granicne_vrednosti_funkcija_II_deo - VTS NS

www.matematiranje.com
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA
zadaci II deo
U sledećim zadacima ćemo koristiti poznatu graničnu vrednost:
sin x
lim = 1 ali i manje “varijacije’’
x→0
x
n
sin ax
sin ax
lim = 1 i lim = 1
x→
0 ax
x→0
n
( ax)
Zadaci:
1) Odrediti sledeće granične vrednosti:
Rešenja:
sin 4x
a) lim ;
x→ 0 x
tgx
b) lim ;
x→ 0 x
1−
cos x
v) lim ;
2
x→0 x
sin x − sin a
g) lim
;
x→a
x − a
sin 4x
a) lim ;(i gore i dole dodamo 4) =
x→ 0 x
4sin 4x
sin 4x
lim = 4⋅ lim = 4⋅ 1= 4
x→0 4x
x→0
4x
sin ax
Ovde smo “ napravili” i upotrebili da je lim = 1
x→
0 ax
b)
sin x
tgx cos sin x 1 sin x 1 1
lim = lim x = lim ⋅ = lim ⋅ = lim1⋅
x→0 x x→0 x x→0 x cos x x→0 x cos x x→0
cos x
1 1 1
= 1⋅lim
= 1⋅
= 1⋅
= 1
0 cos cos 0 1
x→ x
1−
cos x
v) lim = iskoristićemo formulu iz trigonometrije: 1−
cos x = 2sin
x
x→0
2
2 x
2sin
= lim 2
x → 0 x
2
2 x
2 x
sin
sin
2 1 1
= ( dodamo 4) = lim 2⋅ 2 = ⋅ lim 2 = ⋅ 1 =
x→0 2
0
2
x 4 x→
2 2
4 ⎛ x ⎞
4 ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2 x
2
1

www.matematiranje.com
sin x − sin a
g) lim =
= iskoristićemo formulu ( pogledaj PDF fajl iz II godine )
x→a
x − a
A + B A − B
sin A − sin B = 2cos sin
2 2
x + a x − a
2cos sin
= lim 2 2 = malo prisredimo...
x→a
x − a
x − a
sin
x + a
lim cos 2
x + a
= ⋅ = lim cos ⋅ 1 =
x→a 2 x − a x→a
2
2
a + a 2a
= cos = cos = cos a
2 2
2) Izračunati sledeće granične vrednosti:
sin 4x
a) lim ;
x→0 x + 1 −1
x
cos
b) lim 2 ;
x→
π x −π
sin(1 − x)
v) lim ;
x→1 x −1
a)
sin 4x
lim
x → 0
x + 1 − 1
= lim
x→0
sin 4x
⋅
x + 1 −1
sin 4x
⋅
= lim
x→0
x + 1−1
= najpre racionalizacija
x + 1 + 1
=
x + 1 + 1
( x + 1 + 1) sin 4x
⋅ ( x + 1 + 1)
sad i gore i dole dodamo 4
( )
( + + )
= lim
x→0
4sin 4x x 1 1 sin 4x
= lim = lim 4 ( x + 1 + 1) = lim 4⋅1⋅ ( x + 1 + 1)
=
x → 0 4x
x → 0 4x
x → 0
= 4 0 + 1 + 1 = 4⋅ 2 = 8
x
2

