
ìíîãîóãîëüíèêîì
ABCDEF (ðèñ.
7). Ìûñëåííî ðàçîáüåì
åãî íà òðåóãîëüíèêè
ñ îáùåé âåðøèíîé
À è ïîñëåäîâàòåëüíî
îïðåäåëèì ïëîùàäü
êàæäîãî èç íèõ, íà÷èíàÿ
ñ òðåóãîëüíèêà
AEF.
Ðèñ. 7
Îòëîæèì íà ïðîäîëæåíèè
ñòîðîíû AF
êàêóþ-íèáóäü åå ÷àñòü FH, à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû
EF – òàêóþ æå åå ÷àñòü FG. Òîãäà òðåóãîëüíèê HFG
ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ
áóäåò ïîäîáåí òðåóãîëüíèêó AFE. Óìíîæèâ îòðåçîê
HG íà êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ, óçíàåì âåëè÷èíó íåäîñòóïíîãî
îòðåçêà EA, à óìíîæèâ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
HFG íà êâàäðàò êîýôôèöèåíòà ïîäîáèÿ, íàéäåì
ïëîùàäü íåäîñòóïíîãî òðåóãîëüíèêà AFE.
Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è Ãåðîí çàêàí÷èâàåò òàêîé ôðàçîé:
Ïîäîáíî æå îïðåäåëèì è ñîäåðæàíèå êàæäîãî èç
îñòàëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ; òàêèì îáðàçîì âîçìîæíî
îïðåäåëèòü ñîäåðæàíèå è âñåé ïëîùàäè. (Òàì æå,
XXVII.)
 ñî÷èíåíèè Ãåðîíà ðàçáèðàþòñÿ òàêæå è äðóãèå
çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ äèîïòðû, íàïðèìåð:
• âçÿòü ãëóáèíó äàííîãî ðâà (XIV);
• ïðîêîïàòü ïî ïðÿìîé [ëèíèè] ãîðó ïðè çàäàííûõ íà
ãîðå îòâåðñòèÿõ òóííåëÿ (XV);
• ê ïîäçåìíîìó õîäó ïðîâåñòè â ãîðå øàõòó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
ê õîäó (XVI).
Íåêîòîðûå èñòîðèêè íàóêè ïîëàãàþò, ÷òî â ñî÷èíåíèè
Ãåðîíà «Î äèîïòðå» èçëîæåíû ïðàâèëà çåìåëüíîé
ñúåìêè, ôàêòè÷åñêè îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè
ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò.
25
ÓØÅË ÈÇ ÆÈÇÍÈ ÌÀÐÒÈÍ ÃÀÐÄÍÅÐ
22 ìàÿ 2010 ãîäà íå ñòàëî Ìàðòèíà Ãàðäíåðà.
Íàì âñåì åùå òîëüêî ïðåäñòîèò îñìûñëèòü è îöåíèòü åãî
ãèãàíòñêóþ ðîëü â ïîïóëÿðèçàöèè íàóêè âîîáùå è ìàòåìàòèêè
â ÷àñòíîñòè.
Ì.Ãàðäíåð âî ìíîãîì îïðåäåëèë ëèöî ñîâðåìåííîé
çàíèìàòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ñîçäàâ æàíð, â êîòîðîì î
ñîâðåìåííûõ íàó÷íûõ çàäà÷àõ ðàññêàçûâàëîñü íà ÿçûêå
«Ìàòåìàòè÷åñêèõ èãð» – òàê íàçûâàëñÿ ðàçäåë â æóðíàëå
Scientific American, ðåäàêòîðîì êîòîðîãî Ì.Ãàðäíåð áûë
â òå÷åíèå ÷åòâåðòè âåêà.
 íàøåé ñòðàíå ó êíèã Ì.Ãàðäíåðà ìíîãî ïî÷èòàòåëåé
åùå è ïîòîìó, ÷òî èõ ïåðåâîäèë Þëèé Àëåêñàíäðîâè÷
Äàíèëîâ – êðóïíûé ó÷åíûé è çàìå÷àòåëüíûé ñòèëèñò,
îáëàäàâøèé ñïîñîáíîñòüþ ïåðåäàòü ÷èòàòåëþ ñâîé ñîáñòâåííûé
èíòåðåñ ê èçëàãàåìûì ñþæåòàì.
Èìåííî Ì.Ãàðäíåð âåðíóë ñîâðåìåííûì ÷èòàòåëÿì
èìåíà òåõ ãèãàíòîâ, íà ïëå÷àõ êîòîðûõ îí ñòîÿë, – Ñýìà
Ëîéäà è Ãåíðè Ý.Äüþäåíè.
Èìåííî Ì.Ãàðäíåð ñòàë ãëàâíîé îïîðîé ìîñòà, ÷åðåç
êîòîðûé áûëî îðãàíèçîâàíî íåáûâàëîå äëÿ íàøåãî âðåìåíè
íàó÷íîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó âûäàþùèìèñÿ ó÷åíûìè
(òàêèìè, êàê Äîíàëüä Êíóò, Äæîí Êîíâåé èëè Ðîíàëüä
Ãðýõåì) è ðÿäîâûìè ëþáèòåëÿìè ìàòåìàòèêè.
Èìåííî Ì.Ãàðäíåð ñòàë ÷åëîâåêîì, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó
ïîÿâèëèñü ñîòíè òûñÿ÷ ëþäåé, âëþáëåííûõ â ìàòåìàòèêó.
Äðóãîãî ÷åëîâåêà òàêîãî ìàñøòàáà ñðåäè ïîïóëÿðèçàòîðîâ
ìàòåìàòèêè ñåé÷àñ íåò.
Êíèãè Ãàðäíåðà íà ðóññêîì ÿçûêå
1. 1000 ðàçâèâàþùèõ ãîëîâîëîìîê, ìàòåìàòè÷åñêèõ
çàãàäîê è ðåáóñîâ äëÿ äåòåé è âçðîñëûõ.
2. À íó-êà, äîãàäàéñÿ!
3. Åñòü èäåÿ!
4. Êëàññè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè.
Ìàðòèí Ãàðäíåð (1914–2010)
5. Êðåñòèêè-íîëèêè.
6. Ëó÷øèå ìàòåìàòè÷åñêèå èãðû è ãîëîâîëîìêè, èëè
Ñàìûé íàñòîÿùèé ìàòåìàòè÷åñêèé öèðê.
7. Ìàòåìàòè÷åñêèå ãîëîâîëîìêè è ðàçâëå÷åíèÿ.
8. Ìàòåìàòè÷åñêèå äîñóãè.
9. Ìàòåìàòè÷åñêèå íîâåëëû.
10. Ìàòåìàòè÷åñêèå ÷óäåñà è òàéíû.
11. Íåñêó÷íàÿ ìàòåìàòèêà.
12. Íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàçâëå÷åíèÿ.
13. Îò ìîçàèê Ïåíðîóçà ê íàäåæíûì øèôðàì.
14. Ïóòåøåñòâèå âî âðåìåíè.
15. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè äëÿ ìèëëèîíîâ.
16. Ýòîò ïðàâûé, ëåâûé ìèð.
01-25.p65 25
09.06.10, 10:21

26
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
«ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è
íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû.
Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî
íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ñåíòÿáðÿ 2010 ãîäà ïî àäðåñó: 119296
Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì
ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå:
«Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3–2010» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2176» èëè
«Ô2183».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ
íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû
ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì
àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî.
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì
êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è Ì2178 è Ì2179 ïðåäëàãàëèñü íà II Ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå èìåíè Ëåîíàðäà Ýéëåðà, çàäà÷è
Ì2182 è Ì2183 – íà ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå «Romanian Master in Mathematics».
Çàäà÷è Ô2183 è Ô2187 ïðåäëàãàëèñü íà Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäå ýòîãî ãîäà, çàäà÷è Ô2184,
Ô2186 è Ô2188 – íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå XLIV Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå.
Çàäà÷è Ì2176–Ì2183, Ô2183–Ô2189
M2176. Íà ñòîðîíàõ BC è CD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD
âçÿòû ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè M è N. Äîêàæèòå, ÷òî
ìåäèàíû òðåóãîëüíèêîâ ABM, ADN è CMN, ïðîâåäåííûå
ñîîòâåòñòâåííî èç âåðøèí B, D è C, ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå.
Ä.Õðàìöîâ
M2177. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîé óãîë α , ÷òî äëÿ ëþáîãî
íàòóðàëüíîãî n ÷èñëî cos nα – ðàöèîíàëüíî, à ÷èñëî
sin nα – èððàöèîíàëüíî
Â.Ñåíäåðîâ
M2178. Â Øâàìáðàíèè íåêîòîðûå ãîðîäà ñâÿçàíû
äâóñòîðîííèìè áåñïîñàäî÷íûìè àâèàðåéñàìè. Ðåéñû
ðàçäåëåíû ìåæäó òðåìÿ àâèàêîìïàíèÿìè, ïðè÷åì åñëè
êàêàÿ-òî àâèàêîìïàíèÿ îáñëóæèâàåò ëèíèþ ìåæäó
ãîðîäàìè À è Á, òî ñàìîëåòû äðóãèõ êîìïàíèé ìåæäó
ýòèìè ãîðîäàìè íå ëåòàþò. Èçâåñòíî, ÷òî èç êàæäîãî
ãîðîäà ëåòàþò ñàìîëåòû âñåõ òðåõ êîìïàíèé. Äîêàæèòå,
÷òî ìîæíî, âûëåòåâ èç íåêîòîðîãî ãîðîäà, âåðíóòüñÿ
â íåãî, âîñïîëüçîâàâøèñü ïî ïóòè ðåéñàìè âñåõ òðåõ
êîìïàíèé è íå ïîáûâàâ íè â îäíîì èç ïðîìåæóòî÷íûõ
ãîðîäîâ äâàæäû.
Ñ.Áåðëîâ
M2179.  âåðøèíàõ êóáà ðàññòàâèëè ÷èñëà 1,2, 2 2 …,8
2
(â êàæäóþ èç âåðøèí – ïî îäíîìó ÷èñëó). Äëÿ êàæäîãî
ðåáðà ïîñ÷èòàëè ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â åãî êîíöàõ.
Íàéäèòå íàèáîëüøóþ âîçìîæíóþ ñóììó âñåõ ýòèõ
ïðîèçâåäåíèé.
Ä.Ôîí-Äåð-Ôëààññ
2010
M2180. Ìíîãî÷ëåí x ðàçäåëèëè íà ìíîãî÷ëåí
3 2
x − 6x + 11x
− 6 ñ îñòàòêîì.  êà÷åñòâå íåïîëíîãî
P x . Äîêàæèòå, ÷òî
÷àñòíîãî áûë ïîëó÷åí ìíîãî÷ëåí ( )
êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà P( x ) ïîëîæèòåëüíû.
È.Áîãäàíîâ
M2181 * . Äàíû n áåñêîíå÷íûõ â îáå ñòîðîíû àðèôìåòè-
÷åñêèõ ïðîãðåññèé. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäîå èç ÷èñåë 1, 2,
3, …, 2n! ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîé èç ïðîãðåññèé.
Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå öåëîå ÷èñëî ïðèíàäëåæèò õîòÿ
áû îäíîé èç äàííûõ ïðîãðåññèé. Íàñêîëüêî ìîæíî
óìåíüøèòü ÷èñëî 2n!, ÷òîáû óòâåðæäåíèå îñòàëîñü
âåðíûì
Ôîëüêëîð
M2182. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê AAAA 1 2 3 4 ,
íèêàêèå äâå ñòîðîíû êîòîðîãî íå ïàðàëëåëüíû. Äëÿ
êàæäîãî i = 1, 2, 3, 4 ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ω i ,
ëåæàùóþ âíå ÷åòûðåõóãîëüíèêà, êàñàþùóþñÿ ïðÿìûõ
Ai− 1 Ai,
Ai+ 1Ai+ 2 è
êàñàþùóþñÿ îòðåçêà
AA i i + 1 â òî÷êå
T i (èíäåêñû
ðàññìàòðèâàþòñÿ
ïî ìîäóëþ 4, òàê
÷òî A 0 = A 4 , A 5 =
= A 1 è A6 = A2;
ðèñ.1). Äîêàæèòå,
÷òî ïðÿìûå AA 1 2,
AA 3 4 è TT 2 4 ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé
òî÷êå òîãäà è òîëü- Ðèñ. 1
26-39.p65 26
09.06.10, 13:09

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
27
êî òîãäà, êîãäà ïðÿìûå AA, 2 3 AA 4 1 è TT 1 3 ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé òî÷êå.
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2183. Äàíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n. Íàçîâåì ìíîæåñòâî
K, ñîñòîÿùåå èç òî÷åê ïëîñêîñòè ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè,
ñâÿçíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê RS , ∈ K
ñóùåñòâóþò íàòóðàëüíîå ÷èñëî l è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
òî÷åê R = T0, T1,. . , T l = S , ïðèíàäëåæàùèõ K, òàêàÿ,
÷òî äëèíà ëþáîãî îòðåçêà âèäà TT i i + 1 ðàâíà 1. Äëÿ
ñâÿçíîãî ìíîæåñòâà K îáîçíà÷èì ÷åðåç δ ( K)
êîëè÷åñòâî
ïîïàðíî íåðàâíûõ âåêòîðîâ â ìíîæåñòâå
∆ K = { RS R,
S∈K}
. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå âîçìîæíîå
çíà÷åíèå δ ( K)
, åñëè K ïðîáåãàåò âñå ñâÿçíûå
ìíîæåñòâà èç 2n + 1 òî÷åê ïëîñêîñòè ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè.
Ã.×åëíîêîâ
Ô2183. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæèò íà áîêó îäíîðîäíûé
êîíóñ ìàññîé m ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R è
óãëîì ïðè âåðøèíå 2α . Äëÿ òîãî ÷òîáû ìåäëåííî
ïîñòàâèòü êîíóñ íà âåðøèíó â ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì
åãî îñü âåðòèêàëüíà, íóæíî ñîâåðøèòü ðàáîòó À. Êàêóþ
ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íóæíî ñîâåðøèòü äëÿ òîãî,
÷òîáû èç èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ ïîñòàâèòü êîíóñ íà
îñíîâàíèå
À.ßêóòà
Ô2184. Îäíîðîäíàÿ öåïî÷êà çàêðåïëåíà îäíèì êîíöîì
íà âåðøèíå ãëàäêîé ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
ðàäèóñîì R, äëèíà öåïî÷êè
L =π R 3 (ðèñ.2). Âåðõíèé
êîíåö öåïî÷êè îñâîáîæäàþò.
Ñ êàêèì óñêîðåíèåì
(ïî ìîäóëþ) áóäåò
äâèãàòüñÿ ñðàçó ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ
êàæäûé ýëåìåíò
öåïî÷êè  êàêîì ìåñòå
öåïî÷êè ñèëà íàòÿæåíèÿ
ñðàçó ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ
Ðèñ. 2
áóäåò ìàêñèìàëüíîé
Â.Ïëèñ
Ô2185.  äëèííîì òåïëîèçîëèðîâàííîì öèëèíäðè÷åñêîì
ñîñóäå íàõîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî êðèïòîíà
(îäíîàòîìíûé ãàç, åãî ìîëÿðíàÿ ìàññà Ì = 84 ã/ìîëü)
ïðè òåìïåðàòóðå Ò = 200 Ê è äàâëåíèè ð = 0,1 Ïà.
Îáúåì ñîñóäà óìåíüøàþò íà 1%, áûñòðî ñäâèãàÿ ïîðøåíü.
Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïîðøíÿ v = 1000 ì/ñ.
Îöåíèòå òåìïåðàòóðó ãàçà
ïîñëå îñòàíîâêè ïîðøíÿ è
óñòàíîâëåíèÿ äàâëåíèÿ â
ñîñóäå.
À.Ïîâòîðîâ
Ô2186. Ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü ñîñòîèò èç ïÿòè ðåçèñòîðîâ
è äâóõ èäåàëüíûõ
àìïåðìåòðîâ (ðèñ.3).
Ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ
R 0 , R 1 è R 2 çàäàíû,
à ñîïðîòèâëåíèå R Ðèñ. 3
3
íåèçâåñòíî. Íàéäèòå ïîêàçàíèå àìïåðìåòðà A 2 , åñëè
èçâåñòíà ñèëà òîêà I 1 , ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç àìïåðìåòð
A 1 .
Â.Ñëîáîäÿíèí
Ô2187. Òîíêîå êîëüöî ðàäèóñîì R çàðÿæåíî çàðÿäîì
Q, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûì ïî êîëüöó. Âäîëü îñè
êîëüöà ðàñïîëîæåíà î÷åíü äëèííàÿ íåïðîâîäÿùàÿ íèòü,
íà÷èíàþùàÿñÿ â åãî öåíòðå è ðàâíîìåðíî çàðÿæåííàÿ
ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà γ . Íàéäèòå ìîäóëü
ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íèòè ñ êîëüöîì.
Ï.Ïîëÿêîâ
Ô2188. Â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå íà îêðóæíîñòè
ðàäèóñîì R 0 â âåðøèíàõ âïèñàííîãî êâàäðàòà ðàñïîëîæåíû
÷åòûðå òî÷å÷íûå ìàññû m, äâå èç íèõ íåñóò
çàðÿä +q, à äâå äðóãèå
– çàðÿä –q (ðèñ.4).
 íà÷àëüíûé ìîìåíò
ýòèì ìàòåðèàëüíûì
òî÷êàì ñîîáùàþò îäèíàêîâûå
ïî ìîäóëþ
ñêîðîñòè, íàïðàâëåííûå
ïî êàñàòåëüíûì
ê îêðóæíîñòè ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå. Èçâåñòíî,
÷òî äîñòèãàåìîå
â ïðîöåññå äâèæåíèÿ Ðèñ. 4
ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå
îò ëþáîé èç òî÷å÷íûõ ìàññ äî öåíòðà Î íà÷àëüíîé
îêðóæíîñòè ðàâíî R 1 ( R 1 < R 0 ). Ñ÷èòàéòå, ÷òî
â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè çàðÿäû íàõîäÿòñÿ â âåðøèíàõ
êâàäðàòà ñ öåíòðîì â òî÷êå Î. Äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííûõ
ñèë ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïî êàêîé òðàåêòîðèè
äâèæåòñÿ êàæäàÿ èç ÷àñòèö Îïðåäåëèòå âðåìÿ
äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ äî ïîëîæåíèÿ
ñ ðàññòîÿíèåì R 1 îò öåíòðà îêðóæíîñòè.
Õ.Ìàòâååâ, Ì.Ïðîñêóðèí
Ô2189. Ê çâóêîâîìó ãåíåðàòîðó (ÇÃ) ïîäêëþ÷åíà
ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà èç òðåõ îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ
ñîïðîòèâëåíèåì R =
= 1 êÎì è òðåõ êîíäåíñàòîðîâ
åìêîñòüþ Ñ =
= 1 ìêÔ (ðèñ.5). Íà
êàêîé ÷àñòîòå Çà ïîêàçàíèÿ
àìïåðìåòðà À ïåðåìåííîãî
òîêà áóäóò
ìèíèìàëüíû Ñîïðîòèâëåíèå
àìïåðìåòðà
ñ÷èòàòü ìàëûì.
Ðèñ. 5
Ç.Ðàôàèëîâ
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2154–Ì2158 , Ì2160,
Ô2168–Ô2174 1
M2154. Êàæäàÿ êëåòêà äîñêè ðàçìåðîì 2009 ×2009
ïîêðàøåíà â îäèí èç äâóõ öâåòîâ òàê, ÷òî ó êàæäîé
1 Ðåøåíèå çàäà÷è Ì2153 ïðèâåäåíî â ñòàòüå È.Áîãäàíîâà «Î
ñóììå òåëåñíûõ óãëîâ ìíîãîãðàííèêà» â ýòîì íîìåðå æóðíàëà.
Ðåøåíèå çàäà÷è Ì2159 áóäåò îïóáëèêîâàíî ïîçæå.
26-39.p65 27
09.06.10, 13:10

28
êëåòêè ñîñåäåé (ïî ñòîðîíå) ñâîåãî öâåòà ìåíüøå,
÷åì ñîñåäåé äðóãîãî öâåòà. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçíîñòü ìåæäó êîëè÷åñòâîì
êëåòîê îäíîãî è äðóãîãî öâåòîâ
Îòâåò: 669.
Äîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî ëèáî â êàæäîé ñòðîêå öâåòà
÷åðåäóþòñÿ, ëèáî â êàæäîì ñòîëáöå öâåòà ÷åðåäóþòñÿ.
Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ êëåòêà èìååò íå áîëåå
îäíîãî ñîñåäà ñâîåãî öâåòà.
Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ñîñåäíèå
îäíîöâåòíûå (ñêàæåì,
áåëûå) êëåòêè A è B, ëåæàùèå
â îäíîì ñòîëáöå
(ðèñ.1). Òîãäà èõ ñîñåäè â
ñòðîêå – äðóãîãî öâåòà, ñêàæåì
çåëåíûå, ñîñåäè çåëåíûõ
– áåëûå è òàê äàëåå.
Ïîëó÷àåì, ÷òî â ñòðîêàõ,
Ðèñ. 1
ñîäåðæàùèõ êëåòêè A è B,
öâåòà ÷åðåäóþòñÿ. Åñëè,
êðîìå òîãî, èìåþòñÿ äâå ñîñåäíèå îäíîöâåòíûå êëåòêè
C è D, ëåæàùèå â îäíîé ñòðîêå, òî ïîëó÷àåì, ÷òî â
ñòîëáöàõ, ñîäåðæàùèõ êëåòêè C è D, öâåòà ÷åðåäóþòñÿ,
÷òî íåâîçìîæíî. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, â êàæäîé ñòðîêå öâåòà
÷åðåäóþòñÿ. Îòäåëèì ïåðâûé ñòîëáåö, òîãäà â îñòàâøåéñÿ
÷àñòè äîñêè
2009 × 2008 çåëåíûõ è áåëûõ
êëåòîê ïîðîâíó. Ïåðâûé
ñòîëáåö ðàçîáüåì íà
669 ïðÿìîóãîëüíèêîâ 3×
1
è îäèí ïðÿìîóãîëüíèê 2×
1
(ðèñ.2). Â ïðÿìîóãîëüíèêå
3× 1 íå ìîæåò áûòü òðåõ
êëåòîê îäíîãî öâåòà, è òàêîé
ïðÿìîóãîëüíèê äàåò
âêëàä íå áîëåå 1 â ðàçíîñòü
R ìåæäó êîëè÷åñòâîì êëå-
Ðèñ. 2
òîê îäíîãî è äðóãîãî öâåòîâ. Ïðÿìîóãîëüíèê 2× 1 äàåò
âêëàä 0 (òàê êàê êëåòêè, ñîñåäíèå ñ óãëîâîé, äîëæíû
èìåòü öâåò, îòëè÷íûé îò åå öâåòà). Òàêèì îáðàçîì,
ðàçíîñòü R íå ïðåâîñõîäèò
669.
Îïèøåì ïðèìåð äëÿ R =
= 669. Ïóñòü â êàæäîé ñòðîêå
öâåòà ÷åðåäóþòñÿ, ïðè-
÷åì ñòðîêè ñ íîìåðàìè âèäà
3k + 1, k = 0, 1, 2, …, 669
íà÷èíàþòñÿ ñ çåëåíîé êëåòêè,
à îñòàëüíûå ñòðîêè – ñ
áåëîé (ðèñ. 3). Íåòðóäíî
Ðèñ. 3
óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðèìåð óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ çàäà÷è.
À.Øàïîâàëîâ
M2155. Íàéäèòå 2009-çíà÷íîå ÷èñëî, îòíîøåíèå êîòîðîãî
ê ñóììå åãî öèôð ìèíèìàëüíî.
Îòâåò:
×åðåç ( )
10000 99 … 9 .
2004
S X îáîçíà÷èì ñóììó öèôð ÷èñëà X. Ïóñòü
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
A = a2008a2007 … a0
– ÷èñëî (èëè îäíî èç ÷èñåë), äëÿ
A
êîòîðîãî âåëè÷èíà R( A)
= ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå ñðåäè âñåõ 2009-çíà÷íûõ ÷èñåë. Èìååì
S( A)
a2008a2007 … ak 10 k 1 0 10
( )
k
+ a − … a + ak
R A = =
S( A)
k 1
= 10 + a2008a2007 … ak
10ak
1…
a0
−
S A
( ) ( + −
k
( a0 ak- 1 ak+
1 a2008))
- 10 + ... + + + ... + .
Îáîçíà÷èì ðàçíîñòü â ñêîáêàõ ÷åðåç T k . Ñ îäíîé
ñòîðîíû, T k íå çàâèñèò îò a k ; ñ äðóãîé ñòîðîíû,
Tk
= A−10 k ⋅ S( A)
.
Åñëè T k > 0, òî a k = 9, èíà÷å ïîñëå çàìåíû a k íà 9
T
çíàìåíàòåëü äðîáè k
óâåëè÷èòñÿ, à ÷èñëèòåëü íå
S( A)
èçìåíèòñÿ, çíà÷èò, ÷èñëî R( A ) óìåíüøèòñÿ, ÷òî íåâîçìîæíî.
Åñëè æå T k < 0, òî
⎧0, k < 2008,
ak
= ⎨
⎩1, k = 2008,
èíà÷å ìîæíî çàìåíèòü a k íà 0 (èëè íà 1 ïðè k = 2008),
óìåíüøàÿ çíà÷åíèå R( A ).
Ïðè k ≤ 2003 èìååì
k
( )
2008
T = A−10 ⋅S A ≥10 −10 ⋅9 ⋅ 2009 =
k
k
k 2008 k
= ( )
10 10 − −9 ⋅ 2009 > 0 ;
çíà÷èò, a k = 9 ïðè k ≤ 2003 . Òîãäà A îêàí÷èâàåòñÿ íà
2004 äåâÿòêè, â ÷àñòíîñòè S( A ) > 2004 ⋅ 9 . Äàëåå, ïðè
k = 2005, …, 2008 èìååì
k
( )
2009
T = A−10 ⋅ S A < 10 −10 ⋅2004 ⋅ 9 =
k
k
k 2009 k
= ( )
10 10 − −2004 ⋅ 9 < 0 ;
çíà÷èò, a 2008 = 1 è a2007 = a2006 = a2005 = 0 . Òîãäà
2008 2005
A < 10 + 10 . Íàêîíåö, ïðè k = 2004 èìååì
( )
2004 2008 2005
T2004 = A− 10 S A < 10 + 10 −
2004
– ⋅ ⋅ =
2004 4
10 2004 9 ( )
ïîýòîìó a 2004 = 0 .
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî
10 10 + 10 −2004 ⋅ 9 < 0 ,
10000 99 … 9
2004
– ýòî åäèíñòâåííîå
âîçìîæíîå çíà÷åíèå äëÿ ÷èñëà A.
È.Áîãäàíîâ
M2156. Âàñÿ è Ïåòÿ íàðèñîâàëè ïî âûïóêëîìó ÷åòûðåõóãîëüíèêó.
Êàæäûé èç íèõ çàïèñàë íà ëèñòî÷êå äëèíû
âñåõ ñòîðîí ñâîåãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà è äâóõ åãî äèàãîíàëåé.
 ðåçóëüòàòå íà èõ ëèñòî÷êàõ îêàçàëèñü äâà
îäèíàêîâûõ íàáîðà èç 6 ðàçëè÷íûõ ÷èñåë. Îáÿçàòåëüíî
ëè ÷åòûðåõóãîëüíèêè Âàñè è Ïåòè ðàâíû
Îòâåò: íå îáÿçàòåëüíî.
Ïðèìåðîì ìîãóò ñëóæèòü ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABCD è
KLMN ñ âåðøèíàìè ñ óçëàõ êâàäðàòíîé ñåòêè, èçîáðà-
26-39.p65 28
09.06.10, 13:10

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
29
æåííûå íà ðèñóíêå.
Çäåñü ∆ ABD = ∆ KLM ,
∆ ACD = ∆ MNK è BC =
=LN, ïîýòîìó íàáîðû
äëèí ñòîðîí è äèàãîíàëåé
äëÿ äàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ
îäèíàêîâûå.
Íî î÷åâèäíî, ÷òî ñàìè
÷åòûðåõóãîëüíèêè íå
ðàâíû (òàê êàê, íàïðèìåð,
â ÷åòûðåõóãîëüíèêå
ABCD íè îäíà èç äâóõ
äèàãîíàëåé íå ðàâíà
LN).
È.Áîãäàíîâ
M2157. Íà äîñêå âûïèñàíî 20 äåëèòåëåé ÷èñëà 70!.
Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ñòåðåòü íåêîòîðûå èç íèõ
òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå îñòàâøèõñÿ ÿâëÿëîñü ïîëíûì
êâàäðàòîì.
Èìååòñÿ âñåãî 19 ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 70:
p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, …, p 19 = 67. Êàæäûé äåëèòåëü
÷èñëà 70! èìååò âèä
α α
1 2 19
1 2 19
= … , ( ∗ )
d p p p α
ãäå α i – íåêîòîðûå öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.
×èñëó d ñîïîñòàâèì ñòðîêó u = ( a1, a2, …,
a19)
äëèíû 19
èç íóëåé è åäèíèö ïî ïðàâèëó: a i = 1, åñëè α i íå÷åòíî,
è a i = 0, åñëè α i ÷åòíî. (Íàïðèìåð, ÷èñëó
6 3 5 6 3 5 1
d = 2 ⋅3 ⋅11 ⋅ 13 = p1 ⋅p2 ⋅p5 ⋅p 6
ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå
ñòðîêà (0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, …, 0)).
Ââåäåì ñëîæåíèå ñòðîê «ïî ìîäóëþ 2»: äëÿ ñòðîê u =
= ( a1, a2, …,
a19)
, v = ( b1, b2, …,
b19)
èõ ñóììà ðàâíà u +
+v = ( c1, c2, …,
c19)
, ãäå c i = 1, åñëè a i + b i = 1, è c i =
= 0, åñëè a i + b i ðàâíî 0 èëè 2. Êàê íåòðóäíî çàìåòèòü,
ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ÷èñåë âèäà ( ∗ ) (íå îáÿçàòåëüíî
ðàçëè÷íûõ) ðàâíî ïîëíîìó êâàäðàòó, åñëè
ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ñòðîê ðàâíà íóëåâîé ñòðîêå
(0, 0, …, 0) (â ÷àñòíîñòè, ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë
ðàâíî ïîëíîìó êâàäðàòó, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå èì
ñòðîêè îäèíàêîâû). Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî
äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: èç 20 ñòðîê
äëèíû 19 ìîæíî âûáðàòü íåñêîëüêî ñòðîê, ñóììà
êîòîðûõ ðàâíà íóëåâîé ñòðîêå.
Çíàêîìûå ñ ëèíåéíîé àëãåáðîé ìîãóò ñðàçó âûâåñòè
óòâåðæäåíèå èç ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè 20 âåêòîðîâ â
19-ìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå íàä ïîëåì Z 2 . Ìû
æå ïðèâåäåì êîìáèíàòîðíîå äîêàçàòåëüñòâî (ïîõîæèå
ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäèëèñü, íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè
çàäà÷è Ì665).
Äëÿ êàæäîãî èç 2 20 − 1 íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà
èç 20 ñòðîê íàéäåì ñóììó ñòðîê â ýòîì ïîäìíîæåñòâå.
Âñåãî ñóùåñòâóåò 2 19 ñòðîê äëèíû 19 èç íóëåé è
åäèíèö, ïîýòîìó íàéäóòñÿ äâà ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâà
S 1 è S 2 , äëÿ êîòîðûõ ñóììû ñòðîê îäèíàêîâû. Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî, ñëîæèâ ñóììû ñòðîê â ìíîæåñòâàõ S 1 è
S 2 , ìû ïîëó÷èì íóëåâóþ ñòðîêó. Óäàëèâ èç ýòîé
ñóììû ñòðîêè, âñòðå÷àþùèåñÿ äâàæäû (ò.å. ñòðîêè èç
ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ S 1 è S 2 ), ïîëó÷èì ñóììó íåñêîëüêèõ
ðàçëè÷íûõ
ñòðîê, ðàâíûõ íóëåâîé
ñòðîêå.
Ï.Êîæåâíèêîâ
M2158. Òî÷êà O –
öåíòð îêðóæíîñòè,
îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà
ABC. Ïóñòü
P è Q – âíóòðåííèå
òî÷êè îòðåçêîâ CA è
AB ñîîòâåòñòâåííî.
Òî÷êè K, L è M – ñåðåäèíû
îòðåçêîâ BP, CQ
è PQ ñîîòâåòñòâåííî,
à Γ – îêðóæíîñòü,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè K, L è M. Èçâåñòíî, ÷òî
ïðÿìàÿ PQ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè Γ . Äîêàæèòå, ÷òî
OP = OQ.
Èç ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ AB è KM ñëåäóåò ðàâåíñòâî
óãëîâ ∠ KMQ è ∠ AQP (ñì. ðèñóíîê). Àíàëîãè÷íî,
∠ LMP = ∠ APQ . Êàñàíèå îêðóæíîñòè Γ è ïðÿìîé
PQ ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó ∠ KLM = ∠ KMQ , èëè
ðàâåíñòâó ∠ KLM = ∠ AQP . Àíàëîãè÷íî, êàñàíèå
ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó óãëîâ ∠ KLM = ∠ APQ . Òàêèì
îáðàçîì, êàñàíèå îêðóæíîñòè Γ è ïðÿìîé PQ
ýêâèâàëåíòíî ïîäîáèþ òðåóãîëüíèêîâ APQ è MKL,
êîòîðîå â ñâîþ î÷åðåäü ýêâèâàëåíòíî (â ñèëó ðàâåíñòâà
∠ CAB = ∠ KML ) ñîîòíîøåíèþ AQ ⋅ MK = AP ⋅ ML ,
èëè AQ ⋅ OB = AP ⋅ PC (ïîñêîëüêó MK è ML – ñðåäíèå
ëèíèè â òðåóãîëüíèêàõ BPQ è CQP ñîîòâåòñòâåííî).
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè P è Q
èìåþò ðàâíûå ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, ÷òî âûïîëíåíî òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà P è Q ðàâíîóäàëåíû îò öåíòðà O.
Çàìå÷àíèÿ
1. Èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâà ñòåïåíè òî÷êè îòíîñèòåëüíî
îêðóæíîñòè ìîæíî çàìåíèòü ñëåäóþùåé âûêëàäêîé
(äàëåå C′ è B′ – ñåðåäèíû îòðåçêîâ AB è CA ñîîòâåòñòâåííî):
2 2 2 2 2 2
OP − OQ = OB′ + B′ P −OC′ − C′
Q =
2 2 2 2 2 2
OA − AB′ + B′ P − OA − AC′ − C′
Q =
= ( ) ( )
= ( AC′ 2 C′ Q 2 ) ( AB′ 2 B′
P
2
)
− − − =
= ( AC′ C′ Q)( AC′ C′ Q) ( AB′ B′ P)( AB′ B′
P)
− + − − + =
= AQ ⋅QB − AP ⋅ PC .
2. Èç ðåøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå êàñàíèÿ ðàâíîñèëüíî
óñëîâèþ ðàâåíñòâà îòðåçêîâ OP è OQ.
Ñ.Áåðëîâ
M2160 * . Äàíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ïîëîæèòåëüíûå
÷èñëà a1, a2, …, a n , à òàêæå ìíîæåñòâî M, ñîñòîÿùåå
èç n – 1 ÷èñëà, íî íå ñîäåðæàùåå ÷èñëî
s = a1 + a2 + … + a n . Êóçíå÷èê äîëæåí ñäåëàòü n ïðûæêîâ
âïðàâî ïî ÷èñëîâîé ïðÿìîé, ñòàðòóÿ èç òî÷êè ñ
êîîðäèíàòîé 0. Ïðè ýòîì äëèíû åãî ïðûæêîâ äîëæíû
ðàâíÿòüñÿ ÷èñëàì a1, a2, …, a n , âçÿòûì â íåêîòîðîì
ïîðÿäêå. Äîêàæèòå, ÷òî ýòîò ïîðÿäîê ìîæíî âûáðàòü
òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êóçíå÷èê íè ðàçó íå
26-39.p65 29
09.06.10, 13:11

30
ïðèçåìëèëñÿ â òî÷êå, èìåþùåé êîîðäèíàòó èç ìíîæåñòâà
M.
Òî÷êó íà ÷èñëîâîé îñè óñëîâèìñÿ îòîæäåñòâëÿòü ñ åå
êîîðäèíàòîé. Åñëè êóçíå÷èê äåëàåò ïîñëåäîâàòåëüíî
ïðûæêè ai, a , ,
1 i … a
2 i m
, îáîçíà÷èì ïóòü êóçíå÷èêà óïîðÿäî÷åííîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èíäåêñîâ ( i 1 , i 2 ,…, i m ).
Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïî n. Ñëó÷àé n = 1 î÷åâèäåí.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî óòâåðæäåíèå çàäà÷è âåðíî
äëÿ êîëè÷åñòâà ïðûæêîâ, ìåíüøåãî n. Íå óìàëÿÿ
îáùíîñòè, ïîëîæèì a 1 < a 2 < … < a n . Ïóñòü d – íàèìåíüøåå
÷èñëî ìíîæåñòâà M.
Ñëó÷àé 1: d < an
.
Åñëè an
∉ M, òî äåëàåì ïåðâûé ïðûæîê äëèíîé a n .
Äàëåå, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè êóçíå÷èê ìîæåò
ïîïàñòü èç òî÷êè a n â òî÷êó s, íå ïðèçåìëÿÿñü â òî÷êàõ
ìíîæåñòâà M\
{} d , èñïîëüçóÿ ïðûæêè äëèíîé
a ,…, n .
1 a − 1
Ïóñòü òåïåðü a n ∈ M. Ðàññìîòðèì n ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ
ïîäìíîæåñòâ { a n },{ a1, a1
+ an}
,{ a2, a2
+ an}
,...
…, an−1,
an− 1 + an. Íàéäåòñÿ îäíî èç íèõ, ñêàæåì
{ ai,
ai + an}
, êîòîðîå íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ M. Òîãäà äåëàåì
ïåðâûå äâà ïðûæêà äëèíîé a i è a n . Ïðè ýòîì õîòÿ áû
äâå òî÷êè èç M (d è a n ) ëåâåå òî÷êè a i + a n , â êîòîðóþ
êóçíå÷èê ïîïàë çà äâà ïðûæêà. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ
èíäóêöèè, êóçíå÷èê ìîæåò ïîïàñòü èç òî÷êè a i + a n â
òî÷êó s, íå ïðèçåìëÿÿñü â òî÷êàõ ìíîæåñòâà
M\ ({} d ∪ { a n })
è èñïîëüçóÿ âñå ïðûæêè, êðîìå a i è a n .
Ñëó÷àé 2: d ≥ an
.
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, êóçíå÷èê ìîæåò ïîïàñòü
èç òî÷êè a n â òî÷êó s, íå ïðèçåìëÿÿñü â òî÷êàõ
ìíîæåñòâà M\
{} d , èñïîëüçóÿ ïðûæêè a1, …, a n−
1;
ïóñòü ( i 1 ,…, i n−1
) – ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ 1, 2, …
... , n – 1, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ïóòè. Åñëè ïðè ýòîì
êóçíå÷èê òàêæå íå ïðèçåìëÿåòñÿ â òî÷êå d (â ÷àñòíîñòè,
â òàêîì ñëó÷àå d > an
), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ
( ni , 1, …, i n−
1) äàåò èñêîìûé ïóòü êóçíå÷èêà.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ïóòè ( ni , 1, …, i n−
1) êóçíå÷èê
ïðèçåìëèëñÿ ðîâíî â îäíîé òî÷êå ìíîæåñòâà M – òî÷êå
d, è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî an + ai + … + a
1 i = d äëÿ íåêîòîðîãî
0 ≤ k < n− 1. Òîãäà ðàññìîòðèì ïóòü
k
( i 1 ,…, ik+ 1 , n, ik+ 2 ,…,
in−
1 ). Òàê êàê ai + … + a
1 i k+
<
1
< ai + … + a
1 i + a
k n = d, òî êóçíå÷èê íå ïðèçåìëèòñÿ íà
òî÷êè ìíîæåñòâà M ïðè ïåðâûõ k + 1 ïðûæêàõ. Íà
ïðîòÿæåíèè îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïóòè îí ïðèçåìëÿåòñÿ íà
òå æå òî÷êè, ÷òî è â ïóòè ( ni , 1, …, i n−
1) (è êîîðäèíàòû
ýòèõ òî÷åê íå ìåíüøå ÷åì ai + … + a
1 i + a
k 1 n > d). Òàêèì
îáðàçîì, â ïóòè ( i1, …, ik+ 1, n, ik+ 2, …,
i n−1) êóçíå÷èê
+
íå ïðèçåìëèòñÿ íè íà îäíó òî÷êó èç ìíîæåñòâà M.
Èòàê, ìû íàøëè íóæíûé ïóòü êóçíå÷èêà âî âñåõ
ñëó÷àÿõ.
Çàìå÷àíèå. À.Êîìèñàðñêè (Ïîëüøà) îòìåòèë, ÷òî óòâåðæäåíèå
íåâåðíî, åñëè ïîçâîëèòü äëèíàì ïðûæêîâ
áûòü òàêæå îòðèöàòåëüíûìè (è ñ÷èòàòü ïðûæîê âëåâî
íà a > 0 ïðûæêîì âïðàâî íà –a). Ñêàæåì, åñëè äëèíû
ïðûæêîâ ðàâíû –1, 1, 2, 3, à M = {1, 2, 3}, òî, êàê
ëåãêî âèäåòü, íóæíîãî ïóòè êóçíå÷èêà â òî÷êó 5 íå
ñóùåñòâóåò.
È.Áîãäàíîâ
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Ô2168. Íà Âåíåðå ñòðàííàÿ àòìîñôåðà – îíà ïðîñòèðàåòñÿ
äî âûñîòû 10 êì è îáëàäàåò ïðàêòè÷åñêè
ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ. Îòïóñêàåì ìÿ÷èê ñ âûñîòû
5 ì – îí óïàäåò íà ïîâåðõíîñòü ÷åðåç 1 ñåêóíäó. Ñ
âûñîòû 50 ì îí ïàäàåò 3,5 ñ, ñ âûñîòû 100 ì – 5,5 ñ.
Ñêîëüêî âðåìåíè îí áóäåò ïàäàòü ñ âûñîòû 200 ì
Îöåíèòå, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí äâèæåòñÿ â ýòîì
ñëó÷àå íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïàäåíèåì.
×åñòíûì ñïîñîáîì òóò ïîñ÷èòàòü íè÷åãî íå ïîëó÷èòñÿ.
Íî ïîñìîòðèì íà îïûò 2: ïåðâûå 5 ìåòðîâ çàéìóò
1 ñåêóíäó, çíà÷èò, îñòàëüíûå 45 ì ìÿ÷ ïàäàåò 2,5 ñ –
ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà ýòîì ó÷àñòêå ïîëó÷àåòñÿ 18 ì/ñ.
Òåïåðü îïûò 3: ïåðâûå 50 ì èç 100 ì ìÿ÷ ïðîëåòàåò
çà 3,5 ñ, îñòàëüíûå 50 ì – çà 2 ñ. Çà ýòè ïîñëåäíèå 2
ñåêóíäû ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ñîñòàâèò 25 ì/ñ. ßñíî,
÷òî ïðè ýòîì óñêîðåíèå íàìíîãî ìåíüøå 10 ì/ñ 2
(îïûò 1). Ìîæíî ñêîðîñòü 25 ì/ñ ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøåéñÿ,
ìîæíî íåìíîãî óòî÷íèòü ýòó îöåíêó –
åñëè ïîëîæèòü, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ïðîïîðöèîíàëüíà
êâàäðàòó ñêîðîñòè, òî íóæíî åùå íåìíîãî
óâåëè÷èòü çíà÷åíèå óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòè,
ïîëó÷èòñÿ ïðèìåðíî 29 ì/ñ. Åñëè íå óòî÷íÿòü óñòàíîâèâøóþñÿ
ñêîðîñòü, òî âðåìÿ ïàäåíèÿ ñ âûñîòû
200 ì áóäåò ðàâíî 5,5 ñ + 100 ì/25 ì/ñ = 9,5 ñ, à
ñêîðîñòü ïàäåíèÿ îêîëî ïîâåðõíîñòè áóäåò 25 ì/ñ.
Åñëè óòî÷íèòü, òî âðåìÿ ïàäåíèÿ ñîñòàâèò 5,5 ñ +
+ 100 ì/27 ì/ñ = 9,2 ñ, à ñêîðîñòü ó ïîâåðõíîñòè
áóäåò 29 ì/ñ.
À.Ïðîñòîâ
Ô2169. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäèòñÿ
ãðóç ìàññîé Ì, ê íåìó ïðèâÿçàíû ëåãêèå íèòè, ê
ñâîáîäíûì êîíöàì íèòåé ïðèêðåïëåíû ãðóçû ìàññàìè
2Ì è Ì/2. Íèòè ïåðåáðîøåíû ÷åðåç íåïîäâèæíûå,
ðàñïîëîæåííûå ãîðèçîíòàëüíî ïàëüöû òàê, ÷òî îäèí
êóñîê êàæäîé íèòè ãîðèçîíòàëåí, à äðóãîé – âåðòèêàëåí.
Âíà÷àëå ãðóç íà ïëîñêîñòè óäåðæèâàþò, çàòåì
îòïóñêàþò. Ïðè ýòîì ïàëüöû íà÷èíàþò äâèãàòü
íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ïî ãîðèçîíòàëè, êàæäûé ñ
óñêîðåíèåì à = g/7. Íàéäèòå óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé
Ì ñðàçó ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ.
Îáîçíà÷èì ñèëó íàòÿæåíèÿ êîíöà íèòè, ïðèâÿçàííîãî
ê ãðóçó ìàññîé 2Ì, áóêâîé Ò. Òðåíèÿ íåò – ïîýòîìó
ñèëà íàòÿæåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîãî êóñêà ýòîé íèòè
òîæå Ò. Àíàëîãè÷íî, ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè ñ äðóãîé
ñòîðîíû îáîçíà÷èì Q. Óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé Ì
íàïðàâëåíî â ñòîðîíó áîëüøåãî èç ãðóçîâ, îáîçíà÷èì
åãî áóêâîé b. Òîãäà óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé 2Ì ñðàçó
ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ áóäåò íàïðàâëåíî âíèç è ñîñòàâèò
b + a = b + g/7, à óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé
Ì/2 áóäåò íàïðàâëåíî ââåðõ è ñîñòàâèò b – g/7
(åñëè ýòà âåëè÷èíà ïîëó÷èòñÿ îòðèöàòåëüíîé, à çàðàíåå
ýòî óãàäàòü íå ñëèøêîì ïðîñòî, íè÷åãî ïåðåñ÷èòûâàòü
íå ïðèäåòñÿ). Óñêîðåíèÿ ãðóçîâ çàïèñàíû ñ
ó÷åòîì íåðàñòÿæèìîñòè êóñêîâ íèòåé.  ñàìîì íà÷àëå
äâèæåíèÿ óñêîðåíèÿ ñâèñàþùèõ ãðóçîâ áóäóò âåðòèêàëüíû,
çàòåì ñâèñàþùèå êóñêè íèòåé ïåðåñòàíóò
áûòü âåðòèêàëüíûìè, òàê ÷òî çàäà÷ó íóæíî ðåøàòü
î÷åíü áûñòðî!
26-39.p65 30
09.06.10, 13:11

