Pokretni zarez - Ncd.matf.bg.ac.rs

Uvod u organizaciju računara
vežbe, školska 2010/11
Biljana Stojanović
Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu

Pokretni zarez – binarna i
heksadekadna osnova
čas 10

Pokretni zarez
Predstavljanjem brojeva u pokretnom zarezu omogućuje
se zapisivanje vrlo velikih ili jako malih brojeva pomoću
malog broja cifara
b-osnova (uvek je parna), p-preciznost
U opštem slučaju broj u pokretnom zarezu se predstavlja
u obliku
d 0 ,d -1 d -2 ...d -(p-1) b e

Zapis brojeva
d 0 ,d -1 d -2 ...d -(p-1) je značajni deo i zapisuje se u brojčanom
sistemu sa osnovom b (0≤d i < b)
Zapis broja za koji važi da je d 0 ≠0 naziva se normalizovan.
Za predstavljanje realnih brojeva u računarima koriste se
vrednosti b=2 ili b=16.

Zapis brojeva
U oba slučaja eksponent se kodira u binarnom brojčanom
sistemu, dok se vrednost b ne čuva eksplicitno jer je ista
za sve brojeve koji se zapisuju.
Jednostruka preciznost – za zapis brojeva se koriste
registri dužine 32 bita
Dvostruka preciznost – za zapis brojeva se koriste registri
dužine 64 bita

Zapis brojeva
Zapis realnog broja (u registru) sastoji se od:
znaka broja
frakcije
eksponenta

Zapis sa binarnom osnovom
PDP-11 i VAX-11 računari firme DEC
Zapis u 32-bitnom registru:
31 30 23 22 0
Uvećani
eksponent
Frakcija
Znak
značajni deo broja se zapisuje u obliku znak i apsolutna
vrednost, pri čemu je znak značajnog dela istovremeno i
znak broja (0-pozitivni, 1-negativni) i upisuje se u bit
najveće težine.

Zapis sa binarnom osnovom
apsolutna vrednost se prevodi u binarni sistem i zapisuje u
normalizovanom obliku uz modifikaciju:
umesto oblika: d 0 ,d -1 d -2 ...d -(p-1) , d 0 ≠0
koristi se oblik: 0, d 0 d -1 d -2 ...d -(p-1)
uz povećanje vrednosti eksponenta za 1

Frakcija
Niz cifara u razlomljenom delu broja naziva se frakcija.
U zapisu sa binarnom osnovom frakcija d 0 d -1 d -2 ...d -(p-1)
ima 24 bita, ali se u računaru predstavlja sa 23 binarne
pozicije 0-22 jer je uvek d 0 =1, tako da je njegovo
eksplicitno čuvanje nepotrebno

Eksponent
Eksponent se zapisuje u 8 bita na pozicijama 23-30, uz
uvećanje vrednosti za 128.
Vrednosti eksponenta koje mogu da se zapišu pripadaju
intervalu [-128,+127], odnosno [0,255] posle uvećanja za
128

Uvećanje 128
Bez uvećanja ne bi mogla da se pravi razlika u zapisu
brojeva 0 i 0.1 (0=0x2 0 0.1=0.1x2 0 ) zbog implicitnog
kodiranja prvog bita jedinicom.
Sa druge strane, poželjno je da se ne pravi razlika između
celobrojne nule i nule u pokretnom zarezu.

Nula
Nula se zapisuje kao sve nule u registru, odnosno kao
pozitivan broj sa vrednošću eksponenta -128, kod koga su
sve binarne cifre frakcije 0.
(0.1) 2 *2 -128 =1*2 -1 *2 -128 =2 -129

Primeri
Znak Eksponent Frakcija
+15= 0 10000100 11100...0
-15 = 1 10000100 11100...0
+1/64= 0 01111011 00000...0
0 = 0 00000000 00000...0
+1x2 -128 = 0 00000001 00000...0
(1-2 -24 )x2 +127 0 11111111 11111...1

Granične vrednosti
za vrednost eksponenta e važi:
-2 7 ≤ e ≤ 2 7 -1
za vrednost frakcije s važi:
2 -1 ≤ | s | ≤ 1-2 -24
2 -1 *2 -128 ≤ | x | ≤ (1-2 -24 )*2 +127
a kako kod za 2 -1 *2 -128 predstavlja 0
2 -128 ≤ | x | ≤ (1-2 -24 )*2 +127
tj. 2.9*10 -39