www.matematiranje.com
b)
x
cos
lim 2 = ovde ćemo najpre uzeti smenu: x − π = t,
, pa kad x → π , onda t → π −π
= 0,
dakle t → 0
x→π x −π
t + π ⎛ π t ⎞ t
cos cos⎜
+ ⎟ − sin
2
2 2
lim lim
⎝ ⎠
= lim
2
⎛ π ⎞
=
( jer je cos⎜
+ α ⎟ = −sinα
)
t→0
t
t→0
t
t→0
t
⎝ 2 ⎠
t
t
sin
sin
2 1 2 1 1
= − lim = − lim = − ⋅ 1 = −
t→0 t t→0
2
2 t
⋅
2 2
2 2
v)
sin(1 − x)
lim = najpre racionalizacija
x
−
→1 x 1
sin(1 − x)
x + 1 sin(1 − x)(
x + 1)
lim ⋅ = lim
= sada smena x − 1 = t,
kad x →1
tad t → 0
x→1 x −1
x + 1
x→1
x −1
t→0
( ) ( )
sin( − t) t + 1 + 1 − sin( t) t + 1 + 1 sin t
= lim = lim = − lim + 1 + 1
t→0 t t→0 t t→0
t
( t )
= −lim1⋅ + 1 + 1 = − (1 + 1) = −2
U sledećim zadacima ćemo koristiti:
( t )
⎛ 1 ⎞
lim ⎜1+ ⎟ = e
x→∞
⎝ x ⎠
x
I
⎞
⎜
⎛ 1
lim 1 + ⎟
x→∞⎝
ax ⎠
ax
= e
Još nam treba i činjenica da je
x
e neprekidna funkcija i važi:
f ( x)
lim f ( x)
x a
lim e = e →
x→a
3) Odrediti sledeće granične vrednosti:
⎛ 3
a) lim 1 ;
x x ⎟ ⎞
⎜ +
→∞⎝
⎠
⎛ x + 1⎞
b) lim⎜
⎟ ;
x→∞⎝
x −1⎠
x
x
c) lim x(ln(
x + 1) − ln x);
x→∞
3

www.matematiranje.com
Rešenja:
a)
⎞
⎜
⎛ 3
lim 1 + ⎟
x→∞⎝
x ⎠
⎞
⎜
⎛ 3
lim 1 + ⎟
x→∞⎝
x ⎠
x
⎞
⎜
⎛ 3
lim 1 + ⎟
x→∞⎝
x ⎠
b)
x
= ovde gde je 3 mora biti 1, pa ćemo 3 ‘spustiti’ ispod x
x
⎛ ⎞
⎜ 1 ⎟
= lim ⎜1+ =
x→∞
x
⎟ sad kod x u eksponentu pomnožimo i podelimo sa3
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
x
x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 ⎛ ⎞ 3
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
= lim ⎜1+ =
x→∞
x
⎟ = lim ⎜1+ lim 1 e
x→∞
x
⎟ = ⎜ +
x→∞
x
⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
x
⎛ x + 1⎞
lim⎜
⎟ = trik: u zagradi ćemo dodati 1 i oduzeti 1 =
x→∞⎝
x −1⎠
⎛ x + 1 ⎞ ⎛ x + 1−1( x − 1) ⎞ ⎛ x + 1− x + 1⎞
lim ⎜1+ − 1⎟ = lim ⎜1+ ⎟ = lim ⎜1+
⎟
x→∞ x 1 x→∞ x 1 x→∞
⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ ⎝ x −1
⎠
x−1 2x
⋅
2 x−1
x
⋅3
x x x
x
3
x−1 2 ⋅ ⋅ x
2 x−1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x
⎛ 2 ⎞ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
= lim ⎜1+ ⎟ = lim ⎜1+ lim 1
x→∞ x 1 x→∞ x 1
⎟ = ⎜ + =
x→∞
x 1
⎟
⎝ − ⎠ − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
2x
2x
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
lim
x−1 x→∞
x−1
= lim ⎜1+ = lim
x→∞
x −1
⎟ ⎜1+ = lim e = e = e
x→∞
x −1
⎟
x→∞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
x
2x
x−1 x−1
3
2
v)
x + 1 ⎛ x + 1⎞
lim x ⋅ (ln( x + 1) − ln x) = lim[ x ⋅ ln ] = lim ln ⎜ ⎟ =
x→∞ x→∞ x x→∞
⎝ x ⎠
x
( pošto je ln neprekidna funkcija i ona može da zameni mesto sa lim )
x x x
⎛ x + 1⎞ ⎛ x 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
ln lim ⎜ ⎟ = ln lim ⎜ + ⎟ = ln lim ⎜1+ ⎟ = ln e = 1
x→∞ x x→∞ x x x→∞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x ⎠
Ovde smo koristili pravila(pogledaj II godina logaritmi): lnA - lnB =
A
ln i n ⋅ ln A = ln A
n
B
4