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
31
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ âñåõ òðåõ ãðóçîâ:
2Mg – T = 2M(b + g/7),
Q – 0,5Mg = 0,5M(b – g/7),
T – Q = Mb.
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé (ïðîñòî ñëîæèâ ýòè òðè
âûðàæåíèÿ), ïîëó÷àåì
18
b = g.
49
Ð.Ïàëüöåâ
Ô2170.  äâà ñòàêàíà íàëèëè îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâà
âîäû – â ïåðâûé ãîðÿ÷óþ ïðè + 70 ° C , âî âòîðîé
õîëîäíóþ ïðè + 20 ° C . Ëîæêó ãîðÿ÷åé âîäû ïåðåëèëè
â õîëîäíóþ è ïåðåìåøàëè. Òåìïåðàòóðà âîäû â ýòîì
ñòàêàíå îêàçàëàñü + 25 ° C . Ïåðåëèëè ëîæêó ýòîé
âîäû îáðàòíî â ñòàêàí ñ ãîðÿ÷åé âîäîé è ïåðåìåøàëè.
Êàêîé ñòàëà òåìïåðàòóðà â ãîðÿ÷åì ñòàêàíå Ñêîëüêî
ðàç íóæíî ïîâòîðèòü ýòîò ïðîöåññ (ïåðåëèâàíèå
òóäà è îáðàòíî ñ ïåðåìåøèâàíèåì), ÷òîáû ðàçíîñòü
òåìïåðàòóð ñòàëà ìåíüøå îäíîãî ãðàäóñà Òåïëîåìêîñòüþ
ñòàêàíà è ëîæêè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òåïëîîáìåí
ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé íå ó÷èòûâàòü.
Ïîñëå ïåðâîãî ïåðåëèâàíèÿ ëîæêè âîäû îáðàòíî â
ãîðÿ÷èé ñòàêàí òåìïåðàòóðà âîäû â íåì óñòàíîâèòñÿ
+ 65 ° C (êîëè÷åñòâî âîäû âåðíóëîñü ê íà÷àëüíîìó,
îáùàÿ ýíåðãèÿ îáîèõ ñòàêàíîâ íå èçìåíèëàñü).
Òåïåðü ðàçíîñòü òåìïåðàòóð âîäû â ñòàêàíàõ óìåíüøèëàñü
îò íà÷àëüíûõ 50 ãðàäóñîâ äî 40 ãðàäóñîâ, ò.å.
óìåíüøèëàñü â 1,25 ðàç. ßñíî, ÷òî ïîñëå ñëåäóþùåãî
ïåðåëèâàíèÿ òóäà-îáðàòíî ðàçíîñòü òåìïåðàòóð óìåíüøèòñÿ
åùå â 1,25 ðàç (ýòî î÷åâèäíî, íî ìîæíî è ëåãêî
äîêàçàòü – ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà).
Ïîñëå n ïàð ïåðåëèâàíèé ðàçíîñòü òåìïåðàòóð óìåíüøèòñÿ
â ( )
1, 25 n ðàç. Íóæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî n, ÷òîáû
ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îêàçàëîñü áîëüøå 50, ïðè ýòîì
ðàçíîñòü òåìïåðàòóð îêàæåòñÿ ìåíüøå 1 ãðàäóñà. Ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ëîãàðèôìû, ìîæíî ïðîñòî «íà ÷èñëàõ»
óáåäèòüñÿ (÷èñëà çäåñü íåñëîæíûå), ÷òî ( ) 17 1, 25
ìåíüøå 50, à ( ) 18 1, 25 – áîëüøå.
Èòàê, íóæíî ñîâåðøèòü 18 ïàð ïåðåëèâàíèé.
À.Ïîâòîðîâ
Ô2171. Òðè îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðà ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî,
áàòàðåéêà íàïðÿæåíèåì 6  ïîäêëþ÷åíà ê
êîíöàì ýòîé öåïî÷êè. Äâà îäèíàêîâûõ âîëüòìåòðà
ïîäêëþ÷åíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Îäèí èç
ïðèáîðîâ ïîêàçûâàåò 3 Â. ×òî ïîêàçûâàåò âòîðîé
ïðèáîð ×òî îí áóäåò ïîêàçûâàòü, åñëè ïåðâûé
âîîáùå îòêëþ÷èòü îò ñõåìû Ïîêàçàíèÿ ïðèáîðîâ
ñ÷èòàòü òî÷íûìè, âîëüòìåòðû – íåèäåàëüíûìè.
 ñèëó ñèììåòðèè ñõåìû, ñðàçó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî
âòîðîé âîëüòìåòð òîæå ïîêàæåò 3 Â, à òîê ÷åðåç
ñðåäíèé ðåçèñòîð íå òå÷åò. ßñíî, ÷òî ñîïðîòèâëåíèå
âîëüòìåòðà òàêîå æå,
êàê ñîïðîòèâëåíèå
îäíîãî ðåçèñòîðà.
Åñëè îòêëþ÷èòü îäèí
âîëüòìåòð, òî ïîëó-
÷èòñÿ ïðîñòàÿ ñõåìà,
ãäå îäèí ðåçèñòîð ïîäêëþ÷åí ïîñëåäîâàòåëüíî ñ âîëüòìåòðîì,
âêëþ÷åííûì ïàðàëëåëüíî ñ äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèíåííûìè ðåçèñòîðàìè. Òîãäà ïîêàçàíèå
âîëüòìåòðà áóäåò 2,4 Â.
Ç.Ïðèáîðîâ
Ô2172. Â ãëóáèíàõ êîñìîñà, âäàëè îò âñåõ äðóãèõ òåë,
âèñèò íåïîäâèæíî òîíêîñòåííàÿ íåïðîâîäÿùàÿ ñôåðà
ðàäèóñîì R è ìàññîé Ì. Íà åå ïîâåðõíîñòè
ðàâíîìåðíî «ðàçìàçàí» çàðÿä Q. Èçäàëè íà ñôåðó
íàëåòàåò î÷åíü ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m, çàðÿæåííûé
òàêèì æå çàðÿäîì Q. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü øàðèêà
ðàâíà v 0 è íàïðàâëåíà â öåíòð ñôåðû, à â ñòåíêàõ
ñôåðû ñäåëàíû äâå ìàëåíüêèå äûðêè òàê, ÷òîáû
øàðèê, ïðè áîëüøîé åãî ñêîðîñòè, ìîã ïðîñêî÷èòü
ñêâîçü ñôåðó. Ñêîëüêî âðåìåíè øàðèê ëåòèò âíóòðè
ñôåðû
Ïîëå çàðÿäîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ñôåðå, âíóòðè ñàìîé
ñôåðû îòñóòñòâóåò, ïîýòîìó âíóòðè ñôåðû øàðèê ëåòèò
ðàâíîìåðíî. (Åñëè áû ñôåðà áûëà ïðîâîäÿùåé, åå
çàðÿäû ïåðåðàñïðåäåëèëèñü áû, è äâèæåíèå çàðÿæåííîãî
øàðèêà âíóòðè ñôåðû óæå íå áûëî áû ðàâíîìåðíûì.)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ âðåìåíè ïðîëåòà äîñòàòî÷íî
îïðåäåëèòü ñêîðîñòü øàðèêà – ïðîùå âñåãî åå íàéòè â
òîò ìîìåíò, êîãäà øàðèê íàõîäèòñÿ â öåíòðå ñôåðû
(ïðîùå ñ÷èòàòü ïîòåíöèàëû). Îáîçíà÷èâ ñêîðîñòü
øàðèêà â ýòîé òî÷êå ÷åðåç v, à ñêîðîñòü öåíòðà ñôåðû
â ýòîò æå ìîìåíò – ÷åðåç u, çàïèøåì óðàâíåíèÿ çàêîíîâ
ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè:
2 2 2 2
mv0
mv Mu kQ
mv0
= mv + Mu , = + + .
2 2 2 R
Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, íàéäåì v è u:
v
v =
( +γA)
0 1
1 +γ
,
( − A)
v0 1
u =
1 +γ
ãäå
2
M
2kQ
( 1+γ)
γ= , A = 1 −
.
2
m
Rmγv0
Çíàêè â êîðíÿõ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ âûáðàíû òàê,
÷òîáû ñêîðîñòü øàðèêà îêàçàëàñü áîëüøå ñêîðîñòè
öåíòðà ìàññ ñèñòåìû, à ñêîðîñòü ñôåðû – ìåíüøå.
Ïîñëå òîãî êàê øàðèê ïîïàäàåò âíóòðü ñôåðû, ñêîðîñòè
òåë íå èçìåíÿþòñÿ, ïîêà øàðèê íå âûëåòèò íàðóæó.
Ïîýòîìó óñëîâèå «ïðîëåòà» íàõîäèòñÿ ïðîñòî: «êðèòè-
÷åñêàÿ» ñêîðîñòü v 0 ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ À = 0, ò.å.
2
2 2kQ
( 1+γ)
v0êð
=
.
Rmγ
Èòàê, âðåìÿ ïðîëåòà øàðèêà âíóòðè ñôåðû ðàâíî
0
( +γ)
( 1 )
2R
2R
1
τ= =
v− u v + A
.
,
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô2173. Ïðóæèííûé ìàÿòíèê ñîñòîèò èç ëåãêîé ïðóæèíû
æåñòêîñòüþ k è âèñÿùåãî íà íåé ãðóçà ìàññîé
Ì. Âíà÷àëå ñèñòåìà íåïîäâèæíà (ãðóç â ðàâíîâåñèè).
 íåêîòîðûé ìîìåíò òî÷êó ïîäâåñà íà÷èíàþò äâè-
(Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34)
26-39.p65 31
09.06.10, 13:11

…ïðûãàþò â ìåäíûõ ñîñóäàõ ñàìîôðàêèéñêèå êîëüöà
ñ æåëåçà îïèëêàìè âìåñòå, áóðíî áóøóÿ,
êîãäà ïîä ñîñóäîì êàìåíü ìàãíèòíûé…
Òèò Ëóêðåöèé Êàð
ßíòàðü íå ïðèòÿãèâàåò ê ñåáå ñîëîìèíêó, êîãäà ÷òî-ëèáî
èõ ðàçäåëÿåò, ïðèòÿæåíèå æåëåçà ê ìàãíèòó íå èñïûòûâàåò
àíàëîãè÷íûõ ïîìåõ.
Äæåðîëàìî Êàðäàíî
…â êîíöå êîíöîâ ìíå óäàëîñü íàìàãíèòèòü è íàýëåêòðèçîâàòü
ëó÷ ñâåòà è îñâåòèòü ìàãíèòíóþ ñèëîâóþ ëèíèþ.
Ìàéêë Ôàðàäåé
È âîò òîãäà ÿ çàäàë ñàì ñåáå âîïðîñ – à ÷òî áóäåò, åñëè
ñðåäà, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà, áóäåò èìåòü
îäíîâðåìåííî îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ è ýëåêòðè÷åñêîé,
è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè
Âèêòîð Âåñåëàãî
…íàøà õâàëåíàÿ ñîâðåìåííàÿ ôèçèêà – ñïëîøíîå íàäóâàòåëüñòâî:
íà÷àëè ìû ñ ìàãíèòíîãî æåëåçíÿêà è ÿíòàðÿ, à
çàêîí÷èëè òåì, ÷òî íå ïîíèìàåì äîñòàòî÷íî õîðîøî íè
òîãî, íè äðóãîãî. Çàòî â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ ìû óçíàëè
îãðîìíîå êîëè÷åñòâî óäèâèòåëüíûõ è î÷åíü ïîëåçíûõ äëÿ
ïðàêòèêè âåùåé!
Ðè÷àðä Ôåéíìàí
À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì
ïîñòîÿííûå ìàãíèòû
À êàê æå! Âçãëÿíåì âîêðóã – âîò îíè íà äâåðöå
õîëîäèëüíèêà â ïðèëèïøèõ ê íåé èãðóøêàõ, íà ñòîëàõ
â «ëîâóøêàõ» ñêðåïîê, áóëàâîê è êíîïîê, â ìàãíèòíûõ
ëåíòàõ ïëàñòèêîâûõ êàðò èëè õîòÿ áû â òåõ æå êîìïàñàõ,
êîòîðûå âñòàâëÿþò óæå è â øêîëüíûå ðàíöû, è â
ðåìåøêè ÷àñîâ. ×óòü ïîäóìàâ, âñïîìíèì, ÷òî áåç ìàãíèòîâ
íå îáõîäÿòñÿ ìàãíèòîôîíû, ìèêðîôîíû, òåëåôîíû
– ýòî íàì ïîäñêàçûâàþò íå óñïåâàþùèå çà âðåìåíåì
ó÷åáíèêè. À ÷åì íà÷èíÿþò ñåãîäíÿ ðàçíîãî ðîäà
àïïàðàòóðó Ìàãíèòîâ â êëàññè÷åñêîì ïîíèìàíèè òàì
ìîæåò óæå è íå ñîäåðæàòüñÿ, íî ýòî íå çíà÷èò, ÷òî â
óñòðîéñòâàõ, êîòîðûìè ìû ïîâñåäíåâíî ïîëüçóåìñÿ,
ïåðåñòàëè ïðèìåíÿòü ìàãíèòíûå ìàòåðèàëû. Ïðîñòî
îíè íåóçíàâàåìî èçìåíèëèñü, ïîðîé ñòàâ ïðàêòè÷åñêè
íåâèäèìûìè, íî ãëàâíîå – ïðèîáðåòÿ ñîâåðøåííî
íîâûå, îñîáåííûå êà÷åñòâà.
Îäíàêî â ïåðåêëè÷êå âðåìåí, âîçíèêøåé â ýïèãðàôàõ,
ïîæàëóé, çàìåòíî è íå÷òî îáùåå – íåèçìåííîå
ïîâûøåííîå âíèìàíèå ê ýòîìó óäèâèòåëüíîìó ÿâëåíèþ
ïðèðîäû. Ðàçìûøëåíèÿ î ìàãíèòàõ ìîæíî íàéòè è
ó äðåâíèõ ôèëîñîôîâ, è ó ñðåäíåâåêîâûõ åñòåñòâîèñïûòàòåëåé,
è ó íàøèõ ñîâðåìåííèêîâ-èññëåäîâàòåëåé.
Êîãäà-òî â ìàãíèò óìóäðèëèñü âäîõíóòü «äóøó» è
óïîäîáëÿëè åãî æèâûì îðãàíèçìàì; ñåãîäíÿ ïûòàþòñÿ
ðàñêðûòü çàãàäêó ìàãíèòíîãî ìîíîïîëÿ è îáúÿñíèòü
íåîáû÷íûå ñâîéñòâà ñîçäàâàåìûõ â ëàáîðàòîðèÿõ ìàãíèòíûõ
ìàòåðèàëîâ.
 êàêîé-òî ìåðå ýòîò «Êàëåéäîñêîï» – ïðîäîëæåíèå
ïðåäûäóùåãî âûïóñêà «Íàíî…» È òàê æå, êàê â ïðîøëûé
ðàç, ìû ïîïðîáóåì ïåðåêèíóòü ìîñòèê îò, êàçàëîñü áû,
áåñõèòðîñòíûõ ñèòóàöèé è çàäà÷, ãäå ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ
íàøèìè ïåðñîíàæàìè-ìàãíèòàìè, ê òåì çà÷àñòóþ îøåëîìëÿþùèì
òåõíîëîãè÷åñêèì íîâèíêàì, ãäå îíè ïðîäîëæàþò
èãðàòü çàìåòíóþ, åñëè íå îïðåäåëÿþùóþ
ðîëü, ìåíÿÿ îáëèê îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà.
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Ìîæåò ëè ñòàëüíîé ñòåðæåíü èìåòü íà îáîèõ
êîíöàõ îäèíàêîâûå ìàãíèòíûå ïîëþñà Ìîæåò ëè
ïîñòîÿííûé ìàãíèò èìåòü ÷åòíîå ÷èñëî ìàãíèòíûõ
ïîëþñîâ À íå÷åòíîå ÷èñëî
2. Äâà îäèíàêîâûõ ïðÿìîëèíåéíûõ ìàãíèòà ñîåäèíèëè
îäíè ðàç òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå à), äðóãîé ðàç
– êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå á).
Èçîáðàçèòå ëèíèè èíäóêöèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êàæäîì ñëó-
÷àå.
3. Áóäåò ëè äåéñòâîâàòü ìàãíèò
íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó, åñëè
ìåæäó íèìè ïîìåñòèòü ðóêó
À åñëè àëþìèíèåâûé ëèñò
4. Íà ëèñò áóìàãè ðàâíîìåðíî íàñûïàþò ìåòàëëè÷åñêèå
îïèëêè. Ýòîò ëèñò ïîìåùàþò â ìàãíèòíîå ïîëå. Åñëè
ñëåãêà ïîñòóêèâàòü ïî ëèñòó, òî îïèëêè ðàñïîëîæàòñÿ â
öåïî÷êè ïî íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíûõ ëèíèé. Äëÿ ÷åãî
íåîáõîäèìî ïîñòóêèâàòü ïî ëèñòó Ïî÷åìó îïèëêè
âûñòðàèâàþòñÿ â öåïî÷êè
5. Èìåþòñÿ äâà îäèíàêîâûõ ñòàëüíûõ ñòåðæíÿ, îäèí
èç êîòîðûõ íàìàãíè÷åí ñèëüíåå äðóãîãî. Êàê íàéòè ýòîò
ñòåðæåíü
6. Ïîëîñîâîé ìàãíèò ðàñïèëèëè íà íåñêîëüêî êóñêîâ
îäèíàêîâîé äëèíû. Êàêîé èç ïîëó÷èâøèõñÿ êóñêîâ
îêàæåòñÿ íàìàãíè÷åííûì ñèëüíåå: êîòîðûé íàõîäèëñÿ
áëèæå ê êîíöàì èëè áëèæå ê ñåðåäèíå ìàãíèòà
7. Ïîëîñîâîé ìàãíèò ðàçäåëèëè íà äâå ðàâíûå ÷àñòè
è ïîëó÷èëè äâà ìàãíèòà. Áóäóò ëè ýòè ìàãíèòû îêàçûâàòü
òàêîå æå äåéñòâèå, êàê è öåëûé ìàãíèò
8. Çà÷åì ïðè õðàíåíèè
äóãîîáðàçíîãî
ìàãíèòà åãî êîíöû
ñîåäèíÿþò æåëåçíûì
áðóñêîì
(ÿêîðåì)
9. Ñèëüíûé äóãîîáðàçíûé
ìàãíèò
ñïîñîáåí óäåðæèâàòü
ñòàëüíîé øàðèê.
Ïî÷åìó øàðèê íå óäåðæèâàåòñÿ íà ïðåæíåì ìåñòå,
åñëè ìàãíèò çàìêíóòü ÿêîðåì
10. Ñèëüíûé ìàãíèò ìîæåò óäåðæèâàòü íà âåñó ãèðëÿíäó
èç íåñêîëüêèõ æåëåçíûõ öèëèíäðîâ. ×òî áóäåò
ïðîèñõîäèòü, åñëè ñíèçó ïðèáëèæàòü ê ãèðëÿíäå òàêîé
26-39.p65 32
09.06.10, 13:12

æå ìàãíèò, îáðàùåííûé ê âåðõíåìó îäíîèìåííûì
ïîëþñîì À åñëè ïðîòèâîïîëîæíûì
11. Òðè ñîâåðøåííî îäèíàêîâûå ìàãíèòíûå ñòðåëêè
ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà,
ñòîðîíà êîòîðîãî ìíîãî áîëüøå äëèíû ñòðåëêè.
Ñòðåëêè ìîãóò âðàùàòüñÿ âîêðóã îñåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà. Êàêîâî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
ñòðåëîê, åñëè âñåìè âëèÿíèÿìè, à òàêæå ìàãíèòíûì
ïîëåì Çåìëè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü
12. Ïî÷åìó óäàðàìè ìîëîòêà ìîæíî ðàçìàãíèòèòü
ñòàëüíîé ìàãíèò, à ëåãêèì ïîñòóêèâàíèåì ïî ñòàëüíîìó
ñòåðæíþ ìîæíî, íàîáîðîò, ñïîñîáñòâîâàòü åãî íàìàãíè÷èâàíèþ
13. Îò÷åãî îáûêíîâåííûå ìàãíèòíûå êîìïàñû âáëèçè
ïîëþñîâ Çåìëè ðàáîòàþò î÷åíü ïëîõî
14. Óðàâíîâåøåííûå âåñû ñî ñòàëüíûì êîðîìûñëîì
ðàñïîëàãàþòñÿ âäîëü çåìíîãî ìåðèäèàíà. Ñîõðàíèòñÿ
ëè ðàâíîâåñèå, åñëè êîðîìûñëî íàìàãíèòèòü âäîëü
âñåé åãî äëèíû
15. Ìîæíî ëè íà Ëóíå îðèåíòèðîâàòüñÿ ñ ïîìîùüþ
ìàãíèòíîãî êîìïàñà
16. Ìíîãèå âåùåñòâà ñîõðàíÿþò ñâîè ìàãíèòíûå
ñâîéñòâà è ïîñëå èñïàðåíèÿ. À ïî÷åìó àòîìû æåëåçà â
ïàðîîáðàçíîì ñîñòîÿíèè òåðÿþò ôåððîìàãíèòíûå ñâîéñòâà
17. Íàìàãíè÷åííàÿ ñòàëüíàÿ ïëàñòèíêà, îïóùåííàÿ â
ñîñóä ñ ñîëÿíîé êèñëîòîé, ðàñòâîðèëàñü. Êóäà äåâàëàñü
ìàãíèòíàÿ ýíåðãèÿ ïëàñòèíêè
Ìèêðîîïûò
Âîçüìèòå áîëüøóþ ìàãíèòíóþ ñòðåëêó íà ïîäñòàâêå
è ïîäíåñèòå åå ñíà÷àëà ê íèæíåìó, à çàòåì ê âåðõíåìó
êîíöó øêîëüíîãî ëàáîðàòîðíîãî øòàòèâà (âàðèàíòû: ê
æåëåçíîìó âåäðó, ê æåëåçíîé ðó÷êå äâåðè). Îäèíàêîâî
ëè áóäåò âåñòè ñåáÿ ñòðåëêà ó ðàçíûõ êîíöîâ øòàòèâà
Ïî÷åìó
Ëþáîïûòíî, ÷òî…
…äðåâíåéøèå ñâåäåíèÿ îá èñïîëüçîâàíèè æåëåçà â
êà÷åñòâå êîìïàñà ñîäåðæàòñÿ â êèòàéñêèõ ëåòîïèñÿõ,
ñîñòàâëåííûõ áîëåå òðåõ òûñÿ÷åëåòèé íàçàä. Íàçâàíèå
æå «ìàãíèò», êàê ñâèäåòåëüñòâóåò äðåâíåãðå÷åñêèé
ôèëîñîô Ïëàòîí, ââåë ïî÷òè çà ïÿòüñîò ëåò äî íîâîé
ýðû àâòîð çíàìåíèòûõ òðàãåäèé Åâðèïèä.
…ñòîëåòèÿìè îò ïîêîëåíèÿ ê ïîêîëåíèþ ïåðåäàâàëèñü
ôàíòàñòè÷åñêèå íåáûëèöû î ñâîéñòâàõ ìàãíèòà.
Òàê, ñâÿçûâàÿ íåîáû÷àéíóþ äëÿ íåæèâîé ïðèðîäû ñèëó
ìàãíèòà ñ ïðîèñêàìè äüÿâîëà, ñ÷èòàëè, ÷òî îí ïîìîãàåò
âîðàì, îòêðûâàÿ çàïîðû è çàìêè, ÷òî ìàãíèò íî÷üþ
«ñïèò» è ïîòîìó áåçäåéñòâóåò, ÷òî âëèÿíèå ìàãíèòà
ïðåêðàòèòñÿ, åñëè íàòåðåòü åãî ÷åñíîêîì, à åñëè îí
ïîòåðÿåò ñâîþ ñèëó, ñëåäóåò ñìî÷èòü åãî êîçëèíîé
êðîâüþ.
…â ñâîåì ôóíäàìåíòàëüíîì òóðå «Î ìàãíèòå…» Ãèëüáåðò
âïåðâûå âûñêàçàë óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî Çåìëÿ –
áîëüøîé ìàãíèò.
…ïîäêîâîîáðàçíóþ ôîðìó ïðèäàë ìàãíèòàì Äàíèèë
Áåðíóëëè; ñâÿçü óäàðîâ ìîëíèé ñ ïåðåìàãíè÷èâàíèåì
ñóäîâûõ êîìïàñîâ, à òàêæå âëèÿíèå ìàãíèòíûõ áóðü íà
ïîëÿðíûå ñèÿíèÿ óñòàíîâèë Äîìèíèê Àðàãî; íàó÷íóþ
ïðîãðàììó ïî èçó÷åíèþ ìàãíèòíûõ ÿâëåíèé, êîòîðîé
ôàêòè÷åñêè ñëåäîâàëè ó÷åíûå XIX âåêà, ðàçðàáîòàë, íî,
óâû, íå îïóáëèêîâàë Ãåíðè Êàâåíäèø.
…ïûòàÿñü íàéòè âçàèìîñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè îáëàñòÿìè
ôèçèêè, Ôàðàäåé îáíàðóæèë âðàùåíèå ïëîñêîñòè
êîëåáàíèé ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ
â âåùåñòâå âäîëü ïîñòîÿííîãî ìàãíèòíîãî
ïîëÿ. Ìàãíèòîîïòè÷åñêèé ýôôåêò Ôàðàäåÿ,
ðåàëèçóåìûé ñåãîäíÿ â òîíêèõ ïëåíêàõ, îêàçàëñÿ íåçàìåíèì
ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ìàãíèòíûõ äîìåíîâ, ïðè
ïðîâåðêå ïîäëèííîñòè âèäåî- è àóäèîçàïèñåé, à òàêæå
ïðè ðàñøèôðîâêå «÷åðíûõ ÿùèêîâ».
…ãèïîòåçà î ñóùåñòâîâàíèè â ôåððîìàãíåòèêàõ îáëàñòåé
ñàìîïðîèçâîëüíîé íàìàãíè÷åííîñòè – äîìåíîâ –
áûëà âûäâèíóòà ôðàíöóçñêèì ôèçèêîì Ïüåðîì Âåéññîì
â 1907 ãîäó è ïîëó÷èëà ïîäòâåðæäåíèå 12 ëåò ñïóñòÿ
â ýôôåêòíîì îïûòå. Ïåðåìàãíè÷èâàíèå äîìåíîâ ìèêðîííûõ
ðàçìåðîâ ñ ïîìîùüþ èçîáðåòåííîãî ê òîìó
âðåìåíè ýëåêòðîííîãî óñèëèòåëÿ ñèãíàëîâ óäàëîñü
ïðåîáðàçîâàòü â ùåë÷êè, ñëûøèìûå ïî âñåé ëàáîðàòîðèè.
À óæå â 1932 ãîäó ìàãíèòíûå äîìåíû íàáëþäàëèñü
íåïîñðåäñòâåííî â ìèêðîñêîï.
…õîòÿ ïîëþñà ìàãíèòîâ íåðàçäåëèìû, ãèïîòåçà î
ñóùåñòâîâàíèè ìàãíèòíûõ ìîíîïîëåé íå ïðîòèâîðå÷èò
òåîðèè, î÷åíü ìíîãèå èõ ñâîéñòâà èññëåäîâàíû «íà
áóìàãå», à ïîèñêè ìîíîïîëåé íå ïðåêðàùàþòñÿ êàê â
êîñìîñå, òàê è â çåìíûõ ýêñïåðèìåíòàõ.
…Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå 2007 ãîäà áûëà
ïðèñóæäåíà çà ðàçðàáîòêó òåõíîëîãèè, çíà÷èòåëüíî
óâåëè÷èâøåé ïëîòíîñòü õðàíåíèÿ èíôîðìàöèè íà æåñòêèõ
äèñêàõ. Â åå îñíîâå – îòêðûòèå ãèãàíòñêîãî
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ â òàê íàçûâàåìûõ «ñýíäâè÷àõ»,
ñîñòîÿùèõ èç äâóõ ñëîåâ ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà,
ðàçäåëåííûõ òîí÷àéøåé ïðîñëîéêîé íåìàãíèòíîãî
ìàòåðèàëà. Ýòîò ýôôåêò ñòàë ïåðâûì ïðàêòè÷åñêèì
ïðèìåíåíèåì íàíîòåõíîëîãèè â ñîâðåìåííîé ýëåêòðîííîé
ïðîìûøëåííîñòè.
…â ïîñëåäíèå ãîäû ôèçèêàì óäàëîñü ñîçäàòü «ñóïåðëèíçû»,
ñîáèðàþùèå ñâåòîâûå ëó÷è â ãîðàçäî áîëåå
óçêèé ïó÷îê, ÷åì ýòî ðàçðåøàåòñÿ çàêîíàìè îïòè÷åñêîé
äèôðàêöèè, ÷òî ïîçâîëèëî ðàçëè÷àòü òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå
âñåãî â íåñêîëüêèõ äåñÿòêàõ íàíîìåòðîâ äðóã
îò äðóãà. Ìåòàìàòåðèàëû, ïðèìåíÿåìûå ïðè èçãîòîâëåíèè
«ñóïåðëèíç», èìåþò îòðèöàòåëüíûé ïîêàçàòåëü
ïðåëîìëåíèÿ, ò.å. ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé «ëåâûå» îïòè-
÷åñêèå ñðåäû, â êîòîðûõ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ è
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü îòðèöàòåëüíû.
×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î ïîñòîÿííûõ ìàãíèòàõ
(ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)
1. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíò» – 2005, ¹1, ñ.32;
2. «Ëåâûå ñðåäû» – 2006, Ïðèëîæåíèå ¹2, ñ.62;
3. «Äâèæåíèå çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå» – 2007, ¹5,
ñ.42;
4. «Òðèóìô ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè» – 2008, ¹4,
ñ.4;
5. «Çàãàäêè ìàãíèòíîé ñòðåëêè» – 2009, ¹3, ñ.39; ¹5,
ñ.34;
6. «Ìàãíèòíûå äîìåíû» – 2009, Ïðèëîæåíèå ¹4,
ñ.44;
7. «Êàê óïðàâëÿòü ñâåòîì ñ ïîìîùüþ ìàãíèòíîãî
ïîëÿ» – 2010, ¹1, ñ.12;
8. «Ïîñòîÿííûå ìàãíèòû. Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà âåùåñòâà»
– 2010, Ïðèëîæåíèå ¹1, ñ.63.
Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷
26-39.p65 33
09.06.10, 13:13

34
ãàòü âíèç ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v 0 . Íàéäèòå
ìàêñèìàëüíóþ äëèíó ïðóæèíû ïðè òàêîì äâèæåíèè.
 íåðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè ïðóæèíà èìååò äëèíó L.
Mg
 íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðóæèíà ðàñòÿíóòà íà l = è
k
2 2 2
kl M g
ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ïðóæèíû ðàâíà = .
2 2k
Ïóñòü ìàêñèìàëüíîå ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû ðàâíî Õ,
òîãäà ýíåðãèÿ ïðóæèíû â ýòîì ñîñòîÿíèè ñîñòàâëÿåò
2
kX . Óäîáíî ïåðåéòè â ñèñòåìó îòñ÷åòà, êîòîðàÿ åäåò
2
âíèç ñî ñêîðîñòüþ v 0 .  ýòîé ñèñòåìå òî÷êà ïîäâåñà
íåïîäâèæíà, ðàáîòà ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ïîäâåñ ñî
ñòîðîíû ïðóæèíû, ðàâíà íóëþ è ýíåðãèÿ îêðóæàþùèõ
òåë íå ìåíÿåòñÿ. Ìàêñèìàëüíîå ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû
ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñêîðîñòè ãðóçà, à íà÷àëüíàÿ
ñêîðîñòü ãðóçà â ýòîé ñèñòåìå ðàâíà v 0 . Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè èìååò âèä
Mv 2 2 2 2
0
+ M g + Mg( X − l)
= kX .
2 2k
2
Îòñþäà íàõîäèì
2
Mg Mv
X = 0
k
+ k
.
Ìîæíî çàïèñàòü è óñëîâèå äëÿ ñêîðîñòè – ïðè áîëüøîé
ñêîðîñòè v 0 ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ X > L è ïðóæèíà íå âñå
âðåìÿ áóäåò ïîä÷èíÿòüñÿ çàêîíó Ãóêà (ãðóç óäàðèòñÿ î
ïîäâåñ).
Èòàê, ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà ïðóæèíû ðàâíà
Mg Mv
Lmax
= L + X = L + k
+ k
.
À.Çèëüáåðìàí
Ô2174. Î÷åíü áîëüøîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ òîíêèõ
ñîáèðàþùèõ ëèíç ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F
ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâûõ ðàññòîÿíèÿõ l äðóã îò
äðóãà òàê, ÷òî ãëàâíûå
îïòè÷åñêèå îñè
âñåõ ëèíç ñîâïàäàþò.
Ðàññòîÿíèå l ìíîãî
ìåíüøå ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ
F. Íà ïåðâóþ
Ðèñ. 1
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 26)
2
0
ëèíçó ïåðïåíäèêóëÿðíî
åå ïëîñêîñòè ïàäàåò
ëó÷ ñâåòà (ðèñ.1). Ïîñòðîéòå õîä ýòîãî ëó÷à. Íàéäèòå
ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè, â êîòîðûõ ëó÷ â
òðåòèé è â ÷åòâåðòûé ðàç ïåðåñåêàåò ãëàâíóþ îïòè-
÷åñêóþ îñü.
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à óæå ïóáëèêîâàëàñü â «Çàäà÷íèêå»
Êâàíòà» (Ô193), îäíàêî áûëà ïîñòàâëåíà ëèøü íà
êà÷åñòâåííîì óðîâíå: íóæíî áûëî ïîñòðîèòü õîä ðÿäà
ëó÷åé â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ëèíç. Ïîâòîðèì
ñíà÷àëà îñíîâíûå ìîìåíòû ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è.
Òàê êàê ëèíçû ñîáèðàþùèå, êàæäàÿ áóäåò «ïðèæèìàòü»
ëó÷ ê ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Ïðè÷åì, ïîñêîëüêó
ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíç ìíîãî áîëüøå ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó íèìè, à ëó÷ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ëèíçû ïåðåñåê
áû ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü íà òàêîì ðàññòîÿíèè îò
ëèíçû, êîòîðîå ñðàâíèìî ñ åå ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì,
ìåæäó êàæäîé ïàðîé ëèíç ëó÷ áóäåò ñìåùàòüñÿ î÷åíü
íåçíà÷èòåëüíî. Ïîýòîìó ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðâîé
ëèíçû ëó÷ ÷óòü-÷óòü «ïîâåðíåò» ê ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñè, ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ âòîðîé – åùå ÷óòü-÷óòü, çàòåì
åùå è â êàêîé-òî òî÷êå, ïðîéäÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî
ëèíç, ïåðåñå÷åò ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü, ïîâåðíóâ ïðè
ýòîì íà çíà÷èòåëüíûé óãîë çà ñ÷åò ïðåëîìëåíèé â
áîëüøîì êîëè÷åñòâå ëèíç. Ïîñëå ýòîãî ëó÷ áóäåò ñíîâà
«ïîâîðà÷èâàòü» ê ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè è íà êàêîìòî
ðàññòîÿíèè îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñòàíåò ïàðàëëåëüíûì
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Äàëüíåéøèé õîä ëó÷à
áóäåò ïîâòîðÿòü îïèñàííûé âûøå.
Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîãî âûâîäà íà ðèñóíêå 2 ïîñòðîåí
õîä òðåõ ëó÷åé, ïàäàþùèõ íà ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó
ëèíç. Ëó÷è ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ ðàñ÷åòîâ äëÿ
Ðèñ. 2
ñëó÷àÿ, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíçàìè ðàâíî îäíîé
òðåòè ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ ëèíç. Èç ýòîãî ðèñóíêà
âèäíî, ÷òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ëó÷è 1 è 3 ïðåäñòàâëÿþò
ñîáîé ëîìàíûå ëèíèè (âåäü ìåæäó ëèíçàìè ëó÷è
ïðÿìûå), íî ñ äðóãîé ñòîðîíû, óæ î÷åíü îíè ïîõîæè íà
ãðàôèêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé! Ïîýòîìó âîçíèêàåò
ñëåäóþùàÿ èäåÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ëó÷ îïèñûâàåòñÿ
«ïî÷òè» ïëàâíîé êðèâîé, è ïîïðîáóåì ïîëó÷èòü
åå óðàâíåíèå.
Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðå ïåðâîé
ëèíçû, îñü Õ íàïðàâèì âäîëü ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè,
îñü Y ïåðïåíäèêóëÿðíî åé è â ïðåäåëå l → 0 íàéäåì
ñâÿçü ìåæäó êîîðäèíàòàìè y è x äëÿ òî÷åê ëó÷à, ò.å.
ïîëó÷èì óðàâíåíèå y( x ), îïèñûâàþùåå ëó÷. Äëÿ
ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîõîæäåíèå ëó÷à ÷åðåç îäíó ëèíçó,
íàõîäÿùóþñÿ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè x îò íà÷àëà
êîîðäèíàò (ðèñ.3). Ïóñòü ëó÷ AB ïàäàåò íà ëèíçó ïîä
óãëîì α ê ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè â òî÷êå B, èìåþùåé
âåðòèêàëüíóþ êîîðäèíàòó ó (îòðåçîê BM ïàðàëëåëåí
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû). Ïîñòðîèì ïðîäîëæåíèå
ýòîãî ëó÷à ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ëèíçû è íàéäåì óãîë
β ìåæäó íèì è ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ïðîâåäåì ÷åðåç öåíòð ëèíçû âñïîìîãàòåëüíûé ëó÷
CO, ïàðàëëåëüíûé ïàäàþùåìó. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà BMN èìååì
MN y Ftg
α y
tg β= = + = tg α+ .
F F F F
Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà ëó÷à ê îñè Õ ðàâåí ïðîèçâîäíîé
èñêîìîé ôóíêöèè y( x ) ñî çíàêîì «ìèíóñ» (óãëû α è
β îòñ÷èòàíû ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå îò îñè Õ), ïîýòîìó
ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
1
y′ ( ïîñëå ëèíçû) − y′
( äî ëèíçû) = − y( x)
.
F
26-39.p65 34
09.06.10, 13:14