Prekoračenje i potkoračenje
Pokušaj zapisa broja x:
|x| > (1-2 -24 )x2 +127
dovodi do pozitivnog ili negativnog prekoračenja u
zavisnosti od znaka broja.
Potkoračenje se javlja pri pokušaju zapisa broja koji
je po apsolutnoj vrednosti manji od donje granice
intervala. U tom slučaju, računar generiše informaciju
da je došlo do potkoračenja, zapiše takav broj kao 0 i
nastavi dalje sa radom. I potkoračenje može biti
pozitivno i negativno.

Dvostruka tačnost
Dva uzastopna 32-bitna registra
Prvi registar – kao kod jednostruke tačnosti
Ceo drugi registar – za dodatne cifre frakcije
Omogućuje povećanje preciznosti, tj. veći broj cifara
frakcije, ali ne i povećanje vrednosti eksponenta
2 -128 ≤ | x | ≤ (1-2 -56 )x2 +127

Dvostruka tačnost
63 62 55 54 32
Uvećani
eksponent
Frakcija
Znak
31 0
Produžetak frakcije

Zapis sa heksadekadnom osnovom
S/360, S/370 firme IBM
Značajni deo: znak i apsolutna vrednost
Znak značajnog dela je istovremeno i znak broja (kao i
kod binarne osnove).
Frakcija značajnog dela je takođe normalizovana; zapisuje
se sa 6 heksadekadnih cifara u 24 bita.

Eksponent
Eksponent se zapisuje u 7 bita na pozicijama 24-30.
Vrednosti eksponenta se zapisuju uz uvećanje za 64.
Vrednosti eksponenta koje mogu da se zapišu pripadaju
intervalu [-64,+63], odnosno [0,+127] posle uvećanja.

Uvećanje, Nula
Osnova b=16 se ne zapisuje u registru.
Kao i u slučaju zapisa sa binarnom osnovom, eksponent se
uvećava zbog zapisa nule.
Pravilo je da se nula zapisuje kao sve nule u registru.

Format zapisa – jednostruka tačnost
31 30 24 23 0
Znak
Uvećani
eksponent
Frakcija

Primeri (32-bitni registar)
Znak Eksponent Frakcija
+15= 0 1000001 11110...0
-15 = 1 1000001 11110...0
+1/64 = 0 0111111 01000...0
0 = 0 0000000 00000...0
+1x16 -65 0 0000000 00010...0
(1-16 -6 )x16 +63 0 1111111 11111...1

Granične vrednosti
32-bitni registar:
za veličinu eksponenta važi:
-2 6 ≤ e ≤ 2 6 -1
za vrednost s kojom se predstavlja frakcija važi:
16 -1 ≤ | s | ≤ 1-16 -6
16 -1 *16 -64 ≤ | x | ≤ (1-16 -6 )*16 +63
tj. 5.4*10 -79

Prekoračenje i potkoračenje
pokušaj zapisa broja x
| x | > (1-16 -6 )*16 +63
dovodi do pozitivnog ili negativnog prekoračenja, u
zavisnosti od znaka broja
pokušaj zapisa broja | x | < 16 -65 dovodi do pozitivnog ili
negativnog potkoračenja

Dvostruka tačnost
Dva uzastopna 32-bitna registra
Prvi registar – kao kod jednostruke tačnosti
Ceo drugi registar – dodatne cifre frakcije broja
Interval:
16 -65 ≤ | x | ≤ (1-16 -14 )*16 +63

Napomene
Bez obzira na način zapisa realnih brojeva, za izabranu
tačnost ( sa binarnom ili heksadekadnom osnovom ) broj
različitih zapisa realnih brojeva je isti, ali je gustina na
pojedinim delovima brojčane ose različita.
Ukoliko se poveća interval za eksponent, smanjuje se broj
cifara frakcije koje je moguće zapisati i obratno.

Napomene
Dodatno, realnih brojeva koji mogu da se zapišu u
jednostrukoj tačnosti ima isto koliko i celih (2 32 ) jer toliko
ima različitih kombinacija bitova u registru dužine 32 bita.