www.matematiranje.com
4) Odrediti sledeće granične vrednosti:
a)
b)
2
2 ctg x
lim(1 + 3 tg x) =
x→0
x→0
1
2
sin
x
lim(cos x) =
Rešenja:
a)
2
2 ctg x
lim(1 + 3 tg x) =
x→0
+ =
1 1
+ ⋅ = +
ctg x
ctg x
=
3
2 2 2
2 ctg x ctg x ctg x
lim(1 3 tg x) lim(1 3 ) lim(1 )
x→0 x→0 2
x→0
2
3
2 2
2 3
ctg x
ctg x
1 ctg x⋅
1 ⋅3
1
3 3 3
lim(1 ) lim(1 ) lim(1 )
x→0 2
x→0 2
x→0
2
+
ctg x
= +
ctg x
= +
ctg x
= e
3 3 3
3
b)
x→0
1
2
sin
x
lim(cos x) =
Najpre ćemo dodati i oduzeti jedinicu…
1 1
2 2
sin x
sin
lim(cos x) = lim(1 + cos x − 1)
x→0 x→0
x
Dalje moramo upotrebiti formulicu:
2 x
1− cos x = 2sin 2
5

www.matematiranje.com
⎛ ⎞
⎜ ⎟
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 2 x
⎜
sin 2
1
⎟
x x x x
lim(cos x) = lim(1 + cos x− 1) = lim(1 −(1 − cos x)) = lim(1 − 2sin ) = lim⎜1
− ⎟ =
x→0 x→0 x→0 x→0 2 x→0
⎜ 1 ⎟
2 x
⎜ 2sin ⎟
⎝ 2 ⎠
1
2
sin x
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
1
⎟
x
= lim⎜1 + ⎟ = { formula sin x = 4sin cos
x→0
⎜ 1
− ⎟
2
⎜
2 x ⎟
⎜ 2sin ⎟
⎝ 2 ⎠
−1
1 2 x
− ⋅ 2cos
2 x 2
2sin 2
−1
lim
x→0 2 x 1
2cos − 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜
1
⎟
= lim⎜1+ ⎟ = e = e
x→0
⎜ 1
− ⎟
2 x
⎜ 2sin ⎟
⎝ 2 ⎠
2 2 2
1
2
sin x
1 1 −1
− ⋅
2 x 2 x 2 x 2 x
4sin cos sin 4cos
2 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x
⎜
1
⎟ ⎜
1
⎟
} = lim⎜1+ ⎟ = lim⎜1+ ⎟ =
2 x→0 1 x→0
⎜ 1
− ⎟ ⎜ − ⎟
⎜ 2 x ⎟ ⎜ 2 x ⎟
⎜ 2sin ⎟ ⎜ 2sin ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Ko je upoznat sa Lopitalovom teoremom može ove zadačiće rešavati i na drugi način:
a)
2
2 ctg x
lim(1 + 3 tg x) =
x→0
Ceo limes obeležimo sa nekim slovom, recimo A i elenujemo ga:
2
2 ctg x
lim(1 + 3 tg x) = A............/ ln
x→0
2
2 ctg x
ln lim(1 + 3 tg x) = ln
x→0
2
2 ctg x
lim ln(1 + 3 tg x) = ln
x→0
lim
2
⋅ ln(1 + 3
2
) = ln
x→0
1
tg x
2
lim ln(1 + 3 tg x) = ln
x→0
2
2
ln(1 + 3 tg x)
x→0
2
tg x
A
A
ctg x tg x A
A
lim = ln A sad na levoj strani upotrebljavamo Lopitalovu teoremu
1 1
⋅3⋅
2tgx
⋅
2 2
1+
3tg x cos x
lim
= ln A
x→0
1
2tgx
⋅
2
cos x
3 3 3
lim = ln A → = ln A → = ln A → ln A = 3 → A = e
x→0
2 2
1+ 3tg x 1+
3tg
0 1
3
6