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
35
Ðèñ. 3
Ïîäåëèì ïðàâóþ è
ëåâóþ ÷àñòè ýòîãî
óðàâíåíèÿ íà ðàññòîÿíèå
l ìåæäó ëèíçàìè.
Ïîñêîëüêó ýòî
ðàññòîÿíèå ìàëî, ëåâàÿ
÷àñòü íîâîãî óðàâíåíèÿ
áóäåò ïðèáëèæåííî
ðàâíà âòîðîé
ïðîèçâîäíîé èñêîìîé
y′′ x .
ôóíêöèè â òî÷êå, ãäå íàõîäèòñÿ ëèíçà, ò.å. ( )
Òîãäà ïîëó÷èì
y′′ ( x) =− y( x)
.
lF
Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ( )
y x , îïðåäåëÿþùàÿ
õîä ëó÷à â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ëèíç,
òàêîâà, ÷òî åå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ â íåêîòîðîé òî÷êå
ïðîïîðöèîíàëüíà ñàìîé ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå. Óðàâíåíèÿ,
êîòîðûå ñâÿçûâàþò íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ è åå
ïðîèçâîäíûå, ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè.
 øêîëüíîì êóðñå ôèçèêè ðàññìàòðèâàåòñÿ
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáà-
1
íèé, êîòîðûå ñâÿçûâàåò êîîðäèíàòó êîëåáëþùåãîñÿ
òåëà õ ñî âðåìåíåì t:
2
() ()
x′′ t =−ω x t ,
ãäå ω 2 – íåêîòîðîå ÷èñëî, è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ
x()
t ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìáèíàöèåþ ñèíóñà è êîñèíóñà
îò àðãóìåíòà ω t , ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèåé âðåìåíè ñ ïåðèîäîì T = 2π ω.
Ïîñêîëüêó íàøå óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè y( x ) ñîâïàäàåò
ïî ôîðìå ñ óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé,
ïðè÷åì ω
2 1
= , òî èñêîìàÿ ôóíêöèÿ y( x ), îïðåäåëÿþùàÿ
õîä ñâåòîâîãî ëó÷à, òàêæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
lF
êîìáèíàöèþ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé êîîðäèíàòû
õ ñ ïåðèîäîì L = 2π ω = 2π lF . Çäåñü ïåðèîä L
èìååò ñìûñë äëèíû, íà êîòîðîé ñâåòîâîé ëó÷ äâàæäû
ïåðåñåêàåò îñü X. Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè
òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷îì ãëàâíîé îïòè÷åñêîé
îñè, è â ÷àñòíîñòè ìåæäó òðåòüèì è ÷åòâåðòûì ïåðåñå-
÷åíèÿìè, ðàâíî ïîëîâèíå ýòîãî ïåðèîäà, ò.å. π lF .
Ñ.Ìóðàâüåâ
Åùå ðàç îá îêðóæíîñòÿõ, âïèñàííûõ
â êðèâîëèíåéíûå ôèãóðû
 çàäà÷å Ì2127 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà» âíóòðü âåòâè
ãèïåðáîëû âïèñûâàëàñü öåïî÷êà îêðóæíîñòåé ω1, ω2, ω 3,
…
òàê, ÷òî ïðè êàæäîì n > 1 îêðóæíîñòü ω n êàñàåòñÿ âåòâåé
ãèïåðáîëû è îêðóæíîñòè ω n − 1 .  ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìû
óïîìÿíóëè èíòåðåñíûå ôàêòû îá àíàëîãè÷íûõ öåïî÷êàõ
îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ
â ýëëèïñ èëè â ïàðàáîëó.
Íàïðèìåð, åñëè âíóòðè
ïàðàáîëû y = x
2
ðàñïîëîæèòü öåïî÷êó
êàñàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé
ω1, ω2, ω 3, … òàê,
÷òî ω 1 êàñàåòñÿ ïàðàáîëû
â åå âåðøèíå è
ðàäèóñ ω 1 ðàâåí 1/2 1 ,
òî ðàäèóñ ω n ðàâåí
n − 1 – ýòî çàäà÷à
2
Ì.Åâäîêèìîâà ñî Âñåðîññèéñêîé
îëèìïèàäû
1998 ãîäà. À ÷òî ïîëó-
÷èòñÿ, åñëè ïðîäîëæèòü
âïèñûâàòü îêðóæíîñòè
â îáðàçîâàâøèåñÿ êðèâîëèíåéíûå
òðåóãîëüíèêè
(ðèñ.1) Èòàê,
ïóñòü îêðóæíîñòü c 1 êàñàåòñÿ
ω1, ω2
è ïàðàáîëû,
îêðóæíîñòü c 2
Ðèñ. 1
êà-
1 Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå ðàäèóñà äëÿ ω 1 âûáðàíî íå ñëó÷àéíî.
2
Äåëî â òîì, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû ïàðàáîëû y = x â åå âåðøèíå
ðàâåí 1/2. Ïîäðîáíåå î ðàäèóñå êðèâèçíû ìîæíî ïðî÷èòàòü,
íàïðèìåð, â êíèãå: Â.Ã.Áîëòÿíñêèé. Îãèáàþùàÿ. – Ñåðèÿ «Ïîïóëÿðíûå
ëåêöèè ïî ìàòåìàòèêå». – Ì.: Ôèçìàòëèò, 1961.
ñàåòñÿ ω2, ω3
è ïàðàáîëû
è ò.ä. Îêàçûâàåòñÿ,
ðàäèóñ c n ðàâåí
n/4 (à öåíòð è òî÷êà
êàñàíèÿ ñ ïàðàáîëîé
2 1
èìåþò îðäèíàòû n −
8
2 1
è n − ñîîòâåòñòâåííî).
4
Ðàññìîòðèì åùå îäíó
ñèòóàöèþ: â îêðóæíîñòü
ðàäèóñà 1 âïèøåì
äâå êàñàþùèåñÿ
ìåæäó ñîáîé îêðóæíîñòè
ðàäèóñà 1/2. Çàòåì
Ðèñ. 2
âïèøåì îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì îêðóæíîñòè
ðàäèóñà 1 è âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòåé ðàäèóñà
1/2. Ïðîöåññ âïèñûâàíèÿ ïðîäîëæèì: â êðèâîëèíåéíûé
òðåóãîëüíèê ìåæäó ëþáûìè òðåìÿ îêðóæíîñòÿìè âïèñûâàåì
îêðóæíîñòü (ðèñ.2). Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ðàäèóñû âñåõ
îêðóæíîñòåé èç îïèñàííîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ðàâíû
÷èñëàì âèäà 1/n, ãäå n – íàòóðàëüíîå.
Àíàëîãè÷íóþ êîíñòðóêöèþ ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå: â
ñôåðó ðàäèóñà 1 âïèøåì äâå êàñàþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé ñôåðû
ðàäèóñà 1/2. Äàëåå âïèøåì ñôåðó, êàñàþùóþñÿ âíóòðåííèì
îáðàçîì ñôåðû ðàäèóñà 1 è âíåøíèì îáðàçîì ñôåð ðàäèóñà
1/2. Ïðîöåññ âïèñûâàíèÿ ïðîäîëæèì: ìåæäó ëþáûìè ÷åòûðüìÿ
ñôåðàìè âïèñûâàåì ñôåðó. Îêàçûâàåòñÿ, ðàäèóñû
âñåõ ïîëó÷åííûõ ñôåð òîæå ðàâíû ÷èñëàì âèäà 1/n.
Ìû ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ äîêàçàòü è, âîçìîæíî, îáîáùèòü
ïðåäëîæåííûå ôàêòû (â îñíîâå äîêàçàòåëüñòâà ïîñëåäíèõ
äâóõ ôàêòîâ ëåæèò ôîðìóëà Ñîääè, ñâÿçûâàþùàÿ ðàäèóñû
÷åòûðåõ ïîïàðíî êàñàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé èëè ïÿòè ïîïàðíî
êàñàþùèõñÿ ñôåð, – ñì. íàïðèìåð, êíèãó: Â.Â.Ïðàñîëîâ,
Â.Ì.Òèõîìèðîâ. Ãåîìåòðèÿ. – Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007. – Çàäà÷à
1.21,à). À ìîæåò áûòü, âàì óäàñòñÿ ñäåëàòü äðóãèå èíòåðåñíûå
íàáëþäåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ êàñàíèåì îêðóæíîñòåé.
Â.Ðàñòîðãóåâ
26-39.p65 35
09.06.10, 13:16

36
ÊÌØ
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Çàäà÷è
1. Âäîëü ðåêè ðàñïîëîæåíû ïðèñòàíè À, Á, Â, Ã
(èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå). Îò Â äî À òåïëîõîä ïëûâåò
1 ÷àñ, îò  äî à – òîæå 1 ÷àñ, à îò Á äî à – 2 ÷àñà.  êàêóþ
ñòîðîíó òå÷åò ðåêà – îò À ê à èëè îò à ê À
Î.Èâàíîâà
íàçûâàþò ñòóïåí÷àòûìè êâàäðàòàìè. Äîêàæèòå, ÷òî
÷èñëî êâàäðàòèêîâ â êàæäîì ñòóïåí÷àòîì êâàäðàòå
ðàâíî ñóììå äâóõ êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Í.Àâèëîâ
4. Áàðîí Ìþíõãàóçåí óòâåðæäàåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ
1 1
1 ⋅1
⋅
10 11 ...⋅ 1 ⋅ 1
1 1
98 99 è 1 1
1 ⋅1
⋅
100 101 ...⋅ 1 ⋅ 1
1 1
998 999 – öåëûå
÷èñëà, ïðè÷åì èõ îòíîøåíèå òîæå öåëîå. Íå
îøèáàåòñÿ ëè áàðîí
Ã.Ãàëüïåðèí
2. Îòìåòüòå íà ëèñòå áóìàãè äâå êðàñíûå, äâå æåëòûå
è äâå çåëåíûå òî÷êè è ñîåäèíèòå èõ îòðåçêàìè òàê,
÷òîáû ïîëó÷èëîñü ïÿòü ðàâíîñòîðîííèõ òðåóãîëüíèêîâ
ñ ðàçíîöâåòíûìè âåðøèíàìè.
Ý.Ëåìåíòàðåíêî
3. Âñå ôèãóðû, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå, ñîñòàâëåíû
èç íåñêîëüêèõ êâàäðàòèêîâ. Èíîãäà òàêèå ôèãóðû
5. Øòàá ìàòåìàòèêîâ ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êîìíàò,
ñîåäèíåííûõ êîðèäîðàìè ïî êðóãó. Â êàæäîé êîìíàòå
ñòîèò äîñêà. Øïèîí ïðîíèê â îäíó èç êîìíàò, èìåÿ ïðè
ñåáå çàïàñ ìåëà. Êàê åìó îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî
êîìíàò â øòàáå, åñëè îí ìîæåò õîäèòü ïî êîìíàòàì
çäàíèÿ, ïèñàòü ìåëîì íà äîñêå è ñòèðàòü ñ äîñêè
(Èçíà÷àëüíî íà äîñêàõ ìîãëî áûòü ÷òî-íèáóäü íàïèñàíî;
øïèîí íå ìîæåò âûíîñèòü äîñêó èç êîìíàòû.)
Ì.Ïðàñîëîâ
Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8
êëàññîâ.
Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé
26-39.p65 36
09.06.10, 13:17

Ê Ì Ø
37
Õîðîøî òåìïåðèðîâàííûé
êëàâèð
È.ÃÅËÜÔÀÍÄ, À.ØÅÍÜ
ÂÑÅ ÇÍÀÞÒ, ×ÒÎ ÎÄÍÓ È ÒÓ ÆÅ ÌÅËÎÄÈÞ ÌÎÆíî
èãðàòü â ðàçíûõ òîíàëüíîñòÿõ. Íî ÷òî îçíà÷àþò
ñëîâà «îäíó è òó æå» ×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ,
íà÷íåì ñ äðóãîãî: ÷òî òàêîå ìåëîäèÿ Ôîðìàëüíî
ãîâîðÿ, ìåëîäèÿ – ýòî ñûãðàííûå äðóã çà äðóãîì çâóêè
ðàçíîé âûñîòû. À ÷òî òàêîå âûñîòà çâóêà
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè, çâóê – ýòî êîëåáàíèÿ âîçäóõà.
Âûñîòà çâóêà îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòîòîé êîëåáàíèé,
ò.å. êîëè÷åñòâîì êîëåáàíèé â ñåêóíäó. Êàìåðòîí, êîëåáëþùèéñÿ
440 ðàç â ñåêóíäó (ôèçèêè ãîâîðÿò «ñ
÷àñòîòîé 440 ãåðö»; íàçâàíèå åäèíèöû ÷àñòîòû äàíî â
÷åñòü íåìåöêîãî ôèçèêà Ãåíðèõà Ãåðöà), äàåò íîòó ëÿ
ïåðâîé îêòàâû.
Íà ñëóõ áóëüøàÿ ÷àñòîòà ñîîòâåòñòâóåò áîëåå âûñîêèì
íîòàì. Î÷åíü íèçêèå è î÷åíü âûñîêèå çâóêè
ñòàíîâÿòñÿ óæå íåñëûøèìûìè. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ÷åëîâåê
ìîæåò óñëûøàòü çâóêè â äèàïàçîíå îò 20 ãåðö äî 20
êèëîãåðö (õîòÿ íà ñàìîì äåëå ó ðàçíûõ ëþäåé ýòè
ãðàíèöû ìîãóò áûòü ðàçíûìè; ñ âîçðàñòîì äèàïàçîí
ñëûøèìûõ ÷àñòîò óìåíüøàåòñÿ).
Çâóê íèçêîé ÷àñòîòû, êîòîðûé ìû íå ñëûøèì, èíîãäà
íàçûâàþò «èíôðàçâóêîì», âûñîêîé – «óëüòðàçâóêîì».
Ñ ïîìîùüþ óëüòðàçâóêîâ ðàçãîâàðèâàþò äðóã ñ äðóãîì
äåëüôèíû.
×àñòîòà òîêà â ýëåêòðîñåòè – 50 ãåðö, ò.å. 50 êîëåáàíèé
â ñåêóíäó (ýòî îòíîñèòñÿ ê Åâðîïå, â Àìåðèêå – 60
ãåðö). Åñëè èç-çà íåèñïðàâíîñòè ñåòåâîé ôîí ïðîíèêàåò
â çâóêîâîé òðàêò ìàãíèòîôîíà, ñëûøíî íèçêîå
ãóäåíèå.
Çàäà÷à 1. Íàòÿãèâàÿ ñòðóíó ñèëüíåå, ìû èçìåíÿåì
÷àñòîòó êîëåáàíèé. Êàê âû äóìàåòå, óâåëè÷èâàåòñÿ
÷àñòîòà èëè óìåíüøàåòñÿ Ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñ
íàòÿíóòîé íèòêîé.
Çàäà÷à 2. Çàæèìàÿ ñòðóíó (íàïðèìåð, ãèòàðû) ïàëüöåì,
ìû êàê áû óìåíüøàåì åå äëèíó, ïî÷òè íå ìåíÿÿ
íàòÿæåíèÿ. Êàê âû äóìàåòå, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ âûñîòîé
çâóêà
Çàäà÷à 3.Ïëàñòèíêó íà 33 îáîðîòà ïîñòàâèëè íà 45;
êàê èçìåíèòñÿ ÷àñòîòà âñåõ çàïèñàííûõ íà íåé çâóêîâ
Çàäà÷à 4. Ãäå â ðîÿëå áîëåå íèçêèå íîòû – ñëåâà èëè
ñïðàâà Êàê ýòî ñâÿçàíî ñ ôîðìîé ðîÿëÿ
Çàäà÷à 5. Êîìàð çóäèò ïî÷òè êàê êàìåðòîí. Ñêîëüêî
âçìàõîâ â ñåêóíäó äåëàþò åãî êðûëüÿ
Çàäà÷à 6. Êàê âû äóìàåòå, êòî èçäàåò áîëåå âûñîêèé
çâóê – êîìàð èëè áîëüøàÿ ìóõà
Ãëàâà èç êíèãè: È.Ãåëüôàíä, À.Øåíü. Àëãåáðà. – Ì.: ÌÖÍÌÎ,
2009.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ñëóõ â ïåðâóþ î÷åðåäü âîñïðèíèìàþòñÿ
îòíîøåíèÿ ÷àñòîò ñîñåäíèõ çâóêîâ ìåëîäèè,
à íå ñàìè ÷àñòîòû. Ëèøü íåìíîãèå ëþäè ñ «àáñîëþòíûì
ñëóõîì» (äàëåêî íå ó âñåõ ìóçûêàíòîâ îí åñòü)
ìîãóò îòëè÷èòü âçÿòóþ íà ðîÿëå íîòó ëÿ îò íîòû ñîëü.
Îäíàêî ïî÷òè êàæäûé ÷åëîâåê ïîñëå íåáîëüøîé ïðàêòèêè
ëåãêî îòëè÷èò èíòåðâàë ðå—ëÿ (êâèíòà, îòíîøåíèå
÷àñòîò ðå : ëÿ = 2 : 3) îò ðå—ñîëü (êâàðòà,
îòíîøåíèå ÷àñòîò ðå : ñîëü = 3 : 4).
Çàäà÷à 7. Íàéäèòå îòíîøåíèå ÷àñòîò ñîñåäíèõ íîò
ñîëü è ëÿ, èñïîëüçóÿ ýòè äàííûå.
Òåïåðü ìû ìîæåì ñêàçàòü, êàêèå ìåëîäèè çâó÷àò
îäèíàêîâî (îòëè÷àÿñü ëèøü «òîíàëüíîñòüþ») – ýòî òå,
â êîòîðûõ îäèíàêîâû îòíîøåíèÿ ÷àñòîò.
Çàäà÷à 8. Ìåëîäèÿ ëÿ—ìè—ëÿ (íèñõîäÿùàÿ) ñîñòîèò
èç òðåõ íîò ñ ÷àñòîòàìè 440, 330 è 220 ãåðö. Êàêèìè
áóäóò ÷àñòîòû, åñëè ñûãðàòü òàêóþ æå (ñ òåìè æå
îòíîøåíèÿìè ÷àñòîò) ìåëîäèþ, íà÷èíàÿ ñ íîòû ìè (åå
÷àñòîòà 330 ãåðö)
⊳ Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó, íóæíî, ÷òîáû
440 : 330 : 220 = 330 : õ : ó.
Ïîñêîëüêó
440 : 330 : 220 = 4 : 3 : 2,
x = 330 ⋅ 3 4 = 247,5 .
Ñîîòâåòñòâóþùèå íîòû íàçûâàþòñÿ ìè—ñè—ìè. ⊲
Ïîñìîòðåâ íà êëàâèàòóðó ðîÿëÿ, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî
îíà «ïåðèîäè÷íà»: îäíè è òå æå êîìáèíàöèè áåëûõ è
÷åðíûõ êëàâèø ïîâòîðÿþòñÿ – êàê ãîâîðÿò, â «ðàçíûõ
îêòàâàõ». Îòñòîÿùèå íà ïåðèîä (íà îêòàâó) íîòû
íàçûâàþòñÿ îäèíàêîâî è îòëè÷àþòñÿ ïî ÷àñòîòå ðîâíî
â 2 ðàçà. Òàêèì îáðàçîì, íîòû ëÿ â ðàçíûõ îêòàâàõ
èìåþò ÷àñòîòû
ïîëó÷àåì y = 330 ⋅ ( 1 2)
= 165 , ( )
…55, 110, 220, 440, 880, 1760, …
îáðàçóþùèå ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåì
2.
Çàäà÷à 9. Êàê ìíîãî îêòàâ ìîæåò áûòü ó ðîÿëÿ, åñëè
âñå äîëæíû áûòü ñëûøíû (Ñ÷èòàéòå, ÷òî ñëûøíû
çâóêè â äèàïàçîíå îò 20 äî 20000 ãåðö.)
Ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ îáðàçóþò íå òîëüêî íîòû
ëÿ, íî è äðóãèå îäíîèìåííûå íîòû: íîòû ñîëü îáðàçóþò
åùå îäíó ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ (òàêæå ñî çíàìåíàòåëåì
2), íîòû ôà – òðåòüþ è òàê äàëåå.
Çàäà÷à 10. Ãëÿäÿ íà êëàâèàòóðó ðîÿëÿ (ðèñ.1),
ïîäñ÷èòàéòå, ñêîëüêî âñåãî ïðîãðåññèé ïîëó÷àåòñÿ
(ñêîëüêî íîò â îäíîé îêòàâå).
Îòâåò. 12 (7 áåëûõ êëàâèø è 5 ÷åðíûõ).
26-39.p65 37
09.06.10, 13:17

38
Ðèñ. 1
Íàçâàíèÿ íîò: ÷åðíàÿ êëàâèøà ìåæäó äî è ðå íàçûâàåòñÿ
äî äèåç èëè ðå áåìîëü, ìåæäó ðå è ìè—ðå äèåç
èëè ìè áåìîëü, è òàê äàëåå. (Òåì ñàìûì äèåç îáîçíà-
÷àåò ïîâûøåíèå çâóêà, à áåìîëü – ïîíèæåíèå.) Ìóçûêàíòû
èñïîëüçóþò çíà÷îê # äëÿ äèåçà è b äëÿ áåìîëÿ.
Èñïîëüçóÿ èõ, ìîæíî çàïèñàòü: äî # ðå b .
=
Çàäà÷à 11. ×òî äîëæåí ñäåëàòü ïèàíèñò, ÷òîáû
ñûãðàòü ìåëîäèþ ñ óäâîåííûìè ÷àñòîòàìè âñåõ íîò
⊳ Ñäâèíóòü ðóêó âïðàâî íà îêòàâó è èãðàòü êàê
îáû÷íî. ⊲
Òåïåðü ñûãðàåì íà ðîÿëå õðîìàòè÷åñêóþ ãàììó,
íàæèìàÿ âñå êëàâèøè (áåëûå è ÷åðíûå) ïîäðÿä ñëåâà
íàïðàâî:
# b # b
# b
#
# b
äî → äî = ðå → ðå → ðå = ìè → ìè → ôà →
→ ôà = ñîëü → ñîëü → ñîëü = ëÿ → ëÿ →
→ ëÿ = ñè → ñè → äî →...
Îêàçûâàåòñÿ,
÷àñòîòû íîò â õðîìàòè÷åñêîé ãàììå îáðàçóþò
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ.
Ìû óâèäèì, ïî÷åìó òàê ïîëó÷àåòñÿ, ÷óòü ïîçæå.
Çàäà÷à 12. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷àñòîòû íîò â õðîìàòè÷åñêîé
ãàììå îáðàçóþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, íàéäèòå
çíàìåíàòåëü ïðîãðåññèè.
⊳ Îáîçíà÷èì ÷àñòîòó íîòû äî çà ñ, à èñêîìûé çíàìåíàòåëü
– çà q. Òîãäà äî # = ðå b èìååò ÷àñòîòó c⋅
q, ðå
2
èìååò ÷àñòîòó c⋅ q è òàê äàëåå:
# # #
äî äî ðå ðå ìè ôà ôà
2 3 4 5 6
c cq cq cq cq cq cq
#
cîëü ñîëü ëÿ ëÿ ñè äî
7 8 9 10 11 12
cq cq cq cq cq cq
Íîòà äî ñëåäóþùåé îêòàâû èìååò âäâîå áîëüøóþ
12
÷àñòîòó, òàê ÷òî cq = 2c
. Îòñþäà
q 12 = 2 , q =
12 2 ⊲
Ìóçûêàíòû íàçûâàþò èíòåðâàë
ìåæäó ñîñåäíèìè íîòàìè
ïîëóòîíîì. Îêòàâà ñîñòîèò, Ðèñ. 2
òàêèì îáðàçîì, èç 12 ïîëóòîíîâ,
è íà êàæäûé ïîëóòîí ïðèõîäèòñÿ
óâåëè÷åíèå ÷àñòîòû â
12 2 ðàç.
Çàäà÷à 13. Ìåæäó íîòàìè äî
è ðå äâà ïîëóòîíà (èëè îäèí Ðèñ. 3
òîí, êàê ãîâîðÿò ìóçûêàíòû).
Íàéäèòå îòíîøåíèå ÷àñòîò ýòèõ
íîò.
⊳ ( 12 ) 2 6
2 = 2 . ⊲
Ðèñ. 4
b
#
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Òåïåðü îáúÿñíèì, ïî÷åìó õðîìàòè÷åñêàÿ ãàììà äàåò
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Ýòî íåîáõîäèìî äëÿ òîãî,
÷òîáû ëþáóþ ìåëîäèþ ìîæíî áûëî ñûãðàòü, íà÷èíàÿ
ñ ëþáîé íîòû. Ïîÿñíèì ýòî íà ïðèìåðå ïðîñòåéøåé
ìåëîäèè èç äâóõ íîò: äî è äî äèåç. Ñûãðàåì åå,
íà÷èíàÿ ñ äî äèåçà: äî äèåç—ðå. ×òîáû ýòè ìåëîäèè
çâó÷àëè îäèíàêîâî, íóæíî, ÷òîáû îòíîøåíèÿ ÷àñòîò
áûëè ðàâíû:
ðå äî #
=
äî # .
äî
À ýòî è åñòü îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
Çàäà÷à 14. Äëÿ êàêîé íîòû õ ìåëîäèè äî → õ è
õ → äî (äî ñëåäóþùåé îêòàâû, ò.å. óäâîåííîé ÷àñòîòû)
áóäóò çâó÷àòü îäèíàêîâî
Òàêîé èíòåðâàë ìóçûêàíòû íàçûâàþò «òðèòîíîì».
Îí êàê áû äåëèò îêòàâó ïîïîëàì, íà äâà ðàâíûõ
èíòåðâàëà.
Çàäà÷à 15. Ôóãà äî ìèíîð èç ïåðâîãî òîìà «Õîðîøî
òåìïåðèðîâàííîãî êëàâèðà» Áàõà îòêðûâàåòñÿ òàêîé
òåìîé (ðèñ.2). Çàòåì ýòà æå òåìà (ñ îäíèì èçìåíåíèåì)
ïðîõîäèò â äðóãîé òîíàëüíîñòè (ðèñ.3). Íàéäèòå èçìåíåííîå
ìåñòî. Çíàêè # èëè b ïåðåä íîòîé îçíà÷àþò
ïîâûøåíèå è ïîíèæåíèå íà ïîëòîíà. Îáîçíà÷åíèÿ íîò
óêàçàíû íà ðèñóíêå 4. (Ìû ïðîñèì ïðîùåíèÿ ó ìóçûêàíòîâ
çà òî, ÷òî çàïèñûâàåì ìåëîäèþ áåç òðåõ áåìîëåé
â êëþ÷å, êàê ýòî ïðèíÿòî.)
Âåðîÿòíî, âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü óæå çàìåòèë íåñîãëàñîâàííîñòü
â íàøèõ îáúÿñíåíèÿõ.
Çàäà÷à 16. Çíàÿ, ÷òî õðîìàòè÷åñêàÿ ãàììà åñòü
ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì 12 2 , íàéäèòå
îòíîøåíèå ÷àñòîò íîò ðå è ëÿ (âîñõîäÿùàÿ êâèíòà).
⊳ Ìåæäó ðå è ëÿ ñåìü ïîëóòîíîâ, ïîýòîìó îòíîøåíèå
÷àñòîò ðàâíî ( ) 7 12 2 . Ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà åãî
ëåãêî íàéòè: ( 12 2) 7
= 1,498…
Ýòî áëèçêî ê îòíîøåíèþ 3 : 2, êîòîðîå ìû íàçûâàëè
ðàíüøå, íî âñå æå íå òî÷íî ñîâïàäàåò ñ íèì. ⊲
Çàäà÷à 17. Íàéäèòå îòíîøåíèå ÷àñòîò â âîñõîäÿùåé
êâèíòå ðå—ñîëü è ñðàâíèòå åãî ñ îòíîøåíèåì 4 : 3,
êîòîðîå ìû íàçûâàëè ðàíüøå.
⊳ ( 12 2) 5
1,3348
= … ; 4 3 = 1,3333… ⊲
26-39.p65 38
09.06.10, 13:20

Ê Ì Ø
39
Òàê ÷òî æå òàêîå êâèíòà – îòíîøåíèå ÷àñòîò ( 12 2) 7
èëè 3 : 2! Â íåêîòîðîì ñìûñëå îáà îòâåòà ïðàâèëüíû.
Ñåé÷àñ ìû ïîïðîáóåì îáúÿñíèòü, ÷òî èìååòñÿ â
âèäó.
Åñëè âû óñëûøèòå îäíó íîòó, à ÷åðåç ìèíóòó äðóãóþ,
òî íå ïî÷óâñòâóåòå ãàðìîíèè èëè äèñãàðìîíèè. Íî åñëè
ñûãðàòü íîòû îäíó çà äðóãîé èëè äàæå îáå ñðàçó, òî
ñòàíåò ñëûøíî, õîðîøî ëè îíè çâó÷àò âìåñòå. Ñêðèïà÷,
íàñòðîèâ îäíó èç ñòðóí ïî êàìåðòîíó (íà ïðàêòèêå
îáû÷íî ïî ðîÿëþ àêêîìïàíèàòîðà èëè ãîáîþ â îðêåñòðå),
çàòåì íàñòðàèâàåò âòîðóþ òàê: âåäÿ ñìû÷êîì ïî
îáåèì ñòðóíàì, îí ðåãóëèðóåò íàòÿæåíèå âòîðîé ñòðóíû,
ïîêà îíè íå áóäóò õîðîøî («÷èñòî») çâó÷àòü
âìåñòå.
 êàêîì ñëó÷àå äâå íîòû îáðàçóþò ãàðìîíè÷íûé
èíòåðâàë Îêàçûâàåòñÿ, ýòî áûâàåò, êîãäà èõ ÷àñòîòû
îòíîñÿòñÿ äðóã ê äðóãó êàê íåáîëüøèå öåëûå ÷èñëà.
Ïî÷åìó òàê ïîëó÷àåòñÿ, ìû ãîâîðèòü íå áóäåì – äëÿ
ýòîãî íóæíî çíàòü íåìíîãî òðèãîíîìåòðèè. Âìåñòî
ýòîãî ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå èíòåðâàëû è èõ íàçâàíèÿ
(ñì. òàáë.1).
Òàáëèöà 1
Çàäà÷à 18. Âòîðàÿ íîòà âîñõîäÿùåé ìåëîäèè îáðàçóåò
ñ ïåðâîé îêòàâó, à òðåòüÿ ñî âòîðîé – êâèíòó. Êàê
îòíîñÿòñÿ äðóã ê äðóãó ÷àñòîòû òðåòüåé è ïåðâîé íîò
Îòâåò. 3 : 1.
Çàäà÷à 19. Òîò æå âîïðîñ, åñëè òðåòüÿ íîòà îáðàçóåò
ñî âòîðîé áîëüøóþ òåðöèþ.
Òàêèå «÷èñòûå» èíòåðâàëû ïîëó÷àþòñÿ ïðè èãðå íà
ñêðèïêå èëè äðóãèõ èíñòðóìåíòàõ, ãäå ìîæíî íåïðåðûâíî
ìåíÿòü âûñîòó çâóêà. Íà ðîÿëå ÷èñòûõ èíòåðâàëîâ
íå ïîëó÷àåòñÿ, ïîñêîëüêó âñå îòíîøåíèÿ ÷àñòîò
ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíÿìè ÷èñëà q = 12 2 (ñì. òàáë.2).
Òàáëèöà 2
áîëåå äàëåêèìè îò ÷èñòûõ è êðàñèâàÿ ìåëîäèÿ, íà÷àòàÿ
ñ äðóãîé íîòû, ìîæåò çâó÷àòü óæàñíî.
Äî XVIII ñòîëåòèÿ ðîÿëè (òî÷íåå, êëàâåñèíû è
îðãàíû – ñîâðåìåííûé ðîÿëü ïîÿâèëñÿ ïîçæå) íàñòðàèâàëè,
ñòàðàÿñü ñäåëàòü íåêîòîðûå èíòåðâàëû ÷èñòûìè.
Ïðè ýòîì îäíè òîíàëüíîñòè çâó÷àëè êðàñèâî,
à äðóãèå (êàê ïðàâèëî, ñ áîëüøèì ÷èñëîì ÷åðíûõ
êëàâèø) – óæàñíî, è êîìïîçèòîðû ñòàðàëèñü èõ èçáåãàòü,
ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå ðàâíî íîðìàëüíûé îðãàíèñò â
íèõ èãðàòü íå ñìîæåò.
Òðàäèöèÿ äåëèòü òîíàëüíîñòè íà «õîðîøèå» è «ïëîõèå»
è ïèñàòü ìóçûêó òîëüêî â õîðîøèõ áûëà ïîêîëåáëåíà
âåëèêèì Áàõîì, êîòîðûé íàïèñàë «Õîðîøî
òåìïåðèðîâàííûé êëàâèð» – ñáîðíèê ïðåëþäèé è
ôóã. Îí ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.  êàæäîé ÷àñòè – 24
ïðåëþäèè è ôóãè, ïî îäíîé â êàæäîé ìàæîðíîé è
ìèíîðíîé òîíàëüíîñòè. Íåèçâåñòíî, êàê â òî÷íîñòè
Áàõ íàñòðàèâàë ñâîé êëàâåñèí – áûëà ëè ýòî ðàâíîìåðíàÿ
òåìïåðàöèÿ, êîãäà õðîìàòè÷åñêàÿ ãàììà îáðàçóåò
ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, èëè êàêàÿ-òî íå
âïîëíå ðàâíîìåðíàÿ. Íî ñîâðåìåííûå èñïîëíèòåëè
èãðàþò åãî íà ðàâíîìåðíî òåìïåðèðîâàííûõ ðîÿëÿõ,
íà êîòîðûõ âñå èíòåðâàëû (çà èñêëþ÷åíèåì îêòàâû)
çâó÷àò íå ñîâñåì ÷èñòî – íî çàòî îäèíàêîâî âî âñåõ
òîíàëüíîñòÿõ.
Çàäà÷à 20. Äîñòàíüòå çàïèñü «Õîðîøî òåìïåðèðîâàííîãî
êëàâèðà» è ïîñëóøàéòå.
 çàêëþ÷åíèå îáñóäèì âîò êàêîé âîïðîñ: à ïî÷åìó,
ñîáñòâåííî, â îêòàâå èìåííî 12 íîò (ïîëóòîíîâ) ×òî
ìåøàåò èçãîòîâèòü ðîÿëü ñ 13 èëè 7 êëàâèøàìè â
êàæäîé îêòàâå  ýòîì ñëó÷àå îòíîøåíèå ÷àñòîò ñîñåäíèõ
íîò áûëî áû 13 2 èëè 7 2 . Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
òîãäà îñíîâíûå èíòåðâàëû (3 : 2, 4 : 3 è òàê äàëåå)
áóäóò çíà÷èòåëüíî ìåíåå ÷èñòûìè.
Çàäà÷à 21. Íàéäèòå îòíîøåíèÿ ÷àñòîò, åñëè â îêòàâå
7 (ðàâíîîòñòîÿùèõ) íîò. Åñòü ëè ñðåäè îòíîøåíèé
ñêîëüêî-íèáóäü áëèçêèå ê 3/2 èëè 4/3 Ñðàâíèòå ñ
ïðèâåäåííîé âûøå òàáëèöåé äëÿ 12 íîò.
Åñëè âû ïðîäåëàåòå àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äëÿ
äðóãèõ ÷èñåë íîò â îêòàâå, òî óáåäèòåñü, ÷òî 12
ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî óäà÷íûì âûáîðîì – ïðè äðóãèõ
(íå ñëèøêîì áîëüøèõ) ÷èñëàõ ïðèáëèæåíèÿ çàìåòíî
õóæå.
Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî ìóçûêàíòû èñïîëüçîâàëè 12-òîíîâóþ
ñèñòåìó, íè÷åãî íå çíàÿ î ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðîãðåññèÿõ
è íå äåëàÿ íèêàêèõ âû÷èñëåíèé – ïîäîáíî
òîìó, êàê ï÷åëû äåëàëè àêêóðàòíûå øåñòèãðàííûå
ñîòû çàäîëãî äî òîãî, êàê ëþäè óñòàíîâèëè, ÷òî èìåííî
òàêàÿ ôîðìà îïòèìàëüíà.
Êîíå÷íî, ìîæíî ïîïðîñèòü íàñòðîéùèêà íàñòðàèâàòü
ðîÿëü èíà÷å – òàê, ÷òîáû íåêîòîðûå èíòåðâàëû
áûëè ÷èñòûìè. Òîãäà äðóãèå èíòåðâàëû ñòàíóò åùå
26-39.p65 39
09.06.10, 13:21

40 ØÊÎËÀ
ÊÂÀÍT$
 «ÊÂÀÍÒÅ»
2010/¹3
Ñâåðõçâóêîâûå
ñàìîëåòû è
êîíóñ Ìàõà
Å.ÑÎÊÎËÎÂ
ÑÂÅÐÕÇÂÓÊÎÂÛÅ ÑÀÌÎËÅÒÛ ÍÅ ÒÎËÜÊÎ ÏÎÊÎÐßÞÒ
âîçäóøíûå îêåàíû, íî èíîãäà ïîÿâëÿþòñÿ è â øêîëüíûõ
çàäà÷àõ. Âîò – ïðèìåðû.
Çàäà÷à 1. Íàáëþäàòåëü óñëûøàë çâóê ñâåðõçâóêîâîãî
ñàìîëåòà ÷åðåç ∆ t = 10 c ïîñëå òîãî, êàê ñàìîëåò ïðîëåòåë
íàä íèì. Íà êàêîé âûñîòå ëåòèò ñàìîëåò, åñëè åãî ñêîðîñòü
v = 660 ì/ñ, à ñêîðîñòü çâóêà ñ = 330 ì/ñ
Äëÿ ÷åëîâåêà, êîòîðûé ïåðâûé ðàç îáðàùàåòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ
ïîëåòîâ ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ, óñëîâèå ýòîé çàäà-
÷è â âûñøåé ñòåïåíè çàãàäî÷íî.
– À ïî÷åìó òàê ïîçäíî íàáëþäàòåëü óñëûøàë øóì ñàìîëåòà
Âåäü îáû÷íî ìû ñëûøèì ñàìîëåò çàäîëãî äî òîãî, êàê îí
ïðîëåòèò íàä íàìè.
– Ìîæåò, íàáëþäàòåëü ïðîñòî çàäóìàëñÿ íàä ÷åì-òî,
ïîýòîìó è óñëûøàë çâóê íå ñðàçó
– À ìîæåò, è íå íàäî íè î ÷åì äóìàòü, à ïðîñòî óìíîæèòü
âðåìÿ íà ñêîðîñòü Òîëüêî ñêîðîñòåé â óñëîâèè äâå...
Ýòè è äðóãèå ïîäîáíûå ìûñëè ðîÿòñÿ â ãîëîâå, öåïëÿþòñÿ
îäíà çà äðóãóþ è ñîâåðøåííî íå ïðîÿñíÿþò ñóòè äåëà. È ýòî
íå óäèâèòåëüíî. Ïðèâûêøèì ê ìèðó äîçâóêîâûõ ñêîðîñòåé
î÷åíü ñëîæíî äîãàäàòüñÿ, ÷åì ïîëåò ñâåðõçâóêîâîãî ñàìîëåòà
îòëè÷àåòñÿ îò ïîëåòà îáû÷íîãî ñàìîëåòà è ïî÷åìó ìû
ñëûøèì ñâåðõçâóêîâîé ñàìîëåò ëèøü ïîñëå òîãî, êàê îí
ïðîëåòèò íàä íàìè. Ïåðâûì ýòó çàãàäêó ðàçãàäàë ïðîôåññîð
Âåíñêîãî óíèâåðñèòåòà Ýðíñò Ìàõ. Ñ åãî èìåíåì ñâÿçàíû
ïîíÿòèÿ «êîíóñ Ìàõà» è «÷èñëî Ìàõà».
×òîáû ïîíÿòü, ÷òî òàêîå êîíóñ Ìàõà, åãî íàäî õîòü ðàç â
æèçíè ïîñòðîèòü ñàìîìó. Ñäåëàåì ýòî è ìû. Äëÿ ýòîãî íàì
ïîíàäîáÿòñÿ ëèñò áóìàãè â êëåòêó, êàðàíäàø, ëèíåéêà è
öèðêóëü. Ïóñòü ïî ëèñòó íàøåé áóìàãè ñëåâà íàïðàâî
äâèæåòñÿ ñâåðõçâóêîâîé ñàìîëåò, ïðîëåòàþùèé 2 êëåòêè â
ñåêóíäó, à ñêîðîñòü çâóêà ñîñòàâëÿåò 1 êëåòêó â ñåêóíäó.
Íà÷èíàåì ïîñòðîåíèå. Åñëè ñåé÷àñ íàø ñàìîëåò íàõîäèòñÿ â
òî÷êå Ñ (ðèñ.1,à), òî ãäå îí áûë ïÿòü ñåêóíä íàçàä
– Íà äåñÿòü êëåòî÷åê ëåâåå, â òî÷êå À (ðèñ.1,á).
– Ïðàâèëüíî. Èçëó÷åííûé èì â ýòîò ìîìåíò çâóê çà ïÿòü
ñåêóíä ðàñïðîñòðàíèòñÿ íà ïÿòü êëåòî÷åê âî âñå ñòîðîíû.
Ðèñ. 1
Ïîýòîìó ñòàâèì íîæêó öèðêóëÿ â òî÷êó À è ðèñóåì îêðóæíîñòü
ðàäèóñîì 5 êëåòî÷åê. Ýòî ìû ïîñòðîèëè ãåîìåòðè÷åñêîå
ìåñòî òî÷åê, äî êîòîðûõ äîøåë çâóê, èçëó÷åííûé 5
ñåêóíä íàçàä. È óñëûøàëè ýòîò çâóê ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó
âñå íàáëþäàòåëè, íàõîäÿùèåñÿ âíóòðè è íà ñàìîé ýòîé
îêðóæíîñòè. Çàòåì íàðèñóåì êðóã äëÿ çâóêà, èçëó÷åííîãî 4
ñåêóíäû íàçàä (íîæêó öèðêóëÿ íàäî ïîñòàâèòü â òî÷êó Â, à
ðàäèóñ ýòîãî êðóãà äîëæåí ñîñòàâëÿòü 4 êëåòî÷êè), ïîòîì –
äëÿ òðåõ ñåêóíä, äëÿ äâóõ, äëÿ îäíîé (ðèñ.1,â). Íó à äëÿ
çâóêà, èçëó÷åííîãî òîëüêî ÷òî, è ðèñîâàòü íè÷åãî íå íàäî –
îí åùå íå óñïåë íèêóäà ðàñïðîñòðàíèòüñÿ, è åãî êðóã ýòî
ïðîñòî òî÷êà Ñ, ñàì ñàìîëåò. Òåïåðü ïîíÿòíî, â êàêèõ òî÷êàõ
íàáëþäàòåëè óñëûøàò çâóê, à â êàêèõ – íåò.
Åñëè ðèñîâàòü çâóêîâûå ôðîíòû áîëåå ÷àñòî, òî êàðòèíà
ñòàíåò åùå ïîäðîáíåå, è ìû óâèäèì ñàìîå èíòåðåñíîå –
çâóêîâûå ôðîíòû-îêðóæíîñòè èìåþò îáùèå êàñàòåëüíûå
(ðèñ.2). Ýòè ëèíèè íàçûâàþò îãèáàþùèìè ñåìåéñòâà îêðóæíîñòåé.
 íàøåé çàäà÷å ýòè ïðÿìûå-îãèáàþùèå äåëÿò âñå
ïðîñòðàíñòâî íà îáëàñòü, â êîòîðîé óæå áûë ñëûøåí çâóê
ñàìîëåòà, è îáëàñòü, äî êîòîðîé çâóê åùå íå äîøåë. Òî÷êè
ñàìîé îãèáàþùåé – ýòî
òî÷êè, â êîòîðûå çâóê
òîëüêî-òîëüêî ïðèøåë.
Âîò âàì è îòãàäêà,
ïî÷åìó ñâåðõçâóêîâîé
ñàìîëåò ìîæåò
óæå ïðîëåòåòü íàä íàáëþäàòåëåì,
à òîò åùå
íè÷åãî íå áóäåò ñëûøàòü
– ïðîñòî åãî åùå
íå êîñíóëèñü îãèáàþùèå.
Ïðè ïîñòðîåíèè íà
Ðèñ. 2
ïëîñêîñòè ó íàñ äëÿ îáëàñòè ñëûøèìîñòè ïîëó÷èëñÿ, íåêîòîðûé
óãîë α . À åñëè áû âñå ïðîèñõîäèëî â ïðîñòðàíñòâå
– Òîãäà ïîëó÷èëñÿ áû êîíóñ.
– Ïðàâèëüíî. Ýòîò êîíóñ è íàçûâàåòñÿ êîíóñîì Ìàõà.
Äàâàéòå âû÷èñëèì åãî ãëàâíóþ õàðàêòåðèñòèêó – óãîë ðàñòâîðà
α . Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñóíêó 2.  òî÷êå K çâóêà åùå
íåò.  òî÷êå L íàáëþäàòåëü óæå íåêîòîðîå âðåìÿ ñëûøèò
çâóê, ïðè÷åì â äàííûé ìîìåíò îí ñëûøèò ñðàçó è çâóê,
ïðèøåäøèé ê íåìó èç òî÷êè L 1, è çâóê, ïðèøåäøèé ê íåìó
èç òî÷êè L 2. À âîò íàáëþäàòåëü, ñòîÿùèé íà îãèáàþùåé â
òî÷êå Í, òîëüêî-òîëüêî óñëûøàë çâóê. È ñëûøèò îí çâóê,
èäóùèé ê íåìó èç òî÷êè À, ÷åé çâóêîâîé ôðîíò êàñàåòñÿ
îãèáàþùåé â òî÷êå Í. Òàê êàê óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé è
ðàäèóñîì, ïðîâåäåííûì â òî÷êó êàñàíèÿ, ïðÿìîé, òðåóãîëüíèê
ÀÑÍ ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðèìåì, ÷òî ñàìîëåò ïðîëåòåë
ãèïîòåíóçó ýòîãî òðåóãîëüíèêà ÀÑ çà âðåìÿ t. Òîãäà ñàìà
ãèïîòåíóçà áóäåò ðàâíà vt, à êàòåò ÀÍ (ýòî ðàññòîÿíèå,
êîòîðîå ïðîøåë çâóê) áóäåò ðàâåí ct, è äëÿ óãëà Ìàõà
c
v
ïîëó÷èì sin α= . ×èñëî M = , ïîêàçûâàþùåå,
âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ñàìî-
v
c
ëåòà ïðåâûøàåò ñêîðîñòü çâóêà, íàçûâàþò
÷èñëîì Ìàõà. Èñïîëüçóÿ ýòî ÷èñëî, ìû
ìîæåì çàïèñàòü ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó òàê,
êàê êîãäà-òî åå çàïèñàë ñàì Ýðíñò Ìàõ:
1
sin α= .
M
Èòàê, çàãàäêè ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ
40-53.p65 40
09.06.10, 11:08

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ» 41
äëÿ íàñ áîëüøå íåò. Çàäà÷è ïðî ñâåðõçâóêîâûå ñàìîëåòû –
ýòî çàäà÷è ïðî äâèæåíèå êîíóñà Ìàõà. À âîïðîñû òèïà
«Êîãäà íàáëþäàòåëü óñëûøèò çâóê ñàìîëåòà» ñëåäóåò ñðàçó
æå ïðåâðàùàòü â âîïðîñû òèïà «Êîãäà êîíóñ Ìàõà êîñíåòñÿ
òî÷êè Í»
Ïðèìåíèì ýòè ñîîáðàæåíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è 1. Ïîñìîòðèòå
íà ðèñóíîê 3, íà êîòîðîì ãëàâíûé ýëåìåíò – êîíóñ
Ìàõà. Äëÿ òðåóãîëüíèêà
ÇÑÍ (çåíèò, ñàìîëåò, íàáëþäàòåëü)
íàì èçâåñòíî
ñëåäóþùåå. Óãîë ÍÇÑ –
(ïî ïîñòðîåíèþ) ïðÿìîé,
óãîë ÇÑÍ – ýòî óãîë Ìàõà,
êîòîðûé äëÿ íàøåãî ñàìîëåòà
ðàâåí 30°, ïîòîìó
Ðèñ. 3
v
÷òî M = = 2 . È åùå èçâåñòíà ñòîðîíà ÇÑ: ïîñëå òîãî, êàê
c
ñàìîëåò áûë â çåíèòå, ïðîøëî âðåìÿ ∆ t , ñëåäîâàòåëüíî,
ðàññòîÿíèå, êîòîðîå îí ïðîëåòåë, ðàâíî ÇÑ = v∆ t . Òåïåðü
ìû ìîæåì îïðåäåëèòü âûñîòó ïîëåòà:
1 M v∆t
h = ÇÑtg
α = v∆ t
= = 3810 ì .
2 2
1−
1 M M − 1
Ïåðâàÿ çàäà÷à ðåøåíà.
Âîò âàì åùå íåñêîëüêî çàäà÷. Íåêîòîðûå – äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî
ðåøåíèÿ, à íåêîòîðûå ìû ðåøèì âìåñòå ñ âàìè.
Çàäà÷à 2. Ñâåðõçâóêîâîé ñàìîëåò, ëåòÿùèé ãîðèçîíòàëüíî
ñî ñêîðîñòüþ, âäâîå áîëüøåé ñêîðîñòè çâóêà, ïðîëåòàåò
ìèìî äâóõ ìèêðîôîíîâ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå
ïåðâîãî çàôèêñèðóåò çâóê ñàìîëåòà âòîðîé ìèêðîôîí,
åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ∆ l = 13,2 ì , à ñêîðîñòü çâóêà
ñ = 330 ì/ñ Ðàññìîòðèòå äâà ñëó÷àÿ: à) ìèêðîôîíû
ðàñïîëîæåíû ãîðèçîíòàëüíî; á) ìèêðîôîíû ðàñïîëîæåíû
âåðòèêàëüíî.
Çàäà÷à 3. Òðàåêòîðèÿ ñâåðõçâóêîâîãî ñàìîëåòà ïðîõîäèò
ñ çàïàäà íà âîñòîê. Ïåðâûé íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî ïîä òðàåêòîðèåé ñàìîëåòà, âòîðîé – íà
ðàññòîÿíèè à = 4500 ì îò íåãî ê þãó, à òðåòèé – íà
ðàññòîÿíèè b = 8000 ì ê ñåâåðó. ×åìó ðàâíû âûñîòà ïîëåòà
ñàìîëåòà è ÷èñëî Ìàõà, åñëè âòîðîé íàáëþäàòåëü óñëûøàë
çâóê íà ∆ t2
= 2,28 c ïîçæå ïåðâîãî, à òðåòèé – íà
∆ t3
= 3,80 c ïîçæå âòîðîãî Ñêîðîñòü çâóêà ñ = 330 ì/ñ.
Çàäà÷à 4. Äâà ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòà ëåòÿò íàâñòðå÷ó
äðóã äðóãó ïàðàëëåëüíûìè êóðñàìè. ×èñëî Ìàõà äëÿ ïåðâîãî
ñàìîëåòà M 1 , äëÿ âòîðîãî M 2 . Ñêîðîñòü çâóêà ñ.
Âòîðîé ëåò÷èê óñëûøàë çâóê ïåðâîãî ñàìîëåòà ÷åðåç âðåìÿ
∆ t ïîñëå òîãî, êàê ïåðâûé ëåò÷èê óñëûøàë çâóê âòîðîãî
ñàìîëåòà. ×åìó ðàâíî ðàññòîÿíèå ìåæäó òðàåêòîðèÿìè
ñàìîëåòà ×åìó áûëî ðàâíî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñàìîëåòàìè,
êîãäà ïåðâûé ëåò÷èê óñëûøàë çâóê ×åìó áûëî ðàâíî
ðàññòîÿíèå ìåæäó ñàìîëåòàìè, êîãäà âòîðîé ëåò÷èê óñëûøàë
çâóê
Çàäà÷à 5. Ñàìîëåò 1 ëåòèò ñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþ
v 1 . Ëåò÷èê ñàìîëåòà 2 õî÷åò ëåòåòü òàê, ÷òîáû íå
ñëûøàòü øóìà ìîòîðà ïåðâîãî ñàìîëåòà. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé
ñêîðîñòè åìó ýòî óäàñòñÿ Êàêîãî êóðñà åìó
ñëåäóåò ïðè ýòîì ïðèäåðæèâàòüñÿ
Ýòó çàäà÷ó äàâàéòå ðåøàòü âìåñòå.
Ïóñòü ëåò÷èê âòîðîãî ñàìîëåòà âûáðàë êóðñ, ñîñòàâëÿþùèé
óãîë β ñ êóðñîì ïåðâîãî ñàìîëåòà (ðèñ.4). Åãî òðàåêòîðèÿ
– ïðÿìàÿ, è ïî ýòîé ïðÿìîé äâèæóòñÿ äâå òî÷êè: ñàì
âòîðîé ñàìîëåò C 2 è òî÷êà À – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé
ïðÿìîé è îáðàçóþùåé êîíóñà Ìàõà ïåðâîãî ñàìîëåòà. Ëåò-
Ðèñ. 4
÷èê âòîðîãî ñàìîëåòà íèêîãäà íå óñëûøèò çâóêà ïåðâîãî
ñàìîëåòà, åñëè òî÷êà À íèêîãäà íå äîãîíèò åãî. Ïîýòîìó
ñêîðîñòü âòîðîãî ñàìîëåòà äîëæíà áûòü áîëüøå èëè ðàâíà
ñêîðîñòè òî÷êè À. Íàéäåì ýòó ñêîðîñòü.
Ðàññìîòðèì ñìåùåíèå ïåðâîãî ñàìîëåòà çà íåêîòîðîå âðåìÿ
∆ t . Â òðåóãîëüíèêå CC 1 1′ A′′ ñòîðîíà CA′′
1 ðàâíà ñìåùåíèþ
∆ s òî÷êè À. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó ñèíóñîâ, ïîëó÷àåì
v1∆tsin
α
∆ s =
sin ( α+β )
,
îòêóäà äëÿ ñêîðîñòè òî÷êè À íàõîäèì
∆s v1 sin α c
vA
= = =
∆t
sin ( α +β) sin ( α +β )
.
Îáñóäèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå. Åñëè âòîðîé ñàìîëåò áóäåò
ëåòåòü â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è ïåðâûé ( β= 0 ), òî
c
v2 = vA
= = v1
sin α
– âòîðîìó ñàìîëåòó ñëåäóåò èìåòü ñêîðîñòü, áîëüøóþ èëè
ðàâíóþ ñêîðîñòè ïåðâîãî ñàìîëåòà. Ðàçóìíûé ðåçóëüòàò.
Äëÿ êóðñà, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî êóðñó ïåðâîãî ñàìîëåòà
( β= 90°), ñêîðîñòü òî÷êè À áóäåò ðàâíà
c c c v1
v⊥ = sin ( α+ 90 ° )
= cos α = =
1 1 2 2
− M M − 1
.
À âîò ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ó òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ áóäåò â òîì
ñëó÷àå, êîãäà sin ( α+β ) = 1, ò.å. êîãäà α+β= 90°. Ýòî
óñëîâèå áóäåò âûïîëíåíî, åñëè íàøà ïðÿìàÿ áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðíà
îáðàçóþùåé êîíóñà Ìàõà. Òîãäà ñêîðîñòü òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ áóäåò ïðîñòî ðàâíà ñêîðîñòè çâóêà ñ. Îá ýòîé
ñêîðîñòè ÷àñòî ãîâîðÿò êàê î ñêîðîñòè äâèæåíèÿ âîëíîâîãî
ôðîíòà èëè êàê î ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îãèáàþùåé.
Èòàê, îòâåò ê íàøåé çàäà÷å òàêîâ. Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü,
ïðè êîòîðîé âòîðîé ëåò÷èê ìîæåò ëåòåòü òàê, ÷òîáû åìó íå
ìåøàë øóì ïåðâîãî ñàìîëåòà, ýòî ñêîðîñòü çâóêà ñ, ò.å.
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âòîðîé ñàìîëåò áûë ïðîñòî ñâåðõçâóêîâûì.
À äëÿ òîãî ÷òîáû ïóòåøåñòâîâàòü â òèøèíå, âòîðîìó
ëåò÷èêó ñëåäóåò âûáðàòü êóðñ, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îáðàçóþùåé
êîíóñà Ìàõà ïåðâîãî ñàìîëåòà.
Çàäà÷à 6. Ñâåðõçâóêîâûå ñàìîëåòû ëåòÿò ïåðïåíäèêóëÿðíî
äðóã äðóãó (ðèñ.5) ñî ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè
÷èñëàì Ìàõà M1
= 3 è M2
= 4. Ñêîëüêî âðåìåíè âòîðîé
ëåò÷èê áóäåò ñëûøàòü øóì ìîòîðà ïåðâîãî ñàìîëåòà,
åñëè ïåðâîíà÷àëüíîå
ðàññòîÿíèå ìåæäó ñàìîëåòàìè
L = 6600 ì
Óñëûøèò ëè êîãäà-íèáóäü
ïåðâûé ëåò÷èê
çâóê âòîðîãî ñàìîëåòà
Ñêîðîñòü çâóêà
ñ = 330 ì/ñ.
Ðèñ. 5
40-53.p65 41
09.06.10, 11:09

42
Îáæåãøèñü
íà ìîëîêå,
íà âîäó äóþò…
À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ
, ÂÈÄÍÎ, ÍÅÑÏÐÎÑÒÀ. ÍÎ ×ÅÌ ÝÒÎ ÎÁÚßÑÍÈÒÜ
...È Íàâåðíîå, ìíîãèì çíàêîì íåâîëüíûé ýêñïåðèìåíò:
áûñòðî âûíóâ ïàëåö èç êèïÿòêà, õî÷åòñÿ íà íåãî ïîäóòü èëè
ïîìàõàòü ðóêîé (ëó÷øå íå ïðîáóéòå ïîâòîðèòü ýòîò ýêñïåðèìåíò).
ßñíî, ÷òî òóò ðå÷ü èäåò îá óñèëåíèè òåïëîîòâîäà îò
ïàëüöà â âîçäóõ. Ôèçèêè äàâíî íàó÷èëèñü îïèñûâàòü ýòîò
ïðîöåññ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà òåïëîâîé ýíåðãèè
2
j ò , èçìåðÿåìàÿ â Äæ ( ì ⋅ ñ)
, â íàïðàâëåíèè íåêîòîðîé
êîîðäèíàòû r ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ (òî÷íåå,
òåìïó èçìåíåíèÿ) òåìïåðàòóðû â ïðîòèâîïîëîæíîì
íàïðàâëåíèè:
∆T
jò
∼ − . (1)
∆ r
Çäåñü ∆ r – ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñðåäû, òåìïåðàòóðû
êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ íà ∆ T . À çíàê «ìèíóñ» ãîâîðèò
î òîì, ÷òî òåïëî òå÷åò îò ãîðÿ÷èõ ó÷àñòêîâ ê õîëîäíûì.
∆T
Îòíîøåíèå íàçûâàþò ãðàäèåíòîì òåìïåðàòóðû âäîëü r,
∆r
à ñàìà çàâèñèìîñòü (1) åñòü çàêîí Ôóðüå – ïî èìåíè
ôðàíöóçñêîãî ôèçèêà è ìàòåìàòèêà Æàíà Áàòèñòà Ôóðüå
(1768–1830).
Íî, îêàçûâàåòñÿ, òàêàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü âñòðå÷àåòñÿ
íå òîëüêî â òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè. Íàïðèìåð, ïëîòíîñòü
2 2
ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà j ý , èçìåðÿåìàÿ â Àì = Êë( ì ⋅ ñ)
,
ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàäèåíòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ϕ ,
êîòîðûé íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëÿåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ E :
∆ϕ
jý
∼ − = Er
. (2)
∆r
Ýòîò çàêîí íàçûâàåòñÿ (îáîáùåííûì) çàêîíîì Îìà, ïî
èìåíè íåìåöêîãî ôèçèêà Ãåîðãà Ñèìîíà Îìà (1787–1854).
Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (1) è (2), ìîæíî è òåìïåðàòóðó Ò
íàçâàòü ïîòåíöèàëîì – ðàçíîñòü çíà÷åíèé ýòîãî ïîòåíöèàëà
âûçûâàåò ïîòîê òåïëà.
Äàëåå, åñëè â êàêîì-ëèáî ðàñòâîðå, íàïðèìåð ñàõàðà â âîäå
èëè äóõîâ â âîçäóõå, êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà íåîäèíàêîâà â
ðàçíûõ òî÷êàõ, òî âîçíèêàåò äèôôóçèÿ, è ïëîòíîñòü ïîòîêà
ìîëåêóë ýòîãî âåùåñòâà j n îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé
ãðàäèåíòó êîíöåíòðàöèè n, ò.å. òåìïó åå èçìåíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå:
∆n
jn
∼ − . (3)
∆ r
Ýòî ñîîòíîøåíèå – çàêîí Ôèêà, â ÷åñòü íåìåöêîãî ôèçèîëîãà
Àäîëüôà Ôèêà (1829–1901). Òåïåðü ìîæíî è êîíöåíòðàöèþ
âåùåñòâà íàçâàòü ïîòåíöèàëîì, ðàçíîñòü çíà÷åíèé êîòîðîãî
âûçûâàåò äèôôóçèîííûé ïîòîê ìàññû.
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Íî è ýòî åùå íå âñå. Êîãäà ìû äóåì íà ïàëåö, ñêîðîñòü
ïîòîêà âîçäóõà ó åãî ïîâåðõíîñòè áëèçêà ê íóëþ, à ñ
óäàëåíèåì îò ïîâåðõíîñòè îíà âîçðàñòàåò. Èíûìè ñëîâàìè,
èìååò ìåñòî èçìåíåíèå êàñàòåëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè
ïî íàïðàâëåíèþ íîðìàëè ∆u ∆ r . Â ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò
2
êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå j u , èçìåðÿåìîå â Íì , ò.å. òðåíèå
ñëîåâ âîçäóõà äðóã î äðóãà è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, î ñàìó
ïîâåðõíîñòü îáòåêàåìîãî òåëà. È, îêàçûâàåòñÿ,
∆u
ju
∼ − . (4)
∆ r
À âåäü ýòî íàïðÿæåíèå ìîæíî íàçâàòü ïëîòíîñòüþ ïîòîêà
2 2
èìïóëüñà: Íì = ( êã⋅ìñ) ( ì ⋅ ñ)
! Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèå
(4) ñ ïðåäûäóùèìè, êàê íå íàçâàòü ñêîðîñòü ïîòåíöèàëîì
Æèäêîñòè, ïîä÷èíÿþùèåñÿ ýòîìó çàêîíó, íàçûâàþòñÿ íüþòîíîâñêèìè.
Âû äîãàäàëèñü, ïî÷åìó Ïðàâèëüíî: åãî óñòàíîâèë
âåëèêèé Íüþòîí åùå â 1687 ãîäó.
Òåïåðü ìîæíî óäèâèòüñÿ è âîñõèòèòüñÿ: ðàçëè÷íûå ïî
ñâîåé ïðèðîäå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, îïèñàíèå êîòîðûõ
áîëåå ÷åì 100–300 ëåò íàçàä ïðåäëîæåíî çàìå÷àòåëüíûìè
ó÷åíûìè ðàçíûõ ñòðàí, îòðàæàþò íåêèé îáùèé ôàêò: ïëîòíîñòü
ïîòîêà ëþáîé ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè – òåïëîâîé ýíåðãèè,
ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ðàñòâîðèìîãî âåùåñòâà, èìïóëüñà…
ïðîïîðöèîíàëüíà òåìïó ïðîñòðàíñòâåííîãî èçìåíåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà – òåìïåðàòóðû, ýëåêòðè÷åñêîãî
íàïðÿæåíèÿ, êîíöåíòðàöèè, ñêîðîñòè…
Âñå óïîìÿíóòûå ïðîöåññû íàçûâàþòñÿ ÿâëåíèÿìè ïåðåíîñà.
Çíàê ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â ïðèâåäåíûõ ñîîòíîøåíèÿõ
ìîæíî çàìåíèòü çíàêîì ðàâåíñòâà, åñëè ïðè êàæäîì ãðàäèåíòå
íàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèé êîýôôèöèåíò: òåïëîïðîâîäíîñòè,
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè, äèôôóçèè, âÿçêîñòè… – ýòî
õîðîøî çíàþò ñòóäåíòû óæå ïåðâîãî êóðñà óíèâåðñèòåòà.
Îäíàêî âåðíåìñÿ ê îáâàðåííîìó êèïÿòêîì ïàëüöó. Êòî æå
ïåðåíîñèò òåïëî îò ïàëüöà è ïî÷åìó õî÷åòñÿ íà íåãî ïîäóòü
Êîíå÷íî, ýòèì çàíèìàþòñÿ ìîëåêóëû, è, êîíå÷íî, äóíîâåíèå
óñêîðÿåò òåïëîîòâîä.
Ðàññìîòðèì ñôåðó (èëè ïîëóñôåðó) ðàäèóñîì R ñ òåìïåðàòóðîé
ïîâåðõíîñòè T ï , ìîäåëèðóþùóþ êîí÷èê ïàëüöà.
Åñëè îêðóæàþùèé âîçäóõ ñïîêîåí, «ãîðÿ÷èå» ìîëåêóëû,
òåïëîâàÿ ñêîðîñòü êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò T ï , ïðîòàëêèâàþòñÿ
â íàïðàâëåíèè îò ïîâåðõíîñòè (ðèñ.1,à), à íàâñòðå÷ó èì
òàêæå ïðîòàëêèâàþòñÿ õîëîäíûå ìîëåêóëû èç «áåñêîíå÷íîñòè»,
ãäå òåìïåðàòóðà ðàâíà T ∞ . Óñòàíàâëèâàåòñÿ íåêîòîðîå
Ðèñ. 1
ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, êîòîðîå êà÷åñòâåííî ïðåäñòàâëåíî
êðèâîé à íà ðèñóíêå 2. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òåìïåðàòóðà
ïàäàåò â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè äîâîëüíî ïëàâíî, ïî
ãèïåðáîëè÷åñêîìó çàêîíó, ñóùåñòâåííî èçìåíÿÿñü íà ðàññòîÿíèè
ïîðÿäêà R. (Â ýòèõ ðàññóæäåíèÿõ íå ïðèíÿòà âî
âíèìàíèå ñèëà Àðõèìåäà, çàñòàâëÿþùàÿ âñïëûâàòü òåïëûé
ãàç â àòìîñôåðå õîëîäíîãî è, êîíå÷íî, ïîìîãàþùàÿ îòâîäó
òåïëà.) Â ðåçóëüòàòå ïëîòíîñòü ïîòîêà òåïëîâîé ýíåðãèè îò
40-53.p65 42
09.06.10, 11:09

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
43
Ðèñ. 2
ïîâåðõíîñòè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå çàâèñèìîñòè îò êîíå÷íîé
ðàçíîñòè òåìïåðàòóð è ðàññòîÿíèÿ, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò åå
ñóùåñòâåííîå èçìåíåíèå:
Tï
− T∞
ja
∼ .
R
Òåïåðü íà÷íåì ïîòèõîíüêó äóòü íà ïàëåö. ßñíî, ÷òî
ìîëåêóëû, óíîñÿùèå òåïëî, «ñäóâàþòñÿ» ïîòîêîì âîçäóõà
(ðèñ.1,á). Íàêîíåö, ïîäóåì ÷òî åñòü ñèëû, òîãäà âñå ìîëåêóëû,
«ñòàðòóþùèå» îò ïîâåðõíîñòè, óìåñòÿòñÿ â òîíêîì ñëîå
õàðàêòåðíîé òîëùèíû δ (ðèñ.1,â), ñóùåñòâåííî ìåíüøåé
ðàäèóñà ñôåðû R ( δ ≪ R)
. (Ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñëó÷àÿì
ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû êà÷åñòâåííî ïðåäñòàâëåíû
êðèâûìè á è â íà ðèñóíêå 2.) Â ðåçóëüòàòå ïîòîê
òåïëà óâåëè÷èòñÿ:
Tï
−T∞
Tï
−T∞
já
∼ ≫ ∼ ja
.
δ R
Ýòîò òîíêèé ñëîé íàçûâàþò ïîãðàíè÷íûì. Îí áûë âïåðâûå
ââåäåí èçâåñòíûì íåìåöêèì àýðîäèíàìèêîì Ëþäâèãîì Ïðàíäòëåì
(1875–1953) – êîíå÷íî, íå â ïðèìåíåíèè ê ïàëüöó, à ïðè
ðåøåíèè ïðîáëåì ñîïðîòèâëåíèÿ òåë â ïîòîêå æèäêîñòè èëè
ãàçà. Åñòü ìíåíèå, ÷òî òîëüêî çà ââåäåíèå ýòîãî ïëîäîòâîðíîãî
ïîíÿòèÿ Ïðàíäòëþ ñëåäîâàëî áû ïðèñóäèòü Íîáåëåâñêóþ
ïðåìèþ.
Íî ïðîäîëæèì íàøè ðàññóæäåíèÿ. Ìû çíàåì, ÷òî èìåííî
ìîëåêóëû óíîñÿò òåïëî îò ïàëüöà (è ïðèíîñÿò «õîëîä» èç
îêðóæàþùåé ñðåäû). Çíà÷èò, äëÿ îöåíêè òîëùèíû òåïëîâîãî
ïîãðàíñëîÿ ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü õàðàêòåðèñòèêè ìîëåêóëÿðíîãî
õàîñà. Êàêèå èìåííî Ðàçóìååòñÿ, ïðåæäå âñåãî ýòî
ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ c – ÷åì áûñòðåå
äâèæóòñÿ ìîëåêóëû, òåì èíòåíñèâíåå òåïëîîáìåí. Äàëåå,
ýòî ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóëû l – ÷åì îíà
áîëüøå, òåì äàëüøå óíåñåò ìîëåêóëà ýíåðãèþ, ïåðåäàâ åå
ñëåäóþùåé ìîëåêóëå ïðè ñòîëêíîâåíèè. Ïðîèçâåäåíèå ýòèõ
2
äâóõ âåëè÷èí èìååò ðàçìåðíîñòü ì ñ, à åñëè åãî óìíîæèòü
íà âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ âîçäóõîì õàðàêòåðíîãî ðàññòîÿíèÿ
ïîðÿäêà ðàäèóñà R, òî ïîëó÷èì îöåíêó êâàäðàòà òîëùèíû
ïîãðàíñëîÿ:
2 R
δ ∼ cl ∼ clt. (5)
u
(Êñòàòè ñêàçàòü, èìåííî Ôóðüå ïåðâûì ñòàë ïðèìåíÿòü
ìåòîä ðàçìåðíîñòåé.)
Ñîîòíîøåíèå (5) õàðàêòåðíî äëÿ âñåõ ïðîöåññîâ áëóæäàíèÿ.
Îíî âîñõîäèò ê ïåðâûì ïîïûòêàì îïèñàíèÿ áðîóíîâñêîãî
äâèæåíèÿ ÷àñòèö. À åãî îáðàçíûì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ
ïðîáëåìà ïüÿíîãî ìàòðîñà â íåçíàêîìîì ãîðîäå. Îêàçàâøèñü
íà ëþáîì ïåðåêðåñòêå, ìàòðîñ íàóãàä âûáèðàåò
îäíî èç ÷åòûðåõ íàïðàâëåíèé. Ñïðàøèâàåòñÿ: êàê äàëåêî
ìàòðîñ óéäåò îò íà÷àëüíîé òî÷êè, ïðîéäÿ N êâàðòàëîâ
Îòâåò: ñðåäíèé îæèäàåìûé êâàäðàò ýòîãî óäàëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëåí
N. Ïîíÿòíî, ÷òî óäàëåíèå δ áóäåò çàâèñåòü è
îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ c , è îò äëèíû êâàðòàëîâ l, ò.å.
áóäåò îïèñûâàòüñÿ âûðàæåíèåì (5). Îñòàëîñü ïîäñòàâèòü
åãî â ôîðìóëó äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà òåïëà îò ïîâåðõíîñòè
ïàëüöà:
( Tï
− T∞
) u
j ∼
clR .
Îòñþäà âèäíî, ÷òî îò íàñ çàâèñèò òîëüêî ñêîðîñòü ïîòîêà
âîçäóõà u. Èìåííî îíà ïðåâðàùàåò ìåäëåííóþ äèôôóçèþ
ìîëåêóë íà äíå ïîãðàíñëîÿ â áûñòðûé êîíâåêòèâíûé ïåðåíîñ
íà åãî âíåøíåé ãðàíèöå. Òàê ÷òî äóéòå ïîñèëüíåå. Íî íå
ïåðåóñåðäñòâóéòå. Èáî åñëè äîñòè÷ü ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòè,
òî, íàîáîðîò, áîëüøàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîòîêà
âîçäóõà ïåðåéäåò â òî÷êå òîðìîæåíèÿ â òåïëî è äàñò âûñîêóþ
òåìïåðàòóðó ïîâåðõíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè
2
Μ u∞
5 5
+ RT∞
= 0 + RT ï ,
2 2 2
çàïèñàííîãî äëÿ îäíîãî ìîëÿ âîçäóõà, ïðè ñêîðîñòè îáäóâà,
íàïðèìåð, u ∞ = 1000 ì ñ ïîëó÷èì
2 6
∞
0,029 ⋅10
Μu
Tï
= T∞
+ = 300 Ê + Ê ≈1000 Ê!
5R
5⋅
8, 31
Âïðî÷åì, åäâà ëè íàøè ãóáû è ëåãêèå ïîçâîëÿò îáåñïå÷èòü
ñâåðõçâóêîâîå îáòåêàíèå ïàëüöà âîçäóõîì.
Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè êîâêå çíàìåíèòûõ ñàáåëü èç
äàìàññêîé ñòàëè êóçíåö âðó÷àë äæèãèòó ðàñêàëåííûé êëèíîê
è äæèãèò íåìåäëåííî ñêàêàë âî âåñü îïîð, óñèëåííî
ðàçìàõèâàÿ èì. Ïî-âèäèìîìó, òàêîé ðåæèì îõëàæäåíèÿ áûë
îïòèìàëüíûì äëÿ òîãäàøíåé èííîâàöèîííîé òåõíîëîãèè.
Íî âñå ëè ìû ó÷ëè Íåò, íå âñå: ïàëåö-òî ïîñëå êèïÿòêà
ìîêðûé! È òóò âñòóïàåò â ñèëó åùå ïðîöåññ èñïàðåíèÿ
ìîëåêóë âîäû, çà êîòîðûì ñëåäóåò èõ äèôôóçèÿ â ïîãðàíñëîå
è óíîñ âîçäóõîì. Äëÿ îïèñàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà íóæíî
èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèå (3). Íàì ýòî íå â íîâèíêó – âåäü
è ðàññìîòðåííàÿ ðàíåå òåïëîïðîâîäíîñòü åñòü íå ÷òî èíîå êàê
äèôôóçèÿ òåïëîâîé ýíåðãèè. È òåïåðü ê îòâîäó òåïëà ìîëåêóëàìè
âîçäóõà äîáàâèòñÿ óíîñ òåïëîòû ôàçîâîãî ïåðåõîäà
L âìåñòå ñ èñïàðÿþùåéñÿ ìàññîé âîäû:
nï
− n∞
jmL
∼ .
δ
Çäåñü jm
= jnm (m – ìàññà ìîëåêóëû) – ýòî ïëîòíîñòü
ïîòîêà ìàññû, óíîñèìîé ñ îáäóâàåìîãî òåëà, n ï è n ∞ –
ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë âîäû.
Ýòîò óíîñ òåïëà ìàêñèìàëåí, åñëè îêðóæàþùèé âîçäóõ
ñóõîé ( n ∞ → 0 ). È ýòî çíà÷èòåëüíàÿ äîáàâêà – âåäü óäåëüíàÿ
òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ äëÿ âîäû äîñòàòî÷íî âåëèêà:
L ≈ 2ÌÄæ êã.
Âîò ïî÷åìó äëÿ îõëàæäåíèÿ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ, âõîäÿùèõ
â àòìîñôåðó ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ, èñïîëüçóþò æèäêîñòü,
ïðîäàâëèâàåìóþ èçíóòðè ÷åðåç ïîðèñòóþ ïîâåðõíîñòü
òåëà: èñïàðÿÿñü, îíà óíîñèò òåïëî è ñïàñàåò àïïàðàò îò
ñãîðàíèÿ. Íå íàïðàñíî òàêæå â æàðêèõ ïóñòûíÿõ äëÿ îõëàæäåíèÿ
ïåïñè ñòàâÿò áóòûëêó, îáåðíóòóþ ìîêðîé òðÿïêîé, íà
êðûøó àâòîìîáèëÿ è ãîíÿò åãî êàê ìîæíî áûñòðåå. Òóò óæ
ðàáîòàþò è u, è L, è…
Âîò êàê ïîëåçíî çíàòü ãàçîòåðìîäèíàìèêó!
40-53.p65 43
09.06.10, 11:09

44 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
ÊÐÓÆÎÊ
Î ïîëüçå
ãðàôèêîâ
Ì.ÃÎÐÅËÎÂ
ÂØÊÎËÜÍÎÉ ÏÐÎÃÐÀÌÌÅ ÇÀÌÅÒÍÎÅ ÌÅÑÒÎ ÓÄÅËßÅÒñÿ
ïîñòðîåíèþ ãðàôèêîâ ôóíêöèé, íî íå âñåãäà îáúÿñíÿåòñÿ,
çà÷åì ýòî íóæíî. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ðÿä çàäà÷, êëþ÷îì
ê ðåøåíèþ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ. Ãîâîðÿò,
÷òî «ãåîìåòðèåé íàçûâàåòñÿ ìåòîä íå äåëàòü îøèáîê â
äëèííûõ âû÷èñëåíèÿõ». ×òî æ, â êàæäîé øóòêå åñòü äîëÿ
èñòèíû.
Ãåîìåòðè÷åñêèå îñíîâû
Ðèñ. 1
Çàäà÷à 1 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1998). Ïî
êðóãëîìó òðåêó åçäÿò ñ ïîñòîÿííûìè, íî ðàçëè÷íûìè
ñêîðîñòÿìè íåñêîëüêî âåëîñèïåäèñòîâ. Ó îäíîãî èç íèõ
åñòü ôëÿæêà ñ âîäîé. Ïðè îáãîíå ôëÿæêà îò îäíîãî
îáÿçàòåëüíî ïåðåõîäèò ê äðóãîìó (ìîìåíòîâ, êîãäà äâîå
îäíîâðåìåííî îáãîíÿþò îäíîãî, íå ñëó÷àåòñÿ). Ìîæåò ëè
îêàçàòüñÿ ïðè íåêîòîðîì íà÷àëüíîì ðàñïîëîæåíèè è íåêîòîðûõ
ñêîðîñòÿõ, ÷òî êàê áû äîëãî îíè íè åçäèëè, ó äâóõ
èç íèõ ôëÿæêà òàê è íå ïîáûâàåò
Ðåøåíèå. Âûáåðåì äâóõ ëþáûõ âåëîñèïåäèñòîâ è îáîçíà-
÷èì èõ A è B. Äîêàæåì, ÷òî ó îäíîãî èç íèõ ôëÿæêà
íåïðåìåííî ïîáûâàåò. Ïîñòðîèì ãðàôèêè äâèæåíèÿ âûáðàííûõ
ñïîðòñìåíîâ è
ôëÿæêè (íà ðèñóíêå 1
ãðàôèêè äâèæåíèÿ A è
B çåëåíûå, à ãðàôèê
äâèæåíèÿ ôëÿæêè –
êðàñíûé). Çà íà÷àëî
êîîðäèíàò ïðèìåì ìîìåíò
âðåìåíè, êîãäà B
îáîãíàë A, è òî÷êó òðåêà,
â êîòîðîé ýòî ïðîèçîøëî.
Ïóñòü â ñëåäóþùèé
ðàç B îáãîíèò A â
ìîìåíò âðåìåíè T, à
äëèíà òðåêà ðàâíà S. Ïîñêîëüêó âåëîñèïåäèñòû äâèæóòñÿ ïî
êðóãó, òî÷êè ñ îðäèíàòàìè x è x + S îáîçíà÷àþò îäíî è òî æå
ìåñòî íà òðåêå. Ýòî ñîãëàøåíèå ïîçâîëÿåò íàì èçîáðàæàòü
ãðàôèêè ïðÿìûìè ëèíèÿìè. Ïðè ýòîì ó íàñ îñòàåòñÿ ñâîáîäà
âûáîðà íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò. Âûáåðåì èõ òàê, ÷òî
â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè êîîðäèíàòà A ðàâíà S, êîîðäèíàòà
B ðàâíà íóëþ, à êîîðäèíàòà ôëÿæêè ëåæèò íà îòðåçêå
[0; S].
 ñèëó ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ, ãðàôèê äâèæåíèÿ ôëÿæêè
«âõîäèò» â òðåóãîëüíèê OSR (ñì. ðèñ.1) ÷åðåç âåðòèêàëüíóþ
ñòîðîíó. Çíà÷èò, îí äîëæåí «âûéòè» èç íåãî ÷åðåç îäíó
èç äðóãèõ ñòîðîí. Íî â ìîìåíò ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà
äâèæåíèÿ ôëÿæêè ñ ãðàôèêîì äâèæåíèÿ âåëîñèïåäèñòà
ôëÿæêà ïî ïðàâèëàì ïåðåõîäèò ê ýòîìó ñïîðòñìåíó.
Çàïèøåì ýòè ðàññóæäåíèÿ áîëåå ôîðìàëüíî. Ïóñòü f()
t è
ht ()– êîîðäèíàòû âåëîñèïåäèñòîâ A è B â ìîìåíò âðåìåíè
t, à gt () – ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîîðäèíàòà ôëÿæêè. Â ñèëó
≤ ≤ . Ïîñêîëüêó
< < íå ìîãóò âû-
, ëèáî
− ìåíÿåò
çíàê íà îòðåçêå [0; T], à ïîòîìó îáðàùàåòñÿ â íîëü. Òîãäà
âåëîñèïåäèñò A íåïðåìåííî ïîëó÷àåò ôëÿæêó. Âòîðîé ñëó-
÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Àíàëèç ïðèâåäåííîãî ðåøåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî â íåì
íåÿâíî èñïîëüçîâàëàñü
Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè. Åñëè íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íà êîíöàõ îòðåçêà çíà÷åíèÿ ðàçíûõ
çíàêîâ, òî âíóòðè îòðåçêà îíà îáðàùàåòñÿ â íîëü.
 çàäà÷å 1 ýòà òåîðåìà ïðèìåíÿëàñü äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ
ôóíêöèé.  ýòîì ñëó÷àå îíà äîêàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûìè
ñðåäñòâàìè.  îáùåì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî íàéòè â
áîëüøèíñòâå âóçîâñêèõ ó÷åáíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü êàê «î÷åâèäíûé» ñëåäóþùèé ãåîìåòðè÷åñêèé
ôàêò: åñëè íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ ñîåäèíÿåò äâå
òî÷êè, ëåæàùèå ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé, òî îíà
ïðåñåêàåò ýòó ïðÿìóþ. Ïîæàëóé, â íàèáîëåå ÷èñòîì âèäå ýòîò
ôàêò èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Çàäà÷à 2. Òóðèñò âûøåë íà ðàññâåòå èç áàçîâîãî ëàãåðÿ
è ê âå÷åðó ïîäíÿëñÿ íà âåðøèíó ãîðû. Ïåðåíî÷åâàâ òàì, îí
óòðîì ñëåäóþùåãî äíÿ îòïðàâèëñÿ â îáðàòíûé ïóòü è
âå÷åðîì âåðíóëñÿ â áàçîâûé ëàãåðü. Äîêàæèòå, ÷òî ïî ïóòè
òóäà è îáðàòíî â êàêîå-òî âðåìÿ ñóòîê îí íàõîäèëñÿ íà
îäíîé âûñîòå.
Ðåøåíèå. Íàðèñóåì íà îäíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè
ãðàôèêè çàâèñèìîñòè âûñîòû òóðèñòà íàä óðîâíåì áàçîâîãî
ëàãåðÿ îò âðåìåíè ñóòîê
â äâà ðàññìàòðèâàåìûõ
âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé f( 0) g( 0) h( 0)
f( T) = h( T)
, íåðàâåíñòâà f( T) g( T) h( T)
ïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî, ò.å. ëèáî f( T) ≥ g( T)
g( T) ≤ h( T)
.  ïåðâîì ñëó÷àå ðàçíîñòü f() t g()
t
äíÿ (ðèñ. 2). Ïóñòü f()
t
– âûñîòà â ìîìåíò âðåìåíè
t ïðè ïîäúåìå, à ht ()
– ïðè ñïóñêå. Èç çàêîíîâ
ôèçèêè ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè
f è h íåïðåðûâíû.
Ïî óñëîâèþ ðàçíîñòü
( 0) h( 0)
f − îòðèöàòåëüíà,
à ðàçíîñòü
Ðèñ. 2
f( 24) − h( 24)
ïîëîæèòåëüíà (âðåìÿ èçìåðÿåòñÿ â ÷àñàõ).
Ïîýòîìó íàéäåòñÿ ìîìåíò âðåìåíè t, êîãäà ðàçíîñòü
f t h t
f t = h t , ÷òî è òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.
() − () = 0 , èëè () ()
Óïðàæíåíèÿ
1. ×èñëà a, b è c òàêîâû, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé y = ax + b,
y = bx + c, y = cx + a èìååò ðåøåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî a = b = c.
2 (Í.Êîíñòàíòèíîâ). Èç ïóíêòà A â ïóíêò B âåäóò äâå
íåïåðåñåêàþùèåñÿ äîðîãè. Äâà ìîòîöèêëà, âûåõàâøèå ïî ðàçíûì
äîðîãàì èç A â B è ñâÿçàííûå âåðåâêîé äëèíû, ìåíüøåé l,
ñìîãëè äîåõàòü â B, íå ïîðâàâ âåðåâêè. Ìîãóò ëè ðàçìèíóòüñÿ,
íå êîñíóâøèñü, äâà êðóãëûõ âîçà äèàìåòðà l, öåíòðû êîòîðûõ
äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó èç A è B ñîîòâåòñòâåííî
Êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû
2
Çàäà÷à 3. Óðàâíåíèå ax + bx + c = 0 , ãäå a – íàòóðàëüíîå,
b è c – öåëûå ÷èñëà, èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ âíóòðè
èíòåðâàëà (0; 1). Äîêàæèòå, ÷òî a ≥ 5 .
2
Ðåøåíèå. Ïóñòü f ( x) = ax + bx + c . Åñëè f( x ) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì çàäà÷è, òî èì óäîâëåòâîðÿåò è ìíîãî÷ëåí
f( 1 − x)
. Ïîýòîìó, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷è-
f 1 ≥ f 0 = c . Íàðèñóåì ãðàôèêè ìíîãî÷ëåíîâ
òàòü, ÷òî () ( )
40-53.p65 44
09.06.10, 11:09