www.matematiranje.com
b)
x→0
1
2
sin
x
lim(cos x) =
lim(cos x)
x→0
x→0
x→0
1
2
sin x
ln lim(cos x)
lim ln(cos x)
1
2
sin x
1
2
sin x
= A............/ ln
= ln A
= ln A
1
lim ln(cos x) = ln A
x→0
2
sin x
ln(cos x)
lim = ln A
na levoj strani Lopital...
x→0
2
sin x
1 ( sin
lim cos − x )
x = ln A
x→0
2 sin x cos x
−1 −1 −1 −1
lim = ln A → = ln A → = ln A → = ln A → A = e
x→0
2 2
2cos x 2cos 0 2⋅1 2
1
−
2
Vi naravno radite kako zahteva vaš profesor...
Kao što vidite, Lopitalova teorema je elegantan način da se dodje do rešenja kod odredjivanja graničnih vrednosti
funkcija. Ali pazite, ona radi samo u situacijama 0 0 i ∞ ∞ .
5) Odrediti sledeće granične vrednosti:
a)
b)
lim x
x→0
x→0
2
ln x
lim x ⋅ ctg2x
Rešenja:
a)
lim x
x→0
2
ln x
Ako zamenimo da x teži nuli , dobijamo :
2 2
lim x ln x = 0 ⋅ ln 0 = 0 ⋅( −∞ )
x→0
Ovo je neodredjen izraz a ne smemo koristiti Lopitalovu teoremu . Šta uraditi
7

www.matematiranje.com
Moramo prepraviti funkciju od koje tražimo limes da bude oblika 0 0 ili ∞ ∞ .
2 ln x
lim x ln x lim
x →0 x →0
1
2
= = ako ovde zamenimo da x teži nuli , dobijamo:
2
lim x ln x lim
x→0 x→0
1 1
2 2
x 0
x
ln x ln 0 −∞
= = = , pa možemo koristiti Lopitala…
∞
1
ln x (ln x)`
x x
1 1 −2
( )`
2 2 3
x x x
2
lim x ln x = lim = lim = lim = lim
x→0 x→0 x→0 x→0 x→0
3
−2 x
2
x
= lim = 0
x→0
−2
b)
lim x ⋅ ctg2x
x→0
Sličan trik kao u prethodnom primeru…
1
− ⋅ 2
lim 2 lim ( ) lim lim lim ( )
2
2
ctg2 x ∞ ( ctg2 x)` sin 2 2x
0
x ⋅ ctg x = = = = x = =
x→0 x→0 0 0 0
2
1 ∞ x→ 1 x→ 1 x→
( )` −
sin 2x
0
2
Opet koristimo Lopitalovu teoremu…
x x x
2 2
2x 0 (2 x )` 4x
4 x
x 0
lim = ( ) = lim = lim = lim
lim ( )
x →0 2
0
2
sin 2x 0 x → (sin 2 x)` x →0 2sin 2x ⋅cos 2x
⋅ 2 x →0
4 sin 2x ⋅cos 2x = x→0
sin 2x
⋅cos 2x
= 0
Auuu, opet Lopital…
x 0 1
lim = ( ) = lim
=
x→0 sin 2x ⋅cos 2x 0 x→0
[(sin 2 x)`⋅ cos 2x + sin 2 x ⋅(cos 2 x)`]
lim
x→0 0
2 2 2 2
[cos 2x ⋅ 2⋅ cos 2x + sin 2 x ⋅( −sin 2 x) ⋅ 2] x→
2⋅cos 2x − 2sin 2x
2⋅cos 2⋅0 − 2sin 2⋅0
1 1 1
= = =
⋅ − ⋅ −
2 2
2 cos 0 2sin 0 2 1 0 2
1 1 1
= lim
= =
Ovaj zadatak baš ispade težak, zar ne
Al to je zato što ne razmišljamo, već odmah krenemo u rad...
Evo kako bi moglo prostije:
8

www.matematiranje.com
2 2
1 x 0 1 cos 2x
cos 0 1
lim x ⋅ ctg2x = lim x ⋅ = lim = ( ) = lim = lim = =
x → 0 x → 0 tg 2 x x → 0 tg 2 x 0 x → 0 1
x 0
⋅2
→ 2 2 2
2
cos 2x
Dakle, prvo pogledajte malo zadatak, analizirajte, pa onda krenite na rešavanje…
9