Ðèñ. 3
ìèíèìóì g( x ) äîñòèãàåòñÿ ïðè
f( x ) è g( x) ax( x 1)
= − +
+ c (ðèñ. 3). Èõ ðàçíîñòü
– ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, ïîýòîìó
ãðàôèêè ïåðåñåêàþòñÿ
â åäèíñòâåííîé
òî÷êå x = 0, åñëè òîëüêî
íå ñîâïàäàþò. À òàê
êàê f() 1 g()
1
f( x) g( x)
≥ , òî
≥ íà âñåì èíòåðâàëå
(0; 1).
Ïîýòîìó ìèíèìàëüíîå
çíà÷åíèå g( x ) íà îòðåçêå
[0;1] íå ïðåâîñõîäèò ìèíèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ
f( x ) íà òîì æå îòðåçêå,
êîòîðîå îòðèöàòåëüíî. Íî
1
x =
1
, ò.å. g ⎛ 0
2 ⎜
⎞ ⎟ < , îòêó-
⎝2
⎠
äà 1 0
4 a > c ≥ , èëè a > 4.
Çàäà÷à 4 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1998). Ïðî
êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû ñ ðàçëè÷íûìè ñòàðøèìè êîýôôèöèåíòàìè
èçâåñòíî, ÷òî èõ ðàçíîñòè f – g, g – h, h – f
èìåþò ïî îäíîìó êîðíþ. Äîêàæèòå, ÷òî êîðíè ðàçíîñòåé
ñîâïàäàþò.
Ðåøåíèå. Ïóñòü ìíîãî÷ëåí ( )
g x èìååò ñðåäíèé ïî âåëè-
÷èíå ñòàðøèé êîýôôèöèåíò. Òîãäà ãðàôèê ìíîãî÷ëåíà,
èìåþùåãî ñàìûé áîëüøîé ñòàðøèé êîýôôèöèåíò, ëåæèò
âûøå ãðàôèêà g( x)
ïðè áîëüøèõ ïî ìîäóëþ
çíà÷åíèÿõ x. Òàê
êàê ýòè äâà ãðàôèêà
èìåþò åäèíñòâåííóþ
îáùóþ òî÷êó, òî æå îòíîøåíèå
âåðíî ïðè âñåõ
çíà÷åíèÿõ x, êðîìå îäíîãî
(ðèñ.4).
Ïî àíàëîãè÷íûì ñîîáðàæåíèÿì
ãðàôèê
Ðèñ. 4
òðåòüåãî ìíîãî÷ëåíà ëåæèò
íèæå ãðàôèêà ( )
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
g x âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå îäíîé.
Çíà÷èò, ãðàôèêè ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ f è h ìîãóò ïåðåñå÷üñÿ
òîëüêî íà ãðàôèêå ìíîãî÷ëåíà g. Íî ïîñêîëüêó êàæäûé èç
íèõ èìååò ñ g âñåãî ïî îäíîé îáùåé òî÷êå, ýòè òî÷êè
ñîâïàäàþò.
Óïðàæíåíèÿ
3 (Ïîëüñêàÿ îëèìïèàäà, 1950). Êàêîìó óñëîâèþ äîëæíû
óäîâëåòâîðÿòü êîýôôèöèåíòû äâóõ êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíîâ
2
x + ax + b è x 2 + cx + d äëÿ òîãî, ÷òîáû ìåæäó êîðíÿìè êàæäîãî
èç íèõ áûë çàêëþ÷åí êîðåíü äðóãîãî
4 (Ìîñêîâñêàÿ îëèìïèàäà, 1954). Èçâåñòíî, ÷òî ìîäóëè âñåõ
2
2
êîðíåé óðàâíåíèé x + ax + b = 0 è x + cx + d = 0 ìåíüøå 1.
2
Äîêàæèòå, ÷òî ìîäóëè âñåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x +
a + c b + d
+ x + = 0 òîæå ìåíüøå 1.
2 2
5 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1988). Íàéäèòå ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè a, b, c, ïðè êîòîðûõ èìååò
ðåøåíèå ñèñòåìà ñ îäíèì íåèçâåñòíûì ax 2 2
– bx + c = 0, bx –
2
– cx + a = 0, cx – ax + b = 0.
6 (IV ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1985). Äîêàæèòå, ÷òî
äëÿ ëþáûõ ÷èñåë x è y, îòëè÷íûõ îò íóëÿ, âûïîëíÿåòñÿ
6 6
4 4 x y
íåðàâåíñòâî x + y ≤ + .
2 2
y x
Ìíîãî÷ëåíû òðåòüåé ñòåïåíè
Äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷ ïîëåçíî çíàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû
p, q è r ìíîãî÷ëåíà
3 2
f( x) = ( x −a)( x −b)( x − c) = x − px + qx −r
îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè
p = a + b + c, q = ab + ac + bc, r = abc
(ýòî äîêàçûâàåòñÿ ðàñêðûòèåì
ñêîáîê). Ýòè
ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ
ôîðìóëàìè Âèåòà. Åñëè
a < b < c, òî çíà÷åíèÿ
ìíîãî÷ëåíà ïîëîæèòåëüíû
íà èíòåðâàëàõ ( ab ; )
è ( c ;+∞)
è îòðèöàòåëüíû
íà èíòåðâàëàõ ( −∞;a)
è ( bc ; ). Ãðàôèêè òàêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ èçîáðàæåíû
íà ðèñóíêå 5.
Ðèñ. 5
Çàäà÷à 5 (Ì2046). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëà a, b è c
ïîëîæèòåëüíû è (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) = abc, òî
a = b = c.
Ðåøåíèå. Îòðèöàòåëüíûì ìîæåò áûòü íå áîëåå ÷åì îäíî
èç òðåõ ÷èñåë a + b – c, b + c – a, c + a – b. Íî èõ ïðîèçâåäåíèå
ïîëîæèòåëüíî, ïîýòîìó âñå ýòè ÷èñëà ïîëîæèòåëüíû.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî a ≤ b ≤ c.
Òîãäà a + b −c ≤ a + c −b ≤ b + c − a .
Ôîðìóëû Âèåòà íàâîäÿò íà ìûñëü ðàññìîòðåòü ìíîãî÷ëåíû
f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) è g(x) = (x – a – b + c)(x –
– a – c + b)(x – b – c + a). Íà îòðåçêå [a + b – c; b + c – a]
ëåæàò âñå òðè êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà f(x), ïîýòîìó íà ýòîì
îòðåçêå îí ìåíÿåò çíàê (ñì. ðèñ. 5). À ïîñêîëüêó íà êîíöàõ
ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà ìíîãî÷ëåí g(x) îáðàùàåòñÿ â
íîëü, íà ýòîì îòðåçêå ìåíÿåò çíàê è ðàçíîñòü f(x) – g(x). Íî
òîãäà ýòà ðàçíîñòü èìååò íà äàííîì îòðåçêå êîðåíü. Ïî
óñëîâèþ åñòü è âòîðîé êîðåíü x = 0.
Íî ðàçíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ – ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Çíà÷èò,
îíà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, ò.å. ìíîãî÷ëåíû ñîâïàäàþò. Â
÷àñòíîñòè, ñîâïàäàþò èõ ìíîæåñòâà êîðíåé, ñëåäîâàòåëüíî,
a = a + b – c è c = b + c – a, îòêóäà b = c è a = b.
Ðàçóìååòñÿ, ïðèáëèçèòåëüíàÿ êàðòèíêà, êàêîâîé ÿâëÿåòñÿ
ãðàôèê, íå ìîæåò ñëóæèòü äîêàçàòåëüñòâîì. Íî «ïîñòðîèòü
ãðàôèê» íå îçíà÷àåò ïðîñòî «íàðèñîâàòü êàðòèíêó». Íóæíî
åùå äîêàçàòü, ÷òî íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå, èíòåðåñíûå â
äàííîì êîíòåêñòå òî÷êè ðàñïîëîæåíû òàê, à íå èíà÷å. ×òî è
áûëî ñäåëàíî.
Çàäà÷à 6. Ïðî ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a, b, c, x, y, z
èçâåñòíî, ÷òî a < b

Ðèñ. 8
46
() f() c 0
g c − ≥ . Ñëåäîâàòåëüíî, íà îòðåçêå [a;c] ðàçíîñòü
g(t) – f(t) èìååò êîðåíü.
Åñëè a + b + c = x + y + z, òî ýòà ðàçíîñòü – ëèíåéíàÿ
ôóíêöèÿ, è äðóãèõ êîðíåé íåò. Ïîýòîìó g(0) – f(0) è
g(a) – f(a) èìåþò îäèíàêîâûé çíàê, ò.å. g( ) f( )
0 − 0 ≤ 0, ÷òî
äàåò ïåðâîå èç äîêàçûâàåìûõ íåðàâåíñòâ. ×òîáû ïîëó÷èòü
âòîðîå íåðàâåíñòâî, íóæíî çàìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèÿ g(t) – f(t)
ïðè áîëüøèõ t èìåþò òîò æå çíàê, ÷òî è g(c) – f(c), ò. å.
íåîòðèöàòåëüíû, à ïîòîìó êîýôôèöèåíò ïðè t íåîòðèöàòåëåí.
Åñëè æå a + b + c < x + y + z, òî ãðàôèê ðàçíîñòè g(t) –
–f(t) – ïàðàáîëà âåòâÿìè âíèç, à çíà÷èò, gt () − f()
t
ïðè t →+∞. Òàê êàê g() c f() c 0
ðàçíîñòè ëåæèò íà ëó÷å [ c ;+∞)
. Òîãäà g( ) f( )
→ −∞
− ≥ , âòîðîé êîðåíü ýòîé
0 − 0 ≤ 0, ÷òî
äàåò ïåðâîå íåðàâåíñòâî abc ≤ xyz . Ïîñêîëüêó ðàçíîñòü
g(t) – f(t) èìååò äâà ïîëîæèòåëüíûõ êîðíÿ, ïî òåîðåìå
Âèåòà äëÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà êîýôôèöèåíò ïðè t ïîëîæèòåëåí,
îòêóäà ñëåäóåò âòîðîå íåðàâåíñòâî.
Ó äîêàçàííûõ íåðàâåíñòâ ìíîãî âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
a + b + c
Ïðè x = y = z = ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî Êîøè abc ≤
3
3
⎛a + b + c⎞
≤ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
a + b a + c b + c
Åñëè x = , y = , z = , ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
2 2 2
8abc ≤ a + b a + c b + c . È òàê äàëåå.
è íåðàâåíñòâî 3( ab + bc + ac) ≤ ( a + b + c)2
.
×åçàðî ( )( )( )
Óïðàæíåíèÿ
7. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
⎧ x + y + z = 0,
⎪
⎨ 1 1 1
⎪
+ + = 0.
⎩x y z
8 (Âñåñîþçíàÿ îëèìïèàäà, 1970). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïðîèçâåäåíèå
òðåõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ðàâíî 1, à ñóììà ýòèõ ÷èñåë
ñòðîãî áîëüøå ñóììû èõ îáðàòíûõ âåëè÷èí, òî ðîâíî îäíî èç
ýòèõ ÷èñåë áîëüøå 1.
9. Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí f(x) = (x – a)(x – b)(x – c), ãäå
a < b < c – äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Ïóñòü p è q – çíà÷åíèÿ ýòîãî
ìíîãî÷ëåíà â òî÷êàõ ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà è ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà
ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî p + q > 0 òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà b – a > c – b.
10 (IV ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1990). Ïóñòü a, b, c –
íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, òàêèå ÷òî a + b + c = 1. Äîêàæèòå, ÷òî
( 1+ a)( 1+ b)( 1+ c) ≥ 8( 1− a)( 1−b)( 1− c)
.
11 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1994). Äîêàæèòå, ÷òî
äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b è ñ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
abc ≥ ( a + b − c)( b + c − a)( c + a − b)
.
12. Ïðî ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a, b, c, x, y, z èçâåñòíî, ÷òî
a < b < c, a ≤ x ≤ y ≤ z ≤ c è a + b + c ≤ x + y + z. Äîêàæèòå, ÷òî
( ) ( )
2 2
x + y + z abc ≤ a + b + c xyz .
13 (Ì840, á). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ
÷èñåë a, b, c âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
3 3 3 2 2 2
ab bc ca abc bac cab
+ + ≥ + + .
14 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1993). Äîêàæèòå, ÷òî
äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a > b > c > 0 âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî a + b + c < b + c + a .
b c a a b c
15. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b è c
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ab ac bc ab ac bc
+ + ≥ + +
2 2 2 2 2 2 .
c b a c b a
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
16. Ïðî ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a, b, c, x, y, z èçâåñòíî, ÷òî
a < b < c, a ≤ x ≤ y ≤ z ≤ c è abc ≥ xyz . Äîêàæèòå, ÷òî
a + b + c ≥ x + y + z.
17. Ïðî ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a, b, c, x, y, z èçâåñòíî, ÷òî
a < b < c, a ≤ x ≤ y ≤ z ≤ c è ab + bc + ac ≥ xy + yz + xz . Äîêàæèòå,
÷òî a + b + c ≥ x + y + z.
18. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a, b è c – äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
1 1 1 1 1 1
+ + ≥ + + .
b + c − a a + c − b a + b −c a b c
19 (Ì7). Ïóñòü a,b,c – ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî
a b c
+ + ≥ 3 .
b + c − a c + a − b a + b −c
Íåðàâåíñòâà äëÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà
Åñëè ÷èñëà a, b è c âûðàæàþò äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà,
òî äëÿ íèõ, ðàçóìååòñÿ, ñïðàâåäëèâû âñå íåðàâåíñòâà, âåðíûå
äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Íî ìîæíî äîêàçàòü è
íåðàâåíñòâà èíîãî òèïà. Ïðèâåäåì ïðèìåð.
Çàäà÷à 7 (Ì1317). Äîêàæèòå äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà
1 IA
ABC íåðàâåíñòâî ⋅ IB⋅IC 8
< ≤ , ãäå I – öåíòð
4 lA ⋅lB ⋅lC
27
âïèñàííîé îêðóæíîñòè, lA, lB,
l C – äëèíû åãî áèññåêòðèñ.
Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì áèññåêòðèñó AL, âûñîòó AH è îïóñòèì
ïåðïåíäèêóëÿð IK íà ñòîðîíó BC (ðèñ.7,à). Èç ïîäîáèÿ
Ðèñ. 7
IA AH − IK
òðåóãîëüíèêîâ LIK è LAH áóäåì èìåòü = .
LA AH
Ïðèìåíÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ÷åðåç
âûñîòó è ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïîëó÷èì îòñþäà
IA b + c
IB a + c IC
= . Àíàëîãè÷íî, =
è =
lA
a + b + c
lB
a + b + c lC
a + b
= . Ïîýòîìó äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî ïåðåïèøåòñÿ
â âèäå < ≤ , ãäå, êàê îáû÷íî, a,
a + b + c
1 ( b + c)( a + c)( a + b) 8
3
4 ( a + b + c)
27
b è c – äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà.
Ïðàâîå íåðàâåíñòâî – ýòî íåðàâåíñòâî Êîøè äëÿ òðåõ
a + b a + c b + c
÷èñåë , , .
2 2 2
Ëåâîå íåðàâåíñòâî ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå
⎛a + b + c⎞⎛a + b + c⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟( a + b + c)
≤ ( a + b)( a + c)( b + c)
.
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
= −
Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü ìíîãî÷ëåíû f ( x) ( x
− ( a + b)) ( x − ( a + c)
)( x − ( b + c ))
è g( x) ( x p) 2
( x 2p)
= − − ,
ãäå p – ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà. Â ñèëó íåðàâåíñòâà
òðåóãîëüíèêà èõ ãðàôèêè ðàñïîëîæåíû òàê, êàê ïîêàçàíî íà
ðèñóíêå 7,á. Ïîýòîìó åäèíñòâåííûé êîðåíü ëèíåéíîé ôóíêöèè
f(x) – g(x) ëåæèò íà îòðåçêå [p;2p] è çíà÷åíèå f(0) –
– g(0) ìåíüøå 0, îòêóäà ñëåäóåò ëåâîå íåðàâåíñòâî.
40-53.p65 46
09.06.10, 11:11

Óïðàæíåíèÿ
20 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1991). Äîêàæèòå, ÷òî
1 ab + ac + bc 1
åñëè a, b, c – äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, òî < ≤
2 .
4 ( a + b + c)
3
21. Ïóñòü a, b, c – ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, u = a + b – c,
v =a + c – b, w = b + c – a. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
uvw
abc
≤
.
uv + uw + vw ab + ac + bc
Ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè
Çàäà÷à 8 (Íåçàâèñèìûé ìîñêîâñêèé óíèâåðñèòåò, 2003).
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c
a b c
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî + + < 2.
a + b b + c c + a
Ðåøåíèå. Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà çàìåòíî
óïðîùàåòñÿ, åñëè â êàæäûé çíàìåíàòåëü äîáàâèòü íåäîñòàþùóþ
ïåðåìåííóþ. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
a + cx b + ax c + bx
f( x)
= + +
(÷èñëèòåëè ïîäîáðàíû
òàê, ÷òîáû ïðè x = 1, êîãäà çíàìåíàòåëè îäèíàêîâû,
a + b + cx b + c + ax c + a + bx
ïîëó÷èëàñü äâîéêà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà).
Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ïîëó÷àåòñÿ «ñëîæåíèåì» òðåõ ãèïåðáîë,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèÿì 1 ( ) a + cx
f x = =
a b cx
1 −
+ +
b
−
è ò.ä., à ïîòîìó âûãëÿäèò òàê, êàê íà ðèñóíêå 8.
a + b + cx
Ðèñ. 8
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ
Ôóíêöèÿ f(x) èìååò òðè òî÷êè ðàçðûâà, ëåæàùèå íà
îòðèöàòåëüíîé ïîëîâèíå îñè àáñöèññ. Ýòè òðè òî÷êè äåëÿò
îñü àáñöèññ íà äâà ëó÷à
è äâà îòðåçêà. Íà êàæäîì
èç ýòèõ äâóõ îòðåçêîâ
çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
íåïðåðûâíî ìåíÿþòñÿ îò
−∞ äî +∞ . Ïîýòîìó íà
êàæäîì èç ýòèõ îòðåçêîâ
óðàâíåíèå f(x) = 2
èìååò êîðåíü. Åùå îäèí
êîðåíü x = 1 ëåãêî óãàäûâàåòñÿ.
À äðóãèõ êîðíåé íåò,
ïîòîìó ÷òî ïîñëå óìíîæåíèÿ
óðàâíåíèÿ íà îáùèé
çíàìåíàòåëü (îò
÷åãî ÷èñëî êîðíåé íå
ìîæåò óìåíüøèòüñÿ) ïîëó÷èòñÿ êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå, êîòîðîå
íå ìîæåò èìåòü áîëüøå òðåõ êîðíåé.
Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå îò ñàìîé ïðàâîé òî÷êè ðàçðûâà äî
1 çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ìåíÿþòñÿ îò −∞ äî 2, â ÷àñòíîñòè
f(0) < 2, ÷òî è òðåáóåòñÿ äîêàçàòü.
Ýòè ðàññóæäåíèÿ âåðíû, åñëè âñå òðè ÷èñëà a, b è c
ðàçëè÷íû. Åñëè ñðåäè íèõ åñòü ñîâïàäàþùèå, òî ÷èñëî
îòðåçêîâ áóäåò ìåíüøå, íî è ñòåïåíü óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àþùåãîñÿ
â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = 2 íà íàèìåíüøèé
îáùèé çíàìåíàòåëü, áóäåò íà ñòîëüêî æå ìåíüøå.
Ïîýòîìó îñíîâíîé âûâîä ñîõðàíÿåòñÿ.
Çàäà÷à 9 (Ì182). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a 1
, a2,
…, a n –
ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî
a1 a2
+ + ...
a2 + a3 + ... + an
a1 + a3
+ ... + an
an
n
... + ≥
a + a + ... + a n − 1 .
1 2 n−1
Ðåøåíèå. Ïóñòü A = a1 + a2 + … + an
. Ïîñòðîèì ãðàôèêè
ÊÐÓÆÎÊ
a1 a2
an
ôóíêöèé f( x) = + + ... +
è
Ax −a1 Ax −a2
Ax −an
A
gx ( ) =
(ðèñ. 9).
1
Ax − A
n
Âñå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè
f(x) ëåæàò íà èíòåðâàëå
(0; 1). Îíè
âûðåçàþò íà îñè àáñöèññ
n – 1 îòðåçîê, íà
êàæäîì èç êîòîðûõ çíà-
÷åíèÿ ôóíêöèè ìåíÿþòñÿ
îò −∞ äî +∞ . Íà
âñåõ ýòèõ îòðåçêàõ, êðîìå
îäíîãî, ôóíêöèÿ
g(x) íåïðåðûâíà. Çíà-
÷èò, íà ýòèõ n – 2 îòðåçêàõ
èìååòñÿ ïî îäíîìó Ðèñ. 9
êîðíþ óðàâíåíèÿ f(x)=
= g(x). Êðîìå òîãî, f(0) = g(0) = n. (Âûáîð ôóíêöèè f
âûãëÿäèò äîñòàòî÷íî åñòåñòâåííî, à ôóíêöèÿ g ïîäáèðàëàñü
òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî è, êðîìå òîãî,
ïðè x = 1 åå çíà÷åíèå ðàâíÿëîñü ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà.)
Ïîñëå óìíîæåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x) íà îáùèé çíàìåíàòåëü,
÷ëåíû, ñîäåðæàùèå x , ñîêðàòÿòñÿ, è ïîëó÷èòñÿ
n
óðàâíåíèå ñòåïåíè n – 1, êîòîðîå íå ìîæåò èìåòü áîëåå n –
– 1 êîðíåé. Ïîýòîìó äðóãèõ êîðíåé ó óðàâíåíèÿ f(x) = g(x)
íåò.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü f(x) – g(x) ñîõðàíÿåò çíàê ñïðàâà
îò ïîñëåäíåé òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f(x). À ïîñêîëüêó
â ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè îíà ïîëîæèòåëüíà, îíà
áóäåò ïîëîæèòåëüíîé è ïðè x = 1. Îòñþäà íåìåäëåííî
ñëåäóåò íóæíîå íåðàâåíñòâî.
Óïðàæíåíèÿ
22 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1982). Ïóñòü ÷èñëà x
1 1 2
è y òàêîâû, ÷òî x ≠ y è + =
2 2
. Äîêàæèòå, ÷òî
1 + x 1 + y 1 + xy
xy = 1.
23 (III ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1993). Ïóñòü x ≤ 1 ,
y ≤ 1 , z ≤ 1 , x + y + z = 0. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
x y z
+ + ≥ 0 .
2− x 2− y 2−
z
24 (IV ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû, 1988). Ïóñòü a ≥ 0 ,
b ≥ 0 , c ≥ 0 è a + b + c ≤ 3 . Äîêàæèòå íåðàâåíñòâà
a b c 3 1 1 1
+ + ≤ ≤ + +
2 2 2
.
1+ a 1+ b 1+
c 2 1+ a 1+ b 1+
c
25. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a 1 ,…, a n ,
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ a1 + … + a n = 1 , è ïîëîæèòåëüíîãî
a1
an
n
÷èñëà x ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî + ... + ≤ .
1+ xa1
1+ xan
n + x
26. Ïóñòü 0 ≤ a1, …, a n < 1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
a1
an
n( a1
+ ... + an)
+ ... + ≥
1− a 1 − a n − ( a + ... + a ) .
1 n
1
27 (Ëåíèíãðàäñêàÿ îëèìïèàäà, 1993). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ
ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a k
, b k
(k = 1, 2, …, n) âûïîëíåíî
n
ab k k AB
n
n
íåðàâåíñòâî ∑ ≤ , ãäå A = k,
k
k=
1
ak
+ bk
A + B
∑a B = ∑ b .
k= 1 k=
1
28 (Ëåíèíãðàäñêàÿ îëèìïèàäà, 1990). ×èñëà a, b è c ëåæàò íà
a b c
îòðåçêå [0;1]. Äîêàæèòå, ÷òî + + ≤ 2 .
1+ bc 1+ ac 1+
ab
n
47
40-53.p65 47
09.06.10, 11:12

48 ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
«ÊÂÀÍÒÀ»
Êàóñòèêè
íà ïëîñêîñòè è
â ïðîñòðàíñòâå
À.ÀÍÄÐÅÅÂ, À.ÏÀÍÎÂ
ÊÀÓÑÒÈÊÈ – ÝÒÎ ÂÅÇÄÅÑÓÙÈÅ ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÎÂÅÐÕíîñòè
è êðèâûå, âîçíèêàþùèå ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè
ñâåòà. Êàóñòèêè ìîæíî îïèñàòü êàê ëèíèè èëè ïîâåðõíîñòè,
âäîëü êîòîðûõ êîíöåíòðèðóþòñÿ ñâåòîâûå ëó÷è.
Êàóñòèêè íà ïëîñêîñòè (2D êàóñòèêè)
Ñíà÷àëà ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò, êîãäà âñå ñâåòîâûå
ëó÷è è êðèâàÿ, îò êîòîðîé îíè îòðàæàþòñÿ, ëåæàò â îäíîé
ïëîñêîñòè. Ñàìûé âàæíûé ïðèìåð – ýòî îòðàæåíèå ïàðàëëåëüíûõ
ëó÷åé îò îêðóæíîñòè. Âîçíèêàþùàÿ çäåñü êàóñòèêà
– ÿðêàÿ ëèíèÿ ñ îñòðèåì, ðàñïîëîæåííûì ìåæäó âåðøèíîé
è öåíòðîì çåðêàëà (ðèñ.1).
Ðèñ.3. Êàæäûé èç
îòðàæåííûõ ëó÷åé
êàñàåòñÿ êàóñòèêè
ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé â êàæäîé ïàðå ïîñëå
îòðàæåíèÿ (ðèñ.2). Åñëè ÷èñëî ëó÷åé
óâåëè÷èâàòü, òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè
ïîïàðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ áóäóò óìåíüøàòüñÿ.
Òî÷êè áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ âñå
áëèæå äðóã ê äðóãó è â ïðåäåëå çàïîëíÿò
êàóñòè÷åñêóþ êðèâóþ.
Ýòî îäèí ñïîñîá ïîíÿòü, êàê óñòðîåíà
êàóñòèêà. Äðóãîé ñïîñîá óâèäåòü êàóñòèêó
– ýòî íàðèñîâàòü ìíîãî ëó÷åé. Íà
ïîëó÷åííîì òàêèì îáðàçîì ðèñóíêå êàóñòèêà
âûäåëÿåòñÿ êàê êðèâàÿ, êîòîðîé
êàñàþòñÿ âñå îòðàæåííûå ëó÷è (ðèñ.3).
Ýòî ïðîñòî äðóãîå ïðîÿâëåíèå òîé æå
ñàìîé êîíöåíòðàöèè ñâåòîâîé ýíåðãèè –
êàæäûé ñâåòîâîé ëó÷ êàñàåòñÿ êàóñòèêè,
çíà÷èò, ïðîõîäèò âäîëü íåå çíà÷èòåëüíóþ
÷àñòü ñâîåãî ïóòè è «îòäàåò» åé áîëüøóþ ÷àñòü ñâîåé
ýíåðãèè. Ëèíèÿ, êîòîðàÿ êàñàåòñÿ êàæäîé ïðÿìîé èç íåêîòîðîãî
ñåìåéñòâà ïðÿìûõ, ÿâëÿåòñÿ îãèáàþùåé ýòîãî ñåìåéñòâà.
Òàê ÷òî êàóñòèêà – ýòî îãèáàþùàÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàóñòèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñòîâ, íà
êîòîðûé íàíèçàíû âñå ñâåòîâûå ëó÷è.
Êàê ñàìèì ìîæíî íàðèñîâàòü ïðåäûäóùèå êàðòèíêè
Äîñòðîèì çåðêàëî äî ïîëíîé îêðóæíîñòè (ðèñ.4). Òîãäà èç
òîãî, ÷òî «óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ», ñëåäóåò, ÷òî
Ðèñ.4. Õîðäû AB è BA′ ðàâíû, îòðàæåííûé ëó÷ íàïðàâëåí âäîëü
âåêòîðà (–ñosϕ, sin2ϕ)
Ðèñ.1. Êàóñòèêà ïðè îòðàæåíèè îò îêðóæíîñòè
Åñëè ìû èìååì äåëî ñ ïàðàáîëîé, òî âñå ëó÷è, ïàðàëëåëüíûå
åå îñè, ïîñëå îòðàæåíèÿ ñîáèðàþòñÿ â îäíîé òî÷êå –
ôîêóñå ïàðàáîëû. Äëÿ îêðóæíîñòè è äëÿ äðóãèõ çåðêàë ýòî
íå òàê, îòðàæåííûå ëó÷è íå ñõîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå. Íî êîãäà
íà çåðêàëî ïàäàåò óçêèé ïó÷îê ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé, òî ïîñëå
îòðàæåíèÿ îí ñòàíîâèòñÿ ñõîäÿùèìñÿ. Èíûìè ñëîâàìè,
îòðàæåííûé ïó÷îê öåëèêîì íå ñõîäèòñÿ â îäíîé òî÷êå, íî
óçêèå ïó÷êè, ñîñòîÿùèå
èç áëèçêèõ ëó÷åé, áóäóò
ñõîäÿùèìèñÿ. Òî÷êè,
â êîòîðûõ îíè ñõîäÿòñÿ,
ýòî òî÷êè êîíöåíòðàöèè
ýíåðãèè,
èìåííî èç íèõ è ñîñòîèò
êàóñòèêà. Ýòè ñîîáðàæåíèÿ
ïîçâîëÿò íàì
íàðèñîâàòü êàóñòèêó.
Çàïóñòèì íà êðóãëîå
çåðêàëî áîëüøîå êîëè-
Ðèñ.2. Ñëåâà íà çåðêàëî çàïóøåíû 14
ëó÷åé, ñïðàâà – 102 ëó÷à, è îòìå÷åíû
òî÷êè èõ ïîïàðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ
÷åñòâî ïàðàëëåëüíûõ
ëó÷åé. Ðàçîáüåì èõ íà
ïàðû è îòìåòèì òî÷êè
õîðäû ÀÂ è BA′ , âûñåêàåìûå ïàäàþùèì è îòðàæåííûì
ëó÷àìè, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Òàê ÷òî íóæíî ñ ïîìîùüþ
öèðêóëÿ íàðèñîâàòü îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå  è
ðàäèóñîì À è îòìåòèòü åå ïåðåñå÷åíèå ñ çåðêàëîì – òî÷êó
A′ , à ïîòîì ïî ëèíåéêå ïðîâåñòè îòðàæåííûé ëó÷ BA′ . Åñëè
äëÿ ðèñîâàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ êîìïüþòåð, òî òóò íóæíî çíàòü,
÷òî ãîðèçîíòàëüíûé (èäóùèé ïàðàëëåëüíî îñè àáñöèññ)
ñâåòîâîé ëó÷, îòðàæåííûé â òî÷êå åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè
( cos ϕ,sin
ϕ ) ñ óãëîâîé êîîðäèíàòîé ϕ , íàïðàâëåí âäîëü
âåêòîðà ( −cos 2 ϕ,sin − 2ϕ ). Ýòî ïîçâîëÿåò íàðèñîâàòü âñå
îòðàæåííûå ëó÷è. À åñëè ìû åùå õîòèì äîáðàòüñÿ îò
îêðóæíîñòè äî êàóñòèêè, òî ðàññòîÿíèå, êîòîðîå íóæíî
ïðîéòè âäîëü ýòîãî âåêòîðà, ðàâíî ( cos ϕ ) 2 . Òàêèì îáðàçîì,
òî÷êè, ëåæàùèå íà êàóñòèêå, áóäóò èìåòü êîîðäèíàòû
⎛ cos ϕ
cos ϕ ⎞
⎜cos ϕ− cos 2 ϕ,sin ϕ− sin 2ϕ⎟
⎝ 2 2
.
⎠
Ýòî õîðîøî èçâåñòíàÿ êðèâàÿ (åå îïèñûâàåò ôèêñèðîâàííàÿ
òî÷êà îêðóæíîñòè, êàòÿùåéñÿ ñíàðóæè ïî áîëüøåé â äâà ðàçà
îêðóæíîñòè), îíà èìååò ñîáñòâåííîå èìÿ – íåôðîèäà.
Êàóñòèêè â ïðîñòðàíñòâå (3D êàóñòèêè)
Âñå ãîðàçäî ñëîæíåå è ãîðàçäî èíòåðåñíåå â òðåõìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå. Òàì íà êàæäîì îòðàæåííîì ëó÷å åñòü äâå
òî÷êè êîíöåíòðàöèè ýíåðãèè.  ýòîì ñìûñëå ìîæíî ñêàçàòü,
40-53.p65 48
09.06.10, 11:12

ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»
49
÷òî êàóñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîèò èç äâóõ
ëèñòîâ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà âîçüìåì îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü
âèäà
2 2
z = x + 2y
è îñâåòèì åå ñâåðõó ïó÷êîì, èäóùèì ïàðàëëåëüíî îñè z. Åñëè
îãðàíè÷èòüñÿ ïëîñêîñòüþ y = 0, òî ìû èìååì îòðàæåíèå îò
2
ïàðàáîëû z = x , à â ïëîñêîñòè x = 0 îòðàæåíèå èäåò îò
2
ïàðàáîëû z = 2y
. Ýòî ðàçíûå ïàðàáîëû, è ëó÷è îò íèõ
ñôîêóñèðóþòñÿ íà ðàçíûõ âûñîòàõ, â ðàçíûõ òî÷êàõ îñè z.
Îäíà èç òî÷åê áóäåò ëåæàòü íà îäíîì ëèñòå êàóñòè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè, äðóãàÿ – íà äðóãîì.
 ïîñëåäíèå ãîäû â Èíòåðíåòå ïîÿâèëèñü ôîòîãðàôèè
ÿðêèõ ÷åòûðåõóãîëüíûõ çâåçä íà ñòåíàõ äîìîâ (ðèñ.5). Ýòî
÷åòûðåõóãîëüíóþ çâåçäó íà ôîíå ìåíåå ÿðêîãî îâàëà (ðèñ.7,á),
÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì ôîòîãðàôèÿì. ×åòûðå îòñóòñòâóþùèõ
ïî ñðàâíåíèþ ñ ëåâûì ðèñóíêîì ëó÷à îêàçàëèñü
îòðåçàííûìè îò çâåçäû èç-çà òîãî, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì
îòðàæåíèå òîëüêî îò îãðàíè÷åííîãî êóñêà ïîâåðõíîñòè – îò
êâàäðàòíîãî îêíà.
Òåïåðü íàðèñóåì ñàìó êàóñòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ
ýòîé îïòè÷åñêîé êàðòèíå. Îíà íà ñàìîì äåëå
ñîñòîèò èç äâóõ ëèñòîâ. Íà ðèñóíêå 8 öâåòîì çàêîäèðîâàíî
Ðèñ.8. Äâà âèäà íà êàóñòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü
Ðèñ.5. Îòðàæåíèå îò ïëàñòèêîâûõ îêîí
ðåçóëüòàò îòðàæåíèÿ ñîëíå÷íîãî ñâåòà îò ïëàñòèêîâûõ îêîí
èç ðàñïîëîæåííûõ íàïðîòèâ äîìîâ. Â ïëàñòèêîâûõ îêíàõ
ïðîìåæóòîê ìåæäó ñòåêëàìè ãåðìåòèçèðóåòñÿ, è îòòóäà
÷àñòè÷íî âûêà÷èâàåòñÿ
âîçäóõ. Çà ñ÷åò ïåðåïàäà
äàâëåíèÿ ñòåêëà äåôîðìèðóþòñÿ
âíóòðü
ñòåêëîïàêåòà è ïðèîáðåòàþò
âèä, ïðåäñòàâëåííûé
íà ðèñóíêå 6
Ðèñ.6. Çà ñ÷åò ïåðåïàäà äàâëåíèÿ ñòåêëà
ïðîãèáàþòñÿ âíóòðü
ðàñòÿíóòî âäîëü âåðòè-
(èçîáðàæåíèå ñèëüíî
êàëüíîé îñè). Òàêóþ ïîâåðõíîñòü
ìîæíî õîðîøî ïðèáëèçèòü ãðàôèêîì ôóíêöèè
k
z =−
2 2
( 1 + mx )( 1
,
+ my )
ïîäîáðàâ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòîÿííûå k è m.
Åñëè îãðàíè÷åííûé êóñîê òàêîé ïîâåðõíîñòè – «îêíî» –
îñâåòèòü ïàäàþùèì ñâåðõó ïó÷êîì ïàðàëëåëüíûé ëó÷åé, à íà
ïóòè îòðàæåííûõ ëó÷åé ïîñòàâèòü ýêðàí, òî ïðè íåáîëüøîì
óäàëåíèè îò îêíà ìû óâèäèì íà ýêðàíå êàðòèíó, îñíîâíûì
ôðàãìåíòîì êîòîðîé ñëóæèò âîñüìèóãîëüíàÿ çâåçäà (ðèñ.
7,à). Ïðè áîëüøåì óäàëåíèè ýêðàíà ìû óâèäèì íà íåì
Ðèñ.7. Èçîáðàæåíèå íà ýêðàíå – ñòåíå äîìà – ïðè ìàëîì óäàëåíèè
(à) è ïðè áîëüøåì óäàëåíèè (á)
Ðèñ.9. Êàóñòèêè, âîçíèêàþùèå ïðè ïðåëîìëåíèè ñâåòà, ñàìûé ÿðêèé
ýëåìåíò – ÷åòûðåõóãîëüíàÿ çâåçäà
óäàëåíèå òî÷åê êàóñòèêè îò îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè: ñèíèå
òî÷êè íàõîäÿòñÿ áëèæå ê íåé, êðàñíûå – äàëüøå îò íåå.
Ñå÷åíèå îäíîãî èç ëèñòîâ êàóñòèêè – âîñüìèóãîëüíàÿ çâåçäà,
ñå÷åíèå äðóãîãî – ãðàíèöà îêðóæàþùåãî çâåçäó îâàëà.
Êàóñòèêè ìîãóò îáðàçîâûâàòüñÿ íå òîëüêî ïðè îòðàæåíèè,
íî è ïðè ïðåëîìëåíèè ñâåòà, ñêàæåì íà ïîâåðõíîñòè âîäû.
Íà ôîòîãðàôèÿõ, âîñïðîèçâåäåííûõ íà ðèñóíêå 9, ñîëíå÷íûå
ëó÷è ïðåëîìëÿþòñÿ ëèáî íà âîçäóøíîì ïóçûðüêå, ëèáî
íà ìåíèñêå, âîçíèêàþùåì èç-çà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ
íà èãîëêå, ïîãðóæåííîé â âîäó. È òóò è òàì íà äíå ìû âèäèì
íåáîëüøóþ ÷åòûðåõóãîëüíóþ çâåçäó.
Ñìîäåëèðóåì ýòî ÿâëåíèå, çàäàâ ïðåëîìëÿþùóþ ïîâåðõíîñòü
(ðèñ.10) óðàâíåíèåì
( 2 y
2
)
kx
= .
z e − +
Çàôèêñèðóåì ïîñòîÿííóþ k è óãîë ïàäåíèÿ ñîëíå÷íûõ ëó÷åé
α è âñïîìíèì, ÷òî äëÿ âîäû ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n =
= 1,33. Ñ ïîìîùüþ çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ sin α= n sin β ìîæíî
ðàññ÷èòàòü íàïðàâëåíèå ïðåëîìëåííûõ ëó÷åé – óãîë β – è,
çíà÷èò, ïîñòðîèòü êàðòèíó, êîòîðóþ ôîðìèðóþò ëó÷è íà
ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì
ïîä ïîâåðõíîñòüþ âîäû
– íà äíå ñîñóäà. Îò÷åòëèâî
âèäíà òà æå ñàìàÿ
àñèììåòðè÷íàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ
çâåçäà (ðèñ.
11), ÷òî è íà ôîòîãðàôèè
(ñì. ðèñ.9).
Ðèñ.10. Âçäóòèå íà ïîâåðõíîñòè âîäû,
èìèòèðóþùåå ïóçûðåê èëè ìåíèñê
40-53.p65 49
09.06.10, 11:13

50
Ðèñ.11. Èçîáðàæåíèå íà ýêðàíå – íà
äíå ñîñóäà
À âîò è ñîîòâåòñòâóþùàÿ
êàóñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü
äëÿ ïðåëîìëåííûõ
ëó÷åé (ðèñ.12).
Ñèíèå òî÷êè ðàñïîëîæåíû
áëèæå ê ïîâåðõíîñòè
âîäû, êðàñíûå
áîëåå óäàëåíû îò íåå.
Ñå÷åíèå âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè
– ÷åòûðåõóãîëüíàÿ
çâåçäà, à âíåøíåé
– ãðàíèöà îâàëà, ñîäåðæàùåãî ýòó çâåçäó.
 çàêëþ÷åíèå – íàøè ðåêîìåíäàöèè äëÿ äàëüíåéøåãî
÷òåíèÿ.
1. Îá îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïàðàáîëû è äðóãèõ êðèâûõ
ìîæíî ïðî÷èòàòü â êíèãå À.Ã.Äîðôìàíà «Îïòèêà êîíè÷åñêèõ
ñå÷åíèé» (Ïîïóëÿðíûå ëåêöèè ïî ìàòåìàòèêå, âûïóñê
31. – Ì.: Ôèçìàòëèò, 1950).
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
2. Êàê çàïèñàòü óðàâíåíèå
îãèáàþùåé, ìîæíî
óçíàòü â êíèãå
Â.Ã.Áîëòÿíñêîãî «Îãèáàþùàÿ»
(Ïîïóëÿðíûå
ëåêöèè ïî ìàòåìàòèêå,
âûïóñê 36. – Ì.: Ôèçìàòëèò,
1961).
3. Íàêîíåö, îá îñîáåííîñòÿõ
óñòðîéñòâà
êàóñòè÷åñêèõ êðèâûõ è
êàóñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé
âû ìîæåòå ïðî÷èòàòü
â êíèãå Â.È.Àðíîëüäà
«Òåîðèÿ êàòàñòðîô»
(Ì.: Íàóêà,
1990).
Ðèñ.12. Êàóñòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü, îáðàçóþùàÿñÿ
ïðè ïðåëîìëåíèè íà âîçäóøíîì
ïóçûðüêå
Íåðàâåíñòâî
Êîøè
â çàäà÷àõ ïî ôèçèêå
Â.ÃÐÅÁÅÍÜ
ÈÇ ØÊÎËÜÍÎÃÎ ÊÓÐÑÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÈÇÂÅÑÒÍÎ ÒÀÊÎÅ
íåðàâåíñòâî:
a + b
a + b ≥ 2 ab , èëè ≥ ab
2
– ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a è
b íå ìåíüøå, ÷åì èõ ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå, ïðè÷åì ðàâåíñòâî
äîñòèãàåòñÿ ïðè a = b. Ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàþò
íåðàâåíñòâîì Êîøè. Ïîëåçíî çíàòü íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç
íåãî. Âî-ïåðâûõ, ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ ïåðåìåííûõ,
ñóììà êîòîðûõ ïîñòîÿííà, èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå
òîãäà, êîãäà ýòè ïåðåìåííûå ðàâíû äðóã äðóãó. Âîâòîðûõ,
àíàëîãè÷íî, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñóììû äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ
ïåðåìåííûõ, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ïîñòîÿííî,
äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàâåíñòâå ïåðåìåííûõ.
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå íåðàâåíñòâà Êîøè ïðè ðåøåíèè
êîíêðåòíûõ çàäà÷ ïî ôèçèêå.
Çàäà÷à 1. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ
v 0min
ñëåäóåò áðîñèòü ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó êàìåíü,
÷òîáû îí äîñòèã âûñîòû h ×åìó ðàâíî âðåìÿ ïîäúåìà
êàìíÿ t äî ýòîé âûñîòû
Ðåøåíèå. Ñîâìåñòèì íà÷àëî îòñ÷åòà âåðòèêàëüíîé îñè ÎY
ñ òî÷êîé áðîñàíèÿ. Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàìíÿ ïî
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
âåðòèêàëè ïðèìåò âèä
gt
y = v0tsin
α − .
2
 ìîìåíò, êîãäà êàìåíü íàõîäèòñÿ íà óêàçàííîé âûñîòå,
ó = h. Âûðàçèì èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü
v è ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè:
0
v
0
= gt h gt h 2gh
2
2sin α + tsin α ≥ 2sin α tsin α = sin α .
Îòñþäà íàõîäèì ìèíèìàëüíóþ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü êàìíÿ:
2
2gh
v 0min =
sin α ,
ïðè÷åì ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè óñëîâèè
gt h
=
2sinα t sinα .
Èç ýòîãî óñëîâèÿ ìîæíî óçíàòü âðåìÿ ïîäúåìà êàìíÿ íà
âûñîòó h:
2h
t = .
g
Çàäà÷à 2. Êîíüêîáåæåö ïðîõîäèò äèñòàíöèþ l = 500 ì ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v, à çàòåì òîðìîçèò ñ óñêîðåíèåì
2
a = 0,05 ì ñ . Ïðè êàêîé ñêîðîñòè v âðåìÿ äâèæåíèÿ
êîíüêîáåæöà äî îñòàíîâêè íàèìåíüøåå
Ðåøåíèå. Âðåìÿ äâèæåíèÿ, î÷åâèäíî, ñîñòîèò èç äâóõ
ñëàãàåìûõ: âðåìåíè äâèæåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ è
âðåìåíè ðàâíîçàìåäëåííîãî äâèæåíèÿ äî ïîëíîé îñòàíîâêè:
l v l v l
t = + ≥ 2 = 2 .
v a v a a
Ïîíÿòíî, ÷òî íàèìåíüøåå âðåìÿ äâèæåíèÿ
tmin = 2 l = 200 c ≈ 3, 3 ìèí
a
äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàâåíñòâå ñëàãàåìûõ, ò.å. ïðè
v = la = 5ìñ.
40-53.p65 50
09.06.10, 11:13

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
51
Ðèñ. 1
Çàäà÷à 3. Íåáîëüøîé
øàðèê ñâîáîäíî ïàäàåò
èç òî÷êè À íà ìàññèâíóþ
ïëèòó, îðèåíòèðîâàííóþ
ïîä óãëîì
α= 45° ê ãîðèçîíòó
(ðèñ.1). Ïîñëå óïðóãîãî
îòðàæåíèÿ îò ïëèòû
øàðèê ïàäàåò íà
ïîâåðõíîñòü çåìëè â
òî÷êå Ñ íà ðàññòîÿíèè
s îò âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé ÀÂ. Íà êàêîé âûñîòå h íåîáõîäèìî
ðàñïîëîæèòü ïëèòó (íå ìåíÿÿ åå îðèåíòàöèè), ÷òîáû
ðàññòîÿíèå s áûëî ìàêñèìàëüíûì, åñëè À = H ×åìó ðàâíî
s Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå. Èñõîäÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, îïðåäåëèì
ñêîðîñòü øàðèêà ïåðåä óäàðîì î ïëèòó:
2
mv
2
( ), 2 ( )
= mg H − h v = g H − h .
Ïîñëå óäàðà ñêîðîñòü øàðèêà ïî ìîäóëþ îñòàíåòñÿ íåèçìåííîé,
íî íàïðàâëåíèå èçìåíèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîå. Ïî
ãîðèçîíòàëè øàðèê ïðîëåòèò ðàññòîÿíèå s = vt, ãäå t – âðåìÿ
ïàäåíèÿ øàðèêà íà çåìëþ ïîñëå óäàðà, à ïî âåðòèêàëè –
2
gt
h = . Òîãäà
2
2h
s = 2g( H − h) = 2 h( H −h)
≤ h + ( H − h) = H = const .
g
Åñëè ñóììà ñëàãàåìûõ ïîñòîÿííà, òî ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå
äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè ðàâåíñòâå ìíîæèòåëåé:
H
h = H – h, îòêóäà h = .
2
Çàäà÷à 4. Äàíû n ãàëüâàíè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ (ðèñ.2)
ñ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé êàæäîãî E è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì
r. Âñå ýëåìåíòû ñîåäèíåíû â k ãðóïï ïî
Ðèñ. 2
n/k ýëåìåíòîâ â ãðóïïå, ïðè÷åì â êàæäîé ãðóïïå ýëåìåíòû
ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, à ãðóïïû ìåæäó ñîáîé – ïîñëåäîâàòåëüíî.
×åìó äîëæíî áûòü ðàâíî k, ÷òîáû ïîëó÷èòü
ìàêñèìàëüíóþ ñèëó òîêà âî âíåøíåì ñîïðîòèâëåíèè
R
Ðåøåíèå. Çíàÿ, ÷òî ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè îäèíàêîâûõ
ýëåìåíòîâ ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà íå èçìåíÿåòñÿ,
à âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå óìåíüøàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî
÷èñëó ýëåìåíòîâ, íàéäåì, ÷òî êàæäóþ ãðóïïó ìîæíî
çàìåíèòü îäíèì ýëåìåíòîì ñ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé E è
âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì kr/n. Äàëåå, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå,
÷òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåêòðîäâèæóùàÿ
ñèëà è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå âîçðàñòàþò ïðîïîðöèîíàëüíî
÷èñëó ýëåìåíòîâ, ïîëó÷èì, ÷òî â öåïè ýëåêòðîäâèæóùàÿ
ñèëà áóäåò kE , à âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå
2
krn. Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà äëÿ ïîëíîé öåïè, òîê â öåïè
ðàâåí
kE
Enk
I = =
2
2 .
( krn)
+ R rk + nR
Î÷åâèäíî, ÷òî íàèáîëüøàÿ ñèëà òîêà áóäåò ïðè òàêîì
1
çíà÷åíèè k, ïðè êîòîðîì äðîáü ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå
çíà÷åíèå, à äëÿ ýòîãî çíàìåíàòåëü äðîáè äîëæåí áûòü
nR
kr +
k
ìèíèìàëüíûì. Èñõîäÿ èç íåðàâåíñòâà Êîøè, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ
ðàâåíñòâî
nR
nR
kr = , îòêóäà k = .
k
r
Ïðè ýòîì
nE
E n
Imax
= = .
2 rnR 2 rR
Èíòåðåñíî, à ÷åìó ðàâíî â ýòîì ñëó÷àå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå
áàòàðåè Îíî, êàê ìû âèäåëè, åñòü
2
rk nR
ráàò
= r R
n
= nr
= .
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âàæíîìó âûâîäó:
òîê áàòàðåè îêàçûâàåòñÿ
ìàêñèìàëüíûì òîãäà, êîãäà
åå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå
ðàâíî âíåøíåìó.
Çàäà÷à 5 (XLI Âñåðîññèéñêàÿ
îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ
ïî ôèçèêå). Ïàññàæèðñêèé
ïîåçä äëèíîé l ñòîÿë
íà ïåðâîì ïóòè. Â ïîñëåäíåì
âàãîíå ñèäåë Äÿäÿ Ôåäîð
(ãåðîé êíèãè Ý. Óñïåíñêîãî
«Êàíèêóëû â Ïðîñòîêâàøèíî»)
è îæèäàë ïèñüìî,
êîòîðîå åìó äîëæåí áûë
ïåðåäàòü Øàðèê îò êîòà Ðèñ. 3
Ìàòðîñêèíà. Â òîò ìîìåíò,
êîãäà ïîåçä òðîíóëñÿ,
íà ïðèâîêçàëüíîé ïëîùàäè
êàê ðàç íàïðîòèâ
ïåðâîãî âàãîíà ïîÿâèëñÿ
Øàðèê (ðèñ.3). Îí îïðåäåëèë,
÷òî ðàññòîÿíèå äî
ïîñëåäíåãî âàãîíà ðàâíî L.
Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ
v 0 äîëæåí áåæàòü
ïåñ, ÷òîáû ïåðåäàòü ïèñüìî,
åñëè ïîåçä äâèæåòñÿ ñ
ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì à
Ðåøåíèå. Ïóñòü âñòðå÷à
Øàðèêà ñ ïîñëåäíèì âàãîíîì
ïðîèçîøëà â òî÷êå D
Ðèñ. 4
(ðèñ.4).Òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ è ÀÂD – ïðÿìîóãîëüíûå. Òîãäà,
èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ïèôàãîðà, ìîæíî çàïèñàòü
2 2 2 2 2
AB = AC − CB = AD − DB ,
èëè
2
2
2 2 2 2
⎛at
⎞
L − l = v0t − ⎜
−l
2 ⎟
.
⎝ ⎠
Îòñþäà âûðàçèì êâàäðàò íà÷àëüíîé ñêîðîñòè:
2 2 2
2 L a t
v0 = + − al
2
.
t 4
40-53.p65 51
09.06.10, 11:13

52
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñêîðîñòü v 0 áûëà ìèíèìàëüíîé, íåîáõîäèìî,
÷òîáû ñóììà +
2 2 2
L a t
2 ïðèíèìàëà ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå.
Èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî
t 4
Êîøè:
è ïîëó÷àåì
v0
= a L− l .
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü äîñòèãàåòñÿ
ïðè óñëîâèè
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Çíà÷èò, DC = CÀ = L, ò.å. òðåóãîëüíèê ACD – ðàâíîáåäðåííûé,
è
Ïîëó÷èëè, ÷òî Øàðèêó ñëåäóåò áåæàòü ïîä óãëîì
α= arctg L l
L
Çàäà÷à 6. Îïðåäåëèòå, ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì êîýôôèöèåíòå
òðåíèÿ µ îäíîðîäíîãî òîíêîãî ñòåðæíÿ î ïîë
÷åëîâåê ìîæåò ìåäëåííî áåç
ïðîñêàëüçûâàíèÿ ïîäíÿòü åãî
ñ ïîëà äî âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ,
ïðèëàãàÿ ê êîíöó
ñòåðæíÿ ñèëó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
åìó.
Ðåøåíèå. Íàéäåì çàâèñèìîñòü
ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ
Ðèñ. 5
Îòñþäà ïîëó÷èì
Fòð
cos αsin α sin αcos
α
µ= = = =
2 2 2
N sin α+ 1 2 sin α+ cos α
α
L 2 a 2 t 2 2 2 2
+ ≥ 2
L a t
= =
2
= La
2tg α+ 1
2 2
2tg
t 4 t 4
( )
1 1
2tg α+ ≥2 2tg α = 2 2 .
tg α tg α
2 2 2
L a t
2
Òàêèì îáðàçîì,
=
at
2 , èëè L = .
t 4
2
µ≤ 1 2
0,35
2 2
= 4
≈ .
2
BD L − l
çíà÷åíèå µ òðåáóåòñÿ ïðè tg
tg α= =
AB 2 2 .
2
L − l
−
ê ÀÂ ñî ñêîðîñòüþ v ( )
2 2
0 = a L− l .
− l
÷àñòèöû.
Ðåøåíèå. Ïóñòü m 1 è 2
ñîîòâåòñòâåííî, v 0 è 1
ñòîëêíîâåíèÿ, v 2 – ñêîðîñòü
äåéòðîíà ïîñëå
ñòîëêíîâåíèÿ, δ è ϕ –
óãëû îòêëîíåíèÿ α -÷àñòèöû
è äåéòðîíà îò
íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
α -÷àñòèöû äî ñòîëêíîâåíèÿ
(ðèñ.6). Çàïèøåì
çàêîí ñîõðàíåíèÿ
F Ðèñ. 6
òð
µ= , ãäå N – âåðòèêàëüíàÿ
ñèëà ðåàêöèè ïîëà, ïðè
N
êîòîðîì íå áóäåò ïðîñêàëüçûâàíèÿ,
îò óãëà ïîäúåìà
mv 1 0= mv 1 1cos
δ + mv 2 2cos
ϕ , mv 1 1sin
mv 2 2
ñòåðæíÿ α (ðèñ.5).
èëè, ïîñêîëüêó m1 = 2m2
,
 êà÷åñòâå îñè âðàùåíèÿ
âîçüìåì òî÷êó À ïåðåñå÷åíèÿ
2v0 = 2v1cosδ + v2cosϕ, 2v1sinδ= v2sinϕ.
ëèíèé, âäîëü êîòîðûõ äåé-
è mg . Îòíîñèòåëüíî òî÷êè À ìîìåíòû
âûðàçèì v 2 cos
êâàäðàòîì âòîðîãî ðàâåíñòâà:
F òð , ò.å. äëèíó îòðåçêà ÀÂ. Ïóñòü äëèíà
( ) 2 2 2 2 2 2 2
4 v0 −v1cosδ = v2
cos ϕ, 4v1 sin v2
sin
îòêóäà
l l 2 l ⎛ 1 ⎞
= sin α + = ⎜sin
α + ⎟
2 sin α 2 ⎝ sin α⎠ .
2 2 2 2 2 2
4v1 sin δ+ 4v0 −8v0v1cos δ+ 4v1 cos δ= v2
,
èëè
2 2 2
4v1 + 4v0 −8v0v1cosδ = v2
.
l
Òåïåðü ïðèìåíèì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè:
CB = cos α.
2
2 2 2
mv 1 0 mv 1 1 mv 2 2
= +
2 2 2
, èëè 2v0 = 2v1 + v2
.
2 2 2
l
l ⎛ 1 ⎞
N cos α= Fòð
⎜sin
α+ ⎟
2 2⎝ sinα
⎠ . 2 2
3v1 −4v0v1cosδ + v0
= 0,
ñòâóþò ñèëû F
ïðèëîæåííîé ñèëû F è ñèëû òÿæåñòè mg ðàâíû íóëþ,
ïîñêîëüêó ïëå÷è ýòèõ ñèë ðàâíû íóëþ. Îïðåäåëèì ïëå÷î
ñèëû òðåíèÿ
ñòåðæíÿ l, òîãäà
AB
Ïëå÷î ñèëû ðåàêöèè N – ýòî îòðåçîê ÑÂ:
Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé
òî÷êè À:
tg 1
.
1
α+
tg α
Äðîáü ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå, êîãäà çíàìåíàòåëü
ìèíèìàëåí. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì Êîøè:
 õîäå ïîäúåìà òðóáû µ íå ïðåâîñõîäèò 0,35. Ìàêñèìàëüíîå
α= , ò.å. ïðè α≈ 35,26°.
Çàäà÷à 7. Êàêîâ ìàêñèìàëüíûé óãîë θ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ
α -÷àñòèöû íà äåéòðîíå Äåéòðîí – ÿäðî èçîòîïà âîäîðîäà
äåéòåðèÿ, ñîñòîèò èç ïðîòîíà è íåéòðîíà, α -÷àñòèöà
– ÿäðî ãåëèÿ, ñîñòîèò èç äâóõ ïðîòîíîâ è äâóõ íåéòðîíîâ.
Ñ÷èòàéòå, ÷òî ìàññà äåéòðîíà â äâà ðàçà ìåíüøå ìàññû α -
m – ìàññû α -÷àñòèöû è äåéòðîíà
v – ñêîðîñòè α -÷àñòèöû äî è ïîñëå
èìïóëüñà â ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîíòàëüíîå è âåðòèêàëüíîå
íàïðàâëåíèÿ:
δ= sin ϕ,
Èçáàâèìñÿ îò óãëà ϕ . Äëÿ ýòîãî èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà
ϕ è âîçâåäåì â êâàäðàò, ïîñëå ÷åãî ñëîæèì ñ
δ= ϕ,
Îòñþäà è èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
èìïóëüñà ïîñëå óïðîùåíèÿ ïîëó÷èì
40-53.p65 52
09.06.10, 11:14

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
53
îòêóäà íàéäåì
2 2
3v1 + v0 1⎛3v1 v0
⎞
cos δ= = ⎜ + ⎟.
4vv 0 1 4⎝
v0 v1⎠
Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè:
1⎛3v1 v0 ⎞ 1 3v1 v0
3
cos δ= ⎜ + ⎟ ≥ = .
4⎝
v0 v1 ⎠ 2 v0 v1
2
Òàê êàê ôóíêöèÿ cos δ íà ïðîìåæóòêå [ 0;π ] óáûâàþùàÿ, äëÿ
ìàêñèìàëüíîãî óãëà ðàññåÿíèÿ ïîëó÷èì
π
6
θ=δ max = .
Çàäà÷à 8.  øèðîêèé ñîñóä ñ æèäêîñòüþ ÷àñòè÷íî ïîãðóæàåòñÿ
ïëîñêèé êîíäåíñàòîð. Êîíäåíñàòîð ïîäêëþ÷åí ê
áàòàðåå, êîòîðàÿ ïîääåðæèâàåò íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà
ïîñòîÿííóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U. Ðàññòîÿíèå ìåæäó
ïëàñòèíàìè d, ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ , åå äèýëåêòðè-
÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ε . Íà êàêóþ âûñîòó h ïîäíèìàåòñÿ
æèäêîñòü â êîíäåíñàòîðå
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì âûñîòó ïëàñòèí ÷åðåç à, à ðàçìåð
ïëàñòèí â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ðèñóíêó 7, ÷åðåç
b. Ðàññìîòðèì ïîëíóþ ýíåðãèþ
ñèñòåìû â çàâèñèìîñòè
îò âûñîòû h æèäêîñòè â êîíäåíñàòîðå.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè
íåêîòîðîì çíà÷åíèè h ýíåðãèÿ
ñèñòåìû áóäåò ìèíèìàëüíîé.
Ýòî è áóäåò óñòàíîâèâøàÿñÿ
âûñîòà ïîäúåìà æèäêîñòè.
Íàøà ñèñòåìà ñîñòîèò èç
èñòî÷íèêà òîêà, êîíäåíñàòîðà
è æèäêîñòè â ãðàâèòàöè-
Ðèñ. 7
îííîì ïîëå Çåìëè. Ýíåðãèþ,
çàïàñåííóþ â áàòàðåå, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
W1 = W0
− CU ,
2
ãäå W 0 – ïåðâîíà÷àëüíûé çàïàñ ýíåðãèè áàòàðåè, à CU –
ýòî ýíåðãèÿ, êîòîðóþ èçðàñõîäîâàëà áàòàðåÿ, çàðÿæàÿ êîíäåíñàòîð
äî íàïðÿæåíèÿ U. Ïðåæäå ÷åì íàõîäèòü ýíåðãèþ
êîíäåíñàòîðà W 2 , îïðåäåëèì åãî åìêîñòü ïðè ïîäúåìå
æèäêîñòè íà âûñîòó h. Ìû èìååì ñèñòåìó äâóõ ïàðàëëåëüíî
ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ, ïîýòîìó îáùàÿ åìêîñòü ðàâíà
èõ ñóììå:
Òîãäà
( )
ε 0 a −h b εε 0 bh ε 0 b
C = + = ( a + h( ε − 1 )).
d d d
2 2
CU ε0bU
2 1
2
( ( ))
W = = a + h ε − .
2 2d
Òàê êàê ñîñóä äîñòàòî÷íî øèðîêèé, ïîñëå âòÿãèâàíèÿ ÷àñòè
æèäêîñòè â êîíäåíñàòîð óðîâåíü æèäêîñòè â ñàìîì ñîñóäå íå
èçìåíèëñÿ çàìåòíûì îáðàçîì. Öåíòð ìàññ æèäêîñòè ìåæäó
h
îáêëàäêàìè íàõîäèòñÿ íà âûñîòå , åñëè çà íóëåâîé óðîâåíü
2
ïðèíÿòü ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè â ñîñóäå. Ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ ïîäíÿòîé æèäêîñòè ñîñòàâëÿåò
2
W3
= ρgdbh .
2
Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ íàøåé ñèñòåìû ðàâíà
W = W1 + W2 + W3 = W0 − W2 + W3
=
2
2
ε0baU
ρgbd
⎛ε0
( ε −1)
U ⎞
= W0 − − h −h
2
.
2d
2 ⎜ ρgd
⎟
⎝
⎠
Òàê êàê íàñ èíòåðåñóåò ìèíèìóì ýíåðãèè, òî âûðàæåíèå
⎛
2
ε0
( ε −1) U ⎞
h
− h
2
äîëæíî ïðèíèìàòü ìàêñèìàëüíîå
⎜ ρgd
⎟
⎝
⎠
çíà÷åíèå. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë, ñóììà êîòîðûõ íåèçìåííà:
⎛ε0( ε − 1 ) U
2 ⎞ ε0( ε − 1 ) U
2
h + − h =
⎜ 2 2
gd ⎟
⎝ ρ ⎠ ρgd
ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå â ñëó÷àå èõ ðàâåíñòâà:
2
ε0
( ε - 1) U
h = - h
2
.
ρgd
Îòêóäà íàõîäèì èñêîìóþ âûñîòó æèäêîñòè â êîíäåíñàòîðå:
2
ε0
( ε −1) U
h =
2 .
2ρgd
Óïðàæíåíèÿ
1. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ v min íóæíî
áðîñèòü ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè çåìëè êàìåíü, ÷òîáû îí
óïàë íà çåìëþ íà ðàññòîÿíèè l = 40 ì îò òî÷êè áðîñàíèÿ
Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü.
2. Äâà æåëåçíîäîðîæíûõ ïóòè ñõîäÿòñÿ â ãîðîäå ïîä óãëîì
α= 60° (ðèñ.8). Ñî ñòàíöèè, íàõîäÿùåéñÿ íà ïåðâîì ïóòè íà
ðàññòîÿíèè l 1 = 32 êì îò ãîðîäà, âûøåë ïî íàïðàâëåíèþ ê íåìó
ïîåçä À. Â òî æå âðåìÿ ñî ñòàíöèè, íàõîäÿùåéñÿ íà âòîðîì ïóòè
íà ðàññòîÿíèè l 2 = 50 êì îò ãîðîäà, âûøåë äðóãîé ïîåçä Â ïî
íàïðàâëåíèþ ê òîìó æå ãîðîäó, íî ñî ñêîðîñòüþ, âäâîå áîëüøåé
ñêîðîñòè ïåðâîãî ïîåçäà. Íàéäèòå,
ãäå áóäåò ïîåçä Â âî âðåìÿ íàèìåíüøåãî
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèì è
ïîåçäîì À, è îïðåäåëèòå ýòî ðàññòîÿíèå.
3. Øàéáà, ñêîëüçèâøàÿ ïî ãëàäêîìó
ïîëó ñî ñêîðîñòüþ
v 0 = 12 ì ñ , ïîäíèìàåòñÿ íà çàêðåïëåííûé
òðàìïëèí, âåðõíÿÿ ÷àñòü
êîòîðîãî ãîðèçîíòàëüíà, è ñîñêàëüçûâàåò
ñ íåãî (ðèñ.9). Ïðè êàêîé
Ðèñ. 8
âûñîòå òðàìïëèíà h äàëüíîñòü ïîëåòà
øàéáû s áóäåò ìàêñèìàëüíîé Êàêîâà ýòà äàëüíîñòü
Ïîòåðÿìè ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè øàéáû ïðè äâèæåíèè ïî òðàìïëèíó
ïðåíåáðå÷ü. Äî îêîí÷àíèÿ òðàìïëèíà øàéáà äâèæåòñÿ íå
îòðûâàÿñü îò åãî ïîâåðõíîñòè.
4. Ïîä êàêèì óãëîì α
ê ãîðèçîíòó íóæíî áðîñèòü
ñ ãîðèçîíòàëüíîé
Ðèñ. 9
ïîâåðõíîñòè çåìëè êàìåíü,
÷òîáû îí ïðè äâèæåíèè
âñå âðåìÿ óäàëÿëñÿ îò òî÷êè áðîñàíèÿ Ñîïðîòèâëåíèå
âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü.
5. Êàêèì äîëæåí áûòü íàèìåíüøèé óãîë íàêëîíà êðûøè äîìà
α , ÷òîáû äîæäåâàÿ âîäà ñ íåå ñòåêàëà êàê ìîæíî áûñòðåå, åñëè
êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí µ
6. Ïîåçä íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì à âäîëü
ïðÿìîëèíåéíîãî ó÷àñòêà ïóòè. Íà ðàññòîÿíèè l îò ïîñëåäíåãî
âàãîíà íà ïåðïåíäèêóëÿðå ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ïîåçäà
íàõîäèòñÿ ïàññàæèð. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ ìîæåò
áåæàòü ïàññàæèð, ÷òîáû äîãíàòü ïîåçä Â êàêîì íàïðàâëåíèè îí
äîëæåí áåæàòü â ýòîì ñëó÷àå Äâèæåíèå ïàññàæèðà ñ÷èòàòü
ðàâíîìåðíûì.
40-53.p65 53
09.06.10, 11:14

54
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
Ïðè Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå â ñîñòàâå
Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
è õèìèêî-áèîëîãè÷åñêîãî ïðîôèëÿ
(ÑÓÍÖ ÍÃÓ) óæå ìíîãî ëåò ðàáîòàåò ñîçäàííàÿ ïî èíèöèàòèâå
àêàäåìèêà Ì.À.Ëàâðåíòüåâà Çàî÷íàÿ øêîëà äëÿ ó÷àùèõñÿ
5–11 êëàññîâ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë. Îðãàíèçîâàííàÿ
â 1963 ãîäó êàê ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ, â íàñòîÿùåå
âðåìÿ Çàî÷íàÿ øêîëà (ÇØ) íàñ÷èòûâàåò 9 îòäåëåíèé: ìàòåìàòè÷åñêîå,
ôèçè÷åñêîå, õèìè÷åñêîå, áèîëîãè÷åñêîå, ðóññêîãî
ÿçûêà, ïñèõîëîãèè, àíãëèéñêîãî, íåìåöêîãî è ôðàíöóçñêîãî
ÿçûêîâ. Îñíîâíûå çàäà÷è ÇØ: îêàçàíèå ïîìîùè â
ôîðìèðîâàíèè è ðàçâèòèè ó øêîëüíèêîâ èíòåðåñà ê åñòåñòâåííûì
è òî÷íûì íàóêàì; ïðåäîñòàâëåíèå âîçìîæíîñòè
ó÷àùèìñÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë, ðàñïîëîæåííûõ â
óäàëåííûõ îò íàó÷íûõ öåíòðîâ ïóíêòàõ è òåððèòîðèÿõ,
óãëóáëåííî çàíèìàòüñÿ ìàòåìàòèêîé, ôèçèêîé, õèìèåé, áèîëîãèåé,
èíîñòðàííûìè ÿçûêàìè; ïîâûøåíèå óðîâíÿ ïðåïîäàâàíèÿ
åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ ïðåäìåòîâ â øêîëå; ìåòîäè-
÷åñêàÿ ïîìîùü ó÷èòåëÿì â ïðåïîäàâàíèè óçëîâûõ ïóíêòîâ
øêîëüíîé ïðîãðàììû è ôàêóëüòàòèâíûõ êóðñîâ.
Åæåãîäíî Îëèìïèàäíûé êîìèòåò ÑÎ ÐÀÍ ïðèãëàøàåò
ëó÷øèõ ó÷åíèêîâ ÇØ â Ëåòíþþ øêîëó, êîòîðàÿ ïðîâîäèòñÿ
â Íîâîñèáèðñêîì Àêàäåìãîðîäêå ñ 3 ïî 23 àâãóñòà, äëÿ
ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå â ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
Ó÷àùèåñÿ ÇØ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî
îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå
âûïóñêíèêîâ Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
Ïðåïîäàâàòåëè îáû÷íûõ è ãèìíàçè÷åñêèõ êëàññîâ â øêîëàõ
Ðîññèè è ñòðàí ÑÍÃ ìîãóò âåñòè ôàêóëüòàòèâíûå çàíÿòèÿ
ïî ïðîãðàììàì Çàî÷íîé øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ. Çàíÿòèÿ ïî
ìàòåìàòèêå ïðîâîäÿòñÿ íà÷èíàÿ ñ 6 êëàññà, ïî ôèçèêå è
õèìèè – íà÷èíàÿ ñ 9 êëàññà, ïî áèîëîãèè – ñ 10 êëàññà.
Ôàêóëüòàòèâíûå ãðóïïû ìîãóò áûòü ñîçäàíû â ëþáîì îáùåîáðàçîâàòåëüíîì
ó÷ðåæäåíèè, åñëè ïðåïîäàâàòåëü îáùåîáðàçîâàòåëüíîãî
ó÷ðåæäåíèÿ ñîîáùèò â ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ î
ñâîåì æåëàíèè îðãàíèçîâàòü ôàêóëüòàòèâíóþ ãðóïïó è ïðåäîñòàâèò
ïîèìåííûé àëôàâèòíûé ñïèñîê îáó÷àþùèõñÿ
(Ô.È.Î. ïîëíîñòüþ, ñ óêàçàíèåì êëàññà òåêóùåãî ó÷åáíîãî
ãîäà), òåëåôîí, ôàêñ è e-mail. Ðàáîòà ðóêîâîäèòåëåé ôàêóëüòàòèâîâ
ìîæåò îïëà÷èâàòüñÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûì ó÷ðåæäåíèåì
êàê ôàêóëüòàòèâíûå çàíÿòèÿ ïî ïðåäîñòàâëåíèþ
ÇØ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâåäåíèé. Ôàêóëüòàòèâíûå ãðóïïû ïî
õèìèè, áèîëîãèè è ôèçèêå îáó÷àþòñÿ áåñïëàòíî.
 ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðèíèìàþòñÿ âñå æåëàþùèå, íåçàâèñèìî
îò âîçðàñòà. Ïðèåì â øêîëó âåäåòñÿ êðóãëîãîäè÷íî.
Áåñïëàòíîå îáó÷åíèå ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ äåòåé-ñèðîò, îáó÷àþùèõñÿ
â øêîëàõ-èíòåðíàòàõ, äåòåé-èíâàëèäîâ. Äëÿ ó÷åíèêîâ
ñåëüñêèõ øêîë è äåòåé èç ìàëîîáåñïå÷åííûõ ìíîãîäåòíûõ
ñåìåé óñòàíàâëèâàåòñÿ áîëåå íèçêèé óðîâåíü îïëàòû.
×òîáû ñòàòü ó÷åíèêîì ÇØ, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü çàÿâëåíèå,
óêàçàâ êëàññ è îòäåëåíèÿ, íà êîòîðûõ âû õîòèòå
ó÷èòüñÿ, ñâîþ ôàìèëèþ, èìÿ è îò÷åñòâî (ïå÷àòíûìè áóêâàìè),
ñâîé ïîäðîáíûé àäðåñ ñ èíäåêñîì è âûïîëíåííîå ïåðâîå
çàäàíèå. Çàäàíèå îôîðìëÿåòñÿ â îáû÷íîé ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè
è âûñûëàåòñÿ ïðîñòîé áàíäåðîëüþ. Ìîæíî ïðèñûëàòü
ðàáîòû è ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå. Ïîäðîáíóþ èíôîðìàöèþ è
ïåðâûå çàäàíèÿ âñåõ îòäåëåíèé ÇØ ÑÓÍÖ ÍÃÓ ìîæíî
íàéòè íà ñàéòå: http://zfmsh.nsu.ru
Íàø ïî÷òîâûé àäðåñ: 630090 Íîâîñèáèðñê, óë. Ïèðîãîâà,
11, Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ
Òåëåôîí/ôàêñ: (383) 363-4066, 339-4066
E-mail: distant@sesc.nsu.ru
Íèæå ïðèâîäèòñÿ ïåðâîå çàäàíèå äëÿ ó÷àùèõñÿ 9-11
êëàññîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî è ôèçè÷åñêîãî îòäåëåíèé Çàî÷íîé
øêîëû ÑÓÍÖ ÍÃÓ.
Ïåðâîå çàäàíèå
Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå
9 êëàññ
1. Äîêàæèòå, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñëåäóþùåå çà ïðîèçâåäåíèåì
÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà.
2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè m è n – äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, òî
îäíî èç ÷èñåë n m è m n íå áîëüøå ÷åì 3 3 .
3. Ïóñòü îêðóæíîñòè O 1 è O 2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ À è
Â, òî÷êà X ëåæèò íà äóãå îêðóæíîñòè O 1 âíå îêðóæíîñòè
O 2 , M è N – òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ XA è XB ñ
îêðóæíîñòüþ O 2 . Äîêàæèòå, ÷òî äëèíà õîðäû MN íå
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè X.
4. Òðè îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó M, ïåðåñåêàþòñÿ
ïîïàðíî â òî÷êàõ A, B è C. ×åðåç òî÷êó A ïðîâåäåíà
ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ïðîõîäÿùèå ÷åðåç À îêðóæíîñòè
â òî÷êàõ D è E. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå BD è CE ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå, ëåæàùåé íà òðåòüåé îêðóæíîñòè.
5. Ìîæíî ëè â ðÿäó ÷èñåë 1, 2, 3, …, 100 òàê ðàññòàâèòü
çíàêè « + » è « − » ìåæäó ÷èñëàìè, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñëîæåíèé
è âû÷èòàíèé ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî 2009
6. Äîêàæèòå, ÷òî
1 1 1 1
+ + + ... + < 1
2 2 2 2 .
2 3 4 2010
10 êëàññ
1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
1⎛
1⎞
x = ⎜y
+ ⎟
2 ⎝ y ⎠ , 1⎛
1⎞
y = ⎜z
+ ⎟
2 ⎝ z ⎠ , 1⎛
1⎞
z = ⎜x
+ ⎟
2 ⎝ x ⎠ .
2. Íàéäèòå ñóììó
1 1 1 1
+ + + ... +
.
1 + 2 2 + 3 3 + 4 2009 + 2010
3. Âûñîòà, áèññåêòðèñà è ìåäèàíà, ïðîâåäåííûå èç îäíîé
âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, äåëÿò åãî óãîë íà ÷åòûðå ðàâíûå
÷àñòè. Íàéäèòå âñå óãëû òðåóãîëüíèêà.
4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC âûïîëíåíî
ñîîòíîøåíèå
1 + cos ∠ 2A+ cos ∠ 2B+ cos ∠ 2C
= 0 ,
òî òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé.
5. Ïóñòü a, b, c, d – äëèíû ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñòîðîí
÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, m è n – äëèíû åãî äèàãîíàëåé.
Äîêàæèòå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
2 2 2 2 2 2
( )
mn = ac + bd −2abcdcos
∠ A+ ∠ C .
6. Ïðÿìàÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàñêðàøåíà â äâà öâåòà.
Äîêàæèòå, ÷òî íà íåé îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ îòðåçîê, ó
êîòîðîãî îáà êîíöà è ñåðåäèíà îêðàøåíû â îäèí öâåò.
11 êëàññ
1. Â òðàïåöèè ABCD ñ îñíîâàíèÿìè AB è CD ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà OAB ðàâíà S 1 è ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà OCD
ðàâíà S 2 , ãäå O – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé. Íàéäèòå
ïëîùàäü òðàïåöèè.
2. Äîêàæèòå, ÷òî 6 9+ 4 5 − 6 9− 4 5 = 1.
54-59.p65 54
09.06.10, 10:48

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß 55
3. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ìîæåò èìåòü
ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ñ äëèíîé äèàãîíàëè d
6 6 1
4. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî sin x + cos x ≥ .
4
5. Ïóñòü M – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà
ABC. Äîêàæèòå, ÷òî òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè O ïëîñêîñòè
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
2 2 2 2 1
OA + OB + OC = 3 OM + ( AB 2 + BC 2 + CA
2
).
3
6. Íà ïëîñêîñòè äàíû 100 òî÷åê. Èçâåñòíî, ÷òî èç ëþáûõ
÷åòûðåõ òî÷åê êàêèå-òî òðè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Äîêàæèòå,
÷òî âñå òî÷êè, êðîìå, áûòü ìîæåò, îäíîé, ëåæàò íà îäíîé
ïðÿìîé.
Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå
9 êëàññ
1. Øóìàõåð ïðîøåë ôèíèøíûé îòðåçîê ãîíî÷íîé òðàññû
ñî ñêîðîñòüþ 70 ì/ñ. Âèòàëèé Ïåòðîâ ïîÿâèëñÿ íà ýòîì
îòðåçêå ñ çàäåðæêîé íà 1 ñ îòíîñèòåëüíî Øóìàõåðà, íî
÷åðåç 10 ñ ïîñëå ñâîåãî ïîÿâëåíèÿ äîãíàë åãî è ïðèøåë
ïåðâûì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ äâèãàëñÿ ðîññèÿíèí
2. Äâå îäèíàêîâûå áàíêè çàïîëíèëè îäíó âîäîé, à äðóãóþ
ïåñêîì. Èç ïåðâîé áàíêè âîäó íà÷àëè âûëèâàòü âî âòîðóþ –
îíà ïðîñà÷èâàëàñü â ïåñîê. Êîãäà âîäà ïîêàçàëàñü íàä
ïåñêîì è ñòàëà êàïàòü çà êðàé áàíêè, ëèòü âîäó ïåðåñòàëè.
Ïðè ýòîì â ïåðâîé áàíêå îñòàëîñü 2/3 ïåðâîíà÷àëüíîãî
îáúåìà âîäû. Êàêîé îáúåì ïåñêà íóæíî íàñûïàòü â ýòó
áàíêó, ÷òîáû îíà ñíîâà îêàçàëàñü ïîëíîé
3. Èç ñòîÿùåé íà ýëåêòðè÷åñêîé ïëèòêå êàñòðþëè ñ âîäîé
çà ÷àñ êèïåíèÿ èñïàðèëàñü ïîëîâèíà âîäû. Íåäîñòàòîê
âîäû âîñïîëíèëè êóñêîì ëüäà è îñòàâèëè ïëèòêó âêëþ÷åííîé.
×åðåç êàêîå âðåìÿ âîäà â êàñòðþëå ñíîâà çàêèïèò
Òåìïåðàòóðà ëüäà 0 ° C , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû
4,2 Äæ ( ã ⋅ ãðàä)
, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà
330 Äæ/ã, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû
2250 Äæ/ã.
4. Èç ïðîâîëîêè èçãîòîâèëè ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê.
Ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äâóõ åãî ñòîðîí ðàâíî R.
×åìó áóäåò ðàâíî ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó ýòèìè òî÷êàìè, åñëè
ñåðåäèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ñîåäèíèòü îòðåçêàìè
ýòîé æå ïðîâîëîêè
10 êëàññ
1. Äâà çàéöà ñîñòÿçàþòñÿ â áåãå. Âíà÷àëå ñòàðòîâàë ïåðâûé
çàÿö è áåæàë ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì. Âòîðîé çàÿö çàìåøêàëñÿ
íà ñòàðòå íà âðåìÿ τ , íî áåæàë ñ áóëüøèì óñêîðåíèåì
è äîãíàë ïåðâîãî, ïðè÷åì â ýòîò ìîìåíò åãî ñêîðîñòü áûëà â
2 ðàçà áîëüøå, ÷åì ó ïåðâîãî çàéöà. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå
âûñòðåëà ñòàðòîâîãî ïèñòîëåòà ýòî ïðîèçîøëî
2. Äâà ìÿ÷à áðîñèëè îäíîâðåìåííî ñî ñêîðîñòüþ v – îäèí
ñâåðõó âíèç ñ âûñîòû h, äðóãîé ââåðõ ñ íóëåâîãî óðîâíÿ. Íà
êàêîé âûñîòå ìÿ÷è ñòîëêíóòñÿ Ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà íåò.
3. Â òðóáêó â âèäå ïåðåâåðíóòîé áóêâû Ï íàëèëè âîäó.
Çàòåì â ëåâîå êîëåíî àêêóðàòíî íàëèëè ìàñëî (ðèñ.1, ñëåâà),
òàê ÷òî âûñîòà åãî ñòîëáà îêàçàëàñü h, à óðîâåíü æèäêîñòè
Ðèñ. 1
â ëåâîì êîëåíå ñòàë íà h 1 âûøå, ÷åì â ïðàâîì. Ïîòîì òðóáêó
êà÷íóëè, è íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ìàñëà ïîïàëî â ïðàâîå
êîëåíî. Ïðè ýòîì ðàçíèöà óðîâíåé æèäêîñòåé â ëåâîì è
ïðàâîì êîëåíàõ ñòàëà h 2 (ðèñ.1, ñïðàâà). Îïðåäåëèòå âûñîòó
x ñòîëáèêà ìàñëà â ïðàâîì êîëåíå.
4. Ïî ïîâåðõíîñòè êëèíà ìàññîé M ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè
α ñêîëüçèò áðóñîê ìàññîé m. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó
áðóñêîì è êëèíîì µ , ïðè÷åì µ< tg α. Êàêîå ìèíèìàëüíîå
çíà÷åíèå äîëæåí èìåòü êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ 1 ìåæäó
ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ è êëèíîì, ÷òîáû êëèí ïî íåé íå
ïðîñêàëüçûâàë
5. ×àøà ìàññîé M ñòîèò íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì
îñíîâàíèè ðÿäîì ñ âåðòèêàëüíîé ñòåíêîé (ðèñ.2).  ÷àøó
Ðèñ. 2
ïàäàåò òåëî ìàññîé m è ñêîëüçèò ïî åå ïîâåðõíîñòè. Â ìîìåíò
âðåìåíè, êîãäà òåëî îêàçûâàåòñÿ íà äíå, ÷àøà ñî ñêîðîñòüþ
v óïðóãî óäàðÿåòñÿ î ñòåíêó. Íà êàêóþ âûñîòó H ïîñëå ýòîãî
ïîäíèìåòñÿ òåëî Òðåíèÿ íåò.
11 êëàññ
1. Ðåøèòå çàäà÷ó 1 äëÿ 10 êëàññà.
2. Ðåøèòå çàäà÷ó 4 äëÿ 10 êëàññà.
3. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äíîì è ïîðøíåì, ïåðåêðûâàþùèì
ïðîáèðêó, ðàâíî 1/5 åå âûñîòû. Åñëè ïðîáèðêó ìåäëåííî
ïåðåâåðíóòü, ýòî ðàññòîÿíèå óâåëè÷èòñÿ â 3 ðàçà. Âî ñêîëüêî
ðàç íóæíî ïîíèçèòü äàâëåíèå âîçäóõà, ÷òîáû â ïåðåâåðíóòîì
ïîëîæåíèè ïðîáèðêè ïîðøåíü âûïàë èç íåå Òåìïåðàòóðà íå
ìåíÿåòñÿ.
4. Ëàìïî÷êà è äâà îäèíàêîâûõ ñîïðîòèâëåíèÿ, âåëè÷èíîé
R êàæäîå, ïîäñîåäèíèëè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿ äâóìÿ
Ðèñ. 3
ñïîñîáàìè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3.  îáîèõ ñëó÷àÿõ
íàêàë ëàìïî÷êè îäèí è òîò æå. ×åìó ðàâíî ñîïðîòèâëåíèå
âêëþ÷åííîé ëàìïî÷êè
5. Äâå áóñèíêè, ìàññîé m
è çàðÿäîì q êàæäàÿ, íàíèçàíû
íà òîíêîå ãëàäêîå
êîëüöî ìàññîé 2m è äèàìåòðîì
D. Êîëüöî âìåñòå ñ
áóñèíêàìè äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
v è óïðóãî óäàðÿåòñÿ
î ïëîñêîñòü (ðèñ.4). Íà
êàêîå ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå
ñîéäóòñÿ áóñèíêè ïîñëå
óäàðà, åñëè ïåðåä óäàðîì
îíè íàõîäèëèñü íà äèàìåòðå
êîëüöà, ïàðàëëåëüíîì
ïëîñêîñòè
Ðèñ. 4
54-59.p65 55
09.06.10, 10:48

56
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XVIII Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà
«Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí»
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ
ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî»
ïðè ó÷àñòèè ìýðèè ãîðîäà Íåà Ìóäàíüÿ â Ñåâåðíîé
Ãðåöèè, ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ
ïðîãðàìì «Äèíàñòèÿ» è ïðè ïîääåðæêå êîìïàíèé «Êèðèëë
è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí» è «1Ñ», Èçäàòåëüñêîãî äîìà «Ïåðâîå
ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëà «Êâàíò» ïðîâåë î÷åðåäíóþ òåñòðåéòèíãîâóþ
îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí».
Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà â Ãðåöèè ñ 4 ïî 11 îêòÿáðÿ 2009
ãîäà. Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè ó÷àñòíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ
Ðîññèè, Êàçàõñòàíà è Íîðâåãèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè,
ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü
â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå,
ôèçèêå è èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  îëèìïèàäå
òàêæå ó÷àñòâîâàëè øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé
è áèîëîãèåé.
Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé
ìàðàôîí-2009» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì
çà÷åòå ñòàëà êîìàíäà ëèöåÿ 2 ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà. Åé
áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé – Ñóïåðêóáîê.
Êîìàíäà áûëà òàêæå ëó÷øåé â òóðàõ ïî èñòîðèè íàó÷íûõ
èäåé è îòêðûòèé, ôèçèêå è ìàòåìàòèêå. Âòîðîå ìåñòî â
îáùåì çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ãîðîäà
Ðîñòîâà-íà-Äîíó. Îíà çàíÿëà òàêæå âòîðîå ìåñòî â òóðå ïî
ìàòåìàòèêå è òðåòüå ìåñòî â òóðå ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé
è îòêðûòèé. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà êîìàíäà èç ãîðîäà
Ïàâëîäàðà (Êàçàõñòàí), êîòîðàÿ ñòàëà òàêæå âòîðîé â òóðå
ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.
 èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì
îëèìïèàäû ñòàë Àëåêñàíäð Áåñêðîâíûé, ó÷åíèê 11
êëàññà ëèöåÿ 2 ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà. Åìó áûëè âðó÷åíû
áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü, ìàëàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü çà ïåðâîå
ìåñòî ïî ôèçèêå è ìàëàÿ áðîíçîâàÿ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî
ïî ìàòåìàòèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàëà
Æàäðà Øàéêåíîâà, ó÷åíèöà 11 êëàññà èç Ïàâëîäàðà, åé áûëè
âðó÷åíû áîëüøàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü è ìàëàÿ ñåðåáðÿíàÿ
ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ
ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå çàâîåâàë Ðèíàò Ñàäûêîâ, ó÷åíèê 11
êëàññà ëèöåÿ 2 èç Àëüìåòüåâñêà.  èíäèâèäóàëüíîì çà÷åòå
ïî ìàòåìàòèêå ëó÷øèì ñòàë Òèìóð Õóñàåíîâ, åìó áûëà
âðó÷åíà ìàëàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü, âòîðûì – Þðèé Ïàñòóõîâ, îí
ïîëó÷èë ìàëóþ ñåðåáðÿíóþ ìåäàëü (îáà – ó÷åíèêè 11 êëàññà
ëèöåÿ 2 èç Àëüìåòüåâñêà). Àëåêñåé Êàçàêîâ, ó÷åíèê 10 êëàññà
ëèöåÿ 2 ãîðîäà Áóãóëüìû, áûë íàãðàæäåí çà òðåòüå ìåñòî ïî
ôèçèêå ìàëîé áðîíçîâîé ìåäàëüþ.
Âñå ïîáåäèòåëè è ïðèçåðû ïîëó÷èëè ïîäàðêè è ïðèçû îò
îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû.
Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå
öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå
ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XIX Ìåæäóíàðîäíîé
îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò
â îêòÿáðå 2010 ãîäà â Ãðåöèè.
Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà,
Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí»
Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227
E-mail: gluon@yandex.ru
ÏÈÑÜÌÅÍÍÛÉ ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÛÉ ÒÓÐ
Ìàòåìàòèêà
1. Íåñêîëüêî øêîëüíèêîâ õîäèëè çà ãðèáàìè. Íàáðàâøèé
íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ãðèáîâ ñîáðàë 1/5 ÷àñòü îò îáùåãî
êîëè÷åñòâà ñîáðàííûõ ãðèáîâ, à íàáðàâøèé íàèìåíüøåå
êîëè÷åñòâî – 1/7 ÷àñòü. Ñêîëüêî áûëî øêîëüíèêîâ
2. Âûñîòà ÀÍ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíà åãî ìåäèàíå ÂÌ.
Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû À çà òî÷êó  îòëîæèëè îòðåçîê
BD, ðàâíûé ñòîðîíå ÀÂ. Íàéäèòå óãîë BCD.
3. Ðåøèòå ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
⎧
3
x − y = 6,
⎪ 3
⎨y
− z = 6,
⎪ 3
⎪⎩
z − x = 6.
4. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó è z òàêîâû, ÷òî
x y z
+ + = 1 .
y + z z + x x + y
2 2 2
x y z
Íàéäèòå + + .
y + z z + x x + y
5.  îäíîêðóãîâîì 1 âîëåéáîëüíîì òóðíèðå ó÷àñòâóþò 8
êîìàíä. à) Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü: íàéäóòñÿ òàêèå êîìàíäû
À, Â, Ñ è D, ÷òî À âûèãðàëà ó Â, Ñ è D, Â âûèãðàëà ó Ñ è
D, à Ñ âûèãðàëà ó D á) Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå ïóíêòà à) äëÿ
òóðíèðà 7 êîìàíä ( âîëåéáîëå íåò íè÷üèõ.)
6.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD òî÷êè Å è F –
ñåðåäèíû ñòîðîí ÂÑ è CD ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå íàèáîëüøåå
âîçìîæíîå çíà÷åíèå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABD, åñëè
ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ABE, CEF, AEF è AFD â íåêîòîðîì
ïîðÿäêå îáðàçóþò ÷åòâåðêó ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
7. Äâîå èãðàþò â òàêóþ èãðó. Ïåðåä íèìè – ëèñò êëåò÷àòîé
áóìàãè ðàçìåðîì m× n êëåòîê ( m ≠ n ). Êàæäûé ñâîèì
õîäîì âûáèðàåò íåêîòîðûé êâàäðàò, îáðàçîâàííûé ëèíèÿìè
ñåòêè, è çàêðàøèâàåò åãî (ðàçóìååòñÿ, çàêðàøèâàåìûé êâàäðàò
äîëæåí ñîñòîÿòü èç åùå íå îêðàøåííûõ êëåòîê). Êòî
âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå, íà÷èíàþùèé èëè åãî ïàðòíåð,
åñëè: à) ÷èñëà m è n èìåþò îäèíàêîâóþ ÷åòíîñòü (ò.å.
ëèáî îáà ÷åòíû, ëèáî îáà íå÷åòíû); á) n ÷åòíî, m íå÷åòíî,
ïðè÷åì n + 1 ≥ m
Ôèçèêà
Çàäà÷à 1. Àðãîíàâòû. Àðãîíàâòû ïëûâóò çà Çîëîòûì
ðóíîì. Îíè ïðèáëèæàþòñÿ ê Êîëõèäå. Èõ êîðàáëü «Àðãî»
äëèíîé L = 40 ì ïëûâåò ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèè áåðåãà ñî
ñêîðîñòüþ v 0 = 10 ì/ñ. Ýëëèíàì íóæíî êàê ìîæíî ñêîðåå
âñòóïèòü â áîé ñ äðàêîíîì, îõðàíÿþùèì Çîëîòîå ðóíî,
ïîýòîìó èì õî÷åòñÿ âûïðûãíóòü èç êîðàáëÿ ïðÿìî íà áåðåã,
à íå â ìîðå. Êàê äàëåêî ïðîñêîëüçèò «Àðãî» ïî áåðåãó, åñëè
êîýôôèöèåíò òðåíèÿ åãî äíèùà î ïîâåðõíîñòü çåìëè µ = 0,5,
à òðåíèåì î âîäó ìîæíî ïðåíåáðå÷ü Ñêîëüêî âðåìåíè åìó
1 Êàæäàÿ êîìàíäà ñûãðàëà îäíó èãðó ñ êàæäîé èç îñòàëüíûõ.
54-59.p65 56
09.06.10, 10:48

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
57
íà ýòî ïîíàäîáèòñÿ Ãëóáèíà ó áåðåãà äîñòàòî÷íà äëÿ òîãî,
÷òîáû êîðàáëü íå êàñàëñÿ äíà.
Çàäà÷à 2. Çàðÿä è ïëîñêîñòü. Òî÷å÷íûé çàðÿä q íàõîäèòñÿ
íà ðàññòîÿíèè h îò ïðîâîäÿùåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà. Êàêóþ
ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû óäàëèòü
çàðÿä íà î÷åíü áîëüøîå ðàññòîÿíèå
Çàäà÷à 3. Òåïëîâîé íàñîñ. Äëÿ îòîïëåíèÿ ïîìåùåíèé
èñïîëüçóþò â îñíîâíîì äâà ñïîñîáà. Ïåðâûé ñïîñîá çàêëþ-
÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ïîìåùåíèè ðàñïîëàãàåòñÿ íàãðåâàòåëüíûé
ïðèáîð – íàçîâåì åãî «ïå÷ü», – â êîòîðîì ñæèãàåòñÿ òîïëèâî
èëè èñïîëüçóåòñÿ ýëåêòðîíàãðåâàòåëü. Áóäåì ñ÷èòàòü òàêóþ
îòîïèòåëüíóþ ñèñòåìó èäåàëüíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî âñå
êîëè÷åñòâî òåïëîòû áåç ïîòåðü ïîñòóïàåò îò ïå÷è â îòàïëèâàåìîå
ïîìåùåíèå. Âî âòîðîì ñïîñîáå èñïîëüçóþòñÿ ñâÿçàííûå
äðóã ñ äðóãîì ïå÷ü, òåïëîâîé äâèãàòåëü è õîëîäèëüíàÿ
ìàøèíà. Îäíà ÷àñòü êîëè÷åñòâà òåïëîòû îò ïå÷è ïîñòóïàåò
íåïîñðåäñòâåííî â îòàïëèâàåìîå ïîìåùåíèå, à äðóãàÿ çàòðà-
÷èâàåòñÿ íà ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ äâèãàòåëåì. Âñÿ ýòà ðàáîòà
èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïðèâåäåíèÿ â äåéñòâèå õîëîäèëüíîé ìàøèíû,
êîòîðàÿ îòáèðàåò òåïëî ó îêðóæàþùåé ñðåäû âíå ïîìåùåíèÿ
è ïåðåäàåò åå ïîìåùåíèþ. Ïîêàæèòå, ÷òî âî âòîðîì
ñïîñîáå îáùåå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ïîìåùåíèåì,
íå ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì.
Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü òåîðåìîé Êàðíî äëÿ öèêëè÷åñêîãî
ïðîöåññà â òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ñ n íàãðåâàòåëÿìè
è õîëîäèëüíèêàìè: ∑ = 0 , ãäå Q i – êîëè÷åñòâî
n
Qi
i=
1
Ti
òåïëîòû, ïîëó÷åííîå îò íàãðåâàòåëÿ (èëè îòäàííîå õîëîäèëüíèêó),
T i – òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ (õîëîäèëüíèêà).
Çàäà÷à 4. Ïåðåãîðîäêà ñ îòâåðñòèåì. Öèëèíäðè÷åñêèé
ñîñóä ñ èäåàëüíûì ãàçîì ðàçäåëåí òåïëîíåïðîíèöàåìûìè
ïåðåãîðîäêàìè íà òðè îòñåêà (ðèñ.1). Â êàæäîé ïåðåãîðîäêå
åñòü îòâåðñòèå, ðàçìåð êîòîðîãî
ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë
ãàçà. Òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ
ãàçà â îòñåêàõ ïîääåðæèâàþòñÿ
ïîñòîÿííûìè. Òåìïåðàòóðû
ðàâíû T 1 , T 2 , T 3 ,
äàâëåíèå â ïåðâîì îòñåêå p1
èçâåñòíî. Íàéäèòå äàâëåíèÿ
Ðèñ. 1
p 2 è p 3 âî âòîðîì è òðåòüåì
îòñåêàõ.
Çàäà÷à 5. Ìóõà â ïðîáèðêå.
 çàêðûòîé ñ äâóõ ñòîðîí
âåðòèêàëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé ïðîçðà÷íîé òðóáêå ìàññîé
Ì = 20 ã è äëèíîé L = 2 ì íà äíå ñèäèò ìóõà ìàññîé m =
= 1 ã. Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ìóõà âçëåòàåò ââåðõ ñî
ñêîðîñòüþ v 0 = 10 ì/ñ, è îäíîâðåìåííî òðóáêà íà÷èíàåò
ïàäàòü. Íåïîäâèæíûé íàáëþäàòåëü çàìå÷àåò âðåìÿ, çà êîòîðîå
ìóõà äîëåòèò äî «ïîòîëêà» òðóáêè. Ïðè ýòîì òðóáêà
îïóñòèòñÿ íà êàêîå-òî ðàññòîÿíèå. Íà ñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ
ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå òðóáêîé çà òî æå âðåìÿ, ïðè óñëîâèè,
÷òî ìóõà îñòàåòñÿ ñèäåòü íà «ïîëó» òðóáêè
Çàäà÷à 6. Òðè øàðèêà. Òðè îäèíàêîâûõ øàðèêà, ðàñïîëîæåííûõ
â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé
à, ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì íèòÿìè. Çàðÿä è ìàññà
êàæäîãî øàðèêà ðàâíû q è m ñîîòâåòñòâåííî. Îäíó èç íèòåé
ïåðåæãëè. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü «ñðåäíåãî» øàðèêà.
Âëèÿíèåì ñèëû òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü (íàïðèìåð, øàðèêè
ëåæàò íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè).
Çàäà÷à 7. Ñïóòíèê. Îïðåäåëèòå ïåðèîä îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà
Çåìëè ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå, àïîãåé êîòîðîé (ìàêñèìàëüíîå
óäàëåíèå îò öåíòðà Çåìëè) ðàâåí óòðîåííîìó
ðàäèóñó Çåìëè, à ïåðèãåé (ìèíèìàëüíîå óäàëåíèå îò öåíòðà
Çåìëè) ðàâåí ðàäèóñó Çåìëè. Íàéäèòå òàêæå îòíîøåíèå
ñêîðîñòåé â àïîãåå è ïåðèãåå.
ÓÑÒÍÛÉ ÊÎÌÀÍÄÍÛÉ ÒÓÐ
Ìàòåìàòèêà
1. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ñóììó öèôð ìîæåò èìåòü âîñüìèçíà÷íîå
÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 8
2. Â îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ áèññåêòðèñà AN,
âûñîòà ÂÍ è ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê ñòîðîíå ÀÂ
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Íàéäèòå óãîë À òðåóãîëüíèêà
(óãîë ÂÀÑ).
3. Ñóùåñòâóþò ëè òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, ñóììà êîòîðûõ
ðàâíà 407, à ïðîèçâåäåíèå îêàí÷èâàåòñÿ íà 6 íóëåé
4. Ìèìî íàáëþäàòåëÿ ïî øîññå ïðîåõàëè ÷åðåç ðàâíûå
ïðîìåæóòêè âðåìåíè ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè: ñíà÷àëà
àâòîáóñ, çàòåì ãðóçîâèê è, íàêîíåö, ëåãêîâîé àâòîìîáèëü.
Ìèìî äðóãîãî íàáëþäàòåëÿ îíè ïðîåõàëè ÷åðåç òå æå ïðîìåæóòêè
âðåìåíè, íî â äðóãîì ïîðÿäêå: ñíà÷àëà àâòîáóñ, çàòåì
ëåãêîâîé àâòîìîáèëü è ïîòîì ãðóçîâèê. Íàéäèòå ñêîðîñòü
àâòîáóñà, åñëè ñêîðîñòü ëåãêîâîãî àâòîìîáèëÿ 60 êì/÷, à
ãðóçîâèêà 30 êì/÷.
5. Âåðíî ëè, ÷òî èç äâåíàäöàòè ðàçëè÷íûõ äâóçíà÷íûõ
÷èñåë âñåãäà ìîæíî âûáðàòü äâà òàêèõ, ÷òî èõ ðàçíîñòü
çàïèñûâàåòñÿ äâóìÿ îäèíàêîâûìè öèôðàìè
6. Íàéäèòå ñóììó 50 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ðîâíî
äâàäöàòü ïÿòü èç êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 50, à
îñòàëüíûå – íå áîëüøå 100, ïðè÷åì íèêàêèå äâà ÷èñëà íå
îòëè÷àþòñÿ ðîâíî íà 50.
7. Ìîæåò ëè äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ñ öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè áûòü ðàâíûì: à) 2010; á) 2011; â) 2012
8.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD òî÷êà Ì – ñåðåäèíà ñòîðîíû
ÀÂ. ×òî áîëüøå: AD + BC èëè CD, åñëè óãîë DMC –
ïðÿìîé
9. Êàê èçâåñòíî, ñóùåñòâóþò 1000 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ íåò íè îäíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà
(íàïðèìåð, 1001! + 2, 1001! + 3, …, 1001! + 1001). À ñóùåñòâóþò
ëè 1000 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿ ðîâíî 5 ïðîñòûõ ÷èñåë
10. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë à è b
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî a + b < ab, òî a + b > 4
11. Äàí ïðàâèëüíûé 45-óãîëüíèê. Ìîæíî ëè â åãî âåðøèíàõ
ðàññòàâèòü öèôðû 0, 1, 2, …, 9 òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáîé
ïàðû öèôð íàøëàñü ñòîðîíà, çàíóìåðîâàííàÿ ýòèìè öèôðàìè
2
12. Âåðíî ëè, ÷òî åñëè c( a + b + c) < 0 , òî b − 4ac
> 0
Ôèçèêà
Çàäà÷à 1. Ìàãíèò è ãâîçäè. Ê ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîìó
øèðîêîìó ïëîñêîìó òîðöó ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà õîòÿò
ïîäâåñèòü íà íåáîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà äâà
ñòàëüíûõ ãâîçäÿ (ðèñ.2). Êàê ðàñïîëîæàòñÿ ãâîçäè Îòâåò
ïîÿñíèòå.
Çàäà÷à 2. Äîìà. Âåðòèêàëüíû ëè âåðòèêàëüíûå ñòåíû
äîìîâ Çåìëþ ñ÷èòàéòå øàðîîáðàçíîé. Ïðè ïîñòðîéêå âåðòèêàëüíîñòü
ñòåíû ïðîâåðÿþò
îòâåñîì (íèòüþ ñ ïðèâÿçàííûì
ê íåé ãðóçîì).
Çàäà÷à 3. Òàþùàÿ âîäà. Â
ñîñóä ñ âîäîé áðîñàþò êóñî÷êè
òàþùåãî ëüäà ïðè íåïðåðûâíîì
ïîìåøèâàíèè. Âíà÷àëå
êóñî÷êè ëüäà òàþò, íî â íåêîòîðûé
ìîìåíò ëåä ïåðåñòàåò
òàÿòü. Ïåðâîíà÷àëüíàÿ ìàññà Ðèñ. 2
54-59.p65 57
09.06.10, 10:48

58
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Ðèñ. 4
âîäû â ñîñóäå m = 660 ã. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èëàñü ìàññà âîäû
ê ìîìåíòó ïðåêðàùåíèÿ òàÿíèÿ ëüäà, åñëè ïåðâîíà÷àëüíàÿ
òåìïåðàòóðà âîäû t = 12,5 ° C Ïîòåðÿìè òåïëà ïðåíåáðå÷ü.
Çàäà÷à 4. Íåóïðóãèé óäàð. Íàéäèòå óãîë îòñêîêà øàðèêà
ïðè óãëå ïàäåíèÿ α= 30° íà èäåàëüíî ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü,
åñëè ïðè óäàðå øàðèê òåðÿåò ïîëîâèíó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.
Óãîë ïàäåíèÿ – ýòî óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè
è òðàåêòîðèåé øàðèêà.
Çàäà÷à 5. Âîëåéáîëüíûé ìÿ÷. Âîëåéáîëèñò ñíèçó áüåò ïî
ìÿ÷ó òàê, ÷òî ìÿ÷ ëåòèò âåðòèêàëüíî ââåðõ. Èçìåíÿåòñÿ ëè
óñêîðåíèå ìÿ÷à â ïðîöåññå ïîëåòà Åñëè äà, òî óêàæèòå
òî÷êè, ãäå óñêîðåíèå ìàêñèìàëüíî è ãäå ìèíèìàëüíî.
Çàäà÷à 6. Öèëèíäðû íà ãîðêå. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè
íàõîäÿòñÿ äâà ñîïðèêàñàþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì öèëèíäðà.
Íèæíèé öèëèíäð íà÷èíàþò ìåäëåííî ñïóñêàòü áåç âðàùåíèÿ.
Ïðè ýòîì â ñëó÷àå ìàëîãî íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó
âåðõíèé öèëèíäð âðàùàåòñÿ, à â ñëó÷àå áîëüøîãî íàêëîíà
ñêîëüçèò áåç âðàùåíèÿ. Îáúÿñíèòå ÿâëåíèå.
Çàäà÷à 7. Çàðÿæåííûå øàðèêè. Ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê
ðàäèóñîì r 1 = 1 ñì, çàðÿæåííûé äî ïîòåíöèàëà ϕ 1 = 270 Â,
âíîñèòñÿ âíóòðü ïîëîãî ìåòàëëè÷åñêîãî øàðà ðàäèóñîì r 2 =
= 10 ñì, çàðÿæåííîãî äî ïîòåíöèàëà ϕ 2 = 450 Â. Îïðåäåëèòå
çàðÿäû è ïîòåíöèàëû
øàðîâ ïîñëå èõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ.
Çàäà÷à 8. Äèîäíàÿ
öåïü. Â öåïè, ñõåìà êîòîðîé
ïîêàçàíà íà ðèñóíêå
3, ìåæäó òî÷êàìè
1 è 2 îò âíåøíåãî èñòî÷íèêà
ñîçäàíî ïåðåìåí-
Ðèñ. 3
íîå ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå u = U0 sin ω t . Êàêîå íàïðÿæåíèå
óñòàíîâèòñÿ ìåæäó òî÷êàìè 3 è 4 Äèîäû ñ÷èòàéòå
èäåàëüíûìè.
Çàäà÷à 9. Ðåçèñòîðû. Íàéäèòå ñèëó òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç
ñîïðîòèâëåíèå r (ðèñ.4), åñëè âñå îñòàëüíûå ñîïðîòèâëåíèÿ
ðàâíû R, à íàïðÿæåíèå
ðàâíî U.
Çàäà÷à 10. Áóñèíêà
íà ñòåðæíå. Íà íåâåñîìûé
æåñòêèé ñòåðæåíü,
øàðíèðíî çàêðåïëåííûé
îäíèì êîíöîì, íàäåëè
ìàññèâíóþ áóñèíêó,
êîòîðàÿ ìîæåò
ñêîëüçèòü ïî íåìó áåç òðåíèÿ. Âíà÷àëå ñòåðæåíü óäåðæèâàëè
â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè, à áóñèíêà íàõîäèëàñü íà
ðàññòîÿíèè L îò çàêðåïëåííîãî êîíöà. Çàòåì ñòåðæåíü
îòïóñòèëè. Íàéäèòå çàâèñèìîñòü óãëà, êîòîðûé ñîñòàâëÿåò
ñòåðæåíü ñ ãîðèçîíòàëüþ, îò âðåìåíè.
ÈÑÒÎÐÈß ÍÀÓ×ÍÛÕ ÈÄÅÉ È ÎÒÊÐÛÒÈÉ
Ìàòåìàòèêà
1. Ìàòåìàòèêà Äðåâíåãî Âàâèëîíà (VI–V ââ. äî í.ý.)
èçâåñòíà èç ðàñøèôðîâàííûõ êëèíîïèñíûõ òåêñòîâ ãëèíÿíûõ
òàáëè÷åê. Íåêîòîðûå òàáëè÷êè (ìîæíî ïðåäïîëàãàòü,
÷òî ýòî áûëè ó÷åáíûå ïîñîáèÿ) ñîäåðæàò ãåîìåòðè-
÷åñêèå çàäà÷è. Ðåøèòå âìåñòå ñ äðåâíèìè ó÷åíèêàìè òàêóþ
çàäà÷ó.
Ïóñòü îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû à è b (à > b). Íàéäèòå
äëèíû îòðåçêîâ, ïàðàëëåëüíûõ îñíîâàíèÿì è äåëÿùèõ ïëîùàäü
òðàïåöèè íà 3 ðàâíûå ÷àñòè.
2. Äðåâíåêèòàéñêèé òðàêòàò «Ìàòåìàòèêà â äåâÿòè êíèãàõ»
ñîäåðæèò ðåøåíèÿ ìíîãèõ (î÷åíü ÷àñòî ïðèêëàäíûõ)
çàäà÷. Ðåøèòå çàäà÷ó èç ýòîãî òðàêòàòà.
Èìååòñÿ äåðåâî â 2 ÷æàíà äëèíîé, îáõâàò åãî 3 ÷è
(1 ÷æàí = 10 ÷è). Ó åãî ïîäíîæèÿ ðàñòåò ëèàíà, êîòîðàÿ
ïîäíèìàåòñÿ ñåìüþ âèòêàìè âîêðóã äåðåâà äî åãî âåðøèíû.
Ñïðàøèâàåòñÿ, êàêîâà äëèíà ëèàíû (Ñ÷èòàéòå, ÷òî
äåðåâî – ýòî ïðÿìîé êðóãîâîé öèëèíäð.)
3. Äèîôàíò – ïîñëåäíèé âåëèêèé ìàòåìàòèê àíòè÷íîñòè –
æèë, ïî-âèäèìîìó, â III âåêå í.ý. Èç åãî ñî÷èíåíèé äî íàñ (íå
ïîëíîñòüþ) äîøëè äâà: «Àðèôìåòèêà» è «Î ìíîãîóãîëüíûõ
÷èñëàõ».  «Àðèôìåòèêå» îí ñðåäè ïðî÷åãî ðàññìàòðèâàåò
íåîïðåäåëåííûå óðàâíåíèÿ è ðàçðàáàòûâàåò ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ
â ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ (ñåé÷àñ òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþò
äèîôàíòîâûìè).  ÷àñòíîñòè, îí íàâåðíÿêà ñóìåë áû
îòâåòèòü íà òàêîé âîïðîñ.
Êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî êîëè÷åñòâî ðåøåíèé â ðàöèîíàëüíûõ
÷èñëàõ óðàâíåíèÿ
x 2 – 3xy + 5y 2 = 3
À êàê îòâåòèòå íà ýòîò âîïðîñ âû
4. Ïîñëåäíèé âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê Àëåêñàíäðèéñêîé
øêîëû Ïàïï Àëåêñàíäðèéñêèé æèë â êîíöå III – íà÷àëå
IV âåêà í.ý. Îí, â ÷àñòíîñòè, äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Ïóñòü íà ñòîðîíàõ ÀÂ è ÀÑ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïîñòðîåíû
âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïàðàëëåëîãðàììû ABDE è ACFG.
Ïóñòü Í – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ DE è FG. Òîãäà
ñóììà ïëîùàäåé ïàðàëëåëîãðàììîâ ABDE è ACFG ðàâíà
ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû è
ïàðàëëåëüíû îòðåçêàì ÂÑ è ÀÍ. à) Äîêàæèòå ýòî.
á) Îáîáùåíèåì êàêîé çíàìåíèòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ýòà
òåîðåìà Ïàïïà (îáúÿñíèòå, ïî÷åìó)
5. Ñîçäàòåëü òåîðèè ÷èñåë Ïüåð Ôåðìà (1601–1665) èçó-
÷àë öåëûå ÷èñëà, ïðåäñòàâèìûå íåêîòîðîé êâàäðàòè÷íîé
ôîðìîé.  ÷àñòíîñòè, åìó ïðèøëîñü èìåòü äåëî ñ ïðåäëàãàåìîé
âàì çàäà÷åé.
2 2
Ïóñòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà m è n òàêîâû, ÷òî m = x1 + 2y1
,
2 2
n = x2 + 2y2, ãäå x 1 , x 2 , y 1 , y 2 – öåëûå ÷èñëà. Ñóùåñòâóþò ëè
2 2
öåëûå x3,
y 3 òàêèå, ÷òî n = x3 + 2y3
Ôèçèêà
1. Â 1929 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà
âðó÷åíà «çà îòêðûòèå âîëíîâîé ïðèðîäû ýëåêòðîíîâ». Íî
ðàáîòà ó÷åíîãî, çà êîòîðóþ áûëà ïðèñóæäåíà ïðåìèÿ, îòêðûâàëà
ïåðåä ôèçèêàìè ãîðàçäî áîëåå øèðîêèå ãîðèçîíòû.
Áûëà ðàñïðîñòðàíåíà èäåÿ À.Ýéíøòåéíà î êîðïóñêóëÿðíîâîëíîâîé
ïðèðîäå ñâåòà íà âñþ ìàòåðèþ.
à) Êòî ýòîò ó÷åíûé á)  êàêîé ñòðàíå îí æèë
2. Âîïðîñ óñòðîéñòâà ìèðà çàíèìàë ëþäåé ñ äàâíèõ
âðåìåí. Âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå àíòè÷íîñòè, â ÷àñòíîñòè Àðèñòîòåëü,
ñôîðìóëèðîâàëè ãåîöåíòðè÷åñêóþ ãèïîòåçó ñòðîåíèÿ
Âñåëåííîé. Ýòà ãèïîòåçà áûëà ãîñïîäñòâóþùåé ïî÷òè
äâå òûñÿ÷è ëåò. Îäíàêî óæå â Äðåâíåé Ãðåöèè áûëè ìûñëèòåëè,
êîòîðûå îòâîäèëè Çåìëå áîëåå ñêðîìíîå ìåñòî. Ïî
îäíîé èç ãèïîòåç âñå íåáåñíûå òåëà âðàùàëèñü âîêðóã
Âåëèêîãî öåíòðàëüíîãî îãíÿ, äðóãàÿ ãèïîòåçà áûëà ãåëèîöåíòðè÷åñêîé
– â öåíòð Âñåëåííîé ñòàâèëà Ñîëíöå.
Íàçîâèòå äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ – àâòîðîâ ýòèõ ãèïîòåç.
3. 2009 ãîä îáúÿâëåí ÎÎÍ ãîäîì àñòðîíîìèè. Â ýòîì ãîäó
îòìå÷àåòñÿ 400 ëåò ñî âðåìåíè èçãîòîâëåíèÿ ïåðâîãî àñòðîíîìè÷åñêîãî
ïðèáîðà, äàâøåãî âîçìîæíîñòü ïîäðîáíî èçó-
÷àòü çâåçäíîå íåáî, íàõîäÿ íà íåì íîâûå, ïðåæäå íåâèäèìûå
îáúåêòû. Àâòîðîì ýòîãî ïðèáîðà áûë âåëèêèé ôèçèê, ðàçðàáîòàâøèé
ôóíäàìåíòàëüíûå îñíîâû ñîâðåìåííîé ìåõàíèêè.
à) Î êàêîì ïðèáîðå èäåò ðå÷ü á) Êòî ñîçäàòåëü ýòîãî
ïðèáîðà â)  êàêîé ñòðàíå îí æèë ã) ×åì ýòîò ïðèáîð
îòëè÷àåòñÿ îò àíàëîãè÷íîãî ïðèáîðà, ñîçäàííîãî ñîâðåìåííèêîì
ýòîãî ó÷åíîãî, âûäàþùèìñÿ àñòðîíîìîì È.Êåïëåðîì
54-59.p65 58
09.06.10, 10:48

ÎÒÂÅÒÛ, ÎËÈÌÏÈÀÄÛ ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß 59
4. Ñîâðåìåííûå íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå ðàçðàáîòêè îñíîâàíû
íà íàíîòåõíîëîãèÿõ. Äëÿ èõ îñóùåñòâëåíèÿ òðåáóåòñÿ èíôîðìàöèÿ
î ðàñïîëîæåíèè îòäåëüíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë
âåùåñòâà. Â 1986 ãîäó áûë ïîñòðîåí ïåðâûé ïðèáîð, ïîçâîëÿþùèé
ïîëó÷èòü òàêóþ èíôîðìàöèþ.  îñíîâå ýòîãî ïðèáîðà
ëåæèò èñïîëüçîâàíèå ñèë Âàí-äåð-Âààëüñà, äåéñòâóþùèõ
ìåæäó àòîìàìè çîíäà è îòäåëüíûìè ÷àñòèöàìè âåùåñòâà,
à ðåãèñòðèðóåò ýòî âçàèìîäåéñòâèå èçìåðèòåëü íàíîïåðåìåùåíèé.
Ýòîò ïðèáîð ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ìèêðîðåëüåôà ïîâåðõíîñòè ëþáûõ âåùåñòâ, êàê ïðîâîäÿùèõ,
òàê è íåïðîâîäÿùèõ, ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî íàáëþäàòü
âñåâîçìîæíûå íåñîâåðøåíñòâà ñòðóêòóðû, ëîêàëèçîâàííûå
íà èçó÷àåìûõ ïîâåðõíîñòÿõ, íàïðèìåð äèñëîêàöèè
èëè çàðÿæåííûå äåôåêòû, à òàêæå âñÿ÷åñêèå ïðèìåñè.
à) ×òî ýòî çà ïðèáîð á) Êàêèå äðóãèå ïðèáîðû äëÿ
ðàññìîòðåíèÿ ìèêðîñòðóêòóð âû çíàåòå
5. 130 ëåò íàçàä ñêîí÷àëñÿ âåëèêèé àíãëèéñêèé ôèçèê. Îí
ðàáîòàë â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè, è â êàæäîé èç ýòèõ
îáëàñòåé îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ ðåçóëüòàò, íàçâàííûé åãî
èìåíåì. Âñå åãî äîñòèæåíèÿ çíà÷èòåëüíû, íî îäíî èç íèõ
ñâÿçàëî â åäèíîå öåëîå òðè ðàçäåëà ôèçèêè, êîòîðûå äî ýòîãî
ñ÷èòàëèñü îáîñîáëåííûìè. Ðÿä ïðåäñêàçàíèé åãî òåîðèè
äîâîëüíî áûñòðî ïîäòâåðäèëèñü ýêñïåðèìåíòàëüíî, à íåêîòîðûå
ñòàëè øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ â òåõíèêå. Ýòà òåîðèÿ
ñòàëà ôóíäàìåíòîì êàê äëÿ êëàññè÷åñêèõ ðàçäåëîâ ôèçèêè,
òàê è äëÿ ðÿäà íîâûõ íàïðàâëåíèé. Îñîáåííîñòüþ åãî
âçãëÿäîâ áûëî îòðèöàíèå íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàíèÿ
âåêòîðîâ â ôèçè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèÿõ, ïîýòîìó äëÿ èçëîæåíèÿ
íåñêîëüêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå
ñîñòàâëÿþò ñóùíîñòü óïîìÿíóòîé òåîðèè, åìó ïðèøëîñü
íàïèñàòü äâóõòîìíûé òðóä.
à) Íàçîâèòå ýòîãî ó÷åíîãî. á) Î êàêîé òåîðèè èäåò ðå÷ü
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ,
À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, Æ.Ðàááîò
ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
ÊÌØ
ÇÀÄÀ×È
(ñì. «Êâàíò» ¹2)
1. Âñåãî åñòü ïÿòü ÷èñåë, ó êîòîðûõ òðåõçíà÷íûå êóáû: 5 3 = 125,
3
3
3
3
6 = 216 , 7 = 343 , 8 = 512 , 9 = 729 . Íè ÷èñëî ÊÓÁ, íè
÷èñëî ØÀÐ íå ðàâíû 343, òàê êàê â êàæäîì èç íèõ âñå öèôðû
ðàçíûå. Íî âî âñåõ îñòàâøèõñÿ êóáàõ åñòü îáùàÿ öèôðà 2, à â
÷èñëàõ ÊÓÁ è ØÀÐ îáùèõ öèôð íåò.
2. Âîñïîëüçóåìñÿ ïàëåòêîé. Òàê íàçûâàþò ïðîçðà÷íóþ êëåò÷àòóþ
ïëåíêó ñ ÿ÷åéêàìè 1× 1, êîòîðóþ èñïîëüçóþò äëÿ íàõîæäåíèÿ
ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ïëîùàäåé ôèãóð. Íàëîæèì
Ðèñ. 1
ïàëåòêó íà ôèãóðó òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1, à. Òåïåðü
ÿñíî èç ðèñóíêà 1,á, ÷òî ôèãóðà ñîäåðæèò 24 öåëûå êëåòêè è
åùå 16 ÷åòâåðòèíîê êðóãà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïëîùàäü åäèíè÷íîãî
êðóãà ðàâíà π , ïîëó÷èì, ÷òî ïëîùàäü äàííîé ôèãóðû ðàâíà
24 + 4π.
3. Ïåðâûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî è Ñàøó, è Àðòåìà, è
Ìàøó ó÷èëè ñîñòàâëÿòü áóêâû èç îòðåçêîâ.
Ïîêà òîëùèíà îòðåçêà îñòàåòñÿ ìàëîé (ïî ñðàâíåíèþ ñ åãî
äëèíîé), ìû ëåãêî óçíàåì áóêâû. Íî êîãäà òîëùèíà îòðåçêà
ñòàíîâèòñÿ î÷åíü áîëüøîé, îòðåçêè ïðåâðàùàþòñÿ â ïðÿìîóãîëüíèêè,
è áóêâû ñòàíîâÿòñÿ ñîâåðøåííî íåóçíàâàåìûìè.
Äëÿ ðàñøèôðîâêè Ìàøèíîé
çàïèñè íàì íàäî âûÿñíèòü,
÷åìó ðàâíà òîëùèíà
ïëàêàòíîãî ïåðà
(ðèñ. 2). Ýòîò ðàçìåð èìååò
îäíà èç ñòîðîí êàæäîãî
ïðÿìîóãîëüíèêà-îòðåçêà.
Ñðàâíèì ïðÿìîóãîëüíèêè, Ðèñ. 3
íàõîäÿùèåñÿ íà ïåðâîì
ïëàíå, – ýòî âåðòèêàëüíûå
ïðÿìîóãîëüíèêè â
ïåðâîé è øåñòîé ôèãóðàõ.
Ó íèõ îäèíàêîâûå
ñòîðîíû èìåþò äëèíó 4
êëåòêè. Ýòî è åñòü øèðèíà
ïëàêàòíîãî ïåðà.
Òåïåðü ïðèñòóïàåì ê ðàçãàäêå
Ìàøèíîé çàïèñè.
Íàì íàäî êàæäûé ïðÿìîóãîëüíèê
ñæàòü â îòðåçîê
âäîëü åãî ñòîðîíû,
ðàâíîé 4 êëåòêàì,
Ðèñ. 2
ò.å. ïðîâåñòè ñðåäíþþ ëèíèþ ïðÿìîóãîëüíèêà. Òî, ÷òî ó íàñ
ïîëó÷èëîñü, ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3.
Èòàê, îòâåò – ÃÅÎÌÅÒÐÈß.
4. Íåò, ó äâîðíèêîâ äðóãàÿ öåëü.
Òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ñìåñè ñíåãà ñ ñîëüþ íèæå, ÷åì ó
÷èñòîãî ñíåãà. Êîãäà äâîðíèê ïîñûïàåò äîðîæêó ñîëüþ, ñíåã
âçàèìîäåéñòâóåò ñ ñîëüþ è îáðàçóåòñÿ ðàñòâîð ñîëè â âîäå.
Òåìïåðàòóðà çàìåðçàíèÿ ýòîãî ðàñòâîðà íèæå òåìïåðàòóðû
âîçäóõà, ðàñòâîð ñòåêàåò ñ äîðîæêè, è ñíåã èñ÷åçàåò. Âîò
ïî÷åìó ó äâîðíèêîâ, çíàþùèõ ýòó òàéíó ðàññîëîâ, äîðîæêè
÷èñòûå îò ñíåãà, äàæå êîãäà íà óëèöå ìîðîç.
5. Âûèãðàåò ëàìà.
Çàìåòèì, ÷òî îäèí èç ó÷åíèêîâ áåðåò âñåãäà íå÷åòíîå ÷èñëî
ñïè÷åê, à äðóãîé – ÷åòíîå (âîçìîæíî, 0, åñëè îí âûíóæäåí
ïðîïóñòèòü õîä). Ïîýòîìó, íåçàâèñèìî îò õîäîâ ó÷åíèêîâ,
ïåðåä êàæäûì õîäîì ìóäðîãî ëàìû íà ñòîëå áóäåò íàõîäèòüñÿ
íå÷åòíîå ÷èñëî ñïè÷åê, à ïîñëå ëþáîãî õîäà ëàìû – ÷åòíîå.
Çíà÷èò, ó ëàìû âñåãäà áóäåò õîä, è ïîñêîëüêó ïîñëå êàæäîãî
åãî õîäà ÷èñëî ñïè÷åê íà ñòîëå óìåíüøàåòñÿ, ëàìà âûèãðàåò.
54-59.p65 59
09.06.10, 10:48

60
ÊÎÍÊÓÐÑ «ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 6–8»
(ñì. «Êâàíò» ¹6 çà 2009 ã.)
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
11. Çíàêè àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè ìîæíî ðàññòàâèòü,
íàïðèìåð, òàê: (7 −7 −7 ): 7 ⋅7 ⋅ 1 = 2009 . Íî åñòü è
5 4 3 2
äðóãèå ñïîñîáû.
12. Ïóñòü A = a n
a n − 1
… aa 1 0
– âîçðàñòàþùåå ÷èñëî, ò.å.
< a < a < …< a < a . Òîãäà
0
n n−1 1 0
9A = 10A − A = a a … aa 0− a a … aa =
n n−1 1 0 n n−1 1 0
n+
1
n
= an ⋅ + an−1
−an
⋅ + … + a 0
− 1
− + −a0
10 ( )10 ( a 1)·10 (10 ).
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè âñå êîýôôèöèåíòû ïåðåä ñòåïåíÿìè
10 ñóòü íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà (î÷åâèäíî, íå ïðåâîñõîäÿùèå
9), à êîýôôèöèåíò an
ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè ïîëîæèòåëåí.
Çíà÷èò, ýòî è åñòü öèôðû ÷èñëà 9A , à èõ ñóììà ðàâíà
a + ( a − a )( +…+ a − a )( + a − a − 1)10 + − a = 10 − 1 = 9 .
n n−1 n
1 2 0 1
0
13. Ìîæíî.
Ïîêàæåì, êàê ïîëó÷èòü ðàñïîëîæåíèå, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå
2 óñëîâèÿ çàäà÷è.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè íå îáðàùàòü âíèìàíèÿ íà ïåðåìåùåíèå îñòàëüíûõ
ôèøåê, òî ôèøêè 1 è 2 íåòðóäíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè.
Äëÿ ýòîãî íóæíî âûïîëíèòü âñåãî ÷åòûðå âðàùåíèÿ êâàäðàòîâ
2 × 2 íà óãëû, êðàòíûå 90°, â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
ëåâûé – ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå íà 90°, ïðàâûé – ïðîòèâ ÷àñîâîé
ñòðåëêè íà 90°, ëåâûé – ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà 90°, è
ïðàâûé – íà 180°. Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíî ïåðåìåùåíèå ôèøåê
ïðè ýòèõ âðàùåíèÿõ.
Ðèñ. 4
Ñðàâíèâàÿ íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ðàñïîëîæåíèå ôèøåê, ïðîñëåäèì,
êàêîå ïåðåìåùåíèå ñîâåðøèëà êàæäàÿ ôèøêà. Ïåðåìåùåíèå
êàæäîé ôèøêè îáîçíà÷èì ñòðåëêîé. Òî÷êàìè îòìåòèì
ôèøêè, êîòîðûå âíîâü îêàçàëèñü
íà ñâîèõ ìåñòàõ. Ïîëó÷èì ñõåìó, ïîêàçàííóþ
íà ðèñóíêå 5.
Çàìåòèì, ÷òî ôèøêè 1 è 2, êàê ìû è
îæèäàëè, ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè, ôèøêè
3 è 6 îñòàëèñü íà ñâîèõ ìåñòàõ, ôèøêè
4, 5 è 7 ïåðåìåñòèëèñü ïî öèêëó.
Ðèñ. 5
Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè ýòó ñåðèþ èç ÷åòûðåõ
âðàùåíèé ïîâòîðèòü òðèæäû, òî ôèøêè 4, 5 è 7 ñíîâà
ñòàíóò íà ñâîè ìåñòà, à ôèøêè 1 è 2 ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè.
Òåïåðü ïîêàæåì, êàê ïîëó÷èòü ðàñïîëîæåíèå, èçîáðàæåííîå
íà ðèñóíêå 3 óñëîâèÿ.
Ñ ïîìîùüþ äâóõ âðàùåíèé ëåâîãî è ïðàâîãî êâàäðàòîâ ïåðåìåñòèì
ôèøêó 3 íà ìåñòî ôèøêè 1, à ôèøêó 5 ïåðåìåñòèì íà
ìåñòî ôèøêè 2. Äàëåå, ôèøêè 3 è 5 ïîìåíÿåì ìåñòàìè (êàê
ìû óæå íàó÷èëèñü ïðè îòâåòå íà ïåðâûé âîïðîñ çàäà÷è). Îñòàåòñÿ
âðàùåíèåì ïðàâîãî êâàäðàòà ïåðåìåñòèòü ôèøêó 3 â
êðàéíåå ïðàâîå ïîëîæåíèå, à âðàùåíèåì ëåâîãî êâàäðàòà ïåðåìåñòèòü
ôèøêó 5 â êðàéíåå ëåâîå ïîëîæåíèå. Ïðîöåññ ïåðåìåùåíèÿ
ïîêàçàí íà ðèñóíêå 6.
2 2 2
14. Çàìåòèì, ÷òî âñåãäà a + b + c ≥ ab + bc + ac (äîìíîæèâ
ýòî íåðàâåíñòâî íà 2 è ïåðåíåñÿ âñå â ëåâóþ ÷àñòü, åãî ìîæíî
Ðèñ. 6
ïðèâåñòè ê âèäó ( a − b) 2 + ( b − c) 2 + ( c −a )
2 ≥ 0 ).
Ïîýòîìó â íàøåì ñëó÷àå
2 2 2 2
( a + b + c) = a + b + c + 2( ab + bc + ac ) ≥ 3( ab + bc + ac )3 = .
Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî a + b + c > 0 (òîãäà, èçâëåêàÿ êâàäðàòíûé
êîðåíü, ïîëó÷èì òðåáóåìîå). Ïóñòü, íàïðèìåð, c < 0 ,
òîãäà ÷èñëà a è b ïîëîæèòåëüíûå. Èç äàííîãî â óñëîâèè ðàâåíñòâà
ïîëó÷èì (òàê êàê ac < 0 )
ab + bc > 0 ⇒ ab > bc ⇒ a > c , îòêóäà a + b + c > 0 .
15. Ïóñòü P, Q, R, S – ñåðåäèíû ñòîðîí AB, BC, CD, DA ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 7). Ðàññìîòðèì
óãîë ïàðàëëåëîãðàììà
PQRS, íå ÿâëÿþùèéñÿ
îñòðûì. Ïóñòü ýòî óãîë
PQR. Òîãäà îñíîâàíèÿ
ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ
èç òî÷åê Q è S
íà ïðÿìóþ PR, ëåæàò
íà îòðåçêå PR. Ïóñòü
ýòî òî÷êè K è L ñîîòâåòñòâåííî.
Ðèñ. 7
Ïðîâåäåì ðàçðåçû ïî
îòðåçêàì PR, QK è SL. Îáîçíà÷èì ïîëó÷èâøèåñÿ ÷àñòè:
APLS – (1), BPKQ – (2), CRKQ – (3), DRLS – (4).
Ñîåäèíèì ÷àñòè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
(2) ïîâåðíåì âîêðóã òî÷êè P òàê, ÷òîáû òî÷êà B ñîâìåñòèëàñü
ñ òî÷êîé A;
(4) ïîâåðíåì âîêðóã òî÷êè S òàê, ÷òîáû òî÷êà D ñîâìåñòèëàñü
ñ òî÷êîé A;
÷àñòü (3) âñòàâèì â îáðàçîâàâøèéñÿ çàçîð ìåæäó ïîâåðíóòûìè
÷àñòÿìè (2) è (4), ñîâìåñòèâ òî÷êó Ñ ñ òî÷êîé À.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê.
ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
Âîïðîñû è çàäà÷è
1. Äà; äà; íåò.
2. Ñì. ðèñ.8.
3. Áóäåò â îáîèõ ñëó÷àÿõ.
4. Ïîñòóêèâàòü íåîáõîäèìî,
÷òîáû çàñòàâèòü
÷àñòèöû äâèãàòüñÿ, òàê
êàê ìàãíèòíûå ñèëû íå
ìîãóò ïðåîäîëåòü ñèë
òðåíèÿ ïîêîÿ. Çà ñ÷åò
íàìàãíè÷èâàíèÿ êàæäîé
÷àñòèöû â ïðîäîëüíîì
íàïðàâëåíèè ïîëå îêîëî
åå êîíöîâ óâåëè÷èâàåòñÿ,
÷òî ñîçäàåò óñëîâèÿ
äëÿ ñîåäèíåíèÿ ÷àñòèö
öåïî÷êîé. Ðèñ. 8
60.p65 60
09.06.10, 13:03

ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
61
5. Ïî äåéñòâèþ êîíöà îäíîãî ñòåðæíÿ íà ñåðåäèíó äðóãîãî –
îäèí èç ñòåðæíåé ìîæíî ïîäâåñèòü ê äèíàìîìåòðó èëè ðàçìåñòèòü
íà ïîïëàâêå.
6. Âñå êóñêè áóäóò íàìàãíè÷åíû îäèíàêîâî.
7. Íåò, òàê êàê ïîëå êàæäîãî ìàãíèòà áóäåò ñëàáåå.
8. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåäîõðàíèòü ìàãíèò îò ðàçìàãíè÷èâàíèÿ.
9. Ìàãíèòíîå ïîëå â îñíîâíîì áóäåò çàìêíóòî ÿêîðåì, ïîýòîìó
ìàãíèòíîå ïðèòÿæåíèå îñëàáåâàåò, è øàðèê ïàäàåò.
10.  ïåðâîì ñëó÷àå ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ íèæíåãî ìàãíèòà
öèëèíäðû áóäóò îäèí çà äðóãèì îòðûâàòüñÿ îò ãèðëÿíäû è
ïðèòÿãèâàòüñÿ ê íèæíåìó ìàãíèòó. Âî âòîðîì ñëó÷àå «ïðî÷íîñòü»
ãèðëÿíäû áóäåò âîçðàñòàòü ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ íèæíåãî
ìàãíèòà. Êîãäà âòîðîé ìàãíèò âïëîòíóþ ïîäîéäåò ê íèæíåìó
öèëèíäðó, îí ïðèòÿíåòñÿ ê ãèðëÿíäå è îñòàíåòñÿ âèñåòü
íà íåé.
11. Ñòðåëêè ðàñïîëîæàòñÿ ïàðàëëåëüíî ïðîòèâîïîëîæíûì
ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà – ýòî ïîëîæåíèå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ.
Òàêæå ñòðåëêè ìîãóò ðàñïîëîæèòüñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî
ïðîòèâîïîëîæíûì ñòîðîíàì, îäíàêî ýòî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
íåóñòîé÷èâî.
12. Óäàðû ïî ìàãíèòó íàðóøàþò ïðàâèëüíîå ðàñïîëîæåíèå
äîìåíîâ â âåùåñòâå, è ïîñòîÿííûé ìàãíèò èç ëþáîãî ìàòåðèàëà
ðàçìàãíèòèòñÿ. Íàïðîòèâ, ïîñòóêèâàíèå ïî ñòàëüíîìó
ñòåðæíþ, ðàñïîëîæåííîìó ïàðàëëåëüíî ëèíèÿì ìàãíèòíîãî
ïîëÿ, äàæå òàêîãî ñëàáîãî, êàê çåìíîå, ñïîñîáñòâóåò âûñòðàèâàíèþ
äîìåíîâ âäîëü ïîëÿ, è ñòåðæåíü òàêèì ñïîñîáîì ìîæíî
íàìàãíèòèòü.
13. Âáëèçè ïîëþñîâ ìàëà ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ çåìíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, è ïîýòîìó ìàë âðàùàþùèé ìîìåíò,
äåéñòâóþùèé íà ñòðåëêó êîìïàñà.
14. Âîîáùå ãîâîðÿ, íåò.  êàæäîé òî÷êå çåìíîãî øàðà èìååòñÿ
íåêîòîðîå ìàãíèòíîå íàêëîíåíèå, ò.å. íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî
ïîëÿ íå ãîðèçîíòàëüíîå.
15. Íåò. Íà Ëóíå îòñóòñòâóåò ìàãíèòíîå ïîëå.
16. Ôåððîìàãíåòèçì ñâÿçàí ñî ñâîéñòâàìè äîâîëüíî ïðîòÿæåííûõ
ñòðóêòóð – äîìåíîâ, êîòîðûå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü
òîëüêî â òâåðäûõ òåëàõ.
17. Ïåðåøëà âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ðàñòâîðà.
Ìèêðîîïûò
Âñå æåëåçíûå ïðåäìåòû íàõîäÿòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå Çåìëè.
Ïîä äåéñòâèåì ýòîãî ïîëÿ îíè íàìàãíè÷èâàþòñÿ, ïðè÷åì íèæíÿÿ
÷àñòü ïðåäìåòà îáíàðóæèâàåò ñåâåðíûé ìàãíèòíûé ïîëþñ,
à âåðõíÿÿ – þæíûé (ðàçóìååòñÿ, â ñåâåðíîì ïîëóøàðèè),
÷òî è «âûäàåò» ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà.
ÑÂÅÐÕÇÂÓÊÎÂÛÅ ÑÀÌÎËÅÒÛ È ÊÎÍÓÑ ÌÀÕÀ
Çàäà÷à 2.  îáîèõ ñëó÷àÿõ íàäî íàéòè âðåìÿ, ÷åðåç êîòîðîå
êîíóñ Ìàõà, êîñíóâøèñü ïåðâîãî ìèêðîôîíà, êîñíåòñÿ âòîðîãî.
à) Ïîñìîòðèòå íà ðèñóíîê 9,à, íà êîòîðîì íàðèñîâàíà ëèøü
ïîëîâèíêà êîíóñà Ìàõà è òðàññà ñàìîëåòà ïðîëîæåíà ïðÿìî
÷åðåç ìèêðîôîíû. Âåðøèíà êîíóñà – ýòî ñàì ñàìîëåò, ïîýòîìó
äâèæåòñÿ îíà ñî ñêîðîñòüþ ñàìîëåòà. ×òîáû äîéòè äî âòîðîãî
ìèêðîôîíà, åé ïîíàäîáèòñÿ âðåìÿ
∆l
∆l
−2
∆ t = = = 2⋅ 10 c.
v 2c
á)  ýòîì ñëó÷àå ïîñìîòðèòå íà ðèñóíîê 9,á. ×òîáû êîíóñ
Ìàõà êîñíóëñÿ âòîðîãî ìèêðîôîíà, ñàìîëåòó íàäî ïðîéòè
2
ïóòü ∆ s = ∆lctg α = ∆l M − 1 . Äëÿ ýòîãî íóæíî âðåìÿ
2
∆s
∆l M −1
−2
∆ t = = = 3, 46 ⋅ 10 c .
v 2c
Çàäà÷à 3.  ïðîñòðàíñòâåííîì ñëó÷àå ïîä òî÷êîé Ç íàäî ïîíèìàòü
íå çåíèò, à áëèæàéøóþ ê íàáëþäàòåëþ òî÷êó íà òðàåêòîðèè
ñàìîëåòà, è äëÿ äëèíû îòðåçêà ÇÍ áðàòü íå âûñîòó
Ðèñ. 9
2 2
ïîëåòà h, à ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå h + d îò íàáëþäàòåëÿ
äî òðàåêòîðèè (ðèñ.
10). Âîñïîëüçóåìñÿ
ôîðìóëîé (ïîëó÷åííîé
â çàäà÷å 1) h =
v∆t
2
M − 1
è çàïèøåì äëÿ êàæäîãî
Ðèñ. 10
íàáëþäàòåëÿ âûðàæåíèå
äëÿ âðåìåíè ðåãèñòðàöèè çâóêîâîãî ñèãíàëà:
2
2 2 2
M − 1 h M − 1 h + a
t1
= , t2
= ,
M c M c
2 2 2
M − 1 h + b
t3
= .
M c
Âñå âðåìåíà îòñ÷èòàíû îò ìîìåíòà ïðîõîæäåíèÿ ñàìîëåòîì
«çåíèòà», êîòîðûì äëÿ âñåõ òðåõ íàáëþäàòåëåé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà
Ç.  óñëîâèè çàäà÷è çàäàþòñÿ íå ñàìè âðåìåíà, à ðàçíîñòè
âðåìåí, ïîýòîìó ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò èìåòü âèä
2
− 1 2 2
( ),
2 2 2 2
( )
M
c∆ t2
= h + a −h
M
2
M − 1
c∆ t3
= h + b − h + a
M
Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äàåò
H = 6000 ì, Ì = 1,16.
Çàäà÷à 4. Íà ðèñóíêå 11
èçîáðàæåí ìîìåíò, êîãäà
ïåðâûé ëåò÷èê (áîëåå áûñòðûé)
óñëûøèò çâóê âòîðîãî
ñàìîëåòà. Ðàññìîòðèì
òðåóãîëüíèê AC1C 2.
 ýòîì òðåóãîëüíèêå íàì Ðèñ. 11
çàäàíû òðè âåëè÷èíû:
∠ CAC 1 2 = α 1, ∠ AC2C1 = 180° − α è AC2 = ( v1 + v2)
∆ t . Ðàññòîÿíèå
ìåæäó ñàìîëåòàìè â òîò ìîìåíò, êîãäà ïåðâûé ëåò÷èê
ñëûøèò ñàìîëåò âòîðîãî, ðàâíî
sin α1
( M1 + M2)
M2
CC 1 2 = ( v1 + v2)
∆ t
= c∆t
sin ( α2 − α1)
2 2
M1 −1− M2
− 1
,
ðàññòîÿíèå ìåæäó ñàìîëåòàìè â ìîìåíò, êîãäà âòîðîé ëåò÷èê
óñëûøèò ïåðâûé ñàìîëåò, ðàâíî
sin α2
( M1 + M2)
M1
AC1 = ( v1 + v2)
∆ t
= c∆t
sin ( α2 −α1)
2 2
M1 −1− M2
− 1
,
à ðàññòîÿíèå ìåæäó òðàåêòîðèÿìè ñàìîëåòîâ ñîñòàâëÿåò
sin α1sin
α2
L = CC 1 2sin
α 2 = ( v1 + v2)
∆ t
=
sin ( α2 − α1)
M1 + M2
= c∆t
2 2
M1 -1 - M2
- 1
.
Çàäà÷à 6. Ñðàçó ïîñëå òîãî, êàê ïåðâûé ñàìîëåò ïåðåñå÷åò
.
60.p65 61
09.06.10, 13:03

62
òðàåêòîðèþ âòîðîãî, íà íåé
ïîÿâÿòñÿ äâå òî÷êè: A 1 è A2
(ðèñ.12). Ïåðâàÿ áóäåò äâèãàòüñÿ
íàâñòðå÷ó âòîðîìó ñàìîëåòó,
à âòîðàÿ – îò íåãî.
Ñêîðîñòè îáåèõ òî÷åê ðàâíû
Ðèñ. 12
v1
v⊥ = 2
M1 − 1
.
Âòîðîé ëåò÷èê áóäåò ñëûøàòü çâóê ïåðâîãî ñàìîëåòà, ïîêà
áóäåò íàõîäèòüñÿ âíóòðè êîíóñà Ìàõà ïåðâîãî ñàìîëåòà, ò.å.
ìåæäó òî÷êàìè A 1 è A 2 . Ïóñòü t 1 – âðåìÿ âñòðå÷è âòîðîãî
ñàìîëåòà ñ òî÷êîé A 1 , à t 2 – âðåìÿ, êîãäà âòîðîé ñàìîëåò
äîãîíèò òî÷êó A 2 , òîãäà äëÿ «äëèòåëüíîñòè çâó÷àíèÿ ïåðâîãî
ñàìîëåòà» ∆ t ïîëó÷èì
∆ t = t2 − t1.
Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñàìîëåòàìè áûëî ðàâíî L è îíè äâèæóòñÿ
íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè v 2 è v ⊥ , òî îíè
âñòðåòÿòñÿ ÷åðåç âðåìÿ
L
t1
= .
v2
+ v ⊥
Åñëè æå îäèí èç ñàìîëåòîâ äâèæåòñÿ â äðóãóþ ñòîðîíó, òî
âòîðîé íàãîíèò ïåðâîãî ÷åðåç âðåìÿ
L
t2
= .
v2
− v ⊥
Îáúåäèíÿÿ ýòè äâà îòâåòà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
2
2v⊥
2M1 M1
− 1 L
∆ t = L = = 2,85 c .
2 2 2 2 2 2
v2 −v⊥
M1M2 − M1 − M2
c
À âîò ïèëîò ïåðâîãî ñàìîëåòà íèêîãäà íå óñëûøèò çâóêà âòîðîãî
ñàìîëåòà, òàê êàê åãî ñêîðîñòü v 1 = M 1 c = 990 ì ñ áîëüøå
ñêîðîñòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî òðàåêòîðèè ñ êîíóñîì
v2
Ìàõà âòîðîãî ñàìîëåòà v = = 341 ì ñ .
2
M − 1
ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÎ ÊÎØÈ Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ
1. v min = lg = 20 ì ñ , ïðè÷åì ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè
áðîñêå ïîä óãëîì 45° .
2. Ïîåçä Â áóäåò íàõîäèòüñÿ â ñàìîì ãîðîäå; íàèìåíüøåå
ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîåçäàìè áóäåò l min = 7 êì.
2
2
v0 v0
3. h = = 3,6 ì ; smax
= = 7,2 ì .
4g
2g
8
4. α < arcsin 70,5
( )
3 ≈ ° . 5. 2
α= arctg µ+ µ + 1 .
6. Ñêîðîñòü ïàññàæèðà ðàâíà la è ñîñòàâëÿåò óãîë 45° ñ
íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà.
XVIII ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ
«ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ»
Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð
2
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíîñòü íåðàâåíñòâà y > x.
3
Îñòàëîñü ðåøèòü óðàâíåíèå x − x − 6 = 0 , ðàâíîñèëüíîå
óðàâíåíèþ ( x − 2)( x 2 + 2x
+ 3)
= 0 ; ó âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ
îòðèöàòåëüíûé äèñêðèìèíàíò.
2 2
x x + xy + zx
4. 0. Ïîñêîëüêó + x =
, íàõîäèì, ÷òî
y + z y + z
2
x x
= ( x + y + z)
− x . Âûïèñàâ åùå äâà àíàëîãè÷íûõ
y + z y + z
ðàâåíñòâà, ñëîæèì ïî÷ëåííî âñå òðè. Ïîëó÷èì
2 2 2
x y z
⎛ x y z ⎞
+ + = ( x + y + z) ⎜ + + −1⎟.
y + z z + x x + y
⎝y + z z + x x + y ⎠
5. à) Ìîæíî; á) íåò.
à) Ïóñòü çà ïîáåäó êîìàíäà ïîëó÷àåò 1 î÷êî. Êàæäàÿ êîìàíäà
ñûãðàëà 7 èãð, â êàæäîé èç êîòîðûõ ðàçûãðûâàëîñü 1
î÷êî, ïîýòîìó âñåãî ðàçûãðàëè 8 ⋅ 7 = 28 î÷êîâ.
2
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî íàéäåòñÿ êîìàíäà, âûèãðàâøàÿ ó 4-õ êîìàíä
(èíà÷å âñå 8 êîìàíä íàáðàëè âñåãî íå áîëåå ÷åì
3 ⋅ 8 = 24 < 28 î÷êîâ). Ïóñòü ýòî êîìàíäà À, à âûèãðàëà îíà ó
êîìàíä Â, Ñ, D è Å.
Àíàëîãè÷íî, ñðåäè êîìàíä Â, Ñ, D è Å íàéäåòñÿ êîìàíäà,
âûèãðàâøàÿ ó äâóõ äðóãèõ èç ýòèõ ÷åòûðåõ êîìàíä. Ïóñòü Â
âûèãðàëà ó Ñ è D. Â ïàðå C è D îäíà êîìàíäà âûèãðàëà ó
äðóãîé, ïóñòü ýòî êîìàíäà C. Òîãäà ÷åòâåðêà À, Â, Ñ, D èñêîìàÿ.
á) Ïîñòðîèì êîíòðïðèìåð.
Êîìàíäû À, Â, C, D, E, F, G èçîáðàçèì òî÷êàìè íà ïëîñêîñòè
(ðèñ.13) è íàïðàâèì ñòðåëêó îò òî÷êè, èçîáðàæàþùåé êîìàíäó-ïîáåäèòåëüíèöó,
â òî÷êó,
èçîáðàæàþùóþ ïðîèãðàâøóþ
êîìàíäó. Èç ðèñóíêà âèäíî,
÷òî êàæäàÿ êîìàíäà âûèãðàëà
ðîâíî ó òðåõ äðóãèõ êîìàíä,
âûèãðàâøèõ äðóã ó äðóãà
«ïî öèêëó». Ïîýòîìó ñèòóàöèÿ,
îïèñàííàÿ â óñëîâèè, íåâîçìîæíà.
6. Ïóñòü n, n + 1, n + 2, n + 3
– ïëîùàäè óêàçàííûõ â óñëîâèè
òðåóãîëüíèêîâ, âçÿòûõ â Ðèñ. 13
íåêîòîðîì ïîðÿäêå, S – ïëîùàäü
äàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, õ – ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
CEF (ðèñ. 14,à). Òîãäà S = 4n + 6, à ïîñêîëüêó EF – ñðåäíÿÿ
ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà BCD è îòñåêàåò ïîýòîìó îò íåãî ÷åòâåðòü
Ìàòåìàòèêà
1. 6.
2. 30° .
Óêàçàíèå. Îïóñòèòå èç òî÷êè D ïåðïåíäèêóëÿð íà ïðÿìóþ
ÂÑ.
3. x = y = z = 2. Ïî÷ëåííî âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå,
çàòåì – èç âòîðîãî òðåòüå, ïîëó÷èì
⎧
3 3
⎪x − y = y − z,
⎨
3 3
⎪⎩ y − z = z − x.
Äîêàæåì, ÷òî x = y = z. Ïóñòü x > y. Òîãäà èç ñèñòåìû èìååì
x > y > z > x > y, ò.å. y > y. Ïðîòèâîðå÷èå.
Ðèñ. 14
ïëîùàäè, òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BCD ðàâíà 4õ. Çíà÷èò,
äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABD, ñ ó÷åòîì î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà
x ≥ n , ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:
( )
SABD
= 4n + 6− 4x = 4 n − x + 6 ≤ 6 .
Ïðèâåäåì ïðèìåð ÷åòûðåõóãîëüíèêà, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû
óñëîâèÿ çàäà÷è è ïðè ýòîì S ABD = 6 .
60.p65 62
09.06.10, 13:03

ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß
63
Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíóþ òðàïåöèþ ABCD (ðèñ.14,á) ñ îñíîâàíèÿìè
AD = 3 è ÂÑ = 2, ïðÿìûì óãëîì ïðè âåðøèíå Ñ è
áîêîâîé ñòîðîíîé CD = 4, òî÷êè Å è F ïóñòü áóäóò ñåðåäèíàìè
ñòîðîí ÂÑ è CD ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà S CEF = 1 ,
S ABE = 2 , S AFD = 3 , S ABCD = 10 , S AEF = 4 , S ABD = 6 .
7. à) Âûèãðûâàåò ïåðâûé; á) ïðè m ≠ 1 âûèãðûâàåò ïåðâûé,
ïðè m = 1 – âòîðîé.
à) Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè m ≤ n è ìåíüøàÿ ñòîðîíà âåðòèêàëüíà.
Òîãäà ïåðâûé èãðîê ñâîèì ïåðâûì õîäîì çàêðûâàåò
êâàäðàò, öåíòð êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì äàííîãî ïðÿìîóãîëüíèêà,
à ñòîðîíà ðàâíà m, à äàëåå íà êàæäûé õîä âòîðîãî
îòâå÷àåò ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé ñðåäíåé
ëèíèè èñõîäíîãî ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ.15,à).
Ðèñ. 15
á) Ïóñòü ñíîâà ñòîðîíà äëèíû m èñõîäíîãî ïðÿìîóãîëüíèêà
âåðòèêàëüíà.  ñëó÷àå n + 1 = m ïåðâûé èãðîê ñíà÷àëà çàêðàøèâàåò
êâàäðàò ñî ñòîðîíîé n. Îñòàíåòñÿ íåçàêðàøåííàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ
ïîëîñêà 1× n (ñì. ðèñ.15,á) è ïåðâûé èãðîê
ñíîâà âûèãðûâàåò, ò.ê. ïîñëå êàæäîãî õîäà âòîðîãî îñòàåòñÿ
íå÷åòíîå ÷èñëî íåçàêðàøåííûõ êëåòîê.
Åñëè æå n + 1 > m > 1, òî ïåðâûé èãðîê ïåðâûì õîäîì çàêðàøèâàåò
êâàäðàò ( m − 1) × ( m − 1)
, âåðòèêàëüíàÿ îñü ñèììåòðèè
êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ ñèììåòðèè èñõîäíîãî ïðÿìîóãîëüíèêà
(ðèñ.15,â). Îñòàíåòñÿ íåçàêðàøåííîé ôèãóðà â ôîðìå
áóêâû Ï, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè ïðÿìîóãîëüíèêà.
Íà ëþáîé õîä âòîðîãî èãðîêà ïåðâûé îòâå÷àåò ñèììåòðè÷íûì
îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè õîäîì è òåì ñàìûì âûèãðûâàåò.
Åñëè æå m = 1, òî, î÷åâèäíî, âûèãðûâàåò âòîðîé.
Çàìå÷àíèå. Åñëè m – íå÷åòíî, n – ÷åòíî è m > n, òî, ïî-âèäèìîìó,
âûèãðûâàåò âòîðîé. Ïîïðîáóéòå ýòî äîêàçàòü.
Ôèçèêà
L
π L
q
1. l = v0 ≈ 28,3 ì ; t = ≈ 4,44 c . 2. A = .
µ g
2 µ g
16πε0h
3. Óêàçàíèå. Äâèãàòåëü è õîëîäèëüíóþ ìàøèíó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê îäíó òåðìîäèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ñîâåðøàþùóþ
öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ.
4.
5.
6.
T
= ,
2
p2 p1
T 1
T
= .
3
p3 p1
T 1
2
mv
⎛
0 2 m m
⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∆ h = ⎜ v0 1+ + 2gL − v0
1+
⎟
Mg ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ M ⎠ ⎝ M ⎠⎟
⎝
⎠
v =
0
2
2q
.
3πε
am
≈ 8,8 ñì .
R
va
1
7. T = 4 2π ≈14500 c ≈ 4÷1ìèí ;
g
v = ï 3
.
Óñòíûé êîìàíäíûé òóð
Ìàòåìàòèêà
1. 69. Íà 8 äåëÿòñÿ òîëüêî òå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïîñëåäíèå
òðè öèôðû êîòîðûõ îáðàçóþò ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 8. Ïîýòîìó
â èñêîìîì ÷èñëå íàäî âçÿòü ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûå ïåðâûå
5 öèôð. Äàëåå íåñëîæíûì ïåðåáîðîì íàõîäèì îòâåò –
ýòî ÷èñëî 99999888.
2
2. 60° . Ïóñòü Î – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ óêàçàííûõ â óñëîâèè
ëèíèé, Ì – ñåðåäèíà ñòîðîíû ÀÂ èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà.
Òîãäà ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè ÀÌÎ è ÀÍÎ ðàâíû (ïî
ãèïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó), ïîýòîìó ðàâíû îòðåçêè ÀÌ è
ÀÍ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÍ
êàòåò ÀÍ ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû ÀÂ, îòêóäà óãîë ÀÂÍ
ðàâåí 30° , à èñêîìûé óãîë À èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí
60° .
3. 407 = 250 + 125 + 32.
4. 40 êì/÷. Óêàçàíèå. Ïóñòü t – ïðîìåæóòîê âðåìåíè, óïîìÿíóòûé
â óñëîâèè. Òîãäà ïðè ïðîõîæäåíèè àâòîáóñà ìèìî
ïåðâîãî íàáëþäàòåëÿ ðàññòîÿíèå îò íåãî äî ãðóçîâèêà è ëåãêîâîãî
àâòîìîáèëÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 30t è 120t. Ïðè ïðîõîæäåíèè
àâòîáóñà ìèìî âòîðîãî íàáëþäàòåëÿ ðàññòîÿíèÿ áóäóò
ðàâíû 60t è 60t, ò.å. â ýòîò ìîìåíò ëåãêîâîé àâòîìîáèëü
äîãîíèò ãðóçîâèê. Ïîýòîìó îò ìîìåíòà ïðîõîæäåíèÿ àâòîáóñà
ìèìî ïåðâîãî íàáëþäàòåëÿ äî ìîìåíòà åãî ïðîõîæäåíèÿ ìèìî
90t
âòîðîãî, ïðîõîäèò âðåìÿ = 3t
. Ïóñòü V – ñêîðîñòü
60 − 30
àâòîáóñà. Òàê êàê ðàññòîÿíèå îò ëåãêîâîãî àâòîìîáèëÿ äî àâòîáóñà
âî âòîðîé ìîìåíò ðàâíî 60t, òî
20t
− 60t
= 3t
,
60 − V
Îòêóäà V = 40 êì/÷.
5. Âåðíî. Ñðåäè ëþáûõ äâåíàäöàòè äâóçíà÷íûõ ÷èñåë íàéäóòñÿ
äâà, äàþùèå ïðè äåëåíèè íà 11 îäèíàêîâûå îñòàòêè. Èõ ðàçíîñòü
äåëèòñÿ íà îäèííàäöàòü è ÿâëÿåòñÿ äâóçíà÷íûõ ÷èñëîì.
6. 2525. Åñëè èç êàæäîãî ÷èñëà, áîëüøåãî 50, âû÷åñòü 50, òî
âìåñòå ñ ÷èñëàìè, íå ïðåâîñõîäÿùèìè 50, ïîëó÷åííûé íàáîð
ñîñòîèò èç âñåõ ÷èñåë 1, 2, …, 50. Ïîýòîìó ñóììû âñåõ äàííûõ
÷èñåë ðàâíû 1 + 2 + … + 50 + 50 ⋅ 25 = 2525 .
7. à) Íåò; á) íåò; â) äà.
2
2
Äèñêðèìèíàíò òðåõ÷ëåíà ax + bx + c ðàâåí b − 4ac.
2
à) Ðàâåíñòâî b − 4ac
= 2010 ïðè öåëûõ à, b è ñ íåâîçìîæíî,
èáî ïðè íå÷åòíîì b ëåâàÿ ÷àñòü íå÷åòíà, à ïðè ÷åòíîì b îíà
äåëèòñÿ íà 4.
2
á) Ðàâåíñòâî b − 4ac
= 2011 íåâîçìîæíî (ïðè íå÷åòíîì b ëåâàÿ
÷àñòü ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò â îñòàòêå 1, à ïðàâàÿ – 3).
â) Íàïðèìåð, ïîäõîäèò òðåõ÷ëåí 2x 2 + 46x + 13.
8. ADBC + ≥ CD. Ïðîäëèì îòðåçîê DM çà òî÷êó Ì äî òî÷êè
Å òàê, ÷òî ÅÌ = MD (ðèñ.16). Òîãäà ADBE – ïàðàëëåëîãðàìì
(äèàãîíàëè ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ
äåëÿòñÿ ïîïîëàì). Ïîýòîìó
AD = BE. Êðîìå òîãî,
òðåóãîëüíèê CDE – ðàâíîáåäðåííûé
(â íåì âûñîòà
ÑÌ îäíîâðåìåííî è
ìåäèàíà), ïîýòîìó CD =
= CE è AD + BC =
= BE + BC ≥ CE = CD .
Ðàâåíñòâî âîçìîæíî
ëèøü ïðè ADBC .
9. Ñóùåñòâóþò. Ðàññìîòðèì
1000 ïîñëåäîâàòåëüíûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
Ðèñ. 16
íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 2. Ïîíÿòíî,
÷òî ñðåäè íèõ áîëüøå 5 ïðîñòûõ (ïåðâûå 5 ïðîñòûõ
÷èñåë – 2, 3, 5, 7, 11). Íà÷íåì ñäâèãàòü íàøè 1000 ÷èñåë ïî
íàòóðàëüíîìó ðÿäó íà îäíî ÷èñëî. Ïðè êàæäîì ñäâèãå êîëè-
÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë ñðåäè íèõ ìîæåò èçìåíèòüñÿ íå áîëåå
÷åì íà 1. Íà êàêîì-òî øàãå ó íàñ ïîëó÷èòñÿ (ñì., íàïðèìåð,
óñëîâèå), ÷òî ïðîñòûõ ÷èñåë 0. Çíà÷èò, ãäå-òî ïî äîðîãå îíî
áûëî ðàâíî 5 .
a + b
10. Âåðíî. Åñëè a + b < ab ≤ , òî a + b > 2 è
2
a + b > 4.
60.p65 63
09.06.10, 13:03

64
11. Íåò. Ïðè ëþáîé ðàññòàíîâêå äåñÿòè öèôð 0, 1, …, 9 â
âåðøèíàõ 45 óãîëüíèêà õîòÿ áû îäíà èç öèôð áóäåò çàïèñàíà
íå áîëåå, ÷åì â 4-õ âåðøèíàõ. Íî òîãäà îíà áóäåò îáðàçîâûâàòü
íå áîëåå 8 ïàð ñî ñâîèìè ñîñåäÿìè, òîãäà êàê âñåãî ïàð ñ
ó÷àñòèåì ýòîé öèôðû 9.
2
12. Âåðíî. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí y( x)
= ax +
+ bx + c . Íåðàâåíñòâî èç óñëîâèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî òàê:
2
f ( 0) ⋅ f ( 1)
< 0 . Ýòî çíà÷èò, ÷òî óðàâíåíèå ax + bx + c = 0
èìååò â òî÷íîñòè îäèí êîðåíü â ïðîìåæóòêå (0; 1). Ñëåäîâàòåëüíî
b > 4ac.
2
Ôèçèêà
1. Ñì. ðèñ.17. Óêàçàíèå. Ãâîçäè íàìàãíè÷èâàþòñÿ
òàê, ÷òî íèæíèå
êîíöû ãâîçäåé ñòàíîâÿòñÿ îäíîèìåííûìè
ïîëþñàìè ìàãíèòà.
2. Íåò, åñëè ïîä âåðòèêàëüþ ïîíèìàòü
ïåðïåíäèêóëÿð ê ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè (êàñàòåëüíîé ê çåìíîìó
øàðó).
Ðèñ. 17
3. ∆ m = cmt = 105 ã (çäåñü ñ – óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû,
λ
λ – óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà).
4. β= 45°.
5. Óñêîðåíèå ìÿ÷à ìàêñèìàëüíî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïîëåòà è
ìèíèìàëüíî â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ ïîëåòà.
6. Ïðè ìàëîì óãëå íàêëîíà ïëîñêîñòè ñèëà, ïðèæèìàþùàÿ ê
íåé öèëèíäð, áîëüøå ñèëû, ïðèæèìàþùåé öèëèíäðû äðóã ê
äðóãó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìåæäó öèëèíäðàìè âîçíèêàåò ïðîñêàëüçûâàíèå.
Ïðè áîëüøîì óãëå íàêëîíà ïðèæèìàþùàÿ
ñèëà ìåæäó öèëèíäðàìè áîëüøå, è âåðõíèé öèëèíäð ñêîëüçèò
ïî ïëîñêîñòè.
7. q′ 1 = 0 , q2′ = 4πε0( r1ϕ 1 + r2ϕ2)
≈ 5,3 íÊë ,
q2′
ϕ 1′ = ϕ ′
2 = = 477 B .
4πε02
r
8. U34 = 2U0
. 9. I r = 0 .
2
gt
10. α= arctg ; ïîñëå òîãî êàê áóñèíêà ñîñêîëüçíåò ñî
2 L
ñòåðæíÿ, îí ïðîäîëæèò âðàùåíèå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé
Ìàòåìàòèêà
2 2 2 2
2a
+ b a + 2b
1.
è
. Óêàçàíèå. Äëèíà îòðåçêà, ïàðàëëåëüíîãî
îñíîâàíèÿì è äåëÿùåãî ïëîùàäü òðàïåöèè ïîïîëàì,
3
3
2 2
u + v
ðàâíà , ãäå u è v – äëèíû îñíîâàíèé òðàïåöèè.
2
2. 29 ÷è. Ïðîêàòèì äåðåâî ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè òàê,
÷òîáû ëèàíà ðàñïðÿìèëàñü è ñòàëà äèàãîíàëüþ ïðÿìîóãîëüíèêà
ñî ñòîðîíàìè 20 ÷è è 21 ÷è.
3. Áåñêîíå÷íî. Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà A ( 1;1)
óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ. Ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ ñ ðàöèîíàëüíûì
óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k. Óðàâíåíèå òàêîé ïðÿìîé èìååò
âèä y − 1= k( x − 1)
. Ïîäñòàâèâ y = kõ – k + 1 â èñõîäíîå
óðàâíåíèå, ïðèäåì ïîñëå
ïðåîáðàçîâàíèé ê
2
óðàâíåíèþ Ax + Bx +
+ C = 0 ñ öåëûìè À, Â
è Ñ, ïðè÷åì x 1 = 1 –
êîðåíü ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ.
Âòîðîé êîðåíü
C
åãî x1
= – ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî. Ïàðà
A
Ðèñ. 18
( x1,
y 1)
, ãäå
ÊÂÀÍT$ 2010/¹3
y1 = kx1 − k + 1 , – ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ â ðàöèîíàëüíûõ
÷èñëàõ.
4. à) Ïóñòü BCKL – ïàðàëëåëîãðàìì ñî ñòîðîíîé CK, ðàâíîé
è ïàðàëëåëüíîé ÀÍ (ðèñ.18). Òîãäà ïàðàëëåëîãðàììû CÐQK,
AHNC è ACFG èìåþò îäèíàêîâûå ïëîùàäè. Àíàëîãè÷íî,
ðàâíû ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììîâ BLQP, BMHÀ è ABDE.
Ïîýòîìó SBLKC = SBLQP + SCKQP = SABDE + SACFG
, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
á) Òåîðåìû Ïèôàãîðà: ñóììà ïëîùàäåé êâàäðàòîâ, ïîñòðîåííûõ
íà êàòåòàõ, ðàâíà ïëîùàäè êâàäðàòà, ïîñòðîåííîãî íà ãèïîòåíóçå.
5. Ñóùåñòâóþò. Ïðåîáðàçóåì ïðîèçâåäåíèå
( x1 2 2y1 2 )( x2 2 2y2
2
)
+ + = xx 2 2 + 4yy 2 2 + 2xy 2 2 + 2xy
2 2 =
1 2 1 2 1 1 2 1
= xx 1 2 2 2 4xxyy 1 2 1 2 4yy 1 2 2 2 2( xy 1 2 2 2 2xxyy 1 2 1 2 xy 2 2 1
2
)
− + + + + =
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
= ( xx 2yy ) 2( xy xy)
− + + = x
2 + 2y
2 .
ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ
C.À.Äîðè÷åíêî, À.À.Åãîðîâ, Å.Ì.Åïèôàíîâ,
Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà,
À.È.×åðíîóöàí
ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ
Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ì.Â.Ñóìíèíà,
Â.Ì.Õëåáíèêîâà,
ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Å.Â.Ìîðîçîâà
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ
Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà
Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ
ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473
Àäðåñ ðåäàêöèè:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò»
Òåë.: 930-56-48
Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info,
phys@kvant.info
Ñàéò: kvant.info
Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè
«×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò»
142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè,
Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru
Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00
Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59
©
3 3
Ôèçèêà
1. à) Ëóè äå Áðîéëü; á) Ôðàíöèÿ.
2. Ôèëîëàé; Àðèñòàðõ Ñàìîññêèé.
3. à) Îïòè÷åñêèé òåëåñêîï; á) Ãàëèëåî Ãàëèëåé; â) Èòàëèÿ;
ã) îêóëÿðîì òåëåñêîïà Ãàëèëåÿ ÿâëÿåòñÿ ðàññåèâàþùàÿ ëèíçà,
à òåëåñêîïà Êåïëåðà – ñîáèðàþùàÿ.
4. à) Àòîìíî-ñèëîâîé ìèêðîñêîï; á) íàïðèìåð, ýëåêòðîííûé
ìèêðîñêîï, èîííûé ïðîåêòîð, ñêàíèðóþùèé òóííåëüíûé ìèêðîñêîï,
òðåõìåðíûé àòîìíî-çîíäîâûé òîìîãðàô è äð.
5. à) Äæåéìñ Êëåðê Ìàêñâåëë; á) òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ.
60.p65 64
09.06.10, 13